MATEMÁTICAS 11° Saint Joseph High School 2020 Prof ... · 1 Función inversa Sea f una función,...

MATEMÁTICAS 11°

Saint Joseph High School 2020

Prof. Jonathan Brenes S.

Prof. Jonathan Brenes

Tabla de contenido

Función inversa ................................................................................................................................... 1

Ejercicios sobre función inversa ...................................................................................................... 1

Función exponencial ......................................................................................................................... 19

Gráficas de la función exponencial ............................................................................................... 19

Función logarítmica .......................................................................................................................... 20

Gráficas de la función logarítmica ................................................................................................. 20

Ecuaciones exponenciales. ............................................................................................................... 21

Solución de ejercicios de la página 104 del libro PIMAS ............................................................... 21




Simplificación de expresiones logarítmicas. .................................................................................... 33

Simplificación de expresiones con sumas y restas de logaritmos a un solo logaritmo ................. 33

Expresar un logaritmo mediante sumas y restas de logaritmos ................................................... 34

Solución de ejercicios de la página 417 del libro de AMP ............................................................. 35

Solución de ejercicios de la página 418 del libro de AMP ............................................................. 39

Ecuaciones logarítmicas. .................................................................................................................. 41

Solución de ejercicios de la página 421 del libro AMP .................................................................. 41

Solución de ejercicios de la página 422 del libro AMP ................................................................. 45

Función raíz cuadrada. ..................................................................................................................... 48

Gráfica y transformaciones de la función raíz cuadrada ............................................................... 48

Ejemplos sobre esbozos de gráficas con criterio 𝑓(𝑥) = 𝑎√±𝑥 + 𝑏 + 𝑐 .................................... 49

Inversa de la función raíz cuadrada. ................................................................................................ 56

Función valor absoluto. .................................................................................................................... 59

Gráficas a partir de transformaciones en el plano ........................................................................ 59

Intersección con los ejes de coordenadas..................................................................................... 62

Práctica sobre graficas de función valor absoluto ........................................................................ 64

Función cúbica. ................................................................................................................................. 69

1

Función inversa

Sea f una función, con dominio D y codominio C. Su función inversa está dada por 𝑓−1: 𝐶 →

𝐷, con 𝑦 = 𝑓−1(𝑥). Es decir el dominio de la función dada ahora es el codominio, y el

codominio pasa a ser el dominio. Esto siempre y cuando la función sea biyectiva.

Una función es biyectiva si es inyectiva (es decir uno a uno) y sobreyectiva (es decir el

codominio es igual al ámbito).

Ejercicios:

1. Diagrama de Ven con una función y su inversa.

2. Observe como la siguiente función no tiene inversa, pues no es biyectiva.

3. Inversa a partir del criterio: Sea 𝑓: 𝐷 → 𝐶 con 𝑦 = 2𝑥 − 5. Determine su inversa.

Solución. Se debe despejar x.

𝑦 + 5 = 2𝑥

𝑦 + 5

2= 𝑥

f 𝑓−1

No es función

2

Se escribe el criterio

𝑓−1(𝑥) =𝑥 + 5

2

Respuesta: 𝑓−1: 𝐶 → 𝐷 con 𝑓−1(𝑥) = 𝑥+5

2

4. Si 𝑓: ℝ+ ⟶ ℝ−, con criterio modelado por 2𝑦 − 5𝑥 = 4, entonces, determine la función

inversa.

Solución: Se despeja x.

2𝑦 − 5𝑥 = 4

2𝑦 − 4 = 5𝑥

2𝑦 − 4

5= 𝑥

𝑓−1: ℝ− ⟶ ℝ+, 𝑓−1(𝑥) =2𝑥−4

5

5. La función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑥2, con dominio ℝ, no tiene inversa; pero si restringimos

su dominio a ℝ+ ⋃ {0}, sí tiene inversa. En la gráfica siguiente se muestra en verde la

función cuadrática y en azul la inversa. La línea roja es llamada función identidad, su criterio

es 𝑦 = 𝑥. El criterio de la inversa es 𝑓−1(𝑥) = √𝑥

3

6. Si 𝑓: ]−∞, 2] ⟶ [−5, +∞[, con criterio, 𝑦 = (𝑥 − 2)2 − 5 determinar la inversa.

𝑦 = (𝑥 − 2)2 − 5

𝑦 + 5 = (𝑥 − 2)2

√𝑦 + 5 = √(𝑥 − 2)2

√𝑦 + 5 = |𝑥 − 2|

√𝑦 + 5 = 𝑥 − 2 √𝑦 + 5 = −(𝑥 − 2)

√𝑦 + 5 + 2 = 𝑥 √𝑦 + 5 = −𝑥 + 2

√𝑦 + 5 − 2 = −𝑥

√𝑦 + 5 − 2

−1= 𝑥

−√𝑦 + 5 + 2 = 𝑥

7. Si 𝑓: ]−∞,5

2] ⟶ [

−37

4, +∞[, con criterio, 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 − 3. Determinar la inversa.

𝑦 = 𝑥2 + 5𝑥 − 3

𝑦 = 𝑥2 + 5𝑥 + (5

2)

2

− (5

2)

2

− 3

𝑦 = [𝑥2 + 5𝑥 + (5

2)

2

] − (5

2)

2

− 3

𝑦 = (𝑥 +5

2)

2

− (5

2)

2

− 3

𝑦 = (𝑥 +5

2)

2

−37

4

𝑦 +37

4= (𝑥 +

5

2)

2

Nota: √𝑥2 = |𝑥|

R/ 𝑓−1: [−5, +∞[ ⟶ ]−∞, 2], 𝑓−1(𝑥) = −√𝑥 + 5 + 2

4

√𝑦 +37

4= √(𝑥 +

5

2)

2

√𝑦 +37

4= |𝑥 +

5

2|

𝑅/ 𝑓−1: [−37

4, +∞[ ⟶ ]−∞,

5

2] , 𝑓−1(𝑥) = −

5

2− √𝑥 +

37

4

8. Si 𝑓: ]−∞, −3] ⟶ [−6, +∞[, con criterio, 𝑦 = 𝑥2 + 6𝑥 + 3. Determinar la inversa.

𝑦 = 𝑥2 + 6𝑥 + 3

𝑦 = 𝑥2 + 6𝑥 + (6

2)

2

− (6

2)

2

+ 3

𝑦 = [𝑥2 + 6𝑥 + (6

2)

2

] − (6

2)

2

+ 3

𝑦 = (𝑥 + 3)2 − 6

𝑦 + 6 = (𝑥 + 3)2

√𝑦 + 6 = √(𝑥 + 3)2

√𝑦 + 6 = |𝑥 + 3|

√𝑦 + 6 = 𝑥 + 3

√𝑦 + 6 − 3 = 𝑥

√𝑦 + 6 = −(𝑥 + 3)

√𝑦 + 6 = −𝑥 − 3

𝑥 = −√𝑦 + 6 − 3

√𝑦 +37

4= 𝑥 +

5

2

√𝑦 +37

4−

5

2= 𝑥

√𝑦 +37

4= − (𝑥 +

5

2)

√𝑦 +37

4= −𝑥 −

5

2

𝑥 = −5

2− √𝑦 +

37

4

5

𝑅/ 𝑓−1: [−6, +∞[ ⟶ ]−∞, −3], 𝑓−1(𝑥) = −√𝑥 + 6 − 3

9. Si 𝑓(𝑥) = 𝑥−5

3 tiene dominio [−4,10[. Determine el criterio de la inversa, su dominio y

ámbito.

𝑦 =𝑥 − 5

3

3𝑦 = 𝑥 − 5

3𝑦 + 5 = 𝑥

𝑅/ 𝑓−1: [−3,5

3[ → [−4,10[, 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑓−1(𝑥) = 3𝑥 + 5

10. Si 𝑓(𝑥) = 2𝑥−1

3 tiene dominio ]−8,3]. Determine el criterio de la inversa, su dominio y

ámbito.

𝑦 =2𝑥 − 1

3

3𝑦 = 2𝑥 − 1

3𝑦 + 1 = 2𝑥

3𝑦 + 1

2= 𝑥

𝑅/ 𝑓−1: ]−17

3,5

3] → ]−8,3], 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑓−1(𝑥) =

3𝑥 + 1

2

11. Sea f una función con criterio 𝑓(𝑥) =4𝑥+4

6 y dominio [−6,10[. Determine el criterio, el

dominio y el codominio de la inversa.

𝑓(𝑥) =4𝑥 + 4

6

𝑦 =4𝑥 + 4

6

6𝑦 = 4𝑥 + 4

6𝑦 − 4 = 4𝑥

6𝑦 − 4

4= 𝑥

6𝑦

4−

4

4= 𝑥

6

3𝑦

2− 1 = 𝑥

𝑅/ 𝑓−1: [−10

3,22

3[ → [−6,10[, 𝑓−1(𝑥) =

6𝑥 − 4

4

12. (Ejercicio 28 del simulacro de examen). Determine las intersecciones con los ejes de

coordenadas de la función con criterio 𝑓(𝑥) =6−𝑥

3.

Solución:

𝑦 =6 − 𝑥

3

3𝑦 − 6 = −𝑥

3𝑦 − 6

−1= 𝑥

−3𝑦 + 6 = 𝑥

𝑓−1(𝑥) = −3𝑥 + 6

Intersecciones con los ejes.

Intersección con el 𝑥, se iguala el criterio a cero.

0 = −3𝑥 + 6

−6 = −3𝑥

2 = 𝑥

∩ 𝑥 = (2,0)

Intersección con el eje y

∩ 𝑦 = (0, 𝑏) = (0,6)

13. (Pregunta 62 de la página 76). La función dada por 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 𝑥 + 2, tiene inversa

en el intervalo

a) R

b) [1

2, ∞[

c) [−1, ∞[

d) [−1,2]

Vértice = (1

2,

9

4)

R/ Opción b

7

14. Considere la función 𝑓: [−2,10[ → [−5

3,

19

3[ con criterio 𝑓(𝑥) =

2𝑥−1

3. Determine la

función inversa.

𝑦 =2𝑥 − 1

3

3𝑦 = 2𝑥 − 1

3𝑦 + 1 = 2𝑥

3𝑦 + 1

2= 𝑥

𝑅/ 𝑓−1: [−5

3,19

3[ → [−2,10[ 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑓−1(𝑥) =

3𝑥 + 1

2

15. Si 𝑓: ℝ+ → 𝐴, con 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 3, es una función biyectiva, entonces el dominio de

𝑓−1 es el conjunto

( ) [3, ∞+[

( ) ]3, ∞+[

( ) [√3, ∞+[

( ) ]√3, ∞+[

Solución: El conjunto ℝ+ equivale a ]0, +∞[. Una representación gráfica del dominio y

codominio de f se muestra a continuación.

𝑓: ]0, +∞[ → 𝐴, 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 3

𝑓(0) = √0 + 3 = √3

Si 𝑎 es un número que tiende a +∞, entonces tenemos que:

𝑓(𝑎) = √𝑎 + 3 → +∞

𝐴 = ]√3, +∞[

R/ ]√3, +∞[

8

16. Lea el siguiente texto.

Grados Fahrenheit y Celsius

Anders Celsius definió su escala en 1742 considerando las temperaturas de ebullición y de

congelación del agua, asignándoles originalmente los valores de 0° C y 100° C. Daniel Gabriel

Fahrenheit fue un físico originario de Gdansk, publicó su escala Fahrenheit de temperatura

en 1714.

Para pasar la temperatura representada en grados Celsius (°C) a grados Fahrenheit (°F),

utilizamos la función 𝑓(𝑥) = 1,8𝑥 + 32, donde 𝑥 representa los grados Celsius y 𝑓(𝑥)

representa los grados Fahrenheit.

a) A partir del criterio que modela la temperatura en grados Fahrenheit, encuentre el

criterio de la función inversa que también permite obtenerla en grados Celsius.

( ) 𝑓−1(𝑥) = 1,8𝑥 − 32

( ) 𝑓−1(𝑥) = 1,8(𝑥 − 32)

( ) 𝑓−1(𝑥) =𝑥+32

1,8

( ) 𝑓−1(𝑥) =𝑥−32

1,8

Solución:

𝑦 = 1,8𝑥 + 32

𝑦 − 32 = 1,8𝑥

𝑦 − 32

1,8= 𝑥

𝑓−1(𝑥) =𝑥 − 32

1,8

R/ 𝑓−1(𝑥) =𝑥−32

1,8

b) Sabiendo que el papel arde aproximadamente a 451 °F, ¿a cuántos grados Celsius habrá

que exponerlo para quemarlo?

Solución:

𝑓𝑎ℎ𝑟𝑒𝑛ℎ𝑒𝑖𝑡(𝑥) = 1,8𝑥 + 32

𝑓𝑎ℎ𝑟𝑒𝑛ℎ𝑒𝑖𝑡 = 1,8 ∙ 𝐶𝑒𝑙𝑐𝑖𝑢𝑠 + 32

9

𝐶𝑒𝑙𝑐𝑖𝑢𝑠(𝑥) =𝑥 − 32

1,8

𝐶𝑒𝑙𝑐𝑖𝑢𝑠(𝑥) =𝑓𝑎ℎ𝑟𝑒𝑛ℎ𝑒𝑖𝑡 − 32

1,8

𝐶𝑒𝑙𝑐𝑖𝑢𝑠 =451 − 32

1,8≈ 232,78

R/ 232,78 °𝐶

c) De acuerdo con el criterio que modela la función anterior, la gráfica de la inversa es

Solución: Para realizar la gráfica de 𝑓−1(𝑥) =𝑥−32

1,8 se determinan sus intersecciones.

Intersección en 𝑥

0 =𝑥 − 32

1,8

0 ∙ 1,8 = 𝑥 − 32

0 = 𝑥 − 32

32 = 𝑥

Intersección en 𝑦

𝑦 =𝑥 − 32

1,8

𝑦 =0 − 32

1,8

𝑦 = −17,78

10

Otra forma de calcular la intersección en y es usando (0, 𝑏)

𝑓−1(𝑥) =𝑥 − 32

1,8=

𝑥

1,8−

32

1,8=

𝑥

1,8−

160

9

⋂𝑦 = (0, −160

9)

17. Lea el siguiente enunciado.

En física, se denomina caída libre al movimiento de un cuerpo bajo la acción exclusiva de

un campo gravitatorio. Esta definición formal excluye a todas las caídas reales influenciadas

en mayor o menor medida por la resistencia aerodinámica del aire, así como a cualquier

otra que tenga lugar en el seno de un fluido.

Cuando un cuerpo se deja caer desde un puente, partimos de que su gravedad 𝑔 es positiva

por lo que se puede obtener en tiempo 𝑡 que tarda en caer al suelo mediante el modelo

matemático:

𝑡(𝑥) = √2𝑥

𝑔

donde 𝑥 ≥ 0, representa la altura en metros.

a) De acuerdo con la información anterior, un modelo matemático que permite encontrar

𝑡−1(𝑥) corresponde a:

( ) 𝑡−1(𝑥) = 𝑥2−2

𝑔

( ) 𝑡−1(𝑥) = 𝑥2−𝑔

92

( ) 𝑡−1(𝑥) = 𝑔√𝑥

2

( ) 𝑡−1(𝑥) = 𝑔𝑥2

2

Respuesta/

11

Solución:

𝑡(𝑥) = √2𝑥

𝑔

𝑦 = √2𝑥

𝑔

𝑦2 = √2𝑥

𝑔

2

𝑦2 =2𝑥

𝑔

𝑦2 ∙ 𝑔 = 2𝑥

𝑦2 ∙ 𝑔

2= 𝑥

𝑡−1(𝑥) =𝑥2 ∙ 𝑔

2

ℎ(𝑥) =𝑥2 ∙ 𝑔

2

R/ 𝑡−1(𝑥) = 𝑥2∙𝑔

2

b) De acuerdo con el contexto de caída libre, si un objeto se deja caer desde el puente y

tarda llegar al suelo 6 s. ¿Cuál es la altura aproximada que debe haber desde el suelo hasta

el puente?

Solución:

𝑡 = √2𝑥

𝑔

6 = √2𝑥

9.81

36 =2𝑥

9.81

36 ∙ 9.81 = 2𝑥

353,16 = 2𝑥

353,16

2= 𝑥

176,58 = 𝑥

R/ La altura es de 176,58 m

12

18. Considere la siguiente gráfica de la función 𝑓.

a) Un intervalo del dominio de f, donde f posee inversa, corresponde a

( ) ]−1, ∞+[

( ) ℝ

( ) ]−∞, 3]

( ) ]−2,3[

b) De acuerdo con los datos de la gráfica, ¿cuál es un intervalo del dominio de f, donde f

posee inversa?

Solución: ]0,2[

19. Situación Problema:

El vendedor de melcochas estima que el costo de funcionamiento es de 200 colones por día

con producción cero y de 700 colones por día para una producción de 1000 melcochas.

Suponiendo que el costo total por día 𝑐 está relacionado linealmente con la producción total

por día 𝑥, la ecuación lineal que relaciona las dos cantidades es, 𝑐 =𝑥

2+ 200.

a) La ecuación que relaciona linealmente la producción con el costo 𝑐 de las melcochas

corresponde a:

Solución:

La opción correcta es ]−2,3[,

pues representa un intervalo en

la cual la función es inyectiva. La

inyectividad es una de las dos

condiciones que debe cumplirse

para que exista inversa.

𝑐 =𝑥

2+ 200

𝑐 − 200 =𝑥

2

2(𝑐 − 200) = 𝑥

2𝑐 − 400 = 𝑥

R/ 𝑓−1(𝑐) = 2𝑐 − 400

13

b) ¿Si el costo total de producción de un día fue de 2000 colones, cuántas melcochas se

produjeron ese día?

Solución:

𝑐 =𝑥

2+ 200

2000 = 𝑥

2+ 200

2000 − 200 = 𝑥

2

1800 = 𝑥

2

3600 = 𝑥

R/ 3600 melcochas.

20. Lea la siguiente situación.

Demanda de un producto

La cantidad vendida de un producto se conoce como demanda del producto. La demanda

de un determinado producto está dada por la función 𝐷(𝑞) = −6𝑞 + 300, donde 𝑞 es el

precio en dólares.

a) De acuerdo con la situación anterior. Si el producto tuvo una demanda de 60, ¿cuál es el

precio, en dólares, del producto?

( ) 60

( ) 40

( ) 80

( ) 100

Solución:

𝐷 = −6𝑞 + 300

60 = −6𝑞 + 300

60 − 300 = −6𝑞

−240

−6= 𝑞

40 = 𝑞

R/ 40

14

b) De acuerdo a la situación “Demanda de un producto”. Si se conoce la demanda de un

producto determinado, ¿cuál función representa su precio?

Solución:

𝐷 = −6𝑞 + 300

𝐷 − 300 = −6𝑞

𝐷 − 300

−6= 𝑞

𝑞(𝐷) =𝐷 − 300

−6=

−𝐷 + 300

6

21. Observe la gráfica de la función f.

a) De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, un intervalo del dominio de 𝑓, donde 𝑓

puede tener inversa, corresponde a:

( ) [0,4]

( ) ]−2,3]

( ) [0,5]

( ) [2, +∞[

Solución: La respuesta correcta es ]−2,3], ya que en ese intervalo la función es inyectiva.

b) Si la función 𝑓 tiene un par ordenado 𝑓(5) = 3, entonces, con certeza al graficar la

inversa 𝑓−1 un punto que pertence a ella es:

Solución: (3,5), ya que (5,3) es un par ordenado de la función original.

15

22. Lea la siguiente situación.

Área de un círculo

El área de un círculo es función de la medida del radio y está modelado con la ecuación

𝑓(𝑟) = 𝜋𝑟2. La gráfica de esa función corresponde a la siguiente:

a) De acuerdo con el contexto “Área de un círculo” analice las siguientes proposiciones:

i. El dominio de la función inversa de f es ℝ.

ii. La función inversa de 𝑓 permite calcular el radio del círculo conociendo el área.

¿Cuáles de las proposiciones anteriores son verdaderas?

( ) Solamente la i.

( ) Solamente la ii.

( ) Ambas.

( ) Ninguna.

Solución:

El dominio de la inversa es el ámbito de la función original, en este caso es ℝ+, por lo tanto

la primera proposición es falsa.

La función Original permite calcular el área en función del radio, por lo tanto la inversa

permite calcular el radio en función del área. La segunda proposición es verdadera.

16

b) De acuerdo con el contexto “Área de un círculo”, ¿cuál de las siguientes gráficas

corresponde a la inversa de la función 𝑓?

Solución:

La línea amarilla es la función identidad y actúa como un espejo, produciendo la función

inversa, que está en color verde. Por lo tanto la respuesta es la opción a.

c) De acuerdo con el contexto “Área de un círculo”, el criterio de 𝑓−1 es:

Solución: Se debe despejar 𝑟.

𝑓(𝑟) = 𝜋𝑟2

𝑦 = 𝜋𝑟2

√𝑦 = √𝜋𝑟2

√𝑦 = 𝑟√𝜋

√𝑦

√𝜋= 𝑟

√𝑦

𝜋= 𝑟

√𝑥

𝜋= 𝑓−1(𝑥)

17

Otra forma de realizar el despeje es:

𝐴 = 𝜋𝑟2

𝑦 = 𝜋𝑟2

𝑦

𝜋= 𝑟2

√𝑦

𝜋= √𝑟2

√𝑦

𝜋= 𝑟

√𝑥

𝜋= 𝑓−1(𝑥)

23. Considere la siguiente situación problema.

El salario quincenal “𝑆”, en colones, de un vendedor de llantas para automóviles está dado

por 𝑆(𝑥) = 9000𝑥 + 205000, donde “𝑥” es la cantidad de llantas vendidas.

a) De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es la fórmula que permite calcular la

cantidad de llantas vendidas en función del salario quincenal obtenido?

( ) 𝑥(𝑆) = 9000𝑆 + 205 000

( ) 𝑥(𝑆) = 𝑆 − 205000 ÷ 9000

( ) 𝑥(𝑆) = 𝑆

9000 +205000

( ) 𝑥(𝑆) = 𝑆−205000

9000

Solución:

𝑆 = 9000𝑥 + 205 000

𝑆 = 9000𝑥 + 205 000

𝑆 − 205 000 = 9000𝑥

𝑆 − 205 000

9000 = 𝑥

𝑆 − 205 000

9000 = 𝑓−1(𝑆)

18

b) Si el salario quincenal obtenido fue de 313 000 colones, ¿cuál es la cantidad de llantas

que se vendieron?

Solución:

24. Considere las gráficas de las funciones.

a) De acuerdo con los datos de las gráficas anteriores, ¿cuál o cuáles de ellas representan la

gráfica de una función y la de su inversa?

Solución: Solo la II, pues al trazar la función identidad una función se refleja en la otra.

b) ¿Cuál es la principal característica de acuerdo al estudio del codominio que permite que

una función posea inversa?

Solución: El codominio debe ser igual al ámbito, para que la función sea sobreyectiva.

Para que una función tenga inversa debe ser biyectiva, es decir, inyectiva y sobreyectiva a

la vez.

Forma 1.

𝑆 = 9000𝑥 + 205 000

313 000 = 9000𝑥 + 205 000

313 000 − 205 000 = 9000𝑥

108 000 = 9000𝑥

12 = 𝑥

Forma 2.

𝑆 − 205 000

9000 = 𝑥

313000 − 205 000

9000 = 𝑥

12 = 𝑥

19

Función Exponencial

La función exponencial es de la forma 𝑓: ℝ → ℝ+, con criterio 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, donde 𝑎 es

llamado base y 𝑥 exponente. El valor de 𝑎 debe ser positivo y diferente de 1. A partir de la

base se definen dos tipos de gráficas exponenciales, las cuales se detallan a continuación.

Si 0 < 𝑎 < 1, la gráfica de la función exponencial es de la siguiente forma.

Si 𝑎 > 1, la gráfica de la función exponencial es de la siguiente forma.

20

Función logarítmica

La función logarítmica es de la forma 𝑓: ℝ+ → ℝ, con criterio 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥, donde 𝑎 es

llamado base y 𝑥 argumento. El valor de 𝑎 debe ser positivo y diferente de 1. A partir de la

base se definen dos tipos de gráficas logarítmicas, las cuales se detallan a continuación.

Si 0 < 𝑎 < 1, la gráfica de la función logarítmica es de la siguiente forma.

Si 𝑎 > 1, la gráfica de la función logarítmica es de la siguiente forma.

21

Ecuaciones exponenciales

Página 104.

23) La solución de 2𝑥 = 41−𝑥

8 es

2𝑥 = (22)

1−𝑥

23

2𝑥 =2(2−2𝑥)

23

2𝑥 = 2(2−2𝑥)−3

2𝑥 = 2−1−2𝑥

𝑥 = −1 − 2𝑥

𝑥 + 2𝑥 = −1

3𝑥 = −1

𝑥 =−1

3

Nota: Para el siguiente ejercicio se requiere emplear √𝑎𝑚𝑛= 𝑎

𝑚

𝑛

24) La solución de 71−2𝑥 = 49√7𝑥 es

71−2𝑥 = 49√7𝑥2

71−2𝑥 = 72 ∙ 7𝑥2

71−2𝑥 = 721

+𝑥2

71−2𝑥 = 74+𝑥

2

1 − 2𝑥 =4 + 𝑥

2

2 − 4𝑥 = 4 + 𝑥

2 − 4 = 4𝑥 + 𝑥

−2 = 5𝑥

−2

5= 𝑥

Propiedad a utilizar.

𝑎𝑛 ÷ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚

Ejemplos de la propiedad.

2𝑛 ÷ 2𝑚 = 2𝑛−𝑚

22−2𝑥 ÷ 23 = 22−2𝑥−3

Suma de fracciones:

𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑=

𝑎𝑑 + 𝑏𝑐

𝑏𝑑

22

25) La solución de −3 ∙ 5𝑥 = 125 − 8 ∙ 5𝑥 es

26) La solución de 16𝑥 = 83𝑥+1

2𝑥 es

(24)𝑥 = (23)

3𝑥+1

2𝑥

24𝑥 = 23(3𝑥+1)

2𝑥

24𝑥 = 29𝑥+3

2𝑥

24𝑥 = 29𝑥+3−𝑥

24𝑥 = 28𝑥+3

4𝑥 = 8𝑥 + 3

4𝑥 − 8𝑥 = 3

−4𝑥 = 3

𝑥 =−3

4

Factor Común

𝑎𝑏 + 𝑏𝑐

𝑏(𝑎 + 𝑐)

−3 ∙ 5𝑥 = 53 − 23 ∙ 5𝑥

−3 ∙ 5𝑥 + 23 ∙ 5𝑥 = 53

5𝑥(−3 + 23) = 53

5𝑥(5) = 53

5𝑥 ∙ 51 = 53

5𝑥+1 = 53

𝑥 + 1 = 3

𝑥 = 2

23

Página 105.

27) La solución de 4 ∙ 82𝑥−1 = (0,25)𝑥+3 es

22 ∙ (23)2𝑥−1 = (1

4)

𝑥+3

22 ∙ (23)2𝑥−1 = (1

22)

𝑥+3

22 ∙ (23)2𝑥−1 = (12

22)

𝑥+3

22 ∙ (23)2𝑥−1 = [(1

2)

2

]

𝑥+3

22 ∙ (23)2𝑥−1 = (1

2)

2𝑥+6

22 ∙ 26𝑥−3 = (1

2)

2𝑥+6

22+6𝑥−3 = 2−2𝑥−6

26𝑥−1 = 2−2𝑥−6

6𝑥 − 1 = −2𝑥 − 6

8𝑥 = −5

𝑥 =−5

8

24

28) La solución de 2 ∙ 3𝑥 + 3𝑥 =1

9 es

2 ∙ 3𝑥 + 3𝑥 =1

9

3 ∙ 3𝑥 =1

9

31 ∙ 3𝑥 =1

9

31 ∙ 3𝑥 =1

9

31+𝑥 =1

32

31+𝑥 = 3−2

1 + 𝑥 = −2

𝑥 = −2 − 1

𝑥 = −3

29) Si a es una constante mayor que uno, entonces la solución de 𝑎2𝑥

𝑎𝑥+1 = 𝑎 es:

𝑎2𝑥

𝑎𝑥+1= 𝑎

𝑎2𝑥−(𝑥+1) = 𝑎1

2𝑥 − (𝑥 + 1) = 1

2𝑥 − 𝑥 − 1 = 1

𝑥 = 2

30) Para 362𝑥+3

6 = √6 se cumple que 𝑥 pertenece a:

362𝑥+3

6= √6

(62)2𝑥+3

6= √612

64𝑥+6

61= 6

12

25

64𝑥+6−1 = 612

4𝑥 + 5 =1

2

4𝑥 =1

2− 5

4𝑥 =−9

2

𝑥 =−9

2÷ 4 =

−9

8= −1,125

Por lo tanto 𝑥 pertenece a ]−12

8,

−6

8]

Página 108.

52) La solución de 9𝑥 = 5 es

9𝑥 = 5

𝑙𝑜𝑔9(9𝑥) = 𝑙𝑜𝑔9(5)

𝑥 = 𝑙𝑜𝑔9(5)

53) La solución de 3𝑥−1 = 2 es

3𝑥−1 = 2

𝑙𝑜𝑔3(3𝑥−1) = 𝑙𝑜𝑔32

𝑥 − 1 = 𝑙𝑜𝑔32

𝑥 = 𝑙𝑜𝑔32 + 1

26

54) La solución de 5𝑥+2 = 3𝑥−1 es:

Nota: Para resolver este ejercicio se puede aplicar 𝑙𝑜𝑔5 o 𝑙𝑜𝑔3, pues tanto 5 como 3 tienen

en sus exponentes la incógnita 𝑥.

5𝑥+2 = 3𝑥−1

𝑙𝑜𝑔5(5𝑥+2) = 𝑙𝑜𝑔5(3𝑥−1)

𝑥 + 2 = 𝑙𝑜𝑔5(3𝑥−1)

𝑥 + 2 = (𝑥 − 1) ∙ 𝑙𝑜𝑔53

𝑥 + 2 = 𝑥𝑙𝑜𝑔53 − 1 ∙ 𝑙𝑜𝑔53

1𝑥 − 𝑥 ∙ 𝑙𝑜𝑔53 = −2 − 𝑙𝑜𝑔53

1𝑥 − 𝑙𝑜𝑔53 ∙ 𝑥 = −2 − 𝑙𝑜𝑔53

(1 − 𝑙𝑜𝑔53) ∙ 𝑥 = −2 − 𝑙𝑜𝑔53

𝑥 =−2 − 𝑙𝑜𝑔53

1 − 𝑙𝑜𝑔53

𝑥 = −2 + 𝑙𝑜𝑔53

1 − 𝑙𝑜𝑔53

Segunda forma, mediante el 𝑙𝑜𝑔3.

5𝑥+2 = 3𝑥−1

𝑙𝑜𝑔3(5𝑥+2) = 𝑙𝑜𝑔3(3𝑥−1)

𝑙𝑜𝑔3(5𝑥+2) = 𝑥 − 1

(𝑥 + 2)𝑙𝑜𝑔35 = 𝑥 − 1

𝑥𝑙𝑜𝑔35 + 2𝑙𝑜𝑔35 = 𝑥 − 1

𝑥𝑙𝑜𝑔35 − 𝑥 = −1 − 2𝑙𝑜𝑔35

𝑥(𝑙𝑜𝑔35 − 1) = −1 − 2𝑙𝑜𝑔35

𝑥 =−1 − 2𝑙𝑜𝑔35

𝑙𝑜𝑔35 − 1

𝑥 = −1 + 2𝑙𝑜𝑔35

𝑙𝑜𝑔35 − 1

Ejemplo de una propiedad:

𝑙𝑜𝑔853

3𝑙𝑜𝑔85

27

55) La solución de 62𝑥−3 = 7𝑥+5 es

62𝑥−3 = 7𝑥+5

𝑙𝑜𝑔662𝑥−3 = 𝑙𝑜𝑔67𝑥+5

2𝑥 − 3 = 𝑙𝑜𝑔67𝑥+5

2𝑥 − 3 = (𝑥 + 5)𝑙𝑜𝑔67

2𝑥 − 3 = (𝑙𝑜𝑔67)𝑥 + 5𝑙𝑜𝑔6(7)

2𝑥 − (𝑙𝑜𝑔67)𝑥 = 3 + 5𝑙𝑜𝑔6(7)

2𝑥 − 𝑙𝑜𝑔67𝑥 = 3 + 5𝑙𝑜𝑔6(7)

(2 − 𝑙𝑜𝑔67)𝑥 = 3 + 5𝑙𝑜𝑔6(7)

𝑥 =3 + 5𝑙𝑜𝑔6(7)

2 − 𝑙𝑜𝑔67

Página 109.

56) El conjunto solución de 𝑒𝑥2−2 = 3 es:

𝑒𝑥2−2 = 3

𝑙𝑜𝑔𝑒𝑒𝑥2−2 = (𝑙𝑜𝑔𝑒3)

𝑥2 − 2 = (𝑙𝑜𝑔𝑒3)

𝑥2 = (𝑙𝑜𝑔𝑒3) + 2

√𝑥2 = √(𝑙𝑜𝑔𝑒3) + 2

|𝑥| = √(𝑙𝑜𝑔𝑒3) + 2

𝑥 = √(𝑙𝑜𝑔𝑒3) + 2 −𝑥 = √(𝑙𝑜𝑔𝑒3) + 2

𝑥 = √ln(3) + 2 𝑥 = −√ln(3) + 2

Respuesta: {±√ln(3) + 2}

Nota:

5 ∙ √76

≠ √356

5 ∙ 𝑙𝑜𝑔6(7) ≠ 𝑙𝑜𝑔6(35)

28

57) El conjunto solución de 10𝑥2+1 = 5 es:

𝑙𝑜𝑔1010𝑥2+1 = 𝑙𝑜𝑔105

𝑥2 + 1 = 𝑙𝑜𝑔105

𝑥2 = 𝑙𝑜𝑔105 − 1

√𝑥2 = √𝑙𝑜𝑔105 − 1

|𝑥| = √𝑙𝑜𝑔105 − 1

|𝑥| = √𝑙𝑜𝑔105 − 1 |𝑥| = √𝑙𝑜𝑔105 − 1

𝑥 = √𝑙𝑜𝑔10(5) − 1 −𝑥 = √𝑙𝑜𝑔105 − 1

𝑥 = √𝑙𝑜𝑔105−1

−1

𝑥 = −√𝑙𝑜𝑔10(5) − 1

Respuesta: {±√log(5) − 1}

58) El conjunto solución de 7𝑥2+2𝑥+1 = 1 tiene:

7𝑥2+2𝑥+1 = 70

𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0

𝑎 = 1 𝑏 = 2 𝑐 = 1

∆= (2)2 − 4 ∙ 1 ∙ 1 = 0

𝑥 =−2 ± √0

2 ∙ 1= −1

Respuesta: Un elemento.

29

59) El conjunto solución de 5𝑥2= 7𝑥+1 tiene:

5𝑥2= 7𝑥+1

𝑙𝑜𝑔55𝑥2= 𝑙𝑜𝑔57𝑥+1

𝑥2 = 𝑙𝑜𝑔57𝑥+1

𝑥2 = (𝑥 + 1)𝑙𝑜𝑔57

𝑥2 = 𝑥𝑙𝑜𝑔57 + 𝑙𝑜𝑔57

𝑥2 − 𝑥𝑙𝑜𝑔57 − 𝑙𝑜𝑔57 = 0

𝑥2 − 𝑙𝑜𝑔57 ∙ 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔57 = 0

𝑎 = 1 𝑏 = −𝑙𝑜𝑔57 𝑐 = −𝑙𝑜𝑔57

Propiedad de los logaritmos.

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑐𝑏 ÷ 𝑙𝑜𝑔𝑐𝑎

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑙𝑜𝑔10𝑏 ÷ 𝑙𝑜𝑔10𝑎

𝑙𝑜𝑔57 = 𝑙𝑜𝑔107 ÷ 𝑙𝑜𝑔105

Menú A, 2,2. La calculadora no usa la tecla 𝑙𝑜𝑔 sino que utiliza log(.

a b c

𝑥1 = 1,36

𝑥2 = −0,51

Respuesta: Dos elementos.

1 −𝑙𝑜𝑔7 ÷ 𝑙𝑜𝑔5 −𝑙𝑜𝑔7 ÷ 𝑙𝑜𝑔5

𝑙𝑜𝑔57 = 𝑙𝑜𝑔7 ÷ 𝑙𝑜𝑔5

30

60) Si 𝑙𝑜𝑔𝑎√7 = −4, entonces el valor de 𝑎 es:

𝑙𝑜𝑔𝑎√7 = −4

𝑎−4 = √7

𝑎−4

1= √7

1

𝑎4= √7

1 = 𝑎4√7

1

√7= 𝑎4

√1

√7

4

= √𝑎44

√1

√7

4

= 𝑎

√14

√√724

= 𝑎

1

√78 = 𝑎

61) Suponga que 𝑙𝑜𝑔𝑤25 = 2 y 𝑙𝑜𝑔2(𝑥) = 𝑤. Entonces 𝑥 es:

Primera ecuación.

𝑙𝑜𝑔𝑤25 = 2

𝑤2 = 25

√𝑤2 = √25

|𝑤| = 5

𝑤 = ±5

Nota: Como w es una base no puede ser negativa, por lo tanto 𝑤 = 5.

Recordatorio de

propiedades de las raíces.

√𝑎

𝑏=

√𝑎

√𝑏

√ √𝑎𝑛𝑚

= √𝑎𝑚∙𝑛

Segunda ecuación.

𝑙𝑜𝑔2(𝑥) = 𝑤

𝑙𝑜𝑔2(𝑥) = 5

25 = 𝑥

32 = 𝑥

31

62) Suponga que 2𝑙𝑜𝑔𝑤2 =1

2 . Si se cumple que 8𝑙𝑜𝑔2𝑥 = 𝑤, entonces, 𝑥 es:

Primera ecuación.

2𝑙𝑜𝑔𝑤2 =1

2

𝑙𝑜𝑔𝑤2 =

122

𝑙𝑜𝑔𝑤2 =1

4

Segunda ecuación.

8𝑙𝑜𝑔2𝑥 = 𝑤

8𝑙𝑜𝑔2𝑥 = 16

𝑙𝑜𝑔2𝑥 =16

8

𝑙𝑜𝑔2𝑥 = 2

𝑥 = 22

𝑥 = 4

Página 109.

Forma 1: No tan usual.

𝑤14 = 2

√𝑤14

14

= √214

𝑤 = √214

𝑤 = 16

Forma 2: Más utilizada.

𝑤14 = 2

(𝑤14)

4

= 24

𝑤1 = 24

𝑤 = 16

Nota: En este ejercicio se pudo haber usado la propiedad

𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 = 𝑥

Al tener 𝑙𝑜𝑔2𝑥 = 2, se procede así:

𝑙𝑜𝑔2𝑥 = 2

2𝑙𝑜𝑔2𝑥 = 22

𝑥 = 22

32

63) Suponga que 𝑙𝑜𝑔𝑤81 = 4. Si se cumple que 𝑙𝑜𝑔1

2

𝑥 = 𝑤, entonces, 𝑥 es:

𝑙𝑜𝑔𝑤81 = 4

𝑤4 = 81

√𝑤44= √81

4

|𝑤| = 3

𝑤 = ±3

Nota: Como w es una base no puede ser negativa, por lo tanto 𝑤 = 3.

𝑙𝑜𝑔12

𝑥 = 3

(1

2)

3

= 𝑥

1

8= 𝑥

64) Suponga que 𝑙𝑜𝑔1

2

𝑥 = −2. Si se cumple que 𝑙𝑜𝑔𝑥

2𝑤 = 3, entonces, 𝑤 es:

𝑙𝑜𝑔12

𝑥 = −2

(1

2)

−2

= 𝑥

(2

1)

2

= 𝑥

4 = 𝑥

𝑙𝑜𝑔𝑥2

𝑤 = 3

𝑙𝑜𝑔42

𝑤 = 3

𝑙𝑜𝑔2𝑤 = 3

23 = 𝑤

8 = 𝑤

33

Simplificación de logaritmos.

Para simplificar expresiones logarítmicas es necesario recurrir a las propiedades de los

logaritmos. A continuación se enlistan dichas propiedades.

1. 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑎 = 1

2. 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 = 𝑥

3. 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥 ∙ 𝑦) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 + 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑦

4. 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥 ÷ 𝑦) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 − 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑦

5. 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥

6. 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑐𝑏 ÷ 𝑙𝑜𝑔𝑐𝑎

Ejemplos:

1. Reducir las siguientes expresiones a un solo logaritmo.

a) 1

2𝑙𝑜𝑔𝑒𝑧 + 2𝑙𝑜𝑔𝑒𝑥 − 3𝑙𝑜𝑔𝑒𝑦

Solución:

𝑙𝑜𝑔𝑒𝑧12 + 𝑙𝑜𝑔𝑒𝑥2 − 𝑙𝑜𝑔𝑒𝑦3

ln (𝑧12) + 𝑙𝑛(𝑥2) − 𝑙𝑛(𝑦3)

ln (𝑧12𝑥2) − 𝑙𝑛(𝑦3)

ln (𝑧

12𝑥2

𝑦3)

ln (√𝑧𝑥2

𝑦3)

𝑙𝑜𝑔33 = 1

2𝑙𝑜𝑔27 = 7

𝑙𝑜𝑔3(5 ∙ 7) = 𝑙𝑜𝑔35 + 𝑙𝑜𝑔37

𝑙𝑜𝑔3(5 ÷ 7) = 𝑙𝑜𝑔35 − 𝑙𝑜𝑔37

𝑙𝑜𝑔3𝑥2 = 2𝑙𝑜𝑔3𝑥

𝑙𝑜𝑔57 = 𝑙𝑜𝑔107 ÷ 𝑙𝑜𝑔105 = 𝑙𝑜𝑔7 ÷ 𝑙𝑜𝑔5

Propiedad 5: Eliminar los números que multiplican a los log

Cambio de 𝑙𝑜𝑔𝑒 a 𝑙𝑛

Propiedad 3: La suma se convierte en producto.

Propiedad 4: La resta se convierte en una división.

Convertir la potencia a raíz.

34

b) 𝑙𝑜𝑔2(√𝑎 − 1) + 𝑙𝑜𝑔2(√𝑎 + 1) − 𝑙𝑜𝑔2(2).

Solución:

𝑙𝑜𝑔2(√𝑎 − 1) + 𝑙𝑜𝑔2(√𝑎 + 1) − 𝑙𝑜𝑔2(2)

= 𝑙𝑜𝑔2(√𝑎 − 1)(√𝑎 + 1) − 𝑙𝑜𝑔2(2)

= 𝑙𝑜𝑔2 [(√𝑎 − 1)(√𝑎 + 1)

2]

= 𝑙𝑜𝑔2 [√𝑎

2− 12

2]

= 𝑙𝑜𝑔2 (𝑎 − 1

2)

2) Expresar los siguientes logaritmos mediante sumas y restas.

a) 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥121𝑦200

𝑧677 )

Solución:

𝑙𝑜𝑔2 (𝑥121𝑦200

𝑧677)

= 𝑙𝑜𝑔2(𝑥121 ∙ 𝑦200 ÷ 𝑧677)

= 𝑙𝑜𝑔2(𝑥121) + 𝑙𝑜𝑔2(𝑦200) − 𝑙𝑜𝑔2(𝑧677)

= 121𝑙𝑜𝑔2(𝑥) + 200𝑙𝑜𝑔2(𝑦) − 677𝑙𝑜𝑔2(𝑧)

b) 𝑙𝑜𝑔3 (√𝑥503

𝑧12𝑦40)

Solución:

𝑙𝑜𝑔3 (√𝑥503

𝑧12𝑦40)

= 𝑙𝑜𝑔3 (√𝑥503÷ 𝑧12𝑦40)

= 𝑙𝑜𝑔3 (√𝑥503) − 𝑙𝑜𝑔3(𝑧12 ∙ 𝑦40)

35

= 𝑙𝑜𝑔3 (√𝑥503) − [𝑙𝑜𝑔3(𝑧12) + 𝑙𝑜𝑔3(𝑦40)]

= 𝑙𝑜𝑔3 (√𝑥503) − 𝑙𝑜𝑔3(𝑧12) − 𝑙𝑜𝑔3(𝑦40)

= 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥503 ) − 𝑙𝑜𝑔3(𝑧12) − 𝑙𝑜𝑔3(𝑦40)

=50

3𝑙𝑜𝑔3(𝑥) − 12𝑙𝑜𝑔3(𝑧) − 40𝑙𝑜𝑔3(𝑦)

Ejercicios de la autoevaluación 29-1. Página 417.Libro de AMP.

1) La expresión 𝑙𝑜𝑔(𝑥2 − 4) + 𝑙𝑜𝑔(𝑥 + 3) − 𝑙𝑜𝑔(𝑥2 + 𝑥 − 6) es equivalente a.

Solución:

𝑙𝑜𝑔(𝑥2 − 4) + 𝑙𝑜𝑔(𝑥 + 3) − 𝑙𝑜𝑔(𝑥2 + 𝑥 − 6)

= 𝑙𝑜𝑔(𝑥2 − 4)(𝑥 + 3) − 𝑙𝑜𝑔(𝑥2 + 𝑥 − 6)

= 𝑙𝑜𝑔 [(𝑥2 − 4)(𝑥 + 3)

𝑥2 + 𝑥 − 6]

Es necesario un repaso de factorización para simplificar más el argumento.

Método de Factor común.

Ejemplo: 4𝑥2𝑦5 − 6𝑥𝑦3𝑧 + 8𝑥2𝑦6𝑧2

Factorización de 4𝑥2𝑦5 − 6𝑥𝑦3𝑧 + 8𝑥2𝑦6𝑧2

2𝑥𝑦3(2𝑥𝑦2 − 3𝑧 + 4𝑥𝑦3𝑧2)

Variables que aparecen en todos los términos: 𝑥, 𝑦.

Potencias menores de 𝑥, 𝑦:

𝑥 𝑦3

Factor común compuesto por el mínimo común

divisor y las potencias menores. 2𝑥𝑦3.

Mínimo común divisor de 4, 6 y 8

36

Método diferencia de cuadrados: 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏).

Ejemplo: 25𝑥4 − 𝑦2

𝑎 = √25𝑥4 = 5𝑥2

𝑏 = √𝑦2 = 𝑦

(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) R/ (5𝑥2 − 𝑦)(5𝑥2 + 𝑦)

Método inspección.

Es para trinomios como 4𝑥2 − 4𝑥 − 15

R/ (2𝑥 + 3)(2𝑥 − 5)

Retornando al ejercicio teníamos que

𝑙𝑜𝑔 [(𝑥2 − 4)(𝑥 + 3)

𝑥2 + 𝑥 − 6]

Al factorizar por diferencia de cuadrados e inspección tenemos:

𝑙𝑜𝑔 [(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)

(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)]

= log (𝑥 + 2)

2) 𝑙𝑜𝑔2(√3 − 1) + 𝑙𝑜𝑔2(√3 + 1) − 𝑙𝑜𝑔2(4)

Solución:

= 𝑙𝑜𝑔2(√3 − 1)(√3 + 1) − 𝑙𝑜𝑔2(4)

= 𝑙𝑜𝑔2

(√3 − 1)(√3 + 1)

4

= 𝑙𝑜𝑔2

√32

− 12

4= 𝑙𝑜𝑔2

3 − 1

4= 𝑙𝑜𝑔2 (

2

4) = 𝑙𝑜𝑔2 (

1

2) = −1

2𝑥 3

2𝑥 −5

−10𝑥 6𝑥 +

−4𝑥

Factorizar 𝑥2 + 𝑥 − 6

𝑥 3

𝑥 − 2

−2𝑥

+ 3𝑥 R/(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)

𝑥

Factorizar 𝑥2 − 4

𝑎 = √𝑥2 = 𝑥

𝑎 = √4 = 2

R/(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)

37

3) 𝑙𝑜𝑔5(2√3 − √2) + 𝑙𝑜𝑔5(2√3 + √2) − 𝑙𝑜𝑔5(2)

Solución:

= 𝑙𝑜𝑔5(2√3 − √2) + 𝑙𝑜𝑔5(2√3 + √2) − 𝑙𝑜𝑔5(2)

= 𝑙𝑜𝑔5(2√3 − √2)(2√3 + √2) − 𝑙𝑜𝑔5(2)

= 𝑙𝑜𝑔5

(2√3 − √2)(2√3 + √2)

2

= 𝑙𝑜𝑔5

(2√3)2

− √22

2

= 𝑙𝑜𝑔5

12 − 2

2

= 𝑙𝑜𝑔55 = 1

4) 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑎𝑏2) + 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑎2𝑏) − 2𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑎𝑏2)

Solución.

𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑎𝑏2) + 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑎2𝑏) − 2𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑎𝑏2)

= 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑎𝑏2)(𝑎2𝑏) − 2𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑎𝑏2)

= 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑎𝑏2)(𝑎2𝑏) − 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑎𝑏2)2

= 𝑙𝑜𝑔𝑏 [(𝑎𝑏2)(𝑎2𝑏)

(𝑎𝑏2)2]

= 𝑙𝑜𝑔𝑏 [𝑎3𝑏3

𝑎2𝑏4]

= 𝑙𝑜𝑔𝑏 (𝑎

𝑏)

Con la finalidad de adaptarse a la respuesta de selección única planteada en el libro se

procede de la siguiente forma:

𝑙𝑜𝑔𝑏 (𝑎

𝑏)

= 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑎) − 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑏)

= 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑎) − 1

38

5) 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑏𝑥3) + 3𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑏2𝑥) − 2𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑏3𝑥2)

Solución:

= 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑏𝑥3) + 3𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑏2𝑥) − 2𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑏3𝑥2)

= 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑏𝑥3) + 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑏2𝑥)3 − 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑏3𝑥2)2

= 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑏𝑥3)(𝑏2𝑥)3 − 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑏3𝑥2)2

= 𝑙𝑜𝑔𝑏

(𝑏𝑥3)(𝑏2𝑥)3

(𝑏3𝑥2)2

= 𝑙𝑜𝑔𝑏

(𝑏𝑥3)𝑏6𝑥3

𝑏6𝑥4

= 𝑙𝑜𝑔𝑏

𝑏7𝑥6

𝑏6𝑥4

= 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑏𝑥2

Con la finalidad de adaptarse a la respuesta de selección única planteada en el libro se

procede de la siguiente forma:

𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑏 ∙ 𝑥2)

= 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑏 + 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑥2

= 1 + 2𝑙𝑜𝑔𝑏𝑥

6) 2

3𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑏36) −

3


3

4𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑏12)

Solución:

2


3


3

4𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑏12)

= 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑏36)23 − 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑏15)

35 − 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑏12)

34

= 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑏24 − 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑏9 − 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑏9

= 24 − 9 − 9 = 6

39

Página 418 AMP.

7. 4𝑙𝑜𝑔2√√5 + 2 + 4𝑙𝑜𝑔2

√√5 − 2 − 𝑙𝑜𝑔2 (1

2)

Solución.

4𝑙𝑜𝑔2√√5 + 2 + 4𝑙𝑜𝑔2

√√5 − 2 − 𝑙𝑜𝑔2 (1

2)

= 𝑙𝑜𝑔2 (√√5 + 2)

4

+ 𝑙𝑜𝑔2 (√√5 − 2)

4

− 𝑙𝑜𝑔2 (1

2)

= 𝑙𝑜𝑔2 [(√5 − 2)12]

4

+ 𝑙𝑜𝑔2 [(√5 − 2)12]

4

− 𝑙𝑜𝑔2 (1

2)

= 𝑙𝑜𝑔2(√5 + 2)2

+ 𝑙𝑜𝑔2(√5 − 2)2

− 𝑙𝑜𝑔2 (1

2)

= 𝑙𝑜𝑔2(√5 + 2)2

(√5 − 2)2

− −1

= 𝑙𝑜𝑔2(√5 + 2)2

(√5 − 2)2

− −1

= 𝑙𝑜𝑔2[(√5 + 2)(√5 − 2)]2

− −1

= 𝑙𝑜𝑔2 [√52

− 22]2

− −1

= 𝑙𝑜𝑔2[5 − 4]2 − −1

= 𝑙𝑜𝑔21 − −1

0 − −1 = 1

8. 𝑙𝑜𝑔𝑥(𝑥𝑛−2) + 2 − 𝑛𝑙𝑜𝑔𝑥(𝑥2)

Solución.

𝑙𝑜𝑔𝑥(𝑥𝑛−2) + 2 − 𝑛𝑙𝑜𝑔𝑥(𝑥2)

= (𝑛 − 2)𝑙𝑜𝑔𝑥(𝑥) + 2 − 2𝑛𝑙𝑜𝑔𝑥(𝑥)

= 𝑛𝑙𝑜𝑔𝑥(𝑥) − 2𝑙𝑜𝑔𝑥𝑥 + 2 − 2𝑛𝑙𝑜𝑔𝑥(𝑥)

= 𝑛 ∙ 1 − 2 ∙ 1 + 2 − 2𝑛 ∙ 1

= −𝑛

Nota:

√523= √546

= √5812= √51624

40

9. 𝑙𝑜𝑔𝑦𝑥2 + (𝑙𝑜𝑔𝑥

𝑙𝑜𝑔 𝑦) − 𝑙𝑜𝑔𝑦𝑥2

Solución:

𝑙𝑜𝑔𝑦𝑥2 + (𝑙𝑜𝑔𝑥

𝑙𝑜𝑔 𝑦) − 𝑙𝑜𝑔𝑦𝑥2

= (𝑙𝑜𝑔𝑥

𝑙𝑜𝑔 𝑦)

= 𝑙𝑜𝑔𝑦𝑥

10. 𝑙𝑜𝑔𝑥(𝑥𝑛) − 2𝑛 (𝑙𝑜𝑔𝑥

𝑙𝑜𝑔 𝑦) − (2 − 2𝑛)𝑙𝑜𝑔𝑦𝑥

Solución:

𝑙𝑜𝑔𝑥(𝑥𝑛) − 2𝑛 (𝑙𝑜𝑔𝑥


= 𝑙𝑜𝑔𝑥(𝑥𝑛) − 2𝑛 (𝑙𝑜𝑔𝑥


= 𝑙𝑜𝑔𝑥(𝑥𝑛) − 2𝑛(𝑙𝑜𝑔𝑦𝑥) − (2 − 2𝑛)𝑙𝑜𝑔𝑦𝑥

= 𝑛𝑙𝑜𝑔𝑥(𝑥) − 2𝑛(𝑙𝑜𝑔𝑦𝑥) − (2𝑙𝑜𝑔𝑦𝑥 − 2𝑛𝑙𝑜𝑔𝑦𝑥)

= 𝑛𝑙𝑜𝑔𝑥𝑥 − 2𝑛𝑙𝑜𝑔𝑦𝑥 − 2𝑙𝑜𝑔𝑦𝑥 + 2𝑛𝑙𝑜𝑔𝑦𝑥

= 𝑛 − 2𝑛𝑙𝑜𝑔𝑦𝑥 − 2𝑙𝑜𝑔𝑦𝑥 + 2𝑛𝑙𝑜𝑔𝑦𝑥

= 𝑛 − 2𝑙𝑜𝑔𝑦𝑥

41

Ecuaciones logarítmicas.

Página 421 del libro AMP de Reinaldo Jiménez.

1. El conjunto solución de 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 − 3) + 𝑙𝑜𝑔3(2𝑥 + 3) = 5 es:

Solución.

𝑙𝑜𝑔3(𝑥 − 3)(2𝑥 + 3) = 5

35 = (𝑥 − 3)(2𝑥 + 3)

35 = 2𝑥2 + 3𝑥 − 6𝑥 − 9

0 = 2𝑥2 + 3𝑥 − 6𝑥 − 9 − 35

0 = 2𝑥2 − 3𝑥 − 252

Menú A, 2, 2

𝑥1 = 12

𝑥2 =−21

2

Nota: En el caso de las ecuaciones logarítmicas se debe realizar una prueba de las

soluciones halladas.

𝑙𝑜𝑔3(12 − 3) + 𝑙𝑜𝑔3(2 ∙ 12 + 3) = 5 Esta igualdad es cierta.

𝑙𝑜𝑔3 (−21

2− 3) + 𝑙𝑜𝑔3 (2 ∙

−21

2+ 3) = 5 Esta igualdad es falsa.

Por lo tanto el conjunto solución es {12}

2. El conjunto solución de 𝑙𝑜𝑔2(7𝑥 − 3) − 𝑙𝑜𝑔2(5𝑥 − 9) = 1 es:

Solución.

𝑙𝑜𝑔2

(7𝑥 − 3)

(5𝑥 − 9)= 1

21 =(7𝑥 − 3)

(5𝑥 − 9)

2

1=

7𝑥 − 3

5𝑥 − 9

2(5𝑥 − 9) = 7𝑥 − 3

10𝑥 − 18 = 7𝑥 − 3

Base elevado al resultado = argumento

42

3𝑥 = 15

𝑥 =15

3= 5

Prueba

𝑙𝑜𝑔2(7 ∙ 5 − 3) − 𝑙𝑜𝑔2(5 ∙ 5 − 9) = 1


3. El conjunto solución de 2𝑙𝑜𝑔3(𝑥 − 3) + 2𝑙𝑜𝑔3(7𝑥 − 3) − 12 = 0 es:

Solución.

𝑙𝑜𝑔3(𝑥 − 3)2 + 𝑙𝑜𝑔3(7𝑥 − 3)2 − 12 = 0

𝑙𝑜𝑔3(𝑥 − 3)2(7𝑥 − 3)2 − 12 = 0

𝑙𝑜𝑔3(𝑥 − 3)2(7𝑥 − 3)2 = 12

312 = (𝑥 − 3)2(7𝑥 − 3)2

312 = [(𝑥 − 3)(7𝑥 − 3)]2

√312 = √[(𝑥 − 3)(7𝑥 − 3)]2

36 = [(𝑥 − 3)(7𝑥 − 3)]1

36 = (𝑥 − 3)(7𝑥 − 3)

36 = 7𝑥2 − 3𝑥 − 21𝑥 + 9

0 = 7𝑥2 − 3𝑥 − 21𝑥 + 9 − 36

0 = 7𝑥2 − 24𝑥 − 720

Menú A, 2,2

𝑥1 = 12

𝑥2 =−60

7

Prueba.

2𝑙𝑜𝑔3(12 − 3) + 2𝑙𝑜𝑔3(7 ∙ 12 − 3) − 12 = 0 Esta igualdad es cierta.

2𝑙𝑜𝑔3 (−60

7− 3) + 2𝑙𝑜𝑔3 (7 ∙

−60

7− 3) − 12 = 0 Esta igualdad es falsa.


43

4. El conjunto solución de 2𝑙𝑜𝑔3(7𝑥 − 1) − 𝑙𝑜𝑔3(2𝑥 + 1) − 4 = 0 es:

Solución:

𝑙𝑜𝑔3(7𝑥 − 1)2 − 𝑙𝑜𝑔3(2𝑥 + 1) − 4 = 0

𝑙𝑜𝑔3 [(7𝑥 − 1)2

(2𝑥 + 1)] − 4 = 0

𝑙𝑜𝑔3 [(7𝑥 − 1)2

(2𝑥 + 1)] = 4

34 =(7𝑥 − 1)2

(2𝑥 + 1)

81 =(7𝑥)2 − 2 ∙ 7𝑥 ∙ 1 + 12

2𝑥 + 1

162𝑥 + 81 = 49𝑥2 − 14𝑥 + 1

0 = 49𝑥2 − 14𝑥 − 162𝑥 + 1 − 81

0 = 49𝑥2 − 176𝑥 − 80

Menú A,2,2

𝑥1 = 4

𝑥2 =−20

49

Prueba.

2𝑙𝑜𝑔3(7 ∙ 4 − 1) − 𝑙𝑜𝑔3(2 ∙ 4 + 1) − 4 = 0 Esta igualdad es cierta.

2𝑙𝑜𝑔3 (7 ∙−20

49− 1) − 𝑙𝑜𝑔3 (2 ∙

−20

49+ 1) − 4 = 0 Esta igualdad es falsa.


44

5. El conjunto solución de 𝑙𝑜𝑔𝑥(5401 + 5401 + 3 ∙ 5401) = 201 es:

𝑧 = 5401

𝑙𝑜𝑔𝑥(5401 + 5501 + 3 ∙ 5401) → 𝑙𝑜𝑔𝑥(𝑧 + 𝑧 + 3 ∙ 𝑧) → 𝑙𝑜𝑔𝑥(5 ∙ 𝑧) = 𝑙𝑜𝑔𝑥(5 ∙ 5401)

𝑙𝑜𝑔𝑥(5 ∙ 5401) = 201

𝑙𝑜𝑔𝑥(51 ∙ 5401) = 201

𝑙𝑜𝑔𝑥(5402) = 201

𝑥201 = 5402

√𝑥201201= √5402201

𝑥 = 52 = 25

Prueba

𝑙𝑜𝑔25(5401 + 5401 + 3 ∙ 5401) = 201

25201 = 5401 + 5401 + 3 ∙ 5401

(52)201 = 5 ∙ 5401

5402 = 5402

6. El conjunto solución de 𝑙𝑜𝑔𝑥(19 ∙ 4903 − 3 ∙ 8602) = 181 es:

Solución.

𝑙𝑜𝑔𝑥(19 ∙ (22)903 − 3 ∙ (23)602) = 181

𝑙𝑜𝑔𝑥(19 ∙ 21806 − 3 ∙ 21806) = 181

𝑙𝑜𝑔𝑥(16 ∙ 21806) = 181

𝑥181 = 24 ∙ 21806

√𝑥181181= √21810181

𝑥 = 21810181

𝑥 = 210

𝑥 = 1024

45

Prueba

𝑙𝑜𝑔𝑥(19 ∙ 4903 − 3 ∙ 8602) = 181

𝑙𝑜𝑔210(19 ∙ 4903 − 3 ∙ 8602) = 181

(210)181 = 19 ∙ 4903 − 3 ∙ 8602

21810 = 19 ∙ (22)903 − 3 ∙ (23)602

21810 = 19 ∙ 21806 − 3 ∙ 21806

21810 = 16 ∙ 21806

21810 = 24 ∙ 21806

21810 = 21810


Página 422 AMP.

7. El conjunto solución de 𝑙𝑜𝑔 (3+𝑥

3𝑥−5) = −1 es:

10−1 =3 + 𝑥

3𝑥 − 5

10−1(3𝑥 − 5) = 3 + 𝑥

3

10𝑥 −

1

2= 3 + 𝑥

3

10𝑥 − 𝑥 = 3 +

1

2

−7

10𝑥 =

7

2

𝑥 =7

2÷

−7

10= −5

Prueba

𝑙𝑜𝑔 (3 + 𝑥

3𝑥 − 5) = −1

𝑙𝑜𝑔 (3 − 5

3 ∙ −5 − 5) = −1

−1 = −1

Por lo tanto el conjunto solución es {−5}

46

8. El conjunto solución de 𝑙𝑜𝑔5(𝑙𝑜𝑔3𝑥 + 21) = 2 es:

Solución.

52 = 𝑙𝑜𝑔3𝑥 + 21

25 = 𝑙𝑜𝑔3𝑥 + 21

25 − 21 = 𝑙𝑜𝑔3𝑥

4 = 𝑙𝑜𝑔3𝑥

34 = 𝑥

81 = 𝑥

Prueba.

𝑙𝑜𝑔5(𝑙𝑜𝑔3(81) + 21) = 2


9. El conjunto solución de 𝑙𝑜𝑔(5𝑥−4)(8) =3

4 es:

(5𝑥 − 4)34 = 8

√(5𝑥 − 4)34= 8

[√(5𝑥 − 4)34]

4

= 84

(5𝑥 − 4)3 = 84

√(5𝑥 − 4)33= √4096

3

5𝑥 − 4 = 16

5𝑥 = 20

𝑥 =20

5= 4

Prueba:

𝑙𝑜𝑔(5𝑥−4)(8) ⇒ 𝑙𝑜𝑔(5∙4−4)(8) =3

4

Por lo tanto el conjunto solución es {4}.

47

10. El conjunto solución de 𝑙𝑜𝑔3[log (3𝑥 − 2)] = 0 es:

Solución:

30 = log (3𝑥 − 2)

1 = log (3𝑥 − 2)

101 = 3𝑥 − 2

10 = 3𝑥 − 2

12 = 3𝑥

12

3= 𝑥

4 = 𝑥

Prueba.

𝑙𝑜𝑔3[log (3𝑥 − 2)] ⇒ 𝑙𝑜𝑔3[log (3 ∙ 4 − 2)] ⇒ 𝑙𝑜𝑔3[log (10)] ⇒ 𝑙𝑜𝑔31 ⇒ 0

El conjunto solución es {4}

48

Función raíz cuadrada

Se define la función raíz cuadrada de la forma 𝑓: [0, +∞[ → [0, +∞[, con 𝑓(𝑥) = √𝑥. Su

gráfica es:

A partir de la gráfica de la función estándar o básica se realizan distintas transformaciones,

las cuales se describen en la siguiente tabla.

Criterio Descripción.

√𝑥 + 𝑏 𝑏 transforma a la función original mediante un desplazamiento horizontal. Si 𝑏 > 0 se desplaza hacia la izquierda. Si 𝑏 < 0, se desplaza para la derecha.

√𝑥 + 𝑏 + 𝑐 𝑐 transforma a la función estándar mediante un desplazamiento vertical. Si 𝑐 > 0 se desplaza hacia la arriba. Si 𝑐 < 0, se desplaza para abajo.

𝑎√𝑥 + 𝑏 + 𝑐 𝑎 transforma a la función estándar mediante una homotecia.

−√𝑥 Reflejo con respecto a la línea horizontal.

√−𝑥 Reflejo con respecto a la línea vertical. Con 𝑥 < 0.

Explicación de 𝑎 como homotecia.

√𝑥 Homotecia

x=2 Resultado con 𝑎 = 1, 𝑎 = 2 y 𝑎 = 3

√2 1.4142…

2√2 2.8284

3√2 4.2426

49

Ejemplos sobre gráficas de funciones con raíz cuadrada:

1. Graficar la función con criterio 𝑓(𝑥) = 5√𝑥 − 3 + 2.

Solución:

Se realizan las siguientes transformaciones a partir de √𝑥

1. Movimiento horizontal 3 unidades a la derecha 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 3

2. Homotecia con razón 5 𝑓(𝑥) = 5√𝑥 − 3

3. Movimiento vertical 2 unidades hacia arriba 𝑓(𝑥) = 5√𝑥 − 3 + 2

4. Se elabora una tabla de valores para precisar mejor la ubicación de la gráfica final.

5√𝑥 − 3 + 2 Resultado

𝑥 = 6 𝑦 =10.66

𝑥 = 10 𝑦 = 15.23 𝑥 = 12 𝑦 = 17

2. Graficar la función con criterio 𝑓(𝑥) = −2√−𝑥 + 2 + 4

Solución:

Primero en el subradical, se debe sacar el –1 a factor común.

𝑓(𝑥) = −2√−(𝑥 − 2) + 4

Luego, se realizan las siguientes transformaciones a partir de √𝑥

1. Movimiento horizontal 2 unidades hacia la derecha 𝑓(𝑥) = √(𝑥 − 2)

2. Reflejo vertical. 𝑓(𝑥) = √−(𝑥 − 2)

50

3. Homotecia con razón 2 𝑓(𝑥) = 2√−(𝑥 − 2)

4. Reflejo horizontal. 𝑓(𝑥) = −2√−(𝑥 − 2)

5. Movimiento vertical de 4 unidades hacia arriba 𝑓(𝑥) = −2√−(𝑥 − 2) + 4

6. Se elabora una tabla de valores para precisar mejor la ubicación de la gráfica final.

−2√−(𝑥 − 2) + 4 Resultado

𝑥 = 0 𝑦 = 1,17 𝑥 = −2 𝑦 = 0 𝑥 = −6 𝑦 = −1,66

3. Graficar la función con criterio 𝑓(𝑥) = 2√𝑥 − 3 − 2

Solución.

1. Movimiento horizontal 3 unidades hacia la derecha 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 3

2. Homotecia de razón 2. 𝑓(𝑥) = 2√𝑥 − 3

3. Movimiento vertical de 5 unidades hacia abajo 𝑓(𝑥) = 2√𝑥 − 3 − 2

4. Intersecciones con los ejes.

4.1. Intersección con el eje 𝑥.

𝑓(𝑥) = 2√𝑥 − 3 − 2

𝑦 = 2√𝑥 − 3 − 2

0 = 2√𝑥 − 3 − 2

2 = 2√𝑥 − 3

22 = (2√𝑥 − 3)2

4 = 4(𝑥 − 3)

4 = 4𝑥 − 12

4 + 12 = 4𝑥

51

16

4= 𝑥

4 = 𝑥

∩ 𝑥 = (4,0)

4. 2. Intersección con el eje y. (En toda función la intersección con 𝑦 se calcula

cambiando 𝑥 del criterio por 0)

𝑓(𝑥) = 2√𝑥 − 3 − 2

𝑓(0) = 2√0 − 3 − 2 = 2√−3 − 2

Como √−3 no está definida, la intersección en y tampoco.

5. Tabla de valores.

2√𝑥 − 3 − 2 Resultado

𝑥 = 6 𝑦 = 1,46 𝑥 = 7 𝑦 = 2 𝑥 = 8 𝑦 = 2,47

6. Gráfica.

Práctica.

Graficar cada una de las funciones con sus respectivas transformaciones. Calcular las

intersecciones.

4. 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 − 3

5. 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 3 − 2

6. 𝑓(𝑥) = √−𝑥 − 2

7. 𝑓(𝑥) = 3√𝑥 − 4 + 1

52

Soluciones de los ejercicios.

4. 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 − 3

Movimientos.

4. 1. Movimiento de una unidad hacia la izquierda. √𝑥 + 1

4. 2. Movimiento de tres unidades hacia abajo. √𝑥 + 1 − 3

4. 3. Intersecciones.

4.3.1 Intersección con el eje x.

√𝑥 + 1 − 3 = 0

√𝑥 + 1 = 3

√𝑥 + 12

= 32

𝑥 + 1 = 9

𝑥 = 8

4.3.2. Intersección con el eje y.

𝑦 = √𝑥 + 1 − 3

𝑦 = √0 + 1 − 3 = −2

4.4. Tabla de valores

x y

4 -0,76

12 0,61

4.5 Gráfica

53

5. 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 3 − 2

Intersecciones.

Intersección con el eje x.

√𝑥 + 3 − 2 = 0

√𝑥 + 3 = 2

√𝑥 + 32

= 22

𝑥 + 3 = 4

𝑥 = 1

Intersección con el eje y.

𝑦 = √0 + 3 − 2 ≈ −0,27

Tabla de valores √𝑥 + 3 − 2

x y

-2 -1

3 0,45

54

6. 𝑓(𝑥) = √−𝑥 − 2

6.1 Reflexión vertical de √𝑥 a √−𝑥

6.2. Movimiento vertical dos unidades hacia abajo. √−𝑥 − 2

6.3 Intersecciones.


6.3.1 Intersección con el eje y.

𝑦 = √−0 − 2 = −2

6.4 Tabla de valores. √−𝑥 − 2

x y

-6 0,45

-8 0,83

6.5 Gráfica

√−𝑥 − 2 = 0

√−𝑥2

= 22

√(−𝑥)2 = 22

√𝑥2 = 22

|𝑥| = 4

−𝑥 = 4 𝑥 = 4

𝑥 = −4

Mediante una prueba se descarta el 4.

Cuidado con el siguiente error.

√−𝑥 − 2 = 0

√−𝑥2

= 22

√−𝑥2 2

= 22

−𝑥 = 4

𝑥 = −4

Se puede solucionar usando

√−𝑥2 2

= 22

⇒ |−𝑥| = 22

55

7. 𝑓(𝑥) = 3√𝑥 − 4 + 1

7.1 Movimiento de 4 unidades hacia la derecha. 𝑦 = √𝑥 − 4

7.2. Homotecia de razón 3. 𝑦 = 3√𝑥 − 4

7.3. Movimiento de una unidad hacia arriba. 𝑦 = 3√𝑥 − 4 + 1

7.4. Intersecciones.


3√𝑥 − 4 + 1 = 0

3√𝑥 − 4 = −1

(3√𝑥 − 4)2

= (−1)2

9(𝑥 − 4) = 1

9𝑥 − 36 = 1

9𝑥 = 1 + 36

𝑥 =37

9

Prueba:

3√𝑥 − 4 + 1 = 0

3√37

9− 4 + 1 = 0

2 = 0 Es falso!

𝑆 = ∅

7.4.2 Intersección con el eje y.

𝑦 = 3√𝑥 − 4 + 1

𝑦 = 3√0 − 4 + 1 Raíz indefinida!

56

7.5 Tabla de valores. 3√𝑥 − 4 + 1

x y

5 4

8 7

Inversa de la función raíz cuadrada.

La inversa de una función raíz cuadrada es la función cuadrática.

Ejemplos.

1) Determinar la inversa de 𝑓: [3, +∞[ → [2, +∞[ 𝑓(𝑥) = 2√𝑥 − 3 + 2.

𝑦 = 2√𝑥 − 3 + 2

𝑦 − 2 = 2√𝑥 − 3

(𝑦 − 2)2 = (2√𝑥 − 3)2

𝑦2 − 2𝑦 ∙ 2 + 22 = 22√𝑥 − 32

𝑦2 − 4𝑦 + 4 = 4(𝑥 − 3)

𝑦2 − 4𝑦 + 4 = 4𝑥 − 12

𝑦2 − 4𝑦 + 4 + 12 = 4𝑥

𝑦2 − 4𝑦 + 16 = 4𝑥

57

𝑦2 − 4𝑦 + 16

4= 𝑥

𝑦2

4−

4𝑦

4+

16

4= 𝑥

1

4𝑦2 − 𝑦 + 4 = 𝑥

𝑓−1(𝑥) =1

4𝑥2 − 𝑥 + 4

Respuesta: 𝑓−1: [2, +∞[ → [3, +∞[ , con 𝑓−1(𝑥) =1

4𝑥2 − 𝑥 + 4.

La gráfica de la función 𝑓 y de 𝑓−1 se muestran a continuación.

2) Determinar la inversa de 𝑓: [1

2, +∞[ → [4, +∞[ 𝑓(𝑥) = 3√2𝑥 − 1 + 4.

𝑦 = 3√2𝑥 − 1 + 4

𝑦 − 4 = 3√2𝑥 − 1

(𝑦 − 4)2 = (3√2𝑥 − 1)2

𝑦2 − 2𝑦 ∙ 4 + 42 = 32√2𝑥 − 12

𝑦2 − 8𝑦 + 16 = 9(2𝑥 − 1)

𝑦2 − 8𝑦 + 16 = 18𝑥 − 9

𝑦2 − 8𝑦 + 16 + 9 = 18𝑥

𝑦2 − 8𝑦 + 25 = 18𝑥

58

𝑦2 − 8𝑦 + 25

18= 𝑥

𝑦2

18−

8𝑦

18+

25

18= 𝑥

1

18𝑦2 −

4

9𝑦 +

25

18= 𝑥

𝑓−1(𝑥) =1

18𝑥2 −

4

9𝑥 +

25

18

Respuesta: 𝑓−1: [4, +∞[ → [1

2, +∞[ , con 𝑓−1(𝑥) =

1

18𝑥2 −

4

9𝑥 +

25

18.

La gráfica de la función 𝑓 y de 𝑓−1 se muestran a continuación.

59

Función valor absoluto

Se define el valor absoluto de una expresión 𝑥 como 𝑥 o – 𝑥. Según como se muestra a

continuación.

|𝑥| = {−𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 0𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

La gráfica básica de valor absoluto se muestra a continuación.

Gráficas.

Para graficar una función con valor absoluto se debe considerar las siguientes

transformaciones realizadas a partir de la gráfica de |𝑥|.

Criterio Transformación Descripción. |𝑥 + 𝑏| Translación

horizontal. 𝑏 transforma a la función original mediante un desplazamiento horizontal. Si 𝑏 > 0 se desplaza hacia la izquierda. Si 𝑏 < 0, se desplaza para la derecha.

|𝑥| + 𝑐 Translación vertical.

𝑐 transforma a la función original mediante un desplazamiento vertical. Si 𝑐 > 0 se desplaza hacia la arriba. Si 𝑐 < 0, se desplaza para abajo.

𝑎|𝑥| Homotecia. 𝑎 transforma a la función original mediante una homotecia. Si 0 < 𝑎 < 1, es una compresión. Si 𝑎 > 1 es una elongación.

−|𝑥| Reflexión. Reflejo con respecto a la línea horizontal. |−𝑥| Reflexión. Reflejo respecto al eje y.

Ejemplos de gráficas.

Considere las siguientes funciones definidas en su dominio máximo. En cada caso realizar la

gráfica.

1) 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 2| + 3

Solución: A partir de la gráfica básica, se realiza una translación de 2 unidades hacia la

derecha y 3 unidades hacia arriba. Resultando la siguiente gráfica.

60

2) 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 4| + 5


izquierda y 5 unidades hacia arriba. Resultando la siguiente gráfica.

3) 𝑓(𝑥) = 3|𝑥 − 2| + 1


derecha, una homotecia de razón 3, y finalmente un desplazamiento de una unidad hacia

arriba. Para precisar mejor el esbozo de la gráfica, a causa de la homotecia de razón 3, se

procede a realizar una tabla de valores, que permita conocer algunos pares ordenados de

la función.

x y

1 4

3 4

4 7

61

4) 𝑓(𝑥) = −|−𝑥 + 3| − 2

Solución: En este caso se debe observar que a la variable 𝑥 le antecede un menos, por lo

que una forma de proceder con su gráfica es sacando primero un -1 a factor común.

𝑓(𝑥) = −|−𝑥 + 3| − 2

𝑓(𝑥) = −|−(𝑥 − 3)| − 2

De esta manera, las transformaciones son las siguientes:

a) Movimiento de 3 unidades a la derecha, para obtener la gráfica de 𝑦 = |𝑥 − 3|.

b) Reflejo con respecto a 𝑥 = 3, para obtener la gráfica de 𝑦 = |−(𝑥 − 3)|. Observe que

es la misma que |𝑥 − 3|.

c) Reflejo con respecto al eje 𝑥, para obtener la gráfica de 𝑦 = −|−(𝑥 − 3)|.

d) Desplazamiento de 2 unidades hacia abajo, para obtener la gráfica de 𝑦 =

−|−(𝑥 − 3)| − 2

62

e) Finalmente se realiza una tabla de valores, con el fin de precisar más el esbozo realizado.

x y

0 -5

6 -5

Intersección con los ejes de coordenadas.

Ejemplos.

1) 𝑓(𝑥) = 5|𝑥 − 2| + 3

Intersección con el eje 𝑥, implica que el valor para 𝑦 es 0.

𝑦 = 5|𝑥 − 2| + 3

0 = 5|𝑥 − 2| + 3

En este caso el conjunto solución de la ecuación es ∅, por lo tanto no hay intersección con

el eje 𝑥.

0 = 5 ∙ −(𝑥 − 2) + 3

0 = 5 ∙ −(𝑥 − 2) + 3

0 = −5𝑥 + 10 + 3

0 = −5𝑥 + 13

−13 = −5𝑥

13

5= 𝑥

Prueba.

0 = 5|𝑥 − 2| + 3

0 = 5 |13

5− 2| + 3

0 = 6

0 = 5(𝑥 − 2) + 3

0 = 5𝑥 − 10 + 3

7 = 5𝑥

7

5= 𝑥

Prueba.

0 = 5|𝑥 − 2| + 3

0 = 5 |7

5− 2| + 3

0 = 6

63

Para calcular la intersección con el eje 𝑦 se procede a calcular la imagen de 0.

𝑓(𝑥) = 5|𝑥 − 2| + 3

𝑓(0) = 5|0 − 2| + 3 = 13

Por lo tanto, tenemos que, ∩ 𝑥: No existe. ∩ 𝑦 = (0,13)

2) 𝑓(𝑥) = 4|2𝑥 − 1| − 2

Intersección con el eje x, igualando el criterio a 0.

0 = 4|2𝑥 − 1| − 2


𝑓(𝑥) = 4|2𝑥 − 1| − 2

𝑓(0) = 4|2 ∙ 0 − 1| − 2 = 2

∩ 𝑥 = (1

4, 0) 𝑦 (

3

4, 0) ∩ 𝑦 = (0,2)

0 = 4 ∙ −(2𝑥 − 1) − 2

0 = 4 ∙ −(2𝑥 − 1) − 2

0 = 4(−2𝑥 + 1) − 2

0 = −8𝑥 + 4 − 2

0 = −8𝑥 + 2

−2

−8= 𝑥

1

4= 𝑥

Prueba.

0 = 4|2𝑥 − 1| − 2

0 = 4 |2 ∙1

4− 1| − 2

0 = 0

0 = 4(2𝑥 − 1) − 2

0 = 4 ∙ (2𝑥 − 1) − 2

0 = 8𝑥 − 4 − 2

0 = 8𝑥 − 6

6

8= 𝑥

3

4= 𝑥

Prueba.

0 = 4|2𝑥 − 1| − 2

0 = 4 |2 ∙3

4− 1| − 2

0 = 0

64

Práctica. Graficar las funciones en su dominio máximo. Determine los puntos de

intersección.

1. 𝑓(𝑥) = 5|𝑥 − 2| − 1

2. 𝑓(𝑥) = −|𝑥 − 5| − 3

3. 𝑓(𝑥) = |−𝑥 − 3| − 2

Solución.

1. 𝑓(𝑥) = 5|𝑥 − 2| − 1


derecha, una homotecia de razón 5 y un desplazamiento de una unidad hacia abajo.

Para las intersecciones se procede de la siguiente forma.

Intersección con el eje x.

0 = 5|𝑥 − 2| − 1


𝑓(𝑥) = 5|𝑥 − 2| − 1

𝑓(0) = 5|0 − 2| − 1 = 9

∩ 𝑥 = (9

5, 0) 𝑦 (

11

5, 0) ∩ 𝑦 = (0,9)

La gráfica de la función se muestra a continuación.

0 = 5 ∙ −(𝑥 − 2) − 1

0 = −5(𝑥 − 2) − 1

𝑥 =9

5

Prueba.

0 = 5|𝑥 − 2| − 1

0 = 5 |9

5− 2| − 1

0 = 0

0 = 5(𝑥 − 2) − 1

𝑥 =11

5

Prueba.

0 = 5|𝑥 − 2| − 1

0 = 5 |11

5− 2| − 1

0 = 0

65

2. 𝑓(𝑥) = −1 ∙ |𝑥 − 5| − 3

Solución. A partir de la gráfica de |𝑥| se realizan las distintas transformaciones.

a) Desplazamiento de 5 unidades hacia la derecha, para obtener la gráfica de 𝑦 = |𝑥 − 5|.

b) Reflexión con respecto al eje x, para obtener la gráfica de 𝑦 = −|𝑥 − 5|.

66

c) Desplazamiento de 3 unidades hacia abajo, para obtener la gráfica de 𝑦 = −|𝑥 − 5| −

3.

Podemos observar como la gráfica no interseca al eje 𝑥. Lo cual debe coincidir con que la

ecuación 0 = −|𝑥 − 5| − 3 tenga conjunto solución vacío.

Intersección con el eje 𝑥.

0 = −|𝑥 − 5| − 3

No existen intersecciones con el eje x.


𝑓(0) = −|0 − 5| − 3 = −8

La intersección con el eje y es (0, −8). La gráfica se muestra a continuación.

0 = − − (𝑥 − 5) − 3

0 = (𝑥 − 5) − 3

𝑥 = 8

Prueba.

0 = −|𝑥 − 5| − 3

0 = −|8 − 5| − 3

0 = −|−3| − 3

0 = −6

0 = −(𝑥 − 5) − 3

0 = −𝑥 + 5 − 3

𝑥 = 2

Prueba.

0 = −|𝑥 − 5| − 3

0 = −|2 − 5| − 3

0 = −|−3| − 3

0 = −3 − 3

0 = −6

67

3. 𝑓(𝑥) = |−𝑥 − 3| − 2.

Solución: Al igual que en la función raíz cuadrada, cuando a la variable le antecede un

menos, procedemos a factorizar la expresión dentro del valor absoluto, sacando un −1 a

factor común. (Esto es una opción para realizar este tipo de gráficas).

𝑓(𝑥) = |−𝑥 − 3| − 2

𝑓(𝑥) = |−(𝑥 + 3)| − 2 (resultado con -1 como factor común)

Por definición de valor absoluto, sabemos que la gráfica de 𝑦 = |−(𝑥 + 3)| − 2 es la misma

que 𝑦 = |(𝑥 + 3)| − 2

Las transformaciones por realizar a partir de |𝑥| son las siguientes.

a) Desplazamiento de 3 unidades hacia la izquierda, para obtener 𝑦 = |𝑥 + 3|.

68

b) Desplazamiento de 2 unidades hacia abajo, para obtener 𝑦 = |𝑥 + 3| − 2.

Otra forma de proceder es desplazarse 3 unidades hacia la derecha para obtener 𝑦 =

|𝑥 − 3|, (en verde). Luego se hace un reflejo con respecto al eje x para obtener la gráfica de

𝑦 = |−𝑥 − 3|, (en rojo). Observe como los puntos A y B se reflejan en A’ y B’.

Intersecciones con el eje 𝑥.


𝑓(0) = |(0 + 3)| − 2 = 1 ∩ 𝑦 = (0,1)

0 = −(𝑥 + 3) − 2

0 = −𝑥 − 3 − 2

0 = −𝑥 − 5

𝑥 = −5

Prueba.

0 = |(𝑥 + 3)| − 2

0 = |(−5 + 3)| − 2

0 = 0

0 = (𝑥 + 3) − 2

𝑥 = −1

Prueba.

0 = |(𝑥 + 3)| − 2

0 = |(−1 + 3)| − 2

0 = 2 − 2

0 = 0

∩ 𝑥 = (−5,0) 𝑦 (−1,0)

0 = |(𝑥 + 3)| − 2

MATEMÁTICAS 11° Saint Joseph High School 2020 Prof ... · 1 Función inversa Sea f una función,...

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