Funcin cuadrtica

Una funcin cuadrtica es aquella que puede escribirse como una ecuacin de la forma:

f(x) = ax2 + bx + c

donde a, b y c (llamados trminos) son nmeros reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o

menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c s puede ser cero.

En la ecuacin cuadrtica cada uno de sus trminos tiene un nombre.

As,

ax2 es el trmino cuadrtico

bx es el trmino lineal

c es el trmino independiente

Cuando estudiamos la ecuacin de segundo grado o cuadrtica vimos que si la ecuacin tiene todos los trminos

se dice que es un ecuacin completa, si a la ecuacin le falta el trmino lineal o el independiente se dice que la

ecuacin es incompleta.

Representacin grfica de una funcin cuadrtica

Si pudisemos representar en una grfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una funcin cuadrtica, obtendramos

siempre una curva llamada parbola.

Como contrapartida, diremos que una parbola es la

representacin grfica de una funcin cuadrtica.

Dicha parbola tendr algunas caractersticas o elementos

bien definidos dependiendo de los valores de la ecuacin

que la generan.

Estas caractersticas o elementos son:

Orientacin o concavidad (ramas o brazos)

Puntos de corte con el eje de abscisas (races)

Punto de corte con el eje de ordenadas

Eje de simetra

Vrtice

Orientacin o concavidad

Una primera caracterstica es la orientacin o concavidad de la parbola. Hablamos de parbola cncava si sus

ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parbola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia

abajo.

Esta distinta orientacin est definida por el valor (el signo) que tenga el trmino cuadrtico (la ax2):

Parbola del puente, una funcin cuadrtica.

Si a > 0 (positivo) la parbola es cncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x2 3x 5

Si a < 0 (negativo) la parbola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = 3x2 + 2x + 3

Adems, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), ms cerrada es la parbola.

Puntos de corte en el eje de las abscisas (Races o soluciones) (eje de las X)

Otra caracterstica o elemento fundamental para graficar una funcin cuadrtica la da el valor o los valores que

adquiera x, los cuales deben calcularse.

Ahora, para calcular las races (soluciones) de cualquier funcin cuadrtica calculamos

f (x) = 0.

Esto significa que las races (soluciones) de una funcin cuadrtica son aquellos valores de x para los cuales la

expresin vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo que f(x) = 0.

Entonces hacemos

ax + bx +c = 0

Como la ecuacin ax + bx +c = 0 posee un trmino de segundo grado, otro de primer grado y un trmino constante,

no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la frmula:

Entonces, las races o soluciones de la ecuacin cuadrtica nos indican los puntos de interseccin de la parbola con

el eje de las X (abscisas).

Respecto a esta interseccin, se pueden dar tres casos:

Que corte al eje X en dos puntos distintos

Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x)

Que no corte al eje X

Esta caracterstica se puede determinar analizando el discriminante, ya visto en las ecuaciones cuadrticas.

Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y)

En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo

marca el valor de c (0, c).

Veamos:

Representar la funcin f(x) = x 4x + 3

El eje de las ordenadas (Y) est cortado en +3

Representar la funcin f(x) = x 4x 3

El eje de las ordenadas (Y) est cortado en 3

Observar que la parbola siempre cortar al eje de las ordenadas (Y), pero como ya vimos ms arriba al eje de

abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno.

Eje de simetra o simetra

Otra caracterstica o elemento de la parbola es su eje de simetra.

El eje de simetra de una parbola es una recta vertical que divide simtricamente a la curva; es decir, intuitivamente

la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parbola.

Su ecuacin est dada por:

Donde x1 y x2 son las races de la ecuacin de segundo grado en x, asociada a la parbola.

De aqu podemos establecer la ecuacin del eje de simetra de la parbola:

Vrtice

Como podemos ver en grfico precedente, el vrtice de la parbola es el punto de corte (o punto de interseccin) del

eje de simetra con la parbola y tiene como coordenadas

La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetra y la ordenada corresponde al valor

mximo o mnimo de la funcin, segn sea la orientacin de la parbola (recuerde

el discriminante)