1. CONCEPTOS GEOMETRICOS FUNDAMENTALES

2. FIGURAS GEOMETRICAS

3. LINEAS

4. ANGULOS

5. TRIANGULOS

6. AREAS DE REGIONES PLANAS

7. CUADRILÁTEROS

8. CIRCUNFERENCIA

9.- EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Regresar Continuar

ESPACIO

PLANO

PUNTO

RECTA

EL PUNTO

La idea intuitiva de un punto geométrico nos da la marca que deja en el papel la punta bien afilada de un lápiz, o un grano de arena muy pequeño.El punto no tiene dimensión.

Se le representa por el punto ortográfico (.) y colocando una letra mayúscula al costado. Así:

A. P. K.

punto A punto P punto K

Regresar Continuar

LA RECTA

La recta es una sucesión infinita de puntos alineados, por eso es que

posee una longitud infinita.

A las rectas se les representa:

Regresar Continuar

.............

Lrecta m AB

L

recta recta

m . .A B

EL PLANO

La superficie del piso, una hoja de papel, la superficie de una pizarra, nos dan

la idea intuitiva del plano geométrico.

Un plano geométrico es una superficie ilimitada que no tiene espesor.

Se le representa:

Regresar Continuar

P Q

Plano PPlano Q

ESPACIO

La idea intuitiva de espacio , viene a ser una extensión indefinida de

tres dimensiones es decir un lugar tan grande donde caben todos los

objetos reales o imaginarios.

Regresar Continuar

Una figura geométrica es un conjunto de puntos que tiene forma,

tamaño y posición. Se clasifica:

Figuras congruentes Figuras semejantes

Figuras equivalentes Figura convexa

Figura cóncavaRegresar Continuar

FIGURAS CONGRUENTES

Son aquellas que tienen igual forma y tamaño.

ABCD = PQRS

símbolo de congruencia

Regresar Continuar

A

B C

D P

Q R

S

4cm.

4cm.

4cm.

4cm.

=

FIGURAS SEMEJANTES

Son semejantes cuando tienen igual forma, pero diferente tamaño.

ABC MNQ

símbolo de semejanza

Regresar Continuar

A

B

C M

N

Q

6cm. 6cm.

6cm.

2cm. 2cm.

2cm.

FIGURAS EQUIVALENTES

Son equivalentes cuando tienen diferente forma, pero igual tamaño.

Regresar Continuar

A B. .M

N

Q

R

.

.

. .

12cm.3cm. 5cm.

4cm.Longitud AB=longitud MNQR

Área(1) = área(2)

: Símbolo de

equivalencia(1) (2)

<>

<>

<>

FIGURA CONVEXA

Es cuando una recta secante corta al contorno de la figura como

máximo en dos puntos.

Regresar Continuar

1

2 Recta secante

.

.

FIGURA CONCAVA

Es cuando una recta secante corta al contorno de la figura en más de

dos puntos.

Regresar Continuar

1

2

3

4

recta secante

a. Líneas rectas

c. Línea mixta

Regresar

b. Líneas curvas

d. Línea quebrada o poligonal

Continuar

e. Partes de la línea recta

. .A B

L

..

...

. .

Partes de la Línea recta

Semirrecta:

semirrecta AB semirrecta AC

Rayo:

rayo AB rayo AC

A

origenC B

origen

A

C B

• Segmento: Porción de línea recta comprendida entre dos puntos

Regresar Continuar

. .A B

AB : Se lee segmento AB

AB = BA

5cm.

AB= 5cm o m AB = 5cm.

A B

M4cm. 4cm.

AM = MB AM = MB = AB2

EJEMPLOS

1.-Sobre una recta se toma 3 puntos consecutivos A;B;C. De tal manera que

BC =3AB.hallar la longitud de AB si AC =36cm

AB + BC = AC A B C

x+3x=36 x 3x

4x= 36 AB= 9cm

x=9cm

2.-sobre una recta se toma los puntos A;B;C y D en forma consecutiva de modo que AC=18m; BD=16m y AD= 30m.determina la longitud de BC

AB + BD = AD A B C D

AB+16 = 30

AB= 14 18cm

AB +BC =18 16cm

14 +BC =18 30cm

BC=4 cm

ANGULOS

1. ANGULOS ESPECIALES

2. TEOREMAS DE LOS ANGULOS

3. PROPIEDADES DE LOS ANGULOS

4. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO

5. ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS AL

SER CORTADAS POR UNA RECTA SECANTE

6. PROPIEDADES DE LOS ANGULOS ENTRE PARALELAS

Continuar Regresar

O

A

B

ANGULO.-Es la abertura formado por dos rayos

divergentes que tienen un extremo común que se denomina

vértice.

ELEMENTOS DE UN ANGULO:

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS

1 – Según su medida

Agudo: AÔB 90º

A

B B

B

BB

O O

O

O

O

A

A

A

A

Obtuso: AÔB 90ºRecto: AÔB = 90º

LLano: AÔB = 180º

Completo: AÔB = 360º

2 – Según su posición

2.1 Consecutivos: son ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común

2.2 Adyacentes: son dos ángulos consecutivos cuyos lados no comunes son líneas opuestas

2.3 Opuestos por el vértice: Son aquellos cuyos lados de uno son las prolongaciones en sentido contrario de los lados del otro

A B

OC

AÔB y BÔC son ángulos consecutivos

A

B

OC

AÔB y DÔC son ángulos opuestos por el vérticeA B

OCD

AÔB y BÔC son ángulos adyacentes

AÔD y BÔC son ángulos opuestos por el vértice

3 – Según sus características

3.1 Complementarios: un ángulo es complementario de otro cuando lasuma de sus medidas es 90º

3.2 Suplementarios: un ángulo es suplementario de otro cuando la suma de sus

medidas es 180º

= 90º

+ = 180º

Ángulos consecutivos son dos o más ángulos que tienen un mismo vértice y un lado común dos a dos, tales como a, b y c (7)

La Suma de las medidas de dos o más ángulos consecutivos formados en un recta es 180º.

ASI a+b+c=180º (8)

La Suma de las medidas de dos o más ángulos consecutivos formados en un plano es 360º

ASI d+e+f+g+h=360º

Ángulos opuestos por el vérticeson dos ángulos cuyos lados forman dos pares de rayos opuestos tales como x y z (10)

c

b a (7)

(8)a

b

c

(9)

x z (10)

d

e

f

g h

RegresarContinuar

4 – Ángulos especiales

Rectas oblicuas: Dos rectas en el plano son oblicuas cuando al cortarse forman cuatro ángulos diferentes de un ángulo recto.

La notación: L L

Rectas perpendiculares:

Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos rectos.

La notación: L L

L

L

11

L

L1

1

RegresarContinuar

Rectas paralelas:

Dos rectas en un plano son para le las cuando por más que se

prolonguen no llegan a cortarse.

La notación: L // L1

L

L 1

RegresarContinuar

Ángulos externos: 1, 2, 7, 8

12

3 4

5 6

78

L

1L

S

Ángulos internos: 3, 4, 5, 6

Ángulos alternos externos: 1 y 8, 2 y 7

Ángulos alternos internos: 3 y 6, 4 y 5

Ángulos correspondientes: 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8

Ángulos conjugadas externas: 1 y 7, 2 y 8

Ángulos conjugadas internas: 3 y 5, 4 y 6

RegresarContinuar

TEOREMAS:

1 2

3 4

5 6

7 8

L

1L

S

1.- Los ángulos alternos externos son

congruentes: m<1 = m<8m<2 = m<7

2.- Los ángulos alternos internos son

congruentes: m<3 = m<6

m<4 = m<5

3.- Los ángulos correspondientes son

congruentes: m<1 = m<5 m<2 = m<6

m<3 = m<7 m<4 = m<8

4.- los ángulos conjugadas externas son suplementarios:

m<1 + m<7 = 180º m<2 + m<8 = 180º

5.- Los ángulos conjugadas internas son suplementarios:

m<3 + m<5 = 180º m<4 + m<6 = 180º

Regresar

Continuar

+ + = x + y

x

y

01.-Ángulos que se forman por una línea poligonal entre

dos rectas paralelas.

PROPIEDADES DE LOS ANGULOS

+ + + + = 180°

02.- ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS

+ = 180°

03.- ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES

El complemento de la diferencia entre el suplementoy el complemento de un ángulo “X” es igual alduplo del complemento del ángulo “X”. Calcule lamedida del ángulo “X”.

90 - { ( ) - ( ) } = ( )180° - X 90° - X 90° - X2

90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X

90° - 90° = 180° - 2X

2X = 180° X = 90°

RESOLUCIÓN

Problema Nº 01

La estructura según el enunciado:

Desarrollando se obtiene:

Luego se reduce a:

La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y elcomplemento del primer ángulo es el doble de la medidadel segundo ángulo. Calcule la diferencia de las medidas dedichos ángulos.

Sean los ángulos: y

+ = 80°Dato: = 80° - ( 1 )

( 90° - ) = 2 ( 2 )

Reemplazando (1) en (2):

( 90° - ) = 2 ( 80° - )

90° - = 160° -2

= 10°

= 70°

- = 70°-10°

= 60°

Problema Nº 02

RESOLUCIÓN

Dato:

Diferencia de las medidas

Resolviendo

La suma de sus complementos de dos ángulos es 130° y ladiferencia de sus suplementos de los mismos ángulos es10°.Calcule la medida dichos ángulos.

Sean los ángulos: y

( 90° - ) ( 90° - ) = 130°++ = 50° ( 1 )

( 180° - ) ( 180° - ) = 10°-- = 10° ( 2 )

Resolviendo: (1) y (2)

+ = 50°- = 10°

(+)

2 = 60°

= 30°

= 20°

Problema Nº 03

RESOLUCIÓN

Del enunciado:

Del enunciado:

Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC (AOB<BOC), setraza la bisectriz OM del ángulo AOC; si los ángulos BOC yBOM miden 60° y 20° respectivamente. Calcule la medidadel ángulo AOB.

A B

OC

M

60°

20°X

De la figura:

= 60° - 20°

Luego:

X = 40° - 20°

= 40°

X = 20°

Problema Nº 04

RESOLUCIÓN

La diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes

AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del ángulo formado

por la bisectriz del ángulo AOC con el lado OB.

A

O

B

C

X

( - X)

( + X) ( - X)= 30º

2X=30º

X = 15°

Problema Nº 05

RESOLUCIÓN

M

Construcción de la gráfica según el

enunciado

Del enunciado:

AOB - OBC = 30°

-

Luego se reemplaza por lo que

Se observa en la gráfica

Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal

que la m AOC = m BOD = 90°. Calcule la medida del

ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y

COD.

A

C

B

D

M

N

X

De la figura:

2 + = 90°

+ 2 = 90°( + )

2 + 2 + 2 = 180°+ + = 90°

X = + +

X = 90°

Problema Nº 06

RESOLUCIÓN

Construcción de la gráfica según el enunciado

Si m // n . Calcule la medida del ángulo “X”

80°

30°

X

m

n

Problema Nº 07

2 + 2 = 80° + 30°

Por la propiedad

Propiedad del cuadrilátero

cóncavo

+ = 55° (1)

80° = + + X (2)

Reemplazando (1) en (2)

80° = 55° + X

X = 25°

80°

30°

X

m

n

RESOLUCIÓN

Si m // n . Calcular la medida del ángulo “X”

5

4 65°

X

m

n

Problema Nº 08

5

4 65°

X

m

n

Por la propiedad:

4 + 5 = 90°

= 10°

Ángulo exterior del triángulo

40° 65°

X = 40° + 65°

X = 105°

RESOLUCIÓN

Si m // n . Calcule la medida del ángulo ”X”

2

x

m

n

2

Problema Nº 09

3 + 3 = 180°

+ = 60°

Ángulos entre líneas poligonales

X = + X = 60°

RESOLUCIÓN

2

x

m

n

2

x

Ángulos conjugados

internos