Función de Thomae 1

Función de Thomae

Puntos de la gráfica de la función en el (0,1)

Función de Thomae, llamada así en honor a Carl JohannesThomae, también conocida como la función de las palomitas, lafunción gotas de lluvia, la función de las nubes numerables, lafunción modificada de Dirichlet, la función de la regla,[1] o lasestrellas sobre Babilonia (por John Horton Conway) es unamodificación de la función de Dirichlet. El valor real de la funciónf(x) se define como sigue:

donde:• ℚ es el conjunto de los números racionales• ℤ+ es el conjunto de los números enteros positivos• mcd es el máximo común divisor de la funciónSi x = 0, se toma q = 1. Asumiendo que el mcd(p, q) = 1 y q > 0 da una representación única del número racional(ejemplo, excluyendo la representación de 2/4 como 1/2) haciendo de f una función bien definida.

DiscontinuidadesLa función de las palomitas de maíz es tal vez el ejemplo más simple de una función con un complejo conjunto dediscontinuidades: f es continua en todos los números irracionales y discontinua en todos los números racionales.

Demostración informalClaramente, f es discontinua en todos los racionales: desde que los irracionales son densos en los reales, para algúnracional x, sin importar qué ε se elija, aquí hay un irracional a aún más próximo a nuestro x donde f(a) = 0 (cuandof(x) es positivo). En otras palabras, f no puede tener aproximarse a cualquier número positivo, ya que su dominio estálleno de ceros.Para mostrar la continuidad en los racionales, sin pérdida de generalidad suponemos que εes racional (para algún εirracional podemos optar por una ε racional más pequeña y la prueba es transitiva). Puesto que ε es racional, puedeser expresada en términos más sencillos como a/b. Queremos mostrar que f(x) es continua cuando x es irracional.Note que f toma su valor máximo de 1 en cada número entero, por lo que podemos restringir nuestro estudio entre

y . Como ε tiene un denominador finito b, los únicos valores para los que f puede devolver un valor mayora ε son los que tienen un denominador menor o igual a b. No sólo existe un número finito de valores entre dosenteros con denominador menor o igual que b, por lo que estos se pueden enumerar de manera exhaustiva. Eligiendoδ como la distancia más pequeña cercana de x a uno de estos valores garantiza que todos los valores dentro de δ de xoriginan f(x) < ε.

Función de Thomae 2

IntegrabilidadLa función es Riemann integrable[2] bajo el siguiente criterio:

Criterio de Lebesgue para la integrabilidad de Riemann

Sea f una función definida y acotada en [a,b] y sea D el conjunto de las discontinuidades de f en [a,b].Entonces f (con el conjunto de las funciones Riemann integrables) en [a,b] si, y solo si, D tienemedida cero.

Además, el conjunto de discontinuidades son los números racionales, y los racionales son numerables, el conjuntotiene medida cero, por lo que la función en el [0, 1], verifica el criterio de Lebesgue, y por tanto es Riemannintegrable en el [0, 1].

SeguimientoUna pregunta natural es si hay una función continua en los números racionales y discontinua de los númerosirracionales. Esto es imposible porque el conjunto de discontinuidades de una función debe ser un Fσ set. Si talfunción existiera, los irracionales serían un conjunto Fσ y por tanto, ya que no contienen un intervalo, serían unconjunto escaso. De aquí que los números reales, siendo la unión de racionales e irracionales, serían un conjuntoescaso. Esto contradice el Teorema de categoría de Baire.Una variante de la función de las palomitas puede ser usada para mostrar que cualquier conjunto Fσ de númerosreales puede ser un conjunto de discontinuidades de una función. Si es la unión numerable deconjuntos cerrados , definimos

Un argumento similar al utilizado para la función de las palomitas de maíz muestra que tiene a A como conjuntode discontinuidades.

Notas[1] "… la llamada función de la regla, un ejemplo simple pero provocativo que apareció en una obra de Johannes Karl Thomae ... El gráfico

sugiere que las marcas verticales están en una regla, de ahí el nombre." William Dunham, La Galería de cálculo, capítulo 10[2][2] Spivak, M. (p. 53, Theorem 3-8)

Referencias• Robert G. Bartle and Donald R. Sherbert (1999), Introducción al Análisis Real, 3ra Edición (Ejemplo 5.1.6 (h)).

Wiley. ISBN 978-0-471-32148-4•• Spivak, M. Cálculo en variedades. 1965. Perseus Books. ISBN 0-8053-9021-9• Abbot, Stephen. Entendiendo Análisis. Berlín: Springer, 2001. ISBN 0-387-95060-5

Enlaces externos• Weisstein, Eric W. « Dirichlet Function (http:/ / mathworld. wolfram. com/ DirichletFunction. html)» (en inglés).

MathWorld. Wolfram Research.

Fuentes y contribuyentes del artículo 3

Fuentes y contribuyentes del artículoFunción de Thomae  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=66742766  Contribuyentes: Raulshc, 13 ediciones anónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:Thomae function (0,1).svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Thomae_function_(0,1).svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Smithers888

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