GUÍA N°2 PARA CUARTOS MEDIOS FUNCIÓN INVERSA

NOMBRE: CURSO:

Objetivo: Caracterizar la función inversa reconociendo la posibilidad de su existencia de acuerdo a los conceptos de inyectividad, sobreyectividad y biyectividad en las funciones.

Conceptos Claves: - Función inyectiva - Función sobreyectiva o epiyectiva - Función biyectiva - Función inversa

Instrucciones Generales: Debes desarrollar la presente guía en el mismo documento de Word y enviarla de regreso vía email. Si no dispones

de este medio realízala en papel y luego sácale fotos para enviarlas al correo del profesor de la asignatura.

- Antes de comenzar a desarrollarla, revisa los link de videos de apoyo que se te indican y estudia los contenidos y

ejemplos (resolviendo cada ejemplo) para que puedas cerciorarte que entendiste el procedimiento.

- Para clarificar el contenido y las dudas que puedan surgir en su desarrollo, estaremos apoyándote en el grupo de

WhatsApp de tu curso el MIÉRCOLES 8 DE ABRIL en el horario que se detalla por cada profesor. Es importante

que ese día y a esa hora tengas tu guía, cuaderno y lápiz , puesto que la idea es que la vayas desarrollando y vayas

consultando las dudas que te surjan. Los profesores que te apoyaremos en esa fecha somos:

• 4°D Profesora Erika Valdés 16:00 A 18:00

• 4°A Profesora Leticia Núñez 14:30 A 16:30

• 4°E Profesora Leticia Núñez 17:00 A 19:00

• 4°C Profesor Augusto Álvarez 16:00 A 18:00

• 4°B Profesor Francisco Garrido 16:00 A 18:00

- Si después de esta clase por WhatsApp , aún quedan dudas podrás comunicarte con el profesor que te corresponda

vía correo electrónico o WhatsApp según concuerden con el profesor que los esté apoyando el miércoles 8 de Abril.

-Antes de contestar, revisa las rúbricas o pautas de evaluación adjuntas a las guías para que puedas saber qué es lo

que te pide el profesor que incorpores en la respuesta

FECHA DE ENTREGA: 10 DE ABRIL

CORREOS ELECTRÓNICOS DE PROFESORES DEL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Érika Valdés evaldes@corporacionislademaipo.cl

Leticia Núñez leticianufi@gmail.com

Augusto Álvarez a.alvarez@corporacionislademaipo.cl

Francisco Garrido f.valdenegro@corporacionislademaipo.cl

Puntaje total de la guía

Puntaje real Nota

CENTRO EDUCACIONAL ISLA DE MAIPO

DEARTAMENTO DE MATEMÁTICA

¿Qué debo saber para desarrollar esta guía?

Función Inversa

Funciones inversas, en el sentido más amplio, son funciones que hacen lo "contrario" de cada una. Por ejemplo, si f

convierte a en b, entonces la inversa debe convertir b en a. es decir:

Sea una función definida de A → B

Domino: {1,4,5}

Codominio: {2,3,4}

Recorrido: {2,3,4}

Si creamos su función inversa esta seria definida de B → A

Domino: {2,3,4}

Codominio: {1,4,5}

Recorrido: {1,4,5}

Pero no siempre es posible generar una función inversa. Existen casos como los siguientes:

Diagrama Función función inversa

La función relaciona -1 con el 5 0 con el 3 1 con el 5 2 con el 11 3 con el 21 Como la relación es única y todos los valores del dominio están relacionados es una función

La función inversa relaciona 5 con el -1 3 con el 0 5 con el 1 11 con el 2 21 con el 3 Como la relación no es única: el 5 con el -1 y 5 con el 1 por lo tanto no es función entonces no existe inversa.

La función relaciona 1 con el 5 2 con el 6 3 con el 7 4 con el 9 Como la relación es única y todos los valores del dominio están relacionados es una función

La función inversa relaciona 5 con el 1 6 con el 2 7 con el 3 8 con el 4 9 con ……… Como no todos los valores del dominio están relacionados entonces no es función por lo que no existe inversa.

La función relaciona 1 con el 4, es decir f(1)=4 4 con el 2, es decir f(4) = 2 5 con el 3, es decir f(5) = 3 Como la relación es única y todos los valores del dominio están relacionados es una función

La nueva función relaciona 4 con el 1, es decir f-1(4) = 1 2 con el 4, es decir f-1(2) = 4 3 con el 5, es decir f-1(3) = 5 Como la relación es única y todos los valores del dominio están relacionados es una función

Si buscas función inversa en Google aparecerá

𝑓−1 este es el símbolo para reconocer que

es lo inverso a 𝑓(𝑥)

.

Biyectividad de una función invertible

Para que una función inversa exista, se debe cumplir biyectividad en la función. Es decir, una función es invertible si y

solo si la función es biyectiva.

• Biyectividad: En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es

decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a

cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida

Inyectividad:

Una función inyectiva, por lo tanto, es aquella que, a distintos elementos del conjunto inicial (el dominio), les

corresponden distintos elementos del conjunto final (el codominio). Ejemplo:

inyectiva No inyectiva

Sobreyectividad o epiyectividad:

Una función es sobreyectiva, cuando el codominio y el recorrido coinciden. Ejemplo:

sobreyectiva No sobreyectiva

Entonces es preciso definir criterios para saber si existe o no

una inversa

Para apoyar el contenido puede ver el video

adjunto al código QR

REPRESENTACIÓN DE LA FUNCIÓN INVERSA EN EL PLANO CARTESIANO

se puede analizar si existe inyectividad en una gráfica. El problema se encuentra con la sobreyectividad (en la

práctica es un asunto teórico) . Pero asumiremos que si la gráfica representa una función inyectiva se podría

trazar una supuesta inversa.

• inyectividad en una gráfica: se deben trazar rectas horizontales paralelas al eje x y si se corta en más

de un punto el trazo de la curva entonces no es inyectiva.

Ejemplo

Grafica de una función inversa

Si se traza una función llamada identidad (y=x) que tiene pendiente 45°. Y luego aplicamos una reflexión sobre esta

recta ala curva de la función obtenemos la gráfica de la función inversa, o bien usando el razonamiento anterior,

podríamos representar la función inversa. Esto es :

Para apoyar el contenido puede ver el video

adjunto al código QR

Función identidad

Ejemplo:

ACTIVIDAD PARA EL ESTUDIANTE:

I. Determine si las siguientes funciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas. Justificar respuesta (2 puntos

cada una). Total de puntos del ítem: 12 puntos

1. Graficamos la función 2. Trazamos la función identidad

3. Aplicamos la simetría

axial

Para apoyar el contenido puede ver el video

adjunto al código QR

F(x)

Función

identidad

II. Determinar función inversa o función original según sea el caso: (2 puntos cada una, total puntaje del ítem: 6

puntos)

𝑓

Si f: A → B, tal que A:{1,2,3} y B: {1,4,5} f : {(1,1) , (2,4) , (3,5)}

x F(x)

𝑓−1

𝑓−1 𝑓−1: {( , ) , ( , ) , ( , )}

𝑓−1

F(x) x

3 5

-1 7

0 2

5 -4

III. Dibuje la curva de la función inversa (apoye con GeoGebra y luego copie la imagen). Cada una vale 4 puntos.

Total de puntaje del ítem: 16 puntos

A) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 𝑥

B) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 1

C) 𝑓(𝑥) =1

𝑥

D) 𝑓(𝑥) =1

𝑥

IV. Seleccione la alternativa correcta y realiza el desarrollo o justificación de como llegaste a esa alternativa. Cada

pregunta vale 3 puntos. Total del ítem 30 puntos

1) El siguiente diagrama sagital representa la función f. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? I. f es inyectiva.

II. f es sobreyectiva. III. 𝑟𝑒𝑐 (𝑓) = {3, 7, 10, 13}

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III

2) La siguiente gráfica, ¿es función? y ¿es inyectiva?

A) Sí es función, pero no inyectiva. B) No es función, pero sí inyectiva. C) No es función, ni inyectiva. D) Sí es función y también inyectiva. E) Ninguna de las anteriores.

3) Respecto del concepto de función. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. A todo elemento del dominio le corresponde un único elemento del recorrido. II. A todo elemento del recorrido le corresponde un único elemento del dominio.

III. Toda función sobreyectiva es inyectiva.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

4) Los siguientes diagramas representan funciones de M a N. De ellas, solo es función biyectiva:

A)

B) C)

D)

E)

5) Con respecto a una función biyectiva podemos decir que:

A) Que existe si el dominio es todos los reales B) Que los elementos del recorrido son todo el conjunto dominio C) Que cada elemento del recorrido se relaciona con solo un elemento del dominio D) Es inyectiva y sobreyectiva. Por lo que existe 𝑓(𝑥)−1 E) N.A.

6) De la siguiente función podemos decir:

A) Es biyectiva

B) Es inyectiva

C) Es sobreyectiva

D) Tiene inversa

E) No es función

7) De las siguientes funciones

la(s) que representa(n) una función inyectiva(son):

A) Solo f

B) Solo h

C) g y f

D) h y g

E) g, h y f

8) ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) relación(es) es(son) funciones inyectivas de A en B? A = {a,b,c} B={5,6,9,10}

I. R={(a,5),(b,5),(c,5)} II. R={(a,5),(b,6),(c,9)} III. R={(a,5),(b,6),(c,10)}

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

9) Con respecto a una función inyectiva es verdadero:

A) Que los elementos del recorrido son todo el conjunto codominio B) Que los elementos del recorrido son todo el conjunto dominio C) Que cada elemento del recorrido se relaciona con solo un elemento del dominio D) Esta relacionado con la preimagen del conjunto dominio E) N.A.

10) Con respecto a una función sobreyectiva o epiyectiva es verdadero:

A) Que los elementos del recorrido son todo el conjunto codominio B) Que los elementos del recorrido son todo el conjunto dominio C) Que cada elemento del recorrido se relaciona con solo un elemento del dominio D) Esta relacionado con la preimagen del conjunto dominio E) N.A.

REFLEXIÓN AL CIERRE DE LA GUÍA

Esta parte de la guía va sin puntaje, pero nos entregará información importante para generar apoyos en las mayores dificultades detectadas. Te invito a que respondas las siguientes preguntas:

1. Qué parte del contenido no te quedó muy claro y crees que necesita un reforzamiento para los estudiantes. ¿Por qué?

2. Responde:

¿Qué fue lo que menos te costó en esta guía? ¿Qué fue lo que más dificultades te presentó esta guía?

PAUTA DE EVALUACIÓN

De acuerdo a esta pauta revisaremos tu trabajo, por lo tanto fíjate que en tus desarrollos tengas todo lo solicitado para obtener el máximo puntaje. Ítem I

LOGRADO 2 puntos

MEDIANAMENTE LOGRADO (1,5 puntos)

POR LOGRAR 1 punto

NO LOGRADO 0 puntos

Reconoce y justifica adecuadamente inyectividad sobreyectividad y biyectividad en base a los contenidos expuestos.

Reconoce inyectividad sobreyectividad y biyectividad .

Reconoce medianamente inyectividad sobreyectividad y biyectividad .

no reconoce inyectividad sobreyectividad y biyectividad .

Ítem II

LOGRADO 2 puntos

MEDIANAMENTE LOGRADO 1,5 puntos

POR LOGRAR 1 punto

NO LOGRADO 0 puntos

Reconoce dominio y recorrido para luego crear justificadamente la función inversa en base a los contenidos expuestos.

Crea una función inversa sin reconocer dominio y recorrido.

Crea una función inversa errónea sin reconocer dominio y recorrido.

No crea una función inversa.

Ítem III

LOGRADO 4 puntos

MEDIANAMENTE LOGRADO 2 puntos

POR LOGRAR 1 punto

NO LOGRADO 0 puntos

Reconoce y justifica adecuadamente inyectividad en base a los contenidos expuestos. Para luego utilizando la función identidad trazar la función inversa correspondiente

utilizando la función identidad traza la función inversa correspondiente

utilizando la función identidad traza erróneamente la función inversa correspondiente

traza erróneamente la función inversa correspondiente

Ítem IV

Logrado 3 puntos

Medianamente logrado 1 puntos

No logrado 0 puntos

Marca la alternativa correcta, realizando un desarrollo lógico valido que justifica la selección de la alternativa

Marca la alternativa correcta

pero no realiza un desarrollo

lógico valido que justifica la selección de la alternativa

No selecciona alternativa y no realiza desarrollos

ITEM I 12 puntos

ITEM II 6 puntos

ITEM III 16 puntos

ITEM IV 30 puntos

TOTAL DE PUNTAJE DE LA GUÍA 64 puntos

Con 38 puntos obtienes una nota 4,0.