Trompos esféricos, simétricos y...
32
Trompos esféricos, simétricos y asimétricos García Rosales Saúl Iván Hurtado Delgado José Antonio Jiménez Martínez Oscar David Morán Muñoz Julio Andrés González Mojica Norberto
Transcript of Trompos esféricos, simétricos y...
Trompos esféricos, simétricos y asimétricos
García Rosales Saúl Iván
Hurtado Delgado José Antonio
Jiménez Martínez Oscar David
Morán Muñoz Julio Andrés
González Mojica Norberto
Contenido• Introducción
El rotor rígido
¿Qué es un trompo?
• Trompos
Esférico
Simétrico oblato y prolato
Asimétrico
25/09/2018
2
IntroducciónEl rotor rígido y definición de un trompo
25/09/2018
3
Simplificando un problema de dos partículasConsiste en dos partículas de masa m1 y m2, separadas por unadistancia r que viene definida por una serie de coordenadas relativas alas dos partículas. Entre ambas partículas existe un centro de masa(C), a través del cual pasa un eje de magnitud R.
25/09/2018
4
Para el caso de este sistema de dos partículas, se pueden separar lascontribuciones del movimiento traslacional del sistema como un todo de masa M yel movimiento relativo interno con dos operadores hamiltonianos de la siguientemanera:
Resolviendo la ec. de onda, se obtiene la energía traslacional:
25/09/2018
5
El rotor rígidoEl rotor rígido es un sistema formado por dos cuerpos m1 y m2 unidospor una barra sin masa de largo R, y girando en cualquier direcciónpero con el centro de masa fijo.
25/09/2018
6
El Hamiltoniano asociado al sistema tiene la forma:
Como V = 0, en este caso la función de onda para este sistema viene dada por:
Dado que se considera que r no cambia (movimiento vibracional), no se considera su contribución.
25/09/2018
7
Dado que:
Entonces:
25/09/2018
8
Cuantización de la energía en el rotor rígidoDebido a lo anterior, los niveles de energía permitidos son:
Si el sistema de coordenadas se fija
de tal manera que el centro de masa
esté en el origen, se obtiene la
representación:
25/09/2018
9
Los niveles rotacionales de una molécula se pueden aproximar bien, mediante las energías del rotor rígido de dos partículas. Entonces, cuando una molécula absorbe o emite radiación, las transiciones de rotación pura permitidas cumplen ΔJ=±1
Para que presenten un espectro de rotación pura, las moléculas deben poseer un momento dipolar diferente de cero. Entonces las frecuencias de las líneas espectrales de rotación pura de una molécula diatómica son, aproximadamente:
25/09/2018
10
La ecuación de Schrödinger:
Donde E= Evib + Erot
Es transformada a otro sistema de coordenadas:
Polares: (x, y) →(θ,ϕ)
Esféricas:
25/09/2018
11
El Hamiltoniano se transforma por regla de la cadena y ecuaciones de transformación (movimiento interno)
25/09/2018
12
El momento de Inercia (I)Para un sistema de n partículas con respecto a un eje en el espacio, I se define como:
Donde mi es la i-ésima partícula y ρi es la distancia perpendicular al eje.
El eje cruza por el centro de masa C
25/09/2018
13
¿Qué es un trompo?Objeto que gira en torno a si mismo, con respecto a su eje de simetría.
25/09/2018
14
Los trompos y los momentos de inercia
Las direcciones propias de la rotación proporcionan un marco de ejes que definen un elipsoide según la ecuación:
𝐼𝑎𝑎2 + 𝐼𝑏𝑏
2+ 𝐼𝑐𝑐2=1
El tamaño de los ejes de este elipsoide permite clasificar las moléculas en:
Esféricas
Simétricas
Asimétricas
25/09/2018
15
TromposEsféricos, simétricos y asimétricos
25/09/2018
16
El trompo esférico
Cuando los momentos de inercia son iguales, es decir: 𝐼𝑎 = 𝐼𝑏 = 𝐼𝑐
El Hamiltoniano se escribe como:
Y la ecuación de Schrödinger tiene la forma:
Donde el momento de inercia sobre cualquier eje respecto a c es igual.
Y la energía está cuantizada de la misma manera que el rotor rígido:
25/09/2018
17
Como el operador Hamiltoniano de rotación y los operadores de momento angular conmutan entre sí, se pueden denotar mediante la notación de Dirac usando las funciones propias de rotación J, M, K.
ห𝐻𝑟𝑜𝑡 ۧ𝐽𝑀𝐾 = ȁ𝐸𝑟𝑜𝑡 ۧ𝐽𝑀𝐾
Dada la identidad de los tres términos de momento de inercia:
En este caso, la energía sólo depende de J.
25/09/2018
18
Moléculas que actúan comotrompos esféricosTienen tres o más ejes de rotación de orden >2
25/09/2018
19
Trompos simétricosExisten dos tipos de trompos simétricos dependiendo de los valores de momento inercial: 𝐼𝑎 = 𝐼𝑏 < 𝐼𝑐 y 𝐼𝑎 < 𝐼𝑏 = 𝐼𝑐
Los primeros son conocidos como trompos oblatos o achatados mientras que los otros son prolatos o alargados.
25/09/2018
20
Trompo simétrico oblatoEl Hamiltoniano que describe a estos trompos es:
Como los operadores de momento angular conmutan, forman un conjunto de operadores compatibles con las funciones JMK con una degeneración en el nivel K.
25/09/2018
21
Trompo simétrico prolato
El Hamiltoniano que describe a estos trompos es similar al oblato:
Como resultado de la proporción de momentos de inercia, sólo hay que intercambiarlos operadores de momento angular a por el de c. Pero dado que las funcionespropias son las mismas |JMK>, la energía se puede escribir de la manera similaral trompo anterior.
25/09/2018
22
Moléculas como trompos simétricos
Oblatos Prolatos
Benceno
Amoniaco
1-propino
25/09/2018
23
Yodometano
Trompos asimétricosSe caracterizan por presentar 𝐼𝑎 ≠ 𝐼𝑏 ≠ 𝐼𝑐
Cuyo Hamiltoniano tiene la forma:
Ĥ𝑟𝑜𝑡 = ħ−2 𝐴𝑒Ĵ𝑧2 + 𝐵𝑒Ĵ𝑥
2 + 𝐶𝑒Ĵ𝑦2
Y para evaluar una función de onda de una molécula asimétrica, se requiere hacer una combinación lineal de funciones de onda de trompos simétricos, usando las funciones JKM.
𝜑𝑖𝐽𝑀 =
𝐾=−𝐽
𝐽
𝑐𝐾𝑖ȁ ۧ𝐽𝐾𝑀
25/09/2018
24
Para resolver la ecuación de Scrhödinger se arma una matriz Hamiltoniana con base a funciones de onda de trompos simétricos, se diagonaliza y se obtiene la energía y las funciones de onda. Se reescribe el hamiltoniano con base en ȁ ۧ𝐽𝐾𝑀 :
Ĥ𝑟𝑜𝑡
= ħ−2 𝐵𝑒 + 𝐶𝑒 /2 Ĵ2 + 𝐴𝑒 − 𝐵𝑒 + 𝐶𝑒 /2 Ĵ𝑧2 + 𝐵𝑒 + 𝐶𝑒 /4 Ĵ𝑚
+ 2+ Ĵ𝑚
− 2
Para cada J tendremos estados (2J + 1) en K y M, la base debe construirse como combinaciones lineales de ±𝐾 para ser funciones propias de los operadores presentados en Ĥ𝑟𝑜𝑡.
Esto produce una ecuación secular:
𝑑𝑒𝑡 𝐻𝐾´𝐾´´ − 𝐸𝑖𝛿𝐾´𝐾´´ = 0
Donde:
𝐻𝐾´𝐾´´ = ψ𝐽𝑀𝐾´ Ĥ ψ𝐽𝑀𝐾´´
25/09/2018
25
Energía Rotacional• Si se evalúa la integral 𝐻𝐾´𝐾´´ con funciones de onda conocidas se
obtiene:
25/09/2018
26
Energía rotacional• Por cada J y M, se arregla las energías 2J+1 en orden de valor
creciente, se añade la marca τ para cada función de onda de trompoasimétrico para indicar que energía le corresponde:
ψ𝑖 = ψ𝐽𝑀τ
La convención es que el rango de τ de –J a+J tal que incremente laenergía.
25/09/2018
27
Ejemplo: Para J=1 se tiene que K=-1,0,1. Se escriben las funciones en expansion:
Se evaluan los elementos de la matriz:
Resolviendo el determinante se obtiene:
𝐸 = ℎ 𝐵 + 𝐶 , ℎ 𝐴 + 𝐶 , ℎ(𝐴 + 𝐵)
Energía Rotacional
25/09/2018
28
Energía rotacional
25/09/2018
29
Correlación de Energía• La energía puede ser interpolada entre los niveles de energía de un
trompo achatado y alargado.
• Se hace uso del parámetro de Ray (K) para dar el grado de simetríadel trompo:
𝐾 =2𝐵 − 𝐴 − 𝐶
𝐴 − 𝐶
𝑇. 𝑠𝑖𝑚. 𝑎𝑙𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜 − 1 ≤ 𝐾 ≤ 1 𝑇. 𝑠𝑖𝑚. 𝑎𝑐ℎ𝑎𝑡𝑎𝑑𝑜
25/09/2018
30
Diagrama de correlación
25/09/2018
31
Bibliografía• Levine,I.N. MolecularSpectroscopy. John Wiley & Sons. Estados
Unidos,1975.
• Levine,I.N.QuímicaCuántica (5ªEdición) Prentice Hall. España, 2001.
• Atkins,P.;Friedman,R.MolecularQuantumMechanics (4thEdition) Oxford University Press. Estados Unidos, 2005.
• Engel, T.; Reid, P. Química Física. Pearson Educación. España, 2006.
• Butikov, E. Internal rotation of a rigid body. Eur. J. Phys. 27, 913-922. 2006.
• Lowe P. Quantum Chemistry (2nd edition). Academic Press. EstadosUnidos, 1993. 25/09/2018
32
