Hidrodinamica FISICA 2

fluidos, características, ecuación de continuidad, ecuación de Bernoulli, fuerza de sustentación sobre el ala de un avión, teorema de Torricelli, tubo de Venturi , tubo de Pitot, viscosidad, ley de Poiseville, ley de Stokes y efecto Magnus

Un fluido ideal esIncompresible si su densidad no cambia yno tiene fricción interna (viscosidad)El camino de un partícula individual en un fluido en movimiento se llama línea de flujo. Si el patrón del flujo no cambia con el tiempo, se considera que el flujo es estable.

El flujo puede ser:Laminar, en el que las capas adyacentes de fluido se deslizan suavemente unas sobre otras.Turbulento, donde el flujo es irregular y caótico.

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El producto de la rapidez del fluido ideal por el área que atraviesa es constante en todos los puntos.

Para un fluido incompresible y en flujo estable

De donde se deduce la ecuación de continuidad,

El producto Av es la razón del flujo de volumen o la rapidez con que el volumen cruza una sección del tubo,

También el producto Av se conoce como gasto o caudal y se mide en el SI en m3/s.


3

dtvAdtvAdmdm

2211

21

2211 vAvA

AvdtdV

La ecuación de Bernoulli relaciona la presión p, la rapidez de flujo v y la altura y de dos puntos 1 y 2 cualesquiera, suponiendo un flujo estable en un fluido ideal

O en forma general


4

2222

2111 2

121 vygpvygp

constante21 2 vygp

Sustentación del ala de un avión.La figura muestra líneas de flujo alrededor de un corte de ala de un avión. Las líneas se aprietan arriba del ala, lo que corresponde a una mayor rapidez del flujo y una presión reducida en esta región. Como la presión es mayor por debajo del ala, la fuerza que actúa hacia arriba por el lado inferior del ala es mayor que la que actúa hacia abajo por el lado superior; hay una fuerza neta hacia arriba o sustentación.


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El teorema de Torricelli y es válido también para agujeros en una pared a una profundidad h bajo la superficie de un líquido, siempre que A1 sea mucho mayor que A2 o que v1 tienda a cero.

Si el tanque estuviera abierto,

Es la misma que adquiere un cuerpo que cae una altura h.

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hgρ

ppv a 22 02

pa

v2

p0

A2

v1A1

h

hgv 22

pa

v2

pa

A2

v1A1

h

Medidor de VenturiEl medidor Venturi. La figura muestra un medidor Venturi que se usa para medir la rapidez de flujo de un tubo. La parte angosta del tubo se llama garganta. Deduzca una expresión para la rapidez de flujo v1 en función de las áreas transversales A1 y A2 .y la diferencia de altura h en los tubos verticales.

Aplicando Bernoulli entre los puntos 1 y 2 (y1 = y2),

De la ecuación de continuidad,

Para obtener la diferencia de presiones, consideremos como H la altura del líquido encima del punto 2, Entonces,

finalmente


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222

211 2

121 vpvp

2112 AvAv

Hhgpp a 1gHpp a 2

hgpp 21

12

221

1

AAhgv

Tubo de Venturi

Una aplicación de la Ecuación de Bernoulli es el tubo de Venturi, que se usa para medir la velocidad de flujo de un fluido.Un fluido de densidad rF fluye por un tubo de sección transversal A1. La superficie disminuye en el cuello a A2 y se sujeta un manómetro como se muestra en la figura. El manómetro contiene un fluido de densidad rL. La ecuación de Bernoulli se escribirá así:


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L2 2

2gas 2

1

2 ghv AA(1 )A

Tubo de VenturiEntre las aplicaciones más comunes se encuentran las siguientes: Automotriz. , Limpieza. Métodos de captación de la energía eólica. Y Biológica. En la industria automotriz se utiliza comúnmente en el carburador de un automóvil, El suministro de gasolina de un motor con carburador se consigue utilizando un tubo de Venturi. Para lograr la carburación adecuada, el aire acelera su paso en el Venturi. El vacío que se genera es suficiente para permitir que la presión atmosférica empuje la gasolina desde la cámara del flotador hacia la garganta del carburador. La salida de gasolina se controla mediante la altura de nivel de bencina, en la cámara del flotador y un orificio calibrado (jet).

En el área de limpieza se utilizan para realizar la eliminación de la materia suspendida en ambientes industriales por medio de lavadores dinámicos de rocío. En este sistema, el gas se fuerza a través de la garganta de un tubo de Venturi, en la que se mezcla con rocíos de agua de alta presión


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Tubo de Pitot

Este dispositivo sirve para medir la rapidez de flujo de un gas. Por un lado, se tiene la presión estática del gas en las aberturas “a” del tubo. Por otro, la presión en “b”, que corresponde a la presión del fluido en reposo.La ecuación de Bernoulli para esos puntos da:

Si sustituimos la diferencia de presiones por la lectura del manómetro que contiene un fluido de densidad rF, se tiene:


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2a b1P v P2

F2 ghv

Anemómetro de presión hidrodinámicaCuando el viento impacta sobre una superficie, en ella se produce una presión adicional que depende de esa velocidad, si esta presión se capta adecuadamente, y se conduce a un instrumento medidor, tendremos un anemómetro de presión.

Para capturar esta presión se utiliza el llamado tubo de Pitot.

La diferencia de presión entre los extremos del tubo de Pitot hará que la columna líquida se desplace de un lado, la diferencia de altura será proporcional a la velocidad del viento incidente en la boca del tubo y servirá como indicador de esta.


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Flujo Viscoso

La viscosidad es el rozamiento interno entre las capas de fluido. A causa de la viscosidad, es necesario ejercer una fuerza para obligar a una capa de fluido a deslizar sobre otra.Determinación de la viscosidad


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Entre dos capas de fluido que están separadas por una distancia dx habrá una diferencia de velocidad igual a:

dvF Adx

Fluido Temperatura µ (Pa.s)Aceite de

motor20 1,0 x10-3

Sangre 20 0,11

Glicerina 37 4,0 x 10-3

Aire 20 1 500 x10-3

Gasolina 20 0,0018 x 10-3

Agua 20 2,9x 10-4

¿Por qué se acumula el polvo en la paleta del ventilador?

En las paletas del ventilador la velocidad de las partículas de polvo es nula debida al hecho de que la viscosidad del aire es = 1,73 x 10-5 Pa.s. Como resultado de esto, se tiene un ventilador lleno de polvo.


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Ley de Poiseville

Consideremos un fluido viscoso que circula en régimen laminar por una tubería de radio interior R, y de longitud L, bajo la acción de una fuerza debida a la diferencia de presión existente en los extremos del tubo. Integrando la ecuación (de r a R y de v a 0)

se obtiene el perfil de velocidades en función de la distancia radial, al eje del tubo.

Esta expresión corresponde a un perfil parabólico para las velocidades, característico del flujo viscoso


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21 2F P P r

dvF Adr

2 dvF rLdr

21 2

2P P r dv

rL dr

rp1π r2 p2 π r2

L

R

21 2

2P P r dv

rL dr

Ley de Poiseuille: Perfil de velocidades

:

.

La velocidad máxima en el centro del tubo (r=0).La velocidad mínima se da en los bordes del tubo (r=R).


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2 21 2( ) ( )4p pv r R rL

Ley de Poiseuille: Caudal o GastoEl caudal de fluido dQ que circula por el anillo de radio r y espesor dr es:

El caudal total se obtiene tomando en cuenta la expresión para la velocidad

Esta ley relaciona la diferencia de presiones ∆P con el caudal


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( ) ( )2dQ v r dA v r rdr

2 21 2( ) ( )4p pv r R rL

2 2

0 0

( )24

Q R PQ dQ R r rdrL

R

rr+dr

4

8RQ PL

Fluye agua a 20ºC (viscosidad = 1,005 centipoise) por un tubo de 20,0 cm de radio. Si la rapidez del agua en el centro del tubo es de 3,00 m/s, diga cuánto valdrá a) a 10,0 cm del centro; b) en la pared del tubo.Solución:

Una aguja hipodérmica tiene 3,00 cm de largo y 0,300 mm de diámetro. ¿Qué exceso de presión se requiere a lo largo de la aguja para que el flujo de agua a través de la misma sea de 1,00 g/s?Solución:


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2 21 2(0) ( 0 )4p pv RL

2 21 233,0 (0,20 0 )

4 1,005 10p p

L

1 2 0,302p p PaL m

2 23

0,302(10,0 ) (0,20 0,10 )4 1,005 10

v cm

mv cms

(10,0 ) 2,25

m VQ Q mV

QQ

4m R PQ

8 L

m4

8Q LPR

5P 1,51 10 Pa

Fluye agua a 20ºC (viscosidad = 1,005 centipoise) por un tubo horizontal de 20,0 m de largo. El flujo es laminar, y el agua llena todo el tubo. Una bomba mantiene una presión manométrica de 1 400 Pa en un gran tanque en un extremo del tubo. El otro extremo está abierto al aire. Si el tubo tiene 8,00 cm de diámetro, calcule el caudal.Solución:


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41 2

8R P PQ

L

4

3(0,080) 1400

8 1,005 10 20Q

3

1,12mQs

Un flujo laminar puede volverse turbulento si es que excede cierto valor critico de rapidez.El número de Reynolds es una magnitud adimensional que sirve para determinar si el flujo es laminar o turbulento. El número de Reynolds para un flujo de fluido de radio R se define como:

Si Re < 1 500, el flujo es turbulentoSi Re < 1 000, el flujo es laminar

La velocidad media de la sangre en la aorta (r=1,19 cm) durante la parte estacionaria del latido del corazón es de unos 35,0 cm/s . ¿es laminar o turbulento el flujo? La viscosidad de la sangre es 2,08 x 10-3 Pa.sSolución:


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evRR

3 2 2

e 3

1,1 10 35,0 10 1,19 10R

2,08 10

eR 2203

Flujo turbulento

La sangre tiene un coeficiente de viscosidad 5 veces el del agua y pasa por la aorta a una rapidez media de 72 cm/s . Calcule el radio mínimo de la aorta por encima del cual se presentaría turbulencia.Solución:η= 5 ηagua=5,0 x10-3 Pa.s, ρsangre =1 050 kg/m3; NRe=1500Dada la expresión:

El radio mínimo para que se produzca turbulencia debe ser:


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ee

vR RR Rv

3

2

1500 5,0 101050 72 10

R

39,9 10R m

Movimiento a través de un fluido: Ley de Stokes

Sobre el sistema actúan tres fuerzas:

Cuando se da el equilibrio dinámico de las 3 fuerzas resulta:

vs es la velocidad terminal, la cual se alcanza cuando se establece el equilibrio y es igual a:


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343o o ow m g R g

343f

E R g

6rF R v w

Fr

E

3 34 463 3f s oR g Rv R g

2

lim2 ( )9 o fR gv

Viscosidad


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Calcule la velocidad de caída de una gota de lluvia de 10-3 cm de radio, la viscosidad del aire es 1,00 x10-3 Pa.s, la densidad del agua es 1,00 x103 kg/m3, la densidad del aire es 1,00 kg/m3 .Solución:Dada la expresión para la velocidad terminal:

Remplazamos los datos:

Una esfera de cobre de 0,400 g cae con una rapidez terminal de 5,00 cm/s en un líquido desconocido. SI la densidad del cobre es de 8 900 kg/m3 y la del líquido es de 2 800 kg/m3, ¿qué viscosidad tiene el líquido?Solución

El radio de la esfera de cobre es:


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22 ( )9s agua aireR gv

232

3lim 3 3

1,00 10 9,812 (1,00 10 1,00)9 1,00 10 .

mm kgsvPas m

2,18smvs

2

lim2 ( )9 Cu lR gv

133

4mR

13 33 0,400 104 8900

R

32,21 10R m

Efecto MagnusEl efecto Magnus, denominado así en honor al físico y químico alemán Heinrich Gustav Magnus (1802-1870).Es un fenómeno físico por el cual la rotación de un objeto afecta a la trayectoria del mismo a través de un fluido, en particular, el aire. Es el resultado de varios fenómenos, incluido el principio de Bernoulli y el proceso de formación de la capa límite en el fluido situado alrededor de los objetos en movimiento.

Motor Flettner. El efecto Magnus se usó en sistemas de propulsión compuestos por grandes cilindros verticales (rotores pasivos) capaces de producir un empuje hacia adelante cuando la presión del aire es lateral; esto es, la presión del aire hace girar al cilindro llamado rotor al mismo tiempo que hace avanzar la nave de modo perpendicular al aire en movimiento.


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