Fórmulas Geometría Diferencial -...

Geometría Diferencial

Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC 1

Curva

La curva en el espacio representa intuitivamente la trayectoria de un punto en movimiento.

Por ejemplo, la trayectoria de un planeta en el espacio, nos sugieren la idea de curva.

También la forma que adopta una cuerda sujeta por sus extremos y suspendida.

Expresión cartesiana vectorial de la curva:

La referencia ortonormal { }O; i , j, k

de R3. Una curva es cualquier función vectorial continua

( )

3I R R

r( ) x( ), y( ), z( )

⊂ →

λ→ λ = λ λ λ

Las ecuaciones x=x(λ ); y=y(λ ); z=z(λ ) definen la parametrización de la curva.

I es un intervalo de longitud finita o infinita. Si I es un intervalo cerrado la curva se llama cerrada.

Si la curva viene dada como intersección de dos superficies: F(x, y, z) 0G(x, y, z) 0

= =

son las ecuaciones

cartesianas implícitas.

Una curva es plana si todos sus puntos pertenecen a un plano. Si consideramos el plano z=0 entonces su

ecuación es F(x,y)=0. Se verifica que la torsión es nula. En caso contrario es una curva alabeada.

Ejemplo:

Hélice x cosy s en

z

= λ= λ= λ

.

01

0.5

0.5 1

1

0.5

1.5

0

2

0-0.5

-0.5-1 -1

La hélice tiene importancia desde el punto de vista físico al aunar dos movimientos (rotación y traslación).



Punto regular o singular

• Curva expresada en ecuaciones paramétricas.

Si 0 Iλ ∈ con un entorno de 0λ , en el que las funciones x( ), y( ), z( )λ λ λ son derivables.

El punto ( )0 0 0 0P x( ), y( ), z( )= λ λ λ de la curva r( )λ

es regular si:

( )0 0 0 0r '( ) x '( ), y '( ), z '( ) 0λ = λ λ λ ≠

.

En caso contrario el punto se dice punto singular.

• Curva expresada en ecuaciones implícitas.

Si las funciones F(x, y, z) 0G(x, y, z) 0

= =

son diferenciables en un entorno del punto ( )0 0 0x , y , z .

El punto ( )0 0 0 0P x , y , z= de la curva es regular si:

( ) ( ) ( )0 0 o 0 0 o 0 0 o

2 2 2

(x ,y ,z ) (x ,y ,z ) (x ,y ,z )

(F,G) (F,G) (F,G) 0x, y x, z y, z

∂ ∂ ∂+ + ≠

∂ ∂ ∂.

En caso contrario el punto se dice punto singular.

Una curva es regular (k veces diferenciable) si para todo entorno de esta curva existe un entorno que

admite una parametrización regular, es decir, x=x(λ ); y=y(λ ); z=z(λ ) son funciones regulares (k veces

continuamente diferenciables).

Cambio de parámetro

El parámetro λ no es único para representar una curva, ya que si se efectúa el cambio de variable

definido por la expresión f ( )λ = µ donde si [ ] [ ]1 2 1 2I , , I* ,λ∈ = λ λ µ∈ = µ µ , la expresión de la curva

( )

3I R R

r( ) x( ), y( ), z( )

⊂ →

λ→ λ = λ λ λ , se convierte en

( )

3I* R R

r *( ) x *( ), y*( ), z*( )

⊂ →

µ→ µ = µ µ µ con

( )r *( ) r(f ( )) x *( ), y*( ), z*( )µ = µ = µ µ µ

donde x *( ) x(f ( ))y*( ) y(f ( ))z*( ) z(f ( ))

µ = µ µ = µ µ = µ

[ ]1 2,µ∈ µ µ



Longitud de un arco de curva Sea la curva r r( )= λ

para [ ]1 2,λ∈ λ λ , derivable a trozos. Sean [ ]0 1 2, * ,λ λ ∈ λ λ .

La longitud del arco de curva entre los puntos correspondientes a los valores 0λ y *λ del parámetro

es:

( ) ( ) ( )o o

* * 2 2 2s r '( ) r '( )d x '( ) y '( ) z '( ) dλ λ

λ λ= λ ⋅ λ λ = λ + λ + λ λ∫ ∫

Ejemplo: Para la hélice, 2 2

2 2

2

x cos x ' s en x ' s eny s en y ' cos y ' cos

z z ' 1 z ' 1

= λ = − λ = λ = λ ⇒ = λ ⇒ = λ

= λ = =

y un paso de hélice viene dado 0 0 2λ ≤ λ ≤ λ + π

( ) ( ) ( ) 0 0

o o o

* 2 22 2 2 2 2s x '( ) y '( ) z '( ) d s en cos 1 d 2 dλ λ + π λ + π

λ λ λ= λ + λ + λ λ = λ + λ + λ = λ =∫ ∫ ∫ 22π

Parámetro arco

Teorema.

La longitud de un arco de curva no se altera al realizar un cambio de parámetro admisible.

DEMOSTRACIÓN:

Se considera la curva r r( )= λ

y el cambio de parámetro dado por la función f ( )λ = µ .

Sea [ ]0 , *µ µ el intervalo tal que [ ]( ) [ ]0 0f , * , *µ µ = λ λ . Entonces, si en la expresión que da la

longitud del arco o

*s r '( ) r '( )d

λ

λ= λ ⋅ λ λ∫

se efectúa el cambio de variable f ( ), f '( ) 0λ = µ µ ≠ , se obtiene

o o o

* * *s r '( ) r '( )d r '(f ( )) r '(f ( ))f '( )d r '(f ( ))f '( ) r '(f ( ))f '( )d

λ µ µ

λ µ µ= λ ⋅ λ λ = µ ⋅ µ µ µ = µ µ ⋅ µ µ µ =∫ ∫ ∫

o

*r '( ) r '( )d s

µ

µ= µ ⋅ µ µ =∫

.

La longitud del arco de la curva x=x(λ ); y=y(λ ); z=z(λ ), para [ ]1 2,λ∈ λ λ , entre los valores 0λ y λ

del parámetro viene dada por ( ) ( ) ( )o o

2 2 2s s( ) r '( ) r '( )d x '( ) y '( ) z '( ) dλ λ

λ λ= λ = λ ⋅ λ λ = λ + λ + λ λ∫ ∫

S.i se trata de puntos regulares ( ) ( ) ( )2 2 2ds r '( ) r '( ) x '( ) y '( ) z '( ) 0d

= λ ⋅ λ = λ + λ + λ ≠λ



Entonces, del teorema de existencia de la función inversa, existe f (s)λ = y la curva puede

expresarse en la forma x=x(f(s))=x*(s); y=y(f(s))=y*(s); z=z(f(s))=y*(s) donde s recibe el nombre de

parámetro arco o simplemente arco de la curva.

Una curva referida al parámetro arco s verifica, para todo valor del parámetro, que dr 1ds

=

, ya que

de la definición del parámetro s se obtiene 2ds r '( ) r '( ) 1= λ ⋅ λ =

.

Ejemplo:

Hélice x cosy s en

z

= λ= λ= λ

. Escogiendo como origen del arco 0λ = .

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

0 0 0s( ) x '( ) y '( ) z '( ) d s en cos 1d 2d 2

λ λ λλ = λ + λ + λ λ = λ + λ + λ = λ = λ∫ ∫ ∫

Y entonces, s2

λ = . La parametrización buscada será:

sx cos2sy s en2

sz2

=

=

=

El parámetro arco facilita el estudio de una curva desde el punto de vista teórico.

Triedro de Frenet Sea la curva r r(s)=

, siendo s el parámetro arco. Para cada punto 0P r(s )=

establecemos una referencia

afín 0 0 0 0r(s ), T(s ), N(s ), B(s )→ → → →

donde los vectores 0T(s )→

(vector tangente), 0N(s )→

(vector normal

principal) y 0B(s )→

(vector binormal) formen un triedro ortonormal denominado triedro móvil o

triedro de Frenet.

Triedro de Frenet (parámetro arco) 0 0 0 0r(s ), T(s ), N(s ), B(s )→ → → →

Vector tangente: 0 0T(s ) r '(s )→ →

= que es unitario



Vector normal: 00

0

r ''(s )N(s )r ''(s )

→→

→=

Vector binormal: 0 0 0B(s ) T(s ) N(s )→ → →

= ×

Ejemplo:

Hélice

sx cos2sy s en2

sz2

=

=

=

. Buscaremos el triedro de Frenet en el punto (1,0,0) que se obtiene para s=0.

s s sr(s) cos ,s en ,2 2 2

=

1 s 1 s 1r '(s) s en , cos ,2 2 2 2 2

= −

1 1T(0) r '(0) 0, ,2 2

⇒ = =

1 s 1 s 1 r '' (0)r ''(s) cos , s en ,0 r ''(0) ,0,0 N(0) ( 1,0,0)2 2 22 2 r '' (0)

→→

→

= − − ⇒ = − ⇒ = = −

i j k1 1 1 1B(0) T(0) N(0) 0 0, ,2 2 2 2

1 0 0

→ → → = × = = −

−

Por lo tanto 0 0 0 0r(s ), T(s ), N(s ), B(s )→ → → → =

( ) ( )1 1 1 11,0,0 , 0, , , 1,0,0 , 0, ,

2 2 2 2 − −

Expresiones del triedro de Frenet para un parámetro arbitrario

Sea la curva r r( )= λ

donde λ es un parámetro arbitrario.

El triedro de Frenet correspondiente al valor del parámetro 0λ = λ , es 0 0 0 0r( ), T( ), N( ),B( )→ → → → λ λ λ λ



Vector tangente: 00

0

r '( )T( )r '( )

→→

→

λλ =

λ (se divide por su módulo para que sea unitario)

Obsérvese

d r( )d r( ) d r( ) ds dsT( ) dd ds d

ds

→

→ →→

λλ λ

λ = = =λλ λ

luego T( )→

λ y d r( )ds

→

λ tienen la misma dirección

Ahora, 2

2

d d d r( ) d d r( ) ds d d r( ) ds d r( ) d sr '' ( ) r '( )d d d d ds d d ds d ds d

→ → → →→ →

λ λ λ λ λ = λ = = = + = λ λ λ λ λ λ λ λ

2 22 2 2

2 2 2

d r( ) ds d r( ) d s ds d sk(s) N( ) T( )ds d ds d d d

→ →→ →λ λ = + = ⋅ λ + λ λ λ λ λ

Donde 2

2

d r( ) k(s) N( )ds

→→λ

= ⋅ λ siendo k(s) la curvatura. (*)

Entonces 32

2

d r( ) d r( ) ds r '( ) r ''( )r '( ) r ''( ) k(s) B( ) B( )d d d

r '( ) r ''( )

→ → → →→ → →

→ →

λ λ λ × λ λ × λ = × = λ ⇒ λ = λ λ λ λ × λ

Finalmente N( ) B( ) T( )→ → →

λ = λ × λ

Triedro de Frenet (parámetro cualquiera) 0 0 0 0r( ), T( ), N( ),B( )→ → → → λ λ λ λ

Vector tangente: 00

0

r '( )T( )r '( )

→→

→

λλ =

λ

Vector binormal: 0 00

0 0

r '( ) r ''( )B( )r '( ) r ''( )

→ →→

→ →

λ × λλ =

λ × λ

Vector normal: 0 0 0N( ) B( ) T( )→ → →

λ = λ × λ

“Obsérvese que el orden de obtención de los vectores del triedro de Frenet en este caso es distinto del anterior, cuando el parámetro era el arco”.

Ejemplo:



Dada la curva

=

=

=

≡→

2

cos2

)(λ

λ

λ

λ

zy

senx

r . Se pide:

a) Analizar si tiene puntos singulares. b) ¿Es λ el parámetro arco? c) Hallar el triedro de Frenet en el punto P(0,1,0)

Solución

a) No tiene puntos singulares pues el vector derivada primera: ( )0,0,02,sen,2

cos21)('r ≠

λλ−

λ=λ

→

al no anularse simultáneamente las tres coordenadas para el mismo valor de λ .

b) λ no es el parámetro arco pues 1)('r ≠λ→

, ya que depende de λ .

c) Triedro de Frenet en el punto P(0,1,0): ( ) ( ) ( ){ }{ }P, T P , N P ,B P .

P(0,1,0) = 0,cos,2

sen 2 =λ⇒

λλ

λ

Aplicando las fórmulas para calcular los vectores tangente, normal y binormal para un parámetro cualquiera, en 0=λ , se obtiene:

Vector tangente: ( )

1 ,0,0r ' (0) 2T(0) 1,0,0

1 ,0,0r ' (0)2

→→

→

= = =

,

Vector binormal: r ' (0) r '' (0)B(0)r ' (0) r '' (0)

→ →→

→ →

×=

×

( )1r ''( ) sen , cos ,2 r ''(0) 0, 1,24 2

→ → λ λ = − − λ ⇒ = −

( )i j k

2 5 5r ' (0) r '' (0) 1 0 0 0, 2, 1 r ' (0) r '' (0) 5 B (0) 0, ,5 5

0 1 2

→ → → → → × = = − − ⇒ × = ⇒ = − −

−

Vector normal:

i j k

2 5 5 5 2 5N(0) B(0) T(0) 0 0, ,5 5 5 5

1 0 0

→ → → = × = − − = −

Por lo tanto ( ) ( ) ( ){ }{ }P, T P , N P ,B P =

( ) ( ) 2 5 5 5 2 50,1,0 1,0,0 , 0, , , 0, ,5 5 5 5

− − −



Elementos del triedro de Frenet

Sean la curva r r( )= λ

y el punto P0 de ella correspondiente al valor λ o del parámetro.

Recta tangente:

Es la recta que pasa por P0 y tiene como vector director 0T( )λ

0 0(x, y, z) r( ) tT( ), t R= λ + λ ∀ ∈

Recta normal principal:

Es la recta que pasa por P0 y tiene como vector director 0N( )λ

0 0(x, y, z) r( ) tN( ), t R= λ + λ ∀ ∈

Recta binormal:

Es la recta que pasa por P0 y tiene como vector director 0B( )λ

0 0(x, y, z) r( ) tB( ), t R= λ + λ ∀ ∈

Plano normal:

Es el plano que pasa por P0 y tiene como vector característico 0T( )λ

( )0 0(x, y, z) r( ) T( ) 0− λ ⋅ λ =

Plano rectificante:

Es el plano que pasa por P0 y tiene como vector característico 0N( )λ

( )0 0(x, y, z) r( ) N( ) 0− λ ⋅ λ =

Plano osculador:

Es el plano que pasa por P0 y tiene como vector característico 0B( )λ

( )0 0(x, y, z) r( ) B( ) 0− λ ⋅ λ =

Para una curva dada por las ecuaciones x=x(λ), y=y(λ), z=(λ) y P0 ( )0 0 0x( ), y( ), z( )= λ λ λ obtenemos

0 0 0

0 0 0

0 0 0

x( ) x( ) y( ) y( ) z( ) z( )x '( ) y '( ) z '( ) 0x ''( ) y ''( ) z ''( )

λ − λ λ − λ λ − λλ λ λ =λ λ λ



Ejemplo:

Dada la curva ( ) ( )21 ,2 3 ,r λ λ λλ −= −

, R∈λ . Se pide:

a) Estudiar si λ es el parámetro arco. Razonar si es factible obtener una parametrización natural de la curva. b) El triedro de Frenet en el punto P(0,-1,1) usando las fórmulas adecuadas. c) Unas ecuaciones de la recta tangente, normal principal y binormal de la curva en P. d) Unas ecuaciones del plano normal, rectificante y osculador de la curva en P.

Solución a) λ es el parámetro arco si se verifica que ( )r ' 1, R.λ = ∀λ∈

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 ,2 3 , 1,r r ' r3, 2 4 .' 10λ = λ−λ − λ λ ⇒ − − λ ⇒ = + λ= λ

λ no es el parámetro arco Por otro lado,

( )

0 0

22

0

22

5s r '( ) r '( ) d r '( ) d d ln5 2 2 5 210

24

4 52→ → →λ λ λ

= λ ⋅ λ λ = λ λ = λ = ++ λ + λ +

λ

+ λ

λ

∫ ∫ ∫

luego no es posible despejar λ en función de s, por lo tanto, no es factible obtener una parametrización natural de la curva. b) Obtenemos el valor de λ que proporciona P(0,-1,1) ( ) ( ) ( )21 ,2 3 , 0, 1,1 1r −λ − λ λ = − ⇒ λ =λ =

, luego el triedro de Frenet en P es el sistema de referencia

ortonormal ( ) ( ) ( ){ }P,T 1 , N 1 ,B 1 .

( ) ( ) ( ) ( )r ' r ' 11, 3,2 1, 3,2− − λ ⇒λ = = − −

;

( ) ( ) ( ) ( )r '' r '' 10,0,2 0,0,2⇒λ = =

Vector tangente:

( )( )

1, 3,2r '(1) 14 3 14 14T(1) , ,14 14 71, 3,2

r '(1)

→→

→

− −= = = − − − −



Vector binormal: r '(1) r ''(1)B(1)r '(1) r ''(1)

→ →→

→ →

×=

×

( ) ( ) ( ) ( )r '' r ''0,0, 2 0,0,2⇒λ = λ =

( )( )

1, 3,2 (0,0,2)r '(1) r ''(1) 3 10 10B(1) , ,010 101, 3,2 (0,0,2)

r '(1) r ''(1)

→ →→

→ →

− − ××= = = − − − × ×

Vector normal: 3 10 10 14 3 14 14 35 3 35 35N(1) B(1) T(1) , ,0 , , , ,10 10 14 14 7 35 35 7

→ → → = × = − × − − =

Luego, el triedro de Frenet en P es:

( ) 14 3 14 14 35 3 35 35 3 10 100, 1,1 , , , , , , , ,014 14 7 35 35 7 10 10

− − − −

c) Recta tangente en P es la que pasa por P y su dirección es la del vector tangente ( )T 1

. La dirección del

vector tangente es la de ( )r ' 1

.

x 0 ty 1 3tz 1 2t

= − = − − = +

Recta normal principal en P es la que pasa por P y su dirección es la del vector normal ( )N 1

.

x 0 ty 1 3tz 1 5t

= + = − + = +

Recta binormal en P es la que pasa por P y su dirección es la del vector tangente ( )B 1

.

x 0 3ty 1 tz 1

= − = − + =

d) Plano normal es el plano perpendicular a ( )T 1

por P, y ( )3,1,0− es un vector paralelo a ( )T 1

, luego

( )( )x 0, y 1, z 1 1, 3,2 0− + − − − = ⇒ x 3y 2z 5 0− − + − = es su ecuación.

Plano rectificante es el plano perpendicular a ( )N 1

por P, y ( )3,1,0− es un vector paralelo a ( )N 1

, luego

( )( )x 0, y 1, z 1 1,3,5 0− + − = ⇒ x 3y 5z 2 0+ + − = es su ecuación.

Plano osculador es el plano perpendicular a ( )B 1

por P, y ( )3,1,0− es un vector paralelo a ( )B 1

, luego

( )( )x 0, y 1, z 1 3,1,0 0− + − − = ⇒ 3x y 1 0− + + = es su ecuación.



O bien, 0 0 0

0 0 0

0 0 0

x x( ) y y( ) z z( ) x 0 y 1 z 1x '( ) y '( ) z '( ) 1 3 2 0x ''( ) y ''( ) z ''( ) 0 0 2

− λ − λ − λ − + −λ λ λ = − − = ⇒λ λ λ

3x y 1 0− + + =

Fórmulas de FRENET (parámetro arco)

Las fórmulas de Frenet o de Serret-Frenet relacionan la variación de los vectores del triedro de Frenet respecto al parámetro arco con los vectores del triedro de Frenet.

( )

( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )

T '(s) k s N(s) T '(s) T(s)0 k s 0

N '(s) k s T(s) s B(s) N '(s) k s 0 s N(s)0 s 0

B'(s) B(s)B'(s) s N(s)

→ → → →

→ → → → →

→ →→ →

= ⋅ = − ⋅ + τ ⋅ ⇔ = − τ −τ = −τ ⋅

donde los escalares ( )sk y ( )sτ son la curvatura y la torsión de la curva en ese punto,

respectivamente.

Observación: si se cambia la orientación de la curva, no cambian ni ( )N s

, ni k, ni τ , pero ( )T s

y

( )B s

cambian de signo. Al vector ( ) ( ) ( )r '' s T s kN s= =

se le llama vector de curvatura.

CURVATURA Curvatura de una curva es la función que, en cada punto de la curva, mide el grado en que esta curva se

aparta de la recta.

Cálculo geométrico de la curvatura de una curva plana

Se considera la curva plana ( )r(s) x(s), y(s)=

donde s es el arco.

Si α es el ángulo que forma la tangente con el eje OX y al ser unitario el vector T(s)→

, se obtiene:



( )dr(s) dx dyT(s) , cos (s),sen (s)ds ds ds

→ = = = α α

Derivando respecto de s:

( )dT(s) d d dT '(s) sen (s) ,cos (s) sen (s),cos (s)ds ds ds ds

→ α α α = = − α α = − α α

Y como (*) ( )T '(s) k s N(s)→ →

= ⋅

Entonces, dk T '(s)ds

→ α= =

Teorema

Es condición necesaria y suficiente para que una curva sea una recta el que la curvatura sea idénticamente nula.

Expresión de la curvatura en función del parámetro arco

Se considera la curva r r(s)=

donde s es el arco.

De la expresión (*) ( )T '(s) k s N(s)→ →

= ⋅ al multiplicar escalarmente por ella misma

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

22 2 2

dT(s) dT(s) d r(s) d r(s) d r(s)T '(s) T '(s) k s k s k s k s r '' (s)ds ds ds ds ds

→ → →

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⇒ = =

Expresión de la curvatura en función de un parámetro cualquiera

Se considera la curva r r( )= λ

donde λ es un arco parámetro cualquiera.

d r( ) d r( ) dsr '( )d ds d

→ →→ λ λλ = =

λ λ

2

2

d d d r( ) d d r( ) ds d d r( ) ds d r( ) d sr '' ( ) r '( )d d d d ds d d ds d ds d

→ → → →→ →

λ λ λ λ λ = λ = = = + = λ λ λ λ λ λ λ λ

22 2

2 2

d r( ) ds d r( ) d sds d ds d

→ →

λ λ = + λ λ

Efectuando 2 32 2 2

2 2 2

d r( ) ds d r( ) ds d r( ) d s d r( ) d r( ) dsr '( ) r ''( )ds d ds d ds d ds ds d

→ → → → →→ →

λ λ λ λ λ λ × λ = × + = × = λ λ λ λ



3 3ds dsk( ) N( ) T( ) k( ) B( )d d

→ → → = λ ⋅ λ + λ = λ ⋅ λ ⇒ λ λ ( ) 3

r ' ( ) r '' ( )k

r ' ( )

→ →

→

λ × λλ =

λ

Para la curvatura de una curva dada por las ecuaciones x=x(λ), y=y(λ), z=(λ) obtenemos

( )( )

2 2 2 2

23 22 2 2 2

x '' y '' y '' z '' z '' x ''r ' ( ) r '' ( )

x ' y ' y ' z ' z ' x 'k

x ' y ' z 'r ' ( )

→ →

→

λ × λ + +

λ = = + + λ

Ejemplo:


, R∈λ . Hallar la curvatura en el punto P(0,-1,1)

Solución ( ) ( ) ( )21 ,2 3 , 0, 1,1 1.r −λ − λ λ = −λ ⇒ λ= =

( ) ( ) ( ) ( )r ' r ' 11, 3,2 1, 3,2− − λ ⇒λ = = − −

( ) ( ) ( ) ( )r '' r '' 10,0,2 0,0,2⇒λ = =

Curvatura en P

( )( )

( )( )3 3 3 3

r ' (1) r '' (1) 1, 3,2 (0,0,2) 6,2,0 40k(1)141, 3,2 1, 3,2r ' (1)

× − − × −= = = = =

− − − −

5343

Nota: La curvatura de una curva es, por definición, no negativa. Para las curvas planas resulta conveniente

asignar a la curvatura un signo. Esto se hace partiendo de que el vector r '( )λ

tangente a la curva gira al

desplazarse a lo largo de la curva en el sentido de los valores crecientes de λ. Según el sentido que gira el

vector r '( )λ

, la curvatura se considera positiva o negativa.



Fórmulas de la curvatura

1) Respecto al arco: ( )→

= )s(''rsk

2) Respecto a un parámetro cualquiera: ( ) 3

r ' ( ) r '' ( )k

r ' ( )

→ →

→

λ × λλ =

λ

Centro y radio de curvatura. Círculo osculador

La circunferencia que tiene un contacto de mayor orden posible con una curva r r( )= λ

en un punto

P se llama circunferencia osculatriz de r r( )= λ

en P .

Se denomina centro de curvatura y radio de curvatura de la curva r r( )= λ

en P al centro y al

radio de la circunferencia osculatriz en P.

Se considera la curva r r(s)=

donde s es el arco.

En un entorno del punto P de una curva consideramos una circunferencia cuyo radio es el de curvatura y el

centro de dicho circunferencia es: 00 0 2

0 0

r ''(s )1C P N(s ) r(s )k(s ) r ''(s )

= + = +

El valor 0

1k(s )

ρ = es el radio de curvatura en P.

Nota: obviamente 0k(s ) 0≠ para poder definir el centro de curvatura.

Círculo osculador: es el círculo intersección de la esfera de centro el centro de curvatura y radio el

radio de curvatura con el plano osculador.

Nota: Es frecuente hablar de círculo osculador al refe rirse a su circunferencia contorno, que se

denomina circunferencia osculatriz.

Ejemplo:


, R∈λ . Hallar el radio de curvatura, el centro de curvatura y

el círculo osculador en P(0,-1,1). Solución

El radio de curvatura es 1 15

343k

ρ = = =3435

El centro de curvatura es:

( ) 343 35 3 35 35C r(1) N(1) 0, 1,1 , ,5 35 35 7

→ = +ρ = − + =

7 16, ,85 5



El círculo osculador es la intersección de la esfera de centro C y radio ρ con el plano osculador

( )2 2

27 16 34385 5 5

3 1 0

x y z

x y

− + − + − = − + + =

TORSIÓN Torsión de una curva es la función que, en cada punto de la curva, mide el grado en que esta curva se

aparta de ser plana.

Expresión de la torsión en función del parámetro arco Se considera la curva r r(s)=

donde s es el arco.

Calculamos el producto mixto: r ' (s), r '' (s), r ''' (s) r ' (s) r '' (s) r ''' (s)→ → → → → →

= ⋅ ×

y ya que

( )r '' (s) k s N(s)→ →

= ⋅ , entonces ( ) ( )r ''' (s) k ' s N(s) k s N '(s)→ → →

= ⋅ + ⋅ y con ( ) ( )N '(s) k s T(s) s B(s)→ → →

= − ⋅ + τ ⋅ queda

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2r ''' (s) k ' s N(s) k s k s T(s) s B(s) k ' s N(s) k s T(s) k s s B(s)→ → → → → → →

= ⋅ + − ⋅ + τ ⋅ = ⋅ − ⋅ + τ ⋅

Por tanto, ( ) ( ) ( )3 2r '' (s) r ''' (s) k s B(s) k s s T(s)→ → → →

× = ⋅ + τ ⋅ , de donde,

( ) ( )2r ' (s) r '' (s) r ''' (s) k s s→ → →

⋅ × = τ ⇒

( ) ( )2

r ' (s) r '' (s) r ''' (s)s

k s

→ → → ⋅ × τ =

Expresión de la torsión en función de un parámetro cualquiera Se considera la curva r r( )= λ

donde λ es un arco parámetro cualquiera.

( ) 2 2

r ' ( ), r '' ( ), r ''' ( ) r ' ( ) r '' ( ) r ''' ( )

r ' ( ) r '' ( ) r ' ( ) r '' ( )

→ → → → → →

→ → → →

λ λ λ λ ⋅ λ × λ

τ λ = =

λ × λ λ × λ

Para la curvatura de una curva dada por las ecuaciones x=x(λ), y=y(λ), z=(λ) obtenemos



( ) 2 2 2

x ' y ' z 'x '' y '' z ''x ''' y ''' z '''

x '' y '' y '' z '' z '' x ''x ' y ' y ' z ' z ' x '

τ λ =

+ +

Fórmulas de la torsión

1) Respecto al arco: ( )( )2

r ' (s), r '' (s), r ''' (s)s B'(s) N(s)

k s

→ → →

→ →

τ = − ⋅ =

2) Respecto a un parámetro cualquiera: ( ) 2

r ' ( ), r '' ( ), r ''' ( )

r ' ( ) r '' ( )

→ → →

→ →

λ λ λτ λ =

λ × λ

Teorema

Es condición necesaria y suficiente para que una curva no rectilínea (k ≠ 0) sea plana el que τ = 0.

Ejemplo:


, R∈λ . Hallar la curvatura en el punto P(0,-1,1). ¿Se puede

deducir si se trata de una curva alabeada? Solución ( ) ( ) ( )21 ,2 3 , 0, 1,1 1.r −λ − λ λ = −λ ⇒ λ= =

( ) ( ) ( ) ( )r ' r ' 11, 3,2 1, 3, 2− − λ ⇒λ = = − −

( ) ( ) ( ) ( )r '' r '' 10,0,2 0,0, 2⇒λ = =

Utilizando la fórmula cuando el parámetro es el arco, la torsión en P es:

( ) 2

r ' (1), r '' (1), r ''' (1)1

r '(1) r ''(1)

→ → →

→ →τ =

×

( ) ( ) ( ) ( )'' '''0,0, 2 0,0,0r rλ λ= =⇒

independientemente del valor de λ . Por lo tanto, la torsión es nula en TODOS los puntos de la curva, no solo en P. Luego efectivamente se trata de una curva plana.



ECUACIONES INTRÍNSECAS Cuando una curva se define mediante una ecuación r r(s)=

, la forma de ésta depende de la elección del sistema de referencia, y sí la curva se desplaza conservando inalterada su forma, varía su ecuación respecto al sistema de coordenadas.

No es siempre fácil ver si dos sistemas de ecuaciones representan a la misma curva en distinto sistema

de referencia. Surge pues la cuestión de, si es posible, analizar una curva mediante una relación que sea independiente de las coordenadas, esto se puede conseguir, y una ecuación de éste tipo se llama “natural” o “intrínseca”.

Sin embargo, es posible caracterizar, salvo movimientos en el espacio, una curva por unas relaciones independientes del sistema de coordenadas.

Una relación entre la curvatura y la longitud del arco proporciona una ecuación intrínseca para una curva plana. Teorema: Dadas dos funciones continuas )(sk y )(sτ con 0>s existe una y sólo una curva cuya posición en el espacio queda sin embargo indeterminada para lo cual s es la longitud, k es la curvatura y τ es la torsión.

Se denominan ecuaciones intrínsecas de una curva a la curvatura y torsión expresadas en función del

parámetro arco, es decir:

k k(s)(s)

=τ = τ

Dichas ecuaciones definen de manera única la curva, salvo su posición en el espacio.

(Si el parámetro no es el arco, no son las ecuaciones intrínsecas)

La geometría intrínseca de una curva permite estudiar las propiedades de las curvas, que no

dependen de la parametrización concreta elegida, ni del sistema de coordenadas cartesiano

empleado para escribir sus ecuaciones.

Ejemplo:

Dada la curva ( ) ( )1,2cos ,4 2r senλ λ λ λ= − −

, R∈λ . Se pide:

a) Hallar una parametrización natural ( )r s

de dicha curva.

b) Hallar unas ecuaciones intrínsecas naturales de ( )r s

. Solución

a) Hallamos la longitud del arco s para un intervalo [0,λ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,2cos ,4 2 ' 1, 2s , 2 ' 5.r sen r en cos rλ λ λ λ λ λ λ λ= − − ⇒ = − − ⇒ =



0 0 0

s s 5s r '( ) r '( ) d r '( ) d d 55

55

→ → →λ λ λ= λ ⋅ λ λ = λ λ = λ = λ⇒ λ = =∫ ∫ ∫

Es decir, existe un cambio de parámetro admisible 5 05

ddsλ= ≠ y una parametrización natural de la

curva dada es:

( ) 5 5 51,2cos ,4 25 5 5

s s sr s sen

= − −

b) A partir de la parametrización natural obtenemos las expresiones de la curvatura y la torsión para un s

cualquiera, para ello calculamos las derivadas de primer, segundo y tercer orden:

( ) 5 2 5 5 2 5 5' , sen , cos5 5 5 5 5

r s s s

= − −

( ) 2 5 2 5'' 0, cos , sin5 5 5 5

r s s s

= −

( ) 2 5 5 2 5 5''' 0, sin , cos25 5 25 5

r s s s

=

, luego:

( ) ( )2 4'' ''25

= ⋅ = ⇒ =k r s r s k 2

5,

( ) ( ) ( )( )2

' '' '''⋅ ×= =

r s r s r s

kτ

15

−

Obtención de una curva plana a partir de su curvatura

Sea una curva plana, 𝜏𝜏=0, que por comodidad situamos en el plano z=0 y sean ( )r(s) x(s), y(s),0→

=

unas ecuaciones paramétricas, siendo s el parámetro arco.

( )dx dyT(s) r '(s) , cos ,sends ds

→ → = = = ϕ ϕ ⇒

dk(s) d k(s)dsdsϕ

= ⇒ ϕ = ,

si integramos respecto de s:

0 0 0

s s s

0 0s s sd k(s)ds k(s)dsϕ = ϕ−ϕ = ⇒ ϕ = ϕ +∫ ∫ ∫

Conocido un punto de la curva (condiciones iniciales s= s0, es decir, ( )0 0 0r(s ) x(s ), y(s ),0→

= y al ser (ver gráfica)

sen φ φ

cos φ

φ

T(s) = r´(s)



0 0 0

0 0 0

x s s

0x s s

y s s

0y s s

dx cos (s) dx cos (s) dx cos (s)ds x x cos (s)dsdsdy s en (s) dy s en (s) dy sen (s)ds y y s en (s)dsds

= ϕ ⇒ = ϕ ⇒ = ϕ ⇒ = + ϕ = ϕ ⇒ = ϕ ⇒ = ϕ ⇒ = + ϕ

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Ecuaciones intrínsecas de la Elipse

PA= Normal

De la ecuación de la elipse:2 2

2 2

x z 1a b

+ =

Derivando:

2 2

2x 2zz 0a b

′+ = ⇒

2

2

b xza z

′ = − ⋅ (1)

A partir de la definición de derivada:

( )t g(90 ) z cot g′+ ϕ = = − ϕ (2) De (1) y (2):

( )2

2

b xcot ga z

ϕ = ⋅ ⇒ ( )2

2

bz x t ga

= ⋅ ⋅ ϕ (3)

La expresión de la excentricidad de la elipse viene dada por:

2 22

2

a bea−

= ⇒2

22

b 1 ea

= −

El aplanamiento o achatamiento viene dado por la expresión:

a bfa−

=



Sustituyendo en (3):

2z x (1 e ) t g( )= ⋅ − ⋅ ϕ (4) Sustituyendo este valor en la expresión de la elipse:

( )2 2 2 22

2 2 2

x (1 e ) t gx 1a a (1 e )

⋅ − ⋅ ϕ+ =

− ( )

( )

2 22

2 2

1 e senx 1a cos

− ϕ= ϕ

( )( )2 2

a cosx

1 e sen

ϕ=

− ϕ

Sustituyendo en la expresión (4) se obtiene:

( )( )

2

2 2

a(1 e )senz

1 e sen

− ϕ=

− ϕ

Las ecuaciones en función de ϕ que definen la elipse son :

( )( )( )( )

2 2

2

2 2

a cosx

1 e sen

a(1 e )senz

1 e sen

ϕ=

− ϕ

− ϕ = − ϕ

De la figura:

( )2 2

aN1 e sen

=− ϕ

Fórmulas Geometría Diferencial -...

Documents

Transcript of Fórmulas Geometría Diferencial -...