Facultad de Ciencias Exactas, Ingenierıa y Agrimensura

Departamento de Matematica

Escuela de Ciencias Exactas y Naturales

GEOMETRIA I

Licenciatura en Matematica - Profesorado en Matematica - Ano 2016

Equipo docente:

Francisco Vittone - Justina Gianatti - Martın Alegre

Unidad 2: Medida y congruencia de segmentos y angulos.

1. Introduccion.

En esta unidad determinaremos que entendemos por la medida de un segmento o un angulo. Como siempre,

necesitaremos de los axiomas, y para ello comenzaremos recordando los conocimientos que tenemos sobre la

medicion de un segmento determinando que propiedades, que deberemos axiomatizar, tiene este procedimiento.

Para medir la longitud de un segmento utilizamos en general una regla, que es un instrumento de medicion

graduado. La longitud viene ası expresada en centımetros, milımetros o pulgadas, o cualquier otra unidad de

longitud. Con la misma regla podemos medir cualquier segmento que no supere su longitud. Resulta evidente de

este procedimiento que medir no es mas que comparar una longitud desconocida con otra que todos conocemos

y nos resulta comoda para trabajar.

El centımetro es una subunidad del metro (es una centesima parte de este) que es la unidad de medida base

que utiliza el sistema metrico legal argentino (SIMELA). A lo largo de la historia se utilizaron muchos metodos y

unidades diversas para medir. Casi todos los sistemas de medidas de longitud se basaban en las dimensiones del

cuerpo humano (codo, pie...), y cada poblacion que tuviese un mınimo de desarrollo tenıa alguna forma de medir.

La medida surge en las distintas comunidades de la necesidad de tener parametros comunes que permitiesen

transmitir y comparar informacion imporatante. Por ejemplo, era imporatante en los pueblos primitivos poder

transmitirse entre los cazadores a que distancia se encontraba una presa, cuales eran las dimensiones de un

terreno cultivable para determinar la abundancia de las cosechas o conocer hasta donde marcaban los lımites

de la poblacion. Es evidente que estas unidades iniciales no eran del todo precisas. Decir que un campo tenıa

una longitud de mil pies, claramente dependıa del pie de quien estaba tomandose como referencia. No existıa

en estos casos una unidad patron de medida.

A medida que el mundo fue globalizandose y los pueblos fueron desarrollandose, se hizo evidente la necesidad

de unificar las distintas formas de medir con el objeto de simplificar los intercambios, facilitar el comercio y el

cobro justo de impuestos.

En la Revolucion francesa de 1789, junto a otros desafıos considerados necesarios para los nuevos tiempos, se

nombraron Comisiones de Cientıficos para uniformar los pesos y medidas, entre los que se encuentra la longitud.

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Es ası que se creo el metro patron, que como vemos es una unidad de medida relativamente reciente.

Un metro se definio como la diezmillonesima parte de la distancia que separa el polo de la lınea del ecuador

terrestre. El metro patron es una barra de platino e iridio de esta longitud depositado actualmente en un cofre

situado en los subterraneos del pabellon de Breteuil en Sevres, Oficina de Pesos y Medidas, en las afueras de

Parıs. Si uno quisiera construir un metro (como el que utilizan las costureras) exacto, deberıa ir allı y tomar un

trozo de cinta de igual longitud que esta barra. En 1960 la onceava Conferencia de Pesos y Medidas adopto una

nueva definicion del metro como 1. 650. 763,73 veces la longitud de onda en el vacıo de la radiacion naranja

del atomo del cripton 86, y en 1983 la cuarta definicion dada en la decimo septima Conferencia General de la

Oficina Internacional de Pesos y Medidas es la siguiente: Un metro es la distancia que recorre la luz en el vacıo

durante un intervalo de 1/299 792 458 de segundo.

Del metro existen submultiplos, como el centımetro o el milımetro, y multipos, como el kilometro, que sirven

para medir distancias muy pequenas o muy grandes.

Existen otras unidades de medida que se utilizan comunmente: la pulgada, que originalmente era la longitud

de la primera falange del pulgar, se utiliza actualmente para referirnos a la medida de la diagonal de un televisor

por ejemplo y es la medida estandar en algunos paises como Estados Unidos.

Segun cual sea nuestro problema podemos elegir trabajar con que unidad de medida trabajar. Por ejemplo

el metro es una unidad inadecuada para trabajar con distancias muy grandes o muy pequeas. Serıa inapropiado,

por ejemplo, medir la distancia de Buenos Aires a Tokio en centımetros o metros. Ni que hablar de las distancias

a nivel astronomico, para las cuales se utilizan unidades especiales. Una de ellas, por ejemplo, es el ano luz, que

es la distancia que recorre la luz del sol en un ano (es interesante notar que el ao luz es una unidad de longitud

y no de tiempo).

Entre todas las unidades de medida conocidas existen equivalencias: formulas sencillas que convierten un

sistema en otro.

Nuestro objetivo es elaborar una teorıa unificada de la medida que se adapte perfectamente a cualquier

unidad de medida que deseemos utilizar.

Todas las formas de medir utilizando la unidad que se nos ocurra se basan en un principio comun: determinar

un patron y comparar cualquier otra longitud con el patron. Diciendolo de manera veloz, determinar una longitud

cualquiera se basa en ver cuantas veces “entra” la longitud patron seleccionada en la longitud que queremos

medir.

Ası, decir que un segmento tiene longitud igual a 2 centımetros, quiere decir que si tomamos como unidad

un segmento de un centımetro, este segmento “entra” dos veces en el segmento que estamos midiendo. En

la siguiente figura mostramos distintos segmentos elegidos como unidad, y como con el podemos medir otros

segmentos.

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Nos basaremos en este principio para elaborar nuestra teorıa. Fijaremos un segmento que llamaremos seg-

mento unidad y estableceremos la longitud de cualquier otro segmento comparandolo con este.

La propiedad fundamental de esta forma de medir es la siguiente: si tenemos una regla de longitud 15 cm.

por ejemplo, y necesitamos medir el lado de una hoja de papel cuya longitud es mayor a la regla, marcamos

un punto en el papel donde termina la regla, la volvemos a apoyar sobre el borde y sumamos las longitudes

obtenidas. Podemos realizar este procedimiento cuantas veces queramos para medir longitudes mas largas.

Matematicamente, esto se traduce en que si P , Q y R son puntos alineados con Q entre P y R, la longitud

del segmento PR sera la suma de las longitudes de los segmentos PQ y QR.

Con estas pocas ideas estamos en condiciones de definir axiomaticamente la longitud de un segmento.

2. Longitud y congruencia de segmentos

Axioma 13 Fijados dos puntos distintos A y B del espacio, existe una unica funcion l que a cada segmento

PQ le asocia un numero real positivo l(PQ) y que verifica:

1. l(AB) = 1

2. l(PQ) > 0 cualesquiera sean P 6= Q y ademas Im(l) = R+

3. Si P , Q y R son puntos alineados con R entre P y Q, entonces l(PQ) = l(PR) + l(RQ).

La funcion l se denomina longitud y l(PQ) se lee “longitud de PQ”. Obviamente que hay tantas funciones

de longitud como segmentos distintos se nos ocurra fijar. De ahora en mas, y siempre que este claro que hay

una longitud fija dada, denotaremos simplemente

l(PQ) = PQ.

El axioma 13 nos dice en lenguaje matematico basicamente lo que hemos discutido en la seccion anterior.

Sin embargo por el momento no nos resultara de mayor utilidad a la hora de medir.

Analicemoslo. El segmento AB que fijamos de entrada se denomina segmento unidad para la funcion l.

Logicamente, su longitud es 1, que podemos leer como “una unidad”. El axioma nos garantiza que si tomamos

como unidad otro segmento, existira otra funcion de longitud que hara que ese segmento mida 1. La funcion l

es basicamente una regla. Y cambiar de segmento unidad, y por lo tanto de funcion longitud, no es mas que

cambiar de regla, de una regla graduada en centımetros a una regla graduada en pulgadas por ejemplo. Por

otro lado, el hecho que Im(l) = R+ quiere decir que dado un numero real positivo λ existe al menos un

segmento PQ tal que l(PQ) = λ.

Ahora bien, el unico segmento del que conocemos la medida es AB. Serıa de esperar, sobre todo porque

estamos tratando de imitar lo que realmente hacemos en la practica, que a partir de el podamos determinar la

medida de algunos otros segmentos al menos. Pero el axioma 13 no nos dice como. Es como si supieramos que

existe una regla, pero la regla que nos dan para medir tiene marcado solamente el 0 y el 1.

No es difıcil a partir de esta marca reconstruir las otras. Supongamos que tenemos una regla donde se han

borrado todos los numeros salvo el 0 y el 1. Si quiesieramos volver a marcarla manualmente, bastarıa cortar un

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trozo de papel que mida lo mismo que el segmento que va del 0 al 1, y transportar este segmento sucesivas

veces para marcar el 2, el 3, etc. Una opcion mas precisa serıa utilizar un compas para hacerlo.

Este proceso se conoce como transportar un segmento para construir otro segmento igual a este pero

ubicado en otro lado.

Sin embargo si pensamos cuidadosamente, no hay ningun axioma que nos garantice que este procedimiento es

“legal”. Ni siquiera sabemos que quiere decir que dos segmentos sean iguales, o mas precisamente, congruentes.

Esto se soluciona facilmente:

Definicion:

Dos segmento PQ y RS se dicen congruentes si l(PQ) = l(RS), o sea, si PQ = RS. Se denota

PQ =c RS.

Supongamos que tenemos un segmento PQ y queremos constuir, con origen en O, un segmento OR

congruente con PQ sobre la recta r que se muestra en la figura. Tomamos la medida de PQ con el compas,

pinchamos en O, y hacemos una marca sobre la recta. El punto marcado es el punto R que buscamos. Obviamente

tenemos dos opciones: una sobre cada semirrecta con origen en O.

Hemos utilizado por primera vez el compas. Sin embargo su uso no esta “autorizado” por los axiomas, o sea,

hemos hecho un procedimiento fısico pero si quisieramos demostrar que de esta manera se obtiene un segmento

congruente con el dado no podrıamos. Necesitamos por lo tanto un axioma que nos garantice la posibilidad de

transportar un segmento:

Axioma 14: Dado un segmento PQ cualquiera y una semirrecta−−→OX, existe un unico punto S ∈

−−→OX tal

que PQ =c OS.

Es el momento de notar que los axiomas que hemos establecido regulan el uso de la regla no gradudada y el

compas. La regla es la representacion mecanica del axioma 3 ya que sirve solo para trazar la recta que pasa por

dos puntos (o el segmento y las semirrectas que estos determinan). El compas es la representacion mecanica

del axioma 14 y sirve, por ahora, solo para transportar segmentos.

Asociada a la definicion de longitud de un segmento tenemos la definicion de distancia entre dos puntos.

En el mundo fısico, la distancia entre dos puntos es la longitud del camino mas corto entre todos los que unen

los dos puntos. Es bastante intuitivo que la curva mas corta que une dos puntos es el segmento que los tiene

como extremos. Esto motiva la siguiente definicion:

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Definicion:

Dados dos puntos distintos P y Q del espacio, se denomina distancia entre P y Q a la longitud del segmento

PQ. Se denota d(P,Q). Si P = Q se define d(P,Q) = 0. Luego, si P 6= Q,

d(P,Q) = PQ = l(PQ) > 0.

La introduccion de la distancia nos permite definir un objeto geometrico de gran importancia: la circunfe-

rencia.

Definiciones:

• Fijado un plano α y dados un punto O ∈ α y un numero real positivo r, se denomina circunferencia de

centro O y radio r al conjunto de los puntos del plano que estan a distancia r de O. Se denota C(O, r):

C(O, r) = {P ∈ α : d(P,O) = r}.

• Todo segmento que une el centro O con un punto cualquiera de la circunferencia tambien se denomina

un radio de la circunferencia.

• Cualquier segmento que une dos puntos distintos de una circunferencia se denomina una cuerda.

• Una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia se denomina un diametro. Tambien se llama

diametro al numero real 2r.

• Se denomina cırculo de centro O y radio r al conjunto de puntos del plano que estan a distancia a lo

sumo r de O. Esto es:

C = {P ∈ α : d(P,O) ≤ r}.

Es inmediato de la definicion que todo radio tiene longitud r y todo diametro tiene longitud 2r. Represen-

tamos en las siguientes figuras las figuras geometricas que acabamos de definir.

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Tener definida la congruencia de segmentos nos permite clasificar los triangulos en funcion de la cantidad

de lados congruentes que tienen:

Definiciones:

• Un triangulo con los tres lados congruentes se denomina equilatero. Un triangulo con dos lados congruentes

se denomina isosceles y un triangulo con los tres lados desiguales se denomina escaleno.

El axioma 14 nos permite constuir utilizando regla no graduada y compas un triangulo equilatero cuyo

lado sea congruente con un segmento dado. Tomemos un segmento AB como en la figura. Construiremos un

triangulo equilatero de lado AB como sigue. Pinchamos el compas en A y lo abrimos una longitud AB. Trazamos

una circunferencia con centro en A y radio r = AB. Ahora pinchamos en B y trazamos una circunferencia de

centro B y radio r = AB. Vemos que las circunferencias se intersecan en dos puntos. Llamemos C a cualquiera

de ellos. Entonces AC es un radio de C(A, r) con lo cual AC = r = AB y BC es un radio de C(B, r), con lo

cual BC = r = AB. El triangulo4

ABC ası construido es, por lo tanto, equilatero. Observemos que para hacer

esta construccion hemos supuesto que las dos circunferencias se intersecan en dos puntos, sin haberlo probado.

Lo haremos en la proxima unidad.

Finalizamos definiendo que entendemos por perımetro de un polıgono.

Definicion:

Se denomina perımetro de un polıgono a la suma de las longitudes de sus lados. Esto es, si A1A2 · · ·An es

un polıgono, entonces

Per(A1A2 · · ·An) = A1A2 +A2A3 + · · ·+An−1An +AnA1.

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2.1. Ejercicios propuestos

1. En cada caso, determinar la longitud del segmento PQ a partir del segmento unidad AB dado.

2. Dados los segmentos AB y CD, construir utilizando regla no graduada y compas un segmento que tenga

la longitud pedida en cada caso.

a) 3AB, b) CD −AB, c) 2CD − 3AB.

3. Considerar los siguientes segmentos:

Utilizando regla no graduada y compas constuir:

a) un triangulo equilatero cuyo lado mida AB;

b) un triangulo isosceles cuyos lados congruentes midan CD y cuyo lado desigual mida AB;

c) un triangulo escaleno cuyos lados midan AB, CD y EF .

4. Dado un segmento AB y un numero real positivo λ < AB, demostrar que existe un unico punto P ∈ ABtal que AP = λ.

5. Un punto M se denomina punto medio del segmento AB si M ∈ AB y AM =MB.

a) Si AB = 4, determinar d(A,M).

b) Sea C un punto tal que B esta entre A y C y BC = AB. Determinar d(M,C).

6. Sean A, B y C tres puntos alineados en ese orden, y sean M el punto medio de AB y N el punto medio

de BC. Determinar:

a) d(M,N) en funcion de d(A,B) y d(B,C);

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b) d(M,N) en funcion de d(A,C);

c) d(A,N) en funcion de d(A,B) y d(B,C).

7. Un patio tiene forma de un triangulo isosceles. Su perımetro es de 140 m. El lado desigual es 20 m mas

largo que cada uno de los lados iguales. ¿Cuanto mide cada lado del patio?

8. ¿Cuantos alfileres de 3,5cm de largo se pueden fabricar con un alambre de 285m, sabiendo que hay una

perdida de 2mm de alambre por cada alfiler que se fabrica?

9. Un triangulo isosceles tiene un perımetro de 14cm. Si los lados iguales duplican su medida y el lado

desigual la reduce a la mitad, su perımetro es de 22cm. Determinar la medida de los lados del triangulo

inicial.

10. Sea M el punto medio del segmento AB. Demostrar que cualquier otro punto C ∈←→AB tal que C /∈ AB

verifica

CM =1

2(AC + CB).

3. Medida y congruencia de angulos

Nos dedicaremos ahora a determinar una forma de medir angulos. Imitaremos lo que hemos hecho con los

segmentos. Comenzamos recordando las propiedades que tiene medir angulos utilizando un semicırculo.

El semicırculo o transportador es un objeto para medir un angulo en grados sexagesimales. Tiene sobre su

base un pequeno orificio o una marca que debemos hacer coincidir con el vertice del angulo y lo debemos ubicar

de modo que uno de los lados del angulo corte al extremo del semicırculo en la inscripcion 0◦. El segundo lado

cortara al semicırculo en un punto al que corresponde un numero: esta es la medida del angulo dado.

En el dibujo, tenemos ˆAOB = 20◦, ˆAOC = 75◦, ˆAOE = 140◦ y ˆAOF = 180◦.

El grado sexagesimal corresponde a la medida de un angulo tal que el arco que determina en una semicir-

cunferencia (como el semicırculo) es 1/180 el total de la semicircunferencia.

El principio basico es el mismo que para medir longitudes: tenemos una unidad, que es el angulo de 1◦

en este caso, y a partir de el medimos cualquier otro angulo siguiendo el principio de que si dos angulos son

consecutivos, la medida de la union es la suma de las medidas de los angulos originales.

En la figura, ˆAOB y ˆBOC son consecutivos, y tenemos ˆAOB = 20◦, ˆBOC = 55◦ y su union, que es el

angulo ˆAOC mide 75◦.

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Existen obviamente otras unidades para medir angulos. Las mas conocidas son los grados centesimales y los

radianes. Nos dedicaremos a esta ultima mas adelante. De cualquier manera, crearemos una teorıa unificada

de la medicion de angulos para todas ellas imitando lo que hemos hecho para medir segmentos. Necesitaremos

un axioma que nos garantice la existencia de una funcion de medida de angulos y un axioma que nos permita

transportar un angulo de manera que sea consecutivo con otro para poder sumar sus medidas.

Axioma 15 Fijado un angulo no nulo ˆAOB del espacio, existe una unica funcion real m que a cada

angulo le asigna un numero real positivo o cero de modo que:

• m( ˆAOB) = 1

• m( ˆPQR) = 0 si y solo si ˆPQR es un angulo nulo.

• Si ˆPQR es un angulo llano, su medida se denota por m( ˆPQR) = 1llano y para cada λ ∈ R tal que

0 ≤ λ ≤ 1llano, existe un angulo ˆSTU tal que m( ˆSTU) = λ.

• Si ˆPQR y ˆRQS son angulos consecutivos, entonces

m( ˆPQR) +m( ˆRQS) = m( ˆPQS).

De ahora en mas convenimos en utilizar la misma notacion para el angulo y para su medida, es decir,

escribiremos por ejemplo ˆAOB = 1 en vez de escribir m( ˆAOB) = 1.

Observemos que hemos escrito ˆAOB = 1 y no ˆAOB = 1◦ ya que la funcion m no esta asociada con ninguna

unidad en particular. Sin embargo en la practica utilizaremos casi exclusivamente los grados sexagesimales como

unidad de medida de angulos.

La funcion m se denomina una medida angular. El angulo ˆAOB que fijamos se denomina angulo unidad

para la medida angular m. Obviamente hay tantas medidas angulares como angulos unidad distintos podamos

tomar.

De nuevo, para poder determinar la medida de un angulo, necesitamos un axioma que nos garantice el

transporte de angulos.

Definicion:

Dos angulos ˆPQR y ˆSTU se denominan congruentes si m( ˆPQR) = m( ˆSTU).

Axioma 16 Dado un angulo (convexo) cualquiera ˆPQR y una semirrecta−−→OX, sea semp←→

OX(Z) un

semiplano con frontera←→OX. Existe una unica semirrecta

−−→OY contenida en semp←→

OX(Z) tal que el angulo

ˆXOY es congruente con ˆPQR.

Este axioma nos dice que dado un angulo cualquiera, es posible construir un angulo congruente con el uno

de cuyos lados sea una semirrecta dada arbitraria. La forma mecanica de transportar un angulo es la siguiente.

Consideremos el angulo ˆPQR y la semirrecta−−→OX de la figura de la pagina siguiente. Si ˆPQR es un angulo

llano, elegimos como−−→OY la semirrecta opuesta de

−−→OX.

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Si ˆPQR no es llano, tenemos dos formas de proceder. Una es tomar el semicırculo, posicionarlo como si

fueramos a medir ˆPQR y hacer una marca donde la semirrecta−→PR corta a la semicircunferencia del semicırculo.

Posicionamos ahora el semicırculo con origen en O y de modo que la semirrecta−−→OX corte la circunferencia

del semicırculo en 0. Hacemos una marca en el papel que coincida con la marca que habıamos hecho en el

semicırculo. Este es el punto Y buscado.

La segunda forma, mucho mas exacta, es la siguiente: hacemos en el compas una abertura arbitraria y

trazamos con esa abertura una circunferencia de centro Q y una de centro O. Las circunferencias cortaran a

las semirrectas−−→QP y

−−→OX en puntos A y A′ respectivamente. Con centro en A, abrimos el compas hasta el

punto de interseccion entre la circunferencia inicial con centro en Q y la semirrecta−−→QR. Trazamos ahora una

circunferencia con centro en A′ y esta ultima abertura como radio, que cortara a la otra circunferencia de centro

O en dos puntos. Uno de ellos es el punto Y buscado, dependiendo de en que semiplano queremos ubicar el

angulo. No hemos desarrollado todavıa la teorıa necesaria para probar la validez de esta construccion, pero la

utilizaremos en la practica. La probaremos mas adelante.

Definiciones:

• Usualmente denotaremos un angulo utilizando una letra griega con un piquito; α, β, etc.

• Dados dos angulos α y β, se denomina suma de α y β a cualquier angulo γ cuya medida verifique

m(γ) = m(α) +m(β). Se lo denota γ = α+ β.

• Dado un angulo α y un numero real r, se denomina producto de r por α a cualquier angulo β cuya

medida sea m(β) = r ·m(α). Se lo denota β = rα.

• Un angulo α se denomina un angulo recto si 2α es un angulo llano. Se lo denota por α = 1R.

• Dados dos angulos α y β, escribiremos α < β para indicar que m(α) < m(β). (Analogamente con α ≤ β,

α > β, α ≥ β).

Supongamos que tenemos dos angulos ˆPQR y ˆSTU como en la figura. Para construir el angulo ˆPQR+ ˆSTU

procedemos a transportar ˆSTU consecutivamente a ˆPQR, en el semiplano de frontera←→QR que no contiene a

P . Construimos ası un angulo ˆRQW congruente con ˆSTU y resulta ˆPQR+ ˆSTU = ˆPQW = ˆPQR ∪ ˆRQW .

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En la practica intentaremos constuir la diferencia de dos angulos. Esto es, dados dos angulos α y β tales

que α > β, pretendemos constuir un angulo γ tal que α = β + γ.

Del axioma 15, sabemos que si dos angulos son consecutivos, la medida del angulo que resulta de unirlos es

la suma de las medidas de cada uno. Es decir, si ˆAOB y ˆBOC son angulos consecutivos, su union es el anguloˆAOC y m( ˆAOC) = m( ˆAOB) +m( ˆAOC). Por la definicion que hemos dado de suma de dos angulos, resulta

entonces evidente que si dos angulos son consecutivos, su suma coincide con su union.

En particular, si los angulos son adyacentes su union es un angulo llano y por lo tanto tenemos:

Teorema 1. La suma de dos angulos adyacentes es un angulo llano.

Definiciones:

• Un angulo convexo α se denomina agudo si m(α) < 1R y obtuso si m(α) > 1R.

• Dos angulos agudos se denominan complementarios si su suma es un angulo recto. En este caso se dice

que uno es el complemento del otro.

• Dos angulos se dicen suplementarios si su suma es un angulo llano. En este caso se dice que uno es el

suplemento del otro.

Uno de los primeros resultados que podemos probar es el siguiente conocido teorema:

Teorema 2. Los angulos opuestos por el vertice son congruentes.

Demostracion:

Sean ˆAOB y ˆCOD dos angulos opuestos por el vertice, como se muestra en la figura. Por definicion, esto

quiere decir que−→OA y

−−→OD, y

−−→OB y

−−→OC son semirrectas opuestas.

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En particular, resultan ˆAOB y ˆBOD adyacentes con lo cual

ˆAOB + ˆBOD = 1llano. (1)

Pero ˆBOD y ˆDOC tambien son adyacentes, y por lo tanto

ˆBOD + ˆDOC = 1llano. (2)

Restando miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2) resulta ˆAOB − ˆDOC = 0, con lo cual ˆAOB = ˆDOC.

Concluimos esta seccion definiendo lo que entendemos por bisectriz de un angulo. Veremos mas adelante

que la bisectriz tiene propiedades importantes. Se define como una semirrecta que divide al angulos en dos

angulos de igual medida. Para ello, debemos garantizar que existe una semirrecta interior a un angulo dado

que cumpla esta propiedad. Este hecho quedara garantizado por el siguiente lema, bastante intuitivo, que no

demostraremos aquı. Para los interesados, incluimos una demostracion completa en el apendice a esta unidad.

Lema 3. Sea ˆABC un angulo no nulo y sea D ∈ semp←→AB

(C). Entonces D es interior a ˆABC si y solo si

0 < ˆABD < ˆABC.

Dado un angulo convexo no nulo ˆABC, por el Lema 3, 0 < ˆABC ≤ 1llano. Luego 12

ˆABC < 1llano y por

el por el axioma 15 existe un angulo convexo cuya medida es 12

ˆABC. Como trivialmente 0 < 12

ˆABC < ˆABC el

axioma 16 y el Lema 3 garantizan la existencia de un punto D, interior al angulo ˆABC, tal que ˆABD = 12

ˆABC.

Esto justifica la siguiente definicion:

Definiciones:

Dado un angulo no nulo ˆABC se denomina bisectriz de ˆABC a la unica semirrecta−−→BD tal que D es

interior a ˆABC y ˆABD = 12

ˆABC.

3.1. Ejercicios propuestos

1. Dados dos angulos α y β, con α > β, se denomina diferencia de α y β, a un angulo γ tal que α = β+ γ.

Se lo denota γ = α− β. Dibujar dos angulos agudos α y β tales que α > β y constuir utilizando regla no

graduada y compas el angulo pedido en cada caso:

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a) α+ β; b) 2β; c) α− β.

2. Se define el grado sexagesimal como 1◦ = 1llano/180 y el grado centesimal como 1G = 1llano/200.

Completar la siguienta tabla con la medida de los angulos listados.

angulo medida en ◦ medida en G angulo medida en ◦ medida en G

1llano angulo pleno

1R 131llano

121R

321llano

3. Las subunidades del grado sexagesimal son el minuto y el segundo, que se definen respectivamente como

1′ = 1◦/60 y 1′′ = 1′/60. Hallar, en cada caso, el complemento y el suplemento del angulo α, siendo:

a) α = 30◦20′ b) α = 45◦15′28′′ c) α = 89◦30′59′′

4. Calcular en grados sexagesimales la medida del angulo α en cada una de las figuras siguientes.

5. Si α es un angulo agudo y β es un angulo obtuso, indicar en cada ıtem si los angulos resultantes son

agudos, rectos, obtusos o si no hay suficientes datos para decidirlo. En este ultimo caso, dar medidas

concretas a α y β y ejemplificar los distintos casos posibles.

a) 1llano− α

b) 1llano− β

c) 2α

d) β − α

e) 1R+ α

f ) β − 1R

g) 12 β

h) β − 1R.

6. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas justificando adecuadamente la resupesta.

a) Dos angulos rectos cualesquiera son suplementarios.

b) Dos angulos suplementarios son adyacentes.

c) El complemento de un angulo agudo es agudo.

d) El suplemento de un angulo obtuso puede ser obtuso.

e) El suplemento de un angulo recto es recto.

7. Dado un angulo ˆAOB, en el semiplano de frontera←→OB que no contiene a A, se marcan dos puntos C y

D de modo que ˆAOC = ˆBOD. Esbozar un grafico de la situacion y demostrar que ˆAOB = ˆCOD.

8. Demostrar que si dos angulos adyacentes son congruentes entonces ambos son rectos.

9. Demostrar que las bisectrices de dos angulos adyacentes son los lados de un angulo recto.

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4. Primer criterio de congruencia de triangulos y sus consecuencias

Hemos definido que entendemos por segmentos y angulos congruentes. Es el momento de utilizar estos

conceptos para definir que entendemos por triangulos congruentes.

Siguiendo nuestra intuicion, dos triangulos son congruentes cuando podemos “recortar” uno de ellos y

situarlo sobre el otro de manera que coincidan perfectamente. En otras palabras, los objetos son iguales salvo

por su posicion en el plano. Es evidente que esto ocurre cuando los lados y los angulos de unos de los triangulos

son congruentes con los lados y angulos del otro. Esto motiva la siguiente definicion:

Definicion:

Sean4

ABC y4

PQR dos triangulos y consideremos una correspondencia s : {A,B,C} → {P,Q,R} que a

cada vertice del primer triangulo le hace corresponder un unico vertice del segundo, de modo que a vertices

distintos de uno le corresponden vertices distintos del otro.

Entonces los lados AB y s(A)s(B), AC y s(A)s(C) y BC y s(B)s(C) se denominan pares de lados

homologos para la correspondencia s.

Los angulos ˆABC y ˆs(A)s(B)s(C), ˆBAC y ˆs(B)s(A)s(C) y ˆACB y ˆs(A)s(C)s(B) se denominan pares

de angulos homologos para la correspondencia s.

Consideremos por ejemplo dos triangulos4

ABC y4

PQR cualesquiera y consideremos la correspondencia

s : {A,B,C} → {P,Q,R} tal que s(A) = P , s(B) = Q y s(C) = R. Entonces AB y PQ, AC y PR, y BC

y QR son pares de lados homologos para s.

Sea ahora la correspondencia t : {A,B,C} → {P,Q,R} tal que t(A) = Q, t(B) = R y t(C) = P . Entonces

AB y QR, AC y QP , y BC y RP son pares de lados homologos para t.

Definicion:

• Dos triangulos4

ABC y4

PQR se dicen congruentes si existe una correspondencia s : {A,B,C} →{P,Q,R} tal que los pares de lados homologos y los pares de angulos homologos para s son congruentes entre

sı. Es decir, los lados y angulos de uno de los triangulos son congruentes a los correspondientes lados y angulos

del otro.

Cuando representamos graficamente dos triangulos congruentes, convenimos en realizar marcas iguales en

los pares de lados y angulos homologos y en general no explicitamos cual es la correspondencia entre los vertices.

En este caso, para simplificar la notacion, muchas veces nombraremos los triangulos como4

ABC y4

A′B′C ′ y

supondremos que la correspondencia dada es s : {A,B,C} → {A′, B′, C ′} tal que s(A) = A′, s(B) = B′ y

s(C) = C ′. En la siguiente figura mostramos este hecho para triangulos congruentes,

42

Convenimos ademas mantener la siguiente notacion:

Notacion:

• En un triangulo (o en un polıgono en general) convenimos en indicar los angulos con el nombre del vertice

del polıgono que es vertice del angulo. Ası, en un triangulo4

ABC indicamos por A el angulo ˆCAB, por B el

angulo ˆABC y por C el angulo ˆBCA.

• En un triangulo4

ABC, el lado AB se denomina lado opuesto al angulo C, y su longitud se denota con

la letra minuscula c, el lado BC se denomina lado opuesto al angulo A y su longitud se denota por a, y el lado

AC se denomina lado opuesto al angulo B y su longitud se denota por b.

Observemos que si quisieramos probar que dos triangulos son congruentes siguiendo la definicion, deberıamos

corroborar que los lados y angulos de uno son congruentes con los lados y angulos homologos del otro. Por lo

tanto necesitamos de mucha informacion.

Supongamos que tenemos como datos que dos lados de un triangulo miden longitudes a y b y el angulo

comprendido entre estos lados tiene una determinada medida r. ¿Cuantos triangulos distintos podemos constuir

con estos datos?

Consideremos dos segmentos de longitudes b y c y un angulo de medida r como en la figura. Elijamos ahora

dos puntos cualesquiera del plano A y A′ y marquemos puntos C y C ′ de modo que AC = A′C ′ = b. Sobre las

semirrectas−→AC y

−−→A′C ′ construimos un angulo de medida r, y sobre el segundo lado de estos angulos marcamos

puntos B y B′ de modo que AB = A′B′ = c.

Quedan ası determinados dos triangulos4

ABC y4

A′B′C ′ como se muestra en la figura.

43

Por construccion, AB = A′B′ = c, AC = A′C ′ = c y A = A′ = r. Utilizando el compas y el transportador

podemos corroborar que ademas BC = B′C ′, B = B′ y C = C ′.

Es decir que con los datos que tenemos podemos construir, salvo congruencia, un unico triangulo. Por lo

tanto para verificar que dos triangulos son congruentes basta verificar mucha menos informacion que la que

requiere la definicion.

Tenemos ası un criterio para determinar si dos triangulos son o no congruentes. Un criterio de congruencia

es una proposicion que nos dice que verificando solo cierta informacion, automaticamente los triangulos resultan

congruentes. En nuestro ejemplo, basta verificar que dos triangulos tienen dos lados y el angulo comprendido

entre ellos respectivamente congruentes para que los triangulos resulten congruentes.

Este resultado no puede deducirse del sistema axiomatico que hemos elaborado hasta ahora y por lo tanto

debemos postularlo como un axioma nuevo:

Axioma 17: Si entre los vertices de dos triangulos existe una correspondencia de modo que dos lados de

uno son congruentes con los respectivos lados homologos del otro y los angulos comprendidos entre ellos

son congruentes, entonces los triangulos son congruentes.

El axioma 17 se denomina primer criterio de congruencia de triangulos, o criterio LAL (lado-angulo-lado).

Dedicaremos el resto de esta seccion a estudiar algunas propiedades importantes de angulos y triangulos que

son consecuencia de este axioma.

Teorema 4. (Pons Asinorum) En un triangulo isosceles, los angulos opuestos a los lados congruentes

son congruentes.

Daremos una demostracion muy simple de este teorema que es una aplicacion inmediata de la definicion de

congruencia y del axioma 17 y fue dada por Pappus (alrededor del 300 d.C). Existe una segunda demostracion

bastante difundida, que si bien tambies es elemental hace uso del Lema 17 incluido en el apendice, que presenta

cierta dificultad. La incluimos tambien en el apendice de esta unidad pues es la que aparece comunmente en los

libros de texto de geometrıa. Es muy recomendable su lectura, incluso obviando los detalles de la demostracion

del Lema 17.

Ninguna de las dos demostraciones es la demostracion original de Euclides. De hecho, este teorema es la

Proposicion 5 del Libro I de los Elementos. Su demostracion es tan intrincada que le ha valido el nombre de Pons

asinorum, puente del asno, pues es el primer obstaculo que debıan superar los estudiantes cuando estudiaban a

Euclides.

Demostracion:

Consideremos un triangulo isosceles4

ABC con AB = BC. Sea s : {A,B,C} → {A,B,C} la correspon-

dencia dada por s(A) = C, s(B) = B y S(C) = A. Como por hipotesis AB = BC, un par de lados homologos

para esta correspondencia, y los angulos comprendidos entre ellos (B = B) son congruentes, luego los triangulos

son congruentes por axioma 17. Como el angulo homologo a A es C, resulta A = C. �

Como consecuencia inmediata obtenemos:

44

Corolario 5. En un triangulo equilatero los tres angulos interiores son congruentes.

Lema 6. La suma de dos angulos interiores de un triangulo es menor que un llano.

Demostracion:

Consideremos un triangulo cualquiera4

ABC. Debemos probar que A+ C < 1llano. Haremos para ello una

construccion auxiliar.

Sea O el punto medio del segmento AC. O es un punto interior de ˆABC y por lo tanto−−→BO ⊂ ˆABC. En

particular−−→BO es interior a semp←→

BC(O). Consideremos un punto D sobre la semirrecta opuesta a

−−→OB tal que

OB = OD (esto es posible por el axioma 14).

Entonces por construccion tenemos AO = OC = 12AC, BO = OD y ˆAOB = ˆCOD por ser opuestos por el

vertice.

Por el axioma 17 resulta4

AOB=c

4COD via la correspondencia s : {A,B,O} → {D,O,C} tal que s(A) = C,

s(B) = D y s(O) = O. Por lo tanto ˆOCD = A. Ahora bien, D es interior al angulo llano semp←→BC

(O) y por

Lema 3 resulta ˆBCD < 1llano. Pero ˆBCD = C + ˆOCD = C + A, lo que concluye la prueba. �

4.1. Ejercicios propuestos

1. Sean4

ABC y4

XY Z dos triangulos. Para cada una de las correspondencias siguientes, nombrar todos los

pares de lados y angulos homologos.

a) s : {A,B,C} → {X,Y, Z} tal que s(A) = Y , s(B) = Z, s(C) = X.

b) t : {A,B,C} → {X,Y, Z} tal que s(A) = X, s(B) = Z, s(C) = Y .

2. En las siguientes figuras se muestran, para cada item, dos triangulos congruentes4

ABC y4

XY Z. Utilizando

regla graduada y semicırculo, definir una correspondencia s entre sus vertices tal que los pares de lados y

angulos homologos para s se correspondadan con los lados y angulos congruentes de los triangulos.

45

3. Sea4

ABC un triangulo isosceles con AB = BC y sea D el punto de interseccion de la bisectriz del angulo

B con el lado AC. Demostrar que D es el punto medio de AC y que ˆADB = ˆCDB = 1R.

4. Sea ABCD un cuadrilatero con AB = BC. Demostrar que si la diagonal BD es bisectriz del angulo B

entonces AD = DC y A = C.

5. Considerar dos diametros AB y CD de una circunferencia. Demostrar que las cuerdas AC y BD son

congruentes.

5. Angulos determinados por dos rectas cortadas por una transversal

Sean r y s dos rectas coplanares distintas que son cortadas por una recta s, secante con ambas (pero que

no pase por el punto de interseccion entre r y s en caso que ellas sean secantes). Quedan ası determinados ocho

angulos como se muestra en la figura:

Los angulos γ, δ, α′ y β′ estan en la interseccion de dos semiplanos de los determinados por r y s y se

denominan angulos internos determinados por las rectas r y s cortadas por la transversal t.

Los angulos α, β, γ′ y δ′ estan en uno solo de los semiplanos determinados por r o s y se denominan

angulos externos determinados por las rectas r y s cortadas por la transversal t.

46

Definiciones:

• Los pares de angulos α y γ′, y β y δ′ se denominan angulos alternos externos entre las rectas r y s

cortadas por la transversal t.

• Los pares de angulos γ y α′, y δ y β′ se denominan angulos alternos internos entre las rectas r y s

cortadas por la transversal t.

• Los pares de angulos α y δ′, y β y γ′ se denominan angulos colaterales o conjugados externos entre

las rectas r y s cortadas por la transversal t.

• Los pares de angulos γ y β′, y δ y α′ se denominan angulos colaterales o conjugados internos entre

las rectas r y s cortadas por la transversal t.

• Los pares de angulos α y α′, β y β′, γ y γ′, y δ y δ′ se denominan angulos correspondientes entre las

rectas r y s cortadas por la transversal t.

Probaremos que estos angulos tienen propiedades particulares cuando las rectas r y s son paralelas.

Teorema 7. Los angulos colaterales internos o externos entre las rectas r y s cortadas por la transversal

t son suplementarios si y solo si r y s son rectas paralelas.

Antes de hacer la prueba, observemos que el Teorema plantea la equivalencia entre dos propiedades: que las

rectas r y s son paralelas y que los angulos colaterales internos (o externos) son suplemetarios. En la mayorıa de

los textos escolares de geometrıa suele incluirse una sola de las dos implicaciones. En general, se prueba que si

las rectas son paralelas, entonces los angulos colaterales son suplementarios. La recıproca, que demostraremos

que tambien es valida, suele obviarse, aunque, como veremos, resulta de gran importancia para probar que dos

rectas son paralelas. Volveremos sobre este punto mas adelante.

Demostracion:

Haremos la demostracion primero para los angulos colaterales internos.

⇒) Supongamos primero que r y s son rectas cortadas por una recta t de modo que los angulos colaterales

internos determinados son suplementarios. Debemos probar que entonces r || s.

Consideraremos los angulos δ y α′ de la figura al inicio de esta seccion. Por hipotesis δ y α′ son suplementarios,

es decir,

δ + α′ = 1llano (3)

Definamos los puntos A y B tales que {A} = r ∩ t y {B} = s ∩ t.Supongamos por el absurdo que r y s no son paralelas. Entonces deben cortarse en un punto P y queda ası

definido un triangulo4

ABP con A = δ y B = α′.

47

Por el Lema 8 debera ser δ + α′ < 1llano, lo que contradice (3). Por lo tanto r || s.

⇐) Supongamos ahora que r y s son dos rectas paralelas cortadas por la transversal t.

Sean nuevamente A y B los puntos de interseccion de r y s con t, respectivamente y sea θ un angulo

suplementario con α′. Nuestro objetivo es probar que θ = δ.

Por el axioma 16, existira un punto X en el semiplano delimitado por←→AB que contiene al angulo δ de modo

que ˆBAX = θ.

Consideremos la recta r′ =←→AX. Entonces t tambien corta a r′ en A, y los angulos α′ y ˆBAX son colaterales

internos entre las rectas r′ y s, cortadas por la transversal t.

Por construccion, α′ y ˆBAX son suplementarios y entonces, por la primera parte del teorema que ya hemos

probado, resulta r′ || s.

Tenemos entonces que r y r′ son ambas paralelas a s y pasan por el punto A, exterior a s. Por el axioma de

las paralelas sabemos que por un punto exterior a una recta pasa una unica recta paralela a la dada. Concluimos

que r = r′ y entonces δ = ˆBAX = θ es suplementario con α′.

La demostracion para los angulos colaterales externos sigue de la siguiente propiedad que probaremos en los

ejercicios: los angulos colaterales externos son suplementarios si y solo si los angulos colaterales internos son

suplementarios. �

Teorema 8. Los angulos alternos internos o externos entre las rectas r y s cortadas por la transversal t

son congruentes si y solo si r y s son rectas paralelas.

Demostracion:

⇒) Supongamos primero que r y s son rectas cortadas por una recta t de modo que los angulos alternos internos

determinados son congruentes. Debemos probar que entonces r || s.

Usaremos la notacion del inicio de la seccion. Consideremos los angulos alternos internos δ y β′. Observemos

que α′ y β′ son suplementarios, pues son angulos adyacentes.

48

Como estamos suponiendo que δ = β′, α′ y δ resultan suplementarios. Pero α′ y δ son angulos colaterales

internos entre las rectas r y s cortadas por la transversal t. Luego por el Teorema 7 resultan r y s paralelas.

⇐) Supongamos ahora que r || s, probaremos que δ = β′. Por el Teorema 7 sabemos que δ + α′ = 1llano, con

lo cual resulta α′ = 1llano− δ. Por otra parte, α′ y β′ son suplementarios, con lo cual

β′ = 1llano− α′ = 1llano− (1llano− δ) = δ,

como querıamos probar.

La prueba para los angulos alternos externos sigue de observar que los angulos alternos externos son opuestos

por el vertice de un par de angulos alternos internos. Dejamos los detalles como ejercicio. �

La demostracion del siguiente teorema es completamente analoga a la del Teorema 8 y la dejamos como

ejercicio.

Teorema 9. Los angulos correspondientes entre las rectas r y s cortadas por la transversal t son con-

gruentes si y solo si r y s son rectas paralelas.

Como consecuencia de estos teoremas obtenemos el siguiente conocido resultado:

Teorema 10. La suma de los angulos interiores de un triangulo es un llano.

Demostracion:

Sea4

ABC un triangulo. Trazamos por el punto A la unica recta r, paralela a←→BC, que pasa por A. Sean X

e Y dos puntos de r de modo que A esta entre X e Y , como se muestra en la figura.

Es claro queˆXAB + A+ ˆY AC = 1llano. (4)

Por otra parte, ˆXAB = B pues son alternos internos entre las paralelas r y←→BC cortadas por la transversal

←→AB. Analogamente resulta ˆY AC = C. Reemplazando en 4 resulta A+ B + C = 1llano. �

Utilizando el Teorema 10 podemos calcular la suma de los angulos interiores de cualquier polıgono.

Consideremos por ejemplo un cuadrilatero ABCD. Trazando la diagonal BD quedan determinados dos

triangulos4

ABD y4

BCD. Aplicando el Teorema 10 tenemos

A+ ˆABD + ˆBDA = 1llano, ˆDBC + C + ˆCDB = 1llano

Sumando miembro a miembro ambas igualdades resulta A+ B + C + D = 2 · (1llano).

49

En grados sexagesimales resulta que la suma de los angulos interiores de un cuadrilatero es 360◦.

Consideremos ahora un pentagono ABCDE. Trazando las diagonales desde un punto quedan determinados

tres triangulos y por lo tanto la suma de sus angulos interiores es 3 · (1llano). En los ejercicios propuestos

obtendremos una formula general para determinar la suma de los angulos interiores de un polıgono, siguiendo

este procedimiento.

Definiremos ahora que entendemos por angulo exterior a un polıgono.

Definicion:

• Sea A1A2 · · ·An un polıgono de n vertices. Se llama angulo exterior del polıgono a cada uno de los

angulos adyacentes a los angulos del polıgono.

En la siguiente figura se muestran los angulos exteriores de un triangulo y un cuadrilatero.

Teorema 11. En todo triangulo cada angulo exterior es la suma de los angulos interiores no adyacentes

a el.

Demostracion:

Consideremos un triangulo4

ABC como en la figura anterior y sea α el angulo exterior adyacente al angulo

A. Debemos probar que α = B + C.

Ahora bien, A+ α = 1llano y A+ B + C = 1llano, de donde B + C = 1llano− A = α. �

Finalizamos esta seccion definiendo que entendemos por rectas perpendiculares y probando su existencia.

Observemos primero que dos rectas distintas que se intersecan, determinan cuatro angulos. Dos cualesquiera

de estos angulos son opuestos por el vertice o adyacentes. En la figura de la pagina 46, por ejemplo, α y β son

adyacentes y α y δ son opuestos por el vertice. Por lo tanto, si uno cualquiera de ellos es recto, los otros tres

deben ser congruentes con el y por lo tanto tambien son angulos rectos.

50

Definicion:

Dos rectas que se cortan determinando cuatro angulos rectos se denominan perpendiculares. Si r y s son

perpendiculares se denotan r ⊥ s.

Recordemos que antes de dar la definicion hemos observado que basta verificar que dos rectas se corten

formando al menos un angulo recto para que sean perpendiculares.

Teorema 12. Dada una recta r y un punto P en un plano α, existe una unica recta s ⊂ α que es

perpendicular a r y que pasa por P .

Demostracion: Sean r una recta en un plano α y supongamos primero que P ∈ r. Consideremos un punto

cualquiera Q ∈ r tal que Q 6= P . Elijamos uno de los semiplanos que define r. Por el axioma 16, existe un

punto Y tal que ˆQPY = 1R.

Entonces s =←→PY es una recta que forma un angulo recto con r y por lo tanto r⊥s.

La unicidad viene dada por el mismo axioma 16: si existiera mas de una recta perpendicular, serıa posible

trasladar de mas de una forma un angulo recto tomando como lado inicial la semirrecta−−→PQ y tal que el angulo

este contenido en el semiplano semp←→PQ

(Y ).

Supongamos ahora que P /∈ r. Elijamos un punto Q ∈ r cualquiera y sea←→QY la unica perpendicular a r

por Q. Sea s la unica recta paralela a←→QY que pasa por P y sea {T} = r ∩ s.

Como s y←→QY son paralelas, por el Teorema 7 resulta que ˆY QP y ˆPTQ son suplementarios. Al ser ˆY QP =

1R, resulta ˆPTQ = 1R y por lo tanto s⊥ r.

Para probar la unicidad, supongamos que existe una segunda recta s′ perpendicular a r que pase por P .

Probaremos en el ejercicio 14 de esta seccion que entonces s′ es paralela a←→QY . Pero entonces por P pasan las

paralelas s y s′ a←→QY y por el axioma de las paralelas debe ser s′ = s. �

51

5.1. Ejercicios propuestos

1. En la siguiente figura, r || s y α = 27◦32′31′′.

a) Agrupar los angulos α, β, γ, δ, ε y θ en pares de angulos correspondientes, alternos internos, alternos

externos, colaterales internos y colaterales externos entre las paralelas r y s cortadas por t.

b) Calcular la medida de todos los angulos marcados en la figura.

2. Calcular todos los angulos de las siguientes figuras, utilizando los datos que se indican en cada caso.

3. Calcular la medida de los angulos interiores del triangulo4

ABC, utilizando los datos que se indican en

cada caso.

4. Probar que en un triangulo equilatero cada angulo mide 60◦.

5. Un triangulo se denomina rectangulo si uno de sus angulos interiores es recto. Sea4

ABC un triangulo

rectangulo con B = 1R (decimos que4

ABC es rectangulo en B). Sea D ∈ AC de modo que ˆADB = 1R.

Demostrar que A = ˆDBC.

52

6. a) En un triangulo rectangulo, uno de los angulos no rectos es el cuadruplo del otro. Determinar la

medida de los angulos interiores del triangulo.

b) Demostrar que en un triangulo rectangulo los dos angulos interiores no rectos son complementarios.

7. Sean X y T dos puntos y sea Z el punto medio del segmento XT . Sea Y un punto no alineado con X y

T de modo que ZT = ZY . Demostrar que ˆY XZ = 12

ˆY ZT .

8. Demostrar que la suma de los tres angulos exteriores de un triangulo (cada uno adyacente a un angulo

interior distinto) es 360◦.

9. En un cuadrilatero ABCD se tiene A = 2B, C = 3D, D = 16A. Calcular la medida de todos los angulos

interiores.

10. Demostrar que en un rectangulo ABCD se verifica←→AB ||

←→CD y

←→BC ||

←→AD. Es decir, todo rectangulo es

un paralelogramo.

11. Demostrar que la suma de los angulos interiores de un polıgono de n lados es 2R(n− 2).

12. En un hexagono, tres de sus angulos interiores suman 127◦49′15′′. Los otros tres angulos son congruentes.

¿Cual es la medida de cada uno de estos angulos congruentes?

13. Sean r y s dos rectas distintas tal que r || s y sea α el plano que las contiene. Demostrar que si t ⊂ α es

tal que t ⊥ r, entonces t ⊥ s.

14. Sean r y s dos rectas distintas tal que r ⊥ s y sea α el plano que las contiene. Demostrar que si t ⊂ α

es tal que t ⊥ r, entonces t || s.

15. Dado un triangulo isosceles4

ABC con AB = BC, se traza una recta paralela a←→AC que corta a AB en

D 6= B y a BC en E 6= B. Probar que4

DBE es isosceles.

16. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas justificando la respuesta.

a) Ningun triangulo escaleno es isosceles.

b) Hay triangulos isosceles que son equilateros.

c) Un triangulo puede tener dos angulos obtusos.

d) Un pentagono tiene a lo sumo tres angulos

agudos.

e) Un cuadrilatero puede tener cuatro angulos ob-

tusos.

17. Demostrar que la suma de los angulos exteriores de cualquier polıgono es igual a dos llanos.

18. Calcular el numero de lados de un polıgono si se sabe que cada uno de sus angulos interiores es 152 veces

el angulo exterior adyacente a el.

19. Probar que si en un cuadrilatero ABCD se tiene A = C y B = D, entonces←→AB ||

←→CD.

53

6. Relaciones de desigualdad en el triangulo

Consideremos un triangulo4

ABC cualquiera. Determinemos con regla y semicırculo la longitud de sus lados

y la medida de sus angulos. Utilizamos como ejemplo el siguiente triangulo.

AB = ....., BC = ....., CD = ....., A = .........., B = .........., C = ..........

Si ordenamos los lados y los angulos segun su medida de menor a mayor obtenemos:

lados: ..... < ..... < ...... angulos: ..... < ..... < ......

Observemos que AB es el lado opuesto al angulo C, BC es el lado opuesto al angulo A y AC es el lado

opuesto al angulo B. Es decir, que los lados estan ordenados de la misma manera que los angulos a los que se

oponen. Esta es una propiedad general de los triangulos que enunciamos en el siguiente teorema.

Teorema 13. En todo triangulo a mayor lado se opone mayor angulo y viceversa.

Demostracion:

Consideremos un triangulo4

ABC. Tomemos dos lados cualesquiera, por ejemplo AB y BC y supongamos

que AB > BC. El angulo que se opone a AB es C y el que se opone a BC es A. Debemos probar entonces

que C > A.

Como AB > BC, podemos considerar un punto D ∈ AB tal que DB = BC. El punto D es un punto

interior al angulo C y entonces por el Lema 3 resulta C > ˆBCD.

Por otra parte,4

DBC es isosceles con DB = BC y entonces por el Teorema 4 resulta ˆBCD = ˆBDC.

Finalmente, por el Teorema 11, ˆBDC = A + ˆDCA > A, con lo cual C > ˆBCD = ˆBDC > A como

querıamos probar.

Supongamos ahora que sabemos que C > A y queremos probar que AB > BC. Si fuese BC > AB por lo

que acabamos de probar deberıa ser A > C. Y si fuese AB = BC, por el Pons Asinorum serıa A = C. Como

ambas opciones contradicen la hipotesis, debe ser AB > BC. �

54

Como consecuencia, resulta que un triangulo que tiene dos angulos congruentes es isosceles. Si no lo fuera,

uno de los lados que se oponen a estos angulos serıa mayor que el otro, pero entonces los angulos que se les

oponen deberıan mantener la misma relacion, lo que contradice que sean congruentes.

De la misma manera resulta que un triangulo con tres angulos congruentes es equilatero.

Resumimos estos resultados en el siguiente corolario.

Corolario 14. Si un triangulo tiene dos angulos congruentes es isosceles y si tiene los tres angulos con-

gruentes es equilatero.

Concluiremos esta unidad probando la denominada desigualdad triangular. Hemos definido la distancia entre

dos puntos como la longitud del segmento que los une. Motivo esta definicion el hecho que, intuitivamente, la

curva mas corta uniendo dos puntos es un segmento de recta.

Supongamos que debemos ir de un punto A a un punto B. Es evidente que el camino mas corto sera ir

directamente por el segmento AB, y no desviar por el punto C.

Si expresamos este hecho en terminos de los lados de un triangulo, tenemos el siguiente resultado:

Teorema 15. Desigualdad triangular: En todo triangulo, la suma de las longitudes de dos lados es

mayor que la longitud del tercer lado.

Demostracion:

Consideremos un triangulo4

ABC cualquiera. Probaremos que AB + BC > AC. Haremos para ello una

construccion auxiliar.

Sobre la semirrecta−−→AB marcamos un punto D tal que B esta entre A y D y tal que BD = BC. Entonces,

por construccion, resulta

AD = AB +BD = AB +BC.

Bastara entonces probar que AD > AC.

Por construccion, el triangulo4

DCB es isosceles, con BD = BC. Luego, por el Teorema 4, ˆBDC = ˆBCD.

Tenemos entoncesˆACD = ˆACB + ˆBCD = ˆACB + ˆBDC > ˆBDC.

55

Si consideramos el triangulo4

ACD, el angulo ˆACD se opone al lado AD y el angulo ˆBDC se opone al lado

AC. Aplicando el Teorema 13 concluimos que debe ser AD > AC como querıamos probar. �

Podemos reescribir la desigualdad triangular en terminos de distancia de la siguiente manera: dados tres

puntos no alineados A, B y C, siempre se verifica

d(A,B) + d(B,C) > d(A,C).

Mas aun, se verifica:

Teorema 16. Dados tres puntos distintos A, B y C, B esta entre A y C si y solo si

d(A,C) = d(A,B) + d(B,C).

Demostracion:

⇒) Sean A, B y C tres puntos del espacio. Supongamos primero que A, B y C estan alineados y que B esta entre

A y C. Entonces es inmediato del axioma 13 que AB+BC = AC y por lo tanto d(A,B)+d(B,C) = d(A,C)

como querıamos probar.

⇐) Supongamos ahora que A, B y C son puntos del espacio tales que d(A,B) + d(B,C) = d(A,C).

En primer lugar debemos ver que estan alineados. Pero si no lo estuviesen, A, B y C serıan los vertices de

un triangulo y por el Teorema 16 tendrıamos d(A,B)+d(B,C) > d(A,C), lo que contradice nuestra hipotesis.

Ahora que sabemos que A, B y C son puntos alineados, tenemos tres posibilidades: A esta entre C y B,

C esta entre A y B o B esta entre A y C.

En el primer caso, nuevamente aplicando el axioma 13, se tiene CA+AB = CB. O sea, d(B,C) = d(A,C) +

d(A,B). Sumando miembro a miembro de esta igualdad el numero real d(B,C) se tiene

d(A,B) + d(B,C) = d(A,C) + 2d(A,B) > d(A,C)

lo que contradice la hipotesis.

En el segundo caso, se tiene AC + CB = AB. Luego d(A,C) + d(B,C) = d(A,B) y por lo tanto

d(A,B) + d(B,C) = d(A,C) + 2d(B,C) > d(A,C), lo que tambien contradice la hipotesis.

Luego debe verificarse el tercer caso, es decir, B esta entre A y C. �

Resumiendo, la distancia entre puntos tiene las siguientes propiedades:

d(A,B) ≥ 0 y d(A,B) = 0 si y solo si A = B.

d(A,B) + d(B,C) ≥ d(A,C), y vale la igualdad si y solo si A = B o B = C o B esta entre A y C.

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6.1. Ejercicios propuestos

1. Determinar en cada una de las siguientes figuras cual es el segmento de mayor longitud.

2. Determinar si es posible construir con regla y compas un triangulo cuyos lados tengan las longitudes a, b

y c dadas en cada caso. Si es posible, construirlo.

a) a = 2cm, b = 2cm, c = 4cm.

b) a = 2cm, b = 3cm, c = 4cm.

c) a = 4cm, b = 2cm, c = 7cm.

d) a = 4cm, b = 4cm, c = 8, 5cm.

3.

En la siguiente figura, AE ∩DB = {C}, A > B y E > D.

a) Demostrar que DB > AE.

b) Si CB > AB y DE > DC, demostrar que A > E

4. En un triangulo4

XY Z, X > Z. Probar que para cualquier punto T ∈ XZ, T 6= X, T 6= Z resulta

Y Z > Y T .

5. Probar que en todo cuadrilatero la longitud de cada lado es menor que la suma de las longitudes de los

otros tres.

6. Probar que el perımetro de un cuadrilatero es mayor que la suma de las longitudes de sus diagonales.

7. Probar que en todo triangulo el segmento de mayor longitud entre todos los determinados por puntos

sobre sus lados, es el mayor de los lados.

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7. Apendice: Demostracion del Lema 3

Para poder demostrar el Lema 3 necesitaremos del siguiente resultado previo:

Lema 17. Dado un angulo ˆABC no nulo y cualquier punto D interior a ˆABC resulta−−→BD ∩AC 6= ∅.

Demostracion:

Sea D un punto interior de ˆABC. Observemos primero que por el ejercicio 10, de la seccion 6.1, de la

Unidad 1,−−→BD ⊂ ˆABC.

Probaremos primero que A y C no pueden estar en el mismo semiplano de los que determina←→BD.

Consideremos un punto A′ sobre←→AB de modo que

−−→BA y

−−→BA′ sean semirrectas opuestas. Entonces

AA′ ∩←→BD = {B} 6= ∅

y por lo tanto A y A′ estan en semiplanos distintos de los que determina←→BD.

Bastara entonces probar que C ∈ semp←→BD

(A′). Como ni A′ ni C son puntos de←→BD, deberemos ver que

A′C ∩←→BD = ∅.

Observemos que AA′ ∩←→BC = {B}, o sea que A y A′ estan en semiplanos distintos de los que define

←→BC.

Como−−→BD ⊂ semp←→

BC(A) y A′C ⊂ semp←→

BC(A′) resulta

A′C ∩−−→BD = ∅ (5)

Sea ahora D′ un punto sobre la semirrecta opuesta a−−→BD. Entonces DD′ ∩

←→AA′ = {B} y por lo tanto D y

D′ estan en semiplanos opuestos de los que define←→AA′.

Como D es interior a ˆABC, en particular D ∈ semp←→AB

(C) = semp←−→AA′(C) y por lo tanto C ∈ semp←−→

AA′(D).

Resulta entonces A′C ⊂ semp←−→AA′(D) y como

−−→BD′ ⊂ semp←−→

AA′(D′), se tiene

A′C ∩−−→BD′ = ∅. (6)

De manera analoga se prueba que

AC ∩−−→BD′ = ∅. (7)

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De (5) y (6) se tiene A′C ∩←−→DD′ = ∅.

Concluimos que A′ y C estan en el mismo semiplano de los que determina←−→DD′ como querıamos probar. O

sea que A y C estan en semiplanos distintos de los que determina←−→DD′. Luego

AC ∩←−→DD′ 6= ∅.

Pero de la ecuacion (7), AC ∩−−→BD′ = ∅. Luego debe ser AC ∩

−−→BD 6= ∅. �

Demostracion del Lema 3:

⇒) Supongamos primero que D es un punto interior a ˆABC. Entonces, la semirrecta−−→BD esta completamente

contenida en ˆABC. Ademas−−→BD 6=

−−→BA y

−−→BD 6=

−−→BC pues D es un punto interior, es decir, no esta sobre los

lados del angulo. Por el Lema 17, A y C estan en semiplanos distintos de los que define←→BD y por lo tanto

semp←→BD

(A) ∩ semp←→BD

(C) =←→BD.

Luego

ˆABD ∩ ˆDBC = semp←→BD

(A) ∩ semp←→BA

(D) ∩ semp←→BD

(C) ∩ semp←→BC

(D)

=←→BD ∩ semp←→

BA(D) ∩ semp←→

BC(D) =

←→BD ∩ ˆABC

=−−→BD.

Entonces ˆABD y ˆDBC son angulos consecutivos cuya suma es el angulo ˆABC. Luego por el axioma 15 resulta

m( ˆABD) +m( ˆDBC) = m( ˆABC) con lo cual 0 < m( ˆABD) < m( ˆABC).

⇐) Supongamos ahora que D ∈ semp←→AB

(C) y 0 < ˆABD < ˆABC. De la ultima hipotesis deducimos que D no

puede ser un punto sobre los lados del angulo. Luego D es un punto interior del angulo o bien D ∈ C( ˆABC).

Supongamos por el absurdo que ocurre la segunda opcion como se muestra en la figura.

Entonces ˆABC y ˆCBD son consecutivos y por lo tanto m( ˆABC) +m( ˆCBD) = m( ˆABD). En particular

m( ˆABD) > m( ˆABC) lo que contradice la hipotesis. Concluimos que D debe ser un punto interior a ˆABC. �

Aplicando el Lema 17 daremos una segunda demostracion del Teorema 4

Demostracion 2 del Pons Asinorum:

Consideremos un triangulo isosceles4

ABC con AB = BC. Consideremos la bisectriz del angulo B. Esta es

una semirrecta interior al angulo, y por el Lema 17 interseca al lado AC en un punto D.

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Comparando los triangulos4

ADB y4

CDB resultan AB = BC por hipotesis, BD es un lado comun a ambos

triangulos, y ˆABD = ˆCBD = 12

ˆABC. Luego por axioma 17,4

ADB=c

4CDB y en particular A = C. �

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