Función Inversa
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Funciones Inversas
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
Ejercicios de Repaso III
Ma del Carmen Torres Alonso
IES Laguna de Tollon
7 de marzo de 2011
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
Funciones Inversas
Ejercicio
Dadas las siguientes funciones halla f−1(x) y g−1(x), calculando en cada caso
el dominio de la funcion resultante:
(a) f(x) =x− 1
x+ 1(b) g(x) =
√x+ 1
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
Funciones Inversas
f(x) =x− 1
x+ 1
1. Primero comprobamos si f(x) =x− 1
x+ 1es inyectiva.
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
Funciones Inversas
f(x) =x− 1
x+ 1
1. Primero comprobamos si f(x) =x− 1
x+ 1es inyectiva. Es decir, ha de
cumplirse que f(a) = f(b) ⇒ a = b.
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
Funciones Inversas
f(x) =x− 1
x+ 1
1. Primero comprobamos si f(x) =x− 1
x+ 1es inyectiva. Es decir, ha de
cumplirse que f(a) = f(b) ⇒ a = b.
f(a) = f(b)
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
Funciones Inversas
f(x) =x− 1
x+ 1
1. Primero comprobamos si f(x) =x− 1
x+ 1es inyectiva. Es decir, ha de
cumplirse que f(a) = f(b) ⇒ a = b.
f(a) = f(b) ⇒a− 1
a+ 1=
b− 1
b+ 1
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
Funciones Inversas
f(x) =x− 1
x+ 1
1. Primero comprobamos si f(x) =x− 1
x+ 1es inyectiva. Es decir, ha de
cumplirse que f(a) = f(b) ⇒ a = b.
f(a) = f(b) ⇒a− 1
a+ 1=
b− 1
b+ 1
⇒ (a− 1) · (b+ 1) = (a+ 1) · (b− 1)
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
Funciones Inversas
f(x) =x− 1
x+ 1
1. Primero comprobamos si f(x) =x− 1
x+ 1es inyectiva. Es decir, ha de
cumplirse que f(a) = f(b) ⇒ a = b.
f(a) = f(b) ⇒a− 1
a+ 1=
b− 1
b+ 1
⇒ (a− 1) · (b+ 1) = (a+ 1) · (b− 1)
⇒ ab+ a− b− 1 = ab− a+ b− 1
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
Funciones Inversas
f(x) =x− 1
x+ 1
1. Primero comprobamos si f(x) =x− 1
x+ 1es inyectiva. Es decir, ha de
cumplirse que f(a) = f(b) ⇒ a = b.
f(a) = f(b) ⇒a− 1
a+ 1=
b− 1
b+ 1
⇒ (a− 1) · (b+ 1) = (a+ 1) · (b− 1)
⇒ ab+ a− b− 1 = ab− a+ b− 1
⇒ 2a = 2b
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
Funciones Inversas
f(x) =x− 1
x+ 1
1. Primero comprobamos si f(x) =x− 1
x+ 1es inyectiva. Es decir, ha de
cumplirse que f(a) = f(b) ⇒ a = b.
f(a) = f(b) ⇒a− 1
a+ 1=
b− 1
b+ 1
⇒ (a− 1) · (b+ 1) = (a+ 1) · (b− 1)
⇒ ab+ a− b− 1 = ab− a+ b− 1
⇒ 2a = 2b ⇒ a = b
Por tanto, f(x) es inyectiva y existe f−1(x).
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2. Calculamos la funcion inversa:
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Funciones Inversas
2. Calculamos la funcion inversa:
Hacemos f(x) = y
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
Funciones Inversas
2. Calculamos la funcion inversa:
Hacemos f(x) = y ⇒ y =x− 1
x+ 1.
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
Funciones Inversas
2. Calculamos la funcion inversa:
Hacemos f(x) = y ⇒ y =x− 1
x+ 1.
Se intercambia x por y
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Funciones Inversas
2. Calculamos la funcion inversa:
Hacemos f(x) = y ⇒ y =x− 1
x+ 1.
Se intercambia x por y ⇒ x =y − 1
y + 1.
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Funciones Inversas
2. Calculamos la funcion inversa:
Hacemos f(x) = y ⇒ y =x− 1
x+ 1.
Se intercambia x por y ⇒ x =y − 1
y + 1.
Se despeja la expresion obtenida en funcion de x.
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2. Calculamos la funcion inversa:
Hacemos f(x) = y ⇒ y =x− 1
x+ 1.
Se intercambia x por y ⇒ x =y − 1
y + 1.
Se despeja la expresion obtenida en funcion de x.
x · (y − 1) = y − 1
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2. Calculamos la funcion inversa:
Hacemos f(x) = y ⇒ y =x− 1
x+ 1.
Se intercambia x por y ⇒ x =y − 1
y + 1.
Se despeja la expresion obtenida en funcion de x.
x · (y − 1) = y − 1 ⇒ xy + x = y − 1
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
Funciones Inversas
2. Calculamos la funcion inversa:
Hacemos f(x) = y ⇒ y =x− 1
x+ 1.
Se intercambia x por y ⇒ x =y − 1
y + 1.
Se despeja la expresion obtenida en funcion de x.
x · (y − 1) = y − 1 ⇒ xy + x = y − 1
⇒ x+ 1 = y − xy
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Funciones Inversas
2. Calculamos la funcion inversa:
Hacemos f(x) = y ⇒ y =x− 1
x+ 1.
Se intercambia x por y ⇒ x =y − 1
y + 1.
Se despeja la expresion obtenida en funcion de x.
x · (y − 1) = y − 1 ⇒ xy + x = y − 1
⇒ x+ 1 = y − xy
⇒ x+ 1 = y · (1 − x)
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Funciones Inversas
2. Calculamos la funcion inversa:
Hacemos f(x) = y ⇒ y =x− 1
x+ 1.
Se intercambia x por y ⇒ x =y − 1
y + 1.
Se despeja la expresion obtenida en funcion de x.
x · (y − 1) = y − 1 ⇒ xy + x = y − 1
⇒ x+ 1 = y − xy
⇒ x+ 1 = y · (1 − x) ⇒ y =x+ 1
1− x
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2. Calculamos la funcion inversa:
Hacemos f(x) = y ⇒ y =x− 1
x+ 1.
Se intercambia x por y ⇒ x =y − 1
y + 1.
Se despeja la expresion obtenida en funcion de x.
x · (y − 1) = y − 1 ⇒ xy + x = y − 1
⇒ x+ 1 = y − xy
⇒ x+ 1 = y · (1 − x) ⇒ y =x+ 1
1− x
Luego la inversa es f−1(x) =x+ 1
1− x.
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3. Vamos a comprobar que la funcion obtenida es la inversa de f .
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3. Vamos a comprobar que la funcion obtenida es la inversa de f .
(f ◦ f−1)(x)
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Funciones Inversas
3. Vamos a comprobar que la funcion obtenida es la inversa de f .
(f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x))
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Funciones Inversas
3. Vamos a comprobar que la funcion obtenida es la inversa de f .
(f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x)) = f
(
x+ 1
1− x
)
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Funciones Inversas
3. Vamos a comprobar que la funcion obtenida es la inversa de f .
(f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x)) = f
(
x+ 1
1− x
)
=
x+ 1
1− x− 1
x+ 1
1− x+ 1
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Funciones Inversas
3. Vamos a comprobar que la funcion obtenida es la inversa de f .
(f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x)) = f
(
x+ 1
1− x
)
=
x+ 1
1− x− 1
x+ 1
1− x+ 1
=2x
2
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Funciones Inversas
3. Vamos a comprobar que la funcion obtenida es la inversa de f .
(f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x)) = f
(
x+ 1
1− x
)
=
x+ 1
1− x− 1
x+ 1
1− x+ 1
=2x
2= x
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
Funciones Inversas
3. Vamos a comprobar que la funcion obtenida es la inversa de f .
(f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x)) = f
(
x+ 1
1− x
)
=
x+ 1
1− x− 1
x+ 1
1− x+ 1
=2x
2= x
(f−1 ◦ f)(x)
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Funciones Inversas
3. Vamos a comprobar que la funcion obtenida es la inversa de f .
(f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x)) = f
(
x+ 1
1− x
)
=
x+ 1
1− x− 1
x+ 1
1− x+ 1
=2x
2= x
(f−1 ◦ f)(x) = f−1(f(x))
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3. Vamos a comprobar que la funcion obtenida es la inversa de f .
(f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x)) = f
(
x+ 1
1− x
)
=
x+ 1
1− x− 1
x+ 1
1− x+ 1
=2x
2= x
(f−1 ◦ f)(x) = f−1(f(x)) = f−1
(
x− 1
x+ 1
)
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Funciones Inversas
3. Vamos a comprobar que la funcion obtenida es la inversa de f .
(f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x)) = f
(
x+ 1
1− x
)
=
x+ 1
1− x− 1
x+ 1
1− x+ 1
=2x
2= x
(f−1 ◦ f)(x) = f−1(f(x)) = f−1
(
x− 1
x+ 1
)
=
x− 1
x+ 1+ 1
1−x− 1
x+ 1
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Funciones Inversas
3. Vamos a comprobar que la funcion obtenida es la inversa de f .
(f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x)) = f
(
x+ 1
1− x
)
=
x+ 1
1− x− 1
x+ 1
1− x+ 1
=2x
2= x
(f−1 ◦ f)(x) = f−1(f(x)) = f−1
(
x− 1
x+ 1
)
=
x− 1
x+ 1+ 1
1−x− 1
x+ 1
=2x
2
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Funciones Inversas
3. Vamos a comprobar que la funcion obtenida es la inversa de f .
(f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x)) = f
(
x+ 1
1− x
)
=
x+ 1
1− x− 1
x+ 1
1− x+ 1
=2x
2= x
(f−1 ◦ f)(x) = f−1(f(x)) = f−1
(
x− 1
x+ 1
)
=
x− 1
x+ 1+ 1
1−x− 1
x+ 1
=2x
2= x
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Funciones Inversas
Sabemos que las graficas de una funcion y su inversa son simetricas respecto a
la bisectriz del primer cuadrante.
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Funciones Inversas
Sabemos que las graficas de una funcion y su inversa son simetricas respecto a
la bisectriz del primer cuadrante.
x
y
f(x)
f−1(x)
y = xDom f−1(x) = R − {1}
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Funciones Inversas
g(x) =√x+ 1
1. Primero comprobamos si g(x) =√x+ 1 es inyectiva.
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Funciones Inversas
g(x) =√x+ 1
1. Primero comprobamos si g(x) =√x+ 1 es inyectiva. Es decir, ha de
cumplirse que g(a) = g(b) ⇒ a = b.
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Funciones Inversas
g(x) =√x+ 1
1. Primero comprobamos si g(x) =√x+ 1 es inyectiva. Es decir, ha de
cumplirse que g(a) = g(b) ⇒ a = b.
g(a) = g(b)
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
Funciones Inversas
g(x) =√x+ 1
1. Primero comprobamos si g(x) =√x+ 1 es inyectiva. Es decir, ha de
cumplirse que g(a) = g(b) ⇒ a = b.
g(a) = g(b) ⇒√a+ 1 =
√b+ 1
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Funciones Inversas
g(x) =√x+ 1
1. Primero comprobamos si g(x) =√x+ 1 es inyectiva. Es decir, ha de
cumplirse que g(a) = g(b) ⇒ a = b.
g(a) = g(b) ⇒√a+ 1 =
√b+ 1
⇒ (a+ 1) = (b+ 1)
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g(x) =√x+ 1
1. Primero comprobamos si g(x) =√x+ 1 es inyectiva. Es decir, ha de
cumplirse que g(a) = g(b) ⇒ a = b.
g(a) = g(b) ⇒√a+ 1 =
√b+ 1
⇒ (a+ 1) = (b+ 1)
⇒ a = b
Por tanto, g(x) es inyectiva y existe g−1(x).
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Funciones Inversas
2. Calculamos la funcion inversa:
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Funciones Inversas
2. Calculamos la funcion inversa:
Hacemos g(x) = y
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2. Calculamos la funcion inversa:
Hacemos g(x) = y ⇒ y =√x+ 1.
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
Funciones Inversas
2. Calculamos la funcion inversa:
Hacemos g(x) = y ⇒ y =√x+ 1.
Se intercambia x por y
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2. Calculamos la funcion inversa:
Hacemos g(x) = y ⇒ y =√x+ 1.
Se intercambia x por y ⇒ x =√y + 1
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
Funciones Inversas
2. Calculamos la funcion inversa:
Hacemos g(x) = y ⇒ y =√x+ 1.
Se intercambia x por y ⇒ x =√y + 1 ⇒ x2 = y + 1.
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
Funciones Inversas
2. Calculamos la funcion inversa:
Hacemos g(x) = y ⇒ y =√x+ 1.
Se intercambia x por y ⇒ x =√y + 1 ⇒ x2 = y + 1.
Se despeja la expresion obtenida en funcion de x.
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
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2. Calculamos la funcion inversa:
Hacemos g(x) = y ⇒ y =√x+ 1.
Se intercambia x por y ⇒ x =√y + 1 ⇒ x2 = y + 1.
Se despeja la expresion obtenida en funcion de x.
y = x2 − 1
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Funciones Inversas
2. Calculamos la funcion inversa:
Hacemos g(x) = y ⇒ y =√x+ 1.
Se intercambia x por y ⇒ x =√y + 1 ⇒ x2 = y + 1.
Se despeja la expresion obtenida en funcion de x.
y = x2 − 1
Luego la inversa es g−1(x) = x2 − 1, x ∈ [0,+∞).
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3. Vamos a comprobar que la funcion obtenida es la inversa de g.
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3. Vamos a comprobar que la funcion obtenida es la inversa de g.
(g ◦ g−1)(x)
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3. Vamos a comprobar que la funcion obtenida es la inversa de g.
(g ◦ g−1)(x) = g(g−1(x))
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3. Vamos a comprobar que la funcion obtenida es la inversa de g.
(g ◦ g−1)(x) = g(g−1(x)) =√x2 − 1 + 1
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Funciones Inversas
3. Vamos a comprobar que la funcion obtenida es la inversa de g.
(g ◦ g−1)(x) = g(g−1(x)) =√x2 − 1 + 1 = x
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3. Vamos a comprobar que la funcion obtenida es la inversa de g.
(g ◦ g−1)(x) = g(g−1(x)) =√x2 − 1 + 1 = x
(g−1 ◦ g)(x)
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Funciones Inversas
3. Vamos a comprobar que la funcion obtenida es la inversa de g.
(g ◦ g−1)(x) = g(g−1(x)) =√x2 − 1 + 1 = x
(g−1 ◦ g)(x) = g−1(g(x))
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3. Vamos a comprobar que la funcion obtenida es la inversa de g.
(g ◦ g−1)(x) = g(g−1(x)) =√x2 − 1 + 1 = x
(g−1 ◦ g)(x) = g−1(g(x)) =(√
x+ 1)2
− 1
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3. Vamos a comprobar que la funcion obtenida es la inversa de g.
(g ◦ g−1)(x) = g(g−1(x)) =√x2 − 1 + 1 = x
(g−1 ◦ g)(x) = g−1(g(x)) =(√
x+ 1)2
− 1 = x
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Sabemos que las graficas de una funcion y su inversa son simetricas respecto a
la bisectriz del primer cuadrante.
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