Resolución de Triángulos Resolución de Triángulos esféricos rectángulosesféricos rectángulos

Tema 4Tema 4

4.1. Caso 1: Se conoce la hipotenusa a y un cateto b .

Cálculo de c :

Por medio de Neper : cos a = sin(90º - b) sin(90 – c)

→ cos a = cos b cos c.

b

ac

cos

coscos

Cálculo de B :

Por medio de Neper : cos (90º - b) = sin a sin B

→ sin b = sin a sin B.

a

bB

a

bB

sin

sinarcsin

sin

sinsin

c < 90º si cos a/cos b =(+) ; c > 90º si ( X) =(-)

B está en el mismo cuadrante que b (pues según la propiedad 2 ángulo y lado opuesto son de la misma especie).

Cálculo de C :

Neper : cos C = ctg a ctg (90º - b)

a

bC

a

bC

tan

tanarccos

tan

tancos

Ejemplo:

Resolver el triángulo esférico rectángulo:

b = 158º 22’ 04”

a = 122º 36’ 07”

Solución:

57961.092956.0

53879.0

cos

coscos

43759.084243.0

36864.0

sin

sinsin

25363.056353.1

3957.0

tan

tancos

b

ac

a

bB

a

bC → C = 75º 18’ 25”

→ B = 154º 02’ 59”

→ c = 54º 34’ 59”

Forma de operar con la calculadora:

Partiendo de 0.25363 →

→ 75.30712 Nos resulta: 75º

Ahora hacemos: 0.30712 x 60

→ 18.4272 Resulta: 18 ‘

Finalmente hacemos: 0.4272 x 60

→ 25.632 Resulta: 25.6”

Resultado: 75º 18’ 25.6”

acos

4.2. Caso 2: Se conoce los dos catetos b y c.

Cálculo de a :

Neper : cos a = sin(90º - b) sin(90 – c)

→ cos a = cos b cos c.

Cálculo de B :

Neper : cos (90º - c) = ctg B ctg (90º - b)

c

bBbBc

sin

tantantancotsin

Para la especie se analizarán los signos (+.-, etc).

Cálculo de C :

cos (90º - c) = ctg C ctg (90º - c) → sin b = ctg C tg c

b

cC

sin

tantan

Ejemplo:

Resolver el triángulo esférico rectángulo:

c = 40º 44’ 06”

b = 64º 48’ 03”

Solución:

95176.090483.0

86119.0

sin

tantan

43759.065256.0

12518.2

sin

tantan

32261.042576.0*75773.0cos.coscos

b

cC

c

bB

bca → a = 71º 10’ 45”

→ B = 72º 55’ 49”

→ C= 43º 35’ 04”

4.3. Caso 3: Se conoce la hipotenusa a y un ángulo B.

Cálculo de b :

Neper : cos (90º - b) = sin a sin B

→ sin b = sin a sin B.

Cálculo de c :

Neper : cos B = ctg a ctg (90º - c) → cos B = ctg a tg c

→ tg c = cos B tg a [La especie : regla de los signos]

El lado b es de la misma especie que B.

Cálculo de C :

cos a = ctg B ctg C 1

tancos tan

Ca B

C es de la misma especie que c.

Ejemplo:

Resolver el triángulo esférico rectángulo:

c = 152º 24’ 04”

b = 68º 38’ 02”

Solución: sin sin .sin 0.93127 * 0.46327 0.43142

1 1tan 0.44144

cos tan ( 0.88621)*2.55614

tan cos tan 0.36432.*( 0.52276) 0.19045

b B a

Ca B

c B a

→ b = 25º 32’ 30”

→ C = 156º 10’ 52”

→ c= 169º 13’ 01”

4.4. Caso 4: Se conoce los dos ángulos B y C (*).

Cálculo de a (hipotenusa) :

Neper : cos a = ctg B ctg C

Cálculo de b :

Neper : cos B = sin C sin (90º - b) → cos B = sin C cos b

La especie de a: : por la regla de los signos.por la regla de los signos.

Cálculo de c :

cos C = sin B sin (90º - c) cos

cossin

Cc

B

.

1cos

tan tana

B C

coscos

sin

Bb

C

La especie de b y c es la misma que la de sus ángulos opuestos.

Ejemplo:

Resolver el triángulo esférico rectángulo:

C = 67º 38’ 08”

B = 155º 12’ 06”

Solución:

→ a = 152º 56’ 25”

→ b = 168º 59’ 49”

→ c= 24º 52’ 53”

1 1

cos 0.89053tan tan ( 0.46202)* 2.43046

cos 0.90778cos 0.98161

sin 0.92478cos 0.38049

cos 0.90718sin 0.41942

aB C

Bb

CC

cB

4.5. Caso 5: Se conoce un cateto, b, y el ángulo opuesto al otro, C .

Cálculo de a (hipotenusa) :

Neper : cos C = ctg a ctg (90º - b)

Cálculo de c :

Neper : cos (90º - b) = ctg C ctg (90º - c) → sin B = ctg C tg c

→ tg c = sin b tg C

La especie de a: : por la regla de los signos.por la regla de los signos.

Cálculo de B :

cos B = sin C sin (90º - b) → cos B = sin C cos b

.

tantan

cos

ba

C

c se halla en el mismo cuadrante que C; B en el mismo que b .

Ejemplo:

Resolver el triángulo esférico rectángulo:

b = 121º 42’ 05”

C = 154º 08’ 06”

Solución:

→ B = 103º 15’ 09”

→ a = 60º 56’ 09”

→ c = 157º 35’ 05”

cos sin *cos 0.43625 ( 0.52549) 0.22924

tan 1.61905tan 1.79930

cos 0.89982tan sin * tan 0.85079*( 0.48481) 0.41247

B C b

ba

Cc b C

4.6. Caso 6: Se conoce un cateto, b, y su ángulo opuesto, B .

Cálculo de a (hipotenusa) :

Neper : cos (90º - b) = sin a sin B

Cálculo de c :

Neper : cos (90º - c) = ctg B ctg (90º - b)

→ sin c = ctg B tg b

Cálculo de C :

cos B = sin C sin (90º - b) → cos B = sin C cos b

.

sinsin

sin

ba

B

Como b, B son de la misma especie (+/+ = +, -/- = +) → sin a, sin c y sin C = (+), sin embargo los ángulos pueden ser <90º ó >90º .

tansin

tan

bc

B

cossin

cos

BC

b

4.7. Discusión del caso 6.

I) b<90º, B>90º

sinsin 1

sinsin

sin 1sinsin

sin 1sin

bb B a

Bb

b B aBb

b B aB

No tiene solución

Una “solución” a = 90º

Dos soluciones 1

2

90º

90º

a

a

II) b = 90º → Triángulo birrectángulo (se estudia más adelante)

III) b > 90º y B > 90º

sinsin 1

sinsin

sin 1sinsin

sin 1sin

bb B a

Bb

b B aBb

b B aB

No tiene solución

Una “solución” a = 90º

Dos soluciones

Cuando hay dos soluciones, debe tenerse en cuenta:

* Lado y ángulo opuesto son de la misma especie.

* La hipotenusa es aguda si los catetos son de la misma especie, obtusa en caso contrario.

1

2

90º

90º

a

a

Ejemplo:

Resolver el triángulo esférico rectángulo:

b = 46º 46’ 04”

B = 57º 28’ 03”

Solución:

b < 90º y b < B → sin

sin 1sin

ba

a → dos soluciones.

sin 0.72858sin 0.86418

sin 0.84308

ba

B

a1 = 59º 47’ 25”

a2 = 120º 12’ 35” [180º - a1]

67847.056777.1

06369.1

tan

tansin

B

bc c1 = 42º 43’ 28”

c2 = 137º 16’ 32” [180º - c1]

]78512.068495.0

53777.0

cos

cossin

b

BC C1 = 51º 43’ 55”

C2 = 128º 16’ 05” [180º - C1]

Las dos soluciones son:

a1 = 59º 47’ 25” (hipotenusa aguda) c1 = 42º 43’ 28”C1 = 51º 43’ 55”

Y la otra:

a2 = 120º 12’ 35” (hipotenusa obtusa)

c2 = 137º 16’ 32”

C2 = 128º 16’ 05”

Recordar: b = 46º 46’ 04” (< 90º)

B = 57º 28’ 03”

Triángulos rectilaterosTriángulos rectilateros

Propiedades y resoluciónPropiedades y resolución

4.8 Resolución de triángulos esféricos rectiláteros. ( a = 90º)

El pentágono de Neper pasa a ser:

Las reglas son las mismas

Ejemplo:

Resolver el triángulo esférico rectilatero:

c = 60º 34’ 09”

B = 122º 18’ 08”

Solución:

cos c = ctg(180º – A) ctg(90º – B) →

cos b = sin c cos B = 0.87095 * (-0.53438) = -0.46542 → b = 117º 44’ 14”

tan C = tan c sin B = 1.77248 * 0.84524 = 1.49817 → C = 56º 16’ 40”

21896.3cos

tantan

c

BA → A = 72º 44’ 31”

Propiedades de los triángulos rectiláteros

Sea ABC un triángulo rectilatero (a = 90º) → su polar A’B’C’ es triáng. rectángulo:, además se verifica:

A’ = 180º - 90º a’ = 180º - A

B’ = 180º - b b’ = 180º - B

C’ = 180º - c c’ = 180º - C

1) Ningún ángulo puede ser cuadrantal (90º)

a’ ≠ 90º → 180º - A ≠ 90º → A ≠ 90º

b ≠ 90º → 180º - B ≠ 90º → B ≠ 90º

c’ ≠ 90º → 180º - C ≠ 90º → C ≠ 90º

2) Lado y ángulo opuesto son de la misma especie (ambos menores o mayores que 90º)

B’ < 90º y b’<90º → 180º - B < 90º y 180º - b < 90º

→ B > 90º y b > 90º

Análogamente B’>90º y b’>90º → B < 90º y b < 90º

3) O los tres ángulos son mayores de 90º, o sólo uno de ellos es mayor de 90º (los otros dos menores)

De la fórmula: cos A = - cos B . cos C

- = - (-) . (-) → A, B, C >90º

- = - (+) . (+) → A>90º

+ = - (+) . (-) → C>90º

+ = - (-) . (-) → B>90º

4) Si los ángulos B y C son de la misma especie → A obtuso

Si “ “ “ B y C “ “ distinta “ → A agudo

Según la propiedad 3:

A > 90º →

5) Un ángulo B es menor que su lado opuesto b si ambos B, b < 90º

“ “ B es mayor “ “ “ “ b si B, b > 90º

º90º90

º90º90

CB

CB y

y

A < 90º 90º 90º

90º 90º

B C

B C

6) El ángulo A está comprendido entre cada uno de los ángulos y sus suplementarios respectivos

7) La suma de los dos lados b y c está comprendida entre 90º y 270º, y la diferencia es menor que 90º.

Si B en el cuadrante I: B < A < 180º - B

Si B en cuadrante II: 180 - B < A < B

Demostración: sin B = sin b sin A →

sin B < sin AA

Bb

sin

sinsin

90º < B’ + C’ < 270º → 90º < 180º - b + 180º - c < 270º →

90º < 360º - b - c < 270º →

-270º < - b - c < -90º →

90º < b + c < 270

Ejemplo: Discutir y resolver el triángulo esférico rectilatero:

c = 69º 15’ 02”

C = 56º 45’ 04”

Solución:

A: cos(90º - C) = sin(180º - A) sin c

c, C < 90º y c > C → sin c > sen C →

c

CA

sin

sinsin

º90

º901

sin

sinsin

2

1

A

A

c

CA

89430.093513.0

83629.0

sin

sinsin

c

CA

"51'34º116

"08'25º63

2

1

A

A

b: cos c = sin b sin (90º - C) = sin c cos C

"45'44º139

"14'15º4064617.0

cos

cossin

2

1

b

b

C

cb

B: cos (90º - B) = ctg c ctg (90º - C)

1

2

35º 18' 3"tansin 0.57787

144º 41' 56"tan

BCB

Bc

Solución 1: A1, B2, b2 .

Solución 2: A2, B1, b1.

Ejemplo 2º: Discutir y resolver el triángulo esférico rectilatero:

A = 51º 25’ 42”

B = 47º 33’ 12”

Solución:

B < 90º → b < 90º ; y A < 90º →

Ángulos menores de 90º → C > 90º → c > 90º

c: cos c = ctg(180º - A) ctg(90º - B) →

c = 150º 41’ 02”

87193.093513.0

83629.0

tan

tancos

A

Bc

b: cos (90º - B) = sin b sin(180º - A) →

C: cos(180º - A) = sin(90º - B) sin(90º - C) → - cos A = cos B cos C

"46'17º108

"14'42º7087193.0

sin

sinsin

2

1

b

b

A

Bb

→ no valida

"31'29º15792382.0cos

coscos C

B

AC