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Distribuciones discretas y continuas

U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Estadística 1

1.- La luz verde de un semáforo está encendida 15 s cada vez, el ámbar 5, y la roja 55 s. Suponiendo que las condiciones de tráfico inducen variaciones aleatorias en los tiempos de llegada de los automóviles, de formar que “llegar cuando el semáforo está verde” es un suceso aleatorio. Calcular la función de probabilidad de éxitos en 4 pruebas independientes.

2.- En un taller hay 10 máquinas iguales, se ha visto que una máquina determinada un día de cada 5 está averiada. a) Si es de 500 € la perdida diaria ocasionada por tener una máquina averiada, calcular la perdida media diaria. b) La probabilidad de que un cierto día no se encuentre ninguna máquina averiada.

3. Sabiendo que la probabilidad de que un estudiante de segundo de Topografía terminela carrera es 0.8, calcular: a) Probabilidad de que un grupo de 20 alumnos terminen 16. b) Si dividimos a los alumnos de segundo en grupos de 20, ¿cuál será el número mediode alumnos por grupo que terminarán la carrera? c) Varianza de la distribución.

4.- Al inspeccionar 100 juntas de soldaduras producidas por una máquina de soldar se encontraron 10 defectuosas. Al soldar 5 uniones, ¿cuál es la probabilidad de encontrar al menos una defectuosa? Calcular la media.

5.- Se supone que el n° de bacterias por mm3 de agua en un estanque es una variable aleatoria que sigue una distribución Poisson de parámetro λ = 1. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya bacterias en 1 mm3 de agua?

6.- Se sabe que la probabilidad de que un alumno anote mal un dato en una medición es 0.0002, en una lista de 2000 datos. Determinar: A) El tipo de distribución. B) La probabilidad de que existan exactamente 4 datos incorrectos. C) El número medio de datos mal anotados.

7. Por un punto de una carretera pasan vehículos de acuerdo con la distribución dePoisson, a razón de seis vehículos por minuto. Hallar: A) Probabilidad de que transcurran 20 segundos y pasen más de 5 vehículos. B) Si un peatón tarda 10 segundos en cruzar la carretera, calcular la probabilidad de que no pase ningún vehículo.

8.- El ordenador que realiza las 1000 nóminas de una empresa efectúa en cada una de ellas un redondeo al número entero más próximo. Se supone que el redondeo en el importe de cada nómina produce un error que sigue una distribución uniforme entre –0.5 y 0.5 euros. Calcular la probabilidad de que la suma del importe de 1000 nóminastenga un error total entre –20 y 20 euros.

9.- Sabiendo que los errores de observación, X, de una determinada magnitud siguen una distribución N(0,1.5), calcular: a) Probabilidad de que al hacer una observación el error sea mayor que 0,5. b) El error x tal que ( )P X x 0.95< =



10.- Un proceso de fabricación tiene tres fases consecutivas de tal manera que la duración en minutos de cada una de ellas viene dada, respectivamente, por las siguientes

variables aleatorias independientes: N(50,5), N(70,3) y N(80, 2 ). a) ¿Cuál es la duración total media del proceso? b)¿Cuál es la probabilidad de que el proceso tenga una duración total inferior a 215 minutos? c) Determinar con probabilidad del 0.97 el tiempo máximo que puede durar el proceso.

11.- Los cierres de triángulos de una red están normalmente distribuidos con media 1 y desviación típica 2. Calcular la probabilidad de que un cierre sea: a) mayor que 2. b) mayor que 1 y menor que 2. c) negativo. d) en valor absoluto menor que 1.

12.- Sabiendo que la demanda aleatoria de teodolitos durante un día en una fábrica sigue una distribución N(70,3), calcular: a) Probabilidad de vender más de 60 teodolitos. b) Número de teodolitos que debe fabricar cada día para satisfacer la demanda el 95% de los días.

13.- Se tiene una variable aleatoria X, de la que se conoce que sigue una distribución chi-cuadrado, con 3 grados de libertad. Se pide: a) La moda b) La mediana

14.- Una niña coge todos los días el autobús para ir al colegio en una parada que está frente a su casa. El tiempo de espera diaria es una variable aleatoria con distribución

nχ2 de media 5 minutos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de espera sea

inferior a 5 minutos? b) ¿Cuál es el tiempo de espera máxima con probabilidad 0,5?

15.- Cada una de las tres coordenadas de un punto P del espacio son v. a. con distribución N(0,1). Calcular: a) Probabilidad de que el cuadrado de la distancia de dicho punto al origen de coordenadas sea mayor que 0.35. b) Media del cuadrado de la distancia al origen.

16.- Se tiene una variable aleatoria X, de la que se conoce que sigue una distribución chi-cuadrado, con 6 grados de libertad. Se pide: a) Probabilidad de que la variable tome un valor inferior a 3. b) Probabilidad de que la variable tome un valor comprendido entre 4 y 5. c) El valor del primer cuartil.

17.- El peso medio de los estudiantes varones de una universidad es de 68 kg y la desviación típica es de 10 kg. Suponiendo que hay 500 y están distribuidos normalmente, hallar el número de estudiantes que: a) pesan entre 48 y 72 kg. b) más de 91kg.



c) exactamente 68 kg (Los pesos de los quinientos estudiantes fueron redondeados al entero más próximo).

18.- Una empresa decide otorgar un premio entre los distribuidores si venden trescientos veinte o más productos por día. El número de productos vendidos al día por los distribuidores A y B está normalmente distribuido de la forma siguiente:

Distribuidor Media Varianza A 290 400 B 300 100

Se pide: a) ¿Qué porcentaje de los días obtendrá premio el distribuidor A? b) ¿Qué porcentaje de los días obtendrá premio el distribuidor B? c) Si se asocian los distribuidores A y B. ¿Qué porcentaje de los días obtendrían

premio?

19.- Se sabe que una fábrica produce un 4 por mil de artículos defectuosos. Se piden cinco artículos a la fábrica. ¿Cuál es la probabilidad de que haya uno defectuoso? Y de que haya al menos uno defectuoso.

20.- Se supone que en un determinado país el número de individuos albinos sigue una distribución de Poisson de parámetro 5λ = . Calcular la probabilidad de que elegida una muestra de la citada población, se presenten los siguientes casos:

a) Ningún individuo sea albino. b) Halla menos de dos individuos albinos. c) Al menos se encuentren 3 individuos albinos.

21.- La media del número de libros leídos al cabo de un año por los habitantes de una ciudad determinada es 15 y la desviación típica 2.5. Si la distribución se considera normal, calcular: a) Porcentaje de personas que leen menos de 11 libros al año. b) Porcentaje de personas que leen más de 20 libros al año. c) Porcentaje de personas que leen más de 7 libros y menos de 12 libros al año. d) Valores que hay que tomar a ambos lados de la media, y a igual distancia, para que el área correspondiente bajo la curva sea igual a 0.5. e) Número de libros que ha de leer, como mínimo, una persona para que esté situada entre el 80% de los que mayor número de libros leen al año.

22.- Sabiendo que la mortandad de las orugas a las 48 horas de aplicarles los insecticidas Actelic y Metoxidoro se distribuyen según N(28,4.5) y N(58,4.9) respectivamente. Se pide: a) Probabilidad de que mueran menos de 20 orugas en 48 horas al aplicarles Actelic. b) Probabilidad de que la diferencia de orugas muertas entre los dos grupos

Metoxidoro y Actelic sea mayor que 40.



23.- La función de densidad de una nχ de Pearson es ( )

n1

x2-

2n

2

xf (x) e si x 0

n2 2

−

= ≥Γ

a) Calcular la moda según los valores de n. b) Calcular la mediana para n=10.

24.- Una línea eléctrica se avería cuando la tensión T sobrepasa la capacidad C de la línea. Si la tensión sigue el modelo de una distribución N(100,20) y la capacidad según una distribución N(140,10), se pide: a) La probabilidad de que la tensión supere el valor de 150. b) El intervalo de valores alrededor de la media con el 95% de la distribución de la capacidad. c) La probabilidad de avería.

25.- En un proceso de fabricación de productos en vidrio ocurren defectos o burbujas. Se sabe que, en promedio, uno de cada 1000 de estos artículos tiene una o más burbujas. Para una muestra aleatoria de 8000 productos, se pide: a) Probabilidad de que tenga menos de siete artículos con burbujas. b) Mediana de la distribución. c) Varianza de la distribución.

26.- La altura en centímetros de los habitantes de una comunidad es una variable aleatoria X N(175,10)≡ . Para ser admitido como militar se debe tener un altura entre 165 y 200 y para pertenecer al cuerpo de zapadores se exige además una altura mayor de 190 cm. Se pide: a) Probabilidad de que un habitante cualquiera sea soldado. b) Probabilidad de que un habitante cualquiera sea zapador. c) Probabilidad de que un soldado cualquiera sea zapador. d) El intervalo de valores alrededor de la media con el 95% de la distribución.

27.- El tiempo necesario para realizar un examen sigue una distribución normal de media 100 minutos y de desviación típica 10 minutos. Sabiendo que el examen empieza a las 11horas 30 minutos. Se pide: a) La probabilidad de que un alumno acabe antes de las 12h 30m. b) La probabilidad de que un alumno acabe después de las 13h. c) El tiempo máximo que debe fijar un profesor para que acaben el 90% de los alumnos. d) Si se examinan 10 alumnos, la probabilidad de que al menos uno de ellos acabe el examen antes de las 13h.

28.- Una prueba del examen de Estadística consiste en un cuestionario de 10 preguntas con tres posibles respuestas, solamente una de ellas correcta. Si contestamos a todas las preguntas de manera aleatoria, calcular: a) La probabilidad de aprobar, es decir, contestar correctamente, al menos 5 de las 10 preguntas. b) La probabilidad de no contestar bien a ninguna de ellas.



29.- El contenido de una lata de refresco se distribuye normalmente con una media µ=33 cl y desviación típica σ=1cl. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el contenido de una lata sea superior a 34 cl? b) Si tenemos 3 latas, ¡cuál es la probabilidad de que él contenido total sea inferior a 100 cl? c) ¿Qué contenido de refresco máximo le corresponde una probabilidad 0,68?

30.- Se tiene una variable aleatoria X, de la que se conoce que sigue una distribución chi-cuadrado, con 3 grados de libertad. Obtener la mediana.

31.- La probabilidad de que un alumno resuelva cualquier problema es 0,8. El examen consiste en resolver 7 problemas. Si contesta bien a 4 o más problemas aprueba, pero si contesta solamente a 3 problemas tiene la posibilidad de hacer un examen de repesca, calcular: a) La probabilidad de aprobar. b) La probabilidad de realizar un segundo examen.

32.- Un servidor de una pequeña red de ordenadores recibe una media de 7 accesos al minuto. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que reciba más de 10 accesos en un minuto. b) Probabilidad de que en un minuto reciban exactamente 7 accesos. c) Varianza de la distribución.

33.- Sabiendo que la demanda diaria de un artículo X en una fábrica sigue una distribución N(600, 25), calcular:

a. Probabilidad de vender menos de 550 artículos X en un determinado día. b. Número de artículos X que se debe fabricar para satisfacer la demanda el 90%

de los días. c. Porcentaje de días que venderá 600 artículos X.

34.- Dada una distribución 23χ calcular el valor de la abscisa que corresponde al área

sombreada del gráfico cuyo valor es 0,05:



35.- Sabiendo que la probabilidad de que un estudiante de la ETSITGC termine la carrera es 0,7. Calcular: a) Probabilidad de que en un grupo de 10 alumnos terminen 7. b) Si empiezan la carrera un grupo de 10 alumnos, ¿cuál será el número medio de alumnos que terminarán la carrera?

36.- A un hospital llegan, de media, 1 persona por minuto. Calcular: a) Probabilidad de que no llegue ninguna persona en 1 minuto. b) Probabilidad de que lleguen al menos dos personas en un minuto. c) La mediana de la distribución número de personas que llegan en un minuto. d) Varianza de la distribución.

37.- Si el 5% de las piezas fabricadas por una determinada marca son defectuosas. En un lote de 20 piezas, calcular el número máximo de piezas defectuosas que se podrá garantizar con una probabilidad del 90%.

38.- Suponiendo que cada niño tiene una probabilidad de 0.49 de ser varón. Calcular la probabilidad de que una familia de 5 hijos: a) Tenga dos niños. b) Tenga al menos un niño. c) Tenga una niña. d) Tenga al menos una niña.

39.- La probabilidad de que un vehículo con más de 10 años pase con éxito la I.T.V. es de 4/5. a) Hallar la probabilidad de que exactamente dos de los siguientes 4 vehículos con más de diez años que se inspeccionen pasen la prueba con éxito. b) Hallar la probabilidad de que al menos pase la prueba un vehículo de los siguientes 4 vehículos con más de diez años.

40.- Por término medio se reciben tres accesos a una página web durante un minuto cualquiera, utilizar el modelo de Poisson para calcular la probabilidad de que en un minuto cualquiera: a) Nadie acceda a la página. b) Se reciban más de dos entradas en un minuto.

41.- El promedio de la frecuencia con la que llegan los coches a un determinado peaje es de cinco coches en 20 minutos. Calcular la probabilidad de que:

a) No llegue ningún coche en un periodo de 20 minutos. b) Llegue solo un coche en un periodo de 20 minutos.

42.- Calcular la media y la varianza de una variable aleatoria binomial de parámetros n=15 y p=0.4, es decir X es B(15, 0.4). Calcular ( )P Xµ − σ ≤ < µ + σ .



43.- La cantidad diaria de latas de refresco, despachado por una máquina ubicada en la sala de espera de un aeropuerto es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo [60, 100]. Calcular: a) Calcular la función de distribución. b) La probabilidad de que un día determinado la cantidad de latas de refresco despachadas por la máquina sea de más de 74 pero menos de 95 latas. c) La probabilidad de que un día determinado la máquina despache más de 75 latas.

44.- Un fabricante de acero cree que una de las máquinas de rolado está produciendo láminas de metal con espesores variables. El espesor es una variable aleatoria uniforme con valores entre 150 y 200 milímetros. Cualquier lámina que tenga menos de 160 milímetros de espesor deberá desecharse, pues no es aceptable por los compradores. a) Calcular el espesor medio y la desviación típica de las láminas. b) Representar la función de densidad y la de distribución. c) Calcular la proporción de láminas producidas por esta máquina que se desechan.

45.- El peso de un limón está distribuido según una distribución N(125, 10) en gramos. ¿Cuál es la probabilidad de que una caja con 50 limones pese menos de 6 kg? Si llenamos bolsas de ocho limones, ¿cuál es la probabilidad de que las bolsas pesen entre 975 y 1025 gramos?

46.- El consumo diario de una determinada marca de frigoríficos medido en kw/h, es una variable aleatoria normal. El 25% de los días consume menos de 2.25 kw/h, y el 80% de los días consume menos de 2.7 kw/h. ¿Cuál es la media y varianza del consumo diario del frigorífico?

47.- Al finalizar las pruebas de selectividad, uno de los tribunales comprobó que de 250 alumnos presentados, 200 obtuvieron una calificación inferior a 6. Supuesta normal la distribución de las calificaciones, con una desviación típica de 2.5, se pide: a) Calcular la media de las calificaciones. b) Si se considera suspenso a los que han obtenido una calificación inferior a 5, qué tanto por ciento de suspensos habrá habido. c) ¿Cuántos alumnos obtuvieron una nota igual a 6?

48.- El etíope Bekele, posee la mejor marca mundial y puede correr la prueba de los 2000 metros en un tiempo distribuido según una N(4:52.86, 0:03.00). Su contrincante el keniano S. Morir puede hacer esa misma distancia en un tiempo según una distribución N(4:55.72, 0:02.00). Bekele estableció la mejor marca mundial parando el crono en 4:49.99. a) ¿Qué probabilidad tenía de establecer dicha marca? b) ¿Cuál es la probabilidad de que Bekele ganase a S. Morir? c) ¿Cuál es la probabilidad de que ganase en caso de perder 3 segundos por hacer una mala salida?

49.- Un estudio demostró que los tiempos de vida de cierta clase de baterías de automóvil se distribuye normalmente con una media de 1248 días y una desviación típica de 185 días. Si el fabricante desea garantizar sus baterías por 36 meses, ¿qué porcentaje de baterías deberán ser cambiadas estando en vigor la garantía?



50.- En una carrera de Fórmula 1, el consumo de combustible de un determinado vehículo sigue una distribución 2

3χ por vuelta. Cuando quedan 20 vueltas para el final de

la carrera, entra el vehículo a repostar. ¿Cuál es la cantidad mínima de combustible que tiene que repostar para que la probabilidad de que acabe la carrera sea mayor de 0.95?

51.- Calcular las siguientes probabilidades

( )221P 13.24>χ ( )2

6P 1.55≤χ . ( )221P 29.6 33.6< <χ

( )29P 0.05> χ =χ ( )2

9P 0.10< χ =χ ( )221P 20.6 0.4< < χ =χ

( )8P 0. ;t 262< ( )10P 0.26 0 ;t .879≤ < ( )8P t 9;t 0.< = ( )10P 0. 0t26 t .4≤ < =

52.- La media del número de errores de ortografía por página es 3. Calcular la probabilidad de que: a) En una página existan exactamente dos errores. b) En una página existan al menos dos errores. c) En cinco páginas existan exactamente doce errores.

53.- Un examen consta de 4 problemas, la probabilidad de que un alumno resuelva bien cualquier problema es 0,8. a) Obtener la función de probabilidad de la variable aleatoria X=”número de problemas resueltos bien”. b) Hallar la probabilidad de realizar bien, al menos, dos problemas. c) ¿Cuál será la moda?

54.- La longitud L en milímetros de las piezas fabricadas en un proceso es una variable aleatoria que se distribuye según una N(10,0.1). Se pide: a) P(9.5<L<10.5) b) El valor x tal que P(L<x)=0.975

55.- En la fabricación de un cierto tipo de piezas se sabe que el 2% son defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 10 piezas haya: a) 2 defectuosas? b) ninguna defectuosa? c) menos de 2 defectuosas?

56.- El coeficiente de inteligencia de los universitarios tiene de media 110 y la desviación típica 15. Si la distribución se considera normal, calcular: a) Porcentaje de estudiantes con coeficiente mayor de 110 y menor de 120. b) El coeficiente mínimo, para que un estudiante sea superdotado. Se denomina superdotados a aquellos que poseen un cociente intelectual que se encuentran por encima del 98% de la población.

57.- En cierto gimnasio se ha comprobado que de los matriculados días después de Navidades el 30% de ellos no vuelven pasado el mes de enero y el 70% restante



permanecen todo el año. Si suponemos que este año, se inscriben 100 alumnos días después de Navidades. Respecto de los inscritos después de Navidades

a) Identificar la variable aleatoria del problema e indicar qué distribución sigue.b) ¿Cuál es la probabilidad de que 25 o menos no vuelvan pasado enero?c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 30 alumnos no vuelvan pasado

enero? d) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 35 alumnos no vuelvan pasado enero?

Al hacer la inscripción realizan un ́único pago anual de 750 euros. Cada alumno que permanece todo el año genera un gasto anual de 120 euros (se considera que los alumnos que permanecen menos de un mes no generan gasto).

e) ¿Cuál es el beneficio anual esperado?

58.- Supongamos que el 5% de la población que ingresa en los hospitales de Madrid por urgencias tiene menos de 9 años. Supongamos, también, que el número de ingresos es suficientemente grande como para que al elegir un usuario al azar y apartarlo, no se altere dicho porcentaje. Se eligen al azar 16 enfermos ingresados por urgencias. Calcular:

a) La probabilidad de que ninguno de ellos tenga menos de 9 años.b) La probabilidad de que 3 o menos ingresados tengan menos de 9 años.c) La probabilidad de que tengan menos de 9 años menos de 3 ingresados.d) La probabilidad de que tengan menos de 9 años más de 2 ingresados.e) La probabilidad de que tengan menos de 9 años 2 ingresados o más.f) La probabilidad de que el número de ingresados con menos de 9 años este

comprendido entre 2 y 5 ambos inclusive.g) El número medio de ingresados con menos de 9 años.h) La desviación típica de ingresados con menos de 9 años

59.- El tiempo en minutos de un viaje (ida y vuelta) de los camiones que transportan material hacia una obra de construcción en una carretera, está distribuido uniformemente en un intervalo de 50 a 70 minutos. a) Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea mayor a 65 minutos?b) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea menor a 65 minutos?c) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea exactamente 65 minutos?d) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea mayor a 65 minutos si sesabe que la duración del viaje es mayor que 55 minutos? e) Determinar el tiempo medio y la desviación estándar de la duración de los viajes.

60.- Un estudio de la DGT estima que el número de horas prácticas necesarias para la obtención del permiso de conducir sigue una distribución N(24, 3).

a) ¿Qué probabilidad hay de obtener el permiso de conducir con menos de 20 horasde prácticas?

b) ¿Cuántas horas de prácticas ha necesitado un conductor para obtener el permisosi el 68% de los conductores ha necesitado más horas que él?

Si la autoescuela ingresa por alumno una parte fija en concepto de matrícula de 300 euros, más 25 euros por hora de práctica.

c) Calcular el ingreso por alumno esperado.d) Calcular la desviación típica del ingreso por alumno.



61.- Para una distribución N(9, 2), calcular:

a) El valor del percentil 60. a) El valor del primer cuartil. b) Valores centrales entre los que queda comprendido el 40% de las observaciones.

62.- Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a una oposición, se distribuyen normalmente con media 6,5 y varianza 4. a) Calcular la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos. b) Calcular el porcentaje de aspirantes con calificaciones inferiores a 5 puntos. c) ¿Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 7.5?

63.- De una distribución normal se conoce: El percentil 70 es igual a 88 y 0.27 la probabilidad de que la variable tenga un valor inferior a 60. Hallar los parámetros que definen esta distribución normal.

64.- Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes:

a) ( )26P 4 pχ ≤ = ; b) ( )2

6P 3 pχ > = ; c) ( )26P 3.5 5.9 p≤ < =χ ; d) ( )2

7P 4 pχ ≤ =

65.- Calcular el valor, x, de la variable que verifica: a) ( )2

5P x 0.90<χ = ; b) ( )25P x 0.05>χ = ; c) ( )2

5P x 0.975≥ =χ ; d) ( )25P x 0.975< =χ

e) ( )25P x 5 0.045< < =χ ; f) ( )2

6P x 0.95<χ = ; g) ( )26P x 0.05>χ = ;

h) ( )27P x 0.975≥ =χ ; i) ( )2

7P x 0.975< =χ

66.- Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes: a) ( )9P 0 pt .3≤ = ; b) ( )9P t 1 p< − = ; c) ( )15P 2 pt .5> = ; d) ( )7P t 2 p> − =

( )10te) P 0.75 1.25 p≤ < = ; ( )15f ) P 3 pt .75 ;> =

( )11g) P 1.75 t 1.25 p− ≤ < =

67.- Calcular el valor, x, de la variable que verifica: a) ( )5P x 90t 0.< = ; b) ( )5P x 05t 0.< = ; c) ( )5P t x 0.975≥ = ; d) ( )5P t x 0.975< = ;

e) ( )5P 0.tx x 05− < < = ; f) ( )5P x 1.75 0 0t . 45< < = ; e) ( )6P x 95t 0.< = ;

f) ( )6P x 05t 0.< = ; g) ( )6P t x 0.975≥ = ; h) ( )6P 0.tx x 05− < < =

68.- En un sondeo sobre la actitud de los clientes hacia un determinado producto se encuentra que hay un 70% de clientes que están a favor. Si se extrae una muestra aleatoria de 10 sujetos obtener las probabilidades siguientes:

a) Que 3 clientes estén a favor. b) Que más de 3 clientes estén a favor. c) Que menos de 3 clientes estén a favor. d) Que como máximo 3 clientes estén a favor. e) Que como mínimo haya 6 clientes a favor.



f) Que estén a favor al menos el valor esperado de clientes que están a favor. g) Probabilidad de que estén en contra 4 o más clientes. h) ¿Qué cantidad de clientes le corresponde al percentil 85?

69.- El contenido de un bote de cerveza se distribuye normalmente con media 33 cl y desviación estándar 3 cl.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un bote determinado tenga más de 34 cl? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un determinado bote tenga menos de 30 cl? c) En un envase de 6 botes ¿cuál es la probabilidad de que el contenido líquido total

sea inferior a un litro y tres cuartos?

70.- Solo 24 de los 200 alumnos de una Escuela Técnica miden menos de 168 cm, si la estatura media de dichos alumnos es de 174 cm, ¿cuál es la varianza en las estaturas?

71.-La probabilidad de curación de un determinado tratamiento quirúrgico es 0.65. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que en un grupo de 10 enfermos se curen la mitad. b) La probabilidad de que al menos se curen dos. c) Mediana.

72.- Las ventas mensuales de dos tiendas de ordenadores siguen distribuciones X ≡N(120,8) e Y ≡ N(50,6). Calcular la probabilidad de que: a) La primera, X, venda 100 o más ordenadores. b) La segunda, Y, venda menos de 40 ordenadores. c) Entre ambas vendan entre 150 y 180 ordenadores.

73.- En un estudio sobre la preferencia de los clientes hacia una determinada marca X se ha obtenido que el 40% de los clientes tienen la marca X como su marca favorita. Si se extrae una muestra aleatoria de 8 sujetos obtener las probabilidades siguientes:

a) Que 2 clientes tengan la marca X como su marca favorita. b) Que menos de 3 clientes tengan la marca X como su marca favorita. c) Que como máximo 3 clientes tengan la marca X como su marca favorita. d) Que como mínimo haya 5 clientes que tengan la marca X como su marca

favorita. e) Calcular la media y varianza.

74.- El contenido de un bote de zumo se distribuye normalmente con media 33 cl y desviación estándar 1 cl.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un bote determinado tenga 1. Exactamente 33 cl? 2. Al menos 33.5 cl? 3. Menos de 32 cl? 4. Entre 32 y 34 cl?

b) Calcular la cantidad de centilitros que corresponden, respectivamente, a los percentiles P95, P5 y la mediana.

c) En un envase de 3 botes ¿cuál es la probabilidad de que el contenido líquido total sea inferior a un litro?



75.- a) Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes:

1) ( )27P 3 pχ ≤ = ; 2)

( )2

7P 3 pχ ≥ = ; 3) ( )27P 7 pχ ≤ = ;

4) ( )8P t 2 p> = ; 5) ( )8P t 2 p< = ; 6) ( )8P 1 1t p− < < =

b) Calcular el valor, x, de la variable que verifica:

1) ( )25P x 0.95<χ = ; 2) ( )2

5P x 0.05<χ =

3) ( )6P x .t 0 1≥ = ; 4) ( )6P x .t 0 1< =

76.- Se ha realizado un examen de tipo test con un gran número de preguntas. Las puntuaciones finales del test se dan sobre 50 puntos (enteros del 0 al 50). Las puntuaciones finales en actas son redondeadas al entero más próximo a partir de las puntuaciones reales, esto es, obtienen 12, por ejemplo, los alumnos con nota en el intervalo [11.5, 12.5). Para aprobar el examen se exige una puntuación de 25. Si suponemos que las puntuaciones antes de ser redondeadas siguen una distribución normal de media 30 y varianza 25:

a) ¿Qué puntuación máxima (no redondeada) delimita el 22% de las notas más bajas?

b) ¿Qué puntuación mínima (no redondeada) delimita el 20% de las notas más altas?

c) ¿Qué porcentaje de alumnos aparecerán en las actas de notas finales (redondeadas) con 25 puntos exactamente?

d) ¿Cuál será el porcentaje de suspensos en actas (notas finales redondeadas)?

77.- En un parque eólico la distancia entre aerogeneradores situados linealmente sigue el modelo de una distribución N(150, 0.4) metros. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que dos aerogeneradores vecinos:

a1) Tengan una separación menor que 149. a2) Tengan una separación comprendida entre 149.5 y 149.9. a3) Tengan una separación mayor que 149.9.

b) Cuartiles de la distribución.

78.- El tiempo en minutos que tarda un atleta en recorrer 100 metros sigue una distribución Normal, N(10,0.5). En una carrera por relevos de 4x100 metros, ¿cuál es la probabilidad de batir el record establecido en 37 segundos? Determinar con probabilidad del 0.95 el tiempo máximo que puede durar la carrera.

79.- El Departamento de Transportes de un cierto país ha determinado que la licitación ganadora (baja) y en euros por contrato de reparación de carreteras, tiene una

distribución uniforme con función de densidad: 3 2k

si x 3kf (x) 7k 3

0 en otro caso

≤ ≤ =

donde k es la estimación que hace el Departamento sobre el coste de la reparación. a) Calcular la media y la desviación típica. b) ¿Qué porcentaje de las licitaciones ganadoras están por debajo de la estimación



del Departamento de Transportes? c) ¿Qué porcentaje de las licitaciones ganadoras están 1,5 veces por encima de la estimación del Departamento de Transportes?

80.- Un determinado componente electrónico tiene una vida útil (tiempo hasta rotura), T en años, que se distribuye según una distribución de Poisson de media cuatro años. a) Calcular la función de probabilidad de la variable aleatoria T. b) Calcular la probabilidad de que el componente electrónico falle antes de tres años. c) ¿Cuál será la vida útil del 95% de estos componentes electrónicos? d) Calcular la probabilidad de que un componente electrónico que ha funcionado ya

más de cuatro años tenga una vida útil mayor de siete años.

8 1 . - En un ascensor se permite subir 8 personas. Se sabe que el peso de una persona es una variable aleatoria N(65,17). Si el límite de seguridad del ascensor es de 650 kg, calcular la probabilidad de que con 8 personas se supere el límite de seguridad.

82.- Supongamos que el tiempo que transcurre, en minutos, entre dos llegadas consecutivas del metro a una estación es una variable aleatoria, T, con función de densidad f(t)=1/4e-0,25t si t>0. Se pide:

a) E[T] e interpretación. b) Probabilidad de que el tiempo entre dos llegadas consecutivas sea mayor que 6

minutos. c) Si realizamos mediciones cinco veces en un día, ¿qué probabilidad tenemos de

que se obtenga 3 mediciones que superen los 6 minutos? d) Si realizamos mediciones cinco veces en 4 días, ¿qué probabilidad tenemos de que

en 2 de esos días se obtenga 3 mediciones que superen los 6 minutos? e) Si realizamos mediciones cinco veces durante 200 días, ¿qué probabilidad

tenemos de que en ninguno de esos días se obtenga 3 mediciones que superen los 6 minutos? Encontrar la respuesta con la distribución de Poisson correspondiente. ¿Se puede usar la distribución Normal?

83.- En un bar observan que tiene una venta media de 2500 latas de cerveza a la semana. ¿Cuántas debe de tener almacenadas para tener una probabilidad de 0,75 o más de poder satisfacer la demanda de la próxima semana? a) Considerar la distribución de Poisson. b) Considerar la distribución Normal ajustada de la anterior.



1.- La luz verde de un semáforo está encendida 15 s cada vez, el ámbar 5, y la roja 55 s. Suponiendo que las condiciones de tráfico inducen variaciones aleatorias en los tiempos de llegada de los automóviles, de formar que “llegar cuando el semáforo está verde” es un suceso aleatorio. Calcular la función de probabilidad de éxitos en 4 pruebas independientes. Solución: La probabilidad de éxito llegar será:

15 1

p15 5 55 5

= =+ +

En 4 pruebas tenemos una distribución B(4,1/5)

P(X = k) =n

k

p qk n k. − =

k 4 k4 1 4

k 5 5

−

P(X = 0) =0 4 04 1 4

0.40960 5 5

− ≈

P(X = 1) =1 4 14 1 4

0.40961 5 5

− ≈

P(X = 2) =2 4 24 1 4

0.15362 5 5

− ≈

P(X = 3) =3 4 34 1 4

0.02563 5 5

− ≈

P(X = 4) =44 1

0.00164 5

≈



2.- En un taller hay 10 máquinas iguales, se ha visto que una máquina determinada un día de cada 5 está averiada. a) Si es de 500 € la perdida diaria ocasionada por tener una máquina averiada, calcular la perdida media diaria. b) La probabilidad de que un cierto día no se encuentre ninguna máquina averiada. Solución: Consideramos la variable aleatoria X=”número de máquinas averiadas en un día” Tenemos una distribución B(10,1/5)

P(X = k) =n

k

p qk n k. − =

k 10 k10 1 4

k 5 5

−

a) Cuya media es

1

E[X] np 10 25

= = = ⇒ Perdida igual a 2 por 500=1000€

b) P(X = 0) =0 10 010 1 4

0 5 5

− ≈

0.1073741824



3. Sabiendo que la probabilidad de que un estudiante de segundo de Topografía termine la carrera es 0.8, calcular: a) Probabilidad de que un grupo de 20 alumnos terminen 16. b) Si dividimos a los alumnos de segundo en grupos de 20, ¿cuál será el número medio de alumnos por grupo que terminarán la carrera? c) Varianza de la distribución.

Solución: Consideramos la variable aleatoria X=”número de alumnos que terminan la carrera” Tenemos una distribución B(20,0.8)

P(X = k) =n

k

p qk n k. − = ( )20 kk20

0,8 1 0,8k

− −

a) P(X = 16) = ( )20 1616200,8 1 0,8

16−

− ≈

0,2181994019

b) Cuya media es E[X] np 20 0,8= = ⋅ = 16 c) Cuya varianza es

V[X] npq 20 0,8 0,2= = ⋅ ⋅ = 3,2



4.- Al inspeccionar 100 juntas de soldaduras producidas por una máquina de soldar se encontraron 10 defectuosas. Al soldar 5 uniones, ¿cuál es la probabilidad de encontrar al menos una defectuosa? Calcular la media. Solución: Consideramos la variable aleatoria X=”número soldaduras defectuosas”, donde la probabilidad de encontrar una soldadura defectuosa es p = 10/100 = 0,1 Tenemos una distribución B(5,0.1)

P(X = k) =n

k

p qk n k. − = ( )5 kk5

0,1 1 0,1k

− −

( ) ( ) ( ) ( )5 005P X 1 1 P X 1 1 P X 0 1 0,1 1 0,1

0−

≥ = − < = − = = − − ≈

0,40951

Cuya media es E[X] np 5 0,1= = ⋅ = 0,5



5.- Se supone que el n° de bacterias por mm3 de agua en un estanque es una variable aleatoria que sigue una distribución Poisson de parámetro λ = 1. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya bacterias en 1 mm3 de agua? Solución: Llamamos X a la variable aleatoria " Número de bacterias en 1 mm3 de agua", su función de

probabilidad es k

P(X k) e si >0k!

−λλ= = λ . En nuestro caso:

k11

P(X k) e k!

−= = y para

011

P(X 0) e = 0!

−= =1

e



6.- Se sabe que la probabilidad de que un alumno anote mal un dato en una medición es 0.0002, en una lista de 2000 datos. Determinar: A) El tipo de distribución. B) La probabilidad de que existan exactamente 4 datos incorrectos. C) El número medio de datos mal anotados. Solución: a) Puede ser una distribución binomial de parámetros n=2000 y p=0,0002 o bien una distribución de Poisson de media np=0,4; ya que se trata de una variable aleatoria discreta con dos situaciones éxito o fracaso. Puesto que np es inferior a 5 utilizaremos la distribución de Poisson (Ley de casos raros).

b) Distribución de Poisson de parámetro λ=0,4, luego k

0,40, 4P(X k) e

k!−= = y exactamente

cuatro datos incorrectos 4

0,40, 4P(X 4) e

4!−= = ≈ 0,0007150080491

c) Media: λ=np= 0,4



7. Por un punto de una carretera pasan vehículos de acuerdo con la distribución dePoisson, a razón de seis vehículos por minuto. Hallar: A) Probabilidad de que transcurran 20 segundos y pasen más de 5 vehículos.B) Si un peatón tarda 10 segundos en cruzar la carretera, calcular la probabilidad deque no pase ningún vehículo.

Solución:

Distribución de Poisson de parámetro λ=6 en 60 segundos, luego para 20 segundos la

frecuencia de paso de vehículos es 2: k k

22P(X k) e = e

k! k!−λ −λ

= =

a) k5

2

k 0

2P(X 5) 1 P(X 5) 1 e

k!−

=

> = − ≤ = − ≈∑ 0,01656360847

b) Para 10 segundos λ=10

11P(X 0) e

0!−= = ≈ 0,3678794411



8.- El ordenador que realiza las 1000 nóminas de una empresa efectúa en cada una de ellas un redondeo al número entero más próximo. Se supone que el redondeo en el importe de cada nómina produce un error que sigue una distribución uniforme entre –0.5 y 0.5 euros. Calcular la probabilidad de que la suma del importe de 1000 nóminas tenga un error total entre –20 y 20 euros. Solución: La distribución uniforme en el intervalo [ ]a,b tiene por función de densidad:

0 si x a

1f (x) si a x b

b-a0 si b<x

<= ≤ ≤

con media a b

2

+µ = y varianza

( )2

2 b a

12

−σ = .

En nuestro caso:

0 si x 0.5

f (x) 1 si -0.5 x 0.5

0 si 0.5<x

< −= ≤ ≤

con media 0 y varianza 2 1

12σ =

Si una variable es suma de n variables independientes, con medias iµ y varianzas 2iσ , su

distribución tenderá a ser normal, con media igual a la suma de medias y varianza igual a la suma de las varianzas, cuando n, número de sumandos, tienda a infinito. Es decir, la variable

se aproximará a 2i i

i i

N ,

µ σ ∑ ∑ .

La varianza de una distribución uniforme es: 1

12, luego en n según el teorema es

n

12. Por

tanto para n=1000, tenemos 1000 5 30

N 0, N 0,12 3

=

P( 20 X 20) P(X 20) P(X 20) =F(20)-F(-20)− < < = < − − ≤ ≈ 0.9715402631



9.- Sabiendo que los errores de observación, X, de una determinada magnitud siguen una distribución N(0,1.5), calcular: a) Probabilidad de que al hacer una observación el error sea mayor que 0,5. b) El error x tal que ( )P X x 0.95< =

Solución: a) Sea X la observación que tiene la misma distribución que la población. cuya función de distribución es:

2 2

2 2

1 (t ) 1 (t 0)x x

2 2 1.51 1F(x) P(X x) e dt e dt

2 1.5 2

−µ −− −

σ−∞ −∞

= ≤ = =σ π π∫ ∫

Así pues: ( ) ( )P X 0,5 1 P X 0,5 1 F(0,5) 1 0.6305586598> = − ≤ = − = − = 0.3694413401

b)

( )P X x P( x X x) 0.95 F(x) P(X x) 0.975< = − < < = ⇒ = < = ⇒ x = 2.939945906



10.- Un proceso de fabricación tiene tres fases consecutivas de tal manera que la duración en minutos de cada una de ellas viene dada, respectivamente, por las siguientes

variables aleatorias independientes: N(50,5), N(70,3) y N(80, 2 ). a) ¿Cuál es la duración total media del proceso? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el proceso tenga una duración total inferior a 215 minutos? c) Determinar con probabilidad del 0,97 el tiempo máximo que puede durar el proceso. Solución: 1X N(50,5) ; 2X N(70,3) ; 3X N(80,4) , luego 1 2 3Y X X X N( , )

a) Con 1 2 3E Y E X E X E X 50 70 80 200

b)

22 2 2

1 2 3V Y V X V X V X 5 3 2 36 6

1 2 3Y X X X N( , ) N(200,6)

N(200,6)P Y 215 F (215) 0,9937903346

c)

N(200,6)P Y t F (t) 0,97 t = 211,2847617



11.- Los cierres de triángulos de una red están normalmente distribuidos con media 1 y desviación típica 2. Calcular la probabilidad de que un cierre sea: a) mayor que 2. b) mayor que 1 y menor que 2. c) negativo. d) en valor absoluto menor que 1. Solución: La variable aleatoria “cierre de triángulo” X N(1,2)≡ cuya función de distribución es:

2 2

2 2

1 (t ) 1 (t 1)x x

2 2 21 1

F(x) P(X x) e dt e dt2 2 2

−µ −− −σ

−∞ −∞= ≤ = =

σ π π∫ ∫

a) P(X 2) 1 P(X 2) =1-F(2)> = − ≤ ≈ 0.3085375387 b) P(1 X 2) P(X 2) P(X 1) =F(2)-F(1)< < = < − ≤ ≈ 0.1914624612 c) P(X 0) =F(0)< ≈ 0.3085375387 d) P( X 1) P( 1 X 1) P(X 1) P(X 1) 2 P(X 1) 1 2F(1) 1< = − < < = < − ≤ − = < − = − ≈ 0.3413447460



12.- Sabiendo que la demanda aleatoria de teodolitos durante un día en una fábrica sigue una distribución N(70,3), calcular: a) Probabilidad de vender más de 60 teodolitos. b) Número de teodolitos que debe fabricar cada día para satisfacer la demanda el 95% de los días. Solución: La variable aleatoria “número de teodolitos fabricados en un día” X N(70,3)≡ cuya función de distribución es:

2 2

2 2

1 (t ) 1 (t 70)x x

2 2 31 1F(x) P(X x) e dt e dt

2 3 2

−µ −− −

σ−∞ −∞

= ≤ = =σ π π∫ ∫

a) P(X 60) 1 P(X 60) 1 F(60) > = − ≤ = − ≈ 0.9995709396 b) P(X x) =0.95≤ ⇒ x = 74.93456095



13.- Se tiene una variable aleatoria X, de la que se conoce que sigue una distribución chi-cuadrado, con 3 grados de libertad. Se pide: a) La moda b) La mediana Solución:

2n 3X =≡ χ

a) Buscaremos el máximo en la función de densidad #1: CHI_SQUARE(x, 3) d #2: ⎯⎯ CHI_SQUARE(x, 3) dx - x/2 - x/2 ⎛ √2·√x √2 ⎞ √2· #3: ·⎜⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎝ 2·√ 2·√·√x ⎠ 2·√·√x ⎛ - x/2 ⎞ d ⎜ - x/2 ⎛ √2·√x √2 ⎞ √2· ⎟ #4: ⎯⎯ ⎜ ·⎜⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ dx ⎝ ⎝ 2·√ 2·√·√x ⎠ 2·√·√x ⎠ - x/2 - x/2 √2· √2·√x· #5: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 4·√·√x 4·√ Resolviendo la ecuación f’(x)=0 #7: x = ∞ ∨ x = 1

b) ( )2n 3F(M) P M 0.5== χ < = ⇒ M 2.365973889=



14.- Una niña coge todos los días el autobús para ir al colegio en una parada que está frente a su casa. El tiempo de espera diaria es una variable aleatoria con distribución

2nχ de media 5 minutos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de espera sea inferior a 5 minutos? b) ¿Cuál es el tiempo de espera máxima con probabilidad 0,5?

Solución: a) ( )2

n 5P 5=χ < = 0.5841198130

b) ( )2

n 5P x 0.5=χ < = ⇒ x = 4.351460337



15.- Cada una de las tres coordenadas de un punto P del espacio son v. a. con distribución N(0,1). Calcular: a) Probabilidad de que el cuadrado de la distancia de dicho punto al origen de coordenadas sea mayor que 0.35. b) Media del cuadrado de la distancia al origen. Solución: Un punto P(X1,X2,X3) donde iX N(0,1) si calculamos

2 2 2 2 21 2 3 n 3d(O, P) X X X

a) 2 2n 3 n 3P 0,35 1 P 0,35 1 F 0,35 1 0,04963388263= 0,9503661173

b) 2

n 3E n 3



16.- Se tiene una variable aleatoria X, de la que se conoce que sigue una distribución chi-cuadrado, con 6 grados de libertad. Se pide: a) Probabilidad de que la variable tome un valor inferior a 3. b) Probabilidad de que la variable tome un valor comprendido entre 4 y 5. c) El valor del primer cuartil. Solución:

2n 6X =≡ χ

a) ( )2n 6P 3=χ < = 0.1911531694

b) ( ) ( ) ( )2 2 2n 6 n 6 n 6P 4 5 P 5 P 4 == = =< χ < = χ < − χ < 0.1328633003

c) ( )2n 6 1P Q 0.25=χ < = ⇒ 1Q 3.454598784=



17.- El peso medio de los estudiantes varones de una universidad es de 68 kg y la desviación típica es de 10 kg. Suponiendo que hay 500 y están distribuidos normalmente, hallar el número de estudiantes que: a) pesan entre 48 y 72 kg. b) más de 91kg. c) exactamente 68 kg (Los pesos de los quinientos estudiantes fueron redondeados al entero más próximo). Solución: La variable aleatoria “peso” X N(68,10)≡ cuya función de distribución es:

2 2

2 2

1 (t ) 1 (t 68)x x

2 2 101 1F(x) P(X x) e dt e dt

2 10 2

−µ −− −

σ−∞ −∞

= ≤ = =σ π π∫ ∫

a) P(48 X 72) P(X 72) P(X 48) F(72) F(48) 0,6326716096< < = < − ≤ = − ≈ En una población de 500 estudiantes será: 500.(0,6326716096) aproximadamente 316

b) P(X 91) 1 P(X 91) 1 F(91) 1 0,9892758899 0.01072411000> = − ≤ = − = − ≈

En una población de 500 estudiantes será: 500.( 0.01072411000) aproximadamente 5

c) P(X 68) 0= = P(67,5 X 68,5) P(X 68,5) P(X 67,5) F(68,5) F(67,5) 0.03987761167< < = < − ≤ = − ≈ En una población de 500 estudiantes será: 500.( 0.03987761167) aproximadamente 20



18.- Una empresa decide otorgar un premio entre los distribuidores si venden trescientos veinte o más productos por día. El número de productos vendidos al día por los distribuidores A y B está normalmente distribuido de la forma siguiente:

Distribuidor Media Varianza A 290 400 B 300 100

Se pide: a) ¿Qué porcentaje de los días obtendrá premio el distribuidor A? b) ¿Qué porcentaje de los días obtendrá premio el distribuidor B? c) Si se asocian los distribuidores A y B. ¿Qué porcentaje de los días

obtendrían premio? Solución:

La variable aleatoria “nº de productos distribuidor A” X N(290,20)≡ La variable aleatoria “nº de productos distribuidor B” Y N(300,10)≡ a) P(X 320) 1 P(X 320) 1 F(320) 1 0.9331927987 0.06680720126> = − ≤ = − = − ≈ 1, por tanto, el

6,68 por 100 de los días obtendrá premio el distribuidor A. b) P(Y 320) 1 P(Y 320) 1 F(320) 1 - 0.9772498680 0.02275013194> = − ≤ = − = ≈ , el 2,28 por 100 de los días obtiene premio el distribuidor B c) Si se asocian el número de productos vendidos al día tendrá de media 590, y desviación típica

2 2X Y X Y 400 100 500+σ = σ + σ = + =

P(X Y 320) 1 P(X Y 320) 1 F(320) 1 - 0=1+ > = − + ≤ = − = Obtendrían premio el 100% de los días



19.- Se sabe que una fábrica produce un 4 por mil de artículos defectuosos. Se piden cinco artículos a la fábrica. ¿Cuál es la probabilidad de que haya uno defectuoso? Y de que haya al menos uno defectuoso.

Solución: Consideramos la variable aleatoria X=”articulo defectuoso”, donde la probabilidad es p = 4/1000 = 0,004 Tenemos una distribución B(5,0.004)

P(X = k) =n

k

p qk n k. − = ( )5 kk5

0,004 1 0,004k

− −

a)

( ) ( )5 115P X 1 0,004 1 0,004

1−

= = − ≈

0,01968191488

b)

( ) ( ) ( ) ( )5 00 55P X 1 1 P X 1 1 P X 0 1 0,004 1 0,004 1 0,996

0−

≥ = − < = − = = − − = − ≈

0,01984063872



20.- Se supone que en un determinado país el número de individuos albinos sigue una distribución de Poisson de parámetro 5λ = . Calcular la probabilidad de que elegida una muestra de la citada población, se presenten los siguientes casos: a) Ningún individuo sea albino. b) Halla menos de dos individuos albinos. c) Al menos se encuentren 3 individuos albinos.

Solución: Llamamos X a la variable aleatoria " Número de individuos albinos", su función de

probabilidad es k

P(X k) e si >0k!

−λλ= = λ .

En nuestro caso: k

55P(X k) e

k!−= = y para

a)

055

P(X 0) e = 0!

−= = 5

1

e

b)

0 15 5 55 5

P(X 2) P(X 0) P(X 1) e + e = 6e0! 1!

− − −< = = + = = = 5

6

e

c)

( )0 1 2

5 5 5 55 5 5 37P(X 3) 1 P(X 3) 1 P(X 0) P(X 1) P(X 2) 1 e e - e = 1- e

0! 1! 2! 2− − − −≥ = − < = − = + = + = = − − ≈

0,8753479805



21.- La media del número de libros leídos al cabo de un año por los habitantes de una ciudad determinada es 15 y la desviación típica 2.5. Si la distribución se considera normal, calcular: a) Porcentaje de personas que leen menos de 11 libros al año. b) Porcentaje de personas que leen más de 20 libros al año. c) Porcentaje de personas que leen más de 7 libros y menos de 12 libros al año. d) Valores que hay que tomar a ambos lados de la media, y a igual distancia, para que el área correspondiente bajo la curva sea igual a 0.5. e) Número de libros que ha de leer, como mínimo, una persona para que esté situada entre el 80% de los que mayor número de libros leen al año.

Solución:

La variable aleatoria “nº de libros” X 15

X N(15,2.5) Y N(0,1)2.5

−≡ ⇒ = ≡

a) P(X 11) F(11) 0.05479929169< = ≈ ⇒ 5,48% b) P(X 20) 1 P(X 20) 1 F(20) 0.02275013194> = − ≤ = − ≈ ⇒ 2,28% c) P(7 X 12) P(X 12) P(X 7) =F(12)-F(7) 0.1143825322< < = < − ≤ ≈ ⇒ 11,44% d) P(r X s) =0.5< < ⇔

( )F s =0.75 16.6862⇒

F(r) 0,25 13.3137= ⇒ Los valores pedidos son:

( )13.3137,16.6862

e) ( ) ( )P(X x) 0.8 1 P(X x) 1 F x F x =0.2> = = − ≤ = − ⇒ ⇒ x = 12.89594691

13 libros



22.- Sabiendo que la mortandad de las orugas a las 48 horas de aplicarles los insecticidas Actelic y Metoxidoro se distribuyen según N(28,4.5) y N(58,4.9) respectivamente. Se pide: a) Probabilidad de que mueran menos de 20 orugas en 48 horas al aplicarles Actelic. b) Probabilidad de que la diferencia de orugas muertas entre los dos grupos

Metoxidoro y Actelic sea mayor que 40. Solución:

Sea A la mortandad de las orugas con Actelic, N(28,4.5), cuya función de distribución es: 2 2

2 2

1 (t ) 1 (t 28)x x

2 2 4.5A

1 1F (x) P(A x) e dt e dt

2 4.5 2

−µ −− −

σ−∞ −∞

= ≤ = =σ π π∫ ∫

Sea M la mortandad de las orugas con Metoxidoro, N(58,4.9), cuya función de distribución es:

2 2

2 2

1 (t ) 1 (t 58)x x

2 2 4.9M

1 1F (x) P(M x) e dt e dt

2 4.9 2

−µ −− −

σ−∞ −∞

= ≤ = =σ π π∫ ∫

a) Así pues: ( ) AP A 20 F (20)< = ≈ 0.03772017980

b)

Ahora la distribución ( ) ( )2 2M A N 58 28, 4.9 4.5 N 30,6.652818951− ≡ − + =

( ) ( )P M A 40 1 P M A 40 1 F(40)− > = − − < = − ≈ 0.06640376476



23.- La función de densidad de una nχ de Pearson es ( )

n1

x2-

2n

2

xf (x) e si x 0

n2 2

−

= ≥Γ

a) Calcular la moda según los valores de n. b) Calcular la mediana para n=10.

Solución: a) Para calcular la moda debemos obtener el máximo de la función de densidad n/2 - 1 - x/2 d x · ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ #2: dx n/2 ⎛ n ⎞ 2 ·⎜⎯⎟ ⎝ 2 ⎠ - (n + 2)/2 - x/2 (n - 4)/2 2 · ·x ·(x - n + 2) - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ #3: ⎛ n ⎞ ⎜⎯ - 1⎟! ⎝ 2 ⎠

n 41

x2 - 2

n 22

(x n 2)xf '(x) e =0 x n 2, si n>2

n2 1 !

2

− −

+

− += ⇒ = −

−

1/2 - 1 - x/2 x · ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ #6: 1/2 ⎛ 1 ⎞ 2 ·⎜⎯⎟ ⎝ 2 ⎠ - x/2 #7: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2 b) Para n=10

La mediana, x, es tal que x

0F(x) f (t)dt 0,5= =∫

x ⌠ 4 - x/2 ⎮ x · #10: ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx = 0.5 ⌡ 768 0 #11: x = 9.341817498



24.- Una línea eléctrica se avería cuando la tensión T sobrepasa la capacidad C de la línea. Si la tensión sigue el modelo de una distribución N(100,20) y la capacidad según una distribución N(140,10), se pide: a) La probabilidad de que la tensión supere el valor de 150. b) El intervalo de valores alrededor de la media con el 95% de la distribución de la capacidad. c) La probabilidad de avería. Solución:

( )T N 100,20≡ y ( )C N 140,10≡

a) TP(T 150) 1 P(T 150) 1 F (150) > = − ≤ = − ≈ 0.006209665315

b) P(r C s) =0,95< < ⇔ ( )CF s =P(C<s) 0,025+0,95=0,975 159,5996397= ⇒

CF (r) P(C r) 0,025 120,4003602= < = ⇒ Los valores pedidos son:

( )120.4003602,159.5996397

c) Ahora la distribución ( ) ( )2 2T C N 100 140, 20 10 N 40,22.36067977− ≡ − + = −

( ) ( ) ( )P T C P T C 0 1 P T C 0 1 F(0)> = − > = − − < = − ≈ 0.03681913468



25.- En un proceso de fabricación de productos en vidrio ocurren defectos o burbujas. Se sabe que, en promedio, uno de cada 1000 de estos artículos tiene una o más burbujas. Para una muestra aleatoria de 8000 productos, se pide: a) Probabilidad de que tenga menos de siete artículos con burbujas. b) Mediana de la distribución. c) Varianza de la distribución. Solución: Consideramos la variable aleatoria X=”número de artículos con burbujas” con p=0,001 y n=8000. Podemos considerar una distribución Binomial o una distribución de Poisson Para una distribución B(0.001,8000)

P(X = k) = ( ) ( )10 k 10 kk kn 8000p 1 p 0,001 1 0,001

k k− −

− = −

a) ( )6

10 kk

k 0

8000P(X 7) 0,001 1 0,001

k−

=

< = − ≈

∑ 0,31325207

b) ( )M

10 kk

k 0

8000F(M) P(X M) 0,001 1 0,001 0,5

k−

=

= ≤ = − ≥ ⇒

∑ M 8=

c) Varianza=np(1-p)=8000 0,001 (1-0,001)=7.992 Otra forma de resolver el problema, dado que n es grande y p pequeño es con una Distribución de Poisson de parámetro λ=np=8:

k k88

P(X k) e = e k! k!

−λ −λ= =

a) k6

8

k 0

8P(X 7) e

k!−

=

< = ≈∑ 0.3133742775

b) kM

8

k 0

8F(M) P(X M) e 0,5

k!−

=

= ≤ = ≥ ⇒∑ M 8=

c) La varianza coincide con la media λ=8.



26.- La altura en centímetros de los habitantes de una comunidad es una variable aleatoria X N(175,10)≡ . Para ser admitido como militar se debe tener un altura entre 165 y 200 y para pertenecer al cuerpo de zapadores se exige además una altura mayor de 190 cm. Se pide: a) Probabilidad de que un habitante cualquiera sea soldado. b) Probabilidad de que un habitante cualquiera sea zapador. c) Probabilidad de que un soldado cualquiera sea zapador. d) El intervalo de valores alrededor de la media con el 95% de la distribución. Solución: La variable aleatoria “altura” X N(175,10)≡ a) P(165 X 200) P(X 200) P(X 165) F(200) F(165) < < = < − ≤ = − ≈ 0.8351350807 b) P(190 X 200) P(X 200) P(X 190) F(200) F(190) < < = < − ≤ = − ≈ 0.06059753595

c) P(190 X 200) 0.06059753595

P(165 X 200) 0.8351350807

< <≈ ≈

< <0.07256016104

d) F(r) P(X r) 0.025

P( r X s) 0.95F(s) P(X s) 0.975

= < =− < < = ⇒ ⇒ = < =

r = 155.4003602

s = 194.5996397



27.- El tiempo necesario para realizar un examen sigue una distribución normal de media 100 minutos y de desviación típica 10 minutos. Sabiendo que el examen empieza a las 11horas 30 minutos. Se pide: a) La probabilidad de que un alumno acabe antes de las 12h 30m. b) La probabilidad de que un alumno acabe después de las 13h. c) El tiempo máximo que debe fijar un profesor para que acaben el 90% de los alumnos. d) Si se examinan 10 alumnos, la probabilidad de que al menos uno de ellos acabe el examen antes de las 13h. Solución: La variable aleatoria “TIEMPO” X N(100,10)≡ cuya función de distribución es:

2 2

2 2

1 (t ) 1 (t 100)x x

2 2 101 1F(x) P(X x) e dt e dt

2 10 2

−µ −− −

σ−∞ −∞

= ≤ = =σ π π∫ ∫

a) P(X 60) F(60) < = ≈ 3 10-5

b) P(X 90) 1 P(X 90) 1 F(90)> = − ≤ = − ≈ 0.8413447460 c) P(X t) F(t) 0,90 t = 112.8155159≤ = = ⇒ 113 minutos a partir de las 11:30 horas resulta que el examen debe acabar a las 13h 23m d) P(que acabe al menos uno de los 10 antes de 90 minutos)= =1-P(que no acaben ninguno de los 10 antes de 90 minutos)= =1-P(los 10 acaben depués de 90 minutos)= =1-(P(uno acabe depués de 90 minutos))10= =1-P(X>90)10=1-(1-P(X<90))10=1-(1-F(90))10 = 0.8222785407



28.- Una prueba del examen de Estadística consiste en un cuestionario de 10 preguntas con tres posibles respuestas, solamente una de ellas correcta. Si contestamos a todas las preguntas de manera aleatoria, calcular: a) La probabilidad de aprobar, es decir, contestar correctamente, al menos 5 de las 10 preguntas. b) La probabilidad de no contestar bien a ninguna de ellas. Solución: Consideramos la variable aleatoria X=”número de respuestas correctas” Tenemos una distribución B(10,1/3)

P(X = k) = ( )k 10 k

10 kkn 10 1 1p 1 p 1

k k 3 3

−− − = −

a) k 10 k4

k 0

10 1 1P(X 5) 1 P(X 5) 1 1

k 3 3

−

=

≥ = − < = − − ≈

∑ 0.2131280800

b) P(X = 0) =0 10 0 1010 1 1 2

10 3 3 3

− − = ≈

0.01734152991



29.- El contenido de una lata de refresco se distribuye normalmente con una media µ=33 cl y desviación típica σ=1cl. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el contenido de una lata sea superior a 34 cl? b) Si tenemos 3 latas, ¡cuál es la probabilidad de que él contenido total sea inferior a 100 cl? c) ¿Qué contenido de refresco máximo le corresponde una probabilidad 0,68? Solución: La variable aleatoria “contenido de una lata” X N(33,1)≡ a) P(X 34) 1 P(X 34) 1 F(34) > = − ≤ = − ≈ 0.1586552539 b) El contenido de las 3 latas: ( )3X X X X N 99, 3= + + ≡

3XP(3X 100) =F (100)< ≈ 0.7181485691

c) P(X x) 0,68< = ⇒ x = 33.46769880



30.- Se tiene una variable aleatoria X, de la que se conoce que sigue una distribución chi-cuadrado, con 3 grados de libertad. Obtener la mediana. Solución:

2n 3X =≡ χ

( )2n 3F(M) P M 0.5== χ < = ⇒ M 2.365973889=



31.- La probabilidad de que un alumno resuelva cualquier problema es 0,8. El examen consiste en resolver 7 problemas. Si contesta bien a 4 o más problemas aprueba, pero si contesta solamente a 3 problemas tiene la posibilidad de hacer un examen de repesca, calcular: a) La probabilidad de aprobar. b) La probabilidad de realizar un segundo examen. Solución: Consideramos la variable aleatoria X=”número de problemas resueltos bien” Tenemos una distribución B(7,0.8)

P(X = k) = ( ) ( )n k 7 kk kn 7p 1 p 0.8 1 0.8

k k− −

− = −

a) ( )3

7 kk

k 0

7P(X 4) 1 P(X 4) 0.8 1 0.8

k−

=

≥ = − < = − ≈

∑ 0.966656

b) P(X = 3) = ( )7 3370.8 1 0.8

3−

− ≈

0.028672



32.- Un servidor de una pequeña red de ordenadores recibe una media de 7 accesos al minuto. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que reciba más de 10 accesos en un minuto. b) Probabilidad de que en un minuto reciban exactamente 7 accesos. c) Varianza de la distribución. Solución:

Distribución de Poisson de parámetro λ=7 en 1 minuto: k k

77P(X k) e = e

k! k!−λ −λ

= =

a) k10

7

k 0

7P(X 10) 1 P(X 10) 1 e

k!−

=

> = − ≤ = − ≈∑ 0.09852079411

b) 7

77P(X 7) e

7!−= = 0.1490027796

c) La varianza coincide con la media λ=7.



33.- Sabiendo que la demanda diaria de un artículo X en una fábrica sigue una distribución N(600, 25), calcular: a) Probabilidad de vender menos de 550 artículos X en un determinado día. b) Número de artículos X que se debe fabricar para satisfacer la demanda el 90% de los días. c) Porcentaje de días que venderá 600 artículos X. Solución: a. P(X 550) F(550)≤ = ≈ 0,0227501. b. F(x) P(X x) 0,90= ≤ = ⇒ x = 632.0387887 , luego se necesitan 633 artículos c. P(599,5 x 600,5) P(x 600,5) P(x 599,5) F(600,5) F(599,5)≤ ≤ = ≤ − < = − ≈ 0,01595. Por tanto, el porcentaje de días que se vende 600 artículos será 1,6%



34.- Dada una distribución 23χ calcular el valor de la abscisa que corresponde al área

sombreada del gráfico cuyo valor es 0,05:

Solución:

( ) ( ) ( )2 2 2n 3 n 3 n 3P x 0,05 F(x) P x 1 P x 0,95= = =χ > = ⇒ = χ ≤ = − χ < = ⇒ x 7.814728021=



35.- Sabiendo que la probabilidad de que un estudiante de la ETSITGC termine la carrera es 0,7. Calcular: a) Probabilidad de que en un grupo de 10 alumnos terminen 7. b) Si empiezan la carrera un grupo de 10 alumnos, ¿cuál será el número medio de alumnos que terminarán la carrera? Solución: Consideramos la variable aleatoria X=”número de alumnos que terminan la carrera” Tenemos una distribución Binomial: B(10,0.7)

P(X = k) =n

k

p qk n k. − = ( )10 kk10

0,7 1 0,7k

− −

a) P(X = 7) = ( )10 77100,7 1 0,7

7−

− ≈

0.266827932

b) Cuya media es E[X] np 10 0,7= = ⋅ = 7



36.- A un hospital llegan, de media, 1 persona por minuto. Calcular: a) Probabilidad de que no llegue ninguna persona en 1 minuto. b) Probabilidad de que lleguen al menos dos personas en un minuto. c) La mediana de la distribución número de personas que llegan en un minuto. d) Varianza de la distribución. Solución:

Distribución de Poisson de parámetro λ=1 en 1 minuto: k k

11P(X k) e = e

k! k!−λ −λ

= =

a) 0

11P(X 0) e

0!−= = ≈ 0.3678794411

b) k1

1 1

k 0

1P(X 2) 1 P(X 2) 1 e =1-2 e

k!− −

=

≥ = − < = − ≈∑ 0.2642411176

c) F(x) P(X x) 0,5 x= < = ⇒ = 1

d) La varianza coincide con la media λ=1.



37.- Si el 5% de las piezas fabricadas por una determinada marca son defectuosas. En un lote de 20 piezas, calcular el número máximo de piezas defectuosas que se podrá garantizar con una probabilidad del 90%.

Solución:

Si X es el suceso “número de piezas defectuosas”, entonces ( )X B n 20, p 0.05≡ = = .

Debemos calcular ( )P X m 0.9≤ = .

Como en una distribución es binomial se verifica ( ) ( )m

i 0

P X m P X i 0.9=

≤ = = =∑ , entonces

( )P X 1 0,73583952≤ = .

( )P X 2 0,92451633≤ = .

Por tanto, podemos garantizar con una probabilidad mayor de 0.9 que hay como máximo 2 piezas defectuosas en el lote de 20 piezas. Con una probabilidad de 0,73583952 garantizaríamos que existen como máximo 1 pieza defectuosa. Así pues, el número máximo que podemos garantizar con una probabilidad de 0.9 es de dos piezas.



38.- Suponiendo que cada niño tiene una probabilidad de 0.49 de ser varón. Calcular la probabilidad de que una familia de 5 hijos: a) Tenga dos niños. b) Tenga al menos un niño. c) Tenga una niña. d) Tenga al menos una niña. Solución: Si X es la variable aleatoria “número de hijos varones en una familia de cinco hijos”

( )X B n 5, p=0.49≡ = .

Función de probabilidad ( ) k n knP X k p (1 p)

k−

= = −

a) ( ) 2 45P X 2 ·0.49 0.51

2

= = ≈

0.318495

b) La probabilidad de tener al menos un niño es la probabilidad complementaria de no tener un niño.

( ) ( ) 0 55P X 1 1 P X 0 1 ·0.49 0.51

0

≥ = − = = − ≈

0.965497

c) Que tenga una niña, significa que tiene 4 niños.

( ) 4 15P X 4 ·0.49 0.51

4

= = ≈

0.318495

d) Que tenga al menos una niña, significa que no tenga más de cuatro niños.

( ) ( ) ( ) 5 05P X 4 1 P X 4 1 P X 5 1 ·0.49 0.51

5

≤ = − > = − = = − ≈

0.971752



39.- La probabilidad de que un vehículo con más de 10 años pase con éxito la I.T.V. es de 4/5. a) Hallar la probabilidad de que exactamente dos de los siguientes 4 vehículos con más de diez años que se inspeccionen pasen la prueba con éxito. b) Hallar la probabilidad de que al menos pase la prueba un vehículo de los siguientes 4 vehículos con más de diez años.

Solución: Sea A el suceso “el vehículo con más de diez años supera la prueba de I.T.V.”, entonces

( ) 4P A p

5= =

1q 1 p y n=4

5⇒ = − = . Tenemos que X es el suceso “número de vehículos que

pasan con éxito la ITV”, entonces 4

X B n 4, p5

≡ = =

.


k−

= = −

a) ( )2 24 4 1

P x 22 5 5

= = ≈

0.1536

b) Pasan la prueba al menos un vehículo si la pasan 1,2,3 o 4, es decir

( ) ( ) ( )0 44 4 1

P X 1 1 P X 1 1 P X 0 1 ·0 5 5

≥ = − < = − = = − ≈

0.9984



40.- Por término medio se reciben tres accesos a una página web durante un minuto cualquiera, utilizar el modelo de Poisson para calcular la probabilidad de que en un minuto cualquiera: a) Nadie acceda a la página. b) Se reciban más de dos entradas en un minuto.

Solución:

Si X es el suceso “número accesos en un minuto”, entonces ( )X P 3≡ λ = .

Función de probabilidad ( )k

P X k ek!

−λλ= =

a)

( )0

33P X 0 e

0!−= = ≈ 0.04978706836

b)

( ) ( )P X 2 1 P(X 2) 1 F(2) 1 P(X 0) P(X 1) P(X 2)> = − ≤ = − = − = + = + = =0 1 2

3 3 33 3 31 e e e

0! 1! 2!− − −

= − + + ≈

0.5768099188



41.- El promedio de la frecuencia con la que llegan los coches a un determinado peaje es de cinco coches en 20 minutos. Calcular la probabilidad de que: c) No llegue ningún coche en un periodo de 20 minutos. d) Llegue solo un coche en un periodo de 20 minutos.

Solución:

Si X es el suceso “número coches en 20 minutos”, entonces ( )X P 5≡ λ = .

Función de probabilidad ( )k

P X k ek!

−λλ= =

a)

( )0

55P X 0 e

0!−= = ≈ 0.006737946999

b)

( )1

55P X 1 e

1!−= = ≈ 0.03368973499



42.- Calcular la media y la varianza de una variable aleatoria binomial de

parámetros n=15 y p=0.4, es decir X es B(15, 0.4). Calcular ( )P Xµ − σ ≤ < µ + σ .

Solución:

Se trata de ( )X B n 15, p 0.4≡ = = .

Para el cálculo de la media y varianza aplicamos las fórmulas estudiadas en la teoría

2

n·p 6

n·p·q 3.6 1.9

µ = =

σ = = ⇒ σ ≈

Los valores de X comprendidos entre Xµ − σ ≤ < µ + σ son los valores 5,6 y 7. Por tanto,


k−

= = −

( ) 5 1015P X 5 0.4 0.6 0.185938

5

= = ≈

( ) 6 915P X 6 0.4 0.6 0.206598

6

= = ≈

( ) 7 815P X 7 0.4 0.6 0.177083

7

= = ≈

( )P Xµ − σ ≤ < µ + σ = ( ) ( ) ( )P X 5 P X 6 P X 7= + = + = =

0.185938+0.206598+0.177083=0.569619.



43.- La cantidad diaria de latas de refresco, despachado por una máquina ubicada en la sala de espera de un aeropuerto es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo [60, 100]. Calcular: a) Calcular la función de distribución. b) La probabilidad de que un día determinado la cantidad de latas de refresco despachadas por la máquina sea de más de 74 pero menos de 95 latas. c) La probabilidad de que un día determinado la máquina despache más de 75 latas. Solución: Sea X la variable aleatoria que representa el número de latas consumidas durante un día. X sigue una distribución uniforme de parámetros a=60 y b=100.

La probabilidad de consumir k latas es ( ) 1P X k

41= =

a) La función de distribución:

0 si x<60

1si 60 x<61

412

si 61 x<62F(x) 41

3si 62 x<63

41.............................

1 si 100 x

≤

≤=

≤

≤

b) ( ) ( ) ( )P 74 X 95 P X 75 .... P X 94< < = = + + = =19

41

c) ( ) ( ) 16P 75 X 1 P X 75 1

41< = − ≤ = − =

25

41



44.- Un fabricante de acero cree que una de las máquinas de rolado está produciendo láminas de metal con espesores variables. El espesor es una variable aleatoria uniforme con valores entre 150 y 200 milímetros. Cualquier lámina que tenga menos de 160 milímetros de espesor deberá desecharse, pues no es aceptable por los compradores. a) Calcular el espesor medio y la desviación típica de las láminas. b) Representar la función de densidad y la de distribución. c) Calcular la proporción de láminas producidas por esta máquina que se desechan. Solución:

La función de densidad de la distribución Uniforme es:

f x

si x a

( ) =

<

≤ ≤

01

b - asi a x b

0 si b < x

Media: a b

2

+µ = Varianza:

( )2

2 b a

12

−σ =

En nuestro caso:

0 si x 150

1f (x) si 150 x 200

200-1500 si 200<x

<= ≤ ≤

a) Espesor medio a b 150 200

2 2

+ +µ = = = 175 mm. Desv. típica:

( )2b a

12

−σ = =

50

12

b) Función de densidad y Función de distribución

c)

( ) ( )160

150

1 1 1P X 160 dx 160 150 0,2

50 50 5< = = − = = ⇒∫ 20%



45.- El peso de un limón está distribuido según una distribución N(125, 10) en gramos. ¿Cuál es la probabilidad de que una caja con 50 limones pese menos de 6 kg? Si llenamos bolsas de ocho limones, ¿cuál es la probabilidad de que las bolsas pesen entre 975 y 1025 gramos?

Solución:

X=“peso de 50 limones” N( , )≡ µ σ El peso de cada limón sigue una distribución Normal, luego 50 limones se corresponde con la suma de las 50 distribuciones normales, resultando:

( ) ( )2i iN , N 6250,50 2µ σ =∑ ∑

( )P X 6000 F(6000)< = ≈ 0.000203476

Ahora será: X=“peso de 8 limones” N( , )≡ µ σ

Para bolsas de 8 limones ( ) ( )2i iN , N 1000,20 2µ σ =∑ ∑

( )P 975 X 1025 F(1025) F(975)< < = − ≈ 0.6232408821



46.- El consumo diario de una determinada marca de frigoríficos medido en kw/h, es una variable aleatoria normal. El 25% de los días consume menos de 2.25 kw/h, y el 80% de los días consume menos de 2.7 kw/h. ¿Cuál es la media y varianza del consumo diario del frigorífico?

Solución:

X=“consumo en kw/h” ≡ N( , )µ σ

P(X<2,25) = 0,25, puesto que son el 25% y P(X<2,7) = 0,8, ya que representan el 80%.

Tipificando, X 2,25 2,25 2,25

P P Z F 0,25− µ − µ − µ − µ < = < = = σ σ σ σ

y observando que X

Z− µ

= ≡σ

N(0,1), se tiene que: 2, 25

0.6744897365− µ

= −σ

(1)

Por otra parte,

X 2,7 2,7 2,7P P Z F 0,8

− µ − µ − µ − µ < = < = = σ σ σ σ

Y observando la normal tipificada 2,7

0.841621235− µ

=σ

(2)

Resolviendo el sistema (1) y (2) resulta:

2 2 2.450196678; 0.2968120463 0.08809739082µ = σ = ≈



47.- Al finalizar las pruebas de selectividad, uno de los tribunales comprobó que de 250 alumnos presentados, 200 obtuvieron una calificación inferior a 6. Supuesta normal la distribución de las calificaciones, con una desviación típica de 2.5, se pide: a) Calcular la media de las calificaciones. b) Si se considera suspenso a los que han obtenido una calificación inferior a 5, qué tanto por ciento de suspensos habrá habido. c) ¿Cuántos alumnos obtuvieron una nota igual a 6? Solución:

X=“aprobado en selectividad”X

N( , ) N( ,2.5) Z N(0,1)− µ

≡ µ σ = µ ⇒ = ≡σ

a) La proporción de alumnos que obtuvieron una calificación inferior a 6 es: 200/250 y observado la distribución Normal de media 0 y desviación típica 1:

X x x x 200P P Z F

250

− µ − µ − µ − µ < = < = = σ σ σ σ

Para una desviación típica de 2,5 x 200 6

F 0.8416212352.5 250 2.5

− µ − µ = ⇒ = ⇒

Media μ = 3.895946912

b) Tenemos una distribución Normal de parámetros μ = 3.895946912 y σ=2.5

( ) ( )P X 5 F 5< = ≈ 0.6706183425

En tanto por ciento, 67,06% c) Obviamente P(X=6)=0 Podemos considerar el intervalo (5.95, 6.05) puesto que la variable es continua y exactamente no se obtiene el valor 6.

( ) ( )P 5.95 X 6.05 F 6.05 F(5.95)< < = − ≈ 0.01119825903

Para 250 alumnos resulta: 2.799564757 Aproximadamente 3 alumnos



48.- El etíope Bekele, posee la mejor marca mundial y puede correr la prueba de los 2000 metros en un tiempo distribuido según una N(4:52.86, 0:03.00). Su contrincante el keniano S. Morir puede hacer esa misma distancia en un tiempo según una distribución N(4:55.72, 0:02.00). Bekele estableció la mejor marca mundial parando el crono en 4:49.99. a) ¿Qué probabilidad tenía de establecer dicha marca? b) ¿Cuál es la probabilidad de que Bekele ganase a S. Morir? c) ¿Cuál es la probabilidad de que ganase en caso de perder 3 segundos por hacer una mala salida? Solución: Primeramente pondremos solamente segundos:

X1=“tiempo empleado por Bekele” ( )1 1N( , ) N 292.86, 3≡ µ σ =

X2=“tiempo empleado por S.Morir” ( )2 2N( , ) N 295.72, 2≡ µ σ =

a)

( ) ( )1P X 289.99 F 289.99< = ≈ 0.1693677639

b) En una distribución de media la diferencia de medias y varianzas la suma de las varianzas:

X1 - X2 ( )2 21 1 2 2 1 2 1 2N( , ) N( , ) N( , ) N 2.86, 13≡ µ σ − µ σ = µ − µ σ + σ = − √

( ) ( ) ( )1 2 1 2P X X P X X 0 F 0< = − < = ≈ 0.7861755444

c) ( ) ( ) ( )1 2 1 2P X 3 X P X X 3 F 3+ < = − < − = − ≈ 0.4845133563



49.- Un estudio demostró que los tiempos de vida de cierta clase de baterías de automóvil se distribuye normalmente con una media de 1248 días y una desviación típica de 185 días. Si el fabricante desea garantizar sus baterías por 36 meses, ¿qué porcentaje de baterías deberán ser cambiadas estando en vigor la garantía?

Solución: X=“tiempo en días” ( )N( , ) N 1248, 185≡ µ σ =

Para 36 meses obtenemos 1080 días

Hay que cambiar la proporción de baterías que no lleguen a 1080 días.

( ) ( )P X 1080 F 1080< = ≈ 0.1819105535·100

18.19%



50.- En una carrera de Fórmula 1, el consumo de combustible de un determinado

vehículo sigue una distribución 23χ por vuelta. Cuando quedan 20 vueltas para el final de

la carrera, entra el vehículo a repostar. ¿Cuál es la cantidad mínima de combustible que tiene que repostar para que la probabilidad de que acabe la carrera sea mayor de 0,95?

Solución: El consumo en cada vuelta sigue una distribución 2

3χ por tanto, el consumo en cada una de las

20 vueltas que faltan vendrá determinado por una distribución 2i 3X ≡ χ con i = 1,2,...,20. Así

pues, la cantidad total de combustible consumido en las veinte vueltas será la suma de 20

distribuciones 23χ , independientes, por tanto,

20 202 2

i 3 60i 1 i 1

X= =

≡ χ = χ∑ ∑

Nos piden la cantidad mínima de combustible que debemos repostar para que, la probabilidad de cubrir el consumo de las 20 vueltas sea mayor de 0,95,

( ) ( )2 2n 60 n 60P x 0,95 P x 0,05= =χ < > ⇒ χ > =

Aproximadamente 79



51.- Calcular las siguientes probabilidades

( )221P 13.24χ > ( )2

6P 1.55χ ≤ . ( )221P 29.6 33.6< χ <

( )29P 0.05χ > χ = ( )2

9P 0.10χ < χ = ( )221P 20.6 0.4< χ < χ =

( )8P t 0.262< ( )10P 0.26 t 0.879≤ < ( )8P t t 0.9< = ( )10P 0.26 t t 0.4≤ < =

Solución: Con Excel:

( )221 =DISTR.CHI(13,P 213. 4;24 21)χ > = 0,899985146

( ) ( )2 26 6 =1-DIP 1.55 STR.C1 P 1. HI(1,55;65 )5χ ≤ = − χ > = 0,043895684

( ) ( ) ( )2 2 221 21 21P 29.6 33.6 P 29.6 P 33.6 =< χ < = χ > − χ >

=DISTR.CHI(29,6;21)-DISTR.CHI(33,6;21) = 0,060352431

( ) ( )29 PRUEBA.CHI.P 0.05 INV 0,05;9 =χ > χ = ⇒ ⇒ 16,9189776χ =

( ) ( ) ( )2 29 9P 0.10 P 0.9 PRUEBA.CHI.INV 0,9 9 ;χ < χ = ⇒ χ > χ = ⇒ = ⇒ 4,16815904χ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 221 21 21 21 21P 20.6 P 20.6 P 0.4 P P 20.6 0.4< χ < χ = χ > − χ > χ = ⇒ χ > χ = χ > −

=PRUEBA.CHI.INV (DISTR.CHI(20,6;21)-0,4;21) 30,4348006χ =

( ) ( ) ( )8 8 8P t 0.262 P 0.262 t 0.262 1 2P t 0.262< = − < < = − >

=1-DISTR.T(0,262;8;2) = 0,200058723

( ) ( ) ( )10 10 10P 0.26 t 0.879 P t 0.26 P t 0.879≤ < = > − > =

=DISTR.T(0,26;10;1)-DISTR.T(0,879;10;1) = 0,20005436

( ) ( )8 8 =DIP t t STR0.9 P .T.It t 0.1 NV(0,1;8)< = ⇒ > = ⇒ = 1,859548033

( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 10 10 10 10P 0.26 t t P t 0.26 P t t 0.4 P t t P t 0.26 0.4≤ < = > − > = ⇒ > = > −

=DISTR.T(0,26;10;1)-0,4 0,0000693007= ⇒ Hay que tener en cuenta las dos colas

=DISTR.T.INV(2*0,0000693007;10) = 5,964088322



52.- La media del número de errores de ortografía por página es 3. Calcular la probabilidad de que:

a) En una página existan exactamente dos errores.

b) En una página existan al menos dos errores.

c) En cinco páginas existan exactamente doce errores.

Solución:

Distribución de Poisson de parámetro λ=3 en 1 página: k k

33P(X k) e = e

k! k!−λ −λ

= =

a) 2

33P(X 2) e

2!−= = ≈ 0.2240418076

b) k1

3

k 0

3P(X 2) 1 P(X 1) 1 e

k!−

=

≥ = − < = − ≈∑ 0.8008517265

c) Distribución de Poisson de parámetro λ=5x3=15:

k k1515

P(Y k) e = e k! k!

−λ −λ= =

121515

P(Y 12) e 12!

−= = ≈ 0.08285923436



53.- Un examen consta de 4 problemas, la probabilidad de que un alumno resuelva bien cualquier problema es 0,8.

a) Obtener la función de probabilidad de la variable aleatoria X=”número de problemas resueltos bien”.

b) Hallar la probabilidad de realizar bien, al menos, dos problemas.

c) ¿Cuál será la moda?

Solución:

Tenemos una distribución B(4,0.8)

P(X = k) = ( ) ( )n k 4 kk kn 4p 1 p 0.8 1 0.8

k k− −

− = −

a)

P(X = 0) = ( )4 0040.8 1 0.8

0−

− ≈

0.0016

P(X = 1) = ( )4 1140.8 1 0.8

1−

− ≈

0.0256

P(X = 2) = ( )4 2240.8 1 0.8

2−

− ≈

0.1536

P(X = 3) = ( )4 3340.8 1 0.8

3−

− ≈

0.4096

P(X = 4) = ( )4 4440.8 1 0.8

4−

− ≈

0.4096

b) ( )1

4 kk

k 0

4P(X 2) 1 P(X 1) 1 0.8 1 0.8

k−

=

≥ = − < = − − ≈

∑ 0.9728

c) Resulta una distribución bimodal {3,4}



54.- La longitud L en milímetros de las piezas fabricadas en un proceso es una variable aleatoria que se distribuye según una N(10,0.1). Se pide:

a) P(9.5<L<10.5)

b) El valor x tal que P(L<x)=0.975

Solución:

a) ( ) ( ) ( )P 9.5 L 10.5 P L 10.5 P L 9.5 F(10.5) F(9.5)< < = < − ≤ = − ≈ 0.9999994266

b)

F(x) P(L x) 0.975= < = ⇒ x = 10.19599639



55.- En la fabricación de un cierto tipo de piezas se sabe que el 2% son defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 10 piezas haya:

a) 2 defectuosas?

b) ninguna defectuosa?

c) menos de 2 defectuosas?

Solución:

Tenemos una distribución B(10,0.02)

P(X = k) = ( ) ( )n k 10 kk kn 10p 1 p 0.02 1 0.02

k k− −

− = −

a)

P(X = 2) = ( )10 22100.02 1 0.02

2−

− ≈

0.0153137344

b)

P(X = 0) = ( )10 00100.02 1 0.02

0−

− ≈

0.8170728068

c)

( )1

10 kk

k 0

10P(X 2) F(1) 0.02 1 0.02

k−

=

< = = − ≈

∑ 0.9838223592



56.- El coeficiente de inteligencia de los universitarios tiene de media 110 y la desviación típica 15. Si la distribución se considera normal, calcular:

a) Porcentaje de estudiantes con coeficiente mayor de 110 y menor de 120.

b) El coeficiente mínimo, para que un estudiante sea superdotado. Se denomina superdotados a aquellos que poseen un cociente intelectual que se encuentran por encima del 98% de la población.

Solución:

La variable aleatoria “peso” X N(110,15)≡ cuya función de distribución es:

2 2

2 2

1 (t ) 1 (t 110)x x

2 2 151 1F(x) P(X x) e dt e dt

2 15 2

−µ −− −

σ−∞ −∞

= ≤ = =σ π π∫ ∫

a)

P(110 X 120) P(X 120) P(X 110) F(120) F(110) 0.2475074624< < = < − ≤ = − ≈

Aproximadamente 24,75%

b)

F(x) P(X x) 0.98= < = ⇒ x = 140.8062338

A partir de 141



57.- En cierto gimnasio se ha comprobado que de los matriculados días después de Navidades el 30% de ellos no vuelven pasado el mes de enero y el 70% restante permanecen todo el año. Si suponemos que este año, se inscriben 100 alumnos días después de Navidades.

Respecto de los inscritos después de Navidades a) Identificar la variable aleatoria del problema e indicar qué distribución sigue. b) ¿Cuál es la probabilidad de que 25 o menos no vuelvan pasado enero? c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 30 alumnos no vuelvan pasado enero? d) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 35 alumnos no vuelvan pasado enero? Al hacer la inscripción realizan un ́único pago anual de 750 euros. Cada alumno que

permanece todo el año genera un gasto anual de 120 euros (se considera que los alumnos que permanecen menos de un mes no generan gasto).

e) ¿Cuál es el beneficio anual esperado? Solución: a) El experimento que asocia un valor A a cada matriculado que permanece durante todo

el año; o un valor Ac si el alumno no vuelve después de enero, es un experimento de Bernouilli de parámetro p = 0.3.

De esta forma, X es la suma de 100 experimentos de Bernouilli independientes de igual p = 0.3, por tanto X sigue una distribución binomial de parámetros n= 100 y p = 0.3,

esto es X ≈ B(100,0.3).

b) Nos piden P( X ≤ 25 ).

( )25

x 100 x

x 0

100P X 25 F(25) 0.3 0.7

x−

=

≤ = = ≈

∑ 0.163130

Aproximadamente, como mucho el 16% de los matriculados se dará de baja

c) Nos piden calcular P( X = 30 ), esto es, el valor de la función de probabilidad en la distribución binomial.

( ) 30 70100P X 30 0.3 0.7

30

= = ≈

0.0868

d) Debemos calcular P( X > 35 ).

P( X > 35 ) = 1 − P( X ≤ 35)=1- F(35)= 35

x 100 x

x 0

1001 0.3 0.7

x−

=

− ≈

∑ 0,116079.

e) Por cada alumno tenemos un ingreso de 750€. Si se inscriben 100 alumnos tenemos un ingreso total I = 100 ·750 € = 75000 €.

Cada alumno que permanece todo el año genera un gasto anual de 120 euros. Si X es el número de inscritos que no vuelven, entonces el número de matriculados que permanecen todo el año es 100 − X. Por tanto, el gasto anual es G = 120·(100 − X) y el beneficio anual sobre los matriculados días después de Navidades es B = I – G = 75000 – 120·( 100 − X) y el beneficio medio será:

E[75000 + 120·X – 12000] = 63000 +120·E[ X ] = 63000 + 120·100·0.3 = 59400



58.- Supongamos que el 5% de la población que ingresa en los hospitales de Madrid por urgencias tiene menos de 9 años. Supongamos, también, que el número de ingresos es suficientemente grande como para que al elegir un usuario al azar y apartarlo, no se altere dicho porcentaje.

Se eligen al azar 16 enfermos ingresados por urgencias. Calcular:

a) La probabilidad de que ninguno de ellos tenga menos de 9 años.

b) La probabilidad de que 3 o menos ingresados tengan menos de 9 años.

c) La probabilidad de que tengan menos de 9 años menos de 3 ingresados.

d) La probabilidad de que tengan menos de 9 años más de 2 ingresados.

e) La probabilidad de que tengan menos de 9 años 2 ingresados o más.

f) La probabilidad de que el número de ingresados con menos de 9 años este comprendido entre 2 y 5 ambos inclusive.

g) El número medio de ingresados con menos de 9 años.

h) La desviación típica de ingresados con menos de 9 años

Solución

Sea X = “número de ingresos por urgencias con menos de 9 años, entre los 16 elegidos al

azar”. Entonces X sigue una distribución de Poisson de parámetro λ = n·p = 0.8. Teniendo

en cuenta que ( )k

P X k ek !

−λλ= = ; calculamos:

a) P( X = 0 ) = 0

0.80.8e

0!− = 0.449328 .

b) P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = F( 3 ) = 0.99092014.

c) P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = F( 2 ) = 0.952777.

d) P(X > 2) = 1 – F( 2 ) = 1 – 0.952777 = 0.047422.

e) P(X ≥ 2) = 1 – P(X < 2) = 1 – F(1) = 0.191208.

f) P(2 ≤ X≤ 5) = F( 5 ) – F( 1 ) = 0,99981566–0,80879214= 0.18979655.

g) E[ X ] = λ = 16·0.05 = 0.8 ingresados con menos de 9 años.

h) V[ X ] = λ = 0.8; 0,8= ≈σ 0.894427191 .



59.- El tiempo en minutos de un viaje (ida y vuelta) de los camiones que transportan material hacia una obra de construcción en una carretera, está distribuido uniformemente en un intervalo de 50 a 70 minutos.

a) Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea mayor a 65 minutos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea menor a 65 minutos?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea exactamente 65 minutos?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea mayor a 65 minutos si se

sabe que la duración del viaje es mayor que 55 minutos?

e) Determinar el tiempo medio y la desviación estándar de la duración de los viajes.

Solución

La variable aleatoria X el tiempo en minutos de un viaje es una distribución uniforme de parámetros a= 50 y b= 70: U(50,70).

La función de densidad es ( )1

si 50 x 70f x 20

0 en el resto

≤ ≤=

0 si x 50

x 50F(x) si 50<x 70

20 1 si 70 x

≤ −⇒ = ≤

≤

a) ( )70

65

1P X 65 dx

20> = =∫

1

4.

b) ( ) ( ) ( )65

50

1P X 65 P X 65 F 65 dx

20< = ≤ = = =∫

3

4.

c) ( )65

65

1P X 65 dx

20= = =∫ 0 . Por ser una variable aleatoria continua.

d) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

1P X 65 X 55 P X 65 4X 65P X 55 3P X 55 P X 554

> ∩ > >> = = = => > >1

3.

e) Media:a b 70 50

2 2

+ +µ = = = 60

Desviación estándar:( ) ( )2 2

2 b a 70 50 400

12 12 12

− −σ = = = ⇒ σ =

10 3

3



60.- Un estudio de la DGT estima que el número de horas prácticas necesarias para la obtención del permiso de conducir sigue una distribución N(24, 3).

a) ¿Qué probabilidad hay de obtener el permiso de conducir con menos de 20 horas de prácticas?

b) ¿Cuántas horas de prácticas ha necesitado un conductor para obtener el permiso si el 68% de los conductores ha necesitado más horas que él?

Si la autoescuela ingresa por alumno una parte fija en concepto de matrícula de 300 euros, más 25 euros por hora de práctica.

c) Calcular el ingreso por alumno esperado.

d) Calcular la desviación típica del ingreso por alumno.

Solución

Sea X la variable aleatoria X = “número de horas de práctica” necesarias para obtener el

permiso de conducir, según el enunciado X ≈ N(24, 3)

a) Calculamos P(X ≤ 20) = F(20) = 0,091211

b) Sea x0 el número de horas de prácticas que buscamos (percentil 32)

Entonces calculamos el valor x0 de forma que P(X ≥ x0 ) = 0,68 ⇒ F(x0) = 0,32 ⇒

x0=22,5969

c) Para un alumno cualquiera, si X es el número de horas necesarias para obtener el

permiso de conducir, el ingreso de la autoescuela será 300 € por matrícula más 25·X

€ por las horas de práctica, por tanto, el ingreso por alumno es I = 300 + 25·X €. El

ingreso esperado es:

E[ I ] = E[ 300 + 25X ] = 300 + 25·E[ X ] = 300 + 25·24 = 900

d) En primer lugar calculamos la varianza

V[ I ] = V[ 300 + 25X] = 252·V[ X ] = 625·9 = 5625

Por tanto, la desviación típica es la raíz de 5625 = 75



61.- Para una distribución N(9, 2), calcular:

a) El valor del percentil 60.

b) El valor del primer cuartil.

c) Valores centrales entre los que queda comprendido el 40% de las observaciones.

Solución

a) P(X < x60 ) = F(x60) = 0.6 ⇒ x60 = 9.5

b) P(X < x25 ) = F(x25) = 0.25 ⇒ x25 = 7.651

c) Los valores a y b tales que entre ellos queda el 40% de las observaciones son aquellos

que P(X < a) = 0.3 y P(X < b) = 0.7, por tanto corresponden a los percentiles 30 y 70

respectivamente.

P(X < a) = 0.3 ⇒ a = 7.9512

P(X < b) = 0.7 ⇒ b = 10.0488

( )P a X b 0,4< < =



62.- Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a una oposición, se distribuyen normalmente con media 6,5 y varianza 4.

a) Calcular la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos.

b) Calcular el porcentaje de aspirantes con calificaciones inferiores a 5 puntos.

c) ¿Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 7.5.

Solución:

Sea X la variable aleatoria X = “calificaciones”, según el enunciado X ≡ N(6.5, 2)

a) Se pide P(X > 8) = 1 – F(8) = 0.226627.

b) Se pide 100·P(X < 5) = 100*F(5) = 22,6627.

c) Se pide 500·P(5 < X < 7.5) = 500(0,691462 – 0,226627) = 500*0,464835 ≈ 232



63.- De una distribución normal se conoce: El percentil 70 es igual a 88 y 0.27 la probabilidad de que la variable tenga un valor inferior a 60. Hallar los parámetros que definen esta distribución normal.

Solución:

X ≡ N(µ, σ)X

Z N(0,1)− µ

⇒ = ≡σ

( ) 88 88P X 88 0.7 P z F 0.7

− µ − µ ≤ = ⇒ ≤ = = σ σ , por tanto,

880.5544

− µ=

σ

( ) 60 60P X 60 0.27 P z F 0.27

− µ − µ ≤ = ⇒ ≤ = = σ σ , por tanto,

600.6128

− µ= −

σ

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene, 74.69 µ ≈ 24σ ≈




a) ( )26P 4 pχ ≤ = ; b) ( )2

6P 3 pχ > = ; c) ( )26P 3.5 5.9 p≤ χ < = ; d) ( )2

7P 4 pχ ≤ =

Solución:

a) ( )26p P 4 F(4)= χ ≤ = = 0.3233

b) ( )26p P 3 1 F(3)= χ > = − = 0.8088

c) ( ) ( ) ( )2 2 26 6 6p P 3.5 5.9 P 5.9 P 3.5 F(5.9) F(3.5)= ≤ χ < = χ < − χ < = − = 0.3095

d) ( )27p P 4 F(4)= χ ≤ = = 0.22022



65.- Calcular el valor, x, de la variable que verifica:

a) ( )25P x 0.90χ < = ; b) ( )2

5P x 0.05χ > = ; c) ( )25P x 0.975χ ≥ = ; d) ( )2

5P x 0.975χ < =

e) ( )25P x 5 0.045< χ < = ; f) ( )2

6P x 0.95χ < = ; g) ( )26P x 0.05χ > = ;

h) ( )27P x 0.975χ ≥ = ; i) ( )2

7P x 0.975χ < =

Solución:

a) ( )25P x F(x) 0.90χ < = = ⇒ x 9.2364=

b) ( )25P x 0.05 1 F(x) F(x) 0.95χ > = = − ⇒ = ⇒ x 11.0705=

c) ( )25P x 0.975 1 F(x) F(x) 0.025χ ≥ = = − ⇒ = ⇒ x 0.8312=

d) ( )25P x 0.975 F(x)χ < = = ⇒ x 12.8325=

e) ( ) ( ) ( )2 2 25 5 5P x 5 0.045 F(5) F(x) P 5 P x 0.045< χ < = ⇒ − = χ ≤ − χ ≤ = ⇒

( )25F(x) P x F(5) 0.045 0.5391⇒ = χ ≤ = − = ⇒ x 4.6436=

f) ( )26P x F(x) 0.95χ < = = ⇒ x 12,5916=

g) ( )26P x 0.05 1 F(x) F(x) 0.95χ > = = − ⇒ = ⇒ x 12,5916=

h) ( )27P x 0.975 1 F(x) F(x) 0.025χ ≥ = = − ⇒ = ⇒ x 1.68987=

i) ( )27P x 0.975 F(x)χ < = = ⇒ x 16.0128=




a) ( )9P t 0.3 p≤ = ; b) ( )9P t 1 p< − = ; c) ( )15P t 2.5 p> = ; d) ( )7P t 2 p> − =

( )10e) P 0.75 t 1.25 p≤ < = ; ( )15f ) P t 3.75 p;> = ( )11g) P 1.75 t 1.25 p− ≤ < =

Solución:

a) ( )9p P t 0.3 F(0.3)= ≤ = = . 0.6145

b) ( )9p P t 1 F( 1)= < − = − = 0.1717

c) ( ) ( )15 15p P t 2.5 1 P t 2.5 1 F(2.5)= > = − ≤ = − = 0.0122

d) ( ) ( )7 7p P t 2 P t 2 F(2)= > − = ≤ = = 0.9572

e) ( ) ( ) ( )10 10 10p P 0.75 t 1.25 P t 1.25 P t 0.75 F(1.25) F(0.75)= ≤ < = ≤ − < = − = 0.1154

f) ( )15 15p P t 3.75 1 P(t 3.75) 1 F(3.75)= > = − ≤ = − = 0.000965476

g) ( ) ( ) ( )11 11 11p P 1.75 t 1.25 P t 1.25 P t 1.75 F(1.25) F(1.75)= − ≤ < = < − < − = − =

0.827419



67.- Calcular el valor, x, de la variable que verifica:

a) ( )5P t x 0.90< = ; b) ( )5P t x 0.05< = ; c) ( )5P t x 0.975≥ = ; d) ( )5P t x 0.975< = ;

e) ( )5P x t x 0.05− < < = ; f) ( )5P x t 1.75 0.045< < = ; e) ( )6P t x 0.95< = ;

f) ( )6P t x 0.05< = ; g) ( )6P t x 0.975≥ = ; h) ( )6P x t x 0.05− < < =

Solución: a) ( )5P t x F(x) 0.90< = = ⇒ x 1.4759=

b) ( )5P t x F(x) 0.05< = = ⇒ x 2.0150= −

c) ( ) ( )5 5P t x 0.975 F(x) P t x 0.025≥ = ⇒ = ≤ = ⇒ x 2.5706= −

d) ( )5P t x 0.975 F(x)< = = ⇒ x 2.5706=

e) ( )5P x t x F(x) F( x) F(x) (1 F(x)) 2F(x) 1 0.05− < < = − − = − − = − = ⇒

x 0.06591486=

f) ( )5P x t 1.75< < = ( ) ( )5 5P t 1.75 P t x F(1.75) F(x) 0.045< − ≤ = − = ⇒

( )5F(x) P t x F(1.75) 0.0450.8847= < = − ⇒ x 1.3648=

e) ( )6P t x F(x) 0.95< = = ⇒ x 1.94318=

f) ( )6P t x F(x) 0.05< = = ⇒ x 1.94318= −

g) ( )6 6P t x 1 P(t x) 1 F(x) 0.975≥ = − < = − = ⇒ x 2.4469= −

h) ( )6P x t x 0.05− < < = x 0.065374=



68.- En un sondeo sobre la actitud de los clientes hacia un determinado producto se encuentra que hay un 70% de clientes que están a favor. Si se extrae una muestra aleatoria de 10 sujetos obtener las probabilidades siguientes:

a) Que 3 clientes estén a favor.

b) Que más de 3 clientes estén a favor.

c) Que menos de 3 clientes estén a favor.

d) Que como máximo 3 clientes estén a favor.

e) Que como mínimo haya 6 clientes a favor.

f) Que estén a favor al menos el valor esperado de clientes que están a favor.

g) Probabilidad de que estén en contra 4 o más clientes.

h) ¿Qué cantidad de clientes le corresponde al percentil 85?

Solución:

X=”nº de clientes a favor” sigue una distribución binomial de parámetros n= 10 y p =

0.7, esto es X ≈ B(10,0.7). La función de probabilidad es:

( ) k 10 k10P X k 0.7 0.3

k−

= =

a) ( ) 3 710P X 3 0.7 0.3

3

= = ≈

0.009001692

b) ( )3

k 10 k

k 0

10P X 3 1 P(X 3) 1 F(3) 1 0.7 0.3

k−

=

> = − ≤ = − = − ≈

∑ 0.9894079215

c) ( ) ( )2

k 10 k

k 0

10P X 3 P X 2 F(2) 0.7 0.3

k−

=

< = ≤ = = ≈

∑ 0.0015903864

d) ( )3

k 10 k

k 0

10P X 3 F(3) 0.7 0.3

k−

=

≤ = = ≈

∑ 0.0105920784

e) ( ) ( )5

k 10 k

k 0

10P X 6 1 P X 6 1 F(5) 1 0.7 0.3

k−

=

≥ = − < = − = − ≈

∑ 0.8497316674

f) E[X]=np=7

( ) ( )6

k 10 k

k 0

10P X 7 1 P X 7 1 F(6) 1 0.7 0.3

k−

=

≥ = − < = − = − ≈

∑ 0.6496107183

g) En contra 4 o más se corresponde con a favor 3 o menos d). h) F(x)=0.85, entonces x=8



69.- El contenido de un bote de cerveza se distribuye normalmente con media 33 cl y desviación estándar 3 cl.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un bote determinado tenga más de 34 cl?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un determinado bote tenga menos de 30 cl?

c) En un envase de 6 botes ¿cuál es la probabilidad de que el contenido líquido total sea inferior a un litro y tres cuartos?

Solución: Sea X la variable aleatoria X = “contenido de un bote de cerveza en cl”, X ≈ N(33, 3)

a) ( )P X 34 1 P(X 34) 1 F(34)> = − ≤ = − ≈ 0,3694

b) ( )P X 30 F(30)< = ≈ 0,1587

c) Consideramos la variable aleatoria Y=6X, que se distribuye según una Normal de media

6x33 y de varianza 6x9.

Y 6X N(198,3 6)= ≡

YP(Y 175) F (175)< = ≈ 0,0009



70.- Solo 24 de los 200 alumnos de una Escuela Técnica miden menos de 168 cm, si la estatura media de dichos alumnos es de 174 cm, ¿cuál es la varianza en las estaturas?

Solución:

X 174X N(174, ) Z N(0,1)

−≈ σ ⇒ = ≈

σ

( ) 24 168 174 6P X 168 P Z F 0,12

200

− − ≤ = ⇒ ≤ = = σ σ , por tanto,

6-1.174986790

−= ⇒

σ = 5.106440388σ



71.- La probabilidad de curación de un determinado tratamiento quirúrgico es 0.65. Se

pide: a) Calcular la probabilidad de que en un grupo de 10 enfermos se curen la mitad.

b) La probabilidad de que al menos se curen dos. c) Mediana.

Solución:

Llamamos X a la variable aleatoria " Número de enfermos que se curan". Se trata de una

variable aleatoria discreta con dos sucesos excluyentes: el enfermo se cura o no. Por tanto,

corresponde con una distribución binomial y su función de probabilidad es:

k n knP(X k) p (1 p)

k−

= = −

En nuestro caso: n=10 y p=0,65 k n k10P(X k) 0,65 (1 0,65)

k−

⇒ = = −

a) 5 n 510P(X 5) 0,65 (1 0,65)

5−

= = − ≈

0,1535704107

b) P(X 2) 1 P(X 2) 1 P(X 0) P(X 1) 1 F(1)≥ = − < = − = − = = − ≈ 0,9994601128

c) La función de distribución:x

k n k

k 0

10F(x) P(X x) 0,65 (1 0,65)

k−

=

= ≤ = −

∑

La mediana, M, es tal que F(M)=0,5

k F(k)

0 0,00002758547353

1 0,0005398871249

2 0,004821265211

3 0,02602428049

4 0,09493408017

5 0,2485044908

6 0,4861729836

7 0,7383926086

8 0,9140455617

9 0,9865372566

10 1

Dado que no hay un valor exacto de 0,5 se toma F(M)>0,5 y resulta M=7



72.- Las ventas mensuales de dos tiendas de ordenadores siguen distribuciones X ≡

N(120,8) e Y ≡ N(50,6). Calcular la probabilidad de que: a) La primera, X, venda 100 o

más ordenadores. b) La segunda, Y, venda menos de 40 ordenadores. c) Entre ambas

vendan entre 150 y 180 ordenadores.

Solución:

X=“ventas mensuales en la tienda X” 1 1N( , ) N(120,8)≡ µ σ =

Y=“ventas mensuales en la tienda Y” ( )2 2N( , ) N 50,6≡ µ σ =

a)

( ) ( )XP X 100 1 P(X 100) 1 F 100≥ = − < = − ≈ 0,9937903346

b) ( ) ( )YP X 40 F 40< = ≈ 0,04779035226

c) X + Y ( )2 21 1 2 2 1 2 1 2N( , ) N( , ) N( , ) N 170, 10≡ µ σ + µ σ = µ + µ σ + σ =

( ) ( )X Y X YP 150 X Y 180 F 180 F (150)+ +< + < = − ≈ 0,8185946141



73.- En un estudio sobre la preferencia de los clientes hacia una determinada marca X

se ha obtenido que el 40% de los clientes tienen la marca X como su marca favorita. Si

se extrae una muestra aleatoria de 8 sujetos obtener las probabilidades siguientes:

a) Que 2 clientes tengan la marca X como su marca favorita.

b) Que menos de 3 clientes tengan la marca X como su marca favorita.

c) Que como máximo 3 clientes tengan la marca X como su marca favorita.

d) Que como mínimo haya 5 clientes que tengan la marca X como su marca favorita.

e) Calcular la media y varianza.

Solución:

Se trata de una variable aleatoria binomial de parámetros n = 8; p =0.4, es decir, B(8, 0,4).

La función de probabilidad es:

( ) k 8 k8P X k 0.4 0.6

k−

= =

a) 2P(X )= = 2 680 4 0 6

2. .

=

0.016796.

b) 3 2 2P(X ) P(X ) F( )< = ≤ = = 0.315394.

c) 3 3P(X ) F( )≤ = = 0.594086.

d) ( )5 1 5 1 4P(X ) P X ) F( )≥ = − < = − = 0.173670

e) [ ]E X n·pµ = = = 3.2

[ ]2 1V X n·p·( p)σ = = − = 1.92



74.- El contenido de un bote de zumo se distribuye normalmente con media 33 cl y desviación estándar 1 cl.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un bote determinado tenga 1. Exactamente 33 cl? 2. Al menos 33.5 cl? 3. Menos de 32 cl? 4. Entre 32 y 34 cl?

b) Calcular la cantidad de centilitros que corresponden, respectivamente, a los percentiles P95, P5 y la mediana.

c) En un envase de 3 botes ¿cuál es la probabilidad de que el contenido líquido total sea inferior a un litro?

Solución:

a)

1. ( ) ( )33

33

33P X f x dx= = =∫ 0

2. ( ) ( ) ( )33 5 1 33 5 1 33 5P X . P X . F .≥ = − < = − = 0.308537.

3. ( ) ( )32 32P X F< = = 0 158655. .

4. ( ) ( ) ( )32 34 34 32P X F F< < = − = 0 682689. .

b)

( ) ( )0 95 0 95 0 950 95 0 95. . .P X x . F x . x≤ = ⇒ = ⇒ = 34 64 95. P=

( ) ( )0 05 0 05 0 050 05 0 05. . .P X x . F x . x≤ = ⇒ = ⇒ = 31 35 5. P=

( ) ( )0 5 0 5 0 50 5 0 5. . .P X x . F x . x≤ = ⇒ = ⇒ = 33 Mediana=

c) Sea B=3X la variable aleatoria contenido de 3 botes.

( ) ( ) ( )3 33 6 99 3B N n· , n N · , 1 N , ≡ µ σ = ⋅ = , por tanto, calculamos

( ) ( )100 100P B F< = = 0.7181485691



75.- a) Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes:

( )271) P 3 p;χ ≤ = 2)

( )27P 3 pχ ≥ = ; 3) ( )2

7P 7 pχ ≤ = ;

4) ( )8P t 2 p> = ; 5) ( )8P t 2 p< = ; 6) ( )8P 1 t 1 p− < < =

b) Calcular el valor, x, de la variable que verifica:

1) ( )25P x 0.95χ < = ; 2) ( )2

5P x 0.05χ < =

3) ( )6P t x 0.1≥ = ; 4) ( )6P t x 0.1< =

Solución:

a) 1) ( )2

7p P 3 F(3)= χ ≤ = = 0.114998

2) ( ) ( )2 27 7p P 3 1 P 3 1 F(3)= χ ≥ = − χ > = − = 0.885002

3) ( )27p P 7 F(7)= χ ≤ = = 0.5711201424

( ) ( )8 84) p P t 2 1 P t 2 1 F(2)= > = − ≤ = − = 0.040258

( )85) p P t 2 F(2)= < = = 0.9597419

6) ( )8p P 1 t 1 F(1) F( 1) F(1) (1 F(1)) 2F(1) 1= − < < = − − = − − = − = 0.6534

b)

1) ( )25P x 0.95 F(x)χ < = = ⇒ x 11.07=

2) ( )25P x 0.05 F(x)χ < = = ⇒ x = 1.145476251

3)

( ) ( ) ( )6 6 6P t x 1 P t x 1 P x t x 0.1 2 2F(x) F(x) 0.95≥ = − < = − − < < = = − ⇒ = ⇒

x 1.94318=

4) ( )6 6P t x P( x t x) F(x) F( x) 2F(x) 1 0.1 F(x) 0.55< = − < < = − − = − = ⇒ = ⇒

x = 0.1310757



76.- Se ha realizado un examen de tipo test con un gran número de preguntas. Las puntuaciones finales del test se dan sobre 50 puntos (enteros del 0 al 50). Las puntuaciones finales en actas son redondeadas al entero más próximo a partir de las puntuaciones reales, esto es, obtienen 12, por ejemplo, los alumnos con nota en el intervalo [11.5, 12.5). Para aprobar el examen se exige una puntuación de 25. Si suponemos que las puntuaciones antes de ser redondeadas siguen una distribución normal de media 30 y varianza 25:

a) ¿Qué puntuación máxima (no redondeada) delimita el 22% de las notas más bajas?

b) ¿Qué puntuación mínima (no redondeada) delimita el 20% de las notas más altas?

c) ¿Qué porcentaje de alumnos aparecerán en las actas de notas finales (redondeadas) con 25 puntos exactamente?

d) ¿Cuál será el porcentaje de suspensos en actas (notas finales redondeadas)?

Solución

La variable puntuación sigue una distribución N(30, 5)

a) ( ) ( )0 22 0 22P X x . F x . ≤ = ⇒ = ⇒ x 26.14≈

b) ( ) ( ) ( )0 2 0 8 0 8P X x . P X x . F x . ≥ = ⇒ ≤ = ⇒ = ⇒ 34 x .2≈

c) ( ) ( ) ( )24 5 25 5 25 5 24 5 0 18406 0 13566 0 0484P . X . F . F . . . .≤ ≤ = − ≈ − = , por tanto,

4.84%

d) ( ) ( )24 5 24 5 0 13566P X . F . .≤ = = , por tanto, 13.56%



77.- En un parque eólico la distancia entre aerogeneradores situados linealmente sigue el

modelo de una distribución N(150, 0.4) metros. Se pide:

a) Calcular la probabilidad de que dos aerogeneradores vecinos:

a1) Tengan una separación menor que 149.

a2) Tengan una separación comprendida entre 149.5 y 149.9.

a3) Tengan una separación mayor que 149.9.

b) Cuartiles de la distribución.

Solución:

Si designamos con X a la variable aleatoria “distancia entre dos aerogeneradores vecinos”, se

tiene:

a1) P(X < 149) = F(149) ≈ 0.006210

a2) P(149.5 < X <149.9) = F(149.9) − F(149.5) ≈ 0.295644

a3) P(X>149.9 ) = 1-P(149.9 < X) = 1 − F(149.9) ≈ 0.5987063256

b) Primer cuartil=Q1

F(Q1)=P(X<Q1)=0.25, luego Q1 = 149.7302040

Segundo cuartil es la mediana que coincide con la media 150

Tercer cuartil=Q3

F(Q3)=P(X<Q3)=0.75, luego Q3 = 150.2697958



78.- El tiempo en minutos que tarda un atleta en recorrer 100 metros sigue una distribución Normal, N(10,0.5). En una carrera por relevos de 4x100 metros, ¿cuál es la probabilidad de batir el record establecido en 37 segundos? Determinar con probabilidad del 0.95 el tiempo máximo que puede durar la carrera.

Solución:

El tiempo empleado por los 4 corredores será la suma de los tiempos de cada corredor:

1 2 3 4X X X X N( , )+ + + ≡ µ σ

[ ]1 2 3 4E X X X X 10 10 10 10 40µ = + + + = + + + =

[ ] 2 2 2 21 2 3 4V X X X X 0,5 0,5 0,5 0,5 1σ = + + + = + + + =

1 2 3 4X X X X N(40,1)+ + + ≡

1 2 3 4P(X X X X 37) F(37)+ + + < = ≈ 0,001349898031

( )P Y t F(t) 0,95< = = ⇒ t = 41,65



79.-. El Departamento de Transportes de un cierto país ha determinado que la licitación ganadora (baja) y en euros por contrato de reparación de carreteras, tiene una

distribución uniforme con función de densidad:3 2k

si x 3kf (x) 7k 3

0 en otro caso

≤ ≤ =

donde k es la estimación que hace el Departamento sobre el coste de la reparación. a) Calcular la media y la desviación típica. b) ¿Qué porcentaje de las licitaciones ganadoras están por debajo de la estimación del Departamento de Transportes? c) ¿Qué porcentaje de las licitaciones ganadoras están 1,5 veces por encima de la estimación del Departamento de Transportes?

Solución:

Comprobemos en primer lugar que f(x) es una función de densidad:

3k

2k

3

3f (x)dx dx 1

7k

∞

−∞= =∫ ∫ además f (x) ≥ 0, ∀ k > 0, por tanto, f(x) es una función de densidad

para cualquier valor de k.

a) 3k

2k

3

3xf (x)dx x dx

7k

∞

−∞µ = = =∫ ∫

11k

6

( )2

3k22 22k

3

11 3 49x f (x)dx x k dx k

6 7k 108

∞

−∞

σ = − µ = − = ⇒ ∫ ∫

7 3k

18σ =

b) k

2k

3

2 3 1P( k X k) dx

3 7k 7< < = =∫ por tanto, el porcentaje de licitaciones ganadoras

pedidas por debajo de k es14.28%

c) 3k

1,5k

3 9P(1,5k X) dx

7k 14< = =∫ por tanto, el porcentaje de licitaciones ganadoras

pedidas que superan 1.5 veces la estimación del Departamento de Transportes es 64.29%



80.- Un determinado componente electrónico tiene una vida útil (tiempo hasta rotura), T en años, que se distribuye según una distribución de Poisson de media cuatro años. a) Calcular la función de probabilidad de la variable aleatoria T. b) ¿Calcular la probabilidad de que el componente electrónico falle antes de tres años. c) ¿Cuál será la vida útil del 95% de estos componentes electrónicos? d) Calcular la probabilidad de que un componente electrónico que ha funcionado ya más de cuatro años tenga una vida útil mayor de siete años.

Solución: a) La distribución de Poisson se caracteriza por tener un único parámetro λ que coincide con la media, por lo tanto, la función de probabilidad es:

k k44

P(T k) e ek! k!

−λ −λ= = = para k=0,1,2,3,……

b) El componente electrónico fallará antes de tres años si su vida útil es menor que tres años.

F(T<3)=P(T=0)+P(T=1)+P(T=2)= 0,2381033055

c) La vida útil t pedida, es la solución de la ecuación F(t)=0,95

La función de distribución es: k

4

k t

4F(t) P(T t) e 0,95

k!−

≤

= ≤ = =∑

Por ser una variable aleatoria discreta puede que no exista un número entero que satisfaga la ecuación. Obtenemos que F(7)= 0,9488663842 y F(8)= 0,9786365655, luego la respuesta es 8 años

d) P(T 7 T 4) P(T 7) 1 F(7) 1 0,9488663842

P(T 7 / T 4)P(T 4) P(T 4) 1 F(4) 1 0,6288369351

> ∩ > > − −> > = = = = ≈

> > − −0,1377659057



8 1 . - En un ascensor se permite subir 8 personas. Se sabe que el peso de una persona es una variable aleatoria N(65,17). Si el límite de seguridad del ascensor es de 650 kg, calcular la probabilidad de que con 8 personas se supere el límite de seguridad.

Solución: Sea Xi la variable aleatoria “peso de una persona” Xi ≡ N(65, 17). Por ser los pesos de las personas que suben al ascensor variables aleatorias independientes, la suma de los pesos de las ocho personas seguirá una distribución normal. Si llamamos X a la variable aleatoria “peso de las ocho personas”, la media de la variable X es:

E [X] = E [8 ⋅ 65] = 520 siendo la varianza la suma de las varianzas V[X]=8 ⋅172=2312 Observe que sumar n variables aleatorias no es lo mismo que multiplicar por n una variable aleatoria.

Al calcular el peso de las ocho personas, se está sumando ocho variables aleatorias independientes. Si multiplicamos el peso de una persona por ocho, se multiplica por ocho el peso de sólo una variable aleatoria. La probabilidad de que con 8 personas se supere el límite de seguridad es: P(X > 650) = 1 − P(X ≤ 650) = 1- F(650)=0.003429190574



82.- Supongamos que el tiempo que transcurre, en minutos, entre dos llegadas consecutivas del metro a una estación es una variable aleatoria, T, con función de densidad f(t)=1/4e-0,25t si t>0. Se pide: a) E[T] e interpretación. b) Probabilidad de que el tiempo entre dos llegadas consecutivas sea mayor que 6 minutos. c) Si realizamos mediciones cinco veces en un día, ¿qué probabilidad tenemos de que se obtenga 3 mediciones que superen los 6 minutos? d) Si realizamos mediciones cinco veces en 4 días, ¿qué probabilidad tenemos de que en 2 de esos días se obtenga 3 mediciones que superen los 6 minutos? e) Si realizamos mediciones cinco veces durante 200 días, ¿qué probabilidad tenemos de que en ninguno de esos días se obtenga 3 mediciones que superen los 6 minutos? Encontrar la respuesta con la distribución de Poisson correspondiente. ¿Se puede usar la distribución Normal?

Solución:

Se trata de una distribución exponencial: ( )0,25t1 e si 0 t

f t 4 0 si t<0

− ≤=

a) Esperanza matemática

( ) 0,25t1t f t dt t e dt 44

∞ ∞ −

−∞ −∞µ = ⋅ = ⋅ =∫ ∫

De media llega un tren cada 4 minutos.

b) ( )∞ ∞ −> = = =∫ ∫ 0,25t

6 6

1P(T 6) f t dt e dt4

−≈

32e 0,2231301601

c) Tenemos una nueva variable X= “número de éxitos en 5 mediciones” B(5,p)= B(5,0.2231301601)

( ) ( ) ( ) ( )n k k 5 kkn 5P X k p 1 p 0,2231301601 1 0,2231301601

k k− −

= = − = −

( ) ( ) ( )3 5 35P X 3 0,2231301601 1 0,2231301601

3−

= = − ≈

0,06704576551

d) Ahora Y= “número de éxitos en 4 días” B(4,p)= B(4,0,06704576551)

( ) ( ) ( ) ( )n k k 4 kkn 4P Y k p 1 p 0,06704576551 1 0,06704576551

k k− −

= = − = −

( ) ( ) ( )2 4 24P Y 2 0,06704576551 1 0,06704576551

2−

= = − ≈

0,02347548850

e) Z= “número de éxitos en 200 días” B(n,p)= ( )B(200,0.06704576551) P 200 0.06704576551 P(13.4091531)≈ ⋅ =

( )k 0

13,40915310P Z 0 e ek! 0!

−λ −λ λ= = = ≈ 61,501339122·10−

Efectivamente, sería ( ) ( )N np, np(1 p) N 13.40915310,3.536965672− =

Al pasar de una distribución discreta a una distribución continua resulta que la probabilidad en un valor concreto es cero.



83.- En un bar observan que tiene una venta media de 2500 latas de cerveza a la semana. ¿Cuántas debe de tener almacenadas para tener una probabilidad de 0,75 o más de poder satisfacer la demanda de la próxima semana? a) Considerar la distribución de Poisson. b) Considerar la distribución Normal ajustada de la anterior. Solución:

a) Sea X= “número de latas de cerveza consumidas en una semana”.

X≡P (λ = 2500). ( )k k

25002500P X k e ek! k!

−λ −λ⇒ = = =

kn2500

k 0

2500F(n) P(X n) e 0,75k!

−

=

= ≤ = ≥∑

Observamos que F(2533)= 0,7491566 y que F(2534)= 0,75545218, por tanto necesitan disponer como mínimo 2534 latas

b) X N( , ) N(2500, 2500) N(2500,50)≡ µ σ = =

F(x) P(X x) 0,75 x 2533,724489= ≤ = ⇒ = Necesitamos 2534 latas

U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

Distribución Normal.

Una variable aleatoria continua X se dice que tiene una distribución normal o de

Laplace-Gauss de media y desviación típica : 2

2

1 (x )

21f (x) e

2

es su

función de densidad.

es la llamada “campana de Gauss”.

La función de distribución es: 2

2

1 (x )x

21F(x) P(X x) e dx

2

La esperanza matemática o media es y la varianza es 2 . Se denota N( , ).

La Normal tipificada o estándar X

Z N(0,1)


Cuantiles

Cuantil de orden es un valor de la variable estadística que deja a su izquierda una parte de la población y a la derecha una parte 1- de la población.

El Cuantil de orden (0 1) es x tal que F(x)=. Siendo F la función de distribución o la frecuencia relativa acumulada.

Los más utilizados son los cuartiles Q1, Q2 y Q3 que dejan a su izquierda 1/4, 1/2 y 3/4 de la población respectivamente. Obsérvese que Q2 = M (Mediana).

Los deciles D1, D2, ..... , D9 dejan a su izquierda 1/10, 2/10, ..., 9/10 de la población respectivamente.

Los percentiles P1, P2, ........, P99 dejan a su izquierda 1/100, 2/100, ..... 99/100 de la población respectivamente.

El cálculo de los mismos es similar al cálculo de la mediana.

Moda

Moda es el valor de la variable que se presenta con más frecuencia dentro de la distribución. En las distribuciones sin agrupar se observa directamente el valor de mayor

frecuencia. En las agrupadas, definimos la clase modal como la que tiene mayor frecuencia.

NOTA: Algunas distribuciones pueden presentar varias modas. Cada moda corresponde a un máximo absoluto del diagrama de barras o histograma.

Para variables aleatoriasLa moda es el máximo de la función de densidad o de la función de probabilidad


Distribución de Poisson

Es una distribución que se presenta cuando tenemos una población n grande y la probabilidad de que ocurra un suceso determinado, tiene una probabilidad muy pequeña (ley de casos raros). Una variable aleatoria tiene distribución de Poisson de parámetro , si toma los

valores enteros 0, 1,..., n,… con probabilidad: P kk

ek

( )!

si > 0

Esperanza matemática: E =

Varianza: V E E 2 2=


Distribución 2 de Pearson

Sean 1 2, ,..., n , n variables aleatorias N(0,1) e independientes, entonces la expresión: n n

212

22 2 ... es una variable aleatoria que recibe el nombre de ji-

dos chi-cuadrado de Pearson (1.857,1936). El número de variables normales sumadas recibe el nombre de grados de libertad, y la representamos por n

2 .

La función de densidad de la variable aleatoria n

2 es:

n1

2 x- 2n

2

xf (x) e si x 0

n2 2

La función de distribución de una variable aleatoria n

2 viene dada por:

F(x P x f xn

x) ( ) ( )dx

2

0

La media, varianza y desviación típica de una variable aleatoria ji-cuadrado con n grados de libertad son: n n n , , 2 2 2 respectivamente.

Corresponde a una distribución Gamma de parámetros 1/2 y n/2.


Distribución binomial o de Bernouilli

Consideremos un experimento aleatorio que admite sólo dos resultados excluyentes:

Suceso A (éxito) con probabilidad P(A) = p. Suceso A (fracaso) con probabilidad P( A ) = 1-p = q. A la variable aleatoria discreta = “número de veces que ocurre el suceso A (éxito) en las n pruebas” se la denomina variable binomial. Para calcular la distribución de probabilidad nos fijamos en el suceso favorable a A

en k veces, A AA Ak n k

.... ....) )

cuya probabilidad por ser sucesos independientes es el

producto de las probabilidades p p q qk n k

.... . ....) )

= p qk n k. . Resultado que se puede repetir n

k

veces, luego

P( = k) =n

k

p qk n k.

La función de distribución correspondiente es: F(x) = k x n

k

p qk n k.

Una distribución binomial queda caracterizada cuando se conocen p y n y se escribe B(n, p).

La esperanza matemática: E = n.p

La varianza: V = E 2 - E 2 = n.p.q

Mediana

En Estadística: La mediana es el valor de la variable que ocupa el lugar central, es decir, que la mitad de la población es menor y la otra mitad es mayor que él.

La mediana es un valor M tal que F(M)=1/2, se define así como raíz de una ecuación.

Para variables aleatorias F es la función de distribución

Si la variable aleatoria es discreta puede ocurrir que ningún valor posible xi corresponde a F(xi )=1/2 se conviene en considerar como mediana el valor xi

tal que: F x F xi i( ) ( ) 1

1

2


Distribución Uniforme o Rectangular.

Se dice que una variable continua,X, sigue una distribución uniforme en el intervalo a b,

cuando su función de densidad es:

0 si x a

1f (x) si a x b

b-a0 si b<x

Gráficamente:

a b

1_b-a

La función de distribución, será: F(x

si x a

)

0x - a

b - asi a x b

1 si b < x

cuya gráfica es:

1

a b

Media: a bE X x.f (x).dx

2

Varianza: 22V X E X E X 2b a

12

Esta distribución depende de los parámetros a y b y se denota U a b, .


Distribución t de Student.

Sean 1 2, ,..., n y , n+1 variables aleatorias independientes entre sí con

distribución N(0, ) cada una de ellas. Entonces la variable t

n

n

n

12 2...

se

denomina t de Student con n grados de libertad.

Función de densidad: f xn

n

n

x

n

n

( )

1

1

2

2

12

1

2

Su media 0 (n>1) y su varianza 2

2

n

n (n>2).

La gráfica de la función de densidad para n=3 grados de libertad:

Tiene su aplicación en la estimación de las características de una población con distribución normal mediante los llamados intervalos de confianza.

Student fue el seudónimo de William Sealy GOSSET (1.876,1.937), el estadístico y químico que descubrió la forma de la distribución t mediante una combinación de trabajo matemático y trabajo empírico con números aleatorios, una aplicación temprana de lo que ahora se llama el método de MonteCarlo.


Esperanza matemática

La esperanza matemática es el valor medio teórico que resulta de sustituir las fi (frecuencias relativas) por las Pi (probabilidades), y que no es sino una media aritmética ponderada. Se acostumbra a definirlo como esperanza matemática de ganancias, es decir, la ganancia que teóricamente esperaba obtener un jugador frente a unas determinadas reglas de juego.

Sea una variable aleatoria, se define el operador E como:

E = x P Xi ii

n

( )

1

para una variable discreta y finita.

E = x P Xi ii

( )

1

para una variable discreta y no finita siempre que la serie sea

convergente.

E = t f t dt. ( ).

cuando la variable es continua con función de densidad

f(x) y siempre que la integral sea absolutamente convergente.

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Distribución exponencial

Un caso particular de la distribución gamma con λ=1 es la distribución exponencial con

función de densidad x e si 0<x

f (x) 0 si x 0

con λ >0.

Su media 1

y su varianza 22

1

.

La xP X x 1 F(x) e se suele conocer con el nombre de función de

supervivencia o fiabilidad.

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