2 modelos de programación lineal

Investigación Operativa 1

Capítulo 2: Modelos de programación lineal

Profesor: Wilmer Atoche

2

ÍNDICE1. Problema de programación lineal.2. Requerimientos del problema de programación

lineal.3. Método gráfico para resolver problema de

maximización con dos variables.4. Método gráfico para resolver problema de

minimización con dos variables.5. Casos especiales de programación lineal.6. Solución de problemas de programación lineal

usando computadora.7. Análisis de sensibilidad gráfico y por computadora.

3

1. Problema de programación lineal

Programación lineal (PL) Es una herramienta para resolver problemas de

optimización. Está diseñada para ayudar a la toma de decisiones Está relacionada a la asignación de recursos.

4

Ejemplos de aplicaciones de PL (1)

1. Desarrollo de la programación de la producción permitirá Satisfacer demandas futuras para una empresa de

producción Mientras se minimizan los costos totales de

producción e inventarios.2. Selección de una mezcla de productos en una fábrica

para Hacer el mejor uso de las horas de máquina y

horas-hombre disponibles Mientras se maximiza la producción de la empresa

5

3. Determinación de los grados de productos petroleros para rendir el máximo beneficio.

4. Selección de mezclas de materias primas para abastecer molinos que producen alimentos balanceados al mínimo costo.

5. Determinación de un sistema de distribución que minimiza los costos totales de transporte de los almacenes a los mercados.

Ejemplos de aplicaciones de PL (2)

6

2. Requerimientos del problema de PL

• Un problema de programación lineal (PL) es un problema de optimización para el cual se efectúa lo siguiente:– Se intenta maximizar (o minimizar) una función

lineal (llamada función objetivo) de las variables de decisión.

– Los valores de las variables de decisión deben satisfacer un conjunto de restricciones. Cada restricción debe ser una ecuación o inecuación lineal.

– Una restricción de signo es asociada con cada variable.

7

Cinco suposiciones básicas de PL (1)

1.Certeza Los números en el objetivo y las restricciones son

conocidos con certeza y no pueden cambiar durante el periodo en que se está haciendo el estudio.

2.Proporcionalidad Existe en el objetivo y las restricciones.

3.Aditividad El total de todas las actividades es igual a la suma

de las actividades individuales.

8

4.Divisibilidad: Las soluciones no necesitan ser números enteros. Las soluciones son divisibles y pueden tomar

cualquier valor fraccionario.5.No negatividad:

Todas las respuestas o variables son no negativas (≥ 0).

Los valores negativos de cantidades físicas son imposibles.

Cinco suposiciones básicas de PL (2)

9

Formulación de un problema de PL (1)Variables de DecisiónXj , j = 1, 2, …,nFunción ObjetivoMaximizar ó MinimizarZ = C1X1 + C2X2 + . . . . . . + CnXn

Restriccionesa11X1 + a12X2 + ... + a1nXn {,,} b1

a21X1 + a22X2 + ... + a2nXn {,,} b2

...am1X1 + am2X2 + ...+ amnXn {,,} bm

Rango de existenciaXj 0, j = 1, 2, …,n

10

Pasos1. Entender por completo el problema administrativo que

se enfrenta.2. Identificar el objetivo y las restricciones.3. Definir las variables de decisión.4. Utilizar las variables de decisión para escribir las

expresiones matemáticas de la función objetivo y de las restricciones.

Formulación de un problema de PL (2)

11

Problema de la mezcla de productos Dos o más productos son fabricados usados recursos

limitados tales como personal, máquinas, materias primas, etc.

La utilidad que la empresa busca para maximizar está basada en la contribución a la utilidad por unidad de cada producto.

A la compañía le gustaría determinar cuántas unidades de cada producto deberá fabricar para maximizar la utilidad total dados sus recursos limitados.

Flair Furniture Company (1)

12


Maximizar la utilidadSujeta a:1. Horas de carpintería utilizadas 240 horas por semana2. Horas de pintura y barnizado utilizadas 100 horas por

semana

Identificar el objetivo y las restricciones:

Horas requeridas para producir 1 unidadDepartamento Mesas Sillas

Disponibilidad (horas/semana)

• Carpintería• Pintura y barnizado

42

31

240100

Utilidad (intis por unidad) 7.00 5.00

13

X1 = número de mesas que deben ser producidas y vendidas por semanaX2 = número de sillas que deben ser producidas y vendidas por semana

Variables de decisión





42

31

240100


14

Formulación matemáticaMaximizar Z = 7X1 + 5X2

Sujeta a4X1 + 3X2 ≤ 240 (Restricción de Carpintería)

2X1 + 1X2 ≤ 100 (Restricción de Pintura y Barnizado)

Con X1, X2 ≥ 0 (condiciones de no negatividad)





42

31

240100


15

3. Método gráfico para resolver problemas de maximización con dos variables

La forma más fácil de resolver un pequeño problema de PL tal como el de la Flair Furniture Company es con el método gráfico.

El método gráfico funciona sólo cuando existen dos variables de decisión, pero es invaluable ya que da una idea de cómo funcionan otros métodos.

16

Las condiciones de no negatividad X1 ≥ 0 y X2 ≥ 0 significan que siempre se trabaja en el primer cuadrante.

X1 (número de mesas)

X2 (número de sillas)

(0,0)

Representación gráfica de las restriccionesFlair Furniture Company (1)

17


La restricción de Carpintería es 4X1 + 3X2 ≤ 240 Se grafica la restricción en forma de igualdad 4X1 +

3X2 = 240 • Sea X1 = 0 y resuelva para el punto donde la línea cruza el

eje X2. 4(0) + 3(X2) = 240, X2 = 80 sillas• Sea X2 = 0 y resuelva para el punto donde la línea cruza el

eje X1. 4(X1) + 3(0) = 240, X1 = 60 mesas La restricción de Carpintería está limitada por la línea

que va del punto (X1 = 0, X2 = 80) al punto (X1 = 60, X2 = 0).

18




(60,0)

(0,80)

4 X1 + 3 X2 ≤ 240 (Carpintería)

(0,0)

19


La restricción de Pintura y Barnizado es 2X1 + 1X2 ≤ 100

Se grafica la restricción en forma de igualdad 2X1 + 1X2 = 100 • Sea X1 = 0 y resuelva para el punto donde la línea cruza el

eje X2. 2(0) + 1(X2) = 100, X2 = 100 sillas• Sea X2 = 0 y resuelva para el punto donde la línea cruza el

eje X1. 2(X1) + 1(0) = 100, X1 = 50 mesas La restricción de Pintura y Barnizado está limitada por

la línea que va del (X1 = 0, X2 = 100) al punto (X1 = 50, X2 = 0).

20




(60,0)

(0,80)


2 X1 + 1 X2 ≤ 100 (Pintura y Barnizado)

(50,0)

(0,100)

(0,0)

21




(60,0)

(0,80)


2 X1 + 1 X2 ≤ 100 (Pintura y Barnizado)

(50,0)

(0,100)

Región Factible

(0,0)

22

Método de solución de línea de isoutilidad

1. Graficar todas las restricciones y encontrar la región factible.

2. Seleccionar una línea de utilidad y graficar esta para encontrar la pendiente.

3. Mover la línea de la función objetivo en dirección para incrementar la utilidad mientras se mantiene la pendiente. El último punto en tocar la región factible es la solución óptima.

4. Encontrar los valores de las variables de decisión en este último punto y calcular la utilidad.

23

Comenzar asignando utilidades iguales a cantidades arbitrarias pero pequeñas en intis.

Elegimos una utilidad de 210. • Éste es un nivel de utilidad que puede ser alcanzado con

facilidad sin violar ninguna de las dos restricciones. La función objetivo se escribe como 210 = 7X1 + 5X2.

Línea de isoutilidadFlair Furniture Company (1)

24

La función objetivo es justo la ecuación de una línea llamada línea de isoutilidad.• Esta representa todas las combinaciones de (X1, X2) que

producirían una utilidad total de 210. Para trazar la línea de utilidad, se procede de manera

similar a la que se empleó para trazar la línea de restricción: • Primero, sea X1 = 0 y resuelva para el punto donde la línea

cruza el eje X2. 210 = 7(0) + 5(X2), X2 = 42 sillas• Entonces, sea X2 = 0 y resuelva para el punto donde la línea

cruza el eje X1. 210 = 7(X1) + 5(0), X1 = 30 mesas


25

A continuación se conectan estos dos puntos con una línea recta.

Todos los puntos en la línea representan soluciones factibles que producen una utilidad de 210.

Obviamente, la línea de isoutilidad de 210 no produce la más alta utilidad posible para la empresa.

Se trazan dos líneas más, cada una de las cuales produce una utilidad más alta.

Otra ecuación, 420 = 7X1 + 5X2, es trazada de la misma manera que la última línea.


26

Cuando X1 = 0,420 = 7(0) + 5(X2), X2 = 84 sillas

Cuando X2 = 0,420 = 7(X1) + 5(0), X1 = 60 mesas

Esta línea es demasiado alta para ser considerada porqué no llega a tocar la región factible.

La más alta línea de isoutilidad posible toca la punta de la región factible en el punto de esquina (X1 = 30, X2 = 40) y da una utilidad de 410.


27



(0,80)

(50,0)(0,0)

7 X1 + 5 X2 = Z = 560

7 X1 + 5 X2 = Z = 385

7 X1 + 5 X2 = Z = 280

7 X1 + 5 X2 = Z = 210

7 X1 + 5 X2 = Z = 140


28

Solución óptimaFlair Furniture Company



(0,80)

(50,0)(0,0)

7 X1 + 5 X2 = Z = 410 = 7(30) + 5(40)

(30,40) Solución óptima

Línea de isoutilidad

29


2. Encontrar los puntos esquina de la región factible.3. Calcular la utilidad en cada punto esquina de la

región factible.4. Seleccionar el punto esquina con el mayor valor de

la función objetivo. Éste es la solución óptima.

Método de solución del punto de esquina

30

La región factible para el problema de Flair Furniture Company es un polígono de cuatro lados con cuatro puntos de esquina o puntos extremos.

Estos puntos son los designados como 1, 2, 3, y 4. Ver diapositiva siguiente.

Para encontrar los valores (X1, X2) que producen la utilidad máxima, se localizan las coordenadas de cada punto en esquina y se comprueban sus niveles de utilidad.

Punto 1: (X1 = 0, X2 = 0), Utilidad = 7(0) + 5(0) = 0Punto 2: (X1 = 0, X2 = 80), Utilidad = 7(0) + 5(80) = 400Punto 3: (X1 = 30, X2 = 40), Utilidad = 7(30) + 5(40) = 410Punto 4: (X1 = 50, X2 = 0), Utilidad = 7(50) + 5(0) = 350

Punto de esquinaFlair Furniture Company (1)

31



(0,80)

(50,0)(0,0)

7 X1 + 5 X2 = Z = 410 = 7(30) + 5(40)

(30,40) Solución óptima

Puntos de esquina

1

2

3

4

Punto de esquinaFlair Furniture Company (2)

32

Solución de problemas de minimización

Un restaurante desea desarrollar un horario de trabajo para satisfacer las necesidades de personal al mismo tiempo que minimizar el número total de empleados.

Un fabricante busca distribuir sus productos de varias fábricas a sus almacenes regionales de tal modo que se reduzcan al mínimo los costos de embarque.

Un hospital desea proporcionar un plan de alimentación diario para sus pacientes que satisfaga ciertos estándares nutricionales al mismo tiempo que reducir al mínimo los costos de adquisición de alimentos.

33

4. Método gráfico para resolver problemas de minimización con dos variables

Los problemas de minimización pueden ser resueltos gráficamente. Existen dos métodos para encontrar la solución óptima: línea de isocosto y punto de esquina.

34

Método de solución de línea de isocosto


2. Seleccionar una línea de isocosto y graficar esta para encontrar la pendiente.

3. Mover la línea de la función objetivo en dirección para decrementar el costo mientras se mantiene la pendiente. El último punto en tocar la región factible es la solución óptima.

4. Encontrar los valores de las variables de decisión en este último punto y calcular el costo.

35


2. Encontrar los puntos esquina de la región factible.3. Calcular la utilidad en cada punto esquina de la

región factible.4. Seleccionar el punto esquina con el menor valor de

la función objetivo. Éste es la solución óptima.

Método de solución del punto de esquina

36

Problema de minimizaciónHoliday Meal Turkey Ranch (1)

Ingrediente Marca 1 (oz./lb.)

Marca 2 (oz./lb.)

Requerimiento mínimo mensual

por pavo (oz.)

A B C

10 3 0

90481.5

Costo (centavos/lb.) 2 3

54

0.5

37

Problema de minimizaciónHoliday Meal Turkey Ranch (2)

Minimizar Z = 2X1 + 3X2

Sujeta a:5X1 + 10X2 ≥ 90 (restricción del ingrediente A)

4X1 + 3X2 ≥ 48 (restricción del ingrediente B)

0.5 X1 ≥ 1.5 (restricción del ingrediente C)

Con X1, X2 ≥ 0 (condición de no negatividad)

Variables de decisiónX1 = número de libras del alimento marca 1 adquiridasX2 = número de libras del alimento marca 2 adquiridas

38

Método del punto de esquinaHoliday Meal Turkey Ranch

(18,0)

(0,9)

(0,16)

(12,0) X1

X2

(3,0)

5 X1 + 10 X2 ≥ 90

0.5 X1 ≥ 1.5

4 X1 + 3 X2 ≥ 48

(8.4,4.8) Solución óptima

2 X1 + 3 X2 = Z = 31.2 = 2(8.4) + 3(4.8)

39

5. Casos especiales de programación lineal (1)

Tres casos especiales se plantean cuando se utiliza el método gráfico para resolver problemas de PL.

1) Infactibilidad.

2) No acotamiento.

3) Soluciones óptimas múltiples.

40

1. Infactibilidad.- falta de una región de solución factible puede ocurrir si existen conflictos entre las restricciones.

2. No acotamiento.- Cuando la utilidad en un problema de maximización puede ser infinitamente grande, el problema es ilimitado y falta una o más restricciones.

3. Soluciones óptimas múltiples.- dos o más soluciones óptimas pueden existir y esto permite actualmente a la administración tener flexibilidad para decidir entre varias opciones.

5. Casos especiales de programación lineal (2)

41

Un problema con solución no factible

X2

X1

8

6

4

2

02 4 6 8

Región que satisface la tercera restricción

Región que satisface las dos primeras restricciones

42

Una región factible no acotada a la derecha

X2

X1

15

10

5

05 10 15

Región factible

X1 ≥ 5 X2 ≤ 10

X1 + 2X2 ≥ 10

43

Un ejemplo de soluciones óptimas múltiples

Maximizar Z = 3 X1 + 2 X2

Sujeta a 6 X1 + 4 X2 < 24 X1 < 3Con X1, X2 > 0

La solución óptima se compone de todas las combinaciones de X1 y X2 a lo largo del segmento AB

Línea de isoutilidad para I/.12.00 sobre el segmento AB

Línea de isoutilidad para I/.8.00A

B

AB

6

430 X1

X2

44

6. Solución de problemas de programación lineal usando computadora

WinqsbLindo

Uso de Winqsb para resolver el problema de Flair Furniture Company (1)

45

Uso de Winqsb para resolver el problema de Flair Furniture Company (2)

46

47

Uso de LINDO para resolver el problema de Flair Furniture Company (1)

Pantalla de ingreso de datos

48


Reporte de formulación

49


Reporte de formulación y solución

50

Las soluciones óptimas han sido encontradas bajo suposiciones deterministas.

• Esto significa que se supone una certeza completa en los datos y relaciones de un problema.

• Por ejemplo los precios son fijos, los recursos conocidos, el tiempo necesario para producir una unidad exactamente establecido.

Pero en el mundo real, las condiciones son dinámicas y cambiantes.

Preguntas a ser hechas son: ¿qué tan sensible es la solución óptima a cambios en las utilidades, recursos u otros parámetros de entrada?

7. Análisis de sensibilidad gráfico y por computadora (1)

51

Una manera de reconciliar esta discrepancia entre los supuestos deterministas y las condiciones dinámicas y cambiantes del mundo real es: cuán sensible es la solución óptima a los supuestos del modelo y los datos.

Una importante función del análisis de sensibilidad es que permite experimentar con los valores de los parámetros de entrada.

7. Análisis de sensibilidad gráfico y por computadora (2)

52

Hay dos métodos para determinar la sensibilidad de una solución óptima a los cambios.El primero es simplemente un método de ensayo y error. Este método resuelve todo el problema, de preferencia con una computadora, cada vez que cambia un dato de entrada o parámetro. Esto puede tomar mucho tiempo para probar una serie de posibles cambios.

Formas para realizar el análisis de sensibilidad (1)

53

El segundo método es el análisis de postoptimalidad.Después que el problema de PL ha sido resuelto, se intenta determinar un intervalo de cambios en los parámetros que no afectan la solución óptima o cambian los valores de las variables en la solución. Esto se realiza sin resolver el problema completo.Análisis de postoptimalidad significa examinar los cambios una vez que se ha llegado a la solución optima.

Formas para realizar el análisis de sensibilidad (2)

54

Análisis de sensibilidad usando el método gráfico

Holiday Meal Turkey Ranch

(18,0)

(0,9)

(0,16)

(12,0) X1

X2

(3,0)

5 X1 + 10 X2 ≥ 90

0.5 X1 ≥ 1.5

4 X1 + 3 X2 ≥ 48

(8.4,4.8) Solución óptima

2 X1 + 3 X2 = Z = 31.2 = 2(8.4) + 3(4.8)

55

Cambios en los coeficientes de la función objetivo - gráfico

(18,0)

(0,9)

(0,16)

(12,0) X1

X2

(3,0)

Variación del coeficiente C1 de X1

2 X1 + 3 X2 = Z

4 X1 + 3 X2 = Z

1.5 X1 + 3 X2 = Z

(18,0)

(0,9)

(0,16)

(12,0) X1

X2

(3,0)

Variación del coeficiente C2 de X2

2 X1 + 3 X2 = Z

2 X1 + 1.5 X2 = Z

2 X1 + 4 X2 = Z

56

Análisis de sensibilidad usando LINDO


57

• LINDO produce un reporte de sensibilidad. • Este reporte provee los incrementos y decrementos

admisibles para los coeficientes de la función objetivo.

• Sumando el incremento admisible (ALLOWABLE INCREASE) a los valores actuales (CURRENT COEF), el límite superior puede ser obtenido.

• Restando el decremento admisible (ALLOWABLE DECREASE) a los valores actuales (CURRENT COEF), el límite inferior puede ser obtenido.

Cambios en los coeficientes de la función objetivo - LINDO (1)

58

1.5 ≤ C1 ≤ 41.5 ≤ C2 ≤ 4


Cambios en los coeficientes de la función objetivo - LINDO (2)

59

Cambios en los coeficientes de la función objetivo

Si la solución óptima es no degenerada, podemos afirmar:

Cuando un coeficiente en particular es aumentado (disminuido) en una cantidad aceptable, la solución óptima no cambia, pero el valor óptimo de la función objetivo aumenta (disminuye) en un valor igual a dicha cantidad multiplicada por el valor de la variable asociada a ese coeficiente.

60

Los valores del lado derecho de las restricciones a menudo representan recursos disponibles para la empresa.

Los recursos podrían ser horas de mano de obra o tiempo de máquina o quizás dinero o materiales de producción disponibles.

Cambios en los recursos o valores del lado derecho (1)

61

Si el lado derecho de una restricción es cambiado:• La región factible cambiará (a menos que la restricción sea

inactiva) • Y con frecuencia la solución óptima cambiará.

El valor de cambio en la función objetivo que resulta de una unidad de cambio en uno de los recursos disponibles es llamado precio dual.

El precio dual de una restricción es el mejoramiento del valor de la función objetivo que resulta del incremento de una unidad en el lado derecho de la restricción.


62

El precio dual de un recurso indica el valor en que la función objetivo será incrementada (o decrementada) debido a otra unidad del recurso.

Sin embargo, el valor del incremento posible del lado derecho de un recurso es limitado.

Si el valor fuera incrementado más allá del límite superior, entonces la función objetivo ya no se incrementaría por el precio dual.

• Si fuera excedido este número límite del recurso, quizás cambie la función objetivo, pero por un valor diferente al precio dual.

• Así, el precio dual sólo es relevante dentro de los límites.


63


Cambios en los recursos o valores del lado derecho – gráfico (1)

(18,0)

(0,9)

(0,16)

X1

X2

(3,0)

5 X1 + 10 X2 ≥ 90

(8.4,4.8)

Variación del lado derecho de la restricción 5 X1 + 10 X2 ≥ 90

(12,0)

5 X1 + 10 X2 ≥ 135(3,12)

5 X1 + 10 X2 ≥ 60

2 X1 + 3 X2 = Z = 42 = 2(3) + 3(12)

2 X1 + 3 X2 = Z = 31.2 = 2(8.4) + 3(4.8)

Precio Dual = -(42-31.2)/(135-90) = -0.24

2 X1 + 3 X2 = Z = 24 = 2(12) + 3(0) Precio Dual = -(24-31.2)/(60-90) = -0.24

60 ≤ b1 ≤ 135; precio dual = -0.24

64

(0,9)

(0,16)

(12,0) X1

X2

(3,0)

(8.4,4.8)

Variación del lado derecho de la restricción 4 X1 + 3 X2 ≥ 48

4 X1 + 3 X2 ≥ 48

4 X1 + 3 X2 ≥ 72

4 X1 + 3 X2 ≥ 34.5

(3,7.5)

2 X1 + 3 X2 = Z = 31.2 = 2(8.4) + 3(4.8)

(18,0)2 X1 + 3 X2 = Z = 36 = 2(18) + 3(0)

2 X1 + 3 X2 = Z = 28.5 = 2(3) + 3(7.5) Precio Dual = -(36-31.2)/(72-48) = -0.2

Precio Dual = -(28.5-31.2)/(34.5-48) = -0.2


34.5 ≤ b2 ≤ 72; precio dual = -0.20


65


(18,0)

(0,9)

(0,16)

(12,0) X1

X2

(3,0)

(8.4,4.8)

Variación del lado derecho de la restricción 0.5 X1 ≥ 1.5

0.5 X1 ≥ 1.5

0.5 X1 ≥ 4.2

2 X1 + 3 X2 = Z = 31.2 = 2(8.4) + 3(4.8)

Precio Dual = -(31.2-31.2)/(4.2-1.5) = 0

2 X1 + 3 X2 = Z = 31.2 = 2(8.4) + 3(4.8)(3,12)

-∞ ≤ b3 ≤ 4.2; precio dual = 0.00


66


60 ≤ b1 ≤ 135; precio dual = -0.24

34.5 ≤ b2 ≤ 72; precio dual = -0.20

-∞ ≤ b3 ≤ 4.2; precio dual = 0.00

Cambios en los recursos o valores del lado derecho – LINDO

67


Cuando el lado derecho de una restricción activa es aumentado (disminuido) en una cantidad aceptable, la base óptima no cambia, pero la solución óptima si cambia, y el valor óptimo de la función objetivo aumenta (disminuye) en un valor igual a dicha cantidad multiplicada por el valor del precio dual asociado a esa restricción.


68


Cuando el lado derecho de una restricción inactiva es aumentado (disminuido) en una cantidad aceptable, la solución óptima no cambia.


69

Si una solución óptima es no degenerada, y tiene una variable de decisión cuyo valor óptimo es cero, podemos afirmar:

El coeficiente de esa variable en la función objetivo debe ser cambiado por lo menos en el costo reducido (y posiblemente más), con el objeto de que haya una solución óptima en la que la variable aparezca con un valor positivo.

Costo reducido

70

MAX 10 X1 + 3 X2 SUBJECT TO 2) 8 X1 + 7 X2 <= 56 3) 6 X1 + 10 X2 <= 60 END OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 70.00000

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 7.000000 0.000000 X2 0.000000 5.750000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 1.250000 3) 18.000000 0.000000

El costo reducido es el valor en que debe incrementado el coeficiente de la variable no básica en la función objetivo para obtener una solución óptima alternativa.

Costo reducido – LINDO (1)

71

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 10.000000 INFINITY 6.571429 X2 3.000000 5.750000 INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 56.000000 24.000000 56.000000 3 60.000000 INFINITY 18.000000

Costo reducido – LINDO (2)

2 modelos de programación lineal

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