Estrategia didctica de matemtica para docentes de educacin secundaria

III. GEOMETRA EUCLIDIANACONTENIDO3.1 Conceptos generales: puntos, rectas, plano, relacin estar entre, segmento, rayo, semirrecta, ngulo, perpendicularidad, paralelismo, rectas paralelas cortadas por una secante, polgonos regulares e irregulares.3.2 Puntos y rectas notables de un tringulo3.3 Congruencia de tringulos3.4 Teorema fundamental de la proporcionalidad y teorema de Thales3.5 Semejanza de tringulos y teoremas fundamentales3.6 Relaciones mtricas en un tringulo rectngulo (Teoremas: Pitgoras, Altura y del Cateto)3.7 Circunferencia: Radio, dimetro, cuerda, arco, rectas tangentes y secantes, ngulos (Central, Inscritos, circunscritos, interiores y exteriores)3.8 Relaciones mtricas en una circunferencia.3.9 rea de regiones planas: tringulo, cuadriltero, crculo y polgono regular.3.10 rea de sectores circulares y sectores sombreados.3.11 Definicin y propiedades de cuerpos slidos: Prisma, cono, cilindro, pirmides y esferas.3.12 reas laterales, totales y volmenes de cuerpos slidos (Prisma, cono, cilindro, pirmides y esferas).Nota: Desarrollar problemas de aplicacin al tratar cada uno de los contenidos.

UNIDAD 3: GEOMETRIA EUCLIDIANA 3.1 Conceptos generalesLos conceptos de Punto, Recta y Plano no tienen definicin, pero se pueden citar muchos ejemplos de ellos.Algunas nociones de Punto son: Partcula geomtrica ms elemental, todo lo que tiene posicin pero no dimensin. A, B, C, , P, Q, .. Denotaran puntos.Por Recta se tiene la idea de una sucesin de puntos en la misma direccin. Se simbolizan por letras minsculas o dos letras maysculas con flecha de doble punta.BAm

..

Se simboliza por . Puntos Colineales: Son puntos que pertenecen a la misma recta. De un Plano se tiene la idea de una superficie indefinida que no presenta dobleces. Se acostumbra nombrarle con letras del alfabeto Griego o con tres letras de puntos no colineales.

.

Espacio: Es el conjunto de todos los puntos. Segmento de recta: Si A y B son puntos colineales en la recta l, la porcin de puntos entre A y B incluidos stos, se llama Segmento de recta y se denota por .

Segmentos Congruentes: Los segmentos AB y CD son congruentes si tienen la misma longitud es decir, si y solo sus medidas son iguales, o sea, .

Rayo: Sean A y B puntos de la recta l. El rayo es el conjunto de puntos formados por el punto A y los puntos C de la recta tal que A no est entre C y B. El punto A se llama extremo del rayo. Se denota por A B

C lAB

Angulo: Es la figura compuesta por dos rayos no Colineales con el mismo extremo el cual se llama Vrtice del ngulo. Notacin: .B A C

m BAC

Medida de un Angulo: A todo ngulo le corresponde un nmero real entre 0 y 180 (grados en el sistema Sexagesimal) denominado medida del ngulo y denotado por .

Angulo Agudo: Angulo cuya medida es menor de 900.Angulo Recto: Angulo cuya medida es igual a 900.

Angulo Obtuso: Angulo cuya medida es mayor que 900.

ngulos Congruentes: ngulos que tiene la misma medida.

Rectas Coplanares: Rectas que estn en el mismo plano.Rectas Paralelas: Rectas Coplanares que no se cortan. Se denota por .

Rectas Perpendiculares: Rectas Coplanares que se cortan formando un ngulo cuya medida es 900,900l1l2

Recta Secante: Es la recta que corta a otras dos en dos puntos distintos. ml

sP Q

ngulos entre dos rectas y una secante. 1 2 ngulos correspondientes: 1 y 5, 3 y 73 4 Alternos Internos: 3 y 6, 4 y 55 6 Alternos Externos: 1 y 8, 2 y 77 8 Opuestos por el vrtice> 6 y 7, 2 y 3

Postulados de las Paralelas: Toda secante a dos paralelas forma: ngulos correspondientes congruentes, ngulos alternos internos congruentes, ngulos alternos externos congruentes.Teorema. Los ngulos opuestos por el vrtice son congruentes.Teorema. Si dos rectas cualesquiera son cortadas por una secante y dos ngulos alternos internos son congruentes, entonces el otro par tambin son congruentes.

Bisectriz de un ngulo: Es el rayo cuyo extremo es el vrtice del ngulo y divide a este en dos ngulos congruentes.

A

B

D

C

AD es bisectriz de , asi que

ngulos Adyacentes: Son los que estn en un mismo plano y tienen un lado en comn de modo que los lados no comunes estn en semiplanos diferentes determinados por la recta que contiene al rayo comn.

Par Lineal: Si y son rayos opuestos y es otro rayo, entonces, y forman un par lineal.

D

B lA

C

ngulos Suplementarios y Complementarios A y B son Complementarios si m A + m B = 900 A y B son Suplementarios si m A + m B = 1800

Mediatriz de un segmento: Sea un segmento de la recta l y sea P el punto medio de dicho segmento, se llama Mediatriz del segmento a la recta m que pasa por P y es perpendicular a l.

AP PB

B A P lm

3.2 Tringulos. Sean A, B y C tres puntos no colineales, al conjunto se le denomina triangulo y se denota por . Los puntos A, B y C se denominan vrtices, los segmentos se denominan lados del tringulo y los se denominan ngulos interiores. A es un angulo exterior.

B C D Los tringulos se clasifican segn sus lados en: Equiltero, si tiene los tres lados congruentes, Issceles, si tiene al menos dos lados congruentes y escaleno si los tres lados son no congruentes.De acuerdo a sus ngulos interiores se clasifican en: Acutngulo si tiene sus tres ngulos interiores agudos, rectngulo si uno de sus ngulos interiores es recto y obtusngulo si uno de sus ngulos interiores es obtuso.En todo triangulo, la suma de las medidas de los tres ngulos interiores es 1800. En todo triangulo la medida de un ngulo exterior es igual a la suma de las medidas de los dos no adyacentes.Rectas y Puntos notables de un tringulo:Mediana: Recta que pasa por un vrtice y el punto medio del lado opuestos a ese vrtice. Las tres medianas de un tringulo concurren en un punto llamada Baricentro.Altura: recta que pasa por un vrtice y es perpendicular a la recta que contiene al lado opuesto a ese vrtice. Las tres alturas se intersecan en un punto denominado Ortocentro.Bisectriz: Recta que divide cada ngulo interior de un tringulo en dos ngulos congruentes. Las tres bisectrices se cortan en un punto denominado Incentro.Mediatriz: Recta perpendicular en el punto medio de cada lado. El punto de interseccin de las tres mediatrices se denomina Cicuncentro.En todo triangulo equilteros, las medianas, alturas, bisectrices y mediatrices coinciden.

3.3 Congruencia de Tringulos.Figuras congruentes: Son aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamao, o sea, que si una de ellas se superpone sobre la otra sus partes coinciden o calzan.Ejemplos:

Dos tringulos son congruentes si y solo si tienen la misma forma y el mismo tamao, dados dos tringulos cualesquiera, se puede definir una correspondencia entre sus vrtices, lados y ngulos interiores de la forma .

Dada la correspondencia si y tambin , la correspondencia es una congruencia o bien los tringulos son congruentes y escribimos .

Sin embargo, no es necesario comprobar la congruencia de los seis pares correspondientes, bastara solamente con tres de ellas a como lo afirman los siguientes teoremas de congruencia.

Postulados de Congruencia de Tringulos.ALA: (Angulo- Lado-Angulo). Si dos pares de ngulos correspondientes son congruentes y los segmentos adyacentes a ellos son congruentes, la correspondencia es una congruencia.

A D

B C E F

LAL (Lado-Angulo-Lado). Si dos pares de lados correspondientes son congruentes y los ngulos correspondientes entre dichos lados tambin son congruentes, la correspondencia es una congruencia. Es decir, si .

LLL (Lado-Lado-Lado). Si los tres pares de lados correspondientes son congruentes, la correspondencia es una congruencia. . Teorema del Tringulo Issceles. Si dos lados de un tringulo son congruentes entonces los ngulos opuestos a ellos son congruentes. C A B

, entonces,

Corolario: Si dos ngulos de un tringulo son congruentes entonces los lados opuestos a ellos son congruentes.Teorema: Un tringulo es Equiltero si y solo si es Equiangular.CONGRUENCIA DE TRIANGULOS RECTANGULOS: Dos tringulos Rectngulos son congruentes:1) (Hipotenusa Angulo) Si tienen respectivamente las hipotenusas y un par de ngulos agudos correspondiente congruentes. 2) (Hipotenusa Cateto) Si tienen respectivamente las hipotenusas y un par de catetos correspondientes congruentes.3) ( Cateto Angulo) Si tienen un par de catetos y el par de ngulos agudos adyacentes correspondientes congruentes.4) ( Cateto Cateto) Si los pares de catetos correspondientes son congruentes.

3.4 Teoremas sobre proporcionalidad. Segmentos Proporcionales. Los segmentos son proporcionales si solo si , por ejemplo:

A B 13

E F 2

G H 6

C D

Teorema Fundamental de la Proporcionalidad: Si una recta paralela a un lado de un tringulo interseca en puntos distintos a los otros dos lados, entonces determina sobre ellos segmentos proporcionales a dicho lados.B A C D E

, Recproco: Si una recta interseca a dos lados de un tringulo en puntos distintos y determina sobre dichos lados segmentos proporcionales, entonces paralela al tercer lado del tringulo.Teorema de Thales: Si tres o ms rectas paralelas son cortadas cada una por dos transversales, los segmentos correspondientes en las transversales son proporcionales.A

B

F C D l3E l1l2s2s1

Teorema de la Bisectriz: La bisectriz de un ngulo interno de un tringulo divide al lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los lados contiguos.ABC D

es bisectriz de entonces,

Ejemplos. 1) El permetro de un tringulo es 50 cm y sus lados son proporcionales a 7, 9, 10. Cunto mide cada lado?

, x = 7kxyz

y = 9k, z = 10k

26k = 50 k = 50/26 = 25/13 x = 13. 46, y = 17. 31, z = 19. 2

2) Cuatro paralelas determinan sobre una transversal segmentos de 3, 5, 8 cm Qu longitud tienen los segmentos que las cuarto paralelas determinan sobre otra transversal si las rectas de los extremos determinan un segmento de 60. Se tiene BH = 60

A B C G D F H E 3 58xyz

, x = 11. 25, y = 18. 75, z = 30.3) Dos lados de un tringulo miden AB =24 y AC = 32, si toma sobre un segmento tal que AD = 16. Qu segmento AE habr que tomar sobre AC para que DE || BC?A D B E 8 16 32 32 x x24

16(32 x) = 8x 64 2x = x

3x = 64, , o sea, x = 21.36

3.5 Semejanza de Tringulos.Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamao.

De otro modo, una de ellas es un modelo a escala de la otra.2 3 44 6 8

Definicin. Sea una correspondencia ABC DEF entre los vrtices de los tringulos ABC y DEF. Si y , entonces la correspondencia es una semejanza y los tringulos se dice que son semejantes.A B C D F E

Notacin: ABC DEFTEOREMA DE SEMEJANZAS. Sean los tringulos ABC y DEF, y sea ABC DEF una correspondencia entre ellos. Los tringulos son semejantes si tienen: A B C D F E

1) Angulo - Angulo - Angulo ( A A A )

Los tres pares de ngulos correspondientes congruentes. 2) AnguloAngulo ( A A): Dos pares de ngulos correspondientes congruentes.A B C D F E

3) Lado Angulo Lado ( L A L ). Dos pares de lados correspondientes proporcionales y el par de ngulos entre ellos congruentes.A B C D F E

4) Lado Lado Lado ( L L L ). Los tres pares de lados correspondientes proporcionales.A B C D F E

Otros Teoremas de Semejanzas Teorema: Si dos tringulos son congruentes entonces son semejantes. Nota: El recproco no es vlido. Teorema: Si una recta paralela a un lado de un tringulo interseca a los otros dos lados en puntos distintos entonces determina otro tringulo semejante al primero.A B C D E

DE || AC ABC DBE Teorema: Las alturas correspondientes de dos tringulos semejantes son proporcionales a los lados sobre las que se trazan. A B C D F E P H

ABC DEF

Semejanza de Tringulos Rectngulos .Dos tringulos Rectngulos son semejantes si tienen:a) Los dos pares de catetos correspondientes proporcionales.b) Un par de ngulos agudos correspondientes congruentes.c) Las hipotenusas y un par de catetos correspondientes proporcionales.

3.6 Relaciones mtricas en un Tringulo RectnguloLos elementos de un tringulo Rectngulo son: Hipotenusa y Catetos.A B C

Lados ngulos AB Hipotenusa A y B son Agudos AC Cateto C es Recto BC Cateto

Recordemos que la altura de un tringulo es la recta que parte de uno de los vrtices y es perpendicular al lado opuesto.

Sea el ABC y sea BD la altura sobre la hipotenusa AC B A C hD

Proyecciones AD es la proyeccin de AB sobre la hipotenusa. DC es la proyeccin de BC sobre la hipotenusa

En un tringulo rectngulo; la altura sobre la hipotenusa determina dos tringulos semejantes entre si y al tringulo dado. A B C D

ABD ACD ABD BCD ACD BCD

Teorema de la Altura: En todo tringulo Rectngulo, la altura sobre la hipotenusa establece una media proporcional entre las longitudes de las proyecciones . B A C D

Teorema del Cateto: En un tringulo Rectngulo, un cateto establece una media proporcional entre la hipotenusa y la proyeccin de dicho cateto, sobre la hipotenusa.O sea, y Ejemplo: La hipotenusa de un ABC mide 12 cm. y uno de sus catetos 8cm. Calcular las proyecciones. Se buscan las longitudes de los segmentos AD y DC12 cm8 cmD A B C

, entonces: 64 = 12 AD

Adems, AC = AD + DC Teorema de Pitgoras: En cualquier tringulo Rectngulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.A B C acbhD

(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 b2 = c2 + a2Recproco del Teorema de Pitgoras: Sea un tringulo dado. Si la suma de los cuadrados de las longitudes de dos de sus lados es igual al cuadrado de la longitud del tercer lado, entonces tringulo es un tringulo Rectngulo.Teorema: En un tringulo Rectngulo con ngulos agudos de 300 y 600, la hipotenusa mide el doble de la longitud del cateto menor.Teorema: En un tringulo rectngulo con ngulos agudos de 450, los catetos son congruentes.

3.7 Relaciones Mtricas en la Circunferencia. El conjunto de todos los puntos P de un plano que equidistan de otro Punto O fijo del mismo plano llamado Centro, se llama Circunferencia. Se llama Radio al segmento que une todo punto dela circunferencia con el centro. Tambin se le llama Radio a la longitud de dicho segmento. Al conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los puntos interiores de la misma se llama Crculo.BED P Ot l

O Pr

Circunferencia Crculo Circunferencia con sus elementos

Elementos de la Circunferencia Cuerda: es un segmento cuyos extremos son puntos de la circunferencia. Dimetro: es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia ( ). En medida, una cuerda equivale a dos radios. Recta Secante: es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos, Recta Tangente: es una recta que toca a la circunferencia solamente en un punto , este punto de contacto P, se denomina punto de tangencia. Toda tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia.Dos circunferencias coplanarias que tienen el mismo centro pero radios no congruentes se denominan circunferencias concntricas.Circunferencia circunscrita a un polgono es aquella que contiene todos los vrtices del polgono. El polgono se dice inscrito en la circunferencia.Circunferencia inscrita en un polgono es aquella en que todos los lados del polgono son tangentes a la circunferencia. En este caso se dice que el polgono est circunscrito a la circunferencia. Si los puntos A, B y C estn en una circunferencia con centro en O pero no son extremos de un dimetro, entonces: Arco Menor es la unin de los puntos A, B y todos los puntos de la circunferencia que estn en el interior de AOB. (arco ) Arco Mayor es la unin de los puntos A, B y todos los puntos de la circunferencia que estn en el exterior de AOB. (arco QPAR

PAQ es Inscrito QAR es Semi - InscritoABB C O

ngulos en la Circunferencia:Angulo central: Es el ngulo que tiene su vrtice en el centro de la circunferencia y sus lados estn determinados por dos radios. ( . La medida de un ngulo central es igual a la medida en grados del arco menor que lo subtiende. Nota: No debe confundirse la medida en grados de un arco con la longitud del arco. Angulo Inscrito: Es un ngulo cuyo vrtice est en la circunferencia y sus lados son secantes. Su medida es igual a la mitad del arco que lo subtiende, . Todos los ngulos inscritos subtendidos por el mismo arco son congruentes. Un ngulo inscrito en una semicircunferencia es recto. Angulo semi inscrito: tiene su vrtice en la circunferencia y un lado es tangente y el otro es secante. Su medida es igual a la mitad del arco que lo subtiende, Un ngulo interior a una circunferencia es un ngulo formado por dos cuerdas que se cortan en el interior de la Circunferencia. Su medida es igual a la semisuma de las medidas de los arcos interceptados por l y por su ngulo opuesto por el vrticeUn ngulo exterior puede estar formado por dos Secantes que se cortan en el exterior de una Circunferencia, su medida es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos interceptados. Otro tipo de ngulo exterior a la circunferencia es el ngulo formado por una tangente y una secante que se cortan en el exterior de una Circunferencia, su medida es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos interceptados. Relaciones de segmentos en la circunferencia. Todo dimetro perpendicular a una cuerda divide a esta y a los arcos subtendidos en partes congruentes.( Tambin vale el recproco)En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, a arcos congruentes corresponden cuerdas congruentes y si dos arcos no son congruentes, a mayor arco corresponde mayor cuerdaEn una circunferencia o en circunferencias congruentes, a cuerdas congruentes corresponden arcos congruentes y si dos cuerdas no son congruentes, a la cuerda mayor corresponde mayor arco.La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado al punto de tangencia. (Tambin vale el recproco. Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan el producto de los dos segmentos determinados en una cuerda es igual al producto de los dos segmentos determinados por la otra.En una Circunferencia o en Circunferencias congruentes, cuerdas congruentes son equidistantes del centro y recprocamente.Si por un punto exterior de una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de una de ellas por su segmento exterior es igual al producto de la otra por su segmento exterior.Si por un punto exterior de una circunferencia se traza una tangente y una secante, la tangente es media proporcional entre la secante y el segmento exterior.Dos segmentos tangentes a una circunferencia trazada desde un punto exterior, son congruentes y determinan ngulos congruentes con el segmento que une el punto exterior con el centro.Si por uno de los extremos de un dimetro de una Circunferencia se traza una cuerda, el cuadrado de la medida de esta cuerda es igual a la medida de su proyeccin sobre el dimetro multiplicado por la medida del dimetro.

3.8 Regiones poligonales y circulares. Un polgono es una figura plana formada por la reunin de n, n 3, segmentos de manera que no se crucen y solo se toquen en los extremos

Las figuras anteriores, todos son polgonos, excepto las dos ltimas. Se deduce que: 1) Dos segmentos no se intersecan excepto en sus extremos, 2) Ningn par de segmentos con un extremo comn colineales.

Definicin: La unin de los segmentos , que cumplen con las condiciones 1 y 2 Se llama Polgono.

Los puntos Pk , k = 1, . . ., n se llaman Vrtices del Polgono y los segmentos se llaman Lados del Polgono. Los ngulos del polgono son los determinados por los pares de lados intersecados en los extremos. P1P2P3Con n=3

La suma de los lados de un polgono se denomina permetro. De acuerdo al nmero de lados los polgonos reciben el nombre de: n =3. Triangulo, n0 4, cuadriltero, n= 5, Pentgono, n = 6, Hexgono, n = 7, Heptgono, n=8, octgono, etc. Diagonal de un Polgono es el segmento que une dos de sus vrtices no consecutivos.ABCDEBCDA

En el ADCD, son diagonales y en el

Pentgono, son diagonales El nmero de diagonales de un polgono es Regin Poligonal: Es la unin de los puntos del Polgono con sus punto Interiores. El rea de una regin poligonal es el nmero que indica cuantas veces una unidad de rea est contenida en la regin. Area de regiones Poligonales.Tringulo

b

BAChac

x y , b: base, h: altura, forma general del rea , Frmula de Hern, a,b,c son los lados y p semi permetro., Area del triangulo equiltero de la lado l, Area del tringulo rectngulo de catetos x e y

Cuadrilteros: Polgonos de cuatro lados. ABDCBCADABCD

a) b) c)

Tipos de CuadrilterosTrapecio: Cuadriltero que tiene dos de sus lados opuestos paralelos. hb1b2

Paralelogramo: Cuadriltero en el que ambos pares de lados opuestos son Paralelos A = b hbh.

Rectngulo: Paralelogramo con cuatro ngulos rectos. Cuadrado: Rectngulo con lados congruentes. h l b Rombo: Paralelogramo cuyos lados son todos congruentes entre s. Su rea es el semi producto de sus diagonales. , donde D es la diagonal mayor, d es la diagonal menorTeorema sobre Cuadrilteros En un rectngulo las diagonales son congruentes. En un Rombo las diagonales son perpendiculares entre s.En un Cuadrado las diagonales son perpendiculares entre s y congruentes.En un Paralelogramo se cumple que:

a) lados opuestos son congruentes.b) ngulos opuestos son congruentes c) ngulos adyacentes son suplementarios d) Cualquier diagonal lo divide en dos tringulos congruentes. e) Las diagonales se bisecan entre s.

Polgono Convexo: Un polgono es convexo si ningn par de puntos estn en lados opuestos de una recta que contenga uno de sus lados.

Convexos No Convexos o CncavosUn polgono es Regular si es Convexo y si todo sus lados son congruentes y todos sus ngulos congruentes. Ejemplo: Tringulo Equiltero, Cuadrado. Todo polgono regular puede inscribirse en una circunferencia y el centro del polgono es el centro de la circunferenciareas de Polgonos regulares.eP2P3P1

eeeeeP4P5P6Oa

Sea un polgono Regular de n (6) lados inscrito en una circunferencia de centro O. Se tiene n (6) tringulos Issceles de base e . Sea a la altura trazada del centro de cada polgono a cada uno de sus lados, la cual se llama Apotema . Si p es el permetro de un polgono regular de n(6) lados, entonces, n vecesPor el teorema de congruencia LLL los n (6) tringulos de base e y altura a, son congruentes , siendo el rea AT de cada uno, . Dado que en el Polgono Regular estn contenidos n(6) de estos tringulos, su rea AP es , como el permetro p = ne, se tiene n = p/e, luego, Regiones Circulares. Crculo: A = r2

Sector Circular: Regin Circular limitada por dos radios y el arco comprendido entre ellos O Prnor

Corona Circular: Regin plana limitada por dos circunferencias concntricas A = ( R2 r2 )

Trapecio circular: Regin de una corona Circular Limitada por dos radios

A = n ( R2 r2 ) / 360Segmento Circular: Regin Circular limitada por una cuerda y un arco de Crculo.Ornor

A = Area del Sector circular Area de tringulo

3.9 reas y Volmenes de Slidos. Prisma: Es el slido formado por varias caras que son paralelogramos y dos bases que son polgonos regulares. Los polgonos congruentes paralelos se llaman Bases del Prima. Los paralelogramos se llaman Caras Laterales y la suma de sus reas forman la Superficie Lateral. La superficie total es la suma de la superficie lateral y las bases. Los segmentos de interseccin de las caras laterales se llaman Aristas Laterales y los de las caras laterales con los lados de las bases se llaman Aristas de las Base. La Altura de un prisma es la distancia entre los planos de sus bases.Una Seccin Transversal o Recta de un Prisma en la interseccin del Prisma con un plano paralelo al plano de las bases. Todas las secciones rectas de un Prisma son congruentes con las bases y por ende tienen la misma rea.hPrisma OblicuohPrisma Recto

Un prisma puede ser Recto u Oblicuo. Prisma Recto es aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares a los planos de las bases. En el Prisma Recto, la altura y las aristas laterales son congruentes. Las caras son rectngulos. Prisma Oblicuo es aquel en que las aristas laterales no son perpendiculares a los planos de las bases. Solo estudiaremos los Prismas Rectos.

Area de un Prisma: Si se suponen las caras laterales de un Prisma Recto estirado sobre un plano, se tienen n rectngulos de altura h y cuya suma de los lados es el permetro p. Entonces el Area Lateral (A L ) de un Prisma Recto es igual al producto de su permetro por su altura y su Area total (AT) es AL ms dos veces el rea de sus bases. Su volumen es el producto del rea de su base por su altura ... AL = p h AT = p h + 2Ab V = Ab hh

p. . .

Paraleleppedo: Es el prisma cuyas bases son paralelogramos. Si las caras y bases son rectngulos se llama Paraleleppedo Rectangular, para el cual se tienen las siguientes frmulas.

hL1L2

, ,

Cubo: Es un paraleleppedo cuyas bases son cuadradas y cuyas aristas son congruentes. L

Si el cubo tiene arista de longitud L, se tiene V= L3 y AT = 6 L2

Pirmide: Es el slido que tiene una cara llamada base, que es un polgono cualquiera, y las otras llamadas caras laterales son tringulos que tienen vrtices comn, llamada vrtice o cspide de la pirmide. Altura de una pirmide es la perpendicular trazada desde el vrtice al plano de la base. Segn la base pueden haber Pirmides triangulares, cuadradas, etc. Pirmide Regular

hPirmide

Pirmide Regular: Es la que tiene como base un polgono Regular y el pie de la altura coincide con el centro del polgono. Las caras son tringulos Issceles. La altura de ella se llama Apotema de la pirmide.

Area una Piramide Regular: Sea una Piramide regular y su desarrollo, las caras son tringulos Isseles de altura ap y base . . . .

apn

Las reas laterales y total de la pirmide estn dadas por: , y donde es la apotema de la base. El volumen de la pirmide Regular es Pirmide Truncada: Se llama as a la parte inferior que resulta cuando la pirmide es cortada por un plano paralelo a la base. Sus caras laterales son trapezoides. Si P1, P2 son los permetros de las bases mayor y menor respectivamente y a la apotema de las caras laterales, se tiene: , y h

hgr

Pirmide Truncada Cono Circular RectoCono: Es el slido que resulta de hacer girar alrededor de una recta, un segmento con un extremo sobre sta o el slido que resulta de girar un tringulo rectngulo sobre uno de sus catetos. Para un cono se tiene: , y Cilindro: Es el slido que se genera al girar un rectngulo alrededor de uno de sus lados. Esfera: Es el slido que genera un semicrculo al girar alrededor de su dimetro como eje. rhr

V = r2 V = 4/3 r3

AL = 2r h A = 4r2

AT = 2r h + 2r2 Se llama superficie esfrica al lugar geomtrico de todos los puntos del espacio que equidistan de uno interior llamado centro. Si cortamos una esfera por un plano secante se obtienen dos porciones de superficie esfrica, la mayor llamada Segmento esfrico. Si el plano secante pasa por el centro los Segmentos se llaman hemisferios. Si se consideran dos semicrculos, la porcin entre ellas se llama huso esfrico y la porcin de esfera se llama cua esfrica. Para el Segmento esfrico, se tienen las siguientes frmulas:

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