FUNCIONES LINEÁLES Y CUÁDRATICAS

Y SU REPRESENTACIÓN EN EL PLANO CARTESIANO

FUNCIÓN

EN MATEMÁTICA, UNA FUNCIÓN (F) ES UNA RELACIÓN ENTRE UN CONJUNTO DADO X (LLAMADO DOMINIO) Y OTRO CONJUNTO DE ELEMENTOS Y LLAMADO COTRADOMINIO) DE FORMA QUE A CADA ELEMENTO X DEL DOMINIO LE CORRESPONDE UN ÚNICO ELEMENTO F(X) DEL CODOMINIO (LOS QUE FORMAN EL RECORRIDO, TAMBIÉN LLAMADO RANGO O ÁMBITO).

RELACIÓN

SE ESTABLECE CUANDO DOS O MÁS VARIABLES SIGUEN UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA O ASOCIACIÓN. EN ELLA A CADA ELEMENTO DEL DOMINIO SE LE PUEDE ASIGNAR UNO O MÁS ELEMENTOS DEL CONTRADOMINIO.

“TODAS LAS FUNCIONES SON RELACIONES…PERO NO TODAS

LAS RELACIONES SON FUNCIONES”

En una función los elementos del dominio no se pueden relacionar con más de un elemento del contradominio, en una relación sí. Sin embargo en una función los elementos del contradomino pueden tener correspondencia con más de un elemento del dominio.

PARTES DE UNA FUNCIÓN

DOMINIO: Es un conjunto de elementos (A). Son los valores que puede tomar el termino independiente.

ARGUMENTOS: Son los elementos del dominio.

CONTRADOMINIO/CODOMINIO: Es un segundo conjunto de elementos (B), que dependen del Dominio.

IMÁGENES: Son los elementos del codominio que están asociados con algún argumento.

RANGO: Es el conjunto del codominio que contiene a todas las imágenes de la función. Puede coincidir con el codominio.

REGLA DE CORRESPONDENCIA: Es la función que satisface la relación de los dos conjuntos.

DESARROLLANDO FUNCIONESfórmula de una función: y=

f(x) Dominio: x Contradominio: y Dominio= {-∞ - +∞} Así que le daremos valores a X para

encontrar y.

• Establece la regla de correspondencia para para la siguiente función

• Para el Dominio { 1,2,3,4,5 } que atiende la regla f(x)= 2x+3 Determina el codominio y rango

• Para el dominio { 1, √3 , 4, √9, 16} que atiende a la regla f(x)= x²+ 1 Determina el contradominio y el Rango.

• Señala cuál es la regla de correspondencia, el dominio y el rango de la siguiente relación. R= { (1,1), (2,4), (3,9), (4,16) }

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

FUNCIÓN LINEAL

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó

y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y. Ambas son constantes.

ESTA ES LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LINEAL Y = 3X + 2

VEMOS QUE

M= 3 Y B = 2

(DE LA FORMA Y = MX + B)

ESTE NÚMERO M SE LLAMA PENDIENTE DE LA RECTA Y ES LA RELACIÓN ENTRE LA ALTURA Y LA BASE, AQUÍ VEMOS QUE POR CADA UNIDAD RECORRIDA EN X LA RECTA SUBE 3 UNIDADES EN Y POR LO QUE LA PENDIENTE ES M = 3.  B ES EL INTERCEPTO DE LA RECTA CON EL EJE Y (DONDE LA RECTA SE CRUZA CON EL EJE Y)

Si el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente.

Si el valor de la pendiente es negativo la función es decreciente.

DETERMINA LA EXPRESIÓN DE LAS FUNCIONES CUYA REPRESENTACIÓN GRÁFICA ES LA SIGUIENTE.

FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax2 + bx + c Donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto

de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

ax2 es el término cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente

En la ecuación de segundo grado o cuadrática si tiene todos los términos se dice que es un ecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta.

Por ejemplo y= x² el valor del coeficiente (a)

es 1

b y c son 0.

La representación gráfica de una función cuadrática, es una

curva llamada parábola.

DICHA PARÁBOLA CARACTERÍSTICAS O ELEMENTOS: ORIENTACIÓN O

CONCAVIDAD (RAMAS O BRAZOS)

PUNTOS DE CORTE CON EL EJE DE ABSCISAS (RAÍCES)

PUNTO DE CORTE CON EL EJE DE ORDENADAS

EJE DE SIMETRÍA VÉRTICE

Orientación o concavidadLa parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba

Una parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la

ax2).

Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como

en

f(x) = 2x2 − 3x − 5

Si  a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en

f(x) = −3x2 + 2x + 3

cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.

Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X)

Los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse.

Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos

f (x) = 0.

Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores  de x  para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo que f(x) = 0.

Entonces hacemos ax² + bx +c = 0

Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula

PROBLEMAS ALGEBRAICOS DE: ECUACIONES LINEALES

f(x)= mx+b

ECUACIONES CUADRÁTICAS

f(x)= ax² + bx + c

En una examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto vale un punto y cada error resta dos puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado Juan?, ¿cuántas ha fallado?

Llamemos entonces x al número de respuestas acertadas e y al de falladas.En la segunda fase, hay que efectuar el planteamiento del problema. Atendiendo a las condiciones que nos propone el enunciado y a cómo hemos nombrado las incógnitas, tendremos las siguientes ecuaciones:

El número total de preguntas es 20, luego: x + y = 20La nota es un 8 y cada fallo resta dos puntos: x - 2y = 8

De la segunda ecuación: x = 2y + 8 ;sustituyendo en la primera:2y + 8 + y = 20 ⇒ 3y = 12 ⇒ y = 12/3 ⇒ y = 4 ;sustituyendo en la ecuación del principio: x = 16 .

Una vez halladas las soluciones del sistema, las traducimos a las condiciones del problema, es decir, tal y como habíamos nombrado las incógnitas, Juan ha acertado 16 preguntas y ha fallado 4.

1. El costo total de 5 libros de texto y 4 lapiceros es de $32.00; el costo total de otros 6 libros de texto iguales y 3 lapiceros es de $33.00. Hallar el costo de cada artículo. *Sea x= el costo de un libro en pesos, y y= el costo de un lapicero en pesos.

2. Se tienen $120.00 en 33 billetes de a $5 y de a $2. ¿Cuántos billetes son de $5 y cuántos de $2? *Sea x= el número de billetes de $2 y  y= el número de billetes de $5. Según las condiciones: x+y =33.

3. Carmen tiene 16 años y sus dos hermanos pequeños tienen 2 y 3 años. ¿Cuántos años han de pasar para que el doble de la suma de las edades de los hermanos de Carmen sea la misma que la que tiene ella?

*Resuelve y grafica las siguientes expresiones lineales

* 2(2x-3)= 6+x

* 3x+2-(4x-1-9x)= 6x-1

* 2x+2+3x+5=3+2

* 4(x-10)= -6(2-x) .6x

POR MEDIO DE LA RAÍZ CUADRADA 

 

POR MEDIO DE LA FÓRMULA CUADRÁTICA 

 

Ecuaciones cuadráticas (de segundo grado)

1.El triple del cuadrado de un número aumentado en su duplo es 85. ¿Cuál es el número?

2. El área de un cuadrado de lado (4x-1) es 49. Determina el perímetro del cuadrado.