FUNCIONES DEL PLANO FUNCIONES DEL PLANO EN EL PLANOEN EL PLANO

Profesora Responsable :Profesora Responsable : Nathalia WeigleNathalia Weigle

ndicendice IntroduccinIntroduccin Transformaciones geomtricasTransformaciones geomtricas SimetraSimetra TraslacinTraslacin RotacinRotacin

Arte y geometraArte y geometra Arte y geometraArte y geometra Frisos Frisos MosaicosMosaicos Polgonos regularesPolgonos regulares TeselacionesTeselaciones MauritisMauritis Cornelius Cornelius EscherEscher Ejemplos en la vida realEjemplos en la vida real

As se trabajAs se trabaj

IntroduccinIntroduccin

OPINIONESOPINIONES ::

EsteEste trabajotrabajo tratatrata dede explicarexplicaralgunosalgunos dede loslos temastemas dedematemticamatemtica queque encontramosencontramos

EsteEste materialmaterial tienetiene comocomoobjetivoobjetivo principalprincipal serser claroclaro yysencillosencillo parapara elel aprendizajeaprendizaje..

TrataTrata dede hacerhacer comprendercomprender yyaprenderaprender conceptosconceptos comocomo eleldede traslacin,traslacin, rotacinrotacin yymatemticamatemtica queque encontramosencontramos

interesantesinteresantes yaya queque comocomotodostodos sabensaben laslas MatemticasMatemticassonson unauna parteparte importanteimportante dedelala vidavida cotidiana,cotidiana, aacontinuacincontinuacin sese presentapresenta unaunaserieserie actividadesactividades dedeinvestigacininvestigacin parapara trabajartrabajarconcon loslos alumnosalumnos..

dede traslacin,traslacin, rotacinrotacin yysimetrasimetra..

MuestraMuestra dede formaforma dinmicadinmica eeilustradailustrada lala creacincreacin desdedesde lalaantigedadantigedad dede obrasobras dede arteartequeque utilizaronutilizaron comocomo fuentefuente dedeinspiracininspiracin lala bellezabelleza dede lalaperfeccinperfeccin matemticamatemtica..

Transformaciones Transformaciones GeomtricasGeomtricas

Un movimiento transforma una figura plana en otra figura de igualforma y tamao. Los movimientos se clasifican en traslaciones,simetras y giros.

Una transformacin geomtrica en el plano es la que nos permiteUna transformacin geomtrica en el plano es la que nos permiteobtener un punto P` a partir de otro punto P mediante una reglaprecisa.

Un movimiento es una transformacin geomtrica que conserva lasdistancias y los ngulos.

http://youtu.be/LJturc6OllI

Simetra Axial.Simetra Axial.Las simetras son movimientos muy utilizados en diversos campos del conocimiento, como la arquitectura, el diseo, el arte y la moda.Es una transformacin isomtrica fijada por una recta llamada eje Es una transformacin isomtrica fijada por una recta llamada eje de simetra.de simetra.Adems, es un concepto geomtrico que tiene especial importancia en el estudio de las funciones. Es una funcin cuyo dominio y codominio son parte del plano. El punto A va a tener como imagen al punto A`.punto A va a tener como imagen al punto A`.

Propiedades de la simetra Propiedades de la simetra axial.axial.

11::LaLa simetrasimetra axialaxial:: LaLa imagenimagen dede unun segmentosegmento enen unauna simetrasimetraaxialaxial eses otrootro segmentosegmento dede igualigual longitudlongitud..

22:: LasLas figurasfiguras simtricassimtricas conservanconservan ngulos,ngulos, rearea yy permetropermetro..

33:: EnEn unauna simetrasimetra axialaxial loslos puntospuntos pertenecientespertenecientes alal ejeeje dedesimetrasimetra sese mantienenmantienen fijosfijos..simetrasimetra sese mantienenmantienen fijosfijos..

44:: LaLa simetrasimetra axialaxial aplicadaaplicada aa unauna circunferenciacircunferencia nosnos dada comocomoimagenimagen otrootro circunferenciacircunferencia dede igualigual radioradio yy centrocentro simtricosimtrico dede ooconcon respectorespecto alal ejeeje cc..

SeSe dicedice queque unauna figurafiguratienetiene simetrasimetra axialaxial cuandocuandohayhay unun ejeeje dede simetrasimetra quequepuedapueda dividirladividirla enen dosdosmitadesmitades idnticasidnticas respectorespectodede steste (al(al plegarplegar elel papelpapelenen relacinrelacin concon elel ejeeje dedesimetrasimetra coincidencoinciden sussuselementos)elementos)..

Simetra CentralSimetra Central

EsEs unauna funcin,funcin, cuyacuya funcinfuncin dominiodominio yycodominiocodominio sonson parteparte deldel planoplano.. SurgeSurge dederealizarrealizar dosdos simetrassimetras axialesaxiales consecutivasconsecutivas dedeejesejes perpendicularesperpendiculares.. TieneTiene porpor referenciareferencia ununejesejes perpendicularesperpendiculares.. TieneTiene porpor referenciareferencia ununpuntopunto alal queque llamaremosllamaremos centrocentro yy queque coincidecoincideconcon elel puntopunto dede interseccininterseccin dede dosdos ejesejesperpendicularesperpendiculares..

Una simetra central de centro O es equivalente a un girode centro ese mismo punto ,O y ngulo 180. Ambosproducen el mismo resultado al transformar cualquierfigura.

TraslacinTraslacin

SeSe llamallama traslacintraslacin dede unauna figurafigura aa lalatransformacintransformacin enen otraotra figurafigura mediantemediante unundesplazamientodesplazamiento.. ParaPara definirdefinir unauna traslacintraslacin esesnecesarionecesario conocerconocer unun vectorvector yy unun puntopunto..necesarionecesario conocerconocer unun vectorvector yy unun puntopunto..

UnaUna traslacintraslacin dede vectorvector vv eses unun movimientomovimientoqueque transformatransforma cualquiercualquier puntopunto PP enen otrootro puntopuntoPP,, dede formaforma queque PPPP tienetiene elel mismomismo mdulo,mdulo,direccindireccin yy sentidosentido queque vv..

TraslacinTraslacin

Foto de una de las carpetas

RotacinRotacin UnUn girogiro oo rotacinrotacin eses unun movimientomovimiento queque asociaasocia aa cadacada puntopunto otrootro

puntopunto situadosituado aa lala mismamisma distanciadistancia queque ll dede unun puntopunto llamadollamadocentro,centro, O,O, yy dede modomodo queque sese cumplecumple unauna determinadadeterminada relacinrelacinangularangular..

UnaUna rotacinrotacin eses unauna transformacintransformacin isomtricaisomtrica queque muevemueve unaunafigurafigura enen tornotorno aa unun puntopunto fijo,fijo, llamadollamado centrocentro dede rotacin,rotacin, yy enen unundeterminadodeterminado ngulo,ngulo, llamadollamado ngulongulo dede rotacinrotacin.. ElEl ngulongulo sese dicedicedeterminadodeterminado ngulo,ngulo, llamadollamado ngulongulo dede rotacinrotacin.. ElEl ngulongulo sese dicedicepositivopositivo sisi elel girogiro sese realizarealiza enen elel sentidosentido contrariocontrario aa loslos punterospunteros deldelreloj,reloj, yy negativonegativo enen elel otrootro casocaso..

Actividad:Analiza un modelo de la Tierra, observa el eje terrestre ysu movimiento de rotacin.Revisa lo que estudiaste en este punto y piensa si el ejeterrestre es un eje de simetra y qu tienen en comn elmovimiento de rotacin de la Tierra con los que acabasde observar en el plano. Anota tus observaciones yconclusiones en tu cuaderno y convrsalas con tuprofesor de Geografa

Polgonos RegularesPolgonos Regulares UnUn polgonopolgono regularregular eses unun polgonopolgono enen elel queque

todostodos tienentienen lala mismamisma longitudlongitud yy todostodos loslosngulosngulos interioresinteriores sonson dede laslas mismamisma mediadamediada

UnaUna caractersticacaracterstica dede loslos polgonopolgono regulares,regulares,eses queque sese puedenpueden trazartrazar inscritosinscritos enen unaunacircunferenciacircunferencia queque tocaratocara cadacada unouno dede loslosvrticesvrtices deldel polgonopolgono.. AA medidamedida queque crececrece elelvrticesvrtices deldel polgonopolgono.. AA medidamedida queque crececrece elelnumeronumero dede loslos ladoslados dede unun polgonopolgono regular,regular,susu aparienciaapariencia sese asemejaasemeja cadacada vezvez masmas aa laladede unun circulocirculo..

Actividad:Escribe los nombres de los polgonos regulares que aparecen en la diapositiva e investiga en internet como se construyen.

TeselacionesTeselaciones UnaUna teselacinteselacin oo mosaicomosaico eses unun patrnpatrn dede figurasfiguras repetidasrepetidas queque

cubre,cubre, pavimentapavimenta oo embaldosaembaldosa unauna superficiesuperficie planaplana sinsin dejardejarespaciosespacios nini sobreponersobreponer figurasfiguras..

LasLas teselacionesteselaciones sese creancrean usandousando laslas transformacionestransformacionesisomtricas,isomtricas, eses decir,decir, loslos movimientosmovimientos dede rotacin,rotacin, traslacintraslacin yysimetrasimetra..

TeselacionesTeselaciones regularesregulares sonson aquellaaquella queque sese construyeconstruye usandousando ununpolgonopolgono regular,regular, yy sloslo existenexisten trestres:: laslas queque sese formanforman concon ununpolgonopolgono regular,regular, yy sloslo existenexisten trestres:: laslas queque sese formanforman concon ununtringulotringulo equiltero,equiltero, concon unun cuadradocuadrado yy concon unun hexgonohexgono regularregular..EstoEsto eses porqueporque solosolo sese puedepuede embaldosarembaldosar elel planoplano concon polgonospolgonosregularesregulares enen queque lala medidamedida dede susu ngulongulo interiorinterior seasea unun divisordivisor dede360360..

http://youtu.be/0DP_kH2S0TI

Teselaciones RegularesTeselaciones Regulares

http://youtu.be/mQI53yK_vmwActividad:1)Construye una teselacin con regla y comps sobre una cartulina.2)Construye la misma teselacin con GeoGebra.

Teselaciones IslmicasTeselaciones Islmicas

La geometra alcanza en el arte islmico todo un valorconstructivo y decorativo, cuyas figuras estn impregnadas designificado simblico, cosmolgico y filosfico. Puesto que elCorn prohbe la representacin en pintura o escultura de losseres vivos, esta decoracin toma un carcter abstracto,armonioso y estilizadoarmonioso y estilizado

FrisosFrisos SeSe llamallama FrisoFriso oo cenefacenefa aa unun dibujodibujo queque sese generagenera porpor

traslacionestraslaciones sucesivassucesivas deldel mismomismo motivomotivo.. LosLos frisosfrisos seseobtienenobtienen alal aplicaraplicar lala mismamisma traslacintraslacin aa unun motivo,motivo,figurafigura basebase oo elementoelemento generadorgenerador.. EnEn elel artearte persapersa esesfamosofamoso elel frisofriso dede loslos arquerosarqueros..famosofamoso elel frisofriso dede loslos arquerosarqueros..

Foto de una de las carpetas de estudiantes

Foto del libro La enciclopedia del estudiante

MosaicosMosaicos

LosLos mosaicosmosaicos sonson unun revestimientorevestimiento dede unauna superficiesuperficie concon piedraspiedras dede colorescoloresdistintos,distintos, queque casicasi siempresiempre formanforman dibujos,dibujos, geomtricosgeomtricos oo dede figurasfiguras:: loslos bizantinosbizantinosyy loslos romanosromanos hicieronhicieron mosaicosmosaicos dede grangran perfeccinperfeccin..

MosaicosMosaicos PararregularesPararregulares CuandoCuando utilizamosutilizamos polgonospolgonos nono regularesregulares quequepermitenpermiten recubrirrecubrir correctamentecorrectamente elel planoplano elel mosaicomosaico formadoformado sese llamallamapararregularpararregular.. PodemosPodemos conseguirconseguir mosaicosmosaicos pararregularespararregulares uniendouniendo teselasteselas oopararregularpararregular.. PodemosPodemos conseguirconseguir mosaicosmosaicos pararregularespararregulares uniendouniendo teselasteselas oopiezaspiezas iguales,iguales, obtenidasobtenidas aa partirpartir dede lala deformacindeformacin dede polgonospolgonos regularesregulares..

Foto de una de las carpetas

Mosaicos semirregularesMosaicos semirregulares

SeSe puedenpueden realizarrealizar algunosalgunos diseosdiseos dede baldosasbaldosas basadosbasados enen loslosmosaicosmosaicos semirregulares,semirregulares, aquellosaquellos queque utilizanutilizan dosdos oo msms tipostipos dedepolgonospolgonos regulares,regulares, dede modomodo queque alrededoralrededor dede cadacada vrticevrtice seseencuentrenencuentren siempresiempre loslos mismosmismos polgonospolgonos enen elel mismomismo ordenorden..

AlAl igualigual queque enen loslos mosaicosmosaicos pararregulares,pararregulares, lala sumasuma dede loslos AlAl igualigual queque enen loslos mosaicosmosaicos pararregulares,pararregulares, lala sumasuma dede loslosngulosngulos coincidentecoincidente enen cadacada vrticevrtice haha dede serser 360360.. ExistenExisten ochoochomosaicosmosaicos semirregularessemirregulares..

Foto de La enciclopedia del estudiante- Matemtica II

http://youtu.be/5LxKSqvRrAI

MauritisMauritis Cornelius Cornelius EscherEscher

httphttp:://docentes//docentes..educacioneducacion..navarranavarra..es/~msadaall/geoges/~msadaall/geogebra/escherebra/escher..htmhtm

http://youtu.be/6hGgGHcKJa0REPTILES

CISNES

Actividad:1) Busca informacin sobre la vida y obra de

M. Escher para compartir con tuscompaeros de clase.

2) Recorta diferentes polgonos regulares ycon un espejo determina los ejes desimetra.

http://youtu.be/6hGgGHcKJa0

AUTORRETRATOAUTORRETRATO

Actividad: Busca en internet los nombres de las siguientes obras.

Ejemplos en la vida realEjemplos en la vida real

TESELACIONES Y ARQUITECURA

http://youtu.be/0XG-g84X8t4http://youtu.be/fYpVmFUM5RY

TESELACIONES Y ARQUITECURA

SIMETRA EN EL ARTEActividad: Realiza un informe guiado por el profesor de historia sobre la geometra y simetra en monumentos, obras de arte y arquitectura.

Ejemplos en la vida realEjemplos en la vida real

SIMETRA EN LA NATURALEZA

Actividad:Realiza un informe guiado por el profesor de biologa sobre lasimetra en la naturaleza .Se recomienda analizar el video ArtifactOne Symmetry in Nature en youtube.

Geometra y publicidadGeometra y publicidad UnaUna parteparte sustancialsustancial dede loslos gastosgastos dede imagenimagen

corporativacorporativa queque realizanrealizan laslas grandesgrandes marcasmarcas hanhansidosido invertidosinvertidos enen elel diseodiseo dede smbolossmbolos que,que, alalmismomismo tiempo,tiempo, seansean sencillossencillos ee inconfundiblesinconfundibles comocomosellosello distintivodistintivo dede sussus productosproductos.. steste eses elel logotipologotipodede unauna marcamarca.. EnEn l,l, laslas regularidadesregularidades geomtricas,geomtricas,comocomo loslos polgonos,polgonos, regulares,regulares, predominanpredominan;; as,as, eleldede unauna marcamarca.. EnEn l,l, laslas regularidadesregularidades geomtricas,geomtricas,comocomo loslos polgonos,polgonos, regulares,regulares, predominanpredominan;; as,as, elelsmbolo,smbolo, ademsadems dede sencillez,sencillez, transmitetransmite lalaperfeccinperfeccin queque eses inherenteinherente aa lala GeometraGeometra..

Actividad:Recorta o dibuja con regla y comps por lo menos treslogotipos de marcas conocidas e indica que figurasgeomtricas las forman. Luego indica si tienen ejes ocentro de simetras.

Aportes de los alumnosAportes de los alumnos

Fotos de los trabajos anexos en las carpetas 2008

EXPOSICIN 2007 DE TESELACIONES LICEO N2 de Maldonado

carpetas 2008

Liceo N2 de MaldonadoLiceo N2 de Maldonado

EXPOSICIN PERMANENTE EN EXPOSICIN PERMANENTE EN EL HALL DEL LICEO N 2 DE

MALDONADO

MOSAICOS Y FRISOS

Actividad:Realiza una lmina o esculturaaplicando los conceptostrabajados en la presentacin.Solicita consejos del profesorde Educacin visual y plstica.

Fuentes de informacinFuentes de informacin

LIBROS:LIBROS:

La enciclopedia del estudiante. Matemtica 2La enciclopedia del estudiante. Matemtica 2-- SantillanaSantillana Matemtica Segundo Ao del Ciclo BsicoMatemtica Segundo Ao del Ciclo Bsico-- BelcrediBelcredi, Zambra., Zambra. Atlas universal (Matemticas)Atlas universal (Matemticas) Enciclopedia de Matemticas Ocano.Enciclopedia de Matemticas Ocano.

Material didctico en internet:Material didctico en internet:

VIDEOS : VIDEOS : VIDEOS : VIDEOS : http://youtu.be/LJturc6OllIhttp://youtu.be/LJturc6OllIhttp://youtu.be/0DP_kH2S0TIhttp://youtu.be/0DP_kH2S0TIhttp://youtu.be/mQI53yK_vmwhttp://youtu.be/mQI53yK_vmwhttp://youtu.be/5LxKSqvRrAIhttp://youtu.be/5LxKSqvRrAIhttp://youtu.be/6hGgGHcKJa0http://youtu.be/6hGgGHcKJa0http://youtu.be/fYpVmFUM5RYhttp://youtu.be/fYpVmFUM5RYhttp://youtu.be/0XGhttp://youtu.be/0XG--g84X8t4g84X8t4

SONIDO:SONIDO:

Sinfona+...wma

CRDITOS DE LAS FOTOGRAFAS:CRDITOS DE LAS FOTOGRAFAS:

http://es.dreamstime.com/fotografhttp://es.dreamstime.com/fotograf--iacuteaiacutea--dede--archivoarchivo--librelibre--dede--regalregal--iacuteasiacuteas--paisajepaisaje--simsim--tricotrico--concon--loslos--rbolesrboles--enen--elel--lagolago--image12image12759077759077http://belgrano.olx.com.ar/profesorhttp://belgrano.olx.com.ar/profesor--particularparticular--fisicafisica--matematicamatematica--quimicaquimica--iidiid--171257442171257442http://lahttp://la--claseclase--dede--plastica.blogspot.com/2010/07/practicarplastica.blogspot.com/2010/07/practicar--lala--simetria.htmsimetria.htmhttp://www.paginasprodigy.com/mosaicospeninsular/Residencias.htmhttp://www.paginasprodigy.com/mosaicospeninsular/Residencias.htm

http://images.google.com.uy/url?q=http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Vazquez/carpeta/GEOMETRIA/MOV.%2520PLANO/TRAhttp://images.google.com.uy/url?q=http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Vazquez/carpeta/GEOMETRIA/MOV.%2520PLANO/TRASL/SL/movimienmovimientos6x.html&ei=oDvvTpi4JIHAgAfRs42FCQ&sa=X&oi=unauthorizedredirect&ct=targetlink&ust=1324303016598782&usg=AFQjCNFLlaIVUDV3KzYGtos6x.html&ei=oDvvTpi4JIHAgAfRs42FCQ&sa=X&oi=unauthorizedredirect&ct=targetlink&ust=1324303016598782&usg=AFQjCNFLlaIVUDV3KzYGftvMmRcYZPLIUAftvMmRcYZPLIUA

http://images.google.com.uy/url?q=http://www.kalipedia.com/matematicashttp://images.google.com.uy/url?q=http://www.kalipedia.com/matematicas--geometria/tema/movimientosgeometria/tema/movimientos--plano/traslacion.html%3Fx%3D20070926klpmatgeo_265.Kes%26ap%3D0&ei=4TvvTuvtCcSKgwfHwL3lCA&sa=X&oi=unauthorizedredirect&ct=targplano/traslacion.html%3Fx%3D20070926klpmatgeo_265.Kes%26ap%3D0&ei=4TvvTuvtCcSKgwfHwL3lCA&sa=X&oi=unauthorizedredirect&ct=targetlink&ust=1324303081163599&usg=AFQjCNGjhfbtXL9TwIkMvM5etlink&ust=1324303081163599&usg=AFQjCNGjhfbtXL9TwIkMvM5--jPMiBmehHQjPMiBmehHQ

http://images.google.com.uy/url?q=http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Teselaciones.htm&ei=t07vTo7ADsbIgQfBt_nIBQ&sa=X&oi=http://images.google.com.uy/url?q=http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Teselaciones.htm&ei=t07vTo7ADsbIgQfBt_nIBQ&sa=X&oi=unaunauthorizedredireuthorizedredirect&ct=targetlink&ust=1324307903239996&usg=AFQjCNEHVshpprct&ct=targetlink&ust=1324307903239996&usg=AFQjCNEHVshppr--97q9ju5xUs9lHHWEpxw97q9ju5xUs9lHHWEpxw

/wiki/Imagen:Polig_04b.svg/wiki/Imagen:Polig_04b.svg

http://images.google.com.uy/imgres?imgurl=http://www.juguetes.org/wphttp://images.google.com.uy/imgres?imgurl=http://www.juguetes.org/wp--content/uploads/mosaico2.png&imgrefurl=http://www.juguetes.content/uploads/mosaico2.png&imgrefurl=http://www.juguetes.org/mosaicosorg/mosaicos--infantilesinfantiles--dede--djeco/&h=420&w=595&sz=588&hl=es&start=11&usg=__8jAWRrV7suwmPWEwwRx8FTOlb_Q=&tbnid=sz9jJYoIANJbwM:&tbnh=95&tbnw=135&predjeco/&h=420&w=595&sz=588&hl=es&start=11&usg=__8jAWRrV7suwmPWEwwRx8FTOlb_Q=&tbnid=sz9jJYoIANJbwM:&tbnh=95&tbnw=135&prev=/images%3Fq%3Dmosaicos%26gbv%3D2%26hl%3Desv=/images%3Fq%3Dmosaicos%26gbv%3D2%26hl%3Desv=/images%3Fq%3Dmosaicos%26gbv%3D2%26hl%3Desv=/images%3Fq%3Dmosaicos%26gbv%3D2%26hl%3Des

full/escher.jpgfull/escher.jpg

http://images.google.com.uy/imgres?imgurl=http://www.poulsons.com/Alhambra.jpg&imgrefurl=http://metaluna.freehostia.com/2007/http://images.google.com.uy/imgres?imgurl=http://www.poulsons.com/Alhambra.jpg&imgrefurl=http://metaluna.freehostia.com/2007/12/12/11/teselaciones11/teselaciones--dondedonde--sese--unenunen--matematicasmatematicas--yy--artearte--3/&h=525&w=700&sz=162&hl=es&start=18&um=1&usg=__HDeiVa31s5r7a32tEaq93/&h=525&w=700&sz=162&hl=es&start=18&um=1&usg=__HDeiVa31s5r7a32tEaq9--AvdDtc=&tbnid=o6g3kOZXOCFLTM:&tbnh=105&tbnw=140&prev=/images%3Fq%3Dteselaciones%2B%252B%2Barquitectura%26um%3D1%26hlAvdDtc=&tbnid=o6g3kOZXOCFLTM:&tbnh=105&tbnw=140&prev=/images%3Fq%3Dteselaciones%2B%252B%2Barquitectura%26um%3D1%26hl%3Des%26sa%3DN%3Des%26sa%3DN

http://images.google.com.uy/imgres?imgurl=http://menkaura.blogspot.es/img/mifoto05.jpg&imgrefurl=http://menkaura.blogspot.es/http://images.google.com.uy/imgres?imgurl=http://menkaura.blogspot.es/img/mifoto05.jpg&imgrefurl=http://menkaura.blogspot.es/&h=&h=730&w=550&sz=225730&w=550&sz=225&hl=es&start=16&um=1&usg=__&hl=es&start=16&um=1&usg=__--sHFYdb9v2d03HdxPQw9OaTTM2E=&tbnid=Q70D5OmOMU6ZmM:&tbnh=141&tbnw=106&prev=/images%3Fq%3Dsimetr%25C3%25ADa%2By%sHFYdb9v2d03HdxPQw9OaTTM2E=&tbnid=Q70D5OmOMU6ZmM:&tbnh=141&tbnw=106&prev=/images%3Fq%3Dsimetr%25C3%25ADa%2By%2Barte%26um%3D1%26hl%3Des2Barte%26um%3D1%26hl%3Des

http://images.google.com.uy/imgres?imgurl=http://farm3.static.flickr.com/2311/1795709206_96b427b049_b.jpg&imgrefurl=http://wwhttp://images.google.com.uy/imgres?imgurl=http://farm3.static.flickr.com/2311/1795709206_96b427b049_b.jpg&imgrefurl=http://www.tw.taringa.net/posts/offtaringa.net/posts/offtopic/1257320/Matem%25C3%25A1ticosopic/1257320/Matem%25C3%25A1ticos--revelanrevelan--secretossecretos--sobresobre--elel--artearte--dede--lala--simetr%25C3%25ADa.html&h=880&w=1024&sz=347&hl=es&start=7&um=1&usg=__2Q7oVJhqkHBk27ZUEVBDBfF_KR4=&tbnid=Q5EG2IR91RsVsimetr%25C3%25ADa.html&h=880&w=1024&sz=347&hl=es&start=7&um=1&usg=__2Q7oVJhqkHBk27ZUEVBDBfF_KR4=&tbnid=Q5EG2IR91RsVLM:&tbnh=129&tbnw=150&prev=/images%3Fq%3Dsimetr%25C3%25ADa%2By%2Barte%26um%3D1%26hl%3DesLM:&tbnh=129&tbnw=150&prev=/images%3Fq%3Dsimetr%25C3%25ADa%2By%2Barte%26um%3D1%26hl%3Des

http://images.google.com.uy/imgres?imgurl=http://farm4.static.flickr.com/3257/2298709193_3c717e79ea.jpg&imgrefurl=http://machhttp://images.google.com.uy/imgres?imgurl=http://farm4.static.flickr.com/3257/2298709193_3c717e79ea.jpg&imgrefurl=http://machincincuepa.com/%3Fp%3uepa.com/%3Fp%3D830&h=375&w=500&sz=126&hl=es&start=5&um=1&usg=__UxCdVJmk9PpAjni1BuObBJDYhLE=&tbnid=5xn0YU0k7CSzeM:&tbnh=98&tbnw=130D830&h=375&w=500&sz=126&hl=es&start=5&um=1&usg=__UxCdVJmk9PpAjni1BuObBJDYhLE=&tbnid=5xn0YU0k7CSzeM:&tbnh=98&tbnw=130&prev=/images%3Fq%3Dsimetr%25C3%25ADa%2By%2Barte%26um%3D1%26hl%3Des&prev=/images%3Fq%3Dsimetr%25C3%25ADa%2By%2Barte%26um%3D1%26hl%3Des

http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/escher.htmhttp://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/escher.htm