INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA

ELEMENTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA OJO:

1. El Punto:

Se representa mediante un “.” Se denota a través de una letra mayúscula.

Ejemplos:

. A . Z

Punto A Punto Z

- Del gráfico dado, ¿cuáles son los puntos más elevados del poste, la casa y el árbol?Poste......................... casa.............. árbol........................

- Según el gráfico, ¿cuáles son los tres puntos más elevados que se observan?...............................................................................................................................

- Según el gráfico, ¿cuáles son los cuatro puntos más bajos y en qué lugar están ubicados?

Punto___________________ ubicado en: .............................................................................Punto___________________ ubicado en: .............................................................................Punto___________________ ubicado en: .............................................................................Punto___________________ ubicado en: .............................................................................

Aplicación:

-Indique usted a continuación cuatro ideas de punto.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Recuerda que el punto, la recta y el plano no se

definen, tan sólo tenemos una idea de éstos.

I. 2. La Recta:

Se representa a través de una flecha de doble sentido. Se denota con dos puntos o una letra.

Ejemplos:

Recta AB Recta PQ Recta a Recta L

TIPOS DE RECTA:

Rectas Paralelas: Rectas Perpendiculares:

L1

L2

_____________________________ __________________________________________________________ _____________________________

Rectas Secantes

_______________________ _______________________

_______________________ _______________________

APLICACIÓN:

- Dados dos puntos ¿Cuántas rectas determinan dichos puntos?_______________________________________________________________________________

- ¿Cuántos puntos están contenidos en una recta?_______________________________________________________________________________

- Indica “V” ó “F”

Por un punto pasan infinidad de rectas ( ) La recta posee un solo sentido ( ) La recta se extiende indefinidamente en ambos sentidos ( ) Por un punto pasa una sola recta ( )

3. El Plano:

Se representa una parte del plano por medio de un paralelogramo (cuadrilátero) Se denota a través de una letra mayúscula o de las cuatro letras de sus vértices.

Ejemplos:

APLICACIÓN:

- Indique usted a continuación tres ideas de plano:______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

- Observa la figura y responde:A B

D C

H G

E F

a) ¿Cuántos planos puedes ubicar? Nómbralos ................................................................

b) ¿Qué planos tienen como vértice al punto “F”? ................................................................

c) ¿Qué planos se encuentran delimitados por el segmento “HG”? ........................................

EJERCICIOS PARA LA CLASE

1. En punto “A” indicado, graficar tres rectas que pasen por dicho punto.

+ A

2. Trazar una recta que una los puntos “P” y “Q” indicados.

+ P

+ Q

3. ¿Cuántas rectas pueden trazarse de tal manera que se unan los puntos “A”, “B” y “C”?

A +

+ C

+

B

4. Con la ayuda de una regla graduada en centímetros, dibujar un segmento que mida 5 cm y con la ayuda de un compás determinar su punto medio.

5. Utilizando una regla graduada en centímetros y un compás, dibujar un segmento de 8 cm y por su punto medio trazar una recta perpendicular.

6. En la figura mostrada, indicar todos los segmentos que se determinan con los puntos dados.

A B C D

.................................................................

.................................................................

7. Que figura se forma si se tiene una sucesión ilimitada de puntos que tienen una misma dirección.

.................................................................

.................................................................

8. Dibuja tres rectas que se corten de dos en dos.

9. Se tiene:

10. Según la figura dada, indicar los puntos que pertenecen a cada recta completando el siguiente cuadro.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. ¿Cuántas rectas pueden pasar por el punto “A”?

.A

Rpta. ..........................................................

2. ¿Cuántas rectas pueden pasar que contengan al punto “A” y al punto “B”?

. B

. A

Rpta. ..........................................................

3. Según la figura, indica los segmentos que se determinan con los puntos dados:

________________________

P Q R S ____________

4. Observa la figura y responde:

L2

L1

G

A F D

C L3

B L4

a) nombra cuatro puntos................................................................

b) nombra dos rectas paralelas................................................................

c) nombra un plano................................................................

d) nombra dos segmentos con extremo “F”................................................................

5. Dibuja dos rectas paralelas distantes 5 cm, utilizando los instrumentos de dibujo.

6. Utilizando una regla graduada en centímetros y un compás, dibujar un segmento que mida 1,0 cm y por su punto medio trazar una recta perpendicular.

7. Se tiene:

Según la figura, indicar los puntos que pertenecen a cada recta utilizando para ello el siguiente cuadro:

8. Según la figura ¿en cuantos puntos puede cortar la recta L1 al plano “Q”?

L1

Q

SEGMENTOSSabías que la porción de recta comprendida entre dos puntos se

denomina SEGMENTO

Gráficamente:

X

P Q

Notación: Segmento PQ

Longitud de un Segmento

Expresa el tamaño o medida de un segmento. Así, del gráfico anterior, “x” es la longitud del segmento PQ; entonces AB = x. PQ: Se lee “longitud del segmento PQ”

Punto medio de un Segmento

Dado el siguiente gráfico:

P M Q

Si “M” punto medio de PM = MQ

OPERACIONES CON SEGMENTOS

P Q R

Adición:

PR = PQ + QR

Sustracción:

QR = PR – PQ

EJERCICIOS RESUELTOS

1. En una recta se tiene los puntos consecutivos A, B, C y D. Calcular BC. Si AB = 8 y AC = 22.

Solución:8

A B C D22

Los datos son:AB = 8 Hallamos la longitud de BCAC = 22 BC = AC – ABBC = ? BC = 22 – 8

BC = 14 Rpta. 14

2. Del gráfico calcular AB + CD

2

A B C D14

Solución:AB + 2 + CD = 14AB + CD = 14 – 2AB + CD = 12. Rpta. 12

3. Dados los puntos consecutivos A, B, M y C. Hallar AC si “M” es punto medio de

13 15

A B M C

Solución:

Los datos son: Hallamos BC:AB = 13 BC = BM + MCComo “M” punto medio de BC = 15 + 15BM = MC = 15 BC = 30 Rpta. 30

4. Observa la recta y calcula la longitud de

a 3a a 2a

A B C D E49

Solución:a + 3a + a + 2a = 49 Luego:

7a = 49 BC = 3a a = 7 BC = 3(7)

BC = 21 Rpta. 21

EJERCICIOS PARA LA CLASE

1. De la figura, calcular PQ

7

P Q R19

2. Si “M” punto medio de . Hallar BC

11 15

A B M C3. Si: AB = 9, AC = 20. Hallar BC

A B C D

4. Si: AD = 35, AC = 28. Hallar CD

A B C D

5. De la figura, calcular: AC

6–a

A P C 4+a

6. Si: AC = 15, AD = 21. Hallar CD

A B C D

7. Calcular BC, Si: AC = 48

a 3a

A B C

8. En la figura, si: AB = CD +1, CD = 42BC = CD, Hallar AC

A B C D

9. En la figura, si: AB = 2 BC y AC = 18;Calcular: AB x BC

A B C

10. En la figura; si: AC = 3 AB y AC = 24; Calcular BC

A B C

11. En la figura, si M es punto medio de AB; Calcular AM

2a 9–a

A M B

12. En una línea se marcan los puntos consecutivos A, B, C y D tal que AD = 5BC, AC + BD = 42. Calcular BD.

13. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B y C; si “B” es punto medio de AC y AB = 21; Calcular “AC”

14. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que AD + BC = 30 y AC = 16. Hallar BD.

15. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos E, D, S, O y N; tal que ED = ON = 2 y DS = SO = 3. Calcular EO.

16. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que BC = 4; AD = 2BC y AB = 1. Calcule CD.

17. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D tal que AC = 16 y BD = 14. Hallar AB – CD.

18. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D; tal que AC = 16, BD = 20 y BC = 10. Calcule AB x CD.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. De la figura, calcula AC 10 23

A B C

a) 30 b) 33 c) 36d) 40 e) 46

2. Del grafico, calcular BC

6

A B C 17

a) 5 b) 7 c) 9d) 11 e) 23

3. Del gráfico, si “M” es punto medio de PQ, Calcular PQ

a+5

P M Q 13–a

a) 10 b) 13 c) 18d) 17 e) 26

4. Del gráfico, Calcular AC

13+7a

A B C7– 7a

a) 14 b) 16 c) 17d) 18 e) 20

5. De la figura, calcular CD 2 8

A B C D17

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

6. Del gráfico, si “C” es punto medio del y “B” es punto medio del . Calcular BC

A B C D E 20

a) 4 b) 5 c) 7d) 8 e) 9

7. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, C, D y F y K, tal que AK = 40 y AD + CF + DK = 80; Calcule CF

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 45

8. Se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que CD = 5 BC, además AD+ 5 AB = 90. Hallar AC

a) 25 b) 10 c) 15d) 30 e) 45

9. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B y C tal que AB – BC = 7, AC = a; Calcule “a”

a–7

A B C

a) 7 b) 13 c) 14d) 17 e) 20

10. Del gráfico, calcular PA tal que PA = ME = ER

30

P A M E R 16

a) 5 b) 8 c) 13d) 14 e) 16

11. De la figura, calcular AD si: AB = 2 BC = 3 CD = 60

A B C D

a) 90 b) 30 c) 100d) 110 e) 150

12. Hallar AB + CD, si AC + BD + AD = 54 y BC = 8

A B C D

a) 27 b) 15 c) 36d) 25 e) 10

ÁNGULOS

Sabías que la figura geométrica formada por la

unión de dos rayos que tienen el mismo origen se

denomina ÁNGULO.

Gráficamente: A

Vértice Notación:

O AOB ó AOB

B

Lados: OB y OA

CLASIFICACIÓN:

a) Según su medida

Ángulo Agudo

B

A

0° < < 90°

Ángulo Recto

B

A = 90°

Ángulo Obtuso

B

A90° < < 180°

Ángulo Llano

B O A

AOB = 180°

b) Según la posición de sus lados

Ángulos Consecutivos

C B

A y son consecutivos

Ángulo Adyacente

B

C A

y son adyacentes porque están sobre una misma recta.

Ángulos opuestos por el vértice

m

n

“m” y “n” opuestos m = n“” y “” opuestos =

c) Según la suma de sus medidas.

Ángulos Complementarios

y son complementarios + = 90°

Ángulos Suplementarios

y son suplementarios + = 180°

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE

ALGUNAS PROPIEDADESa) b)

L1

L2

= + L1 // L2

L1

z

L2

+ = + + zL1 // L2

c)

=

EJERCICIOS RESUELTOS

Alternos internos Conjugados 3 y 5 internos 4 y 6 3 y 6

4 y 5

Alternos externos Conjugados 1 y 7 externos 2 y 8 1 y 8

2 y 7

Correspondientes 1 y 5 2 y 6 3 y 7 4 y 8

¡Tienen igual medida! ¡Son suplementarios!

1. Si OM: Bisectriz. Hallar el valor de x

A

x +10°O 2x M

B

Solución:

Como OM Bisectriz m BOM = m MOA

2x = x + 102x – x = 10

x = 102. Hallar el valor de ”x”

3x + 10 2x + 40

Como son ángulos opuestos por el vértice 3x + 10 = 2x + 40

3x – 2x = 40 – 10 x = 30

ÁNGULOS

EJERCICIOS PARA LA CLASE

1. Si OM bisectriz del BOC. Hallar el valor

de “x”A

B 20°

O x M

C

a) 25° b) 15° c) 35°d) 27° e) 37°

2. Hallar el valor de “x” en:

3x

15°

a) 10° b) 15° c) 9°d) 33° e) 12°

3. Hallar “x” en:

x

x x

a) 150° b) 120° c) 110°d) 100° e) 90°

4. Hallar “x” en:

120° x

2x

150°

a) 55° b) 81° c) 45°d) 30° e) 70°

5. Hallar “x” en:

48

x

a) 36° b) 42° c) 60°d) 48° e)36°

6. Hallar “x” en:

x – 20 x

x – 30

a) 50° b) 37° c) 65°d) 53° e) 45°

7. Si L1 // L2 . Hallar el valor de “x”

140° L1

L2

x

a) 120° b) 80° c) 140°d) 100° e) 40°

8. Si: L1 // L2 , entonces hallar “x”

330° L2

x

L1

a) 45° b) 75° c) 30°d) 65° e) 90°

9. Se tiene dos ángulos consecutivos. Calcular la medida del ángulo que forman sus bisectrices si la suma de dichos ángulos es 15°.

a) 15° b) 30° c) 17° d) 20° e) 7°30’

10. La suma del complemento más el suplemento de cierto ángulo es 130°. Hallar la medida de dicho ángulo.

a) 50° b) 60° c) 70° d) 80° e) 90°

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Si OM bisectriz del BOC

B M

130° x

A O C

a) 25 b) 30 c) 15d) 35 e) 38

2. Del gráfico, hallar el valor de “x”

x 2x

110° x + 30°

100°

a) 60° b) 53° c) 30°d) 50° e) 37°

3. Si OM bisectriz , hallar “x”

A

2x + 20°

O 4x

M

B

a) 15° b) 10° c) 20°d) 17° e) 25°

4. Hallar el valor de “x” en:

82° 68°

x

a) 16° b) 12° c) 14°d) 10° e) 20°

5. Si: L1 // L2 entonces halla el valor de “x”

L2

x

45°

L1

a) 115° b) 90° c) 120°d) 135° e) 125°

6. Hallar “x” si: L1 // L2

x°L1

100°

L2

a) 57° b) 45° c) 55°d) 80° e) 60°

7. En el gráfico: m COD = 2 m AOB y el BOC es recto. Hallar m AOC.

B C

A O D

a) 60° b) 90° c) 120°d) 100° e) 150°

8. Si: L1 // L2 y m AOB = 50°, hallar el valor de “x”

3x

L1

O

7x L2

a) 8° b) 5° c) 10°d) 15° e) 20°

9. Si L1 // L2, hallar el valor de “”.

30°

50°

a) 20° b) 40° c) 90° d) 75° e) 80°

10. Hallar “x” si L1 // L2

L1

120°

x 130° L2

a) 30° b) 50° c) 70° d) 55° e) 65°

11. Sean los ángulos adyacentes AOB y BOC, tales que la m BOC = 4mAOB. Hallar la mBOC.

a) 140° b) 72° c) 40°d) 15° e) 144°

12. Hallar la medida del ángulo que forman las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios.

a) 30° b) 45° c) 60°d) 90° e) 120°

13. Un ángulo es tal que, la suma de su complemento más su suplemento es igual al triple de dicho ángulo. Hallar el valor del ángulo.

a) 45° b) 46° c) 54°d) 36° e) 50°

14. Se tiene dos ángulos consecutivos AOB y BOC, se traza OD bisectriz del ángulo AOB. Hallar m COD, si m AOC + mBOC = 160°

a) 40° b) 60° c) 120°d) 100° e) 80°

Ejercicios del complemento y suplemento de un ángulo

1. Indique el triple de la mitad del complemento de 40°

2. Indique el doble de a tercera parte del suplemento de 60°

3. Si el complemento de 60° es 30°. Halle la suma del suplemento de los ángulos en mención.

4. Si el complemento de 40° es 50°. Halla la suma del suplemento de dichos ángulos.

5. Señala la suma del doble del complemento de 70° con la cuarta parte del suplemento de 140°

6. Señala la diferencia del doble del complemento de 40° con la quinta parte del suplemento de 140°

7. En cuánto excede el doble del complemento de 70° al triple del complemento de 84°

8. En cuanto excede el triple del suplemento de 150° al cuádruplo del complemento de 75°

9. Calcular el complemento del suplemento de 150° y luego adiciónale el suplemento del complemento de 60°

10. Halla el suplemento del complemento de 20° y réstale el complemento de 130°

11. Si un ángulo mide 60°. Calcular el suplemento del complemento de dicho ángulo.

12. Si un ángulo mide 70°. Calcular el suplemento del complemento de dicho ángulo

13. ¿Cuánto mide un ángulo si la diferencia entre su suplemento y su complemento es el doble del ángulo?

14. La suma del complemento y el suplemento de cierto ángulo es igual a 150°. Hallar dicho ángulo.

15. El complemento de la medida de un ángulo es igual al doble de la medida de dicho ángulo. Hallar el ángulo

16. Hallar la medida de un ángulo sabiendo que su suplemento es igual al triple de su complemento