RESISTENCIA DE

MATERIALES

PARTE II

WINSTON ACEIJAS PAJARES

Ingeniero Mecánico

RESISTENCIA DE MATERIALES PARTE II

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,

por cualquier medio, sin autorización escrita del autor.

© Reservados todos los derechos, Winston Aceijas Pajares. 2011

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PROLOGO

Este libro está diseñado para estudiantes de tercer año de

ingeniería que llevan un primer curso de mecánica de cuerpos

deformables.

Luego de haber discutido en el primer texto la transformación del

esfuerzo en un punto, aquí se resuelve problemas que involucran a

flexión y torsión en vigas; y estabilidad de columnas.

El primer capítulo se ha elaborado con la idea de repasar los

diagramas de fuerza cortante y de momento flector por la acción de

las cargas externas sobre vigas, aprendidos previamente en el

curso de Estática. Luego se realiza el análisis de la distribución de

esfuerzos normales y sus correspondientes deformaciones, la

discusión incluye a vigas de dos o más materiales. Se estudian

también la distribución de los esfuerzos cortantes.

En el siguiente capítulo se trata del cálculo de deflexiones:

pendiente y flecha, primero, el caso de vigas isostáticas; y luego los

problemas de vigas estáticamente indeterminadas.

Tratamiento especial se hace a las vigas continuas y se presentan

algunas aplicaciones de la teoría en la solución de problemas de

ingeniería.

A diferencia de la primera edición, en el capítulo sobre elementos

estructurales a carga de compresión, se presenta relaciones

empíricas establecidas por la AISC para el cálculo de la carga

crítica en columnas.

En cuanto a los problemas resueltos, se recomienda al lector que

primero entienda el enunciado y trate de resolver por sí mismo,

usando sus conocimientos de teoría que son imprescindibles

conocerlos antes. Las soluciones presentadas son al detalle,

complementando así los aspectos teóricos de la asignatura, por lo

que sugerimos no tratar de memorizar los procedimientos

utilizados; sino considerarlos como una orientación para la solución

de las preguntas.

Aprovecho la oportunidad para agradecer los comentarios y

sugerencias de los estudiantes que utilizaron ya la primera edición

del Texto de RESISTENCIA DE MATERIALES parte 2; y debo

manifestar que esto fue el incentivo principal para la elaboración de

esta segunda edición.

Es mi deseo, amigos estudiantes, que este libro sea de su agrado

y se constituya en una contribución efectiva a su formación como

profesionales de la ingeniería.

Lima, enero del 2012.

WINSTON N. ACEIJAS PAJARES

.

ÍNDICE

Pág.

PROLOGO

- Flexión en vigas 1

- Relaciones entre carga, fuerza cortante y momento 2

- Construcción de los diagramas de V y M 5

- Problemas9

- Esfuerzos y deformaciones axiales en vigas14

- Vigas con sección asimétrica 15

- Elementos hechos de, varios materiales20

- Problemas25

- Carga axial, excéntrica65

- Esfuerzos cortantes 69

- Problemas 71

- Deflexiones de vigas111

- Métodos de Cálculo113

- Doble integración115

- Uso de funciones singulares118

- Método de área de momentos131

- Problemas de aplicación133

- Diagrama de momentos reducidos por partes142

- Método de Superposición145

- Vigas con dos planos de carga150

- Vigas hiperestáticas165

- Métodos de doble integración166

- Métodos de Supervisión171

- Problemas

- Columnas195

- Pandero de columnas largas rectas197

- Teoría de Euler198

- Cargas críticas199

- Límite de validez de la carga de Eluer201

- Columnascon otras condiciones de soporte202

- Columnascon cargas excéntricas204

- Problem208

- Fórmulas empíricas 212

- Problemas214

- Fórmulas empíricas de la SSRC y AISC217

- Problemas223

- Apéndice 227

- Tablas de Flechas y pendientes228

- Tablas de Propiedades de las secciones 235

FLEXION EN VIGAS

Un elemento estructural razonablemente largo respecto a

sus dimensiones laterales y que soporta cargas perpendiculares a

su eje longitudinal se denomina viga. Cualquier miembro

estructural, ya sea un eje, un trabe en un puente o en un edificio,

etc; que se flexiona bajo la aplicación de cargas, puede

considerarse como viga. Al igual que los diagramas de fuerza

normal y de momento torsor, los diagramas de fuerza cortante y de

momento flector proporcionan información importante para

determinar la fuerza cortante y el momento máximos en una viga.

Una vez determinado el momento flector interno en una sección se

puede calcular el esfuerzo por flexión.

El diseño de una viga incluye 2 partes: en la primera se

determinan los esfuerzos internos así como las deflexiones (flecha)

producidas por las cargas. La segunda parte está relacionada con

la selección del material y la mejor sección transversal que resista

tales esfuerzos y deflexiones.

Tipos de Vigas.- La clasificación más generalizada consiste en

agruparlas en: vigas estáticamente determinadas y estáticamente

indeterminadas.

Vigas Isostáticas. Son aquellas en las cuales puede determinarse

las reacciones en los apoyos con las ecuaciones de equilibrio. Una

viga simplemente apoyada, descansa sobre soportes en sus

extremos que permiten la rotación; una viga en voladizo está fija

(sin rotación) en un extremo.

V i g a s s i m p l e m e n t e a p o y a d a s

V i g a s c o n v o l a d i z o

P 1

P 1P 2

P 3P

P w P 1M

P 2

V i g a s e n v o l a d i z o

w

w

Figura (6.1 a) Ejemplos de vigas isostáticas

P 1w wP P 1 P 2

Figura 6.1 b E jemplos de vigas hiperestáticas

Vigas Hiperestáticas. Cuando se tiene más reacciones incógnitas

que ecuaciones de la estática, se dice que la viga es estáticamente

indeterminada. Una viga en voladizo con apoyo en el extremo, una

viga con doble empotramiento y una viga apoyada sobre tres o más

apoyos (viga continua), son ejemplos de vigas hiperestáticas.

4.1 Relaciones entre carga, Fuerza Cortante y Momento Flector

Las cargas que actúan normalmente pueden ser: peso

propio de la viga, concentradas, distribuidas (uniformemente o no),

y par. Para el cálculo de reacciones, las cargas distribuidas pueden

remplazarse por sus resultantes que actúan en el centro de

gravedad del área de la carga distribuida.- Las reacciones son las

fuerzas y/o pares que actúan en los soportes.

El cortante vertical V (N o Kgf) en cualquier sección es una

suma algebraica de todas las fuerzas que actúan paralelas a (y

sobre) un lado de la sección: V = ∑Fv.

V(+)

V

V

V(-)

(+)

(-)

M M

MM

a) Considerando el efecto de cargas externas

(+)M M V (+)

V

b) Considerando las fuerzas internas en la sección

Figura 6.2. Convención de signos para fuerza cortante y

momento flector en las vigas.

El momento flexionante M (N-m o Kgf-m) en cualquier

sección es la suma algebraica de los momentos de las fuerzas

externas que actúan sobre la viga en un lado de la sección,

respecto a uno de los ejes principales centroidales de inercia de la

sección.

Convención de signos. La Figura (6.2) ilustra la convención

de signos que se usa comúnmente para la interpretación correcta

de las ecuaciones y diagramas de fuerzas cortantes y momentos

flectores.

Los Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flector

Son gráficos que muestran la magnitud de la fuerza cortante

o del momento flector a lo largo de la viga.

La construcción del diagrama de fuerzas cortantes y del

diagrama de momentos flectores se simplifica gracias a ciertas

relaciones existentes entre carga, fuerza cortante y momento

flector. A fin de obtener estas gráficas matemáticas, considérese la

figura (6.3) que ilustra un ejemplo de viga simplemente apoyada

que soporta una carga distribuida w N/m

w

A

C '

XX

L

RA RB

C

Fig. 6.3

Separamos el tramo de viga de longitud ∆ x y trazamos el

diagrama de cuerpo libre correspondiente:

M M+MV

V+V

w x

Condición de equilibrio: ∑ F y=0

V− (V +∆ V )−W ∆ X=0

w ∙ ∆ x=−∆ V → w=−∆ V∆ x

En el límite, para: ∆ x →0

dVdx

=−w (6.1 )

Esta relación indica que la pendiente dV /dXdela curva, de

fuerza cortante (para la viga del ejemplo) es negativa, y

numéricamente igual a la carga distribuida en ese punto.

También, escribiendo el equilibrio de momentos:

∑ MC ' → ( M +∆ M )−M −V ∙ ∆ x+w ∙∆ x+( ∆ x

2 )=0

Ordenando convenientemente se tiene:

∆ M∆ x

=V−12

w ∙ ∆ x

En el límite, para ∆ x →0se tendrá:

V=dMdx

(6.2)

(pendiente de la curva de momentos)

Integrando (6.2) entre las secciones C y D

M D−M C=∫X C

X D

Vdx (6.3 )

Lo que nos indica que, (M ¿¿ D−M C )¿es el área bajo la curva de

fuerza cortante entre C y D.

Construcción de los diagramas V y M

Según lo indicado para V, se deduce que en la sección de la viga

donde se aplica una carga concentrada, en el diagrama de las

fuerzas cortantes deberá aparecer un salto brusco de magnitud

igual a la de la fuerza exterior. - En forma similar, en la sección

donde se aplica un par de fuerzas, en el diagrama de los momentos

flectores deberá aparecer un salto brusco de magnitud igual a la de

este par de fuerzas exterior.

Para vigas que no soportan momentos distribuidos (que originan

flexión), al dibujar los DFC y DMF, así como al comprobarlos, debe

usarse las relaciones diferenciales (6.1) y (6.2) entre M, V y w y las

que de estas se deducen.

Deducciones esenciales de las relaciones (6.1) y (6.2):

1. La fuerza cortante es la pendiente de la recta tangente al

diagrama de momentos flectores en la sección dada; y la

intensidad de la carga distribuida (w) lo es de la tangente al

diagrama de fuerzas cortantes.

2. En la sección de la viga donde la fuerza cortante es cero el

momento flector tiene un valor extremo y en la sección donde la

fuerza es cortante pasa bruscamente por su valor nulo, el

gráfico de M pierde su monotonía.

4. En cada tramo de la viga la variación de la magnitud del

momento flector entre dos secciones cualquiera es igual al área

del diagrama de las fuerzas cortantes entre estas dos

secciones; siempre y cuando no actúe sobre este tramo pares

concentrados exteriores.

5. Si el eje x va dirigido hacia la izquierda desde el extremo

derecho de la viga, entonces:

V=dMdX

6. La concavidad de la curva del diagrama de momentos tiene la

misma dirección que la carga distribuida.

En general, es conveniente trazar los diagramas de fuerza

cortante y de momento flector por debajo del diagrama de cuerpo

libre de la viga.

En la figura (6.4) se muestran diagramas para algunos tipos de

carga.

+

-

+

-

+

-

c u r v a p a r a b o l i c a

RBRA

P ww (x)

RA RB

+ + ++ + +

C u r v a d e 3 e r g r a d o

RA RB

P/2

DFC

-P/2

DMF

WL /82

P P

L/2 L/2

2P

+

-3PL/2

-

w

L

+

-

-wL/8

DFC

DMF

L

MM

+

+

-

-

L1 L2RA RB

DMF

DFC

2

wL

Figura (6.4). Diagramas de fuerza cortante y momento flector

Ejemplo 6.1. Para la viga cargada según se muestra, trazar los

diagramas de fuerza cortante y momento flector.

50 KN

w = 30 KN/m

1 m3,00 m 1,5 m

A

B

D

y

C

x

Calculo de reacciones:

∑Mc = 0:

RA=(30 × 4 ) ×2+50 ×1−830 ×1.5¿×0.75 ¿4

RA=64.06 KN

∑FY = 0 Rc=(30 ×5.5+50 )−64.06

RC=150.94 KN

Conocidas las reacciones en los apoyos, procedemos al trazado de

los diagramas de fuerza contante y momento flector siguiendo las

instrucciones dadas anteriormente; o bien obteniendo previamente

las ecuaciones de V y M como funciones de x.

50 KN

w = 30 KN/m

A

B

D

y

C

x

64,06

45

-25,94

DFC(KN)

-105,94

RA RC

2,14 m

68,54

DMF(KN-m)

-33,75

PROBLEMA 6.2. Trazar diagramas de fuerza cortante y momento

flector de la viga con voladizo que se muestra en la Figura.

3 KN 6 KN

A B C D E

3 KN/m

2 m 2 m 2 m 2 m

SOLUCIÓN

Diagrama de cuerpo libre:

x

RA RD

3 KN 6 KN 3 KN/m

2 m 2 m 2 m 2 m

Equilibrio en la viga

∑ M A=0 : RDx6−6x4−3x2−¿x2¿x7=0

RD=726

=12 KN

∑FY = 0:

RA = 3 + 6 + (3×2) – 12

RA = 3

Determinadas las reacciones, se completa los valores de las cargas

externas actuantes en la viga.

x

RA RB

-6

6

-6

DFC(KN)

DMF(KN-m)

6

3

3 KN 6 KN 3 KN/m

PROBLEMA 6.3. Para la viga de sección circular que se muestra,

hacer los gráficos de fuerza cortante y momento flector.

P1 P2 P1 P2

600.00 1800.00 1200.00 1800.00 600.00

Y

P2 = 8 KN

Y

Z

P1 = 6 KN

45° 60° X

R 100

Unidades de longitud en mm

SOLUCIÓN:

Como P1=6 KN y P2=8 KN son cargas inclinadas consideramos

los planos de carga xz y xy para dibujar los gráficos de fuerza

cortante y momento flector de la viga

P2X P2X

X

Z

P1X P1XRAX RBX

Tenemos, para las componentes de P1 y P2 en la dirección del eje

x:

P1 x=P1=cos45 ° → P1 x=3√2 KN

P2 x=P2cos60 ° → P2 x=4 KN

Cálculo de reacciones en los apoyos:RAx y RBx

∑ FY=0→ RAx + RBx = - 0,485

∑ M B=0→P1 x (35,4 )+RAx (4.8 )−P2 x (3 )+P1X (1.8 )+P2 x (0.6 )=0

Resolviendo, tenemos:

RAx= - 4,363 KN

RBx = 3,878 KN

En la siguiente figura se muestra el diagrama de fuerza cortante y

momento flector

P2X P2X

X

Z

P1X P1XRAX RBX

4.24

- 0.12

- 4.12

0.12

4,0

2,54

2,32

- 2,62

- 2,4

DFC(KN)

DMF(KN-m)

Considerando ahora como cargas a las componentes de P1 y P2 en

la dirección del eje Y.

P1 y=P1 sen 45 °→ P1 y=3√2KN

P2 y=P2 sen 60° → P2 y=4 √3 KN

Plano y – z

Cálculo de reacciones RAy y RBy

∑ FY=0 RAy + TBy = 22,34

∑ M B=0 −P1 Y (5.4 )+RAY (4.8 )−P2Y (3 )−P1Y (1.8 )−P2 Y (0.1 )=0

Resolviendo tenemos: RAy = 9,83 KN RBy = 12,51 KN

P2y P2y

Y

Z

P1y

P1Y

RAy RBy

5,58

-1,34

6,93

-5,58

- 2.55-4,16

DFC(KN)

DMF(KN-m)

- 4,24

7,55,9

Ejemplo 6.4. Construir los diagramas de fuerzas cortantes y

momento flector de la viga con articulación flotante.

w

A

y

2a a

B CArticulación

Flotante

SOLUCION

Para condición de articulación flotante, el momento flector en la

sección B, es nulo.

Para resolver descomponemos la viga en dos:

AB: Simplemente apoyado

BC: En forma de voladizo

Para ambos tipos de vigas, la figura (6.4) nos proporciones sus

respectivos diagramas de fuerza cortante y momento flector.

DFC(KN)

w a

DMF(KN-m)

w

A

y

FBRA

RAFB

2

2

-wa2

6.2 ESFUERZOS Y DE FORMACIONES AXIALES EN VIGAS

El objetivo principal del estudio de vigas es determinar los

esfuerzos normales en primera instancia, y luego las deformaciones

que genera el sistema de cargas actuante.

Hipótesis:

1. El material de la viga observa la Ley de Hooke.

2. El módulo de elasticidad a la tracción y a la comprensión es el

mismo.

3. La configuración geométrica de la viga es tal que la flexión y

no el pandeo es el modo primario de falla.

4. Las secciones planas originalmente perpendiculares al eje

longitudinal de la viga (permanecen planas) y perpendiculares

al eje longitudinal después de la flexión: esto es cualquier

sección transversal no se encorva ni se alabea.

5. En la viga deformada, los planes de dichas secciones tiene

una intersección común; es decir una recta originalmente

paralela al eje longitudinal de la viga se convierte en arco de

circunferencia.

FLEXIÓN PURA

Si en los extremos de la viga actúan momentos flectores iguales y

opuestos (en el mismo pleno longitudinal), se dice que está

sometida a flexión pura.

La figura (6.5) ilustra ejemplos de vigas a flexión pura.

DFC

DMF

P a

B

AB

P P

P

DFC

DMF

A

M

M

Figura 6.5. Ejemplos de vigas a flexión pura.

Obsérvese que en los tramos de flexión pura la fuerza cortante es

nula.

VIGAS CON SECCION SIMETRICA

6.2.1. Flexión Simétrica:

Primero estudiaremos los esfuerzos y deformaciones de un

elemento prismático que posee un plano de simetría y es sometido

en sus extremos a momentos flectores iguales y opuestos Mz que

actúan en el plano de simetría.

Consideramos el sistema coordenado de manera que el eje

Y es eje de simetría y el origen está en el centroide de la sección.

x

y

zQ

Mz

Mz

Figura 6.6 Esquema de viga sometida a momento flector Mz

En la figura (6.6), el plano de corte Q divide la viga en dos.

Separamos la porción izquierda y trazamos su diagrama de cuerpo

libre (Figura 6.7), mostrando las fuerzas internas en el material.

La parte superior de la sección, soporta comprensión y la

parte inferior tracción; y por lo tanto, el eje Z viene a ser el neutro

(sobre cuyos puntos es esfuerzo es nulo).

x

y

z M

y

dF = xd

dF = xd

(Compresión)

(Tracción)

Figura 6.7 Fuerzas dF actuantes en dA

Condición de Equilibrio

∑ F x=0 :∫∫A

❑

σ x dA=0 ….(6.4)

∑ M y=0 :∫A

❑

Z (σx dA)=0….(6.5)

∑ M Z=0 :∫A

❑

Yσx dA=M Z ….(6.6)

La ecuación (6.4) verifica la característica de par del

momento MZ, pues la fuerza de tracción y la comprensión se anulan

mutuamente.

La ecuación (6.5) resulta trivial si por hipótesis el eje Y es

eje de simetría de la sección (nótese que cualquier dA con Z

positivo tiene su “simétrico” dA con Z negativo).

Concluimos que la (distribución real de esfuerzos es estáticamente

indeterminada) pues la ecuación (6.6) resulta insuficiente. Para

obtener la ecuación complementaria analizaremos las

deformaciones producidas en el elemento.

En la Figura (6.8) se muestra una porción de viga deformada.- La

deformación del elemento causada por el momento flector M es

medida con la (curvatura) de la superficie neutra.- La curvatura es

definida como el inverso del radio de curvatura.

Consideramos la fibra paralela a la superficie neutra a una distancia

“y”.

Podemos escribir para la deformación longitudinal en el tramo CD.

❑X=−δ

CD=−δ

∆ X

(6.7 )

y

x

x

y

A' B'

B

D'

LíneaNeutra

O

x

C

Figura 6.8 Esquema de viga deformada

Relaciones geométrica:

δ=Y ×θ∧∆x=ρ ×θ …. (6.8)

En (6.7):

❑x=Yρ

….. (6.9)

La relación (6.9) nos indica que la deformación unitaria longitudinal

de una fibra cualquiera es directamente proporcional a su distancia

“y” de la fibra neutra.

Si utilizamos (6.9) en la Ley de Hooke:

σ x=−E

ρ∙ y (6.10)

Que nos muestra que el esfuerzo normal varía linealmente con la

distancia desde la superficie neutra.

Ahora, reemplazamos σ X de (6.10) en la ecuación de equilibrio (6.6)

M Z=−∫ y (−Eρ

¿∙ y )dA= EP∫A

❑

y2dA ¿ (6.11)

De estática, la expresión: ∫ y2 dA es el momento de inercia de la

sección respecto al eje z.- Reemplazando en (6.11) y ordenando

tenemos:

M z

EI z

=1ρ

(6.12)

Que viene a ser la expresión de la curvatura de la línea neutra.

Despejando (E / ρ) de (6.10) y reemplazando en (6.11)

M z=−σ x

Y∙ I z (6.13)

Finalmente, el esfuerzo normal:

σ x=−M z

I z

y (6.14)

Cuya presentación gráfica se muestra en la Figura (6.9). El

esfuerzo máximo se producirá en Y = Ymáx= C

σ máx=−M Z ×C

I Z (6.15)

(C se toma como C1 ó C2)

De (6.14) y (6.15): σ x=YC

σmá x (6.16)

y

Mz

máx(Compresión)

máx(Tracción)

Superf. neutra

C1C2

Figura 6.9. Esquema de la distribución del esfuerzo normal

Para verificar que el eje centroidal Z y el eje neutro coinciden,

sustituimos (6.16) en la ecuación de equilibrio (6.5)

∫Zσ x dA=∫Z (−YC

σmáx)dA=−σ máx

C∫A

❑

ZYdA=0

→∫YZdA=0

Y de Estática sabemos que: “el producto de inercia con respecto a

los ejes y –z será cero, si estos ejes son los ejes centroidales

principales de la sección transversal”, con lo que se comprueba que

el eje neutro es el eje z.

En la ecuación (6.15) a la relación: S = Iz/c, se le denomina

módulo elástico de la sección o momento resistente, y como puede

verse depende únicamente de la geometría de la sección.- Valores

de “s” para secciones de uso común se encuentra en tablas y

manuales.

σ má x=−M z

S(6.15 a)

De esta ultima relación, se concluye que es recomendable

seleccionar una sección transversal con el mayor valor de “S”

posible.

Ejemplo: Para el caso de una sección rectangular de dimensiones b

y h.

Su módulo resistente será:

S=I Z

C→S=

bh3

12h2

=16

bh2

S=16

Ah

h

y

b

z

Por tanto, a igualdad de áreas “A” de la sección transversal de

forma rectangular, la viga con mayor altura h tendrá el mayor

módulo de sección y será más efectiva para resistir a la flexión,

salvo limitación por inestabilidad.

ELEMENTOS HECHOS DE VARIOS MATERIALES

Para un elemento hecho de dos o más materiales con módulos de

Young diferentes, nuestra aproximación para la determinación del

esfuerzo normal en el elemento debe ser modificado.

La deformación normal mantiene su variación lineal con la distancia

“y” desde el eje neutro de la sección porque no depende del

material. Sin embargo no podemos asumir que el eje neutro pase

por el centroide de la sección transversal.

σ x=−E

ρ∙ y

B

AL. N

x)A

x)Bx)B

x)A

Figura (6.10) Distribución de esfuerzos y deformaciones en

una barra de dos materiales (EA < EB ).

El esfuerzo normal en cada material puede determinarse por la

conocida relación.

σ x=−E

ρ∙ y (6.10 repetida)

Analicemos las condiciones

de equilibrio para un tramo de

viga como la que se muestra

en la figura 6.11.

d FA=( σ X )A × dA=−EA

ρYdA

(6.16)

d FB=( σ X )B ×dA=−EB

ρYdA (6.17)

x

dFA

dFB

MZ

MZ

A

B

Figura 6.11

En la sección transversal debe actuar únicamente el par M.

∑ FX=0→ FB−F A=0

(∫ σ X dA )B−(∫σ X dA )A=0

EB

ρ(∫σ X dA )

B

−EA

ρ(∫σ X dA )A=0

Se sabe que para los momentos de primer orden se cumple:

∫A

❑

ydA=Y × A →−EA (Y A × A A )+ EB (Y B× A B )=0 (6.18)

Dividiendo entre EA y haciendo n = EB / EA, tenemos:

−Y A × A A+n (Y B × AB )=0

Donde Y A e Y B son las distancias de la L. N, a los C. G. de la

porción de material A y B respectivamente.

Localización del eje neutro.

B

AL. N

y'

z'

yy'B

y'A

y'A-y

Fig.

6.12

C

onsidérese el

sistema de ejes Y’-

Z’ para la sección

transversal, en el

que la distancia “y”

fija la posición del

eje neutro e Y 'A ,

Y 'B son las

distancias del eje Z’

a los centros de

gravedad de los

materiales A y B.

De la ecuación (6.18):

EA A A Y A−EB ABY B=0

De acuerdo a la Figura (6.12) podemos escribir:

EA × A A (Y 'A−Y )−EB × AB (Y−Y 'B )=0

−Y ( EA A A−EB AB )+EA AA Y 'A−EB AB Y ' B=0

de donde:

Y=EA A A Y ' A+EB AB Y 'B

EA AA +EB AB (6.19)

Ecuación que determina la posición del eje neutro

Con n=EB

E A

→ Y=EA Y 'A +n AB Y 'B

AA +n AB

(6.20)

En general para un elemento de varios materiales:

Y=∑i−1

n

E i Ai Y 'i

∑i−1

n

Ei A i

(6.21)

ESFUERZO NORMAL

x

dFA

dFB

MZ

MZ=Mz

y

yB

yA

Figura (6.11) repetida

Segunda condición de equilibrio:

∑ M Z=0 :∫ σ X Y A dA+∫σ X (−Y B ) dA+M Z=0

→EA

ρ∫A

❑

Y A2 dA+

EB

ρ∫❑

❑

Y A2 dA=M →

1ρ

( E A I A+ EB I B )=M (6.22)

Como la curvatura es única y está en relación directa con los

esfuerzos.

σ A=−EA Y A

ρ→

1ρ=

−σ A

EA Y A

σ B=−EB Y B

ρ→

1ρ=

−σ B

EB Y B

Reemplazando valores estas expresiones en (6.23)

−σ A

E A Y A( EA I A +EB I B )=M →σ A=

−M EA YEA I A+EB I B

σB

EB Y B( EA I A+EB I B )=M →σ B=

−M EBYEA I A+EB I B

} (6.23)

Si n = Eb / Ea:

→σ A=−M ∙YI A+n I B

σ B=−M ∙YI A +n I B

× n}σ A=n σB (6.24)

Si la viga de dos materiales tiene una sección transversal como la

que se muestra la Figura (6.12)

B

A

Figura (6.12) sección de dos materiales

El momento flexionante M es soportado por los dos materiales:

MA + MB = M (6.25)

Una relación ya obtenida anteriormente, entre la curvatura y el

momento flexionante es:

σ X=−E

ρY → σ X=

−M Y

I;

1ρ= M

EI

1ρ=

M A

E A I A

Λ1ρ=

M B

EB I B

→M A

EA I A

=M B

EB I B(6.26)

De (6.26) despejando EBy reemplazando en (6.25)

M A+M A ×EB I B

EA I A

=M

M A ( EA I A+EB I B )=M EA I A

Luego

M A=M EA I A

EA I A+EB I B

(6.27)

M B=M EB I B

E A I A+ EB I B (6.28)

Los esfuerzos normales que generan los momentos M A y M B

según la ecuación (6.14), son:

σ A=M A

I A

Y ;σ B=M B

I B

Y

Reemplazando (6.27) y (6.28)

σ A=−M EA I A Y

( EA I A+EB I B ) I A

;σ B=−M EB I B XY

( EA I A+EB I B ) I B

→−σB=−M EB XY

E A I A +EB I B

σ A=−M ∙ YI A+n I B

, σ B=−M ∙YI A+n I B

→ σ B=n σ A (6.24 Repetida)

PROBLEMA 1: Determinar el máximo valor de P que se le puede

aplicar a la viga de dos materiales cuya sección se indica, sabiendo

que los esfuerzos admisibles a tracción y comprensión son:

Acero: σT=1200 kg/cm2 σc=800 kg/cm2 E=2,1 x 106 kg/cm2

Aluminio: σT=1000 kg/cm2 σc= 600 kg/cm2 E= 0,7 x 106 kg/cm2

A B

P P

B B

2 m 2 m 1 mAl

Ac

8 8 8

8 cm8 cm

SOLUCION

Por conveniencia, consideramos al aluminio como material A y al

acero como material B.

Localización del eje neutro:

Fórmula (6.20)

Y=(2× (16 × 8 ) 8+(8×8 ) 4 )+3 (8× 8 ) 12

(2 ×16 × 8+8 × 8 )+3 (8×8 )=

4608512

=9 cm

Cálculo de los esfuerzos normales: σAcero y σAl

Primero evaluamos los momentos de inercia:

I A=2 [ 112

× 8× 163+(8×16 )× 12]+[ 112

8 ×83+(8 × 8 ) ×52]=5717.33+1642.66 → I A=7364 cm4

I B=1

128 × 83+8 ×8 (7−4 )2=382 cm4

A B

P P

B B

2 m 2 m 1 m

y

Z 7 cm9 cm

Z' (1) (2) (1)

(3)

c T

T c

DMFkgf-m

50 P

-100P

Según el DMF de la viga tenemos dos opciones para considerar los

valores máximos de los esfuerzos de compresión y tracción:

Sección en x = 2 m. y la sección en x = 4 m.

Sección en x=2 m.

Utilizando la ecuación (6.24) para el esfuerzo normal.

(σ A)max=−50 P × (−9 )7360+3 × 832

=0.04565 P (T)

(σ B)max=−50 P × (7 )

7360+3× 832×3=−0.1065 P (C)

Sección en x = 4 m.

Corresponde a la ubicación del apoyo B.

(σ A)max=−(−100 P ) × (−9 )

7360+3 × 832=0.0913 P (C)

(σ B)max=−(−100 P ) × (7 )7360+3 × 832

×3=+0.213 P (T)

Para determinar el valor máximo de P comprendemos los esfuerzos

máximos obtenidos con los esfuerzos admisibles.

Material A (aluminio)

0.04565 × P=100kgf

cm2→ P1=21905,8 kgf

0.0913 × P=600kgf

cm2→ P2=6571,74 kgf

Material B (acero)

0.213 × P=1200kgf

cm2→ P3=5633,8 kgf

0.1065 × P=800kgf

cm2→ P4=7511,74 kgf

Por lo tanto,

0.04565 × P=100kgf

cm2→ Pmax=P3=5633,8 kgf

METÓDO DE LA SECCIÓN TRANSFORMADA

Consiste en asumir que la sección transversal es de un solo

material (normalmente el de menor E), pero obviamente, de

geometría diferente. Veamos seguidamente el análisis respectivo.

De las relaciones (6.17) tenemos: d FB=n ∙ d F A (6.29)