Ecuaciones Diferenciales Lineales
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA
FACULTAD DE ING. CIVIL
ESCUELA DE INFORMÁTICA
PROYECTO DE MATEMÁTICAS IV
INTEGRANTES:
Daniel Sánchez
Ronald Ganán
CURSO: Cuarto Quimestre “B”
TEMA:
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la
forma general y comprensible de escribir la ecuación es de la siguiente forma:
O usando otra notación frecuente:
Vemos que lo que define que una ecuación diferencial sea lineal es que no aparecen
productos de la función incógnita consigo misma ni ninguna de sus derivadas. Si
usamos la notación para denotar el operador diferencial lineal de la ecuación
anterior, entonces la ecuación anterior puede escribirse como:
Estas ecuaciones tienen la propiedad de que el conjunto de las posibles soluciones
tiene estructura de espacio vectorial de dimensión finita cosa que es de gran ayuda
a la hora de encontrar dichas soluciones.
Ecuaciones Diferenciales Lineales
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se caracterizan por ser de la forma:
Donde y son funciones continuas en un intervalo . La
solución de esta ecuación viene dada por:
Resolución detallada
Es Posible encontrar una forma explícita para las soluciones de esta ecuación, la
idea consiste en encontrar una función que nos permita transformar:
en la derivada de un producto.
Para ello necesitamos que . En efecto, si despejamos p(x) e
integramos ambos miembros tenemos dentro de la integral y por
resolución de integrales sabemos que es el logaritmo de w(x). Despejar el
logaritmo es convertir en exponencial ambos miembros, y así obtenemos
.
Ahora si multiplicamos la ecuación diferencial por obtenemos:
Lo que equivale a escribir:
Con .
Finalmente, todas las soluciones de la ecuación diferencial pueden ser calculadas
usando la expresión:
Ecuaciones Diferenciales Lineales
EJERCICIOS Primer Ejercicio
Dividiendo la ecuación para X a toda la ecuación nos queda:
Reemplazando por
Determinamos el valor de u
Integrando nos queda:
Ecuaciones Diferenciales Lineales
Determinamos el valor de z
Reemplazando el valor de u=x2
Integrando nos queda:
+ c
Reemplazando los valores de u y z
Respuesta
Ecuaciones Diferenciales Lineales
Segundo Ejercicio:
Dividendo para x a toda la ecuación:
Determinamos el valor de z
Reemplazando el valor de u
Ecuaciones Diferenciales Lineales
Integración por partes
Nos queda:
Reemplazando los valores de u y z
Respuesta
Grafico 2:
Ecuaciones Diferenciales Lineales
Graficando los Ejercicios
1. Área de Trabajo, hacemos clic en Archivo, escogemos “2-dim” o presione F2.
2. Insertando la solución del Ejercicio, haciendo clic en “Ecum”, luego
seleccionamos “Explicita” o presione F1
Ecuaciones Diferenciales Lineales
3. Escribimos la solución del ejercicio la siguiente ventana que aparece.
4. La curva del ejercicio es:
Ecuaciones Diferenciales Lineales
5. Damos más valores para más curvas, haciendo clic en duplicar y cambiamos el
valor de la constante y así sucesivamente:
Primer ejercicio nos queda:
Segundo Ejercicio nos queda: