Modulo Angulos y Segmentos en La Circunferencia

Introducción Introducción

Primera parte Primera parte

Segunda parte Segunda parte

Ejercicios primera Ejercicios primera parte parte

Ejercicios segunda Ejercicios segunda parte parte

Ejercicios Ejercicios variados variados

Propiedades de Propiedades de introducción introducción

Comencemos este trabajo de auto aprendizaje midiendo tus presaberes, para esto practica un autodiagnóstico escribiendo todo lo que sepas

desde años anteriores sobre el tema.

Se llama circunferenciacircunferencia de

centro O y radio r, al conjunto de

puntos del plano que están a una

distancia igual a r del centro O.

C(o,r) se lee: circunferencia de centro O y radio r.

No debemos olvidar que al referirnos a circulo consideramos el conjunto de

puntos de una circunferencia sumados a todos los demás que son interiores respecto a la misma. Por lo

tanto, geométricamente la circunferencia es una línea y el

circulo una superficie.

Puntos relacionados con la circunferencia. (posiciones relativas)

A C(o.r) A centro de la circunferencia. B Punto interior. C(o.r) B interior a la circunferencia.C Punto exterior. C(o.r)

C es exterior a la circunferencia.

(posiciones no relativas)

OE = radio de la C. Es el segmento que une al centro de la C. con un punto de la C.

DE = diámetro de la C. Es el segmento mayor que une dos puntos de la C.

(posiciones relativas)

L1= recta secante: es la recta que corta la C. en dos puntos.

L2= recta tangente: es la que toca la C. En un punto.

L3= recta exterior: recta que no

corta la C. en ningún punto.

P = punto de tangencia

P

Cuerda: es el segmento comprendido entre dos puntos de la circunferencia.

Ejemplo:

Diámetro: es la mayor de las cuerdas.

Ejemplo:

Los extremos de una cuerda de la circunferencia, por ejemplo AB, determinan sobre ella un arco, el

al que se lo llama “arco subtenido por la cuerda”.

AB

PQ

Arco: es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos.

: arco MN que no contiene el punto P.

: arco MN que contiene el punto P .

1 29

76

34

En dos circunferencias iguales o en una misma, a cuerdas iguales se les oponen arcos y ángulos centrales iguales.

En dos circunferencias, o en una misma, a ángulos centrales iguales se le oponen arcos y cuerdas iguales.

C(con centro en O)

•Su longitud es el doble de la del radio.

•El diámetro divide a la circunferencia en dos cuerdas iguales llamadas semicircunferencias.

•Divide al círculos en dos partes iguales llamadas semicírculos.

•Todo diámetro perpendicular a una cuerda, la divide a esta en dos partes iguales.

Todo ángulo central vale lo mismo que aquel arco que

forma.

Relación entre el ángulo y el arco.

• Se quiere saber el valor

de .

• Según la propiedad:

Por lo tanto

== 73°73°

Encuentra los valores de y X, y escoge la alternativa correcta.

=X =

Alternativas:

1) = 80 ; X=80

1) =160 ; X=40

Todo ángulo inscrito vale la mitad del arco que

forma.

Relación entre el ángulo y el arco. (ángulo inscrito)

• Se quiere encontrar el valor de .

• Como la suma de todos los arcos en una circunferencia es 360°, entonces 100+190+X = 360, por lo tanto al resolver la ecuación nos da que X = 70.


Por lo tanto

= 35°

Todo ángulo central vale el doble del ángulo inscrito si

tienen el mismo arco.

Relación entre los ángulos

Encuentra los valores de y X,

y escoge la alternativa correcta.

=X =

Alternativas:

1) = 110; X=56

1) = 55 ; X=110

De acuerdo al ejercicio que acabas de resolver podrías establecer alguna relación entre los ángulos inscritos y los ángulos semi inscritos que poseen el mismo arco.

Escribe tu conclusión aquí.

Los ángulos inscritos que forman el mismo arco son

iguales.

Relación entre los ángulos

• Se quiere encontrar el valor de , y .

• Como la suma de todos los arcos en una circunferencia es 360°, entonces:

80+52+55+75+X = 360, por lo tanto al resolver la ecuación nos da que X = 98.

• 1) Según la propiedad:

Por lo tanto = 49°


Por lo tanto:

= 49 ; = 49

Encuentra los valores de X, , y , y escoge la alternativa

correcta.

= X =Alternativas:

2) =24; = 24; = 24; X=24

1) =12; = 6; = 24; X=48

= =

3) =12; = 12; = 12; X=24

Muy bien

Continua …

Relación Medida del ángulo.

El ángulo formado por dos cuerdas que se cortan dentro de la

circunferencia, vale la semisuma de los arcos que forman las

cuerdas.


• Como la suma de todos los arcos en una circunferencia es 360°, entonces 70+110+4X = 360, por lo tanto al resolver la ecuación nos da que X = 45.


• 2)

Encuentra los valores de X y , y escoge la alternativa correcta.

X =

Alternativas:

2) =135; X=135

1) =25; X=56

=

3) =62.5; X=25

3) =25; X=125

Todo ángulo formado por 2 secantes que se cortan fuera de

la circunferencia vale la semidiferencia de los arcos que

forman las secantes.


Ejemplo

• Se quiere encontrar el valor de X.


• 2) Podemos concluir que:

• 3) Por lo tanto, al hacer la ecuación:

Encuentra el valor de Y, y escoge la alternativa

correcta.

Alternativas:

2) Y=30

1) Y=60

Y =

Todo ángulo formado por dos tangentes que se cortan fuera de la

circunferencia, vale la semidiferencia de los arcos que

forman las tangentes.


• Se quiere encontrar el valor de X e Y.

• Como la suma de todos los arcos en una circunferencia es 360°, entonces 3X+2X = 360, por lo tanto al resolver la ecuación nos da que X = 72.


• 2)

Encuentra los valores de X e Y y escoge la alternativa correcta.

X =

Alternativas:

2) Y=90; X=270

1) Y=90; X=45

Y =

3) Y=45; X=90

3) Y=45; X=45

Todo ángulo formado por una cuerda y una secante es

denominado ángulo semi inscrito. Y vale la mitad del

arco que forma.


• Se quiere encontrar el valor de X e Y.

• Como la suma de todos los arcos en una circunferencia es 360°, entonces 300+2X = 360, por lo tanto al resolver la ecuación nos da que X =30.


• Por lo tanto:

;;

Encuentra los valores de X e Y y escoge la alternativa correcta.

X =

Alternativas:

2) Y=45; X=45

1) Y=90; X=45

Y =

3) Y=90; X=90

3) Y=45; X=90

Todo ángulo inscrito en una semi circunferencia es un

ángulo rectángulo.


C(o,r) ; BC=diámetro



el ACB=90°, por lo tanto los s

CAB y CBA son iguales a 90°. Como los lados AC y CB son iguales, los dos s opuestos también son iguales.

• Por lo tanto:

Encuentra los valores de X y , y escoge la alternativa correcta.

X =

Alternativas:

2) =72; X=18

1) =90; X=45

=

3) =30; X=60

3) =60; X=30

Todo ángulo formado por una secante una tangente, que se cortan fuera de la

circunferencia, vale la semi diferencia de los arcos que

forman.




• Como la suma de todos los arcos en una circunferencia es 360°, entonces 136+5X+3X = 360, por lo tanto al resolver la ecuación nos da que X =30.

• Por lo tanto:

Si O es centro de la circunferencia, encuentra el valor de y escoge la alternativa correcta.

X = =

Alternativas:

2) =86

1) =47

3) =90

3) =43

Todos los arcos comprendidos entre dos paralelas que corten a la circunferencia valen lo

mismo.

Relación entre arcos.

Los ángulo opuestos de un cuadrilátero inscrito en

una circunferencia son suplementarios.


• Se quiere encontrar el valor de y .


• Por lo tanto:

70 + = 180° = 110°

85 + = 180° = 95°

• Este ejercicio también se puede resolver usando las propiedades anteriores, intentalo.

Si O es centro de la circunferencia, encuentra el valor de los s ABC y ADC. Escoge la alternativa correcta.

ABC =

ADC =

Alternativas:

2) ABC=95 ; ADC= 85

1) ABC=35 ; ADC= 70

3) ABD=75 ; ADC=105

• Y =

• Si C es centro de la circunferencia

• X =

• Si C es centro de la circunferencia

• X = • X =

1) Encuentra los valores de:

• X =

• Y =

2) Encuentra los valores de: • X = • Y =

• a =

Segmentos en la

circunferencia

Teorema primeroTeorema primero

Los dos segmentos tangentes a una circunferencia desde un

punto exterior son congruentes y determinan ángulos iguales.

Propiedad general

Propiedad secundaria:

Si se unen P con el centro de la circunferencia O, OP es bisectriz del APB.

Teorema primeroTeorema primero

Teorema primeroTeorema primeroSe quiere demostrar que:

1) AP = BP.

2) OP es bisectriz del APB.

3) APO = BPO

DemostraciónDemostración

Para esto es necesario:

Demostrar que el el triángulo OPA es con el triángulo POB.

• Primero. Se quieren encontrar los valores de AP y BP. Para lo cual debemos encontrar el valor X. Como ya sabemos que los radios de una circunferencia son iguales formulamos la siguiente ecuación: 2X = 20, por lo tanto X = 10.

• Al saber que X = 10, determinamos que AP =30. Según la propiedad AP = BP, por lo tanto BP también vale 30, así obtenemos los valores de AP y BP .

• Segundo. Se quiere encontrar el valor del ángulo 1. Si observamos bien el arco AC es igual a 50°, por lo tanto el AOP también es igual a50°. Y como OAP es igual a 90°, podemos formular la siguiente ecuación: 90° + 50° + APO = 180°, por lo tanto APO = 40°

• Según la propiedad OP es bisectriz, por el APO es igual al OPB, también vale 40°-

• Si AC = 20cm, CE = 12cm, FB = 6cm y HD = 4 cm, encuentra el valor del perímetro del cuadrilátero ABCD

Alternativas:

2) ABCD = 20cm

1) ABCD = 47cm

3) ABCD = 68cm

3) ABCD = 80cm

Teorema segundoTeorema segundo

Para esta propiedad es necesario tener un poco más de conocimiento, por lo cual se darán a conocer algunas partes de los segmentos de la circunferencia.

Introducción a la propiedad

Teorema segundoTeorema segundo

Al trazar dos secantes desde un punto exterior, el producto de un segmento secante con su respectivo segmento exterior es igual al otro segmento secante con su respectivo segmento exterior.

Teorema

TeoremaTeorema

SSegundoegundo Se quiere demostrar que.

1) AP • BP = CP • DP 2) 1 = 2 ( para que lados homólogos

sean proporcionales).

DemostraciónDemostración

Para esto es necesario demostrar:

Que el triángulo ADP es semejante con el triángulo CBP.

• Primero. Se quiere encontrar el valor de X. Para lo cual debemos encontrar el valor Y. Como AP es igual a 40, podemos determinar y según la siguiente ecuación: 3Y + Y = 40, por lo tanto obtenemos que Y = 10.

• De esta manera sabemos los valores de AB = 30 y BP = 10

• Segundo. Se quiere encontrar el valor de X. Según la propiedad AP • BP = DP • CP, por lo tanto podemos plantear la siguiente ecuación: 40 • 10 = (X + 6) • 6, de esta manera obtenemos que X es igual a 60.6.

• Encuentra el valor de Z.

Alternativas:

2) Z = 50

1) Z = 15.6

3) Z = 56

3) Z = 17.6

Teorema tercero • Si desde un punto exterior a

una circunferencia se traza una recta tangente y una recta secante, entonces:

• El cuadrado del segmento tangente en igual al producto del segmento secante por el

segmento exterior.

Se quiere demostrar que:

1) AP2 = BP • CP

1) 1 = 2 (para que lados homólogos sean proporcionales)

DemostraciónDemostración Teorema terceroTeorema tercero


Que el triángulo ACP es semejante al triángulo ABP.

• Como ya tenemos las medidas necesarias para aplicar la fórmula, inmediatamente podemos formar la ecuación: (5 + 4) • 4 = X2, por lo tanto X es igual a 6.

• Encuentra el valor de X.

Alternativas:

2) X = 81

1) X = 27

3) X = 6

3) X = 24

Teorema cuarto

Si se trazan dos cuerdas que se cortan dentro de una circunferencia:

El producto de los dos segmentos formados por una cuerda y el punto de intersección es igual al producto de los segmentos formados por la otra cuerda y el punto de intersección.

DemostraciónDemostraciónTeorema cuarto

Se quiere demostrar que:

1) AE EB = CE ED

1) 1 = 2 ; 3 = 4

(para que lados homólogos sean proporcionales)


Que el triángulo AEC es semejante al triángulo DEB.

• Como ya tenemos las medidas necesarias para aplicar la fórmula, inmediatamente podemos aplicar la propiedad:

• Por lo tanto: 5 • 10 = X • (2 •X) 50 = 2X2 25 = X2 / 5 = X• Por lo tanto: CE = 5 y ED = 10

• Encuentra el valor de CD.• Para esto te daremos una

pista:

• Una cuerda perpendicular al diámetro es cortada en segmentos iguales por éste. Alternativas:

2) X = 16

1) X = 27

3) X = 12

Te invitamos a resolver la siguiente gama de ejercicios

1) Si en la figura BP = AB ; CD = 14 ; DP = 4. • B P =

2) si en la figura: CP = 46 ; AO = 5. • A P =

3) Si en la figura: CD = 0.5 ; BP = 4; CP = 21. • A P =

4) Si en la figura: OC = 5 ; AE = 6 ; BD = 4

5) Si en la figura: AP = 90 ; AB : BP = 7 : 8 ; DP = 16

Determina: AD Determina: CP

Problemas con enunciado

Cada enunciado viene acompañado de su correspondiente resolución. Se aconseja

evitar consultar ésta de buenas a primera, pues, de obrar así, lo que se ejercita es el

botón del ratón y no la mente.

Problemas con enunciado

Nota: las medidas son esquemáticas; se quiere decir que si no hay proporción en el dibujo con respecto a las medidas es totalmente irrelevante.

EJERCICIOS

Problema 1

Dos cuerdas de una circunferencia se intersectan en una circunferencia. Si la longitud de los segmentos de una cuerda son 3,5 cm. y 6,4 cm. y la longitud del segmento de la otra cuerda es 2,3 cm. ¿ Cuanto medirá el otro segmento?

Haz el esquema en tu cuaderno para que se te haga más fácil resolverlo.

Respuesta: Pulse aquí

Explicación problema 11.- Primero se comienza dibujando la circunferencia, trazando las

cuerdas que se intersectan entre ellas y se agregan las medidas correspondientes:

3,5 cm.

6,4 cm.

2,3 cm.

xA

B

C

D

2.- Ahora se aplica el teorema 4 que dice; si se trazan dos cuerdas que se cortan dentro de una circunferencia. El producto de los 2 segmentos de una cuerda son iguales al producto de los segmentos de la otra cuerda.

Entonces:

AE · BE = CE · DE

3.- Ahora resolvemos con la formula:

6,4 · 3,5 = 2,3 · x

se hace la multiplicación:

22,4 = 2,3x

Pasamos dividiendo el 2,3

9,74 = x

E

Por lo tanto el segmento que faltaba era de 9,74 cm.

Problema 2

Cx

Xy

A

C

X = 38º Calcula el ángulo que tiene y.

Consejo: Si no sabes pásalo, mas vale hacer los que sabes de inmediato y dejar lo difíciles para el final.

Respuesta: Pulse aquí

Explicación problema 2

Cx

Xy

A

C

1.- Primero se observa que en la circunferencia se dibujan dos tangentes que se unen en un punto exterior.

P

2.- Ahora se aplica la propiedad de el ángulo formado por dos tangentes.

La formula sería:

= ACB - ADB

2

B

3.- Se reemplazan los valores y quedaría así:

38º = x – y ( x en reemplazo del ángulo ABC)

Entonces se resuelve la ecuación quedando:

x – y = 76

Ahora se puede deducir que ACB + ADB es igual al ángulo total de la circunferencia.

Queda:

X + y = 360º

2

Continuación explicación problema 2

4.- Ahora con las ecuaciones logradas anteriormente se puede realizar un sistema de ecuaciones que ya debes haber aprendido en clases anteriores:

• Escribimos las ecuaciones y se encierran en el sistema de ecuaciones:

x – y = 76º

x + y = 360º

Se suma vertical y queda:

2x = 436 /:2

X =218

Para calcular y:

Se reemplaza la x en cualquier ecuación:

218 + y = 360º

y = 142º

Respuesta: El valor del arco que faltaba es de 142º.

Problemas con enunciado sin respuestas.

• Desde un punto A situado fuera de la circunferencia, se traza un segmento secante de 16 cm. que determina una cuerda de 5 cm. Si el radio de la circunferencia, es de 7cm. ¿Cuál es la distancia de A al centro de la circunferencia?

• El radio de una circunferencia es de 15 cm. Hallar:

a) La distancia del centro a una cuerda cuya longitud es de 18 cm.

b) La longitud de una cuerda que dista 9 cm. del centro.

• En una circunferencia, una cuerda que mide 16 cm. está a la distancia de 6 cm. del centro. Hallar la longitud de una cuerda cuya distancia al centro es de 8 cm.

Muy bien, ya conoces todas las Muy bien, ya conoces todas las propiedades, felicitaciones.propiedades, felicitaciones.

Pero no olvides que ahora debes Pero no olvides que ahora debes aplicarla a la vida real, así que aplicarla a la vida real, así que

adelante. adelante.

Modulo Angulos y Segmentos en La Circunferencia

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