Planos segmentos-angulos

MATEMÁTICA

GEOMETRÍA

LÍNEAS

Una línea es una sucesión de puntos del plano

Las líneas pueden ser:

Rectas Curvas Abiertas Cerradas

LÍNEAS RECTASUna línea recta es una sucesión de puntos del plano situados en la misma dirección y que no tiene principio ni final.

Una semirrecta es parte de la recta limitada por un punto.

Un segmento es una parte de la recta limitada por dos puntos.

RELACIONES ENTRE LÍNEAS RECTAS

Dependiendo de su situación una línea recta con respecto a otra puede ser:

Paralelas Secantes Perpendiculares

Cuando situamos varios segmentos uno a continuación de otro formamos una línea poligonal

LÍNEAS POLIGONALES

UN PLANO

Imagina una hoja como ésta, pero infinitamente grande, en donde no hubiera límites o bordes; es algo muy difícil de imaginar, porque algo así no existe en la realidad. Pero si existe en la “imaginación” de la Geometría, pues eso sería UN PLANO.

¿ Y por qué son tan importantes los planos ? Pues para entender e imaginar los demás elementos geométricos que se estudiarás en este curso y en cursos venideros , dado que casi todos ellos nos los tenemos que imaginar dentro de un plano: las rectas, los segmentos, los puntos, los ángulos, etc.

ANGULOS

TEORIA

PROLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS

Los ángulos

Al trazar dos rectas secantes (rectas que se cortan) , el plano queda dividido en cuatro zonas. Cada una de ellas es un ángulo .

1

2

3

4

Elementos de un ánguloElementos de un ángulo

Lado

Lado

Vértice

Abertura o Amplitud

β αO

A

B

ANGULO.-Es la abertura formado por dos rayos divergentes que tienen un extremo común que se denomina vértice.

ELEMENTOS DE UN ANGULO:

Medición de ángulos ( I )

Los ángulos, igual que otras cosas también se pueden medir, pero lo hacemos utilizando como unidad, otro ángulo muy pequeño al que llamamos grado, igual que las rectas o las carreteras se miden en metros, en kilómetros, etc.

También se mide tu peso en kilogramos o la cantidad de refresco que te tomas, en litros, centilitros, etc.

¿ Por qué se ha utilizado esta medida exacta ? Porque es la que resulta de dividir una circunferencia en 360 partes iguales. Cada una , es un GRADO .

Medición de ángulos ( II )Un ángulo es la porción del plano comprendido entre dos semirrectas que tienen el mismo origen.

Observa en la siguiente figura que dos semirrectas con un origen común , determinan siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, A y B. Al ángulo A se le llama ángulo convexo, mientras que el ángulo B recibe el nombre de cóncavo.

Para medir la amplitud o medida de un ángulo, se utiliza un instrumento llamado transportador de ángulos o limbo graduado. Tiene forma de semicírculo y mide 180 grados. Tiene una marca horizontal y otra vertical cuya intersección debe coincidir con el vértice del ángulo que deseamos medir , la línea horizontal coincidirá con uno de los lados , mientras que el otro lado pasará por una cifra o marca que nos indicará su amplitud. Así si pasa por la marca 60 grados y cinco rayitas nuestro ángulo medirá 65 grados

Medida de ángulos ( III )

Transportador de ángulos

Clases de ángulos

º º

α 0º < α < 180º

0º < β < 90ºβ

CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA

a) ÁNGULO CONVEXO

a.1) ÁNGULO AGUDO

θ = 90º

α 90º < α < 180º

θ

a.2) ÁNGULO RECTO

a.3) ÁNGULO OBTUSO

α + β = 90º

θ + δ = 180º

δθ

αβ

CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA

a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

α β δ εφ

α α

CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN

a) ÁNGULOS ADYACENTES b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

Son congruentes

Puede formar más ángulosUn lado común

01. Ángulos alternos internos: m ∠3 = m ∠5; m ∠4 = m ∠6

02. Ángulos alternos externos: m ∠1 = m ∠7; m ∠2 = m ∠803. Ángulos conjugados internos: m ∠3+m ∠6=m ∠4+m ∠5=180°

04. Ángulos conjugados externos: m ∠1+m ∠8=m ∠2+m ∠7=180°

05. Ángulos correspondientes: m ∠1 = m ∠5; m ∠4 = m ∠8 m ∠2 = m ∠6; m ∠3 = m ∠7

ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE

1 2

34

5 6

78

α + β + θ = x + y

α

β

θ

x

y

01.-Ángulos que se forman por una línea poligonal entre dos rectas paralelas.

PROPIEDADES DE LOS ANGULOS

α

β

θ

δ

ε

α + β + θ + δ + ε = 180°

02.- ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS

α + β = 180°

α β

03.- ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES

El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo “X” es igual al duplo del complemento del ángulo “X”. Calcule la medida del ángulo “X”.

90 - { ( ) - ( ) } = ( )180° - X 90° - X 90° - X2

90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X

90° - 90° = 180° - 2X

2X = 180° X = 90°

RESOLUCIÓN

Problema Nº 01

La estructura según el enunciado:

Desarrollando se obtiene:

Luego se reduce a:

La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el complemento del primer ángulo es el doble de la medida del segundo ángulo. Calcule la diferencia de las medidas de dichos ángulos.

Sean los ángulos: α y βα + β = 80° Dato: β = 80° - α ( 1 )

( 90° - α ) = 2β ( 2 )

Reemplazando (1) en (2):

( 90° - α ) = 2 ( 80° - α )

90° - α = 160° -2α

β = 10°

α = 70°

α - β = 70°-10°

= 60°

Problema Nº 02

RESOLUCIÓN

Dato:

Diferencia de las medidas

Resolviendo

La suma de sus complementos de dos ángulos es 130° y la diferencia de sus suplementos de los mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos ángulos.

Sean los ángulos: α y β

( 90° - α ) ( 90° - β ) = 130°+β + α = 50° ( 1 )

( 180° - α ) ( 180° - β ) = 10°-β - α = 10° ( 2 )

Resolviendo: (1) y (2)

β + α = 50° β - α = 10°

(+)

2β = 60°

β = 30°

α = 20°

Problema Nº 03

RESOLUCIÓN

Del enunciado:

Del enunciado:

Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC (AOB<BOC), se traza la bisectriz OM del ángulo AOC; si los ángulos BOC y BOM miden 60° y 20° respectivamente. Calcule la medida del ángulo AOB.

A B

O C

M

αα

60°

20°X

De la figura:

α = 60° - 20°

Luego:

X = 40° - 20°

α = 40°

X = 20°

Problema Nº 04

RESOLUCIÓN

La diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC con el lado OB.

A

O

B

C

θ

θX

(θ- X)

( θ + X) (θ - X) = 30º

2X=30º

X = 15°

Problema Nº 05

RESOLUCIÓN

M

Construcción de la gráfica según el enunciado

Del enunciado:

AOB - OBC = 30°

-

Luego se reemplaza por lo queSe observa en la gráfica

Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que la m∠AOC = m∠BOD = 90°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.

A

C

B

D

M

N

αα

ββ

θX

De la figura:

2α + θ = 90°θ + 2β = 90°

( + )

2α + 2θ + 2β = 180°α + θ + β = 90°

X = α + θ + β

X = 90°

Problema Nº 06

RESOLUCIÓNConstrucción de la gráfica según el enunciado

Si m // n . Calcule la medida del ángulo “X”

80°

30°

αα

θθ

X

m

n

Problema Nº 07

2α + 2θ = 80° + 30°

Por la propiedad

Propiedad del cuadrilátero cóncavo

α + θ = 55° (1)

80° = α + θ + X (2)

Reemplazando (1) en (2)

80° = 55° + X

X = 25°

80°

30°

αα

θθ

X

m

n

RESOLUCIÓN

Si m // n . Calcular la medida del ángulo “X”

5α

4α 65°

X

m

n

Problema Nº 08

5α

4α 65°

X

m

n

Por la propiedad:

4α + 5α = 90°

α = 10°

Ángulo exterior del triángulo

40° 65°

X = 40° + 65°

X = 105°

RESOLUCIÓN

Si m // n . Calcule la medida del ángulo ”X”

α

2α

x

m

n

θ

2θ

Problema Nº 01

3α + 3θ = 180°

α + θ = 60°

Ángulos entre líneas poligonales

X = α + θ X = 60°

RESOLUCIÓN

α

2α

x

m

n

θ

2θ

x

Ángulos conjugados internos

PROBLEMA 01.- Si L1 // L2 . Calcule la m ∠ x

A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°

x

αα

ββ

4x

3x L1

L2

m

n

30°

X

PROBLEMA 02.- Si m // n . Calcule la m ∠ x

A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48°

PROBLEMA 03.- Si m // n . Calcule la m ∠ α

A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45°

3α

3α3α

α

m

n

PROBLEMA 04.- Si m // n . Calcule el valor de “x”

A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°

40°

95°

αα

2x

m

n

PROBLEMA 05.- Calcule la m ∠ x

A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120°

3α

6α

x

α4θ

4αθ

Xm

n


A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°

A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45°

PROBLEMA 07.- Si. Calcule la m ∠ x

88°

24°

x

αα

θθ

m

n


20°

30°

X

m

n

A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30°

PROBLEMA 09.-Si m//n y θ- α = 80°. Calcule la m∠x

A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°

θθ

x

αα

m

n


A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°

x

x

x

m

n

PROBLEMA 11.- Si m // n . Calcule la m ∠ α

A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60°

180°-2α

α

2αm

n


A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50°

αα

θθ

x

80°

m

n


A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°

80°

αα

β β

m

n

x

REPUESTAS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

1. 20º 8. 50º

2. 30º 9. 80º

3. 45º 10. 30º

4. 10º 11. 60º

5. 120º 12. 40º

6. 36º 13. 50º

7. 32º

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