ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

• EL ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SE OBTIENE GIRANDO UN RAYO ALREDEDOR DE SU ORIGEN.

SENTIDO DE GIRO HORARIO

SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO

OA : LADO INICIAL

)O

A

B

<

)<

θ POSITIVO

)<α NEGATIVOOB : LADO FINAL

O: VÉRTICE

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR

• SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS)

o1 GRADO : MINUTO : '1 SEGUNDO : "1

'o 601 = "' 601 = "o 36001 =

1vuelta= o360

EQUIVALENCIAS

En el sistema sexagesimal los ángulos se pueden expresar en grados ,minutos y segundos

oA B'C '' oA B' C ''+= +Los números B y C deben ser menores de 60

RELACIONES DE CONVERSIÓN

GRADOS MINUTOS SEGUNDOS

x 60 x 60

x 3600

: 60 : 60

: 3600

< <

<<

<

<

<

<<<

< <

Para convertir de grados a minutos se multiplica por 60

Para convertir de minutos a grados se divide entre 60

Para convertir de minutos a segundos se multiplica por 60

Para convertir de segundos a minutos se divide entre 60

Para convertir de grados a segundos se multiplica por 3600

Para convertir de segundos a grados se divide entre 3600

EJEMPLO :o20 36 ' 45 ''θ =

EXPRESAR EN GRADOS SEXAGESIMALESθo ' ''20 36 45θ = + +

o oo 36 4520

60 3600θ = + +

o oo 3 120

5 80= + +

o164980

θ =CONCLUSIÓN:

RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS ,MINUTOS y SEGUNDOS

NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES = SNÚMERO DE MINUTOS SEXAGESIMALES ( m ) = 60SNÚMERO DE SEGUNDOS SEXAGESIMALES ( p ) = 3600S

Al número 36 se le divide entre 60 y Al número 45 se le divide entre 3600

EJEMPLOCalcular la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal ,sabiendo que su número de minutos sexagesimales más el doble de su número de grados sexagesimales es igual a 155.

SOLUCIÓN

Sea S = número de grados sexagesimalesEntonces el número de minutos sexagesimales = 60S

Dato :

155 5(31)S62 2(31)

= =

60S 2S 155+ = 62S 155=5S2

=

El ángulo mide : 5º 4º60' 22 2

º 30'= =

ESTAN ENTENDIENDO ?

NO REPITE POR FAVOR

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR

• SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÉS)

g1 GRADO : MINUTO : m1 SEGUNDO :

s1

g m1 100= m s1 100= g s1 10000=

1vuelta= g400

EQUIVALENCIAS

En el sistema centesimal los ángulos se pueden expresar en grados ,minutos y segundos

g m sA B C g m sA B C= + +Los números B y C deben ser menores de 100

RELACIONES DE CONVERSIÓN

GRADOS MINUTOS SEGUNDOS

x 100 x 100

x 10 000

: 100 : 100

: 10 000

< <

<<

<

<

<

<<<

< <

Para convertir de grados a minutos se multiplica por 100

Para convertir de minutos a grados se divide entre 100

Para convertir de minutos a segundos se multiplica por 100

Para convertir de segundos a minutos se divide entre 100

Para convertir de grados a segundos se multiplica por 10000

Para convertir de segundos a grados se divide entre 10000

RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS ,MINUTOS y SEGUNDOS

NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES = CNÚMERO DE MINUTOS CENTESIMALES ( n ) = 100CNÚMERO DE SEGUNDOS CENTESIMALES ( q ) = 10 000C

RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS SEXAGESIMAL Y CENTESIMAL

gO 109 = m' 5027 = s" 25081 =GRADOS MINUTOS SEGUNDOS

109CS = 5027

nm =25081

qp =

SABEMOS QUE SIMPLIFICANDO SE OBTIENE

g180º 200=

g9º 10=

SABES QUE :

g9(1º ) 10(1 )=' m9(60 ) 10(100 )=

g9º 10=

' m27 50=

SABES QUE :g9º 10=

g9(1º ) 10(1 )='' S9(3600 ) 10(10000 )='' s81 250=

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR

• SISTEMA RADIAL (SISTEMA CIRCULAR)

UN RADIÁN ES LA MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL QUE SUBTIENDE EN CUALQUIER CIRCUNFERENCIA UN ARCO DE LONGITUD IGUAL AL RADIO.

.. 1rad

1vuelta 2 rad= πo ' ''1rad 57 17 45=

R

R

R)

EN ESTE SISTEMA LA UNIDAD DE MEDIDA ES EL RADIÁN.

RELACIÓN ENTRE LOS TRES SISTEMAS

0 g180 200 rad= = πESTA RELACIÓN SE USA PARA CONVERTIR DE UN SISTEMA A OTRO.

EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR A RADIANES

0A) 54θ =O54

orad

180π

= 3 rad

10π

gB) 125φ =

grad

200π

= 5 rad

8πg125

EJEMPLOS

SABES QUE EL ÁNGULO DE UNA VUELTA MIDE :

SIMPLIFICANDO SE OBTIENE :

g360º 400 2 rad= = π

EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA SEXAGESIMAL

A) 2 rad3π

...........o2(180 )

3= o120

gB)70 ................. g70o

g9

10

= o63EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA CENTESIMAL

A) 3 rad4π

...........g3(200 )

4 = g150

oB)27 ................ o27g

o109

= g30

FACTORES DE CONVERSIÓN

DE GRADOS SEXAGESIMALES A RADIANES

DE GRADOS SEXAGESIMALES A CENTESIMALES

DE GRADOS CENTESIMALES A RADIANES

DE GRADOS CENTESIMALES A SEXAGESIMALES

DE RADIANES A GRADOS SEXAGESIMALES

DE RADIANES A GRADOS CENTESIMALES

orad

180π

g

o109

grad

200π

o

g9

10orad 180π =

grad 200π =

ESTAN ENTENDIENDO ?

NO REPITE POR FAVOR

FÓRMULA DE CONVERSIÓN

S180

= C200

= Rπ

S : NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALESC : NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALESR : NÚMERO DE RADIANES

EJEMPLO

CALCULAR EL NÚMERO DE RADIANES DE UN ÁNGULO ,SI SE CUMPLE:

8R3S 2C 37− + =π

EN ESTE TIPO DE PROBLEMA SE DEBE USAR LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN

SOLUCIÓN

S C R180 200

= = =π

KS k180=C k200=

R k= π

SE REEMPLAZA EN EL DATO DEL PROBLEMA

8( k)3(180k) 2(200k) 37π− + =π

,SIMPLIFICANDO SE OBTIENE

148k 37= 1k4

=

FINALMENTE EL NÚMERO DE RADIANES ES : R =14

π = 4π

S k9=C k10=

R0

k2

π=

NOTA : LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN EN ALGUNOS CASOS CONVIENE EXPRESARLA DE LA SIGUIENTE MANERA

S9

= C10

= 20Rπ

OTRAS RELACIONES IMPORTANTES

* ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS SUMAN : o g90 100 rad2π∨ ∨

* ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS SUMAN : O g180 200 rad∨ ∨ π

* EQUIVALENCIAS USUALES:

orad 603π = orad 30

6π =orad 45

4π =

SISTEMA

SEXAGESIMAL

CENTESIMAL

RADIAL

COMPLEMENTO SUPLEMENTOS

C

R

90 - S 180 - S100 - C 200 - C

R2π− Rπ −

EJERCICIOS

1. CALCULAR :

g

45º rad12E

50 33º

π+=

−SOLUCIÓN

Para resolver este ejercicio la idea es convertir cada uno de los valores dados a un solo sistema ,elegimos el SISTEMA SEXAGESIMAL

rad12π = 180º

12=15º g50; 45º

Reemplazamos en E

45º 15ºE45º 33º

+= =−

60º12º

= 5

g9º( )

10=

2. El número de grados sexagesimales de un ángulo más el triple de su número de grados centesimales es 78, calcular su número de radianes

SOLUCIÓN

Sea S = número de grados sexagesimalesC = número de grados centesimales

Sabes que : S C9 10

= = K y

Dato : S + 3C = 78

S = 9K C = 10K

9K + 3( 10K ) = 78 39K = 78 K = 2

El número de radianes es :

kR20

π= 2R20

π= =10π

3. Determinar si es verdadero o falso

A ) rad 180π =B ) El complemento de es

g30 g70C )

g g24º 2º36 3

=

D )radπ

Los ángulos interiores de un triángulo suman

E ) 180ºπ =

F ) g1º 1>

G ) El número de grados sexagesimales de un ángulo es igual al 90% de su número de grados centesimales