T.4 FUNCIONES Y GRÁFICAS - EPA Villena2º GES T.4 - FUNCIONES 1 T.4 FUNCIONES Y GRÁFICAS El Plano....

2º GES T.4 - FUNCIONES

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T.4 FUNCIONES Y GRÁFICAS

El Plano. Coordenadas cartesianas.

Un plano no es más que una superficie infinita de dos dimensiones. Podemos imaginárnoslo como nuestra hoja de papel o la pizarra, pero de forma que no tiene límite por ninguno de sus lados, no se acaba nunca. Estamos acostumbrados a representar puntos en la recta real, pero ésta tiene sólo una dimensión y el plano tiene dos. Necesitamos, pues, una forma de poder representar los puntos (rectas, figuras geométricas… ) en el plano. Para localizar fácilmente un punto en el plano, utilizamos un sistema de referencia o sistema de coordenadas cartesianas, que consta de dos ejes perpendiculares (llamados ejes coordenados), uno horizontal y otro vertical, que se cortan en un punto (que es el origen de coordenadas). Al eje horizontal se le llama eje de abcisas o eje X y al vertical eje de ordenadas o eje Y. En cada eje realizaremos subdivisiones de la misma longitud, y de esta forma, cada punto se puede expresar mediante dos números, el primero de los cuales es la coordenada en el eje horizontal y el segundo la coordenada en el eje vertical. Es decir, a cada punto del plano le corresponde un par de números (x, y) que se llaman coordenadas de ese punto. Por ejemplo, los puntos siguientes son: A(3, 2) B(-2, 1) C(4, -2) D(-1, -1)

Actividad 1

a) Dibuja unos ejes coordenados y representa en ellos los puntos A(3,2), B(0,3), C(-1,0) y D(-2,-2). b) En otros ejes, representa los puntos E(0’5, 1’5), F(-2’5, 3’5) y G(1/2, 2/3).


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Los ejes cartesianos dividen el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes, de la siguiente forma:

Segundo Cuadrante Primer Cuadrante

Tercer Cuadrante Cuarto Cuadrante Los signos de las componentes de un punto dependen del cuadrante en el que nos encontremos:

( - , + )

( + , + )

( - , - )

( + , - )

Las funciones.

Habrás dicho en muchas ocasiones frases como “el número de botes de pintura que necesitamos depende de la superficie que vayamos a pintar” o “la estatura de un niño depende de su edad” o también “la altura que alcanza la pelota depende de la fuerza con que la tires”. Multitud de objetos y fenómenos de la Naturaleza están relacionados; dependen unos de otros. Esta dependencia entre dos magnitudes puede ser más o menos estrecha. Por ejemplo, aunque es cierto en general que la estatura de los niños depende de su edad, niños de la misma edad suelen tener muy distintas alturas. La estatura no está completamente determinada conociendo la edad. En cambio, el área de un cuadrado tan sólo depende de la longitud de su lado (A = lado x lado). Es decir, la medida de un lado determina completamente el valor del área; para cada medida del lado no hay más que un valor del área. En este tema estudiaremos este tipo de dependencias; cuando a cada valor de una magnitud corresponde un solo valor de otra. A esas dependencias las llamamos funciones.


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Hay varias maneras de expresar una función. Mediante un enunciado. Es decir, mediante una frase que describa la situación: «el precio de un kg de patatas es 0,7 €.». De esta forma, la idea que nos hacemos del comportamiento global de la función suele ser poco precisa.

Ejemplo:

Esta función describe el recorrido de Alberto desde su casa hasta el colegio, en función del

tiempo: “De casa salió a las 8:30 y fue hasta casa de su amigo Iker. Lo esperó un rato sentado

en el banco y luego se fueron juntos, muy despacio, hacia el colegio. Cuando ya estaban

llegando, se dio cuenta de que se había dejado la cartera en el banco y volvió corriendo, la

recogió y llegó al colegio a las 9 en punto”.

Mediante una tabla de valores. Si queremos precisar más la relación las dos magnitudes

podemos hacer una tabla de valores.

Ejemplo:

Mientras ascendíamos por una montaña medimos la temperatura y obtuvimos los siguientes

datos:

Altura (m) 0 360 720 990

Temperatura (ºC) 10 8 6 4.5

a) Mediante una grafica. Es la forma en la que mejor se puede apreciar el comportamiento global de una función.

Hemos de tener en cuenta que para representar los valores de una dependencia, necesitamos poder representar al mismo tiempo dos valores relacionados, los correspondientes a las dos magnitudes que intervienen en la función (el número de Kg de patatas y el precio). Es por ello, que necesitamos un espacio de dos dimensiones en dónde poder localizar cada una de las parejas de valores que nos aparecen en una función. Este espacio se llama plano.


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Ejemplo:

En una comarca hay una cierta especie de vegetal que se encuentra con frecuencia. Se ha

estudiado la cantidad media de ejemplares por hectárea que hay a distintas alturas. El

resultado se da en la gráfica adjunta. A la vista de ella, responde a las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es el número de ejemplares a 500 m.? ¿Y a 1200 m?

b) ¿A qué altura hay mayor número de ejemplares?

c) ¿Entre qué alturas se ha realizado el estudio?

d) Si hubiésemos observado la cantidad de ejemplares a 2000 m. ¿Cuántos crees que

habríamos encontrado?

Mediante su expresión analítica o fórmula. Es la forma más precisa de dar una función, aunque requiere su estudio posterior.

Ejemplo: f(x) = 2x – 3

A partir de la fórmula podemos obtener una tabla de valores, representarla gráficamente y

sobretodo, calcular todas las características importantes de la función.

DEFINICIÓN

Como hemos visto, una función relaciona dos magnitudes (como el precio de las patatas y la cantidad de kilos). Este precio depende del número de kilos que compremos. Además, si sabemos los kilos de patatas que hemos comprado, sabemos exactamente el precio que hay que pagar; es decir, el número de kilos determina totalmente el número de euros. Esta correspondencia entre la cantidad de naranjas y su precio es lo que llamamos función. A las magnitudes que se relacionan (en este caso la cantidad de patatas y su precio) las llamamos variables. Fijado el número de kg de naranjas (x), el precio (y) está perfecta-mente determinado. Por esto a x se le llama variable independiente y a y variable dependiente.


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Es decir, una función relaciona dos variables, la x y la y, siendo:

x la variable independiente

y la variable dependiente

La función, que se denota y = f(x), asocia a cada valor de x un único valor de y.

FIJATE: no todas las relaciones entre variables son funciones; sólo cuando a cada valor

de la variable independiente le corresponde un solo valor de la variable dependiente tendremos una función. Observando la gráfica es fácil saber cuáles corresponden a funciones y cuáles no.

De estas gráficas, la primera no es una función y la segunda sí lo es.

Actividad 2

Un alumno quiere comprar varias libretas. El precio de cada libreta es de 2,5 €. a) ¿cuánto costarán dos libretas? ¿y tres? ¿y cuatro? Escribe los resultados formando una tabla. b) Representa el número de libretas con su precio en unos ejes cartesianos.

Actividad 3

Un transportista cobra por cada trabajo 25 € fijos más 2 € por km recorrido. a) ¿Qué costaría un viaje de 500 km? b) Forma una tabla para viajes de 100 Km, 200 Km, 300 Km… c) Representa los puntos de la tabla en unos ejes cartesianos. Ten cuidado de elegir una escala adecuada para cada variable.


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Actividad 4

En una frutería el kilo de naranjas cuesta 1,3 €.

a) Completa esta tabla de valores:

Número de Kg 1 1/4 ½ 2 3 4 5

Precio 1,3 €

b) Dibuja unos ejes cartesianos y representa la función.

c) ¿Podríamos dibujar más puntos, además de los de la tabla? ¿Dónde estarían? ¿Qué clase de línea aparece?

Actividad 5

En el gimnasio de Mariano se pagan 10 € por la matrícula anual y 6 € por hora de clase. a ) ¿Cuánto pagarías por 5 clases? Ten en cuenta que además de las clases hay que pagar la matrícula. b ) ¿Qué operación hay que hacer para calcular lo que hay que pagar por «x» clases? Escribe la ecuación que relaciona el número de clases (x) con su precio (y). c ) Construye una tabla de valores. d ) Representa los pares de números de la tabla en unos ejes cartesianos. ¿Has dado alguna vez media clase de gimnasia o un cuarto de clase? Aquí no es lógico dar a la variable independiente valores que no sean números enteros, por lo que tampoco tiene sentido unir los puntos como hicimos en el ejemplo de las naranjas

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES.

Para realizar cualquier representación gráfica de una función hemos de seguir los pasos

siguientes:

1) Realizar una tabla de valores de la función. Para ello, damos los valores de x que nos interesen y calculamos sus correspondientes valores de y.


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Ejemplo: Para la función y = 3x - 1

x y

-1

0

1

-4

-1

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2) Dibujar en unos ejes cartesianos los puntos obtenidos. 3) Para finalizar, hemos de saber la forma que tiene la gráfica que estamos dibujando

para poder unir de forma correcta los puntos que hemos dibujado.

Dominio y Recorrido.

Se llama dominio de definición de una función f, y se designa por Dom f, al conjunto de valores de x para los cuáles existe la función, es decir, para los cuáles hay un f(x). Las funciones que veremos en este curso se pueden hallar para cualquier valor de x, por lo que su dominio es el conjunto de todos los números; pero el dominio puede quedar restringido si en la función tuviésemos raíces o la incógnita en el denominador. Si un punto (x, y) pertenece a la gráfica de una función, entonces diremos que y es la imagen de x. El dominio de una función es el conjunto de valores de x que tienen imagen. El recorrido o imagen son los valores de y que son imagen de algún valor de x. En el ejemplo que vimos sobre la cantidad de cierta especie vegetal dependiendo de la altura, el dominio corresponde a las alturas en las que se realiza el estudio (de 400 a 1700 metros) y la imagen a la cantidad de especies encontradas (entre 0 y 260 aproximadamente)

Notad que el dominio siempre se mira en el eje de la x y la imagen en el de la y.


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Continuidad.

En el ejercicio de las naranjas, la gráfica resultante era una recta y en la del gimnasio estaba compuesta por puntos separados. Vemos que hay dos tipos de gráficas, las continuas y las discontinuas . Las primeras, como en el caso de los kg de naranjas, se pueden dibujar sin levantar el lápiz del papel; en cambio las discontinuas tienen «saltos» que nos obligan a levantar el lápiz, como en el ejemplo del gimnasio. Una función es continua cuando su gráfica se puede trazar sin levantar el lápiz del

papel. En caso contrario diremos que la función es discontinua, y los puntos dónde la

función deja de ser continua se llaman puntos de discontinuidad.

Puntos de corte con los ejes.

El punto donde la gráfica corta al eje de ordenadas es de la forma (0,y). Para

encontrarlo, sustituimos la x por cero y se resuelve la expresión para calcular la y.

El punto o puntos de corte con el eje de abcisas son de la forma (x,0). Para calcularlos,

Actividad 6

Calcula los puntos de corte con los ejes de las funciones

a) f(x) = 2 – x

b) y = 3x + 15

Crecimiento y decrecimiento.

Para estudiar las variaciones de una función hemos de mirar su gráfica de izquierda a

derecha y ver cómo varía la y cuando aumentamos la x. Si una función es creciente en

un punto, entonces, alrededor de él, la gráfica asciende. En el caso de que sea

decreciente, desciende. Y cuando no varía diremos que la función es constante.

Una función puede ser creciente en un conjunto de puntos y decreciente o constante

en otros. En el caso de que sólo crezca o decrezca se denomina función monótona.


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Máximos y mínimos.

Diremos que una función tiene un máximo en un punto cuando éste es el punto más

alto de los que le rodean.

A la izquierda del máximo, la función es creciente y a su derecha es decreciente.

La función presenta un mínimo en un punto cuando este punto es el más bajo de

los que le rodean.

A la derecha de un mínimo, la función es decreciente, y a su derecha, creciente.

Un máximo no tiene por qué ser el punto más alto de la gráfica. Si esto sucediera, se le

llamaría máximo absoluto. De manera similar, si un mínimo coincide con el punto más

bajo de la gráfica se le llama mínimo absoluto. En los demás casos, los máximos y

mínimos son relativos.

Actividad 7

En un hospital han estado tomando la temperatura a un enfermo cada hora y han anotado los resultados en esta gráfica:

a) ¿Cuál es la temperatura de este enfermo a las 4 de la madrugada? ¿Y a las 4 de la tarde? b) ¿Entre qué horas se mantiene constante la temperatura? c) ¿Cuál es la máxima temperatura que alcanza? ¿A qué hora la alcanza? d) ¿A qué hora la temperatura es de 36o? e) Describe con palabras la evolución de la temperatura de este enfermo.


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Actividad 8

Unos biólogos observan un águila: sale de su nido, caza un conejo, regresa a su

nido, vuelve a salir, caza una paloma y vuelve otra vez a su nido.

Esta gráfica describe el vuelo del águila y relaciona dos variables: el tiempo que

ha transcurrido desde que comenzamos a observar y la altura a la que se

encuentra el águila.

a) ¿A qué altura se encuentra el nido? b) ¿A qué altura estaba el águila a los 5 minutos? c) ¿A qué altura otea para buscar caza? d) ¿En qué instante caza al conejo? e) ¿Cuánto tiempo pasa en el nido con su pareja después de cazar al conejo? f) ¿A qué altura volaba la paloma que caza? g) Desde que caza la paloma, ¿cuánto tiempo tarda en subir al nido?

Actividad 9

Se suelta un globo que se eleva y, al alcanzar cierta altura, estalla. La siguiente gráfica representa la altura, con el paso del tiempo, a la que se encuentra el globo hasta que estalla.

a) ¿A qué altura estalla? ¿Cuánto tarda en estallar desde que lo soltamos? b) ¿Qué variables intervienen? ¿Cuál es el dominio de definición de la

función? c) ¿Qué altura gana el globo entre el minuto 0 y el 4? ¿Y entre el 4 y el 8?

¿En cuál de estos dos intervalos crece más rápidamente la función?


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Actividad 10

Para medir la capacidad espiatoria de los pulmones, se hace una prueba que consiste en inspirar al máximo y después espirar tan rápido como se pueda. Esta curva indica el volumen de aire que entra y sale de los pulmones.

a) ¿Cuál es el volumen en el momento inicial? b) ¿Cuánto tiempo duró la observación? c) ¿Cuál es la capacidad máxima de los pulmones de esta persona? d) ¿Cuál es el volumen a los 10 segundos de iniciarse la prueba?

Actividad 11

En la puerta de un colegio hay un puesto de golosinas. En esta gráfica se ve la cantidad de dinero que hay en su caja a lo largo de un día.

a) ¿A qué hora empiezan las clases de la mañana? b) ¿A qué hora es el recreo? ¿Cuánto dura? c) El puesto se cierra a mediodía, y el dueño se lleva el dinero a casa.

¿Cuáles fueron los ingresos de esta mañana? d) ¿Cuál es el horario de tarde en el colegio? e) ¿Es una función continua o discontinua


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Actividad 12

Esta gráfica representa la altura que alcanza una pelota que hemos tirado directamente hacia arriba, en función del tiempo.

a) ¿Es una gráfica continua o discontinua? b) ¿A qué altura está la pelota al cabo de 4 segundos? ¿Y a los 7 segundos? c) ¿Cuál es la mayor altura que alcanza? d) ¿Cuánto tarda en caer al suelo? e) ¿Tiene máximos o mínimos? f) ¿dónde es creciente y decreciente?

Actividad 13

Observa la siguiente gráfica y responde:

a) ¿Cuál es su dominio de definición? b) ¿Tiene máximo y mínimo? En caso afirmativo, ¿cuáles son? c) ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes? d) ¿Para qué valores de x es creciente y para cuáles es decreciente?


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Actividad 14

Observa la gráfica siguiente:

a) Di cuáles son sus puntos de discontinuidad y su dominio de definición. b) ¿en qué intervalos son crecientes y en cuáles decrecientes? c) Di los puntos de corte con los ejes. d) Calcula máximos y mínimos.

Las funciones cuya gráfica es una recta.

Has visto que las funciones pueden tener diferentes ecuaciones y también distintas gráficas. Una clase muy interesante de funciones es la que su gráfica es una recta. Aquí estudiaremos con detalle estas funciones. Son funciones del tipo y = 2x + 3, y = 3 – x, y =2x, y = 5…. Podemos diferenciar distintos tipos de rectas:

Funciones constantes

Son funciones en las que la variable dependiente toma siempre el mismo valor. La ecuación que define una situación de este tipo es y = n siendo n un número cualquiera. Ejemplos: y = 3, y = 5, y = -2… Dicho con palabras: «la variable independiente (y) es siempre igual a un número fijo (n)». Su gráfica es una recta horizontal, paralela al eje de abcisas , y que siempre pasa por el punto (0, n).


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Ejemplo:

Viajando en autobús, para entretenerme, he ido apuntando la velocidad a la que viaja-mos cada minuto y he anotado estas observaciones en forma de tabla:

Minutos 0 1 2 3 4 5 6

Velocidad 80 80 80 80 80 80 80

Observa que la velocidad (variable dependiente, y) sólo toma el valor 80. Si representamos estos puntos en unos ejes coordenados obtendremos una recta horizontal que pasa por la ordenada 80. La ecuación correspondiente a este ejemplo es y = 80.

Funciones lineales

Las funciones l ineales o funciones de proporcionalidad directa son funciones de la forma

y = mx ó f(x) = mx En estas funciones, las dos variables son proporcionales, como lo son la cantidad de patatas que compramos y el precio que pagamos por la compra. Ejemplos: y = 2x, y = 7x, y = -3x … El número por el que multiplicamos la variable independiente, se llama pendiente (o constante de proporcionalidad) e indica la inclinación de la recta (a mayor pendiente, mayor inclinación). Las funciones lineales se representan gráficamente como rectas. Además, siempre pasan por el punto (0,0), es decir, por el origen de coordenadas


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Nota: si la pendiente de una función lineal es positiva la recta será creciente y si la

pendiente es negativa será decreciente.

Actividad 15

El precio de una barra de pan es 0,9 €. Estudiaremos la variación del precio del pan en función de las barras que compremos.

a) Construye una tabla que relacione el número de barras con el precio

b) Representa en unos ejes cartesianos la gráfica de esta función. ¿Qué clase de línea es?

Actividad 16

Representa la gráfica de estas funciones.

y = 3x, y = x, y = - 2x, y = 3

Funciones Afines

Otro tipo de funciones de primer grado son las funciones afines . También su gráfica es una recta, pero no pasa por el origen de coordenadas como en las funciones lineales, ni es una recta horizontal como en las funciones constantes. Su ecuación es

del tipo y = mx + n, dónde:

— El coeficiente m se llama pendiente de la recta y define su inclinación respecto al eje de abcisas. Si dos rectas tienen la misma pendiente, son paralelas. — El número n se llama ordenada en el origen. La recta corta al eje de ordenadas en el punto (0,n).


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La pendiente y la ordenada en el origen pueden ser cualquier número, positivo o negativo, decimal, etc.

Actividad 17

El alquiler de una bicicleta cuesta 200 ptas. de seguro más 300 ptas. por cada día.

a) Haz una tabla de valores de esta función.

b) Representa la gráfica de esta función. ¿Qué clase de línea es esta gráfica? ¿En qué punto corta al eje de ordenadas?

c) Escribe la ecuación de esta función.

Actividad 18

Representa las siguientes funciones:

y = 3x + 2, y = x – 3, y = - 2x + 1

Actividad 19

El sueldo mensual de una encuestadora es de 200 € más 5 € por cada encuesta realizada en el mes.

a) Escribe la ecuación que relaciona su sueldo (y) con el número de encuestas realizadas (x). ¿Qué tipo de función es?

b) Haz la gráfica de esta función. Toma el número de encuestas de 10 en 10 y el sueldo en euros.

A veces, la gráfica de una función no es exactamente una recta, pero está formada por «trozos» que sí que lo son. Vamos a ver un caso de estos.


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Actividad 20

Para pasteurizar la leche, se calienta a 71,7 °C. Esta gráfica representa la temperatura que alcanza la leche en función de la cantidad de minutos que está calentándose.

a) ¿Entre qué valores del tiempo la gráfica es una función constante? b) ¿En qué tramos la gráfica es una función afín? c) ¿Tiene la misma pendiente en todos los tramos? d) ¿En qué momento alcanza la temperatura máxima? ¿Durante cuánto

tiempo se mantiene? e) ¿En qué momento empieza a bajar la temperatura?

Cálculo de la pendiente de una recta

Vamos a calcular la pendiente de una recta, m, a partir de dos puntos de ésta,

mediante la siguiente fórmula:

m = xladeVariación

yladeVariación

Ejemplo: Sean los puntos A(2, 3) y B(4,7), entonces m = 22

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Ecuación de la recta punto pendiente

Supongamos que sabemos que una recta pasa por el punto A(x0, y0) y que tiene

por pendiente m. Para calcular su ecuación, utilizaremos la fórmula:

y = y0 + m (x – x0)

En el ejemplo anterior, un punto podría ser A(2, 3) y la pendiente m = 2.

y = 3 + 2 (x – 2) = 3 + 2x – 4 = 2x – 1

Ecuación de la recta que pasa por 2 puntos

A partir de los dos puntos que nos dan, calcularemos la pendiente y utilizaremos la

fórmula del apartado anterior para averiguar la ecuación de la recta.

Ejemplo: Dados los puntos P(3, 1) y Q(4, 5), calculamos m que da 4 . Ahora cogemos

un punto, por ejemplo el P(3, 1) y m = 4 y aplicamos la fórmula anterior:

y = 1 + 4 (x -3) = 1 + 4x – 12 -> y = 4x – 11

Actividad 21

Halla en cada caso, la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados:

a) A(0, 3) B(1, 2) b) A(17, 25) B(-3, 15)

Actividad 22

Escribe la ecuación de la recta conocidos un punto y la pendiente:

a) A(-3, 5) y m = 2 b) A(8, -2) y m = 3

c) A(1, 3) y m = -1 d) A(0, 5) y m = -2

Actividad 23

Calcula la ecuación de las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos:

a) A(-6, 2) y B(-3, 5) b) A(0, 8) y B(-4, 0)

c) A(-4, -2) y B(8, 7) d) A(5, -3) y B(2, 1)

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