Repblica Bolivariana de VenezuelaUniversidad Martima del CaribeVicerrectorado Acadmico

Alumno:Rodrguez B Ronald JC.I:19.912.832

Seccin: F

Tringulos EsfricosEs la porcin de una superficie esfrica comprendida entre tres arcos de la circunferencia mxima que se cortan dos a dos. Elementos de un Tringulo esfrico: Vrtices: A, B y C son los puntos de intercesin de los arcos de la circunferencia mxima. ngulos: , y son los ngulos de cada diedro. Lados: a, b y c son los lados del tringulo, son arcos, son expresados en unidades angulares.

Propiedades de un tringulo esfrico:

acb

Uno de los lados del Triangulo Esfrico es menor Estrictamente que La suma de los otros dos.

Cualquier lado de un trianguloEsfrico es menor a 180.

La suma de los ngulos de unTriangulo esfrico verifica:

La suma de los dos lados de un tringulo esfrico es menor que una circunferencia entera.

Un tringulo esfrico ser convexo si no es cortado por la prolongacin de sus lados; cncavo en caso contrario.

Dado que cada triangulo esfrico tiene su triedro asociado podemos deducir de las propiedades del triedro convexo, otras anlogas para el tringulo.

A todo triangulo esfrico convexo corresponde otro triangulo, tambin convexo, llamado polar o suplementario del primero. Los lados y ngulos del triangulo son, respetivamente, suplementario de los ngulos y lados del tringulo polar. A un tringulo t corresponde un triedro asociado n, y este tiene un triedro polar n al cual corresponde un tringulo t. El resto se deduce en forma inmediata. Es evidente que por dos puntos de la superficie de la esfera no puede pasar ms que un arco de crculo mximo. Porque este crculo mximo es la interseccin de la esfera con un plano que ha de pasar precisamente por el centro; y es evidente que por tres puntos dados no puede pasar ms que un plano.Pero por dos puntos dados en la superficie de la esfera se puede tirar una infinita cantidad de arcos de crculos menores de diferentes dimetros. Este es el motivo por el que solo se consideran en la trigonometra esfrica los arcos del crculo mximo. Si se consideran los crculos menores, no tendramos ninguna regla fija para averiguar la longitud de sus lados, y la cantidad de los ngulos.Aunque un tringulo esfrico pueda tener algunas de sus partes mayor 180, no obstante solo consideramos aquellos que tienen cada uno de sus partes menor que 180; porque siempre se puede conocer uno de estos tringulos por medio del otro.

Dos tringulos esfricos entre s pueden ser:Adyacentes: si tienen un lado en comn.Simtricos: si los vrtices de uno de ellos son diametralmente opuestos a los vrtices del otro.Opuestos por el vrtice: si tienen un vrtice en comn. SimtricosCBA

Adyacente

Adyacente

Tipos de tringulos esfricos: Equiltero: si tiene los tres lados iguales. Issceles: si tiene dos lados iguales. Rectngulo: si tiene uno o ms lados rectos. Un tringulo esfrico queda determinado cuando se conoce tres de sus elementos, a partir de los cuales pueden calcularse los dems. Pueden representarse seis casos.1. Se conocen los tres lados a, b y c.2. Se conocen dos lados a y b, y el ngulo comprendido C.3. Se conocen dos lados a y b, y el ngulo opuesto a uno de ellos A.4. Se conocen los tres ngulos A, B y C.5. Se conocen dos ngulos A y B, y el lado comn c.6. Se conocen dos ngulos A y B, y el lado opuesto a uno de ellos a.C

a

b

BO

c

A

Los casos 4,5 y 6 se reducen a los1, 2 y 3, considerando los tringulos polares. Basta pues resolver los tres primeros, para ello se utilizan los siguientes grupos de frmulas.I. Formula de Bessel:...

II. Formulas del Seno:

III. Analoga de Neper:

;

Lados y vrtices de un tringulo esfrico:

Los lados son los arcos del circulo mximo que lo forman y su punto de intercesin son sus vrtices y los ngulos correspondientes suelen designarse por las maysculas A, B y C y los lados opuestos a ellos con minsculas a, b y c.

Un lado de un tringulo esfrico es menor que la suma de los otros dos. Los lados de un tringulo esfrico, si bien son arcos de Ciclo, se consideraran como medidas angulares. En caso de querer conocerla medida de longitud del arco bastara multiplicar por el radio de la esfera.Cuando se unen mediante rectas el centro O de la esfera con los vrtices de un tringulo esfrico A, B y C, se forma un ngulo triedro que est asociado al tringulo esfrico ABC; los lados del tringulo esfrico a; b y c son precisamente los ngulos de las caras.

Tringulos polares:

Dos tringulos esfricos se llaman polares cuando los polos de los lados de uno son los vrtices del otro, tomando los polos de los hemisferios que contienen al triangulo. Los lados y los ngulos de un triangulo esfrico polar son los suplementarios del los ngulos y los lados del otro, es decir:

Dado un triangulo ABC de lados a, b y c se determina un triangulo polar a aquel cuyo lados ap, bp y cp son suplementarios de los vrtices A,B y C del triangulo dado, y los vrtices Ap, Bp y Cp son suplementarios de los lados a, b, c; es decir:

Cp

CAp

A

B

Bp

Meridiano: Son los semicrculos mximos que pasan por los polos de cualquier esfera o esferoide de referencia.

Exceso esfrico: La suma de los ngulos de un tringulo esfrico A+B+C, es mayor que dos rectos. A la diferencia (A+B+C) 2R= E. A E se le llama exceso esfrico.Defecto esfrico:La suma de los lados de un tringulo esfrico a+b+c es menor que cuatro rectos. Se le llama permetro y se designa por 2p (p es el semipermetro). A la diferencia 360-2p se le llama defecto esfrico y se designa por.

rea de triangulo esfrico:Un tringulo esfrico ABC, de rea S nace a partir de tres crculos mximos en una esfera. El ngulo total A es 2P y el rea de la esfera es 4PR2, por tanto el rea delimita por los dos crculos que se cortan en A ser:

Tringulo esfrico rectnguloAl tringulo esfrico con al menos un ngulo recto, se lo denomina tringulo rectngulo. En un tringulo esfrico sus tres ngulos pueden ser rectos, en cuyo caso su suma es 270. En todos los otros casos esa suma excede los 180 y a ese exceso se lo denomina exceso esfrico; se expresa por la frmula:E: E=++ 180.Cualquier tringulo esfrico puede descomponerse en dos tringulos esfricos rectngulos.

Teorema de los senos:Los senos de los ngulos son proporcionales a los senos de los lados opuestos: = = Sen(C) Sen(c) Sen(B) Sen(b) Sen(a) Sen(A)

Dem.: Sea un tringulo esfrico ABC y su triedro asociado:

Desde B trazamos la perpendicular BP al plano OAC. Desde B trazamos la perpendicular BN a OC. La recta PN es perpendicular a OC en virtud del teorema de las 3 perpendiculares."BN = r.sen (a); BP = BN.sen(C) = r.sen (a).sen(C)Si repitiramos el razonamiento anterior usando la cara OBA (en vez de la OCB que hemos usado), el papel de C pasara a A, y el de a a cBP = r.sen(c).sen(A).Igualando las dos expresiones de BP; y dividiendo por r:Sen(a).sen(C) = sen(c).sen(A)= Sen(C) Sen(a) Sen(A)

Sen(c)

Sen(B) = Sen(A)

y dado que C y B juegan papeles ntercambiables, tambin:Sen(b) Sen(a)

Teorema de los cosenos de los lados.Cos(a) = cos(b).cos(c) + sen(b).sen(c).cos(A)Cos(b) = cos(a).cos(c) + sen (a).sen(c).cos (B)Cos(c) = cos(a).cos(b) + sen(a).sen(b).cos(C)Dem.: Sea un tringulo convexo y su triedro asociado:

OM = r.cos(a); ON = r.cos(c); NP = r sen(c).cos(A)OB = ON + NP + PB (suma vectorial).L a proyeccin de esta suma ser la suma de proyecciones de los sumandos.Proyectamos sobre OC:r.cos(a) = r.cos(c).cos(b) + r.sen(c).cos(A).sen(b) Y dividiendo por r obtenemos lo que queramos demostrar. Por rotacin de letras obtenemos las igualdades restantes.(Teorema de los cosenos de los ngulos):Cos(A)= - cos(B).cos(C) + sen(B).sen(C).cos(a)Cos(B)= - cos(A).cos(C)+ sen(A).sen(C).cos(b)Cos(C)= - cos(A).cos(B)+ sen(A).sen(B).cos(c)

Teorema de la cotangenteLa frmula de la cotangente tambin se denomina frmula de los elementos consecutivos. Ver en la figura los siguientes elementos consecutivos:ngulo; lado AB; ngulo; lado BC.

Cosenos de los elementos medios, es igual a: seno del ngulo medio por la cotangente del otro ngulo, menos seno del lado medio por la cotangente del otro lado.ngulo mitad

Con signo + si est en el I o en el II cuadrantes. Con signo si est en el III o en el IV cuadrantes.

Con signo + si est en el I o en el IV cuadrantes. Con signo si est en el II o en el III cuadrantes.

Con signo + si est en el I o en el III cuadrantes. Con signo si est en el II o en el IV cuadrantes.Analogas de Neper.El pentgono de Neper es una regla nemotcnica para resolver tringulos esfricos rectngulos; toma este nombre en memoria del cientfico ingls John Napier, y se construye de la siguiente forma:Se colocan en cada sector circular: cateto - ngulo - cateto - ngulo - cateto, consecutivamente, tal como aparecen ordenados en el tringulo, exceptuando el ngulo recto C.Se remplazan los ngulos B, C, y la hipotenusa a por sus complementarios:B por (90 - B)C por (90 - C)a por (90 - a)Se establecen dos reglas: el seno de un elemento es igual al producto de las tangentes de los elementos adyacentes:Seno(a) = tg (b) tg(90 - B), o su equivalente: seno(a) = tg(b) ctg(B) el seno de un elemento es igual al producto de los cosenos de los elementos opuestos:Seno(a) = coseno (90 - A) coseno (90 - c), o su equivalente: seno(a) = seno(A) seno(c)Analogas de Gauss-Delambre y de Neper.Las cuatro analogas de Gauss-Delambre, para un tringulo de lados l1, l2, l3 y ngulos A1, A2, A3. Se expresan por:

Resolucin de tringulos esfricos rectngulos

Sustituyendo los valores de las funciones trigonomtricas del ngulo recto en las frmulas obtenidas en el captulo anterior se obtendrn las correspondientes expresiones que permiten resolver los tringulos esfricos rectngulos. Sin prdida de generalidad supondremos A1 = 90.En todo tringulo esfrico rectngulo se verifican las siguientes relaciones:i) Cosl1 = cosl2 cosl3ii) Senl2 = senl1 senA2iii) tanl2 = tanl1 cosA3iv) tanl2 = senl3 tanA2v) cosl1 = cotA2 cotA3vi) cosA2 = senA3 cosl2

Como en todo tringulo esfrico rectngulo existe siempre un elemento conocido a priori, el ngulo recto, ser suficiente que conozcamos dos de los cinco elementos restantes para que el tringulo quede determinado por completo.Las combinaciones esencialmente distintas a que esos cinco elementos darn lugar vienen dadas por el conocimiento de la hipotenusa y un cateto; o los dos catetos; o la hipotenusa y un ngulo oblicuo; o un cateto y el ngulo oblicuo adyacente; dos ngulos oblicuos; o, finalmente, un cateto y el ngulo oblicuo opuesto.

En todo tringulo esfrico rectngulo el nmero de lados superiores a 90 es siempre par; esto es, o son los tres lados menores que 90, o tan solo uno de ellos lo es.Demostracin. Pueden ocurrir los siguientes casos:

Tringulos esfricos oblicuos:Un triangulo oblicuo es aquel que no es recto ninguno de sus ngulos, por lo que no se puede resolver directamente por el teorema de Pitgoras, el triangulo oblicuo se resuelve por leyes del seno y del coseno, as como el que la suma de todos los ngulos internos de un triangulo suman 180 grados.

Resolucin de tringulos esfricos oblicungulos:Entenderemos por tringulos esfricos oblicungulos aquellos que no tienen ningn ngulo recto. Cuando alguno de sus lados lo sea, se resuelve aplicando los mtodos explicados en el tema anterior.En general, un tringulo esfrico oblicungulo puede resolverse, de forma directa, mediante la aplicacin de las expresiones obtenidas en el tercer tema, u otras deducidas a partir de stas, o tambin, resolviendo los dos tringulos esfricos rectngulos que se obtienen al trazar desde uno de sus vrtices el arco de crculo mximo perpendicular al lado opuesto, denominado perpendculo.Cuando el tringulo oblicuo sea issceles, o si entre los elementos dados existen dos lados o dos ngulos suplementarios, no ser necesario resolver los dos tringulos rectngulos obtenidos al trazar el perpendculo. Bastar con resolver uno de ellos, pues a partir de los elementos calculados de ste se obtienen, de forma inmediata, los elementos del propuesto.En cualquier caso, para la resolucin de un tringulo esfrico ser suficiente conocer tres de sus elementos: los tres lados, los tres ngulos, dos lados y el ngulo comprendido, un lado y los ngulos adyacentes, dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos, o dos ngulos y el lado opuesto a uno de ellos. En realidad, estos seis casos pueden reducirse a tres al considerar el tringulo polar al dado.Una consecuencia inmediata de la dependencia entre los distintos elementos de un tringulo es que una pequea variacin en cualquiera de los elementos conocidos producir una variacin en los elementos desconocidos.

Aplicaciones de tringulos esfricos en la navegacin:

El problema de la posicin.El problema de determinar la posicin de un lugar de la esfera terrestre respecto un sistema de coordenadas fijo fue ya investigado, y en buena medida resuelto, en la Antigedad. Los conocimientos astronmicos en la Antigua Grecia estaban muy desarrollados, tanto en el aspecto terico como en el observacional. Muchos de los conceptos que hoy utilizamos, y que a continuacin describiremos, fueron introducidos en aquellos tiempos.Para resolver el problema de la posicin debemos mirar al exterior de la esfera terrestre, puesto que no es posible establecer las coordenadas de un lugar en una esfera haciendo uso solo de sus propiedades intrnsecas. Cuando miramos a las estrellas en una noche oscura y ntida, tenemos la impresin de que las estrellas son puntos de luz situados en una bveda por encima de nosotros. Aunque esto no sea as, pues las distancias entre la Tierra y las diferentes estrellas son distintas, resulta ventajoso manejar esta idea.Considerando una esfera de radio suficientemente grande, la cual contiene a todas las estrellas, podemos proyectar sobre la misma todos los objetos que observamos en el cielo de modo que, mediante la introduccin de un sistema de coordenadas, podamos expresar su posicin en el firmamento. La esfera en cuestin se denomina esfera celeste.La esfera celeste hereda de un modo natural las coordenadas geogrficas de la Tierra.Si consideramos el plano que contiene al Ecuador terrestre, su interseccin con la esfera celeste ser el ecuador celeste. Anlogamente, podemos definir los polos Norte y Sur celestes como la interseccin del eje terrestre con la esfera celeste, y tambin los equivalentes a los meridianos y paralelos de la esfera terrestre, que se conocen como meridianos celestes o crculos horarios y paralelos de declinacin, respectivamente. El sistema de coordenadas resultante se conoce como sistema de coordenadas ecuatoriales.

Introduccin

Objetivo general es Conocer y aplicar las relaciones en los tringulos, los teoremas del seno y del coseno, las analogas y las resoluciones de los tringulos esfricos, as como los principios de los mismos y su integracin a las ciencias exactas y la ingeniera. El objetivo que se quiere es que el alumno adquirir la habilidad para reconocer y resolver los diferentes tipos de tringulos esfricos. Con todos estos puntos aprendidos a resolver un triangulo esfrico y como cada una de sus partes son importantes y cada uno de los puntos nos ayudan a resolver los distintos problemas.

Conclusin Gracias a este trabajo el alumno ha refrescado su conocimiento sobre el mismo ya que es de suma importancia en el momento de realizar los diferentes tipos de problemas. Es por eso que la geometra es una materia que se aplica en la vida cotidiana porque en todo momento la usamos sea para bien o para mal.

BibliografaLibro: Navegacin astronmica Autor: Henrique Domnguez G Editorial: Yepes. Libro: Trigonometra Esfrica Autor: P. Crantz www. Google.com

Anexos: