1

Tipos de TransformacionesTipos de Transformaciones

Transformaciones intrínsecas:Transformaciones intrínsecas:– Operan individualmente en cada objeto (coordenadas Operan individualmente en cada objeto (coordenadas

locales).locales). Transformaciones de modelaje:Transformaciones de modelaje:

– Emplazan un objeto (coordenadas locales) en una escena Emplazan un objeto (coordenadas locales) en una escena (coordenadas globales).(coordenadas globales).

Transformaciones de visualización: Transformaciones de visualización: – Se aplica a escenas (coordenadas globales), para definir Se aplica a escenas (coordenadas globales), para definir

condiciones de visualización (coordenadas de condiciones de visualización (coordenadas de visualización).visualización).

2

Transformaciones AfinesTransformaciones Afines Las transformaciones pueden ser Las transformaciones pueden ser

representadas por una matriz.representadas por una matriz. Técnicamente, están compuestas por Técnicamente, están compuestas por

cualquier combinación de transformaciones cualquier combinación de transformaciones lineales: lineales: traslación, escalamiento, rotación, traslación, escalamiento, rotación, deformación.deformación.

Las transformaciones afines usan un sistema Las transformaciones afines usan un sistema homogeneo de coordenadas.homogeneo de coordenadas.

3

TraslaciónTraslación

1

.

1000

100

010

001

1

.

z

y

x

d

d

d

z

y

x

VDV

z

y

x

4

Traslación en el Plano XYTraslación en el Plano XY

zz

yyy

xxx

5

EscalamientoEscalamiento

1

.

1000

000

000

000

1

.

z

y

x

e

e

e

z

y

x

VEV

z

y

x

6

Escalamiento a lo Largo de Eje XEscalamiento a lo Largo de Eje X

zz

yy

xx

.2

7

Escalamiento y TraslaciónEscalamiento y Traslación

zzez

yyey

xxex

z

y

x

)(

)(

)(

8

Reflexión Alrededor del Eje XReflexión Alrededor del Eje X(Caso Especial de Escalamiento)(Caso Especial de Escalamiento)

zz

yy

xx

9

Rotación Antihoraria Alrededor de Rotación Antihoraria Alrededor de los Ejes X, Y y Z los Ejes X, Y y Z

1000

0100

00cossen

00sencos

1000

0cos0sen

0010

0sen0cos

1000

0cossen0

0sencos0

0001

1

.

1

zy

x

RR

Rz

y

x

Rz

y

x

10

Rotación AntihorariaRotación AntihorariaAlrededor del Eje ZAlrededor del Eje Z

zz

ysenxy

senyxx

cos..

.cos.

11

Rotación GeneralRotación General(Alrededor de Eje en Objeto)(Alrededor de Eje en Objeto)

Traslación

Rotación

Traslación

zz

yyysenxxy

xsenyyxxx

cos)()(

)(cos)(

12

Deformación: EstrechamientoDeformación: Estrechamiento

Escalamiento gradual:Escalamiento gradual:

lineal) no o lineal()(

1

.

1000

0100

000

000

zfe

z

y

x

e

e

V

13

EstrechamientoEstrechamiento

14

Deformación: TorsiónDeformación: Torsión

Rotación diferenciada:Rotación diferenciada:

longitud) de unidad / giro de ángulo(

)(

1

.

1000

0100

00cossen

00sencos

zf

z

y

x

V

15

TorsiónTorsión

16

DoblezDoblez

17

VectoresVectores Segmentos de línea que tienen magnitud y dirección.Segmentos de línea que tienen magnitud y dirección.

o)normalizad(Vector

,,

),,(

),,(

),,(

23

22

21

321

321

121212

222

111

a

an

a

a

a

a

a

aaa

kajaia

aaa

zzyyxxQP

zyxQ

zyxPz

x y

a3

P Q

a1 a2

a

18

Funciones VectorialesFunciones Vectoriales

ktfjtfitftF

tftftftF

RRbaF

n

n

n

)(...)()()(

)(),...,(),()(

],[:

21

21

Funciones continuas de dominio un intervalo Real y Funciones continuas de dominio un intervalo Real y codominio un subconjunto del espacio.codominio un subconjunto del espacio.

Donde las fi son funciones reales

19

Ecuaciones de SegmentosEcuaciones de Segmentos

])1(,)1([)(

[0,1]:

:)BA (Segmento Vectorial Forma

0)()(

00),(

:implícita Forma

tan

)(1

)()(

:explícita Forma

2121

2

12211212

12

12

1

1

yttyxttxtF

RF

yxyxxyyyxx

cbyaxyxf

xx

yy

xx

yym

qym

ygxoqmxxfy

x

y

(x,y)

(x1,y1)

(x2,y2)

A

B

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RayosRayos

Un rayo se define como un segmento de Un rayo se define como un segmento de línea que posee posición, magnitud y línea que posee posición, magnitud y dirección.dirección.

El rayo es una entidad muy importante en El rayo es una entidad muy importante en graficación computarizada ya que permite graficación computarizada ya que permite simular la luz como un haz simular la luz como un haz infinitesimalmente delgado.infinitesimalmente delgado.

21

Geometría de RayosGeometría de Rayos Debido a que el rayo simula la trayectoria Debido a que el rayo simula la trayectoria

que sigue la luz en un entorno, la operación que sigue la luz en un entorno, la operación más común es la prueba de intersección.más común es la prueba de intersección.

Estas operaciones son muy costosas por lo Estas operaciones son muy costosas por lo que una técnica más eficiente es encerrar que una técnica más eficiente es encerrar los objetos dentro de volúmenes los objetos dentro de volúmenes contenedores, como una esfera o una caja, contenedores, como una esfera o una caja, antes de probar si hay intersecciones. antes de probar si hay intersecciones.

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Representación y ModelajeRepresentación y Modelajede Objetos 3Dde Objetos 3D

Creación de una representación gráfica 3D Creación de una representación gráfica 3D por computadora.por computadora.

Técnica, método o estructura de datos usada Técnica, método o estructura de datos usada para representar el objeto.para representar el objeto.

Manipulación de la representación, en Manipulación de la representación, en particular, cambiar la forma de un modelo particular, cambiar la forma de un modelo existente.existente.

23

Representación de ObjetosRepresentación de Objetos

La representación que se escoja para un La representación que se escoja para un objeto, depende de:objeto, depende de:– La naturaleza del objeto.La naturaleza del objeto.– La técnica que se utilice para crear el objeto.La técnica que se utilice para crear el objeto.– De la aplicación.De la aplicación.

Todos estos factores están Todos estos factores están interrelacionados.interrelacionados.

24

Principales ModelosPrincipales Modelos

Poligonal.Poligonal. Geometría sólida constructiva.Geometría sólida constructiva. Técnicas de subdivisión espacial.Técnicas de subdivisión espacial. Parches bi-cúbicos paramétricosParches bi-cúbicos paramétricos

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Representación PoligonalRepresentación Poligonal

26

Imágenes PoligonalesImágenes Poligonales

27

Creación de Objetos PoligonalesCreación de Objetos Poligonales

Digitalización 3D manual.Digitalización 3D manual. Explorador laser.Explorador laser. Descripción matemática.Descripción matemática. Geometría fractal.Geometría fractal.

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Geometría Sólida ConstructivaGeometría Sólida Constructiva

Representación compleja de alto nivel, Representación compleja de alto nivel, orientada al usuario.orientada al usuario.

Requiere de técnicas especiales de Requiere de técnicas especiales de presentación o la conversión a una malla presentación o la conversión a una malla poligonal previo a su presentación.poligonal previo a su presentación.

Utiliza metáfora de bloques constructivos Utiliza metáfora de bloques constructivos 3D y operaciones de combinación.3D y operaciones de combinación.

29

Imagen en MallaImagen en Malla

30

Parches Bi-cúbicos ParamétricosParches Bi-cúbicos Paramétricos

Base para diseño interactivo en CAD.Base para diseño interactivo en CAD. Representación alternativa a la malla de Representación alternativa a la malla de

polígonos.polígonos.– Representación analítica exacta.Representación analítica exacta.– Facilidad de edición de forma 3D.Facilidad de edición de forma 3D.– Representación más económica.Representación más económica.

31

Elementos Bi-cúbicosElementos Bi-cúbicos

Curvas racionales:Curvas racionales:– Curvas Bézier Racionales.Curvas Bézier Racionales.– NURBS (B-Splines Racionales No-Uniformes).NURBS (B-Splines Racionales No-Uniformes).

Parches:Parches:– Superficie Bézier.Superficie Bézier.– Superficie B-spline.Superficie B-spline.

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Curvas BézierCurvas Bézier

Continuidad Posicional

Continuidad Tangencial

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Parche BézierParche Bézier

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Curvas B-SplinesCurvas B-Splines

35

Modelo de Parches y Presentación Modelo de Parches y Presentación ResultanteResultante

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FotorealismoFotorealismo

Conjunto de técnicas para que una imagen Conjunto de técnicas para que una imagen gráfica de un objeto o escena sea gráfica de un objeto o escena sea indistinguible de una imagen de televisión o indistinguible de una imagen de televisión o fotografía.fotografía.

Principales campos de aplicación actual:Principales campos de aplicación actual:– MedicinaMedicina– Ciencia eCiencia e– IngenieríaIngeniería

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Fundamentos del FotorealismoFundamentos del Fotorealismo

Cálculo de la interacción luz – objeto:Cálculo de la interacción luz – objeto:– Modelos de Reflexión Directa o LocalModelos de Reflexión Directa o Local.- .-

Consideran que el objeto y la fuente de luz, se Consideran que el objeto y la fuente de luz, se encuentran flotando en un espacio oscuro. Sólo encuentran flotando en un espacio oscuro. Sólo se incluye la primera reflexión de luz desde el se incluye la primera reflexión de luz desde el objeto.objeto.

– Modelos de Interacción GlobalModelos de Interacción Global.- Consideran .- Consideran que la luz incidente en cualquier objeto puede que la luz incidente en cualquier objeto puede ser, a más de la luz directa, luz indirecta o ser, a más de la luz directa, luz indirecta o reflejada por otros objetos en el entorno.reflejada por otros objetos en el entorno.

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Modelo de Reflexión con Modelo de Reflexión con Interacción LocalInteracción Local

Remoción de superficies escondidas:Remoción de superficies escondidas:– Algoritmo Z-BufferAlgoritmo Z-Buffer.- Fácil de implementar y combinar .- Fácil de implementar y combinar

con algoritmos de sombreado y presentación con algoritmos de sombreado y presentación ((renderingrendering))

Sombreado de imágenes:Sombreado de imágenes:– Modelo de Reflexión de PhongModelo de Reflexión de Phong.- Es un modelo .- Es un modelo

empírico, fácil de implementar, que usualmente resulta empírico, fácil de implementar, que usualmente resulta con un objeto reflejando más luz de la que recibe. A con un objeto reflejando más luz de la que recibe. A pesar de esto, es el modelo más utilizado en graficación pesar de esto, es el modelo más utilizado en graficación computarizada.computarizada.

– Algoritmos de sombreado y texturizadoAlgoritmos de sombreado y texturizado..

39

Escena con Sombreado de PhongEscena con Sombreado de Phong

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Modelo de Interacción GlobalModelo de Interacción Global

Trazado de RayosTrazado de Rayos– Técnica que trata de perfeccionar la reflexión Técnica que trata de perfeccionar la reflexión

especular (objetos brillantes reflejando a otros)especular (objetos brillantes reflejando a otros) RadiosidadRadiosidad

– Técnica que modela la interacción difusa, esto Técnica que modela la interacción difusa, esto es luz reflejada por superficies color mate, que es luz reflejada por superficies color mate, que iluminan otras superficies.iluminan otras superficies.

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Escena con Trazado de Rayos y Escena con Trazado de Rayos y RadiosidadRadiosidad

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Ambientes VirtualesAmbientes Virtuales

•Laboratorios VirtualesLaboratorios Virtuales•Atlas DigitalAtlas Digital•Ambientes Virtuales MultiusuariosAmbientes Virtuales Multiusuarios

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44

Laboratorios VirtualesLaboratorios VirtualesAlan Kay, describe como laboratorio virtual, la aplicación de computadoras a la enseñanza de química, física, biología y disciplinas semejantes, donde los experimentos pueden ser peligrosos o incosteables. Por medio de la simulación del laboratorio permite que los estudiantes aprendan por experimentación simulada.

A la gente le resulta difícil comprender y visualizar los conceptos matemáticos en los que se basan los fenómenos físicos, es por ello que los realizadores de cursos (tutoriales) intentan en sus cometidos evocar e implantar imágenes visuales que puedan ayudar a comprender conceptos abstractos.

Laboratorio Virtual

Atlas Digital Atlas Digital (Google Earth)(Google Earth)

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Mundos VirtualesMundos Virtuales

47

48

49

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Templo de BudhaTemplo de Budha

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Animación InformáticaAnimación Informática

Creación de la ilusión del movimiento al visionar una Creación de la ilusión del movimiento al visionar una sucesión de imágenes fijas generadas por ordenadorsucesión de imágenes fijas generadas por ordenador. .

Una serie de imágenes que cambian muy ligera y Una serie de imágenes que cambian muy ligera y rápidamente, una tras otra, parecen mezclarse creando rápidamente, una tras otra, parecen mezclarse creando la ilusión de movimiento.la ilusión de movimiento.La animación es posible debido a un fenómeno La animación es posible debido a un fenómeno biológico conocido como biológico conocido como persistencia de la visiónpersistencia de la visión. .

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Antes de la llegada de las computadoras, la animación se realizaba filmando secuencias dibujadas o pintadas manualmente sobre plástico o papel, denominados celuloides; cada fotograma se creaba de manera independiente. Al principio, las computadoras se utilizaron para controlar los movimientos de la obra artística y simular la cámara.

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La animación informática se puede utilizar para crear efectos especiales y para simular imágenes imposibles de generar con otras técnicas; un ejemplo es la película Episodio I. La amenaza fantasma (1999), que incluye numerosos personajes y escenarios creados informáticamente; otro ejemplo es la película Gasparín (1987), en la cual se crearon por computadora las imágenes de los fantasmas utilizando técnicas de geometría fractal.

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La animación informática también puede generar imágenes para obtener datos científicos; así, se ha utilizado para visualizar grandes cantidades de datos en el estudio de las interacciones de sistemas complejos, como la dinámica de fluidos, sistemas planetarios, las colisiones de partículas y el desarrollo de tormentas. Estos modelos de base matemática utilizan la animación para ayudar a los investigadores a visualizar relaciones. La animación informática ha sido empleada también en casos judiciales para la reconstrucción de accidentes.

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Como funciona la animación Como funciona la animación informáticainformática

En la animación tradicional de fotograma a fotograma, la ilusión de movimiento se crea filmando una secuencia de celuloides pintados a mano y, a continuación, proyectando las imágenes a mayor velocidad, por lo general de 15 a 30 fotogramas por segundo. En animación informática, las ilustraciones se crean mediante programas informáticos, fotograma a fotograma y, a continuación, se modifican y se reproducen

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A pesar de la potencia de las computadoras actuales y de las innovaciones utilizadas para acelerar los procesos de animación tradicionales, las animaciones informatizadas modernas requieren computadoras aún más rápidas y potentes para aprovechar las nuevas técnicas y efectos potencialmente fotorrealistas. En el largometraje animado de Disney Toy Story (1995), los estudios de animación PIXAR emplearon una media de 3 horas en calcular cada fotograma, y algunos requirieron hasta 24 horas. Para esta película de 77 minutos, se generaron 110.880 fotogramas.

Se emplearon técnicas de computación distribuida; una sola estación de trabajo hubiera tardado 38 años. Situación similar del film Finding Nemo (1998).

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Animación en tiempo realAnimación en tiempo realOtra técnica infográfica es la animación en tiempo real, en la que los fotogramas son creados por la computadora y se proyectan inmediatamente en la pantalla de la computadora. Esta técnica elimina la fase intermedia de digitalización de las imágenes. No obstante, en la actualidad la animación en tiempo real no es capaz de producir resultados de alta calidad o con gran riqueza de detalles. Es más adecuada para la creación de animaciones simples y de juegos de computadora.

Caso especial, la pelicula animada de Dream Works “Madagaskar”

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Ejemplos de animación en Ejemplos de animación en tiempo Realtiempo Real

Animacion(1)

Animación(2)

Animación(3)

Sistema Planetario

Cuerva Vibrante

Ondas

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Ejemplos de animación con Ejemplos de animación con FotogramasFotogramas

Animación(1)

Animación(2)

Cuerda Vibrante

Ondas