CONDICIONES DE SERVICIO EN VIGAS DE CONCRETO ARMADO, DEFLEXIONES Y FISURAS

DEFLEXIONDeformacin que sufre un elemento por el efecto de las flexiones internas cuando se le aplican cargas.

Mtodo del ACI para el Control de DeflexionesEl cdigo ACI propone dos mtodos para el control de deflexiones a nivel de cargas de servicio:1 Mtodo: Consiste en dar un espesor o peralte mnimo a losas y vigas, que garantice que las deformaciones se mantengan dentro de un rango aceptable.En la siguiente tabla se muestran los peraltes mnimos requeridos, en funcin de la longitud de diseo.

Peralte mnimos en losas y vigas sugeridos por el ACI para el control de deflexiones

Peralte mnimo ( h )ElementoSimplemente apoyadaUn extremo continuoAmbos extremos continuosVoladizoElementos que no soportan ni estn en contacto con tabiquera u otros miembros que pueden ser daados por deflexiones excesivasLosas macizas armadas en un sentidoL/20L/24L/28L/10Vigas o losas nervadas armadas en una direccinL/16L/18.5L/21L/8

Los valores de la tabla anterior han sido propuestos para concretos de peso normal de 2,300 a 2,400 kg/m3 y acero con esfuerzo de fluencia de 4,200 kg/cm2. Para concretos ligeros, con pesos entre 1,450 y 1,950 kg/m3, los mnimos presentados se multiplican por (1.65 0.0003wc) pero este factor no ser menor que 1.09, donde wc es el peso del concreto en kg/m3. Para los concretos con pesos entre 1,950 y 2,300 kg/m3 no se define factor de correccin pues ste se aproxima a la unidad y por lo tanto se desprecia. Adems, si el acero tiene un esfuerzo de fluencia diferente que 4,200 kg/cm2, los peraltes mnimos se multiplicarn por (0.4 + fy/7000).

2 Mtodo:Consiste en estimar su magnitud y verificar que no exceda los lmites propuestos por el cdigo. Las flechas mximas permitidas se presentan en la siguiente tabla:

Deflexiones Mximas permitidas por el cdigo del ACI

Tipo de elementoDeflexin consideradaLimitacin1. Techos llanos que no soportan ni estn ligados a elementos no estructurales que puedan ser daados por deflexiones excesivasDeflexin instantnea debida a la aplicacin de la carga vivaL/1802. Pisos que no soportan ni estn ligados a elementos no estructurales que puedan ser daados por deflexiones excesivas.Deflexin instantnea debida a la aplicacin de la carga vivaL/3603. Techos o pisos que soportan o estn ligados a elementos no estructurales que puedan ser daados por deflexiones excesivas.Parte de la flecha total que ocurre despus de la colocacin de los elementos no estructurales.L/4804. Techos o pisos que soportan o estn ligados a elementos no estructurales que no se daan con deflexiones excesivas.L/240

CALCULO DE DEFLEXIONESLas deflexiones de los elementos de concreto armado son funcin del tiempo y por lo tanto pueden ser de dos tipos: instantneas y diferidas: Deflexin Instantnea. Se deben fundamentalmente al comportamiento elstico de la estructura y se producen inmediatamente despus que las cargas son aplicadas .

Deflexin Diferida. Son consecuencia del creep y contraccin del concreto y son ocasionadas por cargas sostenidas a lo largo del tiempo . Pueden llegar a ser el doble de las deformaciones instantneas.

Deflexin InstantneaSon deformaciones elsticas y por lo tanto pueden ser utilizadas las expresiones de Resistencia de Materiales para materiales elsticos.El valor del mdulo de elasticidad del concreto es : Ec = 15,000(f 'c) kg/cm2, el mdulo de elasticidad del acero es : Es = 2x10 6 kg/cm2, la relacin mdulo de elasticidad del acero y el mdulo de elasticidad del concreto es :

Frmulas para el clculo de Deflexin Instantnea en vigas de concreto

Inercia Efectiva.Momento de Inercia efectiva en elementos parcialmente fisurados est comprendidos entre el valor del Momento de Inercia de la seccin fisurada (Icr) y el momento de Inercia de la seccin total del concreto respecto al eje centroidal despreciando el refuerzo del acero.

El cdigo ACI deriva a partir de ella la siguiente frmula:Ie : Momento de inercia efectiva de una seccinMcr : Momento de fisuracin o Momento flector crticoMa : Momento actuante (en servicio) momento flector mximo al que est sometido la seccin, bajo la condicin para la cual se est evaluando la flecha.Ig : Momento de Inercia de la seccin bruta de concreto, sin agrietar, respecto al centro de gravedad, despreciando la presencia del refuerzoIcr : Momento de Inercia de la seccin fisurada, respecto al eje neutro.

Se denomina Momento de Fisuracin al Momento que hace que la fibra extrema del concreto en traccin alcance su esfuerzo mximo resistente.

fr: Esfuerzo de traccin por flexin =

Ig: Momento de Inercia de la seccin bruta =

v: Distancia del eje neutro a la cara de traccin=

Momento de Fisuracin (Mcr)

Momento de la Seccin Fisurada (Icr) Para el clculo de la Inercia de la seccin fisurada de un elemento rectangular doblemente reforzado, se debe primero considerar que el centro de gravedad de la seccin transformada coincide con el eje neutro, y por tanto si tomamos momentos respecto al eje neutro, la suma de stos debe ser cero.

Algunos autores recomiendan duplicar el aporte del acero:

CALCULO DE INERCIASSi slo se considera el concreto y se desprecia el aporte del refuerzo se obtiene:b. Si se considera el refuerzo, debe calcularse primero el centro de gravedad de la seccin y luego tomar momento de Inercia respecto a ese centro de gravedad. Para hallar el centro de gravedad ( Ycg ) :

d : es la distancia del refuerzo en compresin a la fibra extrema en compresin. d: es la distancia del refuerzo en traccin a la fibra extrema en traccin.Luego tomamos momentos respecto al centro de gravedad hallado y tendremos:

Inercia Efectiva Es un intermedio entre la inercia de la seccin bruta y la Inercia de la seccin fisurada

Ma : Momento actuante (en servicio) Mcr : Momento de figuracin Ig : Inercia de la seccin bruta Icr : Inercia de la seccin fisurada

El Cdigo ACI, plantea evaluar esta inercia efectiva en las secciones de momento mximo negativo (extremos del tramo) y en la seccin de mximo momento positivo (generalmente al centro de la luz) con el objeto de evaluar una Inercia efectiva representativa del tramo como un promedio ponderado, considerando:

Si el tramo es continuo en un solo extremo (Ie2) y simplemente apoyado en el otro (Ie1) se calcular considerando :Ie1 , Ie2 : Inercias de las secciones de los extremosICL : Inercia del Centro de luz

DEFLEXION DIFERIDALas deflexiones diferidas se ven influenciadas por temperatura, humedad, condiciones de curado, edad de concreto al aplicarle la carga, cantidad de refuerzo a compresin, magnitud de la carga permanente, etc. De estos factores mencionados, uno de los ms importantes es la presencia de refuerzo en compresin. Las deflexiones diferidas se incrementan rpidamente en los primeros das de aplicacin y conforme transcurre el tiempo, tienden a incrementarse a un ritmo cada vez menor.

Deflexin Diferida Si el clculo de la deflexin instantnea resulta ser aproximada, la evaluacin de la flecha diferida tambin lo es debido a los siguientes factores :

Se evala un factor que multiplica el valor de la deflexin instantnea.

Depende de la magnitud de la carga que se supone acta a lo largo de los primeros meses o aos desde el desencofrado del elemento, siempre ser difcil estimar qu porcentaje de la carga viva supuesta en el anlisis realmente existe.

Depende bsicamente del fenmeno denominado flujo plstico para el cual a su vez hay diversas teoras que tratan de determinar la deformacin debido a este efecto.

La Norma Peruana usa el criterio del ACI y estima el valor de la Deflexin diferida multiplicando la deflexin instantnea producida por la carga considerada por un factor F igual a :p : Cuanta de acero en compresin : p = As/bd

YDIFERIDA = ( t ) YINSTANTANEA

Duracin de la CargaF3 meses1.06 meses1.212 meses1.45 aos ms2.0

Algunos procedimientos para evitar las deformaciones excesivas cuando estas persisten son: Incrementar el peralte de la seccin. Incrementar la cuanta de acero en compresin. Prever al elemento de una contraflecha. Este ltimo recurso consiste en darle una ligera curvatura al elemento de modo que al ser aplicadas las cargas, la deflexin total no sea excesiva.

Se tiene una viga de un solo tramo que tiene las siguientes caractersticas:Ancho: b = 0.80 mPeralte: h = 1.30 mPeralte efectivo: d= 1.25mResistencia a la compresin: fc = 280 kg/cm2Fluencia del acero: fy = 4200 kg/cm2Carga muerta: CM = 6.8 T/mCarga viva: CV = 3.2 T/mLuz: L = 20 mTiene adems los siguientes momentos y refuerzos obtenidos en el anlisis y diseo por flexin:

EJEMPLO DE CALCULO DE LA DEFLEXION DE UNA VIGA

Apoyo izquierdo = Apoyo derechoSeccin CentralMCM = 230 T-m , As(+ ) = 129 cm2MCM = 109 T-m , As ( - ) = 56 cm2MCV = 107 T-m , As ( - ) = 40 cm2MCV = 52 T-m , As ( + ) = 64 cm2

1. Clculo de la Inercia Bruta

2. Clculo del Momento de Fisuracin (Mcr)

3. Momento de Inercia en la seccin fisurada ( Icr )

En la seccin de apoyo

En el Centro de Luz

Icr promedio para el Tramo

4. Momento de Inercia efectiva segn el ACI ( Ie )Ma = MCM En la seccin de apoyo y en la seccin central.Ma = MCM + MCV En la seccin de apoyo y en la seccin central.En el Extremo:

Mcr= 75.5 T-mMa= 230 T-m . . . . (Por carga muerta)Ma= 337 T-m . . . . (Por carga muerta + carga viva)Ig= 0.1465 m4Icr= 0.04152 m4

Si Ma = 230 T-m

Si Ma = 230+107 = 337 T-m

En el Centro de LuzMcr= 75.5 T-mMa= 109 T-m(Por carga muerta)Ma= 161 T-m(Por carga muerta + carga viva)Ig = 0.1465 m4Icr= 0.05908 m4

Si Ma = 109 T-m

Si Ma = 109+52 = 161 T-m

El Momento de Inercia efectiva en el tramo ser:

Para CM

Para CM + CV

5. Deflexin Instantnea debido a Carga Muerta (Y)

L= 20 m = 2,000 cmMCL= 109 T-m = 10900,000 Kg-cmM1= 230 T-m = 23000,000 Kg-cmM2= 230 T-m = 23000,000 Kg-cmEc= 15,000 (280)1/2 = 250,998 Icr= 0.0503 m4

La Deflexin Instantnea se halla por CM y por CM + CV respectivamente: En Carga Muerta: Icr Tramo = (Icr1 + Icr2 + 2IcrCL) / 4 . . . Segn Normas PeruanasIcr Tramo = (Ie1 + Ie2 + 2IeCL) /4 . . . Segn el ACIEn Carga Muerta + Carga Viva: Icr Tramo = (Icr1CM + Icr2CM + 2IcrCL) / 4 . . . Segn Normas PeruanasIcr Tramo = (Ie1CM+CV + Ie2CM+CV + 2IeCL) /4 . . . Segn el ACI

cm . . . . . . . . . . . . Segn el ACI cm . . . . . . . . . . . . Segn las Normas Peruanas

6. Deflexin Instantnea debido a Carga Muerta + Carga VivaPara la Norma Peruana : I Tramo = 0.0503 m4Para el ACI: I Tramo = 0.055395 m4L= 20 m = 2,000 cmMCL= 161 T-m = 16100,000 Kg-cmM1= 337 T-m = 33700,000 Kg-cmM2= 230 T-m = 33700,000 Kg-cm

cm . . . . . . . . . . . . Segn Norma Peruana cm . . . . . . . . . . . . Segn el ACI

7. Deflexin Inmediata debido a Carga Viva

Y = 3.09 - 2.80 = 1.01 cm . . . . . . .Segn Norma Peruana

Y = 2.80 1.56 = 1.24 cm . . . . . . .Segn el ACI

8. Deflexin Inmediata Total

Segn la Norma Peruana : Y = 2.08 + 1.01 = 3.09 cm.

Segn el ACI : Y = 1.56 + 1.24 = 2.80 cm.

9. Clculo de la Deflexin DiferidaAsumiendo un 50 % de la Carga Viva como carga sostenida. Se tiene:Mcr= 75.5 T-mMCL= 109 + 52 (0.5) = 135 T-mM1= 230 + 107 (0.5) = 283.5 T-mM2= 230 + 107 (0.5) = 283.5 T-mInercia del Tramo segn Norma Peruana:Icr= 0.05908 m4 Seccin CentralIcr= 0.04152 m4Seccin en el ApoyoIcr= 0.0503 m4Norma PeruanaInercia del Tramo segn el ACI:Ief= 0.06809 m4 Seccin CentralIef= 0.04270 m4Seccin en el ApoyoIef= 0.055395 m4ACI

Flecha Diferida para 5 aos:

p = As/b.d = (56 ) / (80 x 25 ) = 0.0056

YDIFERIDA = (1.56) YINSTANTANEAYINSTANTANEA para 50% CV + 100% CM

cm . . . . . . . . . . . . Segn la Norma Peruana

cm . . . . . . . . . . . . Segn el ACI

Finalmente:

YDIFERIDA = 1.56 x 2.58 = 4.02 cm.YDIFERIDA = 1.56 x 2.34 = 3.65 cm

10. Clculo de la Flecha Total

Y TOTAL = Y INSTANTANEA + Y DIFERIDA

Y TOTAL = 3.09 + 4.02 = 7.11 cm. . . . .. Segn Norma Peruana

Y TOTAL = 3.09 + 3.65 = 6.74 cm. . . . . . . . Segn el ACI

Con lo cual se puede concluir que se espera una flecha total del orden de 6.5 a 7.5 cm., 6.5 a 7.5 cm < 20/240 = 8.33 cm O.K.

FISURACION POR FLEXIONLas fisuras se presentan en el concreto cuando se excede su resistencia a la tensin.Lo fundamental no es el nmero de fisuras, sino el ancho de las mismas. Son normales aquellas fisuras que tienen un espesor del orden de 0.1 a 0.3 mm. El control de las fisuras debe hacerse para: - Prevenir la corrosin del refuerzo. - El aspecto Esttico.

Los mtodos actuales de control de la fisuracin se basan en gran parte en estudios experimentales que han demostrado que:El ancho de las fisuras es menor si se utilizan barras de acero corrugado.El ancho mximo de la fisura producida por una carga es aproximadamente proporcional a la tensin del acero de la armadura.El ancho de las fisuras de flexin es menor si la armadura est bien distribuida en la zona de traccin del ConcretoEl ancho de las fisuras de flexin en la superficie del concreto es proporcional al recubrimiento del concreto en las barras.

Ancho de FisurasExisten diferentes expresiones que evalan el ancho posible de las fisuras a nivel del refuerzo traccionado, dentro de las cuales se tienen:

. . . . . . ( 1 )

. . . . . . ( 2 ) : h1/h2 (ver figura 4)A : Area de concreto que rodea a cada varilladc :Recubrimiento inferior medido desde el centro de la varilla ms cercana al borde del elemento.

Determinacin del Parmetro ZLa Norma Peruana no especifica un ancho mximo, sino que sigue el criterio del Cdigo Americano (ACI), el cual indica que debe evaluarse un coeficiente Z debiendo ser ste menor a 31,000 kg/cm para condiciones de exposicin interior o menor a 25,000 kg/cm para condiciones de exposicin exterior.

El valor de Z se indica como:Donde A y dc se pueden observar en la figura.Al relacionar las ecuaciones encontramos:wMAX = () (Z) (10-6) cm.Y si trabajamos con un factor de 1.2 aproximado, y con los lmites de Z del cdigo encontramos:wMAX = 1.2 x 31,000 x 10-6 cm = 0.37 mm (interiores)wMAX = 1.2 x 25,000 x 10-6 cm = 0.30 mm (exteriores)

EJEMPLO DE PARA DETERMINAR EL ANCHO DE FISURAPara una viga de seccin rectangular simplemente apoyada, estimar el ancho mximo de grieta. La luz de la viga es de 9 m y la viga soporta una carga de servicio de 1.55 T/mConsidere:Resistencia a la compresin: fc = 280 kg/cm2Fluencia del acero: fy = 4200 kg/cm2Modulo elasticidad del acero: Es= 2x106 kg/cm2Acero : As= 3 f N 8Altura: h= 0.55 mAncho: b = 0.80 mAcero transversal: Estribos de f 3/8

1. Calculo del peralte efectivo ( d ):

d = 55 (4 + 0.95 + 1.27 ) = 48.78 cmSin considerar la seccin transformada, se tiene:

Ig = bh3/12 = 30 . 553 / 12 = 415,937.5 cm4

fr = 2(fc)1/2 = 2 (350)1/2 = 37.42 kg/cm2

Mcr = Ig.fr/v=415937.5x37.42/(55/2)= 5.66x10-5 kg/cm = 5.66 T-m

El momento actuante ser el momento positivo mximo:

Ma = WL2/8 = 1.55 x 92 / 8 = 15.69 T-m > Mcr = 5.66 T-m Seccin agrietada

Para la condicin agrietada, calulamos la profuniddad del eje neutro, c, y el momento de inercia de la seccin agrietada (Icr )

a. b.c = bc2/2b. nAs = nAsd (bs + nAs)c = bc2/2n + Asd b c/2 + nAs c As d = 0 Donde: n= Es/Ec = 2186/15000(350)1/2 = 7.13 As= 3 f N 8 = 3 x 5.07 = 15.21 cm2 d= 48.78 cm b= 30 cm Reemplazando se tiene: c2 + 7.23 c 352.67 = 0 c = 15.51 cm

Luego:

Icr = bc3/3 + nAs(d c)2 = 157,350.4 cm4 El esfuerzo en el acero ser:fs = nMc/I = nMa(d-c)/Icrfs = 15.69 x 10105 (48.78 15.51)7.13/157350.4fs = 2365 kg/cm2 < 0.6 fy = 2520 kg/cm2 Se tiene:Wmax = 0.1086 x 10-4(dcA)1/3 . . . . . . .( 1 ) = (h-c) / (d-c) = (55-15.51) / (48.78 15.51) = 1.18dc = 4 + 0.95 + 2.54/2 = 6.22 cmA = bt/bc = 30 x 2 x 6.22/3 = 124.4 cm2En la expresin ( 1 ) Wmax = 0.1086 x 10-4x 1.18x2365(6.22 x 124.4)1/3 = 0.28 mm Rpta.Este valor est dentro del rango permitido maximo que es de 30 mm en exteriores y 37 mm en interiores.

b. Usando el criterio simplificado: fs = 0.6 fy = 0.6 x 4200 = 2520 kg/cm2 = 1.20 En la expresin ( 1 ): Wmax = 0.1086 x 10-4x 1.20x2520(6.22 x 124.4)1/3 = 0.30 mm Rpta.Este valor est dentro del rango permitido maximo que es de 30 mm en exteriores y 37 mm en interiores.