DISEÑO DE VIGAS A FLEXION

 

4.10    DISEÑO DE VIGAS A FLEXION CON ARMADURA DE COMPRESION

Existen dos razones fundamentales por las cuales, en una viga sometida a flexión se puede requerir un diseño que, a más de la armadura de tracción tradicional, se utilice armadura sometida a compresión:

Porque existe un limitante máximo de tipo arquitectónico, constructivo o funcional que impide que la viga aumente sus dimensiones.

Porque, por aspectos constructivos o de diseño, ya existe armadura de compresión y se desea aprovechar su existencia obligatoria para disminuir el armado de tracción.

Las especificaciones de los códigos imponen criterios de diseño que permiten que, a pesar de incrementar el armado de las vigas, se mantengan los niveles de ductilidad que son exigidos para las vigas que solamente requieren armadura de tracción.

Cuando la viga no resiste solicitaciones sísmicas, la cuantía de armado a tracción máxima admisible se define mediante la siguiente expresión:

Donde:

r : cuantía de armado a tracción

r b: cuantía balanceada a tracción cuando no existe armadura de compresión

r ‘: cuantía de armado a compresión

Cuando la viga resiste solicitaciones sísmicas, la cuantía de armado a tracción se define mediante la siguiente expresión:

Para secciones rectangulares, las cuantías de armado anotadas anteriormente se calculan con las siguientes expresiones:

El criterio básico detrás de las expresiones que definen la cuantía máxima es el de que la presencia de la armadura de compresión hace cambiar la magnitud de la cuantía balanceada, que puede ser calculada con la siguiente expresión:

La expresión anterior presupone que el momento en que el acero de tracción ha alcanzado la deformación de fluencia (e s = e y = Fy / Es) y el hormigón ha alcanzado su máxima deformación (e c = 0.003), el acero de compresión ha igualado o superado la deformación de fluencia (e s’ ³ e y).

Para el caso más común, de vigas rectangulares, el problema puede representarse esquemáticamente de la siguiente manera:

En el gráfico anterior, además de la geometría básica de la viga, constan el diagrama de deformaciones unitarias (e ) y el diagrama de fuerzas internas (P).

 

a. DISEÑO DE VIGAS QUE NO PUEDEN INCREMENTAR SUS DIMENSIONES EXTERIORES:

Con bastante frecuencia existen limitantes en cuanto a las dimensiones máximas que pueden tener las vigas y, en ocasiones, al intentar diseñar a flexión tales vigas, se encuentra que es necesario un armado de tracción que supera los porcentajes de la cuantía balanceada especificados por los códigos (75% de la cuantía balanceada para elementos que no resisten sismos, y 50 % de la cuantía balanceada para elementos que resisten sismos), o sencillamente ya no existe armadura capaz de resistir el momento flector solicitante. En este caso se puede utilizar el siguiente procedimiento:

Se calcula el momento flector que es capaz de resistir la sección de hormigón armado cuando utiliza la cuantía máxima permitida por los códigos (75% o 50% de la cuantía balanceada, según el caso).

Se calcula la parte de momento flector solicitante que no alcanza a ser resistida por la cuantía de armado definida anteriormente, y que debe ser resistida con armadura de tracción adicional y con armadura de compresión.

Se calcula una primera aproximación del acero adicional de tracción y el acero de compresión requeridos para resistir la parte del momento flector solicitante que no puede ser resistida por la cuantía de armado máxima definida por los códigos.

Se calcula el momento flector real que resiste el armado propuesto.

Iterativamente se corrige el armado de tracción y compresión hasta obtener el diseño más económico.

 

EJEMPLO 4.1:

Diseñar la viga rectangular de la figura que está sometida a un momento flector último Mu = 27 T-m, si el hormigón tiene una resistencia a la rotura f’c = 210 Kg/cm2 y el acero tiene un esfuerzo de fluencia Fy = 4200 Kg/cm2. La viga debe ser diseñada para una zona sísmica.

 

Verificación de la Necesidad de Armadura de Compresión:

Si se supone que el acero de tracción se encuentra en fluencia, se puede utilizar la siguiente expresión para calcular la armadura requerida para resistir el momento flector solicitante:

Los datos son:

f’c = 210 Kg/cm2

Fy = 4200 Kg/cm2

b = 30 cm

d = 44 cm

f = 0.90

Mu = 27 T-m = 2700000 Kg-cm

El acero de tracción requerido es:

As = 19.67 cm2

La cuantía de armado es:

La cuantía balanceada de la sección es:

La cuantía máxima permisible para zonas sísmicas es:

r máx = 0.50 r  b = 0.01084

Dado que la cuantía de armado calculada (0.01490) supera a la cuantía máxima permisible (0.01084), se requiere de acero de compresión para poder resistir los momentos flectores solicitantes.

 

Cálculo del Momento Flector Máximo que puede Resistirse Unicamente con Armadura de Tracción:

La cuantía máxima de armado sin armadura de compresión es:

r máx = 0.01084

La cantidad de acero máxima permisible para la sección, sin armadura de compresión, es:

As1 = r máx  . b . d = (0.01084) (30 cm) (44 cm)

As1 = 14.31 cm2

La altura a del bloque de compresión es:

El momento flector último resistente Mu1 es:

Mu1 = 20.77 T-m

 

Cálculo del Momento Flector que debe ser Resistido con la Armadura de Tracción Adicional y con la Armadura de Compresión:

El momento flector que falta por ser resistido es:

Mu2 = Mu - Mu1 = 27.00 T-m - 20.77 T-m

Mu2 = 6.23 T-m

Se requerirá de más acero de tracción (As2) añadido al ya calculado, y de acero de compresión (As’) para resistir el momento flector faltante.

 

Cálculo de la Sección de Acero de Tracción Adicional, del Acero Total de Tracción y del Acero de Compresión:

Se va a suponer tentativamente que la posición del eje neutro calculada para la cuantía de armado máxima únicamente con acero de tracción se mantiene luego de añadir el acero faltante de tracción y el acero de compresión (esta hipótesis es una aproximación pues, por los condicionamientos de los códigos de diseño, el eje neutro ascenderá ligeramente y el bloque de compresión del hormigón se reducirá, sin embargo se demostrará con este ejemplo que la variación de la posición del eje neutro tiene un efecto muy pequeño sobre el diseño).

Bajo esta hipótesis el momento flector faltante deberá ser resistido únicamente por el acero de tracción adicional y el acero de compresión.

Dado que el acero de tracción está en fluencia, la sección adicional aproximada de acero es:

Donde:

Mu2 = 6.23 T-m = 623000 Kg-cm

f = 0.90

Fy = 4200 Kg/cm2

d = 44 cm

r = 6 cm

De donde:

As2 = 4.34 cm2

Por condiciones de ductilidad, el armado complementario de tracción que se acaba de calcular debe ser máximo el 50% del armado de compresión (en zonas no sísmicas sería el 75% del armado de compresión), por lo que:

As2 £ 0.50 As’

La condición más económica se produce con la igualdad:

As2 = 0.50 As’

De donde:

As’ = 8.68 cm2

El acero de compresión total es:

As = As1 + As2 = 14.31 cm2 + 4.34 cm2

As = 18.65 cm2

 

Cálculo del Momento Flector Ultimo Resistente para el Armado Propuesto:

As = 18.65 cm2

As’ = 8.68 cm2

La fuerza de tracción del acero, que se encuentra en fluencia, es:

T = As . Fy = (18.65 cm2) (4200 Kg/cm2)

T = 78330 Kg

Tentativamente se puede suponer que el acero de compresión también ha entrado en fluencia (e  s  ³ e  y), lo que posteriormente deberá ser verificado, y corregido en caso de ser necesario. En este caso el esfuerzo en el acero de compresión es el esfuerzo de fluencia.

fs’ = Fy

fs’ = 4200 Kg/cm2

La fuerza de compresión Cs del acero es:

Cs = A’s . fs = (8.68 cm2) (4200 Kg/cm2)

Cs = 36456 Kg

Por equilibrio de fuerzas horizontales, la fuerza de compresión en el hormigón es:

Cc = T - Cs = 78330 Kg - 36456 Kg

Cc = 41874 Kg

La altura a del bloque de compresión es:

a = 7.82 cm

La posición del eje neutro queda definida como:

c = 9.20 cm

La deformación unitaria en el acero de compresión e  s puede obtenerse por semejanza de triángulos, de donde:

e  s = 0.001043

En vista de que la deformación unitaria en el acero de compresión (0.001043) es inferior a la deformación unitaria de fluencia (0.002), la capa de compresión no ha entrado en fluencia y su esfuerzo debe ser corregido mediante la siguiente expresión:

fs’ = Es . e  s

La primera corrección sería:

fs’ = (2100000 Kg/cm2) (0.001043) = 2190 Kg/cm2

Cs = A’s . fs = (8.68 cm2) (2190 Kg/cm2) = 19009 Kg

Cc = T - Cs = 78330 Kg - 19009 Kg = 59321 Kg

La segunda corrección sería:

fs’ = Es . e  s = (2100000 Kg/cm2) (0.001619) = 3400 Kg/cm2

Cs = A’s . fs = (8.68 cm2) (3400 Kg/cm2) = 29508 Kg

Cc = T - Cs = 78330 Kg - 29508 Kg = 48822 Kg

En vista de que la convergencia es lenta, conviene utilizar una hoja electrónica para realizar los cálculos.

Iteración fs' Cs Cc a c e  s'

  (Kg/cm2) (Kg) (Kg) (cm) (cm)  

1 2190 19009 59321 11,08 13,03 0,001619

2 3400 29508 48822 9,12 10,73 0,001322

3 2776 24094 54236 10,13 11,92 0,001489

4 3128 27148 51182 9,56 11,24 0,001399

5 2938 25505 52825 9,86 11,61 0,001449

6 3043 26412 51918 9,70 11,41 0,001422

7 2986 25918 52412 9,79 11,51 0,001437

8 3017 26189 52141 9,74 11,46 0,001429

9 3000 26041 52289 9,76 11,49 0,001433

10 3009 26122 52208 9,75 11,47 0,001431

11 3004 26078 52252 9,76 11,48 0,001432

12 3007 26102 52228 9,75 11,47 0,001431

13 3006 26089 52241 9,76 11,48 0,001432

14 3006 26096 52234 9,75 11,48 0,001431

15 3006 26092 52238 9,75 11,48 0,001432

16 3006 26095 52235 9,75 11,48 0,001431

17 3006 26093 52237 9,75 11,48 0,001432

18 3006 26094 52236 9,75 11,48 0,001432

19 3006 26094 52236 9,75 11,48 0,001432

Los valores de convergencia son:

fs’ = 3006 Kg/cm2

Cs = 26092 Kg

Cc = 52238 Kg

a = 9.75 cm

c = 11.48 cm

e  s’ = 0.001432

El momento último resistente de la sección se puede calcular con la siguiente expresión:

Mu = 2731777 Kg-cm = 27.3 T-m

En vista de que el momento flector resistente es ligeramente mayor que el momento flector solicitante (hay un exceso de 0.31777 T-m), se puede efectuar un pequeño ajuste de disminución de acero de tracción y acero de compresión:

D Mu = 31777 Kg-cm

D As = 0.22 cm2

D As’ = 0.44 cm2

Las secciones de acero de tracción y compresión corregidas son:

As = 18.65 cm2  - 0.22 cm2

As = 18.43 cm2

As’ = 8.68 cm2  - 0.44 cm2

As’ = 8.24 cm2

Por la rapidez de la convergencia de este proceso (en la primera corrección de armadura se añadieron 4.34 cm2 al acero de tracción y 8.68 cm2 al acero de compresión; en esta segunda corrección se quitaron solamente 0.22 cm2 del acero de tracción y 0.44 cm2 del acero de compresión, lo que representa aproximadamente la veinteva parte de la primera corrección de la armadura de tracción), no es necesario repetir el cálculo detallado.

Se escogen 5 varillas de 22 mm a tracción (19.00 cm2), y 2 varillas de 20 mm + 1 varilla de 16 mm a compresión (8.29 cm2).

 

Si se está realizando un procesamiento manual de la información, el diseño puede suspenderse tan pronto se realiza el cálculo del acero adicional de tracción y el acero de compresión, evitándose todo el proceso deCálculo del Momento Flector Ultimo Resistente para el Armado Propuesto, sin cometerse errores de trascendencia.

Si el diseño se está realizando con computadora, conviene refinar la determinación del armado con un proceso similar al propuesto en el problema anterior.

b. DISEÑO DE VIGAS QUE YA DISPONEN DE ARMADURA DE COMPRESIÓN:

Se puede utilizar el siguiente procedimiento:

Se calcula la armadura de tracción necesaria si únicamente existiera acero de tracción.

Se calcula el momento flector real que resiste el armado propuesto.

Iterativamente se corrige el armado de tracción hasta obtener el diseño más económico.

 

EJEMPLO 4.2:

Diseñar la viga rectangular de la figura que está sometida a un momento flector último Mu = 46 T-m, si el hormigón tiene una resistencia a la rotura f’c = 210 Kg/cm2 y el acero tiene un esfuerzo de fluencia Fy = 4200 Kg/cm2. Por armado de estribos la viga dispone de 3 varillas de 18 mm en la zona de compresión. La viga debe ser diseñada para una zona sísmica.

 

Cálculo de la Armadura Requerida sin Incluir el Efecto de la Armadura de Compresión:

Si se supone que el acero de tracción se encuentra en fluencia, y que no existe armadura de compresión, la sección transversal de la armadura de tracción se puede calcular con la siguiente expresión:

Los datos son:

f’c = 210 Kg/cm2

Fy = 4200 Kg/cm2

b = 35 cm

d = 64 cm

f = 0.90

Mu = 46 T-m = 4600000 Kg-cm

El acero de tracción requerido es:

As = 21.43 cm2

La armadura de compresión es:

As’ = 3 (2.54 cm2) = 7.62 cm2

Cálculo del Momento Flector Ultimo Resistente para el Armado Propuesto:

As = 21.43 cm2

As’ = 7.62 cm2

La fuerza de tracción del acero, que se encuentra en fluencia, es:

T = As . Fy = (21.43 cm2) (4200 Kg/cm2)

T = 90006 Kg

Se puede suponer que el acero de compresión también ha entrado en fluencia (e  s  ³ e  y). En este caso el esfuerzo en el acero de compresión es el esfuerzo de fluencia.

fs’ = Fy

fs’ = 4200 Kg/cm2

La fuerza de compresión Cs del acero es:

Cs = A’s . fs = (7.62 cm2) (4200 Kg/cm2)

Cs = 32004 Kg

La fuerza de compresión en el hormigón es:

Cc = T - Cs = 90006 Kg - 32004 Kg

Cc = 58002 Kg

La altura a del bloque de compresión es:

a = 9.28 cm

La posición del eje neutro queda definida como:

c = 10.92 cm

La deformación unitaria en el acero de compresión e  s es:

e  s = 0.001352

En vista de que la deformación unitaria en el acero de compresión (0.001352) es inferior a la deformación unitaria de fluencia (0.002), el esfuerzo del acero de compresión se corrige con la siguiente expresión:

fs’ = Es . e  s

La primera corrección sería:

fs’ = (2100000 Kg/cm2) (0.001352) = 2839 Kg/cm2

Cs = A’s . fs = (7.62 cm2) (2839 Kg/cm2) = 21633 Kg

Cc = T - Cs = 90006 Kg - 21633 Kg = 68373 Kg

La segunda corrección sería:

fs’ = Es . e  s = (2100000 Kg/cm2) (0.001602) = 3364 Kg/cm2

Cs = A’s . fs = (7.62 cm2) (3364 Kg/cm2) = 25635 Kg

Cc = T - Cs = 90006 Kg - 25635 Kg = 64371 Kg

Se puede utilizar una hoja electrónica para preparar una tabla de cálculo de convergencia:

Iteración fs' Cs Cc a c e  s'

  (Kg/cm2) (Kg) (Kg) (cm) (cm)  

1 2839 21633 68373 10,94 12,88 0,001602

2 3364 25635 64371 10,30 12,12 0,001515

3 3182 24244 65762 10,53 12,38 0,001546

4 3248 24747 65259 10,45 12,29 0,001535

5 3224 24568 65438 10,47 12,32 0,001539

6 3233 24632 65374 10,46 12,31 0,001538

7 3229 24609 65397 10,47 12,31 0,001538

8 3231 24617 65389 10,47 12,31 0,001538

9 3230 24614 65392 10,47 12,31 0,001538

10 3230 24615 65391 10,47 12,31 0,001538

Los valores de convergencia son:

fs’ = 3230 Kg/cm2

Cs = 24615 Kg

Cc = 65391 Kg

a = 10.47 cm

c = 12.31 cm

e  s’ = 0.001538

El momento último resistente de la sección se puede calcular con la siguiente expresión:

Mu = 4743334 Kg-cm = 47.4 T-m

En vista de que el momento flector resistente es ligeramente mayor que el momento flector solicitante (hay un exceso de 1.43334 T-m), se puede efectuar un pequeño ajuste de disminución de acero de tracción:

D Mu = 143334 Kg-cm

D As = 0.65 cm2

Se corrige la sección de acero de tracción:

As = 21.43 cm2  - 0.65 cm2

As = 20.78 cm2

As’ = 7.62 cm2

Al igual que en el ejemplo anterior, no es necesario repetir el cálculo detallado.

Se escogen 2 varillas de 25 mm + 3 varillas de 22 mm a tracción (21.22 cm2), y 3 varillas de 28 mm a compresión (7.62 cm2) que ya existían previamente.

www.academia.edu/6312223/DISENO_PUENTE_VIGA_LOSA_ORIGIN

DISEÑO PUENTE VIGA-LOSA I.PREDIMENSIONAMIENTO : Puente simplemente .... Suponiendo que el eje neutro se halla dentro Asumiendo b = del ala ( C < E ) ... máxima:pmax = 0.75 pb ==> pmax = 0.0163 Cuantía de la Viga: p = As/(b.d) ... DISEÑO PUENTE VIGA LOSA - Academia.eduwww.academia.edu/7581290/DISENO_PUENTE_VIGA_LOSA

DISEÑO DE LA LOSA : La armadura principal de la Losa será en sentido .... máxima:pmax = 0.75 pb ==> pmax = 0.0163 Cuantía de la Viga: p = As/(b.d) ==> p ... Es correcto el diseño de la Viga como Rectangular pues el Eje neutro se halla ..

 

 DISEÑO PUENTE VIGA-LOSA I.-PREDIMENSIONAMIENTO :Puente simplemente apoyadoSECCION TIPICA:

 CA C0 .0 5 0. 0 50.70 g ELOSA 0.50 CARTELA .15x.15HVIGA PRINCIP VIGA DIAFRAGMA  a  b  S  

b  a 5.00L o n g i t u d   T o t a l  d e l   P u e n t e   L t   (m )   =35.00 Ancho de Cajuela2.00Número Vigas DiafragmaL u z   d e  C á l c u l o   d e l   P u en t e   L   ( m )   =30.00

Peralte Vigas Diafragma Ancho de Vía3.60 A (m) =4.00 Ancho Vigas DiafragmaPeralte Viga Princ. 2.1 H (m) =2.00Dist. entre Vigas Diafrag. Ancho Viga Princ.0.4~0.6 b (m) =0.50

S e p a r a c i ó n  V i g a s   P r i n c .   S  ( m )   =2.10TREN DE CARGASE s p e s o r   Lo s a 0 . 1 8   E   (m )   =0.20 Ancho Vereda0.60 C (m) =0.65

C o n c r e to   f ' c   =E s p e s o r   V e re d a 0 . 2 0   g   (m )   =0.30 Acero fy =L o n g i t u d  V o l a d o   a   (m )   =1.15Luz Libre del Puente:

L eDeD eD b' VIGAS DIAFRAGMA

 

 II.-DISEÑO DE LA LOSA :La armadura principal de la Losa será en sentido perpendicular al tránsito.

 2.1.ARMADURA PRINCIPAL TRAMO INTERIOR

Momento por Peso Propio (Md) :- Metrado de Cargas (para 1 m. de ancho):  P .  p r o p i o   =   (1 m . ) ( E )( 2 . 4   T / m 3 )0 . 4 8   A s f a l to   =   ( 1 m . )( 0 . 0 5 ) ( 2 . 0  

T / m 3 ) 0 . 1 0  Wd =0.58 T/m- Suponiendo un coeficiente 1/10 para los momentos (+) y (-):  M d   = [   W d .( S ) ^ 2   ] / 1 0 = == >  M d  = 0 . 2 5 5 7 8 T . m+/-

Momento por Sobrecarga (Ml) :- Como es una losa armada perpendicularmente al sentido del tráfico:  M l   =  ( S + 0 . 6 1 )   P / 9 .7 4   (   P :   C a r g a  d e   r u e d a   m á s  p e s a d a : H S - 2 0

7.258  M l  = 2 . 0 1 9 4   T .m- Como existe continuidad entre losa y viga se recomienda afectar al momento de factores:  M o m .  p o s i t i v o   =   0 . 8 0  M l   = = = >

+ Ml  =1 .615538  T .m  M o m .  n e g a t i v o = 0 . 9 0  M l   = = = >-  Ml  =1 .817481  T .mMomento por Impacto (Mi) :- Coeficiente de Impacto : 

I = 1 5 . 2 4 / ( S + 3 8) = 0 . 3 8   I   < =0 . 3 0   M e n or   V a l o r   = =>  I  = 0 . 3 0- Momentos :  M o m .   p o s i t i vo   =   I   M l + = = = >

+ Mi  =0 .484662  T .m  M o m .  n e g a t i v o   =   I   Ml - = = = >-  Mi  =0 .545244  T .mVerificación del peralte : (Diseño por Servicio o Esfuerzos de Trabajo)- Momentos por

Servicio:M   =   M d  +   M l   +   M i   ( M om e n t o   f l e c t o r)   M o m .   p o si t i v o   = = = =>  +   M  = 2 . 3 5 5 9 8   T . m Mom. negativo = ===>  -  M =2.618505  T .m- Peralte mínimo :

d = [ (2.M)/(Fc.K.J.b) ]^(1/2) donde:  b   =  1   m . = 10 0   c m  F c   =   0 . 4  f ' c   =   0 . 4 0  x 2 1 0 = 8 4  K g / c m 2   F s  =   0 . 4   f y =   0 . 4 0  

x 4 2 0 0 = 1 6 8 0  K g / c m 2  Es = 2100000 Kg/cm2  Ec   =   1 5 0 0 0   R a iz ( f ' c ) 2 1 7 3 7 1   Kg / c m 2   n   =  E s   /   E c  = 1 0   >   6  O . K .   r   = F s   /   Fc   = 2 0   K  =   n   /   ( n + r

)   = 0 . 3 2 5 7  J   =   1   -   K/ 3  = 0 . 8 9 1 4 == = >   d   = 1 3. 9 0 c m . <   E  = 2 0 . 0 0 c mO.K. Admitiendo un recubrimiento de 2" (5 cm) y suponiendo el empleo de fierro de5/8" = el Peralte seria:

E   -   5 . 0 0   -  1 . 5 9 / 2   = 1 4 . 2 1c m Consideremos para el diseño  d  = 1 4 . 0 0 c mDiseño por Rotura :- Momento Ultimo Resistente :Mu = 1.30 [Md+1.67(Ml+Mi)]

  M o m .  p o s i t i v o   = == = >+   M u  = 4 . 8 9 2 0 4 8   T .m Mom. negativo = ===>-   M u   = 5 . 4 6 1 9 9 T . m- Acero :

 

 Mu = Ø.As.fy.[d-(As.fy)/(1.70 f'c.b)] Ø = ===> As = (f'c.b.d)/fy [0.85-Raiz(0.7225-1.70(Mu)/(Ø.f'c.b.d^2))]- Acero positivo : (por

1 m. de ancho de losa)  + A s   = 1 0 . 1 0 c m 2 Verificando la cantidad mínima por cuantía:  A s   m i n  =   1 4 / f y  b . d = = = > A s mi n = 4 . 6 6 6 6 7 cm 2  As min < +As ..........O.K.

Considerando acero de5/8" =2.00cm2 ,el espaciamiento de las barras será:s   =   ( A v .   b ) /   A s = = = >   s  = 1 9 . 8 0 c mA c e r o  p o s i t i vo   : 5 / 8 "  @ 2 0 c m- Acero negativo : (por

1 m. de ancho de losa)  - A s   = 1 1 . 4 2  c m 2 As min < -As ..........O.K.Considerando acero de5/8" =2.00cm2 ,el espaciamiento de las barras será:s   =   ( A v .   b ) /   A s = = = >   s  = 1 7 . 5 2 c m

A c e r o  n e g a t i vo   : 5 / 8 "  @ 1 8 c m 2.2.ARMADURA PRINCIPAL TRAMO EN VOLADIZO

Momento por Peso Propio (Md) :Por metro de longitud.S e c c i ó n   Ca r g a   ( T ) D is t . ( m )  M o m e n t o   (T . m ) 1 ( C )( 0 . 2 0 ) ( 1 )( 2 . 4 ) 0 . 3 12 0 . 8 2 5 0 . 2

5 7 2 ( 0 . 0 5 / 2) ( 0 . 2 0 ) ( 1 )( 2 . 4 0 ) 0 . 0 1 20 . 4 8 3 0 . 0 0 63 ( 0 . 5 0 )( E / 2 ) ( 1 )( 2 . 4 0 ) 0 . 1 20 0 . 8 1 7 0 . 09 8 4 ( a -0 . 5 0 ) ( E )( 1 )( 2 . 4 0 ) 0 . 3 12 0 . 3 2 5 0 . 1

0 1 5 ( 0 . 1 5 )( 0 . 1 5 ) ( 1 )( 2 . 4 0 ) 0 . 0 54 0 . 0 5 0 0 . 0 03  Asfalto(a-C-0.05)(0.05)(1)(2.00)0.0450.2250.010B a r a n d a0 . 1 5 0 0 .1 5 0 1 . 0 75 0 . 1 6 1 ===>

  M d  = 0 . 6 3 7   T .m Momento por Sobrecarga (Ml) :- Como es una losa armada perpendicularmente al sentido del tráfico:  A n c h o  E f e c t i v o   :   E  =   ( 0 . 8 0 ) ( X )+ 1 . 1 4 3   E  

= 1 . 2 6 m .   ( d i s t a n c i a  c a r a   V i g a   a   R ue d a :   X   = 0 . 1 5  m   )  Momento resultante: Ml = (P)(X) / E  M l   = 0 . 8 6 2  T . m  ( P :   C a r g a   d e  r u e d a   m á s   p e s ad a : H S - 2 07.258 T. )

Momento por Impacto (Mi) :  M i   =   ( I )  ( M l ) = = = >  M l   = 0 . 2 5 9  T . m Diseño por Rotura :- Momento Ultimo Resistente :M u   =   1 . 3 0   [ Md + 1 . 6 7 ( M l + M i) ] = = = >

  M u  = 3 . 2 6 0   T .m- Acero :R e s o l v ie n d o = = =>   A s   = 6. 5 1 8   c m2   A s   m i n   =  1 4 / f y   b . d   =4 . 6 6 7   c m 2   A

s   m in   < As   . . . . . . . . . .O.K.Considerando acero de5/8" =2.00cm2 ,el espaciamiento de las barras será:s   =   ( A v .   b ) /   A s = = = >   s  = 3 0 . 6 8 c mA c e ro   : 5 /

8 "   @3 1 c m 2.3.ACERO DE REPARTICION :Como el Acero principal es perpendicular al tráfico:  %   A s r   =  1 2 1   /   (   L   ) ^ 0. 5   <   6 7   %   A s= = = >   %   A s r  

= 2 1 . 7 3   %   A s  % Asr  <  67% As  .. . . . . . . . .O.K.===> Acero de Repartición :  A s r  = 2 . 4 8 1   c m 2Considerando acero de1/2" =1.29cm2 ,el espaciamiento de las barras será:

s   =   ( A v .   b ) /   A s = = = >   s  = 5 1 . 9 9 c mA c e r o   d e  R e p a r t i c ió n   : 1 / 2 "  @ 5 2 c m

Diseño de Elementos de Concreto ReforzadoExisten dos teorías para el diseño de estructuras de concreto reforzado: “La teoría elástica” llamada también “Diseño por esfuerzos de trabajo” y “La teoría plástica” ó “Diseño a la ruptura”.La teoría elástica es ideal para calcular los esfuerzos y deformaciones que se presentan en una estructura de concreto bajo las cargas de servicio. Sin embargo esta teoría es incapaz de predecir la resistencia última de la estructura con el fin de determinar la intensidad de las cargas que provocan la ruptura y así poder asignar coeficientes de

seguridad, ya que la hipótesis de proporcionalidad entre esfuerzos y deformaciones es completamente errónea en la vecindad de la falla de la estructura.La teoría plástica es un método para calcular y diseñar secciones de concreto reforzado fundado en las experiencias y teorías correspondientes al estado de ruptura de las teorías consideradas.

Ventajas del Diseño Plástico

1. En la proximidad del fenómeno de ruptura, los esfuerzos no son proporcionales a las deformaciones unitarias, si se aplica la teoría elástica, esto llevaría errores hasta de un 50% al calcular los momentos resistentes últimos de una sección. En cambio, si se aplica la teoríaplástica, obtenemos valores muy aproximados a los reales obtenidos en el laboratorio.

2. La carga muerta en una estructura, generalmente es una cantidad invariable y bien definida, en cambio la carga viva puede variar mas allá del control previsible. En la teoríaplástica, se asignan diferentes factores de seguridad a ambas cargas tomando en cuenta sus características principales.

3. En el cálculo del concreto presforzado se hace necesario la aplicación del diseño plástico, porque bajo cargas de gran intensidad, los esfuerzos no son proporcionales a las deformaciones.

Hipótesis del diseño plástico

Para el diseño de los miembros sujetos a carga axial y momento flexionante, rompiendo cumpliendo con las condiciones aplicables de equilibrio y compatibilidad de deformaciones, las hipótesis son:

A) Las deformaciones unitarias en el concreto se supondrán directamente proporcionales a su distancia del eje neutro. Excepto en los anclajes, la deformación unitaria de la varilla de refuerzo se supondrá igual a la deformación unitaria del concreto en el mismo punto.

B) La deformación unitaria máxima en la fibra de compresión extrema se supondrá igual a 0.003 en la ruptura.

C) El esfuerzo en las varillas, inferior al límite elástico aparente Fy, debe tomarse igual al producto de 2.083 x 106 kg/cm2 por la deformación unitaria de acero. Para deformaciones mayores que corresponden al límite elástico aparente, el esfuerzo en las barras debe considerarse independientemente de la deformación igual el límite elástico aparente Fy.

D) Se desprecia la tensión en el concreto en secciones sujetas a flexión.

E) En la ruptura, los esfuerzos en el concreto no son proporcionales a las deformaciones unitarias. El diagrama de los esfuerzos de compresión puede suponerse rectangular, trapezoidal, parabólico, o de cualquier otra forma cuyos resultados concuerden con las pruebas de los laboratorios.

F) La hipótesis anterior puede considerarse satisfecha para una distribución rectangular de esfuerzos definida como sigue:

En la ruptura se puede suponer un esfuerzo de 0.85 f'c, uniformemente distribuido sobre una zona equivalente de compresión, limitada por los bordes de la sección transversal y una línea recta, paralela al eje neutro y localizada a una distancia a = ß1 c a partir de la fibra de máxima deformación unitaria en compresión y el eje neutro, se medirá perpendicularmente a dicho eje. El coeficiente “ß1” se tomará como 0.85 para esfuerzos f'c

hasta de 280 kg/cm2 y se reducirá contínuamente en una proporción de 0.05 por cada 70 kg/cm2 de esfuerzo en exceso de los 280 kg/cm2.

Análisis de las Hipótesis

La hipótesis (A), acepta la variación lineal de las deformaciones unitarias. Lo cual es cierto, excepto en la vecindad de la ruptura, pero las diferencias son muy pequeñas y no son dignas de tomarse en cuenta.

En cuanto a la deformación unitaria de las varillas de refuerzo es igual a la del concreto en el mismo punto, es indispensable para el trabajo conjunto del acero de refuerzo y el concreto.

La hipótesis (B), señala la ruptura del concreto, la deformación unitaria 0.003 cuyo valor concuerda con el promedio de los datos obtenidos en el laboratorio, resultando ligeramente conservador.

La hipótesis (C), se fundamenta en el diagrama esfuerzo-deformación de los aceros de refuerzo, y, para deformaciones mayores que las correspondientes al límite elástico aparente debe considerarse el esfuerzo en las varillas, independiente e igual a “Fy” porque se encuentran dichas deformaciones en la zona plástica del diagrama, el cual puede considerarse horizontal sin mucho error.

La hipótesis (D), desprecia la resistencia a la tensión del concreto, en miembros sujetos a flexión. El error que con ello se comete es muy pequeño y permite establecer fórmulas mucho más sencillas que si se considera dicha resistencia

La hipótesis (F), se basa en una solución presentada en 1937 por Charles S. Whitney y tiene la ventaja de proporcionar un método muy sencillo de análisis de las cuñas de esfuerzos de compresión.

Método de Charles S. Whitney

Este método consiste en suponer una distribución uniforme de los esfuerzos de compresión de intensidad 0.85 f'c actuando sobre un área rectangular limitada por los bordes de la sección y una recta paralela el eje neutro, localizada a una distancia a = ß1 c de la fibra de máxima deformación en compresión.

Figura 1.1. Cuña rectangular de esfuerzos equivalentes en una viga.

En la figura 1.1 se ilustra la cuña rectangular de Whitney en el caso de flexión en una viga.

La distribución rectangular de esfuerzos tiene que cumplir dos condiciones:

1. El volumen de la cuña rectangular C tiene que ser igual al volumen de la cuña real (Fig. 1.1).

2. La profundidad 

de la resultante C en la cuña rectangular que tiene que ser igual a la profundidad de la resultante C en el diagrama real de esfuerzos.

Cumpliendo esas dos condiciones, la mecánica de las fuerzas interiores en una sección dada no se altera.

La hipótesis (F) hace que la compresión total como volumen de la cuña rectangular tenga el valor:

(a)

Para una sección rectangular.

Si se designa por ß1 la relación entre el área real del diagrama de compresiones (Fig. 1.1) y el área del rectángulo circunscrito a ese diagrama, el volumen de la cuña real de compresiones puede escribirse así:

(b)

Por lo que igualando las ecuaciones (A) y (B) para que cumpla la primera condición:

De donde:

a = ß1 c

Como lo establece la hipótesis (F) ya citada.

La segunda condición que deben cumplir las resultantes de los dos diagramas (el real y el rectangular, se cumplen con la expresión):

Es decir:

Por lo tanto:

En consecuencia: ß2 se tomará igual a 0.425 para concretos con

y disminuirá a razón de 0.025 por cada en exceso de los 280 kg/cm².

En el diagrama real de esfuerzos de la figura 1.1 se ha asignado a los esfuerzos de compresión un valor máximo de 0.85F 'c, en lugar de f'c que es la fatiga de ruptura en cilindros a los 28 días.

Eso se debe principalmente a que los elementos estructurales por lo general tienen una esbeltez mayor que 2, que es la correspondiente a los cilindros de prueba. La esbeltez influye en forma muy importante en el esfuerzo final de ruptura, el cual disminuye hasta cerca del 85% para esbelteces de 6 o mayores.

El tipo de carga también podría tener influencia en la reducción del esfuerzo de ruptura del concreto en las estructuras, pues en estas es de larga duración, cuando menos la correspondiente a carga muerta, la cual actúa permanentemente desde un principio. Sin embargo, considerando que la carga muerta suele ser de un 40% del valor de las cargas totales, su acción en la fatiga final de ruptura no parece ser muy importante.

Factores de Carga

Factor de carga es el número por el cual hay que multiplicar el valor de la carga real o de servicio para determinar la carga última que puede resistir un miembro en la ruptura.

Generalmente la carga muerta en una estructura, puede determinarse con bastante exactitud pero no así la carga viva cuyos valores el proyectista solo los puede suponer ya que es imprevisible la variación de la misma durante la vida de las estructuras; es por ello, que el coeficiente de seguridad o factor de carga para la carga viva es mayor que el de la carga muerta. Los factores que en el reglamento del ACI se denominan U, son los siguientes:

A) Para combinaciones de carga muerta y carga viva:

U = 1.4D + 1.7L

Donde: D = Valor de la carga muerta y

L = Valor de la carga viva

B) Para combinaciones de carga muerta, carga viva y carga accidental:

U = 0.75 (1.4D + 1.7L + 1.7W) o

U = 0.75 (1.4D + 1.7L + 1.87E)

Donde: W = Valor de la carga de viento y

E = Valor de la carga de sismo

Cuando la carga viva sea favorable se deberá revisar la combinación de carga muerta y carga accidental con los siguientes factores de carga:

U = 0.90D + 1.30W

U = 0.90D + 1.30E

Factores de Reducción

Es un número menor que 1, por el cual hay que multiplicar la resistencia nominal calculada para obtener la resistencia de diseño.

Al factor de reducción de resistencia se denomina con la letra Ø: los factores de reducción son los siguientes:

Para:

Flexión 0.90

Cortante y Torsión 0.75

Adherencia 0.85

Compresión con o sin flexión

columnas con refuerzo helicoidal 0.75

Columnas con Estribos 0.70

El factor de reducción de resistencia toma en cuenta las incertidumbres en los cálculos de diseño y la importancia relativa de diversos tipos de elementos; proporciona disposiciones para la posibilidad de que las pequeñas variaciones adversas en la resistencia de los materiales, la mano de obra y las dimensiones las cuales, aunque pueden estar individualmente dentro de las tolerancias y los límites pueden al continuarse, tener como resultado una reducción de la resistencia.

Vigas Rectangulares Simplemente Armadas

Una viga de concreto es rectangular, cuando su sección transversal en compresión tiene esa forma.

Es simplemente armada, cuando sólo tiene refuerzo para tomar la componente de tensión del par interno.

En general, en una viga la falla puede ocurrir en dos formas:

Una de ellas se presenta cuando el acero de refuerzo alcanza su límite elástico aparente o límite de fluencia Fy; sin que el concreto llegue aún a su fatiga de ruptura 0.85 F`c.

La viga se agrietará fuertemente del lado de tensión rechazando al eje neutro hacia las fibras más comprimidas, lo que disminuye el área de compresión, aumentando las fatigas del concreto hasta presentarse finalmente la falla de la pieza. Estas vigas se llaman “Subreforzadas” y su falla ocurre más ó menos lentamente y va precedida de fuertes deflexiones y grietas que la anuncian con anticipación.

El segundo tipo de falla se presenta cuando el concreto alcanza su límite 0.85 F`c mientras que el acero permanece por debajo de su fatiga Fy. Este tipo de falla es súbita y prácticamente sin anuncio previo, la cual la hace muy peligrosa. Las vigas que fallan por compresión se llaman“Sobrereforzadas”.

Puede presentarse un tipo de vida cuya falla ocurra simultáneamente para ambos materiales, es decir, que el concreto alcance su fatiga límite de compresión 0.85 F'c, a la vez que el acero llega también a su límite Fy. A estas vigas se les da el nombre de “Vigas Balanceadas” y también son peligrosas por la probabilidad de la falla de compresión.

Para evitar las vigas sobre reforzadas y las balanceadas, el reglamento del ACI 318-02 limita el porcentaje de refuerzo al 75% del valor correspondiente a las secciones balanceadas.

Por otra parte, también las vigas con porcentajes muy pequeños, suelen fallar súbitamente; para evitar ese riesgo el reglamento ACI 318-02 exige que el porcentaje mínimo en miembros sujetos a flexión sea de:

.

El porcentaje de la sección balanceada se obtiene como sigue:

Por equilibrio de fuerzas:

Por lo tanto: 

Llamando: 

(2.1)

Del diagrama de deformaciones, aceptando las condiciones de viga

balanceada: 

Por lo tanto: (2.2)

La expresión (2.2) representa el valor del porcentaje de refuerzo en la sección balanceada de una viga. El reglamento ACI 318-02 limita el porcentaje máximo aplicable a miembros sujetos a flexión, a 75% de ese valor por las razones ya explicadas.

(2.3)

El momento último resistente de una viga rectangular puede deducirse de la siguiente manera:

en consecuencia: 

Fig. 2.1. Deformaciones y esfuerzos en una viga rectangular.

El asignar a fs el valor Fy. Se está considerando que el acero fluye y la viga es

sobrereforzada: 

Si llamamos: 

(2.4)

Que es la profundidad el eje neutro en la ruptura.

El momento último del par es:

(Fig. 2.1)

En donde: 

Y sustituyendo valores de C y c:

Y se designa por: 

(2.5)

Anteriormente habíamos establecido que 

Por lo tanto: 

Estableciendo el momento último en función del acero de refuerzo se produce de la siguiente manera, refiriéndose a la figura 2.1 y empleando la cuña rectangular de Whitney:

Ambas expresiones del momento último, el reglamento las propone afectadas de un coeficiente de seguridad que como ya se vio, para las vigas vale 0.9, por lo que quedarían finalmente:

(2.6)

(2.7)

En donde:

(2.8)

En función de porcentaje, el momento último toma la forma:

(2.9)

Despejando el índice de refuerzo “W” de la fórmula (2.6):

Dado que

Por lo tanto: 

En la fórmula anterior, únicamente se toma el signo negativo ya que si tomamos el valor

positivo del radical resultaría “W” muy alto y al calcular el porcentaje de acero “

” con 

, resultaría mayor que el máximo permisible, 

Así que: (2.10)

Requisitos de Separaciones y Recubrimientos

Libres del Acero de Refuerzo en Vigas

Recubrimiento

El refuerzo debe de tener recubrimiento adecuado cuyo fin es el de proteger al acero de dos agentes: La corrosión y el fuego.

La magnitud del recubrimiento debe fijarse por lo tanto, según la importancia de estos agentes agresivos.

Debe, por lo tanto, preveerse de un recubrimiento suficiente para tales fines, aunque un recubrimiento demasiado grande, provocará demasiadas grietas.

El agrietamiento se debe a las deformaciones causadas por los cambios volumétricos y los esfuerzos ocasionados por fuerzas de tensión, por momentos flexionantes, o por las fuerzas cortantes.

El recubrimiento se mide desde la superficie del concreto hasta la superficie exterior del acero, a la cual, se aplica el recubrimiento. Cuando se prescriba un recubrimiento mínimo para una clase de elemento estructural; éste debe medirse:

Hasta el borde exterior de los estribos, anillos ó espirales, si el refuerzo transversal confina las varillas principales hasta la capa más cercana de varillas, si se emplea más de una capa sin estribos o anillos, hasta los dispositivos metálicos de los extremos o los ductos en el acero de preesfuerzo postensado. El reglamento del A.C.I. 318-02 recomienda un recubrimiento mínimo de 4 cm. para vigas.

Límites para el Espaciamiento del Refuerzo en Vigas

En cuanto a la separación de las varillas en vigas, el reglamento del A.C.I. 318-02 recomienda lo siguiente:

La distancia libre entre barras paralelas no debe ser menor que: El diámetro nominal de las barras: 1.3 veces el tamaño máximo del agregado grueso ó 2.5 cm.

Cuando el refuerzo paralelo se coloque en dos o más capas, las varillas de las capas superiores deben colocarse exactamente arriba de las que están en las capas inferiores, con una distancia libre entre ambas, no menor de 2.5 cm.

Deflexiones en Vigas

El cálculo de deflexiones tiene dos aspectos.

Por un lado, es necesario calcular las deflexiones de miembros estructurales bajo cargas y condiciones ambientales conocidas.

Por otro lado, deben establecerse criterios sobre límites aceptables de deflexiones.

El problema de calcular las deflexiones de miembros de estructuras reales es aún más difícil que el de estimar las deflexiones de vigas ensayadas en laboratorios. Los siguientes son algunos de los factores que lo complican.

El comportamiento del concreto es función del tiempo y, por consiguiente en cualquier enfoque riguroso debe de tenerse en cuenta la historia de carga del miembro investigado. En la práctica esto no es posible generalmente, ya que las condiciones de carga son muy variables, tanto en magnitud como en el tiempo de aplicación.

También son difíciles de predecir las variaciones de humedad y temperatura con el tiempo, las cuales tienen influencia sobre las deflexiones a largo plazo.

El segundo aspecto, o sea, la limitación de deflexiones, es importante desde dos puntos de vista.

En primer lugar, las deflexiones excesivas de un miembro pueden producir daños en otros miembros estructurales, o más frecuentemente en elementos no estructurales como muros divisorios, o acarrear problemas como acumulación de agua en azoteas.

Los valores de las deflexiones permisibles dependen desde este punto de vista de varios factores, tales como el tipo de elementos no estructurales, tipo de conexión entre el miembro estructural y otros elementos estructurales o no, y del método de construcción utilizado.

En segundo lugar, a veces es significativa la respuesta humana ante las deflexiones de los miembros. Las deflexiones excesivas no son toleradas por los usuarios de la estructura, ya que producen una sensación de inseguridad, ya por razones de orden estético.

Existen métodos para el cálculo de deflexiones de vigas bajo cargas de servicio de corta y larga duración.

Algunos de estos métodos son: Métodos de YU y WINTER, Método del Reglamento del A.C.I. 318-02, Método de las NTCDF, además de otros métodos como los propuestos por el Comité Euro-Internacional del Concreto (CEB).

Deflexiones Permisibles

Se ha mencionado anteriormente que las deflexiones de elementos estructurales deben limitarse por dos razones: Por la posibilidad de que provoquen daños en otros elementos de la estructura y por los motivos de orden estético.

El valor de las deflexiones permisibles para evitar daños en otros elementos, depende principalmente del tipo de elementos y de construcción empleados, también debe de considerarse el procedimiento de construcción.

Desde el punto de vista estético, el valor de las deflexiones permisibles depende principalmente del tipo de estructura y de la existencia de líneas de referencia que permitan apreciar las deflexiones. Es obvio que las deflexiones permisibles en una residencia deben ser menores que en una bodega.

Cuando existe una línea horizontal de referencia, las deflexiones permisibles deben fijarse como un valor absoluto, mientras que si no existe dicha referencia, es más conveniente fijar las deflexiones permisibles como una fracción del claro de la viga.

La posibilidad de dar contraflechas es otro factor que debe tomarse en cuenta al establecer las deflexiones permisibles. El valor de la contraflecha puede restarse de la deflexión calculada y la diferencia, compararse con la deflexión permisible. Sin embargo, no deben darse contraflechas excesivamente grandes.

Control de Deflexiones

El reglamento A.C.I. 318-02 permite prescindir del cálculo de deflexiones de vigas y de losas que trabajan en una dirección siempre que se satisfagan los peraltes no perjudique a elementos no estructurales.

Tabla 2.1

Peraltes totales mínimos de vigas y losas que trabajan en una dirección cuando no se calculan las deflexiones y cuando las deformaciones de dichos elementos no perjudican a elementos no estructurales.

elementoLibremente apoyada

Un extremo continuo

Ambos extremos continuos

voladizo

Losas macizas L / 20 L / 24 L / 28 L / 10

Vigas y losas nervuradas L / 16 L /18.5 L / 21 L / 8

La longitud “L” es en cms.

Nota: Estos valores se aplican para concreto de peso normal y acero con límite de fluencia Fy = 4220 kg/cm².

Para valores distintos de Fy, los valores de esta tabla deberán multiplicarse

por: 

Algunos Criterios para el Dimensionamiento de Vigas

El caso mas general en el dimensionamiento de vigas es aquél en el que son conocidos el momento flexionante y las resistencias de los materiales y se trata de determinar las dimensiones de la sección y el área de acero necesaria.

En la ecuación de flexión: 

Existen tres variables independientes que intervienen en el problema: b, d y W.

Según la forma en que se plantea el problema y de acuerdo con algún criterio conveniente, se suelen fijar los valores de dos de estas variables y se calcula la tercera de ellas.

Una forma común de proceder consiste en suponer un valor de P, a partir del cual se determina un valor de W, y el valor de la relación b/d. En casos prácticos puede resultar preferible partir de la relación b/h.

El valor de P que se suponga debe estar comprendido entre los límites inferior y superior permisibles, y debe fijarse atendiendo a consideraciones económicas.

Para condiciones de costos prevalecientes en México, los porcentajes pequeños suelen conducir a soluciones mas económicas. Si el valor escogido es del orden de 0.35 a

0.50 o menor, habrá poco riesgo de que las deflexiones sean excesivas. Sin embargo, puede suceder que sea necesario lograr secciones esbeltas por motivos arquitectónicos o para

disminuir el peso propio, y entonces conviene usar porcentajes elevados. El valor de que se suponga, influye considerablemente en el costo de la estructura: Mientras más peraltada sea la sección, menor es el consumo de materiales.

Sin embargo, el uso de peraltes excesivamente grandes puede llevar a problemas de inestabilidad lateral y a un aumento en el costo de los acabados del edificio, debido al

incremento en el espesor de los sistemas de piso. También el costo de la cimbra aumenta con el peralte de la viga. Cuando no existen limitaciones en el peralte, los valores b/d suelen estar comprendidos entre ¼ y ½ aproximadamente.

EJEMPLOS DE VIGAS RECTANGULARES SIMPLEMENTE ARMADAS.

Determinar el último momento resistente de una viga rectangular simplemente armada, investigando si la viga falla en tensión o compresión.

Por medio de la cuña rectangular de esfuerzos.

Por fórmulas.

DATOS:

SOLUCION:

a).- Por medio de la cuña rectangular.

1.- Cálculo de la profundidad del eje neutro.

Cuyo valor no debe exceder de:

Suponiendo que el acero fluye.

Sustituyendo los valores en la ecuación anterior tenemos:

2.- Tipo de falla de la viga.

Para calcular el tipo de falla de la viga, podemos calcular la Deformación Máxima del concreto cuando el acero empieza a fluir.

Del diagrama de Deformaciones de la figura anterior tenemos.

Recordando que: y como F`c = 200 kg/cm² < 280 kg/cm²

Por lo tanto: 

Por lo tanto: 

Resultó menor que 0.003 y por lo tanto, la viga falla en tensión.

3.- Momento resistente.

Donde para flexión

Sustituyendo:

b).- Por Formulas.

1.- Calculo del porcentaje de acero.

Cuyo valor no debe exceder de:

El porcentaje de la viga es mucho menor que el límite que señala el reglamento y que corresponde el 75% del valor del porcentaje para sección balanceada. Por lo tanto, “la viga es subreforzada y falla en tensión”.

2.- Calculo del último momento resistente.

Sustituyendo en la ecuación anterior tenemos:

Mu = 1299593 kg-cm

En los siguientes ejemplos se procede a calcular el área de acero de una viga rectangular simplemente armada para que resista un momento último dado, conociendo la resistencia de los materiales y proponiendo una sección.

Se busca que las vigas sean subreforzadas ya que como se mencionó anteriormente su falla ocurre más o menos lenta y va precedida de grietas y deflexiones que la anuncian.

Se resuelve por medio de fórmulas ya que es un procedimiento más rápido.

Ejemplo número 2

Diseñar por flexión el área de acero máxima que requiere una viga rectangular simplemente reforzada con F`c = 200 kg/cm², Fy = 4220 kg/cm².

La carga muerta incluye el peso propio de la viga.

Cálculo de la carga última:

; 

; 

Recuérdese que los factores de carga son 1.4 para carga muerta y de 1.7 para carga viva.

Cálculo del momento último máximo

Como la viga está simplemente apoyada, el momento máximo ocurre en el

centro del claro y vale .

Cálculo del peralte efectivo.

Con el fin de evitar deflexiones excesivas en la viga, se propone un

porcentaje .

nota: Para que las unidades sean compatibles en la formula “Mu” debe sustituirse en kg-m

Como el peralte efectivo “d” adoptado fuè de 50 cm en lugar de 47 cm, cambia el índice de refuerzo de la sección supuesta.

Comparando los porcentajes de acero permisibles, tenemos:

0.003 < 0.0090 < 0.0152

Por lo tanto el porcentaje obtenido esta dentro de lo permitido.

Obtención del área de acero.

Comparando el peralte total “h” con el mínimo que recomienda el reglamento A.C.I. 318-02, para evitar el calculo de deflexiones.

Peralte mínimo recomendado.

, para vigas simplemente apoyadas.

37.5 cm < 50 cm, por lo tanto el peralte obtenido es correcto. " o.k.

Ejemplo número 3

Calcular el área máxima de acero que requiere la viga doblemente empotrada de la figura siguiente.

Calculo del peso propio de la viga:

Wpropio = (0.20)(0.50)(2400) = 240 kg/m

Sumando el peso propio a la carga muerta existente, tendremos:

Cm total = 1.4 Cm + 1.7 Cv

Cm total = 1500 kg/m + 240 kg/m = 1740 kg/m

Calculo del área de acero para Momento Negativo:

Comparando el porcentaje obtenido con los permisibles, tenemos:

; 

0.0033 < 0.0145 < 0.0152 o.k "

Por lo tanto el porcentaje obtenido es correcto.

Cálculo del área de acero para momento negativo:

 

DISEÑO POR FLEXIÓN DE VIGAS DE CONCRE

TO REFORZADO.Profes: Luis Ignacio Espino Márquez y

Gabriel Octavio GalloOrtizLa flexión representa el estado límite de

servicio que generalmente rige lasdimensiones de las vigas de concreto reforzado.

Usualmente, las dimensionesprovenientes del diseño por flexión se someten a revisión

por cortante u otrasacciones estructurales. A continuación se

describirán los aspectos fundamentalesde este tipo de diseño estructural.Según la

Mecánica de materiales, la flexión es el estado interno deesfuerzos cuya acción genera en

una sección del elemento flexionado un par defuerzasM(Figura 1) cuya

intensidad puede establecerse a partir de lascondiciones de equilibrio en vigas

isostáticas o de las condiciones de equilibrio ycompatibilidad de desplazamientos en el

caso de vigas estáticamenteindeterminadas. Siendo la magnitud de este par de fuerzas

una constante de lasección, es posible modificar el valor de las fuerzas

componentesCyTalterandola distancia entre ellas.

En la Figura 1 se ilustra el anterior concepto observandoque si aumentamos la distancia

Z,la magnitud de las fuerzas componentes del par disminuye en la

misma proporción, de acuerdo a la expresión:(1) Figura 1. FLEXIÓN

EN VIGAS DE CONCRETO REFORZADO. Analizando la expresión (1) encontramos la razó

n de que las vigas deconcreto reforzado en la práctica se dispongan con su

dimensión de mayor magnitud (peralte) vertical. Dispuesta la viga de este modo, los

esfuerzos detensión serán absorbidos por el acero de refuerzo y los de compresión

por elconcreto. Sin tal refuerzo, durante el fenómeno de flexión se presentarían losagrietami

entos que se muestran en la figura 2.

 

2

Figura 2. AGRIETA

MIENTO DEBIDO A LA FLEXIÓNCriterio básico de diseño por flexión.

El diseño por flexión debe cumplir la condición reglamentaria (RCDF'93) lacual establece

que la resistencia a flexión de una sección de concreto reforzadodebe tener una magnitud

que exceda o cuando menos sea igual a la del momentoúltimo producido por las

cargas, es decir:MR ≥

MU (2) En la expresión anterior MR

es el momento resistente de la sección y MU

esel momento

último de la viga, equivalente al momento flexionante máximoM

producido por las cargas de servicio multiplicado por el factor de cargaFc.

En eldiseño, es común emplear esta expresión en forma de igualdad para obtener máxi

ma economía en el empleo de los materiales. Para un factor de carga

Fc=1.4, lo anterior equivale a decir que se diseña para que la estructura alcance

suresistencia con cargas 40% mayores que la de servicio:MR = Mu (3)

 El momento últimoMUde la sección depende de las condiciones

de carga,que podemos representar comowy de la longitud L de

la viga, es decir:MU

= f( w, L) (4) Las expresiones que

cuantifican el momento máximo se pueden encontrar en la mecánica de sólidos.

Determinación de la resistencia a la flexión MR.Puede demostrarse que el

momento resistente depende solamente de laspropiedades geométricas

de la sección (As, byd) y de las propiedadesmecánicas

de los materiales empleados (f’cyfy), es decir:

MR = f( As, b, d, f’c , fy) (5)Recordemos que se define como resistencia a la flexión al

máximomomento flexionante que es capaz de soportar una sección de concreto

reforzado.Para la determinación de la resistencia de una sección de concreto

reforzado, esnecesario establecer un mecanismo teórico basado en hipótesis

simplificatorias

 

3

que describa aproximadamente el

fenómeno real. En este caso, tal mecanismo esempleado por el Reglamento de

construcciones del D.F.En la figura 3 se establecen las características

geométricas de la sección ypropiedades mecánicas de los materiales que

intervienen en la magnitud de laresistencia.Figura 3.Propiedades de la sección

que intervienen en la resistencia. En la figura 4 se puede apreciar que la obtención

del momento resistente dela sección implica tomar la intensidad del par de fuerzas

internas que equilibran elsistema; para ello, es necesario establecer la posición del centroide del

diagramade esfuerzos de compresión y además su volumen. El proceso mencionado puederesulta

r demasiado complicado, pues además implica disponer de la curvaesfuerz

o-deformación unitaria del concreto utilizado. Para simplificar el problemase

propusieron diversas formas del diagrama de esfuerzos de compresión demodo que se facilitara

tanto la ubicación del centroide como la cuantificación delvolumen.FIGURA 4. 

DIAGRAMA DE ESFUERZOS EN UNA SECCIÓN CUANDOÉSTA ALCANZA SU RESIST

ENCIALa simplificación que tuvo éxito se debe aWhitney, el cual propuso

lasustitución del diagrama original por uno de forma rectangular. Las dimensiones

relativas de éste diagrama fueron establecidas a partir de pruebas de laboratorioe

n las cuales se obtuvieron tales dimensiones en base a la igualación delmomento

experimental con el momento producto de la hipótesis simplificatoria.En la Figura 5

puede observarse la configuración de los diagramas de