g2 Fis 4 2008 Hidrodinamica

Gua fsica N2.Hidrodinmica.4-2008.e.contreras.z. 1

INTRODUCCION:

La dinmica de fluidos estudia el comportamiento de los fluidos en movimiento.

Fluido ideal: es incompresible y carente de rozamiento interno o viscosidad ( propiedad que tiene un fluido de resistir a un movimiento interno).

Flujo: movimiento de un fluido.

Lnea de flujo: es la trayectoria seguida por un elemento de un fluido en movimiento. La velocidad del elemento vara, tanto en magnitud como en direccin, a lo largo de su lnea de flujo.

Flujo laminar, estable o estacionario: es el movimiento de un fluido en el que cada partcula del fluido sigue la misma lnea de flujo de los elementos precedentes. La velocidad en cada punto del espacio no vara con el tiempo. Al iniciarse, cualquier flujo pasa por un estado no estacionario, pero en muchos casos se convierte en estacionario al cabo de cierto tiempo.

Linea de corriente: es aquella curva cuya tangente en cualquier punto coincide con la direccin de la velocidad del fluido en dicho punto. En rgimen estacionario, las lneas de corriente coinciden con las lneas de flujo.

Tubo de flujo: es el volumen formado por todas las lneas de corriente que pasan por la periferia de un elemento superficial.

En la figura N1.a. se muestra las lneas de corriente de flujo de aire que pasan por dos obstculos estacionarios. Observe que las lneas de corriente se rompen cuando el aire pasa sobre el segundo obstculo ( fig. N1.b.), generando en este caso corriente turbulenta y remolinos. Estos pequeos remolinos representan el flujo turbulento y absorben gran parte de la energa del fluido, aumentando el arrastre por friccin a travs del fluido. FLUJO, GASTO O DESCARGA DE UN FLUIDO (Q). Se define como el volumen (V) de fluido

que pasa a travs de cierta seccin transversal en la unidad de tiempo (t) , es decir,

VQt

=

Consideremos un lquido que fluye con una velocidad media v a lo largo de una tubera, como se muestra en la figura 2. En un intervalo de tiempo t, cada partcula de la corriente se mueve a travs de una distancia x = v t. El volumen V que fluye a travs de la seccin transversal A en un tiempo t est dado por V = A x = A v t

Entonces el gasto se puede expresar como, t

tvAtVQ == Q = A V .

Las unidades del gasto se expresan como la relacin entre el volumen y el tiempo, es decir, entre otras son: litros/s , m3/s, pies3/s, etc.

GUIA DE FISICA N2 4 MEDIO 2008 DINAMICA DE FLUIDOS

PROF.: EUGENIO CONTRERAS Z. Scuola Italiana Vittorio Montiglio Fondata nel 1891

DEPTO. DE MATEMATICA Y FISICA

A

x = v t a b Fig. 2.

Fig. 1. (a) (b)


ECUACIN DE CONTINUIDAD.

Consideremos una superficie cerrada estacionaria en un fluido en movimiento. En general el fluido entra por una seccin transversal y sale por otra. Para un fluido incompresible en flujo estacionario, se tiene: Sean, A1 y A2 : secciones transversales del tubo de flujo. v1 y v2 : velocidades en secciones A1 y A2. V1 y V2 : volumen de fluido que penetra en el tubo a travs de las secciones transversales en un intervalo de tiempo t y es el contenido en los elementos cilndricos de bases A1 y A2.

Los volmenes son respectivamente,

V1 = A1 x1 = A1 v1 t y V2 = A2 x2 = A2 v2 t

Si es la densidad del fluido y m = V , entonces:

m1 = V1 = A1 v1 t y m2 = V2 = A2 v2 t

El volumen comprendido entre A1 y A2 es constante, es decir la masa que sale es igual a la que entra,

Luego A1 v1 t = A2 v2 t A1 v1 = A2 v2 = Q . Ecuacin de continuidad

Esta ecuacin nos indica que si el fluido es incompresible y no tomamos en cuenta los efectos de la friccin interna, el gasto Q permanecer constante. Esto significa que una variacin en la seccin transversal de una tubera, como se muestra en la fig. 3., da como resultado una variacin en la velocidad del lquido, de forma tal que el producto Av permanece inalterable.

Es decir, un lquido fluye con ms rapidez a travs de un seccin estrecha de una tubera y ms lentamente a travs de secciones ms amplias. Este principio es la causa de que el agua fluya ms rpido cuando las orillas de un ro en algunas partes estn ms cercanas entre s. EJEMPLO 3:

El agua fluye a travs de una manguera de 2 cm de dimetro con una velocidad de 6 m/s. (a) Qu dimetro debe tener el chorro de agua si esta sale a 18 m/s?. (b) Cul es el caudal o gasto en m3/min?.

SOLUCION: d1 = 2 cm ; r1 = 1cm = 0,01 m , v1 = 6 m/s. d2 = ? , v2 = 18 m/s

a.) El caudal en cualquier punto de la manguera es el mismo, de modo que por ecuacin de continuidad se tiene que,

A1 v1 = A2 v2

Pero A1 = r12 y A2 = r22 r12 v1 = r22 v2 0,00577m1860,01m

vvrr

2

112 ===

Luego, d2 = 2 r2 = 0,01154(m) b.) Q = A1 v1 = r12 v1 = 3,14 (0,01m)2 6 (m/s) Q = 1,884 10-3(m3/s) TEOREMA DE BERNOULLI La relacin entre la rapidez del fluido, la presin y la elevacin fue derivada por primera vez en 1738 por el fsico suizo Daniel Bernoulli. Consideremos el flujo de un fluido ideal por un tubo no uniforme en un tiempo t, como se muestra en la figura. La fuerza ejercida por el fluido en la seccin (1) tiene una magnitud F1 = P1 A1. El trabajo realizado por esta fuerza en el tiempo t es,

W1 = F1 x1 = P1 A1 x1 = P1 V1 con V1 volumen de la seccin 1.

De forma similar, el trabajo realizado por el fluido en la seccin (2) en el mismo tiempo t es,

W2 = - F2 x2 = - P2 A2 x2 = - P2 V2 con V2 volumen de la seccin 2.

v1

v2

A1

A2

Fig. 3.

x1=v1 t

x2=v2 t

v1

v2

x1

h2

a b

c

d

x2

h1

F2

flujo

F1

Seccin 1

Seccin 2


Este trabajo es negativo porque la fuerza del fluido se opone al desplazamiento. As el trabajo neto hecho por estas fuerzas en el tiempo t es:

W = W1 + W2 = P1 V1 - P2 V2

Pero V1 = V2 = V , (por ecuacin de continuidad), entonces: Wneto = ( P1 P2 ) V .

Variacin total de la energa cintica.

Se sabe que K = mv2 y m = V Entonces, K1 = mv12 = V v12 y K2 = mv22 = V v22

Luego, K = V ( v22 - v12 ) Variacin total de la energa potencial.

Se sabe que Ug = m g h y m = V

Entonces, Ug1 = m g h1 = V g h1 y Ug2 = m g h2 = V g h2

Luego, Ug = g V ( h2 - h1 )

Como Wneto = K + Ug

( P1 P2 ) V = V ( v22 - v12 ) + g V ( h2 - h1 )

Dividiendo por V y ordenando se llega a,

P1 + g h1 + v12 = P2 + g h2 + v22 donde, P1 y P2 son presiones absolutas. g h1 y g h2 son presiones manomtricas v12 y v22 son presiones dinmicas.

Finalmente, P + g h + v2 = Constante Teorema de Bernoulli

El teorema de Bernoulli encuentra aplicacin en casi todos los aspectos del flujo de fluidos. La presin P debe reconocerse como la presin absoluta y no la presin manomtrica. Recuerde que es la densidad y no el peso especfico del fluido. Adems las unidades de cada trmino de la ecuacin de Bernoulli son unidades de presin. APLICACIONES DEL TEOREMA DE BERNOULLI. a.) En diversas situaciones fsicas, la velocidad, la altura o la presin de un fluido son constantes. En

tales casos, la ecuacin de Bernoulli adquiere una forma ms sencilla. Por ejemplo, cuando un lquido de densidad es estacionario, las velocidades v1 y v2 valen cero. En este caso la ecuacin de Bernoulli se puede escribir en la forma,

P2 - P1 = g ( h1 - h2 ) .

Esta ecuacin es la misma estudiada para los fluidos en reposo. b.) Velocidad de salida Sean v1 y v2 las velocidades del fluido en los puntos 1 y 2 respectivamente. La magnitud v2 se llama velocidad de salida y P2 = Po ( presin atmosfrica) Luego, por Bernoulli: P1 + g h1 + v12 = P2 + g h2 + v22

Como h2 = 0 y P2 = Po , entonces, 2 2 1 o2 1 1P Pv v 2 2gh = + +

Es importante tener presente que el Teorema de Bernoulli no es aplicable para vasijas con gas, ya que en este caso el movimiento es turbulento.

h1

1

2

Aire P1 A1

Nivel (h2=0) A2

h1

1

2

Aire P1 A1

Nivel (h2=0)


Casos especiales:

b1.) Depsito abierto a la atmsfera, es decir P1 = P2 = Po ( presin atmosfrica)

Se cumple que, 121

22 2ghvv +=

Adems, si A1 >> A2 ( A1 mucho mayor que A2), entonces v12 > A2 entonces v12 AA v2 > v1

Luego, P1 = P2 + ( v22 - v12 )

Considerando en esta expresin que v2 > v1 , se demuestra que la presin en la parte ms ancha ( A1 > A2) es mayor, es decir P1 > P2.

A1

v1 v2

A2

Nivel: h1 = h2 = 0

h1

1

2

Aire P1 A1

Nivel (h2=0)

Agua

P2=Po


EJEMPLO 5.

A travs del tubo de la figura que se encuentra conectado a un manmetro con mercurio, circula un cierto caudal de agua. La seccin transversal del tubo es de 40 cm2 en la parte ms ancha y de 10 cm2 en el estrechamiento. La descarga del tubo es de 3000 cm3/seg. Determine: a.) las velocidades en las partes anchas y estrechas. b.) la diferencia de presin entre estas partes. c.) la diferencia de altura entre las columnas de mercurio.

SOLUCION: A1 = 40 cm2 ; A2 = 10 cm2 Q = 3000 cm3/seg. agua = 1(gr/cm3) ; Hg = 13,6 (gr/cm3)

a.) Q = A v 3

1 21

Q 3000(cm / s)vA 40(cm )

= = v1 = 75(cm/s)

3

2 22

Q 3000(cm / s)vA 10(cm )

= = v2 = 300(cm/s) b.) Por Bernoulli P1 + g h1 + v12 = P2 + g h2 + v22

Como ambos puntos se encuentran a la misma altura, entonces h1 = h2

Luego, P1 + v12 = P2 + v22

Ordenando y factorizando, P1 - P2 = ( v22 - v12 ) P1 - P2 = 1(gr/cm3) ( (300 cm/s)2 - (75 cm/s)2 )

P1 - P2 = 42.187,5 (dina/cm2). c.) P1 - P2 = Hg g h

21 2

3 2Hg

P P 42.187,5(dina / cm )hg 13,6(gr / cm )980(cm / s )

= = h = 3,1(cm)

EJERCICIOS PROPUESTOS.

1.) A travs de un tubo de 8 cm de dimetro fluye aceite a una velocidad promedio de 4 m/s. Cul es el flujo Q en m3/s y m3/h?. R.: 0,02 m3/s ; 72 m3/h.

2.) Por una manguera de 1 pulgada de dimetro fluye gasolina a una velocidad media de 5 pie/s.

Cul es el gasto en galones por minuto (1 pie = 30,48 cm ; 1 pulg = 2,54 cm ; 1 pie3 = 7,48 galones)?. Qu tiempo se requiere para llenar un estanque de 20 galones?. R: 12,2 gal/min ; 1,63 min.

3.) De un Terminal de 3 cm de dimetro fluye agua con una velocidad media de 2 m/s. Cul es el gasto en litros por minuto ( 1 m3 = 1000 litros)? , Cunto tiempo se requiere para llenar un recipiente de 40 litros?. R:

4.) Qu dimetro debe tener una manguera para que entregue 8 litros de aceite en 1 min con una

velocidad de salida de 3m/s ?. R: 7,52 min. 5.) Fluye agua a 6 m/s por un tubo de 6 cm conectado a otro de 3 cm. Qu velocidad tiene en el

tubo pequeo?. Es mayor el gasto en el tubo pequeo?. R: 24 m/s , no 6.) Qu velocidad de salida lleva el agua al salir por una grieta de un recipiente a 6 m por debajo

de la superficie?. Si el rea de la grieta es de 1,3 cm2, cul es el gsto del agua al salir del recipiente?. R: 10,8 m/s ; 1,4110-3 m3/s

7.) Un luido sale de un tubo de 6 mm de dimetro de tal modo que pasan 200 ml en 2 s. Qu

velocidad media tiene el fluido en el tubo?. R: 0,221 m/s 8.) a.) Una manguera de agua de 2 cm de dimetro se usa para llenar una cubeta de 20 litros. Si le

toma 1 min llenar la cubeta, cul es la rapidez a la cual se mueve el agua a travs de la manguera?. ( Nota: 1 Lt = 1000 cm3) b.) Si la manguera tiene una boquilla de 1 cm de dimetro encuentre la rapidez del agua en la boquilla. R.: a) 106 cm/s , b) 424 cm/s.

h

1

2


9.) Una cubeta horizontal de 10 cm de dimetro tiene una reduccin uniforme hasta una tubera de 5 cm de dimetro. Si la presin del agua en la tubera ms grande es de 8104 Pa y la presin en la tubera pequea es de 6104 Pa, cul es la rapidez de flujo de agua a travs de las tuberas?. R.: 12,8 kg/s

10.) En un gran tanque de almacenamiento abierto en la parte superior y lleno de agua se forma un pequeo hoyo en su costado, en un punto 16 m debajo del nivel del agua. Si la relacin de flujo de la fuga es de 2,510-3 m3/min, determine a) la rapidez a la cual el agua sale por el hoyo, y b) el dimetro de ste. R.: a) 17,7 m/s , b) ,173 mm.

11.) A travs de un tubo horizontal de seccin transversal variable se establece un flujo de agua estacionario. En un lugar la presin es de 130 kPa y la velocidad es 0,60 m/s. Determine la presin en otro punto del mismo tubo donde la velocidad es 9 m/s. R.: 90 kPa.

12.) Un tubo horizontal tiene la forma que se presenta en

la figura. En el punto 1 el dimetro es de 6 cm, mientras que en el punto 2, es de slo 2 cm. En el punto 1, v1 = 2 m/s y P1 = 180 kPa. Calcule v2 y P2. R.: 18m/s ; 20 kPa.

13.) El tubo que se muestra en la figura tiene un dimetro

de 16 cm en la seccin 1 y 10 cm. en la seccin 2. En la seccin 1 la presin es de 200 kPa. El punto 2 est 6 m ms alto que el punto 1. Si un aceite de densidad 800 kg/m3, determine la presin en el punto 2 si los efectos de la viscosidad son despreciables. R.: 1,5105 kPa.

14.) Se muestra en la figura un medidor de Venturi

equipado con un manmetro diferencial de mercurio. En la toma, punto 1, el dimetro es de 12 cm, mientras que en la garganta, punto 2, el dimetro es 6 cm. Cul es el flujo Q del agua a travs del medidor, si la lectura en el manmetro es de 22 cm?. La densidad del mercurio es de 13,6 g/cm3. R.: 0,022 m3/s.

BIBLIOGRAFIA. FISICA GENERAL, FREDERICK J. BUECHE. FISICA , FRANCIS W.SEARS Y MARK W. SEMANSKY FISICA , RESNICK HALLIDAY . TOMO I.

1

2

6 cm 2 cm

10cm

16cmv1

v2 2

1

6 m

b 22cm

a

y

1

2

v1

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