GEOMETR IA DE LOS SISTEMAS DINAMICOS · Narciso Rom an-Roy] y Departamento de Matem atica Aplicada...

GEOMETRIA DE LOS SISTEMAS DINAMICOS

Miguel C. Munoz-Lecanda ∗,Narciso Roman-Roy ] †

Departamento de Matematica Aplicada IVEdificio C-3, Campus Norte UPC.

C/ Jordi Girona 1. E-08034 BARCELONA. SPAIN

April 13, 2010

∗e-mail: [email protected]†e-mail: [email protected]

M.C. Munoz-Lecanda, N. Roman-Roy, Geometrıa de los Sistemas Dinamicos 2

Contents

1 Sistemas dinamicos Newtonianos 4

1.1 Sistemas dinamicos en Mecanica Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Fundamentos. Ecuaciones de Newton. Energıa cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Ecuaciones de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Sistemas conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Definicion. Energıa Mecanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Ecuaciones de Euler-Lagrange para sistemas conservativos. Funcion lagrangiana . . . 9

1.3 Sistemas con fuerzas dependientes de las velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Sistemas acoplados (en interaccion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.1 Definiciones y equivalencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.2 Expresiones en coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Sistemas con ligaduras holonomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.1 Planteo del problema. Principio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.2 Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15


1.6 Ejemplos de sistemas dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6.1 Partıcula en R3 (no sometida a ligaduras) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6.2 Partıcula en una superficie de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6.3 Sistema de partıculas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6.4 Sistema de partıculas en una subvariedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7 Sistemas con ligaduras no holonomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7.1 Planteo del problema. Principio de D’Alembert no holonomo . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7.2 Ecuaciones dinamicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.8 Sistemas Newtonianos dependientes del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.8.1 Sistemas mecanicos con fuerzas dependientes del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.8.2 Sistemas con ligaduras holonomas dependientes del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.8.3 Sistemas con ligaduras no holonomas dependientes del tiempo . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Sistemas dinamicos lagrangianos 24

2.1 Estructuras geometricas de los fibrados tangente y cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.1 Fibrado tangente de una variedad diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.2 El subfibrado vertical. Levantamiento vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


2.1.3 El endomorfismo vertical o canonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.4 El campo de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.5 Levantamientos canonicos al fibrado tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.6 Ecuaciones diferenciales de segundo orden (E.D.S.O.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.7 Fibrado cotangente de una variedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.8 Formas canonicas en el fibrado cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.9 Levantamientos canonicos al fibrado cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1.10 Derivada fibrada de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2 Formalismo lagrangiano de sistemas dinamicos lagrangianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.1 Sistemas dinamicos lagrangianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.2 Estructuras geometricas inducidas por la dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.3 Ecuaciones dinamicas lagrangianas. Ecuaciones de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . 42

2.3 Formalismo hamiltoniano canonico de sistemas lagrangianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.1 Transformacion de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.2 Formalismo hamiltoniano canonico y equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.3 Discusion y comparacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Sistemas dinamicos hamiltonianos 49

3.1 Nociones de geometrıa simplectica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1.1 Variedades simplecticas y presimplecticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1.2 Isomorfismo canonico. Campos hamiltonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1.3 Formas invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1.4 Parentesis de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1.5 Transformaciones canonicas y simplectomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1.6 Caracterizacion de transformaciones canonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2 Sistemas dinamicos hamiltonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2.1 Sistemas hamiltonianos. Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2.2 Constantes del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4 Simetrıas 65

4.1 Simetrıas en sistemas dinamicos hamiltonianos (regulares) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.1.1 Simetrıas dinamicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.1.2 Simetrıas de Noether. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2 Simetrıas en sistemas dinamicos lagrangianos (regulares) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68


4.2.1 Formalismo hamiltoniano canonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2.2 Formalismo lagrangiano: simetrıas lagrangianas y teorema de Noether . . . . . . . . . 70

4.2.3 Formalismo lagrangiano: simetrıas de la lagrangiana y teorema de Noether . . . . . . 72

5 Formulacion variacional 76

5.1 Formulacion variacional del formalismo lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.1.1 Funcional asociado a un problema lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.1.2 Problema variacional de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76


5.1.4 Relacion con el formalismo hamiltoniano canonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79


Presentacion

Introduccion

Salvo en algun caso especıfico que se senalara, a lo largo del trabajo solo se consideraran sistemas fısicosindependientes del tiempo, esto es, autonomos.

A lo largo de este trabajo, si M es una variedad diferencial, se designaran por X(M) el conjunto de loscampos vectoriales, por Ωp(M) el de las p-formas diferenciales en M (siendo Ω0(M) = C∞(M) las funcionesde clase C∞), y por Zp(M) al conjunto de p-formas diferenciales cerradas en M . Como ya es norma, se asumeque todas las variedades diferenciales y estructuras geometricas que aparecen son de clase C∞. Ademas sesupondra que todas las variedades y subvariedades son de dimension finita y conexas. Tambien se asumirala hipotesis de que todas las aplicaciones tienen rango constante en las variedades o subvariedades donde sehallen definidas. Finalmente, salvo indicacion contraria, se adopta el convenio de sumacion de los ındicesrepetidos cruzados.


1 Sistemas dinamicos Newtonianos

En esta seccion se va a desarrollar un formalismo geometrico para la descripcion de los sistemas dinamicosde la Mecanica Clasica (esto es, Newtoniana).

1.1 Sistemas dinamicos en Mecanica Newtoniana

1.1.1 Fundamentos. Ecuaciones de Newton. Energıa cinetica

Desde el punto de vista geometrico, los sistemas mecanicos de la Fısica Newtoniana tienen unas caracterısticasbasicas comunes, que son las siguientes:

• El espacio de configuraciones, esto es, el formado por los puntos cuyas coordenadas describen los gradosde libertad del sistema, es una variedad diferencial cuya dimension es igual al numero de estos gradosde libertad (habitualmente Rn o un abierto de este).

• Esa variedad esta dotada de una metrica de Riemann.

• Se tiene seleccionado un campo vectorial, el campo de fuerza (alguna magnitud equivalente; esto es,una forma de trabajo) que determina las trayectorias dinamicas del sistema.

Basandonos en estas ideas, se define:

Definicion 1 Un sistema dinanico Newtoniano (o mecanico) es una terna (M, g, ω), donde:

• M es una variedad diferencial (dim M = m).

• g es una metrica de Riemann en M . De ahı (M, g) es una variedad de Riemann.

• ω es una 1-forma diferencial en M , que se denomina forma de trabajo.

Dado que g es una metrica de Riemann, la forma de trabajo ω tiene asociado un unico campo vectorialF ∈ X(M) tal que i(F)g = ω, que se denomina campo de fuerzas del sistema (ası a veces el sistema seescribe (M, g,F)).

Todo sistema mecanico Newtoniano (M, g, ω) define el siguiente problema: si ∇ es la conexion de Levi-Civitta asociada a g, se trata de hallar las curvas γ : [a, b] ⊂ R // M tales que satisfacen la ecuacion

∇γ γ = F γ (1)

Admitimos, pues, el siguiente:

Postulado 1 (de la dinamica Newtoniana): Las trayectorias dinamicas de un sistema dinamico Newtoniano(M, g,F) son las curvas γ : [a, b] ⊂ R // M solucion de la ecuacion (1), que se denomina ecuacion dinamicao ecuaciones de Newton del sistema.

Comentario:

Observese que, en el caso en que F = 0, las trayectorias dinamicas son las geodesicas de la metricag (Ley de inercia).

Si (U,ϕ = (xi)) es una carta local en M , y Γkij son los sımbolos de Christoffel de ∇ en esa carta, laecuacion dinamica se expresa localmente en la forma

γk + Γkij γiγj = Fk γ (k = 1, . . . ,m)


Si, ademas, ω = ωidxi y F = Fi∂

∂xi, en esa carta, entonces resulta que

ωi = gijFj , Fi = gijωj

donde gij son las componentes de la matriz inversa de g en esa carta local.

Este formalismo puede presentarse en una formulacion dual del siguiente modo:

Definicion 2 Sea (M, g) una variedad de Riemann. Se define la aplicacion biyectiva, asociada a la metricag, siguiente

θ : TM −→ T∗M(p, u) 7→ (p, i(u)g)

la cual hace conmutativo el diagrama

TM θ - T∗M

τM πM

M

QQQQQQs

+

y, por tanto, θ es una 1-forma diferencial en M a lo largo de τM (lo cual denotaremos como θ ∈ Ω1(M, τM )),que se denomina 1-forma de cantidad demovimiento o 1-forma de momento lineal asociada a la metrica.

La ecuacion dinamica del sistema (1) se puede expresar utilizando esta forma θ como sigue:

Proposicion 1 (Forma dual de las ecuaciones dinamicas): Dado un sistema mecanico Newtoniano (M, g, ω),una curva γ : I ⊂ R // M es solucion de la ecuacion dinamica si, y solo si, satisface la ecuacion

∇γ(θ γ) = ω γ (2)

( Dem. ) Si γ : [a, b] ⊂ R // M es una curva en M , entonces θ γ ∈ Ω1(M,γ), y se tiene que

∇γ(θ γ) = ∇γ(i(γ)g) = i(∇γ γ)g + i(γ)∇γg = i(∇γ γ)g = θ ∇γ γ

Y si γ es una trayectoria dinamica, esto es ∇γ γ = F γ, tenemos:

∇γ(θ γ) = θ F γ = i(F)g γ = ω γ

esto es, la expresion (2).

Observar que si θ γ ∈ Ω1(M,γ), entonces, para todo X ∈ X(M), se tiene que

∇γ(θ γ)(X) = (∇γ(θ γ))(X) + (θ γ)(∇γX)

Y de aquı se obtiene:

Teorema 1 (Conservacion de la Cantidad de Movimiento): Si la forma de trabajo (o lo que es equivalente,el campo de fuerzas) de un sistema mecanico (M, g, ω) es nula, entonces la cantidad de movimiento esinvariante (“constante”) a lo largo de las trayectorias del sistema 1.

1 En un lenguaje mas preciso, el resultado es que la forma θ γ ∈ Ω1(M,γ) es paralela. No obstante se mantiene el enunciadodado por ser la forma clasica del teorema.

En R3, referido a una carta de coordenadas cartesianas, se tiene que Γkij = 0, ∀i, j, k, y por tanto, las componentes de θ γson constantes.


( Dem. ) ω = 0 ⇔ F = 0, y entonces las ecuaciones de Newton son ∇γ(θ γ) = 0 ; de donde θ γ esconstante sobre la trayectoria.

Finalmente, asociada a la metrica de Riemann se tiene la siguiente funcion:

Definicion 3 Dada una variedad de Riemann (M, g), la funcion

T : TM −→ R(p, u) 7→ 1

2g(u, u)

se denomina energıa cinetica del sistema.

Su expresion local es

T (xi, vj) =12gij(x)vivj

1.1.2 Ecuaciones de Euler-Lagrange

A continuacion se van a transformar las ecuaciones dinamicas de un sistema mecanico Newtoniano en otrotipo de ecuaciones que, en general, son mas faciles de calcular.

En primer lugar, se necesitara el siguiente resultado auxiliar:

Lema 1 Sea (M, g) una variedad de Riemann, T ∈ C∞(TM) la energıa cinetica asociada, ∇ la conexion deLevi-Civitta de la metrica g, y γ : [a, b] ⊂ R // M una curva diferenciable. Si (U,ϕ = (qi)) es una cartalocal en M , y (τ−1

M (U), qi, vi) es la carta natural en TM ; entonces se verifica que

ddt

(∂T

∂vj γ)− ∂T

∂qj γ = g

(∇γ γ,

∂

∂qj

)(∀j)

( Dem. ) Se compararan las expresiones locales de ambos miembros. Dado que T = 12gijv

ivj , se tiene que

∂T

∂vj= gijv

i ,∂T

∂qj=

12∂gik∂qj

vivk

de donde, si γ = (γ1, . . . , γm),

∂T

∂vj γ = (gij γ) γi ,

∂T

∂qjγ =

12

(∂gik∂qj

γ)γiγk

entonces resulta queddt

(∂T

∂vj γ)

=(∂gij∂qk

γ)γkγi + (gij γ)γi

y, por tanto,

ddt

(∂T

∂vj γ)− ∂T

∂qj γ =

(∂gij∂qk

γ)γkγi + (gij γ)γi − 1

2

(∂gik∂qj

γ)γiγk

Por otra parte

g

(∇γ γ,

∂

∂qj

)= (gij γ)γi + (gij γ)Γiklγ

kγl

pero puesto que

[kl, j] = gijΓikl =12

(∂gjk∂ql

+∂gjl∂qk− ∂glk∂qj

)sustituyendo en la igualdad precedente, se obtiene el resultado deseado.

Y, seguidamente ya se esta en condiciones de probar que:


Teorema 2 (de Lagrange): Sea (M, g, ω) un sistema mecanico Newtoniano, y γ : [a, b] ⊂ R // M unacurva diferenciable que esta en el dominio U ⊂ M de la carta local (U,ϕ = (qi)) de M . Entonces, lacondicion necesaria y suficiente para que γ sea solucion de la ecuacion dinamica del sistema (4) es quesatisfaga las ecuaciones

ddt

(∂T

∂vj γ)− ∂T

∂qj γ = (ω γ)

(∂

∂qj

)= ωj γ (j = 1, . . . ,m) (3)

las cuales se denominan ecuaciones de Euler-Lagrange (de segunda especie) del sistema.

( Dem. ) Si γ es solucion de las ecuaciones de Newton, esto es, ∇γ γ = F γ, entonces

g

(∇γ γ,

∂

∂qj

)= g

(F γ, ∂

∂qj

)= (ω γ)

(∂

∂qj

)luego, de acuerdo con el lema previo, verifica el sistema de ecuaciones (3).

Recıprocamente, si γ stisface el sistema (3), entonces

g

(∇γ γ,

∂

∂qj

)= (ω γ)

(∂

∂qj

)de donde ∇γ γ = F γ, ya que i(F)g = ω; por consiguiente es solucion de las ecuaciones de Newton.

Comentarios:

• Para poder escribir las ecuaciones de Newton de un sistema mecanico (M, g, ω), es necesario calcularpreviamente los sımbolos de Christoffel de la conexion de Levi-Civitta asociada a la metrica g. Sinembargo, para escribir las ecuaciones de Euler-Lagrange no se necesita conocer la expresion local de laconexion. Tambien es remarcable que el procedimiento para obtener dichas ecuaciones no depende dela carta local en cuestion, sino que basta calcular las expresiones de T y ω en dicha carta, y calcularlas derivadas necesarias.

• Otra forma de intepretar las ecuaciones de Euler-Lagrange es la siguiente: sea (U, qi) una carta localen M , y las ecuaciones de Newton del sistema, que en esa carta se expresa

γi + Γijkγj γk = Fi γ (i, j, k = 1, . . . ,m)

o bien, como habitualmente se escriben

qi + Γijkqj qk = Fi (i, j, k = 1, . . . ,m)

que es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Para transformarlo en unsistema de primer orden se introducen nuevas variables vi = qi, y se obtiene el sistema

qi = vi

vi = Fi − Γijkvjvk

el cual es de primer orden en la variedad TM , y tiene por campo vectorial asociado

X = vi∂

∂qi+ (Fi − Γijkv

jvk)∂

∂vi

Dado que X ∈ X(τ−1M (U)), por cada punto (p, u) ∈ τ−1

M (U) pasa una unica solucion, con (p, u) comocondicion inicial. Si ahora se consideran las funciones que intervienen en las ecuaciones de Euler-Lagrange y se calcula como actua X sobre ellas, usando las propiedades de los sımbolos de Christoffel,se obtiene:

X

(∂T

∂vk

)= X(glkvl) =

∂glk∂qi

vivl + glk(Fl − Γlijvivj)

de donde

X

(∂T

∂vk

)− ∂T

∂qk=∂glk∂vi

vivl + glkFl − glkΓlijvivj − 1

2∂gij∂vk

vivj = glkFl

De aquı se puede concluir que:


Proposicion 2 Sea (M, g, ω) un sistema mecanico Newtoniano, (U, qi) una carta local en M , y (τ−1M (U), qi, vi)

la correspondiente carta natural en TM . Entonces, en τ−1M (U) existe un unico campo vectorial X ∈

X(τ−1M (U)) verificando:

1. L(X)qk = vk, ∀k.

2. L(X)(∂T

∂vk

)=

∂T

∂vk+ gikFi , ∀k.

Ademas, las curvas integrales σ : [a, b] ⊂ R // TM de X son levantamientos a TM de curvas γ : [a, b] ⊂ R// M , las cuales son solucion de las ecuaciones de Newton del sistema.

( Dem. ) La existencia y unicidad de X es consecuencia de que(qk,

∂T

∂vk

)forman un sistema de coor-

denadas en TM , ya que la metrica g es no degenerada. Las propiedades de X se han demostrado en ladiscusion precedente.

Por otra parte, las curvas integrales de X son los levantamientos a TM de las soluciones de las ecuacionesde Euler-Lagrange, luego de las ecuaciones de Newton.

Es frecuente llamar a la variedad M espacio de configuracion del sistema, y a la variedad TM espacio defases (de velocidades).

1.2 Sistemas conservativos

1.2.1 Definicion. Energıa Mecanica

Definicion 4 Un sistema mecanico Newtoniano (M, g, ω) es conservativo si su forma de trabajo es exacta;esto es, existe V ∈ C∞(M) tal que ω = −dV 2.

En tal caso, la funcion V se denomina energıa potencial del sistema.

A partir de aquı se define:

Definicion 5 Dado un sistema mecanico Newtoniano conservativo (M, g, ω), se denomina Energıa total oEnergıa mecanica del sistema a la funcion

E : TM −→ R(p, u) 7→ T (p, u) + (τ∗MV )(p, u)

(Para simplificar se escribe E = T + V ).

Como consecuencia directa de lo expuesto se tiene:

Teorema 3 (Conservacion de la Energıa Mecanica): En un sistema mecanico Newtoniano conservativo(M, g, ω), la Energıa Mecanica E es invariante (“constante”) a lo largo de las trayectorias del sistema.

( Dem. ) Si γ : [a, b] ⊂ R // M es una solucion de las ecuaciones de Newton,

∇γ γ = F γ , i(F)g = ω = −dV (4)

2 El signo negativo es un convenio tradicional en Fısica.


entonces resulta que

d(E γ)dt

= ∇γ(E γ) = ∇γ(

12g(γ, γ) + V γ

)= g(∇γ γ, γ) +∇γ(V γ) = g(∇γ γ, γ) + dV (γ)= g(F, γ) + dV (γ) = ω(γ) + dV (γ) = 0

ya que ω = −dV .

1.2.2 Ecuaciones de Euler-Lagrange para sistemas conservativos. Funcion lagrangiana

Proposicion 3 Sea (M, g, ω) un sistema mecanico Newtoniano conservativo (ω = −dV ), y γ : [a, b] ⊂ R// M una curva diferenciable que esta en el dominio U ⊂M de la carta local (U,ϕ = (qi)) de M . Entonces

las ecuaciones de Euler-Lagrange del sistema se expresan como

ddt

(∂L∂vj γ)− ∂L∂qj γ = 0 (j = 1, . . . ,m) (5)

donde L := T − V es la denominada funcion lagrangiana del sistema.

Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones de Euler-Lagrange de primera especie.

( Dem. ) En efecto, se tiene que

ddt

(∂T

∂vj γ)− ∂T

∂qj γ = (−dV γ)

(∂

∂qj

)= −∂τ

∗MV

∂qj γ

y, teniendo en cuenta que∂τ∗MV

∂vj= 0 , (∀j), de aquı se puede escribir

ddt

(∂(T − V )∂vj

γ)− ∂(T − V )

∂qj γ = 0

Comentario:

Para el caso de sistemas conservativos, es inmediato comprobar que el campo vectorial X ∈X(τ−1

M (U)) de la proposicion 2 satisface la condicion

L(X)(∂L∂vk

)=

∂L∂vk

, (k = 1, . . . ,m)

(en vez de la condicion 2 enunciada en dicha proposicion).

1.3 Sistemas con fuerzas dependientes de las velocidades

En Mecanica es frecuente que el campo de fuerzas (o la forma de trabajo) no sean funcion solo de la posicion,sino tambien de la velocidad. Geometricamente esto quiere decir que ω ∈ Ω1(M, τM ) y F ∈ X(M, τM ).Entonces, los unicos cambios que hay que hacer, en relacion a lo expuesto en las anteriores secciones, son lossiguientes:

1. Las ecuaciones de Newton se escriben, ahora:

∇γ γ = F γ

o, en forma dual,∇γ(θ γ) = ω γ


2. Las ecuaciones de Euler-Lagrange son

ddt

(∂T

∂vj γ)− ∂T

∂qj γ = (gijFi) γ = (ωj γ) (j = 1, . . . ,m)

Observese que, en este caso, no hay funcion lagrangiana (al menos, en el sentido habitual), ya que ωno puede ser la diferencial de una funcion definida en M .

Como puede apreciarse, los unicos cambios introducidos han consistido en sustituir γ por γ, al componercon ω o con F, para tener en cuenta su dominio de definicion.

1.4 Sistemas acoplados (en interaccion)

1.4.1 Definiciones y equivalencias

Sean (M1, g1, ω1), (M2, g2, ω2) sistemas mecanicos Newtonianos y F1 ∈ X(M1), F2 ∈ X(M2) los correspon-dientes campos de fuerzas asociados. Las ecuaciones dinamicas de ambos sistemas son

∇1γ1 γ1 = F1 γ1 ; ∇2

γ2 γ2 = F2 γ2 (6)

(con γ1 : I ⊂ R // M1, γ2 : I ⊂ R // M2), que juntas forman un sistema de ecuaciones diferencialesdesacoplado.

Considerese el sistema (M, g, ω), donde:

• M = M1 ×M2; con π1 : M // M1, π2 : M // M2.

• g = g1 ⊕ g2.

• ω = π∗1ω1 + π∗2ω2.

y en el cual se observa que ∇ = ∇1 ⊕∇2 es la conexion de Levi-Civitta de la metrica g, y esta definida por:si γ : I ⊂ R // M , es γ = (γ1, γ2), entonces

∇γ γ = ∇1γ1 γ1 +∇2

γ2 γ2

Ademas, de la expresion de ω se obtiene que el campo de fuerza F ∈ X(M) asociado esta dado por

F(p) = ((p1, p2),F1(p1),F2(p2))

(siendo p ≡ (p1, p2) ∈ M). Entonces la ecuacion dinamica del sistema es ∇γ γ = F γ, que equivale alsistema desacoplado (6). Fısicamente esta situacion modelizarıa dos sistemas mecanicos en presencia perosin interaccion. De aquı que:

Definicion 6 N sistemas Newtonianos (Mµ, gµ,Fµ) (µ = 1, . . . , N) se dice que estan acoplados (o eninteraccion) si Fµ ∈ X(Mµ, πµ), esto es, se tiene el siguiente diagrama (conmutativo)

TMµ

Fµ

> yτµ∏N

µ=1Mµπµ- Mµ

En tal caso, si N = 2, se tiene un sistema de ecuaciones como (6) pero que, en esta ocasion, esta acoplado,es decir tenemos:

∇1γ1 γ1 = F1 γ = F1 (γ1, γ2) ; ∇2

γ2 γ2 = F2 γ = F1 (γ1, γ2)

Se pretende poder describir este sistema como ununico sistema Newtoniano. Para ello se necesita elsiguiente:


Lema 2 Sean N1, N2 variedades diferenciales, N = N1 ×N2 con las proyecciones naturales πi : N // Ni(i = 1, 2). Entonces

1. X(N) es canonicamente isomorfo (como C∞(N)-modulo) a X(N1, π1)×X(N2, π2).

2. Ω1(N) es canonicamente isomorfo (como C∞(N)-modulo) a Ω1(N1, π1)×Ω1(N2, π2).

( Dem. ) Recuerdese que, si p ≡ (p1, p2) ∈ N , se tiene un isomorfismo

αp : TpN −→ Tp1N1 × Tp2N2

u 7→ (Tpπ1(u),Tpπ2(u))

De ahı se puede construir la secuencia

X(N)φ−→ X(N1, π1)×X(N2, π2)

ψ−→ X(N)

donde las aplicaciones se definen como

φ(X)(p) := αp(X(p))ψ(X1, X2)(p) := α−1

p (X1(p), X2(p))

y si ρi : X(N1, π1)×X(N2, π2) // X(Ni, πi), (i = 1, 2), son las proyecciones naturales, se tiene que:

1. φ esta bien definida y φ(X) es diferenciable:

Basta ver que ρi(φ(X)) es diferenciable. Para ello sea f ∈ C∞(Ni), se tiene que

((ρi(φ(X)))f)(p) = ρi(αp(X(p)))f = Tpπi(X(p))f = X(p)(f πi) = (X)(f) πi))(p)

que depende diferenciablemente de p ∈ N .

2. φ es inyectiva, como consecuencia de que las aplicaciones αp son isomorfismos.

3. φ es un morfismo de C∞(N)-modulos, obviamente.

4. ψ φ = IdX(N):

Si X ∈ X(N) y p ∈ N , resulta que

((ψ φ)(X))(p) = ψ(φ(X))(p) = α−1p (φ(X)(p)) = α−1

p (αp(X(p))) = X(p)

Y el resultado es directo.

El enunciado (2) es consecuencia directa del (1).

De aquı se tiene, como consecuencia inmediata que:

Teorema 4 Dos sistemas dinamicos Newtonianos en interaccion, (Mµ, gµ,Fµ) (µ = 1, 2), son “equiva-lentes” a un solo sistema mecanico Newtoniano (M, g,F), donde

• M = M1 ×M2; con π1 : M // M1, π2 : M // M2.

• g = g1 ⊕ g2.

• ω = (ω1, ω2) y F = (F1,F2).

(donde se han identificado X(N) con X(N1, π1) × X(N2, π2), y Ω1(M) con Ω1(M1, π1) × Ω1(M2, π2), deacuerdo con el lema precedente) 3.

3 El sentido de esta equivalencia es el siguiente: si γ : I ⊂ R // M es solucion de la ecuacion dinamica de (M, g,F),y γ = (γ1, γ2), entonces γµ : ⊂ R // Mµ, (µ = 1, 2), son solucion de las ecuaciones dinamicas acopladas de los sistemas(Mµ, gµ,Fµ); y recıprocamente.


( Dem. ) La metrica g = g1⊕g2 es Riemanniana en M y su conexion de Levi-Civitta ∇ es ∇1⊕∇2; luego laecuacion dinamica asociada a este sistema Newtoniano descompone en las dos componentes correspondientesa M1 y M2; de donde el resultado.

Observar quei(F)g = i(F1,F2)(g1 ⊕ g2) = i(F1)g1 + i(F2)g2 = ω1 + ω2

y que la ecuacion dinamica ∇γ γ = F γ descompone en las ecuaciones:

∇1γ1 γ1 = F1 γ = F1 (γ1, γ2) ; ∇2

γ2 γ2 = F2 γ = F1 (γ1, γ2)

Comentario:

Es frecuente que, en una primera aproximacion, se consideren los sistemas sin interaccion (M1, g1,F1),(M2, g2,F2), y despues se introduzca la interaccion Fint = (Fint1 ,Fint2 ), con lo que se tiene el sis-tema (M1 ×M2, g1 ⊕ g2,F1 + Fint1 ,F2 + Fint2 ).

Corolario 1 Un conjunto de N sistemas mecanicos acoplados (Mµ, gµ,Fµ) (µ = 1, . . . N), es “equivalente”a un solo sistema mecanico Newtoniano (M, g,F), donde

• M = M1 × . . .×MN ; con πµ : M // Mµ.

• g = g1 ⊕ . . . gN .

• ω = (ω1, . . . , ωN ) y F = (F1, . . . ,FN ).

(donde se han identificado X(N) conN∏µ=1

X(Nµ, πµ) , y Ω1(M) conN∏µ=1

Ω1(Nµ, πµ) de acuerdo con el lema

anterior).

(M, g,F) se denomina sistema dinamico Newtoniano con interaccion.

1.4.2 Expresiones en coordenadas

Se trata de expresar la ecuacion dinamica en coordenadas. Sea entonces γ ≡ (γ1, . . . , γN ) (donde γµ designala trayectoria en la variedad Mµ), Dicha ecuacion se escribira

∇µγµ γµ = Fµ γ

Para obtener la expresion local de ∇, sean (Uµ, qiµ) cartas locales en Mµ. Se tiene que (U, qjµ), con U =U1× . . .×UN es una carta local en M , y si (Γµ)ijk son los sımbolos de Christoffel de ∇µ, entonces se puedeescribir

∇ ∂

∂qjµ

∂

∂qkµ= (Γµ)ijk

∂

∂qiµ

∇ ∂

∂qjµ

∂

∂qkν= 0 (µ 6= ν)

ya que la conexion ∇ es de Levi-Civitta. De ahı

∇γ γ =N∑µ=1

(γjµ

∂

∂qjµ+ (Γµ)ijkγ

jµγ

kµ

∂

∂qiµ

)= F γ

de donde, para cada µ = 1, . . . , N ,

γiµ∂

∂qiµ+ (Γµ)ijkγ

jµγ

kµ

∂

∂qiµ= Fiµ γ


y, por tanto, si dim Mµ = mµ, para cada µ = 1, . . . , N y para cada i = 1, . . . ,mµ,

γiµ + (Γµ)ijkγjµγ

kµ = Fiµ γ

Para escribir las ecuaciones de Euler-Lagrange del sistema, se construye la carta asociada (τ−1µ (U), qjµ, v

jµ)

en TM yddt

(∂T

∂vjµ γ

)− ∂T

∂qjµ γ = (gµ)jkFkµ (∀µ, j)

donde la funcion energıa cinetica es T =N∑µ=1

Tµ , ya que g = g1 ⊕ . . .⊕ gN . De ahı, teniendo en cuenta que

ddt

(∂Tν

∂vjµ

)= 0 ,

∂Tν

∂qjµ= 0 ; si µ 6= ν

se puede escribirddt

(∂Tµ

∂vjµ γ

)− ∂Tµ

∂qjµ γ = (gµ)jkFkµ (∀µ, j)

Si, ademas, el sistema es conservativo, ω = −dV (con V ∈ C∞(M)); esto es,

ω = − ∂V∂qjµ

dqjµ

e introduciendo la funcion lagrangiana del sistema L = T − τ∗V , cuya expresion local es

L =12

N∑µ=1

(gµ)jkvjµvkµ − V =

N∑µ=1

Tµ − V

se obtieneddt

(∂L∂vjµ γ

)− ∂L∂qjµ γ = 0 (∀µ, j)

Finalmente, si las fuerzas dependieran de las velocidades, serıa lo mismo poniendo F γ (en vez de F γ)en todas las ecuaciones. En este caso Fµ ∈ X(Mµ, πµ τµ), siendo τµ : TMµ

// Mµ la proyeccion natural.

1.5 Sistemas con ligaduras holonomas

1.5.1 Planteo del problema. Principio de D’Alembert

Sea (M, g, ω) un sistema mecanico Newtoniano y F ∈ X(M) el campo de fuerzas asociado. Sea S unasubvariedad de M (que recibe el nombre de subvariedad de ligaduras holonomas) y j : S → M la inyeccionnatural. El problema que se plantea consiste en la descripcion de la dinamica cuando el sistema estaobligado a evolucionar sobre la subvariedad S. Para ello, en primer lugar, es preciso aplicar un nuevo campode fuerzas R, denominado fuerza de ligadura, que obliga al sistema a permanecer en S. En general, dichafuerza depende, no solo de la posicion, sino tambien de la velocidad; luego R ∈ X(M, τM ) y, ademas, esdesconocida en principio (por tanto es una nueva incognita).

Se tendra, por consiguiente, una ecuacion dinamica referida a curvas γ : [a, b] ⊂ R // S, que es

∇γ γ = F γ + R γ (7)

Para resolver este problema, se establece la siguiente:


Hipotesis 1 (Principio de D’Alembert): La fuerza de ligadura R es ortogonal a la subvariedad S.

(Es decir, ∀p ∈ S y ∀u, v ∈ TpS, entonces g(u,R(p, v)) = 0).

La cuestion ahora es resolver el problema y tratar de obtener informacion sobre la fuerza de ligadura. Paraello, sea gS := j∗g. Es obvio que (S, gS) es una variedad de Riemann. Sea ∇S la conexion de Levi-Civittaasociada a la metrica gS . Por otra parte, se tiene la siguiente descomposicion natural

TpM = TpS ⊕ (TpS)⊥ (∀p ∈ S ⊂M)

que define las proyecciones

πS(p) =: TpM → TpS , π⊥S (p) =: TpM → (TpS)⊥

las cuales se escribiran en la forma

πS =: TM |S → TS , π⊥S =: TM |S → TS⊥

Entonces resulta que el princip de D’Alembert se reduce a πS R = 0. Tenemos ademas:

Proposicion 4 ∇S = πS ∇.

( Dem. ) Es inmediato comprobar que πS ∇, restringida a campos tangentes a S, es una conexion en Sy que es simetrica. Por otra parte, ∀X,Y, Z ∈ X(S) se tiene que

(πS ∇Z)g(X,Y ) = g((πS ∇Z)X,Y ) + g(X, (πS ∇Z)Y )

luego πS ∇ es la conexion de Levi-Civitta de gS .

Si ahora se toma la ecuacion dinamica (7) y se descompone en las partes tangente y ortogonal a S, seobtienen

πS(∇γ γ) = πS F γ + πS R γ = πS F γπ⊥S (∇γ γ) = π⊥S F γ + π⊥S R γ = π⊥S F γ + R γ (8)

y, llamando FS := πS F ∈ X(S) (la proyeccion de F sobre S), la primera ecuacion queda

∇Sγ γ = FS γ (9)

que es la ecuacion dinamica del sistema mecanico Newtoniano (S, gS , ωS), donde ωS = i(FS)gS .

Las soluciones de la ecuacion (9) son curvas γ : [a, b] ⊂ R // S, que sustituidas en la segunda de lasecuaciones (8), permite calcular la fuerza de ligadura R para esa trayectoria, obteniendose

∇γ γ −∇Sγ γ = F γ − FS γ + R γ

y de aquı R γ ∈ X(M, γ). Observese que la fuerza de ligadura solo se tiene calculada sobre cada una de lastrayectorias dinamicas del sistema.

Por otra parte tenemos:

Proposicion 5 ωS = j∗ω.

( Dem. ) Si p ∈ S y u ∈ TpS se tiene que

ωS(u) = (i(FS)gS)(u) = gS(FS , u) = g(FS , u) = g(F, u)(j∗ω)(u) = (j∗ i(F)g)(u) = g(F, u)

y de ahı el resultado.

Ası pues, el sistema dinamico que describe el movimiento de (M, g, ω) con ligadura S, no es otro que(S, j∗g, j∗ω).

Si, tal como se ha dicho, la condicion de estar obligado a moverse sobre la subvariedad de ligaduras Squeda modelada por una fuerza R ∈ X(M, τM ), y el Principio de d’Alembert expresa que R es ortogonal aS, se puede enunciar que:


Proposicion 6 (Principio de D’Alembert dual): Sea ρ = i(R)g. Entonces j∗ρ = 0.

( Dem. ) Sea p ∈ S y u, v ∈ TpS, entonces (j∗ρ(p,v))(u) = gS(R(p, v), u)) = 0.

Considerese, ahora, la forma de cantidad de movimiento del sistema ligado, θS : TS // T∗S. Laecuacion del movimiento sera, por tanto,

∇Sγ (θS γ) = ωS γ

y, ya que ωS = j∗ω, resulta∇Sγ (θS γ) = j∗∇γ(θ γ)

1.5.2 Casos particulares

Sistemas con una ligadura:

Sea S = p ∈ M ; ϕ(p) = 0, con ϕ ∈ C∞(M) y supongamos que dϕ(p) =/ 0, para todo p ∈ S. SeaX ∈ X(M) tal que i(X)g = dϕ, entonces X es un campo vectorial ortogonal a S. De ahı

π⊥S (F) =g(F, X)g(X,X)

X =dϕ(F)‖dϕ‖2

X

y se obtiene que

FS = πS(F) = F− dϕ(F)‖dϕ‖2

X

por consiguiente

ωS = ω − dϕ(F)‖dϕ‖2

dϕ

lo cual permite hallar las trayectorias dinamicas como solucion de la ecuacion

∇Sγ γ = F γ − dϕ(F)‖dϕ‖2

X

y, por tanto, la fuerza de ligadura a lo largo de la trayectoria vendra determinada por la ecuacion

∇γ γ −∇Sγ γ =dϕ(F)‖dϕ‖2

γ − R γ

Sistemas con mas de una ligadura:

Sea ahoraS = p ∈M ; ϕ1(p) = 0, . . . , ϕh(p) = 0

con ϕ1 . . . , ϕh ∈ C∞(M), y tales que dϕ1, . . .dϕh son independientes en los puntos de S. Sean Z1, . . . , Zm−h ∈X(M) tales que, ∀i, j, se tiene que

1. i(Zi)dϕj = 0.

2. g(Zi, Zj) = 0; i 6= j.

(Para obtener estos campos Zi, basta partir de los campos vectoriales X1, . . . , Xm−h ∈ X(M) que verificanla primera condicion y ortogonalizar por el metodo de Gramm-Schmidt). Entonces se tiene que

πS(F) =m∑i=1

g(F, Zi)g(Zi, Zi)

Zi

y, a partir de aquı, siguiendo la misma pauta que en el caso anterior, se obtiene la ecuacion dinamica y, paracada trayectoria, la fuerza de ligadura a lo largo de ella.



Se ha visto que la dinamica de un sistema mecanico Newtoniano (M, g, ω) sometido a moverse sobre lasubvariedad j : S → M es la del sistema dinamico Newtoniano (S, gS , ωS). Por consiguiente, para escribirlas ecuaciones de Euler-Lagrange basta con tomar una carta local (U, qi) en S y la carta (τ−1

M (U), qi, vi) enTS. Entonces se tendra

ddt

(∂TS∂vk

γ)− ∂TS∂qk γ = (gS)ik(FS)

i(∀k) (10)

donde TS es la energıa cinetica del sistema, que se define como la funcion

TS : TS −→ R(p, u) 7→ 1

2gS(u, u)

Se tiene que:

Proposicion 7 TS = (Tj)∗T .

( Dem. ) Si p ∈ S y u ∈ TpS, entonces

TS(p, u) =12

(gS)ik(p)uiuk =12gik(p)uiuk


De este modo, la ecuacion (10) es

ddt

(∂(Tj)∗T∂vk

γ)− ∂(Tj)∗T

∂qk γ = (ωS)k γ = (j∗ω)k γ (∀k)

Si el sistema dinamico fuera conservativo; esto es, ω = −dV , entonces

ωS = j∗ω = −j∗dV = −dj∗V

y las ecuaciones anteriores quedan escritas en la forma

ddt

(∂(Tj)∗T∂vj

γ)− ∂(Tj)∗T

∂qj γ = −∂j

∗V

∂qk γ (∀i)

o, lo que es lo mismo,ddt

(∂LS∂vj

γ)− ∂LS∂qj

γ = 0 (∀i)

donde LS := (Tj)∗L. Observese que la fuerza de ligadura no interviene en estas ecuaciones.

Si (W,xi) es una carta local en M y (U, qi) lo es en S, y la inyeccion j : W → U esta dada localmente

por xi = f i(q), entonces xi =∂f i

∂qjqj y a partir de ahı se concluye que basta con conocer L para el sistema

libre, sustituir xi, xi por las expresiones precedentes y, aplicando las derivaciones adecuadas, obtener lasecuaciones de Euler-Lagrange.

1.6 Ejemplos de sistemas dinamicos

En todos los ejemplos que siguen, la cuestion radica en identificar los elementos que definen el sistemadinamico; esto es, la variedad de configuracion, la metrica de Riemann y el campo de fuerza o la forma detrabajo.


1.6.1 Partıcula en R3 (no sometida a ligaduras)

Considerese una partıcula de masa m que se mueve en un abierto M ⊂ R3, sometida a una fuerza dada porun campo vectorial F ∈ X(M).

La metrica geometrica g es la de R3. Sea, no obstante, la metrica (de Riemann) g := mg. Debe observarseque las conexiones de Levi-Civitta ∇ y ∇ correspondientes a g y g son la misma (basta calcular sus sımbolosde Christoffel en cualquier carta, o recordar el calculo de ∇XY para la conexion de Levi-Civitta). Sea

F :=Fm∈ X(M) , y considerese el sistema mecanico Newtoniano (M, g, F). Su ecuacion de Newton es

∇γ γ = F γ =Fm γ

la cual se puede expresar comom∇γ γ = F γ

como se recuerda de la Mecanica.

Notese que la forma de trabajo esω = i(F)g = i(F)g

y la forma de cantidad de movimientoθ γ = i(γ)g

cuya expresion local esθ γ = mgij γidqj γ

1.6.2 Partıcula en una superficie de R3

Considerese una partıcula de masa m en un abierto M ⊂ R3. Tal como se ha visto en el apartado anterior,el sistema mecanico Newtoniano que la describe es (M, g, F). Si ahora j : S → M es una superficie y lapartıcula esta obligada a permanecer en ella, el sistema newtoniano pasa a ser (S, gS , FS), donde gS = j∗gy FS = πS F. De aquı que la ecuacion dinamica sea, por tanto,

∇Sγ γ = FS γ

y, si se conoce una solucion γ, la fuerza de ligadura sobre γ esta dada por la ecuacion

∇γ γ −∇Sγ γ = F γ − FS γ + R γ

de la que se obtiene R γ. Recordar que R = mR.

Para hacer la formulacion dual se tiene la forma de trabajo

ω = i(F)g = i(F)g

y de aquı ωS = j∗ω, luego se tiene que∇Sγ (θS γ) = ωS γ

siendo θS γ = i(γ)gS , con θS = (Tj)∗θ.

1.6.3 Sistema de partıculas en R3

Consideremos ahora un sistema de N partıculas, denotadas P1, . . . , PN , de masas m1, . . . ,mN . La partıculaPµ se mueve en Mµ, abierto de R3, que se supone dotado de la metrica gµ y con la metrica dinamica asociadagµ := mµgµ.

Si la fuerza que actua sobre cada partıcula es Fµ ∈ X(Mµ), entonces se tienen N sistemas mecanicosdesacoplados, cuyas ecuaciones dinamicas hay que resolver por separado.


Pero si las fuerzas que actuan sobre el sistema se modelizan como una familia de fuerzas Fµ ∈ X(Mµ, πµ),con πµ :

∏Nν=1Mν

// Mµ, (esto es, la fuerza que actua sobre Pµ depende de las posiciones de todas lasdemas partıculas), entonces las N partıculas estan en interaccion y, segun se vio en el apartado 1.4.1, los Nsistemas (Mµ, gµ, Fµ) son equivalentes a un solo sistema mecanico Newtoniano (M, g, F) con

• M =N∏µ=1

Mµ .

• g = ⊕Nµ=1gµ .

• ω = (ω1, . . . , ωN ) y F = (F1, . . . , FN ).

y las ecuaciones dinamicas son las del caso general descrito en ese apartado.

1.6.4 Sistema de partıculas en una subvariedad

En este caso, se tiene un sistema de N partıculas P1, . . . , PN , de masas m1, . . . ,mN , que se mueven respecti-vamente en las variedades M1, . . . ,MN (abiertos de R3, cada uno dotado de la correspondiente metrica gµ),Si F es el campo de fuerza que actua, el sistema esta modelizado como sistema Newtoniano por (M, g, F), talcomo se ha descrito en el ejemplo anterior (tanto si las partıculas estan en interaccion, como si no lo estan).

Si la dinamica del sistema esta restringida a una subvariedad j : S →M , es porque hay alguna fuerza deligadura R, y la ecuacion dinamica es

∇γ γ = F γ + R γ

(para curvas γ : [a, b] ⊂ R // S), donde R = (R1, . . . , RN ), Rµ = mµRµ, µ = 1, . . . , N .

Para resolver esta ecuacion asumiendo el principio de D’Alembert (R es g-ortogonal a S), hay queproyectar sobre S y sobre su ortogonal, tal como se indico en el estudio general de la seccion 1.5.

1.7 Sistemas con ligaduras no holonomas

1.7.1 Planteo del problema. Principio de D’Alembert no holonomo

Sea (M, g, ω) un sistema mecanico Newtoniano y F ∈ X(M) el campo de fuerzas asociado. Sea C unasubvariedad de TM , tal que τM (C) = M (que recibe el nombre de subvariedad de ligaduras no holonomas),y jC : C → TM la inyeccion natural. El problema que se plantea consiste en la descripcion de la dinamicacuando el sistema esta obligado a evolucionar sobre la subvariedad C. Para ello ha de actuar sobre el sistemauna fuerza de ligadura R que, en general, depende de las velocidades, luego R ∈ X(M, τM ) y, ademas, esdesconocida en principio.

La ecuacion de Newton para este caso esta referida a curvas γ : [a, b] ⊂ R // C tales que

1. γ(t) ∈ C, ∀t.

2. ∇γ γ = F γ + R γ.

Se trata de establecer condiciones que permitan resolver el problema y evaluar R.

Sea (p, u) ∈ C. La condicion impuesta sobre C (que τM (C) = M) indica que la dimension del subespaciode V(p,u)(TM) que es tangente a C, no depende del punto (p, u). Sea

TV(p,u)C = w ∈ V(p,u)(TM) ; w ∈ T(p,u)C

el subespacio vertical tangente a C. Considerese la aplicacion levantamiento vertical (al punto (p, u))

λ(p,u)p : TpM // V(p,u)(TM)


(que es un isomorfismo). Sea (TV(p,u)C)p la antiimagen de TV(p,u)C por λ(p,u)p . Entonces:

Hipotesis 2 (Principio de D’Alembert no holonomo): La fuerza de ligadura R ∈ X(M, τM ) satisface que,para todo (p, u) ∈ C,

R(p, u) ∈ (TV(p,u)C)⊥p

es decir, g(R(p, u), v) = 0, ∀v ∈ (TV(p,u)C)p.

Comentario:

Los elementos de (TV(p,u)C)p se denominan velocidades virtuales, en la nomenclatura fısica clasica.

Este principio permite obtener la fuerza de ligadura (sobre una trayectoria). En efecto; sea φ ∈ C∞(TM)y dV φ ∈ Ω1(M, τM ) la 1-forma definida por

(dV φ(p, u))(v) = dφ(λ(p,u)p (v))

(donde v ∈ TpM), cuya expresion local, en una carta de coordenadas naturales (qi, vi) de TM , es dV φ =∂φ

∂vidqi . Entonces:

Proposicion 8 La condicion necesaria y suficiente para que w ∈ (TV(p,u)C)p es que (dV φ(p, u))(w) = 0.para toda φ ∈ C∞(TM) tal que j∗Cφ = 0.

( Dem. ) Se tiene que ∀φ ∈ C∞(TM) tal que j∗Cφ = 0,

w ∈ (TV(p,u)C)p ⇔ λ(p,u)p (w) ∈ TV(p,u)C ⇔ λ(p,u)

p (w)φ = 0⇔ dφ(λ(p,u)p (w)) = 0⇔ (dV φ(p, u))(w) = 0

Notese que, si η ∈ Ω1(M, τM ), entonces j∗Cη ∈ Ω1(C, τM jC). De aquı:

Proposicion 9 Si R ∈ X(M, τM ) y (p, u) ∈ C, entonces R(p, u) ∈ (TV(p,u)C)⊥p si, y solo si,

(j∗C(i(R)g))∣∣(TV(p,u)C)p

= 0

( Dem. ) Observese que i(R)g ∈ Ω1(M, τM ). Sea w ∈ (TV(p,u)C)p ; entonces

(i(R)g)(w)(p, u) = g(R(p, u), w) = 0

ya que R(p, u) ∈ (TV(p,u)C)⊥p .

Ahora el problema es estudiar como son los elementos de Ω1(M, τM ) que satisfacen esa condicion deanulacion. Para ello supongase que C esta definida localmente por la anulacion de r funciones φi (con

r < m = dim M), con la condicion rang

(∂φ1, . . . , φr

∂v1, . . . , vn

)= r . Entonces, en esas condiciones se tiene:

Proposicion 10 Sea η ∈ Ω1(M, τM ). Entonces, ∀(p, u) ∈ C, se tiene que j∗Cη|(TV(p,u)C)p = 0 si, y solo si,

existen f1, . . . , fr ∈ C∞(TM) tales que η = fidV φi

( Dem. ) Sea (p, u) ∈ C. Salvo un cambio de orden en las coordenadas q1, . . . , qm se puede suponer que

det(∂φ1, . . . , φr

∂v1, . . . , vr

)6= 0


De ahı dV φ1(p, u), . . . ,dV φr(p, u) son linealmente independientes en T∗pM . Sea λ(p,u)p : TpM // V(p,u)(TM)

el levantamiento vertical al punto (p, u), y tλ(p,u)p : T∗pM // V∗(p,u)(TM) su aplicacion traspuesta. Es facil

probar quedV φ1(p, u), . . . ,dV φr(p, u),t λ(p,u)

p (dvr+1(p, u)), . . . ,t λ(p,u)p (dvm(p, u))

es una base de T∗pM (para ello basta calcular sus coordenadas en la base∂

∂qi

i=1,...,m

de TpM). De ahı,

existen numeros reales α1, . . . , αr, ζ1, . . . , ζm−r tales que

(j∗Cη)(p, u) = η(p, u) = αidV φi(p, u) + ζjtλ(p,u)p (dvj(p))

Sea, ahora, u1, . . . , um ∈ TpM la base dual de la anterior. Observese que ur+1, . . . , um generan (TV(p,u)C)p,ya que

(λ(p,u)p ui)φj = 0, (∀j) ⇔ i > r

De ahı, la condicion necesaria y suficiente para que (j∗Cη)(p, u) se anule sobre (TV(p,u)C)p es que (j∗Cη(p, u))(ui) =0, (i > r); esto es, ζj = 0, para todo j = r+ 1, . . . ,m. Finalmente, puesto que el resultado es valido en todoslos puntos de C definidos por la anulacion de φ1, . . . , φr, la demostracion ha concluido.

(Observese que las funciones fi dependen de las velocidades, ya que la base de T∗pM utilizada dependede (p, u) ∈ C).

La proposicion anterior permite enunciar el llamado Principio de D’Alembert no holonomo dual: Laforma de trabajo correspondiente a la fuerza de ligadura se anula sobre las velocidades virtuales del sistema.

De aquı se obtiene como resultado inmediato que:

Corolario 2 Si R es la fuerza de ligadura (no holonoma), entonces existen f1, . . . , fr ∈ C∞(M) tal que

i(R)g = fidV φi = fi∂φi

∂vjdqj

y, en consecuencia

R = fi∂φi

∂vjgjk

∂

∂qk

Definicion 7 f1, . . . , fr se denominan multiplicadores de Lagrange del sistema no holonomo.

1.7.2 Ecuaciones dinamicas

De acuerdo con los resultados precedentes, si C esta localmente definida por la anulacion de r funcionesφi, y son ligaduras independientes, entonces las ecuaciones dinamicas son

∇γ γ = F γ + fj i(dV φj)g−1 γ

o, en forma dual∇γ(θ γ) = ω γ + fjdV φj γ

que, unidas a las ligaduras que definen C, forman un sistema de m+ r ecuaciones con m+ r incognitas: lascomponentes de γ y los multiplicadores fi.

Las ecuaciones de Euler-Lagrange son

ddt

(∂T

∂vj γ)− ∂T

∂qj γ = ωj γ + fk

∂φk

∂vj γ (j = 1, . . . ,m)

(pues ω = ωkdqk, con ωk = gkjFj).


Si el sistema es conservativo, entonces ω = −dV , donde V ∈ C∞(M) es la funcion potencial. En esecaso, introduciendo la funcion lagrangiana L := T − τ∗MV , resulta

ddt

(∂L∂vj γ)− ∂L∂qj γ = fk

∂φk

∂vj γ (j = 1, . . . ,m)

En cualquier caso, estas ecuaciones junto con las ligaduras que definen C, forman tambien un sistema dem+ r ecuaciones con m+ r incognitas.

1.8 Sistemas Newtonianos dependientes del tiempo

1.8.1 Sistemas mecanicos con fuerzas dependientes del tiempo

En el estudio de los sistemas mecanicos es frecuente que, en algunos casos, las fuerzas que actuan sobreel sistema dependan tambien del tiempo. Vamos a ver, a continuacion, como se plantea la descripciongeometrica de estos sistemas.

En estos casos, el modelo geometrico a utilizar es el siguiente:

Definicion 8 Un sistema dinamico Newtoniano dependiente del tiempo es una terna (R×M, g,F), donde(M, g) es una variedad de Riemann y el campo de fuerzas es F ∈ X(M,π2) (con π2 : R×M // M); estoes,

TMF

> yτM

R×M π2- M

Si, ademas, la fuerza depende de las velocidades, entonces F ∈ X(M, τM ρ2) (con ρ2 : R× TM // TM ;esto es,

TMµ

F

* yτMR×M ρ2-TM τM- M

Las ecuaciones de Newton se escriben en la forma acostumbrada:

• En el primer caso (fuerza independiente de las velocidades)

∇γ γ = F γ

donde γ = (t, γ) : I ⊂ R // I ×M . Tambien se pueden expresar en la forma dual utilizando lacorrespondiente forma de trabajo que sera ω ∈ Ω1(M,π2).

• En el segundo caso (fuerza dependiente de las velocidades)

∇γ γ = F ¯γ

donde ¯γ = (t, γ) : I ⊂ R // I × TM . Tambien se pueden expresar en la forma dual utilizando lacorrespondiente forma de trabajo que sera ω ∈ Ω1(M, τM ρ2).

Las ecuaciones de Euler-Lagrange son las mismas que de costumbre, salvo por el hecho de que el segundomiembro depende ahora explıcitamente de t ∈ R. En particular si, por ejemplo, ω ∈ Ω1(M,π2), el sistemadependiente del tiempo es conservativo si existe V : R×M // R, tal que ω = −dVt, donde Vt : M // M


se define como Vt(p) := V (t, p), ∀p ∈ M y ∀t ∈ R. En este caso se puede definir la funcion lagrangianaL := T − V , que tendra dependencia explıcita en el tiempo, y las ecuaciones de Euler-Lagrange son lasmismas de siempre

ddt

(∂L∂vi ¯γ)− ∂L∂qi ¯γ = 0

Los sistemas dependientes del tiempo con ligaduras holonomas y no holonomas se tratan del mismo modoque este ultimo caso, como vamos a ver brevemente a continuacion.

1.8.2 Sistemas con ligaduras holonomas dependientes del tiempo

Esta situacion corresponde a tener un sistema mecanico Newtoniano con ligaduras de tipo holonomo depen-dientes del tiempo. La modelizacion geometrica es la siguiente:

Definicion 9 Un sistema dinamico Newtoniano holonomo dependiente del tiempo es una terna (M, g, ω),(donde (M, g) es una variedad de Riemann y ω ∈ Ω1(M)), y una inmersion homeomorfa (“imbedding”)j : S → R×M , (S es una subvariedad de R×M .

En este caso hay que suponer que la fuerza de ligadura depende del tiempo, es decir, R ∈ X(M, τM ρ2).La ecuacion de Newton es

∇γ γ = F γ + R ¯γ

y el Principio de d’Alembert se enuncia como sigue:

Hipotesis 3 (Principio de D’Alembert (dependiente del tiempo)): La fuerza de ligadura R ∈ X(M, τM ρ2)satisface que, para todos t ∈ R, p ∈ S y u, v ∈ TpS,

g(R(t,Tpj(u)),Tpj(v)) = 0

Y los resultados posteriores son iguales que en el caso no dependiente del tiempo (ver apartado 1.5).

1.8.3 Sistemas con ligaduras no holonomas dependientes del tiempo

La situacion ahora corresponde a tener un sistema mecanico Newtoniano con ligaduras no holonomas de-pendientes del tiempo. Entonces:

Definicion 10 Un sistema dinamico Newtoniano no holonomo dependiente del tiempo es una terna (M, g, ω),(donde (M, g) es una variedad de Riemann y ω ∈ Ω1(M)), y una inmersion homeomorfa (“imbedding”)j : C → TM , tales que (τM j)(C) = M , en donde C es una variedad diferencial.

En este caso hay una fuerza de ligadura que depende del tiempo, es decir, R ∈ X(M, τM ρ2) que haceque las trayectorias dinamicas del sistema γ : I ⊂ R // M satisfagan que γ(t) ∈ TC, ∀t ∈ I. De ahı laecuacion de Newton es

∇γ γ = F γ + R ¯γ

Para establecer el Principio de d’Alembert no holonomo, para cada t ∈ R y p ∈ C, hay que definir(Tj(p)C)M , como en el caso independiente del tiempo (ver apartado 1.7), lo que se hace de la siguienteforma:

Sea p ∈ C, j(p) = (p, u) ∈ C ⊂ TM . Al igual que en el caso independiente del tiempo, tomamos TV(p,u)C

y de ahı (TV(p,u)C)p


Hipotesis 4 (Principio de D’Alembert no holonomo (dependiente del tiempo)): La fuerza de ligadura R ∈X(M, τM ρ2) satisface que,

g(R(t, (p, u)), v) = 0, ∀v ∈ (TV(p,u)C)p

para todo (p, u) ∈ C, (p, u) = j(p), p ∈ C, y para todo t ∈ R. Esto es, R(t, j(p)) ∈ (Tj(p)C)⊥(τMj)(p), paratodo p ∈ C y todo t ∈ R.

Los resultados posteriores son iguales que en el caso no dependiente del tiempo (ver apartado 1.7), conla unica diferencia de que los multiplicadores de Lagrange son, ahora, fi ∈ C∞(R× TM).


2 Sistemas dinamicos lagrangianos

En la seccion anterior se ha analizado la geometrıa de los sistemas dinamicos Newtonianos; esto es, de lossistemas mecanicos clasicos. Sin embargo, en Fısica existen muchos tipos de sistemas dinamicos que no sonpuramente mecanicos y que, no obstante, pueden tambien ser descritos geometricamente.

El objetivo, en este capıtulo, es sentar las bases de un formalismo geometrico que, en particular, con-templa el caso de los sistemas mecanicos Newtonianos conservativos (independientes del tiempo, con o sinligaduras holonomas 4), pero que permite describir tambien otros tipos de sistemas dinamicos autonomos(con un numero finito de grados de libertad). Este sera el formalismo lagrangiano de los sistemas dinamicosdenominados lagrangianos, y la correspondiente formulacion dual: el formalismo hamiltoniano canonicoasociado.

2.1 Estructuras geometricas de los fibrados tangente y cotangente

En el fibrado tangente existen tres estructuras geometricas canonicas: el fibrado vertical, el endomorfismovertical y el campo de Liouville. Ademas, son caracterısticos en TQ los campos vectoriales que correspondena ecuaciones diferenciales de segundo orden en la variedad Q. Analogamente, el fibrado cotangente estadotado con formas diferenciales canonicas. Vamos a presentar con todo detalle todos estos conceptos.

2.1.1 Fibrado tangente de una variedad diferencial

Definicion 11 Sea Q una variedad diferencial y x ∈ Q. Cada curva diferenciable γ : (−ε, ε) ⊂ R // Qcon γ(0) = x (esto es, que pase por x) induce una derivacion Dγ sobre C∞(Q), de la siguiente forma

Dγ : C∞(Q) // Rf 7→ limt //0

(fγ)(t)−(fγ)(0)t

En el conjunto de las curvas diferenciables se establece la siguiente relacion de equivalencia:

γ1 ∼ γ2 sii Dγ1 = Dγ2

Entonces:

1. Se denomina vector tangente a Q en x a cada una de las clases de equivalencia definidas por estarelacion.

2. Se denomina espacio tangente a Q en x, y se designa por TxQ, al conjunto de todos los vectorestangentes a Q en x.

3. Se denomina fibrado tangente de Q, a TQ :=⋃x∈Q

TxQ. Se designa por τQ : TQ // Q a la proyeccion

natural.

Todo punto m ∈ TQ es, pues, una pareja (x, u) donde x = τQ(m) ∈ Q y u ∈ TxQ (es un vector tangente).

El primer resultado fundamental concierne a la estructura de variedad del fibrado tangente.

Proposicion 11 Sea Q una variedad diferencial n-dimensional. El fibrado tangente TQ es una variedaddiferencial de dimension 2n, cuya estructura esta inducida por la de Q. Ademas, la proyeccion natural τQes una submersion.

4 La generalizacion de sistemas conservativos con ligaduras no holonomas se harıa a partir del modelo que se va a introducir,siguiendo pautas analogas a las empleadas en el caso de los sistemas Newtonianos. No obstante, este tema no se considera eneste curso.


( Dem. ) Si A = (Uα;φα), con φα ≡ (x1, . . . , xn), es un atlas de cartas locales de Q, entonces el atlasinducido en T∗Q es TA = (τ−1

Q Uα;ψα), con las funciones coordenadas ψα definidas del siguiente modo:

ψα : τ−1Q (Uα) −→ φα(Uα)× Rn ⊂ R2n

m = (x, u) 7→ (qi(m), vi(m))

donde:

1. qi(m) = (xi τQ)(m) 5.

2. Si u = λj∂

∂xj

∣∣∣x, entonces vi(m) = λi; es decir, vi(m) son las componentes del vector tangente u ∈ TxQ

en la base

∂

∂xi

∣∣∣x

.

Es obvio que TQ =⋃α

τ−1Q (Uα) y que ψα son biyecciones, a las que se impone la condicion de ser difeo-

morfismos. Entonces, es inmediato comprobar que TA dota a TQ de estructura de variedad diferencial. Si(U ; qi) y (U ; qi) son dos cartas locales en Q tales que U ∩ U 6= Ø, y qj = ϕj(qi) en U ∩ U , entonces paralas cartas inducidas (τ−1

Q (U); qi, vi) y (τ−1Q U); qi, vi) en TQ se tiene que, en TU ∩ TU , la relacion entre las

coordenadas vi y vi es vj =∂ϕj

∂qivi; ya que

u = vi∂

∂qi

∣∣∣x

= vi∂ϕj

∂qi∂

∂qj

∣∣∣x

= vj∂

∂qj

∣∣∣x

de donde vj =∂ϕj

∂qivi.

Teniendo presente esta descripcion local del fibrado tangente, es evidente que su dimension es 2n, ya quese ha doblado el numero de coordenadas en relacion a las de Q.

Finalmente, probar que τQ es una submersion es inmediato, ya que la proyeccion canonica τQ : TQ // Q,es una aplicacion sobreyectiva que, en coordenadas naturales, esta dada por τQ(qi, vi) = qi. Su aplicaciontangente TτQ : TTQ // TQ esta definida de la siguiente manera: si (x, u) ∈ TQ y V ∈ T(x,u)(TQ) se tiene

que V = λi∂

∂qi

∣∣∣(x,u)

+ µi∂

∂vi

∣∣∣(x,u)

, y

[T(x,u)τQ(V )](qj) = X(qj τQ) = X(qj) = λj

de donde

(TτQ)((x, u), X) = (TτQ)(

(x, u), λi∂

∂qi

∣∣∣(x,u)

+ µi∂

∂vi

∣∣∣(x,u)

)=(x, λi

∂

∂qi

∣∣∣x

)luego tiene por matriz asociada la siguiente

TτQ|(x,u) = (In×n, 0n×n) =

1 . . . 0 0 . . . 0...

......

...0 . . . 1 0 . . . 0

(11)

De todo ello se concluye que τQ es una submersion sobreyectiva.

Definicion 12 Las cartas anteriores se denominan cartas naturales del fibrado tangente y sus coordenadascoordenadas naturales (qi son las coordenadas en la base y vi las coordenadas en las fibras).

5 Se suele cometer un abuso de notacion, designando por qi tanto a las coordenadas xi de la variedad Q, como a lascoordenadas en la base del fibrado, y ası lo haremos en adelante.


Observese que los cambios de coordenadas en TQ, de (qi, vi) a (qi, vi), tienen como matriz jacobiana (∂ϕj

∂qi

)0(

∂2ϕj

∂qk∂qi

)vi

(∂ϕj

∂qi

)luego, teniendo en cuenta que su jacobiano es no nulo en todos los puntos, se concluye que:

Corolario 3 TQ es una variedad orientable.

Comentario:

El fibrado tangente de una variedad diferencial es un ejemplo de la estructura denominada fibrado vec-torial. Esencialmente, un fibrado vectorial sobre una variedad B consiste en situar en cada punto de B unespacio vectorial. Mas precisamente:

Definicion 13 un fibrado vectorial es una terna (E,B, π), donde E,B son variedades diferenciales (condim B = m, dim E = m+ n) y π : E // B es una submersion exhaustiva tal que, para todo punto p ∈ Bexiste una carta local (U, φ), p ∈ U , y una aplicacion diferenciable ψ : π−1(U) // φ(U) × Rn verificandoque:

1. Si π1 : φ(U)× Rn // φ(U) es la proyeccion natural, entonces π1 φ = π.

2. Ep = π−1(p) tiene estructura de espacio vectorial y, si π2 : φ(U)×Rn // Rn es la proyeccion natural,entonces las aplicaciones

ψp : Ep −→ Rnu 7→ (π2 ψ)(p, u)

son morfismos de espacios vectoriales.

E se denomina variedad total del fibrado, B es la variedad base, π la proyeccion del fibrado, Rn es la fibratipo, n es el rango del fibrado y Ep, ∀p ∈ B, es la fibra sobre p. La pareja (U, φ) se denomina abiertotrivializante y ψ es la aplicacion de coordenadas.

2.1.2 El subfibrado vertical. Levantamiento vertical

Considerando la proyeccion canonica τQ : TQ // Q, y su aplicacion tangente TτQ : TTQ // TQ anteri-ormente introducida, se define:

Definicion 14 Sea V(x,u)∈TQ(τQ) := ker T(x,u)τQ. Se denomina subfibrado vertical de TTQ al fibradovectorial (de rango n) V(τQ) // TQ, donde

V(τQ) :=⋃

(x,u)

V(x,u)(τQ)

Definicion 15 Se denominan campos verticales a las secciones del fibrado vertical V(τQ) // TQ.

El conjunto de estos campos se designa por XV (TQ).

Es inmediato comprobar que, en coordenadas naturales de TQ, la expresion de estos campos es f i∂

∂vi;

es decir, XV (TQ) esta localmente generado por

∂

∂vi

.


Con el fin de analizar las fibras de V(τQ), dado x ∈ Q, considerese TxQ, espacio vectorial de dimensionn, como variedad diferencial y la inmersion natural

jx : TxQ // TQu 7→ (x, u)

Observese que τQ jx es la aplicacion constante igual a x. Si u ∈ TxQ, se tiene que

Tujx : TuTxQ // T(x,u)TQ

pero, por ser τQ jx una aplicacion constante, resulta que Tu(τQ jx) = T(x,u)τQ Tujx = 0. Esto esequivalente a decir que Im Tujx ⊆ ker T(x,u)τQ = V(x,u)(τQ). Pero, por ser jx inmersion,

dim Im Tujx = dim (TuTxQ = n = dim V(x,u)(τQ)

luego se tiene que Im Tujx = V(x,u)(τQ), (ya que ambos tienen la misma dimension y el primero estacontenido en el segundo).

De todo ello resulta que V(x,u)(τQ) se identifica de manera natural con TuTxQ a traves del isomorfismoque induce Tujx en su imagen. Por otra parte, por ser TxQ un espacio vectorial, si u ∈ TxQ, se tieneque TxQ se identifica de forma canonica con Tu(TxQ) por medio de la derivada direccional 6. Asi pues,V(x,u)(τQ) esta tambien, canonicamente identificado con TxQ 7. Ası pues, hemos construido el isomorfismode espacios vectoriales

TxQ // TuTxQ ' V(x,u)(τQ) ⊂ T(x,u)TQv 7→ Dv(x, u)

donde, si f ∈ C∞(TQ), se tiene

(Dv(x, u))f = limt //0

f(x, u+ tv)− f(x, u)t

Definicion 16 El vector Dv(x, u) se denomina levantamiento vertical de v al punto (x, u), y la la aplicacion

ξV(x,u) : TxQ // T(x,u)TQv 7→ Dv(x, u)

que realiza el isomorfismo anterior se llama levantamiento vertical.

En coordenadas naturales, si v = λi∂

∂qi

∣∣∣(x,u)

, entonces ξV(x,u)(v) = λi∂

∂vi

∣∣∣(x,u)

.

El levantamiento vertical se extiende de manera natural a los campos de X(Q). La aplicacion levan-tamiento vertical entre campos, X(Q) // X

V (TQ), es C∞(Q)-lineal.

En coordenadas naturales, si X = f i∂

∂qi, entonces su levantamiento vertical es ξV (X) ≡ XV = τ∗Qf

i ∂

∂vi.

6 Recuerdese que, si F es un espacio vectorial y u ∈ F , la identificacion natural entre F y TuF viene dada de la siguienteforma:

F // TuF

v 7→ Dv(u)

donde Dv(u) es la derivada direccional respecto al vector v en el punto u; esto es, si f : Rn // R es cualquier funciondiferenciable,

(Dv(u))f := limt //0

f(u+ tv)− f(u)

t

Si x1, . . . , xn son coordenadas en F y v = (λ1, . . . , λn), entonces (Dv(u))f = λi∂f

∂xi

˛u

y, por tanto, Dv(u) = λi∂

∂xi

˛u

, con lo

que la identificacion es inmediata.7 Dicho de otra manera, V(τQ) es el “pull-back” a TQ del fibrado TQ sobre Q mediante la aplicacion τQ; esto es:

V(τQ) ' τ∗Q(TQ) // TQ

τTQ ↓ ↓ τQTQ

τQ−→ Q


2.1.3 El endomorfismo vertical o canonico

Definicion 17 Sea (x, u) ∈ TxQ. La aplicacion

J(x,u) : T(x,u)TQ // T(x,u)TQY 7→ D(T(x,u)τQ)Y (x, u)

se denomina endomorfismo vertical o canonico (en (x, u)).

Observese que J(x,u)Y es el levantamiento vertical de (T(x,u)τQ)Y al punto (x, u); es decir, J(x,u) consisteen proyectar sobre TxQ y levantar verticalmente.

Esta claro que la imagen de J(x,u) esta en V(x,u)(τQ) y, por ser T(x,u)τQ sobreyectiva, coincide conV(x,u)(τQ) = ker J(x,u). Por consiguiente:

Proposicion 12 1. Im J(x,u) = V(x,u)(τQ) = ker J(x,u).

2. J2(x,u) = 0.

La accion de J se extiende de manera natural a los campos vectoriales

J : X(TQ) // XV (TQ) ⊂ X(TQ)

y a las formas diferenciales del siguiente modo:

J∗ : Ωp(TQ) −→ Ωp(TQ)α 7→ i(J)α

donde J∗α = i(J)α esta definida por

[i(J)α](X1, . . . , Xp) :=p∑i=1

α(X1, . . . , J(Xi), . . . , Xp)

en particular, si p = 1, entonces i(J)α = αJ , que es una 1-forma que tiene la propiedad de que i(X)(i(J)α) =0, ∀X ∈ X

V (TQ). Este tipo de formas se llaman τQ-semibasicas.

Expresiones locales:

Si (qi, vi) es un sistema de coordenadas naturales en TQ, se tiene que

J(x,u)∂

∂qi

∣∣∣(x,u)

= D∂

∂qi

∣∣∣x

(x, u) =∂

∂vi

∣∣∣(x,u)

J(x,u)∂

∂vi

∣∣∣(x,u)

= D0(x, u) = 0

luego la expresion de J(x,u) es

J(x,u) = dqi∣∣∣(x,u)

⊗ ∂

∂vi

∣∣∣(x,u)

y por extension

J = dqi ⊗ ∂

∂vi

Comentario:

Observese que J es un campo tensorial de tipo (1, 1) sobre TQ.


2.1.4 El campo de Liouville

Definicion 18 Sea x ∈ Q y (x, v) ∈ TQ. Considerese el levantamiento vertical de v ∈ TxQ al punto (x, v);es decir, Dv(x, v). Esta operacion permite construir un campo vectorial ∆ ∈ X(TQ), que es vertical y quese denomina campo de Liouville:

∆: TQ // TTQ(x, v) 7→ ((x, v),Dv(x, v))


Para ver que se trata de un campo vectorial diferenciable, se va a obtener su expresion en un sistemalocal de coordenadas (qi, vi) en TQ. Sea f : TQ // R una funcion diferenciable y (x, v) ∈ TQ; se tiene

∆(x,v)f = Dv(x, v)f = limt //0

f(x, v + tv)− f(x, v)t

de donde

∆(x,v)qi = lim

t //0

qi(x, v + tv)− qi(x, v)t

= limt //0

qi(x)− qi(x)t

= 0

∆(x,v)vi = lim

t //0

vi(x, v + tv)− vi(x, v)t

= limt //0

(v + tv)(qi)− v(qi)t

= v(qi) = vi(x, v)

con lo que la expresion local de ∆ es

∆ = vi∂

∂vi

Observese que, si se consideran las fibras TxQ del fibrado tangente, que son espacios vectoriales, entoncesen cada punto v ∈ TxQ se tiene que ∆(x,v) = v. De ahı que se diga que ∆ es el campo que genera lasdilataciones a lo largo de las fibras de TQ. Otra manera de visualizar esta interpretacion es considerar laexpresion local de ∆ y el sistema de ecuaciones diferenciales asociado

dqi

dt= 0

dvi

dt= vi , i = 1, . . . n

cuya solucion general es

qi(t) = Ai vi(t) = Biet (Ai, Bi ctes.) , i = 1, . . . n

Ası pues, el flujo de ∆ esF∆ : R× TQ −→ TQ

(t, qi, vi) 7→ (qi, viet)

De ahı, los elementos del grupo uniparametrico local de difeomorfismos generado por ∆ son

F∆t : TQ −→ TQ

(qi, vi) 7→ (qi, viet)

esto es, homotecias sobre las fibras de razon positiva.

2.1.5 Levantamientos canonicos al fibrado tangente

Difeomorfismos:

Hay una manera natural (canonica) de levantar difeomorfismos, curvas y campos vectoriales en unavariedad diferencial a su fibrado tangente.


Definicion 19 Sea Q una variedad diferencial y un difeomorfismo

ϕ : Q −→ Qx 7→ ϕ(x)

Se denomina levantamiento canonico de ϕ a TQ al difeomorfismo

Tϕ : TQ −→ TQ(x, v) 7→ (x,Txϕ(v))

Las siguientes propiedades son inmediatas a partir de la definicion:

Proposicion 13 Sea Q una variedad diferencial.

1. ϕ−1 τQ Tϕ = τQ, para todo difeomorfismo ϕ : Q // Q.

2. T(ϕ φ) = Tϕ Tφ, para todo par de difeomorfismos ϕ, φ : Q // Q.

Campos vectoriales:

Utilizando la definicion de levantamiento canonico de difeomorfismos, se obtiene la siguiente:

Definicion 20 Sea Q una variedad diferencial y Z ∈ X(Q). Se denomina levantamiento completo de Za TQ al campo vectorial ZC ∈ X(TQ) cuyos grupos uniparametricos locales de difeomorfismos son loslevantamientos canonicos TFt de los grupos uniparametricos locales de difeomorfismos Ft de Z.

Como consecuencia directa de la definicion y del teorema de existencia y unicidad de grupos uni-parametricos locales de difeomorfismos se obtiene el siguiente resultado:

Proposicion 14 Sea Q una variedad diferencial, Z ∈ X(Q) y ZC ∈ X(TQ) su levantamiento completo.Entonces ZC es τQ-proyectable y τQ∗ZC = Z; esto es, TτQ(ZC(x,v)) = Zx, para todo (x, v) ∈ TQ.

Expresion local:

En una carta de coordenadas naturales (U ; qi) de Q, si

Z|U = f i(qj)∂

∂qi

resulta que, en la carta (τ−1Q (U); qi, vi) de TQ

ZC |τ−1Q (U) = f i(qj)

∂

∂qi+ vk

∂f i

∂qk(qj)

∂

∂vi

Para probarlo, basta recordar que, si (x, u) ∈ τ−1Q (U), entonces

ZC(x, u) =ddt

∣∣∣t=0

TFt(x, u)

donde TFt(xi, vi) =(Ft(xi),

∂Ft∂xi

vi)

y, por tanto

ddt

∣∣∣t=0

TFt(x, u) =(

ddt

∣∣∣t=0

Ft(x),ddt

∣∣∣t=0

(∂Ft∂xi

vi)

(x, u))

=(f i(x), vj

∂f i

∂xj(xk)

)y de ahı el resultado.


Curvas diferenciables:

Sea ahora γ : (a, b ⊆ R // Q una curva diferenciable. Si t0 ∈ (a, b) y x = γ(t0), entonces γ(t0) es elvector tangente a la curva en el punto γ(t0); es decir γ(t0) ∈ Tγ(t0)Q. La definicion es la habitual:

(γ(t0), γ(t0)) = Tt0γddt

esto es, si f : Q // R es una funcion diferenciable,

(γ(t0), γ(t0))f = (Tt0γddt

)f =ddt

∣∣∣t0

(f γ) = limh //0

f(γ(t0 + h))− f(γ(t0))h

Definicion 21 Dado que γ(t) esta definido para todo t ∈ (a, b), se puede definir la curva

γ : (a, b) // TQt 7→ (γ(t), γ(t))

que se denomina subida o levantamiento canonico de γ a TQ.

Observese que τQ γ = γ.


Si (qi) es un sistema local de Q en un entorno de γ(t0), entonces γ = (γ1, . . . , γn), con γi = qi γ. Si

(qi, vi) es el sistema local en TQ, entonces γ esta dada por γ = (γ1, . . . , γn, γ1, . . . , γn), donde γi =dγi

dt.

El vector tangente a γ en γ(t0) esta dado por Tt0 γddt

, y si f : TQ // R es diferenciable, se tiene que(Tt0 γ

ddt

)f =

ddt

∣∣∣t0f γ

con lo que (Tt0 γ

ddt

)qi =

ddt

∣∣∣t0qi γ = γi(t0)(

Tt0 γddt

)vi =

ddt

∣∣∣t0vi γ =

ddt

∣∣∣t0γi = γi(t0)

esto esTt0 γ

ddt

= γi(t0)∂

∂qi

∣∣∣γ(t0)

+ γi(t0)∂

∂vi

∣∣∣γ(t0)

Es obvio que no toda curva en TQ es el levantamiento canonico de una curva en la base Q. Entonces:

Definicion 22 Una curva diferenciable σ : (a, b ⊆ R // TQ es una curva holonoma si ∃γ : (a, b ⊆ R// Q (curva diferenciable) tal que σ = γ.

En coordenadas naturales, σ(t) = (qi(t), vi(t)), es una subida canonica si, y solo si, vi(t) = qi(t).

En particular, las curvas holonomas pueden ser caracterizadas de manera mas precisa introduciendopreviamente el siguiente concepto:

Definicion 23 Sea σ : (a, b) ⊆ R // TQ una curva diferenciable en TQ. Entonces τQ σ : (a, b) // Qes una curva diferenciable en Q, que se denomina curva en la base.

Y se tiene que:


Proposicion 15 Una curva diferenciable σ : (a, b ⊆ R // TQ es holonoma si, y solo si, ˜(τQ σ) = σ.

( Dem. ) (=⇒) Si σ es holonoma, ∃γ : (a, b ⊆ R // Q diferenciable tal que σ = γ; entonces

τQ σ = τQ γ = γ =⇒ ˜(τQ σ) = γ = σ

(⇐=) Inmediato.

Finalmente se tiene el siguiente resultado fundamental:

Proposicion 16 1. Sea ϕ : Q // Q un difeomorfismo y Tϕ : TQ // TQ su levantamiento canonicoa TQ. Entonces

(Tϕ)∗J = J , (Tϕ)∗∆ = ∆

2. Sea Z ∈ X(Q) y ZC ∈ X(TQ) su levantamiento canonico a TQ. Entonces el endomorfismo canonicoJ y el campo de Liouville ∆ son invariantes por los grupos uniparametricos de difeomorfismos localesgenerados por el flujo de ZC .

(Proof )

• El resultado para J es consecuencia directa de las expresiones locales de J y Tϕ.

El resultado para ∆ es consecuencia directa de que Tϕ F∆t = F∆

t Tϕ, donde F∆t es un elemento del

grupo uniparametrico de difeomorfismos locales generados por el flujo de.∆

• Inmediato a partir del resultado anterior, tomando los grupos uniparametricos de difeomorfismos localesgenerados por los flujos de Z y ZC .

Esto significa que los levantamientocs canonicos de difeomorfismos y campos vectoriales al fibrado tan-gente preservan las estructuras canonicas de dicho fibrado.

2.1.6 Ecuaciones diferenciales de segundo orden (E.D.S.O.)

Definicion 24 Un campo vectorial X ∈ X(TQ) es una ecuacion diferencial de segundo orden (E.D.S.O.) otambien un campo holonomo si sus curvas integrales son curvas holonomas.

En primer lugar, se va a dar una interpretacion local de esta definicion:

Proposicion 17 La condicion necesaria y suficiente para que un campo vectorial X ∈ X(TQ) sea unaE.D.S.O. es que su expresion local en cualquier sistema natural de coordenadas en TQ sea

X = vi∂

∂qi+ gi

∂

∂vi(12)

esto es, X(x,v) = (vi, gi(x, v)), ∀(x, v) ≡ (qi, vi) ∈ TQ.

(Dem.) (⇒) En coordenadas naturales, la expresion general de X ∈ X(TQ) es X = f i∂

∂qi+ gi

∂

∂vi. Sea

σ : (a, b) ⊂ R // TQ, con σ(t) = (qi(t), vi(t)), una curva integral de X, entonces se satisface que

dqi

dt= (f i σ)(t) = f i(qj(t), vj(t)) ,

dvi

dt= (gi σ)(t) = gi(qj(t), vj(t)) (13)


Por otra parte, si X es una E.D.S.O., por definicion ∃γ : (a, b) ⊂ R // Q, con γ(t) = (qi(t)), tal que σ = γ;es decir, σ(t) = (qi(t), qi(t)). De ahı se tiene que qi(t) = vi(t), ∀i = 1, . . . , n; con lo que, yendo al primergrupo de ecuaciones (13), resulta

vi(t) =dqi

dt= f i(qj(t), vj(t)) , ∀t ∈ (a, b)


(⇐) Si X = vi∂

∂qi+ gi

∂

∂vi, entonces sus curvas integrales σ : (a, b) ⊂ R // TQ, con σ(t) =

(qi(t), vi(t)), vienen determinadas por el sistema

dqi

dt= (vi σ)(t) = vi(t) ,

dvi

dt= (gi σ)(t) = gi(qj(t), vj(t))

es decir, σ(t) = (qi(t), qi(t)). Por tanto son curvas holonomas y X es una E.D.S.O.

Comentario:

Observese que, con las condiciones expuestas, el segundo grupo de las ecuaciones (13) se expresaen la forma

d2qi

dt2= f i(qj , qj)

que es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, cuya solucion deter-mina completamente las curvas integrales de X, Este hecho justifica el apelativo E.D.S.O. con elque se designa a estos campos vectoriales.

Del anterior resultado se deduce el siguiente, que es una caracterizacion intrınseca de la condicionE.D.S.O.:

Proposicion 18 La condicion necesaria y suficiente para que X ∈ X(TQ) sea una E.D.S.O. es que

J(X) = ∆

(Dem.) (⇒) En coordenadas naturales, la expresion general de X ∈ X(TQ) es X = f i∂

∂qi+ gi

∂

∂vi.

EntoncesJ(X) = f i

∂

∂vi= vi

∂

∂vi≡ ∆ ⇐⇒ f i = vi

con lo que, segun la proposicion precedente, se obtiene el resultado.

Se puede dar otra caracterizacion intrınseca de la condicion E.D.S.O. del siguiente modo: considerada lavariedad T(TQ), se tienen dos proyecciones naturales, especificadas en el siguiente diagrama

TTQTτQ−→ TQ

τTQ ↓ ↓ τQTQ

τQ−→ Q

Si se toman sistemas de coordenadas naturales en los fibrados TQ y TTQ, recordando la expresion (11),forall((x, v), Y(x,v)) ≡ (qi, vi;ui, wi) ∈ TTQ, se tiene que

τTQ((x, v), Y(x,v)) = τTQ(qi, vi;ui, wi) = (qi, vi)TτQ((x, v), Y(x,v)) = τTQ(qi, vi;ui, wi) = (τQ(qi, vi),T(qi,vi)τQ(ui, wi)) = (qi, ui)

Por definicion, X ∈ X(TQ) es una seccion de la proyeccion τTQ; esto es, una aplicacion diferenciable X : TQ// TTQ tal que τTQ X = IdTQ. Entonces:


Proposicion 19 La condicion necesaria y suficiente para que un campo vectorial X ∈ X(TQ) sea unaE.D.S.O. es que sea una seccion de la proyeccion TτQ; es decir, una aplicacion diferenciable X : TQ //

TTQ tal queTτQ X = IdTQ

(Dem.) En coordenadas naturales, la expresion general de X ∈ X(TQ) es X = f i∂

∂qi+ gi

∂

∂vi; esto es,

interpretado como aplicacion, ∀(x, v) ≡ (qi, vi) ∈ TQ, es

X(x, v) = X(qi, vi) = (qi, vi; f i(x, v), gi(x, v))

Por consiguiente:

(TτQ X)(x, v) = (TτQ X)(qi, vi) = TτQ(qi, vi; f i(x, v), gi(x, v)) = (qi, f i(x, v))

y como IdTQ(x, v) = (q‘i, vi), resulta que

(TτQ X)(x, v) = IdTQ(x, v) ⇐⇒ f i = vi


Comentario:

De ahora en adelante, cuando haya que utilizar la condicion E.D.S.O para un campo X ∈ X(TQ),se hara de la forma mas conveniente entre las siguientes, que se ha probado que son equivalentes:

1. Las curvas integrales de X son subidas canonicas de curvas en Q.

2. La expresion de X en un sistema natural de coordenadas en TQ, es (12).

3. J(X) = ∆.

4. TτQ X = IdTQ.

2.1.7 Fibrado cotangente de una variedad

Definicion 25 Sea Q una variedad diferencial. Se denomina fibrado cotangente de Q al dual T∗Q delfibrado tangente TQ; es decir, T∗Q :=

⋃x∈Q

T∗xQ .

Se designara por πQ : T∗Q // Q a la proyeccion natural.

Todo punto m ∈ T∗Q es, pues, una pareja (x, ξ) donde x = πQ(m) ∈ Q y ξ ∈ T∗xQ (es una forma linealsobre TxQ).

Proposicion 20 Sea Q una variedad diferencial n-dimensional. El fibrado cotangente T∗Q es una variedaddiferencial de dimension 2n, cuya estructura esta inducida por la de Q. Ademas, la proyeccion natural πQesuna submersion.

( Dem. ) Si A = (U ;xi) un atlas de cartas locales en Q, entonces el atlas inducido T∗A = (T∗U ; qi, pi)se construye de la siguiente manera:

1. T∗U := π−1Q (U).

2. qi(m) := xi πQ(m), ∀m ∈ T∗Q 8.

8En adelante, se cometera un abuso de notacion y se idicaran por qi indistintamente las coordenadas qi y xi.


3. ∀m ∈ T∗Q, m = (x, ξ). Entonces se tiene que

pi(m) :=⟨ ∂

∂qi

∣∣∣x, ξ⟩

es decir, pi(m) son las componentes de la 1-forma lineal ξ en la base natural dqi |x de T∗xM ; esto es,ξ = pi(m)dqi |x.

Si (qi) y (qi) son dos sistemas locales de coordenadas en U ⊂ Q, y qj = φj(qi), entonces la relacion entre(pi) y (pi) es la siguiente, sea m = (x, ξ) ∈ T∗Q,

pi(x, ξ) =⟨ ∂

∂qi, ξ⟩

=⟨∂φj∂qi

∣∣∣x

∂

∂qj, ξ⟩

=∂φj

∂qi

∣∣∣x

⟨ ∂

∂qj, ξ⟩

=∂φj

∂qi

∣∣∣xpj(x, ξ)

esto es, pi =∂φj

∂qipj . De ahı, los cambios de coordenadas en T∗Q, de (qi, pi) a (qi, pi), tienen como matriz

jacobiana (∂φj

∂qi

)0(

∂2φj

∂qk∂qi

)−1

pi

(∂φj

∂qi

)−1

Teniendo presente esta descripcion local del fibrado cotangente, es evidente que su dimension es 2n, dado

que se ha doblado el numero de coordenadas en relacion a las de Q.

Definicion 26 Las cartas anteriores se denominan cartas naturales del fibrado cotangente y sus elementoscoordenadas naturales (qi son las coordenadas en la base y pi las coordenadas en las fibras).

2.1.8 Formas canonicas en el fibrado cotangente

Una de las caracterısticas esenciales del fibrado cotangente es la siguiente:

Teorema 5 En T∗Q hay definida canonicamente una 2-forma diferenciable que es cerrada y no degenerada9.

( Dem. ) Segun se ha visto en la demostracion de la proposicion anterior,

T∗Q := m = (x, ξ) | x ∈ Q , ξ ∈ T∗xQ

Puesto que T∗Q es una variedad diferencial, se puede construir su fibrado tangente TT∗Q y la apli-cacion tangente inducida por πQ : T∗Q // Q, que debe ser entendida como una aplicacion fibra a fibraT(x,ξ)πQ : T(x,ξ)T∗Q // TxQ.

Usando unicamente la proyeccion del fibrado se va a demostrar el teorema, procediendo constructiva-mente:

1. Se construye la 1-forma diferencial Θ ∈ Ω1(T∗Q) de la siguiente manera: en cada punto m = (x, ξ) ∈T∗Q, ∀Xm ∈ TmT∗Q,

Θm(Xm) := ξ(TmπQ(Xm))

Su expresion en una carta natural de T∗Q se obtiene del siguiente modo: tal como se ha discutido enla proposicion anterior, ξ = pi(m)dqi |x; por otra parte, ∀Xm ∈ Tm(T∗Q), se tiene la expresion local

Xm = Aj∂

∂qj

∣∣∣m

+ Bj∂

∂pj

∣∣∣m

y, finalmente, la expresion general de Θm es Θm = aidqi |m +bidpi |m,

entoncesΘm(Xm) = aiA

i + biBi

9Usando la terminologıa que se introducira en la seccion 3.1.1, se dice que T∗Q es una variedad simplectica.


por otra parte, de la definicion

Θm(Xm) := ξ(TmπQ(Xm)) = (pi(m)dqi |x)[TmπQ(Aj

∂

∂qj

∣∣∣m

+Bj∂

∂pj

∣∣∣m

)]

= (pi(m)dqi |x)(Aj

∂

∂qj

∣∣∣x

)= pi(m)Ajδij = pi(m)Ai

y como esto es valido ∀Xm (esto es, ∀Ai, Bi), igualando ambas expresiones se llega a que ai = pi(m)y bi = 0, es decir, la expresion local de Θ en una carta natural de T∗Q es

Θ = pidqi

2. Se define la 2-forma diferencialΩ := −dΘ

cuya expresion en una carta natural del fibrado cotangente es obviamente

Ω = dqi ∧ dpi

Es evidente que Ω es cerrada (por ser exacta) y es no degenerada (como se deduce de su expresion encoordenadas).

Definicion 27 Las formas Θ ∈ Ω1(T∗Q) y Ω ∈ Ω2(T∗Q) construidas en el teorema anterior se denominanrespectivamente 1 y 2 forma canonica del fibrado cotangente.

Proposicion 21 El fibrado cotangente de una variedad diferencial es una variedad orientada y orientable.

( Dem. ) A partir de la 2-forma canonica se puede definir la forma de volumen (tambien canonica)Ωn := ∧nΩ ∈ Ω2n(M).

2.1.9 Levantamientos canonicos al fibrado cotangente

En uno de los capıtulos anteriores se explico que habıa una manera natural (canonica) de levantar losdifeomorfismos y los campos vectoriales en una variedad diferencial a su fibrado tangente. Vamos a ver quetambien esto es posible en el fibrado cotangente.

Definicion 28 Sea Q una variedad diferencial y un difeomorfismo

ϕ : Q −→ Qx 7→ ϕ(x)

Se denomina levantamiento canonico de ϕ a T∗Q al difeomorfismo

T∗ϕ : T∗Q −→ T∗Q(ϕ(x), ξ) 7→ (x,T∗ϕ(ξ))

donde T∗ϕ(ξ) esta definido por dualidad, esto es, si

Tϕ : TQ −→ TQ(x, v) 7→ (x,Tϕ(v))

entonces, para todo v ∈ TxQ,(T∗ϕ(ξ))(v) := ξ(Tϕ(v))

Las siguientes propiedades son inmediatas a partir de la definicion:


Proposicion 22 Sea Q una variedad diferencial.

1. ϕ πQ T∗ϕ = πQ, para todo difeomorfismo ϕ : Q // Q.

2. T∗(ϕ φ) = T∗φ T∗ϕ, para todo par de difeomorfismos ϕ, φ : Q // Q.

Un resultado de especial relevancia es:

Proposicion 23 Sea Q una variedad diferencial, ϕ : Q // Q un difeomorfismo y T∗ϕ su levantamientocanonico a T∗Q. Entonces (T∗ϕ)∗Θ = Θ y, por tanto, tambien (T∗ϕ)∗Ω = Ω 10.

( Dem. ) Para todo (x,T∗ϕ(ξ)) ∈ T∗Q y V ∈ T(ϕ(x),ξ)(T∗Q), usando la definicion de Θ se tiene

(T∗ϕ)∗Θ(x,T∗ϕ(ξ))(V ) = Θ(x,T∗ϕ(ξ))(TT∗ϕ(V )) = (T∗ϕ(ξ))(TπQ(TT∗ϕ(V ))) = (T∗ϕ(ξ))(T(πQ T∗ϕ)(V ))= ξ(Tϕ(T(πQ T∗ϕ)(V ))) = ξ(T(ϕ πQ T∗ϕ)(V ))) = ξ(TπQ(V )) = Θ(ϕ(x),ξ)(V )

donde tambien se ha usado la primera de las propiedades anteriores.

El resultado para Ω es inmediato a partir de este.

Utilizando la definicion de levantamiento canonico de difeomorfismos, se obtiene la siguiente:

Definicion 29 Sea Q una variedad diferencial y Z ∈ X(Q). Se denomina levantamiento canonico de Za T∗Q al campo vectorial Z∗ ∈ X(T∗Q) cuyos grupos uniparametricos locales de difeomorfismos son loslevantamientos canonicos T∗Ft de los grupos uniparametricos locales de difeomorfismos Ft de Z.

Como consecuencia directa de la definicion y del teorema de existencia y unicidad de grupos uni-parametricos locales de difeomorfismos se obtiene el siguiente resultado:

Proposicion 24 Sea Q una variedad diferencial, Z ∈ X(Q) y Z∗ ∈ X(T∗Q) su levantamiento canonico.Entonces Z∗ es πQ-proyectable y TπQ(Z∗m) = Zx, para todo m ≡ (x, ξ) ∈ T∗Q.

Todo campo vectorial Z ∈ X(Q) induce una funcion FZ ∈ C∞(T∗Q)

FZ : T∗Q −→ Rm ≡ (x, ξ) 7→ ξ(Zx)

Teniendo en cuenta la definicion de la 1-forma canonica Θ de T∗Q y la proposicion 24 se tiene que, paratodo m ≡ (x, ξ) ∈ T∗Q,

FZ(m) ≡ FZ(x, ξ) = ξ(Zx) = ξ(TπQ(Z∗m)) = Θm(Z∗m)

es decir, se ha probado que:

Proposicion 25 Sea Q una variedad diferencial y Z ∈ X(Q). Entonces su levantamiento canonico Z∗ ∈X(T∗Q) verifica que FZ = Θ(Z∗).

Teniendo esto en cuenta, el levantamiento canonico de un campo vectorial en Q al fibrado cotangentepuede caracterizarse de manera equivalente como:

Proposicion 26 Sea Q una variedad diferencial y Z ∈ X(Q). El levantamiento canonico de Z a T∗Q es elunico campo vectorial Z∗ ∈ X(T∗Q) tal que i(Z∗)Ω = dFZ 11.

10 Con la nomenclatura que introduciremos en la seccion 3.1.5, se dira que T∗ϕ es un simplectomorfismo.11 Esto es, con la terminologıa de la seccion 3.1.2, Z∗ es el campo hamiltoniano (global) que tiene por funcion hamiltoniana

FZ .


( Dem. ) En efecto, basta utilizar la formula de Cartan y tener en cuenta la proposicion 23

i(Z∗)Ω = − i(Z∗)dΘ = d i(Z∗)Θ− L(Z∗)Θ = d(Θ(Z∗)) = dFZ

ya que, al ser los grupos uniparametricos locales de difeomorfismos de Z∗ levantamientos canonicos, deacuerdo con la proposicion 23, dejan invariantes las formas canonicas y, de ahı, L(Z∗)Θ = 0.

Expresion local:

Con esta caracterizacion es facil obtener la expresion local de Z∗ en una carta de coordenadas canonicas(U ; qi, pi) de T∗Q. Ası, si

Z|πQ(U) = f i(q)∂

∂qi

resulta que FZ(qi, pi) = pifi(qj), luego

Z∗|U = f i∂

∂qi− pj

∂f j

∂qi∂

∂pi

Finalmente, como consecuencia directa de la proposicion 23 se tiene que:

Proposicion 27 Sea Z ∈ X(Q) y ZC∗ ∈ X(T∗Q) su levantamiento canonico a T∗Q. Entonces

L(ZC∗)θA = 0 , L(ZC∗)ωA = 0

( Dem. ) Basta tomar los grupos uniparametricos locals de difeomorfismos generados por el flujo de Z ysus levantamientos canonicos.

2.1.10 Derivada fibrada de una funcion

Sea F ∈ C∞(TQ). Dado un punto x ∈ Q, se considera la funcion Fx : TxQ // R, restriccion de F a lafibra TxQ. Por ser F de clase C∞, tambien lo es Fx. Si (x, u) ∈ TQ, se puede tomar la diferencial de Fx enese punto, que sera un elemento de T∗xQ. Se tiene ası D(x,u)Fx ∈ T∗xQ, asociado al punto(x, u). Entonces:

Definicion 30 Se denomina derivada fibrada de F a la aplicacion

FF : TQ // T∗Q(x, u) 7→ (x,DFx(u))

Observese que πQ FF = τQ, es decir que FF conserva las fibras.


Considerese una carta natural (U ; qi, vi) de TQ y el correspondiente sistema canonico de coordenadas

(U ; qi, pi) en T∗Q. Observese que una base de TxQ es∂

∂qi

∣∣∣x

(i = 1, . . . , n), y las coordenadas en TxQ

son (v1, . . . , vn). De ahı, la matriz jacobiana de D(x,u)Fx es(∂F

∂v1

∣∣∣(x,u)

. . .∂F

∂vn

∣∣∣(x,u)

)y si v = λi

∂

∂qi

∣∣∣x∈ TxQ , entonces se tiene que

(D(x,u)Fx)(v) =(∂F

∂v1

∣∣∣(x,u)

. . .∂F

∂vn

∣∣∣(x,u)

)λ1

...λn


de donde

FF (x, u) =(x,∂F

∂vi

∣∣∣(x,u)

dqi∣∣∣x

)esto es, la expresion en coordenadas de FF es

qi FF = qi , pi FF =∂F

∂vi; i = 1, . . . , n

2.2 Formalismo lagrangiano de sistemas dinamicos lagrangianos

Comenzaremos describiendo el denominado formalismo lagrangiano de los sistemas dinamicos lagrangianos;previa definicion de lo que se entiende por un sistema de este tipo.

2.2.1 Sistemas dinamicos lagrangianos

En la seccion 1 se ha visto que un sistema mecanico Newtoniano (independiente del tiempo) estaba descritopor una terna (M, g, ω), donde:

• (M, g) es una variedad (de Riemann) donde tiene lugar el movimiento, que suele denominarse espaciode configuracion del sistema, y cuyos puntos describen las posiciones de las partıculas que forman elsistema.

• ω (o equivalentement F) es un elemento geometrico que contiene la informacion dinamica.

Las trayectorias dinamicas, solucion de las ecuaciones de Newton, son curvas en TM que son levantamientoscanonicos de curvas en M . Los puntos de la variedad TM (que son posibles condiciones iniciales de estasecuaciones, y por tanto, representan las posibles posiciones y velocidades del sistema) son los estados fısicosdel sistema y, por ello, TM se suele denominar espacio de estados o de fases (de velocidades) del sistema.

En el caso particular de que el sistema sea conservativo, el elemento dinamico puede sustituirse por lafuncion lagrangiana (de tipo mecanico) L ∈ C∞(TM), y las ecuaciones dinamicas (escritas en una cartalocal de coordenadas naturales en TM) son las ecuaciones de Euler-Lagrange (de primera especie).

Finalmente, si los grados de libertad del sistema tiene algun tipo de restriccion, es decir, la dinamicatiene lugar en una subvariedad j : S → M , todo es igual, pero considerando (S, j∗g, j∗ω) como sistemaNewtoniano. Observese que, en este caso, el espacio de configuracion es S y el correspondiente espacio defases (de velocidades) es TS.

Estos son esencialmente los datos fundamentales en que se va a basar la formulacion lagrangiana de lossistemas dinamicos autonomos. Ası pues, los fundamentos de dicha formulacion son los siguientes:

• En un sistema fısico lagrangiano, los n posibles grados de libertad del sistema estan descritos por eldominio de variacion de un conjunto de n coordenadas generalizadas (de “posicion”) 12, que determinanlocalmente el espacio de configuracion del sistema.

Los estados del sistema van a ser descritos localmente por medio de coordenadas de posicion general-izadas y sus correspondientes velocidades generalizadas.

Geometricamente, esto se traduce asumiendo:

Postulado 2 (Primer postulado del formalismo lagrangiano):

El espacio de configuracion Q de un sistema dinamico con n grados de libertad tiene estructura devariedad diferencial n-dimensional.

12 Puede tratarse de un sistema mecanico, en cuyo caso las coordenadas generalizadas corresponden a grados de libertad detipo “mecanico” (p. ej., coordenadas de posicion), o de un sistema fısico de cualquier otra clase, p. ej., electrico o termodinamico,en cuyo caso las coordenadas generalizadas corresponden a magnitudes fısicas de otro tipo (como pueden ser diferencias depotencial, temperaturas, etc.).


El espacio de estados es el fibrado tangente TQ de la variedad Q que constuye el espacio de configuraciondel sistema. Dicho espacio de estados recibe el nombre de espacio de estados o de fases de posiciones-velocidades del sistema.

• Postulado 3 (Segundo postulado del formalismo lagrangiano):

Los observables o magnitudes fısicas de un sistema dinamico son funciones de C∞(TQ).

El resultado de una medida de un observable es el valor que toma la funcion que lo representa en unpunto del espacio de estados TQ (es decir, en un estado determinado, segun el primer postulado).

• Postulado 4 (Tercer postulado del formalismo lagrangiano):

Se da una funcion L ∈ C∞(TQ), que se denomina funcion lagrangiana, la cual es depositaria de todala informacion dinamica del sistema.

A partir de ella, y utilizando las estructuras geometricas propias del fibrado tangente, se construyenla forma ΩL ∈ Ω2(TQ), y la denominada funcion Energıa lagrangiana EL ∈ C∞(TQ), con las cualesse estableceran las ecuaciones dinamicas del sistema.

Teniendo en cuenta todo esto, se define:

Definicion 31 Se denomina sistema dinamico lagrangiano a toda pareja (TQ,L), donde Q representa elespacio de configuracion de un sistema fısico y L ∈ C∞(TQ) es la funcion lagrangiana del sistema.

Comentario: Es importante resenar que los sitemas dinamicos que se van a describir de estemodo son autonomos; es decir, independientes del tiempo. (Para la descripcion geometrica desistemas no autonomos vease, p. ej., [5], [10], ETC.).

Tambien se trata de sistemas de primer orden, denominacion que reciben los sistemas fısicos cuyalagrangiana depende de las coordenadas de posicion y velocidad, en contraposicion a aquellos enlos que dicha dependencia alcanza a las aceleraciones generalizadas o, en general, derivadastemporales de orden superior de las posiciones generalizadas. (Para el tratamiento geometricode sistemas de orden superior vease, p. ej., [11], [7], ETC.).

Seguidamente vamos a ver como se construyen, a partir de la lagrangiana, las estructuras dinamico-geometricas que permitan escribir intrınsecamente las ecuaciones dinamicas; utilizando para ello las estruc-turas geometricas del fibrado tangente que fueron introducidas en el apartado 2.1.

2.2.2 Estructuras geometricas inducidas por la dinamica

En el fibrado tangente se tienen como estructuras geometricas fundamentales el endomorfismo verticalJ : X(TQ) // X

V (TQ) y el campo de Liouville ∆ ∈ XV (TQ). Dada una funcion lagrangiana L ∈ C∞(TQ),

con la ayuda de estas estructuras se pueden contruir los siguientes elementos:

Definicion 32 Se denomina 1-forma lagrangiana asociada a L a

ΘL := i(J)dL = dL J ∈ Ω1(TQ)

Se denomina 2-forma lagrangiana asociada a L a

ΩL := −dΘL ∈ Ω2(TQ)

Definicion 33 Se denomina accion asociada a L a la funcion

AL := ∆(L) ∈ C∞(TQ)

Se denomina Energıa lagrangiana asociada a L a la funcion

EL := AL − L ∈ C∞(TQ)


Comentarios:

• La energıa lagrangiana recibe este nombre porque el observable fısico que representa es precisamentela energıa.

• Hay funciones lagrangianas que, siendo distintas, dan lugar a las mismas ΩL y EL. Se denominanlagrangianas equivalentes gauge (ver seccion 4.2.3).

• Es importante puntualizar que, dada una funcion cualquiera L ∈ C∞(TQ), la forma ΩL no tienenecesariamente rango constante en TQ. Cuando dicho rango sea constante, se dira que la lagrangianaen cuestion es geometricamente admisible. La teorıa que vamos a desarrollar concierne solo a sistemaslagrangianos para los cuales dicho rango sı es constante 13.


Considerese una carta natural (U ; qi, vi) de TQ. Recordemos que, referidas a ella, la expresion delendomorfismo vertical y del campo de Liouville son

J |U= dqi ⊗ ∂

∂vi, ∆ |U= vi

∂

∂vi

y L |U := L(qi, vi).

Las expresiones locales de la accion asociada a la lagrangiana L son, entonces,

AL |U= vi∂L∂vi

, EL |U= vi∂L∂vi− L

Para obtener las expresiones locales de las formas lagrangianas, escribamos la expresion mas general parauna 1-forma en TQ

ΘL |U= ai(qj , vj)dqi + bi(qj , vj)dvi

entonces, ∀Y ∈ X(TQ) se tiene

Y |U= Ai(qj , vj)∂

∂qi+Bi(qj , vj)

∂

∂vi

de modo queΘL(Y ) |U= aiA

i + biBi

y, por otra parte, por definicion

ΘL(Y ) |U := (dL J)(Y ) |U==(∂L∂qi

dqi +∂L∂vi

dvi)(

Ai∂

∂vi

)= Ai

∂L∂vi

de donde, comparando ambas expresiones se tiene que ai =∂L∂vi

y bi = 0; es decir que

ΘL |U=∂L∂vi

dqi

De aquı se obtiene de inmediato que

ΩL |U=∂2L∂qj∂vi

dqi ∧ dqj +∂2L∂vj∂vi

dqi ∧ dvj

Es importante resenar que, dada una funcion cualquiera L ∈ C∞(TQ), aunque la 2-forma lagrangiana ΩLsiempre es cerrada, no es necesariamente no degenerada (ya que, como se deduce inmediatamente a partirde estas expresiones locales, su rango depende exclusivamente de las derivadas segundas de la funcion L).Entonces:

13 Cuando esto no es ası, se puede formular una teorıa mas general usando variedades de Poisson. (ver [12]).


Definicion 34 L ∈ C∞(TQ) es una funcion lagrangiana regular (y (TQ,L) es entonces un sistema dinamicolagrangiano regular) si la 2-forma lagrangiana ΩL es no degenerada. En caso contrario, L es una lagrangianasingular (y (TQ,L) un sistema dinamico lagrangiano singular) 14

La no degeneracion de la 2-forma lagrangiana puede interpretarse en terminos locales de la siguientemanera:

Proposicion 28 Sea (TQ,L) un sistema dinamico lagrangiano. L es una lagrangiana regular si, y solo si,

en una carta natural cualquiera (U ; qi, vi) de TQ, la matriz hessiana HL :=(

∂2L∂vj∂vi

)es regular en todos

los puntos de U .

( Dem. ) Hay que demostrar que ΩL es no degenerada si, y solo si, se cumple esa condicion. Para ellobasta tener en cuenta que ΩL ∈ Ω2(TQ) es no degenerada si, y solo si, Ω n

L es una forma de volumen en TQ,entonces

Ω nL |U= n! det

(∂2L∂vj∂vi

)ndq1 ∧ . . . dqn ∧ dv1 ∧ . . . dvn

que es una forma no nula en todos los puntos siempre que det(

∂2L∂vj∂vi

)6= 0 en todos los puntos.

Comentario:

Observese que las funciones lagrangianas de tipo mecanico (que aparecen en la seccion 1)

L := K − τ∗QV ≡12gij(q)vivj − V (q)

son siempre regulares, ya queΩL ≡ gij(q)dqi ∧ dvj

2.2.3 Ecuaciones dinamicas lagrangianas. Ecuaciones de Euler-Lagrange

La ecuacion dinamica en el formalismo lagrangiano viene establecida por el siguiente:

Postulado 5 (Cuarto postulado del formalismo lagrangiano):

Las trayectorias dinamicas de un sistema lagrangiano (TQ,L) son las curvas integrales de un campovectorial XL ∈ X(TQ) tal que:

1. XL es solucion de la ecuacioni(XL)ΩL = dEL (14)

2. XL es una E.D.S.O., esto es, satisface que

J(XL) = ∆ (15)

Las ecuaciones (14) son las denominadas ecuaciones lagrangianas del movimiento y el campo vectorial XLsolucion (si existe) se denomina campo dinamico lagrangiano. Si ademas, cumple la condicion (15), entoncesse denomina campo de Euler-Lagrange del sistema, y sus curvas integrales (en la base) son las solucionesde las ecuaciones de Euler-Lagrange.

14 En esta exposicion solo vamos a estar interesados, en principio, en sistemas dinamicos lagrangianos regulares.


Comentario:

En Fısica es habitual requerir que las ecuaciones del movimiento puedan obtenerse a partir deun principio variacional, como se vera mas adelante, y para ello es condicion necesaria que lascurvas integrales del campo dinamico XL sean levantamientos de curvas integrales en la base Qdel fibrado TQ. Es por ello que se pide que XL sea una E.D.S.O.

Definicion 35 Dado un sistema dinamico lagrangiano (TQ,L), se denomina problema lagrangiano planteadopor dicho sistema a hallar un campo vectorial XL ∈ X(TQ) que satisfaga las condiciones (14) y (15).


Considerese una carta natural (U ; qi, vi) de TQ. Teniendo en cuenta las expresiones locales de losdiversos objetos que intervienen en las ecuaciones del movimiento, se obtiene inmediatamente que, si XL |U=

Ai(qj , vj)∂

∂qi+Bi(qj , vj)

∂

∂vi, la ecuacion (14), escrita en coordenadas es:

∂2L∂vj∂vi

Bi =(

∂2L∂qj∂vi

− ∂2L∂vj∂qi

)Ai − ∂2L

∂vi∂qjvi +

∂L∂qj

(16)

∂2L∂vj∂vi

(Ai − vi) = 0 (17)

La condicion (15) es locaalmente equivalente, como ya sabemos, a que Ai = vi. Ademas, las curvas integralesde XL, σ : I ⊆ R // TQ, son subidas canonicas de curvas γ : I ⊆ R // Q, con lo que, si γ(t) = (qi(t)),entonces σ(t) = (qi(t), qi(t)) y

Ai = vi =dqi

dt, Bi =

d2qi

dt2

con lo que la combinacion de estas expresiones y las ecuaciones (16) y (17) da la ecuacion de las curvasintegrales que es (

∂2L∂vj∂vi

γ)

d2qi

dt2=(− ∂2L∂vj∂qi

γ)

dqi

dt+∂L∂qj γ

que se suele escribir abreviadamente (HL)ji(qk(t), qk(t))d2qi

dt2= Fj(qk(t), qk(t)), o tambien en su forma

equivalenteddt(derparLvj γ

)− ∂L∂qj γ

que es la expresion clasica de las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Para el caso de lagrangianas regulares se tiene el siguiente resultado:

Proposicion 29 Sea (TQ,L) un sistema dinamico lagrangiano regular. Entonces existe un unico campovectorial XL ∈ X(TQ) que es solucion de la ecuacion lagrangiana (14), y es una E.D.S.O.

( Dem. ) La existencia y unicidad son consecuencia directa de que ΩL es no degenerada.

Por otra parte, si la lagrangiana es regular, la matriz hessiana HL es regular y la ecuacion (17) conduce aque Ai = vi, con lo que el campo vectorial XL es automaticamente una E.D.S.O. (Observese que, entonces,de las ecuaciones (16) se determinan todos los coeficientes Bi).

Comentario:

Si el sistema lagrangiano no es regular, la ecuacion (14) es, en general, incompatible y aun enel caso en que tenga solucion, esta no es unica, ni es necesariamente una E.D.S.O. En efecto, siX0L es una solucion, entonces X0

L + Z, con Z ∈ ker ΩL, es tambien solucion. En los casos masinteresantes, XL existe solo en alguna subvariedad S → TQ.


2.3 Formalismo hamiltoniano canonico de sistemas lagrangianos

El formalismo hamiltoniano canonico de la Mecanica fue introducido inicialmente, entre otros, por Hamilton,Lagrange, Poisson, Ostrogadsky y Donkin, y constituye la formulacion dual del formalismo lagrangiano. Suconstruccion se basa en la introduccion de una aplicacion: la derivada fibrada de la funcion lagrangiana.

2.3.1 Transformacion de Legendre

Definicion 36 Sea (TQ,L) un sistema dinamico lagrangiano. Se denomina transformacion de Legendreasociada al sistema a la derivada fibrada de L, esto es, a la aplicacion

FL : TQ // T∗Q(x, u) 7→ D(x,u)Lx

Expresion local:

Dados una carta natural (U ; qi, vi) de TQ y el correspondiente sistema canonico de coordenadas (FL(U); qi, pi)en T∗Q, la expresion local de FL es

qi FL = qi , pi FL =∂L∂vi

; i = 1, . . . , n

Las coordenadas pi reciben el nombre de momentos generalizados asociados a las coordenadas de posicionqi.

Una caracterıstica relevante de la transformacion de Legendre esta puesta de manifiesto por el siguiente:

Teorema 6 Sean Θ y Ω las formas canonicas de T∗Q. Entonces FL∗Θ = ΘL y FL∗Ω = ΩL.

( Dem. ) La expresion local de Θ es Θ = pidqi, de donde

FL∗Θ = (FL∗pi)d(qi FL) =∂L∂vi

dqi = ΘL

Teniendo en cuenta que FL∗ conmuta con la diferencial exterior, se tiene el resultado para Ω.

Trabajando tambien en coordenadas locales, es inmediato demostrar que:

Proposicion 30 L es una lagrangiana regular si, y solo si, FL es un difeomorfismo local.

( Dem. ) dado que L es C∞, la c.n.s. para que FL sea un difeomorfismo local es que DpFL sea unisomorfismo, ∀p ∈ TQ. Entonces basta con estudiar la expresion local de la jacobiana de FL en un punto,que es justamente la matriz hessiana de L en dicho punto.

Esto da origen a la siguiente:

Definicion 37 L es una lagrangiana hiperregular si FL es un difeomorfismo (global).

Comentario:

Si L es regular (pero no hiperregular), entonces FL(TQ) = U ⊂ T∗Q (donde U es un abierto).Si L es hiperregular, entonces FL(TQ) = T∗Q

De las lagrangianas singulares, las que resultan mas interesantes son:

Definicion 38 L es una lagrangiana casi-regular si:


1. FL(TQ) ≡ P es una subvariedad (cerrada) de T∗Q.

2. FL es una submersion en su imagen.

3. Las fibras FL−1(FL(p)), ∀p ∈ TQ, son subvariedades conexas de TQ.

2.3.2 Formalismo hamiltoniano canonico y equivalencia

En primer lugar, debe observarse que mediante la transformacion de Legendre, se ha pasado de trabajar enTQ (espacio de fases de posiciones y velocidades) a T∗Q (o un abierto o una subvariedad del mismo), lo quelocalmente equivale a usar coordenadas de posiciones y momentos para describir los estados del sistema. Porese motivo, T∗Q se denomina espacio de estados o de fases de posiciones-momentos.

Vamos a estudiar esencialmente el caso de sistemas hiperregulares. No obstante todos los resultados sonvalidos tambien en el caso de sistemas regulares (no hiperregulares), aunque entonces todas las referenciasa T∗Q, deben hacerse a FL(TQ) ⊂ T∗Q.

Proposicion 31 Sea (TQ,L) un sistema lagrangiano hiperregular. Entonces existe una unica funcion h ∈C∞(T∗Q) tal que FL∗h = EL.

Dicha funcion se denomina funcion hamiltoniana asociada al sistema (TQ,L), y la terna (T∗Q,Ω, h) esel sistema hamiltoniano canonico asociado a (TQ,L).

( Dem. ) Trivial al ser FL un difeomorfismo.

Puesto que EL representa al observable “energıa total” del sistema en el formalismo lagrangiano, lafuncion h representa el mismo observable en el formalismo hamiltoniano canonico.

Con todo ello, en este formalismo se puede establecer los postulados equivalentes a los enunciados parala dinamica lagrangiana, que son los siguiente:

Postulado 6 (Primer postulado del formalismo hamiltoniano canonico):

El espacio de configuracion Q de un sistema dinamico con n grados de libertad tiene estructura de variedaddiferencial n-dimensional.

El espacio de estados es el fibrado cotangente T∗Q de la variedad Q. Dicho espacio de estados recibe elnombre de espacio de estados o de fases de posiciones-momentos del sistema.

Postulado 7 (Segundo postulado del formalismo hamiltoniano canonico):

Los observables o magnitudes fısicas de un sistema dinamico son funciones de C∞(T∗Q).

El resultado de una medida de un observable es el valor que toma la funcion que lo representa en unpunto del espacio de estados (es decir, en un estado determinado, segun el primer postulado).

Postulado 8 (Tercer postulado del formalismo hamiltoniano canonico):

La dinamica del sistema esta recogida en la funcion hamiltoniana h ∈ C∞(T∗Q) del sistema

Postulado 9 ((Cuarto postulado del formalismo hamiltoniano canonico):

Las trayectorias dinamicas del sistema son las curvas integrales de un campo vectorial Xh ∈ X(T∗Q) quees solucion del sistema

i(Xh)Ω = dh (18)

Estas ecuaciones son las denominadas ecuaciones de Hamilton y el campo vectorial solucion (si existe) sellama campo dinamico hamiltoniano.


Definicion 39 Dado un sistema dinamico hamiltoniano, se denomina problema hamiltoniano planteado pordicho sistema a hallar un campo vectorial que satisfaga las condiciones (18).

Proposicion 32 Sea (T∗Q,Ω, h) el sistema hamiltoniano asociado a un sistema dinamico lagrangiano hiper-regular. Entonces existe un unico campo vectorial Xh ∈ X(TQ) que es solucion de la ecuacion (18).

( Dem. ) Es una consecuencia directa de que Ω es no degenerada.


En coordenadas naturales de T∗Q, es inmediato obtener que, si Xh = f i∂

∂qi+gi

∂

∂pi, entonces la ecuacion

(18) da lugar al sistema

f i =dqi

dt=

∂h

∂pi, gi =

dpidt

= − ∂h∂qi

que es un sistema de 2n ecuaciones de primer orden.

Ahora se puede establecer el siguiente teorema de equivalencia:

Teorema 7 Sea (TQ,L) un sistema lagrangiano hiperregular.

1. Si XL es el campo dinamico lagrangiano, entonces existe un unico campo vectorial FL∗XL ≡ Xh ∈X(T∗Q) que es solucion de la ecuacion (18)

Recıprocamente, si Xh es el campo dinamico hamiltoniano, entonces existe un unico campo vectorialFL−1∗ Xh ≡ XL ∈ X(TQ) que es solucion de la ecuacion (14)

2. De otra manera, si γ : I ⊂ R // Q es una curva solucion del sistema lagrangiano, y γ : I ⊂ R// TQ es su levantamiento canonico a TQ, entonces FL γ es una curva solucion del sistema

hamiltoniano asociado en T∗Q (esto es, es una curva integral de Xh).

Recıprocamente, si ζ : I ⊂ R // T∗Q es una curva solucion del sistema hamiltoniano asociado,entonces πQ ζ subida a TQ es una curva solucion del problema lagrangiano inicial.

( Dem. ) Para el primer apartado se tiene

0 = i(XL)ΩL − dEL = i(XL)(FL∗Ω)− d(FL∗h) = FL∗[i(Xh)Ω− dh]

y, dado que FL es difeomorfismo, esto equivale a la ecuacion (18)

La demostracion del segundo apartado es inmediata.

Comentario:

Si (TQ,L) es un sistema casi-regular y j0 : P → T∗Q es la inmersion homeomorfa natural deP ≡ FL(TQ) en T∗Q, entonces se puede demostrar que existe h0 ∈ C∞(P ) tal que FL∗0h0 = EL,donde FL0 : TQ // P esta definida por FL = j0 FL0. Esta funcion es la hamiltonianacanonica del sistema, y tiene la misma interpretacion fısica que h.

De este modo, tomando Ω0 = j∗0Ω, la terna (P,Ω0, h0) es en este caso el sistema hamiltonianocanonico asociado a (TQ,L), y todo lo anteriormente enunciado para (T∗Q,Ω, h) hace ahoraalusion a este sistema.

En particular, la ecuacion equivalente a (18) es

i(Xh0)Ω0 = dh0 ; Xh0 ∈ X(P )

que es, en general, incompatible y, en los casos mas interesantes, Xh0 existe solo en algunasubvariedad S → P . Ademas, dicha solucion no es unica, ya que si Xh0 es una solucion, entoncesXh0 + Z, con Z ∈ ker Ω0, es tambien solucion.


2.3.3 Discusion y comparacion

A modo de resumen de lo tratado en esta seccion, se van a senalar las caracterısticas esenciales de losformalismos lagrangiano y hamiltoniano canonico de los sistemas dinamicos lagrangianos.

En el formalismo lagrangiano se tiene que:

1. La descripcion local del mismo se basa en los siguientes puntos:

(a) Para describir localmente los estados del sistema se han utilizado: las coordenadas generalizadas(qi) (i = 1, . . . , n), que representan los grados de libertad del sistema, y las velocidades general-izadas (vi) correspondientes a cada una de las coordenadas generalizadas.

(b) La informacion dinamica del sistema esta contenida en la funcion lagrangiana del sistema, L(qi, vi).

(c) La evolucion dinamica del sistema esta descrita por las ecuaciones de Euler-Lagrange

ddt∂L∂vi− ∂L∂qi

= 0 ,dqi

dt= vi

que es un sistema de n ecuaciones de segundo orden en las variables qi.

(d) El sistema dinamico es regular si det(

∂2L∂vi∂vj

(q, v))6= 0 en todos los puntos (q, v). En este caso,

dadas unas condiciones iniciales (esto es, un estado del sistema), la solucion de las ecuaciones esunica.

2. En el contexto de la descripcion geometrica, las caracterısticas anteriores se traducen respectivamenteen que:

(a) El espacio de estados del sistema es el fibrado tangente TQ a la variedad Q que constuye el espaciode configuracion del sistema.

(b) En lo concerniente a la dinamica, la funcion lagrangiana L ∈ C∞(TQ) es depositaria de toda lainformacion dinamica del sistema.

(c) A partir de dicha funcion, y utilizando las estructuras geometricas propias del fibrado tangente(el endomorfismo canonico y el campo de Liouville), se construyen la 2-forma de Lagrange ΩLy la energıa lagrangiana del sistema, EL, con las cuales se obtienen las ecuaciones de evolucionlagrangianas que son: i(XL)ΩL = dEL, junto con la condicion de segundo orden J(XL) = ∆. Lascurvas integrales de XL ∈ X(TQ) son las trayectorias dinamicas del sistema.

(d) El sistema dinamico es regular si ΩL es una forma no degenerada. En tal caso el campo vectorialXL es unico y es, necesariamente una E.D.S.O.

En lo que respecta al formalismo hamiltoniano canonico se tiene que:

1. La descripcion local del mismo se basa en los siguientes puntos:

(a) Los estados del sistema van a estar ahora descritos por medio de coordenadas de posicion gener-alizadas (qi) y sus correspondientes momentos generalizados (pi).

(b) La informacion dinamica del sistema esta contenida en la funcion hamiltoniana del sistema,h(qi, pi).

(c) La evolucion dinamica del sistema esta descrita por las ecuaciones de Hamilton

dqi

dt=

∂h

∂pi,

dpidt

= − ∂h∂qi

que es un sistema de 2n ecuaciones de primer orden.

(d) El sistema dinamico es regular si FL es un difeomorfismo (local).En este caso, dadas unas condiciones iniciales (esto es, un estado del sistema), la solucion de lasecuaciones es unica.


2. En el contexto de la descripcion geometrica, las caracterısticas anteriores se traducen respectivamenteen que:

(a) El espacio de estados del sistema es FL(TQ), y puede ser, o bien el fibrado cotangente T∗Q a lavariedad Q que constituye el espacio de configuracion del sistema, o bien un abierto U ⊂ T∗Q, ouna subvariedad P → T∗Q (segun la regularidad de L).

(b) La informacion dinamica estara dada por h ∈ C∞(T∗Q), (resp. h0 ∈ C∞(P )): la funcion hamil-toniana.

(c) Las ecuaciones de evolucion hamiltonianas se obtienen a partir de esta funcion y de la 2-formacanonica natural del fibrado cotangente Ω, y son i(Xh)Ω = dh (resp. i(Xh0)Ω0 = dh0). Lascurvas integrales del campo vectorial solucion son las trayectorias dinamicas del sistema.

(d) El sistema dinamico es regular si FL es un difeomorfismo (local), en cuyo caso FL(TQ) = U ⊆T∗Q.

Entre las razones que hacen especialmente interesante este formalismo se pueden citar las siguientes:

• En el ambito local, es manifiesto el caracter asimetrico que las variables qi y vi tienen en las ecuacionesde evolucion lagrangianas, lo cual no ocurre en las ecuaciones de evolucion del formalismo hamiltonianocon las coordenadas qi y pi.

• En el contexto geometrico, en el formalismo lagrangiano, la 2-forma de Lagrange y la energıa la-grangiana, que aparecen en las ecuaciones dinamicas, se obtienen a partir de la funcion lagrangiana yde las estructuras canonicas del fibrado tangente. Esto significa que la informacion dinamica se hallarepartida entre la 2-forma lagrangiana y la energıa lagrangiana.

En contraposicion, en el formalismo hamiltoniano canonico, los elementos que desempenan analogopapel en las ecuaciones dinamicas son la 2-forma canonica natural del fibrado cotangente y la funcionhamiltoniana; la primera de las cuales solo contiene informacion geometrica y la segunda solo infor-macion dinamica.

• Finalmente, las caracterısticas del formalismo hamiltoniano canonico lo hacen idoneo con vistas a laposible cuantizacion del sistema fısico.

A modo de conclusion, un sistema dinamico lagrangiano (regular) se puede tambien interpretar comouna terna (TQ,ΩL, EL) si se trata del formalismo lagrangiano, o una terna (T∗Q,Ω, h) (resp. (P,Ω0, h0)),si se trata del formalismo hamiltoniano canonico. En ambos casos, los espacios de estados son variedadesdiferenciales dotados de 2-formas diferenciales cerradas (no degeneradas, si los sistemas son regulares).


3 Sistemas dinamicos hamiltonianos

En la seccion anterior se han estudiado los sistemas dinamicos lagrangianos, de los que, segun se comento,los sistemas dinamicos Newtonianos conservativos eran un caso particular.

Sin embargo, no todos los sistemas fısicos (sean o no de tipo mecanico) pueden ser catalogados dentro deesta categorıa. En efecto: una de las caracterısticas de los sistemas lagrangianos era que geometricamente,su espacio de fases tenıa la estructura de fibrado tangente (o cotangente, si se trataba del formalismohamiltoniano canonico dual). No obstante, existen sistemas dinamicos cuyos espacios de estados no tienenestructura de fibrado tangente o cotangente 15.

Para poder describir geometricamente estos sistemas es, por tanto, necesario ampliar la gama de var-iedades diferenciales admisibles como espacio de fases (estas seran, esencialmente, las variedades simplecticasy presimplecticas), y definir un nuevo tipo de sistema dinamico que englobe los ya tratados.

3.1 Nociones de geometrıa simplectica

Dado que en el tratamiento geometrico de los sistemas dinamicos regulares juegan un papel fundamental lasdenominadas variedades simplecticas y presimplecticas, comenzaremos, en esta seccion, introduciendo losconceptos y propiedades geometricas basicas concernientes a este tipo de variedades.

3.1.1 Variedades simplecticas y presimplecticas

Definicion 40 (a) Sea M una variedad diferencial. Una forma simplectica 16 en M es una 2-forma difer-encial Ω ∈ Ω2(M) tal que:

1. Es cerrada (por tanto, escribiremos Ω ∈ Z2(M)) : dΩ = 0.

2. Es no degenerada (es decir, su rango es maximo): Ωm(Xm, Ym) = 0, ∀m ∈ M , ∀Y ∈ X(M),⇔ X = 0.

Si la forma es cerrada y degenerada entonces se dice que es una forma presimplectica.

(b) Una variedad simplectica (resp. variedad presimplectica) es una variedad diferencial dotada de unaforma simplectica (resp. presimplectica), esto es, una pareja (M,Ω).

Si la forma simplectica (resp. presimplectica) es exacta (∃Θ ∈ Ω1(M) tal que dΘ = Ω ), entoncesΩ es una forma simplectica (resp. presimplectica) exacta, (M,Ω) es una variedad simplectica (resp.presimplectica) exacta y Θ recibe el nombre de potencial simplectico (resp. presimplectico).

Comentarios:

• Observese que una 2-forma diferencial no degenerada solo puede estar definida en variedades de di-mension par, por tanto una variedad simplectica tiene dimension par: dimM = 2n.

• Dado que, de acuerdo con el lema de Poincare, toda forma cerrada es localmente exacta, si Ω es unaforma simplectica o presimplectica, para todo punto existe un entorno abierto de coordenadas U ⊂My una forma ϑ ∈ Ω1(U) tal que Ω |U= dϑ. Se denomina potencial simplectico (presimplectico) local atoda 1-forma ϑ que satisfaga esta condicion.

Es evidente que si ϑ ∈ Ω1(U) y ϑ′ ∈ Ω1(U ′) son dos potenciales simplecticos o presimplecticos, entoncesϑ′ = ϑ+ df en U ∩ U ′, para algun f ∈ C∞(U ∩ U ′).

15 Por ejemplo, el sistema que describe clasicamente una partıcula con spin (vease [16]).16 El termino simplectico proviene del griego “σιµπQλεκτικo”. Fue introducido por H. Weyl, quien sustituyo la raiz latina

del termino “complejo”, para hacer referencia a la estructura del grupo Sp(n,C). Aun cuando la estructura de las variedadessimplecticas habıa sido implıcitamente considerada anteriormente, no es hasta los anos 50 cuando la geometrıa simplecticaaparece como rama diferenciada en la Geometrıa Diferencial, siendo A. Lichnerowicz el primero que utilizo el termino variedadsimplectica.


El siguiente teorema muestra como es la estructura local de las variedades simplecticas.

Teorema 8 (de Darboux) Sea (M,Ω) una variedad simplectica 2n-dimensional. Para todo punto m ∈Mexiste un entorno abierto que es el dominio de una carta local (U ;xi, yi)i=1...n, tal que la forma simplecticaadopta la expresion

Ω |U= dxi ∧ dyi

Estas cartas locales se denominan cartas simplecticas y sus coordenadas coordenadas canonicas o coorde-nadas de Darboux de la variedad simplectica.

(Dem.) En primer lugar hay que recordar un conocido resultado de algebra lineal que enuncia que:

Lema 3 Dado un espacio vectorial de dimension 2n, para toda forma bilineal antisimetrica de rango 2n,existe una base (ek) (k = 1, . . . , 2n), de dicho espacio con base dual (αk) tal que la forma en cuestion se

expresa comon∑i=1

αi ∧ αi+n o, lo que es lo mismo, respecto a la cual la matriz de la forma es

(0n In−In 0n

)donde In designa la matriz identidad de orden n.

Teniendo esto en cuenta, para demostrar el teorema sera suficiente con demostrar que para cada puntom ∈M existe una carta local U ⊂M , con m ∈ U , en la cual la expresion de la forma simplectica es constante.Se puede, entonces, considerar en U la forma Ω1 ∈ Ω2(U) cuya expresion es constante (en unas determinadascoordenadas) y tal que Ω1(p) = Ω(m), ∀p ∈ U . Se trata de probar que existe una transformacion F1 : U

// U tal que F ∗1 Ω = Ω1 (esto es, la expresion de Ω en esas coordenadas es Ω1).

Para ello se introduce la siguiente forma diferencial Ωt ∈ Ω2(M × R)

Ωt ≡ Ω− t(Ω1 − Ω) (0 ≤ t ≤ 1)

Esta forma tiene las siguientes propiedades:

1. Para cada t ∈ [0, 1], Ωt es cerrada.

2. Es evidente que, para cada t ∈ [0, 1], Ωt(m) = Ω(m) y es, por tanto, no degenerada en m; luego defineun isomorfismo lineal entre TmM y T∗mM . Entonces, puesto que el conjunto de isomorfismos linealesde un espacio vectorial en su dual es abierto, existira un entorno V de m (se puede tomar una bola)en el cual Ωt es no degenerada para todo t 17.

Por otra parte, al ser Ω1 − Ω cerrada, por el lema de Poincare, existe un entorno W de m en el cualΩ1 − Ω = dΘ, para alguna 1-forma Θ ∈ Ω1(W ), para la cual se puede suponer que Θ(m) = 0. TomeseU = V ∩W . Considerese, entonces, el campo vectorial (dependiente del tiempo) Xt ∈ X(M × R) definidopor

i(Xt)Ωt = −Θ

cuya existencia esta asegurada por el hecho de que Ωt es no degenerada, y para el cualXt(m) = 0, obviamente.Sea Ft el flujo de Xt en U , con condicion inicial F0 = Id. Utilizando, ahora, la relacion entre flujos y derivadasde Lie que, para campos vectoriales independientes del tiempo X ∈ X(M) con flujo Ft es

ddt

(F ∗t η) = F ∗t (L(X)η) , ∀η ∈ Ωp(M)

17 Y, dado que, en un entorno suficientemente pequeno V de m, se puede identificar V con TmV , es factible considerar elpropio V como espacio vectorial lineal.


se obtiene que, al ser Xt dependiente del tiempo,

ddt

(F ∗t Ωt) = F ∗t (L(Xt)Ωt) + F ∗tddt

Ωt = F ∗t d i(Xt)Ωt + F ∗t (Ω1 − Ω)

= F ∗t (−dΘ + (Ω1 − Ω)) = F ∗t (−dΘ + dΘ) = 0

y de aquı, integrando ambos miembros

0 =∫ 1

0

ddt

(F ∗t Ωt)dt = F ∗1 Ω1 − F ∗0 Ω0 = F ∗1 Ω1 − Ω

por consiguienteF ∗1 Ω1 = Ω

de modo que F1 da el cambio de coordenadas que transforma Ω en la forma constante Ω1. En esas coor-

denadas, que denotamos (xi, yi), la base a la que hace referencia el lema 3 es

∂

∂xi,∂

∂yi

, y su dual es

dxi,dyi; con lo que la aplicacion de dicho lema concluye la demostracion.

Comentarios:

• Para variedades presimplecticas existe un resultado similar. En efecto, si (M,Ω) una var-iedad presimplectica (2n+ k)-dimensional y rang Ω = 2n, entonces para todo punto m ∈Mexiste un entorno abierto que es el dominio de una carta local (U ;xi, yi, zj)i=1...n,j=1,...,k,tal que

Ω |U= dxi ∧ dyi

Estas cartas locales se denominan cartas presimplecticas y sus coordenadas coordenadascanonicas o coordenadas de Darboux de la variedad presimplectica.

• El ejemplo arquetıpico de variedad simplectica lo constituye el fibrado cotangente de unavariedad diferencial (vease el teorema 5). En este caso, ademas, las cartas naturales delfibrado son tambien cartas simplecticas.

Finalmente, como consecuencia inmediata de la definicion se tiene que:

Proposicion 33 Toda variedad simplectica es una variedad orientada.

( Dem. ) En efecto, pues a partir de la forma simplectica se puede definir una forma de volumen Ωn :=∧nΩ ∈ Ω2n(M).

Esta forma de volumen se denomina forma de Liouville.

3.1.2 Isomorfismo canonico. Campos hamiltonianos

El hecho de que una forma simplectica sea necesariamente no degenerada tiene importantes consecuencias.La primera de ellas es que toda forma diferencial Ω ∈ Ωp(M) permite definir una aplicacion lineal

Ω : TM −→ T∗M(p,Xp) 7→ (p, i(Xp)Ωp)

y su extension natural (que se indica con el mismo sımbolo)

Ω : X(M) −→ Ωp−1(M)X 7→ i(X)Ω

Dada una variedad diferencial M (de dimension par) y una forma cerrada Ω ∈ Ω2(M); es obvio que Ωes no degenerada (simplectica) si, y solo si, Ω es un isomorfismo. Entonces:


Definicion 41 Si (M,Ω) es una variedad simplectica, Ω se denomina isomorfismo canonico inducido porΩ.

Dada una variedad simplectica (M,Ω), toda funcion f ∈ C∞(M) tiene unıvocamente asociado un campovectorial Xf ∈ X(M) mediante la aplicacion

Ω−1 d: C∞(M) d−→ Ω1(M) Ω−1

−→ X(M)

esto es, definido por Xf := Ω−1(df) o, lo que es lo mismo, implıcitamente por

i(Xf )Ω := df (19)

Comentarios:

• Observese que la aplicacion Ω−1 d no es sobreyectiva, esto es, aunque el isomorfismo canonico permiteasociar a todo campo vectorial X una 1-forma diferencial i(X)Ω, no es posible siempre asociarle unafuncion ya que, para ello, dicha forma tendrıa que ser necesariamente exacta, lo que no es el casogeneral (de hecho, en general, ni siquiera es cerrada).

• Tampoco la aplicacion Ω−1d es inyectiva, dado que dos funciones que difieran en una constante tienenasociado el mismo campo hamiltoniano.

Como consecuencia del primer comentario, se puede dar la siguiente definicion:

Definicion 42 Sea una variedad simplectica (M,Ω). X ∈ X(M) es un campo hamiltoniano (global) sii(X)Ω es una forma exacta.

En este caso, la funcion f ∈ C∞(M) tal que i(X)Ω = df se denomina funcion hamiltoniana (global) delcampo X.

Se designa por Xh(M) al conjunto de los campos hamiltonianos globales en M .

Observese que, teniendo en cuenta el comentario previo a la ecuacion (19), toda funcion f ∈ C∞(M) esuna funcion hamiltoniana de un campo hamiltoniano global Xf .

No obstante, esta exigencia sobre los campos vectoriales es bastante restrictiva y, en lo que concierne alinteres fısico, es suficiente con lo siguiente:

Definicion 43 Sea una variedad simplectica (M,Ω). X ∈ X(M) es un campo hamiltoniano local si i(X)Ωes una forma cerrada.

En este caso, el lema de Poincare asegura, para todo punto m ∈ M , la existencia de un entorno U 3 my de una funcion f ∈ C∞(U) tal que i(X)Ω = df en U . Dicha funcion se denomina funcion hamiltonianalocal del campo X en U .

Se designa por Xlh(M) al conjunto de los campos hamiltonianos locales en M .

Comentarios:

• Es evidente que Xh(M) ⊂ Xlh(M). Ası pues, todo lo que se enuncie a partir de ahora para camposlocalmente hamiltonianos sera tambien valido para los campos hamiltonianos globales.

• Las anteriores definiciones son validas tambien en variedades presimplecticas. La diferencia es que, enese caso, la aplicacion Ω no es un isomorfismo porque no es sobreyectiva y, por tanto, no toda funcionen la variedad tiene asociado un campo vectorial hamiltoniano.



Si (U ;xi, yi) es una carta simplectica, se tiene que

X |U = Ai∂

∂xi+Bi

∂

∂yi

df |U =∂f

∂xidxi +

∂f

∂yidyi

entonces el campo X es la solucion de la ecuacion (19), es decir:

0 = (i(X)Ω− df) |U=(−Bi −

∂f

∂xi

)dxi +

(Ai − ∂f

∂yi

)dyi

es decir,

X |U=∂f

∂yi

∂

∂xi− ∂f

∂xi∂

∂yi

y sus curvas integrales se obtienen, por consiguiente, como solucion del sistema

dpi

dt= − ∂f

∂xi,

dxidt

=∂f

∂yi

que se denominan ecuaciones de Hamilton del campo localmente hamiltoniano.

Un importante resultado tecnico que sera de posterior utilidad es el siguiente:

Lema 4 Sea (M,Ω) una variedad simplectica. Para todo m ∈M existen Xj ∈ Xlh(M), (j = 1, . . . , 2n), talque Xj(m) es una base de TmM 18.

( Dem. ) Es inmediata: basta con utilizar cartas simplecticas.

En adelante vamos a centrar nuestro estudio en variedades simplecticas.

3.1.3 Formas invariantes

La nocion de campo hamiltoniano que se acaba de introducir esta ıntimamente relacionada con las propiedadesde la forma simplectica. Vamos a dedicar este apartado a explorar esta relacion.

En primer lugar, introduciremos el siguiente concepto:

Definicion 44 Sea una variedad diferencial M y X ∈ X(M). β ∈ Ωp(M) es una forma invariante (abso-luta) por el campo X si L(X)β = 0.

Comentario:

Recordando la interpretacion de la derivada de Lie, el que una forma sea invariante absoluta porX significa que es invariante a lo largo de las curvas integrales de X. Entonces, esto es equivalentea pedir que, si Ft designa el flujo del campo vectorial X, F ∗t β = β.

Con esta nomenclatura, estamos en condiciones de enunciar el siguiente resultado que, a menudo, seutiliza como definicion alternativa de campo hamiltoniano:

Teorema 9 Sea (M,Ω) una variedad simplectica (resp. presimplectica). X ∈ X(M) es un campo hamilto-niano local si y solo si Ω es una forma invariante absoluta por X.

18 Esto es, los campos localmente hamiltonianos expanden localmente el fibrado tangente a M .


( Dem. ) Por ser Ω una forma cerrada resulta que

L(X)Ω = i(X)dΩ + d i(X)Ω = d i(X)Ω = 0 ⇔ i(X)Ω ∈ Z1(M) ⇔ X ∈ Xlh(M)

Comentario:

Este resultado relaciona de manera inequıvoca el concepto de campo hamiltoniano con la propiedadde que la Ω sea una forma cerrada, aunque no es tan preciso como la definicion dada en el apartadoanterior, ya que no permite distinguir los campos hamiltonianos globales.

De este teorema se deduce el siguiente corolario:

Teorema 10 (de Liouville): Sea (M,Ω) una variedad simplectica y sea Ωn la forma de volumen de Liouville.Entonces L(X)Ωn = 0, para todo campo X ∈ Xlh(M).

( Dem. ) Inmediato.

Ademas, es posible probar que:

Proposicion 34 Sea (M,Ω) una variedad simplectica (resp. presimplectica). Xlh(M) es cerrado para elparentesis de Lie de campos vectoriales y es un algebra de Lie (real).

( Dem. ) Se trata de probar que, para todo par X,Y ∈ Xlh(M), [X,Y ] ∈ Xlh(M). Teniendo en cuenta larelacion

i([X,Y ])Ω = L(X) i(Y )Ω− i(Y ) L(X)Ω

y el teorema 9, se tiene que, si i(Y )Ω 'U

df ,

i([X,Y ])Ω = L(X) i(Y )Ω 'U

L(X)df = d L(X)f

La linealidad, antisimetrıa e identidad de Jacobi son inmediatas.

Se acaba de probar que en una variedad simplectica (M,Ω), la forma simplectica y la forma de Liouvilleson invariantes por todos los campos hamiltonianos locales. Cabe, ahora, preguntarse si existe algunaotra forma diferencial en Ωp(M) que tenga esta misma propiedad o, lo que es lo mismo, como son todaslas formas diferenciales que la satisfacen. La respuesta a esta cuestion esta en un teorema cuya versionoriginal fue establecida por Lee Hwa Chung [8] y en el cual se estudiaba la unicidad de las formas integralesinvariantes por transformaciones locales generadas por los flujos de los campos localmente hamiltonianos 19.Su enunciado es el siguiente:

Teorema 11 Sea (M,Ω) una variedad simplectica y α ∈ Ωp(M) una forma invariante absoluta para todocampo X ∈ Xlh(M). Entonces:

1. Si p = 2r − 1, con r ∈ N, (esto es, p es impar), entonces α = 0.

2. Si p = 2r, con r ∈ N, (esto es, p es par), entonces α = c

(r veces)︷︸︸︷Ω ∧ . . . ∧ Ω ≡ c(∧Ω)r , con c ∈ R.

( Dem. ) Vamos a hacer la demostracion para el caso p ≤ 2 que es el unico que utilizaremos posteriormente(para la demostracion del caso general, veanse [13], [4]).

19 La demostracion de dicho teorema es local, haciendo uso en ella de cartas de coordenadas simplecticas.


Puesto que α es invariante por Xlh(M), para todo X ∈ Xlh(M) se tiene que

0 = L(X)α = d i(X)dα+ i(X)dα ⇔ d i(X)α = − i(X)dα (20)

Ahora bien, para todo par X,X ′ ∈ Xlh(M) existen U ⊂ M y f, g ∈ C∞(U) tal que i(X)Ω 'U

df y

i(X ′)Ω 'U

dg (de ahora en adelante escribiremos X|U ≡ Xf y X ′|U ≡ Xg). Considerese, entonces, el campo

localmente hamiltoniano Xh ∈ Xlh(M) cuya expresion en U es Xh 'UfXg + gXf ; su funcion hamiltoniana

local en U es h = fg ∈ C∞(U) ya que

i(Xh)Ω 'Ui(fXg + gXf )Ω = f i(Xg)Ω + g i(Xf )Ω = fdg + gdf ≡ dh

Ası puesi(Xh)α '

Uf i(Xg)α+ g i(Xf )α

y entoncesd i(Xh)α '

Udf ∧ i(Xg)α+ fd i(Xg)α+ dg ∧ i(Xf )α+ gd i(Xf )α

Pero, teniendo en cuenta (20),

d i(Xh)α = − i(Xfh)dα 'U−f i(Xg)dα− g i(Xf )dα = fd i(Xg)α+ gd i(Xf )α

y comparando ambos resultados se concluye que

df ∧ i(Xg)α+ dg ∧ i(Xf )α 'U

0 (21)

Tomando en esta expresion Xf = Xg, esto es f = g, se obtiene que, para toda f ∈ C∞(U),

df ∧ i(Xf )α 'U

0 (22)

Ahora hay dos posibilidades:

1. Si p = 1 entonces i(Xf )α ∈ C∞(M) y esta ultima igualdad conduce a que i(Xf )α = 0, para todo Xf ∈Xlh(M). Teniendo en cuenta que, segun el lema 4, los campos localmente hamiltonianos expandenlocalmente TM , se tendra que i(X)α '

U0, para todo X ∈ X(U), y ello implica necesariamente que

α 'U

0 (en cualquier U) y, por tanto, α = 0.

2. Si p = 2, entonces se ha de concluir que:

• O bien i(Xf )α = 0.• O bien i(Xf )α '

UηXfdf , donde ηXf ∈ C∞(U).

En el primer caso, razonando como en el punto anterior se concluirıa que α = 0. En el segundo caso,volviendo a la expresion (21) se obtiene que

df ∧ dgηXg + dg ∧ dfηXf 'U

0 ⇔ df ∧ dg(ηXg − ηXf ) 'U

0

para todas f, g ∈ C∞(U), luego ha de ser ηXf = ηXg ≡ η; esto es, la funcion η es independiente delcampo localmente hamiltoniano elegido.

Ası pues, para todo Xf ∈ Xlh(M), se tiene que i(Xf )α 'Uηdf , con η ∈ C∞(M), entonces

i(Xf )α 'Uηdf = η i(Xf )Ω = i(Xf )(ηΩ)

pero, teniendo de nuevo en cuenta el lema 4, esta igualdad lleva a que

i(X)(α− ηΩ) 'U

0

para todo X ∈ X(M); de donde se concluye que α = ηΩ. Finalmente, por ser α invariante por todocampo localmente hamiltoniano, se tendra, para todo Y ∈ Xlh(M),

0 = L(Y )α = L(Y )(ηΩ) = (L(Y )η)Ω + η L(Y )Ω = (L(Y )η)Ω

De donde L(Y )η = 0, resultado que, en virtud nuevamente del lema 4, es valido para todo Y ∈ X(M);luego η = c (constante) y ası α = cΩ.


Comentarios:

• Ası pues, las unicas formas invariantes absolutas por todos los campos hamiltonianos locales sonmultiplos de productos exteriores de la estructura simplectica y, por consiguiente, solo pueden ser degrado par.

• Este resultado tiene una importancia capital en la caracterizacion de las transformaciones canonicas,como se pondra de manifiesto mas adelante.

• Para veriedades presimplecticas se puede demostrar tambien este mismo resultado [6].

3.1.4 Parentesis de Poisson

En una variedad simplectica, la forma simplectica permite introducir de manera natural ciertas operacionesbien conocidas en el ambito de la Mecanica Analıtica. A saber:

Definicion 45 Sea (M,Ω) una variedad simplectica. Se denomina parentesis de Lagrange de dos camposvectoriales X,Y ∈ X(M) a la aplicacion bilineal

( , ) : X(M)×X(M) −→ C∞(M)X,Y 7→ (X,Y )

definida por(X,Y ) := Ω(X,Y ) := i(Y ) i(X)Ω

Comentarios:

• Observese que el resultado del parentesis de Lagrange de dos campos es una funcion. A este respecto,no debe confundirse esta operacion con el parentesis de Lie de los mismos campos, cuyo resultado esotro campo vectorial.

• De la antisimetrıa de Ω se deduce inmediatamente la de esta operacion, esto es, (X,Y ) = −(Y,X).

Teniendo en cuenta (19), a partir de este concepto se obtiene el siguiente:

Definicion 46 Sea (M,Ω) una variedad simplectica. Se denomina parentesis de Poisson de dos funcionesf, g ∈ C∞(M) al parentesis de Lagrange de sus campos hamiltonianos asociados, esto es, a la aplicacionbilineal

, : C∞(M)× C∞(M) −→ C∞(M)f, g 7→ f, g

definida porf, g := Ω(Xf , Xg) := i(Xg) i(Xf )Ω


Si (U ;xi, yi) es una carta simplectica y

X |U = Ai∂

∂xi+Bi

∂

∂yi

Y |U = Ci∂

∂xi+Di

∂

∂yi

entonces(X,Y ) |U= −BiCi +AiDi


Por otra parte,

f, g |U=∂f

∂xi∂g

∂yi− ∂f

∂yi

∂g

∂xi

En particular, para las coordenadas canonicas xi, yi se tiene

xi, xj = 0 , yi, yj = 0 , xi, yj = δij

Las principales propiedades del parentesis de Poisson son:

Proposicion 35 Sea (M,Ω) una variedad simplectica.

1. Antisimetrıa: f, g = −g, f.

2. Identidad de Jacobi:f, g, h+ g, h, f+ h, f, g = 0

3. f, g = L(Xg)f = −L(Xf )g

4. Xf,g = [Xg, Xf ].

( Dem. )

1. Inmediata a partir de la definicion.

2. Es una consecuencia inmediata del hecho de que Ω sea cerrada.

3. Teniendo en cuenta la formula de Cartan para la derivada de Lie:

f, g = i(Xg) i(Xf )Ω = i(Xg)df = L(Xg)f

De analoga manera se prueba que f, g = −L(Xf )g.

4. El enunciado es equivalente a que

Ω([Xg, Xf ]) = i([Xg, Xf ])Ω = df, g

Recordando la proposicion 34 y operando resulta

i([Xg, Xf ])Ω = L(Xg) i(Xf )Ω = L(Xg)df = d L(Xg)df = df, g (23)

Comentarios:

• Las dos primeras propiedades establecen que C∞(M) con el parentesis de Poisson es un algebra de Lie(real).

• La tercera propiedad permite dar una interpretacion geometrica del parentesis de Poisson de dosfunciones: su resultado es una medida de la variacion de una de ellas a lo largo de las curvas integralesdel campo hamiltoniano asociado a la otra.

• La cuarta propiedad establece que existe un (anti) homomorfismo de algebras de Lie entre X(M),dotado con el parentesis de Lie de campos vectoriales, y C∞(M), dotado con el parentesis de Poissonde funciones.

Utilizando, de nuevo, el isomorfismo canonico, y teniendo presente la expresion (23) se puede establecerla siguiente generalizacion:


Definicion 47 Sea (M,Ω) una variedad simplectica. Se denomina parentesis de Poisson de dos 1-formasα, β ∈ Ω1(M) a la aplicacion bilineal

, : Ω1(M)×Ω1(M) −→ Ω1(M)α, β 7→ α, β

definida porα, β := Ω[Xα, Xβ ]

donde Xα = Ω−1(α) y Xβ = Ω−1(β).

Por la propia definicion, es evidente que:

Proposicion 36 Sea (M,Ω) una variedad simplectica. Entonces, para todas f, g ∈ C∞(M),

df, g = df, dg

Las propiedades del parentesis de Poisson de 1-formas son obviamente analogas a las del parentesis dePoisson de funciones.

3.1.5 Transformaciones canonicas y simplectomorfismos

Ya se vio en la seccion anterior como las propiedades de la estructura simplectica permitıan definir el conceptode campo hamiltoniano local y como las curvas integrales de estos campos estan determinadas en las cartassimplecticas por las ecuaciones de Hamilton. Tambien se vera que es precisamente este tipo de camposvectoriales el adecuado para describir los sistemas dinamicos. En otras palabras, hay una profunda relacionentre la dinamica de los sistemas fısicos y las propiedades geometricas de sus espacios de fases.

En este sentido, desde un punto de vista dinamico, se comprende que las transformaciones que seran, enun principio, mas relevantes son aquellas que preservan la forma de las ecuaciones del movimiento, lo que,traducido a nuestro caso, significa que transforman campos hamiltonianos en campos hamiltonianos. Enconsecuencia se puede definir:

Definicion 48 Sean (M1,Ω1) y (M2,Ω2) variedades simplecticas tales que dimM1 = dimM2, y un difeo-morfismo Φ ∈ Dif (M1,M2). Φ es una transformacion canonica entre estas variedades si transformabiunıvocamente todo campo hamiltoniano local en otro campo hamiltoniano local, esto es Φ∗(Xlh(M1)) =Xlh(M2).

En lo que respecta a los aspectos geometricos, las transformaciones mas interesantes entre variedadessimplecticas son las siguientes:

Definicion 49 Sean (M1,Ω1) y (M2,Ω2) variedades simplecticas tales que dimM1 = dimM2, y un difeo-morfismo Φ ∈ Dif (M1,M2). Φ es un simplectomorfismo (o tambien una transformacion simplectica) entreestas variedades si preserva la estructura simplectica de estas variedades, esto es, Φ∗Ω2 = Ω1.

Dado que los campos hamiltonianos se definen a partir de la estructura simplectica, es de esperar algunarelacion entre estos tipos de transformaciones. De hecho, el teorema de Lee Hwa Chung permite probar que,en esencia, ambos conceptos se confunden:

Teorema 12 Sean (M1,Ω1) y (M2,Ω2) variedades simplecticas tales que dimM1 = dimM2, y un difeomor-fismo Φ ∈ Dif (M1,M2). La condicion necesaria y suficiente para que Φ sea una transformacion canonica esque Φ∗Ω2 = cΩ1, c ∈ R.


( Dem. ) (=⇒) Si Φ es una transformacion canonica entonces, ∀X1 ∈ Xlh(M1), Φ∗X1 = X2 ∈ Xlh(M2) y,de acuerdo con el teorema 9, L(X2)Ω2 = 0, entonces

0 = Φ∗(L(X2)Ω2) = L(Φ−1∗ X2)(Φ∗Ω2) = L(X1)(Φ∗Ω2)

por lo que, teniendo en cuenta el teorema de Lee Hwa Chung, se ha de concluir que Φ∗Ω2 = cΩ1, c ∈ R.

(⇐=) Recıprocamente, ∀X1 ∈ Xlh(M1) se tiene que L(X1)Ω1 = 0 y, por hipotesis, Φ∗Ω2 = cΩ1,entonces

0 = Φ∗−1

(L(X1)Ω1) = L(Φ∗X1)(Φ∗−1

Ω1) =1c

L(Φ∗X1)Ω2

luego, por el teorema 9, Φ∗X1 ∈ Xlh(M2), por consiguiente Φ es una transformacion canonica.

Comentarios:

• La constante c que aparece en el teorema precedente se denomina valencia de la transformacioncanonica. Lo mas habitual es trabajar con transformaciones en las que c = 1 (esto es, simplecto-morfismos), que son las denominadas transformaciones canonicas univalentes o restringidas. Tambiense utiliza otra terminologıa, denominandose simplemente transformaciones canonicas a las de valenciac = 1, y a las restantes transformaciones canonicas generalizadas o simplectomorfismos generalizados.

• Observese que este teorema establece la conexion entre las dos definiciones del comienzo. Ası, losconceptos de transformacion canonica univalente y de simplectomorfismo son equivalentes.

• Todas estas definiciones y propiedades son tambien validas para variedades presimplecticas. Se hablaentonces de presimplectomorfismos.

Un resultado fundamental es el siguiente

Proposicion 37 Sea (M,Ω) una variedad simplectica (resp. presimplectica). X ∈ Xlh(M) si, y solo si, suflujo es un grupo de simplectomorfismos (resp. presimplectomorfismos) infinitesimales.

( Dem. ) La demostracion es inmediata ya que, si Ft designa el flujo de X, entonces

L(X)Ω = 0 ⇔ F ∗t Ω− Ω = 0

Finalmente es facil probar que:

Proposicion 38 El conjunto de las transformaciones canonicas de una variedad simplectica (resp. pres-implectica) (M,Ω), con la operacion de composicion, tiene estructura de grupo.

En concreto, el grupo de todos los simplectomorfismos (resp. presimplectomorfismos) de una variedadsimplectica (resp. presimplectica) se designa por Sp(M,Ω), y tiene una importancia capital en el estudio delas simetrıas de los sistemas dinamicos.

3.1.6 Caracterizacion de transformaciones canonicas

El ultimo teorema enunciado tiene una serie de importantes corolarios, cuyos enunciados son tests alternativosdel caracter canonico (e.d., simplectico) de una transformacion. El mas importante de ellos hace referenciaa los parentesis de Poisson de funciones. Para ello, previamente hay que demostrar el siguiente resultado,que especifica basicamente como se transforman las funciones hamiltonianas:


Proposicion 39 Sean (M1,Ω1) y (M2,Ω2) variedades simplecticas tales que dimM1 = dimM2, y Φ ∈Dif (M1,M2) una transformacion canonica de valencia c. Si X1 ∈ Xlh(M1), sea X2 := Φ∗X1 ∈ Xlh(M2), ysean h1 ∈ C∞(U1) y h2 ∈ C∞(U2) funciones hamiltonianas locales de X1 y X2 en U1 ⊂M1 y U2 := Φ(U1) ⊂M2, respectivamente. Entonces

ch1 = Φ∗h2 + k , k ∈ R

( Dem. ) De acuerdo con el teorema anterior,

Φ∗−1

(i(X1)Ω1) |U1= i(Φ∗X1)(Φ∗−1

Ω1) |Φ(U1)=1ci(X2)Ω2 |U2=

1c

dh2

pero, por hipotesis, i(X1)Ω1 |U1= dh1, luego

Φ∗−1

(i(X1)Ω1) |U1= Φ∗−1

dh1 = d(Φ∗−1h1)

de donde, comparando ambas expresiones, se obtiene el resultado enunciado.

Teniendo esto en cuenta, el resultado al que aludıamos es:

Teorema 13 Sean (M1,Ω1) y (M2,Ω2) variedades simplecticas tales que dimM1 = dimM2, y un difeomor-fismo Φ ∈ Dif (M1,M2). La condicion necesaria y suficiente para que Φ sea una transformacion canonica(de valencia c) es que, ∀f2, g2 ∈ C∞(M2),

Φ∗f2, g2 =1cΦ∗f2,Φ∗g2

( Dem. ) Recuerdese que toda funcion en una variedad simplectica tiene asociado un campo hamiltoniano.Sea, entonces, Xg2 ∈ Xlh(M2) el campo hamiltoniano asociado a g2, ∀g2 ∈ C∞(M2).

(=⇒) Si Φ es una transformacion canonica, entonces Φ−1∗ Xg2 ∈ Xlh(M1) y, de acuerdo con la

proposicion precedente, se tiene que i(Φ−1∗ Xg2)Ω1 = d( 1

cΦ∗g2), esto es, Φ−1∗ Xg2 = X 1

cΦ∗g2 , luego

Φ∗f2, g2 = Φ∗(L(Xg2)f2) = L(Φ−1∗ Xg2)Φ∗f2 = L(X 1

cΦ∗g2)Φ∗f2 =1cΦ∗f2,Φ∗g2

(⇐=) Recıprocamente, si se cumple la condicion, por una parte se tiene que, ∀f2, g2 ∈ C∞(M2),

Φ∗f2, g2 = L(Φ−1∗ Xg2)Φ∗f2

y por otra1cΦ∗f2,Φ∗g2 = L(X 1

cΦ∗g2)Φ∗f2

luego igualando se tiene queΦ−1∗ Xg2 = X 1

cΦ∗g2 ∈ Xlh(M1)

∀Xg2 ∈ Xlh(M2). Por tanto, Φ es una transformacion canonica (que su valencia sea c se obtiene de inmediato,usando el teorema de Lee Hwa Chung).

Comentario:

Este resultado enuncia que una transformacion es canonica si, y solo si, deja invariante (salvouna constante) el parentesis de Poisson (de funciones hamiltonianas). Realmente, es otra formade decir que deja invariante la estructura simplectica de la variedad.

Como caso particular, si Φ transforma las funciones coordenadas (en una carta simplectica) ,Φ: (xi, yi, t) 7→ (xi, yi, t); entonces Φ es una transformacion canonica si, y solo si, las funcionesxi(xj , yj), yi(xj , yj) satisfacen que:

Φ∗xi, xj = xi(xj , yj), xj(xj , yj) = 0Φ∗yi, yj = yi(xj , yj), yj(xj , yj) = 0

Φ∗yi, xj = yi(xj , yj), xj(xj , yj) = δji

es decir, (xi, yi) son coordenadas canonicas del sistema.


Otro resultado que permite caracterizar estas transformaciones es el siguiente:

Proposicion 40 Sean (M1,Ω1) y (M2,Ω2) variedades simplecticas tales que dimM1 = dimM2, y sea Φ ∈Dif (M1,M2). Sean U1 ⊂ M1 y U2 := Φ(U1) ⊂ M2 y Θi ∈ Ω1(Ui) tales que Ωi |Ui= dΘi, (i = 1, 2). Lacondicion necesaria y suficiente para que Φ sea una transformacion canonica (de valencia c) es que, existauna funcion F1 ∈ C∞(U1) tal que

(Φ∗Θ2 − cΘ1 − dF1) |U1= 0

o equivalentemente, que exista una funcion F2 ∈ C∞(U2) tal que

(Φ∗−1

Θ1 −1c

Θ2 − dF2) |U2= 0

Las funciones Fi se denominan funciones generatrices (de Poincare) de la transformacion canonica, y larelacion entre ambas es F1 = cΦ∗F2 + k, k ∈ R.

( Dem. ) Es inmediata ya que, segun el teorema 12, Φ es una transformacion canonica si, y solo si,

0 = (Φ∗Ω2 − cΩ1) |U1= d(Φ∗Θ2 −Θ1)

por lo que el lema de Poincare conduce directamente al resultado.

El resultado concerniente a F2 se obtiene de forma analoga y de la comparacion entre ambos se llega ala relacion entre estas funciones.

Comentario:

En los textos clasicos de Mecanica Racional aparece un concepto mas general de funcion generatrizque el que aquı se acaba de presentar. En el contexto geometrico, son las denominadas funcionesgeneratrices de Weinstein [1], pero su presentacion excede el ambito de esta exposicion.

3.2 Sistemas dinamicos hamiltonianos

Una vez establecidas las nociones de Geometrıa Simplectica, se puede pasar a tratar los sitemas dinamicoshamiltonianos.

3.2.1 Sistemas hamiltonianos. Ecuaciones de Hamilton

Para iniciar el estudio de los sistemas dinamicos hamiltonianos autonomos (desde el punto de vista de su de-scripcion geometrica) vamos a establecer una formulacion axiomatica para los mismos Esta base axiomaticaincluye, por supuesto, tanto el formalismo lagrangiano como el hamiltoniano canonico de los sistemas la-grangianos (y, de hecho, los toma como modelo).

Ası, en el ambito en que estamos trabajando en este curso, como primer postulado se adopta el siguiente:

Postulado 10 (Primer postulado del formalismo hamiltoniano):

El espacio de estados de un sistema dinamico es una variedad diferencial M , dotada de una forma cerradaΩ ∈ Z2(M) tal que:

• Si Ω es no degenerada, esto es simplectica, entonces el sistema es regular y la dimension de M esel doble del numero de grados de libertad del sistema. En este caso, cada punto de dicha variedadrepresenta un estado fısico del sistema.

• Si Ω es degenerada, esto es presimplectica, entonces el sistema es singular y la variedad M no esnecesariamente de dimension par.


Si, en esencia, el primer postulado explica como son los estados fısicos de un sistema, el segundo tieneque ver con los observables, esto es, las magnitudes fısicas.

Postulado 11 (Segundo postulado del formalismo hamiltoniano):

Los observables o magnitudes fısicas de un sistema dinamico son funciones de C∞(M).

El resultado de una medida de un observable es el valor que toma la funcion que lo representa en unpunto del espacio de estados M (es decir, en un estado determinado, segun el primer axioma).

Supongase que, de acuerdo con el axioma 10, se tiene una variedad (simplectica o presimplectica) (M,Ω)que constituye el espacio de estados de un sistema fısico. Vamos a ver que hay una manera natural de intro-ducir y describir la dinamica siguiendo argumentos puramente geometricos. Para ello, basta con introducirun tercer ingrediente, Ası, se establece:

Postulado 12 (Tercer postulado del formalismo hamiltoniano):

La dinamica de un sistema fısico se obtiene dando una 1-forma cerrada α ∈ Z1(M), que se denomina1-forma hamiltoniana del sistema 20.

Postulado 13 (Cuarto postulado del formalismo hamiltoniano):

Las trayectorias dinamicas del sistema son las curvas integrales del campo hamiltoniano local o globalXα ∈ X(M) (si existe) asociado a dicha forma por la aplicacion Ω, esto es, del campo solucion del sistemade ecuaciones 21

i(Xα)Ω = α

Estas ecuaciones se denominan ecuaciones de Hamilton del sistema dinamico.

Comentario:

Si el sistema es regular, Ω es el isomorfismo canonico y la existencia (y unicidad) del campo Xα

esta asegurada.

Entonces se define:

Definicion 50 1. Se denomina sistema dinamico hamiltoniano regular (resp. singular) a una terna(M,Ω, α), donde (M,Ω) es una variedad simplectica (resp. presimplectica) y α ∈ Z1(M) es la 1-formahamiltoniana del sistema.

2. En virtud del lema de Poincare, para cada m ∈ M , existe U ⊂ M , con m ∈ U , y h ∈ C∞(U) tal queα |U= dh, que recibe el nombre de funcion hamiltoniana local del sistema, y la terna anterior sueledenominarse sistema hamiltoniano local.

Si α es una forma exacta, entonces existe h ∈ C∞(M) tal que α = dh, que se denomina funcionhamiltoniana global del sistema, y la terna (M,Ω, h) se dice que es un sistema hamiltoniano global.


De acuerdo con los comentarios hechos al final de la seccion 3.2, si (M,Ω, α) es un sistema hamiltonianoregular, en una carta simplectica (U ;xi, yi) de la variedad M se tendrıa que

Xα |U=∂h

∂yi

∂

∂xi− ∂h

∂xi∂

∂yi

20 En algunos casos, la 2-forma Ω puede tambien contener informacion dinamica, como ocurre en el formalismo lagrangianode los sistemas dinamicos lagrangianos.

21 Estas ecuaciones pueden obtenerse a partir de un principio variacional: el principio de mınima accion de Hamilton-Jacobi.


es decir, las curvas integrales de Xα son la solucion del sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden

dxi

dt=∂h

∂yi,

dyidt

= − ∂h∂xi

que es la expresion en coordenadas canonicas de las ecuaciones de Hamilton.

Comentarios:

• En un sistema dinamico hamiltoniano, la funcion hamiltoniana representa a un observable fısico quees la energıa del sistema.

• La presentacion que se acaba de realizar de los sistemas dinamicos se denomina formalismo hamilto-niano de la Mecanica debido a que las trayectorias dinamicas estan dadas por las curvas integrales deun campo hamiltoniano.

• Como casos particulares, los sistemas dinamicos lagrangianos regulares (TQ,ΩL,dEL) (o (T∗Q,Ω,dh),si se trata del formalismo hamiltoniano canonico) son de este tipo. El formalismo lagrangiano de estossistemas es, pues, un formalismo hamiltoniano con ciertas caracterısticas propias adicionales.

3.2.2 Constantes del movimiento

En este contexto dinamico-geometrico, la evolucion dinamica de un observable cualquiera, que de acuerdocon el axioma 11 esta representado por una funcion f ∈ C∞(M), es la variacion de dicha funcion a lo largode las curvas integrales del campo Xα; es decir, esta dada por

df(qi(t), pi(t))dt

= L(Xα)f = Xα(f)

y si α = dh, entoncesdfdt

= f, h

Entonces, se define:

Definicion 51 Sea (M,Ω, α) un sistema hamiltoniano. f ∈ C∞(M) es una constante del movimiento otambien una cantidad conservada si

L(Xα)f = 0

esto es, es invariante por la dinamica.

El que f ∈ C∞(M) sea una constante del movimiento del sistema (M,Ω, α) significa lo siguiente: seanm ∈ M , Xα el campo hamiltoniano del sistema, definido en un entorno de m, ζ : (−ε, ε) // M , conζ(0) = m, una curva integral de Xα que pasa por m y Sm = p ∈ U | f(p) = f(m) la superficie de nivel def que pasa por m, entonces, si f es una constante del movimiento, se tiene que f(ζ(t)) = f(m), ∀t ∈ (−ε, ε);es decir, la imagen de ζ por f esta contenida en Sm.

Una de las propiedades fundamentales de los sistemas dinamicos autonomos (esto es, independientesdel tiempo, que son los que estamos considerando) es la conservacion de la energıa. Con los conceptosintroducidos hasta el momento y la interpretacion fısica que se ha dado para algunos de ellos, ya estamos encondiciones de obtener este resultado dentro del contexto geometrico en el que estamos abordando el estudiode estos sistemas.

Proposicion 41 (Teorema de Conservacion de la energıa): Sea (M,Ω, α) un sistema hamiltoniano. Lafuncion hamiltoniana h (local o global), es decir, la energıa, es una cantidad conservada.

( Dem. ) De la antisimetrıa de Ω y por ser una forma cerrada se obtiene que

L(Xα)h = i(Xα)dh = Ω(Xα, Xα) = 0


Comentario:

Es de resaltar como las caracterısticas esenciales de la forma simplectica son fundamentales parala descripcion geometrica de los sistemas fısicos: su no degeneracion permite asegurar la existencia(y unicidad) del campo hamiltoniano dinamico y, por tanto, determinar la evolucion dinamicadel sistema, mientras que del hecho de que sea cerrada y antisimetrica se obtiene la conservacionde la energıa.


Si (M,Ω, α) es us sitema hamiltoniano regular, en una carta simplectica (U ;xi, yi) de la variedad M setiene que la evolucion de un observable f es

Xα(f) |U=∂h

∂yi

∂f

∂xi− ∂h

∂xi∂f

∂yi


4 Simetrıas

En este capıtulo vamos hacer una introduccion al estudio de las simetrıas de los sistemas dinamicos. Laforma mas rigurosa y completa de abordar este estudio es mediante la teorıa de las acciones de grupos deLie sobre variedades simplecticas o presimplecticas. No obstante, en este capıtulo, solo se va a dar una breveintroduccion a este tema, y unicamente para el caso de sistemas dinamicos regulares (aunque algunos de losresultados pueden generalizarse al caso no regular).

El interes del estudio de las simetrıas radica en que, como es bien conocido, la existencia de simetrıas ensistemas dinamicos esta relacionada con la existencia de cantidades conservadas o constantes del movimientode dichos sistemas, lo cual permite, a su vez, simplificar la integracion de las ecuaciones dinamicas aplicandometodos adecuados de reduccion. Es importante mencionar, a este respecto los resultados de Arnold sobresistemas integrables [2] y tambien los de Marsden y Weinstein sobre el problema de la reduccion simplectica[17] (ver tambien [18] y las referencias que se citan).

4.1 Simetrıas en sistemas dinamicos hamiltonianos (regulares)

A lo largo de esta seccion (M,Ω, α) designara un sistema dinamico hamiltoniano regular, y Xα ∈ Xlh(M)sera el campo dinamico solucion del sistema.

4.1.1 Simetrıas dinamicas

Al hablar de simetrıas de un sistema dinamico, es habitual hacer alusion al hecho de que “una simetrıa deun sistema dinamico deja invariantes las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales que describen ladinamica del sistema”. En este sentido se define:

Definicion 52 Una simetrıa dinamica del sistema es un difeomorfismo Φ: M // M que verifica:

Φ∗Xα = Xα

Una simetrıa de un sistema dinamico se puede considerar que esta generada localmente por un campovectorial, a traves del grupo local de difeomorfismos generado por su flujo. En este sentido la definicionanterir conduce a establecer la siguiente:

Definicion 53 Una simetrıa dinamica infinitesimal del sistema es un campo vectorial Y ∈ X(M) tal quelos difeomorfismos locales generados por su flujo son simetrıas dinamicas del sistema; esto es,

L(Y )Xα = [Y,Xα] = 0 (24)

Comentario:

En la definicion precedente es usual relajar la condicion (24) poniendo

[Y,Xα] = gXα , g ∈ C∞(M)

(de donde la condicion original se recupera tomando g = 0). Esto permite incluir entre lassimetrıas las transformaciones inducidas por reparametrizacion de las curvas integrales del campodinamico. En adelante sera esta la condicion que se manejara.

Proposicion 42 Si Y1, Y2 ∈ X(M) son simetrıas dinamicas infinitesimales, entonces [Y1, Y2] es tambienuna simetrıa dinamica infinitesimal.


( Dem. ) Usando la identidad de Jacobi, se tiene que

[[Y1, Y2], Xα] = [Y2, [Xα, Y1]] + [Y1, [Y2, Xα]] = [Y2, g1Xα] + [Y1, g2Xα]= (L(Y2)g1)Xα + g1[Y2, Xα] + (L(Y1)g2)Xα + g2[Y1, Xα]= [L(Y2)g1) + g1g2 + L(Y1)g2 − g2g1]Xα ≡ GXα

donde g1, g2, G ∈ C∞(M).

Un primer resultado que relaciona las simetrıas de los sistemas dinamicos con las cantidades conservadases el siguiente:

Proposicion 43 1. Si Φ: M // M es una simetrıa dinamica y f ∈ C∞(M) es una constante delmovimiento del sistema, entonces Φ∗f es tambien constante del movimiento.

2. Si Y ∈ X(M) es una simetrıa dinamica infinitesimal y f ∈ C∞(M) es una constante del movimientodel sistema, entonces L(Y )f es tambien constante del movimiento.

( Dem. )

1. Si Φ: M // M es una simetrıa dinamica se tiene que

L(Xα)(Φ∗f) = Φ∗ L(Φ∗Xα)f = Φ∗ L(Xα)f = 0

2. Si Y ∈ X(M) es una simetrıa dinamica infinitesimal, la misma demostracion sirve tomando el flujo Ftde Y . Tambien

L(Xα) L(Y )f = i(Xα)d L(Y )f = i(Xα) L(Y )df = L(Y ) i(Xα)df − i([Y,Xα])df= L(Y ) L(Xα)f − L([Y,Xα])f = −g L(Xα)f = 0

4.1.2 Simetrıas de Noether. Teorema de Noether

Entre las simetrıas de un sistema, tienen especial relevancia, como generadores de constantes de movimiento,las siguientes:

Definicion 54 Φ ∈ Dif (M) es una simetrıa de tipo Noether (tambien denominada simetrıa de Cartan) delsistema si:

1. Φ es un simplectomorfismo en M : es decir, Φ∗Ω = Ω.

2. Φ deja invariante la dinamica; es decir, Φ∗α = α.

Comentario: Si α = dh (local o globalmente), entonces la segunda condicion es equivalente aque Φ∗h = h+ c (con c ∈ R) 22.

Definicion 55 Y ∈ X(M) es una simetrıa infinitesimal de tipo Noether (tambien denominada simetrıa deCartan infinitesimal) del sistema si:

1. L(Y )Ω = 0; esto es, Y ∈ Xlh(M).22 Esto quiere decir que transforma una funcion hamiltoniana en otra funcion hamiltoniana del campo Xα. Si la funcion

hamiltoniana esta prefijada previamente (como, por ejemplo, en el caso de los formalismos lagrangiana y hamiltoniano canonicode los sistemas dinamicos lagrangianos), es habitual pedir que Φ∗h = h.


2. i(Y )α = 0

Comentarios:

• Para el caso infinitesimal, dado que, por definicion, toda simetrıa infinitesimal de tipoNoether Y ∈ X(M) es un campo vectorial localmente hamiltoniano, se tiene que paratodo p ∈ M , existe un abierto Up 3 p y fY ∈ C∞(Up) (unica, salvo constantes) tal quei(Y )Ω = dfY , en Up.

• Si α = dh (local o globalmente), entonces la segunda condicion se puede expresar en laforma i(Y )α = L(Y )h = 0.

Como primer resultado de importancia se tiene que:

Proposicion 44 1. Si Φ ∈ Dif (M) es una simetrıa de tipo Noether, entonces es tambien una simetrıadinamica.

2. Si Y ∈ X(M) es una simetrıa infinitesimal de tipo Noether, entonces es tambien una simetrıa dinamicainfinitesimal.

( Dem. )

1. Si Xα ∈ X(M) es solucion de la dinamica entonces 0 = i(Xα)Ω − α, y por ser una simetrıa de tipoNoether, Φ∗Ω = Ω y Φ∗α = α, por lo que:

0 = Φ∗(i(Xα)Ω− α) = i(Φ−1∗ Xα)Φ∗Ω− Φ∗α = i(Φ−1

∗ Xα)Ω− α = i(Φ−1∗ Xα)Ω− α

pero por ser un sistema regular el campo vectorial solucion es unico, luego Φ−1∗ Xα = Xα, y de ahı el

resultado.

2. Por ser Y ∈ X(M) una simetrıa de tipo Noether se tiene que Y ∈ Xlh(M) y i(Y )α = 0, luego

i([Y,Xα])Ω = L(Y ) i(Xα)Ω− i(Xα) L(Y )Ω = L(Y )α = i(Y )dα+ d i(Y )α = 0

y, dado que Ω es no degenerada, se concluye que [Y,Xα] = 0, luego Y es simetrıa dinamica infinitesimal.

Como en el caso de las simetrıas dinamicas infinitesimales, es inmediato comprobar que:

Proposicion 45 Si Y1, Y2 ∈ X(M) son simetrıas infinitesimales de tipo Noether, entonces [Y1, Y2] estambien una simetrıa infinitesima de tipo Noether.

( Dem. ) En primer lugar se tiene que L([Y1, Y2])Ω = 0, ya que [Y1, Y2] ∈ Xlh(M), por ser Y1, Y2 ∈ Xlh(M).Ademas

i([Y1, Y2])α = L(Y1) i(Y2)α− i(Y2) L(Y1)α = − i(Y2) i(Y1)dα− i(Y2)d i(Y1)α = 0

Ademas, se tiene que:

Proposicion 46 Sea Y ∈ X((T 1k )∗Q) es una simetrıa infinitesimal de tipo Noether. Para todo p ∈ M ,

existe un abierto Up 3 p tal que, si ϑ ∈ Ω1(Up) es un potencial simplectico de Ω en Up, entonces:

1. Existe ζY ∈ C∞(Up), que verifica que L(Y )ϑY = dζY .


2. Si fY ∈ C∞(Up) es una funcion hamiltoniana local de Y en Up, se tiene que

fY = ζY − i(Y )ϑ (salvo adicion de funciones constantes en Up) (25)

( Dem. )

1. En Up, se tiene qued L(Y )ϑ = L(Y )dϑ = L(Y )Ω = 0

de modo que L(Y )ϑ es una forma cerrada. Entonces, por el Lema de Poincare, existe ζY ∈ C∞(Up),verificando que L(Y )ϑ = dζY , en Up.

2. Como i(Y )Ω = dfY , en Up, se obtiene que

dζY = L(Y )ϑ = d i(Y )ϑ+ i(Y )dϑ = d i(Y )ϑ+ i(Y )Ω = di(Y )ϑ+ fY


Finalmente, como resultado fundamental relacionado con las simetrıas de tipo Noether se tiene la siguienteversion geometrica del clasico teorema de Noether:

Teorema 14 (de Noether). Si Y ∈ X(M) es una simetrıa infinitesimal de tipo Noether, entonces sufuncion hamiltoniana (local o global) fY = ζY − i(Y )ϑ es una cantidad conservada; esto es, L(Xα)fY = 0.

( Dem. ) En efecto, pues

L(Xα)fY = i(Xα)dfY = i(Xα) i(Y )Ω = − i(Y ) i(Xα)Ω = − i(Y )α = 0

Este resultado tiene una gran relevancia, ya que asocia a cada simetrıa de Noether una constante delmovimiento, esto es, una integral primera del sistema de ecuaciones diferenciales dinamicas.

En general, para simetrıas que no son de tipo Noether no hay una manera directa de obtener constantesdel movimiento, salvo para casos muy particulares como el siguiente (ver tambien, p. ej., [14] y [15]):

Teorema 15 Si Y ∈ X(M) es una simetrıa dinamica infinitesimal tal que i(Y )α 6= 0, entonces la funcionf = i(Y )α es una cantidad conservada..

( Dem. ) En efecto, dado que dα = 0 y i(Xα)α = i(Xα)α i(Xα)Ω = 0, se tiene que

L(Xα) i(Y )α = i([Xα, Y ])α+ i(Y ) L(Xα)α = g i(Xα)α+ i(Y ) i(Xα)dα+ i(Y )d i(Xα)α = i(Y )d i(Xα)α = 0

4.2 Simetrıas en sistemas dinamicos lagrangianos (regulares)

Una situacion especialmente interesante se presenta cuando los sistemas dinamicos en consideracion tienencomo espacios de fases M = TQ o M = T∗Q (como, p. ej., ocurre en los formalismos lagrangiano yhamiltoniano canonico dual de los sistemas lagrangianos). En estos casos existe un potencial simplecticodistinguido: la 1-forma lagrangiana ΘL ∈ Ω1(TQ) y la 1-forma canonica Θ ∈ Ω1(T∗Q).

Ademas, en dichos casos, las simetrıas de los correspondientes sistemas dinamicos acostumbran a serlevantamientos de difeomorfismos o campos vectoriales de la variedad base Q. De este modo, como ya se


vio, en el segundo caso queda automaticamente asegurada la invariancia de la formas canonicas Θ y Ω deT∗Q, mientras que en el primero son las estructuras geometricas canonicas del fibrado tangente las que soninvariantes.

Todo ello lleva a introducir nuevos tipos de simetrıas en estos casos, cuyas caracterısticas vamos a estudiara continuacion.

4.2.1 Formalismo hamiltoniano canonico

Considerese un sistema hamiltoniano canonico (T∗Q,Ω,dh), y sea Xh ∈ Xlh(T∗Q) el campo hamiltonianosolucion del sistema.

Por supuesto, todo lo dicho para sistemas dinamicos hamiltonianos en general es tambien valido en estecaso. Pero, ademas, se pueden introducir nuevos conceptos de simetrıa, y ası, dentro de los tipos de simetrıasintroducidos hasta el momento, se pueden considerar los siguientes casos particulares:

Definicion 56 Una simetrıa dinamica Φ ∈ Dif (T∗Q) del sistema hamiltoniano canonico es una simetrıadinamica natural si existe ϕ ∈ Dif (Q) tal que Φ = T∗ϕ (es decir, Φ es el levantamiento canonico de algundifeomorfismo de Q).

Definicion 57 Una simetrıa dinamica infinitesimal Y ∈ X(Q) del sistema hamiltoniano canonico es unasimetrıa dinamica natural infinitesimal si existe Z ∈ X(Q) tal que Y = Z∗ (es decir, Y es el levantamientocanonico de algun campo vectorial en Q 23).

Si Z∗ ∈ Xh(T∗Q) una simetrıa dinamica infinitesimal natural del sistema, entonces Z∗ ∈ Xh(T∗Q) yla funcion hamiltoniana global de Z∗ es (salvo constantes aditivas) fZ = i(Z∗)Θ (tal como se vio en laproposicion 26).

Analogamente, para simetrıas de tipo Noether, se tiene:

Definicion 58 Un difeomorfismo Φ ∈ Dif (T∗Q) es una simetrıa natural de tipo Noether si:

1. Existe un difeomorfismo ϕ ∈ Dif (Q) tal que Φ = T∗ϕ.

2. Φ∗α = (T∗ϕ)∗α = α.

Definicion 59 Un campo vectorial Y ∈ X(T∗Q) es una simetrıa natural infinitesimal de tipo Noether si:

1. Existe un campo vectorial Z ∈ X(Q) tal que Y = Z∗.

2. i(Y )α = i(Z∗)α = 0.

Por otra parte, hay que recordar que (T∗Q,Ω) es una variedad simplectica exacta y que un potencialsimplectico de Ω es la 1-forma canonica −Θ ∈ Ω1(T∗Q). Ello lleva a introducir el siguiente tipo particularde simetrıas de tipo Noether para el sistema hamiltoniano canonico (T∗Q,Ω,dh):

Definicion 60 Una simetrıa de tipo Noether es exacta si Φ∗Θ = Θ.

Definicion 61 Una simetrıa infinitesimal de tipo Noether es exacta si L(Y )Θ = 0.

23 A veces se denominan simetrıas naturales al difeomorfismo ϕ y al campo vectorial Z.


Observar que para simetrıas de tipo Noether infinitesimales exactas tambien se tiene que sus funcioneshamiltonianas locales se pueden expresar simplemente como fY = i(Y )Θ (ver proposicion 46) .

Por supuesto, toda simetrıa natural (infinitesimal) de tipo Noether es una simetrıa dinamica natural(infinitesimal). Ademas, dado que todo levantamiento canonico preserva las formas canonicas Θ ∈ Ω1(T∗Q)y Ω ∈ Ω2(T∗Q) (proposiciones 23 y 27), resulta que:

Proposicion 47 Toda simetrıa natural (infinitesimal) de tipo Noether es una simetrıa exacta (infinitesimal)de tipo Noether.

A modo de resumen, la tabla siguiente recoge la relacion entre los diversos tipos de simetrıas de lossistemas hamiltonianos canonicos:

simetrıas naturales de tipo Noether⊂

simetrıas dinamicas naturales

∩

simetrıas exactas de tipo Noether

∩∩

simetrıas de tipo Noether ⊂ simetrıas dinamicas

4.2.2 Formalismo lagrangiano: simetrıas lagrangianas y teorema de Noether

Sea (TQ,ΩL,dEL) un sistema dinamico lagrangiano (regular), y XL ∈ X(TQ) el campo vectorial de Euler-Lagrange solucion del sistema.

Tambien en esta situacion todos los conceptos y resultados sobe simetrıas establecidos a lo largo deeste capıtulo son validos en relacion al sistema hamiltoniano (TQ,ΩL,dEL). De este modo se introducirıanlas nociones de simetrıa dinamica lagrangiana (infinitesimal), de simetrıa lagrangiana (infinitesimal) detipo Noether y de simetrıa lagrangiana (infinitesimal) de tipo Noether exacta, asi como sus propiedades yrelaciones entre ellas, incluyendo el correspondiente teorema de Noether.

Pero, ademas, el estudio de las simetrıas en el formalismo lagrangiano de los sistemas dinamicos la-grangianos presenta una serie de matices que conviene senalar.

En primer lugar, al igual que ya acontecıa en el formalismo hamiltoniano canonico, los levantamientoscanonicos de difeomorfismos y campos vectoriales preservan las estructuras canonicas de TQ (proposicion16). Consecuentemente, es posible probar el siguiente resultado:

Proposicion 48 1. Sea ϕ : Q // Q un difeomorfismo y Φ = Tϕ su levantamiento canonico a TQ.Entonces:

Φ∗ΘL = ΘΦ∗L , Φ∗ΩL = ΩΦ∗L , Φ∗EL = EΦ∗L

2. Sea Z ∈ X(Q) y su levantamiento canonico ZC a TQ. Entonces

L(ZC)ΘL = 0 , L(ZC)ΩL = 0 , L(ZC)EL = 0

( Dem. ) Es una consecuencia directa de la proposicion 16, y de las definiciones de ΘL, ΩL y EL. Eneefecto:

1. Para Φ = Tϕ se obtiene

Φ∗ΘL = Φ∗(dL J) = d(Φ∗L) J) = ΘΦ∗L

Φ∗ΩL) = Φ∗(−dΘL) = −dΦ∗ΘL = ΩΦ∗L

Φ∗EL = Φ∗(∆(L)− L) = ∆(Φ∗L)− Φ∗L = EΦ∗L

2. Se demuestra tomando los grupos uniparametricos de difeomorfismos generados por los flujos de Z yZC , y a partir del apartado anterior.


Sin embargo, las formas lagrangianas ΘL y ΩL no son estructuras canonicas de TQ, ya que dependende la eleccion de la funcion lagrangiana L y, por consiguiente, no son necesariamente invariantes por dichoslevantamientos. Como consecuencia se establecen las siguientes definiciones:

Definicion 62 Un difeomorfismo Φ: TQ // TQ es una simetrıa dinamica lagrangiana natural si:

1. Existe un difeomorfismo ϕ : Q // Q tal que Φ = Tϕ.

2. Φ∗XL = XL.

Definicion 63 Un campo vectorial Y ∈ X(TQ) es una simetrıa lagrangiana dinamica natural infinitesimalsi:

1. Existe Z ∈ X(Q) tal que Y = ZC .

2. [Y,XL] = [ZC , XL] = 0 (o, mas genericamente, [Y,XL] = [ZC , XL] = gXL, para alguna funciong ∈ C∞(TQ)).

Y para las simetrıas de tipo Noether lagrangianas se tiene:

Definicion 64 Un difeomorfismo Φ: TQ // TQ es una simetrıa lagrangiana natural de tipo Noether siexiste un difeomorfismo ϕ : Q // Q tal que Φ = Tϕ y satisface:

1. Φ∗ΩL = (Tϕ)∗ΩL = ΩL.

2. Φ∗EL = (Tϕ)∗EL = EL + c (c ∈ R) 24.

Definicion 65 Un campo vectorial Y ∈ X(TQ) es una simetrıa lagrangiana natural infinitesimal de tipoNoether si existe Z ∈ X(Q) tal que Y = ZC y satisface:

1. L(Y )ΩL = L(ZC)ΩL = 0.

2. L(Y )EL = L(ZC)EL = 0.

Evidentemente, toda simetrıa lagrangiana natural (infinitesimal) de tipo Noether es una simetrıa dinamicalagrangiana (infinitesimal) natural.

Finalmente, como caso particular se tiene:

Definicion 66 Una simetrıa lagrangiana de tipo Noether es exacta si Φ∗ΘL = ΘL.

Definicion 67 Una simetrıa lagrangiana infinitesimal de tipo Noether es exacta si L(Y )ΘL = 0.

En estas circunstancias, es posible enunciar la version geometrica lagrangiana del teorema de Noether.En primer lugar, debe observarse que, si Y ∈ X(TQ) es una simetrıa lagrangiana natural infinitesimal detipo Noether, entonces la proposicion 46 es valida para este tipo de simetrıas. Ası, para todo p ∈ TQ, existeun abierto Up 3 p y fY ∈ C∞(Up), que es unica salvo adicion de funciones constantes, tal que

i(ZC)ΩL = dfY (en Up) (26)24 Es habitual pedir que Φ∗EL = EL.


Ademas existe ζY ∈ C∞(Up), definida por L(ZC)ΘL = dζY , en Up, y tal que

fY = ζY − i(ZC)ΘL = ζY −ΘL(ZC) = ζY − dL J(ZC)= ζY − dL(ZV ) = ζY − i(ZV )dL = ζY − ZV (L) (27)

(salvo adicion de funciones constantes en Up). Entonces:

Teorema 16 (de Noether lagrangiano): Si Y = ZC ∈ X(TQ) (con Z ∈ X(Q)) es una simetrıa lagrangiananatural infinitesimal de tipo Noether, entonces fY = ζY − ZV (L) es una cantidad conservada; esto es,L(XL)fY = 0.

( Dem. ) La demostracion es la del teorema 14, teniendo en cuenta (26) and (27).

4.2.3 Formalismo lagrangiano: simetrıas de la lagrangiana y teorema de Noether

Es evidente que si Φ ∈ Dif(TQ) (resp. Y ∈ X(TQ)) es un levantamiento de algun difeomorfismo (resp. dealgun campo vectorial) de Q a TQ que, ademas, deja invariante la funcion lagrangiana del sistema, tambiendejara invariantes la forma simplectica ΩL, la energıa lagrangiana EL y, consecuentemente, el campo vectorialsolucion XL (esto es, las ecuaciones de Euler-Lagrange). Con ello las condiciones de las definiciones 64 y 65estarıan aseguradas. No obstante, esta exigencia es demasiado fuerte, ya que existen funciones lagrangianasque, siendo diferentes, dan lugar a las mismas formas ΩL y a las mismas ecuaciones de Euler-Lagrange. Elloda lugar a la siguiente definicion:

Definicion 68 Dos funciones lagrangianas L1,L2 ∈ C∞(TQ) son equivalentes gauge si

ΩL1 = ΩL2 y XL1 = XL2

Las lagrangianas equivalentes gauge se pueden caracterizar tambien del siguiente modo:

Proposicion 49 Dos funciones lagrangianas regulares L1,L2 ∈ C∞(TQ) son equivalentes gauge si

ΩL1 = ΩL2 , EL1 = EL2 + c ( c ∈ R)

( Dem. ) Hay que probar que si ΩL1 = ΩL2 , entonces XL1 = XL2 es equivalente a EL1 = EL2 + c.

Si XL1 = XL2 , entonces J(XL1) = J(XL2) = ∆, y

0 = i(XL1)ΩL1 − dEL1 = i(XL2)ΩL2 − dEL1

lo que implica necesariamente que dEL1 = dEL2 y, por tanto, que EL1 = EL2 + c.

Recıprocamente, si ΩL1 = ΩL2 , y EL1 = EL2 + c, entonces

0 = i(XL1)ΩL1 − dEL1 = i(XL1)ΩL2 − dEL2

luego XL1 = XL2 , dado que L1 y L2 son lagrangianas regulares.

El siguiente resultado especifica como son las lagrangianas equivalentes gauge (ver [1], p 216):

Proposicion 50 Dos funciones lagrangianas regulares L1,L2 ∈ C∞(TQ) son equivalentes gauge si, y solosi, L2 = L1 + β + c (c ∈ R), donde la funcion β ∈ C∞(TQ) esta definida por

β : TQ −→ R(q, u) 7→ βq(u)

(28)

siendo β ∈ Ω1(Q) una 1-forma cerrada en Q.


( Dem. ) (=⇒) Para todo punto (q, u) ∈ TQ, sean Lq : TqQ // R y FLq : TqQ // T∗qQ las restric-ciones de L y FL a la fibra sobre q ∈ Q. Un simple calculo en coordenadas muestra que para la funcion ELy la forma ΘL asociadas a una lagrangiana L se cumple que

ELq (u) = (FLq(u))(u)− Lq(u) (29)θL(q, u) = FLq(u) (30)

De (29), la condicion EL1 = EL2 + c significa que

L2q(u)− L1q(u) = (FL2q(u)−FL1q(u))(u) + c. (31)

Ademas, la condicion ΩL2 = ΩL1 lleva a que

0 = ΩL2 − ΩL1 = −d(ΘL2 −ΘL1)

esto es, ΘL2 − ΘL1 ≡ β es una 1-forma cerrada y, ademas, como ΘL2 y ΘL1 son formas τQ-semibasicas, βes tambien τQ-semibasica 25. Pero toda forma cerrada y τQ-semibasica es una forma τQ-basica 26 necesari-amente, ya que

L(V )β = d i(V )β + i(V )dβ = 0 , para todo V ∈ XV (TQ) .

Entonces, de (30) se tiene que FL2q(u)−FL1q(u) es independiente de u. De este modo se tiene bien definidala 1-forma

βq := FL2q(u)−FL1q(u) , (para u ∈ TqQ, q ∈ Q)

y la funcion (28). Finalmente, de (31) se concluye que L2 = L1 + β + c.

Ahora, como FL2 = FL1 + β, se obtiene que

ΩL2 = FL∗2Ω = FL∗1Ω + β∗Ω = ΩL1 + β∗Ω

y como ΩL2 = ΩL1 , esto implica que

0 = β∗Ω = −β∗dΘ = −dβ∗Θ = −dβ

ya que Θ ∈ Ω1(T ∗Q) es la 1-forma tautologica en T ∗Q (es decir, que en cada punto (q, αq) ∈ T∗Q esΘ(q, αq) = αq). Ası pues β es cerrada.

(⇐=) Es facil obtener que, en una carta de coordenadas naturales de TQ, dado que β es cerrada, suexpresion local debe ser

β = βidqi =∂g

∂qidqi ,

para alguna funcion local g; entonces la expresion local de la funcion β es

β =∂g

∂qivi .

De aquı el recıproco se obtiene con un simple calculo en coordenadas.

Teniendo todo esto presente, se puede introducir la siguiente:

Definicion 69 Una simetrıa gauge de la lagrangiana es un difeomorfismo Φ: TQ // TQ tal que L y Φ∗Lson lagrangianas equivalentes gauge; esto es, Φ∗L = L + β (salvo constantes), donde β ∈ C∞(TQ) es lafuncion definida en la proposicion 50.

Definicion 70 Una simetrıa gauge infinitesimal de la lagrangiana es un campo vectorial Y ∈ X(TQ) tal quelos grupos uniparametricos de difeomorfismos generados por su flujo son simetrıas gauge de la lagrangiana.

Como caso especial de este tipo de simetrıas se tiene:

25 Esto significa que i(V )β = 0, para todo campo vectorial que sea vertical V ∈XV

(TQ).26 Esto significa que i(V )β = 0 y L(V )β = 0, para todo campo vectorial que sea vertical V ∈X

V(TQ).


Definicion 71 Una simetrıa estricta de la lagrangiana es un difeomorfismo Φ: TQ // TQ tal que Φ∗L =L+ c (c ∈ R).

Definicion 72 Una simetrıa estricta infinitesimal de la lagrangiana es un campo vectorial Y ∈ X(TQ)tal que los grupos uniparametricos de difeomorfismos generados por su flujo son simetrıas estrictas de lalagrangiana.

Y, en particular, se definen:

Definicion 73 1. Una simetrıa gauge de la lagrangiana Φ: TQ // TQ es natural si existe un difeo-morfismo ϕ : Q // Q tal que Φ = Tϕ.

2. Una simetrıa estricta de la lagrangiana Φ: TQ // TQ es natural si existe un difeomorfismo ϕ : Q// Q tal que Φ = Tϕ.

Definicion 74 1. Una simetrıa gauge infinitesimal de la lagrangiana Y ∈ X(TQ) es natural si existe uncampo vectorial Z ∈ X(Q) tal que Y = ZC .

2. Una simetrıa estricta infinitesimal de la lagrangiana Y ∈ X(TQ) es natural si existe un campo vectorialZ ∈ X(Q) tal que Y = ZC .

Comentario:

Una simetrıa gauge de la lagrangiana Φ: TQ // TQ no es necesariamente una simetrıa la-grangiana de tipo Noether ya que, en general, Φ∗ΩL 6= ΩΦ∗L y Φ∗EL 6= EΦ∗L, como pone demanifiesto un simple calulo en coordenadas. Tampoco es, por supuesto, una simetrıa dinamicalagrangiana. No obstante, se tiene la siguiente relacion:

Proposicion 51 Φ: T 1kQ

// T 1kQ es una simetrıa lagrangiana natural de tipo Noether si, y solo si, es

una simetrıa gauge natural de la lagrangiana.

( Dem. ) Si Φ = Tϕ para algun difeomorfismo ϕ : Q // Q, de acuerdo con el lema 48) se tiene que

Φ∗(ΩL)A = (ΩΦ∗L)A , Φ∗EL = EΦ∗L

y entoncesΦ∗(ΩL)A = (ΩL)A

Φ∗EL = EL

⇐⇒

(ΩΦ∗L)A = (ΩL)AEΦ∗L = EL + c ( c ∈ R)

esto es, Φ es una simetrıa lagrangiana natural de tipo Noether si, y solo si, L y Φ∗L son lagrangianaequivalentes gauge y, por tanto, Φ es una simetrıa gauge natural de la lagrangiana.

Este resultado se cumple igualmente para las simetrıas infinitesimales, como se demuestra tomando losflujos de los campos que las generan.

Finalmente, se puede establecer una version del teorema de Noether para el caso particular de simetrıasestrictas de la lagrangiana (infinitesimales):

Theorem 1 (de Noether clasico para sistemas lagrangianos). Sea Y = ZC ∈ X(TQ) (con Z ∈ X(Q)) unasimetrıa estricta natural infinitesimal de la lagrangiana. Entonces f := ZV (L) es una cantidad conservada;esto es, L(XL)f = 0.

( Dem. ) Dado que toda simetrıa estricta natural infinitesimal de la lagrangiana. es una simetrıa gaugenatural de la lagrangiana y, por tanto, de acuerdo con la proposicion precedente, es tambien una simetrıalagrangiana natural de tipo Noether, el resultado es consecuencia directa del teorema 16, ya que ζY =L(Y )ΘL = L(ZC)ΘL = 0.


En la tabla siguiente se recoge la relacion entre los diversos tipos de simetrıas para el formalismo la-grangiano de los sistemas lagrangianos:

Simetrıasestrictas

de la lagrangiana

⊃

Simetrıasnaturalesestrictas

de la lagrangiana

∩ ∩ Simetrıas

gaugede la lagrangiana

⊃

Simetrıas

gaugenaturales

de la lagrangiana

=

Simetrıas

lagrangianasnaturales

de tipo Noether

⊂

Simetrıasdinamicas

lagrangianasnaturales

∩

Simetrıaslagrangianas

exactasde tipo Noether

∩

∩ Simetrıaslagrangianas

de tipo Noether

⊂

Simetrıasdinamicas

lagrangianas


5 Formulacion variacional

5.1 Formulacion variacional del formalismo lagrangiano

5.1.1 Funcional asociado a un problema lagrangiano

Sea (TQ,L) un sistema dinamico lagrangiano. Se va a definir, en primer lugar, un funcional asociado alproblema lagrangiano establecido por este sistema.

Para ello, en R, se considera el elemento de volumen natural dt. Si γ : [a, b] // Q es una curva, sedesignara por γ : [a, b] // TQ su subida canonica al fibrado tangente. Considerense las variedades R×TQ,R×Q y R con las proyecciones naturales entre ellas

R× TQid×τQ−→ R×Q ρ−→ R

(se seguira designando por γ a la subida canonica de una curva γ a R×TQ). Si α es una 1-forma en R×TQ,tiene sentido definir ∫

γ

α =∫ b

a

γ∗α

ya que γ∗α es una 1-forma en R.

Definicion 75 Sea la 1-forma Ldt ∈ Ω1(R×TQ), donde dt es la 1-forma de volumen natural en R que sesube por trasposicion a TQ×R. Dada la curva γ : R // Q, se denomina forma de accion o tambien accionde L a lo largo de γ al funcional

L(γ) :=∫γ

Ldt

definido sobre las curvas γ : [a, b] // Q.

Comentario:

Se considera habitualmente que γ : R // Q esta definida en un intervalo cerrado [a, b] y, sihace falta, se extiende a toda la recta de manera que los puntos exteriores de [a, b] tengan comoimagen los extremos de la curva. En tal caso, la funcion γ no es, en general, diferenciable enlos extremos, lo que no da problemas al hacer la integral, mientras que la extension de γ a γ seefectua desde el interior del intervalo.

5.1.2 Problema variacional de Hamilton

El problema variacional consiste en optimizar un funcional definido sobre curvas. En principio, el problemaque se plantea es el de hallar mınimos globales. En realidad, el problema que se resuelve es el calculo demınimos locales, esto es, se elegiran curvas γ en Q tales que pequenas variaciones sobre ellas no varıan elvalor de L(γ) en primera aproximacion, segun se precisara enseguida.

El planteo y resolucion del problema variacional es como sigue:

Definicion 76 Sea γ : [a, b] // Q una curva con γ(a) = P0, γ(b) = P1. Una variacion de γ es unaaplicacion diferenciable

µ : (−ε, ε)× [a, b] // Q

tal que

1. µ(0, t) = γ(t), t ∈ [a, b].

2. µ(s, a) = P0, µ(s, b) = P1, s ∈ (−ε, ε).


Habitualmente se designa por µs a la curva definida en [a, b] por µs : [a, b] // Q tal que µs(t) = µ(s, t).

Observese que cada una de las curvas µs se puede subir a TQ y R × TQ. Dichas subidas se designaranindistintamente por µs y constituyen variaciones de las correspondientes γ.

Sea, ahora, X ∈ X(Q) un campo vectorial con X(P0) = 0, X(P1) = 0. Si Fs es un grupo uniparametricolocal de X, se puede obtener una variacion de la curva γ haciendo

µ(s, t) = (Fs γ)(t) = Fs(γ(t))

Observese que Fs : Q // Q es un difeomorfismo que, a su vez, induce otro TFs : TQ // TQ, que es

ampliable a R por la identidad. Con ello se obtienen sendos campos X ∈ X(TQ) y∂

∂t+ X ∈ X(R × TQ)

que se denominan subidas canonicas de X a TQ y R× TQ.

De acuerdo con todo esto, se observa que es equivalente dar una variacion de la curva γ en el sentido dela aplicacion µ, o un campo X con las condiciones indicadas. Igualmente se obtienen las variaciones de γmediante µ o X. Por consiguiente, en lo sucesivo se identificaran ambas ideas de variacion de una curva.

Definicion 77 Una curva γ es un extremo local del funcional L si, para toda variacion µX de γ se verifica

dds

∣∣∣s=0

∫µs

Ldt = 0

En lo que concierne a este concepto, la relacion entre las dos formas de entender la variacion es lasiguiente:

Proposicion 52 Sea µ o X una variacion de γ,

1.dds

∣∣∣s=0

∫µs

Ldt =∫γ

L(X)dt =∫γ

X(L)dt .

2. Si α ∈ Ω1(TQ) entoncesdds

∣∣∣s=0

∫µs

α =∫γ

L(X)α

( Dem. ) Teniendo en cuenta que µs = Fs γ, se tiene

1.

dds

∣∣∣s=0

∫µs

Ldt = lims //0

1s

(∫µs

Ldt−∫µ0

Ldt)

= lims //0

1s

(∫ b

a

µ∗sLdt−∫ b

a

µ0Ldt

)

=∫ b

a

lims //0

µ∗sL − µ∗0Ls

dt =∫ b

aL(X)Ldt =

∫ b

a

X(L)dt =∫γ

X(L)dt =

2.

dds

∣∣∣s=0

∫µs

α = lims //0

1s

(∫µs

α−∫µ0

α

)= lims //0

1s

(∫ b

a

µ∗sα−∫ b

a

µ0α

)

=∫ b

a

lims //0

µ∗sα− µ∗0αs

=∫ b

aL(X)α =

∫γ

L(X)αdt =


De acuerdo con este resultado, lo que se busca es la ecuacion de las curvas γ : [a, b] // Q que verificanγ(a) = P0, γ(b) = P1 y satisfacen la ecuacion

dds

∣∣∣s=0

∫µs

Ldt =∫γ

L(X)dt = 0

para toda variacion µ X de la curva.

Con el fin de obtener una expresion mejor de las ecuaciones de la curva es necesario el siguiente:

Lema 5 Dada γ : [a, b] // Q se verifica que

γ∗Ldt+ γ∗ELdt = γ∗ALdt = γ∗ΘL

( Dem. ) Sea t0 ∈ [a, b] y (qi, vi) un sistema de coordenadas canonicas en un entorno de γ(t0). Se tiene((γ∗AL)

ddt

)t0

= (γ∗AL)(t0) = AL(γ(t0))

=(vi∂L∂vi

)(γ(t0)) =

(vi∂L∂vi

)(γ(t0), γ(t0))

= γ(t0)∂L∂vi

∣∣∣γ(t0)

Por otra parte ((γ∗ΘL)

ddt

)t0

= ΘL

(Tt0 γ

ddt

)= (dL J)

(Tt0 γ

ddt

∣∣∣t0

)= (dL J)

(γi(t0)

∂

∂qi

∣∣∣γ(t0)

γi(t0)∂

∂vi

∣∣∣γ(t0)

)= (dL)

(γi(t0)

∂

∂vi

∣∣∣γ(t0)

)= γi(t0)

∂

∂vi

∣∣∣γ(t0)

y de ahı el resultado se obtiene de forma inmediata.


Ahora ya se esta en condiciones de determinar las ecuaciones para γ. Se tiene que

0 =dds

∣∣∣s=0

∫µs

Ldt =dds

∣∣∣s=0

∫ b

a

µ∗sLdt =dds

∣∣∣s=0

∫ b

a

µ∗sΘL − µ∗sELdt

=dds

∣∣∣s=0

∫µs

ΘL − ELdt =∫γ

L(X)ΘL − X(EL)dt =∫γ

d i(X)dΘL + i(X)dΘL − X(EL)dt

pero∫γ

d i(X)dΘL = 0 , por el teorema de Stokes y teniendo en cuenta que X(P0) = 0 = X(P1); de ahı

0 =∫γi(X)dΘL − X(EL)dt =

∫ b

a

γ∗(i(X)dΘL)− γ∗X(EL)dt

=∫ b

a

[dΘL(X, (Ttγ)ddt

)− X(EL)(γ(t))]dt

ya que

[γ∗(i(X)dΘL]ddt

∣∣∣t

= (i(X)dΘL)(

Ttγddt

)= (dΘL)γ(t)

(X,Ttγ

ddt

)de donde

0 =∫ b

ai(xγ(t)

[− i(

Ttγddt

)dΘL − dEL

]dt


Pero X es un campo arbitrario, luego teniendo en cuenta que Ttγddt

= (γ(t), ˙γ(t)) se obtiene que

− i(γ(t), ˙γ(t))dΘL = dEL

y, dado que −dΘL = ΩL, resulta quei(γ(t), ˙γ(t))ΩL = dEL

(Observese que (γ(t), ˙γ(t)) no es mas que el vector tangente a la curva γ(t).

Si se considera que las curvas γ(t) son curvas integrales de un campo vectorial XL ∈ X(TQ), comoconclusion, y dado que la curva γ es la subida canonica a TQ de una curva en Q, se tiene que dicho campoha de verificar

1. i(XL)ΩL = dEL

2. XL es una E.D.S.O. (J(XL) = ∆)

y estas, como ya se ha comentado anteriormente, son la expresion geometrica de las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Una ultima observacion es que, aun cuando se ha dicho que X es arbitrario, eso no es correcto: el que lo

es es X. No obstante, la forma i(

Ttγddt

)dΘL + dEL es semibasica, por lo que solo depende de X y no de

su subida X a TQ.

5.1.4 Relacion con el formalismo hamiltoniano canonico

En la presentacion axiomatica del formalismo hamiltoniano se comento que las ecuaciones dinamicas podıanser obtenidas a partir de un principio variacional. Vamos a aprovechar la discusion que se acaba de efectuarsobre la equivalencia entre los formalismos lagrangiano y hamiltoniano canonico para comentar brevementela relacion entre los principios variacionales en uno y otro formalismo.

Partiendo del principio variacional del formalismo lagrangiano y teniendo en cuenta las relaciones entrelos elementos geometricos y dinamicos de ambos formalismos; si FL : TQ // T∗Q la transformacion deLegendre definida por la lagrangiana L y γ : [a, b] // Q es una curva se tiene que

L(γ) =∫γ

Ldt =∫γ

ΘL − ELdt =∫γ

FL∗Θ−FL∗hdt

=∫γ

FL∗(Θ− hdt) =∫FLγ

Θ− hdt

de donde, si la curva γ es solucion del problema variacional de Hamilton (del formalismo lagrangiano),entonces la curva FL γ lo es del siguiente problema variacional: determinar curvas ζ : [a, b] // T∗Q conextremos fijos tales que el funcional

H(ζ) :=∫ζ

Θ− hdt

sea extremal.

Efectuando un calculo analogo al anterior (aunque algo mas sencillo al no haber subidas canonicas) seobtiene que las curvas solucion satisfacen las ecuaciones de Hamilton.

En los textos de Mecanica se recogen todos estos resultados de la siguiente manera:

Principios de mınima accion Dado un sistema lagrangiano (TQ,L) y su sistema hamiltonianocanonico asociado (T∗Q,Ω, h), se tiene:


Principio de mınima accion de Hamilton: La dinamica asociada al problema lagrangiano (TQ,L) estadada por las curvas γ : [a, b] // Q con extremos fijos que hacen mınimo el funcional

L(γ) :=∫γ

Ldt

Principio de mınima accion de Hamilton-Jacobi: La dinamica asociada al problema hamiltoniano (T∗Q, h)esta dada por las curvas ζ : [a, b] // T∗Q con extremos fijos que hacen mınimo el funcional

H(ζ) :=∫ζ

Θ− hdt


Agradecimientos

References

[1] R. Abraham, J.E. Marsden, Foundations of Mechanics (2nd ed.), Addison-Wesley, Reading, 1978.61, 72

[2] V.I. Arnold, Mathematical methods of classical mechanics. Graduate Texts in Mathematics 60.Springer-Verlag, New York, 1989. 65

[3] M. Crampin, “Tangent bundle geometry for Lagrangian dynamics”, J. Phys. A: Math. Gen. bf 16 (1983)3755–3772.

[4] A. Echeverrıa-Enrıquez, L.A. Ibort, M.C. Munoz-Lecanda, N. Roman-Roy, “Invariant formsand groups of automorphisms of multisymplectic manifolds”, Preprint 1996. 54

[5] A. Echeverrıa-Enrıquez, M.C. Munoz-Lecanda, N. Roman-Roy, “Geometrical setting of time-dependent regular systems. Alternative models”, Rev. Math. Phys. 3(3) (1991) 301-330. 40

[6] J. Gomis, J. Llosa, N. Roman-Roy, “Lee Hwa Chung theorem for presymplectic manifolds. Canonicaltransformations for constrained systems”, J. Math. Phys. 25(5) (1984) 1348-1355. 56

[7] X. Gracia, J.M. Pons, N. Roman-Roy, “Higher order lagrangian systems: geometric structures,dynamics and constraints”, J. Math. Phys. 32(10) (1991) 2744-2763. 40

[8] L. Hwa Chung, “The Universal Integral Invariants of hamiltonian Systems and Application to theTheory of Canonical transformations”, Proc. Roy. Soc. LXII A (1945) 237-246. 54

[9] L.A. Ibort, “Estructura geometrica de los sistemas con simetrıa en mecanica clasica y teorıa clasica decampos”. Ph. D. tesis, Univ. Zaragoza (1984).

[10] R. Kuwabara, “Time-dependent mechanical symmetries and extended hamiltonian systems ”, Rep.Math. Phys. 19 (1984) 27-38. 40

[11] M. de Leon, P.R. Rodrigues, Generalized Classical Mechanics and Field Theory, North-HollandMath. Studies 112, Elsevier, Amsterdam, 1985. 40

[12] P. Libermann, C.M. Marle, Symplectic geometry and analytical dynamics, D. Reidel PublisgingCompany, Dordrecht, 1987. 41

[13] J. Llosa, N. Roman-Roy, “Invariant forms and hamiltonian Systems: A Geometrical Setting”, Int.J. Theor. Phys. 27 (12) (1988) 1533-1543. 54

[14] C. Lopez, E. Martınez, M.F. Ranada, “Dynamical Symmetries, non-Cartan Symmetries and Su-perintegrability of the n-Dimensional Harmonic Oscillator ”, J. Phys. A: Math. Gen. 32 (1999) 1241-1249.68

[15] W. Sarlet, F. Cantrijn, “Higher-order Noether symmetries and constants of the motion”, J. Phys.A: Math. Gen. 14 (1981) 479-492. 68

[16] J.M. Souriau, Structure des systemes dynamiques, Dunod, Paris, 1969. 49

[17] J.E. Marsden, A. Weinstein, “Reduction of symplectic manifolds with symmetry”, Rep. Math. Phys.5 (1974) 121-130. 65

[18] J.E. Marsden, A. Weinstein, “Some comments on the History, Theory, and Applications of Sym-plectic Reduction”, Quantization of singular symplectic quotiens. N. Landsman, M. Pflaum, M. Schlichen-manier eds., Birkhauser, Boston (2001) 1-20. 65

GEOMETR IA DE LOS SISTEMAS DINAMICOS · Narciso Rom an-Roy] y Departamento de Matem atica Aplicada...

Documents

Transcript of GEOMETR IA DE LOS SISTEMAS DINAMICOS · Narciso Rom an-Roy] y Departamento de Matem atica Aplicada...