Gauss-Seidel

Para un sistema de ecuaciones en su forma expandida

a11x1+a12 x2+a13 x3∙ ∙ ∙+a1n xn=b1

a21 x1+a22 x2+a23 x3 ∙∙ ∙+a2n xn=b2

a31 x1+a32 x2+a33 x3 ∙ ∙∙+a3n xn=b3

: : : : : : :

an1 x1+an2 x2+an3 x3 ∙ ∙ ∙+ann xn=bn

Se utilizara el método de Gauss- Seidel para resolver el problema lineal. Siendo la deducción de este:

A ∙ x=(L+D+U ) ⋅ x=b

(L+D ) ⋅ xk+1=−U ∙ xk+b

xk+1=−(L+D )−1 ∙U⏟B

∙ xk+ (L+D )−1 ∙ b⏟d

xk+1=B ∙ xk+d

Esto resulta en la siguiente formula iterativa:

x i(k +1)= 1

aii (bi−∑j=1

i−1

(a ij x j(k+1 ))− ∑j=i+1

n

(aij x j(k ))); i=1,2 ,…,nLa iteración de Gauss-Seidel, se puede bosquejar en el siguiente sistema de ecuaciones:

x1(k +1)=

(b1−a12 x2(k )−a13 x3

(k)⋯−a1n xn(k))

a11

x2(k +1)=

(b2−a21 x1(k )−a23 x3

(k)⋯−a2n xn(k))

a22

x3(k +1)=

(b1−a12 x2(k )−a13 x3

(k)⋯−a1n xn(k))

a33

⋮ ⋮ ⋮⋱ ⋮

xn(k +1)=

(bn−an2 x2(k )−an3 x3

(k)⋯−an ,1−n xn−1(k+1))

a11

Criterios de convergencia para método Gauss-Seidel

Este método es efectivo cuando la matriz de coeficientes A es diagonal dominante por filas o por columnas, debido que se asegura la convergencia

Diagonal dominante por filas |aii|≥∑i=!i≠ j

n

|a ij|∀ i=1 ,…,n

Diagonal dominante por columnas |a jj|≥∑i=!i ≠ j

n

|ai j|∀ i=1 ,…,n

Un caso particular de convergencia asegurada para este método es cuando la matriz A es simétrica

(A=AT ) y definida positiva agregar que es