Formulación de modelos de Programación Lineal

VIDEO 1: Introducción a la programación lineal. Tips para formular un modelo de PL.

EJEMPLO 1: La Smith Motors, Inc., vende automóviles normales y vagonetas. La compañía obtiene $300 de utilidad sobre

cada automóvil que vende y $400 por cada vagoneta. El fabricante no puede proveer más de 300 automóviles ni más de 200

vagonetas por mes. El tiempo de preparación para los distribuidores es de 2 horas para cada automóvil y 3 horas para cada

vagoneta. La compañía cuenta con 900 horas de tiempo de taller disponible cada mes para la preparación de automóviles

nuevos. Plantee un problema de PL para determinar cuántos automóviles y cuántas vagonetas deben ordenarse para

maximizar las utilidades.

 

EJEMPLO 2: La EZ Company fabrica tres productos de última moda, a los cuales el departamento de mercadotecnia ha

denominado Mad, Mud y Mod. Estos tres productos se fabrican a partir de tres ingredientes los cuales, por razones de

seguridad, se han designado con nombres en código que son Alpha, Baker y Charlie. Las libras de cada ingrediente que se

requieren para fabricar una libra de producto final se muestran en la siguiente tabla.

  Ingrediente

ProductoAlph

a Baker Charlie

Mad 4 7 8

Mud 3 9 7

Mod 2 2 12

La empresa cuenta respectivamente con 400, 800, 1000 libras de los ingredientes Alpha, Baker y Charlie. Bajo las

condiciones actuales del mercado, las contribuciones a las utilidades para los productos son $18 para Mad, $10 para Mud y

$12 para Mod. Plantee un problema de PL para determinar la cantidad de cada uno de los productos de última moda que

deben fabricarse.

 

EJEMPLO 3: La Ware Farms del Valle Schoharie, cerca de Abany, N.Y., cultiva brócoli y coliflor en 500 acres de terreno

en el valle. Un acre de brócoli produce $500 de contribución a las utilidades y la contribución de un acre de coliflor es de

$1000. Debido a reglamentos gubernamentales, no pueden cultivarse más de 200 acres de brócoli. Durante la temporada de

plantación, habrá disponibles 1200 horas-hombre de tiempo de plantadores. Cada acre de brócoli requiere 2.5 horas-hombre

y cada acre de coliflor requiere 5.5 horas-hombre. Plantee un problema de PL para determinar cuántos acres de brócoli y

cuántos de coliflor deben plantarse para maximizar la contribución a las utilidades.

 

EJEMPLO 4: La Beta Corporation acaba de adquirir una licencia existente de operación para el servicio de automóviles

entre el aeropuerto DFW y el centro de la ciudad. Antes el servicio de esos automóviles operaba una flota de 30 vagonetas;

sin embargo, el volumen del negocio hace que sea fácil justificar la adición de otros vehículos. Además, la mayoría de los

vehículos son muy viejos y requieren un mantenimiento muy costoso. Debido a la baja inversión que se requiere para la

adquisición de la licencia, la Beta está en posición de reemplazar todos los vehículos existentes. Se están considerando tres

tipos de vehículos; vagonetas, autobuses pequeños y autobuses grandes. La compañía ha examinado cada tipo de vehículo y

ha recopilado los datos que se muestra en la siguiente tabla. El consejo de administración de la Beta ha autorizado $500,000

para la adquisición de vehículos. La Beta ha proyectado que puede utilizar en forma adecuada cuantos vehículos pueda

financiar; sin embargo, las instalaciones de servicio y mantenimiento son limitadas. En estos momentos, el departamento de

mantenimiento puede manejar 30 vagonetas. En la actualidad, la compañía no desea ampliar las instalaciones de

mantenimiento. Puesto que la nueva flota puede incluir autobuses pequeños y grandes, el departamento de mantenimiento

debe estar en posibilidades de trabajar con ellas. Un autobús pequeño es equivalente a 1 ½ vagonetas y cada autobús grande

equivale a 3 vagonetas. Plantee un modelo lineal que permita a la Beta determinar el número óptimo de cada uno de los tipos

de vehículos que debe adquirir con el objeto de maximizar las utilidades anuales esperadas.

Tipo de vehículos Precio de compra Utilidad anual neta esperada

Vagoneta $             6,500.00 $2,000

Autobús pequeño $           10,500.00 2800

Autobús grande $           29,000.00 6500

 

EJEMPLO 5: Un granjero desea determinar el costo diario más bajo de la mezcla de pastura para su ganado. Para cumplir

con los requerimientos mínimos de nutrición, la mezcla deberá de contener al menos 10000 unidades del nutriente A, 20000

unidades del nutriente B y 15000 unidades del nutriente C. Existen 2 alimentos de pastura disponibles para él, y cada libra del

primero cuesta $0.15 y contiene 100 unidades del nutriente A, 400 del nutriente B y 200 del nutriente C; y cada libra del

segundo cuesta $0.20 y contiene 200 unidades del nutriente A, 250 del nutriente B y 200 del nutriente C. Formule el modelo

de programación lineal.

 

 

EJEMPLO 6: Un fabricante de equipo de prueba, tiene tres deptos. principales para la manufactura de sus modelos S-1000

y S-2000. Las capacidades mensuales son las siguientes:

   Requerimientos unitarios de

tiempo (hrs)Hrs. disponibles

en el presente mesModelo S-1000 Modelo S-2000

Depto. de estructura principal 4.0 2.0 1600Depto. de alumbrado eléctrico 2.5 1.0 1200Depto. de ensamble 4.5 1.5 1600

 

La contribución del modelo S-1000 es de $40.00 por unidad y la del modelo S-2000 es de $10.00 por unidad. Se pide

formular este problema como un modelo de prog. lineal.

EJEMPLO 7: Considere la decisión de planeación de producción de una compañía que hace válvulas y pistones. Ambas

piezas deberán ser maquinadas en torno y procesadas en un esmerilador y, además, el pistón deberá ser pulido. Cada válvula

y cada pistón requieren cierta cantidad de acero. La siguiente tabla resume la cantidad de cada recurso usados en producir

válvulas y pistones, la utilidad unitaria y la cantidad de recursos disponibles:  Torno (hrs) Esmeril (hrs) Pulidora (hrs) Acero (hrs)Válvula 0.3 1.0 0.0 1.0Pistón 0.5 1.5 0.5 1.0

Recursos disponibles

Torno: 300 hrs.

Esmeriladora: 750 hrs.

Pulidora: 200 hrs.

Acero: 600 hrs.

 

La compañía desea determinar el valor de las variables de decisión si las utilidades unitarias esperadas son de $3.00 y $4.00

para válvulas y pistones respectivamente.

 

EJEMPLO 8: Una compañía fabrica 2 productos que pasan en forma sucesiva por tres maquinas. El tiempo por maquina

asignado a los dos productos está limitado a 10 hrs/día. El tiempo de producción y la ganancia por unidad de cada producto

se dan a continuación.

 Producto Tiempo de producción Ganancia ($/unid)

Maq. 1 Maq. 2 Maq. 31 10 min. 6 min. 8 min. $202 5 min. 20 min. 15 min. $30

Tiempo disp. (hrs/día) 10 hrs.600 min.

10 hrs.600 min.

10 hrs.600 min.

 

Determine la combinación óptima de producción para maximizar las ganancias.

 

EJEMPLO 9: Una compañía fabrica los productos A, B, C y D los cuales pasan por los departamentos de cepillado,

fresado, taladro y ensamble. Los requerimientos por unidad de producto, en horas, la contribución, capacidad de producción

de cada departamento y las demandas mínimas de venta son:

 DEPARTAMENTO (HRS/UNID.)

Contrib. por unid. Prod. Cepillado Fresado Taladro Ensamble Dem. min.$80.00 A 0.5 2.0 0.5 3.0 100 u90.00 B 1.0 1.0 0.5 1.0 600 u70.00 C 1.0 1.0 1.0 2.0 500 u60.00 D 0.5 1.0 1.0 3.0 400 u

Tiempo disp. 1800 hrs. 2800 hrs. 3000 hrs. 6000 hrs.  

Formule un modelo de programación lineal para maximizar las utilidades.

 

EJEMPLO 10: Una corporación ha decidido producir tres nuevos artículos, ya que en sus cinco plantas tienen exceso de

capacidad de producción. El costo unitario de manufacturación para el primer producto podría ser de $31.00, $29.00, $32.00,

$28.00 y $29.00 en las plantas 1, 2, 3, 4 y 5 respectivamente, por unos costos unitarios de $45.00, $41.00, $46.00, $42.00 y

$43.00 para el producto 2 y de $38.00, $35.00, $40.00, $29.00 y $32.00 para el producto 3, las plantas 1, 2, 3, 4 y 5 tienen

capacidad de 2000, 1000, 2000, 1500 y 2500 unidades por producir de los tres nuevos artículos en sus diferentes

combinaciones. Si los pronósticos de ventas indican que se podrían vender 1500, 2500, y 4000 unidades de los artículos 1, 2

y 3. ¿Cuál debería ser el numero optimo de unidades para cada artículo con el fin de minimizar los costos totales?

 

EJEMPLO 11: Una compañía fabrica dos clases de cinturones de piel. El cinturón tipo A es de alta calidad y el cinturón de

tipo B es de baja calidad. La ganancia esperada para cada cinturón es de $40.00 para el tipo A y de $25.00 para el tipo B.

Cada cinturón del tipo A requiere el doble de tiempo de fabricación que el cinturón de tipo B. Si todos los cinturones fueran

del tipo B, la compañía fabricaría 1000 unidades por día. El abastecimiento de piel es suficiente para 800 cinturones A y B

combinados, el cinturón tipo A requiere una hebilla especial de las que solo se dispone de 400 por día, por 700 de las que

lleva el cinturón tipo B. Construya el modelo de programación lineal que maximice las ganancias totales.

 

EJEMPLO 12: Un fabricante de gasolina de aviación vende dos clases de combustible, A y B. El combustible clase A tiene

25% de gasolina grado 1, 25% de gasolina grado 2 y 50% de gasolina grado 3. El combustible clase B tiene 50% de gasolina

grado 2 y 50% de gasolina grado 3. Disponibles para producción hay 500 galones por hora de gasolina grado 1 y 200 galones

por hora respectivamente de las gasolinas grado 2 y 3. Los costos son 30 centavos por galón de grado 1, 60 centavos por

galón de grado 2, y 50 centavos por galón de grado 3. La clase A puede venderse a 75 por galón, mientras que la clase B

alcanza 90 por galón. ¿Qué cantidad debe fabricarse de cada combustible?

 

EJEMPLO 13: La Higgins Company fabrica piezas de metal de alta precisión que se utilizan en los motores de automóviles

de carrera. La pieza se fabrica en un proceso de forjado y refinación y son necesarias cantidades mínimas de diversos

metales. Cada pieza requiere de 40 onzas de plomo, 48 de cobre y 60 de hierro colado. Existen 4 tipos de mineral disponible

para el proceso de forjado y refinación. El mineral tipo 1 contiene 4 onzas de plomo, 2 de cobre y 2 de acero colado por libra.

Una libra del mineral de tipo 2 contiene 2 onzas de plomo, 6 de cobre y 6 de acero colado. Una libra del mineral 3 contiene 1

onza de plomo, 4 de cobre y 4 de acero colado. Por último, el mineral de tipo 4 contiene ½ onza de plomo, 1 de cobre y 8

onzas de acero colado por libra. El costo por libra para los cuatro minerales es de $20, $30, $60 y $50, respectivamente. A la

Higgins le gustaría mezclar los minerales de manera que se satisfagan las especificaciones de las piezas y se minimice el

costo de fabricarlas. Defina las variables de decisión y plantee el apropiado modelo de PL.

 

EJEMPLO 14: La Maine Snowmobile Company fabrica dos clases de máquinas, cada una requiere de una técnica diferente

de fabricación. La maquina de lujo requiere de 18 horas de mano de obra, 9 horas de prueba y produce una utilidad de $400.

La maquina estándar requiere de 3 horas de mano de obra, 4 horas de prueba y produce una utilidad de $200. Se dispone de

800 horas para mano de obra y 600 horas para prueba cada mes. Se ha pronosticado que la demanda mensual para el modelo

de lujo no es más de 80 y de la máquina estándar no es más de 150. La gerencia desea saber el número de máquinas de cada

modelo, que deberá producirse para maximizar la utilidad total. Formule este problema como un modelo de programación

lineal.

 

EJEMPLO 15: Una compañía de inversiones debe escoger entre cuatro proyectos que están compitiendo por una bolsa fija

de inversiones de $1,200,000. La inversión neta y los réditos estimados de cada proyecto se dan en la tabla. Cada uno de los

proyectos se puede consolidar a cualquier nivel fraccionario < 100%. Formule un modelo de programación lineal que diga

qué fracción de cada proyecto contratar para maximizar los réditos esperados.

Centros comerciales $400,000 $575,000

Aceite de esquistos 500,000 750,000

Casa de bajos ingresos 350,000 425,000

Low-Income Housting 450,000 510,000

EJEM PLO 16:  El entrenador Sam “Gator” Jones está tratando de decidir qué jugadores de baloncesto deben participar en el

entrenamiento a campo traviesa. Puede elegir entre 11 jugadores, pero sólo desea llevar a 9, “Gator” desea maximizar

el promedio de puntos para el equipo que viaje, sujeto a varias restricciones. Plantee un problema de PE para

maximizar los puntos.

1)Debe haber cuando menos tres defensas (G)

2)Debe haber cuando menos tres delanteros (F)

3)Debe haber cuando menos dos medios (C)

4)Si va Stafford, entonces Jacobson debe quedarse en casa, y viceversa.

5)Si Burton va, entonces el entrenador Jones desea también llevar a Greve, pero no necesariamente al contrario.

Los nombres, posiciones y puntos promedios para los jugadores se presentan en seguida:

Método Simplex

EJEMPLO 1: Problema de maximizar con restricciones de menor o igual, utilizando la técnica de los renglones Zj y Cj-Zj.

Con intersección de 1 en la tabla incial. La columna pivote es el mayor positivo. Llegas a la solución óptima cuando tienes

valores negativos en tu renglón Zj-Cj.

 

EJEMPLO 2: Problema de minimizar, empleando la técnica de los renglones Zj y Cj-Zj. La columna pivote es el menor

negativo. Llegas a la solución óptima cuando tienes valores positivos en tu renglón Zj-Cj.

 

EJEMPLO 3: Problema de maximizar, usando la técnica donde se despeja la función objetivo. La columna pivote es el

menor negativo. Llegas a la solución óptima cuando tienes valores negativos en tu renglón Z.

 

EJEMPLO 4:  Método gráfico. Max z = 500x1 + 1000x2

x1 < 200

2.5x1 + 5.5x2 < 1200

x1 + x2 < 500

xi > 0

EJEMPLO 5: Método gráfico. Max Z = 20x1 + 10x2

x1 < 70

x2 < 50

x1 + 2x2 < 120

x1 + x2 < 90

Xi > 0Análisis de Sensibilidad

EJEMPLO 1: Problema dual de Minimizar, teoría de dualidad, propiedades del primal-dual, pasar el problema primo al

dual.

 

EJEMPLO 2: Problema dual de Maximizar, teoría de dualidad, propiedades del primal-dual, pasar el problema primo al

dual.

 

EJEMPLO 3: Introducción al análisis de sensibilidad. Cambios en el vector de disponibilidad de recursos. Cambios en los

coeficientes tecnológicos. Adición de una variable.Modelo de Transporte y Asignación

EJEMPLO 1: Método de la esquina noroeste. Explicación paso por paso en cuaderno y explicación dinámica con

powerpoint. Oferta y demanda iguales.

 

EJEMPLO 2: Método de la esquina noroeste. Explicación didáctica en PowerPoint. Método de solución inicial en el

algoritmo de transporte. Oferta y demanda iguales.

 

EJEMPLO 3: Método de aproximación de Vogel. Explicación paso a paso en cuaderno. Método de solución inicial en el

problema de transporte. Oferta y demanda iguales.

 

EJEMPLO 4: Método de aproximación de Vogel. Explicación didáctica en PowerPoint. Método de solución inicial en el

algoritmo de transporte. Agregando origen, almacén ó renglón ficticio.

 

EJEMPLO 5: Método de costos mínimos. Explicación en cuaderno paso a paso. Método de solución incial en el modelo de

transporte. Oferta y demanda iguales.

 

EJEMPLO 6: Método de costos mínimos. Explicación didáctica en PowerPoint. Método de solución inicial en el problema

de transporte. Agregando destino, cliente ó columna ficticia.

 

EJEMPLO 7: Método húngaro. Explicación didáctica en PowerPoint. Modelo de asignación balanceado (minimizar).

 

EJEMPLO 8: Método de solución óptima. Método del arroyo o salto de piedra en piedra. Método de la piedra rodante o del

banquillo. Ejemplo con 1 índice de mejoramiento negativo.