EPN: Página de inicio - PROGRAMA. DIGITAL PARA ENCONTRAR LA TRANSFORMADA INVERSA … · 2019. 4....

II

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

PROGRAMA. DIGITAL PARA ENCONTRAR LA TRANSFORMADA INVERSA

DE ¿APLACE DE UNA PUNCIÓN DE TRANSFERENCIA F(S).

POR

JOSÉ O. MUÑOZ M. /

TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TITULO DE INGENIEFvO EN

LA ESPECIÁLIZACION DE ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES.

QUITO

AGOSTO '" DE" 1978

CERTIFICO QUE EL PRESENTE TRABAJO

HA SIDO REALIZADO. INTEGRAMENTE POR

EL- SEÑOR JOSÉ 0.- MUÑOZ MEJIA.

O.

ING. EFRAIN DEL PINO

DIRECTOR DE TESIS

Quito, Agosto de 1978

ÍNDICE

PAGINA

Capitulo Primero.- DIVISIÓN DE POLINOMIOS . 4

1 .1 Términos de Frecuencia Infinita. .......... 5

Capítulo Segundo.- EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES . 11

2.1 Polos y. Ceros -de la Función Racional, .... 12.

2.2 Diferenciación de Polinomios. ............ 18

2.3 Evaluación de Polinomios. ................ 19

Capítulo Tercero.- TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 40

3.1 Propiedades de la Transformada inversa de

Laplace .... ............................. 41

3.2 Evaluación de la Transformada Inversa de

Laplace .......... ............. . ......... 43

Capítulo Cuarto.- GKAFIZACION - • ^ 46

4.1 Técnica de Grafízacion de una Función ... ' 47'

Capítulo Quinto.- CONCLUSIONES . . 52

5 . 1 Verificación, del Programa ............... • . 53

Apéndice A ... 74

A.l Caracteristícas y Listado de las subruti -

ñas utilizadas ................... • ....... 75

A. 2 Estudio de la Subrutina RAICES .......... 91

Apéndice B 95

B.l Modo de Utilización del Programa • ... ..... . 96

BIBLIOGRAFÍA ... 99

I N T R O D U C C I Ó N

La presente tesis trata sobre la Transformada Inversa de Laplace

de una Función ¿e Transferencia F(s) Racional. Donde F(s)=C(s)/B(s),

C(s) y B(s) son Polinomios en "s" ( frecuencia compleja s=cr 4- jtü ) de

grado m y n respectivamente.

Dado, un circuito conteniendo elementos R3L,C , se formula las e-

cuaciones de Rea que son funciones del tiempo. Si la Red está compues-

ta únicamente por resistencias, estas ecuaciones resultan ser algebra^

cas. Sin embargo, cuando Inductancias y capacitancias están presentes,

las ecuaciones de Red resultan ser ecuaciones integro-diferenciales;

es muy conocido que las soluciones de estas ecuaciones simultáneas re-

quiere"- de técnicas muy especiales y difíciles para resolverlas. Para

obviar estos,toaos estos'problemas, se hace el uso de las variables -

transformadas de Red o variables de Red que implican algunos procesos

matemáticos hasta que las ecuaciones que involucran esas variables -

sean más fáciles de' resolverlas-. Existen muchas técnicas o transforma-

ciones matemáticas que son útiles en aplicaciones de ingeniería, entre

esas está la más usada de las transformaciones, la. Transformada-de La-

place. Nosotros bien ya conocemos, que por medio de esta transformada,

las ecuaciones integro-diferenciales resultan ser -ecuaciones algebrai-

cas, que ya son más fáciles de resolver_.

Así, si B(s) es la transformada de alguna variable de excitación.

b(t) de una red dada. Similarmente, si R(s) es la transformada de'algu

na variable de respuesta r(t). Si nosotros transformamos la ecuación -

integro-diferencial relativas a b(t).y r(t) , y si todas las. condicio-

nes son diferentes de cero, la ecuación resultante puede ser usada pa-

ra definir una función de red 'F(s) -correspondiente a la variable de la

respuesta transformada. Específicamente, í'(s) = { fí(s) + términos de

las cond'Lc'Lones -inio-iales }. / E(s) - C(s} / B(s~) . Esta función de -

- 2 -

red puede ser una impedancia ( admitancia ) directa o reflejada , o -

una relación de. transferencia dimensional . ( voltios, amperios ).

Como se dijo anteriormente, esta tesis trata de encontrar la res-

puesta en el tiempo de una.función de transferencia E(s) { f(t) =

L~l [ F(s) ] }, y para tal objeto esta tesis se ha dividido en cuatro

etapas.. El primer capítulo tiene por objeto el de encontrar los térmi-

nos de frecuencia infinita racional, pa-^a tal objeto se realiza una -

comparación entre el grado.del polinomio numerador y el grado del pola

nomio denominador; si se tiene que el grado del polinomio numerador es

mayor o igual que el grado del polinomio denominador, se efectúa una *-

división entre los dos- polinomios. El segundo capitulo, tiene por obj_e_

tivo el de efectuar la expansión en fracciones parciales de la función

racional propia, esto es, una vez que se haya separado los términos de

frecuencia infinita de la función racional original ( si los hay ). Pa_

ra tal objeto primero se encuentra los polos de la función racional., y

se verifica el orden de estos polos, tratándose únicamente en esta te-

sis para los caso.s de primer y segundo orden, debido a que en la prác-

tica y en circuitos reales únicamente se tienen polos del orden indica

do anteriormente; salvo el caso para circuitos relativamente no utili-

zados muy a menudo, en donde el orden de un polo puede ser. de tercer —

orden. En este caso, como una solución, al problema, puede ser el de mp_

dificar a uno de estos tres polos iguales, y el tratamiento en lo pos-

terior sería idéntico al .que tener un polo de primer orden y un polo —

de segundo orden.

El tercer capitulo,, una vez que la función racional haya sido ex-

pandida en fracciones parciales, encuentra la transformada inversa de

Laplace de cada termino íf(t) - ZL~l •[ F^(s) ]} , para una secuencia de

valores de tiempo comprendidos dentro de uní rango destiempo fijado. Y

para completar todo el trabajo, el cuarto capítulo efectúa el. gráfico

de la respuesta en el dominio del tiempo de la función de transieren- -

— 3 —

cia. Para finalizar} se efectúa una verificación del programa, y su mp_

do de utilización e interpretación de los resultados; asi también, en

el apéndice Á.l se indica las características de cada subrutina utili-^

zada en el programa principal, y un listado de las mismas.

vCabe anotarse que el objetivo principal de esta tesis es de carac_

ter didáctico en el área de Circuitos Eléctricos. Además debe anotarse

que esta tesis también nos va a prestar mucha ayuda en el área de Sis- •

temas de Control Industrial, y en muchas otras aereas, en donde estemos

interesados en conoc'er el comportamiento de una red o de un elemento -

en el dominio del tiempo.

Por ultimo, merece anotarse mi más sincero agradecimiento a todas

las personas que prestaron su valiosa colaboración, en especial al Ing

Efraín del Pino, que bajo la dirección suya fue posible que se realice

completamente esta tesis.-

- 5 -

1 . 1 TÉRMINOS DE FRECUENCIA INFINITA.

Para encontrar la expansión en fracciones parciales y para

evaluar la transf ormada inversa de Laplace de la función racio

nal F(s) - C(s)/B(s) , consideramos la función racional F(s)

del tipo indicado a continuación:

B(s)

dond'e los coeficientes c¿ j b¿ son números reales, m y n —

son los grado.s de los polinomios numerador y denominador respec-

tivamente. _

Como primer paso, a desarrollarse^ es el de evaluar la-fun -.

cion F(s) en el límite en que s tiende al infinito, existieri

do tres posibles situ?ciones 'que pueden ocurrir:

1.- L-im F(s) -S-KO ' •

2.- Lím F(s) = K • ' ( 1.2 )

3.- -L-ím F(s) =—

Luego, se introduce el concepto de un punto en- el plano'de

la frecuencia compleja . ( s = a + j w ) , en el cual la magnitud

de la función FCs) va al infinito. Cada punto es llamado un —

Polo de F(s). Entonces se define la primera situación de (1.2) ,

- 6 -

diciendo que F(s) tiene un Polo de q • orden ea el infinito, y

esto requiere que el grado del polinomio numerador de F(s) sea q

•mayor que el grado del polinomio denominador.

La segunda situación se describe diciendo que P(.s) es cons-

tante'en s igual a infinito, lo cual requiere que el grado del

polinomio numerador de F(s) sea igual al grado del polinomio deno_

minador de F(s).

Y por ultimo-, la tercera situación de (1.2), introduce el

concepto de un. CeTO , para indicar un lugar en el plano de fre -

cuencia compleja en la cual la magnitud de F(s) va a cero, esto -

se puede describir diciendo que F(s) tiene un Gero'd^ orden q -

en el infinito. Esto requiere que el grado del polinomio numera -

dor de F(s) sea q menor que el grado del polinomio denominador -

de F(s). ' • . -

Luego, como se puede observar en lo descrito anteriormente,

hay que chequear la frecuencia infinita de la función F(s). Así,

si m > n y los términos de frecuencia infinita corresponden con

un Impulso, un Doblete, un Triplete, etc., en el dominio del •,. -

tiempo, debiendo ser removidos estos términos de la función F(s).

En general, si el grado del polinomio numerador C(s) es q mayor

que el grado del polinomio denominador B(s) '( q=0 >1,2, • • •) i se

.puede escribir la función F(s) de la siguiente forma:

f(s) = = gi8i+gí8^+.^ l C 1.3B(s) • ^ BCs)

donde el grado de A(s) es menor que el grado de B(s). La transfor_

mada inversa de esta expresión es:

- 7 -

f(t) = L 'l\F(sJ] =

L ( 1.4 )

donde las cantidades 6>(t)3 ó (t) ¿ 6 ftj _, ... son respectiva-

mente, un impulso, un'doblete, un triplete, etc., ocurrentes en-t-C?

Todo esto1 se puede lograr simplemente, efectuando una división

entre los dos polinomios, como se puede ver a continuación:

BCsJ

n+i

J71 -~L> \£7i <?i J"

C\ ' m-i+

Luego se puede'representar la función F(s) como:

2>i

\S + &2& ' +• • •+ 3m:— — ( 1.5

/-» ndonde a,- C9 - -—• b? , a," (?„ - -— 2?» , etc.

1 ¿ £>i ¿ ¿ d £>i J

El nuevo polinomio . A(s) = ajS + a2S +. . .+ a , puede ser

considerado como el nuevo polinomio numerador de grado m—1 , y si

(m-1) > n y el proceso de la división puede ser continuado, sustitu.

yendo C(s)=A(s) . y encontrando un nuevo polinomio residuo A(s). -

Este proceso es continuado hasta cuando el grado del.polinomio nume_

rador A(s) sea de grado n-1 . Ahora, el.proposito ha seguirse es

el de implementar este algoritmo como una subrutina, la misma que —

lleva el nombre de DIVP ( División de Polinomios ) . En esta subru-

tina s'e utiliza un- arreglo O . para almacenar los coeficientes del

polinomio numerador, y un arreglo B para almacenar los coeficien :—

tes del polinomio denominador, un arreglo C? para almacenar los co_é_

ficientes procedentes de los términos infinitos y un arreglo A pa-

ra almacenar los coeficientes del polinomio A(s); luego la subruti-

na. se puede definir como: ' . ~^

SVBROUTINE DIVP ( M^C.N^B.KI.G.XR^A •) ( 1.6 )

donde M y N son los grados de los polinomios numerador y denomina_

dor de F(s), respectivamente; XI es la diferencia entre M y N , y

KR - N-1. En efecto, se puede ver- que si M I? , la función F(s) -

puede ser puesta en la forma siguiente:

= G(s) +~r ( 1.7B(s) B(s)

- 9 -

donde A(s) es de .menor grado que el grado del polinomio denomina-

dor B(s), definiéndose luego que F(s) = A(s) / B(s) >• donde m es

el grado de A(s), n es el grado de B(s), y m < n . A continuación

se presenta un diagrama de flujo ("Fig. 1.1).

Para mayores referencias sobre esta subrütina, un sumario de

las características de la subrütina indicada es da'da en la Tabla

A.1.1 del Apéndice A.

- INICIO )

KR = N-Z

MT - M

' XX - 1

G(K) =

L = K

MT - MT-1

K -

= MT-2

G(I)=0 • 1=1,

XI - O

IRETURN

A (I) =D (I) ; 1=1; . . . KR+1

Fig. 1.1 Diagrama de flujo para la sitbrut-ina DIVP.

12 -

2.1 POLOS Y CEROS DE LA FUNCIÓN RACIONAL.

Gomo próximo paso para encontrar la transformada inversa de La

place.de la función F(s) , es el de determinar los POLOS de la fun

ción P(s) ( raices del polinomio B(s) ). Para este ob jeto , hago uso

de una subrutina incorporada en el computador digital IBM/370 de la

Escuela Politécnica Nacional, desarrollada por el Ingeniero Efraín

del Pino (\); y para el efecto se le entrega el arreglo unidimen -

sional B que contiene los. NP ' (7iH-2) coeficientes del polinomio de-

nominador, entregando la subrutina los arreglos ZR y ZI que ¿o •• —

. rresponden a las partes reales e imaginarias de las raices, respec-

tivamente. Esta subrutina en su llamada se define como:

C A L L D P R P O 1 ( NPtKEsXINjyiNjZRtZIj&xx )" ( 2.1 )

donde KP es el numero, de términos del polinomio denominador, B es

el arreglo que contiene los coeficientes del polinomio, denominador .

en orden descendente de potencias, KE es un numero entero de preci-

sión y que puede tomar los siguientes valores: 13 < KE < 28 ., y si

KE=0, el programa asume que £ = 10 ; XIN , YIN son variables cuyos

valores son arbitrarios e iniciales de Z, si XIN= ¥!$=• Os el progra_

ma asume valores arbitrarios y apropiados. ZR y ZI son arreglos don

de el programa nos entrega las partes reales de las raices (ZR) y

las partes imaginarias de las raices (ZI) . Por ultimo, tenemos &xx

donde xx representa un numero entero, que indica una dirección, de

retorno en el programa principal, en el caso en que fallase la sub-

rutina. El método en que se basa esta subrutina es el del descenso

más pronunciado para evaluar una raíz de un polinomio.

Para mayor información hacerca' de las características de esta

i.- Ver apéndice A (AJ. . 8) _subrutina RAICES.

- 13 -

subrutina, ver en el apéndice A, tabla A.1.2.

Hasta el presente, como primer paso en determinar la tráns -

formada inversa-de Laplace de la función F(s) de (1.1), nosotros

hemos discutido el problema de remover los polos y constantes en

el infinito de la función y"el problema de factorar el polinomio

denominador B(s) (encontrar los polos de F(s)). El próximo paso a

desarrollarse, es el de encontrar los residuos de F(s) para los "-r

varios polos finitos ' de la función F(s), Esto es, si factoramos

tanto el-polinomio' numerador como el denominador, se puede escri-

bir la función de la siguiente forma:

... (S-z )

B(s) (S-Pl)(S-pz) (S-pi) . . . (S-p)n

E CS-zt.)

_ ' . - (2.2)

n

.donde las cantidades p • representan la localizacion de los polosLf

en el plano finito S donde la magnitud de F(.s) va al infinito. -

Similarmente las cantidades z * representan los lugares en el -pljie-

no finito complejo S donde la magnitud de F(s) es cero, estos —

son los llamados CEROS de F(s) . -La constante K. es conocida como

la contante de ganancia. Esto .aparentemente es, que el numero de •

ceros finitos de F(s) más el numero de ceros en. el infinito, es

igual al numero de polos finitos de F(s) (el numero - total de po-

los de la función racional F(s) es igual al número total de ceros

de la función),

- 14 -

Hay tres casos que se debe considerar para funciones del ti-

po de (2.2).

CASO 1.- Todos los polos de F(s) son reales o complejos, pe-

ro simples, en este caso, todas las cantidades p¿ podrían ser nu_

meros reales y nunca dos podrían tener el mismo valor. Ahora se -r-

podría encontrar un método para poder escribir F(s') de la siguieja

te forma:

_— LS-p.

Luego, f (t) = L F(s)= Xi.eplt.+ Kz.ep2t £3. eP^ +. . .+ Kn. ePnt

- .E JL-.^^ . donde X- es el residuo de F(s) en el polo p.. Si^-i T- 5 i- ^ .

F(s) tiene únicamente 2 o 3 polos, el método de los coeficientes-

indeterminados es fácilmente utilizado para encontrar, los valores

de K- , lo cual requiere la solución de ecuaciones simultáneas de

orden n , dende n es el número de. polos. Este método puede ser -

considerado como una alternativa; pero ahora vamos a ver un méto-

do más general.

Sí multiplicamos F(s) de la expresión (2.2) por el factor -

(£~Pi)> se obtiene:

- 15 -

m.x. tn (s-zi)- ( 2.4

ir

.( s - z;^

Como se puede apreciar, en el miembro de la derecha de (2.4)

se ha cancelado el termino (S-pi).

Ahora, si multiplicamos (2.3) por el termino (S-pi) .-, se tie_

fte que : -

IK2 ?T3 ' Tf

+—5: + . . . ^ n | ( 2.5

Gomo se puede apreciar, si se evalúa (2.4) en S =pi , se t-ie_

ue el producto (S-pj).F(s) que es finito, y si ahora evaluamos -

(2.5) en S-p \ .el miembro dé la derecha de la ecuación es símple_

mente KI . Combinando estos resultados se obtiene:

(S-pi)F(s) = Xi ' . ( 2.6 )i

Este procedimiento puede ser fácilmente extendido para deter.

minar los otros residuos, así tenemos, si nosotros multiplicamos

F(s) por el factor (S- pj , se obtiene el residuo J£¿, determinado

por la siguiente expresión:

- 16 -

K> = (S-p-)F(s) ( 2.7 )

Pero tal como esta esta ultima expresión, no hay como imple-

mentar en un computador digital para efectuar tal operación, ya -

que la expresión de (2.7) evaluada en S=p .siempre nos daría cero.

Para tal obj'eto, consideremos:

A(s)n

bi IT.-¿-i

( 2.3 )

donde K\s el residuo para el polo localizado en p\ luego:

A(s)

'-E¿=2.

( 2.9 )

S=p:

Ahora, si se diferencia el polinomio .denominador B(s), usan-

do la forma de (2.8'),"

--B(s) =-- &! n^-l

= b: >-iz (s-pi)+(s-pi)Cs-pi).,...ao

- 17 -

- (S-pz)

'

&i|Ik-<n.s fs-p,-;+fs-pJfs-p2;.

nn n—in ( 2-10 )

Como se puede ver, en esta ultima expresión, hay un termino

(S—p i) en todos los términos, excepto en el primer termino. Ahora,

sí nosotros evaluamos ambos miembros de la ecuación (2.10), se 6b"

tiene:

dS S=pi

n.u (s-pi) ( 2.11)

En esta ultima expresión, el miembro de la derecha es simi : —

lar al denominador-del miembro de la ecuación (2.9). Luego se con

cluye que el residuo K\l polo simple localizado en p\e la

forma:

- 18

A(s)

_d_dS

.B(s)

( 2.12 )

Con lo cual ya se puede generalizar, expresando q~ue el resi-

duo -K¿de un polo simple localizado en p¿ de una función racional

F(s)= A(s)/B(s)" es:

A(s)

dS B(s)

( 2.13 )

donde #¿ puede ser real si P-¿ es real, y- complejo si p • es comple_

jo. Ahora sí, para poder ímplementar esta relación (2.13) en un -

computador digital, se requiere de dos operaciones: la de diferen

ciacion de un polinomio, y la operación de evaluación de un poli-

nomio para un-valor específico - de su argumento. Consideremos pri-

mero la operación de diferenciación.

2.2 DIFERENCIACIÓN DE POLINOMIOS.. "" .J

Si Á(s) es un polinomio de grado n que tiene la forma:

A(s)= aiS + a2£ ^ + +. . . + CL.S + ari, ( 2.14 )

Si llamamos B(s) a la'derivada de A(s) con respecto a S ," se

tiene:

- 19

B(s)= — A(s) • =dS

2.15)

donde los coeficientes £>-¿son definidos por la relación

2.16)

Estas relaciones son fácilmente implementadas por una subru-

tina, que lleva el nombre de DIFPL (Diferenciación de PoLinomios)

donde A 'es un arreglo singular suscrito conteniendo los elementos

A (I) que no son sino los coeficientes del polinomio original, y N

es el grado del polinomio. Similarmente B es un arreglo que con -

tiene los coeficientes del polinomio resultante diferenciado, y Af

es su grado. Luego esta subrutina puede ser identificada como:

SUBROUTINE- DIFPL (N.A^B) - ' •( 2.17 )

A continuación -se presenta un diagrama de flujo (Fig.2.1), y

las caracteristicas de esta subrutina pueden verse en el apéndice

A (Tabla A. 1.3) . ' ' _ x

2.3 EVALUACIÓN DE POLINOMIOS.

La segunda operación a efectuarse es la de evaluar un .polino_

mió para un valor dado de su argumento complejo. La subrutina pa-

ra tal objeto lleva po.r nombre o es la EVALPC (EVÁLuacíón de un -

- 20 -'

C INICIO

I = 1,

C=

' ' 3(I)=A(I)C

M = N-l

Fig. 2.1 Diagrama de flujo de la subrut-ina

DI FPL.

- 21 -

Polinomio para un valor de su argumento Complejo), cuyo algoritmo

utilizado es el siguiente;

Dado un polinomio A(p) que tiene la siguiente forma

A f \ m - 77Í—1 . 771—2, , / o i oA(p)= aip . + a2p +tz3p +>"+a' ( 2.18

y. queremos evaluar, este polinomio para un valor complejo de su-ar

gumento

La ecuación (2.19)' también se puede escribir de la .siguiente

maneras

( 2.20 )

De esta forma, se ha eliminado las varia's potencias de pn,a-

gilitándose de esta manera las operaciones con solo multiplicacio

nes. Las operaciones a llevarse a cabo en la ecuación (2.20) son

fácilmente programables como un algoritmo en un computador digi -

tal; asi tenemos que si utilizamos el termino VALORcomo una varia

ble intermedia usada en el proceso de evaluación, el algoritmo p_a_

ra calcular A(p Jpuede ser- expresado como:

- 22 -

1.- Hacer VALOR 'igual a a\ Multiplicar VALOR por po y sumar az. Redefinir VALOR co-

mo este resultado.

3.- Multiplicar VALOR por po y sumar a$. Llamar a este resul_

tado VALOR.

i.- Multiplicar VALOR por p0 "y sumar a..Llamar a este resul-

tado VALOR (f -¿—2_, 3,._,.'.. jTüji

m.- Multiplicar T£4L0/? por p0 y sumar a .-Llamar a este re -

sultado VALOR

m+1.- Multiplicar VALOR por p0 y sumar a , . Este resultado es

Este algoritmo se detalla en la.forma de un diagrama de flu-

jo en -la Eig. 2.2.-

La subrutina se identifica como:

( 2.21 )

donde M es el grado del polinomio. A es un arreglo en el cual son

almacenados los valores de los coeficientes del polinomio A(p), p

es el valor 'de la frecuencia compleja p , para el cual el polino_

mió va a ser evaluado, y VALOR es el resultado del.valor complejo

de A(p ) .Las características de esta subrutina son dados en deta_

lie en el apéndice Á (Tabla A.1.4). .

Luego aplicando, las subrutinas VIFPL y EVALPC , ya' podemos —

encontrar los residuos de una función racional F(s) dada, conté*—

niendo un polo simple como lo define la ecuación (2.13). Este prp_

- 23 -'

Almacena.]? el coeficiente de alto

grado a\ VALOR

1=1 ¿

B(I)=DWÍPLX ( A (I), O )

VALOR - VALOR* P + B(I)

RETURN

Fig. 2.2 Diagrama de- flujo de la subrutina EVALPC

ceso se ilustra con un diagrama de flujo como lo indica la Fig, -

2.3 •

CASO 2.- El segundo caso a discutirse para determinar la ex-

pansión en fracciones parciales de la función racional E(s) en la

cual el grado del polinomio denominador es mayor que el grado del

polinomio numerador, es cuando la función tiene únicamente polos—

- 24 -

Dada- una función -racional F(s) = A(s)/B(s) ., con

un polo simple local-izado en S=p$

Usar la.subrutina EVALPC paya encontrar A(p$)-> el

valor de A(s) evaluado en S=$

Usar la siibrutina .EVALPC para encontrar Br

el valor de Br(s) evaluado en S=Q

Calcular el residuo K= A(pQ) ,/ B ' f p o J •'

Fig. 2,3 Diagrama de flujo, para encontrar el residuo de

un polo simple.' ' •*

ireales 3 pero uno. o más ae esos, polos no son simples ( de alto or-

den, mayor que el primer orden ). Para simplicidad, asumamos- que

hay únicamente un solo polo localizado en S=p0 y que es de- orden

n (n-2j §j 4.. ) . También se asume que hay m polos- simples. Luego la

función descrita puede escribirse como:

A(s)( 2.22 )

C5-p0Jn

donde se asume que el grado del polinomio numerador es menor que

n4í?7 (grado del polinomio denominador) . Luego asumimos que se pue-

de tener un método para escribir la función de la forma siguiente

- 25 -

n K^ m ¿£ J-+-2 — (2.23)~i T5-pb^ "¿-i (S-pJ

cT,

Luego la transformada inversa de Laplace de la Función F(s) -

puede ser escrita inmediatamente como:

f(t)= L l \F(s)l=L. J.

n-\ &

• • + l ~f&P¿t (2.24)-¿-i ft- x^- -¿-i

En la expansión en fracciones parciales dada en la ecuacion-

(2.23), la determinación de lo.s residuos K- asociados con los m —¿polos simples es conocida por el procedimiento dado en el ,caso_ 1.

Luego nuestro problema es la determinación de las constantes KQ -

asociadas con las varias potencias de los polos no simples (de. -

las constantes K0¿ 0¿—1_> 2_, .. ._,n) de la ecuación (2.23), únícamén—

•001800

- 26

te KQl es formalmente llamado el residuo)

Si F(sj= +- 0 3

-f 4- ( 2.2-5 )

Multiplicando ambos miembros de la ecuación (2.25) por el

factor (S-pQ)^ se obtiene:

( 2.26 )

y si evaluamos ambos miembros de la ecuación (2 .26) en S=pQ> se -

obtiene que:

S=P.f.( 2.27 )

- 27 -

Ahoras :si' diferenciamos ambos miembros de la ecuación (2.26)

se obtiene:

dSnf \ — •

dS.

T7-

on

3-f . . .

i nn(S-pQ)

77-1n

C 2.28 )

Como- se puede ver, en el miembro de la izquierda de la ecua—71

cion (2.28), el factor f£-p0Jpuede ser cancelado con un factor —

del denominador de lf(s) antes de efectuarse la diferenciación. A-

hora, si evaluamos ambos miembros de la ecuación (2.28) en S=pQy

dependiendo del orden del polo, se tiene q_ue:

Si n=rc-2

n-3

_d_

as L S=p(

( 2.29 )

Generalizando, se tiene que si una función racional F(s) con

- 28 -

tiene polos no simples de orden n en S=p0 , entonces se podría te_

ner una suma de términos de.la forma KQ¿ / (S~pQ)^ fi-ij 2j 3_, . . .

n) en la expansión en fracciones parciales para la función F(s).-.

Luego las constantes £0- de esos términos son encontrados por la

relación ; _

,- „, , ( 2>30 J

donde las cantidades son más fácilmente evaluadas en el orden •if=ní

n-i_,n-2_,. . ._, Zj i . La serie de términos correspondientes a la ..„•-

transformada inversa de Laplace de los polos no simples, es:

( 2.31 )'

'De acuerdo a los problemas prácticos que se presentan, se —

tiene por lo regular polos de primer y/o segundo oreden, y es por

eso que esta tesis únicamente tratará para -los casos anotados úl-

timamente.

Así, ahora encontramos las constantes en'la expansión en —

fracciones parciales para los términos asociados con un polo de -

segundo orden, para lo cual asumimos que la función racional pro-

pia P(s) tiene un-polo de segundo .orden localizado en S=ply una

serie de otros polos simples. Luego la función puede ser expresa—

da como:

- 29 -

--3.

m- S-z¿

7=1

H•¿-i

n- fs-2--;=i J

( 2.32 )

.K'•¿-3

donde A(s) y B(s) son los polinomios numerador y denominador re_s_

pectivamente y X es una constante de multiplicación, z¿ son los" t/Ceros de F(s) y p¿ son los Polos de la función.

Si se multiplica arribos miembros de la ecuación (2.32) por el

término (S-p\) , se obtiene:

m2 n(S-pi)^.A(s) • 7--i

= K. -~^—BCs)

2.33

- 30

Evaluando esta última expresión en S=pi

presión para la constante £12

obtiene una ex -

-12

ÍT (S-zJ3=1 3

nn

A(s)

D(s)( 2.34 )

Ahora vamos a determinar la constante #1.1 , para lo cual va-

mos a diferenciar ambos miembros de (2.330, y se obtiene:

ddS

TT f Q— ? .)11 ( O. &~J

i— \ dA.

nE (S-p¿)

K¿(S-pi)C2.3-5 )

evaluando ambos miembros de esta expresión en S=pi> se obtiene:

ddS

E . (S-z •)v J-1' 3

n

•7*~í

ddS

vA(s) '" D(s) ( 2.36 )

donde D(s)e.s definido como B(s) / (S~Pi) . El miembro de la de-

recha de esta expresión puede 'ser definido como:

- 31

dSK A(.s)

D(s) — A(s)-- A(s) — D(s)

D(s) D2(s)( 2.37 )

sustituyendo (2.36) en la ultima ecuación, se obtiene:

n fj m m rf nu (s-p j — n (s-z .)- u (s-z .) — n (s-p.)£=3 "*- dS ,7'-! ^ -/-! 'J dS i-3 'z'-

nu

•¿-3

( 2.38 )

Efectuando la diferenciación en la- ultima ecuación, se obtie

ne:

nU (S-r n {

J-2• n (s-

m- n (s-zj)i—^-

nn i

*,'=**ní n i•¿-5

n

n1=3

- 32 -

Reordenando _terminos, se puede escribir en la siguiente for-

ma:

1= K

m •u (s-z.)

• t/

nn f Q—T-i )( o p • J

l'.~*

m i n ' iZ v

J "i-

( 2.40 )

El primer termino de esta.expresión es la constante Ki2defi-

nida en (2.34), luego:

i- I 2.m. 1 n

- £•¿-3

( 2.41 )

Regresando a la ecuación (2.32), esto es,

( 2.42 )

donde D(s)e.s el polinomio residuo _de SfsJdespues de haber removir

do el termino del polo de segundo orden en pi .

Luego se obtuvo que:

- 33 -

2= K

mn*í ~~i

nn

-¿-3

¿CsJ

Para hacer uso de esta expresión, nosotros-"debemos primero -

encontrar D(s) , esto es, remover el factor (S-pi) de B(s)fí lo

cual presenta una dificultad, especialmente para el caso de rai -

ees complejas. Para obviar este problema, diferenciamos el denomi_

nador del miembro derecho de la .ecuación (2.32).

- B(s) = n (s-p.) +i- 3 ^

n rs-p J +'

n+(S-pl)¿(S-p3) ]

Í-5+... ( 2.43 )•

Si diferenciamos nuevamente este resultado, se obtiene:

-p -; + . . . + n rs-pj 2 :n w-p -; +->f ^-s

nII

n nn fs-p¿j + r.5-pü u

•¿-5

+ :rs-p3;,

- 34 -

n. n•¿-6

( 2.44 )

Si evaluamos esta ultima expresión en S=p\ todos excepto el

primer termino desaparecen. Este resultado puede ser escrito como

sigue:

d2 •

B(s)n

= 2n,(s-Pi) ( 2.45 )

El miembro derecho de1 esta ultima expresión es igual a 2 ve-

ces el valor del polinomio denominador de (2.34) o lo que es lo -

mismo, 2D(p1J . Luego la ecuación (2."34) puede ser escrita en la

forma indicada a continuación.

#12-2A(s)

B(s)

( 2.46 )

S=pl

Como se puede ver, esta relación es fácilmente implementada

como un algoritmo para determinar la constante Xiz asociada con -

un polo de segundo orden localizado en S=pi . Esto es. implementa-

do basta con utilizar las subrutinas DIFPL y EVALPCt anteriormenTr

te definidas. Gomo habíamos visto anteriormente, la expresión-pa-

ra 7 C e s •

m.£,

- 35 -

n

S-3

dónde las cantidades z • J p • son los ceros y polos de F(s) respec_3 " •

tivamente.

La figura 2.4 representa un diagrama lógico para encontrar -

las cantidades asociadas con los términos de primer orden y según

do orden en la expansión en fracciones parciales para un polo de

segundo orden. , . •

CASO 3.— El tercer caso a discutirse para determinar la ex -

pansion en fracciones parciales de la función racional F(s), es -

el cas'o en la. cual la función racional contiene un par de polos

complejos conjugados. Para, simplicidad, consideremos que el orden

de los polos son simples y que ellos están localizados en p y p*

Luego, F(s) se puede escribir en la siguiente forma:

P(S) 2.47

donde el grado del polinomio numerador A(s) es menor que el gardo

del polinomio denominador (el grado de £fsJ+2),-y Q(s) contiene-

todos los otros polos de F(s). Ahora, efectuando-la expansión en

fracciones parciales de los términos de los polos complejos cohju_

gados, se tiene que F(s) es de la forma:

36 -

F(s) =K2. R(s) ( 2.48 )

donde R(s) / Q(s) es 1a expansionen fracciones parciales para -

los otros polos de P(s). Los residuos K\ K2^on fácilmente encon.

Dada F(s) = A(s)/B(s) _, donde B(s) es de orden n

con una raiz de segundo orden local-izado en S=p\

Encontrar B " ( s)

Calcular £12- 2A(pi )/B " fpi )j la constante del

térmi-no de segundo orden en la expansión en -

fracc-Lones parciales de-'F(s). ' •

,

Encontrar Z¿ (i-l^ 23 . . . ¿m) ^ las raíces de poli-

nomio numerador A(s). . -

m -in~-i -,7 STY, -y- 1 ,—ytll y n 7

i v -*• 1 ~

j=i S-Zj i=3 S-pt S=pi

constante para el término de ler- orden en la ex-

pansión en fracciones parciales de F(s).

Fig. 2.4 Diagrama de flujo simplificado para encontrar los

residuos de polos de segundo orden.

- 37 -

trados mediante las ecuaciones descritas en el caso 1 (residuos -

de polos simples), con la condición de que se debe trabajar con

aritmética compleja; luego K\ KZ pueden ser en general comple —

jos.

Todos estos resultados'son fácilmente modificados para tra -

tar el caso- donde el orden de multiplicidad de los polos comple -

jos conjugados son encontrados. El método a utilizarse para este

caso es similar al descrito para el casa 2, excepto que es necesji

rio el uso de aritmética compleja.

Luego de haber hecho el análisis .para todos los casos posi -

bles de los polos de IT(s), se puede implementar una lógica gene -

ral definida parólos .flujos de cartas de las figuras 2.3 y 2.4 -

(para los polos•de primer y segundo orden respectivamente) dentro

de un flujo de cartas para la implementacion de una subrutina, co

mo lo indica la Fig. 2.5 . El primer .paso-a desarrollarse es el -

de almacenar los coeficientes de los polinomios B(s) (almacenados'

en el arreglo B ) en un segundo arreglo O , con los elementos C(I)

Esto es necesario para que- las operaciones puedan ser realizadas .

en este arreglo, evitándose de esta manera que los coeficientes- -

originales desaparezcan o sean destruidos, ya que de esta manera

se pueden utilizar estos'coeficientes en otras regiones del pro -

grama. En definitiva, las variables utilizadas en el diagrama de

flujo ( y en la subrutina ) son: el sufijo. D '.es utilizado para -

indicar diferenciación, esto es, las cantidades CD(I) son los coe-

ficientes de la -derivada del polinomio cuyos coeficientes fueron

almacenados como C(I) . Similarmente, las cantidades CDD(I) son Lrr

los coeficientes de la segunda derivada del polinomio cuyos coe -

ficientes fueron almacenados como C(I) . En una similar relación ,.

el sufijo V fue usado para indicar el valor complejo del polino-

mio, así tenemos que-CT es un valor complejo del polinomio cuyos —

- 38 -

coeficientes fueron almacenados como C(I) , evaluado en la locali_

zacion de un polo, y CDV es el valor complejo de la der-ivada del

polinomio, etc..

Más detalles sobre esta subrutina podemos ver en el apéndice

A (tabla A.1.5). La subrutina es llamada EXPWP( EXPansion en í*rac_

ciones Parciales ), y es definida como:

SUBROUFINE. EXPFP (MJAJNJ'B3V,>R1,>R2) ( 2.49 )

donde los coeficientes del polinomio numerador A(s) de' grado Mson

almacenados como las cantidades A(I) t los coeficientes del polino_

mió denominador 5fsJ.de grado N son almacenados como B(I) , P es el

arreglo complejo de la localizacion de los polos de la función-, y

RI y R2 son los arreglos complejos de los coeficientes de los ter

minos de la expansión.en fracciones parciales. Un sumario de las

características de esta subrutina es dada en la tabla A.1.5 . -'

At-riacanar los coeficientes d¿ entrada d¿l roltnomia denominador como C(s)

Llamar a la siibnitina ¿VALFC para enconti-Ki' C'(a),

Llamar a la subrutina KVALPC pcn'a encontrar \C(pf.}\ hay polo localizado en p^

escribir un mensaje de error.

Llana? a la subrutina SVALPC para encont. A(p'k) y C'(

El.polo es mayor que el primer orden, llevara la Biíbrutina DItPL para, encontrar C"(s} }

a la, subrutina EVALPC pare encontrar

c"fr>k}

SI polo -es de alto orden, mayor que el se

segundo qrden¿ escribir mensaje dé error .

Si •

SI polo es S'únpleJ hallar la. constante del

término de primer orden tí^,i~A(p^}/C'(p^) .Hacer leí constante del término de segundo •

orden itJtz-0

Sallar la constante del término de

Sdo. orden ñ^2= 2A for,)/C " fpk)

Llamar a la Bubrutina DPRP01 paraencontrar los aeras del polinomio

denottíinador A(s).

Calcular la. constante del término de

primer crden.

Fig. 2.5 Diagrama da flujo para encontrar looraaiduoa de polca da Jai1 y Kilo ardan.

3.1 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE.

Como una operación final que puede ser implementada por una '

técnica o algoritmo en el computador digital, es el de determinar

la forma de" onda de la función para la cual es conocida la expan-

sión en fracciones parciales. Para poder realizar esto, suponemos

que se tiene una función F(s). con 777 distintos polos de primer o

segundo orden localizados en S=p- (•£—!., 2j 3_, . . . ¿m) y que tiene -

una expansión en fracciones parciales de- la forma indicada a con-

tinuación.

F(s)=m

•-i

m• £-i=\ 3.1 )

dónde las cantidades J? • y R- son las constantes asociadas con¿•1 ir ¿-

los términos de primer y segundo orden de los •£ polos.' Ahora, -

nuestro problema es el de encontrar f('t) = L~ JíYsj] . En defiai

tiva3 la transformada inversa de la función es dada por términos

individuales expresados cada, uno de estos en un sumatorio dado -

por la ecuación 3.1 ; teniendo encuenta que la transformada inver

sa de cada termino está definida dentro de cuatro casos posibles,

clasificados de acuerdo a la naturaleza de cada polo r? • .r <=i,

El primero de estos casos puede ser definido como el. caso en

que p¿ es Real 'y Si-mple . En este caso , 7?^ es cero y el corres -

pendiente termino en el dominio del tiempo f^('t)— L~~ pYsJ] puede

ser: • ' " .

f.(t)= ( 3.2 )

- 42 -

Para este caso, p- f.ue definido como un número puramente re-

al, con lo cual sería mejor expresar la relación (3.2) de la si -

guiente foinma:

3.3

Este útltima expresión'es más conveniente para la implementa-

cion en el computador digital.

El segundo caso a ser considerado puede ser definido como el

caso en que p¿ es Real y de segundo orden. En este caso,_./¿¿2puede

no ser cero y real. Luego, el correspondiente termino de este poi-

lo en la transformada inversa de Laplace_puede ser escrita como:

-b.Re(pj) f 0 ,^^ ( 3.4

El tercer caso a tratarse, es el de consid'erar p • como S'ün —

pie y Complejo. En este caso, podrán haber dos términos conjuga -

dos en la expansión en fracciones parciales. Si se üiene que los

polos complejos conjugados son p.¿ y p-¿-i j> donde p^.l - pj , en-

tonces el correspondiente termino en el dominio del tiempo

es.de la forma:

- 43 -*

La ecuación (3,5) puede ser escrita como:

3.6

Y, por ultimo tenemos el tercer caso en el que se considera-

que p¿ es de segundo orden y complejo. De igual forma, si noso -Je ' **

tros llamamos p>¿+j- p¿ ¿ los términos correspondientes en el- do-

minio del tiempo para los polos de segundo orden y su conjugado

pueden ser expresados como:

( 3.7 )

Esta expresión puede ser redefinida como:

ib ' •( 3.8 )

3 . 2 EVALUACIÓN DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LÁPLÁGE.

Estas ultimas relaciones, que cubren los cuatro casos estu.3-

diados, son fácilmente implementados como una subrutina para el -

computador digital. Tal subrutina debe efectuar una secuencia de

cálculos para valores igualmente espaciados de la variable "t y a_l

macenar los resultados para grafizar. Un diagrama de. flujo .de la

lógica para efectuar tales operaciones es conocido en la'Fíg. 3.1

Las relaciones utilizadas son las expresadas por las ecuaciones -

- 44 -

( 3 . 3 ) , ( 3 . 4 ) , ( 3 . 6 ) y (3.8) . Para esta lógica, la subrutina debe -

ser completada con los siguientes argumentos de entrada:^?7 , el -

número de valores de t en los cuales la transformada inversa va •

a. ser evaluada;OT , -el rango del tiempo en el cual la transforma-

da inversa va a ser evaluada ( el máximo valor de RT para el cual

la función f(t) va a ser evaluada ) ; N , es el numero de polos. —

Los arreglos complejos P, El , y R2 conteniendo la localizacion de

los polos y los valores de los residuos asociados con los tenni -

nos de primer y segundo grado en la expansión en fracciones par -

ciales; y ESCALAD el factor de escala que va a ser utilizado cuati

do los datos van a ser almacenados en al arreglo A(I). Si no se -

desea escalar, esta variable de entrada deberá ser la unidad. El

argumento de salida de la subrutina es A , en el cual los valores

de-la función f(t) que fueron calculados para los diferentes valo-

res de t , son almacenados para grafizar la respuesta. Esta subru

tina lleva por nombre VATZLF( VÁlor de la Transformada Inversa de

Laplace de la Función F(s) ) j y es identificada como:

SUBROUTINE , VATILF (• NTJRTJN3PJR1^R2JA:>ESCALA ) ( 3.9 )

Un sumario -de. las características de esta subrutina es cono-

cido en "la tabla A. 1.6 .

(" INICIO )

Calcular el intervalo de tiempo ¿t entro loa pun-

to» o. aev gnxfisadoo.

Multipl-Ccaí' F por un factor de -

escala y almacenar para graf-izav.

"Fig. 3.1 biagrama de flujo para calcular loavaloren de la. Tremo formada inverna da Uiplaco.

- 47 -

4.1 TÉCNICA DE GRAF1ZACION DE UNA PUNCIÓN.

Como se ha visto hasta aquí, dada una función de transferen-

cia F(s), se ha obtenido la respuesta en el dominio del tiempo de

esa función; ahora, nuestro proposito es el de grafizar esos re -

- sultados con el fin de poder tener una apreciación más real de -

los resultados teóricos.

Con este proposito, se ha elaborado una subrutina de grafiza_

cion que lleva el nombre de GRAFCO- , y que es capaz de grafizar y

escribir una variable definida por una secuencia de valores de da_

tos almacenados en un. arreglo unidimensional. El gráfico es escrx

. to con la dirección de la abscisa orientada verticálmente en la -

dirección del. sentido de la página escrita, y con la ordenada en

dirección de- izquierda a derecha, según el sentido de escritura.

La subrutina puede ser identificada como:

SUBHOUTINS GRAFCO ( I^NT^MAX ) '( 4.1 )

Un sumario de las características de la subrutina en mención,

es dado en la Tabla .A.1.7 del apéndice A ; y un flujo de cartas -

de dicha subrutina está en la Fig. 4.1 . Las variables más signi-

ficativas encontradas en esta subrutina son: L , un arreglo unidi

mensional de las variables L(X) en el cual son almacenados los va_

lores de la escala de la ordenada; LINEA ', un arreglo unidimensip_

nal de las variables LINEA(I) en la que la información alfanumeri-

ca es almacenada correspondientemente con la forma deseada de la

linea del gráfico que corrientemente va a ser escrita;NT, una va.

riable especificando el numero de cantidades que van a ser grafi-

- 48 -

zadas; N' , un índice que es usado internamente en el proganna pa-

ra indicar cual linea del gráfico va a ser corrientemente escrita

$S , una variable interna del programa que tiene la misma función

que la variable.MAX , pero que ese valor puede ser alterado duran

te la ejecución del programa; MAX , una variable de entrada espe-.

cificando el máximo valor deseado para la escala de la ordenada ,

esta variable es también usada (bíAX=999) para seleccionar la op -

cion de la escala automática;-Y , es un arreglo unidimensional de

la variable ¥(X) que va a ser grafízada.

la primera operación de la subrutina GRAFCO. es la de determi

nar si una escala o si un escalamiento es requerido. Ás£ es, la -

variable NS que tiene que ser, igual a la variable .de entrada MAX,

es verificada. Si esta variable tiene el valor 999, entonces los

datos almacenados como Y(I) (-I=l¿ 2., . . \¿RT) 3 son examinados para

encontrar el máximo y mínimo valor de Y(Í) , siendo escalados los

valores de la función hasta que todos ellos cubran el rango de -

0-100. La variable máxima de la ordenada NS es. fijada luego a 200

Finalmente, datos sobre "los valores máximos y mínimos,'y el

factor de escala a ser garfizados son escritos.. Desde este punto

en- adelante, la operación en la subrutina GEAFCOe.s el-mismo, ya -

sea que se use la escala automática o no.

Desde este punto, en el programa unos valores fijos de la o_r

denada son calculados, almacenados en el arreglo L , y escritos.

El rango de los valores va desde J3S-10Q hasta NS. El-programa •>

ahora fija la variable N, la cual índica la linea del gráfico que

va a ser corrientemente escrita, y fija las variables en el arre-

glo LINEA de los valores alfanumerícos correspondientes ,al signo

mas "+" y menos "-" que son usados para formar el cuadriculado —

paralelo a la ordenada. El dato numérico del primer punto de la —

- 49 -

función a ser grafizado, ahora se convierte en un índice variable

JA cuyo valor corresponde con la posición del dato grafizado. El

valor alfanumerico del rotulado "*" es almacenado como LINEA(JA)..

Luego se efectúa'una verificación para determinar si N—l&s mülti^

pío exacto ¿le 1O 'para calcular el valor del termino

N-l N-2

10 . 10

Debido a la .truncacion de la variable entera, este termino -

puede ser la unidad para los .casos en que N—l es un múltiplo v.-

exacto de 20 ; de lo contrario este.puede ser cero. En todos esos

casos en que N—l sea un múltiplo exacto de 10 , el valor N~l es

escrito como un valor de escala de la abscisa. Los valores almace

nados en el arreglo LIMA y _ el valor de I(N) son -también escri -

tos. Sí N~l no es un múltiplo exacto de 10 , únicamente el arrer-

gio LINEA y I(N) son escritos. Por consiguiente,' la escritura del

arreglo LX13EA , las variables del arreglo son fijadas a valores -_

alfanumericos de un "blanco" (espacio vacio) y N es incrementado

en uno. Después de .verificar si es cierto que N no es mayor que

NT , una prueba más. es realizada para ver si el nuevo valor de -

N—l es un múltiplo de 10 , Si lo es, una nueva ordenada de la cua

drícula es construida de signos "-í-" y "-" , previamente almacena-

da en el arreglo LINEA . De otra manera, únicamente el valor alfa

numérico de , _el carácter que es usado para formar las lineas -

de la cuadrícula paralela a,la abscisa , es almacenada en cada ya_

riable (decima) múltiplo de 10 del arreglo LINEA. Lqs N valores f-~

da^datos para el nuevo valor de- 71/ son-almacenados como simbolos

en las respectivas posiciones del arreglo LINEAD y este procedimi-

ento descrito es repetido.

( INICIO • )

Ajusta? el rango da todos los y(I) hasta quetodos ellos estén comprendidos entre O ijt100.

Fijar oí arreglo LINEA en blanco. X hacer

ff = 1

Escribir los valores d3 la escala de laordenada.

Introducir las simbolos

de la abscisa de las coor_

denadas en el arreglo -'

EIHEA.

Introducir los símbolos de la ordenada de

las coordenadas en el arreglo LINEA.

Introducir los datos en el arreglo LINEA.

Escribir K-l , LUISA y

Fijar el arreglo LlfíSA en blanco.*

Eecribir tINEA y

Fíy. 4.1 Diagrama da flujo de la aubnitina GRAFCO.

- 53 -

5.1 _VERIFICACIÓN DEL PROGRAMA.

En el presente capítulo, lo que se trata es de verificar lo_s_

resultados obtenidos mediante el programa digital de Tesis, así -

como la manera de interpretar esos resultados. Para el. objeto se

han desarrollado y se han resuelto dos ejemplos,. cuyos resultados

se los compara con los obtenidos mediante el programa.

EJEMPLO 1. Consideremos la red -constituida por un puente girador,

como se indica en la Fig. 5.1 (a), y el correspondiente gráfico -

de Nodos y Lazos del circuito en la Fig. 5.1 (b), indispensable -

para poder obtener la fijación de las ecuaciones simultáneas que

podrían ser resueltas para las corrientes de lazo ¿y _, -i-i, y -i-j

Va CB Fig.5". 1.a

Fie.S.l.b

54 -

Sí a<Z j #4=:Z Q j /?3=2 fij C5=0.5 F ly C6=l/3 í7 -, y la fuente de '

voltaje es una función paso unitario. Lo que se desea es calcular

el voltaje sobre el capacitor C'« para todo t^O.

Para tal objeto, primero veamos los conceptos fundamentales

sobre la teoría de un girador; así tenemos que V¿I son las reía —

cipnes del girador, de donde se puede escribir las. siguientes rer-.

laciones: f a - constante del girador J.

-a( 5.1 )

Cuyo modelo correspondiente es;

-o-

-O -t-O

iV-^-v-o-

áe los dos posibles mode

los de dos fuentes.

Regresando a*nuestro diagrama de la Pig. 5.1 (b) , y escogíen.

do los tres brazos ^i, &2> y b* > se tiene la correspondiente ma-

tríz fundamental de lazo:

- 55 -

-1qi

i-i

0

0

0

1

0

'11

10

0

0

10

( 5.2 )

Ademas, la matriz elemental de impedancia- ZfsJ puede ser di.—

rectamente ob.tenido. aplicando las relaciones de corriente y'vol— .

taje (VCR). ' ' •

Z(s) =

0

a

0

0

o'0

-a

0

'0

0

0

0

• 0 .

0

R3 '

0

0,

0

0

0

0

R*

O'

0

, 0

0

0

0

1/SC5

0

0

0

0

0

0

1/SC6

( 5.3 )

La matriz de impedancia de lazo Z^fsJ puede ser calculada así

1/SCsa

-a

-a

( 5.4 )

Los vectores de las fuentes de corriente y voltaje son fácil_

mente determinados de la siguiente matriz:.

- 56 -

Vjs) = \ O V-Js) O O OÓ -I " 3

T

y i~(s) =£?

.-.T

( 5.6-)

De esta ultima ecuación., se deduce que:

""

1/SCs -a a

a • R¿+1/SC6 -a-tf.

-a-*4 . *3+5*

-i

-

0

0

'*»<*>

( 5.7 )

Insertando los valores de los elementos de la red, i-^(s) se

puede escribir de la siguiente manera:

2/S

1

-1

-1

2+3/S .

0

-2.

3

-i

••

0

0

i/s( 5.8 )

Efectuando la inversión de la matriz y el producto 'indicado,

se obtiene:

- 57 -

S - 3

' 2S2 + 9S + 18

S + 4

• 2S2 + 9S + 18

• S 4- 2S + 6

S(2S*+9S + 75J

(s) ( 5.9 )

Ahora, el voltaje sobre los terminales de capacitor C&- puede

ser determinado como:

V0(s) = .-^ (s) ( 5.10 )

luego, el voltaje sobre el capacitor £76 es

12 + 35

S(2S2 +9S + 18)( 5.11 )

Finalmente, efectuando la expansión en fracciones parciales,

aplicando las" relaciones del segundo capitulo aatenior la expre -

sión (5.11) puede ser escrita como:

2

3

1

S

S + 9/4

(S+9/4)2 + (3f7~ /4)2

( 5.12 )

Y por último, efectuando la transformada inversa de Laplace.

- 58 -•

en ambos miembros de esta ultima expresión, se tiene una expre -

sion en el dominio del tiempo del voltaje sobre el condensador C$

para todo intervalo de tiempo mayor o igual a cero.

(5.13)

El siguiente paso a seguirse, es el de grafizar esta ultima

expresión y comparar estos resultados con los obtenidos con el -

programa digital de Tesis. El gráfico efectuado esta comprendido

entre un rango de tiempo de 0^t^3. Seg. Para realizar el gráfico,

se ha utilizado la subrutina

Como_ se .puede apreciar en las dos gráficas que constituyen

la forma de onda del voltaje sobre el capacitor C5 de la Figl 5'.1

(a) , tienen una forma de onda idéntica ( margen de error despre

ciable ); con lo cual.se demuestra la eficiencia y validez del

programa digital llevado a cabo como tesis de grado.

EJEMPLO 2. Consideremos un filtro de Butterworth, pasa bajos de

quinto orden, donde la función de transferencia de voltaje es de'

la forma indicada a continuación- (Fig. 5. 2) .

H(s) =• — =U S5. + 3.236 S* + 5.236 S3 + 5.236 S* + 3.236 S + l

( 5.14 )

Y lo que se desea es conocer la respuesta Y('t) cuando a la —

entrada se aplica un Impulso unitario ocurrente en £=i9.

- 59 -

De la tería de filtros convensionales, se tiene que si.

H(s') =—. ( 5.15 )P(s)

donde P(s) es un polinomio en S , y A es una contante de multipli_

cacion cuyo valor depende del tipo y orden de P(s) . Efectuendo —

la expansión en fracciones parciales se tiene que

H(s) - A- 2 —^ . ( 5.16 )

donde &¿ es el residuo del polo localizado en S^p^ •

Los residuos pueden ser calculados por los métodos ya anota-

dos en capítulo segundo. Y que la respuesta a un impulso unitario

de entrada de un filtro Pasa Bajos es definida por la ecuación:

IL(t) =~T

i;\

( 5.17 )

El polinomio denominador -tiene dos pares de raices complejas .

y una raíz real. Usando una tabla de los polinomios de Butterworth

(pag. 60), se tiene que #fsj-'se puede escribir de la forma siguien

te:

8.7 Fílter Design and Tuníng Tables

TABLE £.2 Buttsnvorth Network Paramcters

Xuraberoí poíe=

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4

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'1.031S521. 4U'2l -i0.51763S

a reat pole.1.S0103S1.24Gí)SO0.445042

1.9615711.6620391.1111400.39Ü1S1

a reñí polel.S7y3¿5

'1.532CS9l.OOOCOO0.347296

1 . 9353771.7320131. 414^14

'0.007C-S10.312KGQ

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1.0000001.000000

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• i.oooooo

1 . 0000001.0000001 . 0000001.000000

1.0000001.000000i.oooobo1.0000001.000000

l.OOQOOO. 1 . 0000001.0000001.00001101.000ÜOO

. Tuning

día or-3ÜB-

frcqucncy

1.000*

1.0000.707

0.719*O.S41

1.000*"O.SÓO* -

. O.S99

0'.G76*1.000*

_ 0.931

1.000*-0.745*"0.4720.949

0.661*0.829*0.617-O.UÜ1

1.000* -0.703* •0.917*0.7070.9ÍÍ9

O.G'55*0.75G4

1.000*0.7070.975

20logG(aja)/G(o)

1.25

3.01

4.62 '

•6.02

-

0.227.25

0.-69. 8.34

.

1.25• . 9.32

f

1.S4-10.20

- 61 --

H(s) =• ' -1

S2 + 0.628 S + 1 S + 1 + 1.618 S + 1

( 5.18 )

donde los polos con sus respectivos residuos son:

P 0 L

Parte Re.

-0.3090

-0. 3090

-0. 8090

-0.8090

-1.. 0.0 00 . .

0 S

Parte Im.

0.9510

-0'.9510

0.5879

-0.5879

. .Q.O

RESIDUOS

Parte Re.

-0.1382

-0.1382 .

-0.8088

-0.8088

.1.8940 -

(ler Grado)

Parte Im.

0.4254

-0.4254 -

-1.1130

1.1130

0.0

RESIDUOS

Parte Re.

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

(2do Grado)

Parte Im.

0.0

o.o •. .0.0

0.0

0.0

Si se aplica la expresión (5.17), se obtiene la forma de on-

da comprendida entre el rango de 0^t^25 Seg. Si se compara con" -

los resultados obtenidos•por el programa digital de Tesis de gra-

do, vemos que los. resultados son completamente iguales. Be esta -

forma se ha demostrado una vez más la utilidad y eficiencia del -

programa digital.

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i 0.666 O. 666 O. 666 0.666 O. 666 0.666 O. 666

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0.5

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- 75 -

A.l CARACTERÍSTICAS Y .LISTADO DE LAS SUBRUTINAS 'UTILIZADAS..

En este apéndice se da la descripción de las subrutinas y —

sus respectivos sumarios de las características de las subrutinas

DIVPj DPRPOlj DIFPL; EVALPCA VATILPJ GRAFCOJ y RAICES, utilizadas

por el programa principal. En general, estas subrutinas han sido

elaboradas con el proposito de una reducción del tiempo de compi-

lación y de ejecución,.

En definitiva, el proposito de este apéndice es el de pro -

veer un complemento para la persona interesada en seguir paso a —

paso el estudio del programa digital, .desde el punto de vista de

vista de las características'de los argumentos utilizados en cada

subrutina. • •

A continuación se presenta los sumarios de las característi-

cas de las subrutinas indicadas.

TABLA A. 1.1'

Sumario de las características de la subrutina DIVR.

IDENTIFICACIÓN: . SUBROUTINE'. DIVP ( MJCJNJBJ>KIJGJK^JA )

PROPOSITO: El proposito de esta subrutina es el de expresar una -

función racional propia F(s)=C(s)/B(s), como una función racional

simple, propia, más una serie de términos representando el compo_r

tamiento (procedencia) en el infinito. Así, como el calculo de -

los coeficientes de los polinomios G-(s)j y A(s) en la relación:

B(s) • B(s)

- 76 -

donde C(s) y B(s) son datos, y todos los polinomios tienen-la

forma siguiente:

1 • +^3^ + . . . +bS

SUBRUTINAS ADICIONALES REQUERIDAS: Ninguna.

ENTRADA DE LOS ARGUMENTOS: .

M El grado del polinomio numerador original C(s).

C Un arreglo unidimensional de 'las variables C(I) en las . -

cuales son almacenados los valores de los coeficientes o^

del polinomio C(s).

N El grado del polinomio Denominador B(s).

B Un arreglo unidimensional de las variables 3(1) en los -

cuales son almacenados los valores de los coeficientes b*¿

. del polinomio B(s)-.

.ARGUMENTOS DE SALIDA: .

KI El grado del polinomio G(s) de frecuencia infinita. .

G El arreglo unidimensional de las variables G(I) en el .x-

cual son almacenados los valores de los- coeficientes g^ -

del polinomio G(s) representando el comportamiento (proce

- • dencia) de la función racional F(s) en el infinito.

KR El grado del polinomio residuo A(s).

A Un arreglo unidimensional de las variables A(I) en el -

cual son almacenados los valores de los coeficientes ct¿ —

del polinomio residuo A(s).»

NOTAS:

1.- Los valores de los coeficientes de C(s)y B(s), los polinomios

de entrada, son preservados - invariantes. ' .

2.- Si el grado del polinomio C(s) es menor que el grado del poli

nomio B(s) , los coeficientes del polinomio G(s) son todos cero, y

- 77

los coeficientes de A(s) son fijados e iguales a los de C(s)..

3.- Las variables de esta subrutina son del tipo REAL*8 y dimen

sionadas como sigue a continuación: C(30)¿B(30)¿

TABLA A. 1.2 ' '

Sumario de las características de la subrutina DPRP01-.

IDENTIFICACIÓN: SVBROUTIWS DPRP01 ( MJ C3 XE, XIN, JTJ77, ZR¿ Z J,

PROPOSITO: El de encontrar las raices de un polinomio B(s) de gra

do n teniendo la forma (partes reales e imaginarias de las rai

ees): . •

B(s)=

o para encontrar las cantidades p¿ donde:

B(s)= K* II (S-pí) ='K- U¿-i i-i


•ARGUMENTOS DE' ENTRADA:

M Numero de términos del polinomio B(s)t

B Arreglo unidimensional de las .variables B(I) en los cua

les son almacenados los valores de los coeficientes b-- :Ir

del polinomio B(s).

KS Entero para precisión._ !_ 2.

Si KE=0 , el programa asume £=10 (KE=12) .

Son valores arbitrarios iniciales (±e Z.

- 78 -

Si ZIN=O.DO y

IXN=O.DO . . ' .

el programa asume valores apropiados para

ARGUMENTOS. DE SALIDA:

Zfí Arreglo unidimensional de las variables .ZR(I) en los cua-

les son almacenados los valores de las partes reales de —•

las raices.

ZJ Arreglo unidimensional de las variables ZI(I) en los cua-

...-. les son almacenados las partes imaginarias de las raices.

&xx Donde xx es un numero entero que indica la dirección de

retorno en el programa de llamada, en el caso en que la -

subrutina falle.

NOTAS: •' -

1.- Los valores de los coeficientes del polinomio B(s) son presejr

'vados invariantes en el arreglo B(I).

2.- La subrutina usa el método del Descenso mas pronunciado.

3.- Las variables de esta subrutina son- todas del ti.-po'REAL*8 y -

'son dimensionadas como sigue: -B(30)jZR(30)¿ZI(30) .

TABLA A.1.3

Sumario de las características de la subrutina DIFPL.

IDENTIFICACIÓN: SÜBROVTINE DIFPL. f'ff,.4,M,B )

PROPOSITO: El de diferenciar un polinomio A(s) de la forma:

n n-1A(s)= a-iS -í- a2£> +a2S + ...+ anS

El polinomio resultante debe ser A ' (s) , donde:

- 79 -

A'(s) = b^ '+ b2¡f + b^ + ...+ bmS + VH = B(s)

SUBRUTINÁS ADICIONALES REQUERIDAS: Ninguna.

ARGUMENTOS DE ENTRADA:

N El grado'del polinomio A(s).

A Arreglo unidimensional de las variables A(I) en los cua -

les son almaceando.s los valores de los coeficientes -<z¿

del polinomio A(s).

ARGUMENTOS DE SALIDA:

M El grado del polinomio A'(s)=B(s).

B Arreglo unidimensional de las variables B(I) en los cua -

les son almacenados los valores de los coeficientes b¿ -.

del polinomio B(s)=A ' (s) .

NOTAS: Las variables de esta subrutina son todas del tipo REAL*8

y son dimensionadas de la siguiente manera: A(30)jB(30).

TABLA A. 1.4. '. ' . ^ '

Sumario de las características de la subrutina EVALPC. •

IDENTIFICACIÓN: SUBROVT3M .ZVALPC ' ( M^A^ VALOR ).

PROPOSITO: El de determinar el valor complejo de un polinomio

A(s) teniendo la forma,

- ~ ^A(s)= a\S + <2zS + a3S + . . .4- amS

donde el argumento S es 'fijado para algún valor complejo p$ ,.o

lo que es lo. mismo, para encontrar A(pQ).

SUERUTINAS ADICIONALES REQUERIDAS: Ninguna.

- 80 -


M' El grado del polinomio A(s). . . -

A Arreglo unidimensional de las variables A(I) en los cua -

les son almacenados los valores de los coeficientes &•£ -

del polinomio A(s).

F El. valor complejo po de la variable- 5 en el cual el poli

noinio A(s) va ha ser evaluado.


VALOR El valor del polinomio A(s) cuando S es igual al valor -

complejo po -

NOTAS: El arreglo A de la subrutina es•dimensionado como A(30) -y

es del tipo REAL*8. •

TABLA A.1.5

Sumario de las características de la subrutina EXPFP.

•IDENTIFICACIÓN:. - SUBROUTIIFE • EXPFP ( MJAJNJBJPJR1JR2 -)

PROPOSITO: El de encontrar los residuos para una función racional

F(s) , de sus simples y/o dobles polos localizados en S=p-¿ , o el

de encontrar los coeficientes K{,i y K¿z' , donde:

is + azS +a3S +. . .+ amS

B(s)

SUBRUTINAS ADICIONALES REQUERIDAS: Esta subrutina llama a las sub

- 81 -

rutinas DIFPLJ -EVALPC^ y DPRP01 ('RAICES).


M El grado del numerador A(s).

A El arreglo unidimensional de las variables A(I) en las -

cuales son almacenados los valores de los coeficientes o¿

del polinomio numerador A(s).

N El grado del polinomio denominador B(s).

B El arreglo unidimensional de las variables B(I) en las -

cuales son almacenados los valores de los coeficientes b-¿

del polinomio denominador B(s).

P El arreglo complejo unidimensional de las variables P(I)-~

en las cuales son almacenados los valores de las localida_

des de los polos p¿ de la función racional F(s).

ARGUMENTOS DE SALIDA: ' . "

R2 El arreglo complejo unidimensional de las variables R1(X)

en los cuales son almacenados los valores de los residuos

K¿i de un polo de primer orden localizado en p¿, o el va-

lor complejo de la cantidad K^ para,un polo p¿ que es de

segundo orden.

R2 El arreglo complejo unidimensional de las variables R2(I)

en las cuales son almacenados los residuos K^z de un polo

de segundo orden localizado en p^ -(esta cantidad es igual-

a cero si el polo es de primer orden) .

NOTAS: Las variables, de la subrutina son del tipo indicado:REAL*8

AjB j COMPLEX*16 _, P_)Rl.)fi2 ; y son dimensionadas como sigue a coja

tinuacion: A(30)J B(30) ¿PÍZO) ¿Rl (30); ?R2(30). -

TABLA A. 1.6

Sumario de las características de la subrutina VATILF.

IDENTIFICACIÓN: SUBROUTINE VATILF (NT> RT¿ ff, P> Rl, R2¿ VALOR, ESCALA)

- 82 -

PROPOSITO: El de'determinar los valores de la transformada inver-

sa de Laplace de una función racional F(s) conteniendo polos, de -

primer y segundo orden, los cuales son expresados en la forma de

una expansión en fracciones parciales.

F(s)= I•i

Para .encontrar el valor de f(t) para una secuencia de n± valores

espaciados de t dentro del período 0-^t^T-f. , y el de almacenar =.-

esos valores para poder grafizar y escribir los mismos.

SUBRUTINAS ADICIONALES REQUERIDAS: Ninguna. . "

ARGUMENTOS DE-ENTRADA:

NT El numero de rifc valores de t -para los cuales la función -

f(~b) va a ser evaluada.

RT" El máximo valor de r para ' el cual la .funcion f(~b) va a -

ser evaluada.

N El grado del polinomio denominador de la función racional

F(s) o el numero-de polos de la función..

'P El arreglo complejo unidimensional de las variables P(X)

en las cuales van a ser almacenados las localizaciones de

los polos p¿ de la función F(s).

Rl El arreglo complejo unidimensional de las variables R1(T)

en los cuales van a ser almacenados los residuos de los —

polos simples de la funcio.n F(s) , o para algún polo que

sea de segundo orden, 'el residuo asociado con el termino •

de primer orden;>en la expansión en fracciones parciales -

de F(s), . " .

R2 El arreglo complejo unidimensional de las variables R2(I)

en los cuales van a ser almacenados los residuos asocia —

- 83 -

dos COTL los términos de segundo orden en la expansión en

fracciones parciales para F(s) .Para polos simples, esos '.

valores son iguales y fijados como cero.

ESCALA El factor d-e escala que va a ser utilizado cuando los da-

tos van a ser almacenados en el arreglo a g'rafizarse VA -

LOR(I) . Si no escalamosj este argumento de entrada debe

•_ . • ser la unidad.

ARGUMENTOS DE SALlDAr

VALOR El arreglo unidimensional de las variables VALOR(I) en -

los cuales los valores de la función f(t) que fueron cal_

culados para diferentes valores de t van a ser grafizados

Específicamente, esos valores almacenados como VALOR(I) ,

donde I tiene un rango de 1 hasta ¿V21.

NOTAS: Las variables de la subrutina son del tipo indicado a con-

tinuación: REAL*8 RTj VALORJ ESCALA J y COMPLEX*16 P^Rl^RB ; y -

son dimensionadas como sigue: P(30)J R2(30)¿ R2(30),, VALOR(IOI) .

TABLA A. 1.7

Sumario de las características de la subrutina GRAFCO.

IDENTIFICACIÓN: SVBROVTim GRAFCO ( I^NT-^MAX") .

PROPOSITO: El de grafizar una función y('t) para valores discretos

y espaciados de la variable independiente t .



J El arreglo .unidimensional de la variable 1(1) , contenien.

do'-los valores de la función ij(t')' de la variable .'-indepen-

diente t .

NT El numero máximo de valores de t a ser usados en el gráfji

co.de la función.

MAX El valor superior de la escala de la ordenada, usado para

- 84 -

graficar la función. Si el valor de este argumento es -

igual a 999 , la subrutina hace uso de la escala automáti

ca, esto es, la subrutina escalará automáticamente el gra_

fico hasta que^la función este enteramente incluida den -

tro del rango de la ordenada.

ARGUMENTOS DE SALIDA: • ' ' '

La construcción gráfica de la función para los diferentes

valores de t . Los valores numéricos de la función son -

también escritos en el margen derecho de la hoja .de papel

Si el valor de la función excede el rango de las ordena —

das del gráfico, el simbolo I es escrito en el lugar en. -

que. -se excedió el valor de la función (mayor o menor que

el rango permitido).

NOTAS: En la escala de la ordenada se ha.fijado una escala de 100

puntos. Luego el límite más bajo de la'escala puede ser: 14AX—10Q.

Además, la escala de laordenada es escrita automáticamente.

TABLA A.1.8 .

Sumario de. las características de la subrutina RAICES ,

IDENTIFICACIÓN': SÜBROÜTINE ' MICES ( tf, B¿ ZR¿ ZI ) . •

PROPOSITO: El de encontrar las raices de un polinomio B(s) de gra

do n de la forma:

B(s)= biS + bz + b3S .+ . . . + Z> S + h . ,„ ?i /¿ i" i

o el de encontrar las cantidades p¿ , donde

- 85

-B(s) = K- E•¿-i

SUBRUTINAS 'ADICIONALES REQUERIDAS: Ninguna.

ARGUMENTOS DE ENTRADA:*

N El grado del polinomio B(s) .

B El arreglo unidimensional de las variables B(I) en las -

cuales son almacenados los valores de los coeficientes b¿

del polinomio B(s),


ZR El arreglo complejo unidimensional de las variables ZR(I)

en las cuales son almacenados los valores de las partes -

reales de las raices.

ZI El arreglo complejo unidimensional de las variables ZI(I)

en las cuales son almacenados los valores de las partes -

imaginarias de las raices.

NOTAS: • '

1.- Los valores de los coeficientes del polinomio B(s) son preser_

vados invariantes en el arreglo B.

2.- La subrutina utiliza el método de LIN-BAIRSTOW para determi' -

nar las raices del-polinomio B(s)..

3.- Las variables de esta subrutina son todas del tipo REAL*8 y

son dimensionadas como sigue: 3(30)jZR(30)jZI(30) .

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LOS rnFFICTFNTFS DEL ARREGLO G , CERO

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ALMACENAR LH*5 COEFICIENTES DFL POLINOMIO REDUCIDO D EN EL ARREGLO A

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DATE

01/07/78

TIME

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su'MjnuriN^ FVALPC ( w . A . n . V A L O R )SU00 UI I NA HA'M ntTFRMl "JA o FL V A L O R OF UH PHL I NO I OA ( j ) m»-•*>,. A l ? ) *Uv* ( M._] ) f . . . _ t - A ( M-l ) » P * * Z t - A t M } f F t - A ( M + l JPAPA, UN VALI° <-<"]'-|PLp jn HF su v ACI ABLF

M-r.dAon DFL PHLiwnMraA-ARwrrq_n DF LííS COEFICIENTES HFL POt-IND-Tn EN ORDEN .DESCENDENTE

OF PHTFNC1ATn-vALnn rn"PLF.)n OF LA FRFCUFNCIA V A R I A R L A ( S I G P A + J

VALOfJ-VALnR COMPLEJO DE SALIDA DEL POLINOMIO

OH'.FNSinM A ( 3 0 ) . ñ ( 3 0 )CHMnL^XMS n,ñ.VALORDEAL*fl A . A l

WC=MHALMACFNAR LOS COEFICIENTES COTÍ VARIABLES COMPLEJAS

nn T 1=1.MCA I = M 7 )

3 «M i )=nc"PL*{AI .o-noíALMACENAR FL VALOR DEL COEFICIENTE DF MAYOR ALTO GRADO

VALOR=f*lI)IF (w.LF.O) P^TURN.

ACUMULAR EL FFF.CTO DE OTROS COEFICIENTESOH B I=?,MC

8 VALOR-VALOR*tH-B( I )RFTURNFND

DOS FOPTPAN TV T60N-FO-479 3-8 EXPFP DATE 01/07^78 PAGE 0001

0002OOOTO O O A000*5

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OOA*

00460047OOr tR004QPOSOOO'íI00*i?00-iTt

SUROQUTINF EXPFP ( M , A , N-.B . ° , P 1 , R2)SURRUTINA PAÂ FNCONTRAR LOS COEFICIENTES EN LA EXPANSIÓN EN FRACCIONESPARCIALES PARA LOS ÔLOS SI^^LES Y DOBLSS DE UNA FUNCIÓN RACIONALFt S1 = A'( S)/B( S) DONDE LDS POLINOMIOS TIENEN LA FORÂ A ( 1 3 *S**M+A C 2) *S**(M-1 ) + . . . .+A( ") *S+AtM-*-l }

f-GP/ino OFL °OLINOMIO NUMERADOR A(S)A-ARPFGLO OF LOS CO1-^ 1 C I ENT^S DFL POLINOMIO A(S]N-GRAOH DEL POLINOMIO DENOVINADOR B(S)e-Apo?ñi_o oe LOS CHFFICIENTES DEL POLINOMIO B(S)P-ARRFGLO DE LOS PCLOS P A R A LOS OUE SE VA HA ENCONTRAR LOS RESIDUOSRI-RESIOUO DE UN POLO SIM°LE, COEFICIENTE 'DEL TERMINO oe PRIMER GRADO

»At?A UN OOLQ OOSLF*°2-RESTDUn PARA UN POLO DORLE tCERQ PARA UN POLO SIMPLE) %

LOS COEFICIENTES DE LOS POLINOMIOS A ÍS l Y B C S ) SCN PRESERVADOS'

DIMENSIÓN A(30) .R(30) .CC30J , COC3Q) ,CDD(30) ,2R[30)DIMENSIÓN OPI (30^ ,»! I C 3 0 )

A,B,ZRTZI,C .CD.CDD.Zqi ,ZR2,PPK,PIK.PRI.PII

NP=N+1CONSTRUCCIÓN DEL POUIMOÎO CÍS) IGUAL A BÍS) Y ENCONTRAR SU DERIVADA

no ñ l=l, NPR ct r )=0( i ]

CALL DIFPL (N,C,NM,CDÍINICIO DE LA EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES PROCEDIENDO A N TIEMPOS

QQ 4g K=1,NVERIFICAR SI ES VERDADERO OUE S=PCK) ES CERO DE CÍS)

CALL ^VALOc (N.C,o(K) -.CV1 .1^ (CnAPSÍCV) .GT. O - 1O-02) GO TO -»2CALL EVALPC ( w, A, P ( K ) , A V )

VERIFICAR LA DERIVADA DF C { S ) °ARA DETERMINAR EL ORDEN DEL CEPO EN S=P(K)CALL FVAL^C (NM.CO.PÍK) ,COV)IF (CDARSt CDV) -LT.Q- 1D-02) GOTO 25

SI EL CEPO DE CtS) ES SI^PLE^ COVPUTAR EL RESIDUO Rl, HACER R2=0 . Y RETORNARRl ( K)=AV/CDVq^t K) = ( O. DO , Q.DO)GO TO 4a

VERIFICAR si EL CERO DE ees) NO es DE ALTO GRADO QUE EL SEGUNDO25 CALL OIF«L (N'n'.CD.NC .CDO)

CALL EVAL»C INC.CDO.P(K) ,CDDV)1F (cnARS(CODV) -LT.O. 1D-Q?) GO TO 4-5 . .

SI CU CERO n<; C(S) FS OOPLF, CALCULAR LOS COEFICIENTES Rl Y R2"ARA UOS TFRMINOS EN LA EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES

R?£K)=2.DO*AV/CDOVPRK=P(K )n i K s a . S D O T - f P«)-DCONJG( P t K ) ) ) / ( O . O O , l , D O )SA=( o. no. o .no )IF (M.EO-0) GO TO 3-VMW=-M^ 1CALL OPCTOO! ÍMN,A . l f l , 0 .5DO,0 .3DO.ZP. t I .A20)OO 33 1=1 ,M5IP1=ZR( I ) 'ZRI>=ZI í I)"A[ I }=nCM»LXlZRl,ZR2)

33 S A = S A 4 - ( 1 . 0 0 . 0 - D O ) / ( P{K)-PA( I ) }34 sn=( o.no. o.oo)

nn na 1=1 ,NPRl 1 I ) = P( I )o U ( I ) = 0.5no*(o( t )-OCONjG(o( I ) ) ) / (0 . t30 .1 -DO)IF ( HAnS( t>nK-Pn I f i ) ) .GT.0.1 0-0?) GO TO 3HIF {nAPSí OJK-PT !( I )) .LT, 0.10-02 ) GO TO 3O

30 Sr^sn+t 1 . D O . O . D 0 3 / Í P ( K ) - P ( 1 ) )30 CnNTINUF

III ( «>-R?<!O *[ SA-SP)nn TH 4q

FSCHIF1IR UN MFNSAJF. DE ERROR REQUERIDO4? W R | TF( "i, 41)43 rn^MAK /37HLA FUNCIÓN F ( S ) NO TIFNF'UN POLO £N P/ )

an4r¡ W R |.-.í> rnnMATí /ARHFL PHLH DE F(S) FS MAYOR OUE FL SEGUNDO ORDEN/)47 W R I TFÍ T , 4HJ p { > C )Hl\Í AH P = ,G11. 'S .3H t-j,Gll,3/)AO rnwt INUF?0 RFI

FND

OnS FORTRAN IV 360N-FD-479 3-3 • VATILF DATE- 01/07/7S TI*E

0001 . SUPROUTIN^ VATILF CNT.RT,N,P,R1,R2.VALCP.£SCALA]C SURRUTINA PARA ENCONTRAR LA TRANSFORMAOS INVERSA DE LAPLACEC DE LA EXPANSIÓN EN FRACriRNFS P A R C I A L E S DE F(S)C NT-NUM<=RO DE VALORES DE T PARA LC1S OUE FtT) VA A SER GRAF12ADAC TR-RAMGO OE T OFNTRO DEL' CUAL FtT) VA A SER GRAFIZADAC N-NUM=PD OE DOLDS FINITOS OF FÍS1C P-ARR^GLO COMPLF.jn DE LA LOCALIZACION DE LOS POLOSC Rl-ARREGLO COMPLEJO OE LOS RESIDUOS'O!; LOS POLCS SIMPLESC ' R2-ARREGLO COMPLEJO DE LAS CONSTANTES PARA POLCS DE 2DO ORDENC

OOC2 REAL*a RT,XNT.DT,T.F.PR.PI.PKR,PKI.FR.RSR»£R.RR1 . RR2 , ESCALA0003 R E A L * 3 V A L O R v l 0 1 >

• 0 0 0 4 CC1MPLFX*1Ó ° { 3 G ) , R 1 ( 3 0 ) . R 2 C 3 0 ) . T C , E P TC

0005 XNT=NT0006 OT=RT/XNT0007 T=O.DO

C PARA CADA VALOR DE T CALCULAR F(T) '0000 DH 3? 1=1.NT0009 . F=O.DO0010 TC=DCWPLX(T,Q.OOO

C CALCULAR EL EFECTO OE CADA POLO EN EL VALOR DE T001 1 OO 10 J = l ,N0012 °I=0 . 5DO*Í P( J)-DCQNJG( P( Ji ) ) / (0 -00 , - l .DnJ0013 OR=P(J] - '0014 IF.(J.EO.l) GO TO 17

C VERIFIC*R SI ES VERDADERO OUE ESTE POLO ES DIFERENTE DE LOS OTROS0015 DO 16 K=2.JO OTÓ PKI = 0.500*Í P(K-l)-DCONJGtP(K-l M )/•( 0-DO , 1 .O O ) .0017 PKR=P(K-1 )

-0013 IF (OABSÍOR-PKR),GT.1.E-05) GO TO 160019 • IF (OABSt °I-PKI-) ,LT, 1-E-05) GO TO 30002,0 16 CONTINUF

C VERIFICAR SI FL POLO FS PURAMENTE R'íAL0021 . 17- IF (DABS(PI )-LT . UF.-OS) GO TO 26

C SI EL POLO ES COMPLEJO VERIFICAR SI SU PARTE IMAGINARIA ES NEGATIVA0022 IF (DI -LT.fj.DO) GQ TO TO

C CALCULAR EL EFECTO DE UN °OLG COMPLEJO CON UNA PARTE IMAGINARIAC POSITIVA Y SUMAR ESTE AL VALOR DE F(TD

0024 FP=R1(jV*E°T0025 F=F+2.DO*FR

c VERIFICAR si F.L POLO FS OE SEGUNDO ORDEN0026 TF (COABSÍR?(J)1.LT.1-E-05) GO TO 300027 - FR=R2(J)*TC*EPT002ñ '- F=F-*-2 .nO*cR0029 • GO TO 30 •

C CALCULAR FL FFECTO O". UN POLO REAL V SUMA.R ESTE A FtT)0030 26 PER=PIJ)0031 • ^P=nEXPtRFR*T)OOT? p R i = r ? l ( J) •0033 F-=F-fPRl *FP

c VERIFICAR si FL POLO FS os SEGUNDO ORDEN0034 !P (CnAR' i {R2( J) í-LT. 1 .E~Q5) GO TO 300035 RP?=P2(J)0036 F-=Fí RR2*SR*TO 037 30 CONTINUF

C E5CALAP FL VALOR DE FÍT) Y ALMACENAR PflRA GRAFIZAROOTfl • VALOPt I )=F*FSCALA

OOAQ RFTURNO O 4 1 F.ND

DOS FORTPA1 IV 360H-FO-479 3-8 VATILF DATE 01/07/78 TIME

FORTP»M IV :^ON-FO-479 3-8 01/07/78

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0002• 0003

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0007oooa00090010001 1001?0013001*-001500160017001 P0019

00200021

002200230024

0025OO2600270028

' 0029003000110032

003300140015003600370038003900400041

00*20043

0044OQA50046OO47O0480049005000510052

0053005400550056005700-5000590060

006100620063006400650066

SUPRQUTTMF C.RAFCO ( Y . N T ^ M A X )SUBRUTINA PA<JA G R A F I Z A R Y ESCALAR UN ARREGLO DE ENTRADA

D I M E N S I Ó N L I N G A M Ot ) ,LC 1 1 )Rf -AL*8 Y ( 101} . V Y Í 1 0 1 ) , Y M A X . Y M I N , PASO, R A N G OD&TA JL/1H*/ „ JN, JP,JI , JHLAN. H-. 1H+- .1HJ- .1H , IHI /

TF (NS.NF.g99) GO TO 19ESCALAR LOS OA.TO5 PAR* CUBRIR ENTERAMENTE EL RANGO DE LAS ORDENADAS

NS=100Y"AX=-1 -E + SOYMIN=1.E+50OH O 1=1, NTTF ( Y( I ) -GT. YVAX1 YyAX=Y(T3

9 TF (YC I V.LT.YMIN) YMI N=Yl IDR*,NGO=YVAX-YMINDASO=100.PO/RANGODQ 13 1=1. NTVYÍ I )=Y( T)

13 Y( I )={ Yt I )-YMINl*PASaWRITE(3,14)(VYfT).I=l,NTl

14 FaQMAT(//AlX1' VALORFS NO ESCALADOS DE LA FUNCIÓN F tT ) • /*! X39 ( •-• *> / /*f (8X1061 1 O}//1)WRITEC3. 15 > JL. YMIN, YM AX, RANGO -

15 FORMAT(//"'5X8HGRAFlCa A1.6H DESDE, Gl 1 .3 . 6H HASTA , Gl 1 .3 •> 8H RANGO -G*1 1.3/35X6SÍ '-')///) '

1Q DO ?0 1=1 , 1 0120 LINEAt I )=JBLAN

N=lESCRITURA DE LA ESCALA DE LA ORDENADA

DO 23 1-1,1123 L( I )=10»I-1 IO+NS

WRITEC3.24)24 FORMATÍx/SOX' RESPUESTA 6N EL DOMINIC DEL TIEMPO DE LA FUNCIÓN DE T*RANSCFRENCI A FIS) = N(S) / D ( S ) ' /20 X84 C "-' 5 /// )•WRTTEO.a'á) (Lt 13,1=1 . 113

25 FORMATÍ3X, 10(I4,6X],T4.2X.l OHF ( T)=VALDR)GQ TO 2fl

27 TF ( {N-I ]/10-(N-2)/10) 37,37.28CONSTRUCCIÓN DE LA LINEA DEL GRÁFICO DE LA ORDENADA28 N0=0

DO 34 1=1, 10ND=ND+1LIN£A(ND)=JPDO 34 J=l .9NO=ND+1

34 LINEAÍ'1D)=JN " .LTNEAÍ1 01 )=JPGQ TO 39

CONSTRUCCIÓN o e UNA LINEA DEL GRÁFICO DE LAS LINEAS DE ABSCISAS37 OQ a 1 = 1 , i oí-, 103? LINftA(Il=JIC4MRTO NUUER(CO DE LOS DATOS AL LETRERO39 XNS=NS

JA=Y (N)-HO 1 .499*5 9- XMSIF (JA-101) A3,«8,44

43 Ic (JA) 46.46,4»44 LTNFAt 1 01 )=JZ -

GD TO 4946 LIMFAÍ1 )=JZ

GG TO 4q48 LINFA(JA}=JLFSCOIBIR UN DATO EN UNA LINEA49 IF {M.^O.lí GH TO 51 '

Ic ( (N-Í )/10-ÍN-2)/10) 5S.55, SI51 N1 = N-1

WRITFÍ1,53)N! .L INEA, YCH153 FQRMATf 1X.T 4, 101 Al ,1X, F12-53

GO TG 5755 WRITF(^.56)L1NEA,YÍNJ56 F n ^ M A T Í 5X , 1 01 A l , 1 X . E 1 2 - 5 ) •HAC^R U A S V A " I A P L f ; 5 L I N E A CERO57 OO 5R 1 = 1 . I Oí5fi L I N F « ( ! ) -JPLAN59 M = N - f l

IF (N-MT) 27, ?7,6l61 "ETURN

FND

O

000?0003000*

000 «íOOOf.OOO7ooon00090010O011

OÜ13001400150016001?O 01 800100020002100220023QC2<i00250026-002700230029OO30OO31003200330014-001500^6003TOOT8OOT9004o0041004?0043004a0045O0460047004SOOag00500051005200^3

005600570058OO^Q00-SO0061006?00610054006SOO^'i00-S7OO'iQOO*.<100700071

SUFIROUTINF RAICES f N . ñ . 7.R , 7.1 }SUFRUTINA HARÁ OFTFR"IN-AR LAS f íA icpñ t i ) * s * - - * N -t- n( ? ) *s* -» iN-i i + R< 3J *s*USANDO EL M=TCIOQ DF L I N - R A - I

N-R. r;RADO OFL POLINOMIO EHS)R-ARR^C-Ln DE FNTHAPA DE LOS COFF IC lENTfS i)E 8(S1

2R-AOOEGLO DE SALIDA DF L»,S PARTrS REALES DE L.AS RAICES DE B(S)

n!T UN POLINOMIO or LA FO(N-n i -í- — +• B Í N ) - * S + e(S T O t t -EL POLINOMIO BÍ 3 ES PRESERVADO

ZI-ARRFGLO.

SALIDA DF LAS P A R V i - S I M A G I N A R I A S DE LAS RAICES

R E A L * a 7 R ( 3 0 ) , ? . U : i < n , R ( 3 0 } , R A U X { 3 0 ) . A í : 3 0 l , C { 3 0 ) , D ( 3 Q ) . F { 3 0 ) , 0 1REAL*fl Q2.(111,G12,C,21,G2a.DET,DOt,O02-01A,C2A,DISC.RDlSCCOMPLFXM6 Ptr<01

M=NMP = M+1r>Q 1 !•=! ,VP*&ux( n=fíí i )

1 *.f N-I t ? )=PAUXC I )5 IP ( OARSC A ( l ) } ,GT- 1 .O-06Í GG TO 13

DO 7 1=1 .M7 At T )=A( t + U

i^ (M) = (0 .DO . O . D O )M=v«— 1IF (M.rO.O) GD TO f}0MP=íK-HGO TQ 5

13 1F { w.-?) 67,64', 34 ' '1A TTER=0

01=At 1OS=AÍ 2 ) / A Í 3 )

1T ITER=1TE3-M .CCMP )-A [MPJD C M P ) = 0 - O Of:C ",P)=0 .DOC ( H 3 = A ( y ] - 0 2 * C t y o Jn(«.)=-C(^P)E ( M ) = O . D O 'TF (K.LT.O) GO TO 33 'MM=M— 3OD 32 1=1. M M -Mt=M-IMT1=VI+1M I 2 = M J + 2CtMI 1=A(MI)-02*C( MI 1 )-Ql*CÍ VI23O CNI •}=-(: [«11 í-O2-T=Ot "T lJ-01*DíMT

32 Eí MI )=-C(Mt2)-Q2*E( MT 1 J-O 1*E l Mí33 Q1A=AC 1 )-01*CÍ 3) '

OSA=AC.2]-01*CÍ A } -02*C Í3 )G11=-C( 3T-01*O( ")-02*Df 31G12=~C( 4) -Qt*E( 4)~02*F.Í 31G21=-01*OC3)G22=-C< 3)~0

OO2=(G1?*01A-G22*O2A] /DET

02=02+002IP (DABSÍDO?.! -LT. 1.O-06) GD TG 47

*5 If= ( ITER.GT.3Q) GO TO 69- GQ TQ 1747 IF C D A B S t n O l l ,GT. 1 .D-06) GO TO 4548 DISC-=QH*0?-4.DO*01

IF C O I S C - L T - 0 - O O ) no TO 55RDISC=D£ORT(OtSC)P[M)=DCVPLXÍ í~O2fRDTSC] /2. DO, O. D O )D(M-1 )=OCMPLX( (-n2-RM=V-?.GO TG Stl

55 PDISC=DSQIíT(-OISC)

D(M- l )=aCQNJG(P<M) 1M=M— 2

59 IF < M . P O . O ) GO TD QOMPssM-M

DO 62 1 = 1, KP62 A( I )=Ct l*-?. )

Tc '(M-2) 67, 64, 1464 Q1 = A( v-i J / i ( M + l )

02= A ( >>} /A [M+l )GG TQ 46

FORTRAN TV 160N-FO-47P "3-n 01/07/78 10.01-O3

007100740075007600770070O079

fin Til-AÍ 1 1 / A ( 7 ) . 0 - O O )

70 FHD'JAr<//nH tío EXISTE CONVERGENCIA//)«O Dn 81 T = 1 , H

ZP( I )=P( I )SI Z T ( I ) = ( O . D O , - 1 - O Q ) * P ( M

PRTUR.'J

- 91 -

A.2 ESTUDIO DE LA SÜBHUTINA RAICES.

Esta subrutina es utilizada como una opción de la subrutina

DPRP01 y para encontrar las raices de un polinomio dado. Esta sub_

rutina puede ser identificada como:

SUBROUTim RAICES (N¿ BJ ZR, ZI) -:

Un sumario de las características de esta subrutina puede-en

contrarse en la Tabla A. 1.8 . Lo que se pretende aquí, es el de -

presentar en detalle la descripción de operación de la subirútina.

Un diagrama o flujo de cartas de*la lógica utilizada en esta sub—

rutina es dada, en la fig.A.2.1 .

La subrutina RAICES ,' como se dijo- anteriormente,' usa el me-

todo de LIN-BAIRSTOW1 para determinar un factor-cuadrático del po-

linomio a encontrarse sus raices. Si al remover este factor del —

polinomio original, se obtiene un polinomio de orden reducido. El

proceso es repetido hasta que todas las raices puedan ser encon —

tradas.

La primera operación de la subrutina EAXCES es el de tránfe-

rir los coeficientes del polinomio original desde el arreglo B —

hasta un arreglo interno del programa A . Este posterior arreglo

es utilizado para encontrar todas 'las raices en subsiguientes op_e

raciones en el polinomio. .De este modo, los valores de los coefi-

cientes del polinomio original son preservados invariantes en el

arreglo de entrada B- . El polinomio es ahora asumido que tiene la

forma:

- 93 -•

Un proceso iterativo es luego inicializado para determinar -

las cantidades A¿?i y A¿?2 (Cales cantidades son representadas en -

el programa por las variables DQ1 y DQ2 ) las cuales son usadas -

para mejorar la estimación inicial de las cantidades ql y q2 t -

de lo expuesto,

Ql= Ql + DQ1 ; Q2= Q2 + DQ2

Los términos Ac^x y A 2 son calculados inspeccionando (por -

ensayo) los coeficientes de orden cero y uno, del residuo obteni-

do por la división del polinomio original por el factor cuadráti-

co estimado3y realizando una expansión de KILO'R de esos coefi —

cientes con respecto a q\ q^ . Esto produce una fijación de dos

ecuaciones en las cuales las cantidades A^i y A<^2 son ahora' desco_

nocidas. Estas ecuaciones son luego resueltas para encontrar las

cantidades &qi y A^2 • Este proceso iterativo es repetido hasta -

que la convergencia este lograda, también siendo definido por am-

bos valores A^i y Aq^ siendo menores que 10~ . Una verificación -•

del numero de iteraciones es también realizado, y el proceso es -

finalizado si la convergencia no ha sido l'ograda con 30 iteracio-

nes. En tal caso, un mensaje de error es escrito. Cuando valores

adecuados exactos para los coeficientes del factor cuadrático qi •

y qz son encontrados, las raices del factor cuadrático son deter-

minadas y almacenadas en los arreglos ZR y ZI , las partes reales

e imaginarias respectivamente.' El factor cuadrático es luego diyi

dido dentro del polinomio y el grado del polinomio residuo es ve-

rificado para ver si es o no mayor que 2 . Desde este punto, el -

proceso descrito anteriormente es repetido hasta que todas las -

raices del polinomio hayan sido encontradas.

( INICIO)

\Almacoiav los coeficientes del poli_nomio cu el arreglo A.

¿ Existe una rais cc.i'o ?

SiAlmacenar la ra-Cs cero en loa arre-glos '¿R ¡j ZT y ¡'educir el orden del

PO linomio.

lio¿ Es cero el orden del polinomio ?

A'o

Calcular Id raíz 'y alma-

cenar en los arreglos -

ZR y ZT.

BETURS

¿ Cuál as el grado del polinomio ?

>2

RETVRN

Calcular una estimación para los -coeficientes del factor cuadrática

Ql y Q2.

ífodificar Ql y Q2 para calcular los

términos de corrección DQ1 y DQ2.

fio ¿ San sido realizados ya

30 iteraciones ?

Si

Escriba un mensaje de error

Calcular las raices del factor cua-drático y almacenar en loa arreglos

ZR y ZI.

¿Han sido encontradas todas las rais.

\

Kig. A.2.i Diagrama de flujo para enaonlrar la raicea de un

polinomio.

- 96

B . 1 MODO DE umiZACION DEL PROGRAMA,.

El programa consta de un bloque de datos de un mínimo de 6 -.

tarjetas.

1— TARJETA.. Desde la columna 2 a la 80 debe contener (opcionalmeti

te) una leyenda, la. misma que puede ser un título ge-

neral .

2— TARJETA, Desde la columna 2 a la 80 debe contener (opcionalme_n

te) una leyenda, la misma que puede ser un título es-

pecífico.

3_ ^3-— TARJETA-. De la columna 2 a la 3 debe contener un. numero que iu

dica el numero de valores de tiempo para los que la -

función va ha ser evaluada y grafizada. Este numero —

debe ser entero y tiene el formato 13 y tiene un ran-

go de variación de O^NT^201 . A continuación, desde -

la columna 4 a la 7 debe contener un numero entero de

formato 14 que indica el valor máximo de la escala de

la ordenada. Si este valor es igual a 999, el progra-

ma Hace un escalamiento de los valores de.la función

en el dominio del tiempo, enmarcándoles esos valores

dentro del rango de O a '100 (escala automática), por

lo tanto, la escala de la ordenada va desde O a. 100 .

Desde la columna 8 a la 27 debe ponerse el dato del —

rango de tiempo del cual la función en el dominio del

tiempo va ha ser grafizada y evaluada. Este numero d_e_

be ser del tipo-REAL de doble, precicion (REAL*8}.

Finalmente, desde la columna 18 a la 27 se debe poner

el numero que indica el factor de escala por el cual

va ha ser escalada la función en el dominio del tiém—

- 97 -

po .Si no se desea este escalamiento, este factor de^

be ser la unidad. Además cabe anotarse que'este nume-

ro debe ser del tipo REAL de doble precisión.

•3

4— TARJETA. Esta cuarta tarjeta debe contener los grados de los -

polinomios numerador y denominador en el orden indica_

do a continuación.

De la columna 1 a la 2 el grado del polinomio numera-

dor con un formato 12. .Desde la columna 3 a la 4 el -

grado del polinomio denominador (12).

a5— TARJETA, (o más). Debe contener los coeficientes del polinomio

numerador en orden descendente de potencias, cada co_e.

ficiente con un campo de 10 columnas y deben ser RE -

LES de doble precisión.

a_ *6— TARJETA, (o más). Debe o deben contener los coeficientes del -

polinomio denominador en orden descendente de. poten:.4.

cias, cada coeficiente con uu campo de 10 columnas y

deben ser del 'tipo REAL de doble precisión.

On-í F1RTPAN IV

rcnccccccccc

o n o i0002OOO"10004

C0005ooo* •0007

' ODOR

001 O001 1001200130014001S001 6001 70018001 Q00200021002?

0024OOH500260027002B002900300031003?00330034

003500360037

'E-fl MAIIJPGM DATF 01/07/7ñ TIME 09 ,SO. 15

Eli FRACCIONES PARC1>L5S

PACE 'oooi

0033

003Qnoao0041"00420043004400450046OQ47

0048004900500051OOP?00530054005$

n<".nAMA ppffNC I f*AL H A C A FNrniJTfAn LA Fw-r.nvm nrL POLINOMIO HUTnAfjooN —r;aA*"n OFL PDLIMn"1n DFNnfMWAOORC-APn-T^Ln OF LO1» CHFr i r IFNTF5 OFL POLINOMIO NUMERADORn-APprnLO OF LOS COFp ic I NI F*j tjf=L HHL INQM 1 n OFHOH INAOOR

KI-GPATn OFL PnLlurV/irj COCIF. tJTt= GÍSl tw-H l{;_ARp.rr;Ln HF SAI. [HA OF LOS COEFICIENTES DEL POLINOMIO COCIENTE

KP-r,píVW7 nrL POLIHOMín PEsinuO A { S ) t N-l )A-AORFr.LO nt= S A L I O A nF LOS CTFFJCIFNTFS DFL POLINOMIO RESIDUOP-APP^CLD CQMPLFJO OF LA LOrAL I /AC ION DF LOS POLOS

RI-/iprj*r;LO COMPLEJO DF LOS RESIDUOS P A R A LOS POLOS OE 1ER QROFN.n^-ApRC'GLo COMPLFJO ne LAS CONSTANTES PARA LOS POLOS DE 200 ORDEN

I'JTFGFP T tT I ( 20) ,TIT2( 20 JCHMPL^XTJÍ P( 10) ,R1 ( "JO) ,R2( 10)P«= AL*" V*LOP( 101 1 . C Í T O ) ,H( : jO) , r , (30) .A130) ,?P(?-0) . 2 1 ( 3 0 ) , Z R 1 . Z R 2

R ° í 3 0 ) , C C ( T Q ) , D ( 2 0 ) , Z ( 3 0 )

.TTT2

R'IADt 1 , 13MT .MAX,RT.ESCALA1 FOP*'ATÍ 11, l 4 .201 O . ? )

LFFP LOS DATOS DE LOS POLÍNOMTOS NUMERADOR Y DENOMINADOR

P E A D ( l , 5 ! ( C t I ) ,5 FQPMATÍ ani 0.4)

MO = U+-1PFAOÍ 1 , 5)( B( [) ,DO 70 1=1, MP

70 0 (1 )-=C< IIQO 71 1=1. NP

71 2( I }=Q( I )

L.TIT243 CQPMATÍ 1HC/ / / / / / / / / / / / / / / / \ X90( • *• ]/3'í 15X 1 * 1 P .8X 1 * ' / ) ,1SX'

* , 4 X ' * 1 / 2 ( l 5 X ' * ' * i a X 1 * 1 / ' J , l 5 X ' a ' 4 X 2 0 A 4 , 4 X ' * ' ^ 3 ( 1 5 X p * < a a X ' * • > - ) , 1 5 X 9 0 C* ' * • ) )

DO 3 r=Noi .303 0 ( 1 ) = O . D O

OO 4 I=,VPI ,304 C [ I ) = 0 . D O

IF ( D 4 B S C O C 1 ) ) . L E - 0 . 1 D - 0 2 ) GO TO -6 .IF {OAES[2*B(U)-LE-0,10-02) GQ TO 6GO TQ 9

6 DO 8 1=1,MNeet i )=e( i J/FU i >

a ccí i )=c( n/Rt i) 'OQ 11 1=1 ,MNRí I J^ñPÍ 1 ) - . - . . . . .

11 C ( I )=CC( I1LLAGAR A LA SURRUTINA DTVP PARA REMOVER LOS TÉRMINOS DE FRECUENCIA INFINITA

9 CALL DIVO ( v, ,C, N.B.KI ,G,KR ,A)LLAGAR A L* SURPUTINA DPRP01 PARA ENCQNTRAT LA LOCALIZACION DE LOS POLOS13 CALL DPRP01 (NP,B, 16.O.5DO,O.300,ZR,2 I»41 O)

DO 7 J=1,H

7 "( J)=nCMPLX(2Rt,2R2>K I l=K1 H .KRl = KP-flW°TTE(3,21 ) M. £ 0 ( T ) , 1=1 .VP)

21 FQRMAT(^ / ^ - / / 5X l l l (•- ' )y -5X ' ¡ M1X- \- | 'R9X' ! ' /SXI 1 1HJ PGLINONIO |*GPAnO| COEFICIENTES DE LOS POLINOMIOS EN ORDEN DESCEÑO* F.NTE DE POTENCIAS | /5XI H | 1 1 XI H | 7X1 H | 89X 1 H | /5X 1 1 1 C *-" )/*5X1 "5H I NU^PRADOR | I2,3H I 1 OG9.2 ,

WRITF{3. 2? )N, C 2 Í I 1 ,1 = 1 . NP )22 PHRMATÍ / - ÍXlSH] nF.NOMINAD.l 12, 3H

W R I T 6 ( 3 . 2 5 ) K I . (Gt I ] , 1=1 ,KII)25 c OPMAT( /5X I f5M¡ COCIENTE \, 3H

W R I T F Í ^ . ^ ó l K R . t A C I ), 1=1 , KP1126 tOO^'^T{ /5X1"5H¡ RESIDUO J I2."3H

WRÍTPCí, 15115 FQRMAT(/^///5Xl 11 { *-• ) J-5X1H135X ' | M IX 'R F S I D U C S • 9X° 1 ' 1 1 X ' H E

* S l D Ú O S ' 1 1X1H I /5X1H1 13X 'P O L O S • 1 3X 1 H ¡ SX ' TER « l NOS DE PRIMER* G R A n O ' 6 X l H | 5 X ' TFRM INOS OE SEGUNOO GRADO ' 7X 1 H ¡ /SX 1 U C • - ' ) /5X 1 H | 3X '*PABT5 REAL' 4X1H| I X 'PARTE IMAGINAR, I ' 3X 'PARTE R E A L ' ^ X ' I PARTE If.AG

] 1 OG9 . 2 . 1 H | /5X 1 1 1 (• — • ) )• "

| 1 OG9 - 2 , 1 H | /5X 1 1 1 { •-* ) 1

] i OG9.. 2 , 1 H | /5X l 1 l í *-• ) )

005 FHRTPAN IV 36QN-FQ-479 3-G DATE 01/07/78 09.58.15 PACE 0002

005ft

0057

0059

oor.fi

00fi7

-MNAR. ] ' 3 X ' P A R r f ? RF f t L ' IX ' I PARTÍ- ¡ "AGINAR. I • /5X¡ 1 1 ( ' - " ) )C LLAMAR A LA SUHRUTINA FXPFP PARA ENCONTR*R LOS RESIDUOS

TALL rxn^P(KR,A,N,R.P,R1,P2)

DO ?0 1 = 1 , N

1H F n R W A T ( 5 X I H | ? ( ? X G I 2 . 4 ' . 6 H | G12 .4 .4H j ) , 2 X G 1 2 - - V , 6 H I G12.1,*fiH ¡ /5X11 1( '-' ) )

CAl L VATILF- ( NT, RT.N.P.Rl ,R2 .VALOR, ESCALA)W R | TP( T, T O )

30 FnrJMATÍ 1HCJCALL C.RAFCO ( VALOR tNT .MAX)WU! VP C ^ . 6 0 ) N T . R T . F r . C A l _ A

/i O «niJMATi // l < iX9^ ( • * • J /l 4X1 Hfí X'NUMFRO DE*wfín OF TirMno o < r < * C B - I . < E S C A L A

10 en Tn A I40 STOP

END

GRAIMZAOOS "I?.," RA• ) / / / / / }

- 99 -"-

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