Ppt angulos

INSTITUTO

PEDAGÓGICO

NACIONAL MONTERRICO

Equipo de Especialistas del Componente:Conocimiento Disciplinar del Área de Matemática

QUISPE MORENO, R. Plinio; ALDAZABAL MELGAR, Omar F. ;

BENDEZÚ LOPEZ, Heidy M.

1.CONCEPTO:

Triangulo es la figura geométrica formada por la unión de tres puntos no colonialesmediante segmentos.

A

BCm

n

s

ELEMENTOS:

Vértices: A, B, C

Lados: AB, AC y BC

Ángulos interiores:

m BAC

m ACB

m ABC

Ángulos exteriores:

M, N y S

2.CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

a) De acuerdo a sus lados:

60°

60°

60°

Triángulo equilátero

Triángulo isósceles

Triángulo escaleno

b) De acuerdo a la medida de sus ángulos.

Triangulo obtusángulo

Triángulo acutángulo

Triángulo rectángulo

, , 90

3.PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS TRIÁNGULOS

180

La suma de los ángulos internos es igual a 180°.

x

y

z

x y

z

Un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos exteriores no adyacentes a él.

x

y

z

X + y + z = 360°

La suma de loa ángulos exterioreses igual a 360°

Aplicaciones:

x

x

xy

x y

Ejemplos

En los gráficos encuentra el valor de «x» indicando la propiedad.

46°

78°x

Desarrollo:

Por ángulo exterior

X = 78° + 46° = 124°

35°

20°

x

Desarrollo:

Por ángulo exterior

35° = 20° + x

X = 15°

50°x

Desarrollo:

X = 80°

El triángulo es isósceles

x

100°

Desarrollo:

50°

x

100°80° 80°

El triángulo es isósceles

X = 20°

40°x

A

B

CD

E

Desarrollo:

40°x

A

B

CD

E

El triángulo A, B, C es equilátero.

60° 120°

Suplemento de 60° = 120°

En el triángulo E , C, D

X + 40° + 120° = 180°

X = 20°

X + 30°

X + 20° X + 10°

Desarrollo:

X + 20 + x + 10 + x + 30 = 180

X = 40°

x

70°

40°30°

Desarrollo:

X = 30° + 70° + 40°

X = 140°

x70°

50°80°

X + 70° = 50° + 80°

X = 60°

Desarrollo:

x 60°

70°

50°

Desarrollo:

X + 60° = 70° + 50°

X = 60°

INSTITUTO

PEDAGÓGICO

NACIONAL MONTERRICO

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA 2012 - 2014

LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

a) Bisectriz interior.

La bisectriz interior divide al ángulo en dos ánguloscongruentes.

I

Todo triángulo tres bisectricesinteriores que concurren en unpunto llamado incentro ( I )

a) Bisectriz exterior

a

a

Dos bisectrices exteriores y unainterior concurren en un puntollamado ex centro ( E )

E

b) Altura.

A

B

CH

La altura es el segmento trazado desde un vértice, perpendicularal lado opuesto. BH es la altura.

A B

C

H

Q

La altura puede caer en prolongación del lado.

A

B

C

O

H

MN

Todo triángulo tiene tres alturasque concurren en un puntollamado orto centro ( O )

d) Mediana

A B

C

M

La mediana es un segmentoque une un vértice con el punto medio del lado opuesto. AM es la mediana.

G

Las tres medianas concurren en un punto llamado baricentro ( G )

e) Ceviana

A

B

C

Q

La ceviana es un segmento que une un vértice con su lado opuesto.

f) mediatriz

A B

CLa mediatriz es una recta quedivide a uno de los lados deun triángulo en partes igualesformando un ángulo recto.

Los tres mediatrices concurrenen el circuncentro ( M )

M

Ejemplos:

1.Encuentra el valor de «x»

A

B

C

R70°

30°xa

a

Desarrollo:

A

B

C

R70°

30°x40°

40°

En el triángulo ABC

80m BAC

AR es bisectriz, por lo Tanto: a = 40°

X = 110°

2.Encuentra el valor de «x» . Si AH es altura.

A

B

C

H

70°

x

Desarrollo:

AHB es un triángulo rectángulo porlo tanto:

X + 70° = 90°

X = 20°

3.En la figura encuentra el valor de «x»

CA

B

R

20° X

50°

Desarrollo:

BRA es un triángulo rectángulo.

70m BAR

Suplemento de 70° =110°

Del triángulo ABC

X = 20°

4.Halla el valor de «x» si AB = 20m.

A

BC

Desarrollo:

MB = X + 5m

AB = X + 5m + x + 5m

20m = 2x + 10m X = 5m

5.En la figura, halla el valor de «x». Si AM es mediana.

A

B

C

M

Desarrollo:

15cm = x + 2cm

X = 13cm

PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICA NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA 2012 - 2014

PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ

1.Ángulo formado por dos bisectrices interiores.

A B

C

X

902

x

2.Ángulo formado por una bisectrizinterior y exterior.

AB

C

x

2x

3.Angulo formado por dos bisectricesexteriores.

x

ÁNGULO ENTRE LA ALTURA Y UNABISECTRIZ EXTERIOR.

A

B

C

H M

2

902

x

PROPIEDAD DE LAS MEDIANAS

AB

C

M

P

G

AM, CP medianas

AG = 2 GM

CG = 2 GP

PROPIEDAD DE LA MEDIATRIZ

A

B

D

L

M

N

C

AC = BC = CD

L, M,N son mediatrices

Ejemplos.

1.Halla e l valor de «x»

20° x

Desarrollo:

2010

2x

2.Halla el valor de «x»

aa

b b

25°

x

Desarrollo:

25 502

xx

2x


70°

x

Desarrollo:

902

x

7090

2x

125x


a°

a b°

b°135°

135 902

x

135 902

x

90° = x


150°

X°

902

x

Desarrollo:

15090

2x

90 75 15x


a°

a° b°b°

80°

x

Desarrollo:

80 902

x

80 902

x

102

x

20° = x

1.Del gráfico encuentra el valor de «x»

30°

x

150°

Desarrollo:

Por:

150 2 2 30

60

Nuevamente aplicando

30x

Reemplazando:

X = 60° + 30°

X = 90°

2.En la figura, halla «x»

x

2

2

70°

Desarrollo:

Por suma de los ángulos exteriores en untriángulo se tiene:

3 3 180 360x

3 360 180x

3( 70°) – x = 180°

- X = 180° - 210°

X = 30°

3.En el triángulo ABC, 40m A m C Halla la medida que forman la altura y la bisectriz interior que parte de B.

Desarrollo:

A

B

C

H M

Por propiedad

2

m A m C

4020

2

4.En la figura , halla HP, 120m ABH m BHP Y BC = 20 m

A

B

CH

40° 20°

Desarrollo:

A

B

CH

40° 20°

50° 70°

Por dato:

120m ABH m BHP

70m BHP

70°

20°

Se observa: BP = PC = HPLos dos triángulos son isósceles.

HP = 10 cm

5.En un triángulo isósceles ABC ( AB = BC ), se traza la ceviana CN y sobre ella seubica el punto R. sí BN = BR y , halla 36m RBC m NCADesarrollo:

A

B

C

N

R

36°

x

Triángulo BNR isósceles.

m BAC

m BCA

Por dato

Entonces:

m BCN x

Por ángulo exterior del triángulo BCRy ACN se observa:

36 x

x

Igualando las ecuaciones se tiene:

36 x x

X = 18°

6.En un triángulo ABC, . Sobre AC y BC se ubicaLos puntos R y S, respectivamente. Sí AB = BS = SR y , halla

20m ACB40m CRS m ABC

Desarrollo:

A

B

C20°

R

S

40°60°80°

60°

80°

20°60°

Por ángulo exterior: 60m BSRTriángulo BRS es equilátero.

Triángulo ABR isósceles

80m ABS

7.En la figura ABC es equilátero. Halla «x»

A

B

C

x

x

x40°

Desarrollo:

A

B

C

x

x

x40°

60°60°

100°- x

80°Por ángulo exterior:

X = 100° - x + 60°

X = 80°


Desarrollo:

A

B

C

En el triángulo ABC:

50° + X +

X = 170° - (

9.En la figura, halla m PIR

R

P

Q

2

40°2

I

Desarrollo:

R

P

Q

2

40°2

I

A

Por ángulos formado por bisectricesexteriores 70m A

En el triángulo APR:

2 2 70 180

55

El ángulo pedido es:

180m PIR

125m PIR

10.Halla «x»

Desarrollo:

X +

A

B C

D

Por ángulo exterior:

m A x

2

En el triángulo DBC

2 2 2 180

90

Por

4x x

Resolviendo:

X = 30°

11.Halla

Desarrollo:

A

B

C

DE

90° -

Por ángulo formado de las bisectrices exteriores ( ver fig )

4

90°-

Resolviendo:

= 22,5°

12.Halla «x»

Desarrollo:

A

B

C

D

x

Por ángulo formado por unabisectriz interior y exterior:

m D x

E

4x

4x

x

Resolviendo:

X = 20°


Desarrollo:

X +

150 360x

X +

150°

Se observa que:

180

Resolviendo:

X = 30°

Luego:

14.Halla «x», si PQ = PR Desarrollo:

50° 50°

120° -

Entonces:

120 180x X = 60°

15.Halla « » si . 32m A m C

Desarrollo:

90°-

De la condición:

32m A m C

90 2 90 32

= 32°

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