Modelos Programcion Lineal Entera Mixta

Ricardo Gatica E.Optimizacin en RedesRedes de Flujo

1

Optimizacin Aplicada

1

Modelos Programacin Lineal Entera Mixta

(parte 1)

Ricardo Gatica, Ph.D.

Ricardo Gatica E.Programacin Lineal Entera Mixta

2

Modelamiento con Variables Enteras

Modelo general de PLEM

+

. +

0

Donde A y B son matrices; b, c y d son vectores de dimensiones consistentes.


3


Clasificaciones de los PLEM

+ . +

0

.

0

+ . +

0 0,1

.

0,1

.

PLEM 0,

PL 0, =

PE = ,

PBP = , 0,1

PBEM 0, 0,1


4

Modelamiento con Variables Binarias

Tcnicas de modelamiento

Algunas tcnicas de modelamiento que facilitan la formulacin de problemas de optimizacin discreta como modelos de Programacin Binaria.

1. Dicotomas

2. Condiciones lgicas

a. No ms de k entre n alternativas

b. Decisiones dependientes

c. K entre n restricciones

3. Tamaos de Lote y Puesta en Marcha


5


1. Dicotomas

Las variables binarias se utilizan comnmente para representar seleccin entre dos alternativas excluyentes. Ejemplos:

Instalar o no una planta en la zona j

=10. .

Si el vehculo k realiza un viaje entre la ciudad i y la ciudad j

=

10. .


6


2. Condiciones Lgicas:

a. No ms de k entre n alternativas

Suponga:

=10. .

Con j= 1, 2, , n

+ + +

En problemas discretos es frecuente encontrar decisiones interdependientes. A continuacin se ilustran algunas de las mencionadas.


7


b. Decisiones dependientes

Suponga:

=10. .

Ejemplos:

No se puede seleccionar la alternativa 1 si no se selecciona la alternativa 3.

Si se selecciona la alternativa 1, se debe se seleccionar tambin la alternativa 3 o la alternativa 4, pero no ambas. Si no se selecciona la alternativa 1, no puede seleccionarse ni la alternativa 3 ni la 4.

= +


8


c. K entre n restricciones

Suponga que se tiene un problema que es factible si se cumplen k de un total de n restricciones. Ejemplo:

Se deben comprar como mximo un total de 5 pares de zapatos entre azules y negros, o bien, un mximo de 10 pares de zapatos pero la cantidad de pares azules debe ser el doble de la de pares negros.

Sean:X: Cantidad de pares de zapatos azules a comprarY: Cantidad de pares de zapatos negros a comprar

+ 5 + 2 10,

Cmo hacer que se cumpla slo una de las dos restricciones?


9


c. K entre n restricciones (cont)

Sean:Z1: 1 Si se cumple la primera restriccin; 0 e.o.c.Z2: 1 Si se cumple la segunda restriccin; 0 e.o.c.

Luego, se deben modificar las restricciones propuestas y agregar otra:

+ 5 +(1 ) + 2 10 +(1 )

+ = 1 + 0,1

,

Con M un valor suficientemente grande.


10


3. Tamaos de Lote y Puesta en Marcha

Suponga que se debe decidir respecto de producir o no cierto tem. La mquina utilizada para su produccin tiene un costo de set-up o puesta en marcha fijo (independiente del nivel de produccin de s [UM]. Adems existe un costo de produccin variable de c [UM/ton].Considere tambin que debido a la existencia del costo de set-up, la empresa tiene la poltica de producir lotes de un tamao mnimo de 5[ton]. La mquina que procesa el tem tiene una capacidad de 10[ton].

Sean:

=

=1, 0, . . .


11


3. Tamaos de Lote y Puesta en Marcha (cont)

El costo de produccin del tem puede expresarse como:

= +

Las restricciones asociadas estn dadas por:

5 10

Las restricciones anteriores son equivalentes a la siguiente?Por qu?

5 10 = 0


12

El Problema de la Mochila

Descripcin


13

El Problema de la Mochila

Variable de Decisin

Modelo:


14

El Problema de la Mochila: Instancia

Descripcin

Dados los siguientes parmetros:

tem 1 2 3 4 5

Capacidad consumida 30 25 35 20 30

Beneficio asociado 40 15 40 18 27

Tabla 1: Capacidad consumida por cada elemento [L]; beneficio asociado a cada elemento [CLP]

Nmero de tems: 5 Capacidad de la mochila: 85 [L] Consumo de capacidad y utilidad por objeto segn Tabla 1.

Formule un problema de programacin binaria que permita determinarqu elementos incluir en una mochila con las caractersticasmencionadas, de manera de maximizar el beneficio asociado. Asuma queen todos los aspectos el problema se comporta como el Problema de laMochila.


15

El Problema de la Mochila: Instancia

Variable de decisin

=1, 0, . .

Modelo

40 + 15 + 40 + 18 + 27

30 + 25 + 35 + 40 + 30 85

, , , , 0,1

. .


16

El Problema de Seleccin de Proyectos

Descripcin


17

El Problema de Seleccin de Proyectos

Variable de Decisin

Modelo


18

El Problema de Seleccin de Proyectos: Instancia

Descripcin


Tabla 1: Inversin requeridapara cada proyecto en cadaperiodo [UF]; Capital disponibleen cada periodo[UF]; Retornoesperado de cada proyecto [UF]

Nmero de proyectos: 5 Nmero de periodos: 6 Inversin, retorno y capital segn Tabla 1

Proyecto/Periodo 1 2 3 4 5 Retorno

A 5 6 8 3 4 50

B 6 7 8 9 6 70

C 10 11 10 9 11 90

D 8 5 7 8 7 55

E 2 3 5 4 1 30

Capital disponible 27 25 20 30 25 -

Formule un problema de programacin binaria que permita determinarqu proyectos seleccionar de manera de maximizar el retorno asociado.Asuma que en todos los aspectos el problema se comporta como elProblema de Seleccin de Proyectos.


19

El Problema de Seleccin de Proyectos: Instancia

Variable de decisin

=10. . .

Modelo

50 + 70 + 90 + 55 + 30

5 + 6 + 10 + 8 + 2 27

, , , , 0,1

. .

6 + 7 + 11 + 5 + 3 25

8 + 8 + 10 + 7 + 5 20

3 + 9 + 9 + 8 + 4 30

4 + 6 + 11 + 7 + 25


20El Problema de Seleccin de Proyectos con alternativas dependientes y excluyentes

Descripcin

Se presenta una variante del problema de Seleccin de Proyectos que adems de las caractersticas del problema clsico, posee condiciones lgicas.



Descripcin (cont)

+ 1

implica que si se selecciona el proyecto j, entonces no puede seleccionarseel proyecto k. Notar que esta relacin es conmutativa, es decir, si seselecciona el proyecto k entonces no puede seleccionarse el proyecto j.

Especficamente denotaremos por:



Modelo


23El Problema de Seleccin de Proyectos con alternativas dependientes y excluyentes: Instancia

DescripcinDados los siguientes parmetros:

Tabla 1: Inversin requerida paracada proyecto en cada periodo [UF];Capital disponible en cadaperiodo[UF]; Retorno esperado decada proyecto [UF]

Proyectos: 8; Periodos: 6 Inversin, retorno y capital segn Tabla 1

Proyecto/Periodo 1 2 3 4 5 Retorno

A 5 6 8 3 4 50

B 6 7 8 9 6 70

C 10 11 10 9 11 90

D 8 5 7 8 7 55

E 2 3 5 4 1 30

F 9 9 9 9 9 25

G 6 10 8 6 4 28

H 6 8 10 8 6 60

Capital disponible 27 25 20 30 25 -

Los proyectos (A,B) (C,E) Y (D,F) son mutuamente excluyentes

Los proyectos (A,E), (A,F),(C,D),(G,H) son complementarios, siendo el primero complementario al segundo.

Formule un problema de programacin binaria que permita determinar quproyectos seleccionar de manera de maximizar el retorno asociado. Asumaque en todos los aspectos el problema se comporta como el Problema deSeleccin de Proyectos.

Ricardo Gatica E.

24El Problema de Seleccin de Proyectos con alternativas dependientes y excluyentes: Instancia

Variable de decisin

=1, 0. . .

50 + 70 + 90 + 55 + 30 + 25 + 28 + 60

5 + 6 + 10 + 8 + 2 + 9 + 6 + 6 27

, , , , , , , 0,1

. .

6 + 7 + 11 + 5 + 3 + 9 + 10 + 8 25

8 + 8 + 10 + 7 + 5 + 9 + 8 + 10 20

3 + 9 + 9 + 8 + 4 + 9 + 6 + 8 30

4 + 6 + 11 + 7 + + 9 + 4 + 6 25

Modelo

+ 1

+ 1

+ 1

0

0 0 0

Ricardo Gatica E.

25

El Problema de Asignacin n:n

Descripcin

Variable de decisin

Ricardo Gatica E.

26

El Problema de Asignacin n:n

Modelo


27

El Problema de Asignacin n:n: Instancia

DescripcinDados los siguientes parmetros:

Tabla 1: Costo de asignacin de cada persona a la realizacin de cada tarea [miles de $]

Tareas: 6; Personas: 6

Formule un PPB que permita determinar un plan de asignacin tarea-persona minimizando los costos asociados. Asuma que en todos losaspectos el problema se comporta como el P. de Asignacin.

Persona/ Tarea

A B C D E

1 6 8 9 3 6

2 6 7 8 3 4

3 7 2 5 5 9

4 4 5 3 7 4

5 5 1 5 3 5


28

El Problema de Asignacin n:n: Instancia

Variable de decisin

=1, 0. . .

6 + 8 + 9 + 3 + 6 + 6 + 7 + 8 + 3 + 4 +7 + 2 + 5 + 5 + 9 + 4 + 5 + 3 + 7 + 4 + 5 + + 5 + 3 + 2

+ + + + = 1

, , 0,1

. .

Modelo

+ + + + = 1

+ + + + = 1

+ + + + = 1

+ + + + = 1

+ + + + = 1

Ricardo Gatica E.

29

El Problema de Asignacin con subconjuntos

Descripcin

Programacin Lineal Entera Mixta

Ricardo Gatica E.

30

El Problema de Asignacin con subconjuntos

Modelo


Ricardo Gatica E.

31

El Problema de Asignacin con subconjuntos: Instancia

Descripcin

Persona Tareas f. A B C D E

1 A, D, E 5 - - 8 9

2 B, D, E - 7 - 6 5

3 C, E - - 6 - 7

4 B, C - 4 6 - -

5 A, C, D, E 5 - 7 7 5



Tabla 1: Suconjunto de asociaciones factibles; Costo de asignacin de cada persona a la realizacin de cada tarea [miles de $]

Formule un PPB que permita determinar un plan de asignacin tarea-persona minimizando los costos asociados. Asuma que en todos losaspectos el problema se comporta como el P. de Asignacin consubconjuntos.



32

El Problema de Asignacin con subconjuntos: Instancia

Variable de decisin

=1, 0. . .

5 + 8 + 9 + 7 + 6 + 5 + 6 + 7 + 4 + 6 +5 + 7 + 7 + 5

+ + = 1

, , , 0,1

. .

Modelo

+ + = 1

+ + + = 1

+ = 1

+ = 1

+ + + = 1

+ = 1

+ = 1

+ + = 1

+ + = 1

Persona Tareas f. A B C D E

1 A, D, E 5 - - 8 9

2 B, D, E - 7 - 6 5

3 C, E - - 6 - 7

4 B, C - 4 6 - -

5 A, C, D, E 5 - 7 7 5

Ricardo Gatica E.

33

El Problema de Asignacin de mxima cardinalidad

Descripcin

Modelo


Ricardo Gatica E.

34El Problema de Asignacin con subconjuntos dispares: Instancia

Descripcin

Persona Tareas f.

1 A, D, E

2 D, E

3 E

4 B, C

5 A, D, E



Tabla 1: Suconjunto de asociaciones factibles

Formule un PPB que permitadeterminar un plan de asignacintarea-persona maximizando lastareas a realizar. Asuma que entodos los aspectos el problema secomporta como el P. de Asignacinde mxima cardinalidad.

Variable de decisin

=1, 0. . .

+ + + + + + + + + +

Modelo

+ + 1

. .

+ 1

+ + 1

+ 1

1

+ + + 1

1

+ 1

1

+ + 1

, , , 0,1


Ricardo Gatica E.

35

El Problema de Cobertura

Descripcin

Variable de decisin Modelo


Ricardo Gatica E.

36

El Problema de Cobertura: Instancia

Descripcin

En una ciudad se desea planificar la localizacin de colegios de enseanzamedia (liceos). Para ello, se ha considerado la ubicacin de los actualesestablecimiento de educacin bsica (colegio) en pos de la continuidadescolar .

Figura 1: Mapa de la ciudad y cobertura potencial de los colegios

En el mapa de la ciudad se ilustran lossitios potenciales para instalacin de liceos(gris) y los actuales colegios (celeste), elcual se exhibe en la Figura 1. Adems, semuestra la superficie abarcada por cadacolegio (lneas punteadas).

25

1

3

4B

A

C

D

Formule un PPB que permita determinarque liceos instalar de manera de cubrir atodos los colegios, sabiendo que el costo deinstalacin es (40, 15, 40, 18) para loscolegios (A, B, C, D) respectivamente.

El criterio para la localizacin de estos nuevos centros educacionales serque ningn colegio est a ms de 3 [Km] de un liceo.


Ricardo Gatica E.

37

El Problema de Cobertura: Instancia

Variable de decisin

Modelo

=1, 0. . .

40 + 15 + 40 + 18

+ 1

, , , 0,1

. .

25

1

3

4

B

A

C

D

+ + 1

+ 1

+ 1

1


Ricardo Gatica E.

38

El Problema de Cobertura: Instancia 2

Descripcin Variable de decisin

Modelo

Dados los siguientes parmetros: M={ A, B, C, D, E, F}

MjElementos contenidos

Cj

1 A, B 15

2 A,B,C,D 30

3 D,E,G 35

4 B,F,G 20

5 E 5

6 C,F 40

7 A,B,C,D,E 100

8 C,E,F 45

Formule un PPB que permitadeterminar una cobertura para elconjunto M. Asuma que en todos losaspectos el problema se comportacomo un P. de Cobertura.

Tabla 1:Elementosde cadasubconjuntoy costoasociado

=1

0. . .

15 + 30 + 35 + 20 + 5 + 40

+ + 1

, , , , , 0,1

. .

+ + + 1

+ + + 1

+ + 1

+ + + 1

+ + 1


Ricardo Gatica E.

39

El Problema de Particionamiento

Descripcin


=1

0. . .


Ricardo Gatica E.

40

El Problema de Particionamiento: Instancia


Modelo



Cj

1 A, B 15

2 A,B,C,D 30

3 D,E 35

4 B,F 20

5 E 5

6 C,F 40

7 A,B,C,D,E 100

8 C,E,F 45

Formule un PPB que permitadeterminar una particin para elconjunto M. Asuma que en todos losaspectos el problema se comportacomo un P. de Particionamiento.


15 + 30 + 35 + 20 + 5 + 40

+ + = 1

, , , , , ,, 0,1

. .

+ + + = 1

+ + + = 1

+ + = 1

+ + + = 1

+ + = 1

=1

0. . .


Ricardo Gatica E.

41

El Problema de Agrupacin

Descripcin


=1

0. . .


Ricardo Gatica E.

42

El Problema de Agrupacin: Instancia


Modelo



Cj

1 A, B 15

2 A,B,C,D 30

3 D,E 35

4 B,F 20

5 E 5

6 C,F 40

7 A,B,C,D,E 100

8 C,E,F 45

Formule un PPB que permitadeterminar una agrupacin para elconjunto M. Asuma que en todos losaspectos el problema se comportacomo un P. de Agrupacin.


=1

0. . .

15 + 30 + 35 + 20 + 5 + 40

+ + 1

, , , , , 0,1

. .

+ + + 1

+ + + 1

+ + 1

+ + + 1

+ + 1


Ricardo Gatica E.

43Problemas de Cobertura, Particionamiento y Agrupamiento: Comparacin solucin para una misma instancia

DescripcinM={ A, B, C, D, E, F}


Costo o beneficio asociado

CoberturaParticiona

mientoAgrupa-miento

1 A, B 15 0 1 0

2 A,B,C,D 30 1 0 0

3 D,E 35 0 1 0

4 B,F 20 1 0 0

5 E 5 1 0 0

6 C,F 40 0 1 0

7 A,B,C,D,E 100 0 0 1

8 C,E,F 45 0 0 0

FO - - 55 90 100

Tabla 1: Variables respuesta

C

AgrupamientoA B

D

E

F

3

A

EB

C

D

F

1

3

6

Particionamiento

A

E

B

C

D

F

Cobertura 2

4

5


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