Tabla A-l Tabla periddica de los elementos

Las masas at6micas, basadas en el numero exacto 12,00000 asignado como masa at6mica

al principal isdtopo del carbono, "C, son los valores mas recientes (1961) adoptados por

la Uni6n Internacional de Quimica Pura y Aplicada. La unidad de masa usada en esta

tabla se denomina unidad de masa aidmica (uma): 1 uma = 1,6604 x 10-*7 kg. En esta

Grupo-> I II III IV

Periodo

1

Serie

1

IH1,00797

^

2 23 Li

6,939

4B9,0122

5B10,811

6C12,01115

3 311 Na22,9898

12 Mg24,312

13 Al26,9815

14 Si

28,086

4

419 K39,102

20 Ca40,08

21 Sc44,956

22 Ti

47,90

5

29 Cu63,54

30 Zn65,37

31 Ga69,72

32 Ge72,59

5

6

37 Rb85,47

38 Sr

87,62

39 Y88,905

40 Zr91,22

7

47 Ag107,870

48 Cd112,40

49 In114,82

50 Sn118,69

68

55 Cs132,905

56 Ba137,34

55-71

Serie de los

lant&nidos*

72 Hf178,49

9

79 Au196,967

80 Hg200,59

81 Tl204,37

82 Pb207,19

7 10

87 Fr[223]

88 Ra[226,05]

89-Serie de los

actinidos**

-4-

•Serie de los lantanidos: / 57 LaI 138,91

**Serie de los actinidos: / 89Act [227]

58 Ce 59 Pr 60 Nd 61 Pm 62 Sm140,12 140,907 144,24 [147] 150,35

90 Th 91 Pa 92 U 93 Np 94 Pu232,038 [231] 238,03 [237] [242]

Tabla A-2 Constantes fundamentales

Constante Sfmbolo Valor

Velocidad de la luz c 2,9979 x 108 m S"1

Carga elemental e 1,6021 x 10-W C

Masa en reposo del electr6n mt9,1091 x 10-31 kg

Masa en reposo del prot6n mv1,6725 x 10-27 kg

Masa en reposo del neutrrtn mn 1,6748 x 10-w kg

Constante de Planck h 6,6256 X 10-M J s

h = h/2w 1,0545 x 10-34 J s

Carga especifica del electr6n e/mt1,7588 x 10" kg-1 C

Relaci6n cuanto-carga hje 4,1356 x 10-w J.sC-1

Radio de Bohr <*o5,2917 x 10-11 m

Longitud de onda Compton:

del electr6n *C,e 2,4262 x 10-" mdel prot6n *C,P

1,3214 x 10-16 m .

Constante de Rydberg R 1,0974 x 107 m-1

Magnet6n de Bohr ^B 9,2732 X 10-M J T-1

escala, la masa attauca del carbono es 12,01115 porque es el promedio de la de losdiferentes is6topos presentes en el carbono natural. (Para los elementos producidosartificialmente, se da entre corchetes la masa at6mica aproximada del is6topo m£sestable.)

v vi vii vra o

2 He4,0026

7N14,0067

8015,9994

9F18,9984

10 Ne20,183

15 P30,9738

16 S32,064

17 CI

35,45318 Ar39,948

23 V,;50,942

24 Cr51,996

25 Mn54,9380

26 Fe55,847

27 Co58,9332

28 Ni58,71

§ 33 As'' 74,9216

34 Se78,96

35 Br79,909

36 Kr83,80

. 41 Nb|92,906

42 Mo95,94

43 Tc[99]

44 Ru101,07

45 Rh102,905

46 Pd106,4

:| 51 Sb

1121,75

52 Te127,60

53 I

126,904454 Xe131,30

l73Ta| 180,948

i

-f

74 W183,85

75 Re186,2

76 0s190,2

77 Ir

192,278 Pt195,09

83 Bi208,980

84 Po[210]

85 At[210]

86 Rn[222]

j

68 Eu151,9693 Am[243]

64 Gd157,2596 Cm[245]

65 Tb158,92497 Bk[249]

66 Dy162,5098 Cf

[249]

67 Ho164,93099 Es[253]

68 Er167,26100 Fm[255]

69 Tm168,934101 Md[256]

70 Yb173,04102 No

71 Lu174,97103

Constants Simbolo Valor

Constante de AvogadroConstante de BoltzmannConstante de los gases

Volumen normal del gas ideal (a tem-peratura y presi6n normales)

Constante de FaradayConstante de CoulombPermitividad del vacio

Constante magnetica

Permeabilidad del vacio

Constante de gravitacitfn

Aceleracidn de la gravedad a niveldel mar en el ecuador

k

R

VF*e*o

KmHo

Y

9

6,0225 x 1023 mol-1

1,3805 x 10™23 J K-1

8,3143 J K-* mol-1

2,2414

9,6487

8,9874

8,8544

1,0000

1,2566

6,670

x 10-* m* mol~l

x 104 C mol-1

x 109 N m2 C-2

x 10-12 N-1 nr2 C2

x 10-7 m kg C"1

x 10- 6 m kg C-2

x 10-11 N m2 kg-2

9,7805 m s~a

onstantes num^rifas: n - 3,1416; e = 2,7183; ][2 » 1,4142; Y3 = 1,7320

INTRODUCTION

En la actualidad, cuando dia a dia los avances cientificos son de frecuente ocu-rrencia, es necesario prepararse con un mejor conocimiento fundamental de las

manifestaciones del mundo fisico que nos rodea.

Durante mucho tiempo, habia constituido un problema no poder contar conun texto de fisica adecuadamente destinado a los primeros semestres de las

Escuelas de Ingenieria y Ciencias, que abordase en forma exhaustiva y clara los

diferentes temas, que como materia Msica se requieren.

La experiencia obtenida en nuestras Escuelas ha sido altamente positiva,

ya que los resultados demuestran que el presente libro ha contribuido a elevarlos niveles academicos y obtener mejor rendimiento por parte de los estudiantes.Ademds de lo mencionado, hemos encontrado ventajas especificas muy apre-

ciables, como son : gran claridad en la exposici6n, utilization de un lenguajematem£tico a nivel de universidades e institutos, abundancia de ejemplos ela-

borados y problemas resueltos, enfasis en los aspectos conceptuales, y presenta-ci6n de una vasta gama de diferentes aplicaciones de cada uno de los temasdesarrollados.

Para las Escuelas de Ciencias Quimicas, en general, es especialmente valiosopor su aplicacion a la fisico-quimica y a la termodindmica por su capitulo de fe-

n6meno de transporte y su introduction a la mecanica cuantica.En lo que concierne a las Escuelas de Ingenieria, la orientation en los temas

tratados en el libro capacita adecuadamente al estudiante para abordar las di-

ferentes especialidades en ingenieria.

En virtud de lo anterior, consideramos que esta edition eh espaiipl del libro

de M. Alonso y E. J. Finn contribuiri notablemente a la formaci6n del

estudiantado latinoamericano. *

«

Mexico, D,F., febrero de 1971 ,t

.

"

Fis. Arturo Nava Jaimes Ing. Quim, Julio Garcia StahlCoord, de Fisica de la Coord, de Fisica

Esc. Sup. de Ingenieria Facultad de QuimicaMecanica y Electrica Universidad Nacional AutonomaInstituio Politecnico Nacional, de MexicoMexico

FISICA

VOLUMEN I: MECANICA

Edicion revisada

MARCELO ALONSO

Departamento de Fisica, Universidad de Georgetown

Washington, D. C.

EDWARD J. FINN

Departamento de Ftsica, Universidad de Georgetown

Washington, D. C.

Version en espafiol de

:

CARLOS HERNANDEZVICTOR LATORRE

Profesores de Ftsica General

Facultad de Ciencias Ftsicas y Matemdticas

Universidad Nacional de Ingenieria, Lima

Con la colaboraci6n de

:

JUAN HERKRATH, Decano

Facultad de Ciencias

Universidad Nacional de Colombia, Bogota

"j3 FONDO EDUCATIVO INTERAMERICANO, S. A.

BogotA - Caracas - Mexico - Panama - San Juan - Santiago - Sao Paulo

Version en espanol de la obra inglesa titulada

Fundamental University Physics, Volume I, Mechanics,

por Marcelo Alonso y Edward J. Finn, edition de 1967,

publicada por Addison-Wesley Publishing Company, Reading,Mass., EE. UU. Esta edition en espanol es la unica autorizada.

© 1970 por FONDO EDUCATIVO INTERAMERICANO, 8. A.

Todos los derechos han sido reservados. Ni este libro ni parte de el pueden serreproducidos en forma alguna sin el permiso escrito de su editor. Printed in Spain.Impreso en Espafla. Tarjeta del catalogo de la Biblioteca del Congreso de losEE. UU.: 74-123319.

PROLOGO A LA EDICION EN ESPAftOL

La ensenanza de la fisica ha ido cambiando como consecuencia de los desarrollos

tecnol<3gicos de las ultimas decadas que exigen de parte de los profesionales, una

mayor y mejor comprensi6n de los fendmenos naturales, para poner dicha tecno-

logia nueva al servicio de todo el mundo.Podemos senalar varias caracteristicas importantes de dicho cambio. En primer

lugar, el contenido de los cursos de fisica ha sido reajustado, como para incluir

aquellos capitulos que han devenido en doctrina mas o menos firme. Teniendo en

cuenta que el desarrollo de la relatividad y la mecanica cuantica ha sido vasto,

puede comprenderse que tal reajuste es bastante grande.

En segundo lugar, considerando que los avances mas importantes, como los yamencionados, son aquellos que unifican la ciencia, debe esperarse que el reajuste

refieje tambien dicho progreso, relacionando entre si los cursos de las disciplinas

m&s o menos unificadas.

Finalmente, la metodologia misma de la ensenanza esta evolucionando, tratando

de alcanzar objetivos hace mucho tiempo planteados, pero que habian sido lamen-

tablemente abandonados, como el de poner en manos de los estudiantes los medios

para efectuar experimentos por si mismos y sacar sus propias conclusiones.

En el presente libro se distingue las dos primeras caracteristicas. Pero ademdsdebemos anotar que la incorporation de material moderno a que nos referimos al

hablar de aquel reajuste, ha sido efectuada de manera organica y muy cuidadosa,

encontrando armonla con los tOpicos tradicionales que siguen siendo validos ytratando todo el material, nuevo y viejo, por los metodos del analisis matematicomoderno. Para ejemplificar lo dicho, bastenos senalar la forma en que ha sido

incorporada la relatividad especial a travSs de toda la obra.

En cuanto a la segunda caracterfstica, debemos reconocer que hay en este libro

un afan de traslucir los resultados uniflcadores de la investigation moderna. Seiia-

lemos el capitulo que presenta los choques con una ejemplificaciOn que incluye

las reacciones quimicas y el tratamiento detallado sobre el uso de las curvas de

energla potential y sus aplicaciones a la estructura molecular.

Debemos hacer ahora algunas indicaciones que pueden conducir a un mejor uso

de este libro en America latina.

La experiencia y madurez necesarias para el uso normal del texto deben ser

adquiridas preferiblemente con cursos de la escuela secundaria que hayan sido

afectados por el cambio en la ensenanza de la fisica. Nos referimos, por ejemplo,

a cursos similares al del Comit6 de Estudio de las Ciencias Fisicas (PSSC).

Las matematicas contenidas en un primer curso de analisis, que generalmenteen nuestras universidades es companero del de fisica, deberian ser suficientes para

una adecuada comprensidn. Probablemente haga falta que el profesor de fisica

proporcione oportunamente mayores detalles sobre el cdlculo vectorial que los

usualmente dados en un curso regular de analisis matematico.

ui Prologo a la edition en espanol

Anticipamos que una primera consideracWn del material del presente libro,

conducira a su utilizaci6n intensiva en las Facultades de Ciencias. Creemos, no

obstante, que las Escuelas de Ingenieria no tardaran en apreciar las ventajas de

un texto que pretende ser nada mas, pero tambiSn nada menos, que un primer

curso universitario de Fisica. No hay en realidad "ciencia aplicada" aparte. Hayaplicaci6n de una ciencia que, en determinado momento, es linica porque tiene

como fundamento un cierto conjunto muy bien definido de principios universal-

mente aceptados.

La edicidn original en ingles de esta serie ha tenido tanta aceptaci6n en muchasuniversidades a trav6s de la America latina (como la Universidad Nacional Aut6-

noma y el Instituto Politecnico Nacional, en Mexico; la Universidad Central y la

Universidad de Oriente, en Venezuela; la Universidad de Santo Domingo, en la Re-

publica Dominicana; la Universidad de los Andes, la Universidad Nacional y la

Universidad de Antioquia, en Colombia, y muchas otras universidades) que no

nos asiste duda alguna acerca de la entusiasta acogida que haran los profesores

y estudiantes a nuestra edici6n en espanol de esta serie extraordinaria.

Lima Carlos Hernandezmayo de 1970 VIctor Latorre

PROLOGO

La fisica es una ciencia fundamental que tiene profunda influencia en todas las

otras ciencias. Por consiguiente, no s61o los estudiantes de fisica e ingenierfa, sino

todo aquel que piense seguir una carrera cientifica (biologia, quimica y matematica)debe tener una completa comprensiOn de sus ideas fundamentales.

El propdsito primario de un curso de fisica general (y quiza la unica raz6n paraque aparezca en el plan de estudios) es dar al estudiante una visiOn unificada de

la fisica. Se deberia hacer esto sin entrar en muchos detalles, analizando, sOIo, los

principios basicos, sus implications y sus limitaciones. El estudiante aprenderaaplicaciones especificas en cursos mas avanzados. Asi, este libro presenta las ideas

que creemos fundamentales y que constituyen el corazOn de la fisica de hoy. Hemostenido en cuenta cuidadosamente las recomendaciones de la Comission on College

Physics (Comisi6n de Fisica para Universitarios) para escoger los temas y el m6todode presentation.

Hasta no hace mucho tiempo, la fisica se venia ensenando como si fuera unconglomerado de varias ciencias mas o menos relacionadas, pero sin un punto devista realmente unitario. La divisi6n traditional (en "ciencias"): mecanica, calor,

sonido, 6ptica, electromagnetismt) y fisica moderna no se justifica al presente.Nos hemos apartado de este enfoque traditional. En su lugar seguimos una presen-tation lOgica unificada, haciendo Snfasis en las leyes de conservation, en los con-

ceptos de campos y de ondas y en el punto de vista atOmico de la materia. La teoria

de la relatividad especial se usa sistematicamente en el texto como uno de los

principios guia que debe satisfacer cualquier teoria fisica.

El curso se ha dividido en cinco partes: (1) Mecanica, (2) Interacciones y Campos,(3) Ondas, (4) Fisica cuantica y (5) Fisica estadistica. Comenzamos por la mecanicacon el fin de establecer los principios fundamentales necesarios para descubrir los

movimientos que observamos a nuestro alrededor. Entonces, como todos los fenO-

menos naturales son el resultado de interacciones y 6stas se analizan en funciOnde campos, en la parte (2) consideramos las clases de interacciones que compren-demos mejor: la gravitational y la electromagn6tica, responsables de muchos delos fenOmenos macroscOpicos que observamos. Estudiamos detalladamente el elec-

tromagnetismo, concluyendo con la formulaciOn de las ecuaciones de Maxwell.En la parte (3) discutimos los fenOmenos ondulatorios como cohsecuencia del con-cepto de campo. Es aqui donde incluimos gran parte del material que generalmenteaparece bajo los titulos de Optica y de acustica. Sin embargo, se ha puesto Entasisen las ondas electromagn6ticas como extension lOgica de las ecuaciones de Maxwell.En la parte (4) analizamos la estructura de la materia — atomos, molGculas, micleos

y particulas fundamentales—, analisis que esta precedido de las bases necesariasde la mecanica cuantica. Finalmente, en la parte (5) hablamos de las propiedades dela materia en conjunto. Comenzamos presentando los principios de la mecanicaestadistica y los aplicamos a algunos casos simples pero fundamentales. Estudiamos

uiii Prologo

la termodinamica desde el punto de vista de la mecanica estadistica y concluimoscon un capitulo sobre las propiedades termicas de la materia, demostrando c6mose aplican los principios de la mecanica estadistica y de la termodinamica.

Este libro es novedoso no s61o en su enfoque sino tambien en su contenido, yaque hemos incluido algunos t6picos fundamentals que no se encuentran en lamayorla de los textos de fisica general y hemos dejado de lado otros que son tra-dicionales. La matematica usada se puede encontrar en cualquier libro de analisismatemdtico. Suponemos que los estudiantes poseen conocimientos mlnimos de ana-lisis matematico y estan, a la vez, tomando un curso sobre este tema. Muchasaplicaciones de los principios fundamentales, asi como tambien algunos t6picos unpoco mas avanzados, aparecen en forma de ejemplos resueltos. Segun la conve-niencia del profesor, estos se pueden discutir o proponer conforme a cierta selection,lo cual permite una mayor flexibilidad en la organization del curso.Los planes de estudios de todas las

1

ciencias estan sometidos a presiones paraque incorporen nuevos tOpicos que estan cobrando mayor importancia. Esperamosque este libro alivie estas presiones, elevando en el estudiante el nivel de compren-siOn de los conceptos fisicos y la habilidad para manipular las correspondientesrelaciones matematicas. Esto permitira elevar el nivel de muchos de los cursosintermedios que se ofrecen en los planes de estudio de pregrado. Los cursos tradi-cionales de pregrado: mecanica, electromagnetismo y fisica moderna, son los quemas se benefician con esta alza de nivel. Asi, el estudiante terminara su carreracon conocimientos superiores a los de antes, beneficio muy importante para aquellosque finalicen sus estudios a esta altura. Ademas, habra ahora mas oportunidad parahacer cursos nuevos y mas interesantes en el postgrado. Esta misma tendencia seencuentra en los textos basicos mas recientes de otras ciencias para los primerosy segundos afios universitarios.

El texto esta concebido para un curso de tres semestres. Tambien se puede usaren aquellas escuelasen las que se ensena un curso de fisica general de dos semestressegutdo de un semestre de fisica moderna, ofreciendo asi una presentaci6n masunificada a lo largo de los tres semestres. Por conveniencia, el texto se ha divididoen tres voliimenes correspondiendo cada uno, grosso modo, a un semestre. El volu-men I trata de la mecanica y la interaction gravitacional. El volumen II estudialas interacciones electromagneticas y las ondas, cubriendo esencialmente los cursosde electromagnetismo y 6ptica. La fisica cuantica y la fisica estadistica, incluyendola termodinamica, se estudian en el volumen III. A pesar de que los tres voliimenesestan estrechamente relacionados y forman un texto unico, cada uno puede serconsiderado en si mismo como un texto introductory. En particular los voliime-nes I y II equivalen a un curso de fisica general de dos semestres que cubre la fisicano cuantica.

Esperamos que este texto ayude a los educadores progresistas, quienes constan-temente se preocupan por mejorar los cursos que dictan; esperamos, tambien, queestimule a los estudiantes, quienes merecen una presentation de la fisica mas ma-dura que la de los cursos tradicionales.

Queremos expresar nuestra gratitud a todos aquellos que por su estimulo y ayudahicieron posible la culminaci6n de este trabajo. Nuestro reconocimiento a los dis-tinguidos colegas, en particular, a los Profesores D. Lazarus y H. S. Robertson,quienes leyeron el manuscrito original: sus comentarios y criticas permitieroncorregir y mejorar muchos aspectos del texto. Agradecemos, ademas, la aptitudy dedicaci6n del personal de la editorial Addison-Wesley. Por ultimo, .pero no conmenos calor, damos sinceramente las gracias a nuestras esposas, quienes nos hanapoyado pacientemente.

M. A.Washington, D.C. E. J. F.

ADVERTENCIA AL PROFESOR

Para ayudar al profesor en la programacitfn de su curso, presentamos un cortoesquema de este volumen y algunas sugerencias relativas a los conceptos masimportantes dentro de cada capitulo. Gomo se indica en el prefacio, este cursode fisica ha sido desarrollado en forma integrada, de manera que el estudiantereconozca rapidamente las pocas ideas basicas en las que se asienta la fisica (porejemplo, las leyes de conservation y el hecho de que los fen6menos fisicos puedenser reducidos a interacciones entre particulas fundamentales). El estudiante debereconocer que para convertirse en fisico o ingeniero tiene que alcanzar un claroentendimiento de tales ideas y desarrollar la habilidad de manipularlas.El material basico forma el cuerpo del texto. Muchos ejemplos han sido incluidos

en cada capitulo; algunos son simples aplicaciones numericas de la teoria en dis-cusi<3n, mientras que otros son realmente extensiones de la teoria o derivacionesmatematicas. Se recomienda aconsejar al estudiante la omisi6n de todos los ejem-plos en su primera lectura de un capitulo. DespuSs, al leerlo por segunda vez,deberia considerar los ejemplos escogidos por el profesor. En esta forma el estu-diante captara las ideas basicas separadamente de sus aplicaciones o extensiones.Hay una secci6n de problemas al final de cada capitulo. Algunos son mas dificiles

que los problemas corrientes de fisica general, mientras que otros son extremada-mente simples. Estan dispuestos en un orden que corresponde aproximadamente alde las secciones del capitulo, con cierta concentraci6n de problemas mas dificilesal final. La gran variedad de problemas le permite al profesor escoger con mayorlibertad aquellos problemas que esten de acuerdo con la habilidad de sus propiosestudiantes.

Sugerimos que el profesor mantenga una colecci6n del material de referendadado al final de cada capitulo, y que anime al estudiante a usarla de modo quepueda desarrollar el habito de recurrir a fuentes de informaci6n, obteniendo masde una interpretaci6n para cada t6pico y adquiriendo al mismo tiempo, informaci6nhist6rica sobre la fisica.

El presente volumen ha sido escrito para cubrir el primer semestre. (Sin embargo,el capitulo 13 puede ser pospuesto hasta el segundo semestre). Sugerimos comoguia, en base a nuestra propia experiencia, el numero de horas de clase necesariaspara cubrir c6modamente el material. El tiempo total anotado (43 horas de clase)no incluye periodos de repaso ni de examenes. A continuaci6n ofrecemos un cortocomentario sobre cada capitulo.

Capitulo 1. Introduccidn (1 hora)

Este capitulo debe dar al estudiante una visi6n preliminar de la ciencia que estaempezando a estudiar: por tanto, debe leerse cuidadosamente. El profesor podriaorganizar periodos cortos de discusi6n.

x Advertencia al profesor

Capitulo 2. Mediciones y unidades (1 hora)

Siguiendo las recomendaciones de la comisi6n de Simbolos, Unidades y Nomen-datura de la IUPAP, hemos adoptado el sistema de unidades MKSC.'Siempreque introducimos una nueva unidad MKSC en los capitulos posteriores, damossu equivalente en los sistemas cgs y britanico. Mediante los problemas en este

capitulo el estudiante debe captar las ideas de lo "grande" y de lo "pequeno".

Capitulo 8. Vectores (3 horas)

Las ideas b&sicas del algebra vectorial son introducidas e ilustradas por problemascinematicos. Las secciones 3-8, 3.9 y 3.10 pueden ser diferidas hasta que tales

conceptos se necesiten en el texto. A causa de su limitada motivation fisica, el

capitulo puede ser dificil para el estudiante. El profesor deberia, sin embargo,convencerlo de la necesidad de la notaci6n vectorial y tratar de dar vida a las

clases presentando ejemplos flsicos.

Capftulo 4. Fuerzas (2£ horas)

Nos adelantamos con este capitulo en el libro por varias razones. Primero, porqueproporciona una aplicaci6n familiar de los vectores. Segundo, porque da tiempoal estudiante para aprender algunos fundamentos del calculo antes de comenzarel estudio de la cinematica. Tercero, porque permite un desarrollo ininterrumpido

de la mecanica en los capitulos 5 al 12. En cursos en los que este material no es

necesario, el capitulo puede ser omitido, con excepci6n de las secciones 4.3 (tor-

ques) y 4.8 (centro de masa). Si se desea, el capitulo puede ser desarrollado despu6sde la secci6n 7.6, pero no lo recomendamos asi.

PARTE 1. MECANICA

De los capitulos 5 al 12, el texto desarrolla los conceptos principales de la mecanicaclasica y relativistica. Discutimos primero, simplificando, la mecanica de unaparticula, pero luego tratamos de los sistemas de muchas particulas con gran de-

talle. Hacemos £nfasis en la distincidn entre el sistema ideal de una particula soli-

taria y el sistema real de muchas particulas.

Capitulo 5. Cinemdtica (3£ horas)

Este capitulo debe ser cubierto en profundidad y detalle. El estudiante puedeentender la naturaleza vectorial de la velocidad, la aceleraci6n y sus relaciones

con la trayectoria. El profesor podria remarcar que, al computar la raz6n de cambiode un vector, se debe considerar tanto los cambios en magnitud como en direction.

El calculo necesario para este capitulo es relativamente simple. Si el profesor lo

desea, podria posponer la discusidn de la seccidn 5.11 para antes de la section 7.14.

Capftulo 6. Movimiento relativo (4 horas)

Consideramos el movimiento relativo desde un punto de vista cinematico. Este

capitulo precede al de dinamica, de modo que el estudiante capte la importancia

de los sistemas de referenda. Las secciones 6.4 y 6.5 (sistemas en rotaci6n) puedenser omitidas y las secciones 6.6 y 6.7 (sistemas relativisticos) pospuestos (si se desea)

hasta el capitulo 11.

Capitulo 7. Dindmica de una particula (4 horas)

Este es uno de los capitulos mas importantes, y el estudiante deberia asimilarlo

completamente. Al principio de la conservaci6n del momentum se le da mayorsigniflcado que a la relaci6n F = ma. Las limitaciones de las leyes del movimientoy los conceptos de interacciones y fuerzas deben ser analizados muy cuidadosamente.

Advertencia at profesor zi

Capftulo 8. Trabajo y energia (3 horas)

Este capftulo es, en cierto modo, una extensidn del capitulo 7, y lo mismo queaqu£l deberia ser comprendido completamente. La seccidn 8.10 (fuerzas centrales)

puede ser omitida o pospuesta hasta el capitulo 13. Las ideas mas importantes

son los conceptos de energia y de conservaci6n de energia para una particula soli-

taria. Introducimos aqui el teorema del virial para una particula, debido a su uso

mas y m&s frecuente tanto en fisica como en quimica.

Capitulo 9. Dindmica de un sistema de particulas (5 horas)

Por simplicidad, la mayoria de los resultados se derivan para dos particulas yentonces, por analogia, se extienden a un numero arbitrario de particulas. Intro-

ducimos los conceptos de temperatura, calor y presi6n como conceptos estadisticos

convenientes para describir el comportamiento de sistemas compuestos por un gran

numero de particulas* Esto nos permite el uso de dichos conceptos a lo largo de

todo el restcf del libro. Se deriva la ecuacidn de estado de un gas del teorema del

virial pues ello revela mas claramente el papel de las fuerzas internas; pe'ro tambten

se presenta un tratamiento mas tradicional en el ejemplo 9.17. El capitulo lo termina

con una seccton sobre el movimiento de fluidos que puede ser omitida si se desea.

Capftulo 10. Dindmica de un cuerpo rigido (3± horas)

Podria ponerse gran entasis en la precesi6n del momentum angular bajo un torque

aplicado. La seccidn sobre el movimiento girosc6pico es tambien importante, ya

que las ideas que se desarrollan son usadas muchas veces.

Capftulo 11. Dindmica de atta energia (3i horas)

Este es un capitulo esencialmente de dinamica relativistica, reforzando los con-

ceptos de velocidad del sistema (sistema-G) y de la transformacidn de Lorentz de

la energia y el momentum. Es naturalmente un capitulo importante en la fisica

de hoy dia.

Capftulo 12* Movimiento oscilatorio (5 horas)

Se presenta el movimiento arm<5nico simple, primero cinematica y luego dindmi-

camente. Este capitulo puede ser discutido ya sea en su integridad en esta 6poca

(fin del primer semestre) o limitado a las primeras seccidnes solamente, pospo-

niendo las restantes hasta que sean requeridas por los capitulos posteriores. Reco-

mendamos Ta primera alternativa. El primer semestre podria concluir con este

capftulo.

PARTE 2. INTERACCIONES Y CAMPOSEsta parte esta dedicada al estudio de las interacciones gravitacionales y electro-

magn£ticas, las que son discutidas en los capitulos 13 a 17. Hacemos Gnfasis sobre

el concepto de campo como util herramienta para la fisica. Como comprendemosque muchos profesores desearian discutir gravitaci6n durante el primer semestre,

inmediatamente despues de completar la mecanica, hemos incluido el capitulo 13

en este volumen, reservando el estudio de la interaccidn electromagnet!ca (capi-

tulos 14 a 17) para el segundo semestre junto con el volumen II.

Capftulo 13. Interaccidn gravitational (4 horas)

Este es un corto resumen de gravitaci6n, que ilustra la aplicacidn de la mecanicaa una interaccidn en particular, Tambien sirve para introducir al estudiante al

concepto de campo. El capftulo esta escrito de modo de empalmar naturalmentecon la discusi6n de la interacci6n electromagnetica en el volumen II. Las seccio-

nes 13.5 y 13.7 pueden ser omitidas sin p6rdida de continuidad. La secci6n 13.8

proporciona una corta presentacidn de las ideas de la teoriade la relatividad general.

ADVERTENCIA AL ESTUDIANTE

Es este un libro sobre los fundamentos de la fisica para estudiantes que siguen

carreras cientlflcas o ingenierfa. Los conceptos e ideas que aprenda en 61 entraran,

muy probablemente, a formar parte de su vida profesional y de su modo de pensar.

Cuanto mejor los comprenda tanto mis ficil le resultari el resto de su educacidn

superior.

En este curso debe estar preparado para abordar numerosos problemas arduos.

El aprender las leyes y t^cnicas de la fisica puede ser; a veces, un proceso lento

y doloroso. Antes de que entre en esas regiones de la fisica que excitan suimagi-

naci6n, usted debe dominar otras menos Uamativas pero muy fundamentales, sin

las cuales no puede utilizar o comprender la fisica en forma apropiada.

Ud. deberi mantener dos objetivos principales al tomar este curso. Primero:

familiarizarse completamente con el puxiado de leyes y principios b&sicos que cons-

tituyen la columna vertebral de la fisica, Segundo: desarrollar la habilidad de

manejar estas ideas y aplicarlas a situaciones concretas; en otras palabras, la habi-

lidad de pensar y actuar como fisico. El primer objetivo lo puede alcanzar prin-

cipalmente leyendo y releyendo aquellas secciones impresas en cuerpo grande.

Para ayudarlo a alcanzar el segundo objetivo hay a lo largo del texto, en letra

peqirena, muchos ejemplos resueltos y estan los problemas para resolver en casa

al final de cada capitulo. Recomendamos encarecidamente que lea primero el texto

principal y una vez familiarizado con 61, prosiga con los ejemplos y problemas

asignados por el profesor. En algunos casos los ejemplos ilustran una aplicaci6n

de la teoria a una situaci6n concreta, en otros amplian la teoria considerando nuevos

aspectos del problema en discusi6n; a veces suministran una justiflcacidn de la teoria.

Los problemas que est&n al final de cada capitulo tienen un grado variable de

diflcultad. Oscilan entre lo mis simple y lo complejo. En general, es bueno tratar

de resolver un problema primero en forma simb61ica o algebraica, introduciendo

al final los valores num&icos. Si el problema que le han asignado no puede resol-

verlo en un tiempo prudential, p6ngalo a un lado e intfritelo mis tarde. Para el

caso de aquellos pocos problemas que se resisten a ser resueltos, deberi procurar

ayuda. El libro How to Solve It (segunda edici6n), de G. Polya (Doubleday, GardenCity, N. Y., 1957) es una fuente de autoayuda que le ensefiari el mitodo de reso-

luci6n de problemas.La fisica es una ciencia cuantitativa que necesita de la matemitica para la

expresi6n de sus ideas. Toda la matemitica empleada en este libro se puede en-

contrar en cualquier texto corriente de anilisis matem&tico y deberd consultarlo

toda vez que no comprenda una deduction tnatemitica. No deberi, de maneraalguna, sentirse desalentado ante una diflcultad matemitica; en caso de dificul*

tades matemiticas, consulte a su profesor o a un estudiante mis avanzado. Parael cientfflco y el ingeniero la matemitica es una herramienta y tiene importancia

secundaria en la comprensi6n de los conceptos fisicos. Para su comodidad, se

Advertencia al estudiante xiii

enumera en un apendice al final del libro algunas de las relaciones matem&ticasmas utiles.

Todos los calculos de la fisica se deben llevar a cabo utilizando un sistema com-patible de unidades. En este libro se emplea el sistema MKSC. Como diflere unpoco del sistema practico, podrd encontrarlo extrano al principio. No obstante, se

requiere un minimo esfuerzo para familiarizarse con 61. Ademas, es el sistema

oficialmente aprobado para el trabajo cientiflco y en los Estados Unidos lo usa

aiin el National Bureau of Standards en sus publicaciones. Sea extremadamentecuidadoso en verificar la compatibilidad de las unidades en todos sus c&lculos.

Es adem£s una buena idea utilizar la regla de calculo desde el comienzo; la pre-

cisi6n a tres cifras significativas de la mas simple de las reglas de calculo le aho-

rrara muchas horas de trabajo num&ico. Sin embargo, en algunos casos, puedeque la regla de cdlculo no le d£ la precisi6n necesaria.

Al final de cada capftulo se da una lista bibliografica seleccionada. Gonsultela

tan a menudo como sea posible. Algunos trabajos ayudaran a entender la idea

de la fisica como una ciencia en evolucidn, mientras que otros ampliaran el material

del texto. En particular encontrard que el libro de Holton y Roller, Foundations

of Modern Physics (Addison-Wesley, Reading, Mass., 1958) es particularmente litil

por la informaci6n que trae sobre la evoluci6n de ideas en la fisica.

INDICE

Contraeublerta anterior

Tabla periddica de los elementos; constantes fundamentales

Contraeublerta posterior

Unidades y simbolos; factores de conversldn

Capitulo 1 Introdueeidn

iQud es la fisica? 2. Las partes cldsicas de la flsica 2. Nuestravisidn del universo 3- La relaci6n de la flsica con las otras ciencias10. El mdtoilo experimental 11*

Capitulo 2 Medielones y unidades

Introdueeidn 15. Mediciones 15. Cantidades fundamentales y uni-dades 16. Densidad 20. Angulos en un piano 21. Angulos sdlidos22. Precisi6n y exactitud 23. Mediciones en el laboratorio 25.

Capitulo 8 Tectores

Introducci6n 32, Concepto de direction 32. Escalares y vectores33. Adicidn de vectores 34. Componentes de un vector 37. Adi-cidn de varios vectores 41. Aplicacidn a problemas de cinemdtica42. Producto escaJar 45. Producto vectorial 47. Representacidnvectorial de una superficie 51.

Capitulo 4 Fuenas

Introduccidn 59. Composicidn de fuerzas concurrentes 59. Torque60. Torque de varias fuerzas concurrentes 62. Composicidn de fuer-zas aplicadas a un cuerpo rlgido 64. Composicidn de fuerzas copla-nares 65. Composicidn de fuerzas paralelas 66. Centro de masa68. Estdtica. Equilibrio de una partlcula 71. Estdtica. Equilibriode un cuerpo rlgido 72.

Indice xv

PARTE I MECANICA

Capitulo 5 Cinemitlea

Introduction 86, Movimiento rectilfneo: velocidad 87. Movimientorectilineo: aceleracMn 89. Representation vectorial de la velocidad

y de la aceleraclOn en el movimiento rectilineo 92. Movimientocurvilineo; velocidad 96. Movimiento curvilineo : aceleraci6n 98. Mo-vimiento bajo aceleraciOn constante 100. Componentes tangencial

y normal de la aceleraci6n 104* Movimiento circular: velocidad an-gular 106. Movimiento circular: aceleracidn angular 109. MS8&-mienlfl rnrvtlineo g*n«rnl ^i^jilam 112.

Capitulo 6 Movlmleato relativo

Introducci6n 121. Velocidad relativa 121. Movimiento relativo

de traslaci6n unitorme 123. Movimiento relativo rotacional uniforme126. Movimiento relativo con respecto -a la tierra 129. La transfor-

maci6n de Lorentz 136. Transformation de velocidades 140. Conse-cuencias de la transformacidn de Lorentz 143.

Capitulo 7 Dinimlea de una partfeula

Introduction 156. La ley de inercia 156. Momentum lineal 158.Prindpio de la conservation del momentum i59. Redefinition de la

masa 163. Segunda y tercera leyes de Newton; concepto de fuerza163. Critica del concepto de fuerza 166. Unidades de fuerza 167.

Fuerzas de fricciOn 170. Fuerzas de fricciOn en los fluidos 173. Sis-

temas con masa variable 176. Movimiento curvilineo 178. Momen-tum angular 183. Fueyzas rftpfrrfllyfi 185. Equilibrio y reposo 190.

Capitulo 8 Trabajo y energia

Introduction 202. Trabajo 203. Potencia206. Unidades de trabajo

y potencia 207. Energia cin6tica 209. Trabajo de una fuerza demagnitud y direction constantes 212. Energia potencial 213. Conser-vation de la energia de una particula 219. Movimiento rectilineo

bajo fuerzas conservativas 220. J^ovLmieutQ Jb^a.fupr7:as centrales

conservativas 222. DiscusiOn de curvas de energia potencial 224.

Fuerzas no conservativas 228. El teorema del virial para una sola

particula 231. Critica del concepto de la energia 232.

Capitulo 9 Dlnftmiea de un slstema de partfeulas

Introducci6n 241. Movimiento del centro de masa de un sistema departfeulas 241. Masa reducida 247. Momentum angular de un sistemade partfeulas 251. Energia cingtica de un sistema de partfeulas 255.

Conservation de la energia de un sistema de partfeulas 257. Colisio-

nes 262. Sistemas de muchas partfeulas: temperatura 269. Sistemas

xvi Indice

de muchas particulas: trabajo 270, Sistemas de muchas particulas:

calor 272. Reformulaci6n del principio de conservaci6n de la energfapara sistemas de muchas particulas 274. El teorema del virial paramuchas particulas 275. Ecuacidn de estado de un gas 276. Movi-miento de un fluido 280,

Capftnlo 10 Dinimlea de un euerpo rigid©

Introduccidn 296. Momentum angular de un euerpo rlgido 297,C&lculo del momento de inercia 300, Ecuacidn del movimiento dela rotaci6n de un euerpo rigido 305. Energia cin&ica de rotacidn 311.Movimiento girosedpico 314.

Capftnlo 11 Din6mlea de alta energfa

Introducci6n 328. Principio cl&sico de relatividad 328. Principio es-

pecial de relatividad 330. Momentum 332. Fuerza 334. Energia 336.Transformaci6n de energia y momentum 341. Transformation defuerza 344. Sistemas de particulas 345. Colisiones de alta energia 348.

Capftnlo 12 Movimiento osdlatorlo

Introducci6n 359. Cineifl&tica del movimiento armdnico simple 359.

Fuerza y energia en el movimiento armdnico simple 363. Din&micadel movimiento arm6nico simple 364, El p6ndu!o simple 366. Elpgndulo compuesto 369. Superposicidn de dos MAS: igual direccidn,

igual frecuencia 371. Superposici6n de dos MAS: igual direccidn,

diferente frecuencia 374. Superposition de dos MAS: direcciones

perpendiculares 376. Osciladores acoplados 380. Oscilaciones anar-nrinicas 385, Oscilaciones amortiguadas 387. Oscilaciones forza-

das 389. Impedancia de un oscilador 393. An&lisis de Fourier del

movimiento periddico 395.

PARTE 2 INTERACCIONES T CAMPOS

Capftnlo 1$ Interaction gravitaeional

Introduccidn 411. La ley de gravitation 413. Masa inercia] y gra-

vitational 416. Energia potential gravitational 418. Movimiento ge-

neral bajo la interaction gravitational 423. Campo gravitational 428.Campo gravitational debido a un euerpo esflrico 434. Principio deequivalencia 440. La gravitaci6n y las fuerzas intermoleculares 442.

Apindiee: Relaeiones matemitleas; Tablas A-l

Reapuesta a log problemas Impares A-ll

Indiee A-20

1

INTRODUCTION

LI iQue es la fisica?

1.2 Las partes cldsicas de la fisica

1.3 Nuestra vision del universo

1.4 La relation de la fisica con otras ciencias

1.5 El metodo experimental

2 Introduction (1.2

Estudiar fisica es una aventura interesante y estimulante. Ser un fisico pro-

fesional es aiin mas interesante. Es quizas una de las actividades mas placenteras

del saber humano desde que, en opinion del autor, nada atrae mas a la menteque aprender sobre el mundo en que vivimos y descubrir los secretos de la natu-

raleza.

Puede parecer superfluo en este momento decirle al estudiante de que trata

la fisica, por que es tan apasionante e interesante o cuales son sus metodos,

puesto que el tiene ya alguna familiaridad con esta ciencia. Sin embargo, pre-

cisamente debido a su familiaridad con la fisica, es deseable analizar y revisar

los objetivos y los metodos de esta ciencia antes de embarcarnos en su estudio

a un nivel mas elevado. Eso es lo que concisamente haremos en este capitulo.

1.1 iQue es la fisica?

La palabra fisica viene del termino griego que significa naturaleza, y por ello la

fisica debia ser una ciencia dedicada al estudio de todos los fenomenos naturales.

En verdad, hasta principios del siglo diecinueve se entendia la fisica en este

amplio sentido, y se denomino "filosofia natural". Sin embargo, durante el siglo

diecinueve y hasta muy recientemente, la fisica estuvo restringida al estudio de

un grupo mas limitado de fenomenos, designados por el nombre de fenomenos

ftsicos y definidos sin precision como procesos en los cuales la naturaleza de las

sustancias participantes no cambia. Esta defmicion poco precisa de la fisica ha

sido gradualmente descartada, retornandose al concepto mas amplio y mas fun-

damental de antes. Por ello, podemos decir que la fisica es una ciencia cuyo obje-

tiuo es estudiar los componentes de la materia y sus interacciones mutuas. En fun-

cion de estas interacciones el cientifico explica las propiedades de la materia en

conjunto, asi como los otros fenomenos que observamos en la naturaleza.

A medida que el estudiante progrese en el curso, el sera testigo de la maneraen que este programa se desarrolla a partir de principios basicos y generates yse aplica a la comprension de una gran variedad de fenomenos fisicos, aparente-

mente sin relacion entre si pero que obedecen las mismas leyes fundamentales.

Una vez que estos grandes principios sean claramente comprendidos el estudiante

ser& capaz de acometer nuevos problemas con gran economia de reflexion yesfuerzo.

1.2 Las partes cldsicas de la fisica

El hombre, poseedor de una mente investigadora, ha tenido siempre una gran

curiosidad acerca de como funciona la naturaleza. Al principio sus unicas fuentes

de informacion fueron sus sentidos y por ello clasifico los fenomenos observados

de acuerdo a la manera en que los percibia. La luz fue relacionada con la vision

y la optica se desarrollo como una ciencia mas o menos independiente asociada

a ella. El sonido fue relacionado con la audicion y la acusiica se desarrol!6 como

l.S) Nuestra vision del uniuerso

una ciencia correlativa. El calor fue relacionado a otra clase de sensaci6n fisiclu

y por muchos anos el estudio del calor (denominado termodindmica) fue otra

parte autonoma de la fisica. El movimiento, evidentemente, es el mas comun de

todos los fenomenos observados directarnente, y la ciencia del movimiento, la

mecanica, se desarrollo m£s temprano que cualquier otra rama de la fisica. El

movimiento de los planetas causado por sus interacciones gravitatorias, asi como

la caida libre de los cuerpos, fue satisfactoriamente explicado por las leyes de la

mecanica; por ello la gravitation se considero tradicionalmente como un ca-

pitulo de la mecanica. El electromagnetismo> no estando relacionado directarnente

con ninguna experiencia sensorial — a pesar de ser responsable de la mayoria

de ellas— no aparecio como una rama organizada de la fisica sino hasta el siglo

diecinueve.

De esta manera en el siglo diecinueve la fisica aparecia dividida en unas pocas

ciencias o ramas (Uamadas cldsicas): mecanica, calor, sonido, optica, y electro-

magnetismo, con muy poca o ninguna conexion entre ellas, aunque la mecanica

fue, con toda propiedad, el principio guia para todas ellas. Y asi la fisica se enseno

de este modo a los estudiantes hasta hace poco. Ultimamente una nuevarama,

denominada fisica moderna, que cubre los desarrollos de la fisica del siglo veinte,

se ha agregado a estas ramas "clasicas".

Las ramas "clasicas*' de la fisica son, y lo seguiran siendo, campos muy importan-

tes de especializacion y actividad profesional, sin embargo, no tieneya sentido estu-

diar los fundamentos de la fisica de tal modo. El mismo conjunto de fenomenos

incluidos bajo el electromagnetismo y la fisica moderna han producido una nueva

tendencia en el pensamiento que mira a los fenomenos fisicos desde un punto de

vista unificado y mas logico, y esta es una de las grandes proezas del siglo veinte.

Esta presentation uniflcada de la fisica requiere una reevaluacion de la fisica

clasica desde un punto de vista moderno y no una division de la fisica en cldsica

y moderna. Es claro que habra sienpre una fisica moderna en el sentido que habra

una fisica contemporanea en proceso de desarrollo. Esta fisica moderna reque-

rira a cada momento de una revisi6n y reevaluacion de ideas y principios previos.

Las fisicas cldsica y moderna deberan integrarse en cada etapa en un solo cuerpo

de conocimiento. La fisica sera siempre un todo que debe considerarse de una ma-

nera logica y consecuente.

1.3 Nuestra visidn del universo

En el presente nosotros consideramos que la materia esta compuesta de un manojo

de particulas fundamentales (o elementales) y que todos los cuerpos vivientes e

inertes estan hechos de' diferentes grupos de ordenamientos de tales particulas.

Tres de estas particulas fundamentales son especialmente importantes por su

presencia en muchos fenomenos comunes: eledrones, protones, y neuitones.

Hay otras pocas particulas fundamentales (algunos fisicos piensan que hay

demasiadas) pero que tienen una vida transitoria, creandose y destruyendose

continuamente (por ello se denominan inestables) y aparentemente no participan

4 Introduction (1.3

(b)

Fig. 1-1. (a) Trazos de particulas fundamentals en una camara de burbujas dehidrdgeno liquido, de 203,2 cm, colocada en un campo magnetico intenso que obliga

a las particulas cargadas a seguir trayectorias curvas. Del analisis de estos trazos

se derivan las propiedades de las diferentes particulas. Esta fotografla, tomadaen 1964, es hist6rica, pues aport6 la primera evidencia de la existencia de la par-

tlcula omega menos (Q~)> que habla sido supuesta previamente sobre una basetedrica. (b) El diagrama de llneas muestra los eventos m&s importantes registrados

en la fotografla. La trayectoria Q- es la linea corta cerca del fondo de la l&mina.Las particulas que corresponden a los otros trazos estan identiflcados tambten.(Fotografla cortesia del Laboratorio Nacional de Brookhaven.)

rtf

He 0.9A Ne UA A 1,5A

'"4 if&*

%, yt& •'".

Kr 1,7A

Fig. 1-2. Distribuci6n de electrones alrededor del nucleo en algunos atomos sim-

ples (helio, He; ne6n, Ne; arg<Sn, Ar; cript6n, Kr). Puesto que los electrones no siguen

trayectorias bien definidas, las regiones oscuras son las que tienen mas proba-bilidad de ser ocupadas por los electrones (1 A = angstrom = 10 -10 m).

1.3) Nuestra vision del universo 5

(d) CH

Fig. 1-3. Algunas moleculas relativamente simples. Los electrones interiores per-

manecen ligados a los atomos correspondientes, pero los exteriores, o bien se muevenen el espacio entre dos atomos, o mas o menos libremente sobre la molecula (1 A == angstrom = 10"10 m).

directamente en la mayor parte de los fenomenos que observamos a nuestro

alrededor (Fig. 1-1). Su existencia se manifiesta solamente por medio de tecnicas

de observation elaboradas, y su papel en el esquema general aun no se comprende

completamente. Algunas de estas, tales como el pion, son vitales debido al papel

que desempefian en las interacciones entre protones y neutrones. La investiga-

tion de las particulas fundamentals es de gran importancia hoy en dia para

obtener algunos indicios sobre la estructura del universo.

Usando un lenguaje muy simplificado, podemos decir que las tres particulas,

el electron, el proton y el neutron, est&n presentes en grupos bien definidos 11a-

mados atomos, con los protones y neutrones situados en una region central muypequena denominada nticleo (Fig. 1-2). Se han reconocido cerca de 104 "especies"

diferentes de atomos (ver tabla A-l) pero hay alrededor de 1300 "variedades" di-

ferentes de atomos, denominados isotopos. Los atomos a su vez forman otros

agregados llamados moleculas, de las cuales se sabe que existen varios millones.

El numero de moleculas diferentes parece ser extremadamente grande, ya que

dia a dia mis y mas moleculas se sintetizan en los laboratorios de quimica* Al-

gunas moleculas contienen pocos atomos, tales como el acido clorhidrico (cuyas

moleculas estan constituidas por un atomo de hidrogeno y otro de cloro (Fig, 1-3),

mientras que otras pueden tener tantos como varios centenares de atomos, tales

6 Introduction (1.3

Aziicar

(b)

Fosfato

(<) Timina Adenina

Fi^ura 1-4

1.3) Nuestra vision del universo

Fig. 1-5. Estructura de un cristal de cloruro de sodio. Los atomos estan distribui-

dos en una forma geometrica regular que se extiende sobre un volumen relativamente

grande. Esta estructura se refleja en la apariencia externa de los cristales macros-

c6picos.

como las proteinas, las encimas y los acidos nucleicos [ADN y ARN (Fig. 1-4)]

o algunos polimeros organicos tales como el polietileno o el cloruro de polivinilo

(CPN), Finalmente, las moleculas se agrupan formando cuerpos (o materia en

conjunto) apareciendo como solidos, liquidos o gases* (Fig. 1-5), aunque esta

clarification o division no es del todo rigida.

Fig. 1-4. Modelo de acido desoxiribonucleico (ADN) de Crick-Watson. Uno de

los dos acidos nucleicos que toman parte en la composition de un cromosoma, el

ADN, lleva informaci6n genetica y es una de las moleculas gigantes mejor estudiadas.

La difraccion por rayos X ha mostrado que consiste de dos helices antiparalelas

compuestas de grupos de azucar (S) y fosfato (P) alternados. El aziicar, llamada

desoxiribosa, contiene cinco atomos de carbono. Las dos helices estan entrelazadas

por pares de bases unidades por enlaces de hidrogeno. Un par esta formado por dos

bases llamadas adenina y timina (A-T) y el otro por citosina y guanina (C-G). El

c6digo genetico de la molecula ADN depende de la ilaci6n u ordenamiento de cada

par de bases. Estos pares de bases son como travesafios de una escalera de espiral,

cada uno de los cuales es de un largo de 11 angstroms. El paso de cada helice es de

unos 34 angstroms y su diametro total es de unos 18 angstroms (1 angstrom == 10-10 m).

* Otro estado de la materia es el plasma, que consiste de una mezcla gaseosa de iones positivos

y negativos (o particulas cargadas). La mayor parte de la naturaleza en el universo se halla

en la forma de plasma.

8 Introduction (1*3

Una clase particularmente importante de cuerpo es el cuerpo viviente o ma-

teria viviente, tambien designado protoplasma, en el cual las moleculas aparecen

altamente organizadas y exhiben propiedades y funciones que son aparentemente

distintas de aquellas de la materia inerte. El cuerpo humano, el cual es el m&s

desarrollado de los entes vivientes, est& compuesto de cerca de 1028 itomos; la

mayor parte de los cuales son- Atomos de carb6n, hidrdgeno, oxlgeno y nitrdgeno*

El sistema solar es un agregado de varios cuerpos enormes Uamados planetas,

los que giran alrededor de una estrella, denominada el sol. Uno de los planetas

es nuestra tierra, la cual contiene cerca de 1051 itomos. El sol est& compuesto

de cerca de 1067 dtomos. El sistema solar a su vez es una pequena parte de un

gran agregado de estrellas que forman una galaxia llamada la Via L&ctea, com-

puesta de cerca de IQ*1 estrellas o 1070 6tomos y con una forma de disco, con un

di&metro de 1021 m o alrededor de 100.000 anos luz, y un espesor maximo de

alrededor de 1020 m. Se han observado muchas galaxias similares a la nuestra

(Fig. 1-6), estando la m£s cercana a dos millones de anos luz o 2 x 1022 m de

nosotros. El universo puede contener 1020 estrellas agrupadas en cerca de 1010

galaxias y conteniendo un total de alrededor de 1080 Atomos en una regi6n cuyo

radio es del orden de 1026 m o 1010 anos luz.

Algunas preguntas vienen naturalmente a nuestra mente, £Por que y c6mo

se unen los electrones, protones y neutrones para formar £tomos? ^Por qu6 yc6mo se unen los Atomos para formar moleculas? ^Por que y c6mo las moleculas

se unen para formar cuerpos? ^C6mo es que la materia se agrega para formar

desde particulas de polvo hasta planetas gigantes, desde bacterias hasta esa

criatura maravillosa que es el hombre? Nosotros podemos responder en principio

estas preguntas fundamentales, introduciendo la noci6n de interaction, Decimos

que las particulas de un Atomo interactiian entre si de modo de producir una con-

figuration estable. Los iitomos a su vez interactiian para formar moleculas, ylas moleculas interactiian para formar cuerpos. La materia en conjunto tambien

exhibe ciertas interacciones obvias, tales como la gravitaci6n*

Este concepto no es nuevo. No estamos promulgando una doctrina nueva yradical o desechando conceptos largamente establecidos. Nosotros hemos sim-

plemente cambiado y adaptado las palabras usadas al describir la creaci6n del

universo, como un resultado de muchos anos de investigaci6n desde el afio 300 AX.,

cuando Arist6teles, en su De Caelo, dijo, "Ellos (los dtomos) se mueven en el

vacio y enlaz&ndose unos con otros se empujan, y algunos rebotan en cualquier

direccidn al azar y otros se unen entre si en grados diferentes, de acuerdo a la

simetria de sus formas, tamaiios, posiciones y orden, y ellos permanecen juntos;

y asi se Ilega a las cosas compuestas". Podemos comparar lo dicho por Arist6teles

con aquello expresado por el laureado Nobel T. D, Lee, quien, en 1965, dijo:*

"El prop6sito de la ciencia es buscar aquel conjunto de principios fundamentales

a traves de los cuales todos los hechos conocidos son comprendidos y por medio

de los cuales se predicen nuevos resultados. Puesto que la materia estfi compuesta

de las mismas unidades b&sicas, el ultimo fundamento de todas las ciencias na-

* Nature of Matter — Purposes of High Energy Physics, Luke C. L. Yuan, editor. New York :

Brookhaven National Laboratory, 1965.

Nueslra vision del universo

V\g. 1-6. La gran Nebulosa de Andr6meda, tambien llamada M-31, la mas cer-

cana de las galaxias regulares, esta a unos 2.500.000 afios-luz 6 1021 m, y contienemas de 10 11 estrellas. (Foto cortesia de los observatorios Monte Wilson y Palomar.)

turales debe basarse en las leyes que gobiernan el comportamiento de estas par-

ticulas elementales".

El objetivo primario del fisico es descubrir las diferentes interacciones de la

materia; estas son principalmente interacciones gravitacionales, electromagne-

ticas y nucleares. El fisico trata luego de expresarlas en una manera cuantitativa,

para lo cual requiere de la matem&tica. Finalmente intenta formular reglas gene-

rales acerca del comportamiento de la materia en conjunto — comportamiento

que resulta de estas interacciones fundamentals. Una description del compor-

10 Introduction (1A

tamiento de la materia en conjunto es, por necesidad, de naturaleza estadistica,

ya que involucra un nfimero tremendamente grande de moleculas, cuyos movi-

mientos individuales son imposibles de seguir en detalle. Por ejemplo, en una

gota de lluvia puede haber tanto como 1020 moleculas de agua.

La fisica cubre rangos tremendos de magnitudes, yendo desde longitudes del

orden de 10"16 m y masas del orden de 10-31 kg (correspondiente a una sola par-

ticula tal como el electr6n), hasta — y aun mis alia de— longitudes del qrden

de 109 m y masas del orden de 1030 kg (correspondientes a cuerpos de nuestro

sistema solar). Aunque las leyes basicas son las mismas, la manera en que se

expresan y los tipos de aproximaci6n que se hacen dependen del rango particular

de magnitudes en los cuales se esta trabajando.

1.4 La reladdn de la fisica con otras ciencias

Indicamos en la secci6n 1.1, y podemos repetirlo ahora que el objetivo de la

fisica es capacitarnos para comprender los componentes bisicos de la materia

y sus interacciones mutuas, y explicar asi los fen6menos naturales, incluyendo

las propiedades de la materia en conjunto. Por esto, podemos ver que la fisica

es la mds fundamental de todas las ciencias naturales. La quimica trata b&sica-

mente de un aspecto particular de este ambicioso programa: la aplicaci6n de las

leyes de la fisica a la formaci6n de moleculas y los variados metodos pr&cticos

de transformacidn de ciertas moleculas en otras. La biologia se basa fundamen-

talmente en la fisica y en la quimica para explicar los procesos que ocurren en

los cuerpos vivientes. La aplicaci6n de los principios de la fisica y la quimica

a los problemas pr&cticos, en la investigacidn y el desarrollo asi como en la pr6c-

tica profesional, ha dado lugar a las diferentes ramas de ingenieria. La pr&ctica

moderna de la ingenieria al igual que la investigaci6n serian imposibles sin una

comprensi6n completa de las ideas fundamentales de las ciencias naturales.

Pero la fisica es importante no solamente porque proporciona la base conceptual

y la estructura te6rica sobre la cual se fundan las otras ciencias naturales. Desde

el punto de vista pr&ctico es importante porque proporciona tecnicas que pueden

utilizarse casi en cualquier &rea de la investigaci6n pura o aplicada. El astr6nomo

requiere de tecnicas dpticas, de radio y espectrosc6picas. El ge61ogo utiliza en

sus investigaciones metodos gravimetricos, aciisticos, nucleares, y mecinicos.

Lo mismo puede decirse del ocean6grafo, el meteor61ogo, el sism61ogo, etc. Unhospital moderno esti equipado con laboratories en los cuales se usan las tecnicas

mis reflnadas de la fisica. En resumen, casi todas las actividades de investigaci6n,

incluyendo tales campos como la arqueologia, paleontologia, historia y arte

pueden dificilmente avanzar sin el uso de las tecnicas modernas de la fisica.

Esto le da al fisico el grato sentimiento que no s61o est£ haciendo avanzar el co-

nocimiento que existe sobre la naturaleza sino que est4 contribuyendo al progreso

social de la humanidad.

1.5) El metodo experimental 11

Fig. 1-7. El reactor nuclear de investigation del Laboratorio National de OakRidge, usado en una extensa variedad de investigaciones fundamentales. (Foto

cortesia de ORNL.)

1.5 El m€todo experimental

A fin de cumplir con sus objetivos la fisica, como todas las ciencias naturales

puras o aplicadas, depende de la observation y de la experimentation. La obser-

vation consiste en un examen critico y cuidadoso de los fenomenos, notando y

analizando los diferentes factores y circunstancias que parecen influenciarlos.

Desafortunadamente, las condiciones bajo las cuales ocurren los fenomenos na-

turales raramente ofrecen suficiente variation y flexibilidad. En algunos casos

ocurren solo de vez en cuando de modo que su analisis es un proceso dificil y

lento. Por dicha razon es necesaria la experimentation. La experimentation

consiste en la observation del fenomeno bajo condiciones preparadas de ante-

mano y cuidadosamente controladas. De esta manera el cientifico puede variar

las condiciones a voluntad, haciendo mis facil de descubrir como ellas afectan

12 Introduction (2.5

Fig. 1-8. Vista general del CERN (Centro Europeo de Investigaciones Nucleares),

fundado en 1954. Aunque es una empresa de cooperacidn entre gobiernos europeos(Austria, Btigica, Dinamarca, la Republica Federal de Alemania, Francia, Grecia,

Italia, los Paises Bajos, Noruega, Espaiia, Suiza y la Gran Bretana), EstadosUnidos tambten participa activamente. Situada en Mayrin Suiza, en la frontera

franco-suiza, el CERN posee las mejores facilidades para investigaciones nucleares

de la Europa Occidental, tales como un sincro-ciclotr6n de 600-Mev, un prot6n-sincrotdn de 28-Gen (cuyo iman queda bajo tierra a lo largo de la estructura circu-

lar) y una camara de burbujas de hidr6geno liquido de 2-m. El personal del CERN(alrededor de 2000) procede de todos los paises-miembros y su presupuesto anuales de cerca de $20,000,000, (Foto cortesia de la CERN.)

el proceso. Sin la experimentaci6n la ciencia moderna nunca habria alcan-

zado los avances que han ocurrido. Tal es la razon por la cual los laboratorios

son tan esenciales al cientifico.

Para dar enfasis a este punto la Fig. 1-7 muestra un reactor de investigaci6n

del Laboratorio Nacional de Oak Ridge, Debe notarse que el espacio que rodea

al reactor este cubierto con equipos experimentales. Algunos de estos equipos

se utilizan por fisicos para conocer m&s sobre las propiedades nucleares o realizar

un an&lisis estructural de los materiales. Otros aparatos se utilizan para preparar

materiales radiactivos para aplicaciones en quimica, medicina, biologia, agri-

cultura o ingenieria. Un grupo de biofisicos utilizando parte del eq-uipo men-

cionado pueden experimentar sobre los efectos de la radiaci6n en especimenes

biol6gicos, mientras que otro grupo de cientificos puede usar el mismo equipo

para estudiar el efecto de la radiation sobre diferentes clases de material. Se

sugiere que el alumno visite un laboratorio moderno de investigaci6n de modoque pueda tener una mayor apreciaci6n personal de la importancia de la expe-

rimentation en la ciencia-

Bibliografia 13

Evidentemente, la experimentation no es la unica herramienta que tiene un

fisico. A partir de hechos conocidos un cientifico puede deducir nuevos conoci-

mientos en una forma teorica. Por teorica se entiende que el fisico proponga un

modelo de la situation fisica que esta estudiando. Utilizando relaciones previa-

mente establecidas, el fisico aplica razonamientos logicos y deductivos al modelo.

Ordinariamente expresa su razonamiento mediante tecnicas matem&ticas. El

resultado final puede ser la prediction de algunos fenomenos no observados

todavia o la verification de las relaciones entre varios procesos. El conocimiento

que un fisico adquiere por medios teoricos a su vez puede ser utilizado por otros

cientificos para realizar nuevos experimentos para comprobar el modelo mismo,

o para determinar sus limitaciones y fallas. El fisico teorico entonces revisa y

modifica su modelo de modo que este de acuerdo con la nueva information. Es

esta interrelation entre la experimentation y la teoria lo que permite a la ciencia

progresar continuamente sobre una base solida.

Aunque hasta hace algunos anos un cientifico podia trabajar en una forma

mas o menos aislada (y tal fue el caso de Galileo, Newton, Huygens y otros),

la ciencia moderna, debido a su complejidad, es principalmente el resultado de

trabajo en equipo, en el cual los teoricos y los experimentales trabajan y piensan

juntos, Y por "juntos", no implicamos necesariamente coincidencia fisica en el

mismo lugar. Los medios modernos de comunicacion facilitan el rapido inter-

cambio de las ideas. Fisicos a cientos de kilometros de distancia, y de nacionali-

dades diferentes, pueden trabajar unidos, colaborando en un proyecto de inves-

tigation comiin (Fig. 1-8). Este hecho se aplica no solamente a la fisica, sino a

casi toda la ciencia, y de esta manera se demuestra el valor universal de la ciencia,

la cual sobrepasa toda clase de barreras humanas. Puede esperarse que la cien-

cia, a traves de este tipo de cooperation, ayudara a aumentar la comprension

entre los hombres.

Bibliografia

1. "Truth in Physics", P. Schmidt, Am. J. Phys. 28, 24 (1960)

2. "Nature of Physics and Its Relation to Other Sciences", G. P. Thompson,

Am. J. Phys. 28, 187 (1960)

3. "Empty Space", H. van de Hulst, Scientific American, noviembre de 1955, pag. 72

4. "Some Reflections on Science and the Humanities", J. Ashmore, Physics Today,

noviembre de 1963, pag. 46

5. "American Physics Comes of Age", J. Van Vleek, Physics Today, junio de 1964,

pag. 21

6. "Science and Public Policy", E. Daddario, Physics Today, enero de 1965, pag. 23

7. "Physics and Biology", W. A. Rosenblith, Physics Today, enero de 1966, pag. 23

8. Atoms and the Universe (segunda edici6n), por G. Jones, J. Rotblat y G. Witrow,

New York: Scribner's, 1963

9. The Excitement of Science, por J. R. Piatt. Boston: Houghton Mifflin, 1962

10. The Feynman Lectures on Physics, vol. I, por R. Feynman, R. Leighton y M.

Sands. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1963, caps. 1, 2 y 3

11. Foundations of Modern Physical Science, por G. Holton y D. H. D. Roller.

Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1958, caps. 8, 12, 14 y 15

2

MEDICIONES Y UNIDADES

2.1 Introduction

2.2 Mediciones

2.3 Cantidades fundamentals y unidades

2A Densidad

2,5 Angulos en un piano

2.6 Angulos solidos

2.7 Precision y exactitud

2.8 Mediciones en el laboratorio

2,2) Mediciones 15

2.1 Introduccidn

La observaci6n de un fenomeno es en general incompleta a menos que de lugar

a una informaci6n cuaniitativa. Para obtener dicha informaci6n se requiere la

medicion de una propiedad fisica, y asi la medicion constituye una buena parte

de la rutina diaria del fisico experimental. Lord Kelvin senalo que nuestro cono-

cimiento es satisfactorio solamente cuando lo podemos expresar mediante nii-

meros. Aunque esta afirmacion es quizas exagerada, expresa una filosofia que

un fisico debe tener en mente todo el tiempo en sus investigations, Pero como

indicamos en el capitulo 1, la expresion de una propiedad fisica en terminos de

numeros requiere no solamente que utilicemos las matefnaticas para mostrar las

relaciones entre las diferentes cantidades, sino tambien tener el conocimiento

para operar con estas relaciones. Esta es la razon por la cual la matematica es

el lenguaje de la fisica y sin matem&ticas es imposible comprender el fenomeno

fisico, tanto desde un punto de vista experimental como teorico. La matematica

es la herramienta del fisico; debe ser manipulada con destreza y cabalidad de

modo que su uso ayude a comprender en lugar de oscurecer su trabajo.

En este capitulo no solamente definiremos las unidades necesarias para expre-

sar los resultados de una medicion, sino tambien discutiremos algunos

topicos (todos los cuales son importantes) que apareceran continuamente en el

texto. Estos son: densidad, angulo en un piano, angulo solido, cifras significativas

y el proceso del analisis de los datos experimentales.

2.2 Mediciones

La medicion es una tecnica por medio de la cual asignamos un numero a una

propiedad fisica, como resultado de una comparacion de dicha propiedad con

otra similar tomada como patron, la cual se ha adoptado como unidad. La mayor

parte de las mediciones realizadas en el laboratorio se reducen esencialmente a

la medicion de una longitud. Utilizando esta medicion (y ciertas convenciones

expresadas por formulas), obtenemos la cantidad deseada. Cuando el fisico mide

algo debe tener gran cuidado de modo de producir una perturbacion minima

del sistema que esta bajo observation. Por ejemplo, cuando medimos la tempe-

ratura de un cuerpo, lo ponemos en contacto con un termometro. Pero cuando

los ponemos juntos, algo de energia o "calor" se intercambia entre el cuerpo yel termometro, dando por resultado un pequeiio cambio en la temperatura del

cuerpo, afectando asi la misma cantidad que deseabamos medir. Ademas todas

las medidas son afectadas en algun grado por el error experimental debido a las

imperfecciones inevitables del instrumento de medida, o las limitaciones im-

puestas por nuestros sentidos (vision y audicion) que deben registrar la informa-

cion. Por lo tanto, cuando un fisico disena su tecnica de medicion procura que

la perturbacion de la cantidad a medirse sea mas pequefia que su error experi-

mental. En general esto es siempre posible cuando medimos cantidades en el

campo macroscopico (es decir, en cuerpos compuestos de un gran numero de

16 Mediciones y unidades /<> 3

moleculas), ya que entonces lo que tenemos que hacer es usar un instrumentode medicion que produzca una perturbacion mas pequena, en varios ordenes demagnitud, que la cantidad a medirse. Asi cualquiera que sea la perturbacionproducida, esta es despreciable comparada con el error experimental. En otroscasos la perturbacion puede ser calculada y el valor medido corregido.La situation, sin embargo, es muy diferente cuando estamos midiendo propie-

dades atomicas individuales, tales como el movimiento de un electron. Ahorano tenemos la option de usar un instrumento de medida que produzca una per-turbacion mas pequena que la cantidad a medirse ya que no poseemos un dis-positivo tan pequefio. La perturbacion introducida es del mismo orden de mag-nitud que la cantidad a medirse y puede aun no ser posible estimarse su valoro darse cuenta de el. Por lo tanto debe hacerse una distincion entre las medi-ciones de cantidades macroscopicas y de cantidades microscopicas. Es necesarioformular una estructura teorica especial cuando tratamos con cantidades atomi-cas. Dicha tecnica no se discutira en este momento; se denomina mecdnicacudntica.

Otro requisito importante es que las definiciones de las cantidades fisicas debenser operacionales, en el sentido que deben indicar explicitamente implicitamentecomo medir la cantidad deflnida. Por ejemplo, deck que la velocidad es unaexpresion de la rapidez de un cuerpo en movimiento no es una definicion opera-cional de velocidad, pero decir que velocidad es la distancia desplazada divididaentre el tiempo es una definicion operacional de velocidad.

2.3 Cantidades fundamentales y unidades

Antes de efectuar una medicion, debemos seleccionar una unidad para cadacantidad a medirse. Para propositos de medicion, hay cantidades fundamentalesy derivadas, y unidades. El fisico reconoce cuatro cantidades fundamentales inde-pendientes: longitud, masa, tiempo y carga*La longitud es un concepto primario y es una notion que todos adquirimos

naturalmente; es inutil intentar dar una definicion de ella. De igual manera loes el tiempo. La masa y la carga sin embargo, no son de un caracter tan intuitiveEl concepto de masa se analizara en detalle en los capitulos 7 y 13. Diremosahora solamente que la masa es un coeficiente, caracteristico de cada particulaque determina su comportamiento cuando interactiia con otras particulas asicomo la intensidad de sus interacciones gravitacionales.

Similarmente, la carga, concepto que se discutira en detalle en el capitulo 14,es otro coeficiente, caracteristico de cada particula, que determina la intensidadde su interaction electromagnetica con otras particulas. Pueden existir otroscoeflcientes que caractericen otras interacciones entre particulas, pero hasta el

* Con esto no queremos decir que no hay otras cantidades "fundamentales" en fisica ; sin em-bargo, las otras cantidades son tales que puede expresarse como una combinaci6n de estascuatro, o no requieren una unidad especial para su expresion.

2.3) Cantidades fundamenlales y imidades 17

C C"

Fig. 2-1. Balanza de brazos iguales para eomparar las masas de dos cuerpos.

momento no han sido identificados, y en el presente no parece requerirse de can-

tidades fundamentales adicionales.

La masa puede definirse operacionalmente utilizando el principio de la balanza

de brazos iguales (Fig. 2-1); esto es, una balanza simetrica soportada en su cen-

tro 0. Se dice que dos cuerpos CyC tienen masas iguales cuando, colocado un

cuerpo en cada platillo, la balanza permanece en equilibrio. Experimentalmente

se verifica que si la balanza se halla en equilibrio en un lugar de la tierra, per-

manece en equilibrio cuando se le coloca en cualquier otro lugar. Entonces la

igualdad de las masas es una propiedad de los cuerpos independiente del lugar

donde se comparen. Si C esta constituido por varias unidades patron, la masade C puede obtenerse como un multiplo de la masa patron. La masa asi obtenida

es realmente la masa gravitatoria (capitulo 13). Pero en el capitulo 7 veremos

un metodo para eomparar dinamicamente las masas. La masa obtenida dinami-

camente se denomina masa inercial. Como se discutira en el capitulo 13 no se ha

encontrado ninguna diferencia entre los dos metodos de medicion de masa.

Con unas pocas excepciones, todas las cantidades usadas hasta ahora en fisica

pueden relacionarse a estas cuatro cantidades por ,sus definiciones, expresadas

como relaciones matematicas involucrando longitud, masa, tiempo y carga. Las

unidades de todas estas cantidades derivadas son a su vez expresadas en funci6n

de las unidades de las cuatro cantidades fundamentales mediante estas rela-

ciones de definition. Luego es necesario solamente estar de acuerdo en las uni-

dades para las cuatro cantidades fundamentales a fin de tener un sistema con-

sistente de unidades. Los fisicos se han puesto de acuerdo (en la OnceavaConferencia General sobre Pesos y Medidas realizada en Paris en 1960) para

usar el sistema de unidades MKSC, y este sera el utilizado en este libro. Las ini-

ciales representan el metro, el kilogramo, el segundo y el coulomb. Sus definiciones son:

El metro, abreviado m, es la unidad de longitud. Es igual a 1.650.763,73 lon-

gitudes de onda de la radiacion electromagnetica emitida por el isotopo 86Kr ensu transicion entre los estados 2p10 y 5d5 . Estos dos simbolos se refieren a estados

fisicos particulares del atomo de kripton. La radiacion emitida puede identificarse

facilmente porque aparece como una linea roja en un espectrograma.

El kilogramo, abreviado kg, es la unidad de masa. Se define como la masa del

kilogramo international, un bloque de platino conservado en la Oficina Inter-

nacional de Pesos y Medidas en Sevres, cerca de Paris. Para todos los propositos

16 Meaiciones y unidades (2.3

practicos es igual a la masa de 10-3 m3 de agua destilada a 4°C. La raasa de 1 m3

de agua es asi 103 kg. Un volumen de 10-3 m3 se denomina un litro. Por analogia

con el metro, podemos asociar el kilogramo con una propiedad atomica diciendo

que es igual a la masa de 5,0188 x 1025 atomos del is6topo ^C. En realidad, este

es el criterio adoptado al definir la escala internacional de masas atomicas.

El segundo, abreviado s, es la unidad de tiempo. Se define de acuerdo con la

Union Astronomica Internacional, como 1/31.556.925,975 de la duration del anotropical 1900. El ano tropical se define como el intervalo de tiempo entre dos

pasajes sucesivos de la tierra a traves del equinoccio vernal, el que tiene lugar

aproximadamente el 21 de marzo de cada ano (Fig. 2-2). Puede tambien definirse

como 1/86.400 del dia solar medio, el cual es el intervalo de tiempo entre dos

pasajes sucesivos de un punto situado sobre la tierra frente al sol, promediados

en un ano. Pero esta definition tiene la inconveniencia que, debido a la action

de las mareas el periodo de la rotation de la tierra esta decreciendo gradualmente,

y por ende esta unidad cambiaria gradualmente. Por esta razon se escogio arbi-

trariamente un ano particular, el de 1900.

Equinoccio

de otono

Piano del ecuador terrestre

Posicion^aparente

del sol

Ecliptica

Equinoccio

de primavera

Fig. <*_** Defmici6n del ano tropical Fig. 2-3. Oscilacion del atomo de ni-

trdgeno entre dos posiciones simetricas

en la molecula de amoniaco.

La unidad de tiempo podria tambien relacionarse a una propiedad atomica,

como se ha hecho con la unidad de longitud, resultando los llamados relojes

atomicos.Por ejemplo, la molecula de amoniaco (NH3) tiene una estructura pira-

midal, con los tres atomos H en la base y el atomo N en el vertice (Fig. 2-3).

Obviamente hay una posicion simetrica, N', para el atomo de nitrogeno a la

misma distancia del piano H-H-H pero en el lado opuesto. El atomo N puedeoscilar entre estas dos posiciones de equilibrio con un periodo fijo. El segundo

puede definirse entonces como el tiempo necesario para que el atomo N realice

2,387 xlO10 de tales oscilaciones. El primer reloj atomico basado en este prin-

cipio fue construido en el National Bureau of Standards en 1948. Desde entonces

otras sustancias han sido utilizadas como relojes atomicos. Sin embargo, aiin

no se ha llegado a un convenio internacional para tener un patron at6mico de

2.3) Cantidades fundamentals y unidades 19

tiempo, aunque parece que hay un consenso general hacia la adoption de tal

definition de la unidad de tiempo.*

El coulomb, abreviado C, es la unidad de carga electrica. Su definition precisa

y oficial se dara en el capitulo 14, pero en este momento podemos decir que es

igual en valor absoluto a la carga negativa contenida en 6,2418 X 1018 electrones,

o a la carga positiva de igual niimero de protones.

Nota: Estrictamente hablando, en adicion al metro, al kilogramo y al segundo, la cuarta unidadadoptada en la Onceava Conferencia fue el ampere (en lugar del coulomb) como unidad decorriente electrica. El coulomb esta definido como la cantidad de carga electrica que pasa atraves de una seccion de un conductor durante un segundo cuando la corriente es de un ampere.La razon para escoger el ampere es que una corriente es mas facil de establecer como un patr6n.Nuestra decision de utilizar el coulomb esta basada en nuestro deseo de expresar el caracter

mas fundamental de la carga electrica, sin separarnos esencialmente de las recomendacionesde la Onceava Conferencia. El Sistema Internacional de unidades es el MKSA, designados porel simbolo SI.

El metro y el kilogramo son unidades originalmente introducidas durante la

revolution francesa, cuando el gobierno frances decidio establecer un sistema

racional de unidades, conocido desde entonces como el sistema metrico, para

suplantar las unidades caoticas y variadas utilizadas en aquel tiempo. El metro

se definio primeramente como la "diez millonesima (10~7)parte de un cuadrante

de un meridiano terrestre. Con dicho proposito se midio cuidadosamente un arco de

un meridiano, operation que llevo varios anos y se fabrico una barra patron

de platino que media un metro la cual se conservo bajo condiciones controladas

a 0°C en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sevres. Medidas posterio-

res indicaron que la barra patron era mas corta en 1,8 x 10"4 m que la diez mi-

llonesima parte del cuadrante de un meridiano y se decidio adoptar la longitud

de la barra como el metro patron sin mas referencia al meridiano terrestre. Enmuchos paises existen duplicados del metro patron. Sin embargo, se reconoci6

la conveniencia de tener un patron de caracter mas permanente y de facil acce-

sibilidad en cualquier laboratorio. Por esta razon se escogio la linea roja del ^Kr.Para la masa, la unidad escogida por los franceses fue el gramo, abreviado g,

definida como la masa de un centimetro ciibico (1 cm = 10~2 m = 0,3937 pulg,

y 1 cm3 = 10"6 m3) de agua destilada a 4°C. Se escogio esta temperatura porque

es la temperatura a la cual la densidad del agua es un maximo. El kilogramo

es entonces igual a 103 gramos. Se construyo un bloque de platino, con una masade un kilogramo. Posteriormente se decidio adoptar este bloque como el kilo-

gramo patron sin hacer mas referencia al agua.

Antes que se adoptara el sistema MKSC, era muy popular otro sistema en

trabajos cientificos: el sistema cgst en el cual la unidad de longitud es el centi-

metro, la unidad de masa el gramo, y la unidad de tiempo el segundo. No se

habia asignado a este sistema ninguna unidad definida de carga, aunque se utili-

zaban dos: el estatcoulomb y el abcoulomb, iguales respectivamente a J x 10~9 C

y 10 C. El sistema cgs esta siendo reemplazado gradualmente en trabajos cienti-

ficos y practicos por el sistema MKSC.

* En octubre de 1964, el Comite" Internacional de Pesos y Medidas baso temporalmente el in-

tervalo internacional del tiempo en una transici6n particular del atomo de 133Cs. El segundoqueda asi definido temporalmente como el tiempo necesario para que el oscilador que fuerza a los

atomos de cesio a realizar la transicidn establecida oscile 9.192.631.770 veces.

20 Mediciones g unidades (2.4

En muchos paises de habla inglesa se utiliza otro sistema de unidades el cual

es usado ampliamente en aplicaciones practicas y de ingenieria. La unidad delongitud es el pie, abreviado ft, la unidad de masa es la libra, abreviada lb y la

unidad de tiempo es nuevamente el segundo. Las unidades metricas equivalen-

tes son:

1 pie = 0,3048 -m

1 libra = 0,4536 kg

1 m = 3,281 pie

1 kg = 2,205 lb

TABLA 2-1 Prefijos para potencias de diez

Magnitud Prefijo Simbolo

10-w ato- a10- 16 femto- f10- 12 pico- Pio-9 nano- n10-6 micro- P10 -» mili- mio- 2 centi- cio- 1 deci- d10° = 1 Unidad fundamental10 deca- DIO2 hecto- HIO3 kilo- k (o K)IO8 mega- M10» giga- GIO 12 tera- T

Se espera que eventualmente se use solamente el sistema MKSC en todo el mundopara mediciones cientificas, de ingenieria y caseras.

Por razones practicas se han introducido multiplos y submultiplos como po-tencia de diez de las unidades fundamentales y derivadas. Los mismos se designancon un prefijo, de acuerdo al esquema dado en la tabla 2-1.

2A Densidad

La densidad de un cuerpo se define como su masa por unidad de volumen. Asi

un cuerpo de masa m y volumen V tiene una densidad de

mH V

La densidad se expresa en kg m^3. Obviamente la densidad del agua es

:

p = IO3 kg m-3 (6 1 g cm-3 y 62,4 lb pie"3).

(2.1)

2.5) Angulos en un piano £1

La densidad en la forma definida en la ecuacion (2.1), es aplicable solamente a

cuerpos homogeneos; es decir, a cuerpos que tienen la misma composition o

estructura a traves de todo su volumen. De otra manera, resulta la densidad

promedio del cuerpo. Para un cuerpo heterogeneo la densidad varia de un lugar

a otro. Para obtener la densidad en un lugar particular, se mide la masa dm,

contenida en un volumen pequeno (o infinitesimal) dV localizado alrededor de

un punto. Entonces se aplica la ec. (2.1), en la forma

dm

~dV(2.2)

TABLA 2-2 Densidades (relativas al agua)

S61idos

HierroHielo

MagnesioAluminioUranio

7,86

0,917

1,74

2,70

18,7

Liquidos

Agua (4°C) 1,000

Mercurio 13,59

Alcohol etilico 0,791

Gasolina 0,67

Aire (— 147°C) 0,92

Gases

Aire

Hidr6genoOxigenoNitr6genoHelio

1,2922

8,988

1,42904

1,25055

1,7847

10 -3

10-B

io-3

io-3

io-4

Puesto que la densidad es un concepto estadistico, para que el volumen dV,

tenga un significado fisico, debe tener un tamano tal que contenga un gran nii-

mero de moleculas.

Otro concepto util es el de densidad relativa. Si px y />2son las densidades de

dos sustancias diferentes, su densidad relativa es:

P21Pi

(2.3)

No se expresa en unidades por ser una cantidad relativa; es decir, el cociente

de dos cantidades de la misma clase. Es costumbre expresar las densidades rela-

tivas con respecto al agua como referencia. En la tabla 2-2 damos las densidades

de varias sustancias relativas al agua. Los valores numericos se dan a tempe-

ratura y presion normales (STP : 0°C y 1 atm) a menos que se indique de otro modo.

2.5 Angulos en un piano

Hay dos sistemas para medir angulos en un piano: grados y radianes. El segundo

sistema es el m£s importante en fisica. La circunferencia de un circulo estd arbi-

trariamente dividida en 360 grados (°). Un angulo recto, por ejemplo, corresponde

a 90°. Cada grado est6 dividido en 60 minutos (') y cada minuto en 60 segun-

dos (*). La medida de un Angulo cualquiera se expresa en grados, minutos ysegundos, tal como 23°42'34\

22 Mediciones y unidades (2.6

Para expresar un angulo en radianes, se traza con radio arbitrario R (Fig. 2-4)

el arco AB con centro en el vertice del angulo. Luego la medida de en radianes

(abreviada rad) es:

R(2.4)

I =RQ.

donde I es la longitud del arco AB. Este metodo se

basa en el hecho de que dado un angulo, la relacion

l/R es constante e independiente del radio, y es

por lo tanto la medida del angulo expresada en ra-

dianes. Notese que I y R deben expresarse en las mis-

mas unidades de longitud. De la ec. (2.4) tenemos

(2.5)

Considerando que la circunferencia de un circulo es 2nRt vemos que un angulo

completo alrededor de un punto, medido en radianes es 2tzRJR — 2n rad. Asi

2n rad equivale a 360°, y

180rad =0,017453 rad, 1 rad =

180°57°17'44,9".

TZ

2.6 Aug illos solidos

Un angulo solido es el espacio comprendido dentro de una superficie conica (o

piramidal), como en la Fig. 2-5. Su valor, expresado en esteradianes (abreviado

esterad), se obtiene trazando con radio arbitrario R y centro en el vertice O,

una superficie esferica y aplicando la relacion

Q =fi

2 '

(2.6)

donde S es el area del casquete esferico interceptado por el angulo solido. Comoel Area de una esfera es 4nR2

, el angulo solido completo alrededor de un punto

z

S = \irR*

Fig. 2-5, Angulo solido. Figura 2-6

2.7) Precision y exactitud 23

es 4* esteradianes. El angulo solido formado por los tres ejes coordenados, mu-

tuamente perpendiculares OX, OY y OZ (Fig. 2-6) es £ (4-rc) o -rc/2 esteradianes.

Cuando el angulo solido es pequefio (Fig. 2-7) el area S se vuelve dS y no es

necesariamente un casquete esferico, sino que puede ser una pequena superficie

plana perpendicular a OP de modo que

dCldS_

J?2(2.7)

En algunos casos la superficie dS no es perpendicular a OP, y su normal N hace

un angulo con OP (Fig. 2-8). Entonces es necesario proyectar dS en un piano

perpendicular a OP, el cual nos da el area dS' = dS cos 6. Asi

dS cos 6do. = ,

R2

es una expresion que sera muy util en discusiones futuras.

(2.8)

2.7 Precision y exactitud

La palabra precision usualmente tiene un signiflcado de exactitud. En el mundo

de las medidas, sin embargo, precision tiene el signiflcado de inexactitud. Esto

significa que cuando una propiedad fisica se describe por una cantidad numerica

y su correspondiente unidad, la cantidad numerica depende de un numero de

Figura 2-7 Figura 2-8

factores distintos, incluyendo el tipo particular de aparato utilizado para realizar

la medicion, el tipo y el numero de mediciones realizadas, y el metodo empleado

por el experimentador para obtener el valor numerico. A menos que dicho nu-

mero este acompanado por otro que describa la precision de la medicion, el numero

dado es tan bueno como inutil. Un numero puede ser extremadamente exacto

(esto es ser exactamente correcto) pero puede no ser preciso debido a que la

persona que proporciona el numero no ha dicho por lo menos algo sobre el me-

todo de medicion empleado.

24 Medicioties y unidades {2.7

Consideremos algimos ejemplos a fin de clarificar estas ideas. Si uno ve un

cesto que contiene siete manzanas, la proposition wYo cuento siete manzanas en

el cesto"es una determination directa de una cantidad numerica. Es precisa y exacta

porque el numero de unidades a contarse es pequena y entera. Si hay dos per-

sonas una colocando lentamente manzanas en el cesto y otra sacandolas lenta-

mente, entonces uno puede establecer con exactitud y precision el numero de

manzanas en cualquier instante.

Cornpliquemos ahora la situaci6n. Consideremos el numero de personas en unapequena villa. Aqui el numero es m&s grande, pero aiin razonablemente y defi-

nitivamente entero. Un observador que pasa por el centro de una calle de la

villa, mediante la observation cental de las personas que vienen y van, puede

establecer con exactitud el numero de personas en la villa. Pero su cantidad

numerica no sera precisa, porque le sera dificil descubrir el momento exacto del

nacimiento o muerte de los pobladores. Si la villa es una ciudad o un pueblo

el trabajo se torna aun mas dificil.

Preguntemos ahora. ^Por que necesitamos una cantidad exacta del numero de

habitantes de un pueblo? A fin de proporcionar diferentes servicios para todos

los habitantes no es realmente necesario conocer, en cada instante, el numero

exacto de ellos. En su lugar necesitamos una cantidad exacta cuya precisi6n

dependa del servicio particular en cuesti6n. Por ejemplo, para determinar el

numero de nuevos colegios que deben construirse en un &rea debemos tener una

clase diferente de precision numerica para la poblaci6n que la que seria nece-

saria si tuvieramos que determinar el numero de departamentos de incendios.

Si nosotros establecemos la poblacion del pueblo con una precision del 1 %,querernos decir que el numero dado puede ser mayor en 1 % o menor en 1 % que

la poblacion real, pero no sabemos en que direction, ni interesa en muchos casos.

En una villa de 200 personas, una precision del 1 % significa que conocemos la

poblaci6n con un error de m&s o menos 2 personas. En un pueblo de 100.000 ha-

bitantes, la precision est6 dentro de 1000 personas. Si conocemos la poblacion

de los Estados Unidos con una precision del 1 %, nuestra cifra puede variar

dentro de un margen de un mill6n y medio, pero no la conocemos exactamente.

Obviamente, bajo algunas condiciones, una precision mayor del 1 % es nece-

saria; en otras circunstancias una precision menor puede ser suficiente.

Hasta este momento hemos estado interesados en la operaci6n de contaje

en si* La suposicion es que dadas la informaci6n suficiente y una habilidad para

procesar la information rSpidamente, podemos encontrar la poblaci6n exacta.

Si es necesario conocer esto con precisi6n o no ya ha sido discutido. Ahora debe-

mos comprender que hay operaciones que no nos dan un numero exacto de uni-

dades. Por ejemplo, es cierto que en un punto particular de una habitaci6n hay

un valor exacto de la temperatura. Su valor, sin embargo, depende de una defi-

nici6n, puesto que la temperatura es un concepto humano. A pesar de ello,

no medimos temperatura en si por un metodo de contaje, sino m&s bien midiendo

la longitud de una columna de mercurio, cuya longitud representa la temperatura.

Por varias razones la longitud medida de la columna no se registrar^ id^ntica-

mentet cada vez que se lea, aun si la temperatura permaneciera constante. Unade las mayores razones de las variaciones en las lecturas es el espacio finito entre

2.8) Mediciones en el laboratorio 25

divisiones y escalas. Un metro ordinario tiene una distancia de 1 mm entre sus di-

visiones. Luego si se lee un metro teniendo en cuenta la divisi6n mis pequena,

la lectura en cada extremo puede tener errores como de i mm. Hay otros

tipos de errores de lectura que se tratan en libros especializados sobre este t6pico

(ver la bibliografia al final del capitulo sobre unos libros selectos y articulos acerca

de mediciones).

La precisi6n o incertidumbre de un numero nos permite definir el numero de

cifras significativas asociadas con la cantidad. Por ejemplo, si una medicion se

da como 642,54389 ± 1 %> significa que la incertidumbre es alrededor de 6,4.

Entonces tenemos justificaci6n en retener solamente aquellas cifras en el nu-

mero que son realmente significativas. En este caso el numero debia expresar-

se como 642 ± 1 % 6 642 ± 6. Cuando el estudiante vea una propiedad fisica (tal

como la velocidad de la luz o el numero de Avogadro) expresada en este libro,

el numero seri dado hasta con cinco cifras significativas aun cuando el numero

pueda ser conocido con mayor exactitud, no se especificari la precisidn. Si el

estudiante desea usar estos numeros en el cilculo de una incertidumbre, puede

considerar la ultima cifra significativa expresada con una precision de ± 1.

Cuando uno realiza una serie de operaciones matematicas utilizando numeros

que tienen una precisi6n establecida, el procedimiento mis simple es realizar las

operaciones, una a la vez, sin tener en cuenta el problema de las cifras signifi-

cativas hasta la conclusi6n de la operacidn. Luego, el numero resultante debe

reducirse a un numero que tenga el mismo numero de cifras significativas (es

decir, la misma precisi6n) que el menos exacto de los numeros.

2.8 Mediciones en el laboratorio

Con un ejemplo relativamente simple, el periodo de un pendulo, describiremos

los metodos utilizados para obtener la cantidad numerica asociada con una pro-

piedad fisica. El periodo de un pendulo es el tiempo entre dos pasajes sucesivos

del extremo del pendulo a traves del mismo punto, moviendose en la mismadirecci6n. Se hizo oscilar un pendulo particular y se midid el tiempo de una sola

oscilaci6n cincuenta veces. La tabla 2-3 contiene las cincuenta mediciones, en

segundos.

De la tabla se puede ver que no hay un periodo particular para el pendulo.

Lo que debemos hacer es tomar estas cincuenta mediciones del periodo, determinar

su valor promedio, y luego determinar la precisidn de este valor promedio. Su-

mando todos los periodos y luego dividiendo la suma entre el numero total de

mediciones, encontramos que el valor medio (o promedio) para el periodo del

pendulo es 3,248 segundos. (Notar que por el momento hemos conservado todo

el numero; tendremos que modificarlo a su debido tiempo). Tomando la diferencia

entre este valor medio y cada medicidn, obtenemos la desviacion de cada medi-cidn del valor medio. La suma de los valores absolutos de las desviaciones divi-

dida entre el numero de mediciones se denomina desviacion media, la cual da unaindicaci6n de la precisidn de la medicidn. Para nuestro ejemplo, la desviacidn

media del periodo es 0,12 segundos. Entonces debemos escribir el periodo del

26 Mediciones y unidades (2.8

pendulo, medido en el laboratorio, como 3,25 ± 0,12 seg 6 3,25 ± 4 % segundos

(aproximadamente)

.

Otra manera de expresar la precision de la medicion es mediante el uso de

la desviacion rmc (raiz media cuadratica), definida como la raiz cuadrada de la

cantidad obtenida sumando los cuadrados de las desviaciones divididas entre el

numero de mediciones. En nuestras mediciones, la rmc es de 0,15 segundos* El

calculo adicional realizado al obtener la desviacion rmc bien vale el esfuerzo,

ya que tiene un significado relativamente simple. Suponiendo que las variaciones

que aparecen en el conjunto de mediciones no se debe a ninguna causa, sino que

son justamente fluctuaciones normales, la desviacion rmc nos dice que aproxima-

damente dos tercios de todas las mediciones caen dentro de esta desviacion del

valor medio. 0, en otras palabras, tenemos la confianaa que, la proxima vez que

tomemos las mediciones del periodo de nuestro pendulo con el mismo aparato

hay una probabilidad de un 67 % de que midamos un periodo no mayor de 3,4 se-

gundos o no menor que 3,10 segundos.

Distribucion Gausiana

J

0,15 0,15-

3,25 segundos

Fig. 2-9. Histograma que muestra el numero de mediciones del periodo de unpendulo mostradas en la tabla 2-3, en intervalos de tiempo de 0,04 s. La distribuci6n

gausiana correspondiente esta indicada por la linea s61ida.

TABLA 2-3

3,12 3,18 3,25 3,32 3,32

3,62 3,33 3,30 3,42 3,27

3,33 3,28 3,15 3,12 3,20

3,17 3,18 3,20 3,18 2,98

3,17 3,52 3,35 3,33 3,38

3,58 3,02 3,00 3,32 3,08

3,27 3,35 3,63 3,15 3,38

3,00 3,15 3,27 2,90 3,27

2,97 3,18 3,28 3,28 3,37

3,18 3,45 3,18 3,27 3,20

Para mostrar esta situation en una manera ligeramente diferente se usa la Fig. 2-9,

que es un histograma, en el cual se representa la distribucion de frecuencias de

Bibliografia 27

las lecturas. Hay una irregularidad aparente en la manera en la cual ocurre el

numero de lecturas diferentes. A medida que se tomen mas y mas lecturas, sin

embargo, tiende a aparecer una forma definida, mostrando que la frecuencia de

aparicion de una medida dada es proporcionalmente menor cuanto mayor es su

desviacion del valor medio. El resultado es la familiar curva de campana. El

analisis muestra que la curva bajo la cual los picos del histograma quedan m6s

y mas cercanos a medida que el numero de medidas aumenta tiene una forma

analitica denominada distribution normal o gausiana.

Bibliografia

1. "Symbols, Units, and Nomenclature in Physics'*, Physics Today, junio de 1962,

pag. 20

2. "Mathematics in the Modern World", R. Gourant, Scientific American, septiem-

bre de 1964, pag. 40

3. "Mathematics in the Physical Sciences", P. Dyson, Scientific American, sep-

tiembre de 1964, pag. 128

4. "Probability", M. Kac, Scientific American, septiembre de 1964, pag. 92

5. "The Limits of Measurement", R. Furth, Scientific American, julio de 1950,

pag. 48

6. A Brief History of Weights and Measures Standards of the United States. Washing-ton, D.G.: Government Printing Office, 1963

7. Experimentation: An Introduction to Measurement Theory and Experiment Design,

por D, Baird, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1962

8. Experimentation and Measurement, por W. Youden. New York: Scholastic BookServices, Scholastic Magazines, Inc., 1962

9. The Feynman Lectures on Physics, vol. I, por R. Feynman, R. Leighton y M.Sands. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1963, caps. 5 y 6

28 Mediciones y unidades

Problemas

2.1 Las masas atdmicas dadas en la

tabla A-l estan expresadas en unidadesde masa atdmica, abreviadas uma. Unauma es igual a 1,6604 x 10-27 kg. Ex-presar, en kilogramos y gramos, las ma-sas de un atomo de (a) hidr6geno y (b)

oxigeno.

2.2 ^Cuantas mol6culas de agua, cadauna constituida por un atomo de oxigeno

y dos de hidr6geno, hay en un gramo?^En 18 gramos? <,En un centimetro cii-

bico?

2.3 Se dijo en la secci6n 2.3 que el kilo-

gramo podia ser definido como la masade 5,0188 X 10 a* atomos del is6topo 12C,

cuya masa esta definida exactamentecomo 12,0000 uma. Verificar que esta

definici6n es compatible con el valor dela uma dada en el problema 2.1.

2.4 Considerar moleculas de hidr6-geno, de oxigeno, y de nitr6geno, cadauna compuesta de dos atomos identicos.

Calcular el numero de moleculas de cadauno de estos gases (a TPN) en un m3

.

Usar los valores de densidades relativas

dadas en la tabla 2-2. Extender sus calcu-

los a otros gases. iQue conclusi6n gene-ral puede Ud. sacar de este resultado?

2.5 Suponiendo que el aire esta com-puesto de 20 % de oxigeno y 80 % denitr6geno y las moleculas de estos gases

estan constituidas por dos atomos, ob-tener la masa molecular "efectiva" del

aire. Estimar el niimero de moleculas encentimetro cubico de aire a TPN. ^Cuan-tas moleculas son de oxigeno, y cuantasson de nitr6geno?

2.6 La densidad del gas interestelar ennuestra galaxia se estima que sea de10~21 kg m~3

, Suponiendo que el gassea principalmente de hidrtfgeno, esti-

mar el numero de atomos de hidrtfgeno

por centimetro cubico. Gomparar el re-

sultado con aire a TPN (Problema 2.5a).

2.7 Un vaso de vidrio que contieneagua tiene un radio de 2 cm. En doshoras el nivel de agua baja 1 mm. Es-timar, en gramos por hora, la velocidadde evaporaci6n a la cual se esta eva-porando el agua. ^Cuantas moleculas deagua se estan evaporando por segundode cada centimetro cuadrado de la su-

perficie del agua? Sugerimos que el es-

tudiante realice este experimento y ob-tenga sus propios datos. ^Por que se

obtiene diferentes resultados en dias di-

ferentes?

2.8 Un mol de una sustancia esta defi-

nido como una cantidad, en gramos,numericamente igual a su masa molecu-lar expresado en uma. (Cuando nos re-

ferimos a un elemento quimico y noa un compuesto, utilizamos la masaat6mica.) Verificar que el numero demoleculas (8 atomos) en un mol decualquier sustancia es la misma, y es

igual a 6,0225 x 10 23. Este numero, de-

nominado la constante de Aoogadro es unaconstante fisica muy importante.

2.9 Utilizando los datos de las tablas 2.2

y A-l, estimar la separaci6n promedioentre las moleculas en el hidr6geno a

TPN (gas), en el agua (liquido) y, enel hierro (s61ido).

2.10 La masa de un atomo se encuentrapracticamente en su nucleo. El radio

del niicleo deuranioes de 8,68 x 10_15 m.Utilizando la masa atomica del uranio

dada en la tabla A-l, obtener la densi-

dad de la "materia nuclear". Este nu-cleo contiene 238 particulas o "nucleo-nes". Estimar la separaci6n promedioentre nucleones. A partir de este resul-

tado, ^podria Ud. llegar a la conclusi6n

que es razonable tratar la materia nu-clear de la misma manera como la ma-teria en general, es decir, como agrega-

dos de atomos y de moleculas?

2.11 Utilizando los datos de la tabla

13-1, obtener la densidad promedio dela tierra y del sol. Cuando Ud. comparaestos valores con los datos de la tabla 2-2,

^que conclusiones puede obtener acerca

de la estructura de estos cuerpos?

2.12 Estimar la densidad promedio del

universo, usando la informaci6n dadaen la secci6n 1.3. Suponiendo que todoslos atomos estan distribuidos uniforme-mente sobre todo el universo, ^cuantosatomos habria en un centimetro ciibico?

Suponer que todos los atomos son dehidr6geno.

2.13 La velocidad de la luz en el vacioes 2,9979 x 10s m s

-1. Expresarla en

Problemas 29

millas por hora. &Cuantas vueltas alre-

dedor de la tierra podria dar un rayo de

luz, en un segundo? (Usar la tabla 13-1

para datos acerca de la tierra.) &Quedistancia viajaria en un ano? Esta dis-

tancia se denomina aho luz.

2.14 El radio de la 6rbita terrestre es

1,49 x 10u m. Esta longitud se deno-mina una unidad astrondmica. Expresarun ano luz en unidades astrondmicas,

(Ver problema 2.13.)

P\ Estrella

eA -* O i -t>E,

Figura 2-10

2.15 El paralaje es la diferencia en la

direccidn aparente de un objeto, debidaa un cambio en la posici6n del observa-dor (sostenga un lapiz frente a Ud. ycierre primero el ojo derecho y luegoel ojo izquierdo. Note que en cada casoel lapiz aparece con un fondo diferente).

El paralaje estelar es el cambio en la

posici6n aparente de una estrella comoresultado del movimiento orbital terres-

tre alrededor del Sol. Se expresa cuan-titativamente por la mitad del angulosustentado por el diametro terrestre

EXE2 perpendicular a la linea que unela estrella y el sol (ver Fig. 2-10). Estadado por = 1/2 (180° — a— p), dondelos angulos a y (3 se miden en las posicio-nes Et y E2 separadas por 6 meses. Ladistancia r de la estrella al sol puedeobtenerse de a= r0, donde a es el

radio de la drbita terrestre y se expresaen radianes. La estrella con el mayorparalaje de 0,76" (es decir, la mas cer-

cana) es a-Centauro. Encontrar su dis-

tancia media desde el sol expresandola

en metros, en anos luz, y en unidadesastrondmicas.

2.16 Un parsec es igual a la distanciamedida desde el sol hasta una estrella

cuyo paralaje es de 1*. Expresar el par-sec en metros, anos luz y unidades as-

trondmicas. Expresar la distancia enparsec en funci6n del paralaje en segun-dos de arco.

2.17 La distancia entre San Francisco

y New York, medida a lo largo de los

circulos maximos que pasan a traves deestas dos ciudades, es de 2571 millas.

Galcular el angulo entre las verticales

de las dos ciudades.

2.18 Utilizando los datos que se danen la Fig. 1-6, determinar el angulo sus-tentado por el diametro de la Gran Ne-bulosa M-31 cuando se observa desde latierra. Expresarlo en radianes y en gra-dos de arco. Encontrar tambien el angulos61ido sustentado por la nebulosa.

2.19 Examinando las tablas de funcio-nes trigonometricas del apSndice, en-contrar el angulo para el cual sen 6 ytg difieren en a) 10 % b) 1 % c) 0,1 %.Repetir lo mismo para sen y 0, y paratg y 0, cuando se expresa en radianes.&Que conclusiones puede Ud. sacar desus resultados?

2.20 Dados los tres mimeros: 49238,42;6,382 x 10 4

; 86,545. (a) Sumar los mi-meros. (b) Multiplicarlos. (c) Sumar los

dos primeros y el resultado multiplicarlo

por el tercero. (d) Multiplicar los dos ul-

timos y dividir el resultado entre el

primero. Dar todas las respuestas con el

numero correcto de cifras significativas.

2.21 Utilizar los datos de la tabla 2-3

para comprobar los valores dados parael valor medio, la desviacidn media, y la

desviaci6n rmc. ^Cuantas cifras signi-

ficativas deben usarse en el resultado?

2.22 La tabla que sigue tiene un con-

junto de diez medidas de cierta propie-dad fisica (v.g., el espesor de un pedazode papel, o el peso de una piedra, etc.).

116 125

113 124

108 111 113

111 136 111

(a) Determinar el valor medio de estos

mimeros. Determinar la desviaci6n me-dia y la desviacion rmc (o normal).

(b) Hacer un analisis sobre la convenien-

30 Mediciones y unidades

cia de retener o descartar la lectura

de 136 (si se descarta, el valor medio delos nueve datos restantes es 114,7 y la

desviaci6n normal es 5,6).

2.23 Tome una bolita o un lapiz y dejelo

rodar sobre la tapa de un libro grande.Mida el tiempo que demora la bolita

o el lapiz en ir del reposo, en la partesuperior, hasta el extremo inferior en el

cual choca con la mesa. Repetir el expe-rimento diez (o mas) veces. Determinarel valor medio del tiempo de rodaduray su precisi6n, expresada en desviaci6n

rmc. Si Ud. no tiene un reloj con secun-dario, use su pulso para medir el tiempo.

2.24 Haga un censo de los miembrosde su clase. Determine la altura y el

peso de cada uno de ellos. Discriminede modo que solamente tenga datos deun solo sexo y una diferencia de edadesno mayor de tres anos. Calcule la altura

media, el peso medio y la desviacionrmc. Note que Ud. no puede hablar dela precision de su experimento en el mis-mo sentido que en el problema anterior.

iPor que?

3

VECTORES

3./ Introduction

32 Concepto de direction

3.3 Escalares y vectores

3.4 Adicion de vectores

3.5 Componentes de un vector

3.6 Adicion de varios vectores

31 Aplicacion a problemas de cinemdtica

3.8 Producto escalar

3.9 Producto vectorial

3.10 Representation vectorial de una super ficie

32 Vectores (3.2

3.1 Introduction

Este capitulo servir6 como una introduction, o re-

paso, de las ideas esenciales asociadas con una rama

de las matematicas muy importante para el fisico.

El algebra vectorial es importante porque permite

escribir en una forma conveniente y abreviada algu-

nas expresiones muy complicadas. Por ejemplo, en

algebra elemental la ecuacion

3x + 2y = 6

es una notation abreviada para todos los posibles

pares de valores x- e y- que satisfagan esta ecua-

cion. Es tambien posible describir esta misma re-

lation de otra manera: mostrando un grafico de esta ecuacion como el de la

figura 3-1. Ambos ejemplos son facilmente comprensibles para cualquier estudiante

que haya estudiado algebra y geometria analitica, porque puede comprender la

notation abreviada. En la misma forma, el Algebra vectorial es facilmente com-

prensible, una vez que la notation abreviada ha sido entendida.

Al finalizar el capitulo se descubrira que la notation vectorial no es diferente

de la notation del algebra y de la geometria analitica. La mayor diferencia estd

en la interpretation de esta notation. Una lectura meditada del capitulo acom-

panada por una solution cuidadosa de todos los ejercicios ahorrara al estudiante

muchos momentos dificiles en los capitulos siguientes.

Figura 3-1

3.2 Concepto de direccidn

Cuando tenemos una linea recta, podemos movernos a lo largo de ella en dos

sentidos opuestos, dichos sentidos se distinguen asignando a cada uno de ellos

un signo, positivo o negativo. Una vez que el sentido positivo ha sido determinado,

decimos que la linea esta orientada y la llamamos un eje. Los ejes coordenados

X e Y son lineas orientadas en las cuales los sentidos positivos se han indicado

Fig. 3-2. Ejes coordenados orientados. Fig. 3.3 Direcciones paralelas y antipa-

ralelas.

3.3) Escalares y vedores 33

en la Fig. 3-2. El sentido positivo se indica usualmente por una flecha. Unalinea orientada define una direction. Las lineas paralelas orientadas en el mismo

sentido definen la misma direccion (Fig. 3-3a), pero si tienen diferentes orienta-

ciones definen direcciones opuestas (Fig. 3-3b).

Las direcciones en un piano se determinan por un &ngulo, que es el angulo

entre una direccion de referenda y la direccidn que deseamos indicar, medido

en direccion contraria al movimiento de las agujas del reloj (Fig. 3-4). Las direc-

ciones opuestas corresponden a los ingulos y * + (6 180° + 8).

En el espacio es necesario usar dos dngulos para determinar una direcci6n.

La selection m&s frecuente es la usada en la Fig. 3-5. La direccion OA se deter-

mina por:

Z(i) el 6ngulo (menor que 180°) que OAhace con el eje OZ,

(ii) el Angulo<f>

entre el piano AOZ y el

piano XOZ, medido en direccion contra-

ria a la direcci6n de las agujas del reloj.

Fi&. 8-4. En un piano, direcciones opues- Fig. 3-5. Se requieren dos angulostas estan deflnidas por los angulos 6 y n + 8. para definir una direcci6n en el espacio.

Dejamos al estudiante como tarea verificar que la direcci6n opuesta est£ de-

terminada por los dngulos k— 8 y n +<f>.

3.3 Escalares y vectores

Muchas cantidades fisicas quedan completamente determinadas por su magnitud,expresada en alguna unidad conveniente. Dichas cantidades se llaman escalares.Por ejemplo, para especificar el volumen de un cuerpo es necesario solamenteindicar cuantos metros o pies cubicos ocupa. Para conocer una temperatura essuficiente leer un termometro convenientemente colocado. El tiempo, la masa,la carga y la energia son tambien cantidades escalares.

Otras magnitudes fisicas requieren para su completa determinaci6n, que seanada una direccion a su magnitud. Dichas cantidades las llamamos vectores.El caso mas sencillo es el desplazamiento. El desplazamiento de un cuerpo sedetermina por la distancia efectiva que se ha movido y la direction en la cual

34 Vectores (3J

se ha movido. Por ejemplo, si una particula se desplaza de a A (Fig. 3-6), el

desplazamiento queda determinado por la distancia d = 5 y el angulo ^ 37°.

La velocidad es tambien una cantidad vectorial, desde que el movimiento se

determina por la rapidez del desplazamiento y la direccion del desplazamiento.

Analogamente la fuerza y la aceleracion son cantidades vectoriales. Otras mag-

nitudes fisicas que son vectores iran apareciendo en capitulos sucesivos.

Los vectores se representan graficamente por segmentos de una linea recta

que tienen la misma direccion que el vector (indicada por una flecha) y una lon-

gitud proporcional a la magnitud. En la escritura, un simbolo en tipo grueso

como la F o en tipo delgado con una flecha encima como V, indica un vector

(esto es magnitud mas direccion), mientras que V se refiere a la magnitud sola-

mente (algunas veces, sin embargo, la magnitud se indicara por |F|). Un vector

unitario es un vector cuya magnitud es uno. Un vector F paralelo al vector uni-

tario u se puede expresar en la forma

F-mV. (3.1)

El negativo de un vector es otro vector que tiene la misma magnitud pero direc-

cion opuesta.

Si dos vectores F y V son paralelos entre si, se pueden escribir como V — uVy V = uV, donde el vector unitario es el mismo. De esta manera si x — V/Vpodemos escribir

F - xF'.

Reciprocamente, siempre que una ecuacion como la precedente valga para dos

vectores F y F', dichos vectores son paralelos.

3A Adicion de vectores

Para comprender la regla de adicion de vectores consideraremos primero el caso

de los desplazamientos. Si una particula se desplaza primero de A a B (Fig. 3-7),

lo que se representa por el vector dv y entonces de B a C, o d2 , el resultado es

equivalente a un desplazamiento unico de A a C, o d, el que escribimos simbo-

licamente como d = dx + d

2. Esta expresion no debe confundirse con d = d

x + d2 ,

que se refiere solamente a las magnitudes y no valen para este caso. El procedi-

miento se puede generalizar para cualquier clase de vectores. Por consiguiente

decimos que F es la suma de F2 y F

2si es que se obtiene como se indica en la

Fig. 3-8. Podemos tambien ver en la figura que la suma vectorial es conmuta-

tiva, siendo el resultado el mismo cualquiera que sea el orden en que los vectores

se sumen; esto es una consecuencia directa de la geometria del metodo. La rela-

cion geometrica de la Fig. 3-8 se expresa algebraicamente por

V=VX + F2

. (3.2)

Para calcular la magnitud de Fnotamos de la figura 3-9 que (AC)2 = (AD)2 -\-(DCf.

3J) Adicion de vedores 35

]

-2-

-1-

.

——

d = a

S"\te37

G

1 i 2i i i

3i

b

Fig. 3-6. El desplazamiento es unacantidad vectorial.

Fig, 3-7. Suma vectorial de dosdesplazamientos.

r,

(a) (I))

Fig. 3-8. La suma de vectores es conmutativa.

V] B V t cos 6

Figura 3-9

Pero AD = AB + BD = V2 + V

2cos y DC = V

2sen 0. Por consiguiente V2 =

= (Vx + V

2cos de 6)2 + (V

2sen 0)

2 = Vf + VJ + 2VXV2cos 6, 6

V = ]/ V? + Vj + 2^ cos 6, (3.3)

Para determinar la direction de V, necesitamos solamente hallar el angulo a.

En la figura vemos que el triangulo ACD, CD = AC sen «, y que en el trian-

gulo BDC, CD = BC sen 6. Por consiguiente V sen a = V2 sen 8 6

sen sen a

Analogamente, BE = V1sen a = V2 sen p 6

V2 . Vi

sen a sen p

"

Combinando ambos resultados, obtenemos la relation simetrica

sen 6 sen 3 sen a(3.4)

3.5) Componentes de un vector 37

Figura 3-12 Figura 3-18

Para encontrar el angulo entre C y A 9 aplicamos la ec. (3.4), que en este caso es

C Bsen y

de tal modo que

sen $

sen $ = B*en 144°

= 0,996 y 8 ^ 85°.

Por consiguiente C es = 4,128 unidades y tiene una direccidn que hace un angulode 36° + 85° = + 121° con el eje positivo X.

(b) Para encontrar la diferencia entre dos vectores, debemos saber, justamentecomo en la aritm&ica ordinaria, qu6 cantidad debe ser substratda de otra. Esto es,

si el vector D esta deflnido como A~ B (Fig. 3-14), entonces B— A es igual a — D.En esa forma, usando los enunciados de equivalencia de la parte (a) arriba, y de

la ec. (3.6), encontramos la magnitud D = A — B en la forma

D = V 36 + 49— 2(6) (7) cos 144° = 12,31 unidades.

Para encontrar la direccitfn de D, usamos la ec, (3.4)

:

D \—B\

sen 36° sen a

o, desde que|

— B|= B,

B sen 36°sen a —

D= 0,334

a = 19,5'^X

y asi resulta que D tiene 12,31 unidades de largo y Figura 3-14hace un Angulo de 36° — 19,5° = 16,5° con el ejepositivo X.

Se deja como ejercicio para el estudiante demostrar que — D = B — A tiene12,31 unidades de largo y hace un angulo de + 196,5° con el eje positivo X,

3.5 Componentes de un vector

Cualquier vector V puede siempre considerarse como la suma de dos (o mas)vectores, siendo el niimero de posibilidades infinito. A cualquier conjunto de vec-

tores que a! sumarse den V se les llama las componentes de V.

3.5) Componentes de un vector 31

*^x

Figura 3-12

—-X

Figura 8*18

Para encontrar el £ngulo entre C y A, aplicamos la ec. (3.4), que en este caso es

C Bsen y sen 8

de tal modo que

sen 8 = B se" 144°

= 0,996 y 8 ^ 85°.

Por consiguiente C es = 4,128 unidades y tiene una direccirtn que hace un angulode 36° + 85° = + 121° con el eje positivo X.

(b) Para encontrar la diferencia entre dos vectores, debemos saber, justamentecomo en la aritm^tica ordinaria, qu6 cantidad debe ser substraida de otra. Esto es,

si el vector D esta deflnido como A— B (Fig. 3-14), entonces B— A es igual a — D.En esa forma, usando los enunciados de equivalencia de la parte (a) arriba, y de

la ec. (3.6), encontramos la magnitud D = A— B en la forma

D = f 36 + 49 — 2(6) (7) cos 144° = 12,31 unidades.

Para encontrar la direcci6n de D, usamos la ec. (3.4)

:

D _ \~B\

sen 36° sen a

o, desde que |— B |

= B,

B sen 36°sen a =

a = 19,5*

D= 0,334

y asi resulta que D tiene 12,31 unidades de largo y Figura 3-14hace un dngulo de 36° — 19,5° = 16,5° con el ejepositivo X.

Se deja como ejercicio para el estudiante demostrar que — D = B — A tiene12,31 unidades de largo y hace un angulo de + 196,5° con el eje positivo X.

3.5 Componentes de un vector

Cualquier vector V puede siempre considerarse como la suma de dos (o mas)vectores, siendo el niimero de posibilidades infinito. A cualquier conjunto de vec-

tores que al sumarse den V se les llama las componentes de V.

38 Vectores (3.5

Las componentes mas comunmente usadas son las redangulares ; esto es, el

vector se expresa como la suma de dos vectores mutuamente perpendiculares

(Fig, 3-15). Entonces, como vemos en la figura, V = Vx + Vyf con

V, = V cos a Vy= V sen a. (3,7)

Deflniendo los vectores ux y uyen las direcciones de los ejes X e Y respec-

tivamente notamos que

Vx = OA= uxVXi Vy= OB = u

yVy

,

Fig. 3*15. Componentes rectangulares

de un vector en un piano.

Vw = V cos a

Fig, 3-16. Componentes de un vector

en una direcci6n determinada.

Por consiguiente tenemos

V = uxVx + uvVV rV*

(3.8)

Esta ecuaci6n expresa un vector en funci6n de sus componentes rectangulares

en dos dimensiones. Usando la ecuacion (3.7), podemos tambien escribir en vez

de la ecuacidn (3.8) V = uxV cos a + ugV sen a = V(ux cos a + u

ysen a). Al

comparar este resultado con la ecuacion (34), o simplemente al hacer V = 1,

Uegamos a la conclusi6n que un vector unitario puede escribirse como

u = ux cos a + ugsen a, (3.9)

Notemos que las componentes de un vector en una direcci6n particular son igua-

les a la proyecci6n del vector en aquella direcci6n (Fig, 3-16). Por la figura, vemos

que Vy = V cos a. Tambien de la Fig. 3-16, vemos que BC es la componente

de V perpendicular a la direccion AN, y podemos comprobar tambien que

VL = BC = V sen a. Asi

Hay tres componentes rectangulares en el espacio: Vx, Vy, Vz (Fig. 3-17). El

estudiante puede verificar en la figura que se calculan de acuerdo a

3.5) Componentes de un vector 39

Fig. 3-17, Componentes rectangulares

de un vector en tres dimensiones.

Lr\P{x,y t *)

Fig. 8-18, El vector posici6n.

Vx = V sen 6 cos<f>,

Vy= V sen 6 sen

<f>f

Vz = V cos 0,

por tanto, por c&lculo directo, tenemos que

Y* = v| + vi + VI

(3.10)

(3.11)

Definiendo tres vectores unitarios uXi uy, uz paralelos a los ejes X-, Y-f Z, res-

pectivamente, tenemos

V = uxVx + uuVu + uzVz (3,12)

Notese que si designamos con a y p los &ngulos que el vector V hace con los ejes

X- e Y, respectivamente, tambien tenemos, por similitud con la tercera de las

ecuaciones (3.10),

Vx = V cos a, Vy= V cos p.

Reemplazando estas dos relaciones y Vz = V cos 6 en la ecuaci6n (3.11), obte-

nemos la relaci6n

COS2 a + COS2 P + COS2 = 1.

Las cantidades cos a, cos p, y cos se llaman los cosenos directores de un vector.

Un ejemplo importante de un vector tridimensional es el vector position r=OPde un punto P con coordenadas (x, y, z). En la Fig. 3-18 vemos que

r = OP = UxX + uay + uzz. (3.13)

40 Vectores (3.5

EI vector position relativo de dos puntos Px y P2

es rn = ^Va (Fig* 3-19). En

la figura notamos que OP2= OP

1 + JVV de modo que

rn =PlP

t= QP

%— OP

1=rt

— rl

= ux(x2— x

t) + uM}z— i/i) + uz(z2

— zx).

(3.14)

Notamos que P%PX~P

YPr Deberia observarse que, al aplicar la ecuaci6n (3.11)

a la ecuacion (3.14), obtenemos la expresion de la geometria analitica para la

distancia entre dos puntos:

'21 = V(*2-3i)2 + G/2-yi)

2 + (^-^i)2

'

EJEMPLO 3.2. Encontrar la distancia entre los puntos (6, 8, 10) y (— 4, 4, 10).

Solucidn: Tracemos un sistema de ejes rectangulares e identifiquemos los dos puntos

(Fig. 3-20). Vemos que ambos puntos estan en un piano paralelo al piano XY, puesto

que ambos estan a una distancia (altura) de 10 unidades medidas segun la direcci6n Z.

Por la ec. (3.14), encontramos que el vector r21 es

r21= ttl(— 4 — 6) + My(4 — 8) + u^lO — 10)

- «*(— 10) + uu(— 4) + «,(0) = — u,(10) — u^4).

P2(-4,4, in)

T-Y

Figura 3-19 Figura 3-20

Usando la ec. (3.11), encontramos que la magnitud es

r*21 = 100 + 16 = 116 6 r21 = 10,77 unidades.

EJEMPLO 3.3. Hallar las componentes del vector de 13 unidades de largo que

forma un &ngulo de 22,6° con el eje Z, y cuya proyecci6n en el piano XY forma un

angulo<f>de 37° con el eje + X (cf. Fig. 3-17). Encontrar tambten los angulos con los

ejes X e Y.

3.6) Adicion de varios vectores 41

$oluci6n: Usando la Fig. 3-17 para este problema, decimos que

V = 13 unidades, 6 = 22,6°, cos 9 = 0,923,

sen 6 = 0,384, j> - 37°, cos * = 0,800, sen 4> = 0,600.

Una simple aplicaci6n de la ecuaci6n (3.10) da

Vx = 13(0,384) (0,800) = 4,0 unidades,

Vy = 13(0,384) (0,600) = 3,0 unidades,

Vt = 13(0,923) = 12,0 unidades.

En terminos de la ec. (3.12) podemos escribir:

F = ti*(4) + V3) + «<(12)

Para los ingulos ay p que F forma con los ejes X e Y, tenemos

cos a = -^ = 0,308 6 a = 72,1°

cos p = -^ = 0,231 6 p = 77°.

EJEMPLO 3,4. Expresar la ecuaci6n de una linea recta paralela al vector F == uxA -f uyB + uiC y que pasa por el punto P .

ZSolucidn: Designando por r el vector po-

sition de P (Fig, 3.21) y por r el vector

position de cualquier punto P en la recta,

tenemos a partir de la ec. (3.14) que P P —— r— r . Pero el vector PQP debe ser par

ralelo a F, y por consiguiente debemos es-

cribir PQP — XF, donde X es un parametroaun indeterminado. Entonces

r— rn = XF

Figura 3-21

es la ecuaci6n de la linea recta, al variar X, obtenemos los diferentes vectores de

position r. Separando la ecuaci6n en sus componentes rectangulares, tenemos

x - x = XA, y— y = XB, z — z = XC,

6

x — s _ y — t/o = z— z

A B C '

que es una de las formas usadas en la geometria analitica para expresar una linea recta.

3.6 Adicidn de varios vectores

Para sumar varios vectores Vv V2, F3 , . . ., extendemosel procedimiento indicado

en la Fig, 3-8 para el caso de dos vectores. El metodo para tres vectores se mues-

42 Vedores (3.7

tra en la Fig. 3-22. Esto es, dibujamos un vector despues de otro, indicando la

suma del vector por la linea que va del origen del primero al extremo del ultimo.

Entonces

B V =V1 + V2 +V3

+.... (3.15)

No existe una formula sencilla para expresar V en ter-

minos de Vv F2 , F3 , . . ., y es mejor utilizar el metodo

de componentes. Consideremos, por simplicidad, el caso

en que todos los vectores estan en un piano, de tal modo

que solamente tenemos que usar dos componentes.

Entonces

V = (uxVlx + uyVly) + (uxV%x + u

yV2y)

+ (WxVgx + UyV3y) + - - -

= Wx(Vlx + V2X + V3X + ...)

Fig. 3-22. Suma de

varios vectores.

Por consiguiente

vx = V1X + V2X + V3X +va = v1D + v2u + v3u +10 21/

ZfVfx = SfV^cos ai9

ZiViy = S^Vi sen a,,

(3.16)

donde az* es el &ngulo que V

xhace con el semieje positivo X y V* cos a* y V,- sen a

t

son los componentes de V\ a lo largo de los ejes X e Y. Una vez que conocemos

Vx y Vy , calculamos F, usando la ec. (3.5). Ilustramos ahora el procedimiento

con un ejemplo numerico.

EJEMPLO 3.5. Hallar el resultado de la suma de los siguientes vectores:

V1= ux(4) + uy{— 3) unidades, F

2= uz(

— 3) + "v(2) unidades,

F3= ua<2) + uy(— 6) unidades, F4 = uJJJ) + uy(— 8) unidades,

yF

fi

= ui(9) + uy(l) unidades.

Solucidn: Aplicando la ecuaci6n (3.16), tenemos

Vx = 4— 3 + 2 + 7 + 9 = 19 unidades,

Vj/ = — 3 + 2 — 6 — 8 + 1 = — 14 unidades,

6V = ux(19) — uy(14) unidades.

La magnitud de V es V = V(19)2 + (— 14)

2 = 23,55 unidades. Su direccidn se halla

a partir de tg a = VyIVx — — 0,738 6 a = — 36,4°, que es el angulo que V hace

con el eje X.

3.7 Aplicacidn a problemas de cinem&tica

Como una ilustracion de como trabajar con los vectores en situaciones fisicas

sencillas, consideremos ahora algunos problemas de cinematica. La unica supo-

3.7)ApLicacion a probiemas de cinematica 4d

sici6n fisica que necesitamos es el reconocimiento de que la velocidad es una

cantidad vectorial.

Supongamos, por ejemplo, que tenemos un bote moviendose con una veloci-

dad Vb relativa al agua. Si el agua esta quieta Vb es tambien la velocidad del

bote medida con relation a un observador en la orilla. Pero si el agua fluye a

una cierta velocidad, ello introduce un factor de arrastre que afecta a la velo-

cidad del bote. Asi la velocidad resultante del bote, medida por un observador

en la orilla, es la suma vectorial de la velocidad del bote Vb relativa al agua y la

velocidad de arrastre Vc debida a la corriente del agua. Esto es, V = Vb + V&Un razonamiento similar se aplica a los objetos que se mueven en el aire, tales

como los aeroplanos.

EJEMPLO 3.6. Un bote a motor se dirige hacia el norte

a 15 millas por hora en un lugar donde la corriente es de

5 millas por hora en la direction S 70° E. Encontrar la

velocidad resultante del bote.

Solucidn: Este problema se ha representado graficamente

en la Fig. 3-23, donde vB es la velocidad del bote, Vc la

velocidad de la corriente o arrastre, y V es la velocidad

resultante obtenida de

V = VB + Vc,

Esta relaci6n se basa en el hecho fisico de que la velo-

cidad resultante es la suma vectorial de la velocidad del

bote relativa al agua mas la velocidad de arrastre Vc de-

bida a la corriente. Figura 3-23

Analiticamente, como = 110°, tenemos

V = ]/l52 + 5a + 2(15) (5) cos 110° = 14,1 mi hr-\

lo que da la magnitud de la velocidad resultante. Para obtener la direcci6n, aplica-

mos la ec. (3.4),

Vc

sen 6 sen p

6 sen B = Vc sen 60,332

obteniendo p — 19,4°. De este modo se ve que el movimiento resultante es en la

direcci6n N 19,4° E.

ejemplo 3.7. Un bote a motor se dirige en la direction N 30° E a 25 millas porhora en un lugar donde la corriente es tal que el movimiento resultante es de 30 mi-llas por hora en la direcci6n N 50° E, Encontrar la velocidad de la corriente.

Solacion: Designando otra vez la velocidad del bote por VB , la velocidad de la co-

rriente por Vc, y la velocidad resultante por F, tenemos V = VB + Fc, de modo queF5 = V— VB . Los vectores V y VB han sido dibujados en la Fig. 3-24, asi como la

diferencia de ellos, lo que da Vc. Para calcular Vc, notamos que el angulo entreVY~ FB esdel60°. Asi

Vc = y30a + 252 + 2(30) (25) cos 160° = 10,8 mi hr-1.

44 Vectores(3.7

Flgura 3-24 Figura 8-26

Para obtener la direcci6n de Vc> obtenemos primero el ingulo a entre V y — VB >

usando la ecuacidn (3.4),

Vc

sen a sen 160°

,B

V sen 160° AAE «6 sen a = 0,951Vc

obteniendo a = 72°. Por consiguiente el Angulo con el eje SN es 72°— 30° = 42°,

y la direcci6n de Vc es S 42° E.

EJEMPLO 3.8. La velocidad de un aeroplano en aire tranquilo es de 200 millas porhora. Se desea ir de O a O', siendo la direcci6n de OO' N 20° W. El viento tiene unavelocidad de 30 millas por hora en la direcctfn N 40° E. Encontrar la direccidndel movimiento del avi6n y su velocidad resultante.

Soluddn: Designemos la velocidad del aeroplano por va y la del viento por F*. Lavelocidad resultante es, como antes,

V = Va + Vw ,

En este caso sabemos que V debe de tener la direcci6n OO'. Por lo tanto el vectorVa debe dibujarse de tal modo que cuando se sume a VWt la resultante est6 a lo largode OO'. Esto se ha hecho en la Fig. 3-25 dibujando un circulo de radio Y«, con elcentro en el extremo de Vw , y hallando la intersecci6n de este circulo con la Hnea 00\

Para proceder analiticamente, notamos que el angulo entre V y Vw es 20° + 40° == 60°. Por tanto, usando la ec. (3.4), obtenemos

Va V*

sen 60' sen a6 sen a = = 0,130

lo que da a = 7,8°. Por consiguiente, la direcclAn de F« debe ser N 27,8° W, El £n-gulo entre Va y Vw es 6 = 27,8° + 40° = 67,8°, y la magnitud de la velocidad re-sultante, usando la ec. (3.3), es

V - V200» + 30* + 2 x 200 x 30 cos 67,8° = 204 mi hr~l.

iEs posible que este problema tenga dos soluciones, o ninguna? Dejamos la respuestaal estudiante.

3.8) Produdo escalar 45

EJEMPLO 3.9. Hallar la aceleracidn de un cuerpo que se desliza a lo largo de un

piano inclinado en un angulo de 6.

Solucidn: Sea P (Fig. 3-26) el cuerpo que

se desliza a lo largo del piano AB sin fric-

ci6n. El piano AB est£ inclinado en unangulo 0. Si el piano no estuviera presente

el cuerpo caeria libremente a lo largo de

la vertical con la aceleraci6n debida a la

gravedad g — 9,8 m s-* (ver ejemplo 5.2).

Las componentes de g paralela y perpen-

dicular al piano (llamadas, respectivamen-

te, a y a*) estan dados por a = g sen 6 ( z -zzz^by a

f — g cos 8.

La componente a da la aceleracitin del Fig. 3-26. Aceleracidn a lo largo de

cuerpo a lo largo del piano. un piano inclinado.

"s*>Cf

f^z.J 1

d ^^^.

3.8 Produdo escalar

Es posible definir otras operaciones con vectores adem&s de la suma. Una de estas

operaciones es el producto escalar; otra es el producto vectorial.

El producto escalar de dos vectores Ay B, representado por el simbolo A*B(leer "A multiplicado escalarmente por B")» se define como la cantidad escalar

obtenida hallando el producto de las magnitudes de A y B con el coseno del An-

gulo entre los dos vectores,

A-B=AB cos 9. (3.17)

A+B=S,

Obviamente A*A = A2, ya que el Angulo en este caso es cero. Si los dos vectores

son perpendiculares (6 = tt/2), el producto escalar es cero. La condici6n de per-

pendicularidad se expresa por A • B == 0, El producto escalar esconmutativo;

esto es, A*B =B*A> ya que el coseno

de es el mismo en ambos casos. El pro-

ducto escalar es distributivo con respecto

a la suma; esto es

C-(A+B) = C<A+C*B. (3.18)

Para probar la propiedad distributiva,

notamos en la Fig. 3-27 que

C*(4 + B)=|C||il + B|cosY = C(0&),

Fig. 3-27. El producto escalar es dis

tributivo.

ya que|if + B\ cos y = Ob. Andlogamente, C

Q*B = CB cos p = C(ab). Sumando, obtenemos

A = CA cos a = C(Oa) y

C-A + C-B = C(Oa + ab) = C(Ob).

46 Vectores {3.8

Por consiguiente hemos probado la ecuacion (3,18). Los productos escalares entre

los vectores unitarios ux, uy, y uz son

y" (3.19)

Ux'Uy = tltf

B W* = Wz *Wo: = 0.

Escribiendo 4 y B en funcion de sus componentes rectangulares de acuerdo con

la ecuacion (3*12), y aplicando la ley distributiva (3.18), tenemos

AB = (uxA x + uyA

y + uzA z)-(uxBx + wtfB

ff+ uzBz)

= (ux -ux)AxBx + (ux -ug)AxBy + (ux *uz)AxBz

+ (u^-ttxJApB, + (uy -uy)A

yB

y + (u^u^ApB*

+ (uz -wx)A zBx + (u^w^A^By + (w^M£)A zB2,

Aplicando las relaciones (3.19), obtenemos finalmente

A B - AXBX + AyB

y + A,BZ, (3.20)

resultado que tiene muchas aplicaciones. Notemos que

A*=A-A=Al + Al + Al

lo que esti de acuerdo con la ecuacion (3.11).

Podemos aplicar las propiedades del producto escalar para derivar de manera

sencilia la formula (3.3) para la'suma de dos vectores. De V = F2 -f V2 > tenemos

V2 = (V, + V.HV, + V2)= V\ + VI + 2V

l-V

t

= V\ + V\ + 2VJ2cos 0.

Este resultado se puede extender sin dificultar a cualquier numero de vectores.

Supongamos que V =Vl-\-V

i-\- • = E(Vi. Entonces

V2 = (F1 + F2 + F3

+---)2

= V\ + V2 + V2 + ••• + 2V.-V, + 2Vl-Va

+ ... + 2V%>V3 + ..-,

o, en una notaci6n compacta,

V2 - 2 V] + 22 VrVhtodos los todos los

vectores pares

EJEMPLO 3.10, Encontrar el angulo entre los vectores A = 2«* + 3uy— uz yB = Us + uv + 2w*

SoEuctfn; Calculamos primero su producto escalar, usando la ecuaci6n (3.20):

AB = 2(- 1) + 3(1) + (- 1)2 = - 1.

3.9) Producto vectorial 47

Tambien

A = 1/4 + 9 + 1 = Vl4 = 3,74 unidades

B = ]/l +1+4=^6= 2,45 unidades.

por consiguiente de la ec. (3.17), tenemos

A-B 1cos 9 =

A nAB 9,17

lo que corresponde a 6 — 96,3°.

— 0,109,

EJEMPLO 3,11. Expresar la ecuacitfn de un piano perpendicular al vector V= uxA 4- uyB + uzC y que pasa por el punto P ,

Solucidn; Designando el vector position de

P por r (Fig. 3-28), y el vector position

de cualquier punto P del piano por r, ve-

mos que el vector

^P = r _r

debe ser perpendicular a V, Asi

F*(r— r ) =0

es la ecuaci6n que debe ser satisfecha por

los vectores posici6n r de todos los puntos

del piano. Usando la ecuacidn (3.20), po-

demos escribir

A(x — x ) + B{y — // ) + C(z — z ) - 0,

que es la forma en la cual se expresa usual-

mente la ecuaci6n del piano en geometrla Fig. 3-28. Ecuaci6n vectorial de unanalitica. piano.

3*9 Producto vectorial

El producto vectorial de dos vectores A y B, representado por el simbolo 4xB(leer "A multiplicado vectorialmente por B"), se define como el vector perpen-

dicular al piano determinado por A y B en la direcci6n de avance de un tornillo

de rosea derecha que ha sido rotado de A hacia B (Fig. 3-29). Un tornillo de rosea

derecha es aquel que, si colocamos nuestra mano derecha como se muestra en

la (Fig. 3-29), con los dedos senalando en la direcci6n de la rotaci6n, el tornillo

avanza en la direccion del pulgar. La mayoria de los tornillos ordinarios son de

rosea derecha.

La magnitud del producto vectorial A x B esta dada por

AxBl = ABsen 0. (3.21)

Otra regla sencilla util para establecer la direccion de A x B es la siguiente:

Colocar el pulgar, indice y el dedo mayor de la mano derecha en la position mos-

48 Veclores (3.9

Fig. 3-29. Relaciones vecloria- Fig. 3-30. Regla de la mano dere-

les en el producto vectorial. cha para el producto vectorial.

trada en la Fig. 3-30. Si el indice y el dedo mayor apuntan en las direcciones

de A y B, respectivamente, el pulgar apunta en la direction de A x B. En rea-

lidad la regla es mas general, y los vectores A, B t y A x B pueden ser asignados

sucesivamente a los dedos empezando por cualquiera de ellos, siempre que se

mantenga el siguiente orden ciclico.

Pulgar

IndiceDedo

mayor

De la definici6n del producto vectorial, llegamos a la conclusion que

Ax B Bx A, (3.22)

ya que el sentido de rotation del tornillo se invierte cuando el orden de los vec-

tores se cambia, de modo que el producto vectorial es anticonmutativo. Si dos

vectores son paralelos, 9 = 0°, sen 9 = 0, y el producto vectorial es cero, Por

consiguiente la condici6n del paralelismo puede expresarse por A*B=Q. Ob-

viamente A x A — 0.

N6tese que la magnitud del producto vectorial es igual al area del paralelo-

gramo formado por los vectores, o es igual al doble del &rea del triangulo formado

con su resultante. Esto puede verse como sigue (Fig. 3-31). La magnitud de

ixfies AB sen 6. Pero B sen 6 = A, donde h es la altura del paralelogramo

formado con A y B como lados. Asi

A x B\ — Ah — £rea del paralelogramo*

El producto vectorial es distributivo con relacion a la suma; esto es,

Cx(4 + B) = Cxi + CxB, (3.23)

3.9)Producto vectorial 49

AxB

Fig. 8-81. El producto vectorial Fig* 3-32. El producto vectorial

es equivalente al area del parale- es distributive

logramo deflnido por los dos vec-

tores*

La demostraci6n cuando los tres vectores son coplanares es muy simple. En este

caso (Fig. 3-32) los tres productos vectoriales que aparecen en la ec. (3.23) son

perpendiculares a la p&gina de este libro, y s61o es necesario verificar la ec. (3.23)

para estas magnitudes. Sin embargo

|C x (A + B)\ -

jC\\A + B\ sen T = C(Ob).

Similarmente,

|C x A\ = CA sen a = C(Oa);

\C x jff| =* CB sen p = C(ab).

Al sumar, obtenemos

C*A\+\CxB]= C(Oa + ab) = C(Ob).

Por consiguiente la ec. (3.23) ha sido probada tanto para la magnitud como para

la direction. La prueba en el caso general de tres vectores en el espacio, es and-

loga, pero algo compleja.*

Los productos vectoriales entre los vectores unitarios, ux> ur uz son

Ux X uy= -w

HX Ux

__. Uz ,

UyX ut

= — uz X U&= UX9

ux X Ux = — Ux X ut= My,

Ux X Ux = UyX uu

Uz X Uz

(3.24)

= 0,

* Para una prueba general, ver G. B. Thomas, Cdlculo infinitesimal y geometria analitica, terce-

ra edici6n; Madrid: Aguilar, 1964, Secci6n 13-4,

50 Vectores (3.9

Escribiendo iyBen funcion de sus componentes rectangulares, de acuerdo a la

ec. (3.12), y aplicando la ley distributiva (3.23), tenemos

A x B = (uxA x + UyAy + uzA z)x

(UxBx + (uyB

y + uzBz)

= (Mi x ux)AxBx + (ux x uy)AxBy -f (wa. x MZ)AXBZ

+ (ugx ux)AgBx -\- (u

gx ug

)AyBy + (m„ x uz)AyBz

+ («, x ux)A zBx + (u2 x m„)Az B(, + (u, x mz)A,B2 .

Aplicando las relaciones (3.24), tenemos finalmente

Ax B = u*{AyBz— A ZBV) + uv(A zBx— AXBZ)

+ uz(AxBy- A

yBx). (3.25)

La ec. (3.25) tambien se puede escribir en la forma mas compacta de determinante,

(3.26)

Ux Ug uz

4xfi = Ax Av

A z

Bx *. Bz

Nota sobre los determinanten, Un determinante es una notaci6n conveniente paradesignar cantidades que han sido combinadas en cierta forma simetrica. Un deter-

minante de segundo orden es un arreglo de 2 x 2 mimeros evaluados de acuerdoa la regla:

«1 «2

h b2

axb% — ajb^

N<5tese que lo que hacemos es multiplicar a lo largo de las diagonales y sustraer.

Un determinante de tercer orden es un arreglo de 3 x 3 numeros evaluados de acuer-

do a la regla:

<h aa «3 h *3 b, »i *i h

&i h h = «1 + a2 + a3

Cl c* c, c2 c8 c3 Cl Ci ct

N<Jtese el orden en que las columnas aparecen en cada termino. El estudiante puedeverificar que al aplicar esta regla a la ec. (3.26), obtendra la ecuaci6n (3.25). Paramayor informaci6n en determinantes, el estudiante debe consultar G. B. Thomas,Cdlculo infinitesimal y geometria analitiea, tercera edicitin; Madrid: Aguilar, seccio-

nes 8-1 y 8-2.

EJEMPLO 3.12. Hallar el area del paralelogramo determinado por los vectores

A = 2Ux + 3Uy Ut y B = UX -f uy + 2uz.

Soluddn: Calculemos primero el producto vectorial de A y B, usando la ecuacidn

(3.26):

Ux Uy UZ

A * B ^ 2 3 —1— 1 1 2

= 1UX 3Uy -f 5U£ .

3.W Representation vectorial de an Area 51

Luego el irea del paralelogramo es justamente la magnitud de A x jj, o

Area = | -A x B\ = V49 + 9 + 25 = 9,110 unidades.

EJEMPLO 3*13. Hallar la distancia del punto P (4, — 1, 5) a la linea recta que pasa

por los puntos Px (— 1, 2, 0) y Pt (1, 1, 4).

Solucidn: La geometrla del problema ha sido ilus-

trada en la Fig. 3-33. Se ve que d = PtP sen 6. In-

troducimos los vectores

A = P^P y B = PtPtt

de modo que, usando la ec. (3,14), obtenemos

A = PXP = 5«*— 3% + 5u«,

B = PJ>t= 2tt*— Ujr + 4m*

Vemos entonces que

AB sen 6 [4 x b\d = A sen e =

B B Flgura 8-88

De modo que, usando la ec. (3.26) para calcular el producto vectorial de A x B,

obtenemos

A x B =u* Wy Ml

5 —3 5

2 —1 4

= —7ttjf— lOtt, + ltta

Entonces [ it x b| =_^_49 + 100 + 1 = ]/ 150 = 12,25, y ya que B =

= V 4 + 1 + 16 = V21 = 4,582, obtenemos

d = J±A£L = 2.674.

3*10 Representaei&n vectorial de una superficie

En la discusi6n relacionada con la Fig. 3.31, indicamos que el producto vectorial

A x B es igual en magnitud al Area del paralelogramo cuyos lados estAn definidos

por los vectores Ay B. Ello sugiere la posibilidad de asociar un vector con una

superficie.

Consideremos la superficie plana S (Fig. 3-34) cuya periferia L esU orientada

como lo indica la flecha. Adoptaremos la convenci6n de representarla por un

vector S, cuya magnitud es igual al Area de la superficie y cuya direcci6n es per-

pendicular a la superficie. El sentido del vector es aquel en el cual avanza

un tornillo de rosea derecha cuando su cabeza se gira en el sentido de orientaci6n

de la periferia.

Las componentes de S tienen un significado geom&rico simple. Supongamos

que el piano de la superficie S hace un Angulo 6 con el piano XY (Fig. 3-35). La

52 Vectores (3.10

proyecci6n de 5 en el piano XY es S cos 9. Pero la normal al piano de la super-

ficie tambien forma un angulo 6 con el eje Z. Por consiguiente, la componente Zdel vector S es Sz — S cos 6. Luego concluimos que las componentes de S a lo

largo de los ejes coordenados son iguales a las proyeccio-

nes de la superficie en los tres pianos coordenados*

Si la superficie. no es plana siempre puede ser posible

dividirla en un mimero muy grande de pequeiias areas

(figura 3-36) cada una de las cuales es pricticamente

plana, y representarla por un vector S(. De ese modoel vector que representa la superficie curva es

8 = &i + S2 + Sz + • • • = Ei S^

En este caso la magnitud de S no es igual al drea de la

superficie curva, la que es HiSc, sin embargo, las magni-

tudes de sus tres componentes son iguales a las Areas de

las proyecciones de la superficie en los tres pianos coor-

denados.

Por ejemplo, consideremos un terreno, que sea en parte

horizontal y en parte este en una ladera de una colina,

como se indica en la Fig, 3-37. Si Sx y S2 son las Areas de

cada parte, el area total del terreno usable para la agricul-

tura es Sx + S

2. Sin embargo, si el terreno debe ser usado

para un edificio, lo que realmente es util es la proyeccion del terreno en unpiano horizontal, esto es S

x + S2 cos 0. El vector S = St-\- S2 que representa

el terreno, tiene una magnitud

Fig. 3-84. Represen-

taci6n vectorial de

una superficie.

S = y S\ + Si + 2SXS2 cos 6,

que esmis pequena que Sx + S2 . Pero su componente a lo largo del eje vertical

Z es Sz = Sx + S

2cos 0, de acuerdo con la proyeccion del terreno en el piano

horizontal XY.

Fig. 3-35. Proyecci6n de una superficie Fig. 3-86.

en un piano. cies.

Suma vectorial de superfi-

Bibliografia 53

r-^.

Figura 3-37

=Si+&2cos e

Fig. 3-38. Una superficie cerrada esta

representada por un vector nulo.

Finalmente, consideremos una superficie cerrada, como se muestra en

la Fig. 3-38. Dividamos esta superficie en pequeiias superficies planas, cada una

de ellas representada por un vector Si en la direcci6n exterior. Podemos siempre

tomar las pequeiias dreas en pares tales que su proyecci6n sea cero. Por ejemplo,

en la Fig. 3-38, las dos &reas Sx y S

2tienen la misma proyeccion en el piano XY,

pero con signos opuestos. Por consiguiente, S1Z = ay S2Z = — a. Sumando dichos

pares obtenemos S£= £iS(z = 0. Con el mismo argumento vemos que este re-

sultado tambien es vdlido para las componentes de S ~ ZtSt a lo largo de los

otros dos ejes. Por consiguiente, S = 0, o lo que es lo mismo, el vector que repre-

senta una superficie cerrada e$ cero.

Bibliografia

1. Vectors, A Programmed Test Jor Introductory Physics. New York : Appleton-

Century-Crofts, 1962

2. Elementary Vectors, por E. Wolstenholme. New York : Pergamon Press, 1964

3. Mechanics (segunda edicitin), por K. Symon. Reading, Mass. : Addison-Wesley,

1964, sees. 3-1 y 3-3

4. Physical Mechanics (tercera edicidn), por R. Lindsay, Princeton, N.J. : Van Nos-

trand, 1963, sec. 1-3

5. Vector Mechanics, por D. Christie. New York : McGraw-Hill, 1964

6. Introduction to Engineering Mechanics, por J. Huddleston. Reading, Mass.

:

Addison-Wesley, 1961, caps. 2 y 7

7. The Feynman Lectures on Physics, vol. I, por R. Feynman, R. Leighton y M. Sands.

Reading, Mass. : Addison-Wesley, 1963, cap. 11

54 Vedores

Probletnas

3.1 Dos vectores de 6 y 9 unidades de

longitud, forman un angulo entre ellos

de (a) 0°, (b) 60°, (c) 90°, (d) 150° y(e) 180°. Encontrar la magnitud de su

resultante y su direcci6n con respecto al

vector mas pequeno.

3.2 Encontrar el angulo entre dos

vectores de 10 y 15 unidades de longitud,

cuando su resultante tiene (a) 20 unida-

des de longitud y (b) 12 unidades de

longitud. Dibujar la figura apropiada.

3.3 Dos vectores forman un angulo de

110°. Uno de ellos tiene 20 unidades de

longitud y hace un angulo de 40° con

el vector suma de ambos. Encontrar la

magnitud del segundo vector y la del

vector suma,

3.4 El vector resultante de dos vec-

tores tiene 10 unidades de longitud y hace

un angulo de 35° con uno de los vectores

componentes, el cual tiene 12 unidades

de longitud* Encontrar la magnitud del

otro vector y el angulo entre ellos.

3.5 Encontrar el angulo entre dos vec-

tores de 8 y 10 unidades de longitud,

cuando su resultante forma un angulo

de 50° con el vector mayor. Calcular tam-bi6n la magnitud del vector resultan-

te.

3.6 El vector resultante de dos vecto-

res tiene 30 unidades de longitud y hace

angulos de 25° y 50° con ellos. Hallar la

magnitud de los dos vectores.

3.7 Dos vectores de 10 y 8 unidades

de longitud, forman entre si un angulo

de (a) 60°, (b) 90° y (c) 120°. Encontrarla magnitud de la diferencia y el angulo

con respecto al vector mayor.

3.8 Encontrar los componentes rectan-

gulares de un vector de 15 unidades de

longitud cuando 6ste forma un angulo,

con respecto al eje positivo de las X,de (a) 50°, (b) 130°, (c) 230° y (d) 310°.

3.9 Tres vectores situados en un piano,

tienen 6, 5 y 4 unidades de longitud.

El primero y el segundo forman unangulo de 50°, mientras que el segundo

y el tercero forman un angulo de 75°.

Encontrar la magnitud del vector resul-

tante y su direcci6n con respecto al

vector mayor.

3.10 Dados cuatro vectores coplana-

res de 8, 12, 10 y 6 unidades de longitud

respectivamente; los tres liltimos hacencon el primer vector angulos de 70°, 150°

y 200°, respectivamente. Encontrar la

magnitud y la direccidn del vector re-

sultante.

3.11 Un aeroplano viaja de A siguiendo

la direcci6n del norte hacia B, y luego

retorna a A. La distancia entre A y Bes L. La velocidad del avidn en el aire

es* v y la velocidad del viento es v\

(a) Demostrar que el tiempo necesario

para un viaje de ida y vuelta en aire

quieto, v' = 0, es ta = 2L/u. (b) Demos-trar que el tiempo necesario para unviaje de ida y vuelta cuando el viento

corre hacia el este (u oeste) es

t* = UlVl — {V*/ifi).

(c) Demostrar que el tiempo necesario

para un viaje de ida y vuelta cuando el

viento corre hacia el norte (o sur) es

U = Ull — (v*IP). (d) iQu6 posibilidad

existe de que se realicen los viajes (b) 6

(c) cuando v' = vl Para un v' dado,

£cual tiempo es mayor h 6 id

Figura 3-39

3.12 La bandera situada en el mastil

de un bote a vela flamea haciendo unangulo de 45°, como se muestra en la

Fig. 3-39, pero la bandera situada en unacasa a la orilla se extiende 30° al suroeste.

(a) Si la velocidad del bote es de 10 kmhr _1 calcular la velocidad del viento.

(b) Encontrar la velocidad aparente del

viento para un observador situado sobre

el bote.

Problemas 55

3.13 Demostrar que si las magnitudes

de la suma y la diferencia de dos vec-

tores son iguales, entonces los vectores

son perpendiculares.

3.14 Demostrar que si la suma y la

diferencia de dos vectores son perpen-

diculares, los vectores tienen magnitudes

iguales.

3.15 Veriflcar que las magnitudes de la

suma y la diferencia de dos vectores A yB, expresadas en coordenadas rectangu-

lares, estan dadas por:

S = [(A* + Bxy + (Ay + By)* ++ (A, +W1

D = [(A*— B*)» + (Ay— By)* ++ (A,-

W

respectivamente.

3.16 Dados los vectores

A = uz(3).+ wy(4) + uK— 5)

yB = «*(— 1) + Uy(l) + tt^2).

Encontrar: (a) la magnitud y direction

de su resultante, (b) la diferencia, de su

vector A — B, y (c) el angulo entre

Ay B.

3.17 Encontrar el resultado dela sumade los siguientes vectores:

(a) V^utf) +Uy(—2)+Ui,(b) F, = ux(—3)+ uy(l) + tt^- 7),

(c) Fs= Wx(4) + Uy(l) + «.(6).

Obtener la magnitud de la resultante

y los £ngulos que hace con los ejes X-f

Y-, y Z-.

3.18 Dados los vectores:

(a) V, = Ux(—1) + uy(3) +w^4),

(b) F, = ux(3) + u^— 2) + ut—8),(c) F

3= ttl(4) + uy(4) + w^4)

(a) Determinar por c&Iculo directo si hayalguna diferencia entre los productos

5 * (^ * ^a) y (f, * vt) * vv (b)

Encontrar Vt-(Vt x f,) y (V

t*V^V

%

y determinar si hay alguna diferencia.

Calcular (F8x FJ • V

s y comparar este

resultado con los dos anteriores.

3.19 Expresar V1(Vt x f^) en forma de

determinants A partir de ella derivar

sus propiedades de simetria; esto es,

F.-F, xF3= F3 .F1

xFl

Demostrar que el valor del producto

triple escalar es igual al volumen del

paraleleplpedo formado por los tres vec-

tores.

3.20 Demostrar que:

Vxx (F, x F8)

= (V^VjVt-^-VjVs.

Sugerencia ; Colocar el eje X a lo largo

de Fs y el eje Y de modo que Vt se

encuentre en el piano X Y, y veriflcar la

relaci6n por expansi6n directa.

3.21 Encontrar la distancia entre los

puntos Px (4, 5, — 7) y Pt (— 3, 6, 12).

Escribir tambten la ecuaci6n de la Hnea

recta que pasa por los puntos.

3.22 Encontrar la distancia del punto

P(4, 5, — 7) a la recta que pasa por el

punto Q(— 3, 6, 12) y es paralela al

vector F = u»(4) — «*(1) + w*(3). En-

contrar tambi6n la distancia del punto Pal piano que pasa por Q y es perpendicu-

lar a F.

3.23 Demostrar que la distancia entre

la recta que pasa por Px y es paralela

a Fj y la recta que pasa por P, y es

paralela a Ft es

Pj.-F.x F,/lF1 xFt|.

Nota : La distancia entre dos Kneas que

no se cortan se define como la longitud

de la perpendicular mis corta a ambas

lineas. Desarrollar el resultado anterior,

utilizando las coordenadas de Pi y P,

y las componentes de Vx y F

8. Aplicar

al caso cuando Pj(4, 5, — 7), Pt(— 3,

6, 12), Vx= «x + uy + u, y Fj = u*

(—2) + «* + t*(3).

3.24 Dados una recta que pasa poi

P(4, 5, — 7) paralela slVx= u*(— 1) +

+ uy(2) + «*(— 4) y un piano a trav&

de Q(— 3, 6, 12) y perpendicular a

Vt= ux + uy(— 1) + tt^2). (a) Escri-

bir las ecuaciones respectivas en coorde-

nadas rectangulares. (b) Encontrar el

punto de interseccidn de la recta y el

piano, (c) Hallar el Angulo entre la

linea y el piano.

66 Vectores

3.25 Encontrar la ecuaci6n de la recta

que pasa por P(4, 5, — 7) y es paralela

a la intersection de los pianos 3x— 2y +-f 5z = 10 y x + y— 2 = 4. Encon-trar tambten la ecuaci6n de la intersec-

tion.

3.26 Demostrar que si (Vlrv

t y F3 su-

man cero, entonces Vxx v

z= V

3x

x vt= v%

x vv De estas relaciones, ob-

tener: Vj/sen V2 V8 = V,/sen V8 Vi == V

3/sen< Vl

V2 , donde< ViV) signiflca

el angulo entre los vectores F< y Vj.

3.27 Demostrar que si dos vectores

tienen la misma magnitud V y hacenun angulo 6, su suma tiene una magnitudS = 2 V cos 1/26 y su diferencia D == 2V sen 1/26.

3.28 Utilizando las componentes de 1^

y V, expresadas en coordenadas es!6ri-

cas (ec» 3.10) demostrar que el angulo

entre los vectores puede encontrarse a

partir de cos 8U = sen 8! sen S cos (^——4>t) + cos 8X cos 8a, donde 8U es

el angulo entre los vectores. Este resul-

tado es de gran uso en calculos astronO-

micos. Adoptar este resultado para obte-

ner el angulo entre las verticales en SanFrancisco (latitud: 37° 45' N; longitud:

122° 27' W) y New York (latitud: 40°

40' N; longitud: 73° 50' W). Verificar su

respuesta con aqu£lla del problema 2.17.

3.29 Dado el conjunto de 3 vectores

nocoplanares oj, «4, a3 , los vectores

,i _

a3 =

a3 =

«2 X «3

<h-«2 x as

a3x

<h

«i'«i x a3

<h x «s

«l'«j x o3

se denominan vectores reciprocos. Demos-trar que a*»a« = 1 y que a^aj =donde i y / toman los valores 1, 2 t 3.

Discutir la disposition geomStrica de los

vectores reciprocos a1, a*

fa3 en relaci6n

con <*!, Oj, a3 .

3.30 Demostrar que cualquier vector Vpuede escribirse en cuaiquiera de estas

dos formas

V = (V'a^ + (V-a*)^ + {^-a3)a3

V = (V'aja1 + (F*Oj)o« + (V*az)a*

= Zi(V<ot)aK

3.31 Denominando F*«k = V< y V* == V*a{

las componentes covariantes y con-

travariantes de vf y

gti = araj, gli = o*-^,

demostrar que

yV* = ^ViV* - ZvViVig*

Estas relaciones son muy importantes

en calculos vectoriales con coordenadas

oblicuas, y son especialmente utiles en

ffsica del estado sOlido en el tratamiento

de la estructura cristalina de los sOlidos.

3.32 Demostrar que

al *a% x «» — l/Oj-flj x o3 .

3.33 Demostrar que r = as* + bs + c

(donde o, bye son vectores constantes

y s una variable escalar) representa unaparabola situada en el piano formadopor los vectores ay by que pasa por unpunto cuyo vector posici6n es c

3.34 Demostrar que un vector unitario

en tres dimensiones puede expresarse

como

u = ux cos a + uy cos p + ut cos 8,

donde los angulos a, p y 8 estan deflnidos

en la Fig. 3-17.

3.35 Utilizando el hecho de que el vec-

tor que representa una superflcie cerrada

es cero, demostrar que dos superficies

que tienen la misma linea cerrada comocontorno estan representadas por el

mismo vector.

3.36 Una superflcie abierta esta limi-

tada por un triangulo con vertices en

(0, 0, 0), (2, 0, 0) y (0, 2, 0). Esta cons-

tituida por tres superficies triangulares

teniendo cada una de ellas un lado coin-

cidente con los lados del triangulo y un

v&tice comiin en el punto (a, b, c). De-

mostrar que el vector que representa

la superflcie completa es independiente

Problemas 57

de (a» b 9c). jSe esperaba este resultado

en vista del problema 3.35?

3.37 Un tetraedro es un s61ido limitado

por cuatro superficies triangulares. Con-

siderar el tetraedro con vertices en los

puntos (0,0,0), (2,0,0), (0,2,0) y(1,1,2). Encontrar: (a) el vector que

representa cada cara; (b) el vector que

representa todo el tetraedro; (c) la mag-

nitud de la superflcie del tetraedro.

^Esperaba Ud. obtener el resultado ob-

tenidoen(b)?

3.38 Utilizando metodos vectoriales,

encontrar: (a) la longitud de las diago-

nals de un cubo; (b) sus angulos con

los lados adyacentes; (c) sus angulos

con las caras adyacentes; (d) el angulo

entre las diagonales.

3.39 Las caras de un tetraedro regular

son triangulos equilateros de lado a.

Encontrar, utilizando metodos vecto-

riales, el angulo que hace cada lado conla cara opuesta y la distancia de un ver-

tice a la cara opuesta.

4

FUERZAS

4.1 Introduction

4.2 Composition de fuerzas concurrentes

4.3 Torque de una fuerza

4.4 Torque de varias fuerzas concurrentes

4.5 Composition de las fuerzas aplicadas a un cuerpo rigido

4,6 Composition de las fuerzas coplanares

4.7 Composition de las fuerzas paralelas

4.8 Centro de masa

4.9 Estdtica. Equilibrio de una particula

4.10 Estdtica. Equilibrio de un cuerpo rigido

4mg) Composition de fuerzas concurrentes 59

4.1 Introduccidn

Un uso importante del Algebra vectorial es su aplicaci6n en la composici6n de

fuerzas. La defmici6n precisa de fuerza se analizar& en el capitulo 7, donde dis-

cutiremos la dinimica del movimiento. Sin embargo, para ganar mayor habilidad

en la manipulaci6n de los vectores, estudiaremos ahora la composici6n de fuerzas,

y en particular el equilibrio de ellas, un problema de gran aplicacion en ingenieria,

Supondremos por el momento una noci6n intuitiva de fuerza, derivada de

nuestra experiencia diaria, tal como la fuerza necesaria para empujar o halar un

peso dado, la fuerza ejercida por ciertas herramientas, etc. Esta noci6n intuitiva

sugiere que la fuerza es una cantidad vectorial con magnitud (o intensidad) ydireccidn. La experiencia confirma que las fuerzas se combinan de acuerdo a

las reglas del algebra vectorial. En este capitulo consideraremos fuerzas aplicadas

solamente a masas puntuales o particulas y cuerpos rigidos.

En el sistema MKSC, la unidad de fuerza es el newton (abreviado N), el cual

se definirA en la secci6n 7.8* En este capitulo, sin embargo, expresaremos la fuerza

tambien en otras unidades, tales como el kihgramo-fuerza (kgf), la librarfuerza

(lbf), el poundal (pdl), y la tonelada (T), Estas unidades, de uso frecuente en

ingenieria, tienen las siguientes equivalencias con el newton:

1 kgf = 9,8 N, 1 lbf = 0,46 kgf at 4,45 N,

1 pdl = 0,031 lbf « 0,138 N, 1 T = 2000 lbf » 8900 N.

Es costumbre en ingenieria, cuando se hace referencia a libras-fuerza y a kilo-

gramos-fuerza, decir simplemente "libras" y "kilogramos", aunque estos ter-

minos realmente corresponded a unidades de masa.

4Ji Composici&n de fuerzas concurrentes

Si las fuerzas son concurrentes (es decir, si est&n aplicadas en el mismo punto),

su resultante es el vector suma, obtenido de acuerdo al m6todo explicado en

la seccidn 3.6. Por lo tanto, la resultante R de varias fuerzas concurrentes

Fv F* &v • • es

R = Fx + F% + Fi+...= ZFi. (4.1)

Si las fuerzas son coplanares, por ejemplo en el piano XY, tenemos, en vista

de la ec. (3.16), que R = uxRx + u^R^ donde

R% = £Fix = ZFtcos *u R

ff= ZFig = SFt sen Of. (4.2)

La magnitud de R es R —]fR* + it*, y su direccidn estA dada por el Angulo a.

niediante la relaci6n tg a = RyjRx. Debemos suponer que la resultante R es

frsicamente equivalente a las componentes Fv F2, F& ....

60 Fuerzas (4.3

EJEMPLO 4.1. Encontrar la resultante de las siguientes fuerzas que actuan enun cuerpo en el punto O (Fig. 4.1). La fuerza F

t es de 1200 lbf, la fuerza Ft de 900 lbf,la fuerza Fs de 300 lbf, y la fuerza F4 de 800 lbf. Las directories se indican en laflgura.

Sofucidn; En primer lugar expresaremos cada fuerza en funcidn de sus componentesa lo largo de los ejes X e Y, utilizando en cada caso el angulo entre el eje positive*de las X y la fuerza. Por consiguiente

Fx = u*(1200) lbf,

F% = ux {Ft cos 40°) + uv (Fi sen 40°) = «* (689,4) + a, (578,5) lbf,

F3 = Ux (Fs cos 120°) + «„(/?» sen 120°) = u*(—150) + «* (259,8) lbf,

F, = w*(F,cos230°) +.u*(F4 sen230o)=M— 514,2) + m^(— 612,8) lbf.

Luego, ya que R = F1 + F

t + F3 + F4t tenemos

Rx = 1200 + 689,4 — 150 — 514,2 = 1225,2 lbf,

Ry = + 578,5 + 259,8— 612,8 = 225,5 lbf,

o R = ux (1225,2) + ux (225,5) lbf, por lo tanto la magnitud y la direcci6n de la fuer-za son R = 1245,4 lbf y a = 10,4°*

Figura 4-1 Fig. 4-2. Torque de una fuerza.

4.3 Torque de una fuerza

Consideremos una fuerza F que actiia en un cuerpo C que puede rotar alrededor

del punto O (Fig. 4-2). Si la fuerza no pasa por 0, el efecto total ser& la rotaci6n

del cuerpo alrededor de O* Nuestra experiencia diaria sugiere que la efectividad

en la rotation de F aumenta con la distancia perpendicular (denominado brazo de

palanca) b — OB desde O a la linea de accidn de la fuerza. Por ejemplo, cuandoabrirnos una puerta, siempre empujamos o halamos lo m&s lejos de las bisagras

e intentamos conservar la direction de nuestro empuje o acci6n perpendicular

a la puerta. Esta experiencia nos sugiere la conveniencia de definir una cantidadfisica t que Uamaremos torque o momenlo de una fuerza, de acuerdo a la relaci6n

t = Fb, (4.3)

4.3) Torque de una fuerza 61

o torque = fuerza x brazo de palanca. Por este motivo, el torque

de una fuerza debe expresarse como el producto de una unidad de fuerza por

una unidad de distancia* Asi, en el sistema MKSC el torque de una fuerza se

expresa en newton-metro o Nm. Sin embargo* tambien se usan otras unidades

tales como kgf m o Ibf pie.

Notando de la figura que b = r sen

podemos escribir tambien

Fr sen 8. (4.4)

Comparando esta ecuaci6n con la

ec. (3*21), Uegamos a la conclusion que el

torque de una fuerza puede considerarse

como una cantidad vectorial dada por el

producto vectorial

t = r x Ft (4.5)Fig. 4-8. Relation vectorial entre el

torque, la fuerza y el vector position.en el cual r es el vector posici6n, con res-

pecto al punto 0, del punto A en el cual

actua la fuerza. De acuerdo a las propiedades del producto vectorial, el torque

de una fuerza est6 representado por un vector perpendicular tanto a r como a F;esto es, perpendicular al piano que forman r y Ft y dirigido en el sentido de avance

de un tornillo de rosea derecha rotado en el mismo sentido que la rotation pro-

ducida por F alrededor de 0. Esto se indica en la Fig. 4-3.

Recordando que r = UxX + uyy + utz y que F = u^Fx + ugFy + uzFx obte-

nemos, aplicando la ec. (3.26),

T =u* uv ut

X y z

Fx F, Fz

= Ux (yFt— zF„) + uB (zFx— xFt) +

+ ux (xFu— yFx); (4.6)

6 tx = yFx— zFy, xv= zFx— xFt y t,= xF

v— yF^. En particular, si tanto

r como F se encuentran en el piano XY, z = y Ft = 0, entonces

t = v^ (xFu— yFx), (4.7)

y este torque de la fuerza es paralelo al eje Z, como se ilustra en la Fig. 4-4. Enmagnitud, tenemos

x=xFg— yFx. (4-8)

N6tese que una fuerza puede desplazarse a lo largo de su linea de action sin

cambiar el valor de su torque ya que la distancia b permanece invariable. De^te modo cuando x e g son arbitrarios, la ec. (4.8) expresa la ecuaci6n de la

linea de acci6n de la fuerza cuyo torque es t.

62 Fuerzas (4.4

EJEMPLO 4.2. Determinar el torque de una fuerza aplicado al cuerpo de la Fig* 4-5,

cuando F es 6 N y hace un angulo de 30° con el eje X y r mide 45 cm haciendo unangulo de 50° con el eje positivo de las X. Hallar tambien la ecuaci6n de la llnea deaccidn de la fuerza.

Soluci6n: Podemos proceder de dos maneras diferentes. Como primer metodo, ob~servando la figura vemos que el brazo de palanca de F (ya que r = 45 cm = 0,45 m)es b = r sen 20° = (0,45 m) (0,342) = 0,154 m. Luego el torque alrededor de O es:

x = Fb = (6 N) (0,154 m) = 0,924 Nm.

Estrictamente hablando, debemos escribir — 0,924 N m, ya que la rotaci6n alrede-dor de O es en el sentido de las agujas del reloj, lo que corresponde a un avance deltorniHo en el sentido negativo de las Z t o entrando perpendicularmente a la hojade este libro.

Como segundo metodo, podemos usar la ec, (4.8) ya que el problema correspondea uno de dos dimensiones, Ahora

x = r cos 50° = 0,289 m, y = r sen 50° = 0,345 m,Fx = F cos 30° = 5,196 N, Fy = F sen 30° = 3,0 N.

T = xFr—yF* = 0,867 — 1,792 = — 0,925 N m,Por lo tanto

en concordancia con nuestro resultado anterior. Este metodo tiene la ventaja adi-

cional de darnos tambien el signo.

Figura 4-4 Ftgura 4-5

Para obtener la ecuaci6n de la llnea de acci6n F, simplemente dejamos x e y comovariables en la ec. (4.8), obteniendose

— 0,925 = 3x— 5,196y.

4.4 Torque de varias fuerzas concurrentes

Consideremos ahora el caso de varias fuerzas concurrentes Fv F2 , F3, . . . que

tienen como punto de aplicaci6n el punto A (Fig, 4-6). El torque de cada fuerza

F[ con respecto a O es t,- = r x Fit n6tese que escribimos r y no r,- ya que todas

las fuerzas se aplican al mismo punto. El momento de la resultante R es

4.4) Torque de varias fuerzas concurrentes 63

x = r * R, donde R = Fr + F2 + Fz + . . , y r es nuevamente el vector po-

sicion comiin. Aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial, tenemos

r *R=r*(Fl + F2 + Fz +

Entonces

)

f = *i + T2 + T3 + 27t;* (4.9)

En palabras, el torque de la resultante es

igual a la suma vectorial de los torques de

las fuerzas componentes si estas son concu-

rrentes.

Si todas las fuerzas son coplanares, y se

encuentra en el mismo piano, todos los tor-

ques que aparecen en la ec* (4*9) tienen la

misma direction perpendicular al piano yla relation (4.9) puede escribirse coxno

t= En* (4.10)

Fig. 4-6- Cuando las fuerzas sonconcurrentes, el torque de la resul-

tante es igual a la suma vectorial

del torque de las componentes.

La ec. (4.9) demuestra que un sislema de fuerzas concurrentes puede reemplazarse

por una sola fuerza, su resultante, la que es completamente equivalente al sis-

tema en lo que respecta a efectos de traslaci6n y rotaci6n.

EJEMPLO 4.3. Considerar tres fuerzas aplica-

das al punto A de la Fig. 4-7, con r = 1,5 pies y

Fx = Ux(&) + My(0) + «,(0) lbf,

F2 = us (6) — «,(7) + M14)lbf,

J?3 = Ux (5) + My (0) — uz (3) lbf,

Usando como punto de referenda, encontrarel torque resultante debido a estas fuerzas.

Solucidn; En primer lugar, usando el conceptor = r x r

> donde R = ZFi, tenemos

R = tfo(6 + 6 + 5) + uv (0— 1 + 0) + MO + Figura 4-7

+ 14 — 3) lbf = «*<17) — uy {l) + u,(ll) lbf.

Utilizando este valor y el de r = «x(l,06) + Uf,(l,06) pie, podemos escribir el torqueresultante, aplicando la ecuaci6n (4,6), como

T = r x r = 11,(11,66) — My (11 ,66) — u. (25,44) pie-lbt

El torque resultante puede tambi£n encontrarse utilizando la ec. (4.9) t = t, + Ta ++ t 3 . Para ello, aplicando la ec. (4.6) a cada fuerza componente, tenemos:

t! = r x F, = u* (0) + uy (0) — uz (6,36) pie-lbf,

Ta = r x f2^ u* (14,84) — «y (14,84)— uz (13,78) pie-lbf,

t3= r x F3

= — ti*(3,18) + uv (3,18) — uz (5,30) pie-lbf.

64 Fuerzas (4.1

Sumando estos tres momentos obtenemos el resultado anterior de t De esta manerahemos verificado la ec. (4.9). El estudiante debe verificar que x'R — 0, lo cual indiesque x y R son perpendiculares entre si en el caso de fuerzas concurrentes.

4.5 Composiddn de las fuerzas aplicadas a un cuerpo rigido

Cuando las fuerzas no se aplican al mismo punto sino que actiian en un cuerpo

rigido, es necesario distinguir dos efectos: traslacion y rotacion. La traslacion del

cuerpo esta determinada por el vector suma de las fuerzas; esto es por,

R = Fx + F2 + Fz + F4 + . . . = £Ft . (4.11)

En este caso el punto de aplicacion de R queda aun por determinarse. EI efecto

de rotacion sobre el cuerpo esta determinado por el vector suma de los torques

de las fuerzas, todos evaluados con respecto al mismo punto

Fig* 4-8* Gupla o par de fuerzas.

T = Tj + t2 + T3 + ... = Zti.

(4.12)

A primera vista parece logico suponer* enton-

ces, que el punto de aplicacion de la fuerza Rdebe ser tal que el torque debido a it sea

igual a t, una situaci6n que, como sabemos,

siempre se cumple en el caso de fuerzas con-

currentes* Si es posible, la fuerza R asi apli-

cada es equivalente al sistema, tanto en tras-

lacion como en rotacion.

Generalmente, sin embargo, esto no es po-

sible, ya que el torque de R es un vector

perpendicular a R y en muchos casos By t, obtenidos por las ecs. (4.11) y(4.12) no son perpendiculares. Por consiguiente, en general, un sistema de

fuerzas que actiian sobre un cuerpo rigido no puede reducirse a una sola fuerza

o resultante igual a la suma vectorial de las fuerzas.

Como un ejemplo sencillo consideremos una cupla o par, la cual se define comoun sistema de dos fuerzas de igual magnitud pero de direcciones opuestas que

actiian a lo largo de lineas paralelas (Fig. 4-8). La resultante o vector suma de las

dos fuerzas es obviamente cero, R = Fx + F%= indicando que la cupla no

produce efecto de traslacion. Por otro lado, la suma vectorial de los torques,

teniendo en cuenta que F2— — Flf es

t = rx + t2 = rx x F1 + r

%x F2

= rtx F

x— r2 x Fx

= (r1— r2)xF

1 =bx Fv (4.13)

donde b = r±— r2 se denomina brazo de palanca de la cupla. Por consiguiente,

x ^ 0, y la cupla produce un efecto de rotaci6n. Notese que 6 es independiente

de la position de 0, por lo que el totque del sistema es independiente del origen

4.6) Composition de las fuerzas coplanares 65

con respecto al cual se le calcul6. Obviamente es imposible que una sola fuerza

satisfaga todas estas conditioner

Regresando al caso general, observamos que un sistema de fuerzas puede

siempre reducirse a una fuerza y a una cupla. La fuerza se escoge igual a R para

la equivalencia de traslaci6n y se aplica en el punto

con respecto al cual se evaluan los torques de modoque su torque sea cero. La cupla con torque igual

a t se escoge entonces para la equivalencia rotacio-

nal.

EJEMPLO 4.4. Encontrar la fuerza resultante y el

torque resultante del sistema ilustrado en la Fig. 4-9,

donde

*i = «*(3) + M4) +«*(4)N

yF, = «,(— 2) + t*(5) + «,(1) N,

y los puntos de aplicactfn son A (0,4 m, 0,5 m, 0) yB {0,4 m,— 0,1 m, 0,8 m),

Solud&tu En primer lugar encontramos la resultante, *Ur*

R^F1 + F

t= «,(1) + *,(9) + u,(5) N.

En seguida encontramos el torque de cada fuerza con respecto a O:

Ti =- r, x Fj = u,(2) + «y(— 1,6) + *«(0,1) N m,

T, = r, x Ft = ««(— 4,1) + u*(— 2,0) + u,(l,8) N m.

Luego

* = tx + tt = «*(— 2,1) + *,(— 3,6) + •*(!,») N m.

Para ver ahora si R puede situarse de modo que su torque sea igual a t debemosveriflcar primero si t y R son perpendiculares. Aplicando la ec, (3.20), obtenemos

T-B = (— 2,1) (1) + (— 3,6) (9) + (1,9) (5) = — 25,0 N m.

De modo que tJR es diferente de cero* Por ende el sistema de la Fig. 4-9, no puedereducirse a una sola fuerza.

4.6 Composiddn de las fuerzas coplanares

Cuando las fuerzas son coplanares, siempre es posible reducir el sistema a unasola resultante R, dada por la ec. (4.1) (a menos que se reduzca a una cupla si

* ^ °. y t = 0), ya que en este caso t es siempre perpendicular a R. Colocandoel origen de las coordenadas O en el centro de torques en el piano de las fuer-

zas, notamos que tv xv . , y tambien t == Ejtt son todas perpendiculares al

piano, como se ve de la aplicaci6n de las ecs. (4.6) o (4.7), y de la Fig. 4-4. Porlo tanto, Ry x son perpendiculares y es posible colocar R a una distancia r de Ot

de modo tal que su torque sea igual a t, esto es, rxfl=r En este caso la re-

feci6n vectorial t = E(ti puede reemplazarse por la ecuacidn escalar t = E&u

66 Fuerzas (4.7

donde cada n se calcula de acuerdo a la ec. (4.8), por tener todos los vectores la

misma direction. Luego, si Rx y Ryson las componentes rectangulares de R t debe

colocarse R en un punto (xt y) tal que

xRy~ yRx = r. (4.14)

Esta es la ecuaci6n de una recta la cual corresponde a la linea de action de la

fuerza resultante; esto es no hay un solo punto de aplicacion sino m£s bien

una linea de aplicacion.

Razonamientos mis elaborados demuestran que este resultado se cumple aun

cuando el centro de los torques se encuentre fuera del piano de las fuerzas.

EJEMPLO 4.5* Determinar la resultante del sistema de fuerzas ilustrado en la

Fig. 4-10, que actuan en un piano. La magnitud de las fuerzas son Fx= 10 kgf,

F2= 8 kgf, Ft

= 7 kgf. El lado de cada cuadrado tiene un valor de 0,1 m.

Solucitin: Escribimos en primer lugar cada fuerza en forma vectorial.

F1= ux(10) kgf,

F, = ux(F2 cos 135°) + «v(F2 sen 135°) = u*(— 5,66) + w*(5,66) kgf,

F* = — *ij<7) kgf.

La fuerza resultante R = Ft + F% + F3 , es asi

R = u*<4,34) + t^— 1,34) kgf

o sea R = 4,54 kgf, haciendo un angulo a de — 17,1° con el eje de las X.Las coordenadas de los puntos de aplicaci6nde las fuerzas son A (0,2 m, 0),B (0,5 m,

0,3 m), y C (0, 0,5 m). Utilizando la ec. (4.8), calculamos

t, = — (0,3 m) (10 kgf) - — 3,00 kgf m,

t2 = —(0,5 in) (—5,66 kgf) = + 2,83 kgf m,

— 1,40 kgf m.

f\ 1

Y

45°'

hf

S-*"]

R *«,

b'

v;

Ad

1

i i

1 !

i 1 1 1

A

— 1,57 kgf m, y es

Figura 4-10

t3= (0,2 m) (— 7 kgf)

AS! T = Tt + T2 + TS =un vector a lo largo del eje Z, Para encontrar

la linea de acci6n de la resultante utilizamos

la ec. (4.14), dejando x e y como arbitrarios.

Luego

x(— 1,34) — y(4,34) - — 1,57

6

l,34x + 4,44y = 1,57,

que corresponde a la recta SU.

4.7 Composiddn de las fuerzas paralelas

Consideremos un sistema de fuerzas paralelas a un vector unitario u. Luego

F( = uFf9 donde Fi es positivo o negative dependiendo de si la direcci6n de Ft

es la misma de u u opuesta a la de w. La suma vectorial es

R = EtFi = ZiuFt- uiEtFi), (4.15)

4.7) Composition de las fuerzas paralelas 67

y por tanto tambien paralelo a u. La magnitud de la resultante es entonces

R=£iFi. (4.16)

La suma vectorial de los torques es

T = ZfTt x F(= EiTt X uFt= (EiTiFi) x u>

la cual es perpendicular a«y por lo tanto tambien perpendicular a R. Por este

motivo, colocando R en la position apropiada rc , es posible igualar su torque

a t; esto es, rc x R — x. Introduciendo las expresiones de R y t lineas dadasarriba, podemos escribir

o

rc x u(SiFi) = (ZiTiFd x u

[r^iFi)] xu=(Z i rtFi) x u.

Esta ecuacion se satisface si rc(EtFi) = EtViFu o sea

_ EtTiFt _ r1F1 + r2F2 + ...

St Ft Ft + F% +...

(4.17)

El punto definido por rc se denomina el centro de las fuerzas paralelas. Llegamos a

la conclusion que un sistema de fuerzas paralelas puede reducirse a una sola

fuerza, paralela a todas las fuerzas, dada por la ec. (4.15), y actuando en el puntodado por la ec. (4.1 7).

La ecuacion vectorial (4.17) puede separarse en sus tres componentes.

x, = 2* i X{r {

ycZiUiFi

Zr = E t ztFi(4.18)

ZtFt '

*"X

tFt

'

~c ~EiF f

'

donde hemos designado por zc , yC9 y zc las coordenadas del punto definido por rc*

F^OOlbf

A

A "3

I

I

I

]

F* = 300 lbf

[8 pul. *12 pul.~| I

i \D I

F20 pul.

F2 =100 1bf

B—*.Y

Figura 4-11

EJEMPLO 4.6. Hallar la resultante de las fuerzas que actiian en la barra de laFig. 4-11.

68 Fuerzas (4.8

SalMeMn: Considerando la direccidn hacia arriba como positiva y utilizando la ecua-cidn (4*16) encontramos que la resultante es

R =* EiFt = F,— F% + Ft = 400 lbf.

Para determinar su punto de aplicaci6n utilizamos la ec. (4.18). Se requiere solamentede la primera, ya que todas las fuerzas son paralelas al eje Y* Tomando A como el

origen, obtenemos

£iFaiXe =

EiFi

(200 lbf) (8 pulg)+(— 100 lbf) (20 pu!g)+(300 lbf) (40 pulg)

400 lbf~~

*= 29 pulg.

El punto considerado como origen puede ser cualquiera. Para mostrar esto tomemosel punto D como origen. Entonces

_ (200 lbf)(— 12 pulg) +(— 100 lbf)(0 pulg) +(300 lbf)(20pulg)Xc

400 lbf=

= 9 pulg.

Este punto es exactamente el mismo, ya que AD — 20 pulgadas.

4J8 Centro de tnasa

Cada particula sobre la cual actua el campo gravitational estd sometida a la acci6n

de una fuerza W, Uamada peso. La direcci6n de esta fuerza, si se prolonga, pasa

por el centro de la tierra. En la secci6n 7.6, veremos que cuando m es la masade la particula y g la aceleraci6n de la gravedad, existe la siguiente relacidn:

W = mg. (4.19)

Aunque los pesos se intersectan en el centro de la tierra, pueden considerarse

paralelos cuando corresponden a particulas que constituyen un cuerpo de dimen-

siones relativamente pequenas. Por lo tanto el peso resultante de un cuerpo est£

dado por W =i7{/n^t extendi£ndose la suma a todas las particulas que cons-

tituyen el cuerpo, y esti aplicado en un punto dado por

EiTiTiXig ZintiTi .

rc = — = —= , (4.20)

en concordancia con la ec. (4*17). Utilizando la ec. (4.18), podemos escribir las

componentes de la ec. (4.10) como

«c = r-

» Vc = r . ze = , (4.21)ZrflTlf +*tm i **i m t

4.8) Centro de masa 69

TABLA 4-1 Centros de masa

Figura Posici6n del cm,

Placa triangular

Punto de interseccidn de las

tres medianas.

Poligono regular y placa circular

En el centro geomStrico de la

figura.

Cilindro y esfera

En el centro geomGtrico de la

figura.

Pirdmide y cono

En la linea que une el vertice

con el centro de la base y a

V« de la base.

Figura con simeiria axial

En algHn punto sobre el eje

de simetria.

Figura con centro de simetrta

En el centro de simetria.

70 Fuerzas (4.8

Un punto definido por las ecs. (4,10) o (4,21) se denomina centra de masa del sis-

tema de particulas, abreviado CM,* El concepto de centro de masa es importante

no solamente en relation a la composition de las fuerzas paralelas. Tambienjuega un papel esencial en el analisis del movimiento de un sistema de particu-

las y, en particular, de un cuerpo rigido, como veremos en los capitulos 9 y 10,

Consideremos un cuerpo compuesto de un gran mimero de particulas, muycompacto, podemos suponer que tiene una estructura continua. Si p es su den-

sidad en cada punto, podemos dividir el volumen en elementos de volumen dV,

y la masa en cada uno de estos sera dm = pdV. Luego, cuando reemplazamos

las sumas en la ec. (4.21) por integrales, el centro de masa esta dado por

x,/ pxdV

ipdVUt

fpdVZr = f pzdV

JpdV(4.22)

Si el cuerpo es homogeneo, p es constante y puede simplificarse de las ecs. (4,22),

dando por resultado

XifxdV _ fxdVjdV ~~V^ (4.23)

con ecuaciones an£logas para yc y zc . En este caso el centro de masa esta deter-

minado exclusivamente por la geometria del cuerpo.**

Cuando el cuerpo homogeneo tiene alguna simetria, el calculo se simplifica ya

que el centro de masa debe coincidir con el centro de simetria. Si un cuerpo tiene

un centro de simetria, tal como una esfera, un para-

lelepipedo, etc., el centro de masa coincide con el-

Si el cuerpo tiene un eje de simetria tal como un

cono, el centro de masa se halla sobre el eje. (Ver

tabla 4-1),

'

trio

lttiX

—

,

CM

»':),»'l

Figura 4-12

EJEMPLO 4.7. Encontrar el centro de masa de las

particulas situadas como se indica en la Fig. 4-12.

Los valores de las masas son /na= 5 kg, m2

= 30 kg,

m 3= 20 kg, m4

= 15 kg. El lado de cada cuadradoes de 5 cm.

Solucidn; Debemos en primer lugar encontrar la masatotal m:

m = Si mi = 5 kg + 30 kg + 20 kg + 15 kg = 70 kg.

* Realmente el peso se aplica en un punto ligeramente diferente llamado centro de gravedad.

Para propdsitos practicos no hay djferencia entre dichos centres a menos que el cuerpo sea

muy grande.

** Para la t£cnica del calculo de centro de masa, ver cualquier texto de calculo; por ejemplo,

G. B. Thomas, Cdlculo infinitesimal y geometria analitica, tercera edicion. Madrid: Aguilar, 1964,

secciones 5-19t15-3 y 15-6.

4.9) Estdtica. Equilibria de una parttcula 71

En seguida aplicamos la primera y segunda ecs. (4.21). Omitimos las unidades porbrevedad. El resultado es:

T _ (5) (0) + (30) (15) +(20)(30) + (15) (- 15) mXc — — = 11,5 cm,

„ = (5) (0) + (30) (20) + (20) (0) + (15) (10) _

El centro de masa est£ situado en el punto indicado por CM en la Fig. 4-12,

4.9 Est&tica* Equilibria de una parttcula

La estatica es la rama de la mecSnica que estudia el equilibrio de los cuerpos,

Una particula se encuentra en equilibrio si la suma de todas las fuerzas que

actiian sobre ella es cero; esto es,

Z tFi = 0.

La ecuaci6n anterior es equivalente a

ZtFix = 0; Z t

Fiy = 0; ZtFiz = 0.

(4.24)

(4.25)

Ilustraremos ahora c6mo resolver algunos problemas sencillos que involucran el

equilibrio de una particula.

EJEMPLO 4.8. Discutir el equilibrio de tres fuerzas que actiian sobre una particula.

Solud6n: Consideraremos las tres fuerzas ilustradas en la Fig. 4-13. Si las fuerzasestan en equilibrio, esto signiflca que

Fl +Ft

+Ft= 0,

de modo que si dibujamos un pollgono con las tres fuerzas debemos obtener un tri-

angulo, como se muestra en la Fig. 4-14. Esto indica que las tres fuerzas concurrentes

F'&ura 4-18

*X

Figura 4*14 Fig. 4-15. Equilibrio en un piano in-

clinado.

72 Fuerzas (4.1C

en equilibrio deben estar situadas en un piano. Igualmente, aplicando la ley de loasenos (M.15) a este tri&ngulo, obtenemos

^i i7* ^3— = V = —

»

(4.26)sen a sen p sen y

la cual es una f6rmula muy util que relaciona las magnitudes de las fuerzas y los4nguIos que hacen entre si.

EJEMPLO 4,9. Discutir el equilibrio de una partfcula situada sobre un piano in-clinado.

Sotucitin: La particula que reposa sobre el piano inclinado AB (Fig. 4-15) est£sometida a las siguientes fuerzas: su peso W9 la atracci6n F, y la reaction N normalal piano. Deseamos expresar Fy JVen runctfn de *F, a y 6. Podemos proceder dedos maneras diferentes. LTtilizando la ley de los senos, ec. (4.26), y considerando lageometrfa de la Fig. 4-15, tenemos:

F N Wsen (180°— a) sen (90° + a + 0) sen (90° — 6)

6F = N = W

sen a cos (a + 6) cos 6*

dando para F y N- = Wsena _ W cos (« + 6)

cos 6 * cos G

Como en el proceso alterno, podemos introducir los ejes X e Y como se mues-tra en la flgura y aplicar las primeras dos ecuaciones (4.25), El resultado es

Zi Fix = F cos 8— W sen a = 0,

Zi FiV = F sen G — W cos a + N = 0.

De la primera obtenemos

W sen aF cos e = W sen a 6 F =cos

de acuerdo con nuestro resultado anterior. De la segunda, utilizando la expresidnya encontrada para F, obtenemos.

JV = ir cos a— F sen = W cos a <

cos e

_ w cos a cos — sen a sen 6 _ cos (a + 0)

cos 6 cos '

que es nuevamente el resultado previamente obtenido. El estudiante debe decidir,en cada problema particular, qu6 m6todo es mas directo o conveniente.

4.10 EstMica. Equilibrio de un cuerpo rlgido

Cuando las fuerzas estdn actuando sobre un cuerpo rigido, es necesario consi-

derar el equilibrio en relaciun tanto a la traslacion como a la rotaci6n. Por lo

tanto se requieren las condiciones siguientes:

4.10} tistatica. Equilibria de un cuerpo rigido 73

L La suma de todas las fuerzas debe ser cero (equilibrio de traslacidn):

Et Ft= 0, (4.27)

II. La suma de todos los torques con respecto a cualquier punto debe ser cero

(equilibrio rotational):

£|Ti=0. (4.28)

Si las fuerzas se encuentran todas en un piano, estas condiciones se reducen a

las tres ecuaciones algebraicas siguientes:

E (Fte = 0, Et Fiv

- 0, Et xt= 0. (4.29)

Como estas son tres ecuaciones simetricas, los problemas de estdtica plana estAn

determinados solamente si hay tres cantidades desconocidas. Ahora ilustramos

la tecnica de resolver algunos problemas tipicos de la estdtica plana*

lm 2m

AA

F:=200 kgf

lm

JF= 40kgf

MM

IP/*

1,5 mfrill Ml

* B

F2 = 500kgf

F3 = 100kgf

F4 = 300kgf

Figura 4-lft

EJEMPLO 4.10, La barra de la Fig. 4-16, reposa en equilibrio sobre los puntos Ay B, bajo la accidn de las fuerzas que se indican. Encontrar las fuerzas ejercidassobre la barra en los puntos A y B. La barra pesa 40 kgf y su longitud es de 8 m.

Sotucidn: Aplicando primero la condici6n (4.27) de equilibrio de traslacidn, tenemos

EFi = F + F'— 200 — 500— 40 — 100— 300 =o sea

F = F' = 1140 kgf. (4.30)

En segundo lugar, aplicamos la condicidn (4,28) de equilibrio rotational. Es misconveniente calcular los torques con respecto a A, ya que de este modo el momentode la fuerza F es cero. Asi

Et tt = (— 200) (— 1) + F(0) + (— 500) (2) + (— 40) (3)

+ (— 100) (4,5) + F'(5,5) + (— 300) (7) =

74 Fuerzas (4J0

o sea F' = 630,9 kgf. Combinando este resultado con la ec. (4.30), obtenemos F == 509,1 kgf, lo cual resuelve el problema.

EJEMPLO 4.11* Una escalera AB de peso 40 Ibf descansa sobre una pared vertical,haciendo un angulo de 60° con el suelo, Encontrar las fuerzas sobre la escalera enA y B. La escalera tiene rodillos en A, de modo que la fricci6n es despreciable.

Solucidn: Las fuerzas que actuan sobre la escalera se ilustranenla Fig. 4-17. El pesoW esta aplicado en el centro C de la escalera. La fuerza Fx es necesaria para que laescalera no resbale y se debe a la friccitfn con el piso. Las fuerzas F% y F3 son lasreacciones normales en el piso y la pared. Utilizando las tres condiciones de equi-librio, de acuerdo a la ec. (4.29), tenemos:-

EFix = — F, + Fa = 0,(4.31)

Denominando L la Iongitud de la escalera y tomandotorques alrededor de B de modo que los torques delas fuerzas desconocidas i^ y Ft sean cero, obtenemosde acuerdo a la tercera ecuaci6n de equilibrio,

,27t, = W(tL cos 60°) — F3(L sen 60°) =o sea

F* = W cos 60°

2 sen 60°

Luego, las ecs, (4.31) nos dan

F2 = Fa = 11,52 lbf

F9 = W = 40 lbf.

11,52 lbf.

Figura 4-17 N<Hese que si la escalera no tiene rodillo en A, hayque considerar ademas en A una fuerza de fricci6n pa-

ralela a la pared vertical. De esta manera tendremoscuatro fuerzas desconocidas, y se requerira una suposici6n adicional para resolver

el problema.

Bibliografia

1. Mechanics (segunda edicidn), por K. Symon. Reading, Mass. : Addison-Wesley,

1964, sec. 3-2

2, Physical Mechanics (tercera edicidn), por R. Lindsay. Princeton, N. J. : Van Nos-trand, 1963, sec. 1-7

3* Vector Mechanics, por D, Christie. New York : McGraw-Hill, 1964, caps. 3,

4, 10 y 11

4. Introduction to Engineering Mechanics, por J. Huddleston. Reading, Mass.

:

Addison-Wesley, 1961, caps. 3, 5, 6 y 8

5. The Feynman Lectures on Physics, vol. I, por R. Feynman, R. Leighton yM. Sands. Reading, Mass.: Addison Wesley, 1963, cap. 12

6. Foundations of Modern Physical Science, por G. Holton y D. H. D. Roller. Reading*Mass. : Addison-Wesley, 1958, cap. 4

Froblemas 75

Problemas

4.1 Un poste de tel&ono se mantiene

en la posicidn vertical mediante uncable fljo en el poste a una altura de

10 m e igualmente fljo al suelo a 7 mde la base del poste. Si la tensidn en el

cable es de 500 lbf , &cuales son los valores

de las fuerzas horizontal y vertical ejer-

cidas sobre el poste por el cable?

4.2 Un bloque cuyo peso es de 6 kgf

reposa en una superflcie horizontal lisa«

Se le empuja con una varilla (que formaun angulo de 30° con la horizontal) conuna fuerza de 6 kgf. (a) &Cu&l es la

fuerza perpendicular total ejercida sobre

la superflcie? (b) (Cu&l es la fuerzaparalela a la superflcie?

4.3 Un piano inclinado tiene 2 m dealto y 5 m de largo. Hay una piedra (dede 10 kgf) en el piano, inmdvil por unobstaculo. Encontrar la fuerza ejercida

por la piedra (a) sobre el piano y (b)

sobre el obstaculo.

6 lbf

30°

8 lbf

a)

20 lbf

Hgura 4-18

^jeL10 lbf

-Y

(0

4-4 Encontrar la magnitud y la direc-ci6n de la resultante del sistema de fuer-zas representadas en la Fig. 4-18.

4.5 Cuatro fuerzas coplanares (30 N,40 N t 20 N y 50 N) est4n todas actuandoconcurrentemente sobre un cuerpo. Los

&ngulos entre las fuerzas son, consecu-tivamente, 50°, 30° y 60°. Calcular la

magnitud de la fuerza resultante y el

Angulo que hace con la fuerza de 30 N.

4.6 Dadas las tres fuerzas siguientes:

Fx= u^500) lbf; Ft

= «*(0) + u£—200)

+ u«(100) lbf; Ft = u*{— 100) + wy(50)

+ »(— 400) lbL (a) Determinar la mag-nitud y direction de la fuerza resultante.

(b) Determinar el torque resultante delas fuerzas arriba indicadas, con respectoal origen 0, si se aplican al punto (4,— 3, 15). Utilizar la fuerza resultante

para determinar el torque resultante.

4.7 Calcular el torque, con respecto al

origen O, de cada una de las fuerzas da-das en el problema 4.6, cuando cadauna es aplicada en el punto (4, — 3, 15),

Demostrar que el torque resultante es

perpendicular a la fuerza resultante.

4.8 (a) Encontrar el torque resultante

con respecto al punto O de las fuerzas

enumeradas en el problema 4.6 cuandose aplican en diferentes puntos: F

x en(3, 8, 10); F% en (—2, 0, 4); F% en(4, — 25, 10). (b) Encontrar R-te indi-

car la reducci6n minima del sistema.

10 m

4-*— A'

4.9 Calcular el torque de la. fuerza enla Fig. 4-19 con respecto al origen. De-terminar la ecuacidn de la linea de ac-

ci6n de la fuerza.

4.10 Determinar (Fig. 4-20) la fuerza

y el torque resultantes con respecto a Ode tres fuerzas, 50 N, 80 N y 100 N,mutualmente perpendiculares entre si (a)

si son concurrentes (b) si la linea de ac-

76" fuerzas

Figure 4-20

(-2,2) (2, 2)

^iFi^lOlbfl

l

/30°]

i

1

1

1

/t\=\?y lbf

f<

S-2)

Figure 4-22 45°sF3 =10lbf

Flgtira 4-21

\10 Ibf\

^5 lbf

\\

8 lbi

/T2 1bf\

\\N V

Figure 4-23

ci6n de la fuerza dc 100 N se encuentraa 1,2 m del punto de concurrencia de las

otras dos*

4.11 Sobre un rectangulo rtgldo ABCDde las siguientes dimensiones AB —= CD = 0,4myBC = DA= 0,6 m,acttian cinco fuerzas: en A, una fuerza

de 6N en la direccl6n AB, una fuerza

de 4N a lo largo de AC, y una fuerza de3N a lo largo de AD; en C, una fuerza

de 5N actuando a lo largo de la direcci6n

CD y una fuerza de 4N actuando a lo

largo de la direcci6n CB. Determinar la

fuerza resultante, e igualmente el torquecon respecto a los puntos A f B f y el

centro geom6trico.

4.12 Dos fuerzas paralelas, y del mismosentido, estan separadas por una dis-

tancia de 0,2 m. Si una de las fuerzas

es de 13Ny la linea de acciin de la resul-

tante esta a 0,08 m de la otra. encontrar(a) la magnitud de la resultante y (b) la

magnitud de la otra fuerza.

4.13 Dos fuerzas paralelas, del mismosentido, tienen magnitudes de 20N y30N. La distancia de la linea de acci6n

de la resultante a la fuerza mayor ea

de 0,8 m. Encontrar la distancia entre

las fuerzas.

4.14 Resolver los dos problemas ante-

riores suponiendo que las fuerzas tienen

sentidos opuestos.

4.15 Un cubo de densidad uniformed el

cual pesa 10 lbf y tiene 2 pies de lado,

descansa en uno de sus vertices (Fig. 4-21).

&D6nde debe situarse un baldn Ueno de

gas (que tiene una fuerza de suspensi6n

de 8 lbf) de modo, que el cubo "flote"

en la posicidn horizontal mostrada en la

flgura? &Cu&l es la fuerza en O?

4.16 Encontrar la magnitud y la posi-

cidn de la resultante del sistema de

fuerzas representadas en la Fig. 4-22.

Las coordenadas de los puntos A, B y Cse dan en pies.

Problemas 77

30 N

20 N

. ION

ION

Figura 4-24

F1= 10kgf F3

= 25kgf

F2 = 5kgf

Figura 4-26

25kgf

lOkgf

50kgf

lokgf+~X

Figura 4-25

Figura 4-27

4.17 Encontrar la magnitud y la posi-

ci6n de la resultante de las fuerzas repre-

sentadas en la Fig. 4-23. Cada cuadradotiene 1 pie de lado.

4.18 Reducir el sistema de fuerzas dela Fig. 4-24.

4.19 Reducir el sistema de fuerzas dela Fig. 4-25. Los cuadrados tienen unarea de 1 cm3

,

4.20 Demostrar que si R = EiFi es la

resultante de un sistema de fuerzas con-

eurrentes y t es su torque con respec-

to al punto 0, el torque con respecto a

A es

Xa = T + rAo x K.

4.21 Una varilla tiene 2 m de largo

y pesa 5 gmf (4900 dinas). Sobre ella

actiian fuerzas de 3000, 2000, 1500 dinasque actiian haeia abajo a 0, 50 y 200 cmde un extremo, y fuerzas de 5000 y13.000 dinas que actiian hacia arriba

a 20 y 100 cm del mismo extremo.

Determinar la magnitud y la lfnea deaccidn de la resultante.

4.22 Encontrar la magnitud y posicidnde la resultante del sistema de fuerzasrepresentado en la Fig. 4-26. Cada seg-

mento de la viga AB mide 1 dm. En-contrar tambiGn las fuerzas necesarias

enAyfi para balancear las otras fuerzas.

4.23 La viga AB es uniforme y tiene

una masa de 100 kg. Descansa en sus

extremos A y B y soporta las masascomo se indica en la Fig. 4-27. Calcular

la reaccidn en los soportes.

4.24 Determinar las tensiones sobrelas cuerdas AC y BC (Fig. 4-28) si Mpesa 40 lbf.

4.25 El cuerpo representado en la fi-

gura 4-29 pesa 40 kgf. Se mantiene enequilibrio por medio de una cuerda ABy bajo la accitfn de la fuerza horizon-

tal F. Suponiendo que AB = 150 cmy que la distancia entre la pared y el

78 Fuerzas

mmmmM%*,te&.

FIgur* 4-28

cuerpo es de 90 cm, calcular el valorde la fuerza F y la tensi6n en la cuerda.

4.26 Para la Fig. 4-30, calcular el an-gulo 6 y la tensi6n en la cuerda AB si

ML = 300 lbf y Mt= 400 lbf.

4.27 Un muchacho que pesa 120 lbf

sostiene una barra de levantamiento depesas. &Qu6 fuerza ejerce cada unode sus brazos sobre la barra cuando (a)

sus brazos estan en position paralela

y (b) cuando cada brazo hace un angulode 30° con la vertical? Representar lafuerza en funcidn del dngulo. &Qu6 con-clusi6n obtiene Ud. de la grafica ?

4.28 Una cuerda ABCD cuelga de los

puntos fijos A y D. En B hay un pesode 12 kgf y en C un peso desconocido.Si el angulo que hace AB con la hori-zontal es de 60°, BC es horizontal y CDhace un dngulo de 30° con la horizontal,calcular el valor que P debe tener a fin

de que el sistema se encuentre en equi-librio.

4.29 Tres cuerdas, situadas en un pianovertical, est&n fljas a puntos diferentessobre el techo. Los otros extremos est&nunidos en el nudo A y del cual cuelgaun peso P. Los Angulos formados porlas cuerdas con la horizontal son, 35°,100° y 160°, respectivamente. Las ten-siones en las primeras dos cuerdas sonde 100 kgf y 75 kgf. Calcular la tensidnen la tercera cuerda y el peso P.

4.30 Demostrar que si tres fuerzas seencuentran en equilibrio, ellas debenser concurrentes; esto es, sus lineas deacci6n, deben encontrarse en un punto.

4.31 Una esfera cuyo peso es de 50 kgfdescansa sobre dos pianos lisos, inclina-

dos respectivamente con respecto a la

horizontal, Angulos de 30° y 45°. Calcu-lar las reacciones de los dos pianos sobrela esfera.

B F

W

Figura 4-29 Figura 4-80 Figura 4-81 Figura 4-82

Problemas 79

(a)

Figura 4-33

4.32 Una esfera (Fig. 4.31) que pesa

50 3bf descansa sobre una pared lisa,

manteniendose en esa position mediante

un piano liso que hace un angulo de 60°

con la horizontal. Calcular la reacci6n

de la pared y el piano sobre la esfera.

4.33 Una esfera de peso W se sostiene

mediante una cuerda A.B(Fig. 4-32) ypre-

siona una pared vertical lisa AC. Si a

es el angulo entre la cuerda y la pared,

determinar la tensi6n en la cuerda y la

reacci6n de la pared sobre la esfera.

4.34 Calcular las fuerzas (Fig. 4-33) quela viga AB y el cable AC ejercen en A,suponiendo que M pesa 40 kgf y queel peso del cable y la viga son despre-

ciables.

Figura 4-34

4.35 Determinar las reacciones hori-

zontal y vertical (Fig. 4-33) en el puntoB y la tensi6n en el cable AC, suponiendoque la viga tiene una masa de 20 kg.

4.36 Encontrar las fuerzas F, F', 2V

y H en la Fig. 4-34. CE y DC son cables.

Despreciar el peso de la barra AC.

4.37 Discutir el resultado del problemaanterior a medida que la distancia b —= AG tiende a cero.

2,5 m-

Wb

£L B

SHFigura 4-35

4.38 La viga uniforme AB de la Fig. 4-35

tiene 4 m de largo y pesa 100 kgf. Laviga puede rotar alrededor del puntofljo C. La viga reposa en el punto A.

Un hombre que pesa 75 kgf caminaa lo largo de la viga, partiendo de A.

Calcular la maxima distancia que el

hombre puede caminar a partir de Amanteniendo el equilibrio. Representar

la reaccidn en A como una funci6n de

la distancia x.

4.39 Sobre la viga AB actuan las fuer-

zas que se indican en la Fig. 4-36. Deter-

minar la magnitud y la posicidn de la

resultante.

4.40 La viga AB de la Fig. 4-37 tiene

1,2 m de largo y peso despreciable. Lasesferas C y D (de 40 kg y 20 kg respec-

tivamente), unidas por la barra CD,descansan sobre la viga. La distancia

entre los centros de las esferas es de

80 Fuerzas

100 N

40 cm 40 cm 60 cm 20 cm 80 cm

Figura 4-36

(a) (b)

0,3 m. Calcular la distancia x de modoque la reaction en B sea la mitad de la

reaction eh A.

CD

Figura 4-87 Figura 4-S8(c)

4.41 Un puente de 100 m de largo y10.000 kgf de peso se mantiene en posi-

ci6n horizontal mediante dos columnassituadas en sus extremos. &Cu&les sonlas reacciones sobre las columnas cuandohay tres carros sobre el puente a 30 m,60 m y 80 m de uno de sus extremos,cuyos pesos son, respectivamente,1500 kgf, 1000 kgf y 1200 kgf?

4.42 Considerar los tres carros del pro-blema 4.41, desplaz&ndose todos a la

misma velocidad de 10 m s-1, y en la

misma direcci6n. Representar las reac-ciones de las columnas en functfn deltiempo, tomando t = para la posicidndada en el problema 4.41. Extender la

gr&flca hasta que los carros salgan delpuente.

4.43 Una plancha de 8 m de largo

y 20 kg, reposa sobre las orillas de unriachuelo. Un hombre de 100 kg caminasobre la plancha. Representar la reacci6nen cada extremo de la plancha en fun-ci6n de la distancia del hombre a partir

del extremo.

4.44 Hallar la fuerza F necesaria paramantener el equilibrio, en funci6n de Q,para cada uno de los casos que se mues-tran en la Fig. 4-38. Las poleas marcadascon C son m<5viles.

4.45 Calcular el peso P necesario paramantener el equilibrio en el sistema mos-trado en la Fig. 4-39, en la cual A pesa100 kgf y Q 10 kgf. El piano y las poleasson lisas. La cuerda AC es horizontal

y la cuerda AB es paralela al piano.Calcular tambten la reaction del pianosobre el peso A.

4.46 Una varilla de masa m y longitud /

= 10 k«f

Figura 4-89

ProMemas 81

mm?.

Figura 4-40

(b)

Figura 4-41

(Fig. 4-40) se coloca sobre un hemisferio

de radio r perfectamente liso. Encontrarla posicidn de equilibrio de la varilla.

Calcular las reacciones del hemisferio

sobre la varilla. Discutir la solution

para / > 2r y para I < 2r.

4.47 Una varilla de masa de 6 kg ylongitud 0,8 m est& colocada sobre unangulo recto liso como se muestra enla Fig. 4-41. Determinar la posici6n deequilibrio y las fuerzas de reaccidn comouna funci6n del Angulo a.

4.48 Dos esferas id6nticas se colocanen el sistema mostrado en la Fig. 4-42.

Calcular las reacciones de las superficies

sobre las esferas. Demostrar que cadaesfera se encuentra independientementeen equilibrio.

4.49 Repetir el ejemplo 4.11 del textocon una fuerza de fricci6n (vertical) quesea exactamente igual a 0,3 F9 . Todo lo

demas del ejemplo permanece invariable.

4.50 Demostrar que la resultante de

Figura 4-43 (e)

las fuerzas Ft y Ft de la Fig. 4-17 pasaa trav£s del punto de intersecci6n de F,y P, y es igual y opuesta a su resultante.

tSe esperaba este resultado?

4.51 Encontrar el centro de masa delos tres cuerpos homog6neos mostradosen la Fig. 4-43.

4.52 Encontrar el centro de masa (a)

del sistema tierra-luna y (b) del sistematierra-sol. Utilizar los datos de la ta-

bla 13-1.

4.53 Encontrar las coordenadas del

centro de masa del cuerpo homog£neo

F*gura 4-42 Figura 4-44

Y—3—A B

, i

t

2

\

D——>.

1.5

C . ,

L0

m A

(

t

m 4 •"

E F ,

i

2

i

O5,5

G X

82 Fuerzas

representado en la Fig. 4-44, AB = 3 cm,BC = 2 cm, CD = 1,5 cm, DE = 6 cm,EF = 4 cm, FG = 2 cm.

4.54 Determinar la posicidn del centro

de masa de las siguientes moleculas

:

(a) GO, siendo la distancia entre los

atomos de C y de 1,13 x 10"10 m (b)

C02 ; esta es una molecula lineal con el

atomo C en el centro, equidistante de los

atomos de O. (c) HaO; esta moleculaforma una linea quebrada con un an-

gulo de 105°, teniendo el atomo de Oen el vertice> y, siendo la distancia

O—H de 0,91 x 10~10 m. (d) NH3 , esta

es una molecula piramidal con el atomoN en el vertice, siendo la distancia

N—H de 1,01 X 10-10 m, y el anguloentre los enlaces N—H de 108°.

4.55 Guatro masas iguales se encuen-tran en los vertices de un tetraedro regu-

lar de lado a. Encontrar la posicion desu centro de masa.

PARTE 1

MECANICA

5 Cinemdtica

6 Movimiento relativo

7 Movimiento de una particula

8 Trahajo y energia

9 Dindmica de un sistema de particulas

10 Dindmica de un cuerpo rigido

11 Dindmica de alta energia

12 Movimiento oscilatorio

84 Cinemdtica

El fenomeno mas obvio y fundamental que observamos a nuestro alrededor es el

de movimiento. El viento, las olas, los p£jaros que vuelan, las animates que corren,

las hojas que caen — todos estos son fenomenos de movimiento. Pr&cticamente

todos los procesos imaginables pueden describirse como el movimiento de ciertos

objetos. La tierra y los planetas se mueven alrededor del sol; los electrones se

mueven en el interior del atomo, dando lugar a la absorcion y a la emisi6n deluz, o se mueven en el interior de un metal, produciendo una corriente electrica;

las moleculas de gas se mueven, dando lugar a la presion. Nuestra experiencia

diaria nos dice que el movimiento de un cuerpo es influenciado por los cuerpos

que lo rodean; esto es por sus interacciones con ellos. Lo que el fisico y el inge-

niero hacen, esencialmente, es ordenar las cosas de tal manera que, bajo la inter-

acci6n mutua de las particulas, se produzca una cierta clase de movimiento.

En un tubo de television, el haz de electrones debe moverse de una cierta manerapara producir una imagen en la pantalla. En una m&quina termica, las moleculas

del combustible quemado deben moverse de tal manera que un piston o unaturbina se muevan a su vez en una direction deseada* Una reacci6n quimica es

la consecuencia de ciertos movimientos atomicos que dan por resultado un nuevoordenamiento, formando nuevas clases de moleculas. El papel del fisico es de&-

cubrir las razones de todos estos movimientos y el papel del ingeniero es ordenar

las cosas de modo que se produzcan movimientos utiles, movimientos que hagan

la vida m£s fAcil. Hay varias reglas generates o principios que se apliean a todas

las clases de movimiento, no importa cual sea la naturaleza de las interacciones.

Este conjunto de principios, y la teoria que los sustenta, se denomina mecanica.

Para analizar y predecir la naturaleza de los movimientos que resultan de las

diferentes clases de interacciones, se ban inventado algunos conceptosimportantes,

tales como los de momentum, fuerza y energia. Si el momentum, la fuerza, y/o la

energia se conocen y se expresan en un modo cuantitativo es posible establecer

reglas mediante las cuales pueden predecirse los movimientos resultantes. El

momentum, la fuerza y la energia son tan importantes que raramente podemosanalizar un proceso sin expresarlo en funcion de ellos.

La mecanica, que es la ciencia del movimiento, es tambien la ciencia del mo-mentum, la fuerza y la energia, Es una de las areas fundamentals de la fisica,-

y debe comprenderse completamente antes de iniciar una consideration de in-

teracciones particulares* En tiempo de Galileo ya se reconocia este papel bdsico

de la mecanica, estando condensada la idea en la proposition, "ignorato motu,

ignoratur natura". La mecanica se estudiara en los capitulos 5 a 12.

La ciencia de la mecanica como la comprendemos hoy dia es el resultado prin-

cipalmente del genio de Sir Isaac Newton, que produjo la gran sintesis denomi-

nada principios de Newton. Sin embargo, muchas personas mas han contribuido

a su avance. Algunos de los nombres m&s ilustres son Arquimedes, Galileo, Kepler,

Descartes, Huygens, Lagrange, Hamilton, Mach y Einstein.

5

CINEMATICA

5.1 Introduction

5.2 Movimiento rectilineo: velocidad

5.3 Movimiento rectilineo: acceleration

5A Representation vectorial de la velocidad y la aceleracion

en el movimiento rectilineo

5.5 Movimiento curvilineo: velocidad

5.6 Movimiento curvilineo: aceleracion

5.7 Movimiento hajo aceleracion constante

5.8 Componentes tangential y normal de la aceleracion

5.9 Movimiento circular: velocidad angular

5JO Movimiento circular: aceleracion angular

5.11 Movimiento curvilineo general en un piano

W Linemdtica (5.1

5.1 Introducci6n

Decimos que un objeto se encuentra en movimiento relativo con respecto a otrc

cuando su posici6n, medida relativa al segundo cuerpo, est& cambiando con el

tiempo. Por otra parte, si esta position relativa no cambia con el tiempo, el objetc

se encuentra en reposo relativo. Tanto el movimiento como el reposo son con-

ceptos relativos; esto es, dependen de la condition del objeto con relation al cuerpo

que se usa como referencia. Un arbol yuna casa se encuentran en reposo relativo

con respecto a la tierra, pero en movi-

miento con respecto al sol. Cuando un tren

pasa por una estacion decimos que el tren

estA en movimiento relativo con respec-

to a la estaci6n. Pero un pasajero del

tren bien puede decir que la estacion

se encuentra en movimiento en la direc-

tion opuesta. Por ello, para describir unmovimiento, entonces, el observador debe

definir un sistema de referenda con re-

lation al cual se describe el sistema en

movimiento. En la Fig. 5-1 hemos indi-

cado dos observadores y O r

y una par-

ticula P. Estos observadores utilizan los

sistemas de referencia XYZ y X'Y'Z\respectivamente. Si y 0' se encuentran

en reposo entre si, observaran el mismomovimiento de' P. Pero si y O' se encuentran en movimiento relativo, sus ob-

servations del movimiento de P ser&n diferentes.

Fig. 5-1, Dos observadores diferentes

estudian el movimiento de P.

A\sC)

Trayectoria-Ade la luna con

respecto al sol

Trayectoria de la luna(. ~-=^con respecto a la —^ I O f

tierra

X

QtTy

\,JFig. 5-2. Orbita de la luna con respecto a la tierra y al sol.

La distancia tierra-luna es solamente 4 x 10 -3 la distancia

tierra-sol. Las ondulaciones en la 6rbita lunar se han exa-gerado considerablemente.

Trayectoria

de la tierra conrespecto al sol

S.2) Movimiento rectilineo: velocidad 87

Por ejemplo, consideremos dos observadores, uno sobre el sol y el otro sobre

la tierra (Fig. 5-2) estudiando ambos el movimiento de la luna. Para un observador

terrestre que usa el sistema de referencia X'Y'Z\ la luna parece describir una

6rbita casi circular alrededor de la tierra. Sin embargo, para el observador situado

en el sol, que usa el sistema XYZ, la 6rbita de la luna aparece como una linea

ondulante. Sin embargo, si los observadores conocen su movimiento relativo,

pueden facilmente reconciliar sus observaciones respectivas. En el capitulo 6

discutiremos en m&s detalle este tema importante de comparar datos obtenidos

por observadores que se encuentran en movimiento relativo. Por el momentosupondremos que tenemos un sistema de referencia bien definido.

5.2 Movimiento rectilineo: velocidad

El movimiento de un cuerpo es rectilineo cuando su trayectoria es una recta.

Consideremos que el eje OX de la fig. 5.3 coincide con la trayectoria. La position

del objeto esta definida por su desplazamiento medido desde un punto arbitra-

rio 0, u origen. En principio, el desplazamiento puede relacionarse con el tiempo

mediante una relation funcional x = /*(/). Obviamente, x puede ser positiva o

negativa. Supongamos que en el tiem-

po / el objeto se encuentra en la posi-

cion A, siendo OA = x. Mas tarde en el |*

—

&x—-|

tiempo t\ se encuentra en B t siendo _^ A\ |£ ^xOB = x\ La velocidad promedio entre ° x % f

A y B esta definida por v v,

» = X '~ X = AX

(5 1)F1^ra 5-8

t' — t At'V

donde Ax = xr — x es el desplazamiento de la particula y At = V— t es el tiempo

transcurrido. Por consiguiente la velocidad promedio durante un cierto intervalo

de tiempo es igual al desplazamiento promedio por unidad de tiempo. Para deter-

minar la velocidad instantdnea en un punto, tal como A, debemos hacer el inter-

valo de tiempo At tan pequeno como sea posible, de modo que esencialmente

no ocurran cambios en el estado de movimiento durante ese pequeno intervalo.

En el lenguaje matematico esto es equivalente a calcular el valor limite de la

fraccion que aparece en la ec. (5.1) cuando el denominador At tiende a cero. Esto

se escribe en la forma

v = lim v = lim .

Af-*0 Af-»0 A'

Pero esta es la definicion de la derivada de x con respecto al tiempo; esto es

v = , (5.2)dt

v J

de modo que obtenemos la velocidad instantdnea calculando la derivada del despla-

zamiento con respecto al tiempo. Operacionalmente la velocidad instantanea se

88 Cinematica(5.2

encuentra observando al cuerpo en movimiento en dos posiciones muy cercanasseparadas por una pequena distancia dx y midiendo el intervalo de tiempo di

necesario para que vaya de una position a la otra. En el futuro el termino "velo-cidad" se referird siempre a la velocidad instant&nea.

Si conocemos v = /"</), podemos obtener la posicidn x integrando la ec. (5.2).

De la ec. (5.2) tenemos dx = vdt; luego, integrando, obtenemos

|

Z

dx = f v dUJ XO J tO

donde x es el valor de x en el tiempo * . Y, puesto que J^ dx = x— x

x = x + I vdt. (5.3)J (o

Para entender el significado fisico de la ec. (5.3), el estudiante debe tener encuenta que v di representa el desplazamiento del cuerpo en el intervalo de tiempodi. Luego, dividiendo el intervalo de tiempo t— 1 en intervalos pequenos suce-sivos dtv d/2 , df3, . . ., encontramos que los desplazamientos correspondientes sonvxdtv v2 d/a, i>3 cft3, . .

. , y el desplazamiento total entre t y / es la suma de todosestos. Debe notarse que v19 y2 , vz , ... son los valores de la velocidad en cadaintervalo de tiempo. Entonces, de acuerdo al significado de una integral definida,

Desplazamiento = x— x = vx dtx + v% dt2 + v$ dtz + ... =

^yvidU^j* vdt.

Debemos observar que el desplazamiento Ax (o dx) puede ser positivo o nega-tivo dependiendo de si el movimiento de la particula es hacia la derecha o haciala izquierda, dando por resultado un signo positivo o negativo para la velocidad.Asi el signo de la velocidad en movimiento rectilineo indica la direcci6n del mo-vimiento. La direcci6n es la de + OX si la velocidad es positiva, y la de — OXsi es negativa.

Algunas veces se utilizael concepto de velocidad, definida como distancia/tiempo.Siempre es positiva, y es numericamente igual a la magnitud de la velocidad;es decir, velocidad = \u\* Sin embargo, en general, la velocidad promedio usandoesta definition no tiene el mismo valor que la velocidad promedio de la expre-si6n 5.1. Tambien es importante no confundir el "desplazamiento" x— x en el

tiempo t— 1 con la "distancia" cubierta en el mismo tiempo. El desplazamientose calcula con la ec. (5.3), pero la distancia se obtiene mediante la integral J[ \v\ dtPor ejemplo, al ir de la ciudad A a la ciudad J5, que se encuentra a 100 millas

al este de A, un conductor puede ir primero a la ciudad C, que se encuentraa 50 millas al oeste de A 9 y luego regresar e ir a B. La distancia cubierta ha sido

de 200 millas, pero el desplazamiento de 100 millas. Si el movimiento tiene lugaren 4 horas la velocidad absoluta promedio es de 200 mi/ 4 hr = 50 mi hi-1, y la

velocidad vectorial promedio es de 100 mi/4 hr = 25 mi hr-1 .

5.5) Movimiento rectiltneo: aceleracion 89

En el sistema de unidades MKSC, la velocidad se expresa en metros por se-

gundo, o ms"1, siendo esta la velocidad de un cuerpo que se desplaza un metro

en un segundo con velocidad constante. Evidentemente, la velocidad puede

expresarse con una combination cualquiera de unidades de espacio y tiempo;

tales como millas por hora, pies por minuto, etc.

EJEMPLO 5*1. Una particula se mueve a lo largo del eje X de manera que su posi-

ci6n en cualquier instante t esta dado por x = 5t2 + 1, donde x se expresa en metros

y / en segundos. Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre

(a) 2 s y 3 s, (b) 2 s y 2,1 s, (c) 2 s y 2,001 s, (d) 2 s y 2,00001 s. Calcular tambien (e)

la velocidad instantanea a los 2 s.

Solucion: Haremos t = 2 s, el cual es comiin para todo el problema. Usando x — 5tz++ 1, tenemos x = 5(2)a + 1 = 21 m. Entonces, para cada caso, Ax = x —

x

,

x— 21 y At = t— tQ- t— 2.

(a) Para f = 3s, tenemos A/ = ls,x = 5(3)2 + 1 = 46 m, y Ax = 46 m— 21 m =

= 25 m. Por lo tanto:

Ax 25 m n _

At 1 s

(b) Para t = 2,1 s, tenemos At = 0,1 s, x = 5(2,1)2 + 1 = 23,05 m, y Ax =

= 2,05 m. Por lo tanto:

Ax 2,05 m n . _1u = = — = 20,5 m s-1.

At 0,1 s

(c) Para t = 2,001 s, tenemos At = 0,001 s, x = 5(2,001)2 + 1 = 21,020005 m,y Ax = 0,020005 m. Por consiguiente:

Ax 0,020005 m OAAAC .

v = = — = 20,005 m s-1

At 0,001 s

(d) El estudiante puede verificar que para t = 2,00001 s, v = 20,00005 m s _1 .

(e) Notamos que a medida que At se torna mas pequeno, la velocidad se aproximaa 20 m s"1

. Luego podemos esperar que este sea el valor de la velocidad instantaneacuando / = 2 s. Ciertamente:

dx d(5*2 + 1) = 10/.

.dt dt

Cuando t = 2, obtenemos v = 20 m s_1 que es la respuesta a la pregunta (e).

5.3 Movimiento rectilineo: aceleraeidn

En general, la velocidad de un cuerpo es una funcion del tiempo. Si la velocidad

permanece constante, se dice que el movimiento es uniforme. Refiriendonos

nuevamente a la Fig. 5-3, supongamos que en el tiempo J el objeto se encuentra

en A con una velocidad v y en el tiempo V en B con una velocidad v'. La acele-

racion promedio entre A y B esta definida por

v' — v Av ,_ A.

a = =—

,

(5.4)V — t At

90 Cinemdticaf5, 3

donde Av = v* — v es el cambio en la velocidad y, como antes, At = i' — t es

el tiempo transcurrido. Luego la aceleracion promedio durante un cierto interva-

lo de tiempo es el cambio en la velocidad por unidad de tiempo durante el intervalo

de tiempo.

La aceleracion instantdnea es el valor limite de la aceleracion promedio cuandoel intervalo At es muy pequeno. Esto es,

a — km a = lim,

dv• = -W- (5-5)

de modo que obtenemos la aceleraci6n instantanea calculando la derivada de

la velocidad con respecto al tiempo. Operacionalmente, se encuentra la acelera-

cion instantanea observando el pequeno cambio de la velocidad dv que tiene

lugar en el intervalo muy pequeno de tiempo, dt. En el futuro, cuando digamos"aceleracion", nos estaremos refiriendo a la aceleracion instantanea.

En general, la aceleracion varia durante el movimiento. Si el movimientorectilineo tiene una aceleracion constante, se dice que el movimiento es unifor-

memente acelerado.

Si la velocidad aumenta en valor absoluto con el tiempo, se dice que el mo-vimiento es "acelerado"; pero si la velocidad disminuye en valor absoluto con

el tiempo, el movimiento se denomina "retardado".

Si conocemos la aceleracion, podemos calcular la velocidad integrando la ec. (5.5).

De la ec. (5.5) tenemos dv = a dt9 e, integrando, obtenemos

adt9

'0J VQ J t(

donde v es la velocidad en el tiempo /Q

. Luego, como J^ dv = v — vQ9

v = v + adt (5.6)J to

Como en el caso del desplazamiento, el signiflcado fisico de la ec. (5.6) es facil-

mente comprensible. Sabemos que a di nos da el cambio en la velocidad durante

un intervalo de tiempo dt Luego, dividiendo el intervalo t — /Q en pequeiios

intervalos sucesivos de tiempo dtlt dt2 , dts, . . ., encontramos que los cambios co-

rrespondientes en la velocidad son ax dtv a2 d/2 , a3 d/3 , . ..

, donde av a2 , a3, . .

.

son los valores de la aceleracion en cada intervalo de tiempo, y el cambio total

v— v de la velocidad entre t y t es la suma de estos, Esto es.,

Cambio en la velocidad =v— v = a1dt

1-{- a2 dt2 + az dtz + ...

= V off dtf = adt.

5.3) Movimiento rectilineo; aceleracion 91

La aceleracion se relaciona tambien con la posici6n combinando las ecs. (5.2)

y (5.5). Esto es,

dva =

dt

d2x

d ( dx\

Otra relacion importante entre la position y la velocidad puede obtenerse de

la siguiente manera. A partir de la ec. (5.5) escribimos dv = a dt Cuando multi-

plicamos el lado izquierdo de esta ecuacion por el lado izquierdo de la ec. (5.2)

y hacemos lo mismo con los lados derechos, obtenemos

v dv = a dt ( ) = adx.\ dt )

v y a positivos v y a negativos

V11 1 ^- IJ—*

1- X h-^

O Pa a P

(a) Movimiento acelerado (va > 0)

v positivo y a negativo v negativo y a positivo

—1

—

*V ma

1

Vw Y 1

U * - r «~n

^1

w A 1•" *

1

-P Op

(b) Movimiento retardado (vo < 0)

X

Fig. 5-4. Relacion vectorial entre la velocidad y la aceleracion en el movimientorectilineo.

Integrando, obtenemos

v dv — I adxJ vq J xn

i*>2—H = f a dx. (5.8)

Esta ecuacion es particularmente util para calcular la velocidad cuando la rela-

tion entre x y a es conocida, de modo que la integral puede evaluarse.

En el sistema MKSC, la aceleracion se expresa en metros por segundo, o(ni/s)/s = m s™2, siendo esta la aceleracion de un cuerpo cuya velocidad aumentaun metro por segundo en cada segundo, con aceleracion constante. Sin embargo,*a aceleracion puede tambien expresarse en otras unidades, tal como (mi/hr)/s.

92 Cinemdtica {5A

5.4 Representaeion vectorial de la velocidad y la aceleraeidn

en el movimiento rectilineo

La velocidad en el movimiento rectilineo se representa por un vector cuya Ion-

gitud esta dada por la ec. (5.2) y cuya direction coincide con la del movimiento

(Fig. 5-4). La aceleracion esta tambien representada por un vector de magnitud

dada por la ec. (5.5) y en la direcci6n OX o en la direction opuesta, dependiendo

ello de si es positiva o negativa. Si u es un vector unitario en la direction positiva

del eje de las X, podemos escribir en forma vectorial

v = uv = udx

~dt

a =x~dt

Los vectores vy a est£n dirigidos en la direcci6n de u o en la direction opuesta,

dependiendo de los signos de dxjdt y dvjdU respectivamente. El movimiento es

acelerado o retardado segiin que v y a tengan la misma direcci6n o direcciones

opuestas (Fig. 5-4). Una regla simple es la siguiente: si v y a tienen el mismo signo,

el movimiento es acelerado; si los signos son opuestos, el movimiento es retardado.

1 .

1

1

x = *o+v(t-tpl

V= (•onst*"o 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

h

(a) Grafico de la velocidad (b) Grafico dei desplazamiento

Fig. 5-5. Graficos de la velocidad y el desplazamiento en el movimiento uniforme.

EJEMPLO 5.2. Movimiento rectilineo uniforme.

Solud6n: En este caso v es constante. Entonces a = dvjdt = 0; esto es, no hay

aceleraci6n. De la ec. (5*3), cuando v es constante, tenemos:

x = x + v dt = x + v\

dt = x + v(t — tQ),J

toJ <0

En la Fig. 5-5 (a), representamos v en funci6n de /, En la Fig. 5-5-b, representamos x

en funci6n de I,

EJEMPLO 5.3. Movimiento rectilineo uniformemente acelerado.

Solucidn: En este caso a es constante. Por lo tanto, de la ec. (5.6) tenemos

v = v + adt = v 9 + a\ dt = u + a(t —

1

) 9(5.10)

5J) Representation vectorial de la velocidad g la aceleracion 93

y de la ec. (5.3), tenemos

x = xQ + \ [v + a(t— t )]dt = x + v f dt+a\* (t^t^dt,

x = x + vQ(t — t ) + ia(t— 1 )a

. ]

Es tambiSn util obtener una relaci6n a partir de la ec. (5.8),

(5.11)

Luego

io8 — \v% = aJ

dx = a{x

0* = *>o + 2a(x— x ).

*o).

(5.12)

El caso mas importante de movimiento uniformemente acelerado es el de caidalibre bajo la acci6n de la gravedad. En este caso, tomando la direccidn vertical haclaarrtba como positiva, deflnimos a = — gt tomando el signo menos debido al hechode que la aceleraci6n de la gravedad es hacia abajo. El valor de g varla de un lugar

(a) Graflco de la velocidad (b)- Grafico del desplazamiento

Fig. 5-6. Graficos de la velocidad y el desplazamiento en el movimiento uniforme-mente acelerado.

a otro de la superficie terrestre, pero es siempre muy cercano a g = 9,8 m s~a =32,2 ft s~a . Este valor es el misino para todos los cuerpos, y puede considerarseindependiente de la altura, mientras no nos alejemos de la superficie terrestre, yaque la aceleraci6n de la gravedad disminuye a medida que la distancia sobre lasuperficie terrestre o bajo ella aumenta (capitulo 13).

Podemos representar pyien funci6n del tiempo. Cuando por simplicidad esta-blecemos t = y x = 0, la ec. (5.10) se simplifica a v = v + at y la ec. (5,11) esx = Vot -\- |a/ 2

. Ambas ecuaciones han sido representadas en la Fig. 5.6. Graficosde esta clase son muy utiles para analizar todos los tipos de movimiento.

BJEMPhO 5.4. Un cuerpo se mueve a lo largo del eje X de acuerdo a la ley

x = 2f» + Sf2 + 5,

94 Cinemdtica /g^

donde z se expresa en pies y t en segundos. Encontrar (a) la velocidad y la acelera-ci6n en cualquier momento, (b) la position, velocidad y aceleraci6n cuando / = 2sy 3 s, y (c) la velocidad promedio y la aceleracidn promedio entre t = 2 s y t = 3 s.

Soluei6n: (a) Usando las ecs. (5.2) y (5.5), podemos escribir

dx dV ^

~dt

=~df^ + 5** + 5) = 6'

2 + 10' pies s_1

dv d« = — = — (6P + 100 = 12f + 10 pies s-a.

(b) Para t = 2 s y usando las expresiones respectivas, obtenemos

x = 41 pies, v = 44 pies s-\ a = 34 pies s-2 ,

Similarmente, para / = 3 s, el estudiante puede veriftcar que

x = 104 pies, v = 84 pies s-1, a = 46 pies -*.

(c) Para encontrar la velocidad promedio entre * = 2 s y / = 3 s, tenemos At =1 s, y de (b) Ax = 63 pies, Ad = 40 pies s~\ Luego

Ax 63 pies __ .

v = —rr = = 63 pies S"1,At Is r

. *

Ay 40 pies s- 1 ._ .

" = -rr = ^ = 40 pies s a.

At Is

EJEMPLOS.5. La aceleracuSn de un cuerpo que se desplaza a lo largo del eje Xes a = (4x— 2) m s^% donde x se expresa en metros. Suponiendo que vQ = 10 m s-1

cuando x =* m, encontrar la velocidad en cualquier otra posici6n.

Soluci6n: Como en este ejemplo la aceleracidn esta expresada en funcidn de la posi-ci6n y no en funci6n del tiempo, no podemos usar la deflnici6n a = dvjdt para obte-ner la velocidad por integraci6n. En su lugar debemos utilizar la ec. (5.8), con vn =10 m s-1 y x = 0. Asl

I

iv* — ±(10)a =J"'

(4x— 2)dx

d8 = 100 + 2(2xa— 2x)S = 4i*— 4x + 100

y por consiguiente

v = ]l 4xi — 4x + 100.

^Deberfamos colocar los signos ± delante del radical? Si asi lo hici£ramos, ^cudl|

seria su signiftcado? Sugerimos que el estudiante haga un graflco de la velocidad ven funci6n de la posicidn x, -j

Dejamos como ejercicio para que el estudiante encuentre x en funci6n del tiempo t\usando la definicidn v = dx/dt

9 y de aquel resultado obtenga uyaen funcidn del !

tiempo. Para obtener x(*), puede ser necesario usar una tabla de integrales. \

EJEMPLO 5.6. Se lanza un cuerpo hacia arriba en direcci6n vertical con una :

velocidad de 98 m s-1 desde el techo de un edificio de 100 m de altura. Encontrar I

(a) la maxima altura que alcanza sobre el suelo, (b) el tiempo necesario para alcanzar-la, (c) la velocidad al llegar al suelo, y (d) el tiempo total transcurrido hasta que el \

cuerpo llega al suelo.

5.4) Representation vectorial de la velocidad y la aceleracion 95

Soluctdn: Reflrtendonos a la Fig. 5.7 y usando las ecs. (5.10) y (5.11), con / = 0,

Po = 98 m s_S x = xa = 100 m (el origen de coordenadas C se ha situado en el

piso) y a = — g = — 9,8 m s_1

, tenemos para cualquier tiempo t9

v = 98 — 9,8/,

x = 100 + 98/ — 4,9/». v

En el punto de maxima altura v = 0. Luego98 — 9,8/ = 0, 6 J = 10 s. Reemplazando este

valor en la expresidn de x, obtenemos

XB = 100 + 98(10)— 4,9(10)*

= 590 m.

Para obtener el tiempo necesario para que el

cuerpo llegue al suelo (esto es, al punto Q, po-

nemos xc — 0, siendo C nuestro origen de coor-

denadas. Luego

= 100 + 98/— 4,9/".

Esta es una ecuaci6n de segundo grado en /, cu-yas ratces son:

v =

r = 98 ms-*

4

1

1iFi&ura 5-7

/ = 0,96 s y / = 20,96 s.

La respuesta negativa corresponde a un tiempo previo al del disparo (/ = 0) y debedescartarse, ya que no tiene signiflcado flsico en este problema (puede tenerlo enotros). Para obtener la velocidad en C, introducimos el valor / = 20,96 s en la ex-presidn de vc, obtentendose

oc = 98 — 9,8(20,96) = — 107,41 m s-1.

El signo negativo significa que el cuerpo se desplaza hacia abajo. Se sugiere que elestudiante veriflque los resultados para Xa y vc utilizando la ec, (5.12), la cual paraeste problema es

p> = 9604 — 19,6(x— 100).

Tambi£n el estudiante deberfa resolver el problema colocando el origen en A, Endicho caso

x =: xa = y xc = — 100 m.

BJEMPLO 5.7. Una partlcula se desplaza a lo largo del eje X de acuerdo a la ley* = f

1— 3P— 9f + 5, ^Durante qu6 intervalos de tiempo la partlcula se estamoviendo en la direccidn positiva del eje X y durante qu6 intervalos se esta moviendo*n la direccidn negativa del eje X? ^Durante qu6 intervalos de tiempo es el movi-miento acelerado y durante cu£les otros es retardado? Hacer un gr£fico de x, v y aen funcidn del tiempo.

Sotueton: Aplicando la ec. (5.2), podemos encontrar que la velocidad de la partlculaen cualquier instante / es v = dxfdt = 3 /*— 6/— 9. La velocidad puede escribirsetambten v = 3(/ + l)(f— 3). Usando la ec. (5.5), podemos encontrar que la ace-*eraci6n es a = 6/— 6 = 6(/— 1). Los grfiflcos de x, v y a en funcidn del tiempose muestran en la Fig. 5-8. Notemos que, para * < — 1, la velocidad es positiva y elniovimiento es en la direccidn positiva del eje X. Para / = — 1, x = 10, la velocidads cero. Para — 1 < / < 3, la velocidad es negativa y el movimiento se invierte,ae&plazandose la partlcula en la direccidn negativa del eje X. Cuando f = 3, x =

96 Cinemdtica (5.5

— 22 la velocidad es otra vez cero. Para f > 3, la velocidad vueive a ser positiva

y el movimiento se invierte, movi£ndose la particula en la direccitfn positiva deleje X, Las posiciones de la particula se muestranen la Fig. 5-8(a); los puntos de carn-bio, donde la velocidad es cero se marcan con A y B.Observando los graficos de la velocidad y de la aceleracitin, vemos que para t < — 1

el movimiento es retardado (la magnitud de v disminuye ;vya tienen signos opuestos).Para — 1 < t < 1, el movimiento es acelerado; para 1 < * < 3, el movimiento esnuevamente retardado; flnalmente para t > 3, es acelerado.

Este ejemplo ilustra cuan utiles son los graficos de x, v y a en funci6n del tiempopara conocer las caracteristicas del movimiento*

5*5 Movimiento curvilineo: velocidad

{t = *)IiC

)-!(*=-!)

30

(a)

H—

I

1

—

Y ^ 1 1

—

^X

Consideremos ahora una particula que describe una trayectoria curvilinea P,

como la ilustrada en la Fig. 5-9. En el

tiempo / la particula se encuentra en el

punto A, estando su posici6n dada por

el vector r = OA = u^x + uyy + uzz.

Posteriormente en t\ la particula se encon-

trara en B 9 con r' — OB — u^x' + usy'+

uzz\ Aunque la particula se ha desplaza-

do a lo largo del arco AB = As, el des-

plazamiento, que es un vector, es AB —Ar. Notar en la figura que r' = r + Ars

y por consiguiente

20 10 10 20

x(m)

KMs)

AB = Ar = r' — r = u^x r — x) ++ WjrG/' — y) + u&' — z)

= uJi Ax) + uy(Ay) + uz( Az)> (5.13)

donde Ax = x' — x, Ay = yr — y 9 y

Az — z' — z. La velocidad promedio,

tambien es un vector, definido por

v =t (s)

Ar

~aT(5.14)

o, usando la ec. (5.13),

v = m.Ax Ay

+ «,—

~

At At+ u,

Az

At

(5.15)

La velocidad promedio esta representada

por un vector paralelo al desplazamien-

to AB = Ar. Para calcular la velocidad

5.5)Movimiento curvillneo: velocidad 97

instant&nea debemos, como en casos previos, hacer At muy pequeiio. Esto es,

Arv = lim v — iim

Af-*0 At^O At(5.16)

Ahora cuando At se aproxima a cero, el punto B se aproxima al punto A, como

lo indican los puntos B\ B", . . . en la Fig. 5-10. Durante este proceso el vector

AB = At cambia continuamente de magnitud y direcci6n, y de igual manera

la velocidad promedio. En el iimite cuando B est£ muy cerca de A, el vector

AB = Ar coincide con la direcci6n de la tangente AT. Por tanto, en el movi-

miento curvillneo, la velocidad instant&nea es un vector tangente a la trayec-

toria, y est£ dado por

v =dr

~di(5.17)

Fig. 5-9. Desplazamiento y velocidad

promedio en el movimiento curvilineo.

Fig. 5-10. La velocidad es tangente a la

trayectoria en el movimiento curvillneo.

O, si tenemos en cuenta la ec. (5.15), la velocidad es

dx du dz

dt dt dt(5.18)

indicando que las componentes de la velocidad a lo largo de los ejes X-, Y-,

y Z- son

v* =~dt

ydt

v, = dz

~dT'(5.19)

y la magnitud de la velocidad es

v = V£ + % + & (5.20)

Al pasar de la ec. (5.16) a la ec. (5.17), podemos proceder de una manera algo

diferente. Sea (Fig. 5-9) un punto de referenda arbitrario en la trayectoria.

Luego s = OqA da la position de la particula medida por el desplazamiento a

98 Cinematica (5,0

lo largo de la trayectoria. Como en el caso rectilineo, s puede ser positiva o nega-tiva, dependiendo en que lado de esta la particula. Cuando la particula se

mueve de A a B, el desplazamiento As a lo largo de la curva esta dado por la

longitud del arco AB. Multiplicando y dividiendo la ec. (5.16) por As = arco AB,obtenemos

r Ar As I .. Ar \ I ,. As \v = lim _ = Inn ( hm— LA,_ As At \ As _+ As J \ At^ At J

expresion en la cual indicamos en el primer factor que As ->0 (ver Fig. 5-10),

Ahora, de la Fig. 5.9 podemos ver que la magnitud de Ar es casi igual a la de As,

y a medida que B se acerca a A, mas se aproxima la magnitud de Ar a la de As.

Por lo tanto el limite As _+ Ar/ As representa un vector de magnitud unitaria ydireccion tangente a la trayectoria. Esto es

= M^ (5.21)

dr

~di= lim

As-*0

Ar

As

otra parte,

limAs ds

(5.22)AI_»o A/ dt

Por lo tanto podemos escribir v en la forma

dsv = u T— = uTv, (5.23)

donde dsjdt = v nos da el valor de la velocidad, y el vector unitario uT la direc-

cion* El hecho de que v = dsjdt es el valor de la velocidad esta de acuerdo connuestra definition previa de velocidad en la ec. (5.2), ya que ahora ds es el desplaza-

miento a lo largo de la trayectoria curvilinea en el tiempo dt. De esta manera ds

juega el mismo papel en el movimiento curvilineo que dx en el movimiento rec-

tilineo. La unica diferencia entre las ecs. (5.23) y (5,2) es la inclusion del elementodireccional, dado por el vector unitario tangente Ut, introducido previamenteen la section 5.4.

5.6 Movimiento curvilineo: aceleracion

En el movimiento curvilineo la velocidad, en general, cambia tanto en magnitudcomo en direccion. La magnitud de la velocidad cambia debido a que su valor

aumenta o disminuye. La direccion de la velocidad cambia debido a que la velo-

cidad es tangente a la trayectoria y esta se curva continuamente. La Fig, 5-11

indica la velocidad en los tiempos I y t\ cuando la particula pasa por A y B res-

pectivamente. El cambio vectorial en la velocidad al pasar deAa'B esta indicado

5M) Movimiento curvilineo: aceleracion 99

por Av en el triangulo vectorial; esto es, v + At? = v\ por consiguiente

Ai7 = t?' — # Luego la aceleracion promedio, en el intervalo At, esta defmida por

(5.24)Av

a =

y es paralela a Av* Como v = uj)x + uyvy + uzvz , tenemos Av = ux Avx +

+ ugAv

y + Uz Avz y

_ Avx Av„ Avz

(5.25)

La aceleracion instantanea, que en el fu-

turo denominaremos simplemente por ace-

leracion, esta defmida por:

_ Ai?a = lim a — lim -—

Af-*0 Ai-»0 ^

O —dv Fig. 5-11. Aceleracion en el mo-

(5.26) vimiento curvilineo.

La aceleracion es un vector que tiene la misma direction que el cambio instanta-

neo en la velocidad. Como la velocidad cambia en la direction en la cual la tra-

yectoria se curva, la aceleracion esta siempre apuntando hacia la concavidad

Fi£. 5-12. Relation vectorial entre la velocidad

y la aceleracitfn en el movimiento curvilineo.

de la curva, y en general no es tangente ni perpendicular a la trayectoria, comose indica en la Fig* 5-12. Recordando la ec. (5.17), podemos escribir la ec> (5.26)en la forma

a = d*r

~dP(5.27)

De la ec. (5.25) observamos que

dv dv,a =ux —— + m„ -—i. + uz

dV:X

dt ' "" dt '

~Zdt

' (5.28)

100 Cinemdtica {5.7

de modo que las componentes de la aceleraci6n a lo largo de los ejes X-, Y-, Z son

dux dv„ duxa

ff= —f, <*z=-£-> (5.29)Gx

dt 'y

dt '"*

dt

o, en virtud de la ec. (5.19) o la ec. (5.27),

<Px <Pg (Pza* =W a

'= W' a

> = lnf (5 -30>

La magnitud de la aceleracion es

a = yal + a* + a% (5.31)

En el movimiento curvilineo usualmente conocemos la ecuacion de la trayectoria;

esto es, conocemos las coordenadas de las particulas en movimiento en funcion

del tiempo. Estas coordenadas estan dadas por las ecuaciones

x = x(f), y = y(0, z = z{f).

Aplicando las ecs. (5.19) y (5.29), podemos calcular la velocidad y la aceleraci6n.

En otros casos el problema es todo lo contrario: conocemos las componentes dela aceleracion en funcion del tiempo; esto es,

a* = a*(0> S = a„(0> &z = az(().

Entonces, usando la ec. (5.29) e integrando, obtenemos las componentes de la

velocidad, e integrando la ec. (5.19) obtenemos las coordenadas en funci6n del

tiempo.

5,7 Movimiento bajo aeelerad&n constante

El caso en el cual la aceleracion es constante, tanto en magnitud como en direc-

ci6n, es de especial importancia. Si a = constante, tenemos integrando la ec. (5.26)

r dt?- f adt = a f cf/=o(f—

f

), (5.32)J oq J to J to

donde v es la velocidad para 1=1$. Luego, teniendo en cuenta queJ"{J

dv = v— Tq,

v=v + a(t~ t ) (5.33)

nos da la velocidad en funci6n del tiempo. Sustituyendo este resultado en la

ec. (5.17), e integrando, obtenemos

fP

dr= ( [v<> + a(t-t )]dt=v f dt + a f (t-t )dtr

J ro J to J to J to

5.7)Movimiento bajo aceleracion constante 101

donde r da la posici6n en el tiempo f . Por lo tanto

r=r + v (t-t ) + i«((—

g

2, (5.34)

nos da la posici6n de la particula en cualquier instante. Estos resultados deben

compararse con las ecs. (5.10) y (5.11) obtenidas para el movimiento rectilineo con

aceleracion constante. En el movimiento rectilineo, la velocidad y la aceleracion

tienen o la misma direccion o la opuesta. Sin embargo, en el caso m&s general

que estamos discutiendo ahora, vQ y a pueden tener direcciones diferentes. Por

lo tanto, la velocidad v dada por la ec. (5,33) no es paralela a a, pero se encuentra

siempre en el piano definido por v y a* Igualmente, de la ec. (5.34), vemos que

el extremo del vector r se encuentra siempre en el piano paralelo a v y a, y que

pasa por el punto definido por r . Llegamos

a la conclusion, entonces, que el movimiento

con aceleraci6n constante se produce siem-

pre en un piano. Tambien la ec. (5.34) in-

dica que la trayectoria del movimiento es

una parabola (ver problema 3.33).

Uno de los usos mis interesantes de estas

ecuaciones es su aplicaci6n al movimiento

de un proyectil. En este caso a = g =aceleracion de la gravedad. Escogeremos

el piano XY coincidente con el piano defi-

nido por t? y a = g; el eje Y hacia arriba

de modo que g — — uyg, y el origen

coincidente con r (Fig. 5-1 3) + Entonces

~x

Vq — W^qx 1 Wpl>o0,

Fig. 5-1S. Cuando la aceleracion es

constante la trayectoria es una para-

bola.

donde

v^ = v cos a, v0y= vQ sen a. (5.35)

La ec. (5.33) puede separarse en sus componentes (si /Q= 0) escribiendo

v = Ujpx + u^y = (u^ + uyv0y)— u

ygt

Vx = Vqzj VU = Vqy— gtf (5.36)

que indica que la componente de v en la direccion X permanece constante, comodebia, ya que no hay aceleracion en dicha direccion* Similarmente, la ec. (5.34)

con r = y t — 0, cuando se separa en sus componentes, se transforma

r = u^x x uyy= (u^ + u^y

)t— uy$gt2

que dan las coordenadas de la particula en funcion del tiempo. El tiempo requerido

102 Cinematica {5.1

para que el proyectil alcance la maxima altura A se encuentra haciendo vg= C

en la ec. (5,36) ya que, en aquel punto, la velocidad del proyectil es horizontal.

Luego

9

v sen a(5.38)

La maxima altura h se obtiene sustituyendo este valor de / en la segunda ecua-

ci6n de (5.37), dando como resultado

h = vl sen2 a

2ff

(5.39)

El tiempo necesario para que el proyectil retorne al nivel del suelo eri B, deno-

minado tiempo de vuelo, puede obtenerse haciendo y — en la ec. (5.37). El tiempo

de vuelo es obviamente el doble del valor dado por las ecs« (5.38), o 2vQ sen txjg.

El alcance R = OB es la distancia horizontal cubierta, y se obtiene sustituyendo

el valor del tiempo de vuelo en la primera ecuacion de (5*37), resultando

2v sen aft = v0x

2v% sen a COS a

R = Vq sen 2a(5,40)

Notar que el alcance es maximo para a = 45°. La ecuaci6n de la trayectoria se

obtiene eliminando el tiempo t entre las dos ecs. (5.37), obteniendose

y = —2v% COS2 a

X2 + # tg a s (5.41)

Fig. 5-14* La trayectoria de un pro-

yectil de largo alcance no es una para-bola, sino un arco de una elipse.

^v Trayectoria

\^ parabolica

Fig. 5-15, Efecto de la resistencia del

aire en el movimiento de un proyectil.

5.7)Movimienio bajo aceleracion constante 103

la cual es la ecuacion de una parabola, ya que tanto tg a como el coeficiente

de x2 son constantes.

Los resultados que hemos obtenido son v£lidos cuando: (1) El alcance es sufl-

cientemente pequeno como para despreciar la curvatura de la tierra. (2) La altura

es suficientemente pequena como para despreciar la variation de la gravedad

con la altura, (3) La velocidad inicial del proyectil es suficientemente pequena

para despreciar la resistencia del aire. Para un proyectil de largo alcance, tal

como un ICBM, la situation se muestra en la Fig, 5-14 donde todos los vectores g

senalan hacia el centro de la tierra y varian con la altura. La trayectoria es, en

este caso, un arco de elipse, como se estudiara en el capitulo 13- Si tenemos en

cuenta la resistencia del aire, la trayectoria deja de ser parabolica, como se mues-

tra en la Fig* 5-15 y el alcance disminuye,

EJEMPLO 5.8, Un can6n dispara una bala con una velocidad de 200 m s_1 ha-

ciendo un angulo de 40° con el terreno. Encontrar la velocidad y la posicidn de la

bala despues de 20 s. Encontrar tambi6n el alcance y el tiempo necesario para que la

bala retorne a tierra.

Soluci6n: De la Fig. 5-16, notando que v =200 m s~l y a = 40°, tenemos que vQX ~vQ cos a = 153,2 m s

-1 y vw = v sen a —128,6 m s-1

. De este modo las componen-tes de la velocidad en cualquier instante

estan dadas por v$ =* 153,2 m s-1 y vv =128,6 — 9,8* m s-1

, y las coordenadas dela bala son

153,2* m, y =* 128,6*— 4,9f2 m.

Para t = 20 s, tenemos simplemente vx =153,2 m s-1 y vy = — 67,4 m s-1

. El he-cho de que vy sea negativo significa quela bala esta descendiendo. La velocidad

167,4 m s-1. Similar-

Fig, 5.16. Velocidad en el movimien-to de un proyectil.es v = V vl + vl

mente la position de P esta dada por x =3064 m e y = 612 m. EI estudiante debeverificar que la altura de A es 843,7 m, que el alcance R — OB es de 4021 m, y queel tiempo necesario para ir de O a B es de 26,24 s.

'V

*£• 5-17. Aceleraciones tangencial ynormal en el movimiento curvillneo.

FIgura 5-18

104 Cinematica (5.5

5.8 Componentes tangencial y normal de la aeeleraci&n

Consideremos una particula que describe una trayectoria curva (Fig. 5-17). Porsimplicidad supondremos que la curva es plana pero los resultados que obten-

gamos seran validos para el movimiento a lo largo de cualquier curva. En el

tiempo t la particula se encuentra en A con la velocidad v y aceleraci6n a.

Considerando que la aceleracion a esta dirigida hacia el lado concavo de la tra-

yectoria, podemos descomponerla en una componente tangencial ar— paralela

a la tangente AT y llamada aceleracion tangencial — y una componente normal

Qn — paralela a la normal AN y denominada aceleracion normal. Cada una deestas componentes tiene un significado fisico bien definido. Cuando la particula

se mueve, la magnitud de la velocidad puede cambiar, y este cambio est& rela-

cionado con la aceleracion tangencial. Tambien la direcci6n de la velocidad cambia

y este cambio esta relacionado con la aceleraci6n normal. Esto es:

Cambio en magnitud de la velocidad: aceleracion tangencial.

Cambio en la direccion de la velocidad: aceleracion normal.

Tracemos en A (Fig. 5-18) un vector unitario Ut tangente a la curva. La velo-

cidad, de acuerdo a la ec. (5.23), esta expresada como v = UtV. Asi la acelera-

ci6n ser£

dv d . dv duTdt d/

v J Tdt dt

Si la trayectoria fuera una recta, el vector Uj seria constante en magnitud ydireccion y dujjdt = 0, Pero cuando la trayectoria es curva, la direccion de Ujvaria a lo largo de la curva, dando un valor diferente de cero para dtijldt Paraproseguir debemos calcular durfdt Introduzcamos el vector unitario uNt normal

a la curva y dirigido hacia el lado c6ncavo. Sea<f>

el angulo que hace la tengente a

la curva en A con el eje X, podemos escribir, usando la ec. (3.9),

Asi

Wt = **z cos<f>

-{- uffsen ^,

uN =ux cos l<f> + -^-1 +utfsen (<f> + -M

= —ux sen <j> + ugcos

<f>.

duT , d<f>,

, d6= —it* sen(f>—~ + u

ycos

<f>—^- = uN

dt ' dt * T

dt ' dt

Esto indica que durjdt es normal a la curva. Ahora

d<f> _ d<f> ds _ d<f>

dt ds dt ds

donde ds — AA' es el pequeno arco a lo largo del cual se mueve la particula en

el tiempo dt Las normales a la curva en A y A' se intersectan en el punto C.

r g\ Componentes tangential y normal de la aceleracion 105

llamado el centra de curvatura. Denominando p = CA al radio de curvatura y

usando la ec. (2.4), podemos escribir ds = pd<f> o dtyds = 1/p. Asi d<f>jdt = vjp y

dHT =uN ^. (5.42)dt p

Introduciendo este resultado en la expresion de dv\dt, obtenemos finalmente

a = uT —-+uN—

.

(5.43)dt p

El primer termino [uj(doldt)] es un vector tangente a la curva, y es propor-

tional al cambio con respecto al tiempo de la magnitud de la velocidad; corres-

ponde a la aceleraci6n tangencial ar. El segundo termino [uN(^jp)\ es un vector

normal a la curva, y corresponde a la aceleracion normal aN . Est£ asociado con

el cambio en la direcci6n ya que corresponde a du^fdU Con respecto a las mag-

nitudes, podemos escribir

aT = -?-, «n =—

.

(5-44)dt p

La magnitud de la aceleraci6n del punto A es entonces

a=]/a*T + a% = y (dvjdtf + (^/p2).

Si el movimiento curvilineo es uniforme (esto es, si la magnitud de la velocidad

permanece constante), v = constante, de modo que ar = 0, y no hay aceleraci6n

tangencial. Por otro lado, si el movimiento es rectilineo (esto es, si la direcci6n

de la velocidad no cambia), el radio de curvatura es inflnito (/> = oo), de modo

que aN = y no hay aceleracion normal. Debe senalarse que los resultados que

hemos obtenido son validos tanto para movimientos en un piano como para

movimientos en el espacio.

EJEMPLO 5.0. Un disco D (Fig. 5-19) esta rotando libremente alrededor de su

eje horizontal. Una cuerda esta enrollada alrededor de la circunferencia exterior

del disco, y un cuerpo A, unido a la cuerda, cae bajo la acci6n de la gravedad. El

movimiento de A es uniformemente acelerado, pero, como se vera en el capitulo 10,

su aceleraci6n es menor que aquella debida a la gravedad, Cuando t = 0, la velocidad

del cuerpo A es de 0,04 m s-1

, y dos segundos mas tarde A ha caldo 0,2 m. Encontrarlas aceleraciones tangencial y normal, en cualquier instante, de un punto cualquiera

del borde del disco.

Soluddn: Considerando que el origen de coordenadas se encuentra en la posici6n

t = 0, la ecuaci6n del movimiento uniformemente acelerado de A es x = v^t + ±at*.

Pero sabemos que y = 0>04 m s-1 . Asi

x = 0,04* + Ja/» m.

Con ( = 2s, debemos tener x = 0,2 m. Asi a = 0,06 m s"a, Esto es

x = 0,04* + 0,03P m.

106 Cinemdtica (5.9

B

D[ O*

0"

x --

0,2 m

1ml

\a T

_JL

L 1

(a)

Fig. 6-19, La fotografia de destello multiple en (b) muestra que la masa cae conmovimiento uniformemente acelerado. (Verificar esto tomando medidas de la foto-grafia).

Por consiguiente, la velocidad de A es

dxv =

dt0,04 + 0,06/ m s-».

Esta ecuaci6n da tambign la velocidad de cualquier punto B situado sobre el bordedel disco. La aceleraci6n tangential de B es por lo tanto igual que la aceleraci6n de A,

aT = -?- = 0,06 m s-a,

at

mientras que, como p = 0,1 m, la aceleraci6n normal de B es

p2 (0,04 + 0,060s

Qn =0,1

= 0,016 + 0,048/ + 0,036f3 m s-a.

La aceleracidn total del punto B es asi a = \ a% + a%.

5*9 Movimiento circular: velocidad angular

Consideremos ahora el caso especial en el cual la trayectoria es un circulo; esto

es, movimiento circular. La velocidad v, siendo tangente al circulo, es perpen-

dicular al radio R = CA. Cuando medimos distancias a lo largo de la circun-

ferencia del circulo a partir de O, tenemos, de la Fig, 5-20, que 5 = i?6, de acuerdo

5.9)Movimiento circular: vdocidad angular 107

a la ec. (2.5). Por consiguiente, aplicando la ec, (5.23) y considerando el hecho

de que R permanece constante, obtenemos

ds _ dev = = R—

-

dt dt

La cantidad

CO

do

dt

(5.45)

(5.46)

se denomina vdocidad angular, y es igual a la variaci6n del 6ngulo descrito en

la unidad de tiempo. Se expresa en radianes por segundo, rad s"x> o simplemente

s-1 . Luego

v = 6>fi. (5.47)

Fig. 5-20* Movimiento circular. Fig. 5-21. Relation vectorial entre la

velocidad angular, la velocidad lineal

y el vector de posicidn en el movi-

miento circular.

La velocidad angular puede expresarse como una cantidad vectorial cuya direc-

ci6n es perpendicular al piano del movimiento en el sentido de avance de un

tornillo de rosea derecha girado en el mismo sentido en que se mueve la par-

ticula (Fig, 5-21). De la figura vemos que R = r sen y y que o = uz (dQjdt); por

lo tanto podemos escribir, en lugar de la ec. (5.47),

v = <or sen y,

indicando que la siguiente relation vectorial se cumple, tanto en magnitud comoen direcci6n.

y© = o x ty (5.48)

Notese que esto es vilido solamente para movimiento circular o rotational (mo-

vimiento con r y y constantes).

108 Cinemdiica fag

De interes especial es el caso de movimiento circular uniforme; esto es, movi-miento en el que *> = constante. En este caso, el movimiento es peri6dico y la

particula pasa por cada punto del circulo a intervalos iguales de tiempo* El pe-rtodo P es el tiempo requerido para realizar una vuelta completa o revolucibn,

y la frecuencia es el numero de revoluciones por unidad de tiempo. Asl si en el

tiempo t la particula realiza n revoluciones, el periodo es P = tjn y la frecuencia

es v = njL Ambas cantidades est&n entonces relacionadas por la siguiente expre-si6n, que usaremos a menudo,

V--1-. (5.49)

Cuando el periodo se expresa en segundos, la frecuencia debe expresarse en (se-

gundos)-1 o s-1, unidad denominada hertz, abreviada Hz. El termino usuales revoluciones por segundo (rps) en lugar de s

-1 o Hz. La unidad fue llamadahertz en honor del fisico alemdn H. R. Hertz (1857-1894), quien fue el primeroen demostrar experimentalmente la existencia de ondas electromagneticas. Al-gunas veces la frecuencia de un movimiento se expresa en revoluciones por mi-nuto (rpm). o equivalentemente en (minutos) 1

. Obviamente 1 min-1 = ^ Hz,Los conceptos de periodo y frecuencia son aplicables a todos los procesos pe-

ri6dicos que ocurren en forma ciclica; esto es, aquellos procesos que se repiten

despues de completer cada ciclo. Por ejemplo, el movimiento de la tierra alrede-

dor del sol no es ni circular ni uniforme, pero es peri6dico. Es un movimientoque se repite cada vez que la tierra completa una 6rbita. El periodo es el tiemporequerido para completar un ciclo, y la frecuencia es el numero de ciclos porsegundo, correspondiendo un hertz a un ciclo por segundo.

Si « es constante, tenemos, integrando la ec. (5.46),

|de =

|cod/ = <o f dt 6 8 = e + «(*— g,

J oo J to J to

El estudiante debe comparar esta relaci6n, la cual es vdlida para el movimientocircular uniforme, con la expresi6n comparable del movimiento rectilineo uni-

forme obtenido en el ejemplo 5.2. Usualmente se adopta O= y f = 0, dando

6 = «* 6 o> = —

.

(5.50)

Para una revoluci6n completa, ( = Py 6 = 2*, resultando

2* n- = 2™ (5.51)Ci> =

EJEMPLO 5.10. Encontrar la velocidad angular de la tierra con respecto a su eje,

Soluei6n: El primer impulso del estudiante seria naturalmente usar la ec. (5.51),con w = 2tt/P, escribiendo para el periodo P el valor de 8,640 x 104 s, correspon-diente a un dia solar medio. Sin embargo, si operaramos de esta manera, el resultado

5J0) Movimiento circular: aceleracion angular 109

seria incorrecto. Veamos la Fig, 5-22 (no dibujada a escala) y consideremos un punto P.

Cuando la tierra ha completado una revolucidn con respecto a su eje polar, lo cual

se denomina dla sideral, se encontrara en E\ debido a su movimiento de traslaci6n,

y el punto estari en P'. Pero para completar un dla, la tierra tiene atin que girar

a travGs del &ngulo y hasta que el punto se encuentre en P*> dando cara nueva-

mente al sol. El periodo de revolucitfn de la tierra (dla sideral) es entonces ligera-

mente menor que 8,640 x 10* s. Su valor medido es

P = 8,616 + 10* s,

o alrededor de 240 s menor que el dla solar medio. La

velocidad angular de la tierra es entonces

2tc6> = = 7,292 x 10-5 rad s -i

Es relativamente simple estimar esta diferencia de

240 s. La tierra cubre su drbita completa alrededor

del sol en 365 dias, lo cual signifies que el angulo ycorrespondiente a un dia es ligeramente menor que 1°

6 0,01745 radianes. El tiempo necesario para recorrer

este 4ngulo con la velocidad angular dada lineas

arriba, es, por la ec. (5.50),

1,745 x 10-1 rad _7,292 x 10-B rad s~l

= 239 s, Fig. 5-22. Dia Sideral.

valor que estd en excelente acuerdo con nuestro resultado previo.

5.10 Movimiento circular: aceleracidn angular

Cuando la velocidad angular de una particula cambia con el tiempo, la aceleracidn

angular esti definida por el vector

a =da*

(5,52)

Como el movimiento circular es en un piano, la direcci6n de m permanece inva«

liable, y la relacidn (ec. 5.52) tambi&i se cumple para las magnitudes de las can-

tidades involucradas. Esto es,

:ua =

dt ~dfi'(5.53)

Cuando la aceleracidn angular es constante (esto es, cuando el movimiento circu-

lar es uniformemente acelerado), tenemos, integrando la ec, (5.53),

p<* ft rt

J wo J *0 * '0

6k = O> + Qt(f<o),

(5.54)

110 Cinematica (5.10

donde o es el valor de o> para el tiempo / . Sustituyendo la ec. (5*54) en la ec. (5.46),obtenemos dfydt = co + a(f— f ), e integrando nuevamente,

f de = r o di+ a r (t—t )du

(5.55)

de modo que

= eo + c*o(/-g + ±a(<-<o)2-

Esto da la position angular para cualquier tiempo.

En el caso particular de movimiento uniforme, encontramos combinando las

ecs. (5.43) y (5.47) con la ec. (5.53), que la aceleraci6n tangential (o transversal) es

dv da <P$aT = -T- = R = R = R<x9

dt dt dP(5.56)

Fig. 5-23. Aceleracionestangential y normal en el

movimiento circular.

wxr

Figura 5-24

y que la aceleracion normal (o centripeta) es

y2

«N =— = w2 R, (5.57)

Las componentes tangencial y normal de la aceleracion en el movimiento circular

se ilustran en la Fig. 5-23.

Notese que en el movimiento circular uniforme (aceleracion angular nula,

a = 0), no hay aceleracion tangencial, pero si aceleracion normal o centripeta

debido al cambio de direction de la velocidad.

En este caso de movimiento circular uniforme podemos calcular la aceleracion

directamente usando la ec. (5.48). Luego, como w es constante,

dv dra = —— — <n x = m x v,

dt dt(5.58)

5J0) Mouimiento circular; aceleracion angular 111

ya que drjdl = v. Usando la ec. (5.48) nuevamente, podemos escribir la acelera-

cion en la forma alterna

a = a> x (ct> x r). (5.59)

Como el movimiento circular es uniforme, la aceleracion dada por la ec. (5.58)

o (5*59) debe ser la aceleracion cetripeta. Esto puede verificarse facilmente. Refi-

riendose a la Fig. 5-24, vemos que el vector g> x v senala hacia el centro del

circulo, y su magnitud es \a> x v\ = <»v = uafl, ya que & y v son perpendicu-

lars y v = wR Este valor coincide con nuestro resultado previo (5.57)*

EJEMPLO 5.11* La tierra rota uniformemente con respecto a su eje con una velo-

cidad angular at = 7,292 x 10"5 stal

. Encontrar, en funci6n de la latitud, la velocidad

y la aceleracidn de un punto sobre la superficie terrestre.

Sotucidn: Debido al movimiento rotacional de la tierra, todos los puntos sobre su

superficie se mueven con movimiento circular uniforme. La latitud del punto A

(Fig, 5-25) se define como el angulo X que el ra-

dio r = CA forma con el radio CD situado enj

el ecuador. Cuando la tierra gira alrededor del CJ3"eje NS, un punto tal como A describe un clrculo

de centro B y radio R = AB tal que

R — r cos X,

La velocidad de un punto sobre la superficie de

la tierra es tangente al clrculo, y es por tanto

paralela al ecuador. Su magnitud, por la ec.

(5.47) es

v = oyR = o>r cos X.

La aceleracidn a es centripeta porque el movi-

miento es uniforme, y esta dirigida hacia B. Su

magnitud, por la ec. (5,57), es

a = v?R = co'r cos X. (5.60)Fig. 5-25. Velocidad y acelera-

cidn de un punto sobre la tierra,Introduciendo los valores de la velocidad angu-

lar (co = 7,292 x 10-* s-1) y el radio de la tie-

rra (r = 6,35 x 10* m), tenemos

u = 459 cos X m s_1

,

y la aceleraci6n es

a = 3,34 x 10"* cos X m s-1 .

El valor m&ximo de v ocurre en el ecuador, para el cual v = 459 m S"1 6 1652 km hr-1

o cerca de 1030 mi hr-1. Nosotros no sentimos los efectos de esta velocidad tan

grande, porque siempre hemos estado movtendonos a dicha velocidad y nuestros

cuerpos y sentidos se ban acostumbrado a ella. Pero notariamos inmediatamente un

cambio en ella. Similarmente, el m&ximo valor de la aceleracidn es 3,34 x 10"1 m s-*,

«1 cual es alrededor del 0,3 % de la aceleracidn debida a la gravedad.

(5.61)

112 Cinemdtica

5*11 Movitniento curvilineo general en un pUmo

(5.11

Considerar la Fig. 5.26, en la cual una particula describe una trayectoria curvi-linea en un piano. Cuando se encuentra en A t su velocidad estd dada por v =

drfdt Usando los vectores unitarios ur (pa-ralelo a r) y u& (perpendicular a r), pode-mos escribir r = uw. Por consiguiente

dt dt dt dt

(5.62)

Ahora, usando las componentes rectangula-

res de los vectores unitarios,

ur = ux cos 9 + uffsen 9

yth = — «x sen 9 + u

ycos 9,

vemos que

rfe,

* <*9 de- + uffcose_^«

fl^r ,

Figura 6-26

dur

IT = — ux sen 9

y por consiguiente podemos escribir la velocidad de la particula como

drt

d9(5.63)

La primera parte de esta ecuaci6n [u^dr/df)] es un vector paralelo a r y se llamala velocidad radial; es debida al cambio en la distancia r de la particula del punto O.

La segunda parte [i*ar(d9/d0] es un vector perpendicular a r y es debido al cambioen la direcci6n de r, o la rotaci6n de la particula alrededor de 0; se denominala velocidad transversal, Esto es

/

v, = dr

dt

de i

v6 =r—~ *? «r,at

(5.64)

ya que « = dfydt es la velocidad angular en este caso. En el movimiento circular

no hay velocidad radial porque el radio es constante; esto es, drjdt = 0. La velo-

cidad es enteramente transversal, como podemos ver comparando la ec. (5,45)

coi la segunda relation en la ec. (5.64).

Bibliografla 113

Bibliografia

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ding, Mass. : Addison-Wesley, 1958, caps. 1, 2 y 3

Probletnas

5.1 Un electr6n incide sobre una pan-talla de televisidn con una velocidad de

3 x 10* m s-1. Suponiendo que ha sido

acelerado desde el reposo a trav£s deuna distancia de 0,04 m, encontrar su

aceleracidn promedio.

5.2 Un cuerpo se mueve con una velo-

cidad inicial de 3 m s_1

, y una acelera-

cidn constante de 4 m s~* en la mismadireccidn que la de la velocidad. &Cuales la velocidad del cuerpo y la distanciarecorrida al final de 7 s? Resolver el

mismo problema para un cuerpo cuyaaceleracidn tiene direcci6n opuesta de la

velocidad. Escribir la expresi6n del des-

plazamiento en funcidn del tiempo.

5-3 Un aeoroplano, al partir, recorre600 m, en 15 s. Suponiendo una acelera-cidn constante calcular la velocidad departida. Calcular tambten la acelera-cidn en m s-*,

5.4 Un autom6vil, que parte del re-poso, alcanza una velocidad de 60 kmhr-1 en 15 s. (a) Calcular la aceleracidnpromedio en m min_a y la distanciarecorrida, (b) Suponiendo que la acele-racidn es constante, ^cuantos segundos

mis le tomara al auto para alcanzar los

80 km hr _1? £Cu41 ha sido la distancia

total recorrida?

5.5 Un auto parte del reposo y se

desplaza con una aceleracidn de 1 m s-1

durante 1 s. Luego se apaga el motory el auto desacelera debido a la friccidn,

durante 10 s a un promedio de 5 cm s-1 .

Entonces se aplican los frenos y el autose detiene en 5 segundos m£s. Calcular

la distancia total recorrida por el auto.

Hacer un gr&flco de z, v y a contra L

5.6 Un cuerpo que se mueve con mo-vimiento rectillneo uniformemente ace-

lerado viaja 55 pies en 2 s« Durante los

prdximos 2 s, cubre 77 pies, Calcular la

velocidad inicial del cuerpo y su acele-

racidn, £Qu6 distancia recorrera en los

prdximos 4 s?

5.7 Un auto viaja a lo largo de la HneaOX con movimiento uniformemente ace-

lerado. En los tiempos tx y tu sus posi-

ciones son x, y Xj, respectivamente. De-mostrar que su aceleracidn es a = 2(x^ — xA)/W,- <i)-

5.8 Un auto parte del reposo y se

mueve con una aceleracidn de 4 m s-1

114 Cinemdtica

y viaja durante 4 s. Durante los pr6-ximos 10 s se mueve con movimientouniforme. Se aplican luego los frenos

y el auto desacelera a raztin de 8 m s~a

ha,sta que se detiene, Hacer un graflco

de la velocidad contra el tiempo y de-mostrar que el area comprendida entrela curva y el eje del tiempo mide la

distancia total recorrida.

5.9 Un auto esta esperando que cam-bie la luz roja. Cuando la luz cambiaa verde, el auto acelera uniformementedurante 6 s a raz6n de 2 m s -2 , despuGsde lo cual se mueve con velocidad cons-tants En el instante que el auto co-mienza a moverse, un cami6n que se

mueve en la misma direccidn con mo-vimiento uniforme de 10 m s

_1, lo pasa.

<,En que tiempo, y a que distancia se

encontraran nuevamente el auto y el

cami6n?

5.10 Un autom6vil se esta moviendoa una velocidad de 45 km hr_1 cuandouna luz roja se enciende en una inter-

seccidn. Si el tiempo de reacci6n del

conductor es de 0,7 s, y el auto desace-lera a raz6n de 7 m s~a tan pronto el

conductor aplica los frenos, calcular quedistancia recorrera el auto desde el

instante en que el conductor nota la

luz roja hasta que el auto se detiene.

"Tiempo de reacci6n" es el intervalo

entre el tiempo en que el conductornota la luz y el tiempo que aplica los

frenos.

5.11 Dos autos, A y B, estan viajandoen la misma direcci6n con velocidadesva y vb> respectivamente. Cuando el

auto A se encuentra a una distancia ddetras del auto B, se aplican los frenos

de A y causando una desaceleracitin a.

Demostrar que a fin de que haya unchoque entre A y B, es necesario que

va — vb > ]/2ad f

5.12 Do& autos, A y B, se muevenen la misma direcci6n, Cuando t = 0,

sus velocidades respectivas son 1 pie s_1

y 3 pies s_1

, y sus respectivas acelera-

ciones son 2 pies s_a y 1 pie s

-2. Si el

auto A se encuentra 1,5 pies delante del

auto B cuando t = 0, calcular cuandose encontraran lado a lado.

5.13 Un cuerpo se esta moviendoa lo largo de una recta de acuerdo a la

ley x = 16/— $P, donde x se mide enmetros y t en segundos. (a) Encontraila posici6n del cuerpo cuando 1 = 1 s,

(b) ^Para que tiempos el cuerpo pasapor el origen? (c) Calcular la velocidadpromedio para el intervalo de tiempc< t < 2 s. (d) Encontrar la expresi6n

general de la velocidad promedio enel intervalo t < t < (/ + At), (e) Calcu-lar la velocidad en cualquier instante.(f) Calcular la velocidad instantaneapara t = 0. (g) ^Para qu6 tiempos y po-siciones estara el cuerpo estacionario?(h) Encontrar la expresidn general de la

aceleraci6n promedio para el intervalode tiempo t < t < (t + Af). <i) Encon-trar la expresi6n general de la acelera-ci6n instantanea en cualquier instante.

(j) ^Para que tiempos es la aceleraci6ninstantanea cero? (k) Representar en unconjunto simple de ejes x contra t, vcontra U y a contra t. (1) ^Para quetiempo(s) el movimiento es acelerado

y para que tiempo(s) es retardado?

5.14 Un cuerpo se mueve a lo largo deuna recta de acuerdo a la ley v = P ++ 4/2

-f 2, Si x = 4 pies cuando f = 2 s,

encontrar el valor de x cuando / = 3 s.

Encontrar tambien su aceleracitin.

5.15 La aceleraci6n de un cuerpo quese mueve a lo largo de una linea rectaesta dada por a = 4 — P, donde a se

da en m s~2 y t en segundos. Encontrarlas expresiones de la velocidad y el des-plazamiento en funcitin del tiempo, su-

poniendo que para t = 3 s, v = 2 m s_1

y x = 9 m.

5.16 Un cuerpo se mueve a lo largo deuna recta. Su aceleraci6n esta dada pora = — 2x 9 donde x esta en pies y aesta en pies s~a

. Encontrar la relaci6nentre la velocidad y la distancia, supo-niendo que cuando x = 0, v = 4 pies s~J

,

5.17 La aceleraci6n de un cuerpo quese mueve a lo largo de una linea rectaesta dada por a = — Kti*

t donde Kes una constante y suponiendo quecuando / = 0, v = i? . Encontrar la velo-cidad y el desplazamiento en funci6n del

tiempo. Encontrar tambien x en fun-ci<Jn de t y v en funci6n de x.

5.18 Para un cuerpo en movimientorectilineo cuya aceleraci6n esta dada pora = 32 — 4v (las condiciones iniciales

Problemas 115

son x *= y v = 4 cuando t - 0), en-

contrar v en funcidn de /, x en funci6n

de f, y x en funci<Sn de v.

5.19 La posicidn de un cuerpo en mo-vimiento en funci6n del tiempo se pre-

senta en la Fig. 5-27. Indicar (a) d6nde

el movimiento es en la direction positiva

y negativa de las X. (b) Cuando el mo-vimiento es acelerado o retardado. (c)

Cuando el cuerpo pasa por el origen,

y (d) cuando la velocidad es cero. Hacer

tambi^n un esquema de la velocidad y la

aceleraci6n en funcitin del tiempo. Es-

timar del graflco la velocidad promedio

entre (a) t - 1 s y t = 3 s, (b) t - 1 s

y t = 2,2 s, (c) t - 1 s y t = 1,8 s.

X(m)

Fig. 5-27* Aceleraci6n debida a la rota-

ci6n de la tierra.

5.20 Una piedra cae desde un globoque desciende a una velocidad uniformede 12 m s _1 . Calcular la velocidad y la

distancia recorrida por la piedra despu£sde 10 s. Resolver el mismo problemapara el caso cuando el globo se elevaa la misma velocidad.

5.21 Una piedra se lanza verticalmentehacia arriba con una velocidad de 20 ms~l

. ^Cuando tendrd una velocidad de6 m s^1 y a qu6 altura se encontrara?

5.22 Se tira una piedra hacia arribadesde el fondo de un pozo de 88 pies deprofundidad con una velocidad inicialde 240 pies s-1

, Calcular el tiempo quedemorara la piedra en alcanzar el bordedel pozo, y su velocidad* Discutir lasrespuestas posibles.

5*23 Un hombre parado en el techo deun ediflcio tira una bola verticalmente

hacia arriba con una velocidad de40 pies s _l . La bola llega al suelo 4,25 s

mas tarde. ^Cual es la maxima altura

alcanzada por la bola? &Qu6 altura tiene

el ediflcio? ^Con qu£ velocidad llegara

la bola al suelo?

5.24 Un cuerpo que cae recorre 224 pies

en el ultimo segundo de su movimiento.Suponiendo que el cuerpo partid del

reposo, determinar la altura desde la

cual cay6 el cuerpo y qu6 tiempo le

tomd llegar al suelo.

5.25 Una piedra es lanzada vertical-

mente hacia arriba desde el techo de unediflcio con una velocidad de 29,4 m s

_1.

Otra piedra se deja caer 4 s despu£s quese lanza la primera. Demostrar que la

primera piedra pasara a la segundaexactamente 4 s despu6s que se soltd la

segunda.

5.26 Un cuerpo se deja caer y simul-

taneamente un segundo cuerpo, se tira

hacia abajo con una velocidad inicial

de 100 cm s-1. ^Cuando sera la distancia

entre ellos de 18 m?5.27 Se tiran dos cuerpos verticalmentehacia arriba, con la misma velocidad

de salida de 100 m s~\ pero separados 4 s.

lQn€ tiempo transcurrira desde que se

lanz6 el primero para que se vuelvana encontrar?

5.28 Un cuerpo cae libremente. Demos-trar que la distancia que recorre duranteel en£simo segundo es (n — i)g.

^29 Se deja caer una piedra desde lo

alio de un ediflcio. El sonido de la piedra

al chocar con el suelo se escucha 6,5 s

mas tarde. Si la velocidad del sonido

es de 1120 pies s_1

, calcular la altura

del ediflcio.

5.30 Calcular la velocidad angular deun disco que gira'con movimiento uni-

forme 13,2 radianes cada 6 segundos.

Calcular tambien el perlodo y la fre-

cuencia de rotation.

5.31 £Qu6 tiempo le tomard al disco

del problema anterior (a) girar un £ngulo

de 780°, y (b) dar 12 revoluciones?

5.32 Calcular la velocidad angular delas tres manecillas de un reloj.

5.33 Calcular la velocidad angular, la

velocidad lineal, y la aceleraci6n cen-

tripeta de la luna, derivando su res-

116 Cinemdtica

puesta del hecho que la lima realiza

una revolucidn completa en 28 dlas y quela distancia promedio de la tierra a la

luna es de 38,4 x 10* km.

5.34 Encontrar (a) la magnitud de la

velocidad y (b) la aceleracidn centrlpetade la tierra en su movimiento alrededordel sol. El radio de la 6rbita terrestre

es de 1,49 x 1011 m y su periodo derevolucidn es de 3,16 x 10 7

s.

5.35 Encontrar la magnitud de la velo-cidad y la aceleracidn centrfpeta del sol

en su movimiento a travSs de la ViaLActea. El radio de la drbita del sol es

de 2,4 x 1010 m y su periodo de revo-lucidn es de 6,3 x 10 1* s.

5.36 Una volante cuyo diametro es de3 m esta girando a 120 rpm. Calcular:(a) su frecuencia, (b) el periodo, (c) la

velocidad angular, y (d) la velocidadlineal de un punto sobre su borde.

5.37 La velocidad angular de un vo-lante aumenta uniformemente de 20 rads-1 a 30 rad s-1 en 5 s. Calcular la ace-

leracidn angular y el Angulo total re-

corrido.

5.38 Un volante cuyo diametro es de8 pies tiene una velocidad angular quedisminuye uniformemente de 100 rpmen / =0, hasta detenerse cuando / = 4 s.

Calcular las aceleraciones tangencial ynormal de un punto situado sobre el

borde del volante cuando t = 2 s.

5.39 Sobre un electr6n cuya velocidades de 4,0 x 106 m &-1 actiia un campomagn£tico que lo obliga a describir unatrayectoria circular de 3,0 m. Encon-trar su aceleracidn centrfpeta.

5.40 Un cuerpo, inicialmente en reposo(8 = y o> = cuando t — 0) es acele-

rado en una trayectoria circular de1,3 m de radio de acuerdo a la ecuacidnot = 120f*— 48* + 16. Encontrar la po-sicidn angular y la velocidad angular delcuerpo en funcidn del tiempo, y las

componentes tangencial y centrlpeta desu aceleracidn.

5.41 .Un punto se mueve en un circulo

de acuerdo a la ley s = /» + 2f*, dondes se mide en pies a lo largo del circulo y t

en segundos. Si la aceleracidn total del

punto es 16 \2 pies s-1 cuando t = 2 s,

calcular el radio del circulo.

5.42 Una particula se esta moviendcen un circulo de acuerdo a la ley 8 == 3/* + 2t donde 6 se mide en radianes

y / en segundos. Calcular la velocidadangular y la aceleracidn angular des-

pugs de 4 s.

5.43 Una rueda parte del reposo y ace-

lera de tal manera que su velocidad an-gular aumenta uniformemente a 200 rpmen 6 s. Despu6s de haber estado girandopor algun tiempo a esta velocidad, se

aplican los frenos y la rueda toma 5 minen detenerse. Si el mimero total derevoluciones de la rueda es de 3100,calcular el tiempo total de rotacidn.

2 pies

3 pies

D

BWmmmmmmFigura 5-28

m

5.44 La barra BC de la Fig. 5-28 estfi

oscilando debido a la accidn de la barraAD. El punto A esta unido al borde deun volante cuyo diametro es de 9 pul-

gadas y el cual est& girando a una velo-

cidad angular de 60 rpm y a una ace-

leracidn angular de 6 rad s~*. Calcular

(a) la velocidad lineal en el punto £>,

(b) la velocidad angular de BC, (c) las

aceleraciones tangencial y normal del

punto C, (d) la aceleracidn angular deBC, (e) la aceleracidn tangencial en D.

5.45 Un volante de 4 pies de radio estAgirando con respecto a un eje horizontal

mediante una cuerda enrollada en suborde y con un peso en su extremo. Si

la distancia vertical recorrida por el

peso esta dada por la ecuacidn x = 40P,donde x se mide en pies y t en segundos,calcular la velocidad angular y la acele-

racidn angular del volante en cualquierinstante.

Problemas 117

5.46 La posicidn angular de una par-

ticula que se mueve a lo largo de la cir-

cunferencia de un circulo de 5 pies de

radio esta dada por la expresi6n 6 = 3P,

donde 6 se da en radianes y t en segun-

dos. Calcular las aceleraciones tangen-

cial, normal, y total de la particula

cuando t = 0,5 s.

Figura o-2t>

5.47 La rueda A (Fig. 5-29) cuyo radio

tiene 30 cm parte del reposo y aumenta

su velocidad angular uniformemente a

raztin de 0,4* rad s-1

. La rueda trans-

mite su movimiento a la rueda B me-diante la correa C. Obtener una relacitin

entre las aceleraciones angulares y los

radios de las dos ruedas. Encontrar el

tiempo necesario para que la rueda Balcance una velocidad angular de 300 rp

minuto.

5.48 Una bola se esta moviendo hacia

el norte a 300 cm s-1 cuando se Ie aplica

una fuerza durante 40 s, dando lugar

a una aceleraci6n hacia el este de 10 cms-*, despu6s de lo cual se quita la fuerza.

Determinar (a) la magnitud y direcci6n

de la velocidad final de la bola, (b) la

ecuacWn de su trayectoria, (c) su distan-

cia del punto de partida, (d) su desplaza-

miento del punto de partida.

5.49 Un tren se esta moviendo a 72 kmhr~l cuando una linterna que esta col-

gando en el extremo del tren a 4,9 msobre el piso, se suelta. Calcular la dis-

tancia recorrida por el tren en el tiempoque demora la lampara en caer al suelo.

iD6nde cae la lampara con respectoal tren y a los rieles? &Cual es la tra-

yectoria relativa al tren y cual a los

rieles?

5.50 Un auto esta viajando en unacurva plana tal que sus coordenadasrectangulares, en funci6n del tiempo,esUn dadas por x = 2P— 3P, g =

= f»— 2t + 1. Suponiendo que t esta

dado en segundos y las coordenadas enmetros, calcular (a) la posici6n del auto

cuando t = 1 s, (b) las componentesrectangulares de la velocidad en cual-

quier instante, (c) las componentes rec-

tangulares de la velocidad cuando t = 1 s,

(d) la velocidad en cualquier instante,

(e) la velocidad cuando t = s, (f) el

(los) tiempo(s) cuando la velocidad es

cero, (g) las componentes rectangulares

de la aceleraci6n en cualquier instante,

(h) las componentes rectangulares de la

aceleraci6n cuando f = 1 s, (1) la acele-

racidn en cualquier instante, (j) la ace-

Ieraci6n cuando t = s, (k) el (los)

tiempo(s) cuando la aceleracidn es para-

lela al eje Y.

5.51 Un jugador de beisbol golpea la

bola de modo que adquiere una veloci-

dad de 48 pies s_1 en un angulo de 30°

sobre la horizontal. Un segundo jugador,

parado a 100 pies del bateador y en el

mismo piano de la trayectoria de la

bola, comienza a correr en el mismoinstante en que el primero golpea la

bola. Calcular su velocidad minima si

61 puede alcanzarla a 8 pies sobre el

suelo y considerando que la bola se en-

contraba a 3 pies de altura cuando reci-

bi6 el golpe. &Qu6 distancia tuvo quecorrer el segundo jugador?

5.52 Las coordenadas de una particula

en movimiento estan dadas por x — Pf

y = (t — l)a . Encontrar su velocidad

promedio y aceleracidn en el intervalo

de tiempo entre t y t + AL Aplicar los

resultados para el caso cuando ( = 2 s

y A( = 1 s y comparar con los valores

de la velocidad y aceleracidn para t = 2 s.

Representar todos los vectores que inter-

vienen.

5.53 La posicidn de una particula en el

tiempo t est£ dada por x = A sen &LEncontrar su velocidad y aceleracidn

en funcidn de t y de x.

5.54 Un punto se esta moviendo con

velocidad constante de 3 pies s-1

. Lavelocidad tiene una direcci6n tal que

hace un &ngulo de (nj2)t radianes con el

eje positivo de las X. Si x = y =cuando t = 0, encontrar la ecuaci6n de

la trayectoria de la particula.

5.55 Las coordenadas de un cuerpo

en movimiento son x = f*, y = (t— l)2 .

118 Cinemdtica

(a) Encontrar la ecuacidn Gartesiatia dela trayectoria. (Ayuda: Eliminar t de las

ecuaciones.) (b) Representar la trayec-toria, (c) ^Cuando se tiene la velocidadminima? (d) Encontrar las coordenadascuando la velocidad es 10 pies s-\ (e)

Calcular las aceleraciones tangencial ynormal en cualquier instante. (f) Calcu-lar las aceleraciones tangencial y normalcuando t = 1 s.

5.56 Una particula se esta moviendoa Io largo de una parabola y = x2 demodo que en cualquier instante vx == 3 pies s^1

. Calcular la magnitud y la

direcci6n de la velocidad y la acelera-

cidn de la particula en el punto x == i Pi«*

5.57 Las coordenadas de un cuerpo enmovimiento son x = 2 sen c*f, y = 2 cos&L (a) Encontrar la ecuaci6n Cartesianade la trayectoria, (b) Calcular el valorde la velocidad en cualquier instante.

(c) Calcular las componentes tangencial

y normal de la aceleracidn en cualquierinstante, Identificar el tipo de movi-miento descrito por las ecuaciones ex-puestas.

5.58 Si las coordenadas de un cuerpoen movimiento son x = at, y = b sen at,

demostrar que el valor de la aceleracitin

es proporcional a la distancia, entre el

cuerpo y el eje X, Hacer un grafico de la

trayectoria.

5.59 Un punto se mueve en el pianoXY de tal manera que vx = 4P + 4/,

vy = 4t Si la posici6n del punto es

(1, 2) cuando t = 0, encontrar la ecua-ci6n Cartesiana de la trayectoria.

5.60 Una particula se mueve en el pianoXY de acuerdo a la ley ax = — 4 sen t,

ay = 3 cos /. Si cuando t = 0, x =y — 3, vx = 4, vy = 0: Encontrar (a) la

ecuacidn de la trayectoria y (b) calcularel valor de la velocidad cuando t = 7r/4 s #

5.61 Un proyectil es disparado conuna velocidad de 600 m s

_1 haciendo unangulo de 60° con la horizontal, Calcular(a) el alcance horizontal, (b) la alturamaxima, (c) la velocidad y altura des-

pues de 30 s, (d) la velocidad y el tiempocuando el proyectil se encuentra a 10 kmde altura.

5.62 Un avi6n bombardero esta vo-lando horizontalmente a una altura de

1,2 km con una velocidad de 180 kmhr- 1

. (a) ^Cuanto tiempo antes de que el

avi6n est£ sobre el bianco debe dejarcaer la bomba? (b) ^Cual es la velocidadde la bomba al llegar al suelo? (c) &Cuales la velocidad de la bomba 10 s des-pues de soltarla? (d) ^Cual es la veloci-

dad de la bomba cuando se encuentraa 200 m de altura y cuando llega al

suelo? (e) ^Cual es el angulo que formacon el eje horizontal la velocidad de la

bomba al caer al suelo? (f) ^Cual esla distancia horizontal cubierta por la

bomba?

5.63 Un proyectil es disparado ha-ciendo un angulo de 35°, Llega al sueloa una distancia de 4 km del can6n.Calcular (a) la velocidad inicial, (b) el

tiempo de vuelo, (c) la maxima altura,

(d) la velocidad en el punto de maximaaltura.

5.64 Un can6n esta situado en lo alto

de un arrecife a una altura de 400 pies.

Dispara un proyectil con una velocidadde 786 pies s

_1 haciendo un angulo de30° sobre la horizontal, Calcular el al-

cance (distancia horizontal desde la basedel arrecife) del can6n. Si un auto se

dirige directamente al arrecife a unavelocidad de 60 mi hr-1 a lo largo de uncamino horizontal, £a que distancia debeestar el auto del arrecife para sentir el

impacto del proyectil? Repetir el pro-blema para un disparo bajo la horizontal.Repetir el problema cuando el auto se

aleja del arrecife,

5.65 Un can6n esta colocado en la

base de un cerro cuya pendiente haceun angulo ^ con la horizontal. Si el

can6n hace un angulo a con la horizon-tal y dispara un proyectil con velocidadv09 encontrar la distancia, medida a lo

largo del cerro, a la cual caera el pro-yectil.

5.66 Un aeroplano esta volando hori-

zontalmente a una altura h con velocidadp. En el instante que el aeroplano esta

directamente sobre un can6n antia6reo,

el candn dispara al aeroplano. Calcularla velocidad minima v y el angulo deapunte a que requiere el proyectil paradarle al aeroplano.

5.67 Una ametralladora dispara unabala con una velocidad de 650 pies s

-1.

Problernas 119

Determinar los Angulos bajo los cuales

la bala alcanzara un bianco situado a

450 pies de distancia y 18 pies de alto.

5.68 Encontrar el radio de curvatura

en el punto mas alto de la trayectoria

de un proyectil disparado haciendo un

angulo inicial a con la horizontal.

5.69 Un cazador apunta a una ardilla

que se encuentra en la rama de un arboL

En el momento que el dispara su rifle

la ardilla se deja caer de la rama. Demos-trar que la ardilla no debi6 moverse si

deseaba seguir viviendo.

5.70 Un aeroplano vuela horizontal-

mente a una altura de 1 km y con unavelocidad de 200 km hi-1

, Deja caer

una bomba que debe dar en un barco

que viaja en la misma direccidn a unavelocidad de 20 km hr-1

. Demostrar que

la bomba debe dejarse caer cuando la

distancia horizontal entre el aeroplano

y el barco es de 715 m. Resolver el

mismo problema para el caso en el cual

el barco se esta moviendo en la direccidn

opuesta.

5.71 Demostrar que para un movi-miento piano bajo aceleraci6n constante

at se cumple la siguiente relaci6n

:

E* = v *+ 2a-(r— r )

y

5.72 Un disco de radio R rueda convelocidad constante vQ a lo largo de unpiano horizontal. Demostrar que la posi-

cidn de cualquier punto sobre su bordeesti dado por las ecuaciones x = R(<*t—— sen &{) e y = i?(l — cos <af), dondeco = vJR es la velocidad angular del

disco y t se mide desde el instante enque el punto se encuentra en contactocon el piano. Encontrar tambiSn las

componentes de la velocidad y la ace-

leraci6n del punto.

5.73 Un disco de radio R rueda a lo

largo de un piano horizontal. Demos-trar que en cada instante la velocidad

de cada punto es perpendicular a la

linea que une el punto con el puntode contacto del disco y el piano. Si p es

la distancia entre estos puntos, demos-trar que la magnitud de la velocidaddel punto que se mueve es cop. iQu6conclusiones obtiene usted de estos resul-

tados?

5.74 Usando el m£todo explicado en la

secci6n 5,11 demostrar que

duejdt = — UrdO/d/.

5.75 Demostrar que las componentesde la aceleraci6n a lo largo de los vec-

tores unitarios ur y uq (Fig. 5-26) son

ardf*

( d6 y _ dr d6

+ rd*9

dP

[Ayuda: Usar la expresi6n (5.63) de la

velocidad y tomar en cuenta los valores

de dur/dt y dujdt]

6

MOVIMIENTO RELATIVO

6.1 Introduecidn

6.2 Velocidad relativa

6.3 Movimiento relativo de traslation uniforme

6A Movimiento relativo rotational uniforme

6.5 Movimiento relativo con respecto a la tierra

6.6 Transformation de Lorentz

6.7 Transformation de velocidades

6.8 Consecuencias de la transformation de Lorentz

6.2)Velocidad relativa 121

$.1 Jntroduccidn

En el capitulo anterior indicamos que el movimiento es un concepto relativo

porque debe siempre referirse a un sistema particular de referenda, escogido

por el observador. Como diferentes observadores pueden utilizar sistemas de

referencias distintos, es importante conocer la forma en que estdn relacionadas

las observaciones hechas por diferentes observadores. Por ejemplo, la mayor

parte de las observaciones hechas en la tierra est£n referidas a un sistema de

referencia situado en ella, y por lo tanto, moviendose con la tierra, Los astr6-

nomos aiin prefieren referir el movimiento de un cuerpo celeste a las llamadas

estrellas fijas. En fisica at6mica el movimiento de los electrones se determina

con respecto al nucleo. Un experimentador usualmente escoge un sistema de

referencia en el cual la toma de los datos y el an&lisis se realizan m&s f&cilmente.

La posibilidad de defmir un sistema absolute de referencia en reposo relativo

con respecto al espacio vacio es un asunto que ha sido discutido durante siglos

por fisicos y fil6sofos. Cuando sesupuso que el espacio vacio estaba "lleno" de

una sustancia imaginaria llamada eter, con propiedades algo contradictorias e

imposibles, el sistema absoluto de referencia se definid como aquel que se encon-

traba en reposo con respecto al eter. Sin embargo, una vez que la gente descart6

la idea artificial e innecesaria del eter, se hizo imposible definir tal sistema absoluto,

ya que en el espacio no hay elementos que puedan servir como puntos de refe-

rencia. Como veremos en este capitulo, este asunto no tiene en la actualidad

mayor importancia.

6.2 Velocidad relativa

Consideremos dos objetos A y B y un observador 0, utilizando como sistema de

referencia los ejes XYZ (Fig. 6-1). Las velocidades deAyB con respecto a son

VAdt

' Vn - drB

dt

(6.1)

Las velocidades de B con respecto a A yde A con respecto a B estdn definidas por

Vn A =BAdrBAdt

VAB =drAB

dt

(6.2)

dondi

rBA =AB =rB—rA ,

, Fig* 6-1. Definici6n de velocidad rela-

rAB =BA =rA— rB. (6.3) tiva.

122 Movimiento relativo (6.2

(a) (b) ;c)

Figura 6-2

Notese que, considerando rAB

Vba = - VAB .

Vba> tambien tenemos que

(6.4)

En otras palabras, la velocidad de B con respecto a A es igual y opuesta ala velocidad de A con respecto a B. Derivando la ec. (6.3) con respecto al tiem-

po, resulta:

drBA dr

dt

drA B

dtdt dt

o, usando las ecs. (6.1) y (6.2), tenemos

Vba = Vb — Va , Vab = VA

drA

dt

dr

dt

(6.5)

Por consiguiente, para obtener la velocidad relativa de dos cuerpos, se restan sus

velocidades con respecto al observador. Derivando nuevamente la ec. (6.5), en-

contramos que

dVBAdt

dV>

dt

dVAdt

con una expresion similar para dVAB/dt. El primer termino se denomina la ace-

leracion de B con respecto a A f y se designa por Uba- Los otros terminos son las

aceleraciones de B y de A con respecto a 0, respectivamente. Luego

«ba = «b— «A Q>AB = &A «B' (6.6)

EJEMPLO 6.1. Un aeroplano A (Fig. 6-2) vuela hacia el Norte a 300 millas porhora con respecto a la tierra. Simultaneamente otro avi6n B vuela en la direccidnN 60° W a 200 miilas por hora con respecto a la tierra. Encontrar la velocidadde A con respecto a B y de B con respecto a A.

6.3)Movimienio relativo de traslacion uniforme 123

Solucitin: En la Fig. 6-2, las velocidades de los aviones A y B con respecto a la

tierra se han representado a la izquierda, A la derecha tenemos la velocidad de Acon respecto a B, esto es, Vab = Va— VB y de B con respecto a A, esto es

Vba — Vb— VA . Podemos notar que Vab = — Vba, en concordancia con la ec, (6.4).

Para calcular VAb, usamos la ec. (3.6), notando que el angulo entre VA y Vb

es de 60°. Asi

Vab = V 3002 + 200 2— 2 x 300 x 200 x cos 60° = 264,6 mi hr- 1

.

Para obtener la direccidn de vAb9usamos la ley de los senos ec, (3.4),

Vb Vab ± Vb sen 60°

sen a sen 60°sen a =

Vab= 0,654,

obteniSndose a = 40,7°. Entonces, a un pasajero en el avi6n B le parece como

si el avi6n A se desplazara a 264 millas/hr en la direcci6n N 40,7° E. La velocidad

relativa Vba tiene la misma magnitud 264,6 mi/hr pero en la direcci6n opuesta,

S 40,7° W.

6.3 Movimiento relativo de traslacion uniforme

Consideremos dos observadores O y 0' que se mueven, uno con respecto al otro,

con movimiento de traslacion uniforme. Esto es, los observadores no rotan

uno con respecto al otro* Por ello, el observador O ve al observador O' moviendose

con velocidad v, mientras que O' ve a O moviendose con velocidad — v. Estamos

interesados en comparar sus descripciones del movimiento de un objeto, como,

por ejemplo, cuando un observador se encuentra sobre la plataforma de una

estacion de ferrocarril y el otro esta situado en un tren que se desplaza en linea

recta, y ambos observadores est&n mirando el vuelo de un avion que pasa por

encima de ellos.

Escogemos, por simplicidad, los ejes X y X' a lo largo de la linea del movi-

miento relativo (Fig. 6-3) y los ejes YZ e Y'Z' paralelos entre si; los ejes de coor-

denadas permaneceran siempre paralelos

debido a la ausencia de rotation relativa.

Supondremos tambien que para t = Q, Oy O' coinciden, de modo que si la veloci-

dad relativa v es constante, podemos es-

cribir

00' = vt v uxv.

Considerando ahora una particula en A.

De la Fig. 6-3, vemos que OA ^00' + CTA

y como OA = r, O'A = r\ y OO' = vt, los

vectores position de A medidos por O y O f

estan relacionados por

vt (6.7) Fig, 6-3. Sistemas de referenda en

movimiento relativo de traslaci6nLa ecuacion vectorial puede expresarse en uniforme.

124 Movimiento relativo (6,3

sus tres componentes, tomando en consideraci6n el hecho de que v es paralela

a OX, Por lo tanto

x' = x— vU y' =y, z' = z, V = L (6.8)

Hemos aiiadido V = t a las tres ecuaciones espaciales para dar enfasis al hechode que estamos suponiendo que los dos observadores estan usando el mismotiempo; esto es, suponemos que las mediciones de tiempo son independientes

del movimiento del observador. Esto parece muy razonable, pero es s6Io unasuposicion, que puede ser desvirtuada en forma experimental.

El conjunto de ecs. (6.8) la simple ecuacion vectorial (6.7) combinadas conV = U son denominadas una transformation Galileana.

La velocidad V de A con respecto a se define por

¥7 dr dxv

du . dz

dt * dtg

dt '

zdt

y la velocidad F' de A con respecto a 0' es

¥7 , dr' dx',

dy' dz'

dt dty

dt dt

N6tese que no escribimos dr'jdt' debido a que hemos supuesto que t =V y porlo tanto dr'jdt' es lo mismo que dr'jdt. Derivando la ec. (6.7) con respecto al tiempo

y notando que v es constante, tenemos

V = V—v, (6.9)

o notando que Vx = dxjdt, V^ = dx'/dt, etc., podemos separar la ec. (6.9) ensus tres velocidades componentes:

V'x> =Vx -v, V'y

. = Vy , V'z . = Vz . (6.10)

Estas pueden tambien obtenerse directamente derivando las ecs. (6.8), las ecs. (6.9)

a (6.10) dan la regla Galileana para comparar la velocidad de un cuerpo medidapor dos observadores en movimiento relativo de traslacion. Por ejemplo, si A se

mueve paralelamente al eje OX, tenemos simplemente

V = V— v, (6.11)

siendo las otras componentes nulas. Pero si A se mueve paralelamente al eje OY9

Vx = Vz = 0, Vy= V, luego V'x > = — v y V'w . = V, V's > = 0, de modo que

V' = ]/ V2 + v*. (6.12)

Las aceleraciones de A con respecto a O y 0' son a = dVfdt yo'= dV'jdt res-

pectivamente. N6tese nuevamente que usamos el mismo tiempo / en amboscasos. A partir de la ec. (6.9) notando que dvjdt — ya que v es constante,

obtenemos

dV dV6 a' = a, (6.13)

dt dt

6.3)

la cual, expresada en coordenadas rectangulares es

Mouimiento relativo de traslacion uniforme

&x' — ax* <V = aV

a'. = a,.

125

(6.14)

En otras palabras, ambos observadores miden la misma aceleraci6n. Esto es,

la aceleracion de una parttcula es la misma para todos los observadores en movi-

miento relativo de iranslacion uniforme. Este resultado nos ofrece un ejemplo de

una cantidad fisica — la aceleracion de una particula— que parece ser inde-

pendiente del movimiento de un observador; en otras palabras, hemos encontrado

que la aceleracion permanece invariante cuando se pasa de un sistema de referenda

a otro que se encuentra en movimiento relativo de traslacion uniforme. Es la primera

vez que encontramos una cantidad fisica que permanece invariante bajo una

transformaci6n. Mas adelante encontraremos otras cantidades fisicas que se

comportan de la misma manera. Este resultado, como veremos, tiene una pro-

funda influencia en la formulaci6n de las leyes de la fisica.

EJEMPLO 6.2. La velocidad del sonido en aire quieto a 25°C (6 77°F) es de 358 m S"1 .

Encontrar la velocidad medida por un observador que se mueve a 90 km hr~x

(a) alejandose de la fuente, <b) acercandose hacia la fuente, (c) perpendicular a la

Figura 6-4

1Z0 movimiento reiatwo (6.4

direccidn de propagacitin en el aire, (d) en una direcci6n tal que el sonido parecepropagarse perpendicularmente a la direccldn del observador, Suponer que la fuentese encuentra en reposo relativo a la tierra.

Soluci6n: Usemos un sistema de referenda XYZ (Fig. 6-4) fijo relativo a la tierra,

y por ello en reposo relativo con respecto al aire, y un sistema X'Y'Z* que se muevecon el observador, con los ejes X y X' paralelos a la velocidad del observador,como en la Fig. 6-3. Con respecto a XYZ, la fuente de sonido se encuentra en 0,la velocidad del observador O' es u = 90 kmhr1 — 25 m s~\ y la velocidad delsonido es V = 358 m s- 1

. La velocidad del sonido, con respecto a X'Y'Z' medidopor el observador 0' es V". Aplicando la ecuaci6n (6.9) o la (6.10) tenemos para el

caso (a) V = V— v = 333 m s-1. En el caso (b) notamos que 0' se mueve a lo

largo de la direction negativa del eje X. Luego podemos escribir que v = — uxv9

transformando la ec. (6.11) en V = V + u = 383 m s-1.

Para la situaci6n (c) usamos la ec. (6.12) de modo que V — Vv 2 + u 2 = 358,9 m s -1 .

Para el observador en movimiento, el sonido parece propagarse en una direccidnque hace un angulo a' con el eje X' tal que

tga' = = — 15,32v

a' = 93,7«.

Finalmente, en el caso (d), la direcci6n de propagaci6n del sonido en el aire es talque desde el punto de vista de O' se mueve en la direccidn Y'. Por elloW = 0,

VV = V'f y W = 0. Luego, usando la ec. (6.10) tenemos = Yx— v 6 Vx = v

y V = Vv . Por consiguiente V 2 = VI + V| = v2 + V' 2 6 V = yv*— v2 = 357,1m s- 1

. En este caso el sonido se propaga a traves del aire quieto en una direccidnque hace un angulo a con el eje X de modo que

tg aVx

V'

v= 14,385 a = 86,0°.

6A Movimiento relativo rotacional uniforme

z

Fig, 6-6. Sistemas de referencia en movi-miento relativo de rotaci6n uniforme.

Consideremos ahora dos observadores

O y 0' que rotan uno con respecto a

otro pero sin movimiento de trasla-

cion relativo. Por simplicidad supon-

dremos que y 0' se encuentran en

la misma region del espacio y que

cada uno de ellos usa un sistema de

referencia fijo a si mismo pero con

origen comiin. Por ejemplo, el obser-

vador 0, quien utiliza el sistema XYZ(Fig* 6-5), nota que el sistema X'Y'Z'

fijo a O' esta rotando con velocidad

angular <w. Para 0', la situation es

justamente inversa; 0' observa el sis-

tema XYZ rotando con velocidad an-

gj\ Movimiento relativo rotational uniforme 127

gular — <»• El vector position r de la particula A referido a XYZ es

r = UxX + uyy + u2z, (6,15)

y, por consiguiente, la velocidad de la particula A medida por con respecto

a su sistema de referenda XYZ es

dr dx,

dy,

dz= wx—- + uy -f + u,—

.

(6.16)dt dt

tf

dt dt

Similarmente, el vector position de A referido a X'Y'Z' es

r = ux>xf + u

g>y' + uz>z\ (6.17)

donde, debido a que los origenes coinciden, el vector r es el mismo que el de

la ec. (6,15); esa es la razon por la cual no hemos escrito r\ La velocidad de A,

medida por 0' con respecto a su propio sistema de referenda X'Y'Z' es

dx' dy' dz'

dty

dt dtV = U*— + Ujf -4- + Uz'—

.

(6-18)

Al derivar la ec. (6.17) el observador 0' ha supuesto que su sistema X'Y'Z' no

esta rotando, y por lo tanto ha considerado los vectores unitarios como cons-

tantes en direction. Sin embargo, el observador tiene el derecho de decir que,

para el, el sistema X' Y'Z' esta rotando y que, por consiguiente, los vectores uni-

tarios ux>, 11$ y ut>, no tienen direction constante de modo que al calcular la

derivada con respecto al tiempo de la ec, (6,17), debe escribirse

dr dx' dy' dz'

dt ~ dt '

ydt '

zdt

+d^ du^ du^^dt dt

ydt

v'

Ahora bien los extremos de los vectores ux >9u

y> y uz* estan (por suposici6n) en

movimiento de rotation uniforme relativo a 0, con velocidad angular co. Enotras palabras dux>jdt es la velocidad de un punto situado a una distancia uni-

taria de y que se mueve con movimiento circular uniforme con velocidad an-

gular a). Por consiguiente, usando la ec. (5.48), tenemos

dux> duu> duz>

= a> x Utft— ----- = co x Uy'y —— = co x uz

>

dl*'

dty

dt

En concordancia, de la ec. (6.19) podemos escribir

dux> , ,duu ' , ,

duz>, , ,

, . ,—~ x' -\ £- yf ^ — z = co x ux>x

f + co x uy<y' + © x uz z

dt dt dt

r=cox {ux>x' + uy<y' + utz')

= wxn (6.20)

128 Movimienio relativo (6a

Introduciendo este resultado en la ec. (6.19) y usando las ecs. (6.16) y (6.18),

obtenemos finalmente

V = V + © x r. (6.21)

Esta expresi6n da la relaci6n entre las velocidades V y V de A, medidas por doa

observadores y 0' en movimiento relativo de rotaci6n uniforme.

Para obtener la relaci6n entre las aceleraciones, procedemos de una manera

similar. La aceleraci6n de A f medida por O con respecto a XYZ es:

dV dV*,

dvv ,

dV* /to*

La aceleracion de A, medida por 0' respecto a X'Y'Z\ cuando el ignora la ro-

taci6n es:

dV* dV'< dV'z >

dt di at

Cuando derivamos la ec, (6.21) con respecto al tiempo /, recordando que hemos

supuesto o constantes, obtenemos

dV dV' dra = —— = —— + a> x —

.

(6,24)dt dt dt

Ahora, ya que V = ux>V'X- + *VV^ + uz<V^ tobtenemos por derivation

dv dvx,,

dv;^, _ dv;*= "*-—^- + U^—*- + U

dt dt * dt dt

^ d< * * ' <fl

Los tres primeros terminos son justamente a', dados por la ec. (6*23), y los tres

ultimos, por el procedimiento identico usado para derivar la ec. (6.20), son <o x V*Esto es, sustituyendo las cantidades apropiadas en la ec. (6.20), tenemos

m x UfVrf + a> x UjVtf + a> x u?Vj

- © x (UfV'j + uy>V^> + «rV^) = a> x P.

Por ello dV'/dt = a' + o x V. Igualmente, de las ecs, (6,16) y (6.21) drjdt ==V = V + o x r, de modo que

dvm x = w x (F* + © x r) = <» x F' + © x (© x r),

df

Sustituyendo ambos resultados en la ec. (6.24) obtenemos finalmente

a = a' + 2© x F' + © x (o x r). (6.25)

6.5)Movimiento relativo con respecto a la tierra 129

Esta ecuaci6n da la relaci6n entre las aceleraciones a y a' de A registradas poi

los observadores y 0' en movimiento relativo de rotaci6n uniforme. El segundo

termino 2m x V* se denomina la aceleracion de Coriolis. El tercer termino es si-

milar a la ec. (5.59) y corresponde a la aceleracion centrtpeta. Tanto la aceleraci6n

de Coriolis como la aceleracion centripeta son el resultado del movimiento rota-

cional relativo de los observadores. En la pr6xima secci6n ilustraremos el uso

de estas relaciones.

6.5 Movimiento relativo con respecto a la tierra

Una de las aplicaciones m£s interesantes de la ec. (6.25) es el estudio del movi-

miento de un cuerpo con respecto a la tierra. Como se indic6 en el ejemplo 5-10,

la velocidad angular de la tierra es w= 7,292 x 10"5 rad s~l. Su direcci6n es

aquella del eje de rotation de la tierra. Consideremos un punto A sobre la super-

ficie terrestre (Fig. 6-6). Llamaremos g la aceleraci6n de la gravedad medida

porunobservador que no gira situado en AXuego g corresponde a a de la ec. (6.25).

Despejando a' de la ec. (6.25), obtenemos la aceleracidn medida por un obser-

vador que rota con la tierra:

a' — g — 2o x V — to x (o x r), (6.26)

90° -X

I

N

C£5

Direcci6

radial

R 1'

W'

Jr,1 / X \<<Z/-*

OIX

WX(ft)Xf)

Direcci6n -^ '^j

radial B

(a) Hemisferio Norte (b) Hemisferio Sur

FI&. 6-6. Aceleraci6n centrlfuga debida a la rotaci6n de la tierra.

Primero consideraremos el caso de un cuerpo inicialmente en reposo, o mo-viendose muy lentamente, de modo que el termino de Coriolis — 2<o x V es cero

despreciable cuando se compara con el ultimo termino — o x (o x r). La

130 Movimiento relatwo (6.6

aceleracion o' medida en este caso se denomina aceleracion efectiua de la grave-

dad, y se designa por la letra g. Asi

g = g — o> x (a) x r). (6.27)

Esta es la aceleracion medida por un pendulo, como se discutira en el capitulo 12.

Suponiendo que la tierra es esferica (realmente se desvia ligeramente de esta

forma) y que no hay anomalias locales, podemos considerar que g esta seiialando

hacia el centro de la tierra en la direccion radial. Debido al segundo terminode la ec. (6,27), la direccion de g 9 Uamada la vertical se desvia ligeramente de la

oi2r cos y sen A

w

/£ Ecuador

U)ar cos X sen /^^L ^ ^"d ,'' }>

taix(uxr)

<o*r cos* I

Fig. 6-7. Componentes horizontal y radial de la aceleraci6n centrifuga

direcci6n radial, y esta determinada por la linea de la plomada. Los liquidos

siempre reposan en equilibrio con su superficie en direccidn perpendicular a g.Sin embargo, para propositos pr£cticos, y en la ausencia de perturbaciones lo-

cales, la vertical puede suponerse que coincide con la direccion radial.

Analicemos ahora en mayor detalle el ultimo termino en la ec, (6.27) ; esto es,

— m x (t» x r). Se denomina aceleracion centrifuga debido a que por su signo

negativo senala en la direcci6n DA como se indica en la Fig. 6-6. El angulo X

que r = CA hace con el ecuador es la latitud. Por consiguiente, el vector o haceun dngulo 90° — X con CA en el hemisferio norte y 90° -f x en el hemisferio sur.

La magnitud de o x f es entonces

or sen (90° ± X) = wr cos X,

y la direccion de o> x r, siendo perpendicular a o, es paralela al ecuador. Re-cordando el ejemplo 5,11, encontramos que la magnitud de la aceleracion cen-

trifuga — a> x (a> x r) es

|— © x (<o x r)\ = w2/- cos x = 3,34 x 10~2 cos x m s"2 , (6.28)

6.5) Movimiento relative* con respecto a La tierra 161

donde r = 6,37 x 106 mf es el radio de la tierra, Esta aceleracion disminuye del

ecuador a los polos, pero es siempre pequena comparada con la aceleraci6n de

la gravedad gQ— 9,80 ms~2

. Su maximo valor, en el ecuador, es alrededor del

0,3 % de gQ (ver ejemplo 5.11).

Encontraremos ahora las componentes de — a> x (m x r) a lo largo de la

direccion radial AB y a lo largo de la linea norte-sur (NS) en A. En la Fig. 6-7,

asi como en la Fig. 6-6 la linea AB, la cual es la extension de CA, est& en la di-

reccion radial. El vector co obviamente hace un angulo X con NS. Como se indico

antes, la aceleracion de la gravedad g se dirige hacia el centro a lo largo de AB.

La aceleraci6n centrifuga — a> x (eo x r) forma un dngulo x con AB; su com-

ponente a lo largo de AB se obtiene, por consiguiente, multiplicando su magnitud

dada por la ec, (6,28), por cos X. Esto es,

|— & x (o x r)\ cos x = <i>2r cos2 x.

La componente de la aceleracion centrifuga a lo largo de la linea NS se dirige

hacia el sur en el hemisferio norte (y hacia el norte en el hemisferio sur) y se

obtiene multiplicando su magnitud por sen X, obteniendose

|— w x (a> x r)\ sen X = o>2r cos X sen X.

Las dos componentes se ilustran en la Fig. 6-7. De acuerdo a la defmicion de gdada por la ec. (6,27), las componentes de g a lo largo de las direcciones radial

y horizontal son como se muestran en la Fig. 6-8. Debido a la pequenez del ter-

mino centrifugo, el angulo a es muy pequeno y la magnitud de g no difiere apre-

BI a)

ar cos A sen XN

Piano horizontal

0o— m*r cos 1 X

Direccion

radial i

Direcci6n

\vertical

(a) Hemisferio norte

Bw*r cos y sen XN--

Direcci6n

vertical

Piano horizontal

2r cos* X

"'Direcci6n1

radial

(b) Hemisferio sur

Pig. 6-8, Definici6n de la direcci6n vertical y la aceleraci6n efectiva de caida.

ciablemente de su componente a lo largo de la direccion radial AB. Por consi-

guiente podemos escribir, como una buena aproximacion que

g - gQ— <o

2r cos2 X. (6.29)

Aunque el ultimo termino es muy pequeno, toma en cuenta el aumento obser-

132 Movimiento relativo (6.6

vado en el valor de la aceleracion de la gravedad con la latitud como se aprecia

en la tabla 6-1.

La componente de la aceleracion centrifuga a lo largo de la direccion NS tiende,

en el hernisferio norte a desplazar al cuerpo ligeramente hacia el sur de la direc-

ci6n radial AB y hacia el norte en el hernisferio sur. Por lo tanto, la trayectoria

de un cuerpo que cae se desviara como se ilustra en la Fig. 6-9. El cuerpo llegara

a A' en lugar de hacerlo a A, como sucederia si no hubiera rotacion. Debido al

pequeno valor de a esta desviacion es despreciable.

Consideremos ahora el termino Coriolis — 2m x V. En el caso de un cuerpoque cae, la velocidad V es esencialmente hacia abajo a lo largo de la vertical

AB (Fig. 6-10) y a> x V senala hacia el oeste. Luego el termino Coriolis— 2& x Vest£ senalando hacia el este, y el cuerpo al caer se desviara en esa direccion lie-

TABLA 6-1 Valores de la aceleracion de la gravedad, expresados en m s"

Localidad Latitud Gravedad

Polo Norte 90° 0' 9.8321Anchorage 61° 10' 9,8218Greenwich 51* 29' 9,8119Paris 48° 50' 9,8094Washington 38° 53' 9,8011Key West

(Florida) 24o 34' 9,7897Panama 8° 55' 9,7822Ecuador 0°0' 9,7799

gando al suelo en A", ligeramente al este de A. Combinando este efecto de Co-riolis con el efecto centrifugo, el cuerpo caera en un punto al sureste de A en el

hernisferio norte y al noreste de A en el hernisferio sur. Este efecto, el cual es

Direcr.i6n vertical

Pianohorizontal

(a) Hernisferio norte (b) Hernisferio sur

Pig. 6-9. Desviacidn de la direcci6n de un cuerpo que cae debido a la aceleracidncentrifuga: hacia el sur (hacia el norte) en el hernisferio norte (sur).

6.0) iviuvuntztuv retuiwo con respecw a la nerra 166

(a) Hemisferio norte (b) Hemisferio sur

Fig. 6-10, Desviaci6n hacia el este en el hemisferio norte (sur) de un cuerpo quecae debido a la aceleracion Coriolis,

despreciable en la mayor parte de los casos, debe tomarse en cuenta tanto enbombardeo de gran altura como en cohetes balisticos intercontinentales. Laaceleracion de Coriolis afecta seriamente las trayectorias de los cohetes y delos satelites, debido a sus grandes velocidades.

En el caso de un cuerpo que se mueve en un piano horizontal, el vector— 2o x V\ perpendicular a co y V' 9 hace un angulo igual a tt/2— X con el

piano horizontal. Tiene una componente horizontal an y una componente ver-

tical ay (Fig. 6-11). La componente horizontal ajjtiende a hacer que la trayectoria

se desvie de una recta, hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda

en el hemisferio sur. La componente an disminuye a medida que uno se aleja

de los polos hacia el ecuador, donde su valor es cero. Por ello en el ecuador la

aceleracion de Coriolis no produce ningiin efecto horizontal en el movimiento hori-

zontal. El efecto vertical es pequeno comparado con la aceleracion de la gravedad,

y en la mayor parte de los casos puede ser despreciado.

El efecto horizontal puede verse en dos fenomenos comunes. Uno es el remolinoen un huracan. Si se desarrolla un centro de baja presion en la atmosfera, el

viento fluira hacia el centro (Fig. 6-12). Sin embargo, la aceleracion de Coriolis

desvia las moleculas del aire hacia la derecha de sus trayectorias en las latitudes

nortes dando por resultado un movimiento en sentido contrario a las agujas delreloj o remolino.* En el hemisferio sur la rotation es en el sentido de las agujasdel reloj.

Como un segundo ejemplo, consideremos las oscilaciones de un pendulo. Cuandola amplitud de las oscilaciones es pequena, podemos suponer que el movimientode la masa es a lo largo de una trayectoria horizontal* Si el pendulo inicialmente

La presion y la temperatura del aire tienen tambien un profundo efecto en su movimiento,Este efecto da lugar a un fenomeno el cual es demasiado complicado para ser adecuadamentedescrito aquL El resultado final es el movimiento ciclonico ilustrado en la Fig. 6-1 2(c).

itJ£ Movimiento reiatwo (ff.fi

Direccidnvertical

B i

' Eje de la' tierra Direcci6n

vertical

Pianohorizontal

Pianohorizontal

(a) Hemisferio norte

tierra

(b) Hemisferio sur

Fig. 6-11. Aceleraci6n de Coriolis. Cuando un cuerpo se mueve en un piano hori-

zontal, la componente horizontal de la aceleracitfn de Coriolis sefiala hacia la derecha(izquierda) de la direcci6n del movimiento en el hemisferio norte (sur). Aqui V estd

en el piano horizontal; a> esta en el piano deflnido por AB y NS, y <*h es perpendicu-lar a V\

(tO Hemisferio

sur

Fig, 6-12, Movimiento del viento ensentido contrario a las agujas del reloj

en el hemisferio norte como resultado

de un centro de baja presidn combinadocon la aceleracidn de Coriolis. La parte

(c) muestra una perturbacidn de bajapresi6n fotograflada por un satelite Ti-

ros. (Fotografia cortesia de NASA/Centro Espacial Goddard).

Movimxento relativo con respecto a la tierra 135

(a) Hemisferio ^norte

(b) Hemisferiosur

Fig, 6-18. Rotaci6n del piano de oscilaciAn de un pendulo como resultado de la

aceleracidn de Coriolis (la rotaci6n en el hemisferio sur es en la direcci6n opuestaa la del hemisferio norte).

oscilara en la direccion este-oeste y fuera liberado en A (ver Fig. 6-13), conti-

nuaria oscilando entre A y B si la tierra no estuviera rotando. Pero a causa de

la aceleraci6n de Coriolis, debida a la rotation de la tierra, la trayectoria del

pendulo se desvla continuamente hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia

la izquierda en el hemisferio sur. Por consiguiente al final de la primera oscila-

ci6n, llega a B' en lugar de B. A su regreso Uega a A ' y no a A. Luego, en oscilaciones

completas sucesivas llega a A", A'", etc, Enotras palabras, el piano deoscilacion

del pendulo rota en el sentido de las agujas del reloj en el hemisferio norte y en

sentido contrario a las agujas del reloj en el hemisferio sur. Dejamos al estudiante

que verifique que el Angulo de rotacidn del piano de oscilaci6n durante cada

hora es de 15° sen X. El efecto ha sido muy exagerado en la Fig. 6.13; alcanza

su m6ximo valor en los polos y su valor es cero en el ecuador.

Este efecto fue demostrado espectacularmente por el fisico frances Jean LeonFoucault cuando en 1851, desde la cupula de los InvAlidos, en Paris, colg6 unpendulo de 67 metros de largo. Durante cada oscilaci6n, la masa del pendulo

dejaba caer arena en un circulo demostrando experimentalmente que el piano

de oscilaci6n rotaba a raz6n de 11° 15' cada hora. Existe un pendulo de Foucault

en la sala del Instituto Smithsoniano en Washington D.C., asi como en la sala

del edificio de las Naciones Unidas en New York. El experimento de Foucault es

una prueba efectiva de la rotacibn de la tierra. Aun si la tierra hubiera estado

siempre cubierta de nubes, este experimento habria demostrado a los fisicos

que la tierra estaba rotando.

EJEMPLO 6.3. Calcular la desviaci6n de un cuerpo que cae debida a la acelera-ci6n de Coriolis. Compararla con la desviacitin debido a la aceleraci6n centrffuga.

Soiucidn: De la Fig. 6-10 vemos que la velocidad V de caida de un cuerpo formaun &ngulo de 90° + X con Q>. Luego la magnitud de la aceleracidn de Coriolis— 2<& x v' es

2w V sen (90° + X) 6 2w V cos X.

lao movimiemo reianvo {fiS

Esta es la aceleracitfn d 2x/dt 2 del cuerpo que cae, considerando la direcci6n estecomo el eje de las X. Por consiguiente

d2x-— = 2«V cos X.

\dt *

Para el valor de V usamos como una buena aproximaci6n, el valor de caida libre

obtenido en el capitulo 5, esto es V — gt, por tanto,

d2x—- = 2<*gt cos X,

Integrando, y suponiendo que el cuerpo parte del reposo (dx/dt = para / — 0)tenemos

dx .—— = o>gtz cos X,dt

Integrando,nuevamente y considerando que cuando / = el cuerpo se "encuentrasobre A y por lo tanto x = 0, obtenemos

x — i<*9t3 cos X,

lo que da el desplazamiento hacia el este en funcidn del tiempo de calda. Si el cuerpose suelta desde una altura h podemos suponer su valor para caida libre comoh = igt2

9 de modo que

= i« I

JcosX = 1,53 x 10-6 A3 '2 cos X.

Por ejemplo, para un cuerpo que cae de una altura de 100 m. tenemos x = 1,53 xx 10~ a cos X m, que es una cantidad relativamente pequena cuando se le comparacon la altura de caida.

La aceleraci6n centrifuga hacia el sur es to2r2 cos X sen X = 3,34 x 10 _2 cos X

sen X y la deflexi6n, usando h = igt*t es

y — i(<**r cos X sen X)/a = to2r(h/g) cos X sen X = 0,342 h cos X sen X m.

6M Transformaddn de Lorentz

Al final del siglo diecinueve, cuando se suponia que el espacio, vacio de materia,

estaba lleno con "eter", hubo una gran discusion en lo que respecta a c6mo se

movian los cuerpos a traves del eter y como afectaria este movimiento la velo-

cidad de la luz medida desde la tierra. Los fisicos al principio habian supuesto

que las vibraciones de este eter hipotetico estaban relacionadas con la luz del

mismo modo que las vibraciones en el aire est&n relacionadas con el sonido. Su-

poniendo el eter estacionario, encontramos que la luz se desplaza con respecto

al eter con una velocidad c = 2,9979 x 108 ms"1. Si la tierra se moviera a traves

dfiLeter sin alterarlo, entonces la velocidad de la luz con respecto a la tierra debia

depender de la direccion de propagacion de la luz. Por ejemplo, debia ser c — v

para un rayo de luz que se propaga en la misma direcci6n del movimiento de la

6,6) Transformation de Lorentz 137

tierra y c + v en la direccion opuesta. Sin embargo, si la trayectoria de la luz

como se observa desde la tierra es en direccion perpendicular a su movimiento,

su velocidad relativa a la tierra debia ser ]/ c2 — v2. (Recordar el ejemplo 6.2d

para un caso similar del sonido).

En 1881 los fisicos norteamericanos Michelson y Morley iniciaron una serie de

experimentos memorables para medir la velocidad de luz en diferentes direc-

ciones con respecto a la tierra. Con gran sorpresa encontraron que la velocidad

de la luz era la mism,a en todas las direcciones.* Sin embargo, la transformacion

Galileana indica que ningun cuerpo puede tener la misma velocidad relativa a

dos observadores en movimiento uniforme relativo, y que la velocidad relativa

depende de la direccion del movimiento del observador. Esto se aprecia particu-

larmente en las ecs. (6.9) y (6.10). Una explicacion posible podria ser que la tierra

arrastrara al eter con ella, como arrastra a la atmosfera, y por consiguiente cerca

a la superficie terrestre el eter estaria en reposo relativo con respecto a la tierra.

Esta es una explicacion poco probable, ya que el arrastre del eter se manifestaria

asimismo en otros fenomenos relacionados con la propagation de la luz. Tales

fenomenos no se han observado nunca. Por tales razones la idea del eter ha sido

descartada por los fisicos.

El dilema del experimento de Michelson y Morley fue resuelto en 1905 cuando

Einstein establecid su principio de relatividad el cual se discutira en mas detalle

en la section 11.3. Este principio establece que

todas las leyes de la naturaleza son las mismas (es decir, permanecen

invariantes) para todos los observadores en movimiento relativo de

trastacion uniforme,

Einstein supuso que la velocidad de la luz es una invariante fisica que tiene el

mismo valor para todos los observadores. Como veremos posteriormente, esto

se requiere cuando aplicamos el principio de relatividad a las leyes del electro-

magnetismo. Bajo esta suposicion, la transformacion galileana no es la correcta*

En particular la cuarta ecuacion en (6.8) V = / no puede ser correcta, Puesto

que la velocidad es la distancia dividida entre el tiempo, tenemos que ajustar

el tiempo al igual que la distancia, si el cociente de las dos debe ser el mismopara observadores en movimiento relativo como en el caso de la velocidad de la

luz. En otras palabras, el intervalo de tiempo entre dos eventos no tiene nece-

sariamente que ser el mismo para observadores en movimiento relativo. Por

consiguiente debemos reemplazar la transformacion Galileana por otra de modoque la velocidad de la luz sea una invariante. Como en el caso de la transformacion

Galileana, supondremos que los observadores y 0' se mueven con velocidad

relativa v y que los ejes X y X' senalan en la direccion del movimiento relativo

y los ejes YZ e YZ f

son paralelos respectivamente (Fig, 6-14). Podemos tambien

* Para una revision critica de los experimentos realizados para determinar la velocidad de laluz con respecto a la tierra en diferentes direcciones, consultar R, S. Shankland, et al, Reviewsof Modern Physics 27, 167 (1955).

138 Movimiento relativo (6.6

suponer que ambos observadores ajustan sus relojes de modo que / = /' =cuando ellos coinciden.

Supongamos que para t = se emite un destello de luz en la position comiin,

Despues de un tiempo / el observador notara que la luz ha llegado al punto Ay escribira r — d 9 siendo c la velocidad de la luz. Ya que

[(x, y, zt

t)

(*', y', *', t'

r2 = x2 + f + z\

podemos tambien escribir

s» _|_ yz + z2 _ #pm

(6.30)

Similarmente, eLiibservadQt_01iiDtara

qne.la.iuz-Uega al-inisraQ punto^A en

un tiemgo^f, pero. tambien con velo-

cidad. c* Luego el escribe r' = ct' t o

^^(6.31)

Fig. 6-14. Sistemas de referenda enmovimiento relativo de traslaci6n uni-

forme.

Nuestro proposito es obtener una

transformation que relatione las ecs.

(6.30) y (6.31). La simetria del pro-

blema sugiere y' — y y zf = z* Tam-

bien, ya que 00' = vt para el observador 0, debe cumplirse que x =vt para x' =(punto 0'). Esto hace suponer que x' = £(#— #/)> donde A: es una constante adeterminarse. Ya que V es diferente, podemos tambien suponer que/' = a(t— bx),

donde a y b son constantes a determinarse (para la transformaci6n Gali-

leana k=a = lyb=0). Realizando todas estas substituciones en la ec. (6*31)

tenemos

k2(x*— 2vxt -f v*P) + y2 + z2 = c*a2(P— 2bxt + b2x%

6

(A»_ 6W)x»— 2(Jft>— &a2c2)z/ + y2 + *2

= (a2— AV/cV/2.

Este resultado debe ser identico a la ec. (6.30). Por tanto

Resolviendo este conjunto de ecuaciones, obtenemos

* = a =|/l — 1>

2/C

2

6 = y/c2 . (6.32)

6.6) Transformacion at L.orentz i$y

La nueva transformacion, compatible con la invariancia de la velocidad de« la

luz, es entonces

x' — k(x— vf)

y =y>

z = z,

r = k(t— bx) =

X vt

1/1 — v*lc2

(6.33)

t— vx\c2

]/l _ V2jc2

Este conjunto de relaciones es denominado transformacion de Lorentz debido a

que fue obtenida por primera vez por el fisico holandes Hendrik Lorentz, alre-

dedor de 1890, en conexion con el problema del campo electromagnetic© de una

carga en movimiento.

Cuando notamos que c es una velocidad muy grande comparada con las velo-

cidades que encontramos en la tierra, de modo que la relation vfc es muy pe-

quena, los terminos v%jc% y vxjc2 son, en general, despreciables y k es practic^mente

igual a uno (ver Fig. 6-15). Desde el punto de vista practico, entonces, no hay

diferencia entre las transformaciones Lorentziana y Galileana, y podemos seguir

usando la ultima en la mayor parte de los problemas que encontramos. Sin em-

bargo, cuando tratamos con particulas muy rapidas, tales como los electrones

en los atomos o las particulas en los rayos cosmicos, debemos usar la transfor-

macion de Lorentz.

*>

4

i

3

/2

/

1

a0,5

v/c

10 v

Fig. 6-15. Gambio de k en funcidn de vie.

140 Movimiento relativo(6.7

EJEMPLO 6A. Obtener la transformation de Lorentz que exprese las coordenadas#> y, z y el tietnpo t medido por O en funci6n de las coordenadas x' y\ z'y el tiempo Vmedido por 0'.

Soluci&n: Esta es la transformaci6n Lorentziana inversa a aquella expresada porla ec. (6.33). Por supuesto, la segunda y tercera relaciones no ofrecen ningunadificultad. Una manera simple de resolver la primera y la cuarta es resolverlascomo un conjunto de dos ecuaciones simultaneas para xy /en funci6n de x' y t\Dejamos este metodo como un ejercicio para el estudiante, sin embargo, y pro-cederemos a lo largo de una linea de razonamiento mas fisica. Desde el punto devista del observador 0\ el observador O se aleja en la direccitfn — X' con unavelocidad — v. El observador 0' tiene derecho a usar la misma transformationde Lorentz para obtener los valores de x y t medidos por en funci6n de los valoresx' y V que mide O'. Para ello el observador O' tiene solamente que reemplazar t?

por — v en la ec. (6.33) e intercambiar x, t con x\ V. Asi

x' + vVx

yi_y2/c2'

(6.34)z = z%

= v + vx 'lc%

]/ 1 — v*/c*'

que da la transformation inversa de Lorentz.

6*7 Transformacion de velocidades

Dbtengamos ahora la regla para comparar velocidades. La velocidad de A me-iida por tiene componentes

Vx ~ dt'V»-~dT>

Vz~-dT* (6 *35)

Jimilarmente, las componentes de la velocidad de A medida por 0' son

V', - dx'

v - dy'

v dz'

>T6tese que nosotros usamos dt' y no dt, ya que t y V no son las mismas. Dife-enciando las ecs. (6.33) obtenemos

dx'=dx~ vdt = J^iL „/

|/l —

«

2/c2 j/l_y2/C2

dy' = dy,

dz' = dz,

dt— vdxjc2 \— vyxjct

at —..-— =

,

- dt.

y i _ p2/c2 • yi-.^/ja

£7) Transformation de velocidades 141

En la primera y ultima ecuacion dx ha sido reemplazada por Vx dt, de acuerdo

a la ec. (6.35). Por consiguiente, dividiendo las tres primeras de estas ecuaciones

entre la cuarta, obtenemos

17 , dx' Vx— v

dV ' 1 —Wxlc*'

y. - W - VyV^^ (6 .36)di' 1 — vVx/c

2

y , = dz' _ Vz]/l— ^/c2

df i_ yvx/c2

Este conjunto de ecuaciones da la ley de transformaci6n de Lorentz para las

velocidades; esto es, la regla para comparar la velocidad de un cuerpo medida

por dos observadores en movimiento uniforme de traslacion relativa. Nuevamente

se reduce a la ec. (6.10) cuando la velocidad relativa es muy pequena comparada

con la velocidad de la luz. Para particulas que se mueven en la direcci6n X te-

nemos Vx = V, Vy= Vz = 0. Por consiguiente, como \x* = V ya que las

otras dos componentes de V son cero, la ec, (6,36) se vuelve

V'= -

V~%- (6.37)

1 — vVjc2

Para verificar que la ec. (6.37) es compatible con la suposici6n que la velocidad

de la luz es la misma para ambos observadores y 0', consideremos el caso de una

senal luminica que se propaga en la direcci6n X, Luego V = c en la ec. (6.37) y

1 — VCjC2,

Por lo tanto el observador 0' mide tambien una velocidad c. Resolviendo la

ec. (6.37) para V, obtenemos

V = -V '

X* ,,

(6.38)1 — uv jc

2

que es la transformaci6n inversa de la ec. (6.37). Notese que si V y u son ambas

menores que c, entonces V es tambien menor que c, Adem&s, la velocidad v no

puede ser mayor que c porque el factor ]/ 1 — y2/c2 seria imaginario. Por el mo-

mento no podemos dar un significado fisico a tal factor. Por consiguiente la

velocidad de la luz es la maxima velocidad que puede observarse,

Debe tambien notarse que las ecs. (6.37) o (6,38) relacionan la velocidad del

mismo cuerpo medida por dos observadores en movimiento relativo. Sin embargo,

un observador dado combina diferentes velocidades en su propio sistema de refe-

renda de acuerdo a las reglas establecidas en el capitulo 3.

142 Mouimiento relative* (6.7

EJEMPLO 6.5. Verificar el hecho de que las transformaciones de velocidadesec. (6.36), son compatibles con la suposici6n de que la velocidad de la luz es la mismapara ambos observadores considerando un rayo de luz que se mueve a lo largo(a) del eje Y con respecto a XYZ

f (b) del eje Y' con respecto a X'Y'Z'.

Solueidn: (a) En este caso debemos suponer que Vx = 0, Vy = c, y Vz = 0. Asila ec. (6.36) se vuelve

V'*> =—v 9 Vy = c]/T— v*/c\ Vl> = 0,

Entonces la velocidad relativa a X'Y'Z' es

V = V V? + V£? = V^ + c 2{l — i>2/c 2

) = e,

y el observador 0' mide tambiSn una velocidad c para la luz, como se requiridcuando se deriv6 la transformacidn de Lorentz. Al observador en movimiento 0'le parece que la luz se propaga con respecto al sistema X'Y'Z' en una direcci6nque hace un angulo con el eje X f dado por

V x r V

(b) Consideremos ahora el caso en el cual el observador 0' ve el rayo de luzpropagandose a lo largo del eje Y'. Luego VV = y las dos primeras expresionesen la ec, (6.36) dan

o = v— vV'> = Ml — p,

/c'

1 — i>Y*/c 2 *y

i — vVx/c*'

De la primera ecuacidn obtenemos V* = V, la cual, cuando se reemplaza en lasegunda ecuacirin, da

y i — v*/c*

Pero para el observador 0, quien mide la velocidad de la luz como c, tenemos

c = y yj + vi = y v * + vi 6 v = v c 2— 1»2 = cy 1 — »vc«,

la cual, cuando se reemplaza en la expresi6n previa de Vy da Yy = c. Una vezmas verificamos que el observador 0' mide tambien la velocidad de la luz como c.

La direcci6n en la cual el observador ve el rayo de luz hace un angulo a con el ejede las X dado por

tg a = -£*- = -11/ 1 — pi/cT

Los resultados de este problema deben ser comparados con aquellos del ejemplo 6.2para el sonido, en el cual se us6 la transformaci6n Galileana.

EJEMPLO 6.6. Obtener la relacidn entre la aceleraci6n de una particula medidapor dos observadores en movimiento relativo. Suponer por simplicidad que, enel instante de la comparaci6n, la particula esta en reposo relativo con respecto alobservador 0\

Solueidn: La componente X de la aceleraci6n de la particula, medida por 0% es

&V* dV* dtOLx = = —

dt' dt dt''

g m g)Consecuencias de la transformation de Lorentz 143

Usando el valor de W de la primera relacitin de la ec. (6.36) y reemplazando las

derivadas apropiadas, tenemos

a*' = ax (Vg— v)vax/c 2

11_pWc* (1— pVx/c 2)2

"

1 _ yy^/cB " ^ {1— vVx/cY

En el instante cuando la particula se encuentra en reposo relativo con respecto

a 0', Vx = v y

a;, = a* = k*ax .

(l_p»/C*)B/«

Por un analisis similar encontramos que

ay , a' a*

«/ = t-^ = *<«* " - T^f^ = k °a-

Este resultado difiere del de la ec. (6,14) de la transformaci6n Galileana, ya que

en este caso la aceleraci6n no es la misma para ambos observadores en movimiento

relativo uniforme. En otras palabras, el requisito de que la velocidad de la luz sea

invariante en todos los sistemas de referencia que se encuentran en movimiento

relativo uniforme destruye la invariancia de la aceleraci6n.

Es importante conocer la relacitin entre las magnitudes de la aceleracidn ob-

servada por y O'. Ahora

a'* = al + a%< + a>\>

a% a% a!

(I_y2/C2)3 (l— P */c*)* (1 — p 2/c 2)a

a! + {a\ + al)(l — v^)(1 — v 2/c*) 3

a2— v^ + af)/c 2

(1 — u 2/c s)s

Pero v = uxv y v * a = — uuvaz + u2vay , de modo que (t> * a) 2 = v\ay + ai). Por

consiguiente

= a* — (v * a)Vc» (09)(1 _ y2/c2)3

•

que es la relaci6n requerida. Cuando la aceleraci6n es paralela a la velocidad, v * o==0

y a' = a/(l — i72/c z

)3/2

, Este resultado esta de acuerdo con la relacitin entre ax y fly'.

Cuando la aceleraci6n es perpendicular a la velocidad (a * v) 2 = v 2a 2 y a' = a/(l —— i?

2/c2) que coincide con la relaci6n entre ay , a* y a'V'9c£.

6.8 Consecuencias de la transformacidn de Lorentz

El factor k = l/|/l —v^jc2 que aparece en la ec. (6.33) sugiere que las longitudes

de los cuerpos y los intervalos de los tiempos entre eventos dados pueden no ser

los mismos cuando se miden por observadores diferentes. Discutiremos ahora esta

importante cuestion.

144 Movimiento relativo (6.8

(1) Contraccidn de la longitud. La longitud de un objeto puede definirse

como la distancia entre sus extremos. Sin embargo, si el objeto cuya longitudse mide se encuentra en movimiento relativo con respecto a un observador, las

posiciones de sus dos extremos deben ser medidas simultdneamente. Consideremosuna barra en reposo relativo a 0' y paralela al eje O'X'. Designando sus dosextremos por a y b, su longitud medida por 0' es U = xb

— x'a. La simultaneidadno es necesaria para 0' debido a que el ve la barra en reposo. Sin embargo,el observador 0, quien ve la barra en movimiento, debe medir las coordenadasxa y xb de los extremos al mismo tiempo t

9 obteniendo L = xb— xa , Aplicandola primera relaci6n en la ec. (6.33) encontramos que

X„— vt

xi =

Vl — ^/c2

xb — vt

N6tese que escribimos el mismo tiempo en ambas expresiones. Ahora, sustrayendo

x '

b~ x

'

a=Y^W 6 L = vr=r^ L '-

<

6 -40>

Puesto que el factor J/l — v*jc2 es menor que la unidad, tenemos una situaci6nen la cual L es menor que L', esto es el observador 0, quien ve el objeto en mo-vimiento, mide una longitud menor que el observador 0', quien ve el objeto enreposo. En otras palabras, los objetos en movimiento parecen mas cortos; esto es

^movimiento < ^reposo*

(2) Dilatacidn del tiempo. Un interualo de tiempo puede definirse como el

tiempo que transcurre entre dos eventos, medido por un observador. Un eventoes una ocurrencia especifica que sucede en un punto particular del espacio y enun tiempo particular. Asi, en funcion de estas definiciones, cuando la masa delpendulo alcanza su maxima altura durante una oscilaci6n, esto constituye unevento, Despues de un cierto periodo de tiempo retornard a esta misma position;

esto es un segundo evento. El tiempo transcurrido entre estos dos eventos es

entonces un intervalo. Asi un intervalo es el tiempo que toma hacer algo: oscilar

para un pendulo, girar alrededor del micleo para un electron, desintegrarse parauna particula radioactiva, latir para un coraz6n, etc.

Consideremos dos eventos que ocurren en el mismo lugar x' con respecto a unobservador 0\ El intervalo entre estos eventos es T = ib

— /;. Para un ob-servador con respecto a quien 0' se esta moviendo con velocidad constante v

en la direction positiva de las X, el intervalo es T =tb~ ta. Para encontrar la

relaci6n entre los tiempos en los cuales ocurren los dos eventos, registrados porambos observadores, usamos la ultima de las ecs. (6.34), Esto nos da

_ ta + vx'jc* t'b + vx'Ic*ta — — —

,

lb = — —

.

]/l — ^/C2]/l _ ^/C2

6.8) Consecuencias de la transjormacwn <te L,orentz i&&

Notese que escribimos la misma xf

en ambas expresiones, Por consiguiente, res-

tando ta de tbt tenemos

h— ta

t'b -t'a

]/l — t^/c2T = T

yi — »>lc<

(6.41)

Ahora T es el intervalo de tiempo medido por un observador 0* en reposo con

respecto al punto en el cual tienen lugar los eventos, y T es el intervalo de tiempo

medido por un observador O relativo al cual el punto est6 en movimiento cuando

los eventos ocurren. Esto es, el observador ve que los eventos ocurren en

dos posiciones diferentes del espacio* Puesto que el factor 1/yi — i^/c2 es mayor

que uno, la ec. (6.41) indica que T es mayor que V. Por consiguiente los procesos

parecen tomar mas tiempo cuando ocurren en un cuerpo en movimiento relativo a

un observador que cuando el cuerpo esta en reposo relativo al observador; esto es

* movimiento ^ ' reposo*

Es importante analizar la dilataci6n del tiempo y la contracci6n de la longitud

en mayor detalle, ya que estos resultados son contrarios a nuestras expectativas

a priori. Demostraremos en una manera mis directa que la dilatacitin del tiempo

y la contracci6n de la longitud son consecuencias directas de la invariancia (cons-

tancia) de la velocidad de la luz. Consideremos de nuevo a dos observadores

y 0' en movimiento relativo a lo largo del eje X con velocidad v. En la Fig. 6-16,

M' es un espejo en reposo relativo a 0' y situado a una distancia L del origen

a lo largo del eje Y'. Esta es.la misma distancia medida por ya que el espejo

se encuentra en una posici6n perpendicular a la direcci6n del movimiento. Supon-

gamos que, cuando y 0' coinciden se envia un rayo de luz desde su posici6n

comun hacia el espejo. Para el observador que ve el espejo en movimiento, la

senal de luz debe enviarse haciendo un dngulo dependiente de la velocidad del

espejo y la distancia L. Sean T y V los tiempos registrados por y 0' para que

la senal de luz retorne a 0' despuSs que se haya reflejado en el espejo. En el sis-

tema 0\ la luz retornard al origen, pero en el sistema O la luz cruzar£ el eje Xa una distancia vT del origen. Con respecto a 0', la trayectoria de la senal de

luz es O'M'O' = 2L y el tiempo transcurrido es T = 2L/c, ya que 0' mide la

r, y

0,0- X

(a)

Figura 6-16

146 Movimiento relativo

F, Y f Y

0,0'X f

X

Y

M f

fa)

I

I

Vto I Ctn|

1 T Y,

0'

(<0

(6.8

X'X

velocidad de la luz como c. Este intervalo de tiempo corresponde a dos eventosque tienen lugar en el mismo punto (0') respecto a 0'.

Con respecto al observador 0, quien mide la velocidad como c, la trayectoriade la serial es OPO', y por ello aplica la relacion (de la Fig. 6-16b) (\cT) == QvT? + L2 oT = (2L/c)/ 1/1 — v*l<*. Por consiguiente T = T f j]/l^~v^

y quees la ec. (6.41). Notese que hemos obtenido la dilatation del tiempo requiriendoque la velocidad de la luz sea la misma para todos los observadores inerciales*

Consideremos ahora el espejo M l

colocado a lo largo del eje X' y orientadoperpendicularmente a el y a una distancia L' de 0' y consideramos el espejoen reposo en el sistema 0'. El conjunto se muestra en la Fig. 6-17. Nuevamentecuando y 0' coinciden se lanza una serial de luz hacia el espejo y se miden los

tiempos T y T que toma la luz en regresar a 0'. El intervalo para 0\ quienmide la velocidad de la luz como c, es V = 2L'jc. La distancia Q'M puede noser la misma para el observador 0, y la llamaremos la distancia L. Ahora el

tiempo tv para que la luz viaje de al espejo se encuentra de la relacion ^=7,+^o t

x =L(c— v), ya que M' ha avanzado la distancia vtv Al reflejarse, mideun tiempo t

%para que la luz llegue a 0', que se ha movido una distancia vt2 en

aquel tiempo (ver Fig. 6-17c). Asi ct% =L — vi%ot

t= Lj(c + i>). El tiempo total

necesario para que la luz llegue a 0', medido por 0, es asi

T = *! + t2= +

2L

c — V C + V 1 — v*iciS/i.2

Pero T y V corresponden a dos eventos que ocurren en el mismo lugar, con res-

pecto a 0\ y estdn relacionadas por consiguiente por la ec. (6.41), Asi,

2L/c 2L'lc

1 — y2/c2y1 _ ^jc2

6 L= yY^-&ic*L:

Esta ecuacion es identica a la ec. (6.40) ya que L' es una longitud en reposo conrespecto a 0'. De estos dos ejemplos, vemos que la constancia de la velocidadde la luz para todos los observadores inerciales afecta, en una manera muy par-ticular, los resultados obtenidos por observadores en movimiento relativo.

6.8) Consecuencias de la transformation de Lorentz 147

M2mmmm&

EJEMPLO 6.7. Andlisis del experimento de Michelson-Morley. Al principio de la

seccitfn 6.6, mencionamos el experimento de Michelson-Morley. Lo describiremos

ahora sucintamente, y analizaremos los resultados. El arreglo experimental 11a-

niado interfer6metro se muestra esquematicamente en la Fig. 6-18, donde S es una

fuente monocromatica de luz y Ml y M %

son dos espejos colocados a la misma dis~

tancia L* (medida por un observador te-

rrestre) de un espejo plateado P. La luz

que proviene de S, cuando llega a P, es

parcialmente transmitida hacia Mx y par-

cialmente reflejada haciaM2 . Los rayos re-

flejados en Mx y M2 regresan a P y even-

tualmente llegan al observador situado

en 0\ N6tese que la trayectoria de la luz

dibujada en la Fig* 6-18 es con respecto a!

sistema X'Y'Z' que se mueve con la tierra

y con respecto al cual el interferdmetro esta

en reposo, Se sugiere como ejercicio que el

estudiante dibuje la trayectoria de la luz

vista por un observador respecto al cual

la tierra se mueve con una velocidad v.

El equipo experimental real usado por Mi-

chelson y Morley se ilustra en la Fig. 6-19.

Movimientode tierra

oV>

Observadorterrestre

Fig, 6-18. Componentes basicos

experimento de Michelson-Morley,

del

Soiucidn: Sea c la velocidad de la luz medida por un observador estacionario re-

lativo al £ter. Llamemos v a la velocidad de la tierra con respecto al 6ter, y orien-

temos el interferdmetro de modo que te lfnea PMX sea paralela al movimiento de

la tierra*

Cuando usamos la transformaci6n Galileana, encontramos, siguiendo los resulta-

dos del ejemplo 6.2, que con respecto a la tierra, la velocidad de la luz que va deP a M1 es c— v, la de Mx

a P es c -f v y la que va de P a Ma 6 de Ma a P es

y c a— pa. Asi el tiempo necesario para que la luz vaya de P a Mx y de regreso a P,

medido por el observador terrestre 0\ es

m-=u

- +L'

C V c + V

2L'c 21,7c

C* V 3 1 — v2/c2//»*

mientras que el tiempo necesario para ir de P a M% , y de regreso a P, medido por

0', es

2U 2L'/ct'± =

y c * — v* V i — v*fc*

Notamos que*f| y /I son diferentes, y por consiguiente los rayos que llegan al

observador 0' tienen una diferencia de trayectoria y (de acuerdo a la teoria pre-

sentada en el capltulo 22) deberia dar por resultado un cierto patr6n de interfe-

rencia. Sorprendentemente no se observa tal interferencia, como se indicd pre-

viamente en la secci6n 6.6 * Esto sugiere que t\\ = fl. Para resolver este dilema

* En el experimento real realizado por Michelson, los dos brazos del interferdmetro, o mis pre-

cisamente las longitudes opticas, eran ligeramente diferentes, dando por resultado un patr6n

de interferencia. Luego Michelson para compensar esta diferencia y realmente aumentar la

precision de sus mediciones, giro* el instrumento 90° (Fig. 6-19). Y aunque la teoria,

basada en la transformacion Galileana, predecia un corrimiento en el patrdn de interferencia

como resultado de la rotation, no se observ6 tal corrimiento.

IK Movimiento relativo

Fuente de luz Espejo a ustable

|os Espejos

(6.

Placa de vidrio transparente

Espejos Espejos

Telescopio

Fig. 6-19, Interferometro usado por Michelson y Morley en sus mediciones dela velocidad de la luz. Una mesa de piedra que sostiene los espejos, se flja a un anillode madera que flota en mercurio. La serie de espejos sirven para aumentar la tra-yectoria total de la luz. La placa no plateada se coloca a lo largo de una de las tra-yectorias para compensar el hecho de que la otra trayectoria debe pasar a travesdel vidrio del espejo. EI telescopio permite observar las franjas de interferencia.(Dibujo cortesia de Scientific American.)

Lorentz, e independientemente Fitzgerald, propusieron que todos los objetos quese mueven a traves del eter sufren una contracci6n "real" en la direcctfn del mo-vimiento, y que esta contracci6n es suficiente para hacer que t\\ = 4. Esto sig-nifica que la longitud que aparece en ff| no debe ser la misma longitud que apareceen tu ya que la primera es en la direcci6n del movimiento de la tierra y la otraperpendicular a ella. Escribiendo L en lugar de L* en la expresi6n para t]\ tenemos

t\\ = 2L/c

1 — vVc

Igualando t\\ y t±, obtenemos, despues de simplificar,

L = j/1 — v 2/c 2 L\(6.42)

Esta expresi6n relaciona las longitudes PM1 y PM2 medidas por un observador

O en reposo con respecto al eter. (El observador 0' no debia notar esta contraccirtn,debido a que la regla que usa para medir la distancia PMX esta tambien contraidaen la misma proporctfn que PM

X cuando se le coloca en la direcci6n del movi-miento de la tierra! Asi, para el, las longitudes PMX y PM% son iguales. Pero elobservador reiria de las preocupaciones de 0' ya que el se da cuenta que 0' estaen movimiento y, de acuerdo a la hip6tesis de Lorentz-Fitzgerald, los objetos queel Ueva se acortan en la direction del movimiento. Asi concluye que la longitudreal" de PMU es L y la de PMZ es L% siendo esta diferencia "real" en longi-

tud la raz6n del resultado negativo obtenido al examinar la interferencia de losdos haces de luz.

Por supuesto, una explicacidn alternativa del resultado negativo del experimentode Michelson-Morley es suponer que la velocidad de la luz es la misma en todas

Bibliografia 149

las direcciones no importa cual sea el estado de movimiento del observador. En-tonces el observador 0' utiliza C para todas las trayectorias de la Fig. 6-18 yentonces t\\ = t\ = 2L'/C. Esta fue la posici6n adoptada por Albert Einstein

cuando formul6 su principio de relatividad. El estudiante puede, sin embargo,en este momento decir que la contracci6n "real" supuesta por Lorentz para expli-

car el resultado negativo es exactamente la misma que la contracci6n que encon-tramos en la ec. (6.40) usando la transformaci6n de Lorentz y el principio de la

invariancia de la velocidad de la luz. Hay, sin embargo, una diferencia fundamentalentre las dos hipdtesis usadas para obtener estos dos resultados aparentementeidenticos : (1) La contracci6n (6.42) obtenida por medio de la transformaci6n Ga-lileana, se supone que es una contracci6n real sufrida por todos los cuerpos que se

mueven a traves del eter, y la v, que aparece en la formula, es la velocidad del ob-

jeto con respecto al eter. (2) La contraccidn (6.40) se refiere s61o al valor medido

de la longitud del objeto en movimiento con respecto al observador, y es una con-

secuencia de la invariancia de la velocidad de la luz. La v que aparece en la f6rmulaes la velocidad del objeto con respecto al observador y asi la contracci6n es diferente

para diferentes observadores. El gran ingenio de Einstein lo llev6 a comprender quela idea del 6ter era artificial e innecesaria, y que la explication ldgica era la segunda.

Este fue el postulado basico que Einstein utiliz6 para formular el principio de la

relatividad como veremos en el capitulo 11,

Bibliografia

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10U movimiemo reiatwo

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18. Source Book in Physics, W. F. Magie. Cambridge, Mass. : Harvard UniversityPress, 1963, pag. 27 (Huygens)

; pag. 369 (Michelson y Morley)

Problemas

6.1 Dos trenes, AyBse desplazan enrieles paralelos a 70 km hr-1 y a 90 kmhr-1

, respectivamente. Calcular la ve-locidad relativa de B con respecto aA, cuando: (a) se mueven en la mismadirection, (b) cuando se mueven en di-

recciones opuestas.

6.2 Resolver el problema anterior si

los rieles hacen entre si un angulo de 60°.

6.3 Un tren sale de la ciudad A a las 12del dfa yendo ha:cia la ciudad B 9 situadaa 400 km de distancia, con una velocidadconstante de 100 km hr-1

. Otro trensale de B a las 2,00 p.m. y mantiene unavelocidad constante de 70 km hr-1

. De-terminar el tiempo en el cual los trenesse encuentran y la distancia medida apartir de la ciudad A si (a) el segundotren se dirige hacia A, y (b) el segun-do tren se aleja de A.

6.4 Un hombre que guia a traves deuna tormenta a 80 km hr^1 observa quelas gotas de lluvia dejan trazas en las

ventanas laterales haciendo un angulode 80° con la vertical. Cuando 61 detienesu auto, observa que la lluvia esta ca-yendo realmente en forma vertical.

Calcular la velocidad relativa de la lluviacon respecto al auto (a) cuando estadetenido, y (b) cuando se desplaza a80 km hr-1

.

6.5 Dos autos que se desplazan encaminos perpendiculares viajan hacia el

norte y el este respectivamente. Si susvelocidades con respecto a la tierra sonde 60 km hr-1 y de 80 km hr-1

, calcularsu velocidad relativa. ^Depende la velo-cidad relativa de la position de los autosen sus respectivos caminos? Repetir el

problema, suponiendo que el segundoauto se desplaza hacia el oeste.

6.6 Un bote se mueve en la direccidnN 60° W a 4,0 km hr -1 con respectoal agua. La corriente tiene tal direccidnque el movimiento resultante con res-

pecto a la tierra es hacia el oeste a

5 km hr-1. Calcular la velocidad y la

direcci6n de la corriente con respectoa la tierra.

6.7 La velocidad de un bote de carreraen agua quieta es de 55 km hr-1

. Elpiloto desea dirigirse a un punto situadoa 80 km S 20° E. La corriente es muyfuerte a 20 km hr-1 en la direcci6nS 70° N. (a) Calcular en qu6 direcci6ndebe ser dirigido el bote de modo quese desplace directamente hacia el puntodeseado. (b) Determinar el tiempo re-querido para el viaje.

6.8 Un rio fluye hacia el norte a unavelocidad de 3 km hr-1

. Un bote sedirige al este con una velocidad relativaal agua de 4 km hr-1

. (a) Calcular lavelocidad del bote con respecto a latierra. (b) Si el rio tiene 1 km de ancho,calcular el tiempo necesario para realizarel cruce, (c) ^Cual es la desviaci6n haciael norte del bote cuando llegue a la otraorilla del rio?

6.9 Dos lugares, A y B, en la orilla

de un rio perfectamente recto, estan se-parados a 1 km. Un hombre va de A a By de regreso hacia A en un bote deremos que se desplaza a 4 km hr -1 conrespecto al rio. Otro hombre caminaa lo largo de la orilla de A hacia B y deregreso a 4 km hr-1

. Si el rio fluye a2 km hr -1 calcular el tiemoo true demnra

Problemas 151

cada hombre para realizar el viaje com-

pleto.

6-10 Usando los datos del problema

anterior, determinar la velocidad del

rio de modo que la diferencia entre los

tiempos de recorrido sea de 6 minutos.

6*11 Un rio tiene 1 km de ancho. Lavelocidad de la corriente es de 2 km hr-1

.

Determinar el tiempo que demoraria unhombre para llevar y traer, remando, un

bote a trav6s del rio de una orilla a la

otra. Comparar este tiempo con el que

le tomaria a un hombre para remar

1 km en la direccWn de la corriente yregresar nuevamente. El bote a remos

se mueve con una velocidad constante

de 4 km hr-1 con respecto al agua.

6.12 Usando los datos del problemaanterior determinar la velocidad de la

corriente si la diferencia de tiempos entre

los dos recorridos completos es de 10 mi-

nutos.

6.13 Dado un sistema de coordenadas

fljo en la tierra (suponer que la tierra

es plana y no tiene movimiento), con-

siderar una bala con una velocidad de

800 pies s_1 disparada desde la cola de

un aeroplano que se desplaza a 700 pies

s-1 (aproximadamente 440 mi hr-1). Des-

cribir el movimiento de la bala (a) enel sistema de coordenadas de la tierra,

(b) en el sistema de coordenadas del

aeroplano, (c) calcular el Angulo bajo el

cual el can6n debe apuntar de modoque la componente horizontal de la velo-

cidad de la bala sea nula en el sistema

de coordenadas de la tierra.

6.14 La posicidn de una particula Qen un sistema de coordenadas O se

mide por r = «x(6/*— 40 + *v(— 3P) ++ ur 3 m. (a) Determinar la velocidad

relativa constante del sistema O' conrespecto a O si la posicidn de Q se midepor r' = Ux(6P + St) + Uy{— 3P) + «r

3 m. (b) Demostrar que la aceleracidn

de la particula es la misma en ambos sis-

temas-

6.15 Un tren pasa por una estacidn

a 30 m s-1 . Una bola rueda sobre el

piso del tren con una velocidad de15 m s-1 dirigida (a) en la direcci6n del

movimiento del tren, (b) en la direcci6n

opuesta y (c) en direccidn perpendicular

a la del tren. Encontrar, en cada caso,

la velocidad de la bola con respecto a unobservador parado en la plataforma de

la estaci6n.

6.16 Una particula con una velocidad

de 500 m s-1 con respecto a la tierra

se dirige hacia el Sur a 45° latitud N.

(a) Calcular la aceleracWn centrifuga

de la particula. (b) Calcular la acelera-

ci6n de Coriolis de la particula. (c) Repe-tir el problema para la posici6n de 45°

latitud S.

6.17 Un cuerpo cae desde una altura

de 200 m en un punto cuya latitud es

de 41° N. Encontrar la desviacidn hacia

el este con respecto al punto directa-

mente debajo del punto de partida. Re-petir este problema para un punto situa-

do en una latitud 41° S.

6.18 Un rio fluye hacia el sur a unavelocidad de 9 km/hr en un lugar cuyalatitud es 45°N (S). Encontrar la acele-

racitin de Coriolis. Demostrar que en el

hemisferio Norte (Sur) empuja el aguahacia la margen derecha (izquierda).

Este defecto produce una mayor erosi6n

en la rivera derecha (izquierda) que se

ha notado en algunos casos.

6.19 Ud. esta volando sobre el ecuador

hacia el este en un jet a 450 m s*1

(cerca de 1000 mi hr-1). jCual es su

aceleraci6n de Coriolis?

6.20 El planeta Jupiter que rota sobre

su eje con un perfodo de 9 hr 51 min,

tiene un radio de aproximadamente7 x 104 km, y la aceleracidn debida a la

gravedad en su superflcie es de 26,5 ms-1 . £Cu&l es la maxima desviacidn de la

plomada de la direcci6n radial en la

superflcie de Jiipiter?

6.21 Comparar los valores de la acele-

raci6n de la gravedad dada por la ta-

bla 6-1 con los valores tedricos de la

ec. (6.29).

6.22 Un cuerpo se lanza verticalmente

hacia arriba con una velocidad v . De-mostrar que caer4 en un punto despla-

zado hacia el oeste a una distancia

igual a (f)o> cos x/S/i8/^, siendo h = v%!2g.

6.23 Obtener las expresiontes de la

velocidad y aceleraci6n de un puntoregistradas por dos observadores O y O'

que se mueven con velocidad angular

152 Mouimiento relatwo

relativa o> 9 cuando a> no es constante,Considerar este problema cuando losorigenes coinciden y cuando no coin-cides

6.24 Dos observadores y 0' se en-cuentran en movimiento de traslacidnrelativo con v = 0,6c. (a) El observa-dor O ve una varilla en reposo alineadaparalelamente al movimiento, y quemide 2,0 m. <,Que longitud tiene la vari-lla de acuerdo a 0'? (b) Si la mismavarilla esta en reposo en 0', y estaalineada paralelamente al movimiento,ique" larga es de acuerdo aOy 0'?

6.25 Determinar la velocidad relativade una varilla que tiene una longitudmedida igual a la mitad de su longi-tud en reposo,

6.26 iCual es la magnitud del diame-tro de la tierra para un observador si-

tuado en el sol? (La velocidad orbitalde la tierra con respecto al sol es de30 km s-1

, y el radio de la tierra se daen la tabia 13-1.)

6.27 Una nave espacial que se dirigehacia la luna pasa la tierra con unavelocidad relativa de 0,8c. (a) ^Que tiem-po demora el viaje de la tierra a la luna,de acuerdo a un observador terrestre?(b) iCual es la distancia tierra-luna,de acuerdo a un pasajero de la nave?4Que tiempo demora el viaje, de acuerdocon el pasajero?

6.28 La vida media de un neutr6n,como particula libre en reposo es de15 min* Se desintegra espontaneamenteen un electr6n, un proton y un neutrino.iCual es la velocidad minima promediocon la cual un neutr6n debe dejar el sol

a fin de llegar a la tierra antes de desin-tegrarse?

6.29 Un mes6n \l es una particulainestable cuya vida media es de 2 xx 10~ e s medida por un observador enreposo con respecto al mesdn. <,Cual serala vida media con respecto a un obser-vador que ve el mesdn moverse con unavelocidad de 0,9c? Si se produce unagran cantidad de mesones en un ciertopunto de la atm6sfera pero solamenteel 1 % alcanza la superficie terrestre,estimar la altura del punto en el cualse originaron los mesones.

6.30 Un niicleo radioactivo se muevea una velocidad de 0,1c con respectoal laboratorio cuando emite un electr6ncon una velocidad 0,8c con respecto alniicleo. iCual es la velocidad y la direc-ci6n del electr6n con respecto al labo-ratorio si, con respecto a un sistema dereferencia situado en el niicleo, el elec-tron es emitido (a) en la direccidn delmovimiento, (b) en la direcci6n opuesta,(c) en la direccibn perpendicular?

6.31 Los observadores y 0' estanen movimiento de traslaci6n relativacon v — 0,6c, y coincide cuando t == V = 0. Cuando han transcurrido cincoafios, de acuerdo a 0, cuanto demora enllegar una serial de O a 0'? Con estainformacidn conocida por y 0', qu6tiempo ha transcurrido de acuerdo a 0'desde que O y O' coincidieron? Unaserial de luz colocada en es encendidadurante un afio. ^Que tiempo esta en-cendida de acuerdo aO'?

6.32 Resolver el problema anterior,cuando el movimiento de traslacirtn esde 0,9c.

6.33 Un cohete, cuya longitud en re-poso es de 60 m, se aleja de la tierra.El cohete tiene espejos en cada extremo.Una serial de luz, enviada desde latierra se refleja en ambos espejos. Laprimera serial es recibida despues de200 s y la segunda, 1,74 [xs mas tarde.Encontrar la distancia a que se encuentrael cohete de la tierra y su velocidad conrespecto a la tierra.

6.34 Un astronauta desea ir a unaestrella situada a cinco afios luz. Calcu-lar la velocidad de su cohete con respectoa la tierra de modo que el tiempo, me-dido por el reloj del astronauta, seaun afio luz, ^Cual sera el tiempo regis-trado para esta misi6n por un observadorterrestre?

6.35 Un estudiante toma un examenque tendra una duration de una horasegiin el reloj de su profesor. El profesorse mueve a una velocidad 0,97c conrespecto al estudiante y envia una serial

de luz cuando su reloj marca una hora.El estudiante deja de escribir cuando re-cibe la serial. £Que tiempo tuvo el estu-diante para el examen?

Problemas 153

6.36 Un cientiflco desea utilizar el m6-

todo de Michelson-Morley para medir

la velocidad del viento, enviando senates

sonoras en dos direcciones perpendicu-

lares. El supone que la velocidad del

sonido es de 300 m S"1 y que la longitud

de su recorrido es de 100 m. ^Cual es la

minima velocidad del viento que puede

descubrir si puede medir una dilerencia

de tiempos M <> 0,001 s?

6.37 Demostrar que la transformation

general de Lorentz cuando los ejes de

coordenadas utilizadas por O y O' no

son paralelos a la velocidad relativa es

r + <*-l)£^-JW,

V = k(t— r*vlc*).

[Ayuda: Descomponer los vectores r

y r' en componentes paralelas y perpen-

diculares a v; note que r' = r\\ + rx yque r ||

= (r*»)c/p2 .]

6.38 Demostrar que' si V y V son las

magnitudes de la velocidad de una par-

ticula medida por los observadores Oy O' que se desplazan a lo largo del eje

X con velocidad relativa v, entonces

V 1 — VVc* =*

V 1 — Va/cs

V(i-- pa/ca) (1 — Va/c2)

1 — vVx/c*

Vd-- wa/c2) (1 — V'a/c8)

1 + v Vi/tf

6.39 Demostrar que la transformation

medida por O y O', cuando la particula

general de la aceleraci6n de una particula

se mueve con velocidad V relativa a O, es

<Xx =

a v =

a* =

(1—vVx/c*)*

1 — v*jc* (- 1% +

(1 — i>V*/c2)2 V

1 — v2jc* (

(1 — vVxIc*)* V

axvVyjc"

CLz + CLx

1 — vVxlc*

vVz/c* \

1 — vVxjc* )

\

6.40 Demostrar que cuando v es casi

igual a c, entonces k « 1/^2(1 — vfc) f yque cuando v es muy pequeiia comparadacon c, entonces k & 1 + v2j2c2 .

6.41 Una caja cubica de lado L me-dida por un observador O' en reposo

con respecto a la caja, se mueve con unavelocidad v paralela a una arista conrespecto a otro observador O. Demos-trar que el volumen medido por O es

Ll]/ 1 — v*jc\

6.42 Una particula se mueve relativa-

mente a un observador O de modo quesu posici6n en el tiempo t esta dadapor x — vt 9 y = ±at2 y su trayectoria

es una parabola. Describir su movi-miento con respecto a un observador O'

quien se mueve con respecto a conuna velocidad v. En particular, encon-

trar su trayectoria y su aceleraci6n.

6.43 Una varilla de un metro formaun angulo de 45° con respecto a la direc-

tion de movimiento en un sistema m6vil

de coordenadas. ^Gual es su longitud y su

orientaci6n, medida en el sistema del

laboratorio, si el sistema en movimientotiene una velocidad de 0,8c?

6.44 Discusidn de simultaneidad. (a)

Demostrar que si dos eventos tienen lu-

gar con respecto a un observador O en

los tiempos tx y t2 y en los lugares xt y x2 ,

y si T = f2— tlf L = x2

— xl9 los even-

tos ocurren para el observador Q' (mo-

viendose con respecto a O con velocidad

v a lo largo del eje X) en los tiempos t[

y t'%tales que, si

T'

entonces

T = k(T— vLlc2).

(b) iEn general, son los eventos que

aparecen como simultaneos a O, simul-

taneos aO'? &Bajo qu6 condiciones son

los eventos que aparecen simult&neos

a tambi6n simultaneos a todos los

154 Movimiento relaiivo

observadores que se mueven con movi-miento relativo? (c) Obtener la relacidnentre L y T de modo que el orden en elcual suceden los dos eventos, observa-dos por 0\ se invierten con respecto a 0.(d) Suponer que los eventos (xlf y y(x2 , t2) observados por son el resultadode alguna sefial transmitida de (xu tjcon velocidad V = L/T

t por necesidad

V =k(l — F-t>/ca)

menor que o igual a c. <,Puede el ordende los eventos aparecer invertido paraO'? [Notar que si la respuesta es afirma-tiva entonces la teorfa requiere queV > C.]

6.45 Demostrar que la ley de trans-formacidn de velocidades puede escri-birse en la forma vectorial de la siguientemanera:

v + (k— 1)F-t?

1?v kv

6.46 Demostrar que la ley de transformaci6n de aceleraciones puede escribirse enla forma vectorial de la siguiente manera

:

<r =#»(! — v<v/c2

y

,/l A av 1

\k ) & ca v 10

7

DINAMICA DE UNA PARTICULA

7A Introduction

12 Ley de inertia

7,3 Momentum lineal

7A Principio de conservation del momentum7,5 Redefinition de masa

7.6 Segunda y tercera leyes de Newton; concepto de fuerza

7.7 Critica del concepto de fuerza

7.8 Unidades de fuerza

7.9 Fuerzas de friction

7JO Fuerzas de friction en fluidos

7J1 Sistemas con masa variable

7A2 Movimiento curvilineo

7A3 Momentum angular

7A4 Fuerzas centrales

7A5 Equilibrio y reposo

156 Dindmica de una particula (7.2

7.1 Introduccidn

En el capitulo 5, relativo a la cinematica, discutimos los elementos que inter-

vienen en la "descripci6n" del movimiento de una particula. Investiguemos

ahora la razon por la cual las particulas se mueven de la manera en que lo hacen.

^Por que los cuerpos cerca de la superficie de la tierra caen con aceleraci6n cons-

tante? iPor que la tierra se mueve alrededor del sol en una 6rbita eliptica? ^Por

que los 6tomos se unen para formar moleculas? £Por que oscila un resorte cuando

se le estira y luego-se le suelta? Quisieramos comprender estos y otros movimientos

que observamos continuamente a nuestro alrededor. Esta comprensi6n es impor-

tante no solamente desde el punto de vista del conocimiento b&sico de la natu-

raleza, sino tambien desde el punto de vista de la ingenieria y las aplicaciones

pricticas. La comprensi6n de c6mo se producen los movimientos nos capacita

para disenar m&quinas y otros instrumentos pricticos que se mueven en la forma

en que nosotros deseamos. El estudio de la relaci6n entre el movimiento de un

cuerpo y las causas de este movimiento se denomina dindmica.

Por nuestra experiencia diaria sabemos que el movimiento de un cuerpo es

un resultado directo de sus interacciones con los otros cuerpos que lo rodean.

Cuando un bateador golpea una pelota, su accion modifica el movimiento de la

pelota* La trayectoria de un proyectil no es sino el resultado de su interacci6n

con la tierra. El movimiento de un electron alrededor de un niicleo es el resultado

de sus interacciones con el niicleo y quizes con otros electrones. Las interacciones

se describen convenientemente por un concepto matemAtico denominado fuerza.

El estudio de la din&mica es b&sicamente el analisis de la relaci6n entre la fuerza

y los cambios en el movimiento de un cuerpo.

Las leyes del movimiento que presentaremos en la siguiente discusi6n son

generalizaciones que resultan de un anAlisis cuidadoso de los movimientos que

observamos alrededor nuestro y la extrapolaci6n de nuestras observaciones a

ciertos experimentos ideales o simpliflcados.

7.2 Ley de inertia

Una particula libre es aquella que no estd sujeta a interacci6n alguna. Estricta-

mente no existe tal cosa, ya que toda particula estd sujeta a interacciones con

el resto del mundo, Luego una particula libre deberd estar completamente aislada,

o ser la unica particula en el mundo. Pero entonces seria imposible observarla

porque, en el proceso de la observaci6n> hay siempre una interacci6n entre el

observador y la particula. En la pr&ctica, sin embargo, hay algunas particulas

que podemos considerar libres, ya sea porque se encuentran suflcientemente

lejos de otras y sus interacciones son despreciables, o porque las interacciones

con las otras particulas se cancelan, dando una interaccidn total nula.

Consideremos ahora la ley de inertia, la cual establece que

una particula libre se mueve siempre con velocidad constante, o

(lo que es lo mismo) sin aceleracion.

7.2) Ley de inertia 157

Esto es, una particula libre se mueve en linea recta con una velocidad constante

o se encuentra en reposo (velocidad cero). Esta proposici6n se denomina la pri-

mera ley de Newton, porque fue inicialmente propuesta por Sir Isaac Newton

(1642-1727). Es la primera de tres "leyes" que el enunciara en el siglo diecisiete.

Nosotros recordamos de los capitulos 5 y 6 que el movimiento es relativo.

Luego, cuando enunciamos la ley de inercia debemos indicar con respecto a

quien o a que se refiere el movimiento de la particula libre, Suponemos que el

movimiento de la particula est£ relacionado a un observador quien es asimismo

una particula libre (o un sistema); es decir, que no esta sujeto a interacciones

con el resto del mundo. Tal observador se denomina observador inercial, y el

sistema de referenda que el utiliza se llama un sistema inercial de referenda.

Suponemos que los sistemas inerciales de referenda no estan rotando, debido a

que la existencia de rotaciones implicaria que hay aceleraciones (o cambios en

la velocidad debidos a cambios en la direcci6n), y entonces que hay interacciones,

lo cual seria contrario a nuestra definicion del observador inercial como "par-

ticula libre" o sin aceleraci6n. De acuerdo a la ley de inercia, diferentes obser-

vadores inerciales pueden estar en movimiento, unos con relaci6n a otros, con

velocidad constante. Estando sus observaciones relacionadas ya sea mediante las

transformaciones de Galileo o las de Lorentz, depentjiendo ello de la magnitud

de sus velocidades relativas.

Debido a su rotaci6n diaria y a su interaction con el sol y los otros planetas,

la tierra no es un sistema inercial de referenda. Sin embargo, en muchos casos

los efectos de la rotacidn de la tierra y las interacciones son despreciables, y los

sistemas de referenda unidos a nuestros laboratories terrestres pueden, sin gran

error, ser considerados inerciales. Tampoco el sol es un sistema inercial de refe-

renda. Debido a sus interacciones con otros cuerpos en la galaxia, el sol describe

una 6rbita curva alrededor del centro de la galaxia (Fig. 7-1). Sin embargo, comoel movimiento del sol es m£s rectilineo y uniforme que el de la tierra (la acelera-

ci6n orbital de la tierra es 15 millones de veces mayor que la del sol), la seme-

janza del sol a un sistema inercial es mucho mayor.

sxio^m

Centro de galaxia ^^g ^"j

y 1,5 x 10" m

3,15 x 10' s

10 a afios

= 6,3 x 10 16 s

Fig. 7-1. Un sistema situado en la tierra no es inercial debido a la rotaci6n diaria

de la tierra y a su movimiento acelerado alrededor del sol. El sol igualmente no es unsistema inercial debido a su movimiento alrededor del centro de la galaxia. Sin

embargo, para propdsitos practtcos cualquiera de estos cuerpos puede utilizarse

para deflnir un sistema inercial.

158 Dindmica de una particula (7.3

Ilustremos algunos experimentos realizados en nuestros laboratories terrestres

que sustenten la ley de inertia. Una bola esferica en reposo en una superficie

horizontal lisa permanece en reposo a menos que actuemos sobre ella. Esto

es, su velocidad permanece constante, con un valor igual a cero. Suponemos

que la superficie sobre la cual la bola esta reposando equilibra la interaction

entre la tierra y la bola, y por tanto que la bola se encuentra esencialmente libre

de interacciones. Cuando la bola es golpeada, como en el juego de billar, sufre

momentaneamente una interaction y gana velocidad, pero despues se encuentra

libre nuevamente, moviendose en una linea recta con la velocidad adquirida

cuando se le golpeo. Si la bola es rigida y perfectamente esferica, y la superficie

es perfectamente horizontal y lisa, podemos suponer que la bola continuara

moviendose de ese modo indefinidamente. En la practica este no es el caso, ya

que la bola disminuye su velocidad y eventualmente se detiene. Decimos entonces

que ha habido una interaction adicional entre la bola y la superficie. Esta inter-

action, llamada friction, se estudiara mas adelante.

7*3 Momentum lineal

En la section 2.3 dimos una definition operacional de masa diciendo que es un

ntimero que asociamos a cada particula o cuerpo, el que se obtiene comparando

el cuerpo con un cuerpo patron, utilizando para ello una balanza de brazos iguales.

La masa, entonces, es un coeficiente que distingue una particula de otra. Nuestra

definition operacional de masa nos da su valor suponiendo que la particula se

halle en reposo. Sin embargo, a partir de dicha definition no sabemos si la masa

sera la misma cuando se encuentre en movimiento; luego, para ser precisos,

deberiamos utilizar el termino masa en reposo. Supongamos, por el momento,

que la masa es independiente del estado de movimiento y llamemosla simple-

mente masa* Mas adelante, en el capitulo 11, haremos un analisis mas cuidadoso

de este aspecto importante y verificaremos que nuestra suposicion es una buena

aproximacion en tanto la velocidad de la particula sea muy pequena comparada

con la velocidad de la luz.

El momentum lineal de una particula se define como el producto de su masa

por su velocidad. Designandolo por p y tenemos

p = mv. (7.1)

El momentum lineal es una cantidad vectorial, y tiene la misma direction de la

velocidad. Es un concepto fisico de mucha importancia porque combina los dos

elementos que caracterizan el estado dinamico de una particula: su masa y su

velocidad. En adelante escribiremos la palabra momentum en lugar de "momentumlineal

M. En el sistema MKSC, el momentum se expresa en m kg s

_1(a esta unidad

no se le ha dado un nombre especial).

El hecho de que el momentum lineal es una cantidad dinamica con mayor

information que la velocidad puede demostrarse estudiando algunos experimentos

simples. Por ejemplo, es mas dificil detener o aumentar la velocidad de un camion

7A) Principio de conservation del momentum 159

cargado en movimiento que de uno vacio, aun si la velocidad original fuera la

misma en cada caso, porque el momentum de un cami6n cargado es mayor.

Podemos ahora expresar de otra manera la ley de inercia diciendo que

una particula libre siempre se mueve con momentum constants

7.4 Principio de conservation del momentum

Una consecuencia inmediata de la ley de inercia es que un observador inercial

reconoce que una particula no es libre (es decir, que interactua con otras par-

ticulas) cuando observa que la velocidad o el momentum de la particula deja de

permanecer constante; o en otras palabras, cuando la particula experimenta unaaceleracion,

Consideremos ahora una situation ideal. Supongamos que, en lugar de observar

una particula aislada en el universo, como se supuso en la ley de inercia, obser-

vamos dos particulas que estan sujetas solamente a su interaction mutua y se

encuentran por otro lado aisladas del resto del universo. Como resultado de su

interaction, sus velocidades individuales no son constantes sino que cambian

con el tiempo, y sus trayectorias en general son curvas, como se indica en la Fig. 7-2

por las curvas (1) y (2). En un cierto tiempo /, la particula 1 se encuentra en Acon velocidad vx y la particula 2 en B con velocidad t?2 . Posteriormente en el

tiempo V, las particulas se encuentran en A f

y B' con velocidades v{ y v'^ res-

pectivamente. Denominando m1 y m2 las masas de las particulas, el momentum

total del sistema en el tiempo t es

P = Pi + P* = *"!*>! + ™2^2' (7-2)

Posteriormente en V, el momentum total

del sistema es

P ' = Pi + Pz = ml^l + m2V2' (7.3)

Fig. 7-2. Interacci6n entre dos par-

ticulas.

Al escribir esta ecuacion hemos mantenido

nuestra suposicion de que las masas de las

particulas son independientes de sus esta-

dos de movimiento; asi hemos usado las

mismas masas de la ec. (7,2). De otra ma-nera hubieramos escrito P r

=/n{i?i + m'2v^El resultado importante de nuestro expe-

rimento es que independientemente de los

valores de t y t't siempre encontramos como resultado de nuestra observation,

que P == P\ En otros terminos,

el momentum total de un sistema compuesto de dos particulas que

estdn sujetas solamente a su interaction mutua permanece constante.

160 Dindmica de una particula (7.4

Este resultado constituye el principio de la conservation del momentum, uno de

los principios fundamentales y universales de la fisica. Consideremos, por ejemplo,

un atomo de hidrogeno, compuesto por un electron rotando alrededor de unprot6n, y supongamos que el sistema se encuentra aislado de modo que solamentese tomara en cuenta la interaction entre el electron y el proton* Por consiguiente,

la suma de los momentos del electron y del proton con relacion a un sistema

inercial de referencia es constante. Similarmente, consideremos el sistema com-puesto por la tierra y la luna. Si fuera posible despreciar las interacciones debidasal sol y a los otros cuerpos del sistema planetario, entonces la suma de los mo-mentos de la tierra y la luna, con relacion a un sistema inercial de referencia,

seria constante.

Aunque el principio ya enunciado de la conservacion del momentum considerasolamente dos particulas, este principio se cumple para cualquier niimero departiculas que formen un sistema aislado; es decir, particulas que estan sometidassolamente a sus propias interacciones mutuas y no a interacciones con otras

partes del mundo. Por ello, el principio de la conservacion del momentum en suforma general dice

el momentum total de un sistema aislado de particulas es constants.

Por ejemplo, consideremos una molecula de hidrogeno compuesta por dos atomos(dos electrones y dos protones). Si la molecula esta aislada, de modo que solamentelas interacciones entre estas cuatro particulas son consideradas, la suma de sus

momentos en relacion a un sistema inercial de referencia sera constante, Simi-larmente, consideremos nuestro sistema planetario, compuesto del sol, los plane-

tas y sus satelites. Si pudieramos despreciar las interacciones con todos los otros

cuerpos celestes, el momentum total del sistema planetario en relacion a unsistema inercial de referencia seria constante.

No se conocen excepciones a este principio general de conservacion del mo-mentum. Por el contrario, cuando parece que hay violation de este principio

en un experimento, el fisico inmediatamente busca alguna particula desconocidao que no ha notado y la cual puede ser la causa de la aparente falta de conser-

vacion del momentum. Es esta busqueda la que ha dado lugar a que los fisicos

identifiquen el neutron, el neutrino, el foton, y muchas otras particulas elemen-tales. Mas adelante tendremos que reformular el principio de la conservacion del

momentum en una manera algo diferente; pero para la gran mayoria de los

problemas que discutiremos, podemos usarlo en la manera en que se ha propuesto.

La conservacion del mom'entum puede expresarse matematicamente escribiendo

la siguiente ecuacion:

P = Eipt = p1 + pt + />3 + ... = constante. (7.4)

la cual implica que, en un sistema aislado, el cambio en el momentum de unaparticula durante un intervalo particular de tiempo es igual y opuesto al cambioen el momentum del resto del sistema durante el mismo intervalo de tiempo.Asi, por ejemplo, en el caso de una molecula de hidrogeno aislada, el cambio del

7.4) Principio de conservation del momentum 161

momentum de uno de los electrones es igual

y opuesto a la suma de los cambios en el

momentum del otro electrdn y de los dos

protones.

Para el caso particular de dos particulas

Pi + Pa ~ constante

es decir

(7.5)

(7.6)Pi + Pa = Pi + Pa-

N6tese que, de la ec. (7,6)

pi — Pi = Pa— Pa = — (Pi— Pa)- (7.7)

Fig. 7-3. Intercambio de momen-tum como resultado de la interacci6n

entre dos particulas.

0, Uamando p' — p = Ap el cambio en el momentum entre los tiempos t y t\

podemos escribir

APi = — APs (7-8)

Este resultado indica que, para dos particulas interactuantes, el cambio en el

momentum de una particula en un cierto intervalo de tiempo es igual y opuesto

al cambio en el momentum de la otra durante el mismo intervalo de tiempo

(Fig. 7-3). Por lo tanto, el resultado anterior puede expresarse igualmente diciendo

que

una interaction produce un intercambio de momentum,

de manera que el momentum "perdido" por una de las particulas interactuantes

es igual al momentum "ganado" por la otra particula.

La ley de inercia propuesta en la secci6n 7.2 es justamente un caso particular

del principio de conservaci6n del momentum. Como tenemos solamente una

particula aislada en lugar de varias, la ec. (7*4), tiene solamente un t£rmino por

lo que p = constante o lo que es lo mismo, v = constante, lo cual es una expre-

si6n de la ley de inercia.

Continuamente encontramos alrededor

nuestro, ejemplos del principio de con-

servaci6n del momentum. Un ejemplo

es el retroceso de una arma de fuego.

Inicialmente el sistema del canon y la

bala se hallan en reposo, y el momen-tum total es cero. Cuando el can6n es

disparado, retrocede para compensar el

momentum ganado por la bala. Cuandoun niicleo se desintegra, emitiendo (por

ejemplo) un electrbn y un neutrino, el

momentum total del electr6n, el neutrino,

y el nucleo resultante debe ser cero, ya

mmmmMMMMmmMMMMimFig. 7-4. El momentum se conserva

en la exp!osi6n de una granada.

162 Dindmica de una particula (7.4

que inicialmente el sistema se encontraba en reposo con respecto a un sistemainercial en el laboratories Similarmente, si una granada o una bomba estalla enpleno vuelo, el momentum total de todos los fragmentos inmediatamente despuesde la explosion debe tener un valor igual al momentum de la granada inme-diatamente antes de la explosi6n (Fig. 7-4),

EJEMPLO 7.1. Un rev61ver cuya masa es de 0,80 kg dispara una bala cuya masaes de 0,016 kg con una velocidad de 700 m s- 1

. Calcular la velocidad de retrocesodel revolver.

Solucidn: Inicialmente tanto la bala como el rev61ver se encuentran en reposo ysu momentum total es cero. Despues de la explosi6n la bala se desplaza hacia ade-lante con un momentum

Pi = Wi = (0,016 kg) x (700 m s- 1) = 11,20 mkgs- 1

.

El revtflver debe entonces retroceder con momentum igual pero opuesto. Por con-siguiente debemos tener tambien :

p2 - 11,20 mkgs- 1 =m2v2

o, ya que m2= 0,80 kg,

11,20 mkgs- 1

va =0,80 kg

= 14,0 m s- 1.

EJEMPLO 7.2. Analisis de la conservaci6n del momentum en las interaccionesentre particulas at6micas.

(a) (b)

Pig. 7-5, Conservacidn del momentum en la colisi6n de una particula (nucleo dehelio) y un protdn (nucleo de hidr6geno),

Soluci6n: La fotografia de la cattiara de niebla en la Fig. 7-5 (a), muestra una par-ticula alfa (o nucleo de helio) incidente interactuando con un atomo de hidrdgenoque se encontraba inicialmente en reposo formando parte del gas de la camara. Laparticula alfa sufre una deflexitfn de su direcci6n original y el atomo de hidr6genoes puesto en movimiento* Si conocemos las masas respectivas, las que en este casotienen una relacidn de 4 a 1, y medimos sus velocidades (por tecnicas especialesdesarrolladas para analizar fotografias de camaras de niebla), podemos trazar el

diagrama del momentum de la Fig. 7-5 (b). Guando, despues de la interacci6n, los

7.6) Segunda g tercera leyes de Newton; concepto de fuerza 163

momentos se suman, el resultado es igual al momentum de la particula alfa inci-

dente ; esto, es pa — Pa + ph. Hasta ahora se ha observado que la conservaci6ndel momentum se cumple en todas las interacciones at6micas y nucleares.

7.5 Redefinition de masa

Utilizando la definici6n (7.1) del momentum, y suponiendo que la masa de unaparticula es constante, podemos expresar el cambio en el momentum de la par-

ticula en un tiempo At como

Ap — A(mv) = m Av*

Por ello, la ec. (7.8) se convierte en m1Av

1=—m2 Av2 o, considerando solamente

las magnitudes:

"• - |4ei1(7.9)mi I

A«^|

la cual indica que los cambios de magnitud de velocidad son inversamente pro-

porcionales a las masas. Este resultado nos permite definir la masa dinimica-

mente. Asi, si la particula 1 es nuestra particula "patr6nM

, su masa m1 puededefinirse como la unidad. Haciendo interactuar cualquier otra particula, llame-

mosle la particula 2, con la particula patrdn y aplicando la ec. (7.9) podemosobtener su masa mr Este resultado indica que nuestra definici6n operacional

previa de masa de la secci6n 2,3 puede reemplazarse por esta nueva deflnici6n

operacional, derivada a partir del principio de conservacidn del momentum yla suposici6n de que la masa no cambia con la velocidad.

7S Segunda y tercera leyes de Newton; concepto de fuerza

En muchos casos observamos el movimiento de solamente una particula, ya sea

porque no tenemos manera de observar las otras particulas con las cuales inter-

actiia o porque las ignoramos a prop6sito. En esta situaci6n es algo dificil usar

el principio de conservacion del momentum. Sin embargo, hay una manera pr&c-

tica de resolver esta dificultad, introduciendo el concepto de fuerza. La teoria

matemitica correspondiente se denomina dindmica de una particula.

La ecuacion 7,8 relaciona el cambio en el momentum de las particulas 1 y 2durante el intervalo de tiempo At = V — /. Dividiendo ambos lados de esta

ecuaci6n entre A*t podemos escribir

^ - ^ (7.10)At At

que indica que las variaciones promedio con respecto al tiempo del momentumde las particulas en un intervalo At son iguales en magnitud y opuestas en direc-

164 Vin&mica de una pariicula (7^

ci6n. Si hacemos M muy pequeno, vale decir, si encontramos el limite de la ec. (7.10)cuando A/ -> 0, obtenemos

dPi rfPa

de modo que las variaciones (vectoriales) instant&neas del momentum de las

particulas, en cualquier instante U son iguales y opuestas. Asi, utilizando nuestrosejemplos previos, podemos ver que la variaci6n, con respecto al tiempo, del mo-mentum del electr6n en -un dtomo aislado de hidrigeno es igual y opuesta a la

variaci6n, con respecto al tiempo, del momentum del prot6n. O, si suponemosque la tierra y la luna constituyen un sistema aislado, la variacidn, con respectoal tiempo, del momentum de la tierra es igual y opuesto a la variaci6n, con res-

pecto al tiempo, del momentum de la luna.

Designaremos el cambio con respecto al tiempo del momentum de una parttculacon el nombre de "fuerza". Esto es, la fuerza que "actiia" sobre una particula es

F = -%- <7 - 12>

La palabra "actua" no es apropiada ya que sugiere la idea de algo aplicado ala particula. La fuerza es un concepto matem4tico el cual, por definici6n, es igual

a la derivada con respecto al tiempo del momentum de una particula dada, cuyovalor a su vez depende de su interacci6n con otras particulas. Por consiguiente,

fisicamente, podemos considerar la fuerza como la expresion de una interacci6n.

Si la particula es libre, p = constante yF = dpjdt = 0. Por lo tanto, podemosdecir que no actiian fuerzas sobre una particula libre.

La expresi6n(7.12)es la segunda ley de movimiento de Newton; pero, como po-demos ver, es m£s una definici6n que una ley, y es una consecuencia directa del

principio de conservaci6n del momentum.Utilizando el concepto de fuerza, podemos escribir la ec. (7.11) en la forma

tfi- — *» (7.13)

donde Fx = dpjdt es la fuerza sobre la particula 1 debido a su interacci6n conla particula 2 y F

2= dp

%\dt es la fuerza sobre la particula 2 debido a su inter-

acci6n con la particula 1. Luego Uegamos a la conclusi6n que

cuando dos particulas interaction^ la fuerza sobre una parttcula es

igual y opuesta a la fuerza sobre la otra.

Esta es la lercera ley, del movimiento de Newton, nuevamente una consecuenciade la definition de fuerza y el principio de conservation del momentum. Se le

denomina algunas veces como la ley de action y reaction.

En numerosos problemas Fx (y por consiguiente tambien F^ puede expresarse

como una funcion del vector de posici6n relativo de las dos particulas, r12, yquizes tambien como una funcidn de su velocidad relativa. De acuerdo a la ec. (7.9),

si m2 es mucho mayor que mv el cambio en la velocidad de m2 es muy pequeno

7,5) Segunda y tercera leyes de Newton; concepto de fuerza 165

comparado con aquel de mv y podemos suponer que la particula 2 permanece

pricticamente en reposo en algiin sistema de referenda inercial. Podemos entonces

hablar del movimiento de la particula 1 bajo la acci6n de la fuerza F± (Fig. 7-6),

y ^i Puede considerarse una funci6n de la posici6n o la velocidad de m1solamente.

Es en estos casos que la ec, (7,12) es particularmente util. Por ejemplo, este es

el caso de los cuerpos terrestres que se mueven bajo la acci6n gravitacional de

la tierra, o de un electr6n que se mueve con relaci6n a un nucleo at6mico.

La determinaci6n de F(r12) en las diversas interacciones encontradas en

la naturaleza es uno de los problemas m£s importantes de la fisica. Es precisa-

mente debido a que el flsico ha sido capaz de asociar formas funcionales de F(r^con diferentes interacciones observadas en la naturaleza que el concepto de

fuerza le ha sido tan util.

Recordando la definici6n (7.1) del momentum, podemos escribir la ec, (7,12)

en la forma

F = d{mV), (7,14)

dl

y si m es constante, tenemos

F =m— 6 F = ma. (7,15)dt

Podemos expresar la ec, (7-15) en palabras diciendo:

La fuerza es igual a la masa multiplicada por la aceleracion, si la

masa es constante.

N6tese que en este caso la fuerza tiene la misma direccidn que la aceleraci6n.

Por la ec. (7.15) apreciamos que si la fuerza es constante la aceleraci6n, a = F//n,

es tambi6n constante y el movimiento es uniformemente acelerado. Esto es lo

que sucede con cuerpos que caen cerca de la superficie terrestre: todos los cuerpos

caen hacia la tierra con la misma aceleracidn g t y, por consiguiente, la fuerza de

atracci6n gravitacional de la tierra, llamada peso, es

W = mg. (7.16)

[Estrictamente hablando, debiamos escribir W = mg , estando g y g relacionadas

por la ec* (6.27)].

Al escribir la ec. (7.12) hemos supuesto que la particula interactiia solamente

con otra particula como se desprende de la discusi6n precedente a la ec. (7.12),

y la ilustraci6n de la Fig, 7-6, Sin embargo, si la particula m interactua son las

particulas mv m& m^ , . , (Fig, 7-7) cada una produce un cambio en el momentumde m que es caracterizado por las fuerzas respectivas Fv Fz, F3, . . ., de acuerdo

a la ec. (7.12). Luego el cambio total del momentum de la particula m es

ijjL-F1 + Fi + * ,

8 + ... =F.

166 Dindmica de una parttcula

Fig. 7*6. Como resultado de la conser-vaci6n del momentum, la accuSn y lareaccidn son iguales y opuestas.

(7. J

6 ^,.

Fig. 7-7, Fuerza resultante sobre unaparttcula.

La suma vectorial de la derecha recibe el nombre de fuerza resultante F aplicadasobre m. Esta regla para calcular la fuerza resultante ya ha sido usada en el ca-pitulo 4. En la Fig, 7-7 no hemos indicado las interacciones posibles entre mx y mj,fflj y inj, nij y mj, etc-, debido a que estas interacciones no son relevantes paranuestro presente prop6sito. Tambi6n hemos supuesto implicitamente que la in-teraccidn entre m y mv por ejemplo, no es alterada por la presencia de m3t m4f . . .

;

en otras palabras, hemos supuesto que no hay efectos de iriterferencia.

En las secciones que siguen en este capitulo, en las cuales discutiremos el mo-vimiento de una particula, supondremos que la fuerza resultante Fes s61o funci6nde las coordenadas de la particula, ignorando asi el movimiento delas otras partfculas con las cuales interactua. Esta aproximaci6n muy iitil, comodijimos antes, constituye lo que se conoce como la dindmica de una parttcula.En capitulos posteriores consideraremos los movimientos de sistemas de par-tfculas y las fuerzas asociadas con las diferentes interacciones conocidas por losfisicos.

7.7 Crltica del concepto de fuerza

Hagamos ahora una evaluaci6n critica del concepto de fuerza. Nosotros intro-dujimos este concepto (esto es, F = dpjdf) en la ec. (7.12) como una noci6n ma-temAtica conveniente para describir la variaci6n del cambio del momentum deuna particula debido a sus interacciones con otras particulas. Sin embargo, enla vida diaria tenemos una imagen algo diferente del concepto de fuerza. Nosotros"sentimos" una fuerza (realmente una interaccidn) cuando un bateador golpeauna pelota, un martillo golpea un clavo, un boxeador golpea; la cara de su opo-nente, o un peso hala una cuerda. Y obviamente es dificil reconciliar esta imagensensorial de fuerza con la fuerza o interacci6n entre el sol y la tierra. En amboscasos, sin embargo, tenemos una interaccidn entre dos cuerpos. El estudiantepuede decir: si, pero hay una gran distancia entre el sol y la tierra, mientrasque el bateador Mtoca

Mla pelota. Y este es precisamente el punto en el cual las

f g) Unidades de fuerza 167

cosas no son tan diferentes como parecen. No importa cuin compacto pueda

parecer un s61ido, sus dtomos est6n separados y mantienen sus posiciones en la

misma manera en que los planetas mantienen su posici6n como resultado de sus

interacciones con el sol. El "bate" nunca esti en contacto con la pelota en el

sentido microsc6pico, aunque sus moteculas se acercan macho a aquellas de la

pelota, produciendo una alteraci6n temporal en sus posiciones como resultado de

sus interacciones. Asi todas las fuerzas en la naturaleza corresponden a interac-

ciones entre cuerpos situados a cierta distancia entre ellos. En algunos casos la

distancia es tan pequeria desde el punto de vista humano que tendemos a extra-

polar y pensamos que es cero. En otros casos la distancia es muy grande desde

el punto de vista humano. Sin embargo, desde el punto de vista fisico, no hay

diferencia esencial entre las dos clases.de fuerza. Por lo tanto, debemos aplicar

tales conceptos sensoriales o macrosc6picos como "contacto'1 muy cuidadosa-

mente cuando tratemos procesos en escala at6mica.

El hecho de que dos particulas interactiian cuando las separa cierta distancia,

significa que debemos considerar un mecanismo para la transmisi6n de la inter-

acci6n. Este mecanismo se considerard en los capitulos posteriores; aqui diremos

solamente que nuestra discusidn requerira una revisi6n de la.ec. (7.5). En la

forma en que est& escrita la ec. (7.5) presupone que la interacci6n entre las par-

ticulas es instantdnea. Sin embargo, las interacciones se propagan con una velo-

cidad finita presumiblemente igual a la de la luz, como se discutird en los capitulos

posteriores. A fin de tomar en cuenta el retardo en la interaction debida a la velo-

cidad finita de la propagaci6n seri necesario incorporar un termino adicional a

la ec. (7.5). Cuando esto se hace, el concepto de fuerza pasa a un piano secun-

dario y la ley de action y reaccidn pierde su significado. Sin embargo, mientras

las particulas se desplacen a velocidades pequenas en comparaci6n con la velo-

cidad de la luz, o interactuen muy debilmente, la ec. (7.5) y la teoria que emana

de ella constituye una aproximaci6n excelente para describir la situaci6n fisica,

7.8 Unidades de fuerza

De las ecs. (7.12) o (7.15) apreciamos que la unidad de fuerza debe expresarse

en funcion de las unidades de masa y aceleraci6n. Asi en el sistema MKSC la

fuerza se mide en m kg s-2

, una unidad denominada newton y denotada por N;

esto es, N == m kg s~2, consecuentemente, definimos el newton como la fuerza

que es aplicada a un cuerpo cuya masa es de un kg produce una aceleraci6n

de 1 m s"2 .

Aun es frecuente el uso de la unidad cgs de fuerza Uamada dina, y definida como

la fuerza que aplicada a un cuerpo cuya masa es de 1 gramo, le proporciona

una aceleracidn de 1 cm s~2 ; esto es, dina = cm g s~2 . Notando que 1 kg = 103 g

y que 1 m = 102 cm, vemos que N = m kg s~2 = (102 cm) (103 g) s~z = 105 dinas.

La unidad britdnica de fuerza, muy raramente usada, es el poundal, definida

como la fuerza que actuando sobre un cuerpo cuya masa es de 1 libra le propor-

ciona una aceleraci6n de 1 pie lb s-2

. Recordando que 1 lb = 0,4536 kg y que

168 Dindmica de una particula iymi

1 pie = 0,3048 m, podemos escribir que poundal = (0,3048 m) (0,4536 kg) s"2 == 0,1383 N.

Otras dos unidades son utilizadas frecuentemente par los ingenieros. Ellai

estAn basadas en la ec. (7.16) la cual define el peso de un cuerpo. Una es el kilogramo fuerza, abreviado kgf, que se define como una fuerza igual al peso de urnmasa igual a un kilogramo. Asi, poniendo m = 1 kg en la ec. (7.16), tenemoikgf = gN ~ 9,807 N. Analogamente la libra fuerza, abreviada lbf, se defin<

como una fuerza igual al peso de una masa igual a 1 libra. Poniendo m = 1 11

en la ec. (7.16) obtenemos lbf = g pdl ~ 32,17 pdl = 4,448 N.Notese que la masa medida en kilogramos o libras y el peso medido en kilo-

gramos fuerza o libras fuerza se expresan por el mismo niimero. Asi una massde 7,24 lb pesa 7,24 lbf o 238,7 paundales. La introduction de kgf y lbf para mediifuerzas requiere la definition de nuevas unidades de masa si deseamos usar estas

unidades de fuerza junto con la ecuacion de movimiento F = ma. Por ejemplo,en el sistema britanico tenemos que

lbf = (nueva unidad de masa) x (pie s-2

).

Llamando la nueva unidad de masa un slug, vemos que

lbf 32,17 pdlslug = = \

p = 32,17 lb,pie s

-2pie s~2

6 1 lb =0,0311 slug. Un slug es, por consiguiente, la masa de un cuerpo cuyaaceleraci6n es de 1 pie s~2 cuando actiia sobre el una fuerza de 1 lbf.

Aunque el peso, siendo una fuerza, debia expresarse en N o en paundales, escostumbre, especialmente en usos caseros y de ingenieria, expresarlo en kilo-gramos fuerza o libras fuerza. En la practica, sin embargo, uno habla de unafuerza de tantas libras y no de libras fuerza,

EJEMPLO 7,3. Un autotti6vil cuya masa es de 1000 kg sube por un camino cuyainclinaci6n es de 20°. Determinar la fuerza que ha de ejercer el motor si el autodebe moverse (a) con movimiento uniforme, (b) con aceleraci6n de 0,2 m s- 2

. En-contrar tambien en cada caso la fuerza ejercida sobre el autom6vil por el camino.

Solucidn: Designamos la masa del autom6vil por m ; las fuerzas que actiian sobre61 se ilustran en la Fig. 7-8. Ellas son su peso W = mg

9 dirigido hacia abajo; la fuerza Fdebido al motor hacia arriba, y la fuerza 2V debido al camino en direcci6n perpen-dicular a F, Usando un conjunto de ejes como el indicado en la figura, y empleandola ec. (7.15), encontramos que el movimiento a lo largo de la direccidn X satisfacela ecuaci6n

F— mg sen <x = ma 6 F = m(a + g sen a).

El auto no tiene movimiento a lo largo del eje Y, por lo que

N— mg cos a = 6 N =' mg cos a.

Notamos que la fuerza N debido al camino es independiente de la aceleraci6n delauto e, introduciendo valores numericos, es igual a 9210 N. Pero la fuerza F de-bido al motor depende de la aceleraci6n del auto. Cuando el auto se mueve con

7.8)umaaaes ae fuerza it>y

velocidad constante, a = 0, y F = mg sen a ; en nuestro ejemplo es 3350 N.

Cuando se mueve con la aceleraci<3n de 0,2 m s_a , entonces F = 3550 N.

Sugerimos que el estudiante resuelva este problema cuando el auto se muevehacia abajo.

EJEMPLO 7,4. Determinar la aceleraci6n con la cual se mueven las masas m y m'

de la Fig. 7-9. Suponer que la rueda rota libremente alrededor de O y despreciar

cualquier efecto que pueda deberse a la masa de la rueda (estos efectos se conside-

raran mas adelante, en el capitulo 10).

Solucidn: Supongamos que el movimiento es en la direcci6n mostrada por la flecha,

de manera que m esta cayendo y m' subiendo. Ambas masas se mueven con la mismaaceleraci6n a si la cuerda es inextensible, como podemos suponer. Las masas inter-

action a traves de la cuerda. Designaremos por F las fuerzas iguales y opuestas

que ejercen las masas entre si. Luego la ecuaci6n del movimiento hacia abajo de mcon aceleracidn a es mg— F = ma, y la ecuaci6n del movimiento hacia arriba de

m' con la misma aceleraci6n a es F— m'g = m'a.

Sumando las dos ecuaciones, eliminamos F, y obtenemos

am m'

m + m'9

para la aceleracidn comun. Por lo tanto la tensi6n en la cuerda es

2mm'F =m + m'

Un sistema similar al mostrado en la Fig. 7-9 y denominado mdquina de Atwood

se utiliza algunas veces para estudiar las leyes del movimiento uniformemente

acelerado. Una ventaja de su uso es que, empleando un valor de m muy pr6ximo a

m\ podemos lograr que la aceleraci6n a sea muy pequena, lo cual hace mas facil

observar el movimiento.

J£

Figura 7-8

EJEMPLO 7,5, Una particula de masa m = 10 kg, sometida a la acci6n de unafuerza P = (120 t + 40) N, se desplaza en una trayectoria rectilinea. Cuando t —la particula se encuentra en x = 5 m, con una velocidad v — 6 m s-1

. Encontrar

su velocidad y posici6n en cualquier instante posterior.

170 Dindmica de una partlcula(7.£

Solucidn: Usando la ec. (7.5), obtenemos

120f + 40 = 10a 6 a = (12/ + 4) m s~*.

De ahora en adelante procedemos como en el ejemplo 5.2. Ya que para movimientorectillneo a = do/dt

,

dp

dt= 12* + 4.

Integrando, tenemos

/[dv = f (12' + 4) dt 6 v = <6'* + 4t + 6> m ~1

-

Ahora, poniendo v = dx/df e integrando nuevamente, tenemos

f'dx = I"* p df = P (6/* + 4/ + 6) df

6

x = (2P + 2P + 6f + 5) m,

lo cual nos permite encontrar la posici6n en cualquier instante posterior.

7.9 Fuerzas de fricddn

Cuando hay dos cuerpos en contacto, tal como en el caso de un libro que reposasobre una mesa, hay una resistencia que se opone al movimiento relativo entretos dos cuerpos. Supongamos, por ejemplo, que empujamos el libro a lo largode la mesa, ddndole cierta velocidad. Despues de soltado, disminuye su velocidad

y hasta que se detiene. Esta perdida del momentum es una indicaci6n dela existencia de una fuerza opuesta al movimiento. Esta fuerza se denominafriction por deslizamiento y se debe a la interacci6n entre las moleculas de los doscuerpos, algunas veces llamada cohesion o adhesion dependiendo de si los cuerposson del mismo o diferente material- El fen6meno es algo complejo y depende demuchos factores tales como la condici6n y la naturaleza de las superficies, la

velocidad relativa, etc. Podemos verifi-

car experimentalmente que la fuerza defricci6n F

ftiene una magnitud que,

para muchos prop6sitos pricticos, puedeconsiderarse como proporcional a la fuer-

za normal N de presi6n de un cuerpo

sobre el otro (Fig. 7-10). La constante de

proporcionalidad es llamada coeficiente

de friction, y se designa porf.

Esto es t

en magnitud

Movimiento .. «,

uvJNm^^^mmrAmMMmmmmm

N

Fig. 7-10. La fuerza de fricciOn seopone al movimiento y depende de la

fuerza normal. Ff = fricci6n por deslizamiento — fN.

(7.17)

La fuerza de fricci6n por deslizamiento siempre se opone al movimiento del cuerpo,

y por ende tiene una direcci6n opuesta a la velocidad. Podemos escribir la ec. (7.17)

7.9) Fuerzas de friction 171

TABLA 7-1 Coeficientes de friccltfn (Todas las superficies

secas)*

Material n /*

Acero sobre acero (duro) 0,78 0,42

Acero sobre acero (blando) 0,74 0,57Plomo sobre acero (blando) 0,95 0,95

Cobre sobre acero (blando) 0,53 0,36Niquel sobre niquel 1,10 0,53Fierro fundido sobre fierro

fundido 1,10 0,15

Tefl6n sobre tefldn (o sobre

acero) 0,04 0,04

* Estos valores deben considerarse como promedios, yaque los coeficientes de friccitin son cantidades macros-cdpicas que dependen de las propiedades microsc6picasde ambos materiales, y fluctiian bastante,

en forma vectorial reconociendo que un vector unitario en la direcci6n del movi-

miento se obtiene dividiendo el vector velocidad entre la magnitu4 de la veloci-

dad, uv = vjv. Esto permite escribir la ec. (7.17) en la forma vectorial Ff=—uufN*Por ejemplo, en el caso de la Fig. 7-10, si F es la fuerza aplicada que mueve al

cuerpo hacia la derecha (posiblemente al tirar de una cuerda), la fuerza horizontal

resultante hacia la derecha es F— uvfN9 y la ecuaci6n de movimiento del cuerpo,

aplicando la ec. (7.15), es

ma = F— uv fN.

En general hay dos clases de coeficientes de fricci6n. El coeflciente estdtico de

fricci6n, fS9 que al multiplicarse por la fuerza normal, nos da la fuerza minimanecesaria para poner en movimiento relativo dos cuerpos que estan inicialmente

en contacto y en reposo. El coeflciente cinitico de friccidn, fa, que al multiplicarse

por la fuerza normal, nos da la fuerza necesaria para mantener dos cuerpos

en movimiento uniforme relativo, Se ha encontrado experimentalmente que f9 es

mayor que fa para todos los materiales hasta ahora examinados. La tabla 7"1

proporciona valores representativos de fs y fa para varios materiales.

La fricci6n es un concepto estadistico, ya que la fuerza Ff representa la sumade un numero muy grande de interacciones entre las moleculas de los dos cuerpos

en contacto. Es, por supuesto, imposible tener en cuenta las interacciones molecu-

lares individuates, pues ellas se determinan en forma colectiva por

algun m^todo experimental y representadas aproximadamente por el coeflciente

de fricci6n.

En los siguientes ejemplos ilustramos c6mo tratar problemas dindmicos

involucrando fricci6n entre s61idos.

ejemplo 7.6+ Un cuerpo cuya masa es de 0,80 kg se encuentra sobre un pianoinclinado 30°. iQu6 fuerza debe aplicarse al cuerpo de modo que se mueva (a) hacia

17% Dinamica de una parttcula

Movimiento

(7,<

£-\ W cos a

(a) Movimiento del cuerpohacia arriba

Movimiento^

JUz00t>Hl0f'

W sen a\x

°\

W = mg\

\i.

—3~--\W cos a

,-

(b) Movimiento del cuerpohacia abajo

Figurs 7-11

arriba (b) hacia abajo? En ambos casos suponer que el cuerpo se mueve con movi-miento uniforme y con aceleraci6n de 0,10 m s~ 2

. El coeflciente de friccidn de des-lizamiento con el piano es 0,30,

Solucidn: Consideremos en primer, lugar el movimiento del cuerpo hacia arriba.Las fuerzas que actiian en el cuerpo se ilustran en la Fig. 7-11 (a). Ellas son el pesoW = mg, dirigido hacia abajo, la fuerza aplicada F (que suponemos hacia arribadel piano), y la fuerza de friccidn F/

fla cual es siempre opuesta al movimiento y

en este caso hacia abajo, * Cuando descomponemos el peso en sus componentes a lo largodel piano y perpendicular al piano, el movimiento del cuerpo a lo largo del piano,usando la ec. (7.15), esta dado por

F— mg sen a— Ff = ma.

Ahora, de acuerdo a la ec, (7.17), debemos escribir Ff = /N. De la Fig. 7-11 (a)vemos que la fuerza normal del cuerpo contra el piano es mg cos a, Asi Ff = f mgcos a. Y la ecuactfn del movimiento se tfansforma en

F— mg (sen a + / cos a) = ma,

Esta ecuacWn sirve para dos prop<Jsitos, Si conocemos la aceleraci6n a, podemosencontrar la fuerza aplicada F. Por otro lado, si conocemos la fuerza F pode-*mos encontrar la aceleraci6n. En el primer caso tenemos :

I

F = m[a + g (sen a + / cos a)]. I

Por ejemplo, si el movimiento es uniforme, a = 0, y cuando insertamos los valorem]numgricos correspondientes F = 5,95 N. Cuando el cuerpo se mueve con una ace-jleracidn de 0,10 m s* 2

, obtenemos F = 6,03 m s- a.

>

En la Fig. 7-11 (b) se ilustran las fuerzas cuando el cuerpo se mueve hacia abaWAhora hemos supuesto que la fuerza F es hacia abajo, pero podrtamos haber su-|puesto lo contrario. Sin embargo, la fuerza de fricci6n Ff debe ser hacia arriba paraoponerse al movimiento. Considerando la direction hacia abajo como positiva, ell

estudiante puede veriflcar que la ecuaci6n del movimiento es ahora 1

IF + mg (sen a— / cos a) = ma

F = m[a — g (sen a— / cos a)],

* Otra fuerza que no se ha mostrado en la flgura es la fuerza ejercida por el piano sobre el cuerpo.;No necesitamos considerar esta fuerza en este problema.

7J0) Fuerza$ de friccidn en fluidos 173

Si el movimiento es uniforme (a = 0), cuando insertamos los valores num6ricos,

obtenemos F = — 1,88 N mientras que si se desliza hacia abajo con una acele-

raci6n de 0,10 m s~*, obtenemos F = — 1,80 N. El signo negativo en cada caso

significa que la fuerza F es hacia arriba en lugar de hacia abajo como habiamos

supuesto.

Sugerimos que el estudiante determine el movimiento del cuerpo cuando no se

aplica ninguna fuerza F 9 y en vista del resultado obtenido justifique el signo ne-

gativo obtenido previamente para F.

7.10 Fuerzas de fricd&n en fluidos

Cuando un cuerpo se mueve a velocidad relativamente baja a travfe de un fluido

tal como un gas o un liquido, la fuerza de fricci6n puede obtenerse aproximada-

mente suponiendo que es proporcional a la velocidad, y opuesta a ella. Por con-

siguiente escribimos

Ff= fricci6n del fluido = — K*]t>. (7.18)

El coeficiente de friccidn K depende de la forma del cuerpo. Por ejemplo, en el

caso de una esfera de radio R9 un cAlculo laborioso indica que

K = 6itfi, (7.19)

relaci6n conocida como la ley de Stokes. El coeficiente ij depende de la Mcci6n

interna del fluido (i.e., la fuerza de friccidn entre las diferentes capas del fluido

que se mueven a diferentes velocidades). Esta fricci6n interna se denomina tam-

bien viscosidad y recibe el nombre de coeficiente de viscosidad.* El coeficiente de

viscosidad en el sistema MKSC se expresa en N s m"2. Esto puede verse de la

siguiente manera. De la ley de Stokes, ec. (7.19) vemos que K se expresa en me-

tros (1° mismo se aplica a cuerpos de diferentes formas). Asi, de conformidad

con la ec. (7.18) t\ debe expresarse en N/m (m s_1

) que es igual a las unidades

ya indicadas. Recordando que N = m kg s~2,podemos tambten expresar la vis-

cosidad en m_1 kg s_1

. La viscosidad puede tambten expresarse en cm-1g s~\

una unidad llamada poise, y abreviada P. El poise es igual a un d^cimo de la

unidad MKSC de la viscosidad, ya que

1 nr1 kg s-1 = (102 cm)-1 (10s g) s"1 = 10 cm-1 g s"1 = 10 P.

El coeficiente de viscosidad de los liquidos disminuye a medida que aumenta la

temperatura, mientras que en el caso de los gases, el coeficiente aumenta con

el aumento de temperatura. La tabla 7-2 presenta los coeficientes de viscosidad

de varios fluidos.

Cuando un cuerpo se desplaza a trav6s de un fluido viscoso bajo la accidn de

una fuerza F, la fuerza resultante es F— Ki\v y la ecuaci6n del movimiento es

ma=F— Kyv. (7-20)

* En el capftulo 24, se dara una definicidn mas general del coeficiente de viscosidad.

174 Dindmica de una partlcula(7.10

Supomendo una fuerza F constante, la aceleracidn a produce un aumento con-tmuo en v y por lo tanto en la fuerza de friccidn, de modo que eventualmenteel miembro de la derecha se hace cero. En dicho momento la aceleraci6n es tam-bi6n cero y no hay mayor aumento en la velocidad, estando la fuerza de fricci6nequilibrada exactamente por la fuerza aplicada.

TABLA 7-2 Coeficientes de Viscosidad, en Poises*

Liquidos TJ x 10* Gases V X 10"

Agua (0°C)AguaAgua (40°C)Glicerina

Aceite de castorAlcohol

1,792

1,005

0,656833

9,86

0,367

Aire (0°C)Aire

Aire (40°C)Hidr6genoAmoniacoBi<5xido de carbono

1,71

1,81

1,90

0,93

0,97

1,46

Todos a 20°C, excepto aquellos en que se indica la temperatura.

La particula continiia moviendose en la direcci6n de la fuerza con una velocidadconstante, llamada velocidad limite o terminal, la cual esta dada por

»l =FK-n (7.21)

Por lo tanto la velocidad limite depende de t, y de K; esto es, de la viscosidaddel fluido y de la forma del cuerpo. En caida libre bajo la influencia de la gra-vedad, F = mg, y la ec. (7.21) se torna

vL =mg

(7.22)

La ec. (7.22) debe corregirse para tener en cuenta el empuje ejercido por elfluido, el cual, de conformidad con el principio de Arquimedes, es igual al pesodel fluido desplazado por el cuerpo. Si m

tes la masa del fluido desplazado, su

peso es m/g, de modo que el empuje hacia arriba es B = — infi, y la fuerza totalhacia abajo sera mg— mfg = (m—mj)g. Esto da,en lugar de la ec. (7.22),

Ff=Kr,v i B = mfg

(Fricci6n T (Flotacion)del fluido)/^!N

VL =(m—m

f)g(7.23)

li = mg(Peso)

Fig. 7-12. Fuerzas que ac-tuan en un cuerpo que caedentro de un fluido.

Las tres fuerzas que actuan sobre el cuerpo en este

caso se ilustran en la Fig. 7-12. Para cuerpos grandes

y velocidades mayores, la fuerza de fricci6n es pro-portional a una potencia mayor de la velocidad, yla discusi6n de los p£rrafos previos no es suficiente

para describir los eventos fisicos.

7JO) Fuerzas de friction en ftuidos 176

EJEMPL0 7.7. Encontrar la velocidad limite de una gota de lluvia. Suponer undiametro de 10 -3 m. La densidad del aire con respecto al agua es 1,30 x 10~ 3

.

Solucidn: Suponiendo que las gotas son esf6ricastde radio r 9 encontramos, usando

la ec, (1.1) que sus masas son

m = oV - im*9t

donde p es la densidad del agua. Igualmente si p/ es la densidad del fluido (en este

caso aire) tenemos que

rns — p/V — frcr3P/,

de modo que

m— mf = %nrs(p — p/).

Tambten, de la ec. (7.19), K = 6nr ya que las gotas son esfericas. Aplicando la

ec. (7.23), encontramos que la velocidad limite esta dada por :

2(P— 9f)r*gUl = —

9^

Sustituyendo valores numericos, incluyendo 7] = 1,81 x 10~5 N s m_a y p — 10 3

kg m-8, encontramos que vl — 30 m s~ l

, o alrededor de 107 km hr- 1 6 66 mihr- 1!

Una gota mucho mas grande no tendra una velocidad limite muy diferente, de-

bido a las consideraciones mencionadas en el parrafo previo a este ejemplo.

EJEMPLO 7.8. Obtener en funci6n del tiempo la velocidad de una particula que

se mueve en una trayectoria rectilinea en un fluido viscoso, suponiendo que la

ec. (7.20) es correcta y que la fuerza es constante.

Solucidn: Como el movimiento es rectilineo podemos escribir la ec. (7.20) (recor-

dando que a = dv/dt) como

F —Krp,m dv

dt

de modo que

dv

m V Kr,}dt m \ Kn

Separando variables e integrando, tenemos

6

r *— =-*^f<«,J v v — F/Kr\ m J

O utilizando la ec. (M. 18), en la cual In e* = x, obtenemos

Xtj V" Kti„ = -£- +

(Po_Aj e-(^/m)l.

El segundo termino disminuye muy rapidatnente, siendo pronto despreciable, de

modo que la velocidad se vuelve constante e igual a F/Kri, de acuerdo con la ec. (7.21).

176 Dindmica de una particula(7,11

En otras palabras, la velocidad limite es independiente de la velocidad inicial.oi u Q

= 0,

V = -J~ (1 _ c-(Kl/mH),

Fig. 7-13. Velocidad en funcidn del tiempo de un cuerpo que cae en un fluidoviscoso.

La vanaci6n de v con respecto a t se ilustra en la Fig. 7-13. El tiempo de relajacidnse define como t = m/K^ Este es el tiempo para el cual v es el 63 % de vL, comopuede venficar el estudiante. Sugerimos que el estudiante prosiga con Ios csklculosy, utilizando el resultado previo de u, obtenga por integracidn la distancia reco-rnda en funci6n del tiempo. Encontrar tambten la distancia correspondiente altiempo t.

7.11 Sistemas con masa variable

Puede considerarse que la gran mayoria de los sistemas que encontramos enfisica tienen masa constants Sin embargo, en ciertos casos la masa es variable.EI ejemplo m£s simple es el de la gota de agua. Mientras cae, la humedad puedecondensarse en su superiicie o el agua puede evaporarse, resultando en un cambiode masa. Supongamos que la masa de la gota es m cuando se desplaza con velo-cidad v y que la humedad, cuya velocidad es t? , se condensa en la gota a unaraz6n de dmjdt El cambio total del momentum es la suma de m dvfdt, correspon-diente a la aceleraci6n de la gota, y (dm/df) (v— r ), correspondiente a la velo-cidad con que gana momentum la humedad. Luego la ecuaci6n de movimientode la gota, utilizando la ec. (7.14) es

„ dt>tdm .F=m

nr + -dTiv -*°>-

Para resolver esta ecuacidn es necesario hacer algunas suposiciones sobre, porejemplo, c6mo varia la masa con el tiempo.Una cinta transportadora sobre la cual cae material en un extremo y/o se dea-

carga en el otro extremo es otro ejemplo de masa variable. Consideremos, porejemplo, el sistema de la Fig. 7-14, en el cual el material cae continuamente sobrela cinta transportadora a raz6n de dmjdt kg s"1. La cinta se desplaza a una velocidadconstante v y se aplica una fuerza F para moverla. SiM es la masa de la cinta

ymll) Sistemas con masa variable 177

y m es la masa del material que ha caido en el tiempo U el momentum del sistema

en ese instante es P =s= (m -f M)v. Luego la fuerza aplicada a la cinta es:

dP dmF = = v

dt dt

N6tese que en este caso la fuerza es de

bida enteramente al cambio de masa y / m

no al cambio de velocidad. ^v^-^i^^^^^im *-

Quizes el ejemplo mds interesante es

aquel de un cohete, cuya masa disminu-FIgura

ye debido al consumo del combustible.

En el ejemplo siguiente analizaremos la din&mica de un cohete.

EJEMPLO 7.0. Discutir el movimiento de un cohete.

Soiuddn: Un cohete es un proyectil el cual, en lugar de recibir un impulso inicial

de la expansi6n de los gases en el cafi6n, se mueve debido a una fuerza derivada

de la expulsion de los gases que se producen en la c&mara de combusti6n dentro

del cohete mismo. El cohete en el momento del despegue tiene una cierta cantidad

de combustible que usa gradualmente, y por ello su masa no es constante sino quedisminuye.

Llamemos v la velocidad del cohete con respecto a un sistema inercial, el cual

supondremos en una buena aproximacitin que es la tierra, y »' la velocidad de sa-

lida de los gases, tambifoi con respecto a la tierra. Luego la velocidad de escape

de los gases con respecto al cohete es

v* — v' V.

Esta velocidad es siempre opuesta a t, y es usualmente constante. Sea m la tnasa

del cohete, incluyendo su cumbustible, en cualquier instante. Durante un pequefio

intervalo dt, la masa del sistema experimenta un cambio pequeno dm f el cual es

negativo ya que la masa disminuye. En el mismo intervalo la velocidad del cohete

cambia en dv. El momentum del sistema en el tiempo t es p = m». El momentumen el tiempo t + dt, ya que — dm es el valor positivo de la masa de los gases ex-

pelidos, esp' = (m + dm)(v + dv) + (— dm)v f = mv + mdv— (»'— v) dm

y¥

* *v

>

Cohete Gases

6p' = mv + mdv— v9 dm,

donde hemos despreciado el t6rmino de segundo orden dm dv. El cambio en el mo-mentum en el tiempo dt es

dp = p'— p = mdv— v* dm,

y el cambio en el momentum del sistema por unidad de tiempo es

dp dv dm= tn —- vtdt dt dt

Si F es la fuerza externa que actua en el cohete, la ecuacidn de movimiento, de

acuerdo a la ec. (7.12) es

m *>._5_ = 1?. (7.24)at at

178 Dindmica de una parttcula {7.12

El segundo t6rmino en el miembro de la izquierda se denomina el empuje del co-hete y es igual a la "fuerza" debido al escape de los gases. Para resolver esta ecua-ci6n debemos hacer alguna suposici6n con respecto a ve . En general se supone quev es constants TambiSn, despreciando la resistencia del aire y la variaci6n de lagravedad con la altura, escribimos F = mg, de modo que la ec, (7.24) se trans-forma en

dv ve dm

Para simplificar, consideremos que el movimiento es vertical Entonces v estadirigida hacia arriba y ve y g hacia abajo, y la ec. (7.25) toma la forma

do,

ve dmdt m dt

Multiplicando por dt e integrando desde el comienzo del movimiento (t = 0), cuandola velocidad es v y la masa m 0i hasta un tiempo arbitrario /, tenemos

r j t r dm r e

JAdv + Ve\

= — g \ dt

Luegovq j w»q m

v— v + veln ^- = — gt9

v = v + ve\n (~±\ — gt (7,26)

Si t es el tiempo necesario para quemar todo el combustible, entonces en la ec. (7.26),m es la masa final y v la velocidad maxima obtenida por el cohete. En general,^o = 0, y el ultimo termino (en muchos casos) es despreciable. Por ejemplo, si uncohete tiene una masa inicial de 3000 toneladas, una masa final de 2780 toneladasdespues que se ha quemado el combustible, y los gases son expulsados a 2840 lb s-1

(o 1290 kg s-1), entonces t = 155 s. Si suponemos una velocidad de escape de

55.000 m s-1 y v = 0, la maxima velocidad de esta etapa del cohete sera :

v = 55.000 In -|^ m s -i _ (9j8 m s -«)(155 s)

= (55.000 In 1,08 — 1520) m S"1 = 2710 m S"1.

Esta velocidad es casi 9000 pies s-1, o aproximadamente 6000 mihr-1

. Estas ci-fras se refleren al cohete Centauro, que tiene 5 etapas, cada una de las cuales escapaz de desarrollar 1,5 millones de lbf de empuje en el momento del despegue.

7.12 Movimiento curvillneo

En los ejemplos dados hasta el momento hemos trataao el movimiento rectilineo.

Consideremos ahora el caso del movimiento curvillneo. Si la fuerza tiene la mismadirection que la velocidad, el movimiento es en linea recta. Para producir el mo-vimiento curvillneo, la fuerza resultante debe estar haciendo un angulo con res-

pecto a la velocidad, de modo que la aceleracion tenga una componente perpen-dicular a la velocidad que proporcionara el cambio en la direcci6n del movimiento.Por otro lado, recordemos que (si la masa es constants) la fuerza es paralela a la

7.12) Movimiento curviltneo 179

7

*7

AA/ dx Fx

At t

/ ' Xu1

X

Fig, 7-15* Relacidn entre las compo- Fig. 7-16. Relaci6n entre las compo-nentes tangencial y normal de la fuerza nentes rectangulares de la fuerza y la

y la aceleraci6n en el movimiento cur- aceleraci6n en el movimiento curvilineo.

vilineo.

aceleraci6n. La relation de todos estos vectores en el movimiento curvilineo se

ilustra en la Fig. 7-15.

De la relation F = ma y ambas ecs. (5.44), Uegamos a la conclusion que la

componente de la fuerza tangente a la trayectoria, o la fuerza tangencial, es

Ft = max mdv_

It(7.27)

y la componente de la fuerza perpendicular a la trayectoria, o la fuerza normal

o centrtpeta es,

FN = maN o FN =mifi

(7.28)

donde p es el radio de curvatura de la trayectoria. La fuerza centripeta esta

siempre dirigida al centro de curvatura de la trayectoria. La fuerza tangencial

es responsable del cambio en la magnitud de la velocidad, y la fuerza centripeta es

responsable del cambio en la direcci6n de la velocidad. Si la fuerza tangencial

es cero, no hay aceleraci6n tangencial y el movimiento circular es uniforme. Si

la fuerza centripeta es cero, no hay aceleracidn normal y el movimiento es rec-

tilineo.

En el caso particular de movimiento circular, p es el radio R del circulo yv = &R9 de modo que la fuerza es tambien

Fw = moPR.N (7.29)

Para el caso de movimiento circular uniforme la unica aceleraci6n es aN> que

puede escribirse, usando la ec. (5.58), en forma vectorial: a = m x- «?. Por con-

siguiente F — ma = mm x v = <o x (mv) y ya que p = mv>

F = €0 x p. (7.30)

1SU Dindmica de una parttcula(7-

Esta es una relation matematica litil entre la fuerza, la velocidad angular ymomentum lineal de una particula en movimiento circular uniforme.Algunas veces puede ser mas conveniente usar las componentes rectangulai

de F (Fig. 7-16). Por ejemplo, en el caso de movimiento piano, la ecuaci6n v<

torial F =ma puede descomponerse en las siguientes dos ecuaciones:

Fx = ma. Fy = ™y

F* = mdvx

dtFu —m —

£

ydt

(7.3

Integrando estas ecuaciones, obtenemos la velocidad y la position de la partiesen cualquier instante.

En general, cuando incluimos el caso en el cual la masa es variable, debemusar F = dpjdL Pero p, siendo paralela a la velocidad es tangente a la trayectoriAsi podemos escribir p = uTp y, usando la ec. (5.42), tenem6s

F = dp dp duT dp vp

dt ' dt ' dt ' 'dt

Luego, en lugar de las ecs. (7-27) y (7.28) tenemos

Fx — dp

dtF*j = pvN

EJEMPLO 7.20, Las lineas de los ferrocarriles y las pistas de alta velocidad tien<peralte en las curvas para proporcionar la fuerza centripeta necesaria para quevehiculo se mueva a lo largo de las curvas. Encontrar el angulo del peralte <

funci6n de la velocidad del vehiculo a lo largo de la curva.

Vista

frontal

(a)

Fig, 7-17. Peralte de las curvas para producir una fuerza centripeta.

Ji' Vista desde

arriba

a

7.12) Movimiento curvilineo 181

SohuMn: La Fig. 7-17 ilustra un peralte, aunque el dngulo ha sido exagerado. Lasfuerzas que actuan sobre el carro son su peso W = mg

my la fuerza normal N de-

bida a los rieles. Su resultante Fn debe ser suflciente para producir la fuerza cen-

trlpeta dada por la ec. (7.28), Asi Fn = Jiu>Vp» donde p es el radio de la curva.

Entonces de la figura tenemos que

tga = FnW 99

El resultado es independiente de la masa del cuerpo. Como a e&tk flja una vez quese han colocado los rieles, esta formula da la velocidad correcta para pasar la curvade modo que no hayan fuerzas laterales que actiien sobre el vehiculo. Para velocida-

des menores o mayores no hay problemas con la curva, ya que las pistas propor-

cionan la fuerza de equilibrio apropiada. Sin embargo, para velocidades muchomayores el vehiculo tenderd a salirse de la curva.

EJEMPLO 7*11. Una masa m suspendida de un punto fljo por una cuerda de Ion*

gitud L gira alrededor de la vertical con velocidad angular co. Encontrar el dnguloque hace la cuerda con la vertical. Este sistema se llama pindulo cdnico.

Solucitin: El sistema ha sido ilustrado en la Fig. 7-18.

La masa A gira alrededor de la vertical OC9descri-

biendo un circulo de radio R = CA — OA sen a = Lsen a. Las fuerzas que actuan sobre A son su peso

W = mg y la tensi6n F de la cuerda. Su resultante

Fn debe ser justamente la fuerza centrlpeta necesaria

para describir el circulo. Asi, usando la ec. (7.29),

tenemos

Fn = m<a*R = nrnxL sen a.

De la figura vemos que

Fn

(

\

tga = o'L sen a

W g

o, ya que tg « = sen a/cos a,

cos a « 96>»L

W = mg

Fly. 7-18. P6ndulo c6nico.

Por lo tanto, cuanto mayor es la velocidad angular o>, mayor es el dngulo a, comose demuestra experimentalmente. Por esta raz6n el pindulo c6nico ha sido utilizado

como un regulador de velocidad de las m&quinas de vapor; cierra la vilvula de la

entrada de vapor cuando la velocidad supera un limite prefijado y la abre cuandodicha velocidad baja de dicho limite.

EJEMPLO 7.12.

cuerpo.Analizar el efecto de la rotaci6n de la tierra sobre el peso de un

Sotuci&n: En la secci6n 6.5 discutimos, desde un punto de vista cinemdtico, el

movimiento de un cuerpo en relaci6n con un sistema de referenda que rota con la

tierra. En este ejemplo trataremos el mismo problema dindmicamente.La Fig. 7-19 muestra una particula A sobre la superflcie terrestre. La fuerza gra-

vitacional debida a la atracci6n de la tierra la designamos por IF . Si la tierra noestuviera rotando, la aceleracidn de un cuerpo cerca a la superflcie terrestre seria

g = wjm. Sin embargo, debido a la rotacidn de la tierra, parte de esta fuerza

182 Dindmica de una particula(7.12

Fig. 7-19. Efecto de la rotacton. Figura 7-20

debe usarse para producir la fuerza centripeta FN necesaria para que A se muevaen una trayectoria circular de radio CA = r cos X con velocidad angular « Estoes, usando la ec. (7.29), tenemos que Fs = mco*r cos X. La diferencia w'— F»nos da la fuerza total w, que produce una fuerza -hacia abajo sobre la particulaAsi la aceleracidn efectiva de la gravedad es g = W/m. Si la particula A esta sus-pendida de un punto mediante una cuerda (como una plomada), la cuerda tendrala direccidn de W. Igualmente, la tension hacia arriba sobre A producida por lacuerda sera igual a W. Por consiguiente, cuando se utiliza un resorte para deter-tmnar el peso de un cuerpo, es la fuerza W la que se determine Solamente en lospolos y a lo largo del Ecuador W, y w tienen la misma direccion, y solamente endicnos lugares la plomada sigue la direccidn radial.

EJEMPLO 7.13 Calcular las fuerzas normal y tangencial que acttian en un pro-yectil lanzado honzontalmente desde lo alto de un ediflcio.

Soluei6n: Si el proyectil se lanza con velocidad inicial horizontal o (Fie 7-20)entonces en elpunto P su velocidad horizontal es aiin v pero su velocidad verticales gt, donde t es el tiempo necesario para que el proyectil caiga la distancia y, o sedesplace honzontalmente x = v t. Luego la velocidad total del proyectil es

v = ]/»; + 9*t*.

Asi la ec. (7.27) da la fuerza tangencial como

*dt

mgH\v\ + g*P

Para encontrar la fuerza centripeta podemos usar la ec. (7.28), pero ello requerirladel caiculo previo de la curvatura de la trayectoria, la cual es una parabola Po-demos realizar el calculo de otra manera ya que conocemos que la fuerza resultante es

W = mg = Vn + F%.

Por consiguiente

Fn = V W* — F*T =mgv,

V»\ + gf

7.13)

7.13 Momentum angular

El momentum angular con respecto a

(Fig. 7-21) de una particula de masa m que

se mueve con velocidad v (y por consi-

guiente momentum p = mv) est6 deflnido

por el producto vectorial

Momentum angular 183

o

L = r x p

L =mr x v.

(7.32)

Trayectona

Piano del movimiento

Fly. 7-21. El momentum angular

de una particula.

El momentum angular es entonces un vector perpendicular al piano determinado

por r y v. El momentum angular de la particula en general cambia en magnitud

y direccion mientras la particula se mueve. Sin embargo, si una particula se

mueve en un piano, y el punto estd situado en el piano, la direcci6n del mo-

mentum angular permanece invariants es decir, perpendicular al piano, ya que

tanto r como v estan en el piano. En el caso de movimiento circular (Fig. 7-22),

cuando es el centro del clrculo, los vectores r y v son perpendiculares y v= «r,

de modo que

L = mrv = mr2to, (7.33)

La direccion de L es la misma que la de a>9 de modo que la ec. (7.33) puede escri-

birse vectorialmente como

Xi = mr2o. (7.34)

Si el movimiento piano en vez de circular es una curva cualquiera, podemos des-

componer la velocidad en sus componentes radial y transversal, como se explicd

en la seccidn 5.11; esto es, V = vr + vQ (Fig. 7-23). Luego podemos escribir el

momentum angular como

L == mr x (vr + Ve) == mr x «?e,

ya que r x vr= (los dos vectores son paralelos). Por ello, la magnitud de L

es L = mrve . Pero como ve = r(d6/d0 de conformidad con la ec. (5.64), podemos

escribir

L = mi*do

dt

(7.35)

Esta expresion es identica a la ec. (7.33) para movimiento circular, ya que

o> = dQjdt, pero en el caso general r no es constante. Recordando la ec. (3.26)

del producto vectorial, podemos escribir el momentum angular de una particula

como

L = r x p =lljj! Wti "z

x y z

Px P„ Pz

1M Dindmica de una particula (7.13

Fig, 7-22. Relaci6n vectorial entre la Fig- 7-23. Relaci6n entre el momentumvelocidad angular y el momentum angu- angular y la componente transversal delar en el movimiento circular. la velocidad.

o, en funcidn de las componentes

Lx = ypz— zpy, Ly= zpx— xpz > Lz = xp

y— yp: (7.36)

Podemos notar que cuando el movimiento es en un piano, digamos el piano XY,tenemos z = y Pz = 0, de modo que Lx = L

y= 0, y solamente queda la compo-

nente L2 . Esto es, el momentum angular es perpendicular al piano, como hemosindicado previamente, usando una 16gica diferente.

Tomemos ahora la derivada con respecto al tiempo de la ec. (7,32), Esto nos da:

dL

~df

drt

dpx p + r x

r(7.37)

dt * ' dt

Pero dr/dt = vt y p = mt> es siempre paralelo a v9 de modo que

dr—— xp = vxp=mvxv=0.

Por otro lado, dpjdt = F de acuerdo a la ec. (7.12). Entonces, la ec. (7.37) se

torna dLjdi = r x F. Cuando recordamos que, de acuerdo a la defmicidn (4.5),

el torque de F alrededor de es r = r x F, obtenemos finalmente

dLdt

(7.38)

El estudiante debe notar que esta ecuaci6n es correcta solamente cuando Ly xse evaliian con respecto al mismo punto.

La ec. (7.38), que es fundamental para la discusi6n del movimiento de rotacion,

guarda gran semejanza con la ec. (7.12), con el momentum lineal p reemplazadopor el momentum angular L, y la fuerza F reemplazada por el torque t. Establecesimplemente que:

7.14) Fuerzas centrales 185

el cambio con respecto al tiempo del momentum angular de una par-

ticula es igual al torque de la fuerza aplicada a ella.

Esto implica que el cambio dL en el momentum angular en un intervalo corto

de tiempo dt es paralelq al torque t aplicado a la particula.

7.14 Fuerzas centrales

Si el torque aplicado a una particula es cero (t = r x F = 0), de acuerdo a la

ec. (7.38), debemos tener dLjdt =0oL= vector constants Por consiguiente el

momentum angular de una particula es constante si el torque de las fuerzas es

cero. Esta condici6n se satisface si F = 0; es deck si la particula es libre. De

la Fig. 7-24, tenemos L = mvr sen e = mud, donde d = r sen 6. Esta cantidad

permanece constante ya que todos los factores involucrados son tambien constantes,

y la trayectoria de la particula libre es una linea recta y la velocidad no cambia.

Trayectoria de

una particula libre

Fig". 7-24. El momentum angular de

una particula libre es constante."

Fig. 7-25. El momentum angular es

constante en el movimiento bajo fuerzas

centrales.

La condition r x F =0 se satisface tambien si F es paralela a r; en otras,

palabras, si la direction de F pasa por el punto 0. Una fuerza cuya direction

pasa siempre a traves de un punto fijo se denomina fuerza central (Fig* 7-25). Por

ello, cuando un cuerpo se mueve bajo la acci6n de una fuerza central gu momentum

angular permanece constante, y viceversa. Otra manera de establecer esto, es

decir que

cuando la fuerza es central el momentum angular con respecto al

centro de la fuerza es una constante del movimiento, y viceversa.

Este resultado es muy importante porque muchas fuerzas de la naturaleza

son centrales, Por ejemplo, la tierra gira alrededor del sol bajo la influencia de

una fuerza central cuya direction est£ dirigida siempre hacia el centro del sol.

Luego el momentum angular de la tierra con respecto al sol es constante. El

electron en un &tomo de hidrogeno se mueve esencialmente bajo la fuerza central

debido a la interacci6n electrostdtica con el nucleo, estando la direcci6n de la

186 Dindmica de una parttcula (7.14

fuerza siempre dirigida hacia el micleo. Asi el momentum angular del electr6n

con respecto al micleo es constante.

En dtomos que tienen muchos electrones, la fuerza sobre cada electr6n no es

rigurosamente central porque, ademds de la interacci6n central con el micleo,

hay tambien interaction con otros electrones. Sin embargo, en general, la fuerza

promedio sobre el electrdn puede considerarse como central. Igualmente, en cier-

tos niicleos, podemos suponer como primera aproximaci6n que sus componentes(protones y neutrones) se mueven en promedio bajo la acci6n de fuerzas centrales.

En una molecula, por otro lado, la fuerza sobre un electr6n no es central,

porque resulta de la atracci6n producida por los diferentes niicleos y la repulsion

de los otros electrones. Por consiguiente el momentum angular de los electrones

no es constante. En una molecula diatomica, tiene lugar una situaci6n intere-

sante (Fig. 7-26). Un electr6n e gira alrededor de dos niicleos Px y P2» sometido

a sus fuerzas Fx y F2, cuya resultante F = F1

-\- F2 siempre queda en el piano

determinado por Oe = r y la linea que pasa a traves de los niicleos, o sea el eje Z.

El torque resultante sobre el electrtin con respecto al centro de masa de la

molecula (si despreciamos las interacciones con los otros electrones) es

t = r x (F1 + F2)= r x F.

De la Fig. 7-26 vemos que este torque es perpendicular al piano determinado

por el vector posici6n r y el eje Z. sea el torque se encuentra en el piano XYde modo que tz = 0. De acuerdo a la ec. (7.38) esto nos da dLzjdt =0o sea

Lt = constante. Este resultado no es solamente vAlido para moleculas diat6micas

sino para cualquier molecula lineal, o en una forma m&s general, para el movi-

Fig. 7-26. En el movimientobajo la acci6n de una fuerza axial,

la componente del momento an-

gular a lo largo del eje es cons-

tante.

Fig. 7-27. Bajo fuerzas centra-

les, el vector posici<Jn barre areas

iguales en tiempos iguales.

7,14) Fuerzas centrales 187

miento bajo la acci6n de una fuerza que pasa siempre por un eje fijo. Tal fuerza

se denomina fuerza axial Por consiguiente,

cuando la fuerza es axial, la componente del momentum angular a

lo largo del eje es constants

Este resultado es muy litil cuando estudiamos la estructura de dtomos y moleculas.

ELJliexiEiim&i4sJ^ conflnado siempre a un piano

ya que i es^constante. Luego, usando la ec. (7.35), tenemos

(7.39)

Cuando la particula se mueve dePaP' (Fig. 7-27), el radio vector r barre el drea

sombreada, correspondiente al tridngulo OPP'. Por ello

dA - Area AOPP' = £r2 d9,

y el Area barrida por unidad de tiempo es

Comparando este resultado con la ec. (7.39), vemos <jue dAjdt = constante,

indicando^qujLen el movimiento by^o fuerzas centrales, el radio vector de la particula

barre areas iguales enHempos i^u^XTlsfelfiegultaao" es' de interes hustorico en

relaci&rii con el descubrimiento de las leyes de movimiento planetario, y se conoce

como ltf segunda Ley de Kepler. Nos referiremos a ella con m&s detalle en el ca-

pitulo 13, cuando estudiemos el movimiento planetario.

•

EJEMPLO 7.14. En el caso del proyectil del ejemplo 7.13, encontrar el momen-tum angular y el torque de mg con respecto a O. Veriflcar que se cumple la ec. (7.38).

Solucidn: Al establecer los ejes X e Y como en la Fig. 7-20, las coordenadas del

punto P son x = OA = i> U y = AP = — Vaff'S y las componentes de la velo-

cidad son vx = v Qf vv = — gt Recordando p = m« y usando la tercera ecuacijin

de 7.36, podemos escribir

Lt — xpu— ypz = m(xvv— yvx) = — imgv QP.

Igualmente las componentes de la"fuerza aplicada en P son Fx = 0, Fv = — mg.

Luego, usando la ec. (4.8), obtenemos

x* = xFy— yF* = — mguj.

EI estudiante puede veriflcar que en este caso dLz/dt = t«, de modo que la ec. (7.38)

se confirm a.

EJEMPLO 7.15. Estimar el momentum angular de la tierra alrededor del sol,

y aquel de un electr6n alrededor del micleo en un atotno de hidr6geno. En amboscasos suponer, por simplicidad, que la 6rbita es circular, de modo que se puedan

aplicar las relaciones de la Fig. 7-22.

J** VinOmica de una particula (7. 14

Soluci6n: La masa de la tierra es de 5,98 x iOu kg y su distancia media al sol es

de 1,49 x 1011 m. Iguahnente, de nuestra deflnici6n del segundo dado en la sec-

ci6n 2.3, llegamos a la conclusion que el periodo de revolution de la tierra alrededor

del sol es 3,16 x 107s, Asf la velocidad angular promedio de la tierra alrededor del

sol es, de la ec. (5.51),

« = ^r = Q , g

2TC

, n7 = 1,98 x 10-T s^.P 3,16 x 10 7 s

Entonces, de la ec. (7.33) el momentum angular de la tierra con respecto al sol es

L = mr*<* = (5.98 x 10»kg)(l,49 x lO^m^l^ x lO-'s-1)

= 2,67 x 10" m* kg %-K

Por otro lado, un electrdn en un atomo de hidr6geno tiene una masa de 9,11 x 10~S1 kg,

su distancia media al nucleo es 5,29 x 10^u m, y su velocidad angular es 4,13 x 10"s-1

. Por tanto, usando nuevamente la ec. (7.33), encontramos que el momentumangular del electron alrededor del nucleo es

L = mr*<o - (9,11 x 10-" kg)(5,29 x 10-11 m)'(4,13 x 10l« s~»)

= 1,05 x 10-"m*kgs-1.

Este valor num£rico constituye una de las constantes mas importantes de la

ffsica, y se designa por el simbolo ft, hache cruzada. El momento angular de las

particulas at6micas y fundamentals se expresa en unidades de ft. La cantidad

ft = 2nh se denomina constante de Planck,

El estudiante debe tener en cuenta la tremenda disparidad en los valores de las

cantidades ffsicas en las dos situaciones que hemos resuelto, y puede dudar si se

aplican las mismas leyes en ambos casos. Podemos responder diciendo que en amboscasos, como las fuerzas son centrales, el momentum angular es constante. Sin em-bargo, en el caso del electr6n, cuando nos referimos a una particula atfmica, se

requiere una cierta revisi6n de nuestros m6todos ; la nueva t£cnica es denominadamecanica cuantica, pero no trataremos esta teoria en este momento. Podemosadelantar sin embargo, que el resultado que conseguiremos estara esencialmente

de acuerdo con lo que hemos obtenido en este ejemplo.

EJEMPLO 7.16. Dispersi6n de una particula por una fuerza central repulsiva quevaria inversamente con el cuadrado de la distancia.

Soluci6n: Estudiemos la desviacidn o dispersidn que sufre una particula cuandoesta sometida a una fuerza de repulsi6n que varia en forma inversamente propor-

tional al cuadrado de la distancia de la particula en movimiento con respecto a unpunto fljo o centro de fuerzas. Este problema es de especial interns debido a su apli-

caci6n en fisica at6mica y nuclear. Por ejemplo, cuando un prot6n, acelerado poruna maquina tal como uncitiotr6n, pasa cerca deun nucleo del material del bianco,es

desviado o dispersado bajo la acci6n de una fuerza de esta clase, debido a la repul-

si6n electrostitica del nucleo.

Sea O el centro de la fuerza y A una particula que se dirige hacia desde una gran

distancia con velocidad v Q (Fig. 7-28). La distancia btdenominada pardmetro de

impacto, es la distancia perpendicular entre la prolongaci6n de la trayectoria rec-

tillnea initial y una linea trazada a trav6s de O paralela a vf . Suponiendo que la

fuerza entre A y O es de repulsion y central, la particula seguira la trayectoria AMB.La forma de la curva depende de la forma como varia la fuerza con la distancia.

Si la fuerza es inversamente proportional al cuadrado de la distancia, esto es, si

F = k/r\ (7.40)

7.14) Fuerzas centrales 189

la trayectoria es una hip6rbola, como se demostrard en la seccitin 13.5. Cuandola particula se encuentra en A su momentum angular es mv b. En cualquier otraposicitin tal como M, su momentum angular, de acuerdo a la ec. (7*35), es mr*(dQ/dt). Por consiguiente, como el momentum angular debe pemianecer constante,

por ser la fuerza central,

mr d0

dt= mVfib. (7.41)

La ecuaci6n de movimiento en la direcci6n

Y se obtiene combinando la ec. (7.40) con

la segunda de las ec. (7.31) ; esto es

m dvy

~~df= Ft F sen 6

A* sen

Eliminando ra usando la ec* (7.41) podemosescribir

duy

dt

k a d8sen 6—

mv b dt

Fig. 7-28, Dispersi6n de una par-

ticula bajo la accidn de una fuerza

central que varia inversamente conel cuadrado de la distancia.

Para encontrar la deflexidn de la parti-

cula, debemos integrar esta ecuacidn de unextremo de la trayectoria al otro. En A el

valor de Vy es cero debido a que el movi-

miento inicial es paralelo al eje X, y tam-bi6n 6 — 0. En B tenemos vy = v sen ^ y6 = n — ^. Notar que en B la velocidad

es nuevamente v ya que, debido a la simetria, la velocidad perdida cuando la par-

ticula se aproxima a debe ganarse cuando se aleja de 0. (El principio de con-

servaci6n de energia, a discutirse en el proximo capltulo, tambien verifica esto.)

Luego

j

vQ sen j>

dvv =mvj) J

n— #sen 6 dd

o sea

v sen ^ =mu b

(1 + cos *).

Recordando que cotg i ^ = (1 + cos ^)/sen<f> t

obtenemos finalmente

cotg i ^ = —-*- b. (7.42)

Esta relaci6n da el angulo de dispersidn ^ en funci6n del parametro de impacto &.

En la secci6n 14.7 aplicaremos esta ecuaci6n a la dispersi6n de particulas car-

gadas por los niicleos. N6tese que el resultado (7.42) es valido solamente para unafuerza que varia inversamente con el cuadrado de la distancia de la particula al

centro de fuerzas. Si la fuerza depende de la distancia en una manera diferente,

el angulo de dispersidn satisface una ecuacitin diferente. Por ello, los experimentos

de dispersidn son muy utiles cuando deseamos determinar la ley de fuerzas en in-

teracciones entre particulas.

En los laboratorios de fisica nuclear, los experimentos de dispersi6n son reali-

zados acelerando electrones, protones, u otras particulas por medio de un ciclo-

tr6n, o un acelerador Van de Graaff, o algun equipo similar, y observando la dis-

tribucidn angular de las particulas dispersadas.

190 Dindmica de una particula

7.15 Equilibria y reposo

Terminaremos este capitulo con una revisi6n de los conceptos de reposo y equi-librio. Una particula se encuentra en reposo con relaci6n a un observador inercial

cuando su velocidad, medida por este observador, es cero. Una particula se en-cuentra en equilibrio con respecto a un observador inercial cuando suaceleracidnes cero (a = 0). Luego, de la ec. (7,15), Uegamos a la conclusion que F — 0; esto

es, una particula se encuentra en equilibrio cuando la resultante de todas las

fuerzas actuantes es cero. Esta defmicidn fue utilizada en el capitulo 4.

Una particula puede estar en reposo con relaci6n a un observador inercial,

pero no estar en equilibrio. Por ejemplo, cuando tiramos una piedra verticalmentehacia arriba, la piedra est& moment&neamente en reposo cuando alcanza su altura

maxima. Sin embargo, no se encuentra en equilibrio ya que est& sometida a la

fuerza de atracci6n no balanceada de la tierra. Por dicha razon la piedra comen-zari inmediatamente a caer.

Igualmente, una particula puede estar en equilibrio y no estar en reposo rela-

tivo a un observador inercial. Un ejemplo lo constituye una particula libre. Comono actiian fuerzas sobre ella no hhy aceleracion y la particula se encuentra enequilibrio. Sin embargo, la particula puede no estar en reposo con respecto amuchos observadores inerciales. La situacidn mas comiin que se encuentra es

aquella de una particula que est£ tanto en reposo como en equilibrio al mismotiempo, Por dicha razon muchas personas consideran err6neamente los dos con-ceptos como sinonimos. Por supuesto una particula en equilibrio puede estar

siempre en reposo en algiin sistema inercial de referenda.

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Reading, Mass. : Addison-Wesley, 1958, caps. 16 y 17

Problemas

7.1 Una particula de 3,2 kg de masa se

mueve hacia el oeste con una velocidad

de 6,0 m s_1

, Otra particula de 1,6 kgde masa se desplaza hacia el norte conuna velocidad de 5,0 m s

_1. Las dos

particulas interactiian. Despues de 2 s

la primera particula se mueve en la di-

recci6n N 30° E con una velocidad de3,0 m s

_1. Encontrar: (a) la magnitud

y direcci6n de la velocidad de la otraparticula, (b) el momentum total de las

dos particulas tanto al comienzo comoal final de los 2 s, (c) el cambio en el

momentum de cada particula, (d) el

cambio en la velocidad de cada particula,

y (e) las magnitudes de estos cambiosen velocidad; veriflcar la ec. (7,9).

7.2 Un tronco de un arbol de 45 kgflota en un rio cuya velocidad es de8 km hr-1

. Un cisne de 10 kg intentaaterrizar en el tronco mientras vuelaa 8 km hr-1 en sentido contrario al de lacorriente. El cisne resbala a lo largo deltronco y sale del extremo de 6ste conuna velocidad de 2 km hr-1

. Calcularla velocidad final del tronco. Despreciarla friccidn del agua. ^Es necesario con-verts las velocidades a m s-1 ?

7.3 En la reaccidn qulmica H + CI ->;-> HC1, el atomo H se estaba moviendoimcialmente hacia la derecha con unavelocidad de 1,57 x 10* m s"1

, mientrasque el atomo de CI se estaba moviendoperpendicularmente con una velocidadue 3,4 x 10* m s-1

. Encontrar la mag-

nitud y direcci6n (respecto al movi-miento original del atomo de H) de la

velocidad de la motecula resultante HC1.Usar las masas atdmicas de la tabla A-l.

7.4 Escribir una ecuaci6n exprfsando-la dbnservaci6n del momentum en la

reacci6n qulmica A + BC -> AB + C.

7.5 Una particula cuya masa es* de

0,2 kg se esta moviendo a 0,4 m s_1 a lo

largo del eje X cuando choca con otra

particula, de masa 0,3 kg, que se en-

cuentra en reposo. Despu6s del choqueque la primera particula se mueve a

0,2 m s_1 en una direcci6n que forma

un angulo de 40° con el eje X. Determi-nar (a) la magnitud y la direcci6n dela velocidad de la segunda particula des-

pu6s del choque y (b) el cambio en la

velocidad y el momentum de cada parti-

cula. (c) Veriflcar la relaci6n (7.9).

7.6 Encontrar el momentum adquirido

por una masa de 1 gm, 1 kg, y 10 8 kgcuando cada una de ellas cae desde unaaltura de 100 m. Considerando que el

momentum adquirido por la tierra es

igual y opuesto, determinar la velocidad

(hacia arriba) adquirida por la tierra.

La masa de la tierra se da en la tabla 13.1.

Determinar la magnitud de la fuerza encada caso.

7.7 Dos carros, A y B, se empujan, unohacia el otro (Fig. 7-29). Inicialmente Bestd en reposo, mientras que A se muevehacia la derecha a 0,5 m s

_1. DespuGs

192 Dindmica de una parttcula

del choque, A rebota a 0,1 m s-1, mien-

tras que B se mueve hacia la derechaa 0,3 m s-1

. En un segundo experimento,A est£ cargado con una masa de 1 kgy se dirige hacia B con una velocidadde 0,5 m s-1

. Despu6s de la colisidn,A permanece constants, mientras que Bse desplaza hacia la derecha a 0,5 m s-1

.

Encontrar la masa de cada carro.

7.8 Gohsiderar el sistema tierra-luna(ignorar el movimiento de este sistemaalrededor del sol). En 28 dias, la lunagira alrededor de la tierra en un circulode 4,0 x 10B m de radio, (a) (Cuil es elcambio en el momentum de la luna en14 dias? (b) iCudl debe s^r el cambioen el momentum de la tierra en 14 dias?(c) iSe encuentra estacionaria la tierraen el sistema tierra-luna? (d) La masade la tierra es 80 veces la de la luna,&Cu&l es el cambio en la velocidad dela tierra en 14 dias?

7.9 Dos objetos, Ay B, que se muevensin fricci6n en una lfnea horizontal, inter-

action. El momentum de A es pA == Po— btt siendo p y b constante y t el

tiempo. Encontrar el momentum de B en(unci6n del tiempo si (a) B se encuentrainicialmente en reposo y (b) el momen-tum inicial de B fue — p .

7.10 Una granada que se desplaza ho-rizontalmente a una velocidad de 8 kms-1 con respecto a la tierra explota entres segmentos iguales. Uno de ellos

continua movtendose horizontalmente a16 km 8~l

, otro se desplaza hacia arribahaciendo un Angulo de 45° y el tercerose desplaza haciendo un &ngulo de 45°bajo la horizontal. Encontrar la magnl-tud de las velocidades del segundo y ter-

cer fragmentos.

7.11 Un sat&ite se mueve "horizontal-mente" a una velocidad de 8 km s-1 conrespecto a la tierra. Deseamos dejar caerverticalmente una carga de 50 kg Ian-z&ndola horizontalmente del sat£Hte : Cal-cular la velocidad del sat£lite despu^s

del lanzamiento de la carga si la masatotal (iiutfuyendo la carga) es de 450 kg.(iCudl es la velocidad de la carga, conrespecto a la tierra inmediatamentedespu^s del lanzamiento?)

7.12 Un vagdn vacio cuya masa esde 10* kg pasa a una velocidad de 0,5 ms-1 bajo un depdsito estacionario decarbdn. Si se dejan caer 2 x 10* kg decarbdn en el vag6n al pasar debajo deldepdsito. (a) ^Cu&l es la velocidad finaldel vagdn? (b) £Cu61 es la velocidad delvagdn si el carbdn sale del vag6n me-diante oriflcios en su suelo y el carbdncae verticalmente con respecto al vag6n.(c) Suponiendo que fuera posible lanzartodo el carbdn de una sola vez por de-trds del vag6n de modo que el carbdnquede en reposo con respecto a tierra,calcular la velocidad resultante del va-gdn. (d) £En qu6 condiciones se tendrlael mismo resultado que en (c) si el car-bdn fuese lanzado haciendo un Angulocon respecto al vagdn en movimiento?7.13 Un carro con masa de 1,5 kg sedesplaza a lo largo de su trayectoria a0,20 m S"1 hasta que choca contra unobst&culo fijo al extremo de su camino.&Cu&l es el cambio en el momentum y la

fuerza promedio ejercida sobre el carro,si en 0,1 s (a) queda en reposo, (b) rebotacon una velocidad de 0,10 m s-1 ? Discu-tir la conservacidn del momentum en el

choque.

7.14 iQu6 fuerza constante se requierea fln de aumentar el momentum de uncuerpo de 2300 kg m s-1 a 3000 kg m s-1

en 50 seg?

7.15 Un automdvil tiene una masa de1500 kg y su velocidad inicial es de 60km hr-1

. Cuando se aplican los frenosse produce una desaceleracidn constante,

y el auto se detiene en 1,2 minutos. De-terminar la fuerza aplicada al auto.

7.16 (Durante qu£ tiempo debe actuaruna fuerza constante de 80 N sobre uncuerpo de 12,5 kg a fln de detenerlo,considerando que la velocidad inicial delcuerpo es de 72 km hr-1 ?

7.17 Un cuerpo con una masa de 10 gcae desde una altura de 3 m en una pila

de arena. El cuerpo penetra una dis-

tancia de 3 cm en la arena hasta dete-

nerse. &Qu£ fuerza ha ejercido la arenasobre el cuerpo?

Problemas 193

7.18 Dos mulas halan un carguero en

un canal mediante sogas atadas a la

proa del carguero. El artgulo entre las

sogas es de 40° y la tensi6n en las cuer-

das es de 2500 N y 2000 N respectiva*

mente. (a) Gonsiderando que la masa del

carguero es de 1700 kg, &Cudl seria la

aceleracidn si el agua no ofreciera resis-

tencia? (b) Si el carguero se desplaza

con movimiento uniforme, cu&l es la re-

sistencia del agua?

7.19 Un hombre esti parado en la pla-

taforma de un camidn que se mueve a

la velocidad de 36 km hr-\ jBajo qu£ingulo y en qui direccidn debe el hom-bre apoyarse para evitar caer si, en 2 s

la velocidad del cami6n cambia a (a)

45 km hr-\ (b) a 9 km hr-1 ?

7.20 Un ascensor cuya masa es de250 kg lleva tres personas cuyas masa?son 60 kg, 80 kg y 100 kg, y la fuerza

ejercida por el motor es de 5000 N. 4Conqui aceleracidn subird el ascensor? Par-

tiendo del reposo, que altura alcanzarA

en 5 s?

7.21 Suponer en el problema previo

que el hombre de 100 kg de masa est&

parado sobre una balanza. iCudnto "pesa"a medida que el ascensor se acelera?

7.22 Un ascensor vacio de una masa de5000 kg se desplaza verticalmente haciaabajo con una aceleracidn constante.

Partiendo del reposo, recorre 100 pies

en los primeros diez segundos. Calcularla tensidn en el cable que sostiene el as-

censor.

7.23 Un cuerpo cuya masa es de 60 kgesta parado en una balanza. Si de repentese impulsa hacia arriba con una acelera*

cidn de 245 cm S-*. &Cu&l ser& la lecturade la escala? Discutir el efecto asociadocon este problema cuando se aplica auna m&quina que mide la aceleracidndel cuerpo mfdiendo la fuerza ejercida.

(Tal m&quina, denominada aceterdmetro,es una herramienta de mucha utilidaden la industria y en laboratorios de inves-

tigacidn.)

7.24 Una masa de 200 gm se desplazacon velocidad constante v = ux 50 cms~\ Cuando la masa se encuentra enr — — ux 10 cm, actua una fuerza cons-tante F = — ux 400 dinas sobre ella.

Determinar: (a) el tiempo en que se de-

tiene la masa, y (b) la posicidn de la

masa en el instante en que se detiene.

7.25 Un hombre cuya masa es de 90 kgse encuentra en un ascensor, Determinarla fuerza que ejerce el piso sobre el hom-bre cuando: (a) el ascensor asciende convelocidad uniforme, (b) el ascensor bajacon velocidad uniforme, (c) el ascensoracelera hacia arriba a 3 m &-*, (d) el as-

censor acelera hacia abajo a 3 m s~s,

y (e) el cable se rompe y el ascensor caelibremente.

7.26 Un cuerpo cuya masa es de 2 kgse desplaza sobre una superflcie hori-

zontal lisa bajo la accidn de una fuerzahorizontal F = 55 + P donde F se ex-

presa en newtons y / en segundos. Calcu-lar la velocidad de la masa cuando / = 5 s

(el cuerpo se encontraba en reposocuando t = 0).

7.27 Un cuerpo de masa m se muevea lo largo del eje X de acuerdo a la ley

x = A cos (<*t + 4), donde A, o> y £ sonconstantes. Calcular la fuerza que actiia

sobre el cuerpo en funcidn de su posi-

cidn. £Cu&l es la direccidn de la fuerza

cuando x es (a) positivo, (b) negativo?

7.28 La fuerza resultante sobre un ob-

jeto de masa m es F — F — Jcf, dondeF y k son constantes y t es el tiempo.Encontrar la aceleracidn. Mediante in-

tegracidn, encontrar ecuaciones para la

velocidad y la posicidn.

7.29 Sobre una partfcula de masa m,inicialmente en reposo, actiia una fuerza

F = F (l — (t — r)Vr*) durante el in-

tervalo ^ t ^ 27\ Demostrar que la

velocidad de la particula al final del in-

tervalo es 4F T/3m* Notar que la velo-

cidad depende solamente del productoF (2T) y, que si T disminuye, se obtiene

la misma velocidad haciendo F propor-

cionalmente mds grande. Representar Fen funcidn de t jPuede Ud. pensar enuna situacidn fisica en la cual este pro-

blema proporcionaria una descripcidn

adecuada?

7.30 Un cuerpo inicialmente en reposo

en x se mueve en linea recta bajo la ac-

cidn de una fuerza F — — Jr/x^ Demos-trar que su velocidad en x es p1 =*=

= 2(if/m)/(l/x— l/x ). Este m£todopuede utilizarse para determinar la velo-

194 Dindmica de una partlcula

cidad de un cuerpo que cae hacia la tie-

rra desde una gran altura.

7.31 Repetir el ejemplo 7.3 para el caso

en que el carro est& corriendo hacia aba-jo.

7.32 Un cuerpo con una masa de 1,0 kgse encuentra sobre un piano liso incli-

nado 30° con respecto a la horizontal.

jCon qu6 aceleracidn se movera el cuerposi hay una fuerza aplicada sobre 61 de

8,0 Nparalela al piano y dirigida (a) hacia

arriba, (b) hacia abajo?

7.33 Un camidn cuya masa es de5000 kg est& viajando hacia el norte a30 m s-1 cuando, en 20 segundos, tuerce

hacia un camino situado N 70° E, En-contrar (a) el cambio en el momentum,(b) la magnitud y la direccidn de la fuer-

za promedio ejercida sobre el cami6n.

7.34 Los cuerpos de la Fig. 7-30 tienen

masas de 10 kg, 15 kg y 20 kg, respect!-

vamente. Se aplica en C una fuerza Fde50 N. Encontrar la aceleracidn del siste-

ma y las tensiones en cada cable. Discutir

el mismo problema cuando el sistema se

mueve verticalmente en lugar de hori-

zontalmente.

7.35. Calcular la aceleracidn de los cuer-

pos en la Fig. 7-31 y la tensidn en la cuerda. Resuelva primero el problema alge-

braicamente y luego encuentrela solucidr

num£rica cuando m^ = 50 g, m t= 80 g

y F = 10B dinas.

7.36 Los cuerpos de la Fig. 7-32 est&r

unidos con una cuerda como se mues-tra. Suponiendo que no hay friccidn er

las pbleas, calcular la aceleracidn de los

cuerpos y la tensidn en la cuerda. Resohver algebralcamente el problema y luegc

aplicar la solucidn al caso en que m1= £

kg y /na = 2 kg.

7.37 Determinar la aceleracidn con la

cual se mueven los cuerpos de la Fig. 7-33

(a) y (b) tambten las tensiones en las

cuerdas. Suponer que los cuerpos se

deslizan sin friccidn. Resolver el pro-

blema algebraicamente y luego aplicar

'mmmmimm. 'mmmmmm

^j7T12

T

Tftl

Figura 7-31 Fi&ura 7-32

fh ^

m,

f

nms

Wis:

(b)

Figura 7-33 Figura 7-34

Ifli

?)

(a)

Figura 7-35

m^

mi

%L

1m2

(b)

Problemas 1V5

<<0

la soluci6n obtenida cuando m1 = 200 g,

m2= 180 g, a = 30% p = 60°.

7.38 Repetir el problema anterior cuan-

do hay fricci6n, con coeficientes /x sobre

la primera superflcie y /2 sobre la segun-

da. Discutir todos los movimientos posi-

bles.

7^9 (a) Demostrar que la viga AB de

la Fig. 7-34 se encontrard en equilibrio

cuando se cumpla la siguiente ecuaci6n

:

m^irii + m9)lx = 4m^nJ2 .

(b) Encontrar la fuerza que el punto pi-

vote ejerce sobre la viga.

7.40 Calcular la aceleraci6n de los

cuerpos mx ymt y la tensidn en las cuer-

das (Fig. 7-35). Todas las poleas tienen

peso despreciable y friccidn nula y los

cuerpos se deslizan sin fricci6n. iCualdispositivo acelerara ni1 mds rApidamen-te que en la caida libre? Resolver el pro-

blema primero algebraicamente, luego

obtener la soluci6n para el caso en quem

x= 4 kg y ma = 6 kg.

7.41 Demostrar que las aceleraciones

de los cuerpos en la Fig. 7-36, con

P = gl{m1m^ + nyi!, + 4m2m3),

son

(a) ax= 4/rynsP,

a2 = (ny^a -— n^iKa— Am^n^)P9

aB = (m1mB~ m1m^ + 4m2mz)P;

(b) at= (4^/213 — nyna

— m^^P,a

2= (3/n17n8

— mjxig— 4m9m3)P9

a3 = (nixRti— 3/nj/na + 4mam3)P.

7-42 Las masas de A y B en la Fig. 7-37son de 3 kg y 1 kg respectivamente. Si

mi

w^

1(a)

Flgura 7-86

Qni2

m3

Figura 7-87

(b)

B

W^

Figura 7-38 iB

196 Dindmica de una parttcula

Figura 7-80

3 kg

5 kg

Figura 7-40

se aplica una fuerza F = 5PN a la polea,

encontrar la aceleraci6n de A y B enfunci6n de L £Qu6 sucede despairs que Balcanza la polea?

7.43 Las masas de A y B en la Fig. 7-38

son, respectivamente de 10 kg y 5 kg.

El coeflciente de fricci6n entre A y la

mesa es de 0,20. Encontrar la masaminima de C que evitara el movimientode A. Calcular la aceleracidn del sistemasi C se separa del sistema.

7.44 Determinar la fuerza de friccidn

ejercida por el aire sobre un cuerpo cuyamasa es de 0,4 kg si cae con una acele-

raci6n de 9,0 m s-2

.

7.45 Repetir el ejemplo 7.6 para uncaso en el cual no haya fuerza aplicada.

La velocidad inicial del cuerpo es de2 m S"1 hacia arriba. &Que distancia re-

correra el cuerpo antes de detenerse?j,Cu41 es el valor menor del coeflciente

de fricci6n de modo que el cuerpo, unavez detenido, no regrese hacia abajo ?

7.46 Un bloque de masa 0,2 kg inicia

su movimiento hacia arriba, sobre unpiano inclinado a 30° con la horizontal,

con una velocidad de 12 m s-1

. Si el

coeflciente de friccidn de deslizamiento

es de 0,16, determinar que distancia re-

correrd el bloque sobre el piano antes

de detenertfe. iQud velocidad tendra el

bloque al retornar (si retorna) a la basedel piano?

7.47 Un tren cuya masa es de 100 to-

neladas sube un terreno que se eleva1 pie cada 224 pies de longitud. La trac-

ci6n del tren es de 9000 lbf y su acelera-

ci6n es de 1 pie s-2

. Calcular la fuerza defricci6n.

7.48 Encontrar la aceleracidn de m enla Fig. 7-39 si el coeflciente de friccidn

con el piso es /. Encontrar tambien la

fuerza ejercida por el piso sobre el cuerpo,

Resolver para m = 2,0 kg, / = 0,2 yF = 1,5 N.

7.49 Un bloque cuya masa es 3 kgesta colocado encima de otro bloque demasa de 5 kg (Fig. 7-40). Suponer queno hay fricci6n entre el bloque de 5 kgy la superflcie sobre la cual reposa. Loscoeflcientes de friccidn estatico y dedeslizamiento entre los bloques son 0,2

y 0,1 respectivamente. (a) ^Cual es la

maxima fuerza que puede aplicarse acualquier bloque de modo de deslizar

todo el sistema y mantener los bloquesjuntos? (b) iCual es la aceletacidn cuan-do se aplica la fuerza maxima? (c) &Cu&les la aceleracitin del bloque de 3 kg si

la fuerza es mayor que la fuerza maximay se aplica al bloque de 5 kg? ^Gual si se

aplica al bloque de 3 kg?

7.50 Encontrar la velocidad limite deuna esfera de 2 cm de radio y una den-sidad de 1,50 g cm -3 que cae en glicerina

(densidad ^ 1,26 g cm-3). Encontrar

tambien la velocidad de la esfera cuandosu aceleraci6n es de 100 cm s

-2.

7.51 Un cuerpo con una masa de 4 kges lanzado verticalmente con una velo-

cidad inicial de 60 m s_1

. El cuerpo en-

cuentra una resistencia del aire deF — — 3i>/100, donde F se expresa ennewtones y v es la velocidad del cuerpoen m s

_1. Calcular el tiempo que trans-

curre desde el lanzamiento hasta quealcanza la maxima altura. &Cual es la

maxima altura?

7.52 Un cuerpo cae desde una altura

de 108 cm en 5 s, partiendo del reposo.

Encontrar su velocidad limite si la resis-

tencia es proporcional a la velocidad.

7.53 Usando los resultados del ejem-plo 7.8 encontrar el tiempo que tomanlas gotas del ejemplo 7.7 para alcanzar

Problemas 197

50 y 0,63 de su velocidad lfmite. En-

contrar tambten la distancia cubierta en

el tiempo t.

7.54 Representar la velocidad de uncuerpo que cae en un fluido viscoso en

funcidn del tiempo t cuando la velocidad

inicial es diferente de cero. Considerar

ambos casos cuando i? es menor y mayorque F/Ktj. &Qu6 sucede cuando u

ti=

= FjKrjl

7.55 El electrdn en un dtomo de hidr<J-

geno gira alrededor de un prot6n, si-

guiendo una trayectoria casi circular de

radio 0,5 x 10 -10 m con una velocidad

que se estima en 2,2 x 10* m s _1. Calcu-

lar la magnitud de la fuerza entre el

electron y el prot<Jn.

7.56 Una piedra cuya masa es de 0,4 kgesta atada al extremo de una cuerda de

0,8 m. Si la piedra describe un circulo

a una velocidad de 80 rev/min, &cu£l es

la magnitud de la fuerza que ejerce la

cuerda sobre la piedra? Si la cuerda se

rompe la tensi6n es mayor de 50 kgf.

^Cudl es la mayor velocidad angularposible?

7.57 Un pequeno bloque de 1 kg demasa estA atado a una cuerda de 0,6 my gira a 60 rev/min en un circulo vertical.

Calcular la tension en la cuerda cuandoel bloque que se encuentra (a) en el puntom&s alto del circulo; (b) en el punto misbajo, (c) cuando la cuerda est£ horizon-tal, (d) calcular la velocidad lineal quedebe tener el bloque en el punto mis alto

a fin de que la tensidn en la cuerda seacero,

7.58 Un tren pasa una curva con pe-ralte a 63 km hr-1

. El radio de la curvaes de 300 m. Calcular (a) el peralte de la

curva de modo que el tren no experimen-te fuerzas laterales, (b) el &ngulo quehace con la vertical una cadena quecuelga de uno de los vagones.

7.59 Una autopista tiene 24 pies deancho. Calcular la diferencia de nivelentre los bordes extremo e interno del

camino a fin de que un auto pueda viajara 50 mi hr -1 (sin que experimente fuer-zas laterales) alrededor de una curvacuyo radio es de 2000 pies«

7.60 Una curva de una autopista cuyoradio es de 1000 pies no tiene peralte.

Suponer que el coeflciente de fricci6n

Figura 7-41

entre la Uanta y el asfalto seco de 0,75,

entre la llanta y el asfalto humedo es

de 0,50, y entre la llanta y el hielo es

de 0,25* Determinar la maxima velo-

cidad con la cual se puede pasar la curvacon seguridad (a) en dias secos?, (b) endias Uuviosos, (c) en dias en que ha ne-

vado. &Por qu£ son estos valores inde-

pendientes de la masa del auto?

7.61 Un cuerpo D, el cual tiene unamasa de 12 lb (Fig. 7-41), se encuentrasobre una superflcie c6nica lisa ABC yestd girando alrededor del eje EE' conuna velocidad angular de 10 rev/min.

Calcular : (a) la velocidad lineal del

cuerpo, (b) la reaccitfn de la superflcie

sobre el cuerpo, (c) la tensidn en el hilo,

y (d) la velocidad angular necesaria

para reducir la reacci6n del piano a cero.

mmmzm.

Figura 7*42

7.62 Una pequefia bola de masa m,inicialmente en A, se desliza sobre unasuperflcie circular lisa ADB (Fig. 7-42).

Mostrar que cuando la bola se encuentra

en el punto C la velocidad angular y la

fuerza ejercida por la superflcie son

o> = \2g sen a/r, F = m§{\ +2sen a).

198 Dindmica de una parlicula

Figura 7-43 Figura 7-44

7.63 Reflriindose al pSndulo c6nico dela Fig. 7-43 que rota en un circulo hori-

zontal con una velocidad angular o>,

calcular la tensi6n en la cuerda y el

Angulo que hace con la vertical para el

caso cuando M = 12 kg, L — 1,16 my to — 3.0 rad s-1

.

7.64 Demostrar la igualdad de los pe-rlodos de 2 p£ndulo& c6nicos que cuelgandel mismo techo con diferentes longitu-

des, pero movtendose de modo que sus

masas se encuentran a la misma altura

sobre el piso.

7.65 Una particula de densidad pt est£

suspendida rotando en un lfquido dedensidad pa en rotaci6n. Demostrar quela particula describira una trayectoriaespiral hacia afuera (hacia adentro) si

p! es mayor (menor) que p2.

7.66 Demostrar que si un cuerpo se

mueve bajo la acci6n de una fuerzaF = ku x v, donde u es un vector uni-

tario arbitrario, el movimiento es circu-

lar con velocidad angular ct> = ku 9 o,

en un caso mas general, el movimiento es

de espiral paralelo a u.

7.67 Para t = 0, un cuerpo de masa3,0 kg esta situado en r = ux 4 m, y tieneuna velocidad v = (ux + uy 6) m s

_1.

Si actua sobre la particula una fuerzaconstante F — uy 5 N, encontrar (a) el

cambio en el iriomentum (lineal) del

cuerpo despues de 3 s, (b) el cambioen el momentum angular del cuerpodespu£s de 3 s.

7.68 Una bola cuya masa es de 200 gmse est& moviendo hacia el norte con unavelocidad de 300 cm s~l

. Cuando se

aplica una fuerza de 2000 dinas en Is

direction este, obtener la ecuaci6n de Is

trayectoria y calcular despues de 40 s

(a) la magnitud y direcci<Jn de la velo-

cidad, (b) la distancia recorrida desdc

el momento inicial, (c) el desplazamientcmedido desde el punto inicial.

7*69 Sobre una particula que se muevecon una velocidad u a lo largo del eje -X

actua una fuerza F paralela al eje Ymientras se mueve en la regidn ^ x£^ L. Encontrar el cambio en la direc-

ci6n de su movimiento- iA qu6 distancia

del eje X se encontrar^ la particula quellega a una pared situada en x = L?7.70 Una masa puntual se est& mo-viendo en el piano XY bajo la accitade una fuerza constante cuyas compo-nentes son Fx = 6 N y Fv — — 7 N.Cuando t — s, x = 0, y = 0, vx = —

2

m %-\ y vy = 0, encontrar la posicidn

y la velocidad cuando ( = 2s. Suponerque la masa de la particula es de 16 kg.

7.71 El vector posicidn de un cuerpode masa 6 kg est£ dado por r = u,

(3P— 60 + uy(—4f») + ut (3t + 2) m.Encontrar: (a) la fuerza que actua sobrela particula, (b) el torque con respectoal origen de la fuerza que actua sobre la

particula, (c) el momentum lineal y el

momentum angular de la particula conrespecto al origen, (d) veriflcar queF = dpjdt y T = dLjdt

7.72 Cuando t = s, una masa de3 kg est6 situada en r = ux 5 m y tiene

una velocidad uv 10 m s~l. Determinar

el momentum angular de la masa conrespecto al origen para (a) / = Os y (b)

t = 12 s.

1kg

10 kgF

^^md^'/MmwMm^MW/MWM

Problemas 199

\~L-an

Figura 7-45 FIgura 7*46

7.73 Un extremo de una banda de

goma esta unido a un disco; el otro

extremo est£ fljo. El disco puede des-

plazarse sobre una mesa horizontal lisa.

Si la banda de goma se estira y se em-puja el disco en un cierto dngulo, 6ste

describe la trayectoria mostrada por la

fotografia estrobosc6pica de la Fig. 7-44

(el intervalo de tiempo entre destellos es

de 0,5 s). Realizando mediciones en la

fotografia, demostrar que la ley de las

areas se conflrma en este movimiento.

A partir de la situacidn fisica descrita,

ipuede Ud. decir si la fuerza sobre el

disco es central?

7.74 Un cuerpo de masa de 1 kg reposa

sobre otro de masa 10 kg, el cual a su

vez reposa sobre una superftcie horizon-

tal como muestra la Fig. 7-45. La fuerza Fvarla con el tiempo t (medido en segun-

dos), de tal modo que F = 0,2/ N. Si el

coeficiente de friccidn estatica es de0,2 y el coeficiente de friccidn cin6tico

es 0,15 entre todas las superficies, en-

contrar el movimiento de cada bloqueen funcitfn del tiempo.

7*75 Cuando la tierra se encuentraen el afelio (la posici6n mas lejana conrespecto al sol), en junio 21, su distancia

es de 1,52 x 10u m y su velocidad orbi-

tal es de 2,93 x 10* m s-1. Encontrar

su velocidad orbital en el perihelio (la

posicidn mas cercana al sol) seis mesesm&s tarde, cuando su distancia del sol

es l t47 x 10u m. ^Afectan estas varia-

ciones en la velocidad la duraci6n deldia solar? Encontrar tambi£n la

velocidad angular de la tierra alrededordel sol en ambos casos (Ayuda: tantoen el afelio como en el perihelio la velo-cidad es perpendicular al radio vector).

7-76 Un cohete de 103 kg se colocaverticalmente en su base de lanzamiento.El gas de propulsi6n se expele a unavelocidad de 2 kg s~x

. Encontrar la velo-cidad minima de los gases de escape de

modo que el cohete comience a elevarse,

Encontrar tambi&n la velocidad del co-

hete 10 s despu£s de la ignici6n, supo-niendo que la velocidad de escape es la

minima.

7.77 Un cohete, lanzado verticalmente,expele los gases a una velocidad cons-

tante de 5 x 10 -'/n kg &-\ donde m9

es su masa inicial. La velocidad de es-

cape de los gases con respecto al cohetees de 5 x 10* m s -1 . Encontrar la velo-

cidad y la altura del cohete despu£s de10 s.

7.78 Una cadena flexible de longitud Ly peso W (Fig. 7-46) estd colocada inicial-

ment^ en reposo sobre una superftcie

sin fricci6n ABC, estando D a una dis-

tancia L — a de B. Demostrar que cuan-do el extremo D llega al punto B la ve-

locidad de la cadena es v =

= V(ff/L)(L* — a*) sen a.

7.79 Una soga uniforme de masa My longitud L (Fig. 7-47) pasa sobre unclavo liso de radio muy pequeno. Cuandose inicia el movimiento BC = b. Demos-trar que la aceleraci6n y la velocidad

cuando BC = % L son a = <//3, v == ]/2gjL( | L» + 2bL— **). Aplicar el

resultado para L = 12 pies, b = 7 pies.

7.80 Una masa M, unida al extremo deuna cadena muy larga que tiene unamasa m por unidad de longitud, se tira

verticalmente hacia arriba con una velo-

cidad inicial i> . Demostrar que la maxi-ma altura alcanzada por M es de h == (M/m) [ Vl + 3mvll2Mg— 1,] y quela velocidad de M cuando retorna a tie-

rra es de v — ^2gh.

7.81 El vapor de agua se condensa so-

bre una gota de lluvia a raz6n de munidades de masa por unidad de tiempo;

inicialmente la gota tiene una masa My parte del reposo. Demostrar que la

distancia que cae en un tiempo t es ig

200 Dindmica de una particula

{it2 + {Mlm)t—(M2//n a

) In [1 + (mjM)t]} t

Despreciar la resistencia debida al aire.

7.82 Una particula se mueve bajo la

acci6n de una fuerza constante a trav6sde un fluido que ejerce una fuerza con-traria al movimiento y proporcional a la

velocidad. Demostrar que, si se suprimela fuerza despu6s que el cohete alcancela velocidad limite, la velocidad en el

tiempo t ser& v = vur^K^ % y la distanciarecorrida sera x = (mjk) vl (1

—

e~^k

fm^) t

Veriflcar que la distancia recorrida antesde que se detenga es viAmjk). Demostrarque la velocidad de la particula se redu-cira a 1/e de su valor limite despues deun tiempo t = (mjk).

7.83 Un cuerpo se mueve bajo la acci6nde una fuerza constante F en un flui-

do que se opone al movimiento con unafuerza proporcional al cuadrado de la

velocidad; esto es, F/ = — kv2, Demos-

trar que la velocidad limite es vl = VFjk.

Figura 7-47

Demostrar que la relation entre la ve-locidad y la distancia es v2 = (F/k) ++ lvi— (Flk)]e-**rtx . Representar v* enfunci6n de x para v = 0. Si la fuerzase suprime despues que el cuerpo alcan-ce la velocidad limite, mostrar que la ve-locidad de la particula disminuye a 1/e

del valor de la velocidad limite despuesde recorrer una distancia mjk.

7.84 Demostrar que cuando un cuerpo esta en movimiento bajo una fuerza que seopone al movimiento proporcional al cuadrado de la velocidad, la velocidad en el

tiempo t es:

Vl(V + dl)C (**l/"»>'— (» — VL)e^*»L im)t

8

TRABAJO Y ENERGIA

8A Introduction

82 Trabajo

8.3 Potencia

8A Unidades de trabajo y potencia

8.5 Energia cinetica

8.6 Trabajo de una fuerza de magnitud y direction constantes

8.7 Energia potencial

8.8 Conservation de la energia de una particula

8.9 Movimiento rectilineo bajo fuerzas conservativas

8JO Movimiento bajo fuerzas centrales conservativas

8.11 Discusion de curvas de energia potencial

8.12 Fuerzas no conservativas

8A3 Teorema del virial para una sola particula

8A4 Critica del concepto de energia

202 Trabajo y energia (gt i

8.1 Introduction

En este capitulo continuaremos discutiendo diversos aspectos de la dinamica deuna particula. Por tanto, nos limitaremos a la observation de una sola particula,

reduciendo sus interacciones con el resto del universo a un solo termino quehemos ya llamado fuerza. Al resolver la ecuacion fundamental de la dinamicade una particula (esto es, F = dp/dt)

9 podemos siempre realizar una primeraintegration si conocemos la fuerza en funcion del tiempo, ya que de esta ecuacionobtenemos por integration

dt

o sea

dp=\ FJ PQ J to

P~Po= f Fdt = LJ to

(8.1)

La magnitud / = J*oF dt que aparece a la derecha se llama impulso. Por con-

siguiente la ec. (8.1) nos dice que

el cambio de momentum de una particula es igual al impulso.

Ya que el impulso consiste esencialmente del producto de la fuerza por el tiempo,una fuerza muy fuerte que actue por un tiempo muy corto puede causar un cam-bio de momentum comparable al de una fuerza debil, que actue por un tiempolargo. Por ejemplo, un "bateador" que golpea la pelota, aplica una fuerza grandedurante un corto tiempo, cambiando apreciablemente el momentum de la pelota.

Por su parte, la fuerza de gravedad, para producir el mismo cambio de momentum,tendria que actuar sobre la pelota por un tiempo mucho mayor.

Al reemplazar p por mv, es posible integrar nuevamente y obtener la posicidn

de la particula en funcion del tiempo. Esto es,

mv — mv> = I o v =v + — Lm

Recordando que v = dr/dt, podemos escribir

|dr=[ lvQ + — ) dt o r = r + v t + — f IdU

J ro J to \ m f m J to

lo que da r en terminos de /, y resuelve asi formalmente el problema dinamico.Por cierto, en el ejemplo 7.5 resolvimos un problema de este tipo para el casodel movimiento rectilineo.

Sin embargo, en los problemas importantes que surgen en la fisica, la fuerzasobre una particula no se conoce como funcion del tiempo, sino como funcidn dela posici6n especificada por r o x, y, z; es decir, como F(r) o F(x, y, z). Por tanto,no podemos evaluar la integral de la ec. (8.1) hasta conocer x, y f z en funci6ndel tiempo; vale decir, hasta haber resuelto precisamente el problema que esta-

mos por resolver con la ec. (8.1). Para salir de este aparente circulo vicioso de-

8.2)Trabajo 203

bemos recurrir a otras tecnicas matematicas que nos conducinin a definir dos

nuevos conceptos: trabajo y energia. Estos metodos nos permitir&n resolver pro-

blemas aun en los casos en que desconozcamos la fuerza, pero podamos formular

suposiciones razonables sobre sus propiedades.

EJEMPLO 8.1. Una bola de tnasa 0,1 kg es soltada desde una altura de 2 m y,

despues de chocar con el suelo, rebota hasta 1,8 m de altura. Determinar el im-

pulso debido a la gravedad al caer la bola y el impulso recibido al chocar con el

suelo.

Solucidn; Usamos, en primer lugar, la ec, (5.1 2) para determinar la velocidad de la

bola al llegar al suelo ; esto es, vx— \ 2ghlf siendo Ax

= 2m. As! i>j = 6,26 m s_1

.

Ya que el sentido de la velocidad es hacia abajo, debemos escribir ^ = — uy(6,26

m s-1

). El momentum inicial es cero, y por tanto el cambio total de momentumdurante la calda es mv

x— = — uv(0,626 kg m s- 1

). Este es el impulso debido

a la gravedad. Tambi£n podemos computarlo directamente usando la definici6n

/ = /J F dL En este caso t Q = y / = vjg = 0,639 s. Asimismo F ^ mg =uying = — t*i,(0,98_ N). De modo que el calculo directo vuelve a dar — uv

(0,626 kg m s-1) para el impulso debido a la gravedad durante la caida.

Pero al chocar la bola con el suelo una nueva fuerza actua por un tiempo muybreve. Desconocemos la fuerza, pero podemos obtener el impulso computando el

momentum de la bola al rebotar . Ya que alcanza una altura de h2= 1,8 m, la velo-

cidad con que rebota es v2= V2yh2

= 5.94 m s-1, o, en forma vectorial, va = uy

(5,94 m s-1), puesto que el cuerpo se mueve hacia arriba. Por tanto el cambio de

momentum es

pa— pi = mVi — mVi = iij^i.221 kg m s_1

),

lo que tambten expresa el impulso. Comparando este valor con el obtenido para la

calda, y notando que el choque con el suelo tiene lugar en un intervalo brevisimo,

podemos concluir que la fuerza en el segundo caso es mucho mayor. Si pudidramos

medir dicho intervalo, podriamos obtener la fuerza promedio sobre la bola.

8.2 Trabajo

Consideremos una particula A que se mue-

ve a lo largo de una curva C bajo la acci6n

de una fuerza F (Fig. 8-1). En un tiempo

muy corto dt la particula se mueve de A a

A', siendo el desplazamiento AA* = dr. El

trabajo efectuado por la fuerza F durante tal

desplazamiento se define por el producto

escalar

dW = F-dr. (8.2)

Designando la magnitud del desplazamien-

to dr (esto es, la distancia recorrida) por

ds9 podemos tambien escribir la ec. (8.2)

en la forma

dW =Fds cos e, (8,3)

Fig. 8-1. El trabajo es igual al

desplazamiento multiplicado por el

componente de la fuerza a lo largo

del desplazamiento.

204 Trabajo g energia (8.2

donde 6 es el &ngulo entre la direcci6n de la fuerza F y el desplazamiento dr.

Pero F cos G es la componente Fj de la fuerza a lo largo de la tangente a la tra-

yectoria, de modo que

dW = FT ds.

Verbalmente podemos expresar este resultado diciendo que

(8.4)

el trabajo es igual al produdo del desplazamiento por la componente

de la fuerza a lo largo del desplazamiento.

Notemos que si la fuerza es perpendicular al desplazamiento (6 = 90°), el trabajo

efectuado por la fuerza es cero. Por ejemplo, esto sucede en el caso de la fuerza

centripeta FN en el movimiento circular (Fig. 8-2a), o en el de la fuerza de gra-

vedad mg cuando un cuerpo se mueve sobre un piano horizontal (Fig. 8-2b).

v Desplazamiento

mg

(a) (b)

Fi£. 8-2.

nulo.

Fuerzas que efectuan trabajo Fig, 8-3. El trabajo total es la sumade muchos trabajos infinitesimales.

La ec. (8.2) da el trabajo para un desplazamiento infinitesimal. El trabajo

total sobre la particula cuando esta se mueve de A a B (Fig. 8-3) es la suma de

todos los trabajos infinitesimales efectuados en los sucesivos desplazamientos

infinitesimales. Esto es f

o sea

W = F^dr± + F2 .dr2 + F^drz +

W = f F-dr =fFT ds. (8.5)'

Antes de poder efectuar la integral que aparece en la ec. (8.5), debemos conocer

F en funci6n de x, y, z. De igual manera debemos en general conocer la ecuaci6n

de la trayectoria seguida por la particula. Alternativamente, deberiamos conocer

^» x* J/j y ^ en funcidn del tiempo o de otra variable.

A veces es conveniente representar Ft gr£ficamente. En la Fig. 8-4 hemosrepresentado FT en funci6n de la distancia s. El trabajo dW = Frds efectuado

* Si el vector V es cualquier funcidn de posicidn, una integral de la forma /5 V*dr sobre unatrayectoria de A a B se llama una integral de linea de V. La encontraremos a menudo en este

libro.

8.2)Trabajo 205

lurante un pequeno desplazamiento ds corresponde al Area del rectAngulo alar-

?ado. Podemos asi hallar el trabajo total efectuado en la particula de la Fig. 8-3

para moverla de A a B dividiendo primero la totalidad del Area sombreada en

rect&ngulos alargados y sumando entonces sus Areas* Esto es, el trabajo efec-

tuado estd dado por el Area sombreada total de la Fig, 8-4.

Fig. 8-4. El trabajo total efectuado

yendo de A a B es igual al Area total

debajo de la curva.

JMocibn

I 1

I i

I A ! B7A

Fig. 8-5. El trabajo de una fuerza

que es constante en magnitud y direc-

ci6n/

Cuando la fuerza es constante en magnitud y direcci6n y el cuerpo se mueve

rectilineamente en la direcci6n de la fuerza (Fig. 8-5), se tiene un caso particular

interesante. Entonces FT = F y la ec. (8.5) da

W = f Fds=F f ds = Fs, (8.6)

Fig. 8-6. El trabajo hecho por una Fig. 8-7. Cuando varias fuerzas actiian

fuerza es igual a la suma de los trabajos en una particula, el trabajo de la resul-

hechos por sus componentes rectangu- tante es la suma de los trabajos efectua-

lares. dos por las componentes.

206 Trabajo y energia {*•<>

o sea trabajo = fuerza x distancia, que es la expresion encontrada normalmente

en textos elementales.

Si FX9 Fy y Fz son las componentes rectangulares de F y dx, dy y dz las de dr

(Fig. 8-6), podemos escribir mediante el uso de la ec, (3.2)

W - f (Fx dx + Fu dy + Ft dz). (8,7)= f (Fz dx + F9dy + F£ dz).

Cuando sobre la particula actuan varias fuerzas Fv F^F3, ..., los trabajos

efectuados por cada una de ellas en un desplazamiento AA' = dr (Fig, 8-7) son

gWx=: Fj-dr, dW2

= F8*dr, <*W3 = *Wi\ etc* Adviertase que dr es el mismo

para todas las fuerzas ya que todas actuan sobre la misma particula. El trabajo

total dW hecho sobre la particula se obtiene sumando los trabajos infmitesimales

dWv dW2 , dW& ..., efectuados por cada una de las fuerzas. Asi

dW = dWx + dW2 + dWz + •

.

= Fx-dr + F

%-dr + F^dr + . .

.

= F*dr,

donde F — Fx + Fa + F3 + . . . es la fuerza resultante. Como el tiltimo resultado

de la ec. (8.8) expresa el trabajo efectuado por esta resultante sobre la particula,

se ha probado entonces que el trabajo de la resultante de varias fuerzas aplicadas

a la misma particula es igual a la suma de los trabajos de las fuerzas componentes.

8*3 Potencia

En las aplicaciones pr&cticas, especialmente las de ingenieria y mecanismos, es

importante conocer la rapidez del trabajo efectuado. Se define la potencia ins-

tantdnea por

P-™-. (8.9)

dt

Esto es, se define la potencia como el trabajo efectuado por unidad de tiempo

durante un intervalo dt muy pequeno. Usando las ecs. (8.2) y (5*17), podemos

tambien escribir

P=F.-^ = F.t>, (8.10)

dt

y asi la potencia puede defmirse tambien por el producto de la fuerza por la velo-

cidad. La potencia promedio durante un intervalo t es obtenida dividiendo el tra-

bajo total W, dado por la ec. (8.5), entre el tiempo U lo que da P = WjL

gj) Unidades de trabajo y potencia 207

Desde el punto de vista de la ingenieria, el concepto de potencia es muy im-

portante, pues cuando un ingeniero disena una m£quina, es la rapidez con que

puede efectuar el trabajo lo que importa, m£s bien que la cantidad total de tra-

bajo que la m&quina pueda realizar.

8.4 Unidades de trabajo y potencia

Las ecs. (8.2) y (8.6) nos muestran que el trabajo debe ser expresado en terminos

del producto de la unidad de fuerza por la unidad de distancia. En el sistema

MKSC, el trabajo se expresa en newton metro, unidad que se llama joule y se

abrevia J. Por tanto un joule es el trabajo efectuado por una fuerza de un newton

actuando sobre una particula que se mueve un metro en la direction de dicha

fuerza. Recordando que N = m kg s"2, tenemos J = N m = m2 kg s~2. El nom-

bre joule fue escogido en honor de James Prescott Joule (1816-1869), cientifico

britanico, famoso por sus investigaciones sobre los conceptos de calor y energia.

En el sistema cgs, el trabajo se expresa en dina centlmetro, unidad que se

llama erg. Asi: erg = din cm. Redordando que 1 N = 105 din y 1 m = 10z cm,

tenemos 1 J = (105 din) (102 m) = 107 ergs. En cuanto a la unidad de trabajo

en el sistema ingles y que se llama pie-libra 9 y abrevia pie-lb, referimos al lector

al problema 8.4.

Segiin la defmici6n (8.9), la potencia debe ser expresada en terminos del co-

ciente de la unidad de trabajo entre la unidad de tiempo. En el sistema MKSCla potencia se expresa en joule por segundo, unidad que se llama watt y se abre-

via W. Un watt es la potencia de una mdquina que efectiia trabajo con la rapidez

de un joule por segundo. Recordando que J = m2 kg s-2

, tenemos queW = J s-!== m2 kg s

-8. El nombre watt fue escogido en honor del ingeniero brit&nico James

Watt (1736-1819), quien mejor6 la m£quina de vapor con sus inventos. Hay dos

miiltiplos del watt que se usan con generalidad: el kilowatt (kW) y el megawatt

(MW) y que se definen por: lkW = 103 W y 1 MW = 106 W. Los ingenieros

usan comunmente una unidad de potencia llamada caballo vapor, que se abrevia hp,

y se define como igual a 550 pie lb por segundo, o sea 746 W.Otra unidad para expresar el trabajo es el kilowait-hora, el cual es igual al

trabajo efectuado durante una hora por una mAquina cuya potencia es de un

kilowatt. Esto es: 1 kilowatt-hora = (10s W) (3,6 x 108 s) = 3,6 x 10e J.

EJEMPLO 8.2. Un autom6vil cuya masa es de 1200 kg sube por una colina de

5° de inclinaci6n con velocidad constante de 36 km por hora, Galcular el trabajo

efectuado por el motor en 5 minutos y la potencia desarrollada por el.

Solucidn: El movimiento del automdvil a lo largo de la subida se debe a la fuerza F

desarrollada por el motor y a la fuerza W sen a, debida al peso del autom6vil (Fig. 8-8;

Debetnos por tanto escribir, usando W = mg,

F— mg sen a = ma.

Ya que el movimiento es uniforme, a = 0, y -F = mg sen a = 1.023 x 10 3 N, La

velocidad del autom<5vil es v = 36 km hr-1 = 36(10 3 m) (3,6 x 103 s)-1 = 10 m s^1,

208 Trabajo y energta (8.4

y en 5 minutos (o 300 s) recorre la distancia s = (10 ms^1) (300 s) = 3 x 10 8 m,

Luego, si usamos la ec. (8.6), el trabajo efectuado por el motor es

W = Fs = (1,023 x 10 a N) (3 x 10a m) = 3,069 x 10" J.

La potencia promedio puede computarse de dos maneras diferentes. Primeropodemos afirmar que

W 3,069 x 10 8 J = 1,023 x 10* W.t 3 x 10* s

Alternativamente, podemos decir que

P = Fv = (1,023 x 10 3 N) (10 m s- 1) = 1,023 x 104 W.

Q y/////tf//////////^^^^

W cos a

FIgura 8-3

x- 1,50 cm

B-*-

Fig. 8-9, Trabajo efectuado al exten-

der un resorte.

EJEMPLO S.3. Calcular el trabajo necesario para extender el resorte de la Fig. 8-9

en una distancia de 2 cm sin aceleraci6n. Se sabe que el colgar del resolte un cuerpode 4 kg de masa, la longitud del resorte aumenta en 1,50 cm.

Solucidn: Cuando ningun cuerpo cuelga del resorte^ la longitud de este se extiendedesde O hasta el nivel horizontal A, Se ha veriflcado experimentalmente que paraextender un resorte una pequena distancia x sin aceleracidn, se necesita una fuerzaproporcional a la distancia : F = kx. Si el resorte es extendido sin aceleracidn,

61 reacciona con una fuerza igual y opuesta. Este es el principio del resorte o dina-ndmetro, comunmente usado para medir fuerzas. Para determinar la constante deproporcionalidad k, aprovechamos el hecho de que cuando el cuerpo de masa mejerce la fuerza de su peso sobre el resorte, este se estira la distancia x = 1,50 cm == 1,50 x 10-* m. La fuerza F es, en este caso, el peso mg = 39,2 N. Luego, ha-ciendo mg = fcr, obtenemos

k = 39,2 N1,50 x 10-* m 2,61 x 10 3 N m-1

.

Para extender el resorte una distancia x, sin aceleraci6n, aplicamos ahora unafuerza F — kx. Lo podemos hacer halando lentamente una cuerda atada al resorte.

La fuerza crece constantemente al aumentar x. Para hallar el trabajo efectuado,debemos usar la ec. (8.5), la que da

W =j F dx — \ kxdx ikx'<

«£) Energta cinitica 209

Este es el trabajo efectuado para cualquier desplazamiento x. Reemplazando los

correspondientes valores numdricos de x y k fobtenemos el trabajo necesario para

extender el resorte en 2 cm, que es W = 5,22 x 10-1 J.

EJEMPLO 8.4, Una fuerza F = 6* N actiia sobre una particula de 2 kg de masa.

Si la particula parte del reposo, hallar el trabajo efectuado por la fuerza durante

los primeros 2 s.

Solucitn: En el ejemplo anterior fue facil calcular el trabajo porque conociamos

la fuerza como funci6n de la posici6n (F = kx). Pero en este ejemplo conocemos la

fuerza solamente como funcidn del tiempo (F = Gt). Por ello no podemos calcular

directamente el trabajo usando W = fFdx. En cambio debemos hallar el despla-

zamiento en tdrminos del tiempo, usando la ecuaci6n del movimiento, F = ma,

Esto es, a = F/m = 3f m S"2. Usando la ec. (5.6), con o = 0, podemos escribir,

ya que la particula parte del reposo

v = f (30 dt = l,5*a m s-1.

Jo

Si usamos ahora la ec. (5.3) con x = 0, y si tomamos nuestro origen de coorde-

nadas en el punto initial, obtenemos

x = f (l,5P)dt = 0,5*3 m.J

o

Teniendo ahora x en funci6n del tiempo, podemos proseguir de dos maneras dife-

rentes

(a) Buscando t 9encontramos t = (x/0,5) 1 '3 = l,260x^a

, y la fuerza en t^rminos

de la posici6n es entonces F = 6t = l^SQx1 !* N. Utilizando la ec. (8.5), tenemos

entonces

W = T (7,560a:1 '3) dx = 5,670x4 '3

-

Jo

Cuando t = 2, tenemos x = 0,5(2)3 = 4 m, y por tanto W = 36,0 J.

(b) Tambten podemos proceder de otra manera : De x = 0,5f3,deducimos ax —

= l,5/ a dt Luego, usando para la fuerza su expresi<Jn en tSrminos del tiempo,

F — 6f, escribimos

W = f (6/) (1,51* dt) = 2,25/4 J,J

y si hacemos t = 2 s, obtendremos W = 36,0 J, en concordancia con el resultado

anterior.

Este segundo mStodo es el que debemos usar cuando conozcamos la fuerza en

funci6n del tiempo, ya que aiin despufes de resolver la ecuacirtn del movimiento

puede ser dificil expresar, en general, la fuerza como funcidn de posicidn.

8.5 Energta cin&tica

De la ec. (7.27) se deduce que la fuerza tangencial es FT = ™ dvjdU Por tanto

dv , , ds ,

Frds = m— d$ = m dv —- = mv dvf

dt dt

w

210 Trabajo g energta (#,5

ya que v = dsjdU segiin la ec. (5,23). Por consiguiente la integral que apareceen la ec* (8.5) representando el trabajo total es

= FT ds = mvdv =\mv\— %mv\, (8.11)

donde vB es la velocidad de la particula en B y vA la velocidad de la particula

en A. EI resultado (8.11) indica que cualquiera que sea la forma funcional dela fuerza F y la trayectoria seguida por la particula, el valor del trabajo W efec-

tuado por la fuerza es siempre igual a la diferencia entre las magnitudes de \nuPevaluadas al final y al comienzo de la trayectoria. Esta importante magnitud,llamada energta cinetica, se designa por Ek . Por consiguiente

7)2

Ek = imy2 o Ek = -£_, (8.12)2m

pues p =mv. La ec. (8.11) puede expresarse entonces en la forma

W = EktB~EKA , (8.13)

que en palabras puede traducirse asi:

el trabajo efectuado sobre una particula es igual al cambio producido

en su energta cinetica,

y que es un resultado de validez general, cualquiera que sea la naturaleza dela fuerza.

Podemos ver que, en virtud de la ec. (8.13), la energia cinetica se mide obvia-

mente con las mismas unidades que el trabajo; vale decir, en joules en el sis-

tema MKSC y en ergs en el sistema cgs. Esto tambien puede verificarse notandoen la ec. (8.12) que Ek en el sistema MKSC puede expresarse en m2 kg s~2

, quees la expresi6n dimensional para los joules en terminos de las unidades funda-mentales.

Mencionemos de paso la existencia de otra unidad muy usada por los fisicos

para describir procesos quimicos y nucleares: el electron volt, que se abrevia eV,

y cuya definition precisa ser£ dada en la section 14.9 (Vol. II). Su equivalente

es: eV = 1,60210 x 10"19 J. Un miiltiplo muy util del electron volt es el MeV,igual a 106 eV o 1,60210 x 10"13 J.

El resultado (8.13), que relaciona el cambio de la energia cinetica Ek de unaparticula con el trabajo W efectuado por la fuerza, se parece mucho a la ec. (8.1),

que relaciona el cambio en el momentum p de una particula con el impulso /de la fuerza. La diferencia consiste en que el impulso, siendo una integral detiempo, es util solamente si conocemos la fuerza en funcion del tiempo. Pero el

trabajo, siendo una integral de espacio, puede computarse facilmente si cono-cemos la fuerza en funci6n de la distancia. Generalmente se conoce la fuerza enfunci6n de la position, y es por esta razon que los conceptos de trabajo y energia

juegan un papel tan importante en la fisica.

8.5)Energia cinetica 211

Recordemos al estudiante que los conceptos de trabajo y energia, tal como se

usan en fisica, tienen significados muy precisos y no deben ser confundidos con

los mismas terminos tal como son usados corrientemente en la vida diaria.

i

i

i

1

ml Posici6n deequilibrio

F =W,

—a

ka

H

EJEMPLO 8.5. Usando los datos del

ejemplo 8.4, computar directamente la

energia cinetica que gana la particula

en un tiempo L (a)

Solucidn: Recordando la solucidn del

ejemplo 8.4, la velocidad al cabo del

tiempo t es: v = 1,5** m s- 1, y por tanto

la energia cinetica de la particula es :

Ek = ±/ni>a = i(2 kg) (l,5* a m s-1)2

= 2,25*4 J. (b)

La energia cinetica inicial de la par-

ticula, cuando t = 0, es cero, y por

tanto el aumento de energia cinetica

en el intervalo t es Ex— -E*, = 2,25*4 J,

que es precisamente igual al trabajo Wefectuado sobre la particula, de acuer-

(c )

do al segundo resultado del ejemplo 8.4.

EJEMPLO 8.6. El resorte del ejemplo

8.3 est& situado horizontalmente, comolo muestra la Fig. 8-10. Se mueve la

masa mala derecha una distancia a yentonces se la suelta. Calcular la ener- (<*)

gia cinetica cuando se encuentra a unadistancia x de la posici6n de equilibrio.

Solucidn: De acuerdo a nuestra expli-

caci6n en el ejemplo 8.3, el resorte

ejerceri una fuerza F = — kx sobre la Figura 8-10

masa m cuando est£ a la distancia x

de la posicWn de equilibrio. (El signo

menos indica que la fuerza del resorte apunta a la izquierda cuando el cuerpo se

encuentra desplazado a la derecha). En la posicitin de equilibrio, x = 0, y por tanto

F = 0. En la posicidn (b), cuando la masa esta por ser soltada, x = a, F — — ka

y la velocidad es cero (v = 0), siendo por tanto nulo el valor inicial de la energia

cinetica. Sea v la velocidad en la posici6n intermedia x. Luego, utilizando la ec. (8.11),

encontramos que

71V

F = -kxx

m

O

— kx

imv* = j

X

Fdx = J*(— kx)dx = ±*(a*— x2)

o sea

v = y (k/m) (a 2— x2),

lo que nos da la velocidad de la particula en terminos de la posici6n. N6tese que

la velocidad depende del cuadrado de x. ^Cu&l es el signiflcado fisico de esta de-

pendencia? ^Con qu6 velocidad llega la particula a la posici6n x = 0? Debemos

anteponer un signo ± a la raiz cuadrada en la expresidn de p? ^Hay hmitaci6n

alguna en los valores de x? ^Puede el extudiante llegar a una representacirtn in-

tuitiva del movimiento resultante?

212 Trabajo y energia (8.6

8.6 Trabajo de una fuerza de magnitud y direcddn constantes

Considerese una partlcula de masa m que se mueve bajo la acci6n de una fuerza Fconstante en magnitud y direcci6n (Fig. 8-11). Puede haber otras fuerzas que

tambien actiien sobre la particula y que sean o no constantes, pero no deseamos

considerarlas por ahora. El trabajo de F cuando la particula se mueve de A a Ba lo largo de la trayectoria (1) es

W = \ F*dr = F*\ dr = F-(rB— rAy (8.14)

De la ec. (8.14) puede derivarse la importante conclusion de que el trabajo

en este caso es independiente de la trayectoria que conecte aAyfl, Por ejemplo,

si la particula en vez de moverse a lo largo del camino (1), se mueve a lo largo

del camino (2), que tambien va de A a B, el trabajo serd el mismo, ya que la

diferencia vectorial rB— fa = AB es siempre la misma. N6tese que la ec. (8.14)

puede tambien escribirse en la forma

W = F-rB —F-rA> (8.15)

y que W es por tanto igual a la diferencia de los valores de F*r en los extremos

del camino.

B(xB y.B)

Fig. 8-11. Trabajo de una fuerza de Fig. 8-12. Trabajo de la gravedad.

magnitud y direcci6n constantes.

El trabajo de la fuerza de gravedad constituye una importante aplicacion de

la ec. (8.14). En este caso F = mg = — uymg y rB— ta = ux(xb— £a) +

+ uy(yB — JM). Por consiguiente, sustituyendo en la ec, (8.14) y utilizando la ec.

(3.19) para el producto escalar, tenemos

W = — mg(jjB— yA) = mgyA — mgy B . (8.16)

Obviamente, no hay referenda a la trayectoria en esta ec. (8.16), y el trabajo

depende solamente de la diferencia j/b — j/a entre las alturas de los extremos.

8.7)Energla potencial zi&

EJEMPLO 8.7. Una masa de 2 kg colgada de un hilo de 1 m de longitud, es des-

plazada en 30° de la vertical y entonces soltada. Hallar su velocidad cuando la

cuerda forma un angulo de 10° con la vertical tanto en el mismo Iado como en el

opuesto.

Solucidn: Una masa colgada de un hilo constituye un pindulo. Cuando el hilo es

desplazado hasta hacer un Angulo 6 con la vertical (Fig. 8-13) y soltado luego, la

velocidad inicial de la masa es cero. Bajo la acci<Jn de su peso mg y la tracci6n Fn

del hilo, la masa describe un arco de circulo para llegar al punto A. Al pasarlo,

sigue movtendose a la izquierda hasta alcanzar una posici6n sim6trica a la inicial.

A partir de aqui, el movimiento se repite de lado a lado, resultando las bien cono-

cidas oscilaciones de un pdndulo. (El movimiento oscilatorio serd discutido deta-

lladamente en el capitulo 12).

Para obtener v usando el principio de la energia, ec. (8.11) deberiamos compu-

tar primero el trabajo de las fuerzas que actuan sobre la particula. La fuerza cen-

tripeta FN no efectua ningun trabajo, porque en todo momento es perpendicular

a la velocidad. El trabajo de la fuerza de gravedad mg puede ser computado con

ayuda de la ec. (8.16); esto es, W = mgy — mgy = mg(y — y). Midiendo la

altura a partir de un nivel horizontal arbitrario, obtenemos y Q ~y = B'C =_ oC— OB'. Pero OB' = I cos 8 y OC= I cos 8. Luego y — y = / (cos 6— cos 6 ) W///////////^^^^^^

W = mg(y — y) = mgl (cos 8 — cos 8 ).

La energia cinetica en la posici6n C es Ek— \tnv\ y en B es cero. Por tanto, usando

la ec. (8.13), obtenemos

o sea

imv 2 = mgl (cos — cos 8 )

v = V 2gl (cos 8 — cos G ).

Notamos que el resultado es independiente

de la masa. Introduciendo valores num£-ricos, obtenemos

v K 2(9,8 m s- 2) (1 m) (cos 10°— cos 30°)

= 1,526 ms-1.

ObsGrvese que en la posici6n simStri-

ca D, para la cual el angulo es de— 10°

con la vertical, obtenemos el mismo re-

sultado ya que cos (— 8) = cos 8.

Piano de referenda

arbitrario

Fig. 8-13. Relaciones de energia en

el movimiento de un pindulo.

8.7 Energia potencial

La situation ilustrada en la section previa no es sino un ejemplo de una grande

e importante clase de fuerzas, Uamadas conservativas, por las razones que serin

explicadas en las secciones finales de este capitulo.

Una fuerza es conservativa si su dependencia del vector position r o de las

coordenadas x9 y, z de la particula es tal que el trabajo W puede ser expresado

como la diferencia entre los valores de una cantidad Ep(x, y, z) evaluada en los

puntos inicial y final. La cantidad Ep(x, y, z) se llama energia potencial, y es

214 Trabajo y energta (#-7

una funci6n de las coordenadas de las particulas. Luego, si F es una fuerza con-

servativa,

W=\~ F-dr = Ev a — En B . (8.17)= f F'dr=EPtA— EP9

Observese que escribimos EPtA— EPfB y no EPtB— ep,a> esto es ' el trabajo efec-

tuado es igual a Ep en el punto inicial, menos Ep en el final. En otras palabras,

la energia potential es una funcion de las coordenadas tal que la

diferencia entre sus valores en las posiciones inicial y final es igual

al trabajo efectuado sobre la particula para moverla de su position

initial a la final.

Estrictamente hablando, la energia potencial Ep debe depender tanto de las

coordenadas de la particula considerada, como de las coordenadas de todas

las otras particulas del universo que interactuan con ella. Sin embargo, como

mencionamos en el capitulo 7 cuando tratabamos de la dinamica de una par-

ticula, suponemos el resto del universo esencialmente fijo, y asi solamente las

coordenadas de la particula considerada aparecen en Ep.

El estudiante debe notar, comparando la ec. (8.17) con la expresi6n de la

energia cinetica (8.12), que la ec. (8.12) es valida en general no importando de

que fuerza F se trate. Siempre se cumple que Ek = %mv*, mientras que la forma

de la funcion Ep(x, y, z) depende de la naturaleza de la fuerza F, y no todas las

fuerzas pueden satisfacer la condici6n establecida por la ec, (8-17). Solo aquellas

que la satisfagan se llaman conservativas. Por ejemplo, comparando las ecs. (8.17)

y (8.16), notamos que la fuerza de gravedad es conservativa, y que la energia

potencial debida a la gravedad es

Ep =mgy. (8.18)

Andlogamente, de la ec. (8.15), deducimos que la energia potencial correspon-

diente a una fuerza constante es

Ep= — F-r. (8.19)

En la definici6n de la energia potencial siempre interviene una constante arbi-

traria, pues, por ejemplo, si escribimos mgy + C en vez de la ec. (8.18), la ec. (8.16)

permanece la misma, ya que la constante C, apareciendo en los dos terminos

que se restan, se cancela. Gracias a esta arbitrariedad, podemos definir el nivel

de referenda o cero de la energia potencial, donde nos convenga mejor, Por

ejemplo, para los cuerpos en caida, la superficie terrestre es el nivel de referenda

m&s conveniente, y por ello la energia potencial debida a la gravedad es tomada

como nula en la superficie terrestre. Para un satelite natural o artificial, se define

la energia potencial de modo que sea cero a distancia infinita.

El trabajo efectuado por las fuerzas conservativas es independiente

de la trayectoria.

8.7)Energla potential zm

Podemos ver que es asi a partir de la defmicidn, ec. (8.17), ya que, cualquiera

que sea la trayectoria que une a los puntos A y B, la diferencia EPjA — EP>B es

la misma porque depende solamente de las coordenadas de A y B. En particular,

si la trayectoria es cerrada (Fig. 8-14), de mode- que el punto final coincide con el

inicial (esto es, A y B son el mismo punto), entonces EP<A = Ep,b y el trabajo

es cero (W = 0). Lo que significa que en parte de la trayectoria el trabajo es

positivo y en otra negativo pero igual en magnitud, dando un resultado neto

nulo. Cuando la trayectoria es cerrada, la integral en la ec. (8.17) se escribe j>.

El circulo en el signo integral indica que la trayectoria es cerrada. Por consi-

guiente, para las fuerzas conservativas,

WQ =j>F*dr =0, (8.20)'

Reciprocamente, se puede probar que la condici6n expresada por la ec. (8.20)

puede adoptarse como la defmici6n de una fuerza conservativa. En otras pala-

bras, si una fuerza F satisface la ec. (8.20) para cualquier camino cerrado, arbi-

trariamente escogido, entonces, puede probarse que la ec. (8.17) es correcta.

Para satisfacer la ec. (8.17) es necesario que

F-dr = — dEp>(8,21)

drf:

dE i

porque entonces

W = f FJ A J A

= — (EPfB— EPtA) = EP,A— EPtB ,

de acuerdo con la ec, (8.17). Notese que el signo negativo en la ec. (8,21) es nece-

sario para obtener EPtA— EP>B en vez de EPtB— EPtA .

Fig. 8-14, El trabajo de una fuerza con-

servativa a lo largo de una trayectoria ce-

rrada es nulo.

\! >

^\ _ -

^7a d '

O

Figura 8-15

* Para cualquier vector V que sea funci6n de posici6n, una integral de la forma j V-dr a lo

largo de una trayectoria cerrada, se llama la circulacidn de V, Aparecera varias veces en este

Hhrn.

tfitf Trabajo y energia ,«?

Puesto que F-dr = F ds cos 6, donde es el Angulo entre la fuerza y el des-plazamiento, podemos escribir en lugar de la ec. (8,21)

Fees 8=-^.(g22)

Ahora, como se exphc6 en relaci6n con la Fig. 8-1, F cos esla componentede la fuerza a lo largo de la direcci6n del desplazamiento ds; por tanto, si cono-cemos Ep{x, y, z), podemos obtener la componente de F en cualquier direcci6ncomputando la cantidad - dEJds, que es la derivada de Ep en aqueUadirecci6n, con s.gno negativo. Esto es lo que *e llama la derivada directionalde £p. Cuando un vector es tal que su componente en una direcci6n es igual ala denvada direccional de una funcion en aquella direcci6n, el vector se llamael gradiente de la funci6n. Podemos asi decir que F es el negativo del gradientede Ep, y escribir la ec. (8.22) en la forma general:

F = — grad£p ,

donde "grad" significa gradiente. Cuando estamos interesados en las componentesrectangulares de J? a lo largo de los ejes X, Y, Z, la expresi6n F cos 6 en la ec. (8.22)ser£ Fx, F9 y Fz y el desplazamiento ds sera dx, dy y dz, respectivamente, demodo que

p _ _ 8Ep p 8EP 8EP

6

N6tese que al escribir la ec. (8.24) usamos el simbolo de la derivada partial porpnmera vez en este libro. Esta terminologfa es necesaria porque la energia po-tencial Ep(x, y, z) es, en general, una funci6n de las tres variables, x, y, z Peroal desplazarse una particula una distancia dx a lo largo del eje X, por ejemplolas coordenadas y, z permanecen invariable*. Por ello, en vez de escribir dEJdxdebemos usar la notaci6n 8Ep/dx que los matematicos adoptan para esos casos!

Si el movimiento es piano y se usan las coordenadas r, 6 (Fig. 8-15) el despla-zamiento a lo largo del radio vector r es dr y el desplazamiento perpendicularal radio vector es r de. Luego las componentes radial y transversal de la fuerza son

Fr = - dE>dr

Fe =-1^Lr 06 (8.25)

N6tese que usamos nuevamente la notaci6n de derivaci6n partial.Un caso importante es aquel en que la energia potential Ep depende de la

distancia r, pero no del angulo 6; esto es, en vez de Ep(r, e) tenemos Ep(r). En-

gj\ iLnergia potenciai zri

tonces dEpjdd = y, de acuerdo a la ec, (8v25), FQ = 0. La fuerza entonces no

tiene componente transversal, sino s61o radial, de manera que la fuerza es cen-

tral: su linea de action pasa siempre por el centre Reciprocamente, si la fuerza

es central, existe solo componente radial, y F$ = 0, dando 3Epjdb — 0, lo que

implica que Ep es independiente de 0. Obtenemos el resultado de que una fuerza

central depende solajnente de la distancia de la particula al centro, Esta impor-

tante conclusion puede ser enunciada asi:

la energia potenciai asociada con una fuerza central depende sola-

mente de la distancia de la particula al centro de fuerza, y recipro-

camente.

Cuando las fuerzas no son centrales, existe un torque alrededor del punto

dado por t = IV, ya que la fuerza radial no contribuye al torque. Usando la

segunda relaci6n en la ec. (8,25), tenemos que el torque alrededor de es

8ET = P

ae(8.26)

Esta es una expresion general que da el torque en una direcci6n perpendicular

al piano en que se mide 6. Por consiguiente, ya que un torque produce un cambio

correspondiente en el momentum angular [ver la ec. (7.38)], concluimos que

siempre que la energia potenciai depende del angulo% aciua un torque

sobre el sistema, causando un cambio en el momentum angular en

direccion perpendicular al piano del dngulo.

Nota sobre el concepto de gradients. En fisica encontraremos a menudo expre-

siones similares a la ec. (8.24) ;por consiguiente es importante lograr un claro en-

tendimiento del concepto de gradients Considererrios una functfn V(x9 yf z) que

depende de las tres coordenadas de un punto. Dibujamos las superficies

V(x 9y,z) = d y V(x

f y 9z) = CB

(Fig. 8-16). Al movernos del punto A en Cx a cualquier punto B en C2 , la funci6n

V experimenta siempre un cambio C2— Cx . Si la diferencia entre Ct y C2 es in-

finitesimal, podemos escribir dV = Ca— C,. El cambio en V por unidad de lon-

gitud, o "derivada directional" de V es

dV/ds = (Ca— CJfds.

Consideremos el caso en que A y B esten en una normal N comun a las dos su-

perficies. La derivada directional a lo largo de la normal AN es dV/dn. Pero en

la Fig. 8-16 vemos que dn = ds cos 0. Luego

dV dV dn dV acos 0,ds dn ds dn

lo que relaciona la derivada directional a lo largo de la normal con la derivada

direccional a lo largo de cualquier otra direcci6n. Puesto que cos 9 toma su valor

maximo para 6 = 0, concluimos que dV/dn da la maxima derivada direccional

218 Trabajo y energia (8.7

de V. Introduciendo el vector unitario un, perpendicular a la superficie en A,

definimos el gradiente de V por

grad V = undVdn

y por tanto el gradiente es un vector perpendicular a la superficie V(x, y, z) = const,

y es igual a la maxima derivada direccional de V(x y, z). Podemos entonces escribir

= grad V|cos 6,

ds

lo que indica que la raz6n de cambio en

la direcci6n AD, o sea la derivada direc-

cional de V(x, y sz), es igual a la com-

ponente del vector grad V en aquella di-

recci6n. Esta es la relacidn usada al pasar

de la ec. (8.22) a las ecs. (8.23) y (8.24).

Para abreviar la notaci6n, se ha introdu-

cido un operador diferencial, identificado

por el simbolo V 16ase "nabla". Se expresa

asi

:

V = Ux -— 1" UV ~7T~ + U*

8x sy 8z

Fig, 8-16. El gradiente de V(x, y, z)

es una funcidn vectorial perpendicular

en cada punto a la superficie V = const.

En terminos de este operador, el gra-

diente puede escribirse

grad V = VV.

Para mayor informacitfn sobre el gradien-

te de una funci6n, el estudiante puede

ver Calculus and Analytic Geometry (ter-

cera edici6n), por G. B. Thomas. Reading,

Mass, : Addison-Wesley, 1962.

EJEMPLO 8.8. Computar la energia potencial asociada con las siguientes fuerzas

centrales : (a) F = Kr, (b) F = K/r\ En ambos casos, si K es negativa la fuerza

es atractiva y si K es positiva la fuerza es repulsiva.

Solucidn: Usando la ec. (8.25), para el caso (a), tenemos F = — 8Ep/8r = kr o

dEp = — kr dr. Integrando, obtenemos

E* = j— krdr = — ikr* + C.

La constante de integraci6n C se obtiene asignando un valor de EP a cierta po-

sici6n. En este caso se acostumbra hacer EP = en r = 0, de modo que C =y EP = — ikr\ Gonsiderando que r a = x 2 + y

2 + z\ podemos tambien escribir

EP = — $k(x2 + y2 + z a

), Usando la ec. (8.23), hallamos que las componentes

rectangulares de la fuerza son

Fx = -^-* *-^-* Fz = dEP

dz= kz,

resultado que era de esperar, ya que la fuerza central F = kr en forma vectorial

es F = kr = k (u*x + uyy + uxz).

Para el caso (b) tenemos F = — dEP/8r = k/r % o dEp = — k(dr/rz). Integrando

tenemos

*-/-*£-£+*

8.8) Conservation de la energta de una parttcula 219

Para fuerzas que contienen r en el denominador, es costumbre determinar Chaciendo Ep = en r — oo, de modo que C = y EP = k/r. £Cu41es son las com-ponentes rectangulares de la fuerza en este caso?

8.8 Conservation de la energla de una parttcula

Cuando la fuerza que actiia en una particula es conservativa, se puede combinar

la ec. (8.17) con la ecuaci6n general (8.13), lo que nos da£jc,s— E&A = EP9a— E,pbo sea

(Ek + EP)B = (Ek + EP)A. (8.27)

La cantidad Ek + Ep es Uamada la energla total de la particula y designada

por E\ esto es, la energia total de una particula es igual a la suma de su energia

cinetica y su energia potential, o sea

E = Ek + Ep = ±mv* + Ep(x, y, z).

La ec, (8.27) indica que

(8.28)

cuando las fuerzas son conservativas la energta total E de la particula

permanece constante9

ya que los estados designados por A y B son arbitrarios. Asi, es posible escribir

para cualquier position de la particula,

E = Ek + Ep= const (8.29)

En otras palabras, la energia de la particula se conserva, Esta es la razon por

la que decimos que cuando hay una energia potential, las fuerzas son conserva-

tivas. Por ejemplo, en el caso de un cuerpo que cae hemos visto (ec. 8.18) que

Ep = mgy, y la conservation de la energia nos da

E = \mifi + mgy — const. (8,30)

FIgura 8-17

220 Trabajo y energia (8.9

Si inicialmente la particula estd a la altura yQ y su velocidad es cero, la energia

total es mgyot y tenemos \mv* + mgy = mgy , 6^= 2g(iy — y) = 2gh, donde

h = J/o— y es la altura que ha caido. Este resultado corresponde a la bien co-

nocida f6rmula de la velocidad adquirida en caida libre desde una altura h.

Debemos notar, sin embargo, que la ec. (8.30) no est* restringida al movimiento

vertical; es igualmente vilida para el movimiento de un proyectil moviendose

en £ngulo con la vertical.

Debe notarse que, para una energia total dada, la magnitud de la velocidad

(cualquiera que sea la direcci6n del movimiento) en un punto dado es fijada por

la ec. (8.29). Esto resulta particularmente claro en el caso del movimiento bajo la

acci6n de la gravedad, como se muestra en la ec, (8.30).

EJEMPLO 8*9. Determinar la altura minima desde la cual una bola debiera em-

pezar a caer de manera que pueda completar el movimiento circular mostrado en

Fig. 8-17. Suponer que la bola resbala sin rodar y sin ninguna friccitin.

Solucidn: Supongamos que la bola es soltada del punto A a una altura h sobre la

base de la circunferencia en la Fig. 8-17. La bola gana velocidad al moverse hacia

abajo y empieza a perderla cuando sube por la circunferencia. En cualquier punto

del riel, las fuerzas actuantes sobre la particula son su peso mg y la fuerza F de-

bida al riel. (La fuerza F apunta hacia el centro de la circunferencia, ya que el riel

"empuja" pero no "tira"). En el punto m£s alto de la circunferencia, tanto mgcomo F apuntan hacia el centro 0, y de acuerdo a la ec, (7.28) tenemos

_ mv*F + mg = ——

,

donde R es el radio de la circunferencia. Ya que F no puede ser negativa, la mi-

nima velocidad de la bola en B 9 si es que describe la circunferencia, debe corres-

ponder a F = o sea mg = mv*/R 9 lo que da

»» = gR.

Si la velocidad es menor que V gR* el peso hacia abajo es mayor que la fuerza

centripeta requerida, y la bola se separara del riel antes de llegar al punto B, y

describira una parabola hasta caer de vuelta en aqu61.

Para obtener la altura correspondiente a h, notamos que en el punto A la ener-

gia total es EA = (E* + EP)A = mgh, ya que v = 0. En B, donde y = 2R y d* = gR

5Eb = (E* + Ep)b = im(9R) + mg(2R) = — mgR.

5Asi, igualando los valores de Ea y Eb 9

obtenemos h = — R, que es la minima alturs

del punto de partida de la bola si ella ha de completar la circunferencia. Este re

sultado es correcto siempre y cuando despreciemos las fuerzas de friccidn. Si Is

bola rueda, debe usarse los m6todos que se desarrollar&n en el capitulo 10.

8.9 Movimiento rectillneo bajo fuerzas conservatives

En el caso general del movimiento rectilineo la energia potencial depende sola-

mente de una coordenada, digamos x, y la ec. (8.28) para la conservaci6n de h

energia es

E = \mv* + Ep(x).(8-31

gg\ Movimiento rectillneo bajo fuerzas conservativas 221

donde E, la energia total, es una constants Esta ecuaci6n nos mostrard la utili-

dad practica del concepto de energia. Para el movimiento rectillneo v — dxjdt,

y la ec. (8.31) da

E=±m(-^J + Ep(x). (8.32)

Resolviendo para dxjdt, obtenemos

^- = {-[E-Ep(x)]\'\ (8.33)dt [m

J

En las condiciones actuales podemos escribir esta ecuaci6n en forma tal que las

variables x y / esten separadas; esto es, que la variable x aparezca solamente

en un lado de la ecuaci6n y la variable t aparezca en el otro lado. Para nuestra

ecuacion, logramos esto escribiendo

dx- = dfc

{(2lm)[E- Ep(x)}}^

Integrando (y haciendo t = por conveniencia), tenemos

(

X ^ _ = f dt = t (8.34)

J xo {(2lm)[E-Ep(x)]yt* J

Esta ecuacion nos permite obtener una relation entre x y /, y resuelve asi el pro-

blema del movimiento rectilineo de la particula. Por consiguiente, siempre que

podamos encontrar la funcion de energia potential [y esto es relativamente fdcil

si conocemos la fuerza como funcion de x9 ya que simplemente utilizamos la

ec. (8.23) para obtener Ep{x% la conservaci6n de la energia expresada por

la ec, (8,34) nos da directamente la solution del problema del movimiento rectilineo.

EJEMPLO 8.10. Usar la ec. (8.34) para resolver el problema del movimiento rec-

tilineo bajo una fuerza constante,

Solucidn; En este caso F es constante. Si tomamos el eje X a lo largo de la direc-

ci6n de la fuerza, la primera de las ecs. (8.23) nos da F = — dEp/dx o dEv = —F dx.

Integrando, obtenemos Ep = — Fx + C, y estableciendo EP = para x = 0,

obtenemos C = 0. En esta forma

Ep = — Fx

es la expresi6n de la energia potential asociada con una fuerza constante. Esto

coincide con la ec. (8.29) si hacemos F = uxF ; eso es, la fuerza F esta en la direc-

ci6n X Usando la ec. (8.34), con x = por simplicidad, tenemos ahora

— rdx .

(2/m) 1 ' 2 \ (E + Fx) 1 / 2

o sea

2(E + FxY (*— ™r E 1 ' 1 = HH t

ZZZ Trabajo y energia (8.16

Despejando x, obtenemos

2 \mjI IE yi*

\ m+ (~J t

Pero F/m = a, y ya que E = £mt> 2 + Fx es la energia total, tenetnos que parat = 0, cuando x = 0, la energia £ es totalmente cin^tica e igual a %mv\. Asi 2E/m == »<>, y obtenemos finalmente para x, x = £ort 2 + u f, que es la misma expresitfn ob-tenida anteriormente en la ec. (5.11), con x = y t = 0. Este problema es sufi-

cientemente simple para ser resuelto facilmente con los metodos del capltulo 5.

Lo hemos presentado aqui principalmente como una ilustraci6n de las t6cnicaspara resolver la ecuacidn del movimiento usando el principio de la energia.

8.10 Movimiento bajo fuerzas centrales conservativas

En el caso de una fuerza central, cuando Ep depende solamente de la distancia r,

la ec. (8.28) es

E = \mv* + Ep(r) t (8.35)

a partir de la cual es posible determinar la velocidad a cualquier distancia. Enmuchos casos la funcion Ep(f) disminuye en valor absoluto cuando r aumenta.

Entonces a distancias muy grandes desde el centro, Ep(r) es despreciable y la

magnitud de la velocidad es con&tante e independiente de la direction del mo-vimiento. Este es el principio que aplicamos en el ejemplo 7.16 cuando, en

la Fig, 7-28, indicamos que la velocidad final de la particula que se aleja, en B,

es la misma que la velocidad inicial en A.

Notese que, cuando tratamos del movimiento bajo la influencia de fuerzas

centrales, hay dos teoremas de conservacion. Uno es el de conservacion del mo-mentum angular, discutido en la section 7,13, y otro es el de conservacion de

la energia, expresado por la ec. (8.35). Cuando usamos coordenadas polares r y 0,

recordando que las componentes de la velocidtod son vr = drjdt y vQ = rdQjdt 9

podemos escribir, de acuerdo con la ec. (5.63),

2

*-*+*-(!) +>&)Pero por el principio de conservacion del momentum angular, usando la ec. (7.35),

L = mr2 d0/df, tenemos que

r2

\~W) ~~ (mr)2 '

donde L es el momentum angular constante. Por consiguiente

L2

'-(!)"(mr)'*

g 20) Movimiento bajo fuerzas centrales conservativas 223

Introduciendo este resultado en la ec. (8-35), tenemos

2 ]j

*-*"(£)+ IS? + *•«(8.36)

Esta expresion se parece mucho a la ec. (8.32) para el movimiento rectilineo,

con velocidad drjdt, si es que suponemos que, en lo que al movimiento radial se

refiere, la particula se mueve con una energia potencial "efectiva"

EPM') = ^f + &#). <8 -37)

El primer termino se llama el potencial de energia centrifuga, EPfC(r) = L2/2/nr2,

porque la "fuerza" asociada con el, usando la ec. (8.25), es Fc=—dEP9cldr=L1i>jmfi

y, siendo positiva, apunta fuera del origen; esto es, es centrifuga. Desde luego

ninguna fuerza centrifuga actua sobre la particula, excepto la que pueda deberse

al potencial real Ep{r), en el ,caso de que este sea repulsivo y la fuerza centri-

fuga Fc es nada mas que un util concepto matematico. Fisicamente este concepto

describe la tendencia de la particula, de acuerdo con la ley de inercia, de moverse

en una linea recta evitando hacerlo en curva. Introduciendo la ec. (8.37) en

la ec. (8.36), tenemos

/ dr \2

y resolviendo para drjdt, obtenemos

± = {A [E - Ep^)]}1 '2

. (8-38)dt [ m

J

que es formalmente identica a la ec. (8.33) para el movimiento rectilineo. Sepa-

rando las variables ryie integrando (con 1 = por conveniencia), obtenemos

I* - t— = f dt= U (8.39)

J ro {(2lm)[E-EPMr)]}112 Jo

lo cual nos da la distancia r en funci6n del tiempo [esto es, /(/)], y por consi-

guiente tenemos la soluci6n de nuestro problema dinamico correspondiente al

movimiento radial.

Al despejar de la expresi6n para el momento angular, L = mr2 dfydU la velo-

cidad d0/df, obtenemos

de L(8.40)

dt mr*

Introduciendo entonces la r(f) obtenida d£ la ec. (8.39) en la ec. (8.40), expre-

samos Ljmr* como funci6n del tiempo, y al integrar esta expresion obtenemos

f• de = f -±- dt 6 e = e + f'-A- dt. (8.41)

J eo J o mi* Jo mT%

>.

224 Trabajo y energia (8,11

Esto da 6 en funcion del tiempo; esto es 6(/). En esta forma podemos resolver

el problema completamente, dando los movimientos radiales y angulares como

funciones del tiempo,

Algunas veces, sin embargo, nos interesa mas la ecuacion de la trayectoria.

Combinando las ecs. (8.38) y (8.40) por division, podemos escribir

dr _ {(2im)[E-EnMr)]}lt2

d6 Llmr2(8.42)

(8.43)

o, separando las variables r y 8 e integrando,

r *- — = I* rfe - e-e,J ,o (m/L)r*{(2//n)[£ - EpMt(r)\}

112J *o

Esta expresion que relaciona r con 6 da la ecuacion de la trayectoria en coor-

denadas polares. Reciprocamente, si conocemos la ecuacion de la trayectoria, de

manera que podamos computar drjdQ, la ec, (8.42) nos permite calcular la energia

potencial y entonces calcular la fuerza.

Esta section ha ilustrado la forma en que los principios de conservacion del

momentum angular y de la energia nos permiten resolver el movimiento de una

particula bajo la influencia de una fuerza central. A esta altura el estudiante

habra reconocido el hecho de que esos principios de conservacion no son curio-

sidades matem£ticas, sino herramientas reales y efectivas para resolver problemas

dinAmicos. Debemos notar que cuandojjljn^^ cen-

tj^LlaJ^BLSe^^ci^^^*1^ energia tip es suficiejite para resolver el problema. Es

tamhicEj^cegai^ En el caso del

movimiento rectilineo, la conservacion de la energia es suficiente para resolver el

problema. EljQ.se debe a que la energia .siendo una cantidad escalar, no puede

ser usada para determinar la direccion. del movimiento y a que en el movimiento

rectlTineo la direccion esta dada desde el comienzo.

Finalmente, declaremos en particular <jue los principios de conservacion del

momentum angular y de la energia, tal ^omo son usados en este c.apitulo, son

propiedades asociadas con una particula individual bajo las circunstancias espe-

ciales de su movimiento, y que no hay relaci6n directa con la posible conserva-

cion de la energia total del universo. Este asunto ser£ discutido en mayor detalle

en el siguiente capitulo.

8.11 Discusidn de curvas de energia potencial

Los gr£ficos que representan Ep(x) contra x en problemas rectilineos de una sola

dimension y Ep(r) contra r en los problemas de fuerza central son muy utiles

para ayudar a comprender el movimiento de una particula, aiin sin resolver la

ecuaci6n del movimiento. En la Fig. 8-18 hemos ilustrado una posible curva dc

energia potencial para un movimiento unidimensionaL Cuando usamos la pri-

mera de las ecs. (8.23), la fuerza sobre la particula para cualquier valor de a

8.11) Discusion de curuas de energta potential 225

E*

\Ep(x) "i

\h

(4)

If

Dj

M2

\F

' (3)

\c r (2)

MM* jE i >s^ S i

M3 (1)

estd dada por F = — dEpjdx* Pero dEpfdx es la pendiente de la curva Ep(x).

La pendiente es positiva siempre que la curva crece, y negativa cuando la curva

decrece. Por consiguiente, la fuerza F (esto es el negativo de la pendiente), es

negativa, o dirigida a la izquierda, cuando la energia potencial esti aumentando

y positiva, o dirigida a la derecha, cuan-

do la energia potencial estk disminuyen-

do. Esta situacion ha sido indicada en

la Fig* 8-18 por flechas horizontales en

diferentes regiones marcadas debajo de

la figura.

En los puntos donde la energia

potencial es minima o maxima, tales

como Mlt M2 y Af3, dEpfdx = y por

tanto F = 0; esto es, tales posiciones

son de equilibrio. Aquellas posiciones

donde Ep(x) es minima el equilibrio

es estable; cuando la particula es <Jes-

plazada ligeramente de su posici6n de

equilibrio, est& sometida a una fuerza

que trata de devolverla a dicha posi-

ci6n. Donde Ep(x) es maxima, el equi-

librio es inestable, ya que si la par-

ticula sufre un ligero desplazamiento

de la posici6n de equilibrio, experi-

menta una fuerza que trata de moverla

aiin mas lejos de dicha posici6n.

Consideremos ahora una particula con energia total £, indicada por la linea

horizontal (1) de la Fig. 8-18. En cualquier posici6n x, la energia potencial Ep

est& dada por la ordenada de la curva y la energia cinetica, Ek = E— Ep, est&

dada por la distancia de la curva Ep(x) a la linea E. La linea E corta la curva

Ep(x) en los puntos A y B. A la izquierda de A y a la derecha de B la energia Ees menor que la energia potencial Ep(x) 9 y por tanto en dichas regiones la energia

cinetica Ek = E— Ep seria negativa, Pero esto es imposible ya que E* = \miP

es necesariamente positiva. Por consiguiente, el movimiento de la particula est6

limitado al intervalo AB y la particula oscila entre x = A' y x = B\ En dichos

puntos la velocidad se anula y la particula cambia su movimiento. Esos puntos

se llaman de retorno*

Si la particula tiene una energia mayor, tal como la que corresponde a la

linea (2), hay dos regiones posibles de movimiento. Una es oscilante entre C y Dy la otra oscilante entre F y G. Sin embargo, si la pArticula est& en una regi6n

no puede saltar nunca a la otra, porque ello requeriria pasar por la regi6n DFdonde la energia cinetica seria negativa y por lo tanto dicha regi6n es prohibida.

Decimos que las dos regiones donde el movimiento es posible est&n separadas

i.

A' , B f

Derecha*Hzquierda- -Der |*Izquierda-*|

Fig. 8-18, Relacidn entre el movimientoen linea recta y la energia potencial.

* No es necesario usar la notacidn de derivada partial en este caso ya que Ev depende solamente

de una variable, x.

226 Trabajo y energia (X.U

por una barrera de potential. En el nivel de energia (3), el movimiento es osci-

latorio entre H e L Finalmente en el nivel de energia (4) el movimiento no es

m&s oscilatorio y la particula puede moverse entre K y el infinito. Por ejemplo,

si la particula se est6 moviendo inicialmente hacia la izquierda, al llegar a K"rebota", alej£ndose por la derecha sin regresar jam6s. Cuando consideramos el

movimiento de las particulas at6micas, donde se aplica la mecanica cuantica,

la description que hemos dado requiere algunas modificaciones.

Fig, 8-19. Relaciones ener-

geticas para el movimientobajo fuerzas centrales.

#Considerando ahora el importante caso de las fuerzas centrales, supongamos

una energia potencial Ep(r) correspondiente a una fuerza que es atractiva a todas

las distancias: — 3Epjdr es negativa y Ep(r) es una funcion creciente, tal como

se indica con la curva (a) de la Fig. 8-19. El potencial de energia centrifugo

EptC= L2/2mr2 esta indicado por la linea punteada (ft). El termino centrifugo es

muy pequeno a grandes distancias pero aumenta rdpidamente a pequenas dis-

tancias. En muchos casos de interes fisico el potencial de energia ceritrifuga es

el termino dominante a pequenas distancias, dando como resultado una energia

potencial EPtett = EPjC + Ep(r) con la forma indicada por la curva (c).

Si la energia total E de la particula corresponde a la linea horizontal (1), el

radio de la orbita pscilara entre los valores maximo y minimo r± y r

2 , y la orbita

tendra la forma ilustrada en la Fig. 8-20. Pero si la energia corresponde a un

valor tal como el de la linea (2) de la Fig. 8-19, la 6rbita no est£ limitada, y la

particula viene del infinito hasta el punto C de aproximacion minima a la dis-

tancia rmint y se aleja entonces sin volver a regresar, tal como se inuestra en

la Fig. 8-21. Si la energia corresponde al minimo M de Ep ,eff, como se indica con la

3.11) Discusion de curvas de energia potential 227

Fig. 8-20. Forma general de la trayec- Fig. 8-21. Distancia de mayor apro-

toria para el movimiento bajo fuerzas ximaci6n.

centrales.

linea (3), entonces existe una sola intersection y la distancia al centro permanece

constante, dando como resultado que la particula describa una trayectoria circu-

lar de radio r , Notese que la distancia de aproximacion minima aumenta con

los valores crecientes del momentum angular, debido al efecto de la energia po-

tential centrifuga £PjC(r).

Si, por algun mecanismo, una particula que tiene energia igual a la del nivel (1)

de la Fig. 8-19 puede absorber energia y por tanto "saltar" al nivel de energia (2),

se alejara del centro de fuerza; esto es, se "disociara" del centro de fuerza. Laminima energia que una particula requiere para disociarse del nivel de energia (1)

ha sido indicada en la Fig, 8-19 por Ed. Por otra parte, si la particula inicialmente

en el nivel de energia (2) por algun proceso pierde energia y pasa cerca del centro

de fuerza, puede saltar al nivel de energia (1), y permanecera entonces en una6rbita limitada, Podernos decir que ha sido "capturada" por el centro de fuerza.

Esta situation se presenta, por ejemplo, en la disociaci6n y formacidn molecular.

En el caso de una molecula diat6mica tal como H2o CO, la energia poten-

tial Ep para la interacci6n entre los dos atomos tiene la forma (c) en la Fig. 8-19,

Tal energia potential, ilustrada por la curva (a) en la Fig. 8-22, corresponde a

una atraccion a grandes distancias y a una repulsi6n a cortas distancias, impi-

diendp asi que los dos atomos se unan en una sola unidad aun en la ausencia del

efecto centrifugo. El efecto del potential centrifugo EPtC dado por la curva pun-teada (b) es^levar la curva al perfil (c). Podernos, por consiguiente, visualizar los

atomos de la molecula con una energia E en un estado de oscilacion relativa

entre Px y P2 . Si la molecula absorbe energia en cantidad apropiada, puede diso-

ciarse y separarse en dos atomos que se alejaran uno del otro.

ejemplo 8.11* La energia potencial para la interaccidn entre dos moleculasde gas puede aproximarse por la expresi6n

^-^HrH-ll'

zzzs rraoajo y energia \O.J.6

Repulsi6n

Atracci6n

Position de equilibrio

h- -

P,0

Fig. 8-22. Potencial intermolecular. Fig* 8-23. Potencial intermolecular deLennard-Jones.

donde EPy0 y r son constantes positivas y r es la separaci6n entre las moleculas.

Este modelo para las energias potenciales moleculares fue introducido por el cien-

tifico ingles J. Lennard-Jones. Hallar la posici6n de equilibrio y el valor de la

energia potencial en dicho punto. El grafico de Ep(r) esta mostrado en la Fig. 8.23.

Soluci6n: En la posici6n de equilibrio, F = — 8Ep/8r = 0. Por tanto

dE2

8r= — EPjO -12-^ + 12^ =

o sea r — r . Poniendo r = r en EP(r), obtenemos EP = — EPfQ para la energia

potencial en el punto de equilibrio. Para distancias menores que r 0i la fuerza in-

termolecular es repulsiva [Ep(r) es una funci6n decreciente] y para distancias ma-yores que r es atractiva [Ep(r) es una funci6n creciente].

iCual es el termino dominante en Ep(r) a pequeiias distancias, y cual a grandes

distancias? Sugerimos que el estudiante represente la fuerza como funci6n de la

separaci6n r y determine la separaci6n para la cual la fuerza atractiva es maxima.

Sugerimos tambien que busque en la literatura valores apropiados de Ep, y r *

8.12 Fuerzas no conservativas

Es f£cil encontrar fuerzas en la naturaleza que no son conservativas. Un ejemplo

de ellas es la fricci6n. La friccion siempre se opone al desplazamiento. Su trabajo

depende de la trayectoria seguida y, aunque la trayectoria pueda ser cerrada,

el trabajo no es nulo, de modo que la ec. (8.20) no se aplica, Similarmente, la

friccion en los fluidos se opone a la velocidad, y su valor depende de esta mas

SJ2) Fuerzas no conservativas 229

no de la position. Una particula puede estar sujeta a fuerzas conservativas y no

conservativas al mismo tiempo.

Por ejemplo, una particula que cae en un fluido est£ sujeta a la fuerza gravi-

tational conservativa y a la fuerza de fricci6n no conservativa. Llamando Ep a

la energia potencial correspondiente a las fuerzas conservativas y W al trabajo

hecho por las fuerzas no conservativas (trabajo que, en general, es negativo porque

las fuerzas de friction se oponen al movimiento), el trabajo total hecho en la

particula al moverse de A a B es W — Ep>a— EPyB + W. Usando la ec. (8.13),

podemos escribir

EktB— Ek

tA = Ep

tA— EPtB + Wo

(Ek + EP)B- (Ek + EP)A = W. (8.44)

En este caso la cantidad Ek + Ep no permanece constante sino decrece (aumenta)

si W es negativo (positivo). Pero por otra parte, no podemos llamar a Ek + Ep

la energia total de la particula, porque este concepto no es aplicable en este caso,

ya que no incluye todas las fuerzas presentes. El concepto de energia total de

una particula tiene significado solo si todas las fuerzas son conservativas. Sin

embargo la ec. (8.44) es util cuando queremos efectuar una comparaci6n entre

el caso en que actuan solamente las fuerzas conservativas (de manera que Ek + Ep

sea la energia total) y el caso en que hay fuerzas no conservativas adicionales.

Entonces decimos que la ec. (8.44) da la ganancia o la perdida de energia debida

a las fuerzas no conservativas.

El trabajo no conservative W representa asi una transferencia de energia que,

al corresponder a un movimiento molecular, es en general irreversible. La raz6n

para no poder ser recobrado es la dificultad, aun dentro de un punto de vista

estadistico, de volver todos los movimientos moleculares al estado initial. Enalgunos casos, sin embargo, los movimientos moleculares pueden estadisticamente

ser devueltos a las condiciones originales. Esto es, aun si el estado final no es

microscopicamente identico al initial, son estadisticamente equivalentes. Este

es el caso, por ejemplo, de un gas que se expande muy lentamente mientras hace

trabajo. Si despues de la expansion el gas es comprimido lentamente a su condi-

tion fisica original, el estado final es estadisticamente equivalente al initial.

El trabajo efectuado durante la compresion es el negativo del trabajo de ex-

pansion y el trabajo total es por tanto cero.

La existencia de fuerzas no conservativas tal como la friction no debe ser con-

siderada como implicando necesariamente que puedan existir interacciones no

conservativas entre particulas fundamentals. Debemos recordar que las fuerzas

de friction no corresponden a una interaction entre dos particulas sino que son

conceptos realmente estadisticos (recordar la discusion de la secci6n 7.9). Lafriction, por ejemplo, es el resultado de muchas interacciones individuales entre

las moleculas de los dos cuerpos en contacto. Cada una de estas interacciones

puede ser expresada por una fuerza conservativa. Sin embargo, el efecto macros-

copico no es conservative por el siguiente motivo: aunque el cuerpo, al com-

pletar una 6rbita cerrada, estd macroscopicamente en su position original, las

230 Trabajo y energta i8-12

moleculas individuales no han retornado a su condici6n original. Por consiguiente,

el estado final no es microsc6picamente identico al inicial, ni tampoco equivalente

en un sentido estadistico.

EJEMPLO 8.12. Un cuerpo cae a travel de un fluido viscoso partiendo del reposo

y de una altura y . Calcular la rapidez con que se disipa su energfa cinetica, y su

energia potencial gravitatoria.

Soluci6n: Cuando el cuerpo se halla a cierta altura cayendo con una velocidad v,

la suma de sus energias cinetica y potencial gravitatoria es imp* + mgy. La ra-

pidez de disipaci6n de energia (o perdida de energia por unidad de tiempo) debida

a la accidn de las fuerzas viscosas no conservatives es por tanto

4r (£* + Ev) = 4" (im»» + mgy).dt dt

Sugerimos primero al estudiante, usando las ecuaciones del ejemplo 7.7, expresar

v* e y como funciones del tiempo. Entonces, por calculo de la denvada ante-

rior, podra resolver el problema.

Proponemos, sin embargo, demostrar c6mo puede ser resuelto el problema por

un procedimiento diferente. De acuerdo a la ec. (8.44), si los puntos A y £ son muy

cercanos entre si, podemos escribir la ecuacion d(Ek + E„) = dW = Fdx, donde

F' es la fuerza no conservativa. En nuestro ejemplo F' es debida a la friccion del

fluido y tiene la forma Ft = —kt\v dada en la ecuaci6n (7.18). Asi

* {Ek + EP) = F' ^- = (- Kw)v = — Knv*.at «'

Para v tomamos el resultado obtenido en el ejemplo 7.8,

donde F = mg es el peso de la particula (corregido segiin el efecto de flotaci6n

debido al fluido). Por tanto

m*g*JL {Ek + Ep) = -jnJL-[i- r*«*r.dt ^T)

El signo negativo para la rapidez de disipacidn energetica indica que el cuerpo

esta perdiendo energta cinetica y potencial gravitatoria. Sin embargo, esta energls

no esta "perdida", sino transferida a las moleculas del fluido en una forma que «

practicamente imposible de recobrar. Despues de un cierto tiempo la exponencial

es esencialmente cero. Por tanto podemos escribir

JL (Ek + Ev) = _ «V

demostrando asl que la energia es perdida con rapidez constante. Esta condicidi

es llamada estacionaria. v .m«. a„ „Es interesante observar este resultado desde un angulo diferente. Vimos en e

eiemplo 7.8 que despues de un tiempo largo la velocidad se torna constante e igua

a F/Kti, donde F = mg. En esa forma la energia cinetica Et permanece cons

tante y solamente la energia potencial Ev = mgy varia. Por consiguiente podemos

escribir

8.1S) Teorema del virial para una sola partlcula 231

donde el subindice ss significa que este es un problema estacionario. Pero dy/dt

es la velocidad limite dada en la ec. (7.21), y podemos escribir dy/dt = — FfKv\ =mg/Kri. La raz6n para el signo negativo es que y es medida hacia arriba y

que la velocidad limite esta dirigida hacia abajo. Sustituyendo este valor en la ex-

presi6n previa, obtenemos

que coincide con el resultado obtenido antes. Notamos, entonces, que despu6s de

cierto tiempo la energia potencial gravitatoria perdida por el cuerpo es disipada

en agitaci6n molecular del fluido. Esta es una manera de decir que la fuerza de gra-

vitaci6n es balanceada por la fuerza opuesta debida a la viscosidad del ruido.

8.13 Teorema del virial para una sola partlcula

Este teorema (aunque no es tan importante como el de conservacion del momen-

tum angular bajo una fuerza central o el de conservacion de energia bajo una

fuerza conservativa) es muy litil para obtener ciertos resultados practicos.

Considerese una partlcula de masa m en movimiento bajo la action de una

fuerza F. Definamos la cantidad escalar A =mv*r fdonde r es el vector posici6n

de la particula y v su velocidad, Tomando la derivada temporal de A, tenemos

dA dv,

dr am -r + mv* = ma*r + mirt

dt dt dt

ya que a = dvjdt y v = drjdt. El ultimo termino, segun la ec. (8.12), es el doble

de la energia cinetica de la particula y en el primer termino podemos escribir

ma = F. Luego

dA^F-r + 2E*.

dt

Si tomamos el promedio temporal de esta ecuacion, tenemos

m (F-r) + 2(Ek). (8.45)

El promedio temporal, en un intervalo t, de cualquier cantidad f(0 que depende

del tiempo se define por

En nuestro caso, entonces,

\ * / T J dt T J T

Si el tiempo t es muy grande y si A no crece indefinidamente con el tiempo,

la cantidad (A — A )lx puede ser tan pequena (si t es suficientemente grande)

232 Trabajo y energia™

que puede ser considerada nula. Este es el caso de la particula que se mueve

dentro de una region limitada. Por ejemplo, un electron en un atomo se mueve en

una region espacial limitada y los valores de r y t> que le pertenecen, y que son

las cantidades que intervienen en la definicion de A, son acotados. Puede decirse

lo mismo de la tierra en su movimiento alrededor del sol. Por tanto, poniendo

(dAjdt) = en la ec. (8.45), hallamos que

Este es el teorema del virial para una particula. La cantidad — #F • r) se llama

el virial de la particula.

El teorema del virial adopta una forma especial cuando las fuerzas son centrales

y conservativas. Si Ep{f) es la energia potencial, entonces F = — u4EPjdr y

p. r = __ r dEpjdr ya que ur r = r. Luego, la ec. (8.47) se transforma en

«5-tRF5- " (8-48)

Supongase que la energia potencial es de la forma Ep = — kjrn.Entonces

dr rn+1

y la ec. (8.48) viene a ser

k nEpn

(Ek)=-MEP).(8 '49)

Con este resultado, obtenemos una relacion entre los promedios temporales de

las energias cinetica y potencial de la particula.

8.14 Critica del concepto de energia

En este capitulo hemos visto como podemos usar el concepto de energia de ma-

nera muy efectiva para resolver ciertos problemas dinamicos de una particula

cuando conocemos la fuerza en funcion de la posici6n. Esta es una de las razones

basicas para introducir el concepto de energia en fisica.

Nuestra experiencia inmediata nos Ueva a reconocer que los cuerpos a nuestro

alrededor estan en movimiento. Atribuimos dichos movimientos a las mterac-

ciones entre los cuerpos, y los describimos por medio de los conceptos de fuerza

y energia. Tales conceptos tienen un solo proposito :proporcionar metodos utdes

para analizar y predecir los movimientos que observamos. La gran utilidad del

concepto de energia potencial, como la del concepto de fuerza, es que nos permite

asociar formas especificas de energia potencial con interacciones especificas obser

vadas en la naturaleza. Tal resultado no es sorprendente, ya que la fuerza f

esta relacionada con la energia potencial Ep por medio de la ec. (8.24). Es dichs

relacion entre energia potencial e interaccion lo que da verdaderamente S1gnificad<

fisico a la idea de energia potencial.

Bibliografta 233

Al conocer la energia potencial como funcion de la position, podemos describii

cualitativamente el movimiento, como se indic6 en la secci6n 8.11, o cuantita-

tivamente como se explico en las secciones 8.9 y 8,10. En futuros capitulos dis-

cutiremos el hecho de que la interaction entre dos cuerpos puede ser descrita

como un intercambio de energia o como un intercambio de momentum. Cual-

quiera de tales descripciones proporciona una representacidn conveniente y liti]

de una interaction, Alertamos al estudiante que, en lo que resta del libro, descri-

biremos los procesos que observamos en la haturaleza casi enteramente por medio

de los conceptos de momentum y energia.

Bibliografia

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2. "Newton's Law of Motion and the 17th Century Laws of Impact", A. Arons

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1964, secciones 2-1, 2-5, 3-7 y 3-12

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6. Vector Mechanics, por D. Christie. New York : McGraw-Hill, 1964, caps, 7 y 17;

sees. 12.6 hasta 12.8

7. A Source Book of Physics, W. F. Magie. Cambridge, Mass. : Harvard University

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8. Foundations of Modern Physical Science, por G. Holton y D, H, D. Roller. Reading,Mass. : Addison-Wesley, 1958, cap, 18

9. "Resource Letter EEC-1 on the Evolution of Energy Concepts from Galileo

to Helmholtz", T. Brown ; Am. J. Phys. 88, 759 (1965)

234 Trabajo y energta

Problemas

8.1 Se aplica una fuerza F t que dura

20 s, a un cuerpo de 500 kg de masa. El

cuerpo inicialmente en reposo, adquiere

una velocidad de 0,5 m s_1 como resultado

de la fuerza* Si esta aumenta durante

15 s linealmente con el tiempo a partir

de y entonces disminuye a cero en 5 s,

(a) hallar el impulso en el cuerpo causado

por la fuerza, (b) hallar la maxima fuerza

ejercida en el cuerpo y (c) representar Fcontra / encontrando el area bajo la

curva. ^Coincide el valor de dicha area

con el resultado de (a)? Suponer que la

fuerza F es la unica que actua sobre el

cuerpo,

8.2 Galcular el trabajo de una fuerza

constante de 12 N» cuyo punto de apli-

caci6n se mueve 7 m, si el angulo entre

las direcciones de la fuerza y el desplaza-

miento es (a) 0°, (b) 60°, (c) 90°, (d)

145°, (e) 180°.

8.3 Galcular el trabajo efectuado por

un hombre que arrastra un saco de

harina de 65 kg por 10 m a lo largo del

piso con una fuerza de 25 kgf y que luego

lo levanta hasta un cami6n cuya plata-

forma esta a 75 cm de altura. ^Cual es

la potencia promedio desarrollada si el

proceso entero tom6 2 min?

8.4 Se define un pie-libra como el tra-

bajo efectuado por una fuerza de 1 lbf

al mover un cuerpo una distancia de

1 pie en su propia direcci6n. Verificar

que 1 pie-lb es igual a 1,356 J, y que

1 hp es igual a 746 W. Demostrar que

cuando la masa esta dada en slugs y la

velocidad en pie s-1, la energia cin£tica

queda expresada en pie-lb.

8.5 Un cuerpo de 4 kg de masa se

mueve hacia arriba en un piano incli-

nado 20° con respecto a la horizontal.

Sobre el cuerpo actiian las siguientes

fuerzas: una fuerza horizontal de 80 N,

una fuerza paralela al piano de 100 N,

favoreciendo el movimiento, y una fuerza

constante de fricci6n de 10 N que se

opone al movimiento. El cuerpo se tras-

lada 20 m a lo largo del piano. Calcular

el trabajo total efectuado por el sistema

de fuerzas actuantes sobre el cuerpo,

asi como el trabajo de cada fuerza*

8.6 Un anillo m de kg de masa resbala

a lo largo de un arco metalico ABC muypulido (Fig, 8-24) que es arco de una cir-

cunferencia de 4 pies de radio. Sobre

el anillo actiian dos fuerzas F y F' tcuyas

magnitudes son 40 N y 150 N respectiva-

mente. La fuerza F es siempre tangente

a la circunferencia. La fuerza F' actua

en direcci6n constante formando un an-

gulo de 30° con la horizontal. Calcular

el trabajo total efectuado por el sistema

de fuerzas sobre el anillo al moverse

este de A a B y de A a G.

Figurfe 8-24

8.7 Un cuerpo de 0,10 kg de masa ca<

de una altura de 3 m sobre un montdi

de arena. Si el cuerpo penetra 3 en

antes de detenerse, que fuerza constant*

ejerci6 la arena sobre el?

8.8 Un cuerpo con 1000 kg de mas*

cae de una altura de 10 m sobre la cabezi

de una barreta metalica clavada perpeii

dicularmente en el suelo hundi6ndoli

1 cm mas. Galcular la fuerza resistent

promedio ejercida por el terreno contt

la barreta. (Suponer que toda la energt

cinetica del cuerpo se transforma en tra

bajo para hundir la barreta).

8.9 Un hombre de 80 kg de mas

sube por un piano inclinado 10° co

respecto a la horizontal a una velocida

de 6 km hr-1. Galcular la potencia dess

rrollada.

8.10 Un ascensor levanta 10 pasajerc

80 m en 3 min. Cada pasajero tiene un

masa de 80 kg, y el ascensor una mas

Frobietnas Z65

de 1000 kg. Calcular la potencia de su

motor en hp.

8.11 Un automdvil sube por un camino

de 3° de inclinacitin con una velocidad

constante de 45 km hr-1. La masa del

automdvil es de 1600 kg. £Cu&l es la

potencia desarrollada por el motor?

j,Cual es *1 trabajo efectuado en 10 s?

Despreciar las fuerzas de friccidn.

8.12 Un autom6vil de 2000 Ibf de peso

movtendose en un camino horizontal

alcanza una velocidad maxima de 100

pies s_1 cuando el motor desarrolla su

maxima potencia de 50 hp. Calcular la

maxima velocidad del autom6vil al subir

una colina con5%de inclinaci6n. Supo-

ner que la resistencia del aire es cons-

tante.

8.13 Resolver el problema anterior para

un autom6vil que baja la colina.

8.14 Una fuerza constante de 60 dinas

actua por 12 s en un cuerpo cuya masaes de 10 gm. El cuerpo tiene una veloci-

dad inicial de 60 cm s-1 en la mismadirecci6n de la fuerza. Calcular (a) el

trabajo efectuado por la fuerza, (b) la

energla cin£tica final, (c) la potencia

desarrollada, y (d) el aumento de la

energia cinStica.

8.15 Repetir el problema anterior parauna fuerza que es perpendicular a la

velocidad inicial.

8.16 (a) &Qu6 fuerza constante debeejercer el motor de un automtivil de1500 kg de masa para aumentar la

velocidad de 4 km hr-1 a 40 km hr-1

es 8 s? (b) Determine la variacitin del

momentum y de la energia cin^tica* (c)

Determine el impulso recibido y el tra-

bajo efectuado por la fuerza. (d) Com-pete la potencia promedio del motor,

8.17 Una pequena bola de acero de 1 kgde masa est& amarrada al extremo deun alambre de 1 m de longitud girandofcn un clrculo vertical alrededor del

otro extremo con una velocidad angu-lar constante de 120 rad s-1

. Calcular la

energia cin6tica. Si es m£s bien la ener-

gia total la que permanece constante

y no la velocidad angular, £cu£l es el

cambio en la energia cin£tica y en la

velocidad angular entre el punto m&s*lto y el m&s bajo del circulo? Suponer

que el valor dado para la velocidad an-gular se reflere al punto mas alto.

8.18 Un cuerpo de masa m se muevev relativa a un observador O y con velo-

cidad V relativa a O'. La velocidad

relativa entre y O' es t>. Hallar la rela-

cidn entre las energias cindticas E* yE'k de la particula medidas por O y 0\

8.19 Expresar, en eV, la energia cin6-

tica de un electr6n (masa = 9,109 xx lO^1 kg) movi&idose a una velocidad

de 10* m s-1. Repetir para un prot6n

(masa = 1,675 x 10"" kg).

8.20 Hallar la velocidad de un elec-

tron que llega a la pantalla de un tubode televisi6n con una energia de 1,8 xx 10« eV.

8.21 Hallar la velocidad de un prot6nque sale de un acelerador de particulas

con 3 x 10* eV de energia.

8.22 Cuando Et es la energia cingtica

en eV y v la velocidad enm s"1, demostrar

que estan relacionadas por Et — 2,843 xx 10-isv* para el electrdn y Em — 5,228 Xx 10 -*p* para el potr6n.

8.23 La fuerza actuante sobre un cuer-

po de 10 kg de masa es F = u»(10 + 20N» donde t est& en segundos. (a) Deter-

minar los cambios de momentum y develocidad del cuerpo despu6s de 4 s,

asi como el impulso recibido, (b) iPorcudnto tiempo deberla actuar la fuerza

sobre el cuerpo para que el impulsosea de 200 N s? Responder ambas pre-

guntas para un cuerpo que estd inicial-

mente en reposo y para otro con unavelocidad inicial —«v{6) m s

-1.

8.24 Una masa de 10 kg se mueve bajo

la accidn de la fuerza F = ux(5t) + uy

(3f*— 1) N. Cuando t — el cuerpo esti

en reposo en el origen. (a) Hallar el

momentum y la energia cin£tica del

cuerpo cuando t = 10 s. (b) Computarel impulso y el trabajo efectuado por la

fuerza de t = a t = 10 s, Compararcon las respuestas en (a).

8.25 Una masa de 20 kg se mueve bajo

la influencia de la fuerza F = u* (1000N, donde t se mide en segundos. Si,

para t = 2, v = u*(3) m s- 1, determine (a)

el impulso dado a la particula durante

el intervalo 2 s < i < 10 s, y (b) el mo-mentum de la masa cuando t — 10 s.

236 Trabajo y energia

(c) Pruebe que el impulso es igual al

cambio de momentum de la masa en

el intervalo dado, (d) Encuentre el tra-

bajo efectuado sobre la particula y,

(e) su energia cinetica cuando t — 10 s.

(f) Demuestre que el cambio de energia

cinetica es igual al trabajo efectuado,

8.26 Repetir el problema anterior para

v « av(30 m s-1 cuando / = 2 s.

8.27 Sobre una particula actua la fuerza

F = ux(y 2 — xa) + uy(3xy). Hallar el

trabajo efectuado por la fuerza al mo-

verse la particula del punto (0, 0) al

punto (2,4) siguiendo las siguientes tra-

yectorias : (a) a lo largo del eje X desde

(0,0 hasta (2,0) y, paralelamente al eje Y,

hasta (2,4) ;(b) a lo largo del eje Y desde

(0,0) hasta (0,4) y, paralelamente al

eje X yhasta (2,4), (c) a lo largo de la

recta que une ambos puntos ;(d) a lo

largo de la parabola y = x2. &Es conser-

vativa esta fuerza?

8.28 Repetir el problema anterior para

la fuerza F = ux(2xy) + uy(x2).

8.29 Se da F = ux(7)— «j,(6)N. (a) Gom-

putar el trabajo efectuado cuando una

particula va del origen a r = ux (—3) +

+ «i/(4) + mi(16) m. ^Es necesario espe-

cificar la trayectoria seguida por la par-

ticula? (b) Gomputar la potencia pro-

medio si tom6 0,6 s el ir de un lugar al

otro. Exprese su respuesta en watts ycaballos-vapor. (c) Si F es la dnica fuerza

actuante, calcular el cambio de la energia

cin6tica.

8.30 La fuerza en el problema anterior

es conservativa, ya que es constante.

Calcular la diferencia de energia poten-

cial entre los puntos extremos. Deter-

minar la energia potencial en el punto

r = u*(7) + uy{16) + uz(—42) Hi.

8.31 Una particula se mueve bajo la

acci6n de una fuerza atractiva que varia

con el inverso del cuadrado : F = — k/r2.

La trayectoria es una circunferencia de

radio r. Demostrar que la energia total

es E = — k/2r9que la veldcidad esu =

(k/mr) l/\ y que el momentum angular

es L = (m*r)1/2.

8.32 Un piano inclinado tiene 13 mde largo y su base 12 m. Un cuerpo

de 0,80 kg de masa resbala desde arriba

con una velocidad inicial de 100 cm s_1

.

^Cuales son su velocidad y su energia

cinetica al llegar al final del piano?

8.33 Representar las energlas potencial

y cinetica como funcidn de (a) el tiempo

y (b) la altura, para un cuerpo que cae

a partir del reposo desde una altura h.

Verificar que la suma de las ordenadas

correspondientes es constante.

8.34 Se lanza verticalmente hacia arriba

un cuerpo de 20 kg de masa con una

velocidad de 50 m s" 1. Calcular (a) los

valores iniciales de Ek, EP y E ; (b) E*

y EP despues de 3 s ; (c) Et y Ep a 100 mde altura ; y, (d) la altura del cuerpo

cuando Ek es reducida a un 80 % de su

valor inicial.

8.35 Una bola de 0,40 kg es lanzada

horizontalmente desde la cima de una

colina, a 120 m de altura, con una veloci-

dad de 6 m S"1. Calcular (a) la energia ci-

netica inicial de la bola, (b) su energia]

potencial inicial, (c) su energia cinetica;

al chocar con el suelo, y (d) su velocidadj

en esta ultima circunstancia.

8.36 Una bomba de 10 kg de masa esj

soltada desde un avi6n que vuela hori- Jj

zontalmente a 270 km hr~\ Si el avidn|

esta a 100 m de altura, calcular (a) la .j

energia cinetica inicial de la bomba,^

(b) su energia potencial inicial, (c) su J

energia total, (d) su velocidad al llegar;

al suelo, y (e) sus energias potencial y \

cinetica 10 s despues de haber sido sol- ;

tada.\

8.37 Utilizando solamente la conserva-|

ci6n de la energia, calcular la velocidad\

de la bomba en el problema anterior4

cuando se halla a 50 m sobre el suelo i

y su altitud cuando la energia cineticaj

ha aumentado un 30 % sobre su valor I

inicial.j

8.38 Resolver el Problema 8.34 para ^

ei caso en que se lance el cuerpo en una*

direcci6n de 70° sobre la horizontal,

8.39 Un muchacho de masa m esta sen-

tado sobre un monticulo hemisf^rico de

nieve como se muestra en la Fig. 8-25.

Si empieza a resbalar desde el reposo

(suponiendo el hielo perfectamente liso)

^en qu6 punto P deja el muchacho de

tener contacto con el hielo?

8.40 Tres canones disparan con la

misma velocidad inicial (Fig. 8-26) de

Probtemas Z'61

Figura 8-25

Figura 8-26

modo que las balas pasan todas por el

mismo punto A (no necesariamente en el

mismo instante). Copiar la Fig. 8-26 ydibujar los vectores velocidad en A.Basando sus calculos en consideracionesde energia, determinar la relaci6n entrelas magnitudes de las velocidades en A,A partir de su respuesta puede Ud. con-cluir que, usando nada mAs que la con-servaci6n de la energia, es posible deter-

minar la direccidn del movimiento?iPor qu6?

8.41 Un cuerpo de 0,5 kg de masa es

soltado desde una altura de 1 m sobreun pequeno resorte vertical sujeto al

suelo y cuya constante es A: — 2000 Nm-1

. Calcular la maxima deformacidndel resorte.

8.42 El cuerpo A en la Fig. 8-27 tiene

una masa de 0,5 kg. Partiendo del reposoresbala 3 m sobre un piano muy liso,

inclinado 45° sobre la horizontal, hastaque choca con el resorte M, cuyo ex-tremo B estA fijo al final del piano, la

constante del resorte es k = 400 N m _1.

Calcular su mAxima deformacidn.

8.43 Un cuerpo de 5 kg de masa cuelgade un resorte cuya constante elAstica

es 2 x 10s N m- 1. Si se permite que

el resorte se expanda lentamente, ^a qu6distancia llegara a desplazarse el cuerpo?Se suelta ahora el cuerpo para que caigalibremente. Hallar (a) la aceleraci6n ini-

cial y (b) la aceleraci6n y la velocidadcuando ha caido 0,010 m, 0,0245 my 0,030 m. Hacer consideraciones ener-

g6ticas siempre que sea posible.

8.44 En la molecula NH3 el atomo Nocupa el v6rtice de un tetraedro contres Atomos H en la base (ver Fig. 2-3),

Evidentemente, el Atomo N tiene dosposiciones simStricas de equilibrio esta-

ble. Dibuj ar esquemAticamente unacurva de energia potencial para el

Atomo N en funcidn de su distancia a la

base del tetraedro. y discutir su posible

movimiento en terminos de la energiatotal.

8.45 En la molecula de etano (C2Ha),

los dos grupos CH5 son tetraedros conun Atomo C en el v&tice (Fig. 8-28).

Dichos grupos pueden rotar relativa-

mente alrededor de la linea que une los

dos Atomos de carbono, Consideracionesde simetria sugieren que haya dos con-juntos de posiciones de equilibrio paraeste movimiento ; un conjunto consiste

Figura 8-27 Figura 8-28

238 Trabajo g energla

de posiciones estables y el otro de inesta-

tables. Determinar dichas posiciones ybosquejar esquemiticamente la energia

potencial como funci6n del dngulo ^entre y 2w. Discutir el posible movi-miento de rotaci6n para diferentes va-

lores de la energia total.

8.46 Dibujar, como en la Fig, 8-19,

E„,eff para Ev(r) = — 1/r y (a) EPtC == l/2ra

, (b) EVlc = 2/ra, donde todas las

energias est&n en J y r esta en m* Deter-

minar la posici6n de los minimos de

Ev*tt en cada caso. Medir la energia

necesaria para pasar del minirno de la

primera curva al minimo de la segunda.

8.47 Un trineo de 20 kg. de masa se

desliza colina abajo, empezando a unaaltura de 20 m. El trineo parte del reposo

y tiene una velocidad de 16 m s_1 al

llegar al final de la pendiente. Calcular

la p£rdida de energia debida al frota-

miento.

8.48 Una bola de 5 kg de masa que es

lanzada verticalmente hacia arriba con

una velocidad inicial de 20 m s-1

, alcanza

una altura de 15 m. Calcular la pGrdida

de energia debida a la resistencia del

aire.

8.49 Un tren que parte del reposo viaja

300 m camino abajo por una pendiente

del 1 %. Con el impulso asl adquirido,

sube 60 m por una pendiente del 2 %hasta detenerse. Calcular la fuerza de

resistencia al movimiento del tren. (Su-

poniendo que ay? son los 4nguIos con

la horizontal, tg a = 0,01 y tg p - 0,02).

8.50 Un cuerpo de masa m se desliza

hacia abajo por un piano de inclinaci6n a.

El coeflciente de fricci6n es /. Hallar

la rapidez con que se disipan las energias

potencial y cin6tica combinadas.

8.51 Resolver el ejemplo 8.12 sustitu-

yendo valores apropiados para v e ycomo funciones de t (obtenidas del ejem-

plo 7,8) en la expresidn d/dt (E* + Ep)=

— d/dt (imv* + mgy). Demostrar que el

resultado es el mismo ya obtenido en el

ejemplo 8.12.

8.52 Un cuerpo de 8 kg de masa reposa

sobre un piano horizontal estando en

contacto con el extremo libre de un re-

sorte tambiSn horizontal cuya constante

elastica es de 10* N m _1. El otro extremo

del resorte esti fljo en una pared vertical,

Cuando se empuja el cuerpo hacia la

pared, el resorte se comprime 15 cm,Al soltarlo entonces, el cuerpo es pro-

yectado horizontalmente por accidn del

resorte. La fuerza de fricci6n entre el

cuerpo y el piano es constante y vale 5 N.Calcular (a) la velocidad del cuerpo enel instante en que el resorte recupera su

longitud original, y (b) la distancia re-

corrida por el cuerpo antes de detenerse,

suponiendo que la acci6n del resorte

sobre el cuerpo termina cuando aqu61

recobra su longitud normal. Discutir la

variaci6n de las energias cin^tica y po-

tencial del sisterna cuerpo-resorte du-

rante todo el proceso.

8.53 Aplicar el teorema del virial paraobtener la energia total de un cuerpo

en movimiento bajo una fuerza atractiva

F = —/c/r a . Comparar la respuesta con

los resultados del Problema 8.31.

8.54 Una particula se mueve en uncampo de fuerzas descrito por una de las

siguientes funciones de energia poten-

cial : (a) Ep(x) = axn,(b) EP = by\ (c)

Ep = cxy, (d) Ep= cxyz, (e) EP = k(x* ++ y

2 + z a). En cada caso expresar el

campo de fuerza en forma vectorial.

8.55 Una particula estd sujeta a unafuerza asociada con la energia potencial

EP(x) = 3x 2— Xs . (a) Trazar un grafico

de Ep(x), (b) Determinar la direcci6n

de la fuerza en rangos apropiados de la

variable x. (c) Discutir los posibles movi-mientos de la particula para diferentes

valores de su energia total. Hallar sus

posiciones de equilibrio (estable e ines-

table).

8.56 La interaccidn entre dos nucleones

puede ser representada con cierta aproxi-

maci6n por el potencial de YukawaEp(f) = —V (ro/r)e-

r 'ro, donde V vale

alrededor de 50 MeV y r 1,5 x 10~lfi m,Hallar la fuerza entre los dos nucleones

como funcitfn de su separaci6n. Hallar el

valor de la fuerza para r = r . Estimar

el valor de r para el cual la fuerza tiene el

1 % del valor que posee para r = r .

8.57 En vez de la interacci6n de Yu-kawa, considere una interaccidn de la

forma Ep(r) = —V (ro/r) 9 y repita los

Problemas 239

mismos calculos. &Qu6 concluye Ud.

acerca del efecto del factor c-f/r0 en el

alcance de la fuerza?

8,58 Probar que cuando una fuerza es

conservativa, dFx/dy = dFy/dx, 8Fy/dz== dFz/8y f y dFi/dx = dFx/dz. Se puede

probar que la reciproca es tambten ver-

dadera, y que por tanto se tiene asl unaimportante manera de determinar si un

campo de fuerza es conservativo* Sobre

esta base, verificar cuales de las siguien-

tes fuerzas son conservativas : (a) uxxn,

(b) uzy«, (c) u*(x*— j/a) + M3xy)> (d)

u*(2xy) + utfa% (e) «**/* + «»» ++ ttzxy, (f) uxx + uyy + uzZ.

8.59 Demostrar que si la fuerza apli-

cada a un cuerpo es F = Ar u * t?, dondew es un vector unitario arbitrario, la

energla cinfetica permanece constants

&Cu£l es el trabajo hecho por la fuerza?

Describir la naturaleza del movimientoresultante.

9

DINAMIGA DE UN SISTEMADE PARTICULAS

9A Introduction

9.2 Movimiento del centro de masa de un sistema de particulas

9.3 Masa reducida

9A Momentum angular de un sistema de particulas

9.5 Energia cinetica de un sistema de particulas

9.6 Conservation de la energia de un sistema de particulas

9.7 Colisiones

9.8 Sistemas de muchas particulas: temperatura

9$ Sistemas de muchas particulas: trahajo

9.10 Sistemas de muchas particulas: calor

9.11 Reformulation del principio de conservacidn de la energia

para sistemas de muchas particulas

9.12 Teorema del virial para muchas particulas

9.13 Ecuacion de estado de un gas

9J4 Movimiento de un fluido

og) Movimiento del centro de masa de un sistema de particulas 241

9.1 Introduccidn

En los dos ultimos capitulos hemos discutido la teoria de la din&mica de una

particula. En dicha teoria, ignoramos el resto del universo y lo representamos

ya sea por una fuerza o por una energta potential, que dependen solamente de

las coordenadas de la particula* Consideraremos ahora el problema m&s realista

e importante de varias particulas. De hecho, fue con un sistema de particulas

que empezamos nuestra discusion de la dindmica, cuando establecimos el prin-

cipio de conservacidn del momentum en el capitulo 7. En la primera parte de este

capitulo discutiremos tres resultados principals : el movimiento del centro de

masa, la conservaci6n del momentum angular y la conservacidn de la energia.

En la segunda parte de este capitulo consideraremos sistemas compuestos de un

gran numero de particulas, los que requieren ciertas consideraciones de naturaleza

estadistica. A lo largo de este capitulo supondremos que las masas de las par-

ticulas son constantes.

J. RELACIONES FUNDAMENTALES

9.2 Movimiento del centro de masa de un sistema de particulas

Consideremos un sistema compuesto de particulas de masas mv /na , , . . , y velo-

cidades vv r2 , .., relativas a un sistema inercial de referenda. Definiremos la

velocidad del centro de masa por

m± + m2 + . ,

.

M

Si las masas de las particulas son independientes de las velocidades, ttCM corres-

ponde a la velocidad del punto definido en la section 4.8 como el centro de masa,

y dado por el vector posicidn

mrt + mp. + . __ Exmpi(9 2)

TCXL = jj Tf • v*' '

Lo que podemos comprobar tomando la derivada tenporal de la ec. (9.2),

^ = J-

£

m *L=**2p-= vau-lt M dt M

Observando que pi = mpt, podemos escribir la ec. (9.1) tambien como

»cm = -^r SfPt =~ 6 P = Mvcu, (9-3)

donde P = Zipt es el momentum total del sistema. Esto sugiere que el mo-

mentum del sistema es el mismo que corresponderia al caso en que toda la masa

242 Dindmica de un sistema de pariiculas (9.2

del sistema estuviese concentrada en el centro de masa, moviendose con veloci-

dad i?cm- Por esta razdn t?CM se llama algunas veces la velocidad del sistema. Por

ello cuando hablamos de la velocidad de un cuerpo movil compuesto de muchas

particulas, tal como un aeroplano o un automovil, la tierra o la luna, o aiin una

molecula o un micleo, nos referimos en realidad a la velocidad de su centro de

masa i?Cm-

Si el sistema est& aislado, sabemos por el principio de conservation del mo-

mentum que P es constants Por consigriente

el centro de masa de un sistema aislado se mueve con velocidad cons-

tante con relacion a un sistema inercial (suponiendo que las masas

de las parttculas son independientes de la velocidad).

En particular, podemos fijar un sistema inercial de referenda en el centro de

masa de un sistema aislado y, con relaci6n a este sistema inercial, el centro de masa

estard en reposo (t?CM = 0)- Este es el Uamado sistema de referenda del centro de

masa o sistema-C de referenda. En vista de la ec. (9,3), el momentum total de un

sistema de particulas referido al sistema-C de referencia es siempre cero:

cm Z tpi = (en el sistema-C de referencia). (9.4)

Por tal razdn el sistema-C es llamado a veces el sistema de momentum cero. Este

sistema-C es importante porque muchos experimentos realizados en nuestro

laboratorio o sistema-L de referencia pueden ser analizados mis simplemente en

el sistema-C.

Consideraremos ahora lo que sucede cuando un sistema S no esta aislado; en

otras palabras cuando las componentes de S interactuan con otras particulas del

universe que no pertenecen al sistema 5. Supongamos que nuestro sistema S

est& compuesto de particulas situadas dentro de la linea punteada de la Fig. 9-1,

y que las particulas de 5 interactuan con aquellas fuera de la linea punteada

que pertenecen a otro sistema S'. Podemos suponer que S y S' juntos forman

un sistema aislado. Para considerar algunos ejemplos concretos, nuestro sistema 5

® &

Fig. 9-1. Interaccion entre dos

sistemas S y S\t

Fig. 0-2. Fuerzas externas e inter

nas de un sistema S.

g 2)Movimienio del centro de masa de un sislema de partlculas 243

puede ser nuestra galaxia y S' puede ser el resto del universe O tambten S puede

ser el sistema solar y S' el resto del universo. Podemos aiin considerar una mo-

lecula aislada, y agrupar los &tomos que la componen en das sistemas S y S'.

Designamos las particulas que pertenecen a S con el subindice i\ y aquellas

que pertenecen a S' con el indice j. El principio de conservaci6n del momentum

para el sistema aislado completo S + S' da

P = Ztpi + IjPj = const

Sistema S Sistema S'

P^Ps + Ps= const. (9-5)

Cualquier cambio en el momentum de S debe estar acompanado por un cambio

igual y opuesto en el momentum de S\ Vale decir,

APs=— &P*

Por consiguiente, la interacci6n entre los sistema S y S' puede ser descrita como

un intercambio de momentum. El estudiante debiera comparar las ecs. (9.5)

y (9.6) con las ecs. (7.5) y (7,8) para el caso particular de dos particulas y notar

la similitud.

Tomando la derivada temporal de la ec. (9.5), tenemos

dPs = _ dPs*(9.7)

dt dt

Llamamos a la derivada temporal del momentum del sistema S la fuerza externa

ejercida sobre S; esto es

^=Fext 6 A (ZiPi) = Fext . Mdt dt

Decimos fuerza externa porque el cambio de momentum de S es debido a su

interacei6n con S'. Las fuerzas internas que existen en S debidas a las interac-

tions entre sus particulas componentes no producen ningun cambio en el mo-

mentum total, de acuerdo con el principio de conservaci6n del momentum. Luego

si F'ext es la fuerza externa sobre el sistema S', la ec. (9.7) requiere queFext=—*"ext,

lo que constituye la ley de acci6n y reaccidn para las interacciones entre los sis-

temas S y S'.

Ya que, por la ec. (9.3), la velocidad del centro de masa de S es vCm = Ps/M,

tenemos a partir de la ec. (9.8) que

*5™ = Ma,„. (9-9)

dtFtex = M -^- = Mocm

Comparando este resultado con la ec. (7.15) vemos que

244 Dinamica de un sistema de particulas (9.2

el centro de masa de un sistema de particulas se mueve como si fuera

una parttcula de masa igual a la masa total del sistema sujeta a la

fuerza externa aplicada al sistema.

Los resultados expresados por las ecs, (9.6), (9.7), (9.8) y (9.9) indican claramente

que la interaction entre dos sistemas de particulas puede ser descrita formal-

mente en terminos identicos a los introducidos en el capitulo 7 para dos particulas.

Esto justifica, a posteriori, la manera informal en que ilustramos las aplicaciones

del principio de la dinamica en el capitulo 7 (donde cuerpos y no particulas fueron

tratados) en casos tales como la interaction entre la tierra y la luna, entre dos

moleculas, o en el movimiento de un cohete o de un autom6viL

Es interesante relacionar Fext con las fuerzas que actiian sobre cada particula.

Por simplicidad supongamos que nuestro sistema S est6 compuesto de dos par-

ticulas (Fig, 9-2). Designemos con F1%la fuerza interna sobre la particula mx

debida

a su interaccidn con m2, y con F2X la fuerza interna sobre m2debida a su inter-

action con mv La ley de action y reacci6n requiere que

Sea Fxla fuerza externa resultante sobre m

xdebida a su interacci6n con otras

particulas y F2 la fuerza externa sobre m2. Para obtener la ecuaci6n del movi-

miento de cada particula bajo la action de todas las fuerzas que actiian sobre

ella, aplicamos la ecuaci6n (7,12):

A_r1 + F. £-*. + *,

Sumando dichas ecuaciones y usando la ec. (9.10) de manera que F12 + F%1= 0,

encontramos que

dt dt

Por consiguiente, el cambio total por unidad de tiempo del momentum del sistema

compuesto por mx y m2 es igual a la suma de las fuerzas externas aplicadas sobre

mr y m2 . En general, para un sistema compuesto de un numero arbitrario de

particulas,

^-=4r Vtrt = z^ <9'12)at at

doride Ft es la fuerza externa sobre la particula m^ La comparaci6n con la ec. (9.8)

indica que

la fuerza externa sobre un sistema de particulas es la suma de las

fuerzas externas sobre cada una de las particulas del sistema.

Consideremos algunos ejemplos. La Fig. 9-3(a) muestra la tierra en su mo-

vimiento alrededor del soL El centro de masa de la tierra se mueve en la forma

9.2)Movimiento del centro de masa de un sistema de partlculas M5

Trayectoria del centro

de masa de la molecula

Trayectoria del centro

de masa de la tierra

(a) (b)

Trayectoria

lei centro de

nasa de la

;adena

Trayectoria del centro

de masade la granada

Trayectoriadel centro d<

masa de los

fragmentos

mdmmmmmmmmmmm^mz(c)

(d)

Fig. 9-8. El centro de masa de un sistema de partlculas sigue una trayectoria debida

a la fuerza exterior total actuante sobre el sistema.

en que lo haria una particula que tuviera una masa igual a la de la tierra y estu-

viese sujeta a una fuerza igual a la de las fuerzas ejercidas por el sol (y otros

cuerpos celestes) sobre todas las particulas que componen la tierra- La Fig. 9-3(b)

representa una molecula de agua. Suponiendo, por ejemplo, que la molecula estA

sujeta a fuerzas externas electricas, su centro demasa se mueve como si fuera una

particula de masa igual a la de la molecula sujeta a una fuerza igual a la suma de

las fuerzas actuantes sobre todas las particulas cargadas que componen la molecula.

La Fig. 9-3(c) ilustra el movimiento de una cadena lanzada al aire. El centro de

masa de la cadena se mueve como si fuera una particula de masa igual a la de la

cadena y sujeta a una fuerza igual al peso de la cadena, describiendo, por tanto,

una trayectoria parab61ica. Finalmente, en la fig. 9-3 (d), tenemos el caso de una

granada explotando en el aire; el centro de masa de los fragmentos continuara

moviendose a lo largo de la par&bola original, ya que el centro de masa se com-

porta como si fuera una particula de masa identica a la de la granada sujeta al

peso total de todos los fragmentos. El peso de los fragmentos no cambia con la

explosi6n puesto que la fuerza de gravedad es prdcticamente independiente de

la posicion en las cercanias de la superficie terrestre. Debemos notar, sin embargo,

que si el campo de fuerza no fuera constante sino dependiera de la posici6n,

los fragmentos resultantes de la explosion estarian sujetos a fuerzas diferentes

de aquellas a lo largo de la trayectoria original. La trayectoria del centro de masa

no continuaria entonces como antes de la explosidn ya que la suma de las fuerzas

exteriores seria diferente. Por ejemplo, si (debido a algiin cataclismo c6smico),

246 Dindmica de un sistema de particulas (9.2

un planeta del sistema solar se dividiera en varios fragmentos, el centro de masa

de los fragmentos no seguiria la trayectoria eliptica original del planeta puesto

que las fuerzas sobre los fragmentos serian diferentes.

EJEMPLO 9.1. Una granada que cae verticalmente explota en dos fragmentos

iguales cuando se halla a una altura de 2.000 tti y tiene una velocidad dirigida hacia

abajo de 60 m s-1. Inmediatamente despu6s de la explosion uno de los fragmentos

se mueve hacia abajo a 80 m s_1

. Hallar la posicidn del centro de masa del sis-

tema 10 s despues de la exp!osi6n.

mt = Ql

f=10s

910 m

2000 m

(a)

CM

no

2000 myn

-iCM

Ihn@ 1—

n '

2I t HOOm

91 ° m! 710 m! I

(c)

Figura 9-4

Solud6n: Podemos seguir dos m6todos (ver la Fig. 9-4). Ya que sabemos que comoresultado de la explosi6n las fuerzas exteriores no han cambiado, podemos suponer

que el centro de tnasa contimia movi6ndose como si no hubiese habido ninguna

explosi6n. Por tanto, despues de la explosi6n, el centro de masa estara a una altura

dada por % = z + v Qt + igP9donde z = 2000 m, v = — 60 m s-1

, y g == — 9,8 m s~ a

. Por consiguiente para t = 10 s, z = 910 m.Alternativamente, podemos computar directamente la posici6n del centro de

masa a partir de las posiciones de los fragmentos 10 s despues de la explosi6n.

Ya que se conserva el momentum de esta explosidn, tenemos que mp = m^ + m2vs .

Pero tambten m1= mt

= ±m ; luego 2v — vx + v2 . Por otra parte v = — 60 m S"1

y Vl = — 80 m s-1. Por tanto ua = — 40 m s-1 y el segundo fragmento se mueve

inicialmente hacia abajo. Despues de 10 s la posici6n del primer fragmento es

zx= z + vxt + igt

2 = 710 my el segundo fragmento tiene la posici6n z2 = z ++ v2t + igt*'= 1110 m. Aplicando la ec, (9.2), encontramos que la posici6n del centro

de masa es

= (Wi + (*"»)« = ^ +,2)= 910m,zrw

mde acuerdo con el resultado anterior.

EJEMPLO 9.2. Un chorro de gas sale por una manguera de secci6n a con una

velocidad v mucho mayor que la agitaci6n termica de las moleculas. Choca con

una pared que desvia las moleculas sin cambiar la magnitud de su velocidad,

Hallar la fuerza ejercida sobre la pared.

Solucidn: Al moverse las moleculas hacia la pared (Fig. 9-5), su velocidad estd di-

rigida hacia abajo. Despues de chocar con la pared empieza a moverse hacia arriba.

En ambos casos hacen un dngulo 8 con la normal AT, Cada motecula, como resul-

9.3)Masa reducida 247

///Desputfs

a = A

Antes

Fig. 9-6. Cambio de momentum de un chorro de gas chocando con una pared.

tado de su impacto con la pared, sufre un cambio At? en su velocidad, el que es pa-

ralelo a la normal N ya que 6sta tiene la direccidn de la fuerza ejercida por la pared.

La magnitud del cambio es |A«| = 2v cos 6. El cambio en el momentum de una

mol6cula es |Ap| = m\Av\ = 2mv cos 6 en la direcci6n de la normal N. Sea n el

numero de moteculas por unidad de volumen. Las moteculas que llegan a la pared

por unidad de tiempo estan contenidas en un volumen cuya longitud es igual a la

velocidad v y cuya seccidn es a. Por tanto su numero es n(av). Cada mo!6cula sufre

un cambio de momentum igual a 2mv cos 6. Por consiguiente, el cambio de mo-

mentum del chorro por unidad de tiempo es

F = (rcld) (2mv cos 6) = 2anmv* cos 6.

Sea A el Area de la pared que sufre el impacto del gas. En la figura vemos que

a = A cos 8, y, por tanto, nuestro resultado previo se transforma en

F — 2Anmv* cos* 8,

Esta, de acuerdo con la ec. (9.8), es la fuerza ejercida por -la pared sobre el chorro

de gas, y en vista de la ec. (9.10), el chorro gaseoso ejerce una fuerza igual y opuesta

sobre el area A de la pared. [La fuerza del viento sobre las velas de un bote estd

dada por esta ecuacidn. Ella da tambien la fuerza ejercida por el viento soplando

contra una pared durante una tempestad. En el ejemplo 9.16 veremos otra aph-

caci6n.]

Ya que la fuerza total no esta aplicada a una sola particula de la pared, sino

mas bien esta aplicada sobre un area, podemos introducir un concepto muy titil,

ya conocido del estudiante, que es la presi6n, deflnida como la fuerza del gas sobre

la unidad de area de la pared, Asi

(9.13)p = A

En el caso particular de este ejemplo, el gas ejerce una presidn sobre la pared igual

a 2nmv % cos8 8.

9.3 Masa reducida

Consideremos ahora el caso djL^sjarti^mutujLLeste.es el caso en que no actiianinguna fuerza externa sobre ellas (Fig. 9-6),

248 Dinamica de un sistema de parttculas {9.1

Las dos particulas pueden ser, por ejemplo, un electron y un prot6n en un dtomcaislado de hidr6geno. Las fuerzas internas mutuas Fn y F21 satisfacen la rela-

ci6n (9.10). Hemos dibujado dichas fuerzas a lo largo de la linea rlv Discutamosahora el movimiento relativo de las dos particulas. La ecuacibn del movimientopara cada partlcula relativa a un observador inercial es m^dvjdf) = F12 jm^idvjdf) = F^ o sea

dvx __ F12 dVt21

dt m1 dt m%

Sustrayendo estas ecuaciones, obtenemos

dvx d*?5 12 21

dt dt m, m<

FUsando la ec. (9.10), en la cual\Fn ==

cribimos el resultado precedente en la forma21* es-

d_

It^-vJ^i-L + ^F^ (9.14)

Pero vx— 1?2 = v^ es la velocidad de mx

relativa a m^ y por tanto

= <*I2

d . . dv12

<*i— *>2)= 12

dt dt

es la aceleracidn de m1relativa a m^. Introduzcamos una cantidad llamada la masa

reducida del sistema de dos particulas, y designada por y., definiendola como

i-+ j m1 + m2

m, m< m^m<t

ji = m1m2

ml + m%

(9.15)

La ec. (9.14) puede entonces ser escrita bajo la forma

«12F12

*12 = ^Otf- (9.16)

Este resultado importante expresa el hecho de que

el movimiento relativo de dos particulas sujetas unicamente a unainteraccion mutua es equivalente al movimiento, relativo a un obser-

vador inercial, de una particula de masa igual a la masa reducida

bajo una fuerza igual a la interaccion.

Por ejemplo, podemos reducir el movimiento de la luna relativo a la tierra a

un problema de una linica particula usando la masa reducida del sistema luna-

tierra y una fuerza igual a la atraccibn de la tierra sobre la luna. An£logamente,cuando hablamos del movimiento de un electron alrededor del nucleo, podemos

9.3) Masa reducida 249

suponer el sistema reducido a una particula con masa igual a la masa reducida

del sistema electrbn-nucleo moviendose bajo la fuerza entre el electr6n y el nu-

cleo. Por consiguiente, al describir el movimiento de dos particulas bajo su inter-

acci6n mutua podemos separar el movimiento del sistema en el movimiento del

centro de masa, cuya velocidad es constante, y el movimiento de las dos par-

ticulas, dado por la ec. (9,16), referido a un sistema de referenda ligado al centro

de masa.

Notese que si una de las particulas, por ejemplo mv tiene una masa mucho

menor que la otra, la masa reducida se puede escribir,

m m1 + m^m^

,(l-i). (9.17)

donde hemos dividido ambos terminos en la ec. (9.15) por m2 y usado la apro-

ximaci6n (1 + x)~x ^ 1 — x, de acuerdo a la ec. (M.28). Esto conduce a una

masa reducida aproximadamente igual a la masa de la particula mis ligera.

Por ejemplo, al discutir el movimiento de un satelite artificial alrededor de la

tierra podemos usar, con muy buena aproximaci6n, la masa del satelite y no la

masa reducida del sistema tierra-satelite. Por otra parte, si las dos particulas

tienen la misma masa (m1= m2), tenemos ^ = £%• Este es el caso de dos protones

interactuando entre si. Lo mismo vale, con muy buena aproximacidn, para un

sistema formado por un neutron y un prot6n, tal como ocurre en el deuter6n.

ejemplo 9.3, Calcular la masa reducida de los siguientes sistemas : (a) electr6n-

prot6n en un atomo de hidr6geno, (b) prot6n-neutr6n en un nticleo de deuterio.

En cada caso comparar el resultado con la masa de la particula mas liviana.

Solucidn: (a) Para el sistema electr6n-prot<Jn que comprende un atomo de hidr6-

geno, tenemos que me = 9,1091 x 10" 31 kg y mp = 1,6725 X 10" 27 kg. Por con-

siguiente, dado que me es mucho mas pequeiia que mP , podemos escribir, usando

la ecuachin (9,17),

txep - me (1——) = 9,1031 X 10- 31 kg.\ mP /mp

Vemos que \i difiere de me en alrededor de 0,06 %. A pesar de su pequenez, esta

diferencia produce resultados percibidos en muchos procesos at6micos.

(b) Para el sistema neutr6n-prot6n en el deuter6n, tenemos que ran = 1,6748 xx 10~ 27 kg, que es casi lo mismo que mp. Podemos entonces usar la f6rmula exacta,

ec. (9.15), la que da

^np =^^ = 0,8368 + 10-27 kg,mp + mn

resultado que es aproximadamente igual a la mitad de la masa de cualquiera delas particulas.

Ejemplo 9.4* Un observador mide la velocidad de dos particulas de masas m1

y /n2 y obtiene, respectivamente, los valores vt y v2 . Determinar la velocidad del centro

de masa relativa al observador y la velocidad de cada particula relativa al centro de

masa.

250 Dindmica de un sistema de particulas (9.3

»CM

Soluei6n: De la ec. (9.1) tenemos (Fig, 9-7)

/n^i + m2v2

/nt + mz

La velocidad de cada parttcula relativa al cen-

tro de masa, usando la transformaci6n Galileana

de velocidades dada por la ec. (6.9), es

-1 Vt =»! rGM = vx—

mt + m2

m2v12

va — v<

m,(t?i— v2) = .

ml + m2 nil + ms

^iK— vj __t?CM

™1*>12

Fig. 9-7

al CM.Movimiento relativo

mx + m2mt + m2

donde vl2'=

t?i — t?a es la velocidad relativa de

las dos particulas. Por tanto en el sistema C,

las dos particulas parecen moverse en direccio-

nes opuestas. El momentum de la particula 1 relativo al centro de masa es

P[ = ^i< = mAm2

m, + m2

«12 = H*>12

Por consiguiente el momentum de la particula 1 en el sistema C es igual a la masa

reducida del sistema multiplicada por la velocidad relativa. Analogamente, para

la particula 2,

pa= m2

v2= \iv21 = — \iv12 .

Asi veriflcamos que en el sistema de referenda del centro de masa las dos particulas

se mueven con momenta iguales y opueslas, y que el momentum total es P[ + P% - 0,

de acuerdo a la ec. (9.4). Ello se ilustra en la fotografia de la Fig, 9-8(a) cuyo ana-

lisis aparece en la Fig. 9-8(b).

Trayectoria del centro de masa

(b)

Fig. 9-8* Golisi6n entre dos cuerpos {mt - 2 kg, m. = 1,5 kg). La interacci6n

aparece solamente cuando los cuerpos se hallan muy pr6ximos entre si. (a) Fotografia

de exposici6n multiple del movimiento de los dos cuerpos. (b) Analisis graflco de la

fotografia, mostrando que el CM se ha movido en linea recta con velocidad constante

relativa al laboratorio.

9.4) Momentum angular de un sistema de parttculas Z51

Las relaciones que hemos derivado en este ejemplo son muy importantes en los

experimentos de dispersidn de fisica nuclear. En dichos experimentos las veloci-

dades de las particulas son medidas con relaci6n a un sistema de referenda L fljo

en el laboratorio. Pero las expresiones te6ricas para la dispersi6n son mas simples

cuando se las reflere al sistema de referenda del centro de masa, De ese modo las

relaciones entre ambos conjuntos de medidas deben ser conocidas, y para deter-

minarlas, debemos usar las f6rmulas derivadas anteriormente.

9A Momentum angular de un sistema de particulas

Discutamos ahora el momentum angular de un sistema de particulas. En la

ec. (7.32) definimos el momentum angular de una particula con relacion a un

punto dado como la cantidad vectorial

L = r x p = m(r x v), (9.18)

y obtuvimos en la ec. (7.38) una relacion entre L y el torque r = r x F de la

fuerza aplicada, Esto es

^ = r. (9.19)dt

Examinemos una situaci6n similar, en la cual sin embargo intervienen varias

particulas y no solamente una, Por simplicidad consideremos primero solamente

el caso de dos particulas. La ec. (9.19) aplicada a las particulas 1 y 2 da

dL* dL«1 = Tt v —4- = To.

dt

" u Jdt

Sumando las dos ecuaciones, obtenemos

A (L, + Z,2) =r1 + tr (9.20)dt

Supongamos que cada particula, ademas de su interaction con la otra estd some-

tida a una fuerza externa (Fig. 9-9). Entonces la fuerza sobre la particula 1 es

*i + ^12 y sobre la Particula 2 es F2 + F2V y

x1 = r1 x (F± + F12)

= r1xF1 + r1 x Fn ,

t2 = r2 x (F2 + F21)

= r2 x F2 + r2x Fu.

Dado que Fn = — F21 , el torque total sobre las particulas es

r1 + rz =r1 x Fx + r2 x F2 + (r2— r

x)x F21,

El vector r2— r±

= rn tiene la direcci6n de la linea que une las dos particulas.

Si es que suponemos especialmente que las fuerzas internas Fn y F21actiian a lo

largo de la linea r21 que une las dos particulas, los vectores r2— rx = rn y F21

252 Dindmica de un sistema de particulas (PA

\

son paralelos, y por tanto (r2— rx) x F21= 0. El ultimo termino de la ecuaci6n

anterior desaparece entonces, dejando solamente los torques debidos a las fuerzai

externas. Esto es, la ec. (9,20) se transforma eri|

I

dt — fu ext + *2f exf

Generalizando este resultado a cualquier nti-

mero de particulas, obtenemos

dLdt

text- (9.21

En esta ecuacion L = Z{Li es el momentumangular total de las particulas, y rext es el top

que total ejercido por las fuerzas externas so*

lamente, siempre y cuando las fuerzas interi

nas actiien a lo largo de las lineas que unen cada par de particulas. Expresandii

la ec, (9.21) en palabras, podemos decir que

la rapidez de cambio del momentum angular total de un sistema d\

particulas, relativo a un punto arbitrario, es igual al torque total

relatiuo al mismo punto, de las fuerzas externas actuantes sobre

sistema,

Este enunciado puede ser considerado como la ley fundamental de la din&mia

de rotation. En el capitulo 10 lo aplicaremos al movimiento de un cuerpo rigido.

Si no hay fuerzas externas, o si la suma de sus torques es cero, rext = 0> P<M

consiguiente

dL" (ZtLd

dt dt0.

Integrando, obtenemos

L = ZiLt = Lx + L2 + Lz + . . . = const. (9.2^

La ec. (9.22) constituye la ley de conservation del momentum angular, Expresad

en palabras, indica que

^USfiinez^uALiw^?1

total de un sistema ai&lado, o un sistgrna-spb*

el que actua un torque externo* totalnalo, es constants m magnihn

g direction.

Este es el caso, por ejemplo, de los electrones de un atomo cuando uno conside

linicamente las fuerzas internas debidas a la repulsion electrostatica de los ele

trones y a la atraccion electrostatica del niicleo, que son fuerzas internas a

tuantes a lo largo de las lineas que unen cada par de particulas. Tambien,

suponemos que el sistema solar est6 aislado y despreciamos las fuerzas debid

al resto de la galaxia, el momentum angular total de todos los planetas relativo

QA) Momentum angular de un sistema de particulas 253

centro de masa del sistema solar permanece constante. Esta conclusion es valida

con un alto grado de precision. Analogamente, la raz6n por la que la tierra se

mantiene rotando alrededor de su centro de masa con un momentum angular

que es esencialmente constante, es que las fuerzas externas debidas al sol y a los

otros planetas pasan por el centro de la tierra y por consiguiente tienen un torque

nulo (o aproximsidamente nulo) alrededor del centro de masa.

A pesar de la suposicion especial que utilizamos para derivar la ley de conser-

vation del momentum angular (esto es, que las fuerzas internas actiien a lo largo

de las lineas que unen cada par de particulas), esta ley parece ser universalmente

valida, aplicandose a todos los procesos observados hasta el momento, aunque

nuestra suposicion especial no parezca ser valida. La ley de conservaci6n del

momentum angular implica que si, en un sistema aislado, el momentum angular

de una parte del sistema cambia debido a interacciones intensas, el resto del sis-

tema experimenta un cambio opuesto de momentum angular, de tal manera

que el momentum angular total se ha conservado.

Por ejemplo, en un niicleo en desintegracion las particulas emitidas, en muchos

casos un electrdn y un neutrino, poseen cierto momentum angular. Dado que en

el proceso de desintegracion solamente actuan fuerzas internas, el momentumangular del niicleo debe cambiar exactamente para compensar el momentum an-

gular de las particulas emitidas. Analogamente, si un atomo, molecula, o nucleo

emite radiacidn electromagnetica, su momentum angular debe cambiar de modo

de compensar exactamente el momentum angular de la radiaci6n. Algunas veces

ciertos procesos que podrian ocurrir en la naturaleza no ocurren debido a que

algiin aspecto caracteristico de ellos entrana una violation de la conservation del

momentum angular.

EJEMPLO 9.5. Momentum angular de dos particulas relativo a su centro de masao sistema de referenda C.

Soluci6n: Sea r12= r

2— r2 el vector posici6n de la particula 1 relativo a la par-

ticula 2. La posicidn del centro de masa de las dos particulas (referirse a la Fig, 9-6)

relativo al sistema de referencia L es

mxrx + m2r2

**cm = m1 + m2

Por tanto el vector position de cada particula relativo al centro de masa o sis

tema de referencia C es

m2(rl— r2) m2r12

r'j = rx— rcM =

rs — r2— rCM =

mr + m2 77*! + m2

m2(r2 — rx) = _ m1ru

Usando los resultados del ejemplo 9,4, obtenemos el momentum angular relativo

al centro de masa,

Lqm. = r[ * p[ + rj * Pa

= f_jn^_\x + / ^\ x ^

V mt + m2 / V mx + m2 }

= E""l2X *>12 = *li * (M-»»)»

254 Dindmica de un sistema de parliculas (9.4

Luego, el momentum angular del sistema relativo al centro de masa es el mismcque el de una sola particula de momentum \ivlt y vector posicidn rlt . N6tese que em

la expresidn final para £cm, las unicas cantidades que aparecen son aquellas que des*

criben la posicidn relative, y el movimiento relativo de las dos particulas.

Este resultado, por ejemplo, es importante al cotnputar el momentum angulai

de un atomo de hidrigeno. Debemos usar la distancia y la velocidad del electrin

relativas al protdn, pero debemos reemplazar la masa del electrdn por la masa re-

ducida del sistema electr6n-prot6n, esto es, Lcm = n*j>rep x t?ep, donde los subindi-

ces ey pse refieren al electron y al protein, respectivamente.

Tratandose de un sistema de muchas particulas, es costumbre referir el momen-tum angular total al centro de masa, y entonces llamarlo momentum angular in-

terne* del sistema. El momentum angular interno es asl una propiedad del sistema,

y es independiente del observador. En el caso de un cuerpo rigido o de una particula

elemental, el momentum angular interno se llama tambign spin.

EJEMPLO 9.0. Relacidn entre el momentum angular de un sistema de particulas

relativo al centro de masa o sistema C (momentum angular interno) y el momen-tum angular relativo al laboratorio o sistema-L.

Solucidn: Por simplicidad consideremos un sistema compuesto de dos particulas.

El momentum angular relativo al laboratorio o sistema-L es

L = rtx pj + r

8x p% .

Si t?! y », son las velocidades relativas al sistema L y t?'x y tjj las velocidades rela-

tivas al sistema-C, tenemos que vt= v[ + vcm y vt — ri + rcM. Entonces p x

—= m±vt

= mx(v[ + ©cm) = pj + h^vcm, y analogamente ps = pi + mtvcu.. Por tanto,

recordando que rx— rlx+ rod y rt

= rg' + rcM, obtenemos

L = (r'x + «cm) * (Pi + /h^cm) + (ri + rcM) * (pj + mtt>cu)

= r[* p{ + rj x pi + rcM * (p[ + Pi) + (ny-j + m,*,) x t>cM,

Recordamos el ejemplo 9,4 o la ec. (9.4) en que p{ + pj = y las deflniciones dc

Lcm (ejemplo 9.5) y rcM (ec. 9.2), concluyendo que el momentum angular relativo

al sistema-1 del laboratorio es

L = Lcm + (mx + m^rcM * »cm = Lcm + Mrcu x t>cM. (9,23)

El primer t&mino de la derecha da el momentum angular interno relativo al sis-

tema-C, y el ultimo termino, el momentum angular externo relativo al sistema-L,

como si toda la masa del sistema estuviera concentrada en el centro de masa. Poi

ejemplo, cuando un lanzador arroja una pelota rotando, el momentum angulai

debido a la rotacidn estt dado por Lcm, mientras que el momentum angular debidfl

a la traslaci6n de la pelota esta dado por mboia rcM x *?cm. Una situacidn analogs

ocurre para el fclectrdn en rotacidn dando vueltas alrededor de un prot6n en un

dtomo de hidrdgeno. Esto indica otra vez que podemos separar el movimiento

interno del movimiento del centro de masa en lo que se refiere al momentum an-

gular. Aunque nuestra demostraci6n vale s6Io para dos particulas, este resultado

es v&lido para un sistema compuesto de cualquier mimero de particulas.

EJEMPLO 9.7. Relacidn entre el torque externo alrededor del centro de masa yel momentum angular interno de un sistema de particulas.

Solucidn: Considerando de nuevo, por simplicidad algebraica, un sistema compuesto

de dos particulas m, y m% sujetas a fuerzas externas Fx y Ft , tenemos que el torque

total externo relativo al origen de coordenadas en el sistema L es

Text = r, x Fx + r% x Ft = (rj + rCM) x F

x + (rj + rcM) x F%

= r/ x ^ + rj x F, + f^ k (Fx + F

8).

9.5) Energia cinetica de un sistema de partlcutas 255

Los dos primeros t6rtninos dan el torque externo relativo al centro de masa, que

sera designado por tcm, mientras que el ultimo termino da el torque de la fuerza

externa resultante Fext = F2 + Fa como si estuviera aplicada en el centro de masa.

por tanto

Text = tcm + rcM * Fext. (9.24)

pero, del resultado del ejemplo 9.6, se obtiene L = lCm + Mtoa * vcm. Tomando

la derivada temporal de esta expresi6n, obtenemos

dL dLcu, ™ rffCM— = —— + MrcM * —

—

dt di dt+ M —— x *?CM

dt

Recordamos que drcw/dt — i?cm, de manera que el ultimo termino es cero y, usando

la ecuaci6n (9.9) (esto es, Fext = M dvcM/dt), obtenemos

dL

dt

dLcu

dt+ rCM x Fext.

Sustituyendo en la ec. (9.21) las expresiones para dL/dt y Text, que acabamos de

obtener, reconocemos que

dLcm

dtTCM. (9.25)

Esta relaci6n es formalmente id6ntica a la ec. (9.21), pero existen algunas diferen-

cias basicas. La ec. (9.21) es valida solamente cuando el momentum angular y el

torque se evaluan con relacitfn a un punto fijo en un sistema inercial de referenda,

usualmente el origen de coordenadas. Por otra parte, la ec. (9.25) es valida para el

centro de masa, aun si no esta en reposo con relaci6n a un sistema inercial de refe-

renda. Aunque esta ecuaci6n ha sido probada para dos particulas, es tambien

valida para un sistema compuesto de cualquier niitnero de particulas. Es espe-

cialmente util para discutir el movimiento de un cuerpo rtgido.

9.5 Energia cinetica de un sistema de particulas

Consideremos un sistema compuesto de

dos particulas de masas mxym2 , sujetas

a las fuerzas externas F1 y F2 y a las

fuerzas internas F15! y F21

. En un cierto

instante las particulas ocupan las posi-

ciones indicadas en la Fig. 9-10, movien-

dose con velocidades vx y vza lo largo

de las trayectorias Cx y C2. La ecuacion

del movimiento de cada particula es

xax= F± + Fw

™2°2 — *' 2 (9.26)

En un pequeno intervalo dt, las parti-

culas experimentan desplazamientos drx

m.

256 Dindmica de un sistema de particulas (9.5

y dr2 tangentes a sus trayectorias. Al tomar el producto escalar de las ecs, (9-26),

la primera con drx y la segunda con dr2 , obtenemos

mxa^drx

= Fx -drx + Fu -drv

y

m^-dr, = F2 >dr2 + Fn -drr

Sumando dichas ecuaciones y recordando que F^ = — F2V obtenemos

mxa^drx + m^4r%= Fx*drx + F2-dr2 + F12idrx

— drj. (9.27)

Ahora, dado que drjdt = vx y vx *dvx= v

xdvv obtenemos que ax

*drx= (dvjdt)*

*drx = dvx*(drxjdt) = vxdvv An&logamente, a2 *dr2 =vz

dv2rTambien drx— dr% =

= d(rx— rg) = drX2rPor consiguiente la ec. (9.27) se transforma en

m1u1du

1 + m2v2 dv2 = F

x*dr

x + F2 *dr2 + Fn *dr12.

Integrando a partir de un tiempo inicial / hasta un tiempo arbitrario U obtenemos

i

xvxdv

x + m2

v2 dv% = (Frdrx + F2-dr2) +

+ i* Fl2 *dr12 , (9.28)

donde A y B son simbolos usados para designar la position de ambas particulas

en los tiempos t y L Puesto que JS #v dv = \iP— ty^ obtenemos, para el miem-;

bro izquierdo de la ec. (9.28),

Q™A — i*v4) + (imA — i"Vlo)

= (±mA + W>S) — &mAo + W&)= Ek— Ekt0,

donde

Ek = ±mxu\ + ±m^ (9.29)

es la energia cinetica total del sistema de dos particulas en el instante /, y E^la energia cinetica total en el instante * relativa al sistema de referencia del

observador* El primer termino en el miembro derecho de la ec. (9.28) da el tr*

bajo total Wext hecho por las fuerzas exteriores durante el mismo intervalo d<

tiempo. Vale decir,

Wext =f

B

(Fi- dri + P*mdr&

Finalmente el ultimo termino de la ec. (9.28) da el trabajo Wjnt hecho por lai

fuerzas interiores. Esto es,

Wint = f Fn -dr12 ,-J/»

gg) Conservacidn de la energla de un sistema de partlculas 257

Sustituyendo estas notaciones en la ec. (9.28) obtenemos

Ek- EK0 = Wext + Wtat, (9.30)

lo que se puede expresar diciendo que

el cambio de energla cinetica de un sistema de partlculas es igual al

trabajo efectuado sobre el sistema por las fuerzas exteriores e interiores.

Esta es la extensi6n natural de nuestro resultado previo para una particula dado

en la ecuaci6n (8*13), y es v&lido para un sistema compuesto por cualquier nu-

mero de partlculas.

9M Conservacidn de la energla de un sistema de partlculas

Supongamos ahora que las fuerzas internas son conservativas, yque por tanto

existe una funcidn EPin dependiente de las coordenadas de mx y m^ tal que

Wint

rB= I Fn*dr^ = £p,i2,o~ EP,n (9 -31)

donde EPtU se refiere al instante / y -EPtl2 ,o a* instante fQ. Llamaremos a EPM la

energla potencial interna del sistema. Si las fuerzas interiores actiian a lo largo

de la linea rn que unen las dos partlculas, entonces la energia potencial interna

depende solamente de la distancia rn , por la misma raz6n que la energia poten-

cial debida a una fuerza central depende solamente de la distancia r (secci6n 8.10).

En este caso la energla potencial interna es independiente del sistema de refe-

renda ya que contiene s61o la distancia entre las dos partlculas, situaci6n que

representa razonablemente bien la mayoria de las interacciones que se encuentran

en la naturaleza. Sustituyendo la ec. (9.31) en la ec. (9,30), obtenemos Ek— Eki0=

= Wext + EPtl2tQ— EPMt o sea

(Ek + EPaa)- (Ek + EPtia) - Wext- (9.32)

La cantidad

U = Ek + Ep,12= \m

xv\ + ±ny| + Ep>n (9.33)

ser£ llamada la energia propia del sistema, Esta es igual a la suma de las energias

cineticas de las particulas relativas a un observador inercial y su energla potencial

interna, la cual, como lo mostramos antes, es (bajo nuestra suposici6n) indepen-

diente del sistema de referenda.

Si en vez de dos particulas tenemos varias, la energia propia es

U = Ek + Ep ,int = ytmti + 2 £/MJ>Todas las Todo:partlculas pares

las Todos los ^ * *

258 Dindmica de un sistema de particulas (9.6

donde

Todas las

particulas

^p.int — ^ ^P,0' - ^P,12 "T ^P,13 ~T • • + ^P,23 + • * ••

Todos los

pares

N6tese que la primera suma, correspondiente a la energia cinetica, tiene un t6r-

mino para cada particula. Notese tambien que la segunda suma, correspondiente

a la energia potencial interna, tiene un termino para cada par de particulas, yaque se refiere solamente a la interaction entre dos particulas. Si no hay fuerzas

interiores, toda la energia propia es cinetica.

Sustituyendo la definition (9.33) de energia propia en la ec. (9.32), obtenemos

U-U =WtXt , (9.35)

1© que establece que\

i

el cambio de la energia propia de un sistema de particulas es igual\

al trabajo efectuado sobre el sistema por las fuerzas externas. j

Este importante enunciado se llama la ley de conservacion de la energia. Hastaj

ahora la ley ha aparecido como una consecuencia del principio de la conservaci6n:

del momentum y la suposicion de que las fuerzas interiores son conservativas.:

Sin embargo, esta ley parece ser verdadera en todos los procesos que observamos|

en el universo, y por tanto se le concede validez general, mas alia de las supo-j

siciones especiales bajo las cuales la hemos derivado. La ec. (9.8) expresa la]

interacci6n del sistema con el mundo exterior por medio de su cambio de mo-mentum. La ec. (9.35) expresa la misma interaccion por medio del cambio de ener-

gia del sistema.

Consideremos ahora un sistema aislado en el cual Wext = 0, ya que no hayfuerzas exteriores. Entonces U— U = o sea 17 = t/ . Esto es,

.1

la energia propia de un sistema aislado de particulas permanecel

constante,

bajo la suposicion de que las fuerzas internas son conservativas. Si la energia

cinetica de un sistema aislado aumenta, su energia potencial interna debe dis-

minuir en la misma cantidad de manera que la suma permanezca igual. Por'

ejemplo, en una molecula de hidrogeno aislada, la suma de la energia cineticai

relativa a algiin sistema de referencia inercial y la energia potencial interna de;

dos protones y de dos electrones permanece constante.

El principio de conservacion del momentum, junto con las leyes de conser-j

vacion de la energia y del momentum angular, son reglas fundamentals que.

segiin parece gobiernan todos los procesos que pueden ocurrir en la naturaleza.

Puede suceder que las fuerzas externas actuantes sobre un sistema sean tambien!

conservativas de modo que Wext se puede escribir como Wext = EPiexttQ— i?p,«xt

t:

g$) Conservation de la energia de un sislema de particulas 259

donde £P ,ext,o y -Ep.ext son los valores de la energia potencial asociada con las

fuerzas externas en los estados inicial y final. Entonces la ec. (9.35) se trans-

forma en

U— U = £pfext,o

~ -Ep,ext

o sea

U + £p>ext = U + £p,ext,o-

La cantidad

E = U + £Pjext = Ek + EPtint + £p,ext (9.36)

se llama la energia total del sistema. Permanece constante durante el movimiento

del sistema bajo fuerzas conservativas internas y externas. Este resultado es

similar a la ec. (8.29) para una sola particula.

Por ejemplo, un atomo de hidrogeno, compuesto de un electron y de un proton,

tiene una energia propia igual a la suma de las energias cineticas de electr6n yproton y la energia potencial interna debida a su interaccion electrica. Si el

atomo est& aislado, la suma de dichas energias es constante. Pero si el atomo

esta en un campo externo su energia total debe incluir, ademas, la energia poten-

cial debida al campo externo, y esta energia es entonces la que permanece constante.

Como otro ejemplo, consideremos las dos masas mx y m2unidas a un resorte

cuya constante elastica es k. Si el sistema se lanza al aire, la energia cinetica es

^mxv\ + %m2v% la energia potencial interna, debida a la extension o compresion

del resorte, es igual a ^/cx2, donde x es la deformation del resorte, y la energia po-

tencial externa (debida a la atraccion gravitatoria de la tierra) es rn1gy1 + ni

zgy2 ,

donde yr e y2 son las alturas de las particulas sobre la superficie terrestre. Laenergia propia del sistema es entonces U = ^m-^vf + \m2v\ + ^kx2

y, si no hay

otras fuerzas actuantes sobre el sistema, la energia total es

E = %mxv\ + %m2v\ + ^kx* + m1gy1 + m$y29

y esta energia debe permanecer constante durante el movimiento.

Dado que la energia cinetica depende de la velocidad, el valor de la energia

cinetica depende del sistema de referenda usado para discutir el movimientodel sistema. Llamaremos energia cinetica interna Ejt.CM a la energia cinetica refe-

rida al centro de masa. La energia potencial interna que depende unicamentede la distancia entre las particulas, tiene el mismo valor en todos los sistemas de

referenda (como se explico antes) y, por tanto, defmiremos la energia interna

del sistema como la suma de las energias cinetica y potencial internas.

t^int — Eji.CM + £p,int- (9.37)

En el futuro, al tratar de la energia de un sistema de particulas, nos referiremos

p& general solamente a la energia interna, aun cuando no escribamos el sub-

todice cm.

La energia potencial interna de algunos sistemas es en circunstancias espe-ciales, despreciable comparada con la energia cinetica interna. Ello se cumple,

260 Dindmica de un sistema de parttculas (9.6

por ejemplo, en el caso de un gas a alta temperatura. En esta circunstancia la

energia interna puede considerarse totalmente cinetica, y el principio de con-

servaci6n de la energia se reduce a la conservaci6n de la energia cinetica.

EJEMPLO 9*8. Relaci6n entre la energia cinetica de un sistema de particulas re-

lativa al laboratorio o sistema-L y la energia cinetica interna relativa al centro demasa o sistema- C.

Solucidn: Consideremos por sitnplicidad dos particulas de masas mx y m^ con velo-

cidades vx y t?a en el sistema-L, y velocidades v{ y vi en el sistema- C, Los dos con-

juntos de velocidades estan relacionados por t^ = v[ + vcm y v2= vi + *>cm,

donde «?CM es la velocidad del centro de masa relativa al sistema-L.

Ek = im^l + %m%v\ = imi(v{ + vcm) 2 + \mjiv't + t?CM) 2.

Podemos reescribir este enunciado como

Ek = \mxv[2 + im2ui

2 + %(mx + mz)u2cM + (m^i + inavi) -vgm.

La cantidad mxv{ + m2

v'2 es el momentum total del sistema referido al centro demasa, y por la ec. (9.4), debe ser cero. {Ver tambiSn ejemplo 9.4). La energia ci-

netica interna £*,cm referida al sistema-C es £*,cm = itfyji** + im2y2a

- Por con-

siguiente la energia cinetica Ek del sistema, referida al sistema del laboratorio,

puede ser escrita como

Etc = Ek,CM + i(™i + ™a)"CM = Ek,CM + iMv2

CM . (9.38)

El primer termino, Ek,CM, es la energia cinetica interna. El segundo t£rmino enla derecha es la energia cin6tica de una particula de masa M — m

x + mz movi&ndosecon el centro de masa, Se le llama la energia cin&ica de traslacidn del sistema..

Aunque la ec. (9.38) ha sido probada para dos particulas, vale tattibien para un?

sistema compuesto de un numero arbitrario de particulas.

Notamos una vez m&s que podemos separar el movimiento del sistema en dos,

partes, cada una con una energia cinetica bien definida. Una es el movimiento de"

traslaci6n con la velocidad del centro de masa, y la otra es el movimiento interno

relativo al centro de masa.Consideremos nuevamente el caso de un lanzador tirando una bola en rotaci6n.

La energia cinetica total de la bola relativa al suelo es la suma de su energia ci-

netica interna relativa al centro de masa, que corresponde a la energia cinetica

de rotacidn, y su energia cinetica de traslaci6n relativa al suelo, que es ±m wqm*Una situaci6n similar es la de una mol6cula. En general, es en el movimiento in-j

terno en el que estamos interesados y por tal raz6n, se prefiere el uso del sistema-C^

para describir muchos procesos.)

Como hemos dicho antes, la energia potencial interna EP ,1Z depende solamentej

de la distancia entre mx y m2 , y es la misma en los sistemas Cyl. Sumando Ep#^en ambos lados de la ec. (9.38) y usando la ec. (9.33), podemos escribir

U = Uint + 1Md£m,

donde Uint = ^*,cm + Ep ,n . Esta ecuaci6n relaciona la energia interna Uint yla energia propia U medida en los sistemas de referenda CyL Ndtese que para

un sistema aislado vcm es constante y por consiguiente, si U es constante, Uint tam-bi6n lo es. Esto es, cuando la energia es conservada en un sistema inercial L 9

tambten es conservada en el sistema del centro de masa C, y reciprocamente.

ejemplo 9.9. Expresar la energia cinetica interna de dos particulas en t^rminosde su masa reducida y su velocidad relativa.

9$) Conservation de la energia de un sistema de parttculas 261

Solucidn: La energia cinetica interna es Z?*,cm — imxvl%-f \nw£* Usando los re-

sultados del ejemplo 9.4, esto es,

obtenemos

™2*?12 „> m\v\*

Vl _ ^ __^

t?2—

,mx + /na m1-\- m9

£i,CM = imil-^-f + im, l-^-X - ^i,

Encontramos asi, como lo hicimos antes para el momentum angular en el ejem-

plo 9.5, que la energia cinetica interna de un sistema de dos particulas es equiva-

lente a la de una particula de masa igual a la masa reducida moviendose con la

velocidad relativa t?12 . Por ejemplo, la energia interna de un atomo de hidr6geno

es Uint = iM-ep^ep + Ep(rtp), donde los subindices se refieren al electr6n y al prot6n.

Los resultados que hemos derivado en 6ste y los ejemplos anteriores son de granimportancia por sus numerosas aplicaciones, especialmente en la fisica at6mica ynuclear.

La tabla 9-1 muestra las relaciones mas importantes que hemos derivado hasta

el momento en este capftulo, relaciones usadas en muchas aplicaciones.

TABLA 9-1

Relaci6n Niimero de la

ecuaci6n

Relaciones cinematicas

P = Mvcm (Pcm = 0) (9,3)

L — LCM + MrcM * *?CM (9,23)

Text = TCM + rCM * *ext (9,24)

Ek = Et,CM + iMvhu (9,38)

Relaciones dinarnicas

dP/dt = Fext (9,8)

o Mocm = Fext (9,9)

dL/dt = Text (9,21)

o dLcM/dt = tcm (9.25)

Ex— Ek,= Wext + Wint (9,30)

U— U = Wext (9,35)

Deflniciones de energia

Energia propia, U — Ek + EP,int (9,33)

Energia interna, Uint = Ek.CM + Ep,fat (9,37)

Energia total E = Ex + Epjm + EPt^x (9,36)

262 Dindmica de un sistema de parttculas (9.7

9.7 Colisiones

Fig. 9-11. Conservaci6n de la ener-

gia y del momentum en una colisi6n.

Cuando dos particulas se aproximan entre si, su interaction mutua altera su

movimiento, produciendo un intercambio de momentum y energia, Decimos

entonces que ha habido una colision (podemos decir lo mismo cuando tenemos

dos sistemas en liigar de dos particulas). Esto no significa necesariamente que

las dos particulas (o sistemas) hayan estado fisicamente en contacto, en un sen-

tido microscopico, como sucede en el caso de la colision macrosc6pic& entre dos

bolas de billar o dos carros. Significa, en general, que ha ocurrido una interaction

cuando las dos particulas estaban proximas

una de la otra, como sucede en la regi6n

sombreada de la Fig. 9-11, produciendo un

cambio medible en sus movimientos en unintervalo de tiempo relativamente peque-

no. Por ejemplo, si un electron o un pro-

ton se aproximan a un Atomo, las fuerzas

electricas empiezan a actuar, produciendo

una perturbation notable en los movimien-

tos de las particulas. La curvatura de la

trayectoria de un cometa cuando se apro-

xima al sistema solar es tambien un choque.

Algunas veces se utiliza el termino dispersion

para referirse a choques en que las particulas (o sistemas) finales son las mismas

que las initiates.

En algunos choques, sin embargo, las particulas o sistemas finales no son ne-

cesariamente identicas a las iniciales. Por ejemplo, en un choque entre un atomo Ay una molecula BC, el resultado final puede ser la molecula AB y el atomo C.

De hecho, esta es la forma en que ocurren muchas reacciones quimicas.

En un experimento de laboratorio sobre choques, uno generalmente conocej

exactamente el movimiento de las particulas antes del choque, ya que dicho'

movimiento depende de como se ha preparado el experimento, Por ejemplo, unaj

de las particulas puede ser un proton o un electron acelerado por un acelerador

electrostatico y la otra particula puede ser un atomo practicamente en reposo'

en el laboratorio. Entonces se observa el estado final; esto es, el movimiento;

de las particulas ya muy lejos de la region de donde chocaron. Si conocemoa

las fuerzas entre las particulas, podemos computar el estado final, siempre ycuando conozcamos el estado initial. EI analisis de tales experimentos nos pro-;

porciona information valiosa acerca de la interaction entre las particulas quel

chocan. Esta es una de las razones por las cuales los experimentos de choque soul

tan interesantes para el fisico. 1

Ya que solo fuerzas internas entran en action durante un choque, tanto el

momentum como la energia totales son conservadas. Sean p± y p2momenta de

las particulas antes del' choque y p[ y p'% momenta despues del choque* La!

conservation del momentum requiere que

Pi + V% = Pi + P2 (9.39)1

9.7) Colisiones 263

La energia potential interna antes del choque es EPtl2 . Despues del choque, debido

a que puede haber reagrupaciones internas, dicha energia puede ser diferente,

digamos £p12* Analogamente, las masas no tienen porque ser las mismas. Por

ejemplo, un deuteron es un nucleo compuesto de un neutr6n y un prot6n; al

pasar cerca a otro nucleo, el neutron puede ser capturado por el segundo nucleo,

de manera que el proton continua separadamente y las particulas finales consis-

tiran de un prot6n y un nucleo con un neutron extra.

La conservation de la energia, de acuerdo a la ec. (9*35), es entonces

Ek + Ep,i2 = E'k + Ep,w

donde, recordando la ec. (8.12), tenemos

(9.40)

Ek == \mxv\ + \m

2v\ =

.a +-2m

12m

2

'

E'k ==WA2 + im 2y2

2

2m[

P'i

2m'2

Introduzcamos una cantidad Q 9definida por

= &k &k == ^Pt]2"— E' (9.41)

y por consiguiente igual a la diferencia entre las energias cineticas inicial y final

o entre las energias potenciales internas. Cuando Q — 0, no hay cambio en la

energia cinetica y la colision se llama eldstica. Si no es asi, es ineldslica. Cuando

Q < 0, hay disminucion en la energia cinetica con un correspondiente aumentoen la energia potencial interna, y decimos entonces que hay una colision ineldstica

de primera close (o endoergica). Cuando Q > 0, hay aumento en la energia cinetica

a expensas de la energia potencial interna, y tenemos entonces una colision ine-

ldstica de segunda clase (o exoergica).

Usando la ec. (9.40) en la ec, (9,41), podemos escribir

d'2 d'2 d 2 n 2

-^T + ^T = -^ + ^+Q- (9-42)2m[ 2m

%2m

x2m

2

Las ecs. (9.39) y (9.42) son suficientes para resolver el problema del choque com-

pletamente.

Si referimos los choques al centro de masa, el momentum total es cero de acuerdo

a la ec. (9.4), de mode que px= — p2 y p[ = — p'v Podemos entonces sim-

plificar la ec. (9.42) para Ilegar a

<(Jr + JA>? _±(± + _L) p. + c

°» usando la ec. (9.15), que define la masa reducida, podemos obtener

'2Pi Pi

2\x 2\l+ Q (en el sistema-C de referenda). (9.43)

264 Dinamica de un sistema de partlcutas (9.7

N6tese que usamos la misma Q porque, en virtud de su defmicidn (9.41), es in-

dependiente del sistema de referenda. En un choque, hay siempre intercambiode momentum entre las dos particulas, pero no necesariamente intercambio deenergla cinetica entre ellas* Por ejemplo, si el choque es el&stico (Q = 0) y las

particulas finales son las mismas que las iniciales fa = \l% la ec, (9,43) da px= p'

x

y por consiguiente p'2= p2, Asi en el sistema del centro de masa, los momenta

despues del choque elistico tienen las mismas magnitudes que antes y las par-ticulas retienen sus energias cineticas, de modo que no se intercambia energiacinetica entre ellas con relation al centro de masa. Sin embargo ha habido unintercambio de momentum ya que las direcciones de sus movimientos han sidocambiadas.

i

EJEMPLO 9.10. Obtener el valor Q para una reaccWn de captura,i

Solucidn: Un ejemplo interesante de choque ineldstico ocurre cuando despuSs dtfuna colisi6n, las dos particulas contintian moviSndose juntas. En fisica nuclea

'

este proceso se llama reaccidn de captura. Ocurre, por ejemplo, cuando un neutr6ichocando con el prot6n de un atomo de hidrdgeno es capturado para formar ui

micleo de deuterio. Otra colisi6n que puede ser de este tipo es el choque entre docuerpos plasticos. En este caso, las dos particulas despues de la colisidn, se muevei*juntas con la velocidad del centro de masa. Esto es, recordando el ejemplo 9A\

»CM = m^ + m2vs

La Q de la reaccidn es entonces

1

2 mv + ma

(i?j — r2)a = — iiivli*>

y por tanto Q depende completainente de las velocidades relativas antes del choqw^Puede el estudiante dar significado al valor obtenido para Q 9 en vista del resulta<del ejemplo 9,9?

Y

Pi m2

p2 = Q

Antes

(a)

Despues

(b)

Fig. 9-12. Relacion entre los momentos relativos al sistema-L antes y despu4del choque.

EJEMPLO 9.11. Obtener Q en t£rminos de la energia cinetica de las particiantes y despues del choque, suponiendo que inicialmente nil tiene un momentum

9.7) Colisiones 265

(a)(b)

Fig. 9-13. (a) Choque de dos bolas de billar iguales. (b) Choque entre dos particulasa (nucleos de helio). En ambos casos, una de las particulas estaba inicialmente enreposo en el sistema-L, y los momenta de las particulas son perpendiculares entre sien el sistema L despues del choque. La flgura (a) es cortesia de Educational ServicesInc.

'

y que m2 esta en reposo (p2 = 0) (ver la Fig. 9-12). Suponer tambien que las masas

de las particulas despues del choque son m[ y mj.

Solucidn: La conservation del momentum da p' + p' = Pl o »« = », — »' Porconsiguiente

Psa = (Pi— P[y = Pl + pj«— 2plP|' cos 6.

Usando la deflnici6n (9.41) para Q tenemos

QPi

2, Pa

8

2m{ 2m'i

PL. = Pi" Pl +2m'2

o sea

2mx 2mi 2ml

(Pl +P?— 2p1p1'cos6)

Recordando que Ek = p 2/2/n, podemos expresar el resultado anterior como

Este resultado, conocido como la ecuacidn Q es de mucha aplicaci6n en fisicanuclear.

Cuando la co!isi6n es elastica (Q = 0) y todas las particulas son identicas (mx=-m1

=, m% = mi), la conservaci6n de la energia da p(* + p^ = pf, mientras que laconservacion del momentum da P1 =Pi+p /

2t permitiendonos obtener p? + p? ++ ^Pi*pJ = p}. Combinando estos resultados obtenemos pf*p; = o seaquep{esPerpendicular a pj. Por tanto, en el sistema L, las dos particulas se mueven en anguloecto despu6s de la colisidn. Esto puede apreciarse en la fotografia de la Fig. 9-13 (a),que Uustra la colisi6n de dos bolas de billar, una inicialmente en reposo. La Fig, 9-13l fi

) muestra la colisi6n de dos nucleos de helio en una c£mara de niebla; el niicleo de

266 Dindmica de un sistema de particulas (9.7

helio incidente es una partlcula a proveniente de una sustancia radioactiva y el

micleo de helio que es bianco, pertenece al gas de la camara. En ambos casos las

dos particulas se mueven en angulo recto despues del choque.

EJEMPLO 9.12. Una granada en reposo en el sistema-L explota en dos frag-

mentos. Hallar las energias de Ios fragmentos en terminos de Q.

Soluci6n: Como la granada estaba inicialmente en reposo, el momentum total es

cero. Despues de la explosi6n los dos fragmentos se separan en direcciones opues-

tas con momenta px y j»2 de tal modo que px + pa = 0, o en magnitud px = pa.

Entonces, a partir de la ec. (9.41), con E'k — pt/2m + pl/2m y Ek = 0, obtenemos

\ (— +—) p\ = Q y Pi = P2 = tfiiQ)1 '".

I

Las energias cin^ticas de los fragmentos son

Ek,i — Pi

2m1 mv + ma

Ek,n 2P2 mtQ2m, mj + m2

Fig. 9-14. Fotografla, en camara de niebla, de las trayectorias de dos fragment*

producto de la fisi<5n de un niicleo de uranio [Boggild, Brostrom y Lauritsen, Pity

Rev. 59, 275 (1941)]. Inicialmente el nucleo de uranio se hallaba en reposo sobre 1

delgada placa metalica horizontal al centro de la fotografla. Los dos fragmento

se mueven en direcciones opuestas. Por el analisis de las trayectorias puede estimate

las energias de los fragmentos, las que a su vez (usando la relaci6n derivada en

ejemplo 9.12) nos permiten obtener la raz6n de sus masas, Se desprecia el efecto d

los neutrones liberados.

9.7) Colisiones 267

y son inversamente proportionates a sus masas. Este analisis se aplica igualmenteal retroceso de un artna de fuego (recordar el ejemplo 7.1) t a la fisidn de un nu-cleo en dos fragmentos, ilustrada en la Fig. 9-14, o a la disociaci6n de una moleculadiat6mica.

Si hay tres fragmentos en vez de dos, son posibles varias soluciones, ya queestan en juego tres momenta, pero solo dos condiciones fisicas : conservacitfn dela energia y del momentum. Por ejemplo, si solamente son observadas dos partlculasen una reacci6n y la energia y el momentum de ellas no son conservados, el fisico

sospecha la presencia de una tercera particula que no es observada (ya sea porqueno tiene carga electrica, o por alguna otra razon). Puede haber tambien considera-ciones teoricas que le permitan reconocer que hay tres partlculas en el proceso (verel problema 9,70). El fisico asigna entonces un cierto momentum y una cierta energiaa su particula hipotetica, de modo de respetar las leyes de conservacidn. Este pro-cedimiento hasta la fecha ha dado siempre resultados consistentes tanto con la

teoria como con el experiment©.

EJEMPLO 9.13. Discutir la retardaci6n (o moderaci6n) de neutrones que chocanelasticamente al moverse a traves de un material cuyos atomos pueden ser consi-derados en reposo. {El material se llama moderador). En los reactores nucleares,los neutrones rapidos producidos por la fisi6n del uranio son retardados al moversea traves de un moderador.

Neutron

*>i

Atomom2

v2= Q

(L)

Ifto

Atomo

m.

v\ y2

m-2*—• (C)

i —**£T Neutr6n

(c:

Atomo

Antes Despu^s

(a) (b)

Fig. 9-15. Gomparacion de datos relativos a los sistemas L y C en un choque.

Soluci6n: En este caso las partlculas son las mismas antes y despues del choquey mx = m[, /7i2 = i7ij. Tambien pa

= y Q = 0. El calculo es mas facil si traba-jamos en el sistema de referenda C (Fig. 9-15). Llamaremos A = mjm^ la raz6nde las masas de los atomos del moderador con las del neutr6n, vx la velocidad delneutrdn, y v2 ( = 0) la velocidad del atomo. Antes de la colisi6n la velocidaddel centro de masa de acuerdo a la ec. (9.1) es

ttCMm^

m1 + m2

* 1 + A

La velocidad de cada particula en el sistema del centro de masa antes de la coli-

si6n es

AvxF, = Vl VCM = F, = v,

t?CM = (9.44)1 + A ' ' "

1 + ADado que estamos tratando de una colisidn elastica en la que las partlculas retienensu identidad, tenemos, de acuerdo a la explicaci6n inmediatamente posterior a la

268 Dindmica de un sistema de paritculas (9.7

ec. (9.42), que pl— p[ en el sistema del centro de masa, y que por consiguiente

tambien Vx= V( ; esto es, la velocldad de mx tiene la misma magnitud en el sis-

tetna-G antes y despu6s de la colisi6n. Analogamente V2= V'2 . Sin embargo, las

direcciones del movimiento despues de la colisi6n pueden ser diferentes en el sistemadel centro de masa (ver la Fig. 9-15). La velocidad^ del neutrtfn despues del choque,relativa al sistema-L, es entonces

v[ = V[ + t?CM,

de modo que, de acuerdo con la Fig. 9-16,

v? = V{" = DfcM + 2F1'-i>cm

= vi* + vhu + 2 V[vcm cos O.

Usando las ec. (9.44) y recordando que V[ — Vlt obtenemoa

aA 2 + 2AcosO + 1

z?;* = m

Figura 9-16

(A + l) 2

La relaci6n entre la energia cinetica de m 1 despues y antes

de la colisidn en el sistema-L es entonces

v? A 2 + 2A cos O + 1

v\ (A + 1)«

Para = (esto es, para un choque sin cambio en la direcci6n) E"kll = I?*f1 y nohay perdida de energia cinetica. Para $ = tt, choque central, hay una perdida ma-xima de energia dando como resultado

E*

2A +(A + 1)*

1_ = / A — 1 V~ \A +1/

La perdida de energia por unidad de energia es en este caso

E*— E'k

Ek

4A(A + 1)

La perdida de energia es mayor cuanto mas cerca este A de la unidad. Este re-j

sultado es importante al escoger el material moderador para retardar rapidament*los neutrones, como debe ser en los reactores nucleares. Los atomos con los valoi

res mas pequenos de A son los del hidr6geno (A ^ 1), y por esta razdn es di

esperar que el hidr6geno puro sea el mejor moderador. Sin embargo, a la temperatunambiente, el hidr6geno puro es gaseoso de manera que el niimero de atomos dhidrdgeno por unidad de volumen es relativamente pequeno. Por consiguient

se usa mas bien el agua. El agua no solamente tiene la ventaja de ser abundant!y barata, sino que ademascontiene por unidad de volumen alrededor de 10 3 vece|

m&s atomos de hidrdgeno que el hidr6geno gaseoso. Infortunadamente, los atomosl

de hidr6geno tienden a capturar neutrones para formar deuterio. Por otra parte*

como los atomos de deuterio tienen relativamente poca tendencia de capturaiS

neutrones, algunos reactores nucleares usan agua pesada, cuyas moleculas estaflj

formadas por deuterio (en vez de hidr6geno) y oxigeno. (En este caso A = 2Xj

Otro moderador comtin es el carbdn (A == 12), usado en la forma de grafito.]

9.8) Sistemas de muchas particulas: temperaturas 269

11. SISTEMAS CON UN GRAN NUMERO DE PARTICULAS

9.8 Sistemas de muchas particulas: temperatura

El resultado expresado por la ec. (9.35) o su equivalente, la ley de conservaci6n

de la energia, al ser aplicado a un sistema compuesto de un numero pequeiio de

particulas, tal como nuestro sistema planetario o un £tomo con pocos electrones,

requiere el c6mputo de varios terminos que forman la energia interna, de acuerdo

con la ec. (9.34). Sin embargo, cuando el numero de particulas es muy grande,

tal como en un atomo de muchos electrones o un gas compuesto de millones de

moleculas, el problema resulta demasiado complicado matematicamente. Debe-

mos entonces usar ciertos metodos estadisticos para computar valores promedio

de las cantidades din&micas en vez de valores individuates precisos para cada

componente del sistema, Adem&s, en los sistemas complejos no estamos intere-

sados en el comportamiento de cada componente individual (ya que dicho com-portamiento no es observable en general) sino en el comportamiento del sistema

como un todo. La tecnica matematica para tratar esos sistemas constituyen lo

que se llama la mecdnica estadistica. Si nos olvidamos por un momento de la

estructura interna del sistema y simplemente aplicamos la ec. (9.35), usando

valores medidos experimentalmente para U y W, estamos empleando otra ramade la fisica, la lermodindmica. En el presente capitulo nos limitaremos a efectuar

una adaptation de la ec. (9.35) para los sistemas compuestos de muchas particulas

sin entrar a discutir los metodos de la mecdnica estadistica o los de la termo-

dinamica. Tambien expresaremos, a menos que se especifique lo contrario, todas

las cantidades dindmicas con relaci6n al sistema-C para el caso considerado,

Definamos primero la temperatura T del sistema como una cantidad relacionada

con la energia cin&ica promedio de las particulas en el sistema-C. Por tanto la

temperatura es definida independientemente del movimiento del sistema relativo

al observador. La energia cinetica promedio de una particula es

Ekt= -L (Zftnfl), (9.45)

donde N es el numero total de particulas y V( es la velocidad de la particula en

el sistema-C. Si todas las particulas tienen la misma masa, entonces

Ek9 = -L Z&mv\ = \m (-L S$ j= im(^) = \miW

donde Vr^^ se llama la "velocidad media cuadr&tica de las particulas**, definida

como

No necesitamos indicar aqui la relaci6n precisa entre la temperatura y la energia

cinetica promedio. Es suflciente por el momento suponer que, dada la energia ci-

netica promedio en un sistema, podemos computar la temperatura del sistema,

y reciprocamente. En este sentido hablamos de la temperatura de un s61ido,

de un gas, y aiin de un niicleo complejo.

270 Dindmica de un sistema de parttculas {9.9

El hecho de que estemos refiriendo los movimientos al centro de masa paradefinir la temperatura es importante. Supongamos que tenemos una esfera me-tdlica "caliente" en reposo en nuestro laboratorio y una esfera metalica "fria"

moviendose muy rapido con relacion a nuestro laboratorio. La bola "caliente"

tiene una temperatura alta, lo que significa una gran energia cinetica relativa

al centro de masa, el que en este caso est& en reposo con relacion al laboratorio.

Por otra parte, la bola "fria" tiene una temperatura baja, lo que significa unaenergia cinetica pequena con relacion al centro de masa, que en nuestro caso est&

en movimiento con relacion al observador. La bola "fria" moviendose rapida-

mente puede tener una energia cinetica total con relacion al laboratorio que sea

mayor que la de la bola "caliente" lenta, pero la mayor parte de ella es energia

cinetica de traslacion y por tanto no entra en el calculo de la temperatura.

Un sistema que tiene la misma temperatura a traves de todas sus partes, de

modo que la energia cinetica promedio de las particulas en cualquier region del

sistema es la misma, se dice que esta en equilibrio termico. En un sistema aislado,

cuya energia interna es constante, la temperatura puede cambiar si la energia

cinetica interna cambia, debido a un cambio en la energia potencial interna.

Por ejemplo, una masa de gas en el espacio interestelar puede estarse condensandodebido a fuerzas atractivas muy fuertes, que determinan una disminucion deenergia potencial interna y un correspondiente aumento de la energia cinetica.

Como resultado de ello, la temperatura deberia aumentar. Si, por otra parte, el

sistema se esta expandiendo, su energia potencial interna aumenta (si las fuerzas

son atractivas), produciendo una disminuci6n en la energia cinetica y, por tanto,

una disminucion en la temperatura. Pero si la energia potencial interna de un sis-

tema aislado permanece constante, que es el caso de un gas contenido en unacaja rigida, entonces la energia cinetica promedio del sistema permaneceria cons-

tante; esto es, su temperatura no cambiara. Cuando el sistema no est£ aislado,

puede intercambiar energia con el resto del universo, lo que puede resultar en-

un cambio de su energia cinetica interna y, por tanto, de su temperatura.

La temperatura debiera ser expresada en joules por particula. Sin embargo,es costumbre expresarla en grados. La escala de temperatura usada en fisica es la

escala absoluta. La unidad se llama Kelvin, y se denota por K. En esta escala,

la temperatura de fusion del hielo a presi6n atmosferica normal es 273,15 K y la

temperatura de ebullition del agua a presion atmosferica normal es 373,15 K.*

Por tanto la diferencia entre esas dos temperaturas es 100 K. La temperaturaen grados centigrado o Celsius, designado por °C se define de acuerdo a 6C == T— 273,15 K. Un Kelvin corresponde a aproximadamente 1,38 x 10~23 J

(6 8,61 x 10-4 eV) por particula.

9.9 Sistemas de muchas particulas: trabajo

El intercambio de energia de un sistema con el mundo exterior es representado

por el trabajo externo Wext en la ec. (9.35). Esto es,

U— U = We*t .

9.9) Sistemas tie muchas particulas: trabajo 271

irm-TTTm

\ \ \\ n Pi

n

AV

LJ

dx

Fig, y-17. Trabajo hecho en unaexpansidn gaseosa.

Si el trabajo es hecho en el sistema (Wext

positivo), su energia interna aumenta, pero

si el trabajo es hecho por el sistema (Wext

negativo), su energia interna disminuye.

Este trabajo externo es la suma de los tra-

bajos externos individuals hechos en cada

una de las particulas del sistema, pero a ve-

ces puede ser facilmente computado esta-

disticamente.

Consideremos, por ejemplo, un gas dentro

de un cilindro, una de cuyas paredes es un

piston movible (Fig. 9-17). El gas puede in-

teftambiar energia y momentum con las

vecindades a traves de los choques e interacciones de sus moleculas con las

moleculas de las paredes. El intercambio del momentum esti representado

por una fuerza ejercida por cada molecula en el punto de colisi6n con la pared*

Esas fuerzas individuales fluctuan en cada punto, pero debido a que hay un gran

mimero de colisiones sobre un area grande, el efecto total puede ser representado

por una fuerza F actuante sobre la totalidad del area- Si A es el Area y p la pre-

sion del gas, definida como la fuerza promedio por unidad del area (recordar el

ejemplo 9.2), entonces

p =F/A 6 F = pA. (9.46)

Si una de las paredes del recipiente es movible, tal como el pist6n de la Fig. 9-17,

la fuerza ejercida por el gas puede producir un desplazamiento dx de la pared.

El intercambio de energia del sistema con el mundo exterior puede entonces ser

expresado como el trabajo hecho por esta fuerza durante el desplazamiento. Yaque este es trabajo hecho por el sistema y no trabajo hecho en el sistema, pode-

mos considerarlo negativo. Por consiguiente

dWext =~Fdx =—pAdx = — pdV, (9.47)

donde dV = A dx es el cambio de volumen del gas* Entonces si el volumen Gam-

bia de V a V, el trabajo externo hecho en el sistema sera

Wext [

vp dV.

J vo(9.48)

Para computar esta integral, debemos conocer la relacion entre p y V. Esta rela-

ci6n ha sido estudiada para gases y otras sustancias en gran detalle.

Muy a menudo, especialmente al tratar de maquinas termicas, es preferible

computar el trabajo exterior hecho por el sistema, denotado por WSjSt» en vez

del trabajo externo hecho sobre el sistema, Wext« Ya que ambos trabajos corres-

ponden al mismo desplazamiento, pero a fuerzas iguales y opuestas, son iguales

entre si en magnitud pero tienen signos opuestos; esto es, WS jSt = — Wexi> En-

tonces, por ejemplo, el trabajo de expansi6n hecho por un gas, usando la ec. (9.48), es

I= |- pdV.

vo

(9.49)

272 Dindmica de un sistema de parttculas (9.11

Indicaremos ahora alguna de las unidades m£s comunes en que se expresa li

presi6n. Notemos priraero que la presion debe ser expresada como una unidac

de fuerza dividida por una unidad de &rea. Por tanto en el sistema MKSC hpresi6n se mide en newtons por metro cuadrado, o N m-2

. Otras unidades frecuen.

temente usadas son las dinas por centimetro cuadrado, o din cm-2, y kilogramo*

fuerza por centimetro cuadrado (kgf cm-2). Otra unidad muy util, usada prin.

cipalmente para expresar la presi6n de los gases, es la atmosfera, que se abrevia

atm, definida de acuerdo a las equivalencias

1 atm = 1,013 x 105 N m~2 = 1,033 kgf cm-2.

Una atm6sfera es, aproximadamente, la presi6n normal ejercida por la atmdsferc

de la tierra sobre los cuerpos al nivel del mar.

EJEMPLO 0.24. Un gas ocupa un volumen de 0,30 m 3, ejerciendo una presidn At

2 x 105 Nm-V A una presidn constante, el volumen se expande hasta 0,45 m1;

Hallar el trabajo hecho por el gas.

Soluddn: Usando la ec. (9.49), cuando la presi6n p permanece constante,i

WW = f pdV = p f dV = p(V— V ). (9.509

Este resultado es completamente general y se aplica a cualquier sistema cuyolumen caxnbia bajo presWn constante. Entonces, sustituyendo los valores numgriiobtenemos Watt = 3 X 10* J.

EJEMPLO 9.15. Un gas se expande de modo de respetar la relacidn pV(constante). Esta relation [ver la ec. (9.62) y el Problema 9.67] requiere quetemperatura del gas permanezca constante, y constituye la ley de Boyle, Hjel trabajo efectuado cuando el volumen se expande de V, a V,.

Solucidn: Usando la ec. (9.49), obtenemos

Wd* = I pdV = I ——- = Cln—f-.

Por tanto el trabajo hecho depende de la raz6n Vt/Vt entre los dos voliimen^

(llamada la razdn de expan$i6n). En el diseno de motores de combustion inte:

la razdn de compresi6n (o expansidn) es uno de los factores determinantes depotencia del motor.

9.10 Sistemas de muchas parttculas: calori

A

Es importante recordar que la ec. (9.48) expresa un promedio macroscopico qiiflj

suma todos los intercambios individuales de energia entre las moleculas del gafj

y las moleculas del pistdn. Pero, £c6mo se puede computar el intercambio d<j

energia que ocurre debido a la interacci6n de las moleculas de gas con las paredejj

que permanecen fijas? En este caso, el metodo usado para evaluar W para d

pist6n no puedc aplicarse, ya que, aunque definamos todavla la fuerza promedi<|

sobre la pared, no podemos definir un desplazamiento promedio de la pare<K

gjO) Sistemas de muchas particulas: calor 273

En cada interaction individual entre las moleculas del gas y la pared, se ejerce

una pequena fuerza y se produce un pequeno desplazamiento de las moleculas

en la pared. Si pudieramos computar cada una de esas cantidades infmitesimales

de trabajo y sumarlas, tendriamos el trabajo exterior correspondiente hecho por

el sistema. Sin embargo, esta tecnica es obviamente casi imposible debido al

gran numero de factores que intervienen. Por consiguiente, defmiremos un nuevo

concepto macrosc6pico o estadistico Uamado calor.

El valor promedio del trabajo externo o la energia intercambiada entre un

sistema y el medio que lo rodea debido a intercambios individuales de energia

que ocurren como resultado de choques entre moleculas del sistema y moleculas

del medio que lo rodea se llama calor, Q, siempre que no pueda expresarse macros-

cdpicamente como fuerza por distancia. Por consiguiente, Q estd compuesta de

una suma de un gran numero de trabajos externos individuales muy pequenos,

tales que no pueden ser expresados colectivamente como una fuerza promedio

por una distancia promedio.

El calor Q se considers positivo cuando corresponde a un trabajo externo

neto hecho sobre el sistema y negativo cuando es equivalente a un trabajo ex-

terno neto hecho por el sistema. En el primer caso decimos que el calor es absor-

bido por el sistema y en el segundo caso decimos que el calor es perdido por el

sistema,

Ya que el calor corresponde a un trabajo, debe expresarse en joules. Sin em-

bargo, el calor se expresa algunas veces en una unidad Uamada caloria, cuya

definici6n fue adoptada en 1948 como 1 caloria = 4,1840 J, La caloria fue intro-

ducida originalmente como unidad de calor cuando la naturaleza de este era

desconocida. Pero la caloria es simplemente otra unidad para medir trabajo yenergia, y no solamente calor.

Este es el momento de prevenir al estudiante a fin de que no considere el calor

como una nueva o diferente forma de energia. Es simplemente, el nombre dado

a una transferencia de trabajo y energia de tipo especial, en la cual participan

un gran numero de particulas. Antes de que los conceptos de interacci6n y de la

estructura atomica de la materia fueran claramente comprendidos, los fisicos

clasificaron la energia en dos grupos: energia mecdnica correspondiente a las

energias cinetica y potencial gravitatoria, y energia no mecdnica, dividida en

calor, energia quimica, energia electrica, radiaci6n, etc. Esta division ya no se

justifica, Ahora los fisicos reconocen solamente energia cinetica y potencial,

denotando la energia potencial con una diferente expresi6n segiin la naturaleza

de la interaction fisica correspondiente, y denotando con calor y radiaci6n dos

mecanismos de transferencia de energia. La energia quimica es simplemente un

termino macroscopico para describir la energia asociada con las interacciones

electricas en los Atomos y las moleculas, energia que se manifiesta en procesos

quimicos; esto es, en redistribuciones at6micas dentro de las moleculas.

Cuando no hay intercambio de energia (en la forma de calor) entre dos sis-

temas, decimos que est&n en equilibrio termico. Este es un concepto estadistico,

ya que las moleculas individuales pueden intercambiar energia, pero, en pro-

medio, la misma cantidad de energia se intercambia en una direcci6n que en la

otra. Para que exista equilibrio termico entre dos sistemas, las energias ciniticas

274 Dindmica de un sistema de particulas (9.11

mokculares promedio en los dos sistemas interactuantes deben ser las mismas, de

modo que no sea posible un intercambio neto de energia cinetica por colision mo-lecular. Por consiguiente, en vista de nuestra definition preliminar de tempe-

ratura dada en la section 9,8 podemos decir que

dos sistemas en equilibrio termico deben estar a la misma temperatura.

Podemos tambien concluir que la energia se intercambia como calor solamente

cuando la temperatura de los dos sistemas es diferente.

9.11 Reformulation del principio de conservaci6n de la energiapara los sistemas de muchas particulas

En las dos secciones previas hemos visto que, al tratar de sistemas compuestos

por un gran numero de particulas, deberiamos expresar el trabajo total externo

como la suma de dos partes: Q + Wext* Aqui Wex t expresa el trabajo externo

que puede ser computado ccmo el producto de una fuerza promedio por unadistancia, tal como se discutio en la section 9.9, y Q representa el trabajo externo

cuando debe ser expresado como calor, segiin la discusion de la section 9.10,

La ec. (9.35) para el principio de la conservation de la energia debe serentonces

escrita en la siguiente forma

U-U = Q + We* t , (9.52>

(a) (b)

Fig. 9-18. Relaci6n entre el calor, el trabajo y la energia interna.

lo cual puede ser expresado en palabras asi:

el cambio de energia interna de un sistema es igual al calor absorbido

mas el trabajo externo efectuado sobre el sistema.

La ec. (9.52) puede ser representada graficamente por la Fig. 9-18(a): El calor Qes absorbido por el sistema mientras el trabajo Wext es efectuado sobre el siste-

ma. Su suma Q +

W

ext es almacenada como energia interna U~U del sistema.

Algunas veces, especialmente en aplicaciones de ingenieria, en lugar de escribir

el trabajo externo Wext hecho sobre el sistema, se escribe el trabajo externo Wai»t

hecho por el sistema, el cual, como se explico anteriormente, tiene signo opuesto

al del trabajo hecho sobre el sistema. Haciendo Wext = — WS iSti tenemos, en

vez de la ec. (9.52),

U— U = Q — Wdst. (9.53)

gj2) Teorema del uirial para muchas particulas Z75

La ec. (9.53) esta ilustrada en la Fig. 9-1 8(b): el calor Q es absorbido por el sis-

tema, el trabajo WSist es hecho por el sistema, y la diferencia Q— Wsiat es alma-

cenada corao energia interna U— U del sistema.

Los enunciados relativos a las ecs. (9.52) y (9.53) constituyen lo que se llama

la primera ley de la termodindmica, que es simplemente la ley de conservaei6n

de la energia aplicada a sistemas de gran mimero de particulas, con el trabajo

externo convenientemente dividido en dos terminos estadisticos, uno de ellos

todavia llamado trabajo y el otro llamado calor. Lo que se ha dicho es suficiente

para que el estudiante comprenda el significado de los conceptos de calor y tem-

peratura tal como se usar£n en los capitulos siguientes y por ello no proseguiremos

por el momento con estos asuntos termodinamicos. (Ver el tercer volumen de

esta serie).

9.12 Teorema del virial para muchas partlcuhis

En esta section extenderemos el teorema del virial, introducido en la secci6n 8.13

para el caso de una sola particula, a un sistema de muchas particulas. En su

nueva forma es aplicable a la discusion de las propiedades estadisticas o promedio

de sistemas compuestos por muchas particulas, especialmente los gases.*

Consideremos primero, por simplicidad, un sistema compuesto de dos par-

ticulas, m1 y mz

. Definimos la cantidad escalar

que es simplemente una extension de la cantidad A definida para una sola par-

ticula. Tomando la derivada temporal de A, tenemos

dA dv,,

drr dvtdra^ = m^ r

>+m^^t + m

>~dT'r*+ "WIT'

o, dado que vx= drjdt, v2 = dr

z/di f a x= dvjdt ya2

- dvjdt, entonces

dA = (m^-r! + m2a^r2) + (m^ + ny>£).

dt

El ultimo termino de la derecha, de acuerdo a la ec, (9,29), es el doble de la energia

cinetica, Ek , del sistema, Podemos entonces escribir

dA—- = 2Ek + KOi-f! + m2a2-r2).

dt

* Para una aplicacidn elemental del teorema del virial a problemas quimicos, ver B. H. Mahan t

Quimica, Curso universitario, Bogota, Colombia: Fondo Educativo Interamericano, S. A t ,

1968, pag. 412.

276 Dindmica de un sistema de parttculas (9.13

Usando la ec. (9.26) y recordando que Fu = — F21 yr1— r2

= r12 , vemos que

m^.n + nufo.rz = (F1 + F

12). ri + (F2 + F

2J-r2

= Fl-r

1 + F2 .r2 + Fl2 .(r1 -r2)

= F1 .r1 + F2.r2 + F

l2 -r12 .

Por tanto nuestra ecuaci6n se transforma ahora en

dA „ ,_ „— = 2Ek + (Fr r± + F2 -r2 + F^r12)= 2E* + £,

donde, para simplificar la escritura, hemos Uamado B a la expresi6n dentro dell

parentesis. Tomando el promedio temporal de esta ecuaci6n tenemos 1

dA

dt= 2Ek< + B. (9.55)

|

Recordando la definition del promedio temporal dada en la secci6n 8.13 y elfresultado obtenido en la ec. (8.46), tenemos nuevamente

dA

~dT

A-A

Si el tiempo x es muy largo y A no aumenta indefinidamente con el tiempo, lacantidad (A — A )/t puede llegar a ser tan pequeiia que se considere cero. Elloocurre si el sistema esta limitado, como en el caso de un gas en un recipiente,

porque entonces ri y r2 , y tambien v1 y v2 , en la ec. (9.54) no pueden aumentar

indefinidamente. Por tanto, poniendo (dAjdt) = en la ec. (9.55), encontramos^

I2Ekr =-B=- (F^r, + F2 -r2 + Fa -r^.

Si en vez de dos particulas tenemos muchas, la ecuaci6n puede generalizarse

tfrt-,+ 2 FirrA (9.56);i las Todos los pares /

:ulas de particulas '

donde la primera suma en el lado derecho se refiere a las fuerzas exteriores ac-i

tuantes sobre cada partfcula y la segunda suma se refiere a las fuerzas interiores^

entre pares de particulas. La ec. (9.56) se llama el teorema del virial para un sis-,

tema de particulas, mientras que la cantidad en el lado derecho se llama el vividly

del sistema.

9.13 Ecuacidn de estado de un gas

Una de las aplicaciones mas interesantes del teorema del virial es la derivaci6n ;

de la ecuaci6n de estado de un gas. Por ecuacion de estado entendemos una ecua-cidn que describe la relaci6n entre cantidades macrosc6picas tales como presi6n f ;

9JS) Ecuacion de estado de un gas 277

volumen, y temperatura, que especifican el estado de un sistema. Por supuesto,

esas magnitudes macroscopicas o estadisticas son el resultado directo de la es-

tructura interna del sistema y, bajo hip6tesis apropiadas, debieramos ser capa-

ces de establecer una correlation entre la estructura interna y el comportamiento

macroscopico.

Supongamos que un gas esU compues-

to de moleculas sujetas a interacciones

mutuas y a interacciones con las pare-

des del recipiente, Supongamos tambien,

por simplicidad, que el recipiente es un

cubo de lado A (la prueba m&s general

no requiere de esta limitaci6n) como se

muestra en la Fig. 9.19.

Evaluemos la ec. (9.56) empezando

con la primera suma, correspondiente a

las fuerzas exteriores. Una molecula ex-

perimenta una fuerza exterior solamente

cuando choca con las paredes y rebota.

Podemos suponer que dicha fuerza es

perpendicular a la pared, una hipotesis

que es solo estadisticamente correcta.

En la pared OEGH, con x = en todos

los puntos de la misma, una molecula

que llegue al punto P, por ejemplo, sufre una fuerza Ft= uxF t . Por tanto

prTi ^ piX . = o, y la pared OEGH no contribuye al virial, ya que nuestra

selection de origen hace que xt= 0. El mismo resultado se obtiene con las pa-

redes OBCE y OHAB.Considerando ahora la pared ABCD, una particula que llegue a Q, por ejemplo,

siente una fuerza paralela, pero de direction opuesta a OX; esto es, F(- — — uxFu

y, todas las particulas que choquen con esta pared tienen x{= a. Por consiguiente

Fvn= — Fia. La suma ZiFrVi para la pared considerada es — -T^a ==— (Z

iF

i)a=—Fa=—pa\ donde, usando la ec. (9.46), F^pa* es la fuerza

total ejercida por el gas sobre la pared de Area A = a2, y p es la presi6n del gas.

Se obtiene un resultado similar para las paredes CDGE y ADGH, obteniendo

una contribuci6n total al virial para las seis paredes igual a:

Figura 9-19

ZtFrn = — 3P0

3 =— 3p V,

donde V = a3 es el volumen ocupado por el gas. La ec. (9.56) se transforma

entonces en

Ek =^pY-^uFir Tii)

pV^SE^ + iiZijFirrij). (9.57)

278 Dindmica de un sistema de palilalias tgj$

La energia cinetica promedio de una molecula es Wms» y la energia promediode todas las moleculas en el gas es Ek = NQmv?m) t donde N es el mimero totalde moleculas. Sustituyendo en la ec, (9.57), tenemos

P V = tNmi&n + 1[2 *trrti) , (9,58)* I Todos los /

x '

Spares /

que relaciona la presion p y el volumen V con propiedades moleculares talescomo m, Vnns y Fy. Definimos la temperatura absoluta T del gas como directamenteproporcional a la energia cinetica promedio de una molecula, expresandola porla relation

$kT = i/n^ms 6 kT = imi&nt, (9.59)

donde k es una constante universal llamada constante de Boltzmann, y cuyo valorexperimental (ver nota sobre la medicion de la temperatura en la pag. 279) es

k = 1,38045 x 10-^ j oK_lt

(9 60)

Entonces la ec. (9.58) se transforma en

pV = NkT + ±t£ FirrA. (9.61)Todos losspares

Hemos llegado a la ecuacion de estado de un gas. No esta aun en su forma!

final porque no hemos evaluado el ultimo termino, que depende de las fuerzas i.

intermoleculares. Para evaluarlo debemos hacer alguna hip6tesis sobre la natu-1raleza de las fuerzas intermoleculares. \

Por el momenta, postulemos un gas "ideal" que puede considerarse como unmodelo muy simplificado. Un gas ideal es aquel en el que las fuerzas intermo-leculares son consideradas nulas. Entonces el ultimo termino de la ec. (9.61)desaparece, y la ecuacion de estado para un gas ideal es

pV = NkT.(9.62)

Esta ecuaci6n es obedecida con sorprendente buena aproximacion por muchosgases, lo cual indica que las fuerzas intermoleculares son despreciables, exceptocuando las moleculas se encuentran muy proximas o la temperatura es muy baja.La caracteristica interesante de la ec. (9.61) es que expresa claramente el efecto

de las fuerzas moleculares en la presion del gas. Por ejemplo, vemos que si lasfuerzas intermoleculares son atractivas, los productos Fir rf/ son todos negativos,de modo que el miembro derecho de la ec. (9.61) sera menor que para un gasideal, dando como resultado una presion menor, resultado que esta de acuerdocon nuestra intuition fisica.

ejemplo 9.16. Obtener la ecuacidn de estado de un gas ideal computando direc-tamente la presi6n ejercida por el gas sobre las paredes del recipients

gjS) Ecuacion de estado de un gas 279

Solucidn: El estudiante puede recordar del ejemplo 9.2 que la presWn de un chorro

de gas sobre el area A de la pared es

F 2Anmv* cos 2 6 „ 2 9Qp = — = = 2nmv 2 cos 2

9,

A. A

donde v cos es la componente de la velocidad molecular a lo largo de la normal

a la pared. Ello da la presi6n debida a las molSculas que se mueven en una direc-

ci6n que hace un angulo 6 con la normal a la pared. Por tanto en este caso n no es

el numero total de moteculas por unidad de volutoien sino solamente el numero

de aquellas que se mueven en tal direccidn. Por consiguiente debigramos empezar

por hallar qu6 fracci6n de mol6cu!as se mueven en un angulo 6 con la normal ysumar (en realidad integrar) sus contribuciones para todas las direcciones. En cam-

bio, procederemos en una forma mas simple e intuitiva que esencialmente conduce

al mismo resultado.

Podemos, sin peligro, suponer que estadlsticamente, en un instante particular,

una mitad de las moteculas tienen una componente de su velocidad dirigida hacia

la pared y la otra mitad esta alej andose de la pared. Debemos entonces reemplazar n

por in, ya que solamente in van a chocar con la pared. Por otra parte, si la pared

es A BCD en la Fig. 9.19, entonces v cos 8 es la componente vx de la velocidad a lo

largo del eje X que es normal a la pared escogida. Haciendo esos cambios en la ex-

presi6n anterior para p ttenemos

p = 2(in)mi£.

La magnitud de la velocidad es v* = v% + Vy + v\. En realidad debemos usar el

valor promedio ul.rms y por tanto »?ms ^i&rms + tfj.rms + t>2,rms. Pero podemos su-

poner que si el gas es homog£neo, las direcciones de las velocidades moleculares es-

tan distribuidas isotrdpicamente : Asi vltnxa = w£,rms = w|,rms y por tanto i>*,rms == ivhns. Haciendo esas sustituciones en la expresi<Jn de p> tenemos

p = 2(in)m(ivrm*) = inmvfms = —— mvrms,

ya que n = N/V f donde N es el numero total de moISculas y V es el volumen,

Por consiguiente

pV = iN mVrm*.

Este resultado coincide con la ec. (9.58), excepto que falta el Urmino correspon-

diente a las fuerzas interiores y por tanto la ecuaci6n corresponde a un gas ideal.

La ventaja del m6todo del virial es que muestra claramente c6mo tomar en cuenta

las fuerzas intertnoleculares. ^Puede imaginar el estudiante alguna forma de incor-

porar las fuerzas intermoleculares dentro del contexto de este ejemplo?

Nota sobre to mediddn de to temperature En la seccidn 9,8 asociamos la tem-

peratura de un sistema de particulas con la energia cin6tica promedio de una

particula en el sistema de referenda del centro de masa. En la ec. (9.59), que es

ikT = i/nuJms, fuimos mds especlflcos en lo que se reflere a la relaci6n entre la

temperatura de un gas y la energia cinStica promedio de las mol6culas del gas.

Sin embargo, consideraremos ahora dos importantes aspectos : Primero, al deflnir

la ec. (9.59) introdujimos dos nuevas cantidades, T (la temperatura absoluta) y k

(la constante de Boltzmann), debemos decidir c<Smo se pueden medir independien-

tetnente, Segundo, el estudiante tiene un concepto intuitivo de la temperatura

basado en la experiencia sensorial, y reflejado en sus sensaciones de caliente y frfo.

Est4 acostumbrado a medir la temperatura en ttrminos de un niimero dado por un

artefacto Uamado termdmetro. Por consiguiente, es necesario correlacionar nuestra

deflnicidn de temperatura con esta nocidn intuitiva.

280 Dinamica de un sistema de particulas (9.14

Consideremos una masa M de gas que contiene N moleculas. Si despreciamos elefecto de las fuerzas intermoleculares, la ecuaci6n de estado esta dada por la ec. (9.62);esto es pV — kNT. Supongatnos que llevamos el gas al equilibrio termico conalgun otro sistema flsico que podemos suponer se mantiene a una temperatura flja.

Este sistema puede ser una mezcla de agua y hielo en su punto de congelamientoy a la presidn normal de una atmtisfera. Medimos la presidn y el volumen del gasa esta temperatura, y obtenemos los valores p y V , respectivamente. Decidimosluego asignar un valor conveniente (pero arbitrario) T a la temperatura fija,

la cual es tatnbien la temperatura del gas. Por consiguiente, podemos escribir

Pov o = kNT. Esto fija automaticamente el valor de la constante de Boltzmann,k — p V /NT donde N puede obtenerse si conocemos la masa de cada molecula.

Para determinar la temperatura del gas cuando su presidn es p y su volumenes V, de modo que pV = kNT, simplemente eliminamos el factor kN, usando losvalores patrdn, y obtenemos

T= T (pV/p Q V ) y

lo que da T en tenninos de nuestro patrdn de temperatura T y de otras canti-dades medibles. En esta forma nuestra masa de gas se ha convertido en un iermd-metro de gas. En vez de un gas podemos usar otras sustancias como termdmetros,tales como un liquido, o una varilla metalica cuyas dimensiones (volumen o lon-gitud) cambian con la temperatura. Puesto que la ecuacidn de estado de esas sus-tancias es mas complicada, en la practica calibramos esos termdmetros usando untermdmetro de gas. En este caso el termdmetro coincide con el termdmetro de gassolamente en los puntos de calibracidn. Ya que la propiedad escogida puede no va-riar linealmente con la temperatura, pueden existir pequenas discrepancias en lastemperaturas intermedias.

Podemos escoger el valor de Tftde acuerdo con varios criterios. Por ejemplo,

podemos escoger otro proceso que concebiblemente ocurra a una temperatura fija,

tal como la ebullici6n del agua a cierta temperatura y a la presi6n normal de unaatmdsfera. Podemos entonces decidir que la temperatura de este segundo puntode referenda este a 100 unidades o grados encima de T . Si px y V

l son la presidn \

y volumen del gas a esta nueva temperatura, tendremos que p1 Vx= kN(T + 100).

Obteniendo kN de la ecuacidn p V = kNT, y sustituyendo este valor en la ecua- \

cidn anterior, encontramos que

r = iooPoy /(p1 y1- Poy ), |

de la cual podemos obtener un valor nume>ico para T . El valor obtenido para T\

como resultado de este tipo de experimento (y muchos otros experimentos usando .]

otras tunicas) es T = 273,15. Cada una de estas unidades se llama Kelvin, y sedesigna por K.Es importante darse cuenta que nuestra tecnica para medir temperaturas est£ J

basada en la aproximactfn del gas ideal. Si usamos diferentes gases, los resultados\

obtenidos seran direrentes porque el efecto de las fuerzas intermoleculares, tal como <

aparece en la ec. (9.61), es diferente para cada gas. Generalmente se usa el hidr6-\

geno o el helio. Es sumamente conveniente poder establecer una escala de tempe-\

ratura independiente de la sustancia usada, asunto que es discutido en termo- j

dinamica y que no sera tratado aquf. i

9.14 Movimiento de un fluido

Los principios generates que hemos discutido en este capitulo para sistemas dej

particulas pueden ser fAcilmente aplicados a la discusi6n del movimiento de un ]

fluido. Consideremos, por simplicidad, un fluido (esto es, un liquido o un gas)]

9Ji) Movimiento de un fluido 281

moviendose a lo largo de un tubo cilindrico de secci6n A (Fig. 9-20). El tubo

puede estar orientado en cualquier direction, y, por tanto, se puede tomar el

eje X en coincidencia con su eje. Nos concentraremos en un elemento de volumen

de espesor dx y volumen A dx. Aunque este volumen es pequeno, contiene todavla

un gran niimero de moleculas. Podemos discutir su movimiento, usando la ec. (9.9)

con la masa M reemplazada por p(A dx)9 donde p es la densidad del fluido. El

centro de masa puede suponerse que coincide con el centro de volumen, si el

fluido es homogeneo, y vqm. se llama la velocidad del fluido en tal punto. Ennuestro caso es paralela al eje X,

Fi&ura 9-20

Debemos ahora determinar la fuerza exterior resultante que actiia sobre el

volumen del fluido. Sean p y p' los valores de la presidn a la izquierda y a la

derecha del volumen. El fluido a la izquierda produce una fuerza pA sobre el

elemento de volumen, dirigida hacia la derecha* y el fluido a la derecha produce

una fuerza p'A dirigida hacia la izquierda. Por tanto la componente X de la

fuerza exterior resultante sobre el elemento de volumen debida a la presion es

dFx = — p'A +pA = — (p'—p)A.

Pero p' — p es la diferencia de presion entre dos puntos separados por una dis-

tancia dx\ por tanto p' — p = dp. Luego

dFx = — (dp)A = — ^P-(A dx).dx

Dado que A dx es el volumen, concluimos que la fuerza por unidad de volumen

a lo largo del eje X debida a la presion es

fP = -dx

(9.63)

Este resultado, al compararlo con la ec. (8.23), sugiere que podemos considerar

la presi6n como energia por unidad de volumen. Podemos ver que esto es di-

282 Dindmica de un sistema de particulas (9.14

mensionalmente correcto, ya que p se expresa en N m~2, lo que es lo mismo

que (N m)m-3 o J m^3,

Ademas de la presi6n puede haber otras fuerzas exteriores (tales como la gra-

vedad o un campo electrico o magnetico externo) actuando sobre el fluido dentro

del elemento de volumen. Digamos que fe es cualquier fuerza por unidad de vo-

lumen (por ejemplo el peso por unidad de volumen); la fuerza resultante externa

sobre el fluido dentro del elemento del volumen es (fp+fe)A dx=(

—

dpfdx+fe)A dx.

(Las fuerzas entre las moleculas dentro del elemento del volumen son fuerzas

internas, y no deben ser tomadas en cuenta). Por consiguiente, la ecuaci6n del

movimiento de acuerdo a la ec. (9.9) (y aqui dejamos de poner el subindice cmen la velocidad), es

<*«>±-{-£+u)**

o, cancelando el factor comiin A dx, tenemos

dv do'«"—£- + '* (964>

Si la fuerza fe es conservativa, tenemos que fe = — dEp/dx, donde ep es la ener-

gia potencial correspondiente por unidad de volumen. Entonces

Antes de proseguir, debemos ser m£s especificos acerca de la naturaleza del

movimiento de un fluido. El movimiento de un fluido se dice que es estacionario

cuando la forma del movimiento no cambia con el tiempo. Esto significa que,

aunque la velocidad de un elemento de fluido puede cambiar cuando el elemento

de fluido cambie de posici6n, la velocidad del fluido en cada punto del espacio

permanece la misma. Para ser mas precisos, si seguimos a un elemento de fluido

en particular a lo largo de su trayectoria (Fig. 9-21) podemos encontrar que cuando

est& en A su velocidad es v y cuando esta en A' su velocidad es v\ Pero si el mo-vimiento es estacionario, todos los elementos de fluido tendran la velocidad V

cuando pasen por A y la velocidad vr cuando pasen por A\ De esta forma, la

velocidad del fluido puede ser considerada como una funcidn de posici6n en vez

de una funci6n de tiempo. Cuando el movimiento no es estacionario, las veloci-

dades en cada posicion pueden cambiar con el tiempo. Por ejemplo, si en uncierto instante la velocidad del fluido en A es v, en un instante posterior la velo-

cidad, en general, senk diferente. En lo que sigue consideraremos solamente el

movimiento estacionario.

En el caso del movimiento estacionario, si dt es el tiempo requerido por el

elemento de fluido para moverse una distancia dx9 podemos escribir que

dv ^ dv dx ^ dv _ d . ^~dt'~~dx~di~'

Vlx'~~dx^^

9.14) Movimiento de un fluido 283

Fig. 9-21, Fluido en movimiento es-

tacionario. Las lineas mostradas se

llaman lineas de corriente.

Velocidad mayorsPresion menor

Fuerza

resultante-

._P 2- 2—

Velocidad menor,

Presion mayor

Fig. 9-22, Empuje del aire sobre el

ala de un aeroplane

Sustituyendo esto en la ec. (9*65), tenemos

P— (i"2) = — -r- (P + ep)*

dx dx

Suponemos que el fluido es incompresible (esto es, que su densidad es constante);

por consiguiente el miembro izquierdo de la ecuacion se transforma en d{\pv2)fdx,

y podemos escribir la ecuacion en la forma

&PV* + p + EP) =

o sea

dx

%pvP + P + Ep — const. (9.66)

Este resultado, conocido como el teorema de Bernoulli, expresa la conservation

de la energia en el fluido- El primer termino es la energia cinetica por unidad

de volumen; el segundo es interpretado como la energia potencial por unidad de

volumen asociada con la presion, y el tercer termino es la energia potencial por

la unidad de volumen debida a todas las otras fuerzas exteriores. Por consiguiente

si todas las fuerzas que actiian sobre el fluido son conservativas, y seguimos el

movimiento de un pequeno volumen del fluido, encontraremos que la energia

total por unidad de volumen permanece constante.

En el caso particular en que la fuerza exterior actuante es la gravedad, ep = pgz

y la ec. (9.66) se transforma en

\pv^ + p -\- pgz = const. (9.67)

Consideremos dos casos importantes. Cuando el fluido se mueve en la direction

horizontal solamente, el termino pgz permanece constante y la ec. (9-67) se reduce a

\pifi + p = const. (9.68)

Asi, en un tubo horizontal, a mayor velocidad, menor presion, e inversamen-

te. Este efecto se usa para producir la elevation o empuje de un aeroplano

(Pig. 9-22). El perfil del ala esta disenado de tal modo que el aire tenga mayor

284 Dindmica de un sistema de parttculas {9.14

velocidad encima del ala que debajo de ella, lo que produce una mayor presi6n

por debajo. Esto produce una fuerza resultante total hacia arriba. Si A es el

&rea del ala, la fuerza hacia arriba es F — A(px— p2)

= %Ap{v\— uf) donde los

subindices 1 y 2 se refieren a las condiciones por debajo y por encima del ala.

Dado que

podemos decir, con suficiente aproximaci6n, que v = \{v2 + vx)

es igual a la velo-

cidad del avi6n f relativa al aire. Entonces la fuerza resultante neta hacia arriba,

o empuje, es

F =Apv(v2— v

x).

Como segundo ejemplo, consideremos un fluido en reposo o moviendose con

velocidad constante dentro de un tubo. Bajo tales circunstancias, el termino

J/w2 puede ser omitido en la ec. (9,67), la que entonces se reduce a p+/Kjz=const.

Designando la constante por p , tendremos entonces que la presi6n en un fluido

compresible en equilibrio estd dada por

P = Po— W- (9.69)

Obviamente, p es el valor de la presi6n en z = 0.

Nuestra discusi6n puede ser extendida a los casos en que el fluido es compre*

sible o las fuerzas no son conservativas. (Esta ultima situaci6n se presenta, por|

ejemplo, cuando el fluido hace trabajo externo al impulsar cierto mecanismo^l

tal como una turbina en una instalacidn hidroeiectrica, o cuando intercambitt

calor con los alrededores, como en una planta quimica industrial). Omitiremoa-

dichas consideraciones aqui, sin embarlgo, ya que ellas pertenecen a cursos misespecializados. &

Un ultimo principio que es muy impong

tante para discutir el movimiento de

fluido es la ecuacion de continuidad, qu<

expresa la conservaci6n de la masa dfluido. Consideremos el fluido moviendo

dentro de un tubo como se muestra

la Fig. 9-23 bajo condiciones estacio^

narias, de modo que no se anade ni se<

pierde masa en ningun punto. Sean Ay Aa dos secciones del tubo. El volum

del fluido que pasa por Ai por unida

de tiempo corresponde a un cilindro d

base Ax y longitud vv con un volumen Atvv y por tanto la masa de fluido qu<

ha pasado a traves de Axen la unidad de tiempo es PiA±vv An&Iogamente ten

mos que p^A2v2 es la cantidad de fluido que pasa por A2 por unidad de tiempo-l

La conservaci6n de la masa, bajo las condiciones enunciadas, requiere que ambaft

masas sean iguales entre si, o sea|

PlAxvx= frA2v2, (9.70^

Flgura 9-23

Bibliografia 285

<?i

p\\j

r p2Cmwmmkw/////zm^ ^f^///////////^^^^^

~~*<£<*@fe>*->> ,,,,,,,

^f/J^~--^^////////a W///////^^

» 7T-*

" ^^^^^^%^i^^W^^^ -'-' -<«i^^%^m^Ai

Figura 9-24

la cual se llama ecuaci6n de continuidad. Si el fluido es incompresible, la densidad

permanece la misma y la ec. (9.70) se reduce a

Aft = Aft, (9.71)

indicando que la velocidad del fluido es inversamente proporcional a la secci6n

del tubo, resultado que est£ de acuerdo con nuestra intuici6n fisica.

EJEMPLO 9.17. Para determinar la velocidad de un fluido en un tubo se puedeu&ar un medidor de Venturis ilustrado en la Fig. 9.24. Dos medidores de presidn

Ga y Ga miden la presi6n en el tubo y en una constricci6n de 61. Obtener la veloci-

dad p, en terminos de la diferencia de preskm px— pv

Solucidn: Para obtener la expresi6n de la velocidad, notamos que si vx y v% son las

velocidades en ambas secciones, de dreas Ax y A„ respectivamente, la ecuacidn

de continuidad (9.71) da A{px = Atut 6 p, = (Ax/A,)^. Por otra parte si el tuboes horizontal, el teorema de Bernoulli en la forma de la ec. (9.68) da

*P»I + Pi = i9»\ + Pr

Insertando el valor de vt obtenido previatnente y despejando vl9 obtenemos fl-

nalmente

„=u 2(Pi— Pi)

pKAJA^-1]La cantidad de fluido que pasa a trav6s de cualquier secctfn del tubo por unidadde tiempo es

P«)V = Aft = A±A tiGSr p(A x A\)

= KyPl— Pt,

donde K es una constante que depende del tubo y de la naturaleza del fluido.

Bibliografia

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5. Introduction to Engineering Mechanics, por J. Huddleston. Reading, Mass. :

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7. The Fegnman Lectures on Physics, vol. I, por R. Feynman, R. Leighton yM. Sands. Reading, Mass. : Addison-Wesley, 1963, cap. 39

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9. Foundations of Modern Physical Science, por G. Holton y D. H. D. Roller.

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Reading, Mass. : Addison-Wesley, 1958, cap. 25j

10. Thermodynamics, the Kinetic Theory of Gases, and Statiscal Mechanics (segundi

edici6n), por Francis W. Sears. Reading, Mass, : Addison-Wesley, 1953, cap. t|

Probletnas

9.1 Un sistema esta compuesto de tres

partlculas con masas de 3, 2 y 5 kg.

La primera particula tiene una velocidad

de U|/(6) m s-1. La segunda se mueve

con una velocidad de 8 m s_1

. En unadireccidn que hace un angulo de —30°con el eje X. Hallar la velocidad de la

tercera particula de modo que el centro

de masa permanezca en reposo con rela-

ci6n al observador.

(des- 7t'i

"lJ pues)

9.2 En un determinado instante, tr

particulas se mueven como se muesen la Fig, 9-25. Estan sujetas unicamena sus interacciones mutuas, de modo!

que no hay fuerzas exteriores. DespuSide un cierto tiempo, son observadas dnuevo y se encuentra que m1 se muevi

en la forma que se muestra, mientraf

m2 esta en reposo. Hallar la velocida*

de m3 . Suponer que mt = 2 kg, /na =

Figura 9-25 Figura 9-26

Frobtemas 287

= 0,5 kg, m3 = 1 kg, vx= 1 m s-\ vt

== 2 m s-1

, v3 = 4 m s-1 y pj = 3 m s_1

.

Hallar la velocidad del cm del sistema

en los dos instantes mencionados en el

problema. En cierto momento las posi-

ciones de las masas son mt(—0,8 m,

—1,1 m) f m 8(0,8 m, —1,1 m), m3 (1,4 m,0,8 m). Dibujar una linea que muestrela trayectoria del centro de masa del

sistema.

9.3 Las masas ml— 10 kg y m8

= 6 kgestan unidas por una barra rlgida demasa despreciable (Fig. 9-26). Estandoinicialmente en reposo, se hallan bajo

la accidn de las fuerzas Ft= ux(8) N

y Fa= «y(6) N, como se muestra,

(a) Hallar las coordenadas de su centrode masa como funcidn del tiempo, (b)

Expresar el momentum total como fun-cidn del tiempo.

9.4 Las masas en la Fig. 9-27 estaninicialmente en reposo* Suponiendo quem

l > m 2 , hallar la velocidad y acelera-

ci6n de sus cm en el instante L

mi

rrt2

Ffgura 9-27

9.5 Un chorro de llquido, dlrigido en unangulo 8, choca con una superflcie plana(Fig. 9-28). El liquido, despuSs de hacerimpacto en la superflcie se extiendesobre ella. Hallar la presidn sobre la

superflcie. La densidad del liquido es p

y su velocidad es v.

9-6 Determinar la position del cm y lamasa reducida de los siguientes siste-

wias: (a) tierra-luna, (b) sol-tierra, Usar

los datos dados en la tabla 13-1. En-contrar tambi£n el momentum angulartaterno de cada sistema. Repetir el mismoproblema para las moteculas CO y HCLLa longitud del enlace de la mol£cula CO

Figura 9-28

esl,13 x 10- 10 myladelamol6culaHCles 1,27 x 10- 10 m.

9.7 Dos particulas de masas 2 kg y3 kg se mueven, con relaci6n a un obser-vador, con velocidades de 10 m s*1

, a lo

largo del eje X,y8m s- 1 en un &ngulode 120° con el eje X, respectivamente,(a) Expresar cada velocidad en formavectorial, (b) Hallar la velocidad del cm.(c) Expresar la velocidad de cada par-ticula respecto del centro de masa.(d) Hallar el momentum de cada par-ticula en el sistema cm, (e) Hallar la

velocidad relativa de las particulas. (f)

Calcular la masa reducida del sistema*

(g) Verificar las relaciones dadas en el

ejemplo 9.4.

9.8 Determinar la energia cinetica total

de las particulas del Problema 9.7, conrelacidn al laboratorio y con relaci6n

a su cm. Usar dos m£todos diferentes

para el segundo calculo. Verificar las

relaciones dadas en el ejemplo 9.8.

9.9 Suponer que las particulas del Pro-blema 9.7 est&n en los puntos (0,1,1)

y (—1,0,2), respectivamente. (a) Hallar

la posici6n del cm. (b) Determinar el

momentum angular del sistema con rela-

ci6n a su cm. (c) Obtener el momentumangular con relaci6n al origen. Usar m6-todos diferentes para (b) y (c),

9.10 Un nucleo de U 8** en reposo se

divide en dos fragmentos, con masasde 140 amu y 90 amu. La Q de la reacci6n

es 190 MeV. Hallar las energtas y velo-

cidades de los dos fragmentos.

9.11 Un nucleo U**8 en reposo se des-

integra, emitiendo una particula alfa

(m = 4 amu) y dejando un nucleo resi-

288 Dindmica de un sistema de parttculas

dual de Th234 (M « 234 amu). La energla

total disponible es 4,18 MeV. Encontrar

(a) la energia cinfetica de la particula alfa

y del niicleo residual, (b) sus momenta,

y (c) sus velocidades.

9.12 Un niicleo, originalmente en re-

poso, se desintegra emitiendo un electron

de momentum 9,22 x 10~ 21 m kg S" 1

y, en £ngulo recto a la direccidn del

electr6n, un neutrino con momentum5,33 x 10- 21 m kg s-1

. (a) En qu6 direc-

cidn retrocede el nucleo residual? (b)

£Cu&l es su momentum? (c) Suponiendo

que la masa del nucleo residual es

3,90 x lO^kg, ^cuales son su velocidad

y su energia cinetica?

9.13 Una granada de masa m explota

en varios fragmentos. La explosi6n tiene

un valor Q positive (a) Demostrar quesi la granada explota en dos fragmentos,

ellos se mueven en direcciones opuestas

en el sistema C de referenda, (b) De-mostrar que si la granada explota en

tres fragmentos, sus momenta y veloci-

dades, relativos todos al sistema C de

referenda, se encuentran en un solo

piano, (c) Si el numero de fragmentos

es mayor que 3, £hay alguna condici6n

especial que tenga que ser satisfecha

por los momenta de los fragmentos rela-

tivos al sistema C de referenda? (d)

Demostrar que si la granada se divide

en dos fragmentos iguales, sus momentay velocidades en el sistema C de refe-

renda son iguales a (mQ/2) l/a y (2Q/m)l/a,

respectivamente. (e) Demostrar que si

la granada se divide en tres fragmentosiguales emitidos simetricamente en el

sistema- C, sus momenta y velocidades

en este sistema son 4(2mG) l/2 y i(2Q/m)1/B,

respectivamente. (f) Repetir (e), supo-

niendo que dos fragmentos son emitidos

con la misma velocidad relativa al sis-

tema-C pero en direcciones que hacenun angulo de 90° entre si. (g) ^C6moaprecia los resultados de (d) y (e) unobservador en el sistema-L , si, en el

momento de la explosi6n la granada se

esta moviendo con una velocidad

i(2Q/m)l/2 relativa al sistema-L, y enla misma direcci6n que tomara uno delos fragmentos resultantes?

9.14 Se dispara un proyectil en unangulo de 60° con la horizontal con unavelocidad de salida de 400 m s

_1. En

el punto mas alto de su trayectoria ex-

plota en dos fragmentos de igual masa,uno de los cuales cae verticalmente.

(a) iCuan lejos del punto de disparo

choca el otro fragmento con el suelo,

si es que el terreno esta nivelado? (b)

iCusl fue la energia liberada en la ex-

plosi6n?

9.15 Una granada de masa M est4

cayendo con una velocidad u09 y se halla

a una altura h9cuando explota en dos

fragmentos iguales que inicialmente se

mueven horizontalmente en el sistema-C.

La explosi6n tiene un valor Q igual aMz?J. Determinar los puntos donde lo»

fragmentos chocaran con el suelo corai

relaci6n al punto directamente debajQ

de la granada en el momento de la exN

plosi6n. 1

9.16 Repetir el Problema 9.15 para until

granada que se mueve horizontalmentnj

en el instante de la explosi6n, J

9.17 Una bola, con masa de 4 kg 4velocidad de 1,2 m s~ l

, choca frontaK

mente con otra bola de masa 5 kg m<Hvidndose a 0,6 m s" 1 en la misma direct

ci6n, Encontrar (a) las velocidades des^

pu6s del choque (suponiendo que es elds^

tico), (b) el cambio en el momentunjjde cada bola. i

9.18 Repetir el problema anterior, su|

poniendo que la segunda bola se mue1

en direcci6n opuesta.

9.19 Repetir los dos problemas ansiores si las dos bolas continuan mviendose juntas.

9.20 Una particula de masa 0,2 kmoviSndose a 0,40 m s _l choca con oit

particula de masa 0,3 kg, que esta el

reposo. Despu6s del choque la primel

particula se mueve a 0,20 m s_1 en ufl

direccidn que hace un angulo de 40

con la direcci6n original. Hallar la velc

cidad de la segunda particula y la !

del proceso.

9.21 La Fig. 9-29 ilustra un pindul

baltstico. Se usa para determinar la veMcidad de una bala midiendo la altura Ala que el bloque se eleva despues de quel

bala se ha incrustado en 61. Demostri

que la velocidad de la bala est£ dada p 1

]/2gh {m1 + m2)/mu

Problemas 289

Figura 9-29

donde nix es la masa de la bala y m2 la

masa del bloque.

9.22 Una bala de masa m y velocidad v

pasa a trav6s de la esfera de un pSndulo

de masa M saliendo con una velocidad v/2

(Fig. 9*30). La esfera pendular cuelga

del extremo de la cuerda de longitud /.

^Cual es el menor valor de v para el cual

el pendulo completara una circunferencia

entera?

\

Figura 9-30

9.23 Una particula de 5 kg de masamovtendose a 2 m s" 1

, choca con unaparticula de 8 kg de masa inicialmenteen reposo. Si el choque es el£stico,

hallar la velocidad de cada particula

despues del choque (a) si el choque es

frontal, (b) si la primera particula se

desvia 50° de su direcciOn original dettiovimiento. Expresar todas las direc-

ciones en relaciOn a la de la particula

incidente.

9.24 Una particula de masa mr movten-

dose con velocidad v t choca el&stica yfrontalmente con otra particula demasa M mayor que m teniendo (a) unmomento igual pero opuesto, (b) la

misma energia cin6tica, pero movtendoseen la direction opuesta. Computar encada caso la velocidad de la primeraparticula despu6s de la colisi6n. (c) De-mostrar que si M esta en reposo y es

mucho mayor que m 9 el cambio en la

energia cin6tica de m es

AE*/£* k —4(/n/M).

9.25 Se ha encontrado experimental-

mente que una colisi6n frontal (o central)

de dos esferas sdlidas, tales como dosbolas de billar, las velocidades despuOsdel choque estan relacionadas con las

velocidades antes del choque por la ex-

presi6n v{— v'2 — —e(vx— v%) donde e

es el coeflciente de restitution y tiene

un valor entre cero y uno. Esta relacidn

fue propuesta por Newton y tiene validez

solamente aproximada. Aparte de todoello, se conserva el momentum en el

choque. Probar lo siguiente : (a) las

velocidades despu6s del choque estan

dadas por

in =

u- =

PiQki— ™-%e) + Pi*n2(l + e)

i^/n^l + e) + ya(ma— mte)

m1 + m2

(b) La Q de la colisi6n es

1(1 - e*)nijma

nt% + ms

("i— ^a)2

-

(c) £Cual deberia ser el valor de e para

que la colisidn fuera el£stica?

9.26 En una colisidn pldstica los dos

cuerpos se mueven juntos despu6s del

choque. (a) ^Cual es el valor del coefi-

ciente de restitution el (b) Computarla Q de la reacciOn directamente, y tam-bi6n mediante el resultado del Problema

9.25 con el valor apropiado de e.

9.27 Si las masas de las bolas n^ y m3

en la Fig. 9-31 son 0,1 kg y 0,2 kg, res-

pectivamente, y si m1 es soltada cuandod — 0,2 m, hallar las alturas a las queregresaran despuSs de chocar si la coli-

290 Dindmica de un sistema de particulas

wmsmmzmm^mmmmmmmt

mo

FIgura 9-31

siOn es (a) elastica, (b) inelastica con uncoeficiente de restitution = 0,9, (c) plas-tica (e = 0). Resolver el problema tam-bien para el caso en que la masa m

2 eselevada y soltada contra la masa esta-cionaria m^

9.28 Discutir los resultados fisicos deun choque en que el valor de e es (a) ne-gativo, (b) mayor que uno. ^ConcluyeUd. entonces que esos valores de e sonpermitidos para un choque entre dosesferas s61idas?

9*29 Suponiendo que el segundo cuerpoen el Problema 9.25 esta en reposo yque su masa es muy grande comparadacon la del primero, hallar la velocidadde cada cuerpo despues de la colisiOn,

y tambien encontrar el valor de Q.Aplicar este resultado a la determinationde la altura del rebote, para un cuerposoltado desde una altura h sobre el suelo.Efectiie el experiniento por si mismoy estime el correspondiente valor de e.

9.30 Probar que el tiempo necesariopara que la bola del Problema 9.29

termine de rebotar es t — V 2h/g (1 + e)/

(1 - e).

9.31 Demostrar que si la bola del Pro-blema 9.29 choca con el suelo bajo unangulo a con la vertical, rebota en unangulo p, dado por tg p = (1/e) tg «,

con una velocidad v' = tf|/e 2 cos 2 a + sen 2 a.

Usar dicho resultado para discutir el

movimiento de una bola soltada desdeuna mesa con una velocidad horizontalinitial v . Bosquejar la trayectoria, supo-niendo que rebota varias veces en el

suelo.

9.32 Probar directamente que si laenergia y el momentum se conservan en

un choque elastico, entonces

«'K — »i) =—U*(ttx— i>

2 ),

donde w es un vector unitario en 1

direction en la cual el momentum duna de las particulas ha cambiado. Estresultado significa que en la colisiOn 1

componente de la velocidad relativai

lo largo de la direcci6n del intercatnbide momentum ha cambiado de sentidcAplicar esto al caso de una colisWifrontal. Comparar con los resultados deProblema 9.25 tomando e — 1. Sugerencia: Escribir las leyes de conservaci6n, poniendo todos los terminos correspondientes a cada particula en un ladi

de cada ecuaciOn.

9.33 Un neutrOn, con energia de 1 MeVse mueve a trav£s de (a) deuterio i

(b) carbOn. Estimar para cada materiael numero de colisiones frontales requeridas para reducir la energia del neutrOia un valor termal de aproximadament<0,025 eV. La probabilidad relativa di

captura del neutrOn por parte de esoi

materiales es 1 : 10. £En cual de estoj

materiales hay mayor probabilidad di

que el neutr6n sea capturado antes d<

ser frenado?

9.34 Probar que en una colisi6n de unfi

particula de masa mlt moviendose coivelocidad vx en el sistema-Z, con uiuparticula de masa m2 en reposo en e]

sistema-L, los angulos bajo los cualesla primera particula se mueve despu6sde la colisi6n con relaciOn a su velocidadinitial estan dados por tg = sen fa

(cos £ + 1/A), donde A = mjmx y loa

angulos 6 y <j> se refieren a los sistemaaL y C, respectivamente.

9.35 Veriflcar, para las particulas del

problema anterior, que si mx— m% en-

tonces = i <f>. ^Cual es el maximovalor de 0?

9.36 Refiriendose al Problema 9.34, de^mostrar que el valor maximo de paraA arbitraria esta dado por tg ==A/y 1 — A 2

. Discutir la situation cuan-do A es mayor que uno y cuando es me^nor que uno.

9.37 AZ analizar la deflectiOn de paiSticulas alfa que se mueven a traves delhidrOgeno, los fisicos han encontradoexperimentalmente que la maxima de-

Problemas 291

flecci6n de una particula alfa en el sis-

tema-Z, vale alrededor de 16°. Usandolos resultados del Problema 9.36, estimar

la masa de la particula alfa relativa

a la del hidr6geno. Comprobar su res-

puesta con los valores experimentalesobtenidos por medio de otras tScnicas.

9.38 Probar que si la energia cinetica

interna de un sistema de dos particulas

es Ek3 cm, las magnitudes de las veloci-

dades de las particulas relativas al

cm son :

ut= [2m tEkjcu/ml(mL + /n2)]

l/2

v%= [2m1Ek lci&lmi{m1 + m 2)]

l/2.

9.39 Para las dos particulas en la Fig.

9-32, sabemos que mj = 4 kg, m2 = 6 kg,

vy= «*(2) m s-1 y v%

= utf(3) m s- 1.

(a) Determinar el momento angular total

del sistema relativo a y relativo al cmy verificar la relaci6n entre ambos valo-

res. (b) Determinar la energia cinetica

total relativa a O y relativa al cm yverificar la relation entre ambas.

Y

Or*

3 m

\NNS\\\N\X

\S

v2

— 4 m

^s

FIgura 9-32

9.40 Suponer que las particulas del

problema anterior estan unidas por unresorte elastico, de constante 2 x 10 -3

N m^ 1, inicialmente sin estirar. (a) ^C6mo

afectara esto al movimiento del cm del

sistema? (b) ^Gual es la energia internatotal del sistema? ^Permanecera cons-tante? (c) En cierto instante, el resorte

esta comprimido en 4 cqi. Hallar las

energias internas cinetica y potencialde las particulas. (d) Determinar las

magnitudes de las velocidades relativas

al cm (ipuede Ud. tambiSn determinarsus direcciones?). Asimismo determi-nar (e) la magnitud de su velocidad rela-

tiva, (f) el momento angular del sistemacon relacidn a y con relacidn a cm.

9,41 Dos masas conectadas por unavarilla ligera, como se muestra en la

Fig. 9-33, estan en reposo sobre una su-

perficie horizontal sin fricci6n. Una ter-

cera particula de masa 0,5 kg se aproximaal sistema con Velocidad v y choca conla masa de 2 kg. £Cual es el movimientoresultante del cm de las dos particulas

si la masa de 0,5 kg rebota con una velo-

cidad vf tal como se muestra?

Figura 9-33

9.42 La energia potencial debida a la

interacci6n entre un prottfn y un atomode deuterio es J?Plint = 2.3 x lO -28

/*" J,

donde r es la separaci6n entre los dos,

expresada en metros. En un instante

particular, un prot6n de energia 0,5 MeVesta a 2 x 10"12 m de un atomo dedeuterio en reposo, referidos todos al

sistema-L. (a) Hallar la energia cinetica

del sistema en los sistemas de referencia

L y C, asl como la energia potencial in-

terna (/nproton — 1,0076 amu, JTldeuteron~

= 2,0147 amu). (b) Despu6s de un cierto

tiempo el prot6n esta a 10 -15 m del

atomo de deuterio. Hallar la energia

cinetica del sistema en los sistemas Ly C, asl como su energia potencial.

(c) Hallar la magnitud de la velocidad

del cm en ambos casos.

9.43 Designando la tierra, la luna, y el

sol, con subindices T, L, y S, respectiva-

mente, escribir en extenso la ec. (9.34)

para sistemas que consisten de (a) la

292 Dindmica de un sistema de parttculas

tierra y la luna, (b) la tierra, la luna

y el sol.

9.44 Se mantiene un gas a presi6n de

20 atm, mientras que se expande de unvolumen de 5 x 10-* m* a otro de

9 x 10-* m*. iQu6 cantidad de energia

en fortna de calor debe ser proporcio-

nada (a) para mantener su energia in-

terna constante? (b) para aumentar su

energia interna en una cantidad igual

a la del trabajo externo hecho. Expresar

sus resultados en calorias y en joules.

9.45 Un gas se expande de tal modoque en cada momento la relaci6n entre

su presi6n y su volumen es pVr = C,

donde y es una constante apropiada.

Demostrar que el trabajo efectuado al

expandirse del volumen Vu al volumen V8

es

W = (p1 V1 -p1y2)/(Y -l).

9.46 Recordamos (Problema 2.8) queun mol de una sustancia es una cantidad

(expresada en gramos) igual a su masamolecular (o atdmica) expresada en amu.En un mol de cualquier sustancia haysiempre el mismo mimero de moteculas,

llamado nilmero de Avogadro, dado por

Na = 6,0225 x 10 ffl mol- 1. Demostrar

que si N es el mimero de moles, la ec.

(9,62) puede ser escrita en la forma

pV = nJJT,

donde R = IcNa, es Uamada la constante

de los gases. Demostrar que R = 8,3143

J K-1 mol- 1.

9.47 Demostrar que el resultado del

Problema 9.46 tambiSn puede ser escrito

bajo la forma p = p(RT/M) f donde p

es la densidad del gas y M es la masamolecular (expresada en kg).

9.48 Hallar el volumen de un mol decualquier gas en condiciones normales

;

esto es, a temperatura de 0° C y presi6n

de una atm6sfera. Demostrar tambtenque el numero de moleculas de cualquier

gas por centimetro cubico en condiciones

normales es 2,687 x 10 1*. Este es el nil-

mero de Loschmidt.

9,49, iCuai es la energia cin6tica pro-

medio de una molScula de gas a la tem-peratura de 25° C? Expresarla en joules

y en eV. ^Cudl es la velocidad mediacuadratica correspondiente si el gas es

(a) hidr6geno, (b) oxigeno, (c) nitr6geno?

Notar que las moleculas de dichos gases

son diat6micas. Hacer lo mismo parael helio (monoat6mico) y el dtoxido decarbono,

9.50 Hallar la energia interna de unmol de un gas ideal a 0° C (273 K).

^Depende ella de la naturaleza del gas?

&Por qu£?

9.51 Hallar el cambio en la energia

interna de un mol de un gas ideal cuandosu temperatura cambia de 0° C a 100°C,

tTenemos tambi6n que especiflcar c6mocambian la presidn y el volumen?

9.52 El proceso mencionado en el pro-*

blema anterior tiene lugar a volumen;constante. (a) ^Cual es el trabajo hecho

;

por el gas? (b) &Cual es el calor absor-

bido?}

9.53 Repetir el problema anterior si esj

que el proceso mencionado en el Pro-J

blema 9.51 ocurre a presi6n constante?]

9. 54 Identificar la constante C que'\

aparece en la ec. (9,51) para el trabajo.

de expansion de un gas a temperatura;

constante. (a) Computar el trabajo hechftj

por el mol de un gas ideal al duplicarj

su volumen a temperatura constante

igual a 0° C. (b) Computar el cambty;

en la energia interna y el calor absorbido.

9.55 Demostrar que si la energia pa?

tencial para la interacci6n entre dos par*;

ticulas es EP = —Cr^ 9 entonces r^- m12 = nEpn (Sugerencia: Escoger la pais

tlcula 1 como origen de coordenadas^

y recordar la secci6n 8,13).

9.56 Usar el resultado del problemanterior para reescribir el teorema d<

virial, ec. (9.56), en la forma

Ek, = —i[ZtFt>rt + nEP],

donde Ev corresponde a la energia po-

tencial interna del sistema. Notar qui

si el sistema esta aislado (esto es, no

actuando^ ninguna fuerza externa) en-

tonces E*> = — inEp. Comparar est*

ultimo resultado con la ec, (8.49). j

9.57 Suponer que las fuerzas gravita^

torias son atractivas y siguen la lej

del inverso del cuadrado de la distanci*

(capitulo 13) de modo que la energt

potencial total es negativa y que n = 1*

Usando el resultado del Problema 9.56j

Probtemas 293

probar (a) que la energla total de unsistema aislado es negativa, (b) que si

el sistema pierde energla (usualmente

por radiacidn), la energla potencial debe

disminuir, (c) que esto requiere que la

energla cin6tica del sistema aumente,

dando como resultado correspondiente

un aumento de la temperature del sis-

tema. (Estos resultados son de gran im-

portancia en astroffsica.)

9,58 Discutir la aplicacidn del teorema

del virial a un sistema en el que las

fuerzas internas son repulsivas. Suponerque la energla potencial entre dos par-

ticulas es Ep = + Cr^f*

9*59 Un cuerpo cuya masa es 10 kg

y que tiene una velocidad de 3 m s*1

resbala sobre una superflcie horizontal

hasta que la friccitin lo detiene. Deter-

mine la cantidad de energla convertida

en movimiento molecular interno en el

cuerpo y en la superficie. Expresarla

en joules y en calorfas. iPodria Ud. decir

que esta energla ha sido transformadaen calor?

9.60 Las masas de los bloques A y Ben la Fig, 9-34 son mt y ms . Entre A y Bhay una fuerza de fricci6n de magni-tud F, pero B puede resbalar sin fric-

cidn sobre la superflcie horizontal. Ini-

cialmente A se mueve con velocidad v9

mientras que B estd en reposo. Si noactua ninguna fuerza sobre el sistema,

A se ir& parando y B aumentar& su

velocidad hasta que los dos bloques se

muevan con la mistna velocidad v. (a)

&Cuales son las distancias recorridas porA y B antes de que ello suceda, tnedidas

con relacidn a la superflcie horizontal?

(b) £Cu&l es el cambio en la energla

cin6tica del sistema, en tGrminos de la

distancia recorrida por A con relacidn

a ^? (c) &QU^ **a pasado con el momen-tum total?

Fteura 9-84

9.61 Un tubo horizontal tiene una sec-

ci6n transversal de 10 cm 1 en una region

y de 5 cm* en otra. La velocidad del aguaen la primera es 5 m s~* y la presi<Jn

en la segunda es 2 x 10* N m- 1, En-

contrar (a) la velocidad del agua en la

segunda regi6n y la prestfn del aguaen la primera, (b) la cantidad de aguaque cruza cualquier seccidn por minuto,(c) la energla total por kilogramo de agua,

9.62 Repetir el problema anterior parael caso en que el tubo est6 inclinado y la

segunda secci6n est6 2 m por encimade la primera.

9*63 Verificar que la ecuaci6n del mo-vimiento de un fluido en forma vectorial

es p dv/dt = —grad p + /«.

9.64 Demostrar que si hay un orificio

en la pared de un recipiente y que si la

superflcie del llquido dentro del reci-

piente est6 a una altura h sobre el ori-

ficio, la velocidad del liquido que sale

por 61 es v — \2gh. Considerar un reci-

piente cillndrico con un di&metro de0,10 m y una altura de 0,20 m. Hay unorificio de 1 cm 1 de secci6n en su base.

El recipiente se llena de agua a una velo-

cidad de 1,4 x 10-* m* s-1. (a) Deter-

minar hasta qu6 altura sube el nivel del

agua en el recipiente. (b) Despu6s de

haber alcanzado aquella altura se de-

tiene el flujo de agua al recipiente. Hallar

el tiempo necesario para que el reci-

piente se vacie.

9.65 Usando la ecuacWn del movi-miento derivada en el Problema 9.63,

demostrar, para un fluido compresible,

que el teorema de Bernoulli adopta la

forma (±i>| + gzt) — (ivf + gzx) +/} dp/p = W, donde W es el trabajo

por unidad de masa hecho sobre el fluido

por otras fuerzas fuera de la gravitacidn.

[Sugerencia: Separar la fuerza externa

por unidad de volumen /«t en el peso

—pff«* y cualquier otra fuerza que acttie

sobre el fluido, y entonces dividir la

ecuacidn resultante por p y multiplicarla

escalarmente por v dt = dr9 notando que

(grad p)*dr — dp.]

9.66 Un cilindro de altura h y secci6n Aflota verticalmente en un fluido de den-

sidad p/. La presi6n del fluido est& dada

por p = p©— 9fgz, de acuerdo a la

ec. (9.69). Demostrar que la fuerza total

294 Dindmica de un sistema de particulas

hacia arriba sobre el cilindro debida a

la presitfn del fluido es Vp/g> donde Ves el volumen del cilindro. Extender este

resultado a un cuerpo de forma arbi-

traria dividtendolo en pequefios cilindros

verticales. (Este resultado constituye el

principio de Arquimedes, y la fuerza es

conocida con el nombre de empuje de

flotacidn.)

9.67 Partiendo de la ec. (9,62), demos-trar que si la temperatura de un gas

ideal es constante, entonces pV = const

6 PiVx= p2 y^ resultado conocido como

la ley de Boyle. Demostrar tambien quesi la presi6n es constante, entonces V/T== const 6 VJTX

— V2/T2t resultado cono-cido como la ley de Charles. Finalmente,demostrar que si el volumen es cons-

tante entonces p/T = const o p1/T1

=—pJT%i resultado conocido como la ley de

Gay-Lussac. Dichas leyes fueron encon-tradas experimentalmente mucho antes

de ser sintetizadas en la ec. (9.62).

9.68 Considerar un sistema compuestode N particulas identicas, cada una demasa m (tal como ocurre en un gas).

Demostrar que la energia cin6tica de unaparticula relativa a un observador queve moverse el centro de masa con u a

velocidad i>cm es igual a la energia cin6-

tica media de las particulas en relaci6n

al sistema-C de referenda mas imv&u.[Sugerencia: Usar la relacitfn dada porla ec. (9,38)],

9.69 La presidn de un gas esta rela-

cionada con su densidad por medio dela ecuaci6n p = p(i?r/M), donde M es

la masa molecular en la escala at6mica(ver el Problema 9.47). (a) Usando el

resultado de la secci6n 9.13, demostrarque si un gas esta en equilibrio, su pre-

sidn debe canibiar con la altura deacuerdo con

p = p e^M*'RT)\

Esta se llama a veces la ecuacidn baromi-trica, y puede ser usada para estimar la

variaci6n de la presi6n atmosferica con

la altura. (b) Demostrar que para pequefias alturas dicha ecuaci6n toma e

valor dado al final de la secci6n 9.1^

para un fluido incompresible.

9.70 Una bomba explota en tres frag

mentos de igual masa m. La explosi6r

libera una energia Q. En este caso las

leyes de conservaci6n de energia y mo-mentum no determinan linicamente la

energia y momentum de cada fragmento,Refiriendonos al proceso en el sistema- C,

demostrar que (a) las energias cineticas

de los fragmentos pueden ser represent

tadas por las distancias desde un punto Pa los lados de un triangulo equilaterc

de altura Q. (b) Demostrar tambien quela ley de conservacidn del momentumrequiere que el punto P est6 dentro del

cfrculo (con radio $Q) inscrito en e]

triangulo. Esta representation se llamael diagrama de Dalitz (Fig. 9-35) y es muy

Figura 9-35

usada para analizar la desintegraci6n deuna particula fundamental en tres frag-

mentos iguales. [Sugerencia : para la

prueba de (b) snotar que en el sistema-C

el momentum total es 0, y que por tanto

Pi + Pa ^ P3- Las tres energias puedenser tambien expresadas como Ettl

== PN = i Q + r cos (t— 2tu/3), Ek,2

== PM = iQ + r cos (^ + 2tc/3) y E*t3

== PL = iQ + r cos *.]

10

DINAMICA DE UNCUERPO RIGIDO

10.1 Introduction

10.2 Momentum angular de un cuerpo rigido

10.3 Cdlculo del momento de inertia

10A Ecuacion de movimiento de la rotation de un cuerpo rigido

10.5 Energia cinetica de rotation

10.6 Movimiento giroscopico

296 Dindmica de un cuerpo rlgido (10.1

(a) (b)

Fig. 10-1. (a) Movimiento de traslaci6n de un cuerpo rigido. (b) Movimiento derotation de un cuerpo rigido.

10*1 Introduction

Rotacion

Un cuerpo rigido es un caso especial e importante de los sistemas constituidos por

muchas particulas, esto es, un cuerpo en el cual las distancias entre todos sus

componentes permanecen constantes bajo la aplicacion de una fuerza o momento.

Un cuerpo rigido, por consiguiente, conserva su forma durante su movimiento.

Podemos distinguir dos tipos de movimiento de un cuerpo rigido. El movi-

miento es de traslacion cuando todas las particulas describen trayectorias para-

lelas de modo que las lineas que unen dos puntos cualesquiera del cuerpo per-

manecen siempre paralelas a su posicion inicial (Fig. 10-1 a). El movimiento es

de rotacion alrededor de un eje cuando todas las particulas describen trayectorias

circulares alrededor de una linea denominada eje de rotaci6n (Fig. 10-lb), El eje

puede estar fijo o puede estar cambiando su di-

reccion relativa con respecto al cuerpo durante

el movimiento.

El movimiento mas general de un cuerpo ri-

gido puede siempre considerarse como una com-

binaci6n de una rotaci6n y una traslaci6n. Esto

significa que siempre es posible encontrar un sis-

tema de referenda en traslaci6n pero no rotante

en el cual el movimiento del cuerpo parezca so-

lamente de rotaci6n. Por ejemplo, el movimiento

del cuerpo en la Fig. 10-2 que pasa de la posicion

1 a la posicion 2 puede considerarse como uno de

traslaci6n representado por el desplazamiento CC\que une las dos posiciones del centro de masa, yuno de rotaci6n alrededor de un eje a traves del

centro de masa C.De acuerdo a la ec. (9.9), M dvcu/dt = Fext» el movimiento del centro de masa

es identico al movimiento de una particula cuya masa es igual a la masa del

Fig. 10-2. Movimiento gene-ral de un cuerpo rigido.

10.2) Momentum angular de un cuerpo rigido 297

Trayectoria parabolicadel centro de masa

^^m^^^^^m^mm^m^^^^m^mm^mmm^m^^mm^^m^m^mm^,

Fig* 10-3* Movimiento de an cuerpo rigido bajo la acci6n de la gravedad. Elcentro de masa describe la trayectoria parab61ica correspondiente a una particulade masa M bajo una fuerza Mg, mientras el cuerpo rota alrededor del cm. Gomoel peso est£ aplicado en el cm, su momento alrededor de dicho punto es cero y el

momentum angular del cuerpo respecto del cm permanece constante duranteel movimiento.

cuerpo y sobre la cual actiia una fuerza igual a la suma de todas las fuerzas ex-

ternas aplicadas al cuerpo. Este movimiento puede analizarse de acuerdo a los

m&odos explicados en el capitulo 7 sobre la dinimica de una particula, y por

lo tanto no requiere de tecnicas especiales. En este capitulo examinaremos el

movimiento de rotaci6n de un cuerpo rigido alrededor de un eje que pasa yasea a traves de un punto fijo en un sistema inercial o a traves del centro de masadel cuerpo. En el primer caso, se utiliza para discutir el movimiento la ec. (9,19),

dLfdt = t (donde L y r se calculan ambos con respecto al punto fijo), mientras

que en el segundo caso, debe utilizarse la ec. (9.25) dLcysJdt — tCm-

10.2 Momentum angular de un cuerpo rigido

Consideremos un cuerpo rigido que rota alrededor de un eje Z con velocidad angular

eo (Fig. 10-4). Cada una de sus particulas des-

cribe una 6rbita circular con centro en el eje

Z. Por ejemplo, la particula A ( describe uncirculo de radio R(

— AtBi con una velocidad

V\ = €0 x ri9 siendo rt el vector de posici6n

con respecto al origen (que se escogera comoun punto fijo de un sistema inercial o el centro

de masa del cuerpo). La magnitud de la veloci-

dad es V( = (ori sen fy = toRu en concordancia

con la ec. (5.48). N6tese que escribimos co y noo>i ya que la velocidad angular es igual para

todas las particulas de un cuerpo rigido. El

momentum angular de una particula At con

respecto al origen esFig. 10-4. Momentum angular

L( = mpi x V{. de un cuerpo rigido rotante.

298 Dindmica de un cuerpo rigido (10.2

Su direcci6n es perpendicular al piano determinado por los vectores r,- y V{ y estd

situado en el piano determinado por rt y el eje Z. Por consiguiente hace un an-

gulo 7r/2 — Qt con el eje de rotaci6n Z. La magnitud de Li es mffiVt, y su compo-

nente paralela al eje Z es

Li2 = (mirtVi) cos (n/2— 6,)

= /njfo sen 8j)(a>j{j) = mtR*a) f

resultado que es equivalente a la ec. (7,33) para una particula que se desplaza

en un circulo. La componente del momentum angular total del cuerpo rotante

a lo largo del eje de rotaci6n Z es

Lz — L\x ~\~ L%z H~ L& +...== 27t-Lfz

= (m^l + m^Rl + /V?| + . .> = (SmBfta).

La cantidad

I = mjRl + m2fl§ + mjRI + . . . = Ztmt

iq

(10.1)

(10.2)

se denomina el momento de inertia de un cuerpo con respecto al eje de rotation Z.

Dicho momento se obtiene sumando, para cada particula, el producto de su masamultiplicado por el cuadrado de su distancia al eje. El momento de inercia es unacantidad muy importante que aparece en muchas expresiones relacionadas con la

rotaci6n de un cuerpo rigido, Podemos, por lo tanto escribir la ec. (10.1) en

la forma

Lz = Ia>. (10.3)

El momentum angular total del cuerpo es igual a

L = Lt + Lt + L3+ ... — £(Li9

y en general no es paralelo al eje de rotacion, ya que hemos indicado que los mo-menta angulares individuales Li que aparecen en la suma no son paralelos al eje.

El estudiante se preguntari si para cada cuerpo hay algiin eje de rotacion

para el cual el momentum angular total sea paralelo al eje. La respuesta es

aflrmativa. Puede demostrarse que para cada cuerpo, sin importar su forma,

Fig. 10-5. Ejes principales de cuerpos simetricos.

10.2) Momentum angular de un cuerpo rtgido 299

hay (por lo menos) tres direcciones mutuamente perpendiculares para las cuales

el momentum angular es paralelo al eje de rotation. Estos ejes se denominan

ejes principals de inertia, y los momentos correspondientes de inertia, se llaman

momentos principals de inertia, designados por Iv I2

e J3 . Designemos los ejes

principals, X Y Z ; ellos constituyen un sistema de referencia fljo en el cuerpo,

y, en general, rotan con respecto al observador, Cuando el cuerpo tiene alguna

clase de simetria, los ejes principales coinciden con algiin eje de simetria. Por

ejemplo, en una esfera, cualquier eje que pasa a traves de su centro es un eje

principal. Para un cilindro y, en general, para cualquier cuerpo con simetria cilin-

drica, el eje de simetria, asi como cualquier eje perpendicular a el, son ejes prin-

cipales. Para un bloque rectangular los tres ejes principales son perpendiculares

a las superficies y pasan a traves del centro del bloque. Estos ejes se ilustran

en la Fig. 10-5.

Cuando el cuerpo rota alrededor de un eje principal de inertia, el momentumangular total L es paralelo a la velocidad angular ©, que se encuentra siempre

a lo largo del eje de rotacidn, y en lugar de la ecuaci6n escalar (10.3), la cual

es v£lida para la componente Z a lo largo del eje de rotation, podemos escribir

la relation vectorial

L = Jo, (10.4)

en la cual / es el momento principal de inercia correspondiente. Debemos insistir

que esta relation vectorial es vdlida solamente para la rotaci6n alrededor de uneje principal de inercia.

En el caso m£s general de rotation de un cuerpo rigido alrededor de un eje

arbitrario, el momentum angular L puede expresarse con relation a los ejes prin-

cipales de inertia en movimiento X Y Z (Fig. 10-6)

por la expresi6n

L = Uxq^coxq + umI2(om + Wzo/gCOjo, (10.5)

en la cual Uxq 9 uy0 y uz0 son los vectores unitarios

a lo largo de X , Y y Z y o>^, co^ y coz0 son las

componentes de to con respecto a los mismos ejes.

En este caso, L y o tienen diferentes direcciones

como lo expresamos anteriormente. La ventaja de

utilizar esta expresi6n para L es que Iv I% e J3 son

cantidades fijas que pueden evaluarse para cada

cuerpo. Sin embargo, ya que los vectores unitarios

u*g» Mvo y w*or°tan con el cuerpo, &stos no tienen

necesariamente una direction constante. El estudian-

te puede verificar que la ec. (10.5) se reduce a la ec.

(10.4) en el caso de la rotation alrededor de un eje

principal (dos de las componentes son riulas).

Fig. 10-6. Ejes fijos en el

cuerpo y ejes fijos en el

laboratorio.

&JEMPLO 10.1. Calcular el momentum angular del sistema ilustrado dela Fig, 10-7,©1 cual consiste de dos esferas iguales de masa m montadas sobre brazos conectadosft una chumacera y que rotan alrededor del eje Z. Despreciar la masa de los brazos.

300 Dindmica de un cuerpo rigido

Zq z

(10.3

S/

/

/*0.*'*r

i? sen ^W yI

(b)

Figura 10-7

Soluci6n: En la Fig. 10-7 (a) tenemos un caso en el cual los dos brazos son perpen-diculares al eje de rotaci6n Z. Cada esfera describe un cfrculo de radio R con velo-

cidad v = <*R. El momentum angular de cada esfera con respecto a es por con-siguiente mR2a, y esta dirigido a lo largo del eje Z (recordar la Fig. 7-22). Por ello

el momentum angular total del sistema es L = 2mR 2o> y tiene su direcci6n a lo

largo del eje Z, de modo que podemos escribir en forma vectorial L = 2mR*co,indicando asi que el sistema esta rotando alrededor de un eje principal. En realidad,

los ejes principales X Y Z son como se muestra en la flgura, y Z D coincide conZ.* Ntftese que / = 2mR* es el momento principal de inercia alrededor del eje Z ,

y por ello la relaci6n L = Ia> se cumple en este caso.

En la Fig. 10-7 (b) tenemos el caso en el cual los dos brazos forman un angulo ^con el eje de rotacitfn Z, de modo que a> no es paralela a un eje principal. El radio

del clrculo descrito por cada esfera es R sen ^, de modo que la magnitud de sus ve-

locidades es, (jR sen ^)o>. El momentum angular de cada esfera con respecto aes por consiguiente mR(Ra sen 4) y esta dirigido perpendicularmente a la linea

que une las dos esferas y en el piano determinado por los ejes Z y X . El momentumangular total es la suma de los dos resultados ; esto es L = (2mR 2 sen £)w, y formaun Angulo 7r/2— ^ con el eje de rotaci6n. En consecuencia, en este caso el sistemano esta rotando con respecto a un eje principal como puede verse tambi&i de la

simetria del sistema. N6tese que el vector L esta rotando (o, como se dice algunasveces, precesando) alrededor del eje Z a la misma velocidad del sistema.La componente de 1 a lo largo del eje de rotacidn es

Lr = L cos (tc/2—<f>)= (2mR2 sen 2

^)w,

en concordancia con la ec, (10.3), ya que J = 2m(R sen ^)a es el momento de iner-

cia del sistema con respecto al eje Z.

10.3 Cdlculo del momento de inercia

Discutiremos ahora las ttenicas para calcular el momento de inercia, ya que esta

cantidad se utilizard muy a menudo en este capitulo. En primer lugar notamos

* Debido a la simetria del sistema en consideraci6n, cualquier eje perpendicular a X es un eje

principal.

10.3) Cdlculo del momento de inercia 301

que un cuerpo rigido est& compuesto de un nii-

mero muy grande de particulas, de modo que

la suma en la ec. (10.2) debe reemplazarse por

una integral, / = ZtiriiRf = jR2 dm; o, si p es la

densidad del cuerpo, dm = pdV de acuerdo con

la ec. (2.2), y

-if dV. (10.6)

Si el cuerpo es homogeneo, su densidad es cons-

tante, y en lugar de la ec. (10.6) podemos escri-

bir I = pfR2 dV. La integral se reduce asi a un

factor geometrico, igual para todos los cuerpos con

la misma forma y tamano. Notamos de la Fig. 10-8

que J?2 = x2 + y2t y f por consiguiente, el momento

de inercia con respecto al eje Z es

iz = jp(*? + y*)dv.

\

^dm =pdV

v -"--^i,

Fiffura 10-8

(10.7)

(Sugerimos que el estudiante escriba las relaciones correspondientes para Ix e Iy .)

Si el cuerpo es una placa delgada, como se muestra en la Fig. 10-9, notamos

que los momentos de inercia con respecto a los ejes X e Y pueden escribirse comoIx = J py

2 dV e Iy = jpx2 dV ya que la coordenada Z es esencialmente cero.

La comparaci6n con la ec, (10,7) muestra que en este caso

/* - Ix + Iy,

resultado que es vilido solamente para placas delgadas.

Figura 10-9

9s

1'c

X« \X \ _

^N \RcN

y9 X

/ *x>K / v . \ i

^s sv \/x

XCP'

Figura 10-10

Los momentos de inercia con respecto a los ejes paralelos est&n relacionados por

una f6rmula muy simple. Sea Z un eje arbitrario y Zq un eje paralelo que pasa

a traves del centro de masa del cuerpo (Fig. 10-10). Si a es la separaci6n entre

302 Dindmica de un cuerpo rlgido ng o

los dos ejes, la siguiente relation, denominada Teorema de Steiner, tiene lugar:

I =IC + Ma\ (lag)

donde I e Ic son los momentos de inertia del cuerpo con respecto a Z y ZCi res-pectivamente, y M es la masa del cuerpo. Para probar esta relaci6n, escojamoslos ejes XqYqZc de modo que su origen se encuentre en el centro de masa C yel eje Yc se encuentre en el piano determinado por Z y Zc . Los ejes XYZ seescogen de modo que Y coincide con Yc. El punto P es un punto arbitrario delcuerpo M. Entonces, notando de la Fig. 10-10 que P'A es perpendicular a Ycy P'A = x, CA = y9 y OC = a, tenemos

R*=x* + (y + a)*

= x2 + y* + 2ya + a2

- R2C + 2ya + a\

Ahora el momento de inercia con respecto al eje Z es

J = ZmR2 = Zm(R2

c + 2ya + a2)

= ZmR%c + 2a(Imy) + cPZm.

El primer termino es justamente el momento de inercia Ic con respecto al eje Zc ,

y en el ultimo termino Em = M, es la masa total del cuerpo. Por consiguiente

I =IC + 2almy + Ma2. (10.9)

Para evaluar el termino central recordamos de la ec (4.21) que la posici6n delcentro de masa esta dada por yCM = ZmyJZm. Pero en nuestro caso

j/CM =ya que el centro de masa coincide con el origen C del sistema XCYCZC. LuegoSmy = 0, y la ec. (10.9) se reduce a la ec. (10.8), la cual queda asi demostrada.

El momento de inercia debe expresarse como el producto de una unidad demasa y el cuadrado de una unidad de distancia. Asi en el sistema MKSC el mo-mento de inercia se expresa en m2 kg.

El radio de giro de un cuerpo es una cantidad K defmida de modo que se cumplala siguiente relation,

/ - MK* 6 K = 1/7/M, (10,10)

en la cual / es el momento de inercia y M la masa del cuerpo. El radio de giro

representa la distancia del eje a la cual se puede concentrar la masa del cuerposin variar su momento de inercia. Es una cantidad util ya que puede determinarse,para cuerpos homogeneos, enteramente por su geometria. Puede evaluarse fdcil-

mente y nos ayuda en el calculo de los momentos de inertia.* La tabla 10-1 nospresenta los cuadrados de los radios de giro de varias flguras geometricas.

* Para la t^cnica de calculo de momentos de inercia, ver cualquier libro de calculo ; por ejemplo,G. B. Thomas, Calculo infinitesimal y geometria analitica, tercera edition. Madrid: Aeui-lar, S. A., 1964, sec, 15.3.

*

10.3) Calculo del momento de inertia 303

TABLA 10-1 Radio de giro de algunos simples

K''

R*

2

R* L 2

4 12

a* + b*

12

a* + b 2

12

*112

Eje

Cilindro

Paralelepipedo

Plaea rectangular

K*

12

R*

2

4

R'

2R

Eje

Varilla delgada

Disco

Anillo

Esfera

EJEMPLO 10.2. Galcular el momento de inercia de una varilla delgada homo-

g6nea con respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa a traves de (a)

un extremo, y (b) al centro.

Solucidn; (a) Llamemos L la longitud de la varilla AB (Fig. 10-11) ySsu secci6n

recta, que supondretnos muy pequena. Dividiendo la varilla en pequenos segmentos

de longitud dx, encontramos que el volumen de cada segmento es dV = S dx yla distancia de cada elettiento al eje Y es R = x. Por lo tanto, usando la ec. (10.6)

con la densidad p constante, tenemos

Ia = [

Lpx\S dx) = pS f x2 dx = ipSi 3

.

J o •'o

Pero SL es el volumen de la varilla y pSL es su masa. Por consiguiente

Ia = iML\

304 Dindmica de an cuerpo rtgido

Y y

(10.3

Fl&ura 10-11

Comparandola con la ec. (10.10) nos da el radio de giro K* = JL 2.

(b) Para calcular el momento de inercia con respecto al eje Fc que pasa a travesdel centro de masa C, podemos proceder de tres maneras diferentes. Una maneramuy simple es suponer que la varilla esta dividida en dos, cada una de masa $My longitud \L> con sus extremos tocandose en C, y usar el resultado anterior paracada varilla. Luego

Ic = 2(t)(iM)(iL)* = &ML*.Otro m&odo seria proceder como antes para el extremo A, pero integrar de — ±L a+ iL, ya que el origen se encuentra ahora en el centro de la varilla. Dejamos estasoluci6n para el estudiante. Un tercer m6todo es aplicar el teorema de Steinerec. (10,8), como sigue 7A = 7c + M{\L)\ ya que a = iL. Por ello

Ic = Ia— iML* = &MLK

EJEMPLO 10.3. Calcular el momento de inercia de un disco homogfrieo con res-pecto a (a) un eje perpendicular que pasa por su centro, y (b) un eje que coincidacon un diametro.

Soluci&n: (a) De la Fig, 10-12 vemos que Ia simetria del problema sugiere que usemos,como elemento de volumen, un anillo de radio r y espesor dr. Asf si llamamos h elespesor del disco, el volumen del anillo es dV = (2:rr) (dr)h = 2nhr dr. Todos lospuntos del anillo se encuentran a una distancia r del eje Z. Por consiguiente, usandola ec. (10.5), obtenemos

I =J

pr*(2nhr dr) = 2itphJ

rz dr = ixphR*.

Figura 10-12

Pero Tri? 2/i es el volumen del disco yM =

= p(TzR 2h) es la masa total del disco. Por ello

7 = iMR\de modo que el radio de giro es K2 = ftf

2.

(b) Para obtener los momentos de inercia

con respecto a los ejes X e Y, podemos pro-

ceder por integration directa (se sugiere quese utilicen como elementos de volumen pla-

cas paralelas o perpendiculares a los ejes decoordenadas), pero la simetria del problemapermite un procedimiento mas simple. Obvia-mente J* = ly en este caso, y por consi-

guiente, de la f6rmula para las placas delga-

das, tenemos h = h + h = 27* yIx = ±lt = \MRK

20.4) Ecuacion de movimiento de la rotation de un cuerpo rigido 305

10.4 Ecuacidn de movimiento de la rotacidn de un cuerpo rigido

En la ec, (9.21) establecimos una relaci6n entre el momentum angular total de un

sistema de particulas y el torque total de las fuerzas aplicadas a las particulas

cuando tanto el torque como el momentum angular se calculan con respecto a

un punto en reposo en un sistema inercial. Esto es,

^-t, (io.il)

dt

donde L = £iLxes el momentum angular total yt= Sflt es el torque total

debido a las fuerzas extemas. Obviamente esta ecuaci6n se cumple tambtenpara

un cuerpo rigido, el cual es un caso especial de un sistema de particulas. La

ec* (10.11) constituye asi la ecuaci6n bisica para discutir el movimiento de rota-

ci6n de un cuerpo rigido. La aplicaremos primero al caso de un cuerpo rigido

que rota alrededor de un eje principal que tiene un punto fijo en un sistema

inercial. Por ello, de acuerdo a la ec. (10.4), L = /©. El torque externo % debe ser

el torque con respecto al punto fijo sobre el eje principal. Luego la ec. (10.11)

se transforma en

d(Ia>) = T (10.12)

dt

Si el eje permanece fijo con respecto al cuerpo rigido, el momento de inercia

permanece constante. Entonces

/ie0-=t 6 J« = t, (10.13)

dt

donde « = dmjdt es la aceleraci6n angular del cuerpo rigido. La comparaci6n de

las ecs. (10.12) y (10.13) con las ecs. (7.14) y (7.15) sugiere una gran similaridad

entre la rotaci6n de un cuerpo rigido con respecto a un eje principal y el movi-

miento de una particula. La masa m es reemplazada por el momento de inercia /,

la velocidad v por la velocidad angular a, la aceleraci6n a por la aceleraci6n

angular a, y la fuerza F por el torque t.

Por ejemplo, si t = 0, entonces la ec. (10.12) indica que lea = const, y si el

momento de inercia es constante, luego to es tambien constante. Esto es, un

cuerpo rigido que rota alrededor de un eje principal se mueve con velocidad angular

constante cuando no se aplican torques exlernos. Esto puede considerarse como la

ley de inercia para el movimiento de rotaci6n. [Cuando el momento de inercia

es variable, en el caso de que el cuerpo no sea rigido, la condicion fat = constante

requiere que si / aumenta (disminuye) entonces to disminuye (aumenta), un

hecho que tiene varias aplicaciones.]

En el caso de un cuerpo que no este rotando alrededor de un eje principal,

tenemos aun de la ec. (10.3) que dLzjdt = tx o, si la orientaci6n del eje es fija

con respecto al cuerpo de modo que / sea constante,

Ida} _ - (10.14)

10.4) Ecuacion de movimiento de la rotation de un cuerpo rtgido 307

Ya que el centro de masa C esti fijo, su aceleraci6n es cero y debemos tener

2F'— Mg— F = 6 F' =102,9N.

EJEMPLO 10.5. Encontrar la aceleraci6n angular del sistema ilustrado en la fi-

gura 10-14 para un cuerpo cuya masa es de 1 kg. Los datos para el disco son los

mismos que en el ejemplo 10.4. El eje ZZ' esta fijo y es un eje principal.

Solucidn: Ya que la masa del cuerpo es de 1 kg, su peso es de mg = 9,8 N, el cual

tiene el mismo valor que la fuerza F de la Fig. 10-13. Por ello uno estarfa tentado

de considerar este caso como idGntico al anterior y suponer que los resultados son

los mismos. Sin embargo, esto no es ciertol La masa m, al caer, ejerce una fuerza Fhacia abajo sobre el disco, y por la ley de acci6n y reacci6n el disco ejerce una fuerza

igual F pero hacia arriba sobre la masa m. Como la masa m est& cayendo con mo-

vimiento acelerado, la fuerza total sobre ella no puede ser cero. Por ello F no es

igual a mg, sino menor. Por consiguiente, el disco est£ sometido a un torque menor.

La ecuaci6n de movimiento de la masa m es

mg— F = ma — rnita,

donde se ha utilizado la relaci6n a = i?a. La ecuacWn de movimiento del disco

es Itx = FR 6 (ya que J = \MR}) F = iAffia. Eliminando F de estas ecua-

ciones, encontramos que la aceleracidn angular es

a = mg = 1,80 rad s~*,(m + \M)R

la cual es menor que en nuestro resultado anterior. La aceleracidn hacia abajo

de m es

a = Rol = mg0,90 m s-\

m + ±M

la cual es menor que g = 9,8 m s**, el valor de calda libre. La fuerza F* en los

soportes puede calcularse como en el ejemplo anterior.

EJEMPLO 10.6. Determinar la aceleraci6n angular del disco de la Fig. 10-15, asf

como la aceleraci6n hacia abajo de su centro de masa. Suponer los mismos datos

que para el disco del ejemplo 10.4.

Solucidn: El eje de rotaci6n es el eje principal

Z Zi. Sin embargo, este problema diflere de los

ejemplos previos, en que el centro de masa del

disco no est£ fijo, ya que el movimiento del dis-

co es similar a aquel de un yo-yo, y por consi-

guiente ahora debe utilizarse la ec. (10.15). Larotaci6n del disco con respecto al eje Z Z4 est&

dada por la ecuaci6n 1% = FR, ya que el tor-

que del peso de Mg con respecto a C es cero,

Luego, con / = ±MR %,podemos escribir (des-

pu£s de cancelar el factor comiin ft), F= iMRx.El movimiento hacia abajo del centro de

masa tiene una aceleracidn a — fta, y si toma-

mos en cuenta el hecho de que la fuerza resul-

tante externa es Mg— F, tenemos, usando la

ec. (9.9),

Mg— F = Ma = M fta. Ffgura 10-51

308 Dindmica de un cuerpo rtgido{10.4

Eliminando la fuerza F entre esta ecuacidn y la precedente v notando m,» imasa M se cancela, obtenemos de la ecuacidn resultant

=

Zg'/n T^UZ s ?La aceleraci6n hacia abajo de su centro de masa es a = R« = iq J 6i 53 my det LTdel Zo]

a aCeIerad6n ^ -^ librC' * CS '""^™££

S^^^J1^£3Si^ para que el sistema de la Fig - 10 -7 *>

TvoltUntTLTla V

t°C

idad^^ "T rCSpect0 al eJ e fiJ° Z no c^Wa,y por jo tanto do/dt = 0. Se derivan dos conclusiones inmediatas. Primero sahpmos que el momentum angular total L = (2mfl* sen *) „ perma™ constant:en magnitud, y que la componente a lo largo del eie Z L - UmW ,21 **

n n^'tCCS * Primera Vista estaria™s tentados en decir, que no se requTertningun torque para mantener el sistema en movimiento. Sin embargo estoTo esZ™ ™ m°men;um an8ular L ™ta con el sistema con respect™ al e?e Z (esto sedenomma preceszdn, como se mencion6 al final del ejemplo 10.1), y se reauiere untorque para producir este cambio en la direccion de L La situac on es eSSnt

SSXL' ^4

encontrada en el movimiento circular uniforme : la veSadS nC°nStante e" magnitUd Per° Se reqUiere una fuerza Para camiia 'u

Fig. 10-16. Rotaci6n de un cuerpoalrededor de un eje arbitrario.

Fig. 10-17. Precesi6n del momentum an-gular del cuerpo ilustrado en la Fig. 10-16,

pendicuirar^o" ff"A T *^T *?' 7& qUC T< = °" Debe ser tambie" P*penaicular al piano Z Z, determmado por la direcci6n de L (o el eie Z„) v el eie ZFigs. 10-16 y 10-17), y debe tener la direcci6n del eje Y . Esto piede verse en laSa

elo7fre^itoTa5t

(I

°-i1)

'

dL = Tdt>iia W ^ P

y fsonTecSrSiw ™J ,

°.

Sentld0 que dvyF son Paralelos en el caso de una particula)Pen, como L es constante en magnitud, dL es perpendicular a el, y lo es tam-bien t. Como el vector L mantiene un angulo constante */2 - 6 con el eie zTuextremo se mueve sobre un cfrculo de radio AB = L sen\ ln/2— 1 - r ™ Tir dL es tangente al circulo. Esto implica a su vez que dL es perpendicular afpfano Z i

306 Dindmica de un cuerpo rigido(10.4

un resultado que difiere de la ec. (10.13) en que xz se refiere a la componente detorque externo total alrededor del eje de rotaci6n y no al torque total. En adici6na la componente tz del torque, pueden haber otros torques que se requieran paramantener el cuerpo en una position fija con respecto al eje de rotacion fverejemplo 10.7).

V

Cuando el eje de rotaci6n no tiene un punto fijo en un sistema inercial, nopodemos usar la ec. (10.11) y debemos calcular el momentum angular y el torquecon respecto al centro de masa del cuerpo. Asi debemos usar la ec. (9.25), la cual es

dt~ *CM- (10.15)

Si la rotacion es alrededor de un eje principal, esta ecuaci6n se vuelve Ic(dmtdf) =tcm- Si tCm =0, que es el caso cuando la unica fuerza externa aplicada al cuerpo essu peso, entonces a> es constante (ver la Fig. 10-3).

EJEMPLO 10.4. Un disco de 0,5 m de radio y 20 kg de masa puede rotar libre-mente alrededor de un eje horizontal fijo que pasa por su centro. Se aplica unafuerza F de 9,8 N tirando de una cuerda atada alrededor del borde del disco En-contrar la aceleracion angular del disco y su velocidad angular despues de 2 s.

Solucidn: De la Fig. 10-13 vemos que las linicas fuerzas externas sobre el disco sonsu peso Mg, la fuerza hacia abajo F, y las fuerzas F' en los soportes. El eje ZZ'es un eje principal. Calculando los torques con respecto al centro de masa C en-contramos que el torque del peso es cero. El torque combinado de las fuerzas F'

tfp^^™ '^ = FR-APlicand0 la ec- (!0-4) con 7 = ^MR*, tenemos que

fit = ($MR*)<x. 6 F = IMRx, dando una aceleraci6n angular de

2F 2(9,8 N)

MR (20 kg) (0,5 m)= 1,96 rad s-*.

E>e acuerdo a la ec. (5.54), la velocidad angular despues de 2 s si el disco partieradel reposo es

<o = at = (1,96 rad s-») (2 s) = 3,92 rad s-\

*F \Mg

Figure 10-18 Figura 10-14

10.4) Ecuacion de movimiento de la rotation de un cuerpo rigido 309

(o paralelo a Y ), lo cual signiflca que r lo sea tambten. Para encontrar la magnitud

de dh notamos de la Fig. 10-17 que

\dL\ = ABdQ = (L cos $)u> dt t

ya que <* — dd/dt. Igualando esto a t dt e introduciendo el valor de L, encontramos que

t = (2mR* sen 4 cos ^)<o*.

Es instructivo ver la necesidad fisica de este torque, De la Fig. 10-16 notamos que

las esferas, cada una de masa m, tienen movimiento circular uniforme y cada una

requiere una fuerza centripeta Fn = m<a*R sen 4> para describir el circulo de radio

R sen £. Estas dos fuerzas forman un par, cuyo brazo es 2R cos <j>. Luego el torque

del par es t = (mflw* sen <f>)(2R cos *), que coincide con nuestro resultado previo.

Asi, se necesita el torque para mantener las esferas en sus posiciones fijas con

respecto al eje de rotaci6n.:h

Dejamos al estudiante la verificaci6n de que, en el caso senalado Mg. 1U.7 (a),

donde la rotaci6n es con respecto a un eje principal y a una velocidad angular

constants este torque no es necesario. Por esta raz<Jn, para eyitar torques trans-

versales como los del ejemplo anterior, las partes rotantes de cualquier mecamsmo

deben montarse en ejes principales.

Un m6todo alterno de solucidn del problema seria encontrar las componentes de

L paralelas a los ejes fijos XYZ y obtener las componentes de t mediante la apli-

cacWn directa de la ec. (10.11). Esto se'deja como ejercicio para el estudiante

(Problema 10.50).

EJEMPLO 10.8. Analizar el movimiento general de un cuerpo rigido no sc-netido

a torques externos.

Solucitin: En este ejemplo examinaremos el movimiento general de un cuerpo ri-

gido cuando no se le aplican torques externos ; esto es, t = 0. Luego la ec. (10.11)

da dL/dt =0 6 L constante. Por consiguiente, el momentum angular permanece

constante en magnitud y direccidn con respecto al sistema inei ial XYZ utilizando

por el observador.

Considerando que los torques de las fuerzas y los momentums angulares son

siempre calculados con respecto a un punto, debemos precisar con respecto a que

punto el torque es cero. Hay dos posibilidades : una existe cuando el punto esta

fljo en un sistema inercial ; luego el momentum angular se calcula con respecto

a este punto. El otro caso ocurre cuando el torque con respecto al centro de masa

es cero. Este es, por ejemplo, el caso de una pelota pateada por un futbolista. Una

vez que la bola se encuentra en el aire, la linica fuerza externa sobre ella es su peso

actuando en el centro de masa, y por consiguiente, no hay torque con respecto

al centro de masa. En esta situaci6n es el momentum angular con respecto al

centro de masa el que permanece constante. El movimiento del centro de masa

no nos concierne, ya que se debe a la fuerza resultante externa y el movimiento

prosigue de acuerdo a la ec. (9.9). Es la rotacidn con respecto al centro de masa

la que nos interesa.

En este ejemplo, utilizaremos L para designar el momentum angular ya sea con

respecto a un punto fljo o con respecto al centro de masa, y la discusi6n se apnea

por consiguiente a ambos casos. Supongamos primero que el cuerpo estd rotando

con respecto a un eje principal. Luego, se puede aplicar la ec. (10.4) y L — Jo.

Por ello, si L = constante, entonces o es tambten constante. Esto signiflca que el

cuerpo rota con velocidad angular constante con respecto a un eje fljo respecto

tanto al cuerpo como al observador.

Supongamos que el cuerpo no esU rotando con respecto a un eje principal. Luego

se puede aplicar la ec. (10.5) y el hecho de que L sea constante no irnplica que &sea constante. Asi la velocidad angular del cuerpo est& variando y el eje de rotaci6n

310 Dindmica de un cuerpo rigido(10.4

no permanece fljo con respecto al observador quien ve que to precesa alrededor de LeJLnr0taC1<in

fl

COn respecto al cuerpo no se encuentra tampoco fljo. La ecus'cidn (10.5), que refiere L a los ejes principals X Y Z da

L% = Jf«io + /fo>2o + IfaU = const

cuando L = constants Esto expresa la condici6n que deben cumplir las comDonentes de to con respecto a los ejes principals XoY Z . Como los coeficientes /»/, e 73 son positives y constantes, esta es la ecuaci6n de un elipsoide, si o>* ft J'y co, se consideran como las coordenadas de un punto. As* el extremo del vector

?J?e*

qUeK^

Cn 6Ste eHpSOide (Fig"1(M8>- Durante el movimiento; el vector cJcambia tambi^n en magnitud y direcci6n con respecto al cuerpo y por ello el ev

l™ d*\ Yect?r descr£c una trayectoria sobre la elipsoide, la cual se denominapolhode (del gnego: pdlos, polo; hodos, trayectoria).

El movimiento que acabamos de describir se encuentra en muchas situacionesde importance. Por ejemplo, las fuerzas ejercidas por el sol, la luna y los plane-tas sobre la tierra esttn practicamente aplicadas en el centre de masa y por elloel torque con respecto al centro de masa es esencialmente cero (realmente hay unpequeno torque

;ver ejemplo 10.10). La tierra no es exactamente una esfera/sinSque tiene ligeramente la forma de una pera, y no est* rotando actualmente conrespecto a un eje principal. Por consiguiente, su eje de rotacWn no est* fljo a la tierra

Elipsoide

FI&. 10-18. Descripci6ndel movimiento rigido.

La trayectoria descritapor el extremo del vec-tor velocidad angular,con respecto a ejes fljos

en el cuerpo, es el pol-hode.

~0",2U

-O^.JO

(K',00

+ 0",10

+ //,20

+ 0",20 + ()",m ()",{M) -0",I<) -{)ȣ[)

Pig. 10-19. Polhode del eje de rotaci6n de la tierraen el periodo 1931-1935,

En la Fig. 10-19 se ilustra el polhode del eje de rotacbtn de la tierra, el cual roues-tra la trayectoria seguida por la interseccidn norte del eje de rotaci6n durante elperiodo de 1931 a 1935. Debido a que intervienen otros factores, la forma de lacurva es algo irregular, pero el diametro de la curva nunca excede los 15 m y elperiodo de revolucidn del eje es de aproximadamente 427 dias.

El movimiento de rotaci6n de una pelota de balompte despute de haber sidogolpeada es otro ejemplo del cambio en el eje de rotacidn de un cuerpo rigido librede torques, ya que, en la mayor parte de los casos, el momentum angular de la pe-lota no sfe encuentra a lo largo de uno de sus ejes principales.

20 g\ Energia cinetica de rotation 311

10.5 Energia cin&tica de rotucion

En la section 9.5 definimos la energia cinetica de un sistema de particulas como

Ek - Z&miv\.

Hemos visto en la section 10.2 que, en el caso de un cuerpo rigido rotando con

respecto a un eje con velocidad angular a>, la velocidad de cada particula es

Vi = coR if donde R( es la distancia de la particula al eje de rotation. Luego

Ek = £&miv\ = I^mtRy = i^mR^

o, recordando la definition (10,2) del momento de inertia

Ek =±Ito*. (10- 16)

La expresion (10.16) es correcta para cualquier eje aun si no fuera principal, ya

que la magnitud de la velocidad es siempre vt= a>Ru como puede inferirse de

la discusi6n de la section 10.2. Cuando la rotation es con respecto a un eje prin-

cipal, podemos utilizar la ec. (10.4) y escribir

Ek= ^-. (W.17)

Podemos obtener otra expresion mas general que (10.17) de la energia cinetica

utilizando las componentes de m a lo largo de los ejes principales X Y Z . El

resultado, que no derivaremos, es

Ek = Wi<*&o + Wo + V4)-

UtUizando las componentes de L a lo largo de X Y Z de acuerdo con la ec. (10.5),

podemos escribir

1 / L% Lgp Lxo \

expresi6n que se reduce a la ec. (10.17) para la rotation con respecto a un eje

principal. De especial interes, particularmente en la discusion de las rotaciones

moleculares, es el caso cuando el cuerpo tiene simetria de revoluci6n, digamos

con respecto a Z , de modo que Ix = I%. Luego

k2

que puede escribirse en la forma alterna

L2

312 Dindmica de un cuerpo rigido /™ ,

Consideremos ahora el caso general en el cual el cuerpo rigido rota con respectoa un eje que pasa a traves del centro de masa y al mismo tiempo tiene un mo-vimiento relativo de traslacion con respecto al observador. Como demostramosen el ejemplo 9.8, la energia cinetica de un cuerpo en un sistema inercial de refe-renda es Ek = \Mv\M + Ekm , en donde M es la masa total, »CM es la velo-cidad del centro de masa, y EkXM es la energia interna respecto al centro de masaEn el caso de un cuerpo rigido, iMi£M es justamente la energia cinetica de tras-lacion, y por consiguiente, Ek>CM debe ser la energia cinetica de rotacion conrespecto al centro de masa, calculada con la ayuda de la ec. (10.16). Esto es ciertoya que, en un cuerpo rigido, el centro de masa esta fijo en el cuerpo, y el unicomovimiento que el cuerpo puede tener con respecto a su centro de masa es derotaci6n. Por consiguiente, podemos escribir

Ek = W»lu + Vco>\ (10.18)

en la cual Ic es el momento de inercia con respecto al eje de rotacion que pasaa traves del centro de masa.

Ya que la distancia entre las particulas de un cuerpo rigido no cambia duranteel movimiento, podemos suponer que su energia potencial interna Ep m , perma-nece constante y, por consiguiente, no tenemos que considerarla cuando explica-mos el intercambio de energia del cuerpo con sus alrededores. En concordancia,la conservaci6n de la energia expresada por la ec. (9.35) de un sistema de parti-culas se reduce, en el caso de un cuerpo rigido, simplemente a

Ek — Ek, = WW,(1 0. 1 9)

donde Wext es el trabajo de las fuerzas externas. Si las fuerzas externas son con-servativas, tenemos

Wext = (EPt0— Ep)exu (10.20)

dondeEP)ext es la energia potencial asociada con las fuerzas externas, y la ec. (10.19)se convierte en (dejando de lado el subindice "ext" de la energia potencial),

Ek + Ep = (Ek + Ep) . (10.21)

Este resultado es similar a aquel de una particula expresado por la ec. (8.29),

y es una situation especial de la ec. (9.36) para el caso en el cual la energia poten-cial interna no cambia. (Debe recordarse que hemos expresado que esta falta decambio tiene siempre lugar cuando se trata de un cuerpo rigido). Asi UamamosE = Ek + Ep la energia total de un cuerpo rigido. Cuando utilizamos la ec. (10.18)para Ek ,

la ec. (10.21) para la energia total del cuerpo rigido toma la forma

E = ±M»lm + iW + Ep = const.

Por ejemplo, si el cuerpo esta cayendo bajo la accion de la gravedad, Ep- Mgy,

en la cual y se refiere a la altura del cm del cuerpo con respecto a un piano hori-zontal de referenda, y la energia total es

E = W»m + \la& + Mgy = const. (10.22)

10.5) Energta cinitica de rotation 313

Si algunas de las fuerzas no son conservativas (en el sentido discutido en la sec-

ci6n 8.12), debemos escribir, en lugar de la ec. (10*20),

Wext = Ep,o Ep + W\

donde W es el trabajo de las fuerzas externas no conservativas. La ec. (10.21)

se expresa ahora como

(Ek + Ep)-(Ek + Ep) = W. (10.23)

Esta expresi6n debe usarse, por ejemplo, cuando actuan fuerzas de fricci6n ade-

m£s de las fuerzas de gravitaci6n.

EJEMPLO 10J&* Una esfera, un cilindro y un aro, todos del mismo radio ruedan

hacia abajo sobre un piano inclinado partiendo de una altura y . Encontrar en cada

caso la velocidad con la que llegan a la base del piano*

Soluddn: La flgura 10-20 muestra las fuerzas que actuan sobre el cuerpo rodante,

Ellas son el peso Mg, la reaccidn N del piano, y la fuerza de fricci6n F en el punto

de contacto con el piano. Podrfamos aplicar el mismo m6todo utilizado en el ejem-

plo 10.5 (y recomendamos que el alumno lo haga). En su lugar, ilustraremos la

soluci6n aplicando el principio de conservation de la energia, expresado por

la ec. (10.22).

En el punto de partida J5, cuando el cuerpo se encuentra en reposo a una altura y ,

su energia total es E = Mgy . En cualquier posicidn intermedia, el centro de masa

se mueve con una velocidad de traslaci6n v y el cuerpo rota con respecto al centro

de masa con velocidad angular <* t estando ambas relacionadas en este caso por

v = Rta* La energia total es por consiguiente

E = iMp* + iJco>* + Mgy = ±Mv* + HIc/R^v* + Mgy.

Escribiendo el momento de inercia como Ic = MK* ydonde K es el radio de giro

de acuerdo con la definici6n (10.10), podemos expresar la energia total como

E = ±M(l + ~y* + Mgy.

Igualando esta expresidn de la energia a la energia inicial E = Mgy > obtenemos

la siguiente expresi6n

a — 2g(tfo— y)

1 + (K*/R*)

Si, en lugar de un cuerpo rigido rodante,

tuvi£ramos un cuerpo que resbalara sobre el

piano, no tendriamos que incluir la energia

rotational, y el resultado seria v1 = 2y(y — y),

igual que para una particula simple. Vemosasi que el movimiento de rotaci6n hace queel movimiento de traslacidn sea m&s lento.

Podemos entender esto si comprendemos que

en un cuerpo rodante la energia potential

inicial debe utilizarse para producir tanto

energia cin6tica de rotation como de tras-

lacidn. Por el contrario, cuando el cuerpo se

\M^1

W^'

jfff-ff/j

•''

.wff

1

f

IJ\\

Fig, 10-20. Rodamiento de

cuerpo a lo largo de un piano

un

314 Dindmica de un cuerpo rigido (10.6

desliza sobre el piano, toda la energfa potencial inicial se transforma en energiacinetica de traslacitin.

Refiriendonos a la tabla 10-1, vemos que K 2/R* es igual a £ para la esfera, ±para el disco y 1 para el aro* Por consiguiente, encontramos que v 2 es igual a ^ g(y—Uo) Para la esfera, ig(y^y ) para el cilindro y g(y— y ) para el aro. En otraspalabras, la esfera es la mas veloz, luego le sigue el cilindro y flnalmente el aro.Examinando la geometria de los cuerpos, ^podria el estudiante haber adivinadoeste resultado?

Un resultado interesante derivado de la expresitin de v2 es que la velocidad deun cuerpo que desciende sobre una pendiente no depende de la masa o de las di^mensiones del cuerpo, sino solamente de la forma.

10.6 Movitniento giroscdpico

Como se indico en la section 10.4 la ecuacion dLjdt = t implica que en la ausenciade un torque externo t, el momentum angular L del cuerpo permanece constante.Si el cuerpo estA rotando con respecto a un eje principal L = Ia> y, como seexplico antes, el cuerpo seguird rotando con respecto a dicho eje con velocidadangular constante.

Este hecho se ilustra mejor por el giroscopo (Fig. 10-21), el cual es un instrumentoque permite montar una rueda giratoria de modo que el eje puede cambiar libre-mente de direccion. La rueda G esta montada sobre la varilla horizontal AB yes balanceada por un peso W de modo que el torque total alrededor de es cero.La varilla AB puede moverse libremente, tanto con respecto al eje X como al

eje Z, y la rueda esta rotando (o girando) rapidamente alrededor del eje Y

;

estos son los ejes principales del giroscopio. Por consiguiente, el momentumangular del sistema es paralelo al eje Y cuando este eje esta fijo en el espacio.Si desplazamos el giroscopio alrededor del laboratorio notamos que AB siempre

Fig. 10-21. Girdscopo no sometido aningun torque.

Fig. 10-22. El eje de rotaci6n de un gi-

rdscopo no sometido a torques permanecefijo en el espacio, y por consiguiente, rotacon respecto a la tierra.

10.6) Movimienlo giroscopico 315

tig. 10-28. Girtiscopo sujeto a un tor-

que externo.

Fig. 10-24. Precesi6n del eje del gi-

r6scopo.

senala en la misma direction. Colocando el eje del giroscopio de modo que ABsea horizontal y senale en la direction este-oeste (position 1 de la Fig, 10-22,

donde N representa el polo norte de la tierra y la flecha indica la velocidad angu-

lar de la rueda), observaremos que AB gira gradualmente de modo que despues

de 6 horas se encuentra en una position vertical (position 4 de la Fig. 10-22).

Esta rotation aparente de AB se debe en realidad a la rotation de la tierra, y

mientras que nuestro laboratorio se desplaza del 1 al 4, la orientation de ABpermanece fija en el espacio.

Si el torque aplicado al giroscopo no es cero, el momentum angular experimenta

un cambio en el tiempo dt dado por

dL = t dt (10.24)

En otras palabras, el cambio en el momentum angular tiene siempre la direccidn

del torque (en la misma manera que el cambio de la cantidad de movimiento

de una particula tiene la direction de la iuerza), una situation que ya hemos

encontrado en el ejemplo 10.7* De hecho, lav

discusion que a continuation sigue

guarda una gran semejanza con aquella del ejemplo 10.7, pero hay una diferencia

fundamental: aqui el momentum angular proviene principalmente del espin del

girdscopo, mientras que en el sistema de la Fig, 10-16 el momentum angular

provino de la rotation alrededor del eje Z, sin ningun espin.

Si el torque es perpendicular al momentum angular L t el cambio dL es tambien

perpendicular alyel momentum angular cambia de direcci6n pero no de mag-

nitud. Esto es, el eje de rotaci6n cambia de direction pero la magnitud del mo-

mentum angular permanece constants Como dijimos en el ejemplo 10,7, esta

situaci6n es similar al caso del movimiento circular bajo una fuerza centripeta,

en la cual la fuerza es perpendicular a la velocidad y la velocidad cambia de

direction pero no en magnitud. El movimiento del eje de rotation alrededor

de un eje fijo debido a un torque externo se llama precesion, como se indic6 pre-

viamente en el ejemplo 10.7.

316 Dindmica de un cuerpo rtgido (10.6

Esta situaci6n se encuentra, por ejemplo, en el trompo comiin, un jugueteque es una especie de giroscopio (Fig. 10-23). N6tese que para el trompo el ejeprincipal X se ha tornado en el piano XY, y por ello Y queda en el piano de-terminado por Z y Z . Debido a la simetria cilindrica del trompo, los ejes prin-cipals X Y Z no e&tan girando con velocidad angular o>. El origen de ambossistemas de coordenadas se ha escogido en el punto 0, el cual esU fijo en un sis-

tema inercial de referenda. Por ello, tanto L como t deben calcularse con respectoa 0. Cuando el trompo rota .alrededor de su eje de simetria OZ con velocidadangular a>, su momentum angular L es tambien paralelo a OZ . El torque ex-terno % se debe aljpeso Mg que actua en el centro de masa C y es igual al pro-

ducto vectorial (OC) x (Mg). El torque r es, por consiguiente, perpendicularal piano Z OZ 9 y por lo tanto tambien perpendicular a L. En magnitud,

x — Mgb sen<f>, (10.25)

donde<f>

es el dngulo entre el eje de simetria Z y el eje vertical Z, y b = OC dala posicion del centro de masa.

Como se indico en la Fig, 10-24, en un pequeno intervalo dt el vector L cambiade la posici6n OA a la posicion OB, siendo su cambio AB = dL, paralelo a t.

El extremo del vector L describe un circulo alrededor de Z de radio AD = OAsen

<f>= L sen <£, y en un tiempo dt el radio AD se desplaza en un 6ngulo d9 a

la posici6n BD. La velocidad angular de precesion Q se define como la veloci-dad a la cual el eje del cuerpo OZ rota alrededor del eje OZ fijo en el labora-torio; esto es,

a = *1

dt(10.26)

y esta representado por un vector paralelo a OZ. La magnitud de dL es

\dL\ =ADdB = (L sen<f>)

(Q. df),

Precesidn Pero de la ec. (10.24) tenemos que \dL\ = x dt.

Luego, igualando ambos resultados, podemosescribir

Nutaci6n

X£IL sen

<f>= r (10.27)

Trayectoria de Z

o, usando la ec. (10.25) para el torque, obte-

nemos

ft = t MgbL sen ^ Iq)

(10.28)

Notando la orientacidn relativa de los vecto-

res O, L y r en la Fig, 10-24, vemos que la ec.

(10.27) puede escribirse en la forma vectorial

Fig, 10-25. Precesitin y nutaci6n del eje del girdscopo. Qx L = T, (10.29)

10.6) Movimiento giroscopico 317

la cual es una expresion muy util. Debia compararse con la expresi6n similar

c^x p —F para el movimiento circular, dada por la ec. (7,30), ya que ambas

representan la misma relaci6n matematica entre los vectores involucrados.

Los resultados (10,27) y (10.28) son aproximados. Son validos si co es muygrande en comparacion H, una situation compatible con la ec, (10,28), La razon

es que si el cuerpo est£ precesando alrededor de OZ tiene tambien un momentum

angular alrededor de dicho eje y, por consiguiente, su momentum angular no

es I(D> como supusimos, sino que la velocidad angular resultante es <o + Q. Sin

embargo, si la precesi6n es muy lenta (esto es si n es muy pequena comparada

con co), el momentum angular con respecto a OZ puede despreciarse, como im-

plicitamente lo hicimos en nuestros c&lculos. Nuestra derivaci6n es entonces

aplicable.

Una discusion mas detallada indica que en general el 6ngulo <j> no permanece

cwistante, sino que oscila entre dos valores fijos, de modo que el extremo de L,

al mismo tiempo que precesa alrededor de Z, oscila entre los dos circulos C y C(Fig. 10-25), describiendo la trayectoria indicada. Este movimiento oscilatorio del

eje Z' se denomina nutation. La nutacion, al igual que la precesion, contribuye

al momentum angular total, pero en general, su contribuci6n es aun menor que

la de la precesi6n,

Los fen6menos giroscopicos tienen amplia aplicaci6n. La tendencia de un

gir6scopo a mantener ei eje de rotation fijo en el espacio es un principio el cual

es utilizado en la estabilizacion a bordo de los barcos y en los pilotos autom&-

ticos de los r,viones. Otro ejemplo interesante del movimiento giroscopico es la

precesion de los equinoccios, como se discuti6 en la secci6n 2,3. El piano del Ecua-

dor hace un angulo de 23° 27' con el piano de la orbita terrestre o ecllptica. La

intersection de los dps pianos es la llnea de los equinoccios. La tierra es un giros-

copio gigante cuyo eje de rotacion es esencialmente la linea que pasa a traves de

los polos norte y sur. Este eje est& precesando alrededor de la normal al piano

de la ecliptica en la direccidn este-oeste, como se indica en la Fig. 10-26, con un

periodo de 27,725 anos o con una velocidad angular de precesi6n alrededor de

50,27" de arco por ano, 6 7,19 x 10-n rad s-1

. Esta precesion del eje de la tierra

da lugar a un cambio igual en la direction de la linea de los equinoccios, un efecto

que fue descubierto alrededor del ano 135 A.C. por Hiparco.

La precesion de los equinoccios se debe al torque ejercido sobre la tierra por

el sol y la luna. La tierra no es una esfera pero se aproxima a un elipsoide, con el

diametro mayor en el piano ecuatorial (realmente la tierra tiene la forma de

una pera). CAlculos detallados han mostrado que esta forma geometrica, com-

binada con la inclination del eje de la tierra respecto a la ecliptica, dan como

resultado que las fuerzas ejercidas por el sol y la luna sobre la tierra tengan un

torque resultante respecto al centro de masa de la tierra. La direction del torque

es perpendicular al eje de la tierra. El eje de rotacion de la tierra debe entonces

de precesar bajo la action de este torque. En el capitulo 15 veremos que un efecto

similar (aunque las razones fisicas son diferentes) esti presente cuando una par-

ticula cargada, tal como un electron o un prot6n, se mueve en un campo magne-

tico. El eje de la tierra experimenta tambien una nutacion con una amplitud

de 9,2" y un periodo de oscilacion de 19 anos.

318 Dindmica de un cuerpo rigido (10.6

Precesitfn del eje

de la tierra (

Normal a la ecliptica ^

—'—•-. ^/S^ e de r°tacion^

de la tierra

23°27 /

Linea de los

equinoccios

Piano de la

ecliptica

Piano del ecuador

Fig. 10-26. Precesi6n del eje de rotation de la tierra.

<&^

Otra aplicacion del movimiento giroscopico, tambien asociada al movimientode la tierra, es el compds giroscopico. Supongamos que tenemos un giroscopo enla posici6n G de la Fig. 10-27, donde la flecha 1 indica el sentido de rotaci6n de la

tierra. El giroscopo est& situado de modoque su eje debe conservarse en la posi-

ci6n horizontal. Esto puede lograrse si el

giroscopo flota en un liquido. Supon-gamos que inicialmente el eje del giros-

copo senala en la direction E-W. Cuandola tierra rota el piano horizontal y la di-

rection E-W rotan de la misma manera.Por consiguiente, si el eje del giroscopo

fuera mantenido en la direction E-W,el eje tendria que rotar como lo indica

la flecha 2. Pero ello es equivalente a

aplicar un torque en la direction sur-

norte. Por lo tanto, el eje del gir6scopo,

bajo la acci6n de este torque girara aire-

dedor de la vertical hasta que senale el

norte, como indica la flecha 3. La brii-

jula giroscopica tiene la ventaja especial

de sefialar hacia el norte verdadero, ya

que no esta sujeta a anomalias magne-ticas locales.

Fig, 10-27. Brujula giroscdpica,

EJEMPLO 10.10. Estimar la magnitud del torque que debe ejercerse sobre latierra a fin de producir la precesi6n observada de los equinoccios.

Bibliografia 319

Sotucidn; Utilizando la ec. (10.27) tenemos que t = ClL sen $, donde

* = 23° 27' y O = 7,19 x 10" 11 rad s-1

es la velocidad angular de precesuin de la tierra. Debemos primero calcular el

momentum angular de la tierra. Ya que el eje de rotacton de la tierra se desvfa lige-

ramente de un eje principal, podemos utilizar la relaci6n L = Jw. El valor de <o

fue dado en el ejemplo 5.11 como 7,29 x 10 -5 rad s_1

. El moment© de inercia dela tierra, de la tabla 10-1, suponiendo que la tierra es esf£rica, es

/ = $MR* = 1(5,98 x 10M kg) (6,38 x 10« m)»

= 9,72 x 10»7 m* kg.

Luego t = 2,76 x 10 a7 N m*

TABLA 10-2 Comparactfn entre las dln&micas de traslacltfn y rotaeltfn

Traslaci6n Rotation

Momentum lineal p = mv Momentum angular L = IG>*

Fuerza F = dp/dt Torque T = dL/dt

Cuerpo de masaconstante F = ma

Cuerpo de momento deinercia constante T = I**

Fuerza perpendicularal momentum F = W x p

Torque perpendicularal momentum angular T = q*l

Energia cin£tica Ek = imv* Energia cin6tica it* == ilw*

Potencia P — F«u Potencia P =: f.O

* Las f6rmulas marcadas con un asterisco son v&lidas solamente para la rotaci6nalrededor de un eje principal.

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320 Dindmica de un cuerpo rigido

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9. A Source Book of Physics, por W. F. Magie. Cambridge, Mass. : Harvard Uni-versity Press, 1963 ; pag. 65, Poinsot

10. The Feijnman Lectures on Physics, vol. I, por R. Feynman, R. Leighton yM. Sands. Reading, Mass. : Addison-Wesley, 1963, caps. 18, 19 y 20

Problemas

10.1 Una varilla delgada de 1 m delargo tiene una masa despreciable, Secolocan 5 cuerpos a lo largo de ella

cada uno con una masa de 1,00 kg,

y situados a cm, 25 cm, 50 cm, 75 cmy 100 cm de uno de sus extremos. Calcu-

lar el momento de inercia del sistemacon respecto a un eje perpendicular a la

varilla, el cual pasa a trav6s de (a) unextremo, (b) la segunda masa, (c) el

centro de masa. Calcular el radio de giro

en cada caso, Verificar el teorema deSteiner.

10.2 Resolver el problema anterior

;

esta vez cuando la masa de la varilla

es de 0,20 kg.

10.3 Tres masas, cada una de 2 kg,estan situadas en los vertices de untriangulo equilatero cuyos lados midencada uno 10 cm. Calcular el momentode inercia del sistema y su radio de giro

con respecto a un eje perpendicular al

piano determinado por el triangulo y quepase a traves (a) de un vdrtice, (b) del

punto medio de un lado, (c) del centrode masa.

10.4 Demostrar que el momento deinercia de un sistema constituido pordos masas mlf y m2f separadas por unadistancia r con respecto a un eje quepasa a trav6s de su centro de masa yperpendicular a la linea que une las dosmasas, es \ir

2, siendo [l la masa reducida

del sistema. Aplicarlo a la mol^cula deCO (r = 1,13 X 10-10 m) y a la moteculade HC1 (r = 1,27 x 10~10 m).

10.5 Encontrar el momento de inercia

de la molecula de C0 2 con respecto aun eje que pasa a traves del centro de

Figura 10-28

masa y es perpendicular al eje. La mo-lecula es lineal y el atomo de C se en-

cuentra en el centro. La distancia C—

O

es de 1,13 x 10-10 m.

10.6 En la molecula de HaO, la dis-

tancia H—O es de 0,91 x 10"10 m y el

angulo entre las uniones H—O es de 105°.

Determinar los momentos de inercia dela molecula respecto a los tres ejes prin-

cipals mostrados en la Fig. 10-28, y quepasan a trav6s del centro de masa. Ex-presar el momentum angular y la energia

cin6tica de la mol6cula respecto a los

ejes principales cuando la molecula estA

rotando con respecto a un eje arbitrario.

10.7 La molecula de NH3 (Fig. 10-29)

es una piramide con el atomo de N en el

v£rtice y los tres atomos de H en la base.

La longitud de la uni6n N—H es de

1,01 x 10" 10 m y el Angulo entre dichas

uniones es de 108°. Encontrar los tres

momentos principales de inercia con

respecto a los ejes que pasan por el

centro de masa. (Los tres ejes estan

orientados como sigue ; Z es perpendicu-

Problemas 321

Piano de los

dtomos de HFiffura 10-21+

lar a la base, X se encuentra en el pianooteterminado por una uni6n N—H y el

eje Z Q e Y es paralelo a la linea queune los otros dos atomos de H).

10.8 Dos ninos, cada uno con una masade 25 kg estan sentados en extremosopuestos de una plancha horizontal de2,6 m de largo y una masa de 10 kg.

La plancha esta rotando a 5 rpm conrespecto a un eje que pasa por su centro.

&CuaI sera la velocidad angular si cadanino se mueve 60 cm hacia el centro

de la plancha sin tocar el piso? ^Cuales el cambio en la energia cinetica derotaci6n del sistema?

10.9 Refiriendose al problema anterior,

suponer que, cuando los ninos se en-

cuentran en la posici6n inicial, se aplica

una fuerza de 120 N perpendicular a la

plancha a una distancia de 1 m del eje.

Encontrar la aceleracI6n angular del

sistetna.

10. 10 El momento de inercia de unarueda es de 1000 lb pie 2

. En un cierto

instante su velocidad angular es de10 rad s

_1. Despues que rota 100

radianes, su velocidad angular es de100 rad s

_1. Calcular el torque aplicado

a la rueda y el aumento en la energia

cinetica.

10.11 Una rueda que rota esta some-tida a un torque de 10 N m debido a la

fricci6n en su eje. El radio de la ruedaes de 0,6 m, su masa es de 100 kg, yesta rotando a 175 rad s

-1. ^Cuanto

demorara la rueda en detenerse? ^Cuan-tas revoluciones dara antes de detenerse?

10.12 Un cilindro de 20 kg de masay 0,25 m de radio esta rotando a 1200

rpm con respecto a un eje que pasa porsu centro. <,Cual es la fuerza tangencialnecesaria para detenerla despues de1800 revoluciones?

10.13 Un disco con una masa de 50 kgy un radio de 1,80 m puede girar conrespecto a su eje. Se ejerce una fuerza

constante de 19,6 N en el borde del

disco. Calcular (a) su aceleraci6n angular,

(b) el angulo que describe, (c) su mo-mentum angular, y (d) su energia cinetica

despues de 5 s.

10.14 La velocidad de un automtivil

aumenta de 5 km hr~ l a 50 km hr -" 1

en 8 s. El radio de sus llantas es de 45 cm.<,Cual es su aceleraci6n angular? La masade cada llanta es de 30 kg y su radio

de giro de 0,3 m. ^Cual es el momentumangular inicial y cual el final de cadallanta?

10.15 La volante de una maquina devapor tiene una masa de 200 kg y unradio de giro de 2 m. Cuando rota a120 rpm la valvula de entrada del vaporse cierra. Suponiendo que la volante se

detiene en 5 min, ^cual es el torquedebido a la friccidn en el eje de la vo-lante? <,Cual es el trabajo realizado porel torque durante este tiempo?

10.16 Una carreta con una masa de2000 g tiene cuatro ruedas, cada unade 6 cm de radio y 150 g de masa.Calcular la aceleraci6n lineal de la carreta

cuando se ejerce sobre ella una fuerza

de 0,6 N.

10.17 Las partes rotantes de una ma-quina tienen una masa de 15 kg y unradio de giro de 15 cm. Calcular el mo-mentum angular y la energia cinetica

cuando rotan a 1800 rpm. &Que torque

y que potencia son necesarios para al-

canzar esta velocidad en 5 s?

10.18 El radio de una moneda de 5 cen-

tavos es de 5 cm y su masa es de 5 g.

Rueda sobre un piano inclinado a 6 rps.

Encontrar (a) su energia cinetica derotacitfn, (b) su energia cinetica de tras-

laci6n y (c) su energia cinetica total,

iCual es la distancia vertical de la cual

tendria que caer a fin de adquirir energia

cinetica?

10.19 Repetir el ejemplo 8.9, supo-

niendo que la bola tiene un radio r y

322 Dindmica de an cuerpo rtgido

que rueda a lo largo del riel en lugarde resbalar.

10.20 El automtfvil del Problema 10.14tiene una masa de 1600 kg, y su velo-cidad aumenta en 8 $ como se describe.

Calcular (a) las energias cin6tica de rota-

cidn inicial y final de cada rueda, (b) la

energla cin£tica total inicial y final decada rueda, y (c) la energla cin^tica total

final del automdvil.

10.21 Un camidn con una masa de10 toneladas se inueve con una velocidadde 6,6 m s-1

. El radio de cada Uantaes de 0,45 m, su masa de 100 kg, y suradio de giro es de 30 cm. Calcular la

energla cin£tica total del camtfn.

10.22 Un anillo de hierro cuyos radiosmiden 0,60 m y de 0,50 m tiene unamasa de 18 kg. Rueda sobre un pianoinclinado, llegando a la base con unavelocidad de 3,6 m s^1

. Calcular la ener-gla cin£tica total y la altura vertical

de la cual cae.

Flgura 10*30

10.23 La varilla de la Fig. 10-30, cuyalongitud es L y cuya masa es m 9 puederotar libremente en uri piano vertical

alrededor de su extremo A. Inicialmentese coloca en una positidn horizontal yluego se suelta. Cuando hace un angulo acon la vertical, calcular (a) su acelera-

cidn angular, (b) su velocidad angular,

y (c) las fuerzas en el lugar de suspension.

10.24 Una variUa uniforme, que cuelgaverticabnente de un pivote tiene una lon-

gitud de 1,0 m y 2,5 kg de masa. Se le

golpea en la base con una fuerza hori-

zontal de 100 N.Ia que actua durante

bo s. (a) Encontrar el momentum angularadquirido por la varilla. (b) £Adquirir£la varilla una posicidn vertical con el

extremo libre sobre el pivote?

%fw/Mw/wwwmmFlgura 10-81

10.25 Una escalera AB de 3 m de lon-gitud y 20 kg de masa reposa sobre unapared sin fricci6n (Fig. 10-31). El pisoes liso y, para prevenir el deslizamiento,se le coloca la cuerda OA, Un hombrecuya masa es de 60 kg est& parado ados tercios de la base de la escalera.La soga se rompe repentinamente. Calcu-lar (a) la aceleracidn inicial del centrode masa del sistema escalera-hombre

y (b) la aceleracidn angular inicial alre-

dedor del centro de masa. lAyuda: Notarque la velocidad angular inicial de la

escalera es cero.J

10,26. La varilla horizontal AB dela Fig. 10-32, sostenida por cojinetes sin

friccWn en sus extremos, puede girar

libremente alrededor de su eje horizontal.

Dos masas iguales se colocan como se

muestra, mediante varillas de masas des-

preciables, $im6tricamente situadas conrespecto al centro de la varilla. Encon-trar (a) el momentum angular del sistemarespecto al centro de masa cuando el

sistema gira con velocidad angular «,

y (b) las fuerzas sobre los cojinetes.

© \Mb—

77

©

B

L-

Ffgura 10-32

Problemas 323

m

L

Ffg?ra 10-88

10.27 Una varilla de longitud L yrtfasa M (Fig, 10-33) puede rotar libre-

mente alrededor de un pivote en A.Una bala de masa m y velocidad v golpea

la varilla a una distancia a de A y se

incrusta en ella. (a) Encontrar el mo-mentum angular del sistema con respecto

a A inmediatamente antes y despues

de que la bala de contra la varilla. (b)

Determinar el momentum del sistema

inmediatamente antes y despues de la co-

lisi6n. Explicar cuidadosamente su res-

puesta. (c) ^Bajo que condiciones se con-servara el momentum? &Cual es el Q dela colisi6n?

Figura 10-84

10.28 Una varilla de longitud L ymasa m reposa sobre un piano horizontal

sin fricci6n (Fig. 10-34). Durante un in-

tervalo muy corto Af, una fuerza F queactua sobre aquella produce un impul-se /. La fuerza actua en un punto P si-

tuado a una distancia a del centro deinasa. Encontrar (a) la velocidad del

centro de masa, y (b) la velocidad an-gular con respecto al centro de masa.(c) Determinar el punto Q que inicial-

mente permanece en reposo en el sis-

tema L, demostrando que b — K z/a9

siendo K el radio de giro con respectoal centro de masa. El punto Q se denomi-na centro de percusidn (por ejemplo, un

jugador de beisbol debe sostener el bateen el centro de percusidn para evitar

sentir una sensaci6n de dolor cuandoel golpea la pelota.) Demostrar tam-bi£n que si la fuerza da en Q> el centrode percusWn se encuentra en P.

Figura 10-85

10.29 La rueda de la Fig. 10-35, quetiene un radio de 0,5 y una masa de25 kg, puede girar con respecto a uneje horizontal. Una cuerda enrolladaalrededor del eje tiene una masa de10 kg que cuelga de su extremo libre.

Calcular (a) la aceleraci6n angular de la

rueda, (b) la aceleraci6n lineal del cuerpo,

y (c) la tensidn en la cuerda.

Figura 10-36

10.30. Calcular la aceleraci6n del sis-

tema de la Fig. 10-36 si el radio de la

polea es i?, su masa es m, y esta girandodebido a la fricci6n sobre la cuerda.

En este caso mx= 50 kg, m2 = 200 kg,

M = 15 kg y R = 10 cm.

10.31 Una cuerda esta enrollada alre-

dedor del pequeno cilindro de la Fig.

10-37. Suponiendo que tiramos con unafuerza F, calcular la aceleraci6n del

cilindro. Determinar el sentido del movi-

324 Dindmica de un cuerpo rigido

miento. En este caso r = 3 cm, R = 5 cm,F = 0,1 kgf y m = 1 kg.

W/MW/l.

Flgura 10-37

10.32 En el sistema representado enla Fig. 10-38, M = 1,0 kg, m = 0,2 kg,r = 0,2 m. Calcular la aceleracidn lineal

de m, la aceleracidn angular del cilin-

dro M 9 y la tensitin en la cuerda. Des-preciar el efecto de la pequena polea.

Flgura 10-38

10,33 Detemninar, para el sistema dela Fig. 10-39 la velocidad angular del

disco y la velocidad lineal demy m\Calcular la tension en cada cuerda. Su-poner que m = 600 g, m' = 500 g,M = 800 g, R = 8 cm y r = 6 cm.

Fi?ura 10-40

10.34 Para el sistema ae ia Fig, 10-40,

calcular la aceleracidn de m y la tensionen la cuerda, suponiendo que el momentode inercia del pequeno disco de radio res despreciable. En este caso r = 4 cm,R = 12 cm, M = 4 kg, y m = 2 kg.

10.35 En la Fig. 10-41, M = 6 kg,m = 4 kg, m' = 3 kg y R = 0,40 m.Calcular (a) la energia cindtica total

ganada por el sistema despues de 5 s

y (b) la tensitin en la cuerda.

Figura 10-41

Flgura 10-39

10.36 Los discos de la Fig. 10-42 tieneniguales masas m y radios R. El disco

superior puede girar libremente alre-

dedor de un eje horizontal a trav£s desu centro, Una cuerda estfi enrolladaalrededor de ambos discos y el disco

inferior se deja caer. Encontrar (a) la

aceleracidn del centro de masa del discoinferior, (b) la tensidn en la cuerda y(c) la aceleracidn angular de cada disco

con respecto a su centro de masa.

10.37 La masa del girtiscopo de la Fig*

10-43 es de 0,10 kg. El disco, que esta

Problemas 325

'/,-///,//.,,,,./.

Flgura 10-42

situado a 10 cm del eje ZZ\ tiene unradio de 5-cm y esta girando alrededor

del eje YYf

con una velocidad angularde 100 rad s- 1

. <,Cual es la velocidadangular de precesi6n?

Y f^.

-K

Ftgura 10-43

10.38 Para una demostracton en clase,

un gir6scopo consiste de un anillo de me-tal de 0,35 m de radio, 5 kg de masa, el

cual esta unido por radios a un eje quesobresale 20 cm a cada lado. El demos-trador sostiene el eje en una posici6n

horizontal mientras que el anillo gira

a 300 rpm. Encontrar la magnitud y la

direcci6n de la fuerza ejercida por cadauna de las manos del demostrador sobre

el eje en los casos siguientes : (a) el eje se

tnueve paralelo a si mismo;

(b) el eje

rota con respecto a su centro en unpiano horizontal a 2 rpm ; (c) el eje rota

con respecto a su centro en un pianovertical a 2 rpm, Calcular tambien cual

debe ser la velocidad angular del anillo

a fin de que su eje permanezca horizontalsi el girdscopo fuera sostenido solamentepor una tnano,

10.39 Demostrar que, para un cuerporigido dEk/dt = ©*t. Esta ecuaci6n de-

muestra que o-t es la potencia rota-

cional. [Ayuda: N6tese que v = m * rpara un cuerpo rotante. En primer lugarobtener la ecuaci6n para una particula,utilizando la ec. (8.10), y luego sumarlos resultados para obtener la ecuacidnpara todas las particulas del cuerporigido.]

10.40 N6tese que cuando un cuerpo se

mueve sin que actue sobre 61 ningiintorque, no s61o el momentum angularse mantiene constante sino tambi&i la

energia cinetica de rotacidn. Obtener la

ecuacidn de la polhodia (ejemplo 10.8)

encontrando la interseccidn de los elip-

soides correspondientes aL ! y Ek, Ana-lizar el resultado obtenido.

10.41 Demostrar que el momento deinercia de un cuerpo rigido con respectoa un eje que hace angulos a, y y conlos tres ejes principals es

/ = lycos 2 a + 7a cos 2

{J + I3 cos2y.

10.42 Un bloque s61ido de lados 0,20 m,0,30 m, y 0,40 m y masa 4 kg esta

rotando con respecto a un eje que pasaa traves de la diagonal mayor a 120 rpm,(a) Encontrar el momentum angular conreferencia a los ejes principales. (b) De-terminar el angulo entre el momentumangular y el eje de rotacidn. (c) Encon-trar la energia cinetica de rotaci6n.

[Ayuda: Utilizar el resultado del Pro-blema 10.41 para obtener el momentode inercia.]

10.43 En el bloque del problema ante-

rior, suponer que la velocidad angular es

constante. Determinar (a) el torqueaplicado al bloque con respecto a los

ejes principales, y (b) el angulo entre el

torque y el eje de rotaci6n.

10.44 Una particula de masa m se

mueve alrededor de un eje con una velo-

cidad angular to de modo que su ve-

locidad es v = o * r, de acuerdo a la

ec. (5.48). Demostrar que las componen-

326 Dindmica de un cuerpo rigido

tes de su momentum angular son

Lx = /n[w»(y a + z2) — o>vyx— o>izx],

Ly = m[ toxXy + COir(z2 + Xa

) MzZtj],

Lt = m[—6>a=xz— <x>yyz + wr(x 2 + y2)].

10.45 Extender el resultado del pro-

blema precedente al caso de un cuerporigido para obtener

Ltx — /jW* Izyttiy Izx<&Z)

L*y = Ixyt&x -j- -/ytOy /yzCOi,

Lit = lzx<&x Iyz<X>y -\- Itit>zt

en las cuales

lx = Zm(y* + z 2),

Iy = Em{z* + x2),

h = £m(x2 + y2)

son los momentos de inercia con refe-

renda a los tres ejes de coordenadas,

de acuerdo a la ec. (10.7) y

hy = Emxy,

hz = Zmyz,

ltx = Emzx

se denominan los productos de inercia.

Comparando estos resultados con la ec.

(10.5), el estudiante puede reconocer

que los ejes principales son aquellos paralos cuales los tres productos de inercia

valen cero, N6tese tambiSn que el com-portatniento rotacional de un cuerporigido estd determinado por seis canti-

dades : los tres momentos de inercia

y los tres productos de inercia.

10.46 Determinar los tres momentosde inercia y los tres productos de inercia

del cuerpo de la Fig, 10-16 con respecto

a (a) los ejes X -, Y -, y Z - (b) los ejes

X- t Y - y Z , y (c) los ejes X'-, V - y 2.iSon siempre constantes estas canti-dades?

10.47 Galcular los productos de inercia

de las moleculas de H aO y NH3 conrespecto a los ejes ilustrados en los Pro-blemas 10.6 y 10.7, y verificar que los

ejes son principales.

10.48 Verificar la relation vectorial

(A x fl)-(C x D)

= (A - C) (B • D) — (A • !>)( (B • C) t

Utilizarla para demostrar que en el

cuerpo rigido del Problettia 10.44, v z == (co x r) 2 = o>

2r2— (r*r) a

. Luego escribir

su energia cinStica en la forma

Eu = im[<»l(y* + z 2) + ^(z 2 + x 2

)

-f <*l{x* + y2) — 2<o*6>j,xy

— 2toyco2yz— 2o)2cozxz].

10.49 Extender el resultado del pro-

blema anterior para expresar la energia

cinetica de un cuerpo rigido rotante enla forma

Ek = i[/iCOx + /ytoy + htoz

2 ixyCOzOy 2ijrt<*)yG}*

27«iCOaO>j;].

N6tese que se reduce a los valores dadosen la secci6n 10.5 para el caso de los

ejes principales cuando los productos

de inercia son cero.

10.50 Resolver el ejemplo 10.7 encon-

trando primero los componentes de ^paralelas a los ejes XYZ y calculando

luego las componentes de t mediante la

aplicaci6n directa de la ec. (10.11). Con-

siderar tambien el caso de rotaci6n acele-

rada (dv/dt ^ 0).

11

DINAMICA DE ALTA ENERGIA

//./ Introduction

11.2 Principio cldsico de relatividad

1L3 Principio especial de relatividad

11A Momentum

11.5 Fuerza

11.6 Energia

11.7 Transformation de energia y momentum

11.8 Transformation de fuerza

11.9 Sistemas de particulas

11JO Colisiones de alta energia

328 Dindmica de alta energta (11.2

11.1 Introduction

En los capitulos anteriores hemos desarrollado una teoria llamada mecanica

cldsica o newloniana para describir el movimiento de cuerpos que observamos a

nuestro alrededor. La teoria se basa en varias suposiciones. Por ejemplo, hemosvisto que el momentum puede expresarse como p — mv f donde la masa m es

un coeficiente caracteristico de la particula o del sistema; hemos considerado

siempre esta masa m como un coeficiente invariante de cada particula o sistema.

Siempre que la magnitud de las velocidades que observamos no sea muy grande,

esta suposicion sobre la masa parece ser valida y compatible con nuestra expe-

riencia. Pero existe la posibilidad de que experimentando con velocidades muygrandes esta suposicion no permanezca correcta. De hecho, se encuentran dis-

crepancias al estudiar el movimiento de particulas muy energeticas, tales comolos electrones interiores de los atomos o las particulas halladas en los rayos cosmi-

cos o producidas en los aceleradores de alta energia. El proposito de este capitulo

es desarrollar una teoria general del movimiento valida para particulas tanto de

baja como de alta energia. Apoyaremos el desarrollo de esta teoria en la trans-

formation de Lorentz, ya discutida en la seccion 6.6, y en el principio de relaii-

vidad. Por esta razon la nueva teoria se llama tambien mecanica relativista.

11,2 Principio cldsico de la relatividad

En el capitulo 6 discutimos la naturaleza relativa del movimiento y derivamos

expresiones para las velocidades y aceleraciones tal como son medidas por dos

observadores en movimiento relativo. En particular, en la seccion 6.3, derivamos

la transformacion galileana para dos observadores en movimiento traslacional

uniforme relativo.

En el capitulo 7 enfatizamos el hecho de que las leyes del movimiento tienen

que ser consideradas como referidas, o relativas, a un observador inercial. Ahora

supondremos que dos observadores inerciales diferentes, moviendose con velo-

cidad constante relativa, correlacionaran por la transformacion de Galileo sus

respectivas observaciones del mismo fenomeno. Debemos ahora observar critica-

mente este asunto, veriflcando que si las leyes de la dinamica son validas para

un observador inercial, tambien lo son para todos los observadores inerciales.

Es necesario veriflcar este enunciado solo para el principio de conservation del

momentum y para la definition de fuerza, ya que todas las otras leyes de la di-

ndmica se derivan de esas dos. La hipotesis de que todas las leyes de la dindmica

ieben ser las mismas para todos los observadores inerciales, que se mueven con veto-

zidad constante unos con respedo a otros, es lo que constituye el principio cldsico

ie relatividad.

Consideremos dos particulas, de masas m1 y m2 , y llamemos vx y v2 sus veloci-

iades medidas por un observador inercial 0. Si no hay fuerzas externas que

ictuen sobre las particulas, el principio de conservation del momentum requiere que

mjPj + m2v%

— const. (11.1)

11*2) Principle cldsico de la relatividad 329

Para otro observador inercial 0\ que se mueve relativamente a Ocon la velocidad

constitute t\ las velocidades de mx y m^ son v[ = v

x— v y v'

2= v2

— t?, deacuerdo con la ec. (6.9), derivada de la transformaci6n de Galileo. Sustituyendo

tales valores en la ec. (11.1) tenemos

m\(v'i + *?) + m2(t?2 + v) = const,

6

mxt)[ + m2t?2 = const — (n^ + m^v = const. (U-2)

Notemos que el nuevo resultado es constante s61o si v es tambien constante;

esto es, si 0' es otro observador inercial La ec, (11.2) es completamente similar

a la ec. (11.1) y, por consiguiente, ambos observadores inerciales verifican el

mismo principio de conservaci6n del momentum.Discutamos en seguida la relaci6n entre la fuerza medida por dos observadores

y 0' moviendose con una velocidad relativa constante v. Supongamos que

y 0' miden ambos la misma masa para una particula que observan en movi-miento, una suposici6n basada en la experiencia, por lo menos siempre que la

velocidad relativa v sea pequena comparada con la velocidad de la luz. Si V y Vson los valores respectivos de la velocidad de la particula con respecto a los dos

observadores, ellas estan relacionadas por la ec, (6,9), V = V + v. Ya que ves constante, dvjdt = 0, y tenemos que

dV dVdT—*- " - = "• (n '3)

Esto es, ambos observadores miden la misma aceleraci6n (recordar la ec. 6.13).

Segiin la definition de fuerza dada.en la ec. (7.12), tenemos que la fuerza medidapor cada observador es

v dp dV _, dp' dV'

En vista de que a = a', concluimos que

F = F\ (11.4)

Por consiguiente ambos observadores inerciales miden la misma fuerza sobre la

particula cuando tales observadores comparan sus medidas usando la transfor-

maci6n de Galileo.

Dejamos al estudiante la tarea de verificar que si la energia se conserva con

respecto al observador inercial 0, esto es, que si

E = ^m&l + im^ + EPtl2= const,

ftntonces, tambien se conserva con relation al observador inercial 0'f y

E' = inytf + \m&? + E'Pat = const,

330 Dindmica de alia energia (11.3

donde E'pa2 — EPa2 si la energia potencial depende linicamente de la distancia

entre las particulas. (Para la relation entre E' y E, ver el problema 11.1). Porconsiguiente, en lo que concierne a las leyes fundamentales de la dindmica, la

description del movimiento es la misma para ambos observadores inerciales,

EJEMPLO ll.l. Discutir la forma de la ecuaci6n del movimiento cuando es usadacon referenda a un observador no inercial*

Solucidn: Si un observador O' es no inercial, ello significa que su velocidad t>, rela-

tiva a un observador inercial 0, no es constante en el tiempo. Por tanto dv/dt ^ 0.Entonces, dado que v = V -f v, tenemos que

dV dV dv , dv+ —^- y a = a' +dt dt dt dt

'

La fuerza medida por el observador inercial es F = ma. Entonces, si el observadorno inercial 0' utiliza la misma definici6n de fuerza debe escribir F' = ma'. Portanto, en vista de la relation entre a y a'.

dvF'= F—m~. (H.5)

De esa manera el observador no inercial mide una fuerza diferente de la que mideel observador inercial. En otras palabras, el observador no inercial considera que,ademas de la fuerza F medida por el observador inercial (que incluye todas las

interacciones a las que esta sujeta la particula), hay otra fuerza F" actuando sobrela particula,

F" = —mdv/dtt , (11.6)

de modo que la fuerza resultante sobre la particula es F + F". Esta fuerza ficticia

se llama fuerza inercial.

Cuando deseamos describir el movimiento de una particula con relation a la

tierra (que no es un sistema inercial de referenda) usamos este tipo de 16gica. Eneste caso dv/dt es la aceleracion centripeta o * (a> * r) (recordar la ec. 6.25). Porconsiguiente la fuerza inercial es F" = — met) x (o x r) y corresponde a una fuerza

centrifuga actuante sobre la particula ademas del peso.

11.3 Principio especial de relatividad

En 1905, el fisico aleman Albert Einstein (1879-1955) dio un paso mas adelante

y propuso el principio especial de relatividad, enunciando que

todas las leyes de la naturaleza (no solamente de la dindmica) deben

ser las mismas para todos los observadores inerciales moviendose con

velocidad constante unos con respecto a otros.

Este principio nuevo, o especial, de relatividad tiene importantes consecuencias,

porque si lo aceptamos, debemos expresar todas las leyes fisicas de tal modo

que no cambien al pasar de un observador inercial a otro, hecho que acabamos

de verificar para las leyes de la dindmica, usando la transformation galileana.

El resultado de esta exigencia es la restriction impuesta sobre la expresion ma-

tematica de dichas leyes. Entre las leyes que deben permanecer invariantes para

22.3} Principio especial de relatividad 331

todos los observadores inerciales estan aquellas que describen los fenomenos

electromagneticos; ellas seran discutidas en detalle en capitulos posteriores.

Pero podemos adelantar que dichas leyes, al ser expresadas con relaci6n a un

observador inercial, incluyen una velocidad c, esto es, la velocidad de la luz.

Por consiguiente, el principio especial de relatividad, tal como fue formulado por

Einstein, tequiere que la velocidad de la luz sea la misma para todos los obser-

vadores inerciales.

La suposicion de Einstein fue motivada en parte por la memorable serie de

experiments empezados alrededor de 1880 por Michelson y Morley, quienes

midieron la velocidad de la luz en diferentes direccionfes, tratando de ver como

era afectada por el movimiento de la tierra. Discutimos este experimento en

el capitulo 6 (particularmente en el ejemplo 6.7). Los resultados, como se indico

en el capitulo 6, han sido siempre negativos, indicando que la magnitud de la

velocidad de la luz es independiente del movimiento del observador.

Ahora, de acuerdo a la ec. (6.9), la velocidad de un objeto nunca es la misma

para dos observadores en movimiento relativo si sus observaciones estan relacio-

nadas por una transformacion Galileana. Por otra parte, la velocidad de la luz

es la misma para todos los observadores inerciales si sus medidas se relacionan

entre si por medio de la transformaci6n de Lorentz, como se discutio en la sec-

ci6n 6.6. Por consiguiente, para satisfacer el nuevo principio de relatividad,

debemos usar la transformacion de Lorentz en vez de la transformacion de Ga-

lileo. Consecuentemente, volveremos a enunciar el principio de relatividad en la

siguiente forma:

Los observadores inerciales deben correlacionar sus observaciones por

medio de la transformacion de Lorentz, y todas las magnitudes flsicas

deben transformarse de un sistema inercial a otro de tal modo que

la expresion de las leges flsicas sea la misma para todos los obser-

vadores inerciales,

Lo que resta de este capitulo serd dedicado a una discusion de como esta nueva

formulation del principio de relatividad afecta las cantidades din&micas deflnidas

previamente. Desde un punto de vista practico, la teoria que desarrollaremos es

importante solamente para velocidades comparables a la de la luz, y, por consi-

guiente, debe ser usada cuando las particulas tienen una energia muy alta. Para

particulas con energias bajas, la transformacion Galileana es una aproximacion

muy buena para relacionar magnitudes fisicas en los sistemas inerciales, y la

mecanica newtoniana proporciona un formalismo satisfactorio para describir

dichos fenomenos. La teoria por desarrollar se llama la teoria especial de la rela-

tividad porque se aplica solamente a los observadores inerciales. Cuando los

observadores no son inerciales, empleamos la teoria general de relatividad, la

cual discutiremos brevemente al final del capitulo 13.

Aun si, desde un punto de vista practico, podemos ignorar la teoria especial

de la relatividad en muchos casos, desde un punto de vista conceptual esta teoria

ha producido una modification profunda en nuestros metodos te6ricos para ana-

lizar los fenomenos fisicos.

332 Dindmica de alia energta

11A Momentum

{U.4

En el capitulo 7 definimos el momentum de una particula por p = mv y supu-simos que la masa m era independiente de la velocidad. .Sin embargo, como resul-tado de muchos experimentos con particulas de alta energia, tales como protones

y electrones r£pidos producidos por los aceleradores modernos, o encontrados enlos rayos c6smicos, se ha hallado que esta suposicion ya no es v&lida. Recordemosque la fuerza aplicada sobre una particula ha sido definida como F = dp/dt,

y que ejerciendo fuerzas conocidas en particulas veloces podemos determinar expe-rimentalmente la correspondiente expresion para p. [Podemos, por ejemplo,observar el movimiento de electrones (u otras particulas cargadas) en camposmagneticos y electricos conocidos]* El resultado de esos experimentos ha sido quela masa de la particula moviendose con una velocidad v relativa al observadorparece estar dada por

mtm —]/ 1 — ^/C2

— km, (11.7)

Aqui se define k como en la ec. (6.32) y m es una constante caracteristica decada particula Uamada masa en reposo, ya que es el valor de m cuando u = 0,

esto es, cuando la particula esta en reposo con respecto al observador. La pre-

sencia del factor ]/ 1 — v*jc2 que encontramos antes en el capitulo 6 al tratarde la transformacion de Lorentz, no es sorprendente, ya que nuestro nuevo prin-cipio de relatividad basado en esta transformacion puede requerir su uso.

m

o

t) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

v/c

0,7 0,8 0,9 1,0

Fig, 11-1. Confirmacion experimental de la variacion de la masa con la velocidad.La linea es una curva basada en la ec. (11.7). Los datos experimentales de W. Kauf-mann (1901) se indican con circulos abiertos, los de A. Bucherer (1909) con circulosnegros, y los de C. Guye y C. Lavanchy (1915) con cruces.

12,i) Momentum 333

La variacidn de la masa con la velocidad segun la ec. (11.7) est& ilustrada en

la Fig. 11-1. Esta figura es esencialmente identica a la Fig. 6-15 ya que ambas

dan k en terminos de u/c. Puede verse que solamente a muy altas velocidades

hay un aumento notable en la masa de la particula. Por ejemplo, aun para

v = 0,5c, m/zHfl — 1.15, o sea solamente hay un 15 % de aumento en la masa.

El momentum de una particula que se mueve con velocidad t> relativa a un

observador debe por consiguiente ser expresada por;

p = mr = ^ = knuv. (11.8)

^ y 1 _ p2/c2

Para pequenas velocidades (v ^ c), k puede igualarse a 1, y esta nueva expre-

si6n viene a ser identica a la usada en capitulos anteriores.

* Tenemos aiin que verificar que esta expresi6n para el momentum satisface los

principios de relatividad. Esto es, debemos verificar que, si el movimiento de

la particula estd referido a un observador inercial diferente, respecto al cual la

particula se mueve con velocidad v\ el momentum p' queda expresado al reem-

plazar v por v' en la ec. (11.8), y que las dos expresiones para el momentum son

compatibles con la transformacidn de Lorentz que relaciona a los dos observadores.

Tenemos tambien que verificar que esta nueva definici6n del momentum es com-

patible con la invariancia del principio de conservaci6n del momentum para

todos los observadores inerciales. Este asunto serd pospuesto hasta las seccio-

nes 11.7 y 11.9.

EJEMPLO lia. Comparar el aumento relativo en velocidad con el aumento

relativo en nomentum.

Sohtctetu El aumento relativo en momentum se define como dp/p, y el aumento

relativo en velocidad como du/v. El momentum y la velocidad est&n relacionados

por la ec. (11.8), cuya forma escalar es

P ~(1— pV*")

1""

La deflnici6n del aumento relativo en velocidad sugiere que primero tomemos el

logaritmo de esta expresi6n. Esto es.

In p = in m + In v— iln II ^-j.

Diferenciando, obtenemos

dp _ dv_ (v/c%) dv = 1 dv _ kt dv

p ~ v 1 — &/t% 1 — v%/c% v v

Vemos entonces que a bajas velocidades, cuando v%/c* es despreciable, tenemos

que dp/p = du/v t y los aumentos relativos en momentum y velocidad son iguales,

de acuerdo a nuestra experiencia diaria, Sin embargo, a mayores velocidades, corn-

parables, con c, el factor que multiplica a dv/v es muy grande, y asi es posible pro-

ducir un aumento relativamente grande en el momentum con un aumento relativa-

mente pequeflo en la velocidad. Por ejemplo, para v = 0,7 c, tenemos que dp/p *« 2{dv/v) y y para v = 0,99c, obtenemos dp/p « bQ(dv/u).

334 Dindmica de alta energta (11.5

11.5 Fuerza

En el capitulo 7 definimos la fuerza sobre una particula por medio de la ec. (7,12),

la que fue obtenida del principio de conservacidn del momentum. Esta definition

sera mantenida en la mecanica relativistica. Por ello redefinimos la ftferza como

v - dP - d

m « ^ ~ « {YT=m)' ( >

Al tratar del mouimiento rectilineo consideramos solamente las magnitudes y portanto podemos escribir

dt

mQv

(I — i^/c2)1 '2

m^dvldf) _ m dv

(1— i^/c2)3 '2 '

1 ~v2lc* dt

' {*

En la ec. (11.10) m tiene el valor dado por la ec. (11.7). Ya que dvjdi es la

aceleracion, concluimos que para una particula de alta energia la ecuacionF = ma no es respetada en el movimiento rectilineo. Por otra parte, en el casodel movimiento circular uniforme, la velocidad permanece constante en magnitudpero no en direction y la ec. (11.9) se transforma en

p _ "h dv _ dv

(1— i^/c2)1 '2 dt dt

Pero dvjdt es entonces la aceleracion normal o centripeta cuya magnitud es v2jR,donde R es el radio de la circunferencia de acuerdo con la ec. (5.44). Por tantola magnitud de la fuerza normal o centripeta viene a ser

„ m vz i*2 pvFn= d-^yi^ =m

li= lf <lul >

Observamos que la relation F = ma se satisface en el caso del movimientocircular uniforme si usamos para la masa la expresion relativistica (11.7). En el

caso general del movimiento curvilineo, notando que dvjdt es la aceleracion tan-gential y que v2jR la aceleracion normal (de acuerdo a la ec. 5.44), concluimosde las ecs. (11.10) y (11.11) que las componentes de la fuerza a lo largo de la

tangente y la normal a la trayectoria son, usando la ec. (11.7),

(11.12)

Fjv =(i_,;/cr2 %=™v

Una conclusion inmediata es que la fuerza no es paralela a la aceleracion(Fig. 11-2) porque los coeficientes multiplicadores de aT-y aN son diferentes. Portanto, una relation vectorial del tipo F-mano existe para particulas que tienenalta energia, a menos que el cuerpo se mueva con movimiento circular uniforme.

AiiiBlsxiOD bzjotij Biin ofBq ooiis].\nr[OJ oouj[ip^ oiuaiuiiAojv '8-TT *^K1

n/—

/ ^~—- p =

/ jS

/ ///-/f

// /

40]BA. ~7>' I

1

// t

s/ /

// / 0l«

'*7Z _ XI

*h(*u*/d)+ l Ao = a

inb sourexniooua 'pBppopA bi opuBfadsaa

'Mrt°i//

S0UI9U91£

(0 = A '0 = ? *J13d 3nI> ^)

31uh;suoo sa ^ anb ap oqoaq p B;uano ua opuBiuoi 'upisaadxa B^sa opusagaiui

B/l(^/*fl— t)

rt°U/

;p = d

-38JTP BI U0 SOtqtUBO £Bq OU IL B}39J B9UJI U3 S3 O1U9IUIIA0UI p 9tlb Bi£(3^U3UIJBIE3S3

B^U3S3 (6'IT)'«9P«n09 BI UOO S0UIBZ3dlU9 B3T;S]AI1Bpj B0IUB03UI Ug '3;UB^SU03

U9PBI9P3B Bl S3 *ltf/rf = V 3pU0p 'gjtff = £ A JP = fl 3Tlb JBflBTl BIEd (n*Q) X (OI'S)

sauopBnoa sbi JBsn soaiapod 'asjaAoux b pzaduia BinoftiBd b[ apuop o^und p apsap

o;uaixuBZBidsap p & oduraii p souiipgui is *jsv 'aiuBisuoo uppBiapo* uoo oiuaiw

-IAOUI IB apUOdsaJJOD 'BarjSJAllBpi OU B0IUB3dUl U9 'O^UaiUITAOUI 9^sa mpfSmfOST

•BOTlSJAllBpJ

BoruiBuip ua 3^ubisuo3 Bzaanj Bun ofeq oauurpaa o^uaixuiAO]^ *8'IT Oldwarst

•U9PBJ9P3B -BpOHIBd BT 9P BSBUI

bi b BpiBJBd sa ou Bzianj bi bj buba 'Bpuanoasuoo ouioo 'uaiquiBi anb ouis

'peppopA b^b v 'S-TI *%U peppopA b{ ap pn^iugBUi bj BiquiBo a^uauiBios

on iBpuague; Bzianj B[ oaaj 'bsbui bj oaoduiB^

jBiquiBO up o^ub^ Jpd A 'pn^iugBui ns JBiquiBO

UtS pBppO(3A BI 9p UOp03Jtp Bl 31U3UIB{0S BiqUIB3

[Buuou Bzaanj bi atibiod apaons o;sa*Nj ibxu

-jou a^uauoduioo bi 9nb ioXbui sa ^j (BpuaS

-ub; a^uauoduioD bi 'aiuauifBuopiodoid 'anb

S3 9^UBS3J9^UI 0q33ll OJ^O 'BZJ9HJ ap UQldlUljdp

BJ^sanu sa snbiod *Bpii?A utib asauBuiiad jp/dp

— g [B^uauiBpunj sbui uopspj bi 'ogiBquia ujs

9££ vz.imK>j (971

11.5) Fuerza 335

Sin embargo, la relation mas fundamental F —dpjdl permanece aiin v£lida, porque es nuestra

definition de fuerza. Otro hecho interesante es

que, proporcionalmente, la componente tan-

gential Ft es mayor que la componente nor-

mal jF^, Esto sucede porque la fuerza normal

cambia solamente la direction de la velocidad sin

cambiar su magnitud, y por tanto sin cambiar

tampoco la masa. Pero la fuerza tangential no

solamente cambia la magnitud de la velocidad

sino que tambien, como consecuencia, varia la

masa de la particula.

Fig. 11-2. A alta velocidad,

la fuerza no es paralela a la

aceleraci6n.

JZJEMPLO 11.3* Movimiento rectilineo bajo una fuerza constante en dinamica

relativistica.

Soluci6n; Este movimiento, en mecanica no relativistica, corresponde al movi-

miento con aceleracidn constante. Asi, si medimos el tiempo y el desplazamiento

desde el punto donde la particula empez6 a moverse, podemos usar las ecuaciones

(5.10) y (5.11) para hallar que v = at y x = ±at\ donde a = F/m es la aceleracidn

constante. En mecanica relativistica empezamos con la ecuaci6n (11.9) escrita

escalarmente, ya que el movimiento es en linea recta y no hay cambios en la direc-

cidn. Por tanto

dF =

dt

m v

(1 — v2/c*)2//.S\l/2

Integrando esta expresidn, tomando en cuenta el hecho de que F es constante

(y que para t — 0, v = 0), tenemos

m^vFt

]/ 1 _ v */c *

Despejando la velocidad, encontramos que

(F/m,c)tv = c

Vl +(F/m c)H*

Fig. 11-3. Movimiento rectilineo reiativistico bajo una fuerza constante.

336 Dindmica de alta energla /jlt6

Para muy pequenos valores de t (esto es, cuando la medicidn tiene Iugaral comienzodel movimiento), el segundo tfrmino del denominador puede despreciarse yv « (F/m )t, que es la expresi6n no relativista, ya que en este caso a = F/mPara valores grandes de / (esto es, cuando la medicion es hecha despuGs que la par-ticula ha sido acelerada por un largo tiempo), el 1 en el denominador puede serdespreciado en comparaci6n con el segundo termino, y v « c. Por tanto, en vezde aumentar indeflnidaniente, la velocidad se aproxima al valor llmite c, que esla velocidad de la luz. Esta variation de velocidad con el tiempo es indicada por lalinea solida de la Fig. 11-3 (a). El momentum, sin embargo, esta dado por p = Fty aumenta indeflnidaniente. Para obtener el desplazamiento de la particula recor-damos que v = dx/dt. Por tanto

— - c(F/™*)t

diJ/1 +(F/m#)V

Integrando (poniendo x = cuando t = 0), tenemos

m nc

-r + (^)' t*— 1

Usando la expansion binomial (M.28) con n = y* la ecuaci6n se reduce a x = i(F/m )t* para valores pequenos de t ; este es el valor no relativista. Para valoresgrandes de *, tenemos i*c/- (m^/F), que corresponde al movimiento uniformecon velocidad c. Por tanto, la distancia es menor que si las expresiones no relati-vists fueran v£lidas a todas las velocidades. Ello se indica por la linea sflida enla Fig. 11-3 (b). Este problema es de interns en muchos aspectos ; por ejemplo,en el movimiento de una particula cargada en un acelerador lineal,

US Energla

Para computar la energia cinetica de una particula usando la nueva definitionde momentum, usamos el mismo procedimiento que en la secci6n 8.5 dondehabldbamos de mecinica newtoniana. Esto es, recordando que v = dsfdi, % ob-tenemos

Ek = I FT ds = — (mv) ds= I v d(mv).

Integrando por partes (ver ec. M.41) y usando la expresi6n relativista (11.7)para la masa, tenemos

Ek =m*- \" modu= "^C

m^ dv

Jo]/ 1 — b2/c2 J

J/1 — i^/c2

Combinando los dos primeros terminos del lado derecho en uno solo, obtenemosftnalmente la energia cinetica de una particula que se mueve con velocidad vrelativa a un observador

k=fY=^~m^ =={m~ m*)*' (1U3)

U.6) Energia 337

donde la ec. (11.7) ha sido usada para escribir la ultima parte. El resultado (11.13)

es muy sugestivo. Indica que la ganancia en energia cinetica puede ser conside-

rada como una ganancia en masa como resultado de la dependencia de la masa

con la velocidad, de acuerdo a la ec. (11.7). Esta interpretaci6n puede ser exten-

dida para asociar un cambio en la masa Am a cualquier cambio en la energia AE

del sistema. Ambos cambios estan relacionados por la expresi6n

A£ = (A/n)c2, (11.14)

la cual es una extension de la ec. (11.13)* Por ejemplo, la conservaci6n de la

energia de un sistema aislado requiere que (Ek + Ep)2 = (Ek + Ep\ = const,

o E]#— Ekl = Ej^— EP2. Pero, segun la ecuacion (11.13), Ek2—Ekl= (m2—mjc2

.

Por consiguiente:

(m2— m^c* = EP1

— E„ (11.15)

La ec. (11.15) significa que cualquier cambio en la energia potencial interna del

sistema, debido a una redistribution interna, puede ser expresado como el cambio

en la masa del sistema como resultado de un cambio en la energia cinetica interna.

Debido al factor c2, los cambios de masa son apreciables solamente si los cambios

en energia son muy grandes. Por esta razon el cambio en la masa resultante de

transformaciones de energia es apreciable s61o para interacciones nucleares o en

fisica de alta energia, y es practicamente despreciable en reacciones quimicas.

*La magnitud m^? que aparece en la ec. (11.13) se llama energia en reposo de

la particula, y la cantidad

E = Eh + mJ> = /n°c2 = m<? (11.16)

y i _ „2/C2

es la energia total de la particula. La energia total de la particula, tal como est&

defmida aqui, incluye la energia cinetica y la energia en reposo, pero no la energia

potencial.

Combinando la ec. (11-8) con la ec. (11.16), vemos que v = c2pjE. Esta expre-

si6n da la velocidad en termino del momentum y la energia* Ya que t> y p tienen

la misma direcci6ns esta expresi6n es tambien v&lida para los vectores, y podemos

escribir

v=^. (11.17)E

La ec. (11.16) es equivalente a

£ = c]/m§c2 + p2

,(H.18)

como podemos ver reemplazando p por su expresi6n (11.8) y veriflcando que la

ec, (11.18) se transforma en la ec. (11.16).

A primera vista, la ec. (11.13) para la energia cinetica relativista puede parecer

muy distinta de la ec. (8,12) para la energia cinetica newtoniana (esto es,Ek =%mtf).

338 Dindmica de alta energta (ltd

Sin embargo, no es asi. Cuando v es pequena comparada con c, podemos desarro-liar el denominador en la ec. (11.7), usando el teorema binominal (M.22):

m = m

Sustituyendo en la ec. (11,13), encontramos que

£fc =im y2 + fm -v + . (11.19)

El primer termino es la energia cinetica ya conocida de la ec. (8.12). El segundo,

y los siguientes terminos, son despreciables si v <| c. En esta forma verificamosnuevamente que la mecanica newtoniana es s61o una aproximacion de la mecanicarelativista, valida para pequefias velocidades o energias y usando para la masasu valor de reposo. Por otra parte, a muy altas velocidades podemos reemplazarv por c en el numerador de la ec. (11.8) para el momentum, escribiendo p = mc.Entonces la energia cinetica dada por la ec. (11.13) va a ser

Ek =pc— m c2 = c(p — m c)> (11.20)

En la Fig, 11-4, la variaci6n de la energia cinetica Ek dada por la ec* (11.13)ha sido indicada por la curva a, y la energia cinetica newtoniana Ek =\m v*

por la curva b. Esta figura nos muestra claramente que, a igualdad de veloci-dades, la energia relativista es mayor que la newtoniana. En la Fig. 11-5 la

energia cinetica ha sido representada en terminos del momentum. Puede verse,que, para momenta iguales, la energia relativista (curva a) es menor que la ener-gia newtoniana (curva b). La curva relativista se aproxima asintoticamente al va-lor dado por la ec. (11.20).

Ek

*

3

?

/1

ayf—

n--- ~b"

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

v/c

Fig. 11-4. Variaci6n de la energia con la velocidad; (a) relativista, (b) newtoniana.

11.6) Energia 339

Ek

2,2

2,0

1,8

1,6

1,4

1,2

/

//

VaS /

t

•

. r1

ss

//Ek = c{p-m c)

••

M^^^M f

moc 1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

°0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4

V

Fig. 11-5- Variaci6n de la energia cinetica con el momentum; (a) relativista,

(b) newtoniana.

Debemos notar que las razones mjm y Ekjm c2 son las mismas para todas las

parttculas que tienen la misma velocidad. Por tanto, dado que la masa del prot6n

es alrededor de 1850 veces la masa del electr6n, los efectos relativistas en el movi-

miento de los protones son percibidos solamente en energias 1850 veces mayores.

Por esta raz6n el movimiento de protones y neutrones en los nucleos at6micos

puede tratarse en muchos casos sin hacer consideraciones relativistas, mientras

que el movimiento de los electrones requiere, en la mayoria de los casos, un tra-

tamiento relativista.

Ocurre un caso especial interesante cuando la particula no tiene masa en reposo

(m = 0). Entonces la ec. (11.18) se transforma en

E=cp 6 p=Ejc. (11.21)

Y por consiguiente, por la ec. (11.17), encontramos que la velocidad de la par-

ticula es v = c> En consecuencia, una particula con masa en reposo nula puede

moverse solamente con la velocidad de la luz y nunca puede estar en reposo en

un sistema inercial. Este es el caso del fot6n, y parece ser tambien el del neutrino,

como veremos en capitulos posteriores. La relaci6n (11.21) tambien es valida

cuando una particula, con masa m no necesariamente cero, se mueve a velocidad

comparable con la de la luz, de modo que su momentum p sea grande comparado

con m c. Esto se puede ver ya que, cuando en la ec. (11.18) despreciamos el ter-

mino m c en comparaci6n con p9 la ecuaci6n se reduce a la ec. (11.21).

EJEMPLO HA. Gomparar el autnento relativo en la velocidad y el momentumcon el aumento relativo en la energia.

340 Dindmica de alta energta /jj g

Solucidn: Resolviendo la ec. (11,18) para vf tenemos

Cuando la velocidad de una particula aumenta en la cantidad dv y su energia enla cantidad dE, el aumento relativo en la velocidad esta dado por dv/v y el aumento relativo en la energia por dE/E. Esto sugiere, como en el ejemplo 11 2 guedebemos tomar el logaritmo de la expresidn anterior antes de diferenciarla. Esto es,

ln» = lnc + Jln(l-^-).

Diferenciando, obtenemos

dv _ mlc1 dEv E*— mte* E *

Si la energfa de la particula es muy alta comparada con su masa de reposo, de modoque E p m c* f podemos despreciar mjc4 en el denominador, obteniendo

dv __ mfc4 dEv

~~E* E '

El coeflciente que multiplica el aumento relativo en energia es siempre menor quela umdad porque, a alta energia, E es mucho mayor que /n c 2

. Por consiguientea altas energfas dv/o es muy pequena comparada con dE/E. En otras palabras aenergias altas es posible aumentar la energia de la particula sin que apreciabletnenteaumente su velocidad. Esta caracteristica es de gran importancia en el diseiio deaceleradores de alta energfa, tanto lineales como circulares. Sugerimos que el estu-diante repita el mismo calculo, usando la mecanica newtoniana, y compare los re-sultados. *

Por otra parte, en lo que se refiere al momentum p, tenemos de la ecuaci6n ttl 18)que v f

In E = In c + i In (mtc 2 + pa)

y> diferenciando, obtenemos

dE = p 8 dpE m*c* + p* p

"

A altas energfas, cuando p es mucho mayor que m c, obtenemos dE/E * dpjp,y el momentum aumenta en la misma proporcidn que la energfa*

EJEMPLO 11.5. Movimiento curvilineo bajo fuerza constante en dinimica rela-tivista.

Solucidn; En mecanica no relaUvista este movimiento corresponde a una trayec-tona parab61ica, tal como sucede con un proyectil (recordar la secci6n 5 7) Pararesolver este problema en mecdnica relativista, es mas facil usar las relaciones deenergia y de momentum. Supongamos que para t = la particula esta en (Fig 11-6),moviendose a lo largo del eje X con momentum p , mientras que la fuerza F esperpendicular a el (o a lo largo del eje Y). La ecuactfn del movimiento F = dp/dt,expresada en tenninos de sus componentes a lo largo de los ejes X e Y viene a ser

dt "' dt

11.7) Transformation de energta y momentum 341

Integrando cada una de esas expresiones,

obtenemos px = p (const), p* = Ft Por

tanto el momentum total despu6s del tiem-

po t, cuando la particula ha alcanzado el

punto A y es

Trayectoria

de la particula

P ^Vpi + pi= Vp3+ fh*9

y la energia total, usando la ec. (11.18), es

E = c fmfc* pi + FH* = ^E\ + c*FH\

donde E Q= c V/n}c* + p% es la energia total

para t — 0. Por consiguiente, las componentes

de la velocidad, usando la relaci6n vecto-

rial t? = c*p/E, son

Fig. 11-6. Movimiento relativista

curvilineo bajo fuerza constante.

v%c*px c*Po

VEl + c*F*t*

Vy = c*pv C*Ft

VE* + c*F*V

de donde puede obtenerse la magnitud de la velocidad, Integrando estas expresiones,

las coordenadas x e y de la particula pueden ser expresadas como funci6n del tiempo.

La trayectoria se obtiene de esas ecuaciones. Dejamos al estudiante el dar estos

ultimos pasos y comparar la trayectoria con la par&bola no relativista (ver Pro-

blema 11.11).

11.7 Transforrnacidn de energia y momentum

De acuerdo al principio de relatividad, la ec. (11.18) que relaciona la energia y

el momentum debe ser la misma para todos los observadores inerciales. Es por

tanto importante comparar esas magnitudes medidas por dos observadores en

movimiento relativo. Para el observador 0, la ec. (11.18) puede ser escrita

en la forma

E2

(11.22)

Recordemos que p es una magnitud vectorial con componentes px, p„ y Pr P°r

tanto p2 = pi + pi + pi y la ec. (11.22) viene a ser

pl + p\ + P\ — -j = —mjc2 . (11.23)

Para ser consistente con la suposici6n del principio de relatividad, esta expre-

8i6n debe permanecer invariante para todos los observadores inerciales. Esto es,

en otro sistema de referenda (observador 0') moviendose con velocidad v relativa

al sistema original con respecto al cual se escribe la ec. (11.23), debemos tener

P? + p? + Pi''2

E"' = — mgc2,(11.24)

342 Dindmica de alta energta rjl 7

donde m permanece la misma ya que corresponde a la masa en reposo. En otraspalabras, debemos tener

Pl + Pl + P2*-§=p2+P$ + P?-~. (11.25)

La estructura de las ecs. (11.23), (11.24) y (11.25) es similar a la de las ecs. (6.30)

y (6.31) si hacemos la correspondencia

Px^xt py ^g t p2 ->z, y d->Elc

Por tanto, la invariancia de la ec. (11.23) requiere una transformacidn entre suselementos igual a la transformation de Lorentz para x. y f z y L Esto conduce a

, Px— vE/c*Px' = : ,

J/1— ^/C*

Py'^Py (11.26)

Pz> = Pz,

E— vpxEyi — i^/c2

Este resultado, junto con la correspondiente expresi6n para la energia, pruebac6mo nuestra deflnici6n de momentum dada ep la ec. (11.8), satisface el primerrequisito del principio especial de relatividad; vale decir, el momentum se trans-forma apropiadamente bajo una transformaci6n de Lorentz.

N6tese que hemos hallado dos conjuntos de cantidades asociadas, esto es x, y,z

>rf y Px> Py, Pz, Ejc9 que parecen transformarse entre si siguiendo las reglas

de la transformaci6n de Lorentz. Indudablemente podemos esperar que otrascantidades fisicas se transformen de manera similar. Una caracteristica comiinde todos estos conjuntos de cantidades es que tienen cuatro "componentes";esto es, son expresadas por cuatro numeros. Por tal raz6n se llaman cuadrivec-tores, y pueden imaginativamente ser representadas en un espacio cuadridimen-sional. Un metodo para adaptar las leyes fisicas a los requisites de invarianciadel principio de relatividad consiste en escrtbirfas como relaciones entre escalares,cuadrivectores y otras cantidades parecidas (tensores). No nos detendremos eneste asunto, ya que pertenece a una discusi6n mds extensa de la teoria de la

relatividad, m£s alii de la intenci6n y alcance de este Iibro.

EJEMPLO 11.6. Expresar las relaciones inversas entre la energia y el momentumcorrespondientes a las ec. (11.26). Esto es, dar los valores medidos por en Ur-minos de los valores medidos por 0'.

Soluci6n; Referimos al estudiante al ejemplo 6.4, que corresponde al problemaequivalente para las coordenadas x,y,zy el tiempo /. Podemos asf llegar al resul-

HJf\ Transformation de energia y momentum 343

tado deseado cambiando simplemente el signo de v e intercambiando las cantr

dades con prima y sin prima en las ecuaciones (11.26), obteniendo

p'x > + vE'/c 2

px = — -»Yl _ v z/c *

Pv = Pv\

Pz = p.',

E' + wpi

(11.27)

E =fl — P 2/c 2

EJEMPLO 11.7. Aplicar los resultados del ejemplo anterior al caso en que la

partlcula esta en reposo con relaci6n a 0'.

Solution: En este caso pi' - pi' = /* = y £' = m c\ Por consiguiente las ecua-

ciones de transformaci6n dan

Las tres primeras ecuaciones dan el momentum y la ultima la energia tales como

son medidos por 0. La comparacitfn con la ec. (11.8) para el momentum y con la

ec. (11.16) para la energia muestra que ellas corresponden exactamente al momen-

tum y la energia de una particula moviendose a lo largo del eje X con velocidad v.

Este es justamente el caso, ya que la particula, estando en reposo con relaci6n a 0\

debe parecer moverse con velocidad v respecto de 0. El merito de este ejemplo

esta en que las relaciones (11.26), y sus inversas (11.27), derivadas en forma algo

intuitiva usando el principio de invariancia relativista, son compatibles con las

expresiones anteriores para la energia y el momentum derivadas usando un punto

de partida diferente. Este ejemplo muestra asi la consistencia de nuestra 16gica.

EJEMPLO 11.8. Discutir la transformacitfn de energia y momentum para una

particula con masa de reposo nula. Por simplicidad suponer que el movimiento

de la particula tiene lugar a lo largo de la direccidn del movimiento relativo de los

observadores.

Soluci6n: Ya que m = 0, podemos suponer que la relaci6n E = cp, de acuerdo

con la ec. (11.21), es satisfactoria para el observador 0. Entonces, usando las

ec, (11.26), con pi' = p'yp,-p, ya que el movimiento es a lo largo del eje X,

y usando E — cp, tenemos para el observador O',

p— v(cp)/c2 _ 1 — v/c

Usando este resultado para p', obtenemos para la energia

E> = CP~ VP = V1 ~ V/C

= CP'-

Por consiguiente la relacidn E' = cp' tambien vale para el observador O'. Este

ejemplo, como el anterior, indica al estudiante la consistencia de la teoria. Se su-

giere que el estudiante repita el problema suponiendo que la particula se mueve

en una direcci6n arbitraria.

344 Dindmica de alta energla yj s

11.8 Transformation de la fuerza

La fuerza que actua sobre la particula medida por los observadores y 0' esrespectivaraente,

F- dP v v dP'

tal como se requiere por el principio de relatividad, ya que ambos observadoresdeben usar las mismas ecuaciones del movimiento. La relaci6n entre F y V engeneral es algo complicada, pues no podemos usar un razonamiento tan simplecomo 1

el usado para la energia y el momentum. Por tanto, computaremos estarelaci6n s61o para el caso especial en que la particula esta momentdneamente enreposo en el sistema 0'. Entonces F' se llama la fuerza propia.Usando las ec. (11.26), obtenemos

F' ^ ^k. - dt d( p* — vEI^

\* dt' irdt\yr—*j*'

_dt 1 ldpx f^dE\

dt yi_„2/c2 \ dt c2 ~dt )• (lh29

>

Ahora de la transformaci6n inversa de Lorentz (ver la ultima ecuaci6n en elejemplo 6.4), tenemos que

t =/' + vx'jc*

yi — t?i<*

y ya que dx'ldt'= 0, porque la particula esta en reposo con respecto a 0',

dt _ 1

dv ~yv=^- 01-30)

Por otra parte, de acuerdo a la definicidn de fuerza, dpxfdt = Fx . De las defi-niciones de la energia E y de la energia cin&ica Ek = E— m^, como tambiendel hecho de que el trabajo FJbc debe ser igual a dEk , tenemos que

dE dEk Fx dx

"of"

~dT=~dT

= F*v>(n -31 >

ya que en este caso dx/dt = v. Haciendo todas estas sustituciones en la ec. (11.29)obtenemos

F*= F*-(11.32)

Para la componente paralela al eje Y, considerando que Fg= dp„ldt, obtenemos

dp'g

, dt dp„ F„F'--dT

=-d7-dT

=^r^p

=

kFr au?>

11.9) Sistemas de partimlas 345

An£logamente, para la componente Z, con

Fz = dpzldt, tenemos F'y = kF

F'z> = d&dt' yi — z^/c2

kF, (11.34)

Fi = Fx

Fig. 11-7. Transformacidn de Lo-

rentz de las componentes de unafuerza.

donde k se define como en la ec. (6.32). Las

ec. (11.32), (11.33) y (11,34) relacionan la

fuerza Ftmedida por un observador en un

sistema inercial y arbitrario de referenda,

con la fuerza F' medida por un observador

en un sistema inercial en el que la particu-

la esta momentaneamente en reposo. El

hecho de que la ley de transformaci6n para

la fuerza es diferente que para las magnitudes cuadrivectoriales momentum yenergia, la coloca en una categoria diferente de ellas, ya que la fuerza no es

parte de un cuadrivector. Tambien la convierte en un concepto menos util, en

la teoria de la relatividad, que los de momentum y energia. Consecuentemente se

ha propuesto una diferente definici6n de fuerza. No la discutiremos aqui, excepto

para decir que tiene la ventaja de transformarse como un cuadrivector. Sin embar-

go, aun si la fuerza se transforma de manera diferente al momentum y energia,

su transformaci6n garantiza que la ecuacion del movimiento, F = dpfdt, sea in-

variante para todos los observadores inerciales, lo cual constituye nuestro requi-

sito fundamental. La relation entre las fuerzas F y F r ha sido indicada en la

Fig. 11-7.

11.9 Sistemas de partlculas

Consideremos un sistema de particulas, cada una de momentum p,- y energia E^Despreciando sus interacciones, podemos escribir el momentum total del sistema

como P = Zipi y la energia total como

E = ZtEt = Em** = M&.

Por tanto, usando la ec. (11.17), podemos dsociar al sistema una velocidad defi-

nida por

(?P Pt>c =

E M (11.35)

Recordando la secci6n 9.2, podriamos decir que esa es la velocidad del centro

de masa del sistema y considerar que el sistema se comporta como un cuerpo de

masa M moviendose con velocidad v& Recordamos al estudiante, sin embargo,

que (por las razones dadas en la secci6n 9.2) cuando la masa depende de la velo-

cidad no podemos definir el centro de masa. Por tanto, llamaremos a la velocidad

dada por la ec, (11.35) la velocidad del sistema.

346 Dindmica de alia energla ni.9

Supongamos que tenemos dos observadores inerciales diferentes, cada uno exa-minando el sistema de particular Respecto al observador el momentum y la

energia total sou P = Ztp t y E = EiEt . Con relation a 0', tales magnitudes son

P' = Zip'i y E' = EiE'i. Si la velocidad de 0' relativa a es v f a lo largo del

eje X, cada Et y p ( se transforma en E[ y p\ de acuerdo a las ecs. (11.26). Esclaro que sus sumas se transforman de la misma manera, y podemos asi escribir

K-Px

-- vEjc2

yi--J^/C2

Pu- = Py>

P's = P»

E' -.

E--vPx

(11.36)

V 1 — y2/c2

Ahora si, con relation a 0, el momentum y la energia se conservan, P = const,

y E = const, y entonces las transformations anteriores implican P' = const yE' = const, y las dos leyes de conservaci6n son tambien satisfactorias para 0'.

Hemos verificado, por consiguiente, el segundo requisito exigido por nuestrateoria, tal como se indico al final de la section 11.4. Notamos tambien que,debido a la estructura de las ecuaciones de transformaci6n, las dos leyes deconservaci6n deben ser satisfechas simultaneamente; en otras palabras, no pue-den ser independientes una de la otra. Esta situation no ocurre en el caso norelativista.

- Consideremos ahora el caso especial en que la velocidad relativa de los dosobservadores es paralela al momentum total P. Entonces Px = P, Py

= Pz= 0,

y la primera de las ec. (11.36) se reduce a

P* = P— vE/c'

y i —

y

a/c2

Por analogia con los sistemas de referencia LyC introducidos en el capitulo 9.

definimos el sistema-C en mecdnica relativista como el sistema de

referencia en el que el momentum total del sistema es cero.

Por tanto, si el observador 0' esta en reposo con relation al sistema-C, el mo-mentum P' es cero. Si ponemos P' = en la expresion anterior, la velocidadde 0' relativa a (que usa el sistema de referenda L), es v = c

2P)E. La compa-ction con la ec. (11.35) muestra que el sistema-C se mueve con la velocidad del

sistema vc relativa al sistema-L, Este es el mismo resultado obtenido en la situa-

tion no relativista del capitulo 9.

Indicamos al comienzo de esta section que est&bamos despreciando interac-

tions entre las particulas del sistema. La consideration de las interactionsque dependen de la position relativa de las particulas introduce serias dificultades

en la teoria de la relatividad. Por ejemplo, vimos en el capitulo 6 que el con-

11.9) Sistemas de particulas 347

cepto de la simultaneidad en la position de dos particulas, que es requerido para

definir una interaction, no es un concepto invariante. Por tanto la velocidad de

trasmision de la interaction debe ser tomada en cuenta. Por tal razon, se necesita

tecnicas especiales para discutir las interacciones en una forma consistente con

la teoria de la relatividad.

EJEMPLO 11.9* Discutir el sistema de referenda C para dos particulas identicas

que se mueven en la misma direcci6n.

Solucidn: Las propiedades del sistema-C pueden ser facilmente discutidas para el

caso de dos particulas. Consideremos un sistema de dos particulas identicas que,

con respecto al observador 0, parece que se mueven a lo largo del eje X en el

sistema-L (usado por O) con velocidades vx y v2

. Sus respectivas masas con mi y m2t

computadas de acuerdo a la ec, (11.7), con el mismo valor de m para ambas. El

momentum total en el sistema-L es

P = Pi + Pi = miv\ + m2ya- (11.37)

Con relaci6n al sistema-C el momentum total del sistema es cero. Por tanto,

P' = Pi + Ps = 0.

Ello requiere que el momentum de las dos particulas en el sistema-C sea el mismoen magnitud, pero que las particulas se muevan en direcciones opuestas. Enton-

ces la ec. (11.8) requiere que las magnitudes de las velocidades en el sistema-C sean

las mismas. Por tanto, las particulas parecen estar moviendose con velocidades

v' y — v\ Designando las velocidades del sistema-C relativa al sistema-L por vc

y usando la ecuacidn (6.38) para la transformaci6n de velocidades, con v reempla-

zada por i?c » tenemos

v' + vc _ — v' -f Vc

1 + V'Vc/C*'

1 — V'Dc/C*

que pueden ser escritas en las formas alternativas :

,D'(l — »J/C») V'(l — V%/C*)

Podemos obtener el momentum total en el sistema-L sustituyendo dichos valores

en la ec. (11.37), Ello da

(11.38)

Reemplazando m1 y m2 en el ultimo termino por sus valores de acuerdo con la ecua-

ci6n (11.7), obtenemos

m v'(l vl/c*)(^ 1 _ v

,/c2 (1 + y/yc/c2) y t _ v1/q2 {1 _ ^Vc/et)}

Usando las identidades del Problema 6.38, podemos simplificar cada termino dentro

del parentesis. Puede verse que ambos terminos son iguales a 1/V (1 — v c/c2)(l—tf'

2/cs)

y, por tanto, que su diferencia es cero. Por consiguiente, el ultimo termino en la ec

(11.38) desaparece, y P se reduce a

p = (/jii + m2)vc y vc = P/M.

348 Dindmica de alta energta (11.10

Esta es justamente la ec. (11.35) adaptada al caso particular de dos particulasmovtendose en la misma direccidn. Por consiguiente, verificamos que en la teoriade la relatividad, tanto como en la teoria clasica, el sistema-C (relativo al cual elmomentum total del sistema es cero) esta movi6ndose con respecto al sistema-Lcon una velocidad vc dada por la ec. (11.35).

11.10 Colisiones de alta energia

Los principios de conservaci6n de la energia y el momentum deben ser satisfechospor cualquier colision, no importando la energia de las particulas. En la sec-ci6n 9.7 este asunto fue discutido para la region de bajas energias (no relativis-ta). Sin embargo, a altas energias, los conceptos y tecnicas desarrollados en el

presente capitulo deben ser usados. Consideremos, por ejemplo, dos particulascuyas masas en reposo sean m

x y m2 , moviendose antes de la colision con mo-

menta px y p2 relativos a algiin sistema inercial de referenda. La interactionentre las particulas es apreciable solamente durante el pequeno intervalo en el

que las particulas se hallan pr6ximas una de otra (esto corresponde a la zonasombreada en la Fig. 9-11). Recordar que en la seccion 9.7 una colision fue definidacomo habiendo ocurrido si es que la interaction produce cambios medibles enun tiempo relativamente corto y sobre una distancia relativamente pequena.Supongamos que despues de la colision, cuando la interacci6n es nuevamentedespreciable, las particulas resultantes tengan masas de reposo m3 y mA y semuevan con momenta p3 y pA con respecto al sistema inercial de referenda ori-

ginal. La conservation del momentum y de la energia esta expresada por

Pi+P2=Pz + Pi y ^i + E* = Ed + £4, (11.39)

o, usando la ec. (11.18), tenemos

c l/ml<? + p\ + c \^TpI = c V my? + pi + c]/mJc» + p\.

(11.40)

La colision descrita por las ec. (11.39) y (11.40) puede ser indicada esquemsitica-mente por 1 + 2 -*3 + 4. La aplicacion de las ecs. (11.39) y (11.40) es en generalcomplicada algebraicamente por la presencia de los radicales en la ec. (11.40),

y por tal razon ilustraremos su uso solamente en algunos casos simples peroimportantes.

EJEMPLO 11.10. Discutir una colisidn

relativista cuando la particula 1 (llamadala particula incidente) tiene masa de re-

poso nula y es id£ntica a la particula 3,

y la particula 2 estd en reposo. en el siste-

ma-I y es identica a la particula 4.

Solueidn; El proceso esta mostrado en la

Fig. 11-8. Usando las ec. (11.18) y (11.21),

Pi = E/c P2 =0^'

P3 = EVCf>

"V1

Fie. 11-8.

2~*--

Golisi6n de alta energia,

11.10) Colisiones de alia energia 349

obtenemos los valores de la energia y del momentum relativos al observador

P! = E/c9 p2 = 0, p 3

= EVc, p4j

Ex= E

9E2

= m c\ Ez = E\ £ 4 = c VmV -f p2.

La conservacitin del momentum es

Pi = Ps + P*> (1141)

y la conservaci6n de la energia es

E + m Qc* = E* + cymfc* + p{. (11.42)

Supongamos que estemos interesados en la energia E^ de la particula incidente

despues del choque. Debemos entonces eliminar p4 de las ecuaciones anteriores.

Despejando p4 de la ec. (11,41), obtenemos p4 = pt—

p

3 . Elevando al cuadrado,

tenemos

Pi = Pi + Pi— 2p,'l>.v

Usando los valores correspondientes de los momenta, tenemos

E2 E ta 2EE*pi = ^— + — cos 8.

Despejando p\ de la ec. (11.42)

p\ = \ (E + m c 2— £t)i_ mjca

_ _^!_ , J^ ,

2(E~ E^) m^ 2EE*<

Igualando ambos resultados para pj, obtenemos

2(£— Et)mtfi % 2EE* 2EE*—i '-—

?

.— = — — COS 6c a c 2 c2

o sea

£_ £t = ±L±L- (i _ Cos 6)./n c 2

Dividiendo ambos lados por EE^ se obtiene

1 1 1

£t £ m„c a(1 — cos 6), (11.43)

Esta expresi6n da Z?t en tGrminos de i? y el angulo de dispersi6n 8 de la particula 3,

N6tese que siempre E > E\ y que por tanto la particula incidente pierde energia,

como deberia ser, ya que la otra particula, inicialmente en reposo, esta en movi-

miento despues de la colisi6n.

El resultado (11.43) es muy irhportante en la discusi6n de la dispersidn de la luz

(fotones) debida a electrones libres — el llamado efecto Gompton— que sera dis-

cutido con gran detalle en el capitulo 19 del segundo volumen. N6tese que la

ec. (11.43) no puede ser satisfecha por i?1 " = para ning6n angulo de dispersi6n*

Por consiguiente, es imposible que la energia de la particula incidente sea com'ple-

tamente absorbida por una particula libre.

EJEMPLO 11.11. En la mayoria de los experimentos de alta energia, una particula

incidente muy rapida choca con otra en reposo en el sistema-L. Deseamos conocer

la energia umbral; esto es, la energia cinetica minima de la particula en el labora-

350 Dindmica de alia energia*

(11.10

torio o sistema-L que es necesaria para producir cierta reacci6n. Obtener la ecua-ci6n para la energia umbral necesaria para la creaci6n de un par prot6n-antiprot6nen un choque protdn-protdn.

Solucitin: En este momento es suficiente decir que un antiprotdn es una particulade masa igual a la del protdn y cuya carga electrica es igual, en valor absoluto,a la del protdn, pero negativa. Designamos el prot6n por p

+ y el antiprot6n por p-\Parte de la energia cinetica del prot6n rapido que choca con otro protdn en reposoen el laboratorio es usada para producir un par protdn-antiprotdn, par p

+, p-,

Podemos representar el proceso esquematicamente asi

p+ _|_ p+-^p+ + p + + p + + p-.

Los dos protones a la izquierda y los primeros dos a la derecha de la ecuacidn re-presentan los protones incidente y bianco. Los dos ultimos corresponden al resul-tado del choque : el par protdn-antiprotdn. (Ndtese que aunque el nuhiero de par-ticulas ha cambiado, la carga total pesmanece igual. Como veremos despues, estees un ejemplo de otro principio de conservaci6n : el principio de conservation dela carga). Inicialmente uno de los protones esta en reposo (momentum cero) en el

sistema-L y el otro esta moviendose hacia el con momentum p r

Antes de la colisidn, el momentum total relativo al observador en el sistema-Les p y la energia total es£ = c V mfc

2 + p 2 + m c\ Despues de la colisidn, el mo-mentum total debe ser todavia p y la energia total, E, La energia minima que re-

quiere la particula incidente es aquella necesaria para que los productos finales

esten en reposo relativo al sistema-C, el que se esta moviendo con la velocidad delsistema relativa a L (ver seccidn 11.9). Los productos no pueden estar en reposorelativo al sistema-L a causa de la conservaci6n del momentum. Pero en este casola energia total relativa al sistema-C es £" = 4/n cs

9 y el momentum total es p' = 0.

Ello significa que las cuatro particulas resultantes vistas desde el sistema-Lparecen estar moviendose juntas con la misrna velocidad, y para poder garantizarla conservacidn del momentum, cada una de ellas debe tener un momentum igual

a ip. Por tanto, su energia total relativa a es 4c fTngc 2 + (p/4)2 6 c \ 16/nfc

2 + pKIgualando las energlas antes y despues del choque, tenemos

c V mlc* + p2 + m c* = cy 16mgc2 + p

2,

Esta es una ecuaci6n algebraica en p cuya solucidn es p = 4 V3/n c, la cual da asi

el momentum minimo que debe tener el protdn incidente con respecto a paraque la reacci6n se lleve a cabo. Q,Cual es la velocidad de este prot6n?). Consecuen-temente, la energia total del protdn incidente relativa aOesc V m%c 2 + p

2 = 7m c 2

y su energia cinetica sera 6/n c 2.

Por tanto, para que la reaccidn que estamos considerando pueda ocurrir en el la-

boratorio, el prot6n incidente debe ser acelerado hasta que su energia cinetica enel sistema-L sea 6/n c 2

. La masa de reposo del prot6n tiene el valor m = 1,67 Xx 10-27 kg. Entonces la energia 6/n c 2 es equivalente a 9,0 x lO" 10 J o sea alrededorde 5,6 x 10* eV.

Uno de los principales usos de los aceleradores de alta energia es producir par-ticulas rapidas por encima de los umbrales de energia cinetica en el sistema-Lde tal modo que los cientificos puedan producir en el laboratorio, bajo condicionescontroladas, algunos de los procesos que se han observado en los rayos c6smicos.

EJEMPLO 11,12. Obtener la energia de umbral para la reaccitfn 1+2-^3+4,en la cual las cuatro particulas son diferentes.

Solucidn: Ya que las particulas tienen diferentes masas, no podemos usar los prin-

cipios de simetria empleados implicitamente en nuestro ejemplo anterior. Supon-

11J0) Colisiones de alta energia 351

gatnos que la particula 2 esta en reposo en el laboratories de tal modo que pa= 0.

La energia de cada particula en el sistema-L antes de la colisi6n es entonces

Et^ c V m?c a + pi y E%

= mtc\ (11.44)

La energia y el momentum totales del sistema en el laboratorio son

E = Ex + m^c\ P = pv (11.45)

Las cantidades E y P deben transfortnarse de un sistema inercial de referenda a

otro de acuerdo con las ec. (11.26) lo que implica que la expresidn P 2— E2/c2 debe

permanecer invariants Entonces

pt_ e*/c* = P' a— E'*/c*.

Si transformamos al sistema-C debemos tener P' = 0, ya que el momentum total

es cero en este sistema de referenda. Entonces Pa— E%/c* = — Ei%fc

% o sea que

la energia total E' en el sistema C, de acuerdo a la ec. (11.45), es

E' = V E*— c*P* = V(^i + m%c2)2— c*pl

Usando el valor de Exdado por la ec. (11.44), tenemos

E' = c V (m\ + m\)c 2 + 2E1mt . (11.46)

Recordando de la ec. (11.16) que Ex~ EkX + tnxc\ donde EkX es la energia cin6tica

de la particula 1 en el laboratorio, tenemos

E' = c V (ml + ml)c2 + 2(Ekl + mxc2)m2

= c y (m, + mz)2c 2 + 2Eklm2. (11.47)

La energia minima requerida para producir las particulas m3 y m 4 despuGs de la

reacci6n es aquella energia para la cual las particulas resultantes estan en reposo en

el sistema-C. En el sistema-L es imposible para ambas particulas estar en reposo

al mismo tiempo debido a la conservacidn del momentum. En este caso Ez = m^c*

y E4 — mAc2 -y la energia despues del choque es E' = (mz + m4)c

2t Igualando este

resultado con la ec. (11.47), que da la energia total en el sistema-C antes de la coli-

si6n, tenemos

c Y{m x + m2)V + 2Etlmt = (mz + m4)c2

o sea, despejando Ekl

E*! - ~^~ l(m z + m 4)a— (m, + m,)»]

*/na

[(m z + m 4)— (mt + ma)] [(m 3 + m 4) + (mx + /n2)].

2mt

El valor-Q de esta reaccidn (recordar la ec. (9,41) para colisiones newtonianas)esta definido por

Q = [(mx + m

2)— (ma + m A)]c\ (11.48)

que es igual a la diferencia entre las energias en reposo inicial y final. Entonces la

expresi6n para Ekl se transforma en

Ekl =— -^- (mx + m2 + m 3 + m4), (11.49)2m2

que da el umbral de la energia cinetica para la particula 1 (la particula incidente)

en el sistema-L. Si Q es positiva, entonces EkX es negativa y la reaccidn ocurre sin

352 Dindmica de alia energia

importar cual sea la energia cinetica de la particula incidents Ello es debido alhecho que las particulas iniciales tienen una energia de reposo mayor que la nece-saria para producir las particulas finales que tambien estan en reposo. Pero si (>es negativa, Ek

t es positiva y la particula incidente debe entonces tener una ciertaenergia cinetica minima, ya que las energias en reposo de las particulas incidentesno son suficientes para producir las particulas finales.

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Probletnas

11.1 Suponer que E y E r son los valoresde la energia total de un sistema de dosparticulas interactuantes medidas pordos observadores inerciales O y O' mo-viendose con velocidad relativa v t Probarque

E = E' + (m1 + m2) (v'a&'v + iv2

),

Comparar con los resultados dados enel capitulo 9. Suponer que todas las

energias son suficientemente bajas parausar la dinamica newtoniana.

11.2 Comparar las ecuaciones no rela-

tivistas del ttiovimiento de una particulatal como son determinadas por un obser-vador inercial O y por otro O' rotandocon relaci6n al primero con velocidadangular constante. Discutir las fuerzasinerciales observadas por 0'. (Sugeren-cias : revisar la secci6n 6.4).

11.3 iA que velocidad el momentumde una particula es igual a m^c? ^Cualesson la energia total y la energia cinetica

en este caso?

11.4 Un electron se mueve en una tra-

yectoria circular de radio 2 x 10~ 2 mde modo que su velocidad es (0,5 ++ 0,01 t)c. Hallar el angulo entre la fuerza

y la aceleraci6n cuando / = 10 s.

11.5 Una particula con masa en reposom y una velocidad 0,8 c esta sujetaa una fuerza que es (a) paralela a la

velocidad, (b) perpendicular a la velo-

cidad. Determinar la raz6n de la fuerzaa la aceleracidn en cada caso, Asimismoen el segundo caso, hallar el radio decurvatura y compararlo con valores norelativistas.

11*6 La masa de reposo de un electr6n

es 9,109 x 10"31 kg y la de un protdn

Problemas 353

1,675 x 10-87 kg. Computar sus ener-

glas en joules y en eV.

11.7 Hallar el momentum y la velo-

cidad de salida de uh prot6n del acele-

rador de Brookhaven si la energia cine-

tica del protdn es 3 x 1010 eV,

11.8 El radio de una trayectoria pro-

tdnica en el acelerador de Brookhavenes 114 m. Hallar la fuerza centripeta

requerida para mantenerlo en 6rbita

cuando ha alcanzado su energia cinetica

final

11.9 Un electron tiene una velocidad

de 0,8c. Hallar la velocidad de un prottin

que tenga (a) el mismo momentum, (b)

la*misma energia cinetica.

11.10 Estimar el valor del t&rninocorrectivo |m v*/ca con respecto al primert6rmino de la ecuacitin (11.19) para (a)

un electron de un &tomo de hidr6genocuya velocidad es 2,2 x 108 m s* 1

, (b) unprot6n procedente de un ciclotron conuna energia cinetica de 30 MeV, (c) pro-

tones procedentes del acelerador deBrookhaven con una energia cinetica

de 3 x 1010 eV.

11.11 Completar el ejemplo 11.5 obte-

niendo las coordenadas de la particula

en funci6n del tiempo y comparar conlos valores no relativistas. Demostrartambien que la ecuacidn de la trayec-

toria es

y = —- coshPoC

11.12 Un acelerador produce protonescon una velocidad de 0,9c a raz6n de3 X 10 18 particulas por segundo en r&fa-

gas que duran 10^ seg. cada una. Hallarla energia total necesaria para acelerar

todas las particulas en una rafaga. Si

hay 100 rafagas por segundo, calcular

la potencia requerida para acelerar las

particulas.

11.13 Calcular en eV, la energia reque-

rida para acelerar un electr6n y unprot6n desde (a) el reposo hasta 0,500c,

(b) 0,500c hasta 0,900c, (c) 0,900c hasta0,950c, (d) de 0,950 hasta 0,990c. ^Queconclusion general obtiene Ud?

11.14 La energia cinetica de una cierta

particula puede ser escrita como pc con

un error en la energia total no mayorde 1 %. £Cu£l es su minima velocidad?iCual es la energia cinetica, en eV, de unelectron y de un prot6n moviendose atal velocidad?

11.15 iQue velocidad maxima debetener una particula cuya energia cinetica

es escrita como ±m/v% con un error nomayor de 1 %? &Cual es la energia cine-

tica, en eV, de un electron y un prot6nmoviendose a tal velocidad?

11.16 Demostrar que v/c = [l — (ffipC 1//E)*] 1 '*. Con esta relaci6n, hallar la velo-

cidad de una particula cuando E es

(a) igual a su energia de reposo, (b) el

doble de su energia de reposo, (c) 10 ve-

ces su energia de reposo y (d) mil vecessu energia de reposo. Computar las

correspondientes energias en eV para unelectron y un protdn, Representar v/c

versus E/m c2t

11.17 Probar que el momentum de unaparticula puede ser escrito como

p = (El + 2m*c*E*)*i*lc

Representar p/m^c como funci6n deEk/m c*.

11.18 Se aceleran electrones hasta unaenergia cinetica de 10* eV. Hallar (a)

la razon de su masa a su masa en re-

poso, (b) la raz6n de su velocidad a la

velocidad de la luz, (c) la raz6n de su

energia total a su energia de reposo.

Repetir el problema para protones de la

misma energia.

11.19 Dado que energia/velocidad tiene

las mismas dimensiones que momentum,la unidad MeV/c ha sido introducida

como una unidad conveniente para me-dir el momentum de las particulas ele-

mentales. Expresar el valor de esta

unidad en m kg s-1

. Hallar, en terminosde esta unidad, el momentum de unelectr6n con energia total de 5,0 MeV.Repetir para un prot6n con energia total

de 2 x 10s MeV.

11.20 Determinar la energia total y la

velocidad de un electrdn que tiene unmomentum de 0,60 MeV/c. Repetir paraun prot6n.

11.21 Un electron se mueve con unavelocidad de 0,6c con respecto a un

354 Dindmica de alia energia

observador 0. Se le aplica una fuerza

de 9,109 x 10- 19 N (medida en el sis-

tema de referenda ligado al electron)

paralelamente a la velocidad relativa.

Hallar la aceleraci6n del electr6n conrespecto a ambos sistemas de referencia.

11.22 Resolver eJ Problema 11.21 parael caso en que Ja fuerza es aplicadaperpendicularmente a la velocidad rela-

tiva.

11.23 Resolver los Problemas 11.21 y11.22 para el caso en que el valor de la

fuerza es el relativo al observador O.

11.24. Calcular el momentum, energiatotal y energia cinetica de un prot6nque se mueve con una velocidad v = 0,99ccon respecto al laboratorio en los si-

guientes casos : (a) en el sistema-L, (b)

en el sistema definido por el prot6n,(c) en el sistema-C definido por el prot6ny un atomo de helio en reposo en el

laboratorio.

11.25. Un protdn con una energia cine-

tica de 10 10 eV choca con un prot6n enreposo. Hallar (a) la velocidad del sis-

tema, (b) el momentum total y la energiatotal en el sistema-L, (c) la energia cine-

tica de las dos particulas en el sistema-C.

11.26 Un electrdn con energia total Ee

choca frontalmente con un proton enreposo. Si la energia del electron es muygrande comparada con su energia dereposo, el electr6n debe ser tratado rela-

tivlsticamente pero si, por otra parte,es pequefia camparada con la energiaen reposo del prot6n, el prot6n puede ser

tratado no relativisticamente. Probarentonces que (a) el prot6n retrocede conuna velocidad aproximadamente iguala (2E<z/m c z)c, (b) la energia transferidadel electr6n al prot6n es 2E£/m cK Apli-car al caso en que los electrones tienenuna energia cinetica de 100 MeVT (Suge-rencia : Para el electr6n, E = cp, mien-tras que para el prot6n Ek — p

2/2m.N6tese tambien que si el proton se muevehacia adelante, el electr6n retrocede,de manera que la direccidn de su movi-miento se invierte).

11.27 Un metodo para obtener la ener-gia necesaria para una reaccidn nuclear

consiste en hacer chocar dos particulasuna contra otra. Cuando las particu-las son identicas y sus energias son las

mismas, el sistema-C coincide con el

laboratorio. Este metodo es usado enGERN donde los protones, aceleradoshasta una energia de 28 GeV, se man-tienen circulando en direcciones opuestasen dos « anillos de almacenamiento

»,

hasta que en un momento dado se hacechocar los dos haces. (a) ^Gual es la

energia total disponible para una reac-ci6n? (b) iCual es la energia cinetica

de uno de los protones en el sistema dereferencia en el que otro prot6n estaen reposo? Esta es la energia a la quedeberia ser acelerado un prot6n paraproducir la misma reaction chocandocon un bianco en reposo en el labora-torio. ^Ve Ud. alguna ventaja en la ideade los « anillos de almacenamiento »?

11.28 Obtener la ley relativista (11.26)para la transformation del momentumy la energia escribiendo p

f = m V '/

/|/1 — V'Vc* y E' = m/cy]/l — V' 2]c*, y

expresando la velocidad V en terminosde la velocidad V medida por O y de la

velocidad relativa v, usando la ec. (6.36).

[Sugerencia: Usar las relaciones obteni-

das en el Problema 6.38].

11.29 Probar que la ley general parala transformation de fuerza cuando la

particula no esta en reposo relativo

a O'es

VI — vVx/c 2- }

{»V*/c* \ F

F'u =

Fi

VJ.— v%/c %

1 --uVx/c*

i/r— v 2/c

2

i —vVt/c*

Fy*

F*>

donde V se refiere a la velocidad de la

particula con respecto a O. Verificar

que tales ecuaciones se reducen a las

ec, (11.32), (11.33) y (11.34) si la par-

ticula esta en reposo con respecto a O f-

11.30 Probar que la transformationpara la energia y el momentum puede

Problemas 355

ser escrita en la forma vectorial

(p • v)vP' = P w

+ k

E' = k(E— vp)

(p • t>)v vEV 2 c 2

11.31 Una partlcula con masa en re-

poso mlf moviendose con velocidad vx

en el sistema-L, choca con una partlcula

con masa en reposo m2 , inmtfvil en el

sistema-L. (a) Probar que la velocidad

en el sistema-C del sistema compuestopor las dos particulas es

vc1 + AJ/1— v\lc\

donde A — mjmv (b) Probar que enel sistema-C la velocidad de m t es

vxAY\ — v\/c'

1 — u£/c a + A\fl — vl/c*

y que la velocidad de m2 es — Vc . (c)

Computar los valores de las cantidades

anteriores cuando u1

es pequena com-parada con e, y comparar el resultado conel del ejemplo 9.13.

11.32 Usando las leyes de transforma-ci6n de Lorentz para la energia y el

momentum, probar que si vc = c 2p/Ees la velocidad del sistema relativa aun observador O mientras que la velo-

cidad del sistema para otro observa-

dor 0', en movimiento con respecto acon velocidad V a lo largo del eje Xf

es vc = c 2P'/E' t entonces vc> vc yVestan relacionadas por las ec. (6.36)

para la transformaci6n de velocidades.

Probar tambien que si v c = (o P'= 0),

entonces vc = V. Esta fue una de nues-tras suposiciones basicas en la Seccidn11.9 al deflnir la velocidad del sistema.

Por tanto vemos que la teoria desarro-

llada es consistente con la transforma-ci6n de Lorentz.

11.33 Una partlcula con masa en re-

poso m! y momentum p x choca inelas-

ticamente con una partlcula de masa m z

en reposo en el laboratorio. Las dosparticulas se pegan sin cambiar la masade reposo total. Hallar (a) la velocidadde la particula resultante con respecto

al sistema-L, (b) la Q de la colisi6n.

11.34 Discutir el Problema 11.33 parael caso en que la particula resultante

tenga una masa en reposo /n3 diferente

de la masa en reposo combinada mx + m2

de las dos particulas que chocaron.

11.35 Una particula con masa en re-

poso m1 y momentum p! choca inelas-

ticamente con una partlcula con masaen reposo m % estacionaria en el labora-

torio. Los productos resultantes son unaparticula con masa en reposo m3 y unaparticula con masa en reposo nula.

Hallar la energia de la ultima (a) en el

sistema- C, (b) en ei sistema-L.

11,36 Suponer que el angulo de rebote de la partlcula de masa m en el ejemplo 11.10es ^. Probar que la energia cinetica de la particula despues de la colisi6n es

Ek2E(E/m Qc*) cos a

<f>

1 + 2(E/m c*) + (E/m^y sen 8 *

11.37 Una particula con masa de reposo mx y momentum ptchoca elasticamente

con una particula con masa m2 en reposo en el sistema-L y se desvia un angulo 9.

Probar que la energia y el momentum de /j^ despues del choque son

Pa = Pi(m\C* + m2Ex) cos 6 + (E

t + m2c2) Vml— iri} sen2 8

(EJc + m2c)2— p* cos2 6

E = (Et + m^)(my + m,^) + c2

p2 cos 6 ][m\— /n?sen a 6

(EJc +m&)*— p?cos 2 6

11.38 Refiriendose al Problema 11.37, bajo un angulo <j> con respecto a la

probar que si la particula m2 rebota direccion del movimiento de la particula

356 Dindmica de alta energta

incidente, su momentum y energia son

— 2m%(El + miC*) cos<f>

P* " Pl(EJc + mtc)*— p\ cos a 4>'

E4 = mtc2

\ ,2pj cos' j>

{Sj/c + m 2c) B— p\ cos a

<£

11.39 Referirse nuevamente a los Pro-blemas 11.37 y 11.38. Suponer que las

dos partlculas tienen la misma masa enreposo. Despu6s del choque la partfculaincidente se mueve en el sistema-C dereferenda bajo un angulo

<f>con respecto

a la direction inicial y que la otra par-

ticula se mueve en la direcci6n opuesta.Probar que los angulos 6 y 6' bajo los

que se mueven con respecto al sistema-Lson

tg = ]fl — p*fc% tg ±*

tg 6' = Kl — t>2/c a cotg ±*.

Concluir de aqui que + 8' <. in y quecuanto mas cercana esta v de c, tantom&s pequeno seri el angulo + 9' entrelas dos partlculas en el sistema-L. Com-parar con los resultados del ejemplo 9.11

para una colisi6n no relativista. (Suge-rencia: Notar que antes de la colisi6n

las dos partlculas se mueven en el sis-

tema-C con velocidades v y —v y quedespu6s de la colisi6n continuan mo-viendose en direcciones opuestas con las

mismas velocidades).

11.40 Refiriendose al Problema 11.37,

verificar que si la particula 1 tiene masade reposo nula, entonces los valores de

p3 y E9 se reducen a los del ejemplo 11.10.

11.41 Probar que la ecuacitfn del movi-miento de un cohete desplazandose avelocidades relativistas y no sujeto

a fuerza externa alguna, es m dv/dm+ vi

(1 — i>s/cs) = 0, donde m es la masa

instantanea en reposo del cohete, v suvelocidad relativa al observador y vl la

velocidad de escape relativa al cohete.

Probar tambien, por integration, que la

velocidad final esta dada por

v = c[l — (m/mQ)2vi/c]

1 + (m/m*)2vl/c

11,42 Una particula con masa de re-

poso mo se divide (o desintegra) en otras

dos partlculas con masas en reposo m,y mt . Probar que en el sistema-C las

energias de las partlculas resultantes son

E[ = (m! + m\— mj)ca/2wi

E'% = (ml + ml— ml)c*/2m .

Hallar tambten sus momenta.

11.43 Resolver el Problema 11.42 parael caso de referir el movimiento de las

partlculas al sistema-L, suponiendo queel momentum de la particula mo en este

sistema es p. Probar tambien que si

Pi y Pa son l°s momenta de las partlculasresultantes y el angulo entre ellas,

mjc* = (/n, + mt)V + 2E1E%

— 2m1mic*— 2p1psc* cos 6.

11.44 En una colisi6n entre partlculas

m x y mt9 mx se mueve con momentumPi y m2 est& en reposo en el sistema-L.Despues de la colisidn, ademas de las

particulas mx y ma aparecen las partlcu-las m3 , /n4 > . , , Probar que el umbralde energia cin6tica en el sistema-L paraeste proceso es

Ett = (A/n)c*[l + m x/mt + bm/2mt],

donde Am = ms + m4 + . . .(mx -f m2).

Aplicar esta ecuaci6n a la creaci6n deun par prottfn-antiprotdn, discutido enel ejemplo 11.11,

11.45 Una particula con masa en re-

poso m lf moviendose con una energiatotal E

xextremadamente grande, de

modo que su velocidad es aproximada-mente igual a c, choca con una particula

con masa en reposo m t que est4 innwWil.

Demostrar que la velocidad del sistemaes c(l — m%c

2/Ex) y que la energia dis-

ponible en el sistema C es

(2fi1mgc»)

1 /»#

11.46 Considerar una reaction en la

que una particula con masa en reposo

nula y energia Ex choca con una par-

ticula con masa en reposo m3inm6vil

en el laboratorio. Los productos finales

de la reacci6n son dos particulas : unacon masa en reposo mt y otra con masade reposo /n3+ Demostrar que el umbralde energia E

tpara la reaccidn es

E t= /n3(l + mz/2mt)c

1.

Problemas 357

11.47 Detcrminar el valor Q y el umbralde energia cinetica en el sistema-L de

la partlcula incidente (la tt~) para las

siguientes reacciones : (a) k~ + p+ ->

->n + 7c°; (b) Tr- + p+ ->r-->K+. Las

masas en reposo de dichas particulas son

Partlcula Masa en reposo, kg

7t~ 0,2489 x 10-*7

7T° 0,2407 x 10-»7

P + 1,6752 x 10 -«7

n 1,6748 x 10-*7

r- 1,9702 x 10- 17

K+ 0,8805 x 10-*7

(Sugerencia: Usar los resultados del ejem-

plo 11.12.)

11*48 Una partlcula elemental conmasa en reposo m se desintegra, divi-

diendose en otras dos particulas elemen-

tales. El proceso tiene un valor Q nonulo. (a) Probar que si la partlcula se

divide en dos fragmentos iguales, ellos

deben moverse en el sistema-C en direc-

ciones opuestas con un momentumigual a

K2moQ—QW1*

(b) Probar que si la partlcula se desin-

tegra en tres fragmentos iguales emiti-

dos simetricamente en el sistema-C, el

momentum de cada partlcula es igual a

K2/n Q— QVC)1/*.

(c) Veriflcar que los resultados (a) y (b)

se reducen, respectivamente, a las expre-

siones no relativistas dadas en las partes

(d) y (e) del Problema 9.13 cuando Qes mucho menor que m^c1

. (d) Aplicar

el resultado de la parte (b) a la partlcula

elemental llamada mesdn-tau (m = 8,8xx 10*** kg), que se desintegra en tres

fragmentos 11amados mesones-pi (m ==2,5 x 10_M kg), Evaluar la Q del proceso

y hailar la magnitud de las velocidades

de los fragmentos en el sistema-C. &Qu6tanto por ciento de error se obtiene si

usamos las expresiones no relativistas

del Problema 9.13?

12

MOVIMIENTO OSCILATORIO

12.1 Introduction

122 Cinemdtica del movimiento armonico simple

12.3 Fuerza y energia en el movimiento armonico simple

12A Dindmica del movimiento armonico simple

12.5 Pendulo simple

12.6 Pendulo compuesto

12.7 Superposition de dos MAS: Igual direction, igual frecuencia

12.8 Superposition de dos MAS: Igual direction,

diferente frecuencia

12.9 Superposition de dos MAS: Direcciones perpendiculares

12.10 Osciladores acoplados

12.11 Oscilaciones armonicas

12.12 Oscilaciones amortiguadas

12J3 Oscilaciones forzadas

12J4 Impedancia de un osciladof

12.15 Andlisis de Fourier del movimiento periodico

12.2) Cinemdtica del movimiento armonico simple 359

12.1 Introduccidn

Uno de los movimientos mas importances observados en la naturaleza es el movi-

miento oscilatorio (o vibratorio). Una particula oscila cuando se mueve periddi-

camente con respecto a la position de equilibrio. El movimiento de un pendulo

es oscilatorio. Un cuerpo en el extremo de un resorte estirado, una vez que se

suelta, comienza a oscilar. Los atomos de un solido estan vibrando, Similarmente,

los atomos en una molecula vibran unos con respecto a otros. Los electrones de

una antena radiante o receptora oscilan rapidamente. Una comprension del mo-vimiento vibratorio es tambien esencial en la discusion del fen6meno ondulatorio,

sobre el cual trataremos en la Parte 3 de este texto.

De todos los movimientos oscilatorios, el mas importante es el movimiento

armonico simple (MAS), debido a que, ademas de ser el movimiento mas simple

de describir matematicamente, constituye una aproximacion muy cercana de

muchas oscilaciones encontradas en la naturaleza. La mayor parte de nuestras

discusiones en este capitulo se concentraran en esta clase de movimiento.

12.2 Cinemdtica del movimiento armdnico simple

Por definition, decimos que una particula que se mueve a lo largo del eje de las Xtiene un movimiento armonico simple cuando su desplazamienoo x respecto al

origen del sistema de coordenadas esta dado en funcion del tiempo por la relation

x = A sen (wt + a). (12,1)

La cantidad cot + a se denomina la fase, y por ello a es la fase inicial; esto es,

su valor cuando / = 0. Aunque hemos defmido el movimiento armonico simple

en funcion de una expresion senoidal, puede igualmente expresarse en funci6n

de una expresion cosenoidal, el linico cambio seria una diferencia inicial de fase de

tt/2 4 Como la funcion seno (o coseno) varia entre — 1 y + 1, el desplazamiento

de la particula varia entre x = — A y x — + A. El desplazamiento maximo a

partir del origen, A, se define como la amplitud del movimiento arm6nico simple.

La funcion seno se repite cada vez que el angulo aumenta en 2tc. Por consiguiente,

el desplazamiento de la particula se repite despues de un intervalo de tiempo

de 27u/a). Luego el movimiento armonico simple es periodico, y su periodo es

P = 2tt/w. La frecuencia v de un movimiento armonico simple es igual al nii-

mero de oscilaciones completas por unidad de tiempo; asi v = 1/P. La cantidad w,

denomihada frecuencia angular de la particula oscilante, esta relacionada con la

frecuencia por una relation similar a la ec. (5.51) del movimiento circular,

co =~ = 2tcv, (12.2)

La velocidad de la particula, que se determina usando la ec. (5.2), es

dxv = = coA cos (cot + a). (12.3)

dt

360 Movimiento oscilatorio (12.2

t = _«/w P/4 P/2 3P/4 P 5P/4 3P/2 7P/4

Fig. 12*1. Graficos del desplazamiento, la velocidad y la aceleraci6n en funci6n

del tiempo en el MAS.

Similarmente, la aceleracion esta dada por

dva = —- = — ocPA sen (<ot + a) = — a>

2x,dt

V ' (12.4)

la cual indica que en el movimiento armonico simple la aceleracion es siempre

proporcional y opuesta al desplazamiento. En la Fig. 12-1, hemos ilustrado x, v,

y a en funcion del tiempo.

El desplazamiento de una particula que se mueve con MAS puede tambien

considerarse como la componente X de un vector OP\ con OP r = A, que rota

alrededor de en sentido contrario a las agujas del reloj con velocidad angular (o,

y formando (a cada instante) un angulo cot + a con el eje negativo de las Y,

(b) (c)

Fig. 12*2. Vector rotante del desplazamiento en el MAS,

12.2) Cinemdtica del movimiento armonico simple 361

Fig. 12-8, Vectores rotantes del

desplazamiento, la velocidad y la

aceleracitin en el MAS*

medido tambien en sentido contrario del movimiento de las agujas del reloj.

En la Fig, 12-2 hemos representado el vector OP' en varias posiciones* El estu-

diante puede verificar que en cualquier instante la componente X de OP' est£

dada por x = OP = OP1

sen (cat + a), en concordancia con la ec« (12.1)*

La velocidad y la aceleraci6n de la particula pueden tambien representarse

por los vectores rotantes OV y OA' 9 cuyas longitudes con coA y o?A 9 respecti-

vamente, y cuyas componentes a Io largo del eje X dan la velocidad v y la ace-

leraci6n a de la particula que se mueve con MAS. La orientation relativa de estos

vectores se ilustra en la Fig. 12-3. Puede notarse que OV est£ adelantado tt/2

y OA* esta adelantado tt, ambos con respecto al vector rotante OP'.

EJEMPLO 12.1. Determinar si P en el mecanismo Hustrado en la Fig. 12-4 se muevecon MAS, En este mecanismo, QQ

fes una barra sobre la cual puede deslizarse el ci-

lindro P ; esta conectada por una varilla L al borde de una rueda de radio R quegira con velocidad angular constante co (Este mecanismo, encontrado en muchasmaquinas de vapor, transfornta el movimiento oscilatorio del pist6n en el movi-miento rotacional de la rueda).

X^

VI p. 12-4. El movimiento de P es

oscilante pero no arm6nico simple.

362 Movimietito oscilatorio (12.2

Solucitin: De la figura podemos ver facilmente que P oscila desde una posicitfn auna distancia L + R a partir de hasta una posici6n L — R a partir de O. Paradeterminar si el movimiento es armonico simple, debemos encontrar si el despla-zamiento de P satisface la ec. (12.1). De la geometrfa de la figura tenemos quex = R cos 6 + L cos

<f> y L sen 4> = R sen 6, de modo que sen ^ — (R/L) sen 6

cos 4 = (1 — sen*

Por consiguiente

1/2 (L*— /? 2 sen 26) 1 ' 2

,

x = /? cos 6 + (L* — i? 2 sen 8 6)1 '2,

la cual, ya que = o>f, da

x = R cos «i + (L %— R* sena<oO I/a

.

Esta expresidn da el desplazamiento de P en funci6n del tiempo, Cuando compa-ramos esta ecuaqion con la ec. (12.1), vemos que el primer termino, R cos wf,

corresponde al movimiento arm6nico simple con a = tt/2, pero el segundo no. Asi,aunque el movimiento de P es oscilatorio, no es arm6nico simpleUn ingeniero mecanico al disenar un mecanismo como el de la Fig. 12-4 tiene

que pensar c6mo aplicar la fuerza correcta en P de modo que el desplazamiento xest6 dado por la ecuaci6n expresada lineas arriba, de modo que la rueda se muevecon movimiento circular uniforme. Cuando P esta unido al pist6n de una maxjuinade vapor, esto se lleva a cabo regulando la admisi6n de vapor,

EJEMPLO 12.2. Discutir el movimiento de una particula sobre la cual actiia unafuerza oscilante F = F sen w/.

Solueidn: La ecuacidn de movimiento de la particula es moti » dv/dt.

dv F-— = —— sen w/.dt m

[ntegrando esta ecuaci6n obtenemos

F sen (x>t9 o ya que

v = 2_ cos ^1 + 11

/n<*>0»

ionde r es una constante de integracidn y no la velocidad inicial la cual se obtiene:uando / = 0. Como puede verse, la velocidad inicial es v — F^/nw. Recordandojue v = dr/dt e integrando por segunda vez, obtenemos

r = L sen <o/ -f vj -f rm<&*

Of

Trayectoriade la particula

Fig. 12-5. Movimiento piano bajo la acci6n de una fuerza armtinica.

12.3) Fuerza y energta en el movlmiento armonico simple 363

expresi6n que da la posici6n de la particula en funcitin del tiempo. r es la position

inicial de la particula. Si suponemos que r = 0, la trayectoria de la particula es

como se ilustra en la Fig, 12-5. Gonio puede notarse, la particula avanza hatia la

derecha pero oscila alrededor del eje en la direcci6n dada por F . Esta figura nodebe confundirse con la Fig. 12-1 (a) que da el desplazamiento como una funcidn

del tiempo para una particula que se raueve con MAS. La situation fisica que nemosilustrado ocurre, por ejemplo, cuando un electr6n (o cualquier particula cargada)

se mueve en un campo electrico oscilante.

Sugerimos que el estudiante considere el caso particular cuando F y v Q sonparalelos, y que represente el desplazamiento en funcion del tiempo.

12.3 Fuerza y energia en el movimiento armdnico simple

De la ec. (12.4) podemos calcular la fuerza que debe actuar sobre una particula

de masa m a fin de que oscile con movimiento armonico simple. Aplicando la

ecuacion de movimiento F = ma, y sustituyendo el resultado de la ec. (12.4),

la cual nos da la aceleracion, tenemos

F = — mwPx — — kx9 (12.5)

donde hemos defmido

k = mco2 6 co = V*//n. (12.6)

Esto indica que en el movimiento armonico simple la fuerza es proporcional al

desplazamiento, y opuesta a el Por ello la fuerza esta siempre dirigida hacia el

origen 0. Este es el punto de equilibrio ya que en el origen F = 0, por ser x = 0.

Podemos tambien decir que la fuerza F es de atracci6n, siendo el centro de atrac-

cion el punto 0. La fuerza dada por la ec. (12.5) es el tipo de fuerza que aparece

cuando uno deforma un cuerpo elastico tal como un resorte; ya vimos varios ejem-

plos de esta fuerza en el capitulo 8. La constante k = mco2 f llamada algunas veces

consiante eldstica, representa la fuerza necesaria para desplazar la particula una

unidad de distancia. Combinando las ec. (12.2) y (12.6), podemos escribir las

ecuaciones

que expresan el periodo y la frecuencia de un movimiento armonico simple en

funcion de la masa de la particula y la constante elastica de la fuerza aplicada*

La energia cinetica de la particula es

Ek = imv* = \ma?A* cos2 (cot + a). (12.8)

0, ya que cos2 8^1 — sen2 8, usando la ec. (12*1) para el desplazamiento, po-

demos expresar tambien la energia cinetica en funci6n del desplazamiento por

la relation

Ek = i/nco2 A2[l — sen2 (<ot + a)] = ±ma,*(A2— x2

). (12.9)

364 Movimiento oscilatorio (12,4

Observese que la energia cinetica es un mdximo en el centro (x =0) g cero en los

extremos de oscilacion (x = ± A).

Para obtener la energia potencial recordamos la ec. (8.24), F = — dEpjdx.Usando la ec. (12.5) para la fuerza, podemos escribir

dEpjdx = kx.

Integrando (escogiendo el cero de la energia potencial en el origen o posicion

de equilibrio) obtenemos

Jo Jokx dx Ep = \kx* = imco2x*. (12.10)

Por consiguiente, la energia potencial es un mtnimo (cero) en el centro (x = 0) yaumenta a medida que la particula se aproxima a tos extremos de la oscilacion

(x = ±A). Sumando las ec. (12.9) y (12.10) obtenemos la siguiente expresion

para la energia total del oscilador armonico simple.

E = Ek + Ep = ImafiA* = ±AAa, (12.11)

la cual es una constante. Esto era de esperarse por la ec. (8.29), ya que la fuerza

es conservativa. Por lo tanto, podemos decir que, durante una oscilaci6n hayun intercambio continuo de energias potencial y cinetica. Al alejarse de la posi-

cion de equilibrio, la energia potencial aumenta a expensas de la energia cinetica;

lo inverso sucede cuando la particula se

Ep(*) acerca hacia la posicion de equilibrio.

La Fig. 1 2-6 muestra la energia potencial,

Ep = ita2

representada por una parabola. Para unaenergia total dada E, correspondiente

a la linea horizontal, los limites de la os-

cilacion estan determinados por sus inter-

secciones con la curva de energia poten-

cial, como se explico en la seccion 8.11.

(lomo la parabola Ep es simetrica, los

limites de oscilacion se encuentran a

distancias iguales ± A del origen 0. Encualquier punto x la energia cinetica Ek

esta dada por la distancia entre la curva

Ep(x) y la linea E,

Fig. 12-6.

el MAS.Relaciones de energia en

12.4 Dindmica del movimiento armonico simple

En la seccion 12.2 definimos el movimiento arm6nico simple mediante sus pro-

piedades cinemdticas expresadas por la ec. (12.1). Solo posteriormente discutimosla clase de fuerza necesaria para producir tal movimiento (dada por la ec, 12.5).

12.4) Dindmica del movirniento armdnico simple 366

Sin embargo, es importante discutir el problema inverso: Demostraremos que,

dada una fuerza de atraccion proporcional al desplazamiento (esto es, F = — fcc),

el movirniento resultante es armonico simple.

Un procedimiento consiste en usar la ecuacion de movirniento, F = ma, con-

siderando F — — kx9 y, recordando que en un movirniento rectilineo a — cPxjdP,

escribir la ecuacion

<Px . , d?xm = — kx o m h kx = 0.

dP dP

Haciendo co2 = kjm 9 podemos escribir

(Fx+ a?x=0. (12.12)

dP

Esta es una ecuacion diferencial cuyas soluciones se conocen que son funciones

senos o cosenos de cot. Sustituyendo en lugar de x el valor de A sen (<ot + a),

podemos verificar directamente que esta expresion de x, que corresponde al

movirniento armonico simple, satisface a la ec. (12,12). Por consiguiente, decimos

que x — A sen (cot + a) es la solucion general de la ec. (12.12) ya que tiene dos

constantes arbitrarias, la amplitud A y la fase inicial a.* Por lo tanto, verify

camos el hecho de que una fuerza de atraccion proporcional al desplazamiento

produce movirniento armonico simple.

En este punto nos adelantamos a decir al estudiante que esta ecuacion dife-

rencial (12.12) aparece en muchas situaciones en fisica. Donde se le encuentre

indica que el fenomeno correspondiente es oscilatorio de acuerdo a la ley A sen

(a>t + a), ya sea que describa un desplazamiento lineal o angular de una particula,

una corriente electrica o la concentracion ionica en un plasma, la temperatura

de un cuerpo, o cualquiera de una multitud de otras situaciones fisicas.

EJEMPLO 12.3. Discutir la soluci6n de la ec, (12.12) del movirniento arm6nicosimple en funci6n del desplazamiento inicial x y la velocidad inicial v .

Sotud6n: Henros indicado que la soluci6n general de la ec. (12,12) es

x = A sen {mi + a).

Luego, la velocidad es v = dx/dt = wA cos (of -f- a). Por tanto, para t = 0, tenemos

x = A sen a, v — <oA cos a.

Dividiendo obtenemos

tg a = coxo/y, y A - (xl + »2

A»2)x/2

.

Por ejemplo, si la particula se encuentra en la posici6n de equilibrio x — yrecibe un golpe que le proporciona una velocidad i? , tenemos a = 0yl= v Q/o>.

El desplazamiento esta dado entonces por x = vju* sen w/. La energia total de

* La solution general de la ec. (12.12) puede tambiln escribirse en la forma alterna x = a sen

cot -f b cos out, donde ay b son constantes arbitrarias. Esta solucion es equivalente ax = A sen

(tot + a) si suponemos que a = A cos a y b = A sen a.

366 Mouimiento oscilalorio (12.5

la particula, en concordancia con la ec. (12.11), sera E = \k{vJtA)* = \rnvl, quees igual a la energia cinetica initial.

Por otro lado, si la particula se coloca a la distancia x de la posicidn de equi-librio y se suelta, v = 0, y por lo tanto tg a = oo 6 a = tt/2 y A = x . El des-plazamiento esta dado por x = x cos o>*. Utilizando la ec. (12.11), obtenemos laenergia total de la particula como E = ikx z

9 la cual es igual a la energia potentialinitial de la particula.

BJEMPLO 12.4. Derivar una expresi6n general para el periodo de un movimientooscilatorio, usando el principio de conservaci6n de la energia.

Soluci6n: Refiriendonos a la discusi6n de la secci6n 8.9 del movimiento rectilineobajo fuerzas conservativas, encontramos que podemos aplicar la ec. (8.34), esto es :

/dx = t.

-/:

, # [&/m){E— Ep (x))]W

en la cual Ep(x) es la energia potencial del movimiento y E es la energia total.De acuerdo a la discusi6n de la section 8.11, la particula oscila, entre las posicionesdadas por x

x y x2 obtenidas al resolver la ecuacion Ep(x) = E (recordar la Fig. 8-18).Si, en la ecuacion de arriba suponemos que x = x, y x = x2 , el tiempo / correspondea la mitad de una oscilaci6n y por consiguiente es igual a la mitad del periodo :

/ = ±P. Por lo tanto, de la ecuaci6n precedente obtenemos

dx

*x (2/m)(E-Epy(12* 13)

Esta es una ecuacidn general que da el periodo de cualquier movimiento oscilatorio,ya sea este MAS o no. N6tese que nos permite calcular el periodo si conocemos laenergia potencial Ev(x) 9 aun sin resolver la ecuaci6n de movimiento para obtener xen funci6n de /. Segerimos que el estudiante utilice el valor Ev = |Arx* (el cualcorresponde al movimiento arm<Snico simple), y obtenga P = ttA ^2m/E, haciendo*i = — A yx2 = + A, veriflcando asl que este resultado es identico al de la ec.(12.11).

12.5 Pendulo simple

Un ejemplo de movimiento armonico simple es el movimiento de un pendulo.

Un pendulo simple se define como una particula de masa m suspendida del puntopor una cuerda de longitud / y de masa despreciable (Fig. 12-7). Si la particula se

lleva a la position B de modo que la cuerda haga un angulo e con la vertical OC,

y luego se suelta, el pendulo oscilar£ entre B y la posici6n simetrica jB'.

Para determinar la naturaleza de las oscilaciones, debemos escribir la ecuacionde movimiento de la particula. La particula se mueve en un arco de circulo deradio I = OA. Las fuerzas que actuan sobre la particula son su peso mg y la ten-

sion T a lo largo de la cuerda. De la figura, se ve que la componente tangential

de la fuerza es

Ft = — mg sen 6,

donde el signo menos se debe a que se opone al desplazamiento s = CA. La ecua-

cion del movimiento tangencial es FT = maj y, como la particula se mueve a lo

12.5) Pendulo simple 367

Fig* 12-7* Movimiento oscilalorio deun pendulo.

P_

2jt 5tt

3 6

Fig. 12-8. Variation del periodo de unpendulo en funci6n de la amplitud.

largo de un circulo de radio I, podemos usar la ec. (5,56) (reemplazando R por I)

para expresar la aceleracion tangencial. Esto es ax = ItPftjdt2. La ecuacion del

movimiento tangencial es por consiguiente

ml~dP

— mg sen 6 — + ^ sen 6 = 0.

dP I

(12.14)

Esta ecuacion no es del mismo tipo que la ec. (12,12) debido a la presencia del

sen 9. Sin embargo, si el angulo 9 es pequeno, lo cual es cierto si la amplitud

de las oscilaciones es pequena, podemos usar la ec. (M.30) y escribir sen 9 ~ 9

en la ec, (12.14) para el movimiento del pendulo, obteniendose

d2 6 g

dp i

Esta es la ecuacion diferencial identica a la ec, (12.12) si reemplazamos x por 0,

esta vez refiriendonos al movimiento angular y no al movimiento lineal. Por ello

podemos llegar a la conclusion que, dentro de nuestra aproximacion, el movi-

miento angular del pendulo es armonico simple con a>* = gjL El angulo 9 puede

asi expresarse en la forma 6 = 6 sen (cot + <x). Entonces, usando la ec. (12.2),.

P = 2tc/o>, el periodo de oscilacion esta dado por la expresion

-Ti (12.15)

N6tese que el periodo es independiente de la masa del pendulo. Para mayoresamplitudes, la aproximacion sen G ~ 6 no es v&lida. En tal caso, la formula del

periodo depende de la amplitud 9 , Si deseamos obtener la formula general

del periodo, primero expresamos la energia potencial del pendulo como una fun-

368 Movimiento oscilalorio {12.5

cion del dngulo (ejemplo 8.7) y la sustituimos luego en la expresion de P dadapor la ec. (12,13). Nosotros omitiremos los detalles matem&ticos, pero indicaremosque el resultado puede expresarse por la serie

P = 2n YVg (1 + i sen* i6 + £ senH^o + ...)•

La variation con la amplitud 6 del periodo P, expresado en funcion del pe-riodo P = 2n ]jljg correspondiente a oscilaciones muy pequenas, se ilustra enla Fig. 12-8. Notese que el periodo P difiere apreciablemente de P solamentepara amplitudes muy grandes. Para pequenas amplitudes es suficiente tomar el

primer termino correctivo, y aun sustituir £6 por sen ^e , obteniendose

P = 2ttf7/ff(l+f66^ (12,i 6)

donde 6 se expresa en radianes. Esta es una aproximacion suficiente para la

mayor parte de las situaciones practical De hecho, el termino eg/16 representamenos del 1 % para amplitudes menores de 23°,

Hay, sin embargo, un diseno especial en el cual el periodo de un pendulo es

independiente de la amplitud. Este diseno recibe el nombre de pendulo cidoidaLUna cicloide es una curva generada por un punto en el borde de un disco querueda sobre un piano, como se muestra en la Fig. 12-9. Si en un piano vertical

construimos una trayectoria con la forma de una cicloide, y dejamos que la

masa m oscile bajo la action de la gravedad, la amplitud del movimiento de-pendera del punto desde el cual se suelta la particula, pero el periodo siempresera P = 4tc j/ afg, siendo a el radio del circulo que genera la cicloide.

CicloideCirculo rodante

Fig, 12-0. Definici6n de la cicloide.

Cicloide

Fig. 12-10. Pendulo cicloidal.

Una manera practica de construir un pendulo cicloidal se ilustra en la Fig. 12-10,

donde C± y C2 son dos contornos cicloidales. Por razonamiento geometrico, puededemostrarse que cuando el pendulo esta suspendido entre ellos, su masa describeuna cicloide, y el periodo de oscilacion es independiente de la amplitud.*

EJEMPLO 12.5. Calcular la tension en la cuerda de un pendulo en funci6n delangulo que hace la cuerda con la vertical.

* Para mayores detalles sobre la cicloide, ver G. B. Thomas, Cdlculo infinitesimal y geomeiriaanalitica, tercera edici6n. Madrid: Aguilar, 1964, sec. 12.2.

12.6) Pendulo compuesto 369

Soluci&n; Para calcular la tensi6n T, primero obtenemos la fuerza centripeta sobre

la particula,

Fc - T— Fn = T — mg cos 6,

ya que, de la Fig. 12-7, F& esta dada por trig cos 0. Luego igualando esta expresion

a la masa multiplicada por la aceleraci6n centripeta mv2/l (ntftese que / es el radio)

de acuerdo a la ec. (7,28), obtenemos

T— mg cos 6 = mvVL

Para conseguir la velocidad usamos el resultado del ejemplo 8.7. Esto es,

u a = 2#Z(cos 8 — cos 6 ),

y por lo tanto

T = mg(3 cos 6 — 2 cos 6 ).

Esta expresi6n es valida para cualquier amplitud, ya que no se ha hecho nin-

guna aproximaci6n con respecto a 0.

12.6 Pendulo compuesto

Un pendulo compuesto (o fisico) es cualquier cuerpo rigido que puede oscilar

libremente alrededor de un eje horizontal bajo la action de la gravedad. Sea

ZZ' (Fig. 12-11) el eje horizontal y C el centro de masa del cuerpo. Cuando la

linea OC hace un angulo 6 con la vertical, la componente Z del torque actuante

sobre el cuerpo esi2 = — mgb sen 0, donde b es la distancia OC entre el eje Z

y el centro de masa C. Si / es el momento de inercia del cuerpo alrededor del

eje Z, y a =<P§ldP es la aceleraci6n angular,

la ec. (10.14), U = tw da I d2 fydP = — mgb

sen 6. Suponiendo que las oscilaciones son

de pequena amplitud, podemos suponer que

sen ~ 6, de modo que la ecuacion del mo-

vimiento es

d2

~dfi

d2

~dP

mgb

+gb_

K2= 0.

Fig. 12-11. Pendulo compuesto.Aqui nemos utilizado I = mK*9 donde K es

el radio de giro, definido en la ec. (10.10). Po-

demos comparar esta ecuacion del movi-

miento con la ec. (12.12), demostrando que el movimiento angular oscilatorio es

arm6nico simple, con w2 = gb/K2. Por consiguiente, el periodo de las oscilacio-

nes es

P=2*YWi$. (12.17)

370 Movimiento oscilatorio //g 6

La cantidad / = K?fb se denomina la longitud del pendulo simple equivalentsya que un pendulo de tal longitud tiene el mismo periodo que el pendulo com-puesto. Notamos que el periodo del pendulo compuesto es independiente de sumasa, asi como de su forma geometrica, siempre que el radio de giro K y la posi-tion del centro de masa, dado por b, permanezcan inalterables.

EJEMPLO 12.6. Un anillo de 0,10 m de radio esta suspendido de una varillacomo se ilustra en la Fig. 12-12. Determinar su periodo de oscilaci6n.

Solucion: Designando el radio del anillo por R, su momento de inertia con respectoa un eje que pasa a traves de su centro de masa C es Ic - mR 2 (vea la tabla 10-1)Entonces, si aplicamos el teorema de Steiner, ec. 10,8, suponiendo a = R, el mo~mento de inertia con respecto a un eje que pasa a traves del punto de suspensi6n es

I = Ic + mR* = mR* + mR 2 = 2mR\

expresitfn que da un radio de giro K* = 2R\ Tambien en nuestro caso b = REntonces, usando la ec. (2.17), obtenemos

lo cual indica que la longitud equivalente del pendulo simple es 00' = 2R, o seael diametro del anillo. Al reemplazar los valores de R = 0,10 m v a = 9 8 m s~ 2

obtenemos P = 0,88 s,'

EJEMPLO 12.7. Una esfera de radio R esta suspendida desde un punto fijo poruna cuerda, de ttiodo que la distancia desde el centro de la esfera al punto de sus-pensi6n es /. Encontrar el periodo del pendulo.

Solud6n: A menos que el radio R sea muy pequefio comparado con /, no podemosconsiderar el pendulo como simple, y debemos usar las expresiones que hemos dis-cutido en esta secci6n. De la tabla 10.1 tenemos que el momento de inertia de unaesfera con respecto a un eje que pasa por su centro es fmi* 2

. Por consiguiente,cuando aplicamos el Teorema de Steiner para encontrar el momento de inercia conrespecto al punto de suspensidn, haciendo a - /, obtenemos

I = trnR* + ml* = /n(/ 2 + fJ?2).

Esta expresitin da como radio de giro K 2 = I* + %R* = l*(i + 0,4i? 2/'

2). Por tanto

aplicando la ec. (12.7) y notando que en este caso b = I, tenemos

Considerando que R es pequefio comparado con /, podemos reemplazar (1 + 0,4i? 2

//2)1/a por 1 + 0,2R2

/l2) usando la aproximacidn del binomio (M.28). Entonces

-*h («+«-£)

El primer ttrmino da el periodo, si despreciamos el tamaiio de la esfera. PorejTnPnn^S1 l = ltn yR = 0,01 m, tenemos RW = 10"*, y el termino correctivoes 1,00002. Asi el tatnano finito de la masa del pendulo aumenta el periodo en 0,002%,una cantidad que es despreciable en la mayoria de los casos.

EJEMPLO 12.8, Pendulo de torsion.

12.7) Superposition de dos MAS: Igual direction, igual frecuencia 371

Figura 12-12 Fig. 12-13. Pendulo de torsidn. El centro

de masa se encuentra en C.

Solucidn; Otro ejemplo de movimiento armtfnico simple es el pendulo de torsi6n,

consistente en un cuerpo suspendido por un alambre o fibra (Fig.12-13) de tal ma-

nera que la linea OC pasa por el centro de masa del cuerpo. Cuando el cuerpo se

rota un &ngulo 6 a partir de su posici6n de aquilibrio, el alambre se tuerce, ejer-

ciendo sobre el cuerpo un torque t alrededor de OC que se oponen al desplaza-

miento 6 y de magnitud proporcional al angulo, t = — kO, donde k es el coeflciente

de torsi6n del alambre. Si / es el momento de inercia del cuerpo con respecto al

eje OC, la ecuaci6n del movimiento, usando la ec. (10.14) con a = d2ft/dt\ es

rf2

dl*— kG

dt* I0,

Nuevamente encontramos la ecuaci6n diferencial (12.12), de modo que el movi-

miento angular es armdnico simple, con o>2 = k/J ; el periodo de oscilacidn es

P = 2tc V//k. (12.18)

Este resultado es interesante debido a que podemos usarlo experimentalmente

para determinar el momento de inercia de un cuerpo suspendtendolo de un alambre

cuyo coeficiente de torsi6n k se conoce, y luego midiendo el periodo P de oscilacidn.

12.7 Superposition de dos MAS: Igual direction, igual frecuencia

Consideraremos ahora la superposicion, o interferencia, de dos movimientos ar-

m6nicos simples que producen un desplazamiento de la particula a lo largo de

la misma linea. Discutamos primero el caso en que ambos tienen la misma fre-

cuencia (Fig. 12-14). El desplazamiento de la particula producido por cada mo-

vimiento arm6nico simple esta dado por:

xx= OP

x= A

xsen (cot + a

2)

x%= OP

2— A2

sen (cot + o^).

El desplazamiento resultante de la particula esta dado por

x — OP = xt + xz= A

xsen (cot + <xj) + A2

sen (cot + o^.

372 Movimiento oscilatorio(12.7

Demostraremos ahora que x corresponde a un moyimiento arm6nico de la mismafrecuencia. La componente x del vector suma OP' de los vectores rotantes OP\y OP'2> es justamente la suma de las components X de OP\ y OP r

%(esto es,

xi + fy)* y P<>r ende es igual a x. Tambien, ya que el angulo entre OP\ y OP'

tiene el valor fijo 8 = H ~ *v el vector OP' tiene una magnitud constante Ay rota tambien alrededor de con velocidad angular to. Por consiguiente el vectorrotante OP' genera un movimiento arm6nico simple de frecuencia angular w ,

y podemos escribir x = OP,

x = A sen (cot + a). (12.19)

"-M

ffr-V

Fig, 12-14. Composici6n de dosMAS de la misma frecuencia.

Calculamos la amplitud A aplicando la ec. (3.3)al vector resultante de los dos vectores:

A - )fA\ + Al + 2A1A

2 cos8. (12.20)

La fase inicial a puede encontrarse proyectan-do los tres vectores sobre los ejes OX

x y OY1los cuales rotan con velocidad angular co cons-

tituyendo unjustema de referenda en el cual

los vectores OP\, OP\ y OP' se encuentranen reposo. Luego, teniendo en cuenta la ley

de adicion de vectores, tenemos

A cos a = AxCOS o^ +.A

2 COS Og

yA sen a = A

xsen a

x + A2 sen o^.

Dividiendo, obtenemos

tga __ Ax sen ^ -+ A

2 sen Og

A1COS a

2 + A% COS a2 .

(12.21)

Consideremos algunos casos importantes especiales. Si a2= olv entonces 8=0,

y decimos que los dos movimientos estan en fase. Sus vectores rotantes son pa-ralelos y las ec. (12.20) y (12.21) dan

A =A1 + A< a,, (12.22)

Por consiguiente, los dos movimientos arm6nkos simples interfieren constructi-vamente ya que sus amplitudes se suman (Fig. 12-15). Si a

2= a, + n, entonces

« = 7t, y decimos que los dos movimientos arm6nicos simples estan en oposicion.Sus vectores rotantes son antiparalelos y las ec. (12.20) y (12.21) dan si A

1 > A2 ,

A = Ax— A

2 , a. = c^, (12.23)

y los dos movimientos armonicos simples interfieren atenuandose ya que sus am-pUtudes se sustraen (Fig. 12-16). En particular, si A

l= A% , los dos movimien-

tos armonicos simples se cancelan mutuamente. (iQue sucederia si A, < A,?)

12.7) Superposition de dos MAS: Igual direccidn, igual frecuencia 373

Fig. 12-15. Composici6n de dos

MAS en fase.

Si ojj = otj + tt/2, entonces S = 7c/2, y se dice que los dos movimientos armonicos

simples estan en cuadratura. Entonces, aplicando la ec. (12.20), obtenemos

A = yAf + A\. (12.24)

El estudiante puede verificar con la ec. (12.21) que la expresion de a esta dada por

A.a = a

x-\- arctg

*i(12.25)

Fig* 12-18. Gomposici6n de dos

MAS en oposicidn.

Los dos vectores rotantes son, en este caso, perpendiculares. En la Fig, 12-17, se

ha representado el caso cuando Al— ^3 A2 de modo que a — a

x + n/6 y A =2A2.

El estudiante debe investigar el caso en el cual «2 — 04 + 3 tt/2.

EJEMPLO 12,9* Una particula esta sometida, simultaneamente, a dos movimien-

tos armonicos simples de la misma direccidn y frecuencia. Sus ecuaciones son Xj — 10

sen (2t + 7t/4> y x* = 6 sen (2f + 2*/3), Encontrar el movimiento resultante.

374 Movimiento oscilatorio(12.8

Fig. 12-17, Composici6n de dosMAS en cuadratura.

Ax t—

\

SolucMn: La diferencia de fase es 8 = a2— ai = 2:r/3 — «/4 = ftc/12. Por lo tantocomo las amplitudes son A

l= 10 y A2 = 6, la amplitud resultante es

^ = VlO 2 + 6 2 + 2(10X6) cos (5tv/12) = 12,92.

La fase inicial esta dada por

10 sen (n/4) + 6 sen (2tv/3)tga =10 cos (tt/4) + 6 cos (2tt/3)

6,527,

de modo que a = 81,3° = 1,42 rad. Por consiguiente, el movimiento resultante esdescnto por la ecuacion x = 12,92 sen (2t + 1,42).

12.8 Superposition de dos MAS: Igual direccidn, diferente ire.cuencia

El caso en el cual dos movimientos armonicos simples en la misma directionpero con diferente frecuencia interfieren tiene tambien importancia. Consideremospor simplicidad, el caso en el cual ^0y^=0; entonces los movimientosestan descntos por las ecuaciones x

1= A

t sen toj y x2= A

2 sen «y.El angulo entre los vectores rotantes OP'

z y OP[ (Fig. 12-18)es ahora aj—mj ==K— to2)/, y no es constante. Por ello, el vector resultante OP' no tiene longitudconstante y no rota con velocidad angular constante. En consecuencia, el movi-miento resultante, x = x

x + x% no es armonico simple. Sin embargo, como ob-servamos de la Fig. 12-18, la "amplitud" del movimiento es

A = M? + ^ + 2A1A2 cosK- W2)/> (12.26)

y "oscila" entre los valores A = At + A2 [cuando («,— u>

2)t = 2n *] y A = \Aj-AJi

[cuando (a^— <y2)f = 2nn + *]. Se dice entonces que la amplitud es modulada.La frecuencia de la amplitud de oscilacion se expresa por

v = («>! — co2)/2tc = Vl— v2 , (12.27)

y es igual a la diferencia de las frecuencias de los movimientos que interfieren.

12.8) Superposition de dos MAS: Igual direccidn, diferente frecuencia 375

Fig. 12-18. Composici6n de dos MAS Fig. 12-19. Fluctuaci6n en amplitud o

de diferentes frecuencias. pulsaciones.

La Fig. 12-19 muestra la variation de A con L La situation descrita tiene lugar

cuando, por ejemplo, dos vibradores de frecuencia muy proximos estan vibrando

simultaneamente en lugares muy cercanos. Se observa una fluctuation en la

intensidad de los sonidos, llamadas pulsaciones, que se deben al cambio en

la amplitud a, como se ilustra en la Fig. 12-19.

Una situation interesante ocurre cuando Ax= Av esto es, cuando las dos am-

plitudes son iguales. Entonces usando la ec. (M.7) obtenemos

x = xx + x2

= Ax(sen a^t + sen ca2

— 2AXcos i^— (o

2)t sen £(«>i + a>2)t,

(12.28)

indicando que el movimiento es oscilatorio con frecuencia angular £(cox + o>2) yamplitud

A = 2AXcos i(Wl — co

2)L (12.29)

Fig. 12-20. Pulsaciones cuando las dos ;miplitudes son iguales.

Este resultado puede obtenerse directamente de la ec. (12.26) haciendo A2 = A± .

El grafico de x en funcion del tiempo / se ilustra en la Fig. 12-20, en la cual la

linea punteada muestra la modulation de la amplitud.

376 Movimiento oscilatorio{12.9

12.9 Superposicidn de dos MAS: direcciones perpendiculares

Consideremos ahora el caso en el que una particula se mueve en un piano de talmodo que sus coordenadas iej oscilan con movimiento armonico simple. Exa-minaremos primero el caso en el que los dos movimientos tienen la misma fre-cuencia. Escogiendo nuestro origen del tiempo de modo que la fase inicial delmovimiento a lo largo del eje X sea cero, tenemos para la coordenada x

(12.30)x = A sen cot.

El movimiento a lo largo del eje Yes descrito por la ecuacion

y = B sen (cot + 8), (12-31)

donde 8 es ahora la diferencia de fase entre las oscilaciones x e y. Nosotros nemossupuesto que las amplitudes A y B son diferentes. La trayectoria de la particulaesta obviamente limitada por las lineas x = ±Aey = ±B.

Consideraremos ahora algunos casos especiales. Si los dos movimientos estan enfase, 8 = Oej/=Bsenco/, que pueden combinarse con la ec. (12.30) para dar

y = (BIA)x.

Esta es la ecuacion de la linea recta PQen la Fig. 12-21, y el movimiento queresulta es armonico simple, con amplitud

V A2 + B2, debido a que el desplazamiento

a lo largo de la linea PQ es

r = \x* + y* = YA^+B* sen cot.

(12.32)

Si los movimientos estan en oposicion, 8 == it e y = — B sen cot. Combinado con la

Fig. 12-21. Compostcion de dosMAS de la misma frecuencia pero - - a ~ „en direcciones perpendiculares. La ec. (12.30), esto datrayectoria depende de la diferenciade fase. B

y = —— x,A

la cual es la ecuacion de la linea recta RS. El movimiento es nuevamente armonicosimple con amplitud ]/ A* + B2

. Entonces decimos que cuando 8 = 6 it, lainterferencia de los movimientos armonicos simples perpendiculares de la mis'mafrecuencia da lugar a una polarization redilinea.

Cuando 8 = w/2, se dice que los movimientos a lo largo de los ejes X e Y estanen cuadratura; e

y = B sen (col + it/2) = B cos cot.

Combinada con la ec. (12.30), da

*"+ V

A2 B21,

12.9) Superposition de dos MAS: direcciones perpendiculares 377

que es la ecuacion de la elipse ilustrada en la Fig. 12-21. La elipse es recorrida

en la direction de las agujas del reloj. Esto puede verificarse encontrando la

velocidad de la particula en el punto x = + A, en la cual la velocidad es paralela

al eje Y. En este punto, de la ec. (12.30), debemos tener sen ot = 1. La compo-

nente Y de la velocidad es vy= dyjdt =—coB sen cot =— a>B. Por ser negativa

el punto pasa por A moviendose hacia abajo, lo cual corresponde a una rotaci6n

en el sentido de las agujas del reloj. Se obtiene la misma elipse si S = 3*/2 6— tc/2,

pero el movimiento es en sentido contrario a las agujas del reloj (^puede el estu-

diante verificar esta proposici6n?). Luego, podemos decir, que cuando la dife-

rencia de fase B es ± tc/2p la interferencia de dos movimientos armonicos simples

de la misma frecuencia y direcciones perpendiculares da lugar a polarization

diptica, con los ejes de la elipse paralelos a las direcciones de los dos movimientos.

Cuando A = B 9la elipse se transforma en un circulo y tenemos polarization

circular. Para un valor arbitrario de la diferencia de fase S, la trayectoria es alin

una elipse pero sus ejes estdn rotados con respecto a los ejes de coordenadas.

En la Fig. 12-22 se muestran las trayectorias para ciertas diferencias de fase.

r ^V )

5 =

\VL)

5=]

(

20°

\)

§s5 = 150° S = 180c

/s^>

c/3 = 240

c

5 = 270° 5 = 30Oc

^\\^5 = 210°

5 = 330° 6 = 360c

Fig, 12-22. Trayectorias para diferencias de fases selectas,

De acuerdo con la secci6n 12.33, los movimientos descritos por la ec. (12.30)

y (12.31) requieren fuerzas a lo largo de los ejes X e Y iguales a Fx = — kx yF'g = — ky. La fuerza resultante que actiia sobre la particula es por lo tanto

F = UXFX + UyFy =— — kiUxX + uyy) = — kr, (12.33)

siendo r = OP (Fig. 12-23) el vector posici6n de

la particula. Por tanto el movimiento que hemos

descrito cinemdticamente en esta secci6n es de-

bido a una fuerza central atractiva proportional

al desplazamiento.

La fuerza dada por la ec. (12*33) produce siem-

pre un movimiento piano aun si la particula se

mueve en el espacio, debido a que la fuerza es

o

*>'

/V« .'/)

"'.'/

Fig, 12-23. Fuerza de atrac-

ci6n proportional al desplaza-

miento*

378 Movimiento oscilatorio (12.9

central y, por consiguiente, la trayectoria m&s general bajo tal fuerza es unaelipse* La energia potencial correspondiente a la fuerza de la ec. (12.33) es (recor-

dar el ejemplo 8.8):

Ep = }/c(x2 + z/2) = ±kr\ (12.34)

2/20 N,M

1,9

'I •Oil .

,>°j ±u

3,11V

4.12*^

-'' Nu

4>,14

5.13

Fig, 12-24. Figuras de Lissajous para«*«/«! =!y una diferencia de fase de tt/6.

Otra situation interesante es la interferencia de dos movimientos oscilatorios

perpendiculares de frecuencias diferentes. Esto es,

x — Axsen m

xU y = A2 sen (<w2/ + 8). (12.35)

La Fig, 12-24 ilustra el caso para el cual ^ = jcu^ y S = tt/6. La trayectoria

resultante es la linea s61ida. Tal trayectoria depende de la relacion cojo^ y dela diferencia de fase S. Estas trayectorias se llaman figuras de Lissajous, y se

ilustran en la Fig. 12-25 para diferentes valores de la relacion coj^ y varias dife-

rencias de fase en cada caso.

12.9) Superposition de dos MAS: direcciones perpendiculares 379

5

1:2

1:3

2:3

Fig. 12-26. Figuras de Lissajous. Dependen de la relacitfn coa/toj y de la diferencia

de fase*

380 Movimiento oscilatorio (12.10

12.10 Osciladores acoplados

Una situation encontrada frecuentemente es aquella de dos osciladores acoplados.

En la Fig. 12-26 se ilustran tres situaciones posibles. En (a) tenemos dos masasmx y m^ unidas a dos resortes ^ y A2 y acopladas por el resorte k, de modo quelos movimientos de mx y m2 no son independientes. En (b) tenemos dos pendulos

acoplados por la cuerda AB. En (c), los cuerpos Ix e J2 unidos a las barras kx y k

2

est&n acoplados por la barra kf formando dos pendulos de torsibn acoplados.

Encontraremos una situaci6n similar en la secci6n 17.11 (volumen II) cuandoestudiemos circuitos electricos oscilantes acoplados. El efecto total del acopla-

miento de dos osciladores puede describirse como un intercambio de energia

entre ellos.

w////////^^^^^^^

k] k k9

'mw///////,

(a) (b)

Fig. 12-26. Varios tipos de osciladores acoplados.

Para discutir el problema din&micamente, debemos establecer la ecuacidn demovimiento de cada oscilador. Consideremos el caso especial de dos masas m1

y m2 unidas a resortes (Fig. 12-27). Llamemos Xj y x2 los desplazamientos de m± y7% a partir de su posici6n de equilibrio, medidos como positivos cuando est&n ala derecha. Luego el resorte kx ejerce una fuerza — k

xxt sobre mv y similartnente

k2 ejerce una fuerza— k^ sobre n^. El resorte k ha sufrido una elongaci6n x^— a^

jr, por lo tanto, las fuerzas que ejerce sobre cada particula cuando trata de recobrar

l

— kyXx

,/

Posiciones de equilibrio

^ i

*i

k(x2 ~x1 )

my

y

m2

%2i*2 1

Fig. 12-27. Osciladores acoplados.

12.10) Osciladores acoplados 381

su longitud original son k(x2— xx)

sobre m1 y — k(x

2— x

x)sobre /n

2. Entonces

la ecuacion de movimiento de cada particula [usando la ec. (7.15), m dPxjdP -F] es

mi-^jt = — k1xl + k(x2— x

1)

I*h— K2X2 k{X% Xx).

Combinando terminos similares, podemos escribir

&xxkx + k _ k

,- — -f- Xi XadP m

1

x m1

a

(12.36)

d2*.— -j- —fcr; Xg — X^,

dP m2mg

Los lados de la izquierda de estas ecuaciones son muy similares a la ec. (12.12),

excepto que la constante elastica es kx + k y k2 + k. Esto, en vista de la ec. (12.7),

es equivalente a un cambio en la frecuencia de oscilaci6n con respecto a las fre-

cuencias cuando no estan acoplados. Otra diferencia en la ec. (12.36) con respecto

a la ec. (12.12) es que, en lugar de cero en el miembro de la derecha, tenemos

un t£rmino que se refiere a cada oscilador. A este termino podemos llamarlo el

tirmino de acoplamiento. En lugar de intentar obtener la solution general de

la ec. (12.36) indicaremos los resultados principales, limitdndonos al caso especial

de dos osciladores identicos de modo que m1= m

2 y kx= kr Este caso, aunque

mis simple, tiene esencialmente todas las caracteristicas del caso general. En-

tonces las ecs. (12.36) son:

d% __ kx + k _ k (fir

2k± + k __ k

X} — Xg, -| Xg — Xj*

dP m1

x ml

* dP mx

* mx

(12.37)

Puede demostrarse que el movimiento general de dos osciladores acoplados,

descrito por las ec. (12.37) puede considerarse como la superposici6n de dos

modos normales de oscilacion. En uno de los modos normales, los dos osciladores

se mueven en fase con amplitudes iguales. Esto es

xx— A

xsen (a^t + o^), x

2= A

xsen (co

xt + a^, (12.38)

donde

Esto es, la frecuencia de los osciladores acoplados es la misma frecuencia de

oscilaci6n que cada masa tendria si no hubiera acoplamiento. Esto es facilmente

comprensible porque, como los osciladores tienen igual amplitud y estan en fase,

382 Movimiento oscilatorio (12.10

el resorte central no sufre ningun estiramiento y por lo tanto no ejerce ningunafuerza sobre las masas, las cuales se mueven como si no estuvieran acopladas.En el segundo modo normal, los dos osciladores se mueven en oposici6n con

amplitudes iguales. Esto es,

donde

xx= A

2sen (a>2t + otg), x2 = — A

2 sen (cozt + otg),

oj2 = V (k± + 2k)/mv

(12.40)

(12.41)

y entonces la frecuencia es mayor que la frecuencia sin acoplamiento. Esto es

fccilmente comprensible ya que ahora el resorte central se estira y se comprime,

y esto equivale a aumentar la constante elastica de cada oscilador. Estos dos mo-dos normales de oscilacion estan representados esquematicamente en la Fig. 12-28.

Los modos normales (12.38) y (12.40) corresponden a una situacion en la cuallas dos masas se mueven con diferencia de fase constante, la cual es cero en el

modo (12.38) y tc eji el modo (12.40). Las dos masas pasan simultaneamente atraves de su position de equilibrio y alcanzan sus desplazamientos maximossimultaneamente.

i

xv X2

m W2

Fig. 12-28. Vibraciones normales de dos osciladores acoplados identicos.

La solucion general de las ecs. (12.37) es una combination lineal de los modosnormales de oscilacion. Esto es

xi = A

i senW + ai) + \ sen (co2t + a

2)

x2= A

x sen (eo^ + Oj)— A2 sen (co

2t + a

2).

(12.42)

(12.43)

Podemos ver que estas dos ecuaciones expresan la solucion general de la ec. (12.37)

ya que contienen cuatro constantes arbitrarias; Av av A2 y a

2 , como correspondea un sistema de dos ecuaciones diferenciales acopladas de segundo orden. Estasdos ecuaciones indican que x

1 y x2 son los resultados de las interacciones de dos

movimientos armonicos simples en la misma direction pero de frecuencia y fase

distintas, una situacion ya discutida en la section 12.8. Por lo tanto lo que se

explico en dicha ocasion se aplica en este caso.

Para una mejor comprension de la fisica del problema, consideremos el caso

especial de amplitudes iguales, Ax= A

2 , y supongamos que las fases iniciales

son cero (ax = «

2 = 0). Entonces usando la ec. (M.7), tenemos

xx= A

xsen ojxt

-+- Axsen w2

t = A^sen (oxt + sen ct>2/)

= [2AXcos i^— <o2)t] sen £(0^ + m2

)t

12.10) Osciladores acoplados 383

x2= A

1 sen a^t— Axsen o^t = ^4

1(sen a^t— sen wj)

= [2AXsen ifcoj— o%)t\ cos K<*>i + «*)'•

Comparando estas expresiones con la ec. (12.29), vemos que la amplitud mo-dulada de x

xes 2A cos ^(a^— co2)/, pero la amplitud modulada de x

2es 2A sen

^(tt>!— (o^t = 2A cos [^((Ox— cwgjf— tt/2], Vemos entonces que las dos ampli-

tudes moduladas tienen una diferencia de fase de n/2, un cuarto del periodo

modulante. Las variaciones de xt y x% en funci6n de t se ilustran en la Fig. 12-29.

Debido a la diferencia de fase entre las dos amplitudes modulantes hay un inter-

cambio de energia entre los dos osciladores. Durante un cuarto del periodo modu-

lante, la amplitud modulante de un oscilador disminuye y la del otro aumenta,

dando lugar a una transferencia de energia del primero al segundo. Durante el

siguiente cuarto del periodo, la situaci6n se invierte y la energia fluye en la direc-

ci6n opuesta* El proceso se repite continuamente. Esto puede observarse usando

dos pendulos como se indica en la Fig. 12-26(b).

Fig. 12-29. Osciladores acoplados de igual amplitud.

Es tambien interesante considerar la energia total del sistema. La energia

cinetica total es Ek = \mxv\ + %m2v%. Para obtener la energia potencial aplica-

mos la ec. (12.10) a cada resorte lo cual da Ep = J/^x? + \k^t\ + $k(xt— x^2

, ya

que xv x2 y Xj— x2son las elongaciones de cada resorte,

ep = k*i + k)A + ±(*2 + *W AiViXn»

La energia total es entonces

E=Ek + Ep = [\mtf + K*i + k)x\]

+ (Wl + i(*a + *K1 — **A- (12.44)

384 Movimiento oscitatorio (12.10

El termino del primer parentesis depende solamente de ilf y puede Uamarsela energia de m^ el termino del segundo parentesis corresponde a la energia de m

2 .

Pero el ultimo termino contiene tanto xtcomo x2 , y se denomina la energia de

acoplamiento o de interaction. Este termino es el que describe el intercambio deenergia entre los dos osciladores. En la ausencia de este termino, la energia de cadaoscilador es constante. Cuando hay un acoplamiento, la energia total es cons-tants Este es un resultado general como vimos en el capitulo 9, cuando dossistemas interactiian, dando por resultado un intercambio de energia, la energiatotal del sistema es de la forma

E = (Ek + Ep\ + (Ek + Ep\ + (£p)us (12.45)

donde el ultimo termino representa la interaction.

Los osciladores acoplados se encuentran en muchas situaciones fisicas, como se

indico lineas arriba, Un caso importante es la vibration de los Atomos en unamolecula. Una molecula no es una estructura rigida y los atomos oscilan conrespecto a su posicion de equilibrio. Sin embargo, la oscilacion de cada Atomoafecta su interacci6n con los otros, y entonces forma un sistema de osciladoresacoplados.

Consideremos, por ejemplo, el caso de0—0 0-0^— —-0

0'

una molecula triatomica tal como C02 .

Geometricamente esta molecula tiene el

(a) ordenamiento 0=0=0, como se indica"2 en la Fig. 12-30, y es similar a los os~

ciladores de la Fig. 12-27. El movimientorelativo de los tres Atomos puede descri-

birse en funcion de osciladores normales.

En la Fig. 12-30(a), los Atomos de oxige-

^ no oscilan en fase, con el Atomo de car-

bono moviendose en direcci6n opuesta

para conservar la posicion del centro de

(c)T masa. Este modo corresponde a la oscila-

cion o>j de la Fig. 12-28. En la Fig. 12.30(b)Fig. 12-30, Vibraciones normales de ios dos atomos de oxigeno se muevenla molecula de C0 2 . -. A .2 en direcciones opuestas, con respecto al

Atomo de carbono, que permanece fijo

en el centro de masa. Este modo corres-

ponde a la oscilaci6n to2 de la Fig. 12-28. La situation de la Fig, 12-30(c) no se haconsiderado previamente. Corresponde a un movimiento perpendicular a la linea

que une los Atomos con una frecuencia angular oj3, resultando en una flexion dela molecula. Para la molecula de C02 , los valores de las tres frecuencias angu-lares son

cox= 4,443 x 1014 s-1, co2 = 2,529 x 1014 s-1, o>3

= 1,261 x 101* S"1.

Si la molecula no es lineal o tiene mAs de tres Atomos, el analisis de las osci-

laciones normales se vuelve mAs complicado, pero es esencialmente el mismo.

12, 11) Oscilaciones anarmonicas 385

^> ,r\ &w(a) (b) (e)

Pig. 12-31. Vibraciones normales de la molecula de H2U.

Por ejemplo, para la molecula de H20, en la cual el atomo se encuentra a cada

lado, las vibraciones normales se ilustran en la Fig, 12-31. Sus frecuencias son

3,017 x 1014 s-1, 6,908 x 1014 s"1 y 7,104 x 1014 S"1.

12.11 Oscilaciones anarmdnicas

El movimiento armonico simple es generado por una fuerza F = — kx corres-

pondiente a una energia potencial Ep = ^Ax2 , midiendose x a partir de la posici6n

de equilibrio 0. Cuando la posicion de equilibrio se encuentra en x en lugar del

origen como en la Fig, 12-32, entonces debemos escribir

Ep = $k(x— Xq)2.

El grafico de Ep es una parabola con su vertice en x . Si la energia total Eintersecta Ep en A y en B, la particula oscila entre las posiciones x

x y x2, que

estan colocadas simetricamente con respecto a x . Notando que

dEp/dx = k(x — x ) y <PEPldx2 = k,

podemos escribir para la frecuencia angular

to = ykfm = Y (d*EPldx2)lm. (12.46)

Consideremos ahora el caso en que la energia potencial no es una parabola

pero tiene un minimo bien definido, como se indica en la Fig. 12-33. Esta es la

situaci6n encontrada mas a menudo en sistemas fisicos y da como resultado un

movimiento oscilatorio anarmonico. Si la energia total de la particula es E, la par-

ticula oscilara entre las posiciones xx y x

2las cuales son asimetricas con respecto

a la posicion de equilibrio x . La frecuencia de las oscilaciones depende ahora de

la energia. Para obtener un estimado de la frecuencia se procede como sigue.

Dada una funci6n f(x) 9 el teorema de Taylor* (ver ec. M.31) nos permite expre-

sarla como una serie de potencias,

f(x) = f(x ) + (dfldx) (x~ x ) + ±(<Pfldx%(x~ x f

+ &<Pfld3?) (x-xoy+ ....

* Ver G. B. Thomas, C&lculo infinitesimal y geometrla analltica> tercera edicidn. Madrid : Agui-l*u\ 1961, pag. 720.

12*12) Oscilaciones amortiguadas 387

El primer termino es la fuerza armonica simple y Ios otros son Ios terminosanarm6nicos.

EJEMPLO 12.10. Obtener la frecuencia de oscilaci6n correspondiente al potencialintermolecular dado en el ejemplo 8.11.

Soluci&n: El potencial intermolecular es

^--M'&r-fryi-donde r es la separaci6n de equilibria Asf

d*Er / -6

dr*

Poniendo r = r 0) obtenemos

--^o(84^-156^-)

(d*EP \

\ dr* L 722 -

o r$

Entonces, usando la ec» (12,48), encontramos que la frecuencia de oscilaci6n es

aproximadamente 6i = ^12EPl Jmrl.En esta f6rmula m es la masa reducida, ya que estamos discutiendo el movimiento

relativo de dos moteculas. Si calculamos r por algun m^todo independiente y ob-servamos o experimentalmente, podemos determinar la energia EP90 de la interac-ci6n molecular. Al resolver este problema hemos supuesto que el oscilador es lineal,

de modo que el potencial centrffugo (secci6n 8.10) no interviene en el problema.

12.12 Oscilaciones amortiguadas

La discusidn del movimiento armonico simple en las secciones previas indica

que las oscilaciones tienen amplitud constante. Sin embargo, por experiencia,

sabemos que la amplitud de un cuerpo vibrante tal como un resorte o un pendulo,con una amplitud que decrece gradualmente hasta que se detiene. Esto es, el

movimiento oscilatorio es amortiguado.

Para explicar din&micamente el amortiguamiento podemos suponer que, enadicion a la fuerza elastica F = — kx, actiia otra fuerza, opuesta a la velocidad.

En la secci6n 7.10 consideramos una fuerza de esta clase, debida a la viscosidad

del medio en el cual el movimiento tiene lugar. Siguiendo la logica de la sec-

ci6n 7.10, escribiremos esta fuerza como F' = — Xu9 donde x es una constante yv es la velocidad. El signo negativo se debe al hecho que F' se opone a v. N6teseque otros tipos de fuerzas de amortiguamiento — proporcionales a potencias

mayores de la velocidad, o con otras relaciones fisicas diferentes— pueden pre-

sentarse en varias situaciones fisicas. La fuerza resultante sobre el cuerpo es

F + F\ y su ecuacion de movimiento es

ma = — kx— \v9

*

(12.50)

o, recordando que v = dxfdt y que a = d2x/dP tenemos

d?x dx+ x— + /rx=0. (12.51)m

dP di

388 Movimiento oscilatorio (12.12

Esta ecuaci6n se escribe usualmente en la forma

dP dt(12.52)

donde 2y = Vm y ^o = ^/m es ^a frecuencia angular sin amortiguamiento.

Esta es una ecuacion diferencial que difiere de la ec. (12.12) del movimiento

armonico simple, en que contiene el termino adicional 2y dxjdt Su solucion puede

obtenerse mediante la aplicacion de tecnicas aprendidas en el curso de calculo.*

En lugar de intentar resolverla de una manera formal, escribamos su solucion

para el caso de pequeno amortiguamiento, cuando y < <*v La soluci6n es entonces

x = Ae-f1 sen (cot + a), (12.53)

donde A y a son constantes arbitrarias determinadas por las condiciones iniciales

(como se explic6 en el ejemplo 12.3 para el caso de movimiento armonico simple), y

co = y co%— r2 = ]/kfm — X2/4/n2. (12.54)

El estudiante puede verificar por sustitucion directa que la ec. (12.53) es una

soluci6n de la ec. (12.52). Como contiene dos constantes arbitrarias es la solucion

general de la ecuacion diferencial. La ec. (12.54) indica que el efecto -del amorti-

guamiento es disminuir la frecuencia de las oscilaciones.

La amplitud de las oscilaciones no es constante y esta dada por Ae~^1. Debido

al exponente negative la amplitud decrece a medida que el tiempo aumenta,

resultando un movimiento amortiguado. La fig. 12-34 muestra la variation de x

en funcion de /.

-4<r*

Fig. 12-34. Oscilaciones amortiguadas.

Si el amortiguamiento es muy grande, y puede ser mayor que ojq y o>, dada por

la ec. (12.54), se vuelve imaginaria. En este caso no hay oscilaciones y la particula

si se la desplaza y se la deja libre, se aproxima gradualmente a la position de

* Ver por ejemplo, Cdlculo infinitesimal y geometria analittca, tercera edici6n > por G. B. Thomas.Madrid; Aguilar, 1964, sec. 18,9,

12.13) Oscilaciones forzadas 389

equilibrio sin pasarla, o a lo m£s pasindola una sola vez. La energia perdida por

la particula en oscilaciones amortiguadas es absorbida por el medio que la rodea.

EJEMPLO 12*11. Un p&idulo consiste de una esfera de aluminio de 0,005 m deradio suspendida de una cuerda de 1 m de largo. Determinar c6mo la viscosidaddel aire afecta su amplitud y su periodo,

Soluci6n: De la secci6n 7,10 sabemos que la fuerza viscosa que actua sobre unaesfera de radio R que se mueve en un fluido con velocidad v es F = — 6*7)/fc>.

Asi podemos encontrar la ecuaci6n del movimiento tangencial del pfridulo agre-gando — a la fuerza Ft = —mg sen 9 as —mgb obtenida en la secci6n 12.5 parapequenas amplitudes - la fuerza viscosa, con v = ds/dt = I dQ/dtf donde I es la

longitud del p£ndulo. Por consiguiente

dt**

' dt dP m -4t I

la cual es una ecuaci6n diferencial matematicamente identica a la ec. (12.52).

Poniendo m — (4nR*/3)p, donde p es la densidad de la esfera de aluminio, igual

a 2,65 x 10 s kgm -3, llegamos a la conclusion que

2(4Tci?3/3)P 4R*p

La viscosidad del aire, suponiendo una temperatura de 20*C, es 1,78 x 10"1

m^kgs- 1. Asi y = 6,43 x 10~4 s _I . Por tanto la amplitud decrece de acuerdo

a la ley Ae-0 *000643*. El tiempo necesario para que la amplitud se reduzca al 10 %se obtiene igualando el exponente a 0,9 6 — 6,43 x 10-*/ = In 0,9. El tiempo es

de 1,64 x 10 as, o alrededor de 27 minutos.

Para ver cdmo la viscosidad del aire afecta la frecuencia (o el periodo) de las

oscilaciones usamos la ec. (12.54), notando que o>J = g/L Asi o> = \ g/l— y1

. Perog/l = 9,8 s

-", mientras que y

a en nuestro caso es del orden de 4 x 10~7 s~\ des-preciable comparada con g/L Asi, llegamos a la conclusion que la viscosidad del aire

practicamente no afecta la frecuencia o periodo del p£nduIo considerado en este

ejemplo, aunque afecta su amplitud.

12,13 Oscilaciones forzadas

Otro problema de gran importancia es aquel de las vibraciones de un oscilador,

esto es, las vibraciones que resultan cuando aplicamos una fuerza oscilatoria

externa a una particula sometida a una fuerza elastica, Esto sucede, por ejemplo,

cuando colocamos un vibrador en una caja resonante y forzamos las paredes

de la caja (y el aire dentro), a oscilar, o cuando las ondas electromagneticas,

absorbidas por una antena, actuan sobre el circuito electrico de nuestro radio

o nuestra television, produciendo oscilaciones electricas forzadas.

Sea F = F cos <Oft la fuerza oscilante aplicada, siendo su frecuencia angu-

lar o)f. Suponiendo que la particula est£ sometida a una fuerza elastica — kx y a

una fuerza de amortiguamiento — x#, su ecuaci6n de movimiento es ma == — kx— \v + F cos WfU Realizando las sustituciones v = dxjdt, a — cPx/dP,

tenemos

(Px dxm — _|_ x \- kx = Fa cos o)ftf (12.55)dP dt

o ft v /

390 Movimiento oscilatorio (12.13

la cual, si suponemos 2y = ~h.jm y a>\ = kjm, puede escribirse en la forma

—-- + 2y—- + <ygx = —^ cos a»/<.

car at m (12.56)

Esta es una ecuacion diferencial similar a la ec. (12.52), difiriendo solamente

en que el miembro de la derecha no es cero. Podriamos resolverla por metodos

matem&ticos normales; en lugar de ello usemos nuestra intuition fisica como guia,

Parece logico que en este caso la particula no oscilara con su frecuencia angular

no amortiguada coQ ni con la frecuencia angular amortiguada ]/ aft — y2

. En su

lugar, la particula serd forzada a oscilar con la frecuencia angular a)f de la fuerza

aplicada. Luego supondremos como posible solu-

A cion de la ec, (12*56), una expresion de la forma

x = A sen (coft— a), (12.57)

donde, por conveniencia, se ha dado un signo

negativo a la fase inicial a. La sustitucion direc-

ta en la ecuacion demuestra que sera satisfac-

toria si la amplitud estd dada por*

A = F fm

Fig. 12-35. Variation de la

amplitud con la frecuencia defuerza aplicada.

y la fase inicial del desplazamiento por

(12.58)

tgaft)?— a>§

2yco/(12.59)

Notese que tanto la amplitud A como la fase inicial a no son ya constantes arbi-

trarias, sino cantidades fijas que dependen de la frecuencia &>/ de la fuerza apli-

cada. Matem&ticamente esta significa que hemos obtenido una solucion "par-

ticular" de la ecuaci6n diferenciaL La ec. (12.57) indica que las oscilaciones for-

zadas no estan amortiguadas, pero tienen amplitud constante y frecuencia igual

a aquella de la fuerza aplicada. Esto significa que la fuerza aplicada supera a las

fuerzas de amortiguamiento, y proporciona la energia necesaria para mantener

las oscilaciones.

En la Fig. 12-35 la amplitud A esta representada en funcion de la frecuencia aif

para un valor dado de x. La amplitud tiene un maximo pronunciado cuando el

denominador de la ec. (12.58) tiene su valor minimo. Esto ocurre para la fre-

cuencia coa* dada por

coA = y<4— 2y2 = J/kjm ~ X2/2m2

. (12.60)

* Para verificar esto, desarr611ese primero sen (ojft — a) y sustittiyase el resultado en la ec. (12.56).

Luego, igualense los coeficientes de sen a>/f y cos a>/f, respectivamente, en ambos lados de la ecua-

ci6n. De las dos ecuaciones asf obtenidas, encu£ntrense las ec, (12.58) y (12.59) inmediata-mente.Se demuestra en la teorfa de ecuaciones diferenciales que la solucion general de la ec. (12.56)

se obtiene sumando a la ec. (12.53), que es soluci6n de la ec. (12.52), la ec. (12.57). Sin embargo,ya que la ec. (12.53) corresponde a una oscilacion amortiguada, se hace despreciable rapida-

mente y puede ignorarse. Por esta razon se le denomina usualmente el ttrmino transitorio.

12JS) Oscilaciones forzadas 391

Cuando la frecuencia (ofde la fuerza aplicada es igual a o>A% se dice que hay

resonancia en la amplitud. Cuanto menor es el amortiguamiento mis pronunciada

es la resonancia, y cuando X es cero, la amplitud de resonancia es infinita y ocurre

para coa = <*>o— ¥ fym. La Fig. 12-36 muestra la variaci6n de la amplitud A en

funci6n de la frecuencia a>fpara diferentes valores del amortiguamiento x.

La velocidad del oscilador forzado es

v = dx

If= (OfA COS (toft— a),

(12.61)

Comparando con la expresi6n F = Fcos (Oft de la fuerza aplicada, vemos que

a representa el desfasaje de la velocidad

con respecto a la fuerza. La amplitud de

la velocidad vQ es

v =(ofA = (OfFJm

la cual puede escribirse tambien en la forma

"o=

y(m(Of~klo)ff + x2

(12.62)

Fig. 12-36. Variaci6n de la ampli-tud de las oscilaciones forzadas (en

la figura, Xa es mayor que X,).

La cantidad v varia con <*>/, como se indica en la Fig. 12-37, y adquiere su

mdximo valor cuando la cantidad dentro del parentesis del denominador es cero,

m(Of— kjo>f = 0, 6

(Of = y kjm = ct>. (12.63)

A esta frecuencia de la fuerza aplicada, la velocidad e igualmente la energia

cinetica de las oscilaciones son mdximas, y se dice que hay resonancia en la energta.

N6tese que la ec. (12.63), cuando se sustituye en la ec. (12.59), da a = 0. Esdecir la resonancia en la energia ocurre cuando la frecuencia de la fuerza aplicada

es igual a la frecuencia natural del oscilador sin amortiguamiento, y en este caso

la velocidad se encuentra en fase con la fuerza aplicada. Estas son las condiciones

mds favorables para transferencia de energia al oscilador, ya que la variaci6n

con respecto al tiempo del trabajo hecho sobre el oscilador por la fuerza aplicada

es Fv, y esta cantidad es siempre positiva cuando F y v estdn en fase. Por con-

siguiente

cuando hay resonancia en la energta la transferencia de energia de

la fuerza aplicada al oscilador forzado esta al mdximo.

Cuando el amortiguamiento es muy pequeno no hay gran diferencia entre las

frecuencias correspondientes a la resonancia en la amplitud y la resonancia enla energia.

392 Movimiento oscilatorio (12.13

La resonancia puede ilustrarse con un experimento muy simple. Si de unamisma cuerda, suspendemos varios pendulos como se indica en la Fig. 12-38, yponemos el pendulo P en movimiento, los otros comenzaran tambien a oscilar de-

bido a su acoplamiento. Sin embargo, de los cinco pendulos forzados a oscilar,

aquel que oscila con la mayor amplitud es el niimero 3, el cual tiene la mismalongitud que P y por consiguiente la misma frecuencia natural, ya que el amor-tiguamiento es despreciable y no hay distincion entre las resonancias en la am-plitud y en la energia en este caso.

A a

Fig. 12-37. .VariacUm de la ampli-tud de la velocidad de la oscilaci6n

forzada con la frecuencia de la

fuerza aplicada.

15

4

Fig, 12-38. Resonancia en la

amplitud en el movimientopendular.

El fenomeno de resonancia se encuentra en casi todas las ramas de la fisica.

Se observa siempre que un sistema es sometido a una action externa que varia

periodicamente con el tiempo. Por ejemplo, si un gas esta colocado en una region

en la cual existe un campo electrico oscilatorio tal como una onda electromag-

netica, se induction oscilaciones forzadas en los atomos que forman las moleculas

del gas, Considerando que, como se explico al final de la section 12.10, las mo-leculas tienen frecuencia naturales de vibracion definidas, la energia de absorcion

sera un maximo cuando la frecuencia del campo electrico aplicado coincida con

una de las frecuencias naturales de vibracion de las moleculas. Por medio de este

principio podemos obtener el espedro vibrational de las moleculas. Similarmente,

podemos considerar los electrones en un atomo como osciladores que tienen

ciertas frecuencias naturales. La energia que absorbe un atomo de un campoelectrico oscilante es maxima cuando la frecuencia del campo coincide con una

de las frecuencias. naturales del atomo. Algunos cristales, tales como el cloruro

de sodio, estan compuestos de particulas positivas y negativas (llamadas iones).

Si el cristal es sometido a un campo electrico oscilante externo, los iones posi-

tivos oscilan relativamente con respecto a los iones negativos. La energia de

absorcion por el cristal est& al m£ximo cuando la frecuencia del campo electrico

coincide con la frecuencia natural de la oscilacion relativa de los iones, la cual

en el caso de cristales de cloruro de sodio es aproximadamente de 5 x 1012 Hz.

Quizes el ejemplo m£s familiar de resonancia sea lo que sucede cuando sinto-

nizamos una radio a una estacion radioemisora. Todas las estaciones radioemisoras

12.14) Impedancia de an oscilador 393

est£n produciendo todo el tiempo oscilaciones forzadas en el circuito del receptor.

Pero, para cada position del sintonizador, corresponde una frecuencia natural

de oscilacion del circuito electrico del receptor. Cuando esta frecuencia coincide

con aquella de la radio emisora, la energia de absorcion esta al maximo, y por ello

es la unica estacion que podemos oir. Si dos estaciones tienen frecuencias muyproximas, algunas veces las oimos simultaneamente, lo que da lugar a un efecto

de interferencia.

Podemos extender el concepto de resonancia a muchos procesos en los cuales

hay consideraciones favorables para la transferencia de energia de un sistema a

otro, aun si no podemos describir el proceso en funcion de oscilaciones forzadas.

En este sentido es posible hablar de resonancias en reacciones nucleares y en

procesos que tienen lugar entre particulas fundamentals. Asi considerado el

concepto de resonancia en la energia juega un papel importante en la description

de muchos fen6menos.

12.14 Impedancia de un oscilador

Un oscilador amortiguado se caracteriza por tres cantidades: su masa m, la cons-

tante etestica k, y la constante de amortiguamiento X. En las formulas de la

secci6n 12.13, estas cantidades siempre aparecen en combinaciones especiales con

frecuencia a*f de la fuerza aplicada.

La cantidad que aparece en el denominador de la ec. (12.62) se denomina la

impedancia del oscilador, y se designa por la letra Z. Luego

Z =y (mo)/— k[o)fy + x2 .

Similarmente, la readancia X y la resistencia R se definen por

X = ma>f— k/a>ft R = X.

Por consiguiente

Z = V X2 + fl2 .

(12.64)

(12.65)

(12.66)

Z = VX2+R2

X = mwf

R=\

Fig. 12-39. Relaci6n entre impedancia, Fig. 12-40. Helaci6n entre los vectores

resistencia, y reactancia en oscilaciones rotantes fuerza y velocidad en oscila-

forzadas. ciones forzadas.

394 Mouimiento oscilatorio

Sustituyendo en la ec. (12.59) obtenemos

tg a = XjR.

(12.14

(12.67)

La relaci6n entre Z, X y R se indica en la Fig. 12-39, la cual ayuda a recordar

las f6rmulas precedentes.

De la ec. (12.62) vemos que vQ = FJZ, y la velocidad en cualquier instante es

pV = —- cos (co

ft— a). (12.68)

Esto signiflca que la fuerza y la velocidad pueden representarse por vectores

rotantes, como se indica en la Fig. 12-40. Notar que si a es positiva el vector ro-

tante v se atrasa con respecto al vector rotante F , y si a es negativa, el vector

rotante i>Q se adelanta a F . Cuando hay resonancia a = 0, y v y F tienen la

misma direction. La potencia transferida al oscilador es

P = FoPI

COS (Oft COS (toft— a),

Desarrollando el segundo coseno y multiplic£ndolo por el primero, tenemos

FtP = ^- (cos2 (Oft cos a — cos (o

ft sen o)ft sen a).

Zi(12.69)

Nosotros estamos m&s interesados en la potencia promedio, P, ya que esto es

lo que importa cuando calculamos la energia absorbida por el oscilador en uncierto tiempo. Ahora, de acuerdo a las ec. (M.13) y (M.14),

cos2 (Oft = i(l + cos 2eoff) cos G)ft sen (o

ft = \ sen 2a>/f.

Pero (cos 2<oft) — (sen 2fOft) = 0, ya que las curvas seno y coseno son positivas

la mitad del tiempo y negativas la otra mitad, pero en la misma medida. Por

consiguiente (cos2 (Oft) = \ y (cos ay sen (ofi) = 0, lo que da por resultado final

P/(P):

Fl lc . FIR2Z

°0S*=

* °y°C0S a =

2&=«(12.70)

Esto comprueba que la maxima transferencia

de energia tiene lugar cuando vQ es un maxi-

mo ya que R es fijo. Cuando se tiene reso-

nancia de energia, a=0yZ=fl, resultando

p2(P)re* = °

2R(12.71)

Fig. 12-41. Relation entre Pey (PEjrcs.

La relaci6n entre P y (P)res se ilustra en la

Fig. 12-41.

12.15) Andlisis de Fourier del movimiento periodico 395

La teoria concerniente a osciladores amortiguados y forzados que hemos formu-

lado en las ultimas tres secciones, aunque referidas especialmente a una particula

oscilante se aplica a cualquier situacidn fisica descrita por una ecuacion como

la ec. (12.52) o la ec. (12.56). En particular, como veremos en el capitulo 17,

este es precisamente el caso de los circuitos electricos.

12.15 Andlisis de Fourier del movimiento periddico

Al comienzo de este capitulo explicamos que el movimiento arm6nico simple es

justamente un caso especifico del movimiento periddico u oscilatorio, Pero un

movimiento peri6dico general P est& descrito por

x = f(0, (12.72)

donde la funci6n f(f) es peri6dica y tiene la propiedad f(t) = f(i + P), como se

muestra en la Fig. 12-42. La grdfica de f(t) se repite a intervalos iguales de P.

Este movimiento general oscilatorio puede expresarse como una combinaci6n de

movimientos arm6nicos simples.

i

x =M .r ==f(t+ P)

1

/ °

—P

Fig. 12-42. Una funci6n peri6dica del tiempo.

Consideremos, como ejemplo, el movimiento cuyo desplazamiento est£ des-

crito por

x = A sen wt + B sen 2cot. (12.73)

Esta expresi6n representa la superposition de dos movimientos armonicos simples

de frecuencias angulares co y 2a> o periodos P y £P. Obviamente x es tambien

periddica, y su periodo ser6 P. Esto puede verse en el gr&fico de la Fig. 12-43,

en el cual la curva (a) corresponde a sen mt y la curva (b) a sen 2tot. Aunque z

es peri6dica, no es armonica simple.

Si sumamos a la ec* (12.73) terminos de la forma sen 3a>f, sen iwt, . ..

,

sen not, . . . de frecuencias angulares 3<u, 4o>, . . .>na) y periodos Pj3, P/4, , « MP/n, . . ., o si sumamos funciones cosenoidales de las mismas frecuencias, obten-

dremos un desplazamiento x que es periddico con periodo P. Su forma exacta

depende del numero de funciones seno y coseno que sumemos, y de sus amplitudes

relativas.

396 Movimiento oscilatorio

x

(12.15

Fig. 12-43* Superposicidn de dos MAS de frecuencia w y 2w.

Asi vemos que sumando movimientos armonicos simples cuyas frecuencias sonmultiples de una frecuencia fundamental y cuyas amplitudes se^n seleccionadascorrectamente, podemos obtener casi cualquier funcion peri6dica arbitraria. Loinverso es tambien valedero, y constituye el teorema de Fourier, demostrado en

91011.

Fig. 12-44. Analisis de Fourier de una funci6n peri6dica.

12.15) Andlisis de Fourier del movimiento periodico 397

textos de matem&ticas* El teorema de Fourier establece que una funcion peri6-

dica f(t) de periodo P = 2kJo> puede expresarse como la suma

x = f(t) =a + axcos a>t + 0% cos 2mt + ... + an cos no>i

+ . . . + bxsen cat + b% sen 2a>/ + . . . + bn sen na)t + * «

.

(12.74)

que se conoce como serie de Fourier. La frecuencia g> se denomina frecuencia fun-

damental y las frecuencias 2<w, 3ct>, .... n<u, ... son las armonicas o sobretonos,

Noia sobre los coeficientes de Fourier: Los coeficientes an y ta se obtienen me-

diante las expresiones

a °= y fm dt

'

an = "p r /(0 cos nco' d'*

ftn = A f /(f) sennorf df, (12.75)

que se derivan en textos de matematicas pero que el estudiante puede facilmente

obtener. Por ejemplo para obtener an , multiplicamos ambos lados de la ec. (12.74)

por cos nt*t e integramos, todos los terminos dan cero excepto afl . Para bn , usaraos

sen n<at (Consultar G. B. Thomas, Cdlculo infinitesimal y geometria analttica, ter-

cera edicidn. Madrid : Aguilar, 1964, pag. 821).

El teorema de Fourier nos da aun otra razon del por que de la importancia

del movimiento armonico simple. Aplicando el teorema de Fourier, cualquier

clase de movimiento periodico puede considerarse como la superposition de mo-

vimientos arm6nicos simples. En la Fig. 12-44 el movimiento periodico correspon-

diente a la curva mostrada esta analizado en sus componentes de Fourier, indi-

c&ndose las primeras doce armbnicas. El teorema de Fourier tambien explica la

cualidad diferente del sonido producido por diferentes instrumentos musicales.

La misma nota o torio musical producido por un piano, una guitarra, y un oboe

suenan diferente a nuestros oidos a pesar del hecho de que los tonos tienen la

misma frecuencia fundamental. La diferencia es debida a la presencia de los

armdnicos o sobretonos con diferentes amplitudes relativas. En otras palabras,

el andlisis de Fourier del sonido es diferente para cada instrumento.

El metodo de Fourier es util no s61o para analizar curvas periodicas, sino tam-

bten para analizar curvas no periodicas. En el caso no peri6dico la curva se ex-

tiende desde — oo a + oo, y podemos suponer que este intervalo cubre un pe-

riodo. La diferencia esencial entre este caso y el explicado previamente es que

en lugar de analizar la curva en funcion de un espectro discrete de frecuencias

Q) y 2o>, 3g>, . . ., no), . . ., debemos analizarlo en funcion de un espectro continuo

de frecuencias. La amplitud correspondiente a cada frecuencia esti dada por

una funci6n llamada la transformada de Fourier de la curva analizada. Ilustraremos

un ejemplo, sin entrar en detalles matem&ticos,

Supongamos que una curva es descrita por la ecuacion x — A sen mQt en el

intervalo de tiempo de t±a /2 , siendo cero en todo el resto del tiempo, como se

indica en la Fig. 12-45. Fisicamente esto corresponde a la situation en la cual

398 Movimiento oscilatorio (12.15

x= A sen o) t

Pulso oscilante li-

un cuerpo se hace oscilar subitamente en t = tx

y se detiene subitamente en / = tr Esto se de-

nomina algunas veces un pulso.

Si la curva se hubiera extendido desde — oo

a + oo, no hubieramos tenido que hacer nin-

gun analisis de Fourier ya que la curva hu-biera sido una funci6n armdnica de frecuencia

"V Pero para anular la curva para i < tt 6

t > /2, debemos anadir otras frecuencias, de

modo que la serie resultante de Fourier sea cero en aquellas regiones. Luego unpulso finito es la composici6n de muchas frecuencias, aun si la fuente vibrantetiene s61o una frecuencia bien definida. Puede demostrarse que el perfll de laamplitud como una funcidn de a> (o la transformada de Fourier) correspondienteal pulso est& dada por la funcidn

Fig. 12-45,

mitado.

F(a>) = ±A/Asen i(o>— a> ) Af

i(«— oL) A/

donde M =^tt— tv Este perfil de la amplitud se ilustra en la Fig. 12-46. Paraco = tt>0> tenemos F(a> ) = J A/A. Debido a que el numerador de la fracci6n dentrodel parentesis no es nunca mayor que uno f cuando la diferencia o> — a>Q aumentaen valor absoluto, el valor de F(w) disminuye en una forma oscilatoria. El rangode los valores de a> para los cuales F(a>) es mayor que el 50 % de su valor parao> = co corresponde aproximadamente a la condicidn

|i(o> — <y ) A/| <M <o> — q}a < M

Asi si llamamos Aa> = 2*1 A/, llegamos a la conclusidn de que las unicas frecuenciascuyas amplitudes son apreciables son aquellas en el rango Aw alrededor de <oQ,

dado por

Ao> Af ~2k. (12.76)

Esto indica que cuanto mas corto es el intervalo de tiempo, mayor es el rangode frecuencias requeridas para representar exactamente el pulso.

Fig. 12-46. Analisis (o transformada) del pulso de la Fig. 12-45,

Probtemas 399

Bibliografla

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Probtemas

12.1 Una rueda de 30 cm de radio tiene

una marugueta en su horde. La rueda

gira a 0,5 rev s _1 con su eje en posicidn

horizontal. Sunoniendo que los rayos del

sol incidan verticalmente sobre la tierra,

la sombra de la manigueta esta animadade movimiento arm6nico simple. En-contrar (a) el periodo de oscilaci6n de

la sombra, (b) su frecuencia y (c) su

amplitud. (d) Escribir las ecuaciones queexpresan su desplazamiento en funcidn

del tiempo. Suponer la fase inicial cero.

12.2 Una particula se mueve con movi-miento armdnico simple de amplitud0,10 m ; y periodo 2 s. Hacer una tabla

indicando los valores de la elongaci6n,

la velocidad y la aceleraci6n para los

tiempos siguientes : / = 0, P/8, 3P/8,

P/2, 5P/8, 3P/4, 7P/8, y P. Representarlas curvas de elongaci6n, velocidad yaceleracidn, en funcidn del tiempo.

12.3 Un oscilador armdnico simple es

descrito por la ecuaei6n

x = 4 sen (0,1* + 0,5)

donde todas las cantidades se expresan

en unidades MKS. Encontrar (a) la

amplitud, el periodo, la frecuencia, y la

fase inicial del movimiento, (b) la velo-

cidad y la aceleraci6n, c) las condiciones

iniciales, (d) la posici6n, velocidad yaceleraci6n para t = 5 s. Hacer un gra-

flco de la posici6n, velocidad, y acelera-

cidn en funci6n del tiempo.

12.4 Una particula esta situada en el

extremo de un vibrador que pasa por su

posicidn de equilibrio con una velocidad

de 2 m s-1

. La amplitud es de 10 -8 m.^Cual es la frecuencia y el periodo del

vibrador? Escribir la ecuacWn que ex-

prese su desplazamiento en funcidn del

tiempo.

400 Movimiento oscilatorio

12.5 Una particula cuya hiasa es de1 g vibra con movimiento arm6nicosimple de 2 mm de amplitud. Su acelera-ci6n en el extremo de su recorrido es de8,0 x 10s m s-2

. Calcular la frecuenciadel movimiento y la velocidad de lapartfcula cuando pasa por la posici6nde equilibrio y cuando la elongacidn esde 1,2 mm. Escribir la ecuacidn queexpresa la fuerza que actiia sobre laparticula en funcion de la posici6n ydel tiempo.

12.6 Una partfcula oscila con una fre-

cuencia de 100 HZ y una amplitud de3 mm. Calcular su velocidad y acelera-cion en el centro y los extremos de surecorrido. Escribir la ecuacion que ex-presa la elongacidn como una funci6ndel tiempo. Suponer que la fase inicial

es cero.

12.7 Una particula se mueve con movi-miento arm6nico simple con amplitudde 1,5 m y frecuencia de 100 ciclos porsegundo. ^Cual es su frecuencia angular?Calcular (a) su velocidad, (b) su acelera-cidn, y (c) su fase, cuando su desplaza-miento es de 0,75 m.

12.8 El movimiento de una aguja deuna mAquina de coser es practicamentearm6nico. Si su amplitud es de 0,3 cmy su frecuencia es de 600 vib rrtin- 1

,

icudl serA la elongaci6n, la velocidad, yla aceleraci6n un treintavo de segundodespuSs que pase por el centro de la tra-yectoria (a) en un sentido positivo ohacia arriba, (b) en un sentido negativoo hacia abajo?

12*9 Un movimiento armonico simpletiene una amplitud de 8 cm y un periodode 4 s. Calcular la velocidad y la acelera-ci6n 0,5 s despues que la particula pasepor el extremo de su trayectoria.

12.10 En el Problema 12.2, calcularlas energias cinetica, potencial y totalen cada instante, suponiendo que laparticula tiene una masa de 0,5 kg.Observar que la energia total permanececonstante. Graflcar las curvas de las

energias cinetica y potencial (a) en fun-ci6n del tiempo, (b) en funcitfn de la posi-ci6n. ^A que conclusi6n llega?

12.11 Una particula cuya masa es de0,50 kg se mueve con movimiento arm6-

nico simple. Su periodo es de 0,15 s y laamplitud de su movimiento es de 10 cm.Calcular la aceleracidn, la fuerza, la ener-gia potencial y la energia cinetica cuandola particula esta a 5 cm de la posicionde equilibrio.

12.12 Una particula de masa m semueve a lo largo del eje X bajo la accidnde la fuerza F = ~kx. Cuando / = 2 s,

la particula pasa a traves del origen,

y cuando f—

'4 s su velocidad es de4 ms-1

, Encontrar la ecuaci6n de la

elongacidn y demostrar que_la amplituddel movimiento sera 32K2/tt m si el

periodo de oscilaci6n es de 16 s.

12.13 Una plancha horizontal oscila conmovimiento armonico simple con unaamplitud de 1,5 m y una frecuenciade 15 oscilaciones por minuto. Calcularel valor minimo del coeficiente de fric-

ci6n a fin de que un cuerpo colocadosobre la plancha no resbale cuando la

plancha se mueve.

12.14 Cuando un hombre de 60 kg seintroduce en un auto, el centro de gra-vedad del auto baja 0,3 cm. ^Cual es la

constante elastica de los muelles del

auto? Suponiendo que la masa del autoes de 500 kg, £cual es su periodo de vi-

bracitfn cuando esta vacio y cuandoel hombre esta dentro?

12.15 Un bloque de madera cuya den-sidad con respecto al agua es p tienedimensiones a, b y c. Mientras esta flo-

tando en el agua con el Iado a en la posi-

ci6n vertical, se empuja hacia abajo y se

suelta. Encontrar el periodo de la oscila-

ci6n resultante.

12.16 Una particula se mueve de modoque sus coordenadas en funcitfn del

tiempo estan dadas por x = v9t f y = ysen tot. (a) Representar xeyen funciondel tiempo t (b) Representar la trayec-toria de la particula. (c) ^Que fuerzaes necesaria para producir este movi-miento? (d) Encontrar las magnitudesde la velocidad y la aceleraci6n en fun-ci6n del tiempo.

12.17 Encontrar, para un movimientoarm6nico simple, los valores de (x) y(xa

), donde los promedios se refleren al

tiempo.

Problemas 401

12.18 Encontrar los valores promediode las energias cinStica y potencial en

un movimiento arm6nico simple conrelaci6n (a) al tiempo, (b) a la posici6n.

12.19 El perlodo de un p&idulo es de

3 s. ^Cual ser& su perlodo si su longitud

(a) aumenta, (b) disminuye en un 60 %?

12.20 Ei pSndulo de un reloj tiene unperiodo de 2 s cuando g = 9,80 m s-2

.

Si la longitud se aumenta en 1 mm,iCuanto se habra atrasado el reloj des-

pu6s de 24 horas?

12.21 ^Cuanto se habra atrasado el reloj

del problema anterior despu^s de 24

horas si se le coloca en un lugar donde

g = 9,75 m s~ B sin cambiar la longitud del

p6ndulo? {.Cual debe ser la longitud

correcta del pendulo a fln de mantenerel tiempo correcto en la nueva posicidn?

12.22 iCual debia ser el porcentaje de

cambio en la longitud de un pSndulo

a fin de que tenga el mismo perlodo

cuando se le desplaza de un lugar en el

cual g = 9,8 m s-2 a un lugar donde

g = 9,81 m s~ 2?

12.23 Encontrar el valor de la

amplitud de un p6ndulo simple de modoque la ec. (12.15) del perlodo sea correcta

en un 2 %.

12.24 Un pendulo cuya longitud es

de 2 m esta situado en un lugar en el

cual g = 9,8 m s- 2. El p6ndulo oscila

con una amplitud de 2°, Expresar, enfunci6n del tiempo, (a) su desplaza-

miento angular, (b) su velocidad angular,

(c) su aceleracidn angular, (d) su velo-

cidad lineal, (e) su aceleracidn centripeta,

y (f) la tensidn en la cuerda si la masaen su extremo es de 1 kg.

12.25 Un pSndulo de 1,00 m de largo

y cuya masa es de 0,6 kg se separade modo que esta situado a 4 cm sobrela altura de equilibrio. Expresar, enfuncidn de la altura del p£ndulo, la

fuerza tangencial a su trayectoria, su

aceleracidn tangencial, su velocidad, y su

desplazamiento angular cuando se le

permite oscilar. Encontrar los valores

num£ricos correspondientes al punto desu amplitud maxima y al punto m&sbajo de la trayectoria del p6ndulo. En-contrar su amplitud angular.

12.26 El pendulo del problema anterior

se coloca de modo que forma un £ngulode 30° con la vertical y luego se suelta.

iPuede su movimiento considerarse ar-

m6nico simple ? Calcular (a) la acelera-cidn, (b) la velocidad, y (c) la tensidnen la cuerda cuando su desplazamientoangular es de 15° y cuando pasa por el

punto de equilibrio.

12.27 Estimar el orden relativo de mag-nitud de los dos primeros tdrtninos

correctivos en la serie del periodo de unp6ndulo simple si la amplitud es (a)

10° (b) 30°.

12.28. ReflriSndonos al pendulo del

ejemplo 12.7, encontrar el maximo valor

de R/l de modo que el t£rmino correctivo

en la expresidn del pendulo no repre-

sente m£s que el 1 %.

12.29 Una varilla de 1 m de largo esta

suspendida de uno de sus extremos de tal

manera que constituye un pendulo com-puesto. Encontrar el periodo y la lon-

gitud del pendulo simple equivalente.

Encontrar el periodo de oscilacidn si la

varilla se cuelga de un eje situado a unadistancia de uno de sus extremos igual

a la longitud del pendulo equivalente

previatnente encontrada.

12.30 Un disco sdlido de radio R puedecolgarse de un eje horizontal a una dis-

tancia ft de su centro. (a) Encontrarla longitud del pendulo simple equiva-

lente. (b) Encontrar la posicidn del eje

para el cual el periodo es un minimo.(c) Representar el perlodo en funcidn

de ft.

12.31 Una varilla de longitud L oscila

con respecto a un eje horizontal quepasa por un extremo. Un cuerpo de igual

masa que la varilla esta situado sobre

la varilla a una distancia ft del eje. (a)

Obtener el periodo del sistema

en funcidn de ft y de L. (b) &Hayalgiin valor de ft para el cual el periodo

es el mismo como si no hubiera masa?

12.32 Un cubo sdlido, de lado a, puedeoscilar alrededor de un eje horizontal

coincidente con un borde. Encontrar su

perlodo,

12.33 Un pendulo de torsidn consiste

de un bloque rectangular de madera de

402 Movimiento oscilatorio

8 cm x 12 cm x 3 cm con una masade 0,3 kg, suspendido por medio de unalambre que pasa a travel de su centro

y de tal tnodo que el lado mas corto esvertical. El periodo de oscilaci6n es de2,4 s. ^Cual es la constante de torsidn A-

del alambre?

12.34 Refirtendonos a la Fig. 12-11,demostrar que si Ke es el radio de girocon respecto a un eje paralelo que pasapor el centro de masa de un pendulocompuesto, la longitud del pendulosimple equivalente es / = (Kl/b) + b.

[Sugerencia: Utilizar el teorema deSteiner para relacionar el radio de girocon el centro de masa.]

12*35. Usando el resultado del pro-blema precedente, demostrar que la lon-gitud del pendulo simple equivalente aun pendulo compuesto (secci6n 12.6) esla misma que la distancia entre el centrode percusidn (Problema 10.28) y el puntode suspencion si el golpe se aplica enel punto C12.36 Demostrar que si el pendulo com-puesto oscila alrededor de O' (Fig. 12-11)en lugar de O, su periodo es el mismoy la longitud del pendulo equivalentepermanece inalterable.

12.37 Encontrar la ecuacidn del movi-miento resultante de la superposicidnde dos movimientos arm6nicos simplesparalelos cuyas ecuaciones son x3

= 6 sen2t y x, = 8 sen (2t + a), si a = 0, ir/2

y it. Hacer un grafico de cada movi-miento y del movimiento resultante encada caso,

12.38 Encontrar la ecuacitin resultantede la superposici6n de dos movimientosarmonicos simples paralelos cuyas ecua-ciones son :

Xj = 2 sen («f + tt/3)

yxt = 3 sen (o>* + n/2)

Hacer un grafico de cada movimientoy del movimiento resultante. Represen-tar sus respectivos vectores xotantes.

12.39 Encontrar la ecuaci6n de la tra-yectoria del movimiento resultante de la

combinaci6n de dos movimientos arm6-nicos simples perpendiculares cuyas ecua-

ciones son x = 4 sen <*>/, e y = 3 sen(<at + a), cuando a = 0, tu/2, y tt. Hacerun grafico de la trayectoria de la par-tfcula para cada caso y senalar el sentidoen el cual viaja la particula.

12.40 Eliminando la dependencia deltiempo entre las ec. (12.30) y (12.31)demostrar que la ecuacidn de la ecuacionde la trayectoria es

x*/A* + y*/B*— 2xy cos §/A B - sen 8 8.

Demostrar que esta es la ecuacitfn deuna elipse, con ejes haciendo un angulocon respecto a los ejes X— Y. [Suge-rencia: Cualquier ecuacion de la formaax2 + bxy + cy* = k es una elipse

si b*— Aac < 0. Ver G. B., Cdlculoinfinitesimal y geometria analitica, sec.

9-10.]

12.41 Demostrar que la elipse del pro-blema 12.40 es recorrida en el sentido delas agujas del reloj o en el sentidocontrario dependiendo de si < 8 < n6 n < 8 < 2tt.

12.42 Encontrar la ecuaci6n de la tra-

yectoria resultante de una particulasometida a dos movimientos armdnicossimples perpendiculares, si o^/w, = V«y a = 0, tt/3 y tt/2. En cada caso repre-sentar la trayectoria y mostrar el sentidoen el cual es recorrida.

12.43 ' Demostrar por sustitucidn di-

recta en la ecuacidn de movimiento(12.37) que las expresiones (12.38) sonlas oscilaciones normales, siempre queo> = ]lkjm

x. Demostrar lo mismo para

las oscilaciones normales (12.40) si

<o = }(2 kx + k)/mv

12.44 La energia potencial de interac-

ci6n entre dos atomos en una moleculadiatomica puede expresarse con buenaaproximacion por el potencial de MorseE(r) = D[l — e-'C-*)]*, siendo D, a,

y r constantes caracteristicas de la mo-lecula. (a) Hacer un grafico del potencial

y encontrar la posici6n de equilibrio.

(b) Hacer un desarrollo en serie de po-

tencias de r— r„ y determinar la relaci6ndel primer termino anarmdnico al primertermino arm6nico. (c) Encontrar, en fun-

cidn de D y a, la frecuencia de la vibra-cidn relativa de dos atomos a baja

Problemas 403

energfa. [Sugerencia: Usar la ec. (M.23)

para desarrollar el exponente.]

12.45 Determinar el valor de A y a

en funci6n de x y v Q para un oscilador

amortiguado. Aplicar la solucidn parael caso cuando vQ = 0.

12.46 Verificar, por sustituci6n directa,

que cuando y > ^o* *a soluci6n de la

ec. (12.52) para un oscilador amortiguadoes x = Ae-fr +W + Be~<y-W, donde

£J =W— «o- Encontrar los valores deA y B si t = 0, x = x y v - 0. Gra-flcar en funci6n de t

12.47 iQue sucede a la solution de la

ec.~(12,54) cuando y = to ? Verificar, porsustituci6n directa, que en este caso

la soluci6n general de la ec. (12.52) es

x = (A + Bt)e~yt. Se dice entonces que

el oscilador esta amortiguado criticamente.

Encontrar A y B si, cuando t — 0,

x = Xq, y v = 0. Representar x en fun-

ci6n de /. iQue diferencia encuentra Ud.entre este problema y el precedente?

12.48 Demostrar que en el movimientooscilatorio amortiguado la velocidad esta

dada por

v = A'e-y* sen (to* + a + S),

donde A' = Aw y tg S = /Y-

12.49 Un pendulo simple tiene un pe-

riodo de 2 s y una amplitud de 2°. Des-pues de 10 oscilaciones completas suamplitud ha sido reducida a 1,5°. En-contrar la constante de amortigua-miento y.

12.50 Encontrar los valores limites dela amplitud y la fase de un oscilador

forzado con amortiguamiento cuando(a) w/ es mucho menor que co y (b) to/ es

mucho mayor que co , Determinar los

factores dominantes en cada caso.

12.51 Demostrar que en el oscilador

armonico forzado con amortiguamiento,la potencia promedio de la fuerza apli-

cada es igual a la potencia promediodisipada por la fuerza de amortigua-miento.

12.52 Refiriendose al pendulo del Pro-blema 12,49, calcular la potencia nece-

saria para mantener las oscilaciones conamplitud constante. La masa del penduloes de 1 kg.

12.53 En el caso de un oscilador amor-tiguado, la cantidad t = l/2y se deno-mina el tiempo de relajacidn. (a) Veri-

ficar que tiene unidades de tiempo. (b)

^En cuanto ha variado la amplitud del

oscilador despues de un tiempo t? (c)

Expresar, como una funci6n de t, el

tiempo necesario para que la amplitudse reduzca a la mitad de su valor inicial.

(d) ^Cuales son los valores de la amplituddespues de tiempos iguales a dos, tres

veces, etc., el valor obtenido en (c)?

12.54 Suponer que para un oscilador

amortiguado t es muy pequeno com-parado con co > de modo que la amplitudpermanece esenciahnente constante du-rante una oscilacion. (a) Verificar quela energia del oscilador amortiguadopuede escribirse en la forma E == im<iiQA ze- 2vt

* (b) La potencia promediodisipada sera definida por P = —dE/dt.

Demostrar que P = 2yE = E/x, (c) De-mostrar que esta disipacidn de potenciaes igual al trabajo promedio hecho porla fuerza de amortiguamiento por unidadde tiempo.

12.55 Demostrar que para un oscilador

forzado P = £(£*)*«* cuando la reac-

tancia es igual a la resistencia X = ± R6 6>| — toJ = ±2yc*f. La diferencia

(Aw)^ 2 entre los dos valores de to/ paraesta situaci6n se denomina ancho de la

banda del oscilador y a la relacitin Q =— to/(Ato) 1/2 se denomina el valor Q del

oscilador. Demostrar que para pequenoamortiguamiento (Ato)^ = 2y y por lo

tanto Q = to /2y. [Sugerencia: usar las

ec. (12.70) y (12,71) con los valores apro-

piados de R y de Z.]

12.56 (a) Encontrar los valores pro-

medio de las energias cinetica y potencial

de las oscilaciones forzadas de un oscila-

dor amortiguado. (b) Obtener la rela-

ci6n de la suma de estas energias y el

trabajo hecho por la fuerza aplicada

en un periodo. Este es un factor util

para indicar el funcionamiento de unoscilador. Demostrar que para pequenoamortiguamiento es igual a Q/2t. (Re-

cordar el Problema 12.55).

42.57 Escribir la ecuaci6n del movi-miento de un oscilador armdnico simple

sin amortiguamiento al cual se le aplica

404 Mooimiento oscilatorio

la fuerza F = F cos o//. "Verificar quesu soluci6n es

x = [ F /m(oiJ— co/)] cos aft

Discutir la resonancia en este caso. Figura 12-48

mm^f^^////y///, mmmi%m%00%0.

*i

M

M

(b)(a)

Figura 12-47

12.58 Los m6dulos de elasticidad delos resortes en la Fig. 12-47 son, respec-tivamente kx y kt . Calcular la constante kdel sistema cuando los dos resortes estanconectados como en (a) y (b).

12.59 Una partlcula se desliza haciaadelante y hacia atras entre dos pianosinclinados sin friction, (a) Encontrar el

periodo del movimiento si h es la alturainicial. (b) ^Es el movimiento oscilatorio?

iEs arm6nico simple?

12.60 Una particula de masa m situadaen una mesa horizontal lisa (Fig. 12-49)estd sostenida por dos alambres estiradosde longitud / cuyos extremos est&n fijos

en Px y Pt. La tension de los alambreses Z\ Si la particula se desplaza lateral-

mente una cantidad x pequena com-parada con la longitud de los alambres,y luego se suelta, determinar el movi-miento subsiguiente. Encontrar su fre-

cuencia de oscilacidn y escribir la ecua-ci6n de su movimiento. Suponer que la

longitud de los alambres y la tensionpermanecen inalterables.

12.61 La particula de la Fig, 12-50 seencuentra bajo condiciones similares queen el problems anterior, pero est& soste-nida por dos resortes, cada uno de cons-tante elastica k y longitud normal / .

Obtener la misma informacidn solicitada

Figura 12-49

Figura 12-50

1 J)

m*k>-

Figura 12-51

en el problema anterior. N6tese quedebemos tener en cuenta el alargamientode los resortes.

12.62 Repetir el problema anterior, su-

poniendo que el desplazamiento es a lo

Problemas 405

largo de la linea PXP%9 como en la fi-

gura 12-51.

12.63 Una partlcula de masa m est&

sometida a la fuerza mostrada en la fi-

gura 12-52 11amada una onda cuadrada;

i.e. la fuerza es constante en magnitudpero invierte su direcci6n a intervalos

regulares de n/w. Esta fuerza puede re-

presentarse por la Serie de Fourier

:

F — F (4/7r)(sen wJ + J sen 3&>*

+ | sen 5co/ + ....),

(a) Escribir la ecuacitfn de movimiento

de la partfcula. (b) Verificar, por sustitu-

cidn directa que su solucidn puede escri-

birse como x = a + bt + A sen <o/ ++ B sen 3g>* 4- C sen 5 o>* 4- donde

ay b son constantes arbitrarias, y deter-

minar los valores de los coeflcientes A,

B, C, , de modo que la ecuacidn

del movimiento se satisfaga.

12.64 Un oscilador arm6nico simple de

frecuencia natural o> esta sometido a la

misma fuerza del problema precedente.

(a) Escribir su ecuaci6n de movimiento.

(b) Verificar, por sustituci6n directa que

su soluci6n puede escribirse como x == a sen («,>* + oc) -f A sen tat + B sen 3

cat + C sen 5«* + , donde a y a son

constantes arbitrarias, y determinar los

valores de los coeflcientes A, B, C, . . . .,

de modo que las ecuaciones de movi-

miento se satisfagan.

12.65 Demostrar que la energia poten-

cial de un pendulo puede escribirse comoEp = 2mgl sen2 £8. Aplicando la ec.

(12.13) demostrar que

AP = Yl/g d6/K sen 8 ±9 — sen* id.

Jo

Esta integral no puede evaluarse enUrminos de funciones elementales. En la

integral hacer la sustituci6n sen ±8 == sen i0o sen W, donde W es una nuevavariable que varla de a tc/2 cuando

varia entre y o . En seguida hacer

un desarrollo en series del radical resul-

tante, usando la ec. (M.22), e integrar

para obtener el desarrollo en serie de Pdado en la secci6n 12,5.

12.66 Para el movimiento armdnicosimple Ep = ± kxz

. (a) Usar la ec.

(12.13) para obtener el periodo del MAS

y verificar que el resultado concuerdacon la ec. (12.7). (b) Demostrar que la

ec. (8.34), con x = da

arc sen (x/A) = <*t + a,

donde A 1 = 2E/k. Verificar que con-

cuerda con la ec. (12.1).

12.67 Considerar una partlcula osci-

lante bajo la influencia del potencial

anarmtfnico EP (x) = \ kx1 — iax*,

donde a es positiva y mucho menorque k. (a) Hacer un grafico esquem&ticode Ep(x). ^Es la curva sim£trica alre-

dedor del valor x = 0? En vista de la

respuesta anterior, £en qu£ direction se

desplaza el centro de oscilaci6n a medidaque aumenta la energia? Espera Ud.que x promedio sea cero. (b) Obtenerla fuerza como una funcidn de x y hacerun gr&fico esquematico. £Cu&l es el

efecto del tfrmino anarm6nico sobre la

fuerza?

12.68 Refirtendonos al problema pre-

cedente, (a) escribir la ecuacidn del

movimiento. (b) Probar como solucidn

x — A cos of + B cos 2<of + xlt

donde los dos ultimos tSrminos son los

resultados del t6rmino anarm6nico. (c)

iPuede esto ser una soluci6n exacta?

Despreciando todos los t£rminos que in-

volucran productos de Ay B o potencias

de B mayores que la primera, demostrar

que cu — w , x, = aA*/2o>J y B == — aA 2

/6toJ, donde &>} = kfm y a = a/m*

[Sugerencia: Usar la relation trigono-

mStrica cos* o>f = 1/2(1 + cos 2o>0-I

12.69 Repetir el Problema 12.67. Su-

poniendo que la energia potencial es

Ep(x) = ito*— iax*,

Como antes, a es mucho menor que k.

12.70 Reflrtendonos al problema prece-

dente, (a) escribir la ecuacidn del movi-miento. (b) Probar como soluci6n x == A sen of + B sen 3o>/ donde el ultimo

tSrmino es el resultado del t6rmino anar-

mdnico. (c) &Puede 6sta ser una soluci6n

exacta? (d) Despreciando todos los t6r-

minos que contengan productos de Ay B o potencias de B mayores que la

primera, demostrar que wj— 3aAV4y£ == aA5/4(9o)1 — wj) donde o> y a tienen

406 Movimiento oscilatorio

la misma deflnicitfn que en el probleraa12,68. [Sugerencia: Usar la relacitfn

trigonometrica sen8<at = J sen of— i

sen 3 <dt.]

12.71 Refiriendonos a los Problemas12.68 y 12.70, podemos encontrar los

valores x y (x 2), donde los promedios

se refieren al tiempo y comparar los

resultados para el oscilador armdnicosimple. (Recordar el Problema 12.71).

12.72 Aplicar los resultados del pro-blema 12.70 al movimiento de un pen-dulo simple reemplazando sen 9 en laexpresitfn de Ft dada al comienzo de lasecci6n 12.5, por sus dos primeros ter-

minos en su desarrollo de serie (M.25)obteniendo <* « co„(l — 9 2

/16) y 6 =sen g>/ + (6 /192) sen 3o>/. Del valorde a), obtener directamente el resultadodel periodo P dado al final de la sec-si6n 12.5.

PARTE 2

INTERACCIONESY CAMPOS

A. Gravitation

408

Una vez de haber comprendido las reglas generates que gobiernan el movimiento,la proxima etapa es investigar las interacciones responsables de tales movimien-tos. Una de ellas es la interaction gravitatoria, que se manifiesta en el movimientoplanetario y en el movimiento de la materia en conjunto. La gravitacion, a pesardel hecho de que es la mas debil de todas las interacciones conocidas, es la pri-

mera interaccion cuidadosamente estudiada, debido al natural interes del hombreen la astronomia y a que la gravitacion es responsable de muchos fenomenos queafectan directamente nuestras vidas. Otra interaccion es la interaction electro-

magnetica, que es la mejor comprendida y quizas la de mayor importancia desdeel punto de vista de la vida cotidiana. La mayoria de los fenomenos que obser-

vamos alrededor nuestro, incluyendo los procesos quimioos y biologicos, sonel resultado de interacciones electromagneticas entre atomos y molecular Unatercera clase la constituyen la interaction nuclear o faerie, la cual es responsablede la union de los protones y neutrones (conocidos como nucleones) dentro del

niicleo atomico, y otros fenomenos conexos. A pesar de la intensa investigation

nuestro conocimiento de esta interaccion es aun incompleto. Una cuarta clase

es la interaction debit, responsable de ciertos procesos entre las particulas funda-mentals, tales como la desintegracion beta. Nuestra comprension de esta inter-

accion es aiin muy pobre. Las intensidades relativas de estas interacciones son:fuerte considerada como unidad; electromagnetica ~ 10~2

; debil ~ 10~5; gravi-

tatoria ~ lO"38 . Uno de los problemas no resueltos todavia en la fisica es el

porque de tan solo cuatro interacciones, y la razon de tan gran diferencia en susintensidades.

Es interesante recordar lo que dijo Newton, hace 200 anos, con respecto a las

interacciones:

£No tienen las pequenas Particulas de los Cuerpos ciertos Poderes o Fuerzas,por medio de los cuales actuan, . , entre ellas para producir una gran Parte delos Fenomenos de la Naturaleza? Porque es bien conocido, que los Cuerpos actiian

unos sobre otros por las Atracciones de la Gravedad, el Magnetismo y la Elec-

tricidad;. . . y no es improbable que haya m&s Poderes atractivos que estos . . .

No considero aqui como se realizan estas atracciones . . . Las Atracciones de la

Gravedad, el Magnetismo, y la Electricidad alcanzan distancias muy considera-

bles,... y puede haber otras que alcancen solo distancias tan pequenas queescapen a la observation; (Opticks, Libro III, Query 31).

Para describir estas interacciones, introducimos el concepto de campo, Porcampo entendemos una propiedad fisica que se extiende sobre una region del

espacio y se describe por una funcion de la posicion y el tiempo. Para cada inter-

acci6n suponemos que una particula produce alrededor de ella el campo corres^

pondiente. Este campo a su vez actua sobre una segunda particula para producirla interaccion requerida. La segunda particula produce su propio campo, el cual

actua sobre la primera particula, dando lugar a una interaccion mutua.Aunque las interacciones pueden describirse por medio de campos, todos los

campos no corresponden necesariamente a interacciones, un hecho implicito enla definici6n de campo. Por ejemplo, un meteorologo puede expresar la presion

atmosferica y la temperatura como una funcion de la latitud y la longitud de la

superficie y la altura sobre la tierra. Tenemos entonces dos campos escalares:

409

el campo de presion y el campo de temperaturas. En un fluido en movimiento,

la velocidad del fluido en cada punto constituye un campo vectorial. El concepto

de campo tiene asi una utilidad grande y general en fisica.

En el capitulo 13 discutiremos la interacci6n gravitatoria y su campo. En los

capitulos 14 al 17 (que aparecen en el volumen II), consideraremos las interac-

ciones electromagneticas* Trataremos las otras interacciones en el volumen III.

13

INTERACTIONGRAVITACIONAL

73.7 Introduction

73.2 La ley de gravitacidn

73.3 La masa inercial y gravitational

73.4 La energia potential gravitational

73.5 El movimiento general bajo la interaction gravitational

13.6 El campo gravitational

73,7 El campo gravitational debido a un cuerpo esferico

73.8 El principio de equivalencia

73.9 La gravitacidn *y las fuerzas intermoleculares

13J) Introduction ill

13.1 Introduction

Uno de los problemas fundamentals que ha intrigado al hombre desde los albores

de la civilization ha sido el movimiento de los cuerpos celestes o, como decimos

hoy dia, el movimiento planetario, Quizd uno de los procesos mas interesantes

en la historia de la ciencia ha sido la evolution de nuestra comprension del mo-vimiento planetario.

Los griegos, que consideraban al hombre como el centro del universo, supu-

sieron que la tierra era el centro geometrico del universo y que los cuerpos celestes

se movian alrededor de la tierra. Los cuerpos conocidos en aquel tiempo fueron

ordenados de acuerdo con la distancia promedio a la tierra: la luna, Mercurio,

Venus, el sol, Marte, Jupiter y Saturno.

La primera hipotesis relacionada con el movimiento planetario consistio en

suponer que los planetas describian circulos concentricos, teniendo a la tierra

en su centro. Esta suposicion, sin embargo, no explicaba el movimiento obser-

vado de estos cuerpos con respecto a la tierra, y la geometria del movimiento

planetario se hizo mas y mas compleja. En el siglo segundo de la era cristiana,

el astr6nomo Ptolomeo de Alejandria desarrollo la teoria de las epicicloides para

explicar este movimiento. En forma sencilla se suponia que el planeta describia,

con movimiento uniforme, un circulo denominado un epiciclo, cuyo centro a su

vez, se desplazaba en un circulo mayor, concentrico con la tierra y llamado defe-

rente. La trayectoria resultante del planeta es asi una epicicloide (Fig. 13-1). Enalgunos casos era necesario una disposition m&s complicada para describir los

movimientos planetarios. En nuestro lenguaje actual, lo que hicieron los griegos

fue describir el movimiento planetario con respecto a un sistema de referenda

situado en la tierra.

Esta description fue aceptada como correcta hasta que, en el siglo dieciseis,

el monje polaco Nicolas Copernico (1473-1543), que buscaba una soluci6n m&ssimple, propuso describir el movimiento de todos los planetas, incluyendo la

tierra, con respecto al sol, el cual estaria en el centro. La idea no era nueva;

habia sido propuesta por primera vez por el estronomo griego Aristarco alrededor

del siglo tercero antes de Cristo. De acuerdo a Copernico, el orden de las 6rbitas

de los planetas con respecto al sol era el siguiente : Mercurio, Venus, La

Planeta

Epicicloide

f~J Tierra

Fig. 13-1. Modelo epicicloidal del movimiento planetario referido a la tierra.

412 Interaction gravitational (13.1

tierra, Marte, Jupiter y Saturno, la luna girando alrededor de la tierra. Lo que

Copernico propuso esencialmente fue otro sistema de referenda situado en el sol,

respecto al cual el movimiento de los planetas tenia una descripci6n mas sencilla.

TABLA 13-1 Datos b&slcos del Sistema Solar *

Radio Periodocidad bita

CuerpoDistancia

media, mMasakg

Periodo derotacitfn, s

medio de la

6rbita, mdel mov.orb. s Excentri

de

la

6%

El sol 6,96 x 10* 1,98 x 10 s0 2,3 x 10* — — —Mercurio 2,34 x 10* 3,28 x 10 23 5,03 x 10« 5,79 x 10 10 7,60 x 10 6 0,206

Venus 6,26 x 10* 4,83 X 10 24(?) 1,08 x 10 11 1,94 x 10 7 0,007

La tierra 6,37 x 10* 5,98 x 10 24 8,62 x 10* 1,49 x 1011 3,16 x 10 7 0,017

Marte 3,32 x 10 fl 6,40 x 10 23 8,86 x 10* 2,28 x 1011 5,94 x 10 7 0,093

Jupiter 6,98 x 10 7 1,90 x 1027 3,54 x 10* 7,78 x 1011 3,74 x 108 0,049

Saturno 5,82 x 10 7 5,68 x 10« 3,61 X 10* 1,43 x 10 12 9,30 x 10 8 0,051

Urano 2,37 x 10 7 8,67 x 1025 3,85 x 10* 2,87 x 10 12 2,66 x 10 9 0,046

Neptuno 2,24 x 10 7 1,05 x 10" 5,69 x 10* 4,50 x 1012 5,20 x 10* 0,004

Pluto (3,00 x 10*) (5,37 x 10 24) (?) 5,91 x 1012 7,82 x 10 9 0,250

La luna 1,74 x 10* 7,34 x 1022 2,36 x 10* 3,84 x 108 2,36 x 10* 0,055

* Las cantidades entre parentesis son dudosas. Los datos orbitales de la luna se

dan con respecto a la tierra.

El sol, el cuerpo mas grande de nuestro sistema planetario, coincide practica-

mente con el centro de masa del sistema, y se mueve mas lentamente que los

otros planetas. Esto justifica el haberlo escogido como centro de referenda, ya

que es, practicamente, un sistema inercial. Lo propuesto por Copernico ayud6 al

astronomo Johannes Kepler (1571-1630) en el descubrimiento de las leyes del

movimiento planetario, como resultado del andlisis cuidadoso de las mediciones

astronomicas de Tycho Brahe (1546-1601)* Estas leyes, denominadas leyes de

Kepler, son una description cinematica del movimiento planetario y se enuncian

de la siguiente manera:

I. Los planetas describen orbitas eltpticasy estando el sol en uno de sus focos.

II. El vector position de cuatquier planeia con respecto al sol barre areas iguales

de la elipse en tiempos iguales. (Esta proposition se denomina la ley de las areas).

IIL Las cuadrados de los pertodos de revolution son proportionates a los cubos

de las dislancias promedio de los planetas al sol. (Esta ley puede expresarse por

la ecuacion P2 = Jfcr3

, siendo k una constante de proporcionalidad).

La siguiente etapa en la historia de la astronomia fue una discusi6n de la

din£mica del movimiento planetario y un esfuerzo por determinar la interaction

responsable de tal movimiento. Es aqui donde Sir Isaac Newton (1642-1727)

Uevo a cabosu grandiosa contribuci6n, la ley de gravitation universal. Esta ley

13,2) La ley de gravitation 413

(que se discutira mas adelante en este capitulo), formulada por Newton en 1666,

solo fue publicada en 1687, cuando apareci6 como un capitulo en su monumental

trabajo Philosophlae Naturalis Principia Mathematical

Los datos mas importantes del sistema solar han sido recolectados en la tabla 13-1.

13.2 La ley de gravitacidn

Despues de su proposition de las leyes del movimiento (capitulo 7), la segunda

contribution de Newton, v quizas la mas grande al desarrollo de la mec&nica

fue el descubrimiento de la ley de interaction gravitational; esto es, la interaction

entre dos cuerpos, ya sean planetas o particulas pequenas, que produce un mo-

vimiento que puede ser descrito por las leyes de Kepler.

Fig. 13-2. Interacci6n gravitational

entre dos masas.0-r--—H§)m m'

En primer lugar, de acuerdo a la section 7.14, la ley de las areas (o segunda

ley de Kepler), indica que la fuerza asociada con la interaccion gravitational cs

central. Esto es, la fuerza actua a lo largo de la linea que une los dos cuerpos

interactuantes (Fig. 13-2), en este caso un planeta y el Sol. Segundo, si suponemos

que la interaccion gravitatoria es una propiedad universal de toda materia, la

fuerza F asociada con la interaccion debe ser proporcional a la "cantidad" de

materia de cada cuerpo; esto es, a sus masas respectivas m y m\ Luego podemos

escribir F = mm'f(r).

|Fibra de torsion

EspejoL&mpara

Escala

Fig, 13-3. Balanza de torsion de Cavnuiish. Cuando las masas m' se colocan

cerca a las masas m, su atracci6n gravitatoria produce un torque en la barra hori-

zontal que da lugar a la torsidn de la fibra OC. El equilibrio se establece cuandolos torques gravitatorio y torsional se igualan. El torque torsional es proporcional

al angulo 0, que se mide por la deflexi6n de un rayo reflejado en un espejo situado

en la flbra. Repitiendo el experimento a varias distancias r, y usando diferentes

masas m y m\ podemos verificar la ley (13.1).

414 Interaction gravitational (13.2

Determinar la dependencia entre la fuerza F y la distancia r, es un problems

mas dificil. Podemos determinar esta dependencia experimentalmente midiendo

la fuerza entre las masas my m' para varias separaciones y deduciendo de nuestras

observaciones la relation entre Fyr. Este procedimiento que ha sido realizado,

requiere un equipo experimental muy sensible debido a que la interaction es

extremadamente debil y la fuerza gravitational es muy pequena a menos que las

masas sean muy grandes (tales como la de dos planetas), o la distancia r sea

muy pequena. Pero en este segundo caso, como veremos mas tarde, otras inter-

acciones mas fuertes que la gravitational entran en juego e impiden observar

los efectos gravitatorios. El resultado de estos experimentos nos permite llegar

a la conclusion que la interaction gravitational es atractiva y varia inversamente

con el cuadrado de la distancia entre los dos cuerpos; esto es f(r) cc 1/r2,

Por consiguiente la expresion de la fuerza de gravitation es

F = Y^^, (13.1)rL

donde la constante de proporcionalidad y depende de las unidades utilizadas

para las otras cantidades. Por ello y debe determinate experimentalmente mi-

diendo la fuerza F entre dos masas conocidas m y m' a una distancia conocida r.

El valor de y en unidades MKSC es

Y = 6,67 x 10-u N m2 kg"2 (6 m3 kg"1 s"2).

Podemos entonces establecer la ley universal de gravitation de Newton diciendo que

la interaction gravitational entre dos cuerpos puede expresarse por una

fuerza de atraccion central proportional a las masas de los cuerpos e

inversamente proportional al cuadrado de la distancia que los separa.

Al discutir la ec. (13.1) hemos sugerido que la interaction gravitational entre

dos masas puede derivarse de los experimentos, pero ello no implica que la inter-

action gravitatoria sea la fuerza responsable del movimiento planetario de acuerdo

a las leyes de Kepler. En efecto, Newton no procedio en la manera en que nosotros

lo hemos hecho, sino en sentido inverso. Usando las leyes de Kepler, deriv6

la ec. (13.1) para la fuerza entre dos planetas y luego generalizo este resultado

para aplicarlo a dos masas cualesquiera. Presentaremos ahora una discusi6n

simplificada del metodo de Newton, posponiendo un analisis mas general hasta

la section 13.5.

La primera ley de Kepler establece que la 6rbita de un planeta es una elipse.

Un caso particular de una elipse es un circulo, en el cual los dos focos coinciden

con el centro. En este caso, de acuerdo a la segunda ley, la fuerza F se dirige

hacia el centro del circulo. Por ello, usando la ec. (7*28) para la fuerza centripeta

en el movimiento circular y refiriendo el movimiento de m a un sistema de refe-

rencia situado en m' (Fig. 13-4), podemos expresar la fuerza como

13.2) La leg de gravitation 415

Estrictamente hablando, deberiamos usar en lugar de m,

la masa reducida del sistema compuesto demy m' t de

acuerdo a la ec. (9.15), pero nuestra simplification no

afecta nuestras conclusiones. Recordando que v == 2nrlP, tenemos

„ 4iftnr

Pero la tercera ley de Kepler, en el caso especial de una

orbita circular cuando la distancia promedio entre m y pj„ 13-4 Movimientom f

es el radio del circulo, es P2 = Ar3. Luego de la particula m hajo

F =su interacci6n gravita-

cional con m\kr*

que demuestra que para satisfacer las leyes de Kepler la interaction gravitational

debe ser central e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

Newton mismo verified la veracidad de su hipotesis comparando la aceleracion

centripeta de la luna con la aceleracion de la gravedad g = 9,80 m s~2« La ace-

leracion centripeta de la luna es ac = tPjr = Ai^rjP2, con r = 3,84 x 108 m yP = 2,36 x 106 s. Asi ac = 2,72 x 10"3 m s"2. Por consiguiente

glac = 3602 * (60)2

.

Pero, como el radio de la tierra es de R = 6,37 x 106 m, tenemos que

(t)*-(£)'•«Por consiguiente gjac = (r/fl)2 y, dentro de la exactitud de nuestro cilculo apro-

ximado, las dos aceleraciones estan en proportion inversa del cuadrado de las

distancias de los puntos desde el centro de la tierra.

EJEMPLO 13.1. Relacionar la aceleraci6n de la gravedad con la masa de la tierra.

Usando la respuesta, estimar la masa de la tierra.

Soiucidn: Consideremos una particula de masa m sobre la superflcie terrestre. Sudistancia al centro de la tierra es igual al radio de la tierra R. Luego, si denotamosla masa de la tierra por M, la expresi6n (13.1) nos da la fuerza sobre el cuerpo,

F = ymM/R 2.

Esta fuerza fue definida en la ec. (7.16) como el peso del cuerpo, y por consiguiente

debemos igualarla a mg, donde g es la aceleracidn de la gravedad. Luego

mg = ymM/R 2

o, cancelando el factor comun m, tenemos

g = yM/RK

Este resultado da la aceleraci6n de la gravedad en funci<Jn de la masa y el radio

416 Interaction gravitational (13.3

de la tierra. Notar que la masa del cuerpo no aparece en esta expresitin, y por ello

(si despreciamos la resistencia del aire) todos los cuerpos caen con la misma ace-

leraci6n, de acuerdo con nuestras observaciones.

Despejando la masa M de la tierra, obtenemos

M - gRV-r.

Introduciendo los valores numericos apropiados g = 9,8 m s~ 2, R = 6,37 x 10* m,

y y = 6,67 x 10-" m'kg^s-S obtenemos M = 5,98 x 10 a4 kg.

El estudiante debe notar que en este ejemplo nemos usado la distancia de la masa mal centro de la tierra. En otras palabras, hemos supuesto implicitamente que la

fuerza sobre m es 3a misma como si toda la masa de la tierra estuviera concentrada

en su centro, una suposicitfn que se justificara en la seccirtn 13.7.

EJEMPLO 13.2. Calcular la masa de un planeta que tiene un satelite.

Solucidn: Supongamos que un satelite de masa m describe, con un periodo P, una

6rbita circular de radio r alrededor de un planeta de masaM . La fuerza de atracci6n

entre el planeta y el satelite es

F = ymM/r2.

Esta fuerza debe ser igual a m veces la aceleraci6n centrlpeta v z/r = 47t2r/P2

. Por

consiguiente

47r2/nr ymM

Cancelando el factor comiin m y despejando M 9obtenemos

M= 4TT 2r3/yP2.

Sugerimos que el estudiante utilice esta expresion para reevaluar la masa de

la tierra, usando los datos de la luna (r = 3,84 x 10s m y P = 2,36 x 10» s). La

concordancia con el resultado del ejemplo 13.1 es una prueba de la consistencia de la

teoria. Esta f6rmula puede tambien ser utilizada para obtener la masa del sol,

usando los datos de los diferentes planetas.

13.3 La masa inercial y gravitational

En el capitulo 7 introdujimos el concepto de masa en relacion con las leyes del

movimiento. Por dicha razon la denominamos masa inercial Tambien hemos

supuesto que las leyes del movimiento son de validez universal y son por lo tanto

las mismas para toda clase de materia, ya sean electrones, protones, neutrones,

o gmpos de estas particulas. Por otro lado, en este capitulo hemos estado discu-

tiendo una interaccion particular llamada gravitacion. Para caracterizar su inten-

sidad, debemos dar a cada porcion de materia una carga gravitational o masa

gravitational mff.Debiamos haber escrito entonces la ec. (13.1) en la forma

F = ymgm^/r2

.

Sin embargo, si suponemos que la gravitaci6n es una propiedad universal de

toda clase de materia, podemos considerar que la masa gravitatoria es propor-

13.3) La masa inercial y gravitational 417

cional a la masa inercial, y por consiguiente la relation

K = masa gravitational, mg

masa inercial, m

debe &er la misma para todos los cuerpos. Escogiendo apropiadamente las uni-

dades de mg , podemos hacer que esta relation valga uno y entonces usar el mismoniimero tanto para la masa gravitatoria como para la masa inercial. Esto se ha

hecho implicitamente en la selection del valor de la constante y. La constancia

de K, que es equivalente a la constancia de y, ha sido verificada experimental-

mente para toda clase de cuerpos con gran cuidado, y puede considerarse como

una hipotesis correcta. El hecho bien demostrado de que todos los cuerpos cerca

de la superficie terrestre caen con la misma aceleracion es una indicaci6n del

hecho de que la masa inercial y la masa gravitatoria son lo mismo, ya que, bajo

dicha suposicion, la aceleracion de la gravedad es g = yM/R*, como se discutio

en el ejemplo 13.1, y g es independiente de la masa del cuerpo que cae. Por con-

siguiente, en adelante usaremos el termino "masa" para referirnos ya sea a la

masa inercial o a la gravitatoria, puesto que no se pueden distinguir.

De la ec. (13.1) podemos definir la unidad de masa como la masa que, cuando

se le coloca a la unidad de distancia de una masa igual, la atrae con una fuerza

igual a y unidades. Escogiendo apropiadamente el valor de y podemos definir

una unidad de masa. Sin embargo, el escoger arbitrariamente y puede alterar la

estructura de las ecuaciones de la mecanica. Otros inconvenientes con este pro-

cedimiento de definition de la masa unitaria es que requiere previamente la defi-

nition de fuerza. Por ello este procedimiento no es utilizado. En su lugar, como

indicamos previamente, seguiremos el metodo inverso, y, despues de haber esco-

gido las unidades de masa y fuerza, determinamos experimentalmente el valor de y.

Una manera de medir o comparar las masas de

dos cuerpos es utilizar un tercer cuerpo como re- ^_^^ferencia. Consideremos dos masas m y m r

situa- [Mjr

-*^ ©das a la misma distancia r de una tercera masa ^-—^

de referenda M (Fig. 13-5). Luego, de acuerdo

con la ec. (13.1), las fuerzas sobre m y m' son /"~"\ p/

_ yMm = yMm'~~

r%' ~

r2' Fig, 13-5, Metodo de com-

paracidn de dos masas my m't , ., . . j r T?tr?* mediante su interacci6n era-La relacion entre estas dos fuerzas es F F = .. * n , ^nn .

rt*

'

,

vjtacional con una tercera= mjm\ Por consiguiente, si tenemos un metodo masa M.para comparar fuerzas sin necesidad de medir

cada una de ellas, la relacion precedente propor-

ciona un metodo para comparar y medir masas. El principio de la balanza

permite que usemos este metodo cuando el cuerpo de referencia es la tierra. La

balanza se encuentra en equilibrio cuando las dos fuerzas son iguales, y por consi-

guiente las masas son iguales. Hemos justificado asi el metodo indicado en la

section 2.3 para medir la masa mediante una balanza.

418 Interaction gravitational (13.4

13.4 La energia potencial gravitational

Debido a que la interaction gravitational dada por la ec.{!3.1)es central y depende

solamente de la distancia, corresponde a una fuerza conservativa. Podemos por

consiguiente asociar con ella una energia potential gravitational. Suponiendo que

el origen de coordenadas se encuentre en m' y considerando solamente la fuerza

que actua sobre /n, notamos que F, siendo una fuerza de atraccion, tiene direc-

tion opuesta al vector r — OA = run donde ur es el vector unitario en la direc-

tion OA y, por consiguiente, en lugar de la ec. (13.1), debemos escribir con maspropiedad la ecuacion vectorial

F = ymmUr , (13.2)

Esta fuerza es igual al gradiente de la energia potencial pero con signo negativo*

En nuestro caso, como la fuerza es central y actiia a lo largo del radio, la energia

potencial depende solamente de r y es sufi-

ciente aplicar la ec* (8.25) esto es, Fr —= — dEpjdr. Entonces Fr = — ymm'jr2

y

dEJt

dr

ymm

Integrando, y asignando el valor cero a la

energia potencial a distancias muy grandes

(r — oo), obtenemos

fEpdE

}

J n

ymm.dr

dando para la energia potential gravitational

tacional de m' sobre m es opuesta del sistema compuesto de las masas m y m\al vector unitario ur alejandose la expresion

ymm'

Fig. 13-6* La atraccion gravi

de m'Ep = (13.3)

La energia total del sistema de dos particulas sometidas a su interaction gravi-

tational es entonces

E = imi* + ±mV* — ymm(13.4)

Para un sistema de mas de dos particulas, sometidas a su interaction gravita-

tional, la energia total es

ym(mj

Tnrloc loti TnHnc IffTodas las

particulasTodos ' ij

los pares

En el caso de dos particulas, refiriendo su movimiento a un sistema de referenda

situado en el centro de masa del sistema, podemos usar el resultado del ejemplo 9.9

13-fy La energta potential gravitational 419

para expresar la energia cinetica de las dos particulas como Ek = ±yi%2t donde \l

es su masa reducida y vn es su velocidad relativa, de modo que la energia total

en este sistema es

, mm'

ri2

En el caso especial en que la masa de la particula m' es mucho mayOLg.ueia.masade m (m' > m), tenemos [recordando la definici6n de masa reducida, ec. (9.15)]

que \i & m> En este caso m' coincide practicamente con el centro de masa del

sistema, y podemos reemplazar la velocidad relativa vn por la velocidad de mcon respecto al centro de masa, resultando

E =$mv2 ~-±. (13.5)

Sij&particula se mueve en una 6rbita circular, la fuerza que actua sobre la masaesta dada por la ec. (7.28), FN = mipjr, y, reemplazando FN por la fuerza gra-

vitatoria de la ec. (13.1), tenemos

mi? ymm'

r2

Por consiguiente

^ = -I ±mm '

2 r

y la ec. (13.5) se reduce a

_ rmm r

E= ^. (13.6)

indicando que la energia total es negativa. Este resultado es m£s general que lo

que nuestra demostracion pueda sugerir; todas las orbitas eltpticas (o cerradas)

tienen una energia total negativa (E < 0) cuando definimos la energia potencial

como cero para una separation infinita. Una orbita cerrada significa que la energia

cinetica no es suficiente en ningun punto de la orbita para Uevar la particula al

infinito, para lo cual cambiaria su energia cinetica en energia potencial y ven-ceria la atraccion gravitacional. Esto puede verse porque, a una distancia infinita,

el segundo termino de la ec. (13.5) vale cero, y debemos tener E =$mvP, unaecuacion imposible de satisfacer si E es negativa.

Pero si la energia es positiva (E > 0), la particula puede Uegar al infinito ytener aiin energia cinetica. En la ec. (13.5) si suponemos r = oo, y designamosla velocidad en el infinito por v^, la energia cinetica en el infinito es

\mvle = E 6 Voo = |/ 2Ejm. (13.7)

Este resultado puede interpretarse de la siguiente manera. Supongamos que la

particula m se encuentra a una distancia muy grande de m r

y se le arroja haciaella con velocidad TO , denominada velocidad de aproximacion, de modo que la

420 Interaction gravitational

E<()

(13.4

E =

Elipse Hiperbola Parabola

Fig. 13-7. Relacion cntre la energia total y la trayuctoria en el movimiento bajo

una fuerza que varia inversamente con el cuadrado de la distancia.

energia total se determina por la ec. (13.7). Mientras la particula m se aproxima

a m', su energia potencial disminuye (volviendose mas negativa), y la energia

cinetica aumenta hasta que alcanza su maximo valor en el punto de mayor pro-

ximidad, el cual depende del momento angular de la particula (recordar la sec-

tion 8,11 y la Fig. 8-18). Entonces la particula comienza a alejarse, pierde energia

cinetica y eventualmente, a grandes distancias, recupera la velocidad v^. La

trayectoria es una curva abierta, ypuede demostrarse que es una hiperbola

y^ (seccion 13.5).

Hiperbola El caso particular de energia total cero

.E>0 (E = 0) es interesante porque entonces

la particula, de acuerdo a la ec. (13*7),

se encuentra en reposo en el infinite

(Pm = 0). La orbita esta aun abierta

pero en lugar de ser una hiperbola, es aho-

ra una parabola. Fisicamente correspon-

de a la situacion en la cual se suelta

una particula m a una distancia de m'

con una velocidad inicial que hace igua-

les su energia cinetica y su energia po-

tencial.

La Fig, 13-7 muestra los tres casos po-

sibles, indicando en cada caso la energia

total, la energia potencial, la energia;

cinetica, y el tipo de orbita.

E<0Elipses

Fig* 13-8. Trayectorias de una par-

ticula lanzada horizontalmente desde

una altura h sobre la superficie terrestre

con una velocidad v .

13.4) La energia potential gravitational 421

Estos resultados son muy importantes cuando se desea colocar en 6rbita unsatelite artificial. Supongamos que un satelite se lanza desde la tierra, Despues

de alcanzar su maxima altura h debida al lanzamiento, fecibe un impulso final

en el punto A, produciendo una velocidad horizontal v (Fig. 13-8). La energia

total del satelite en A es

R + h

La 6rbita ser& una elipse, una pardbola, o una hiperbola dependiendo de que Esea negativo, cero o positivo. En todos los casos el centro de la tierra se encuentra

en un foco de la trayectoria. Si la energia es pequeiia, la 6rbita eliptica inter-

sectar& la tierra y el satelite retornari. Si no lo fuera se movers en una 6rbita

cerrada, o escaparA de la tierra, dependiendo del valor de oQ .

La misma 16gica se aplica a un satelite natural como la luna. Obviamente

para satelites interplanetarios puede requerirse una 6rbita con energia positiva.

En cualquier caso, generalmente se requiere algun mecanismo de guia para ajustar

la trayectoria despues del lanzamiento.

EJEMPLO 13*3, La velocidad de escape es la velocidad minima con la cual debelanzarse un cuerpo desde la tierra para que llegue al inflnito. Calcular la velocidadde escape de un cuerpo lanzado desde la tierra.

Solucitin: A fin de que la particula llegue al inflnito, la energia total debe ser cero

o positiva, y obviamente la minima velocidad corresponded a la energia total cero.

Por consiguiente, de la ec. (13.5) con E = 0, y denominando M la masa de la tierra,

R su radio, y ve la velocidad de escape del proyectil, tenemos imv?— ymM/R = 0,

la cual da la relaci6n necesaria entre vt y R en la plataforma de lanzamiento. Porconsiguiente la velocidad de escape desde la tierra es

vt = ]/2yM/R = 1,13 x 10 1 m s- 1. (13.8)

que es igual a 40.700 km/hr o alrededor de 25,280 mi/hr. Ndtese que la velocidadde escape es independiente de la masa del cuerpo. Sin embargo, la fuerza requeridapara acelerar un cuerpo hasta que alcance la velocidad de escape depende de la

masa del cuerpo, y esta es la razdn por la cual los proyectiles y sat&iles requierende motores muy poderosos.

Un proyectil lanzado desde la tierra con una velocidad ut dada por la ec. (13.8)

tendra velocidad cero cuando llegue al inflnito. Si la velocidad es mayor que vt

la particula llcgara al inflnito con alguna velocidad. Si la velocidad de lanzamientoes menor que ve , la particula regresara a la tierra, a menos que sea colocada en una6rbita limitada mediante sucesivas etapas del cohete propulsor y se cambie la di-

reccidn de la velocidad, como se explic6 en conexi6n con la Fig. 13-8.

El concepto de velocidad de escape es tambien util al determinar el escape delos gases de la atm6sfera terrestre. Si suponemos que los gases que constituyenla atm6sfera se encuentran en equilibrio termico, la velocidad rem de sus moleculasesta dada por la ec. (9.59) como

Prcm - V3ftr/m. (13.9)

La velocidad raiz media cuadratica de los gases encontrados en la atm6sfera te-

rrestre a su temperatura promedio son: hidr6geno, 1908 m s- 1; helio, 1350 m s

_1;

nitr6geno, 510 m s~l; oxigeno, 477 ms _1

;y bkSxido de carbono, 407 m s_I . En todoslos casos la i>rcm es menor que la ve , y podemos llegar a la conclusi6n que ninguna

422 Interaction gravitational (13.4

molecula de gas puede veneer la atraccidn gravitacionalyescapar de la tierra. Pero

esto serfa una conclusidn falsa.

La velocidad rafz media cuadrAtica vrCm es una velocidad promedio, y ello sig-

nifica que hay muchas moteculas que se mueven con velocidades mayores o meno-

res que Prcm. Aun si wrcm es menor que *v, un cierto mimero de moleculas se mueven

con velocidades iguales o mayores que v* 9 y 6stas pueden escapar de la tierra,

especialmente si se encuentran en las capas superiores de la atmdsfera. De las ci-

fras arriba indicadas, vemos que este efecto es mas importante para los gases li-

geros que para los pesados, y esta es una de las razones por la cual el hidrdgeno

y el helio son escasos en nuestra atmdsfera. Se ha estimado que, debido a este efecto

gravitatorio, el hidr6geno escapa de la tierra a un promedio de 1,3 x 10" &tomos

por segundo, lo cual equivale aproximadamente a 600 kg por afio. Sin embar-

go, esto no representa la p^rdida total de hidrdgeno de la superficie terrestre, yla perdida neta puede ser diferente debido a otros procesos.

Para el planeta Mercurio, la velocidad de escape es mucho menor que para la

tierra ; lo mas probable es que haya perdido casi toda su atm6sfera. Lo mismo es

cierto para la luna. Venus tiene una velocidad de escape casi igual a la de la tierra.

Marte tiene una velocidad de escape alrededor de 1/6 la de la tierra, y por ello re-

tiene algo de su atmdsfera, pero ha perdido proporcionalmente una fraccidn mayor

de su atmdsfera. De hecho, la presidn atmosfSrica de Marte es mucho menor que

la de la tierra. Para los otros planetas, la velocidad de escape es mayor que la de la

tierra, y por ello todavia retienen la mayor parte de sus atmdsferas originales.

Sin embargo, por otras razones, la composicidn de las atmdsferas de estos planetas

son diferentes de la de la tierra.

EJEMPLO 13.4. Determinar la velocidad de un cuerpo, que se suelta a una dis-

tancia r del centro de la tierra, al llegar a la superficie terrestre.

Soluddn: La velocidad inicial del cuerpo es cero y su energia total, de acuerdo a la

ec. (13.5) es por consiguiente

E = ymMr

donde m es la masa del cuerpo y Af la masa de la tierra. Cuando llega a la super-

ficie terrestre, su velocidad es v y su distancia al centro de la tierra es el radio de la

tierra R. Por ello

R

Igualando ambos valores de E, ya que la energia ha permanecido constante (des-

preciamos la friccidn atmosterica), tenemos

ymM ymM* R r

[.

Despejando v\ obtenemos

<" = 2YM (i-T>r \

O, recordando del ejemplo 13.1 que|0 = yM/RH se obtiene

u* = 2R*g(±-±y (13.10)

13.5) El movimiento general bajo la interaction gravitational 423

Esta expresi6n puede tambien usarse para encontrar la distancia r alcanzada porun cuerpo lanzado verticalmente con velocidad v desde la superflcie terrestre.

Si el cuerpo se suelta a gran distancia de modo que 1/r es despreciable compa-rado con \/R, obtendremos

woo = V2Bg = ]/2yM/R = 1,13 x 10* m S" 1,

de acuerdo con el resultado dado en-la ec. (13.8) para la velocidad de escape. Estono es sorprendente, puesto que este problema es justamente el reverso del problemadel ejemplo 13.3. El resultado obtenido da, por ejemplo, la velocidad aproximadacon la cual un meteorito choca con la superflcie de la tierra.

13.5 El movimiento general bajo la interaccidn gravitational

Hasta el moraento hemos establecido las leyes de Kepler solamente para drbitas

elipticas. En la secci6n 13.2 hemos demostrado que, de acuerdo a estas leyes,

el movimiento se produce, por lo menos en el caso de las 6rbitas circulares, cuandola fuerza es de atracci6n e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

Sin embargo, en la secci6n 13.4, cuando discutimos la energia, indicamos queestas leyes se cumplen para 6rbitas hiperbdlicas y parab61icas, ademas de cum-plirse en las elipticas. Verifiquemos ahora esta afirmaci6n.

En el capitulo 8 desarrollamos una relaci6n (ec. 8.42) entre las coordenadas

polares de una particula en funcibn de las magnitudes dinamicas del movimiento.

Si usamos la ec. (8.37) para la energia potencial efectiva, podemos escribir dicha

relation en la forma siguiente

/ dr y _ m*r* \ 2[E-Ep(r)] V-\

\~dTJ ~~L^"t m ~nWy {U-U)

donde L es el momentum angular de la particula. Ahora la ecuaci6n de una sec-

cion conica en coordenadas polares con el origen en un foco (ver la nota al final

de esta secci6n) es

— = 1 + s cos 6, (13.12)

donde e es la excentricidad y d la distancia del foco a la directriz. Derivandola expresi6n con respecto a 6, obtenemos

ed dr

y asi

/ dr y _ r*sen2 6

\"d9"/ ""d* "

Sustituyendo en la ec. (13.11) y cancelando r* en ambos lados, podemos escribir

L1 \ m m2fi]

424 Interaction gravitational (13.5

Ahora, de la ec, (13.12), cos 9 = djr— l/e , Por consiguiente

> *> 1 2 Q 1 I d 1 V 1<P 2d 1

sen2 6 = 1 — cos2 6 = 1 — ( — = 1 \- — ,

\ T e / r2 e/- e2

Sustituyendo en la ecuacion previa, se obtiene

!_ **_,

2d _ J_ __ 2 d2m£ 2 (PmEp(r) d2

"i*" "ei7 ~? L2

™Z2 T2

"*

Cancelando el termino d2/r2 en ambos lados e igualando aquellos terminos queson constantes y aquellos dependientes de r, obtenemos

2d2m£ ,1 , L2 / 1 \

y

2 iPmEJr) 2d A „ , v L*7^=— 6 £p(r)= 3~- 03-14)Ir er m der

La ec. (13.14) indica que, para describir una secci6n conica con el centro de fuerzas

en un foco, la energia potencial Ep(r) debe variar con la distancia como 1/r, ypor consiguiente la fuerza, la cual es Fr = — dEpjdT, debe variar como 1/r2.

Esto generaliza la primera ley de Kepler al incluir la hiperbola y la par&bola,

ademas de la elipse, como orbitas posibles.

La orbita sera una elipse, parabola, o hiperbola dependiendo de que la excen-

tricidad e sea menor que, igual a, o mayor que, uno. De la ec. (13.13) vemos queesta relation corresponde a una energia total E negativa, cero, o positiva, veri-

ficando asi nuestra discusion de la section 13.4.

Debemos notar que una hiperbola tiene dos ramas, y bajo la accion de unafuerza de atraccion se describe solamente la rama con respecto al centro de atrac-

cion (rama derecha de la Fig. 13-9). Si la fuerza es de repulsion, esto es F = + Cjr\la orbita corresponde a la rama de la izquierda de la Fig. 13-9. En este caso, esto

es, para una fuerza de repulsion, la energia potencial es Ep= + C/r, y es posi-

tiva. Por lo tanto, la energia total E = ^mv1 + Cjr es siempre positiva y no hayorbitas limitadas. Ya hemos considerado el movimiento bajo la accion de unafuerza de repulsion que varia con el inverso del cuadrado de la distancia cuandodiscutimos la dispersion en el ejemplo 7.16.

Las consideraciones precedentes serian suficientes para proporcionar un ana-lisis completo del movimiento planetario si supieramos que el movimiento de unplaneta alrededor del sol no fuera afectado por los otros planetas y cuerpos ce-

lestes. En otras palabras la orbita de la tierra (y de todos los otros planetas)

seria una elipse perfecta si no hubiera otras fuerzas, ademas de la del sol ac-

tuando sobre la tierra. Sin embargo, la presencia de otros planetas introduce

pertuxbaciones en la orbita de un planeta. Estas perturbaciones pueden calcu-

late con gran exactitud mediante tecnicas especiales que constituyen la ciencia

llamada mecanica celeste. Las perturbaciones pueden ser analizadas, esencial-

mente, por dos efectos. Un efecto es que la orbita eliptica de un planeta no es

13.5) El movimiento general bajo la interaction gravitational 425

s

/ / Trayectoria de mbajo una fuerza

de atraccion

Fig- 13-0. Trayectorias hiperb61icas bajo fuerzas de atraccion y de repulsi6n quevarlan con el inverso del cuadrado de la distancia.

cerrada, sino que el eje mayor de la elipse rota muy lentamente alrededor del

foco donde esta situado el sol, efecto que se denomina avance del perihelio

(Fig. 13-10a). El otro efecto es una variation periodica de la excentricidad de la

elipse con respecto a su valor promedio, como se indica en la Fig, 13-10(b), Estos

cambios ocurren muy lentamente. En el caso de la tierra tienen un periodo del

orden de 10s anos (alrededor de 21' de arco por siglo para el movimiento del

perihelio), Aun asi, han producido efectos notables, especialmente en los cambios

lentos de las condiciones climaticas de la tierra. Estos cambios han sido indicados

por los geofisicos que han estudiado las diferentes capas de la corteza terrestre.

(a: oo

Fig. 13-10. Perturbaciones en el movimiento planetario.

(a) Rotaci6n del eje de la elipse. (b) Oscilacion en la excen-tricidad de la elipse. Los dos efectos han sido grandementeexagerados.

Al discutir el movimiento en un campo gravitational hemos supuesto que puede

usarse la mecanica newtoniana de los capitulos 7 y 8. Sin embargo, un analisis

m&s preciso requiere el uso de la teoria general de la relatividad de Einstein (ver

secci6n 13.8). Uno de los principales efectos relativisticos es una rotaci6n adi-

426 Interaction gravitational (13.5

clonal del eje mayor de la 6rbita de un planeta. Este efecto relativjstico es m£ximopara la 6rbita de Mercurio, el planeta m£s cercano al sol y el cual tiene una delas 6rbitas mis excentricas. El avance observado del perihelio de Mercurio ex-cede, cerca de 42" de arco por siglo, el efecto calculado por medio de la me-c£nica Newtoniana que toma en cuenta la perturbaci6n de los otros planetas. Lateoria general de la relatividad de Einstein predice precisamente este avanceadicional del perihelio. Este efecto relativistico es mucho menor para otros pla-

netas, y no se ha observado aiin.

Nota aobre teeeiones ctinicos: Una familia importante de curvas planas son lassecciones cdnicas. Una secci6n c6nica se define como una curva generada por unpunto que se mueve de modo que la relaci6n entre su distancia a un punto denomi-nado foco, y a una llnea, llamada directriz, es constante. Hay tres clases de sec-ciones cdnicas, llamadas elipse, parabola, e hiperbola, dependiendo de si esta cons-tante (llamada la excentricidad) es menor que, igual a, o mayor que, uno. Desig-nando la excentricidad por e, el foco por F, y la directriz por HQD (Fig. 13-11),tenetnos

e = PF/PQ.

Ahora PF = r, y si establecemos que FD = d, entonces PQ = FD— FBcos 6. Luego e = r/(d— r cos 6). O, despejando r, encontramos que

= rf—

r

td = 1 + e cos 8.

Esta es la forma de la ecuacidn de una seccidn cdnica que se ha usado en el texto(ec. 13.12). (En algunos textos, la ecuacWn de la secci6n c6nica es derivada usandoel ingulo n— 6, y por ello la ecuacibn aparece en la forma td/r = 1 — e cos e.)En el caso de una elipse, que es una curva cerrada, el punto A corresponde a 8 =y el punto A' a 6 - n. Asi, de acuerdo a la ecuacitfn polar, tenemos

zd

Directriz //

Luego, como rt + rt = 2a, el semieje---4Q mayor esti dado por

1 +c *• =td

1—

e

D fl = Hr, + rt) =

El semieje menor es b

el area de la elipse es

td

1 — e«

= afT

Ftg. 13-11.

la elipse.

Elementos geometricos de S = nab = Tea* \ 1 —Un circulo es un caso especial de una elipse

cuando e = 0. (Para mayores detalles sobresecciones cdnicas, y en particular la elipse, ver G. B. Thomas, Cdkulo infinitesimal

y geometrfa analitica, tercera edicidn. Madrid: Aguilar, 1964, pAg. 473).

EJEMPLO 13.5. En el caso del movimiento eliptico, relacionar la energia total

y el momentum angular, con el semieje mayor a y la excentricidad t de la elipse.

13,5) El movimiento general bajo la interaction gravitational 427

Solucidn: De la nota precedente sobre secciones c6nicas, sabemos que el semiejemayor de una elipse se expresa en funci6n de la excentricidad e y la distancia d

de acuerdo con

zda =

1 —

£

2

For consiguiente, de la ec. (13.13) teneraos

E = L * 6*~ l = L%™

2 d2m *

ea ~~ 2e dma

'

Pero de la ec. (13.14) con Ep =— ymm'/r, tenemos

mm' L* , L2ymm _r mzdr mtd

= ynim

Realizando la sustitucitfn correspondiente en la

expresi6n de E, obtenemos

E = — ymm2a

Fig. 13-12. Orbitaselipticas pa-

ra diferentes valores del momen-tum angular pero igual energia.

Todas las 6rbitas tienen el mismofoco y eje mayor, pero difleren

en excentricidad.

Comparando este resultado con la ec. (13.6), quederivamos para 6rbitas circulares, vemos queson esencialmente identicas, ya que a = r para una drbita circular. Este resultado

tambien conflrma el hecho de que la energia total es negativa y depende sola-

mente del semieje mayor a. De modo que todas las 6rbitas elipticas que tienen el

mismo semieje mayor como se ilustra en la Fig. 13-12 tienen la misma energia total,

aunque diferentes excentricidades. Usando la expresitfn ed = a(l—

e

a), podemos es-

cribir otra relaci6n util

:

L* = ym*m'td = ym*m'a(l — e 8).

Eliminando el semieje mayor a usando la expresi6n previa de la energia E, obte-

nemos la excentricidad de la 6rbita.

1 +2E I L ym Ivmrn' /

Vemos asl que la excentricidad depende de la energia y el momentum angular. Las6rbitas ilustradas en la Fig. 13-12 tienen todas la misma energia, pero diferente mo-mentum angular y tienen diferentes excentricidades. En otras palabras, en un campoque uaria con el inverso del cuadrado de la distancia

fa una energia total dada pueden

corresponder diferentes estados de momentum angular. Esto es de gran importanciaen la discusidn de la estructura at6mica, debido a que en un atomo puede habervarios electrones que tienen la misma energia pero diferente momentum angular.

Resumimos los resultados precedentes diciendo que el "tamano" de la 6rbita

(dado por el semieje mayor) es determinado por la energia, y que para una energia

dada, la "forma" de la drbita (dada por la excentricidad) estd determinada por el

momentum angular.

EJEMPhO 13.6.

ticas.

Veriflcar que la tercera ley de Kepler se cumple en 6rbitas ellp-

Solucidn: Recordemos que en la secci6n 13.2 usamos la tercera ley de Kepler para

veriflcar la ley del inverso del cuadrado para la fuerza en el caso de drbitas circu-

lares. Veriflcaremos ahora que esta ley se cumple tambiGn para cualquier drbita

428 Interaction gravitational (13.6

eliptica. La demostraci6n es de manipulaci6n algebraica directa basada en las pro-piedades de la elipse.

De la ec. (7.35), que expresa la constancia del momento angular, tenemos que

d68" v

dt m 6 r*d$ = — dt.mEn un periodo P el radio vector barre el irea de la elipse y 6 varia de a 2tt, Porello podemos obtener el &rea de la elipse escribiendo:

Area = J r% d9 =—\ dt = LP

2m

Pero el drea de la elipse es na\\ — ey« (ver la nota al final de la secci6n 13.5).Por consiguiente

n*a\l — z*) = L*P*/4mK

Pero del ejemplo 13.5 tenemos que L* = ym*m'a(l — e*). Por lo tanto

jt*a> = iym'P* 6 P« =—- a>ym'

que es la tercera ley de Kepler, ya que el valor promedio de r es obviamente pro-portional al semieje mayor a.

---- E

13.6 El campo gravitational

Introduciremos ahora un concepto muyimportante en fisica, el de campo gravi-

tational. Supongamos que tenemos unamasa m y que colocamos, en diferentes

posiciones alrededor de m, otra masa m'(Fig. 13-13), En cada posici6n la masa m'experimenta una fuerza debida a su in-

teracci6n gravitational con m y dada por

la ec. (13.2),

F = ymmur.

Fig. 18-18. El campo gravitational pro-ducido por una masa puntual envarios puntos.

Por supuesto, que en cada posici6n de

m\ la masa m experimenta una fuerza

igual y opuesta. Sin embargo, por el

momento solamente estamos interesados

en lo que le pasa a m\Podemos decir que la masa m produce, en el espacio que la rodea,una situaci6n

fisica que llamamos un campo gravitational, y que se reconoce por la fuerza que mejerce sobre otra masa, tal como m\ colocada en dicha regi6n. Si existe algiin

efecto en el espacio vacio alrededor de /n, aun cuando no usamos una carga deprueba m' para examinar el campo, es algo sobre lo que s61o podemos especular,

13.6) El campo gravitational 429

y es hasta cierto punto una interrogante sin importancia, ya que notamos el campo

gravitatorio solamente cuando usamos una segunda masa.

La intensidad del campo gravitational^ producida por la masa m en el punto Pse define como la fuerza ejercida sobre la unidad de masa colocada en P. Luego

9 JLIn'

vmur

(13.15)

S "r

Fig. 13-14* El campo gravitacional en

P, producido por la masa puntual m, es

opuesto at vector unitario ur.

Luego el campo gravitacional 9 tiene di-

rection opuesta a la del vector unitario

wr, el cual se dirige de la masa que produce el campo al punto donde se calcula

el campo. En otras palabras, el campo gravitacional siempre senala hacia la masa

que lo produce.

La expresion (13.15) da el campo gravitacional a una distancia r de una par-

ticula de masa m colocada en 0. Podemos asociar entonces con cada punto en el

espacio alrededor de m (Fig. 13-14) un vector <& dado por la ec. (13.15), tal que

la fuerza gravitacional ejercida sobre cualquier masa colocada en dicha region se

obtiene multiplicando la masa por el valor correspondiente de %+ Esto es,

F = (masa de la particula) x 9.

De la definition vemos que la intensidad del campo gravitacional se mide en

N kg-1 o m s-2

, y es dimensionalmente equivalente a una aceleracion. Compa-

rando la ec. (13.15) con la ec. (7.16), notamos que la aceleracion de la gravedad

puede considerarse como la intensidad del campo gravitacional en la superficie

de la tierra.

m3

O3^

Pig. 13-15. Campo gravitacional re-

sultante dt vanas masas.

Fig. 18-16. Lineas de fuerza y su-

perficies equipotenciales del campogravitacional de una masa puntual.

Supongamos ahora que tenemos varias masas mv m2 , m3, ... (Fig. 13-15), cada

-na produciendo su propio campo gravitacional. La fuerza total de una particula

430 Interaction gravitational (13.6

de masa m en P es obviamente

F = m^x+ m<82 + m% + . .

.

= m{9x + ®8 + «8 + ...) = ™«> (13.16)

donde ®lt #2 , S?3, - . son los campos gravitacionales producidos por cada masaen el punto P, y se calculan de acuerdo a la ec. (13.15). E] campo gravitational

resultante en el punto P es por lo tanto el vector suma

« = «, + «, + »,+ ... = y*, -5-

u

ri . (13.17)n

Un campo gravitacional puede representarse figurativamente por tineas de

fuerza. Se traza una linea de fuerza de modo que en cada punto la direction del

campo es tangente a la linea que pasa por el punto. Las lineas de fuerza se trazan

de modo que su densidad sea proporcional a la intensidad del campo. La Fig.

13-16 muestra el campo alrededor de una masa puntual; todas las lineas de

fuerza son radiales y la intensidad del campo es mayor cerca a la masa. LaFig. 13-17 muestra el campo alrededor de dos masas desiguales, es decir, la tierra

y la luna. Aqui las lineas no son radiales y en la vecindad del punto A la inten-

sidad es muy debil (en A es cero).

Otro concepto importantees el At potential gravitational, definidocomo la energia

potential por unidad de masa colocada en el campo gravitacional . Asi, si en uncierto punto en un campo gravitacional, una masa m' tiene una energia potential

Ept el potential gravitacional en dicho punto es V = Epjm\ El potencial gravi-

tacional se expresa en las unidades J kg-1 o m2s-2

.

De la ec. (13.3), dividiendo por m\ vemos que el potencial gravitacional a unadistancia r de una masa m es

V = — ymfr. (13.18)

Si en lugar de una particula, tenemos varias masas, como en la Fig. 13-15, el

potencial gravitacional en P es la suma escalar V = Vx + V

2 + V3 -f . . ., o

V ri h r3 / n

(13.19)

Comparando la ec. (13.18) con la ec. (13.15) notamos que la magnitud del

campo gravitacional es

# = — dV/dr, (13.20)

y en general, de la expresidn F = — grad Ept obtenemos

<§ = — grad V, . (13.21)

donde "grad" significa gradiente, como se indico en la secci6n 8.7, Por consi-

guiente, el campo gravitacional es el gradiente con signo negatioo del potencial gra-

vitational. En coordenadas rectangulares podemos escribir

ev __av 8V

dxv

dg dz

13.6) El campo gravitational 431

\ \ \ \

Fig. 13-17, Lfneas de fuerza y superficies equipotenciales del campo gravitacional

resultante, producido por la tierra y la lima. En A el campo gravitacional es cero.

[Segun W. T. Scott, Am. J. Phys. 83, 712 (1965)].

El concepto de potencial gravitacional es muy util porque, como es una cantidad

escalar, puede calcularse muy facilmente, como indica la ec. (13.19), y puede

obtenerse luego la intensidad del campo gravitacional aplicando la ec. (13.21).

Uniendo los puntos en los cuales el potencial gravitacional tiene el rnismo valor,

podemos obtener una serie de superficies llamadas superficies equipotenciales.

Por ejemplo, en el caso de una sola particula, cuando el potencial esta dado

por la ec. (13,18), las superficies equipotenciales corresponden a las esferas

r = const, indicadas por las lineas punteadas. Notese que en cada caso las su-

perficies equipotenciales son perpendiculares a las lineas de fuerza. Esto puede

verificarse, en general, de la siguiente manera. Consideremos dos puntos, muycerca uno del otro, sobre la misma superficie equipotencial. Cuando desplazamos

una particula de uno de estos puntos al otro, el trabajo realizado por el campo

gravitacional que actua sobre la particula es cero, Esto se debe a que el trabajo

realizado es igual al cambio en la energia potencial. En este caso no hay cambio

en la energia potencial debido a que los dos puntos tienen el mismo potencial

gravitacional. El hecho de que el trabajo sea cero implica que la fuerza es per-

pendicular al desplazamiento. Por consiguiente la direction del campo gravitational

es perpendicular a las superficies equipotenciales. Esto significa que si conocemos

432 Interaction gravitational (13.6

las Uneas de fuerza podemos facilmente representar las superficies equipotenciales,

y viceversa.*

EJEMPLO 13.7. Discutir el campo gravitacional producido por dos masas igualesseparadas por la distancia 2a.

Solucidn: Colocando nuestros ejes de coordenadas como se indica en la Fig. 13-18

y aplicando la ec. (13.19) para dos masas iguales, tenemos que el potencial gra-vitacional en P(x, y) es

1/

** Str2^ ""/ i

s t^ S 1

** y(

**'* y/t

tr

\-«*

*r*S* 1«*

m2^ s r Wlj

(-o,0) (a, <»

PU; u)

Ahora de la Fig. 13.18 podemos ver que

Flgura 13-18

r, = [(x_ a)» + {/*]"*,

rs = [(x + o)« + y>l1/2

.

Asi

V —'"'

\ [(*— a)» + p«]»« '

1

11

' [(i + ay + y»]»« /"

El cambio en el potencial gravitacional producido por las dos masas a medida quenos desplazamos de — oo a + <x> lo largo del eje X se ilustra en la Fig, 13-19, Su-gerimos que el estudiante haga un grafico similar del potencial producido por cuatromasas iguales, espaciadas la misma distancia a lo largo de una lfnea recta.

Para calcular el campo gravitacional, aplicamos la ec. (13.21), usando coordena-das rectangulares, obteniendo

#* =

ST.

dx

dV

~ —ym

—ym

x -— a

[(* a)* + y»]»«

U

[<x — „) + »«]213,2

+

+

X +[(x + a) 8 +f y*V

!lJ

'

[(* +-y \«)

4 + y*] 3/* J

m'In

m

Pig:. 18-19. Variaci6n del potencial gravitacional producido por dos masas iguales

a lo largo de la linea que los une.

* Se recuerda al estudiante la nota a continuation de la secci6n 8.7 respecto al gradiente, dondese demostr6 que el vector grad Ev es perpendicular a las superficies Ep = const. Esto es equi-valente a la proposition anterior ya que ^§ = — grad V.

13.6) El campo gravitational 433

El campo tienc simetria de revoluci6n alrededor del eje X. Sugerimos que el estu-

diante investigue el campo a lo largo de los ejes Y- y Z- y que represente grdflca-

mente las llneas de fuerza ; estas deben ser simetricas alrededor de 0. Sugerimos

tambien que repita el problema, usando las coordenadas polares r, G de P, y que

encuentre 9t y &$.

EJEMPLO 13.8. Obtener el campo gravitational producido por una capa delgada

de materia extendida sobre un piano infinito.

Solucidn: Dividamos el piano en una serie de anillos, todos concentricos, con la

proyeccidn de P sobre el piano (Fig. 13-20). Cada anillo tiene un radio R y un

espesor dR. Luego el Area es (2nR dR. Si o es la masa por unidad de Area sobre el

piano, la masa del anillo es dm = aQnRdR) = 2noRdR. Todos los puntos del anillo

se encuentran a la misma distancia r de P, y por consiguiente el potential que

produce en P es

dV = y dm 2nya R dR(z* + R*)l,t

ya que r = (z2 + R*)lf*. Para obtener el potential total tenemos que sumar las

contributions de todos los anillos. Esto es, tenemos que integrar la expresion an-

terior dei? = 0af? = oo. El resultado es

= — 27cyo (oo — z).

Obtenemos asf una contribuci6n infinita

pero constante del limite superior. Comoestamos interesados solamente en la di-

ferencia de potential entre el piano y el

punto, que es lo que en realidad medi-mos experimentalmente, debemos restar

de la expresi6n anterior el valor paraz=0; esto es — 2*70(00). Obtenemosfinalmente

y = 2ttyoz. f*S» 13-20. Campo gravitational de unpiano.

Lo que realmente hemos hecho es llevar

a cabo un proceso denominado renorma-lizaci6n 9 en el cual asignarnos el valor cero al potential del piano, y debemos por

consiguiente restar una cantidad infinita. Esta situaci6n es ilustrativa de casos

similares en otras aplicaciones fisicas en las que el resultado obtenido es infinito

o divergente pero, debido a que estamos interesados solamente en la diferencia entre

dos resultados infinitos, esta diferencia puede expresarse por una expresi6n flnita

o convergente.

El campo en P (ya que z es la coordenada del punto) se obtiene aplicando la

ec. (13.20), que da

ar = — dvdz

— 2ttyo.

El signo menos indica que S senala hacia el piano. N6tese que nuestro proceso de

renormalizacitin no afecta al campo, ya que la derivada de una constante, no im-

porta cu£n grande sea, es siempre cero. El campo gravitational es asi constante o

434 Interaction gravitational (13.7

Mai

S

eria

ma

*

2>0

V

1

?

s= 2tt7<7

T

*=—»*

i

-4?r7(7

Z<0s= -27rT(T

(a) (b) (c)

Fig, 18-21. Variaci6n de g y V para materia situada en un piano.

independiente de la posici6n del punto. Decimos entonces que el campo es uni-form. En realidad las expresiones que hemos derivado para V y S son validassolamente para z > 0. Pero la simetrfa del problema indica que el campo paraz < debe ser la imagen de los resultados para z > 0. Asi, para z < 0, debemosescribir V = — 2tcy<jz y ar = + 2nyo. Estos resultados son perfectamente com-patibles con nuestro calculo, debido a que la expresidn que hemos usado para calcu-lar V depende de z %

y, al escribir la soluci6n, deberfamos haberla expresado enla forma V = 27CTo|jr|, que es valida para z % 0.

El potencial y el campo en ambos lados del piano se han ilustrado en la Fig. 13-21.Podemos notar que, al pasar de izquierda a derecha a traves del piano, el potenciaino cambia de valor (pero cambia de pendiente en forma discontinua) y el camposufre un cambio subito de — 4nya. Puede demostrarse que este es un resultadogeneral vsilido para cualquier distribucitfn superficial de materia, independiente-mente de su forma.

13.7 El campo gravitational debido a un cuerpo esf&rico

Todas las f6rmulas expuestas en este capitulo son estrictamente validas solamentepara masas puntuales. Cuando las aplicamos al movimiento de los planetas alre-dedor del sol, fue bajo la suposici6n deque sus tamafios son pequenos comparadoscon su separaci6n. Si tomamos sus tamanos flnitos en consideraci6n, esto puedeintroducir algiin factor geometrico en la ec. (13.1), Similarmente, cuando rela-cionamos la aceleraci6n de la gravedad g a la masa y el radio de la tierra en el

ejemplo 13.1, usamos la ec. (13.1), a pesar del hecho que el razonamiento anteriorrelativamente pequeno no se aplica en este caso, Newton mismo se preocup6 poreste problema geometrico, y demoro la publicaci6n de su ley de gravitaci6nuniversal por unos 20 anos hasta que encontr6 la explication correcta. Enesta secci6n vamos a computar el campo gravitational producido por un cuerpoesferico. Comenzaremos calculando el campo gravitational de una capa esferica;esto es, de una masa uniformemente distribuida sobre la superficie de una esferacuyo interior est& vacio.

Llamemos a el radio de la esfera y r la distancia de un punto arbitrario P alcentro C de ella. Estamos interesados en obtener la intensidad del campo gravi-tational en P. Consideraremos primero el caso cuando P se encuentra fuera de la

esfera (Fig. 13-22). Podemos dividir la superficie de la esfera en zonas circulares

U.7) El campo gravitational debido a un cuerpo esferico 435

t deestrechas, todas con centros en la linea

AB. El radio de cada zona es a sen 6 yel ancho es a do. Luego el Area de la zona

es

Area = longitud X ancho == (2*a sen 6) (ade) == 2wa2 sen Ode.

Si m es la masa total distribuida uniforme-

mente sobre la superflcie de la esfera, la

masa por unidad de Area es m/4Tcaz y lapig- 18 _22# Cflculo del campo ^

masa de la zona circular es vitacional en un punto externo a unamasa distribuida uniformemente so-

2ir<t son

m4tCO*

(2ica* sen 6 de) = \m sen de.bre una ^P* <*«*».

Todos los puntos de la zona se encuentran a la misma distancia R de P. Por

consiguiente aplicando la ec. (13.19), encontramos que el potencial producido

por la zona en P es

y(\™ sen d6) ymdV = — = — sen de.

R 2R

De la Fig. 13-22, usando la ley de los cosenos, ec. (M.16), notamos que

fl* = a2 + r2— 2ar cos e.

Diferenciando, teniendo en cuenta que a y r son constantes, obtenemos

RdR2RdR=2ar sen e de sen e de =

ar

Sustituyendo en la expresi6n de dV, se obtiene

2ar(13.22)

Para obtener el potencial gravitational total debemos integrar sobre toda la super-

flcie de la esfera. Los limites de R, cuando el punto P se encuentra fuera de la

esfera, son r + a y r— a, Por consiguiente

= — JH!L f2ar J

r+adi?=--^(2a) =

2arv

'

ym% r> at (13.23)

es el potencial en un punto exterior a una capa esferica homogenea. Si el punto Pse encuentra dentro de la esfera (Fig. 13-23), los limites de R son a + r y a— r,

resultando

2ar J a_r 2ar a(13.24)

436 Interaction gravitational

que da un potential gravitational que es cons-

tants independiente de la posici6n de P.

Aplicando la ec. (13.21), encontramos que el

campo gravitational en puntos fuera de la capaesferica homogenea es

(13.7

» = — 1*~ ur , r> a, (13.25)

y en puntos en el interior de la capa esf&ica es

« = 0, r < a.

Fig. 13*28. Calculo del cam-po gravitacional en un puntointerior a una masa unifor-

memente distribuida sobreuna capa esf&ica.

(13.26)

Comparando las ec. (13.23) y (13.25) con las ec.

(13.18) y (13.15), llegamos a la siguiente conclu-

si6n: El campo gravitacional y el potential para

puntos exteriores a una masa uniformemente dis-

tribuida sobre una capa esferica es idintica al campogravitacional y al potential de una particula de la misma masa situada en el centro

de la esfera. En todos los puntos interiores a la capa esferica el campo es cero y el

potential es constants

La Fig. 13-24 muestra la variacidn de # y V con la distancia del centro de la

esfera, Puede verse que al desplazarse del centro hacia el infinito, el potentialen la capa esferica no cambia de valor (pero la pendiente cambia en forma dis-

continua). El campo, sin embargo, sufre un cambio subito de — ymja2. Recor-dando que, si a es la densidad superficial de la capa, m = 4*a2a, vemos que el

cambio subito en el campo es de — 4*y«. Obtenemos asi los mismos resultadosque para el piano en el ejemplo 13.8.

Supongamos ahora que la masa se encuentra uniformemente distribuida entodo el volumen de la esfera, esto es, la esfera es s61ida. Podemos entonces con-siderar que la esfera este construida como una cebolla, es decir, como la super-posici6n de una serie de capas esffricas delgadas* Cada capa produce un campodado por las ec. (13,25) 6 (13.26). Para un punto exterior a la esfera (Fig. 13-25),

Dentro de la esfera Fuera de la esfera

8 I

Dentro de la esfera Fuera de la esfera

V

(b)

FIff. 13-24. Variaci6n de g y de V, en funci6n de la distancia al centro, para unamasa uniformemente distribuida sobre una capa esferica.

13.7) El campo gravitational debido a un cuerpo esferico 437

Pig, 13-25. Calculo del campo gravi-

tacional en un punto exterior a unaesfera sdlida.

Fig. 13-26. Calculo del campo gravi-

tacional en un punto interior a unaesfera s6Iida.

como la distancia r del centro a P es la misma para todas las capas, las masas

se suman dando nuevamente el resultado (13.25). Por consiguiente una esfera

sdlida homoginea produce, en puntos externos a ellat un campo gravitational y un

potential identicos a aquellos de una particula de la misma masa situada en el centro

de la esfera*

Inverso con el cuadrado

Fig. 13-27. Variacidn de Q para una esfera homogeneas61ida en funci6n de la distancia al centro.

Para obtener el campo en el interior de una esfera homogenea, consideremos

un punto P situado a una distancia r del centro, con r <a. Dibujamos una

esfera de radio r (Fig. 13.26) y observamos que aquellas capas con radios ma-

* Este resultado se cumple aun cuando la esfera en lugar de ser homog^nea, tenga su masa dis-

tribuida con simetrfa esferica ; esto es, cuando su densidad es una funcion de la distancia al centro

solamente. Pero no se cumple si la masa esta distribuida de manera que dependa de la direccion.

438 Interaction gravitational n$j

yores que r no contribuyen al campo en P, de acuerdo a la ec. (13.26), ya que Pes interior a ellas, el campo resultante de todas las capas con radios menoresque r produce un campo similar al de la ec. (13.25). Llamemos m r

la masa dentrode la esfera punteada. Por la ec, (13.25), el campo en P seni

* = •£-*» (13,27)

El volumen de la esfera total es f tto3 y, como la esfera es homogenea, la masapor unidad de volumen es m/f tto3 . La masa m' contenida en la esfera de radio res entonces

,m mr3

Sustituyendo este resultado en la ec. (13.27), obtenemos finalmente para el campoen un punto interior a la esfera homogenea

« ymrWr. (13.28)

a3

Por consiguiente, el campo gravitacional en un punto interior a la esfera homo-genea es proporcional a la distancia r del centro. La razon por la cual el campoaumenta dentro de la esfera cuando el punto se aleja del centro es debida a quela disminucion por la ley inversa del cuadrado es sobrecompensada por el aumentoen masa, que es proporcional al cubo de la distancia. La Fig. 13-27 muestra la

variacion de en funcion de r para una esfera solida homogenea, Esta figurada, por ejemplo, la variaci6n que el peso de un cuerpo tendria cuando se le desplazadesde el centro de la tierra a un punto a gran distancia de el, si la tierra fuerahomogenea.

Dejaremos que el estudiante verifique que el potencial gravitacional en unpunto exterior a una esfera homogenea esta dado aun por la ec. (13.23), peroen un punto dentro de la esfera, el potencial gravitacional es

V=^-(r*-3a*), r<a.Act

Notese que en el problema esferico que hemos considerado en esta section, el

campo gravitacional en un punto depende solamente de la distancia del punto al

centro pero no de la direccion de la linea que une al centro con el punto. Esteresultado era de esperar por la simetria del problema. Si fueramos a considerar,en lugar de una esfera homogenea, un cuerpo con diferente geometria o simetria,o una esfera no homogenea (con la masa distribuida sin simetria esferica), es desuponer que los dngulos aparezcan en la ecuacion. Pero para problemas de sime-tria esferica las propiedades dependen solamente de la distancia al centro. Laaplicacion de consideraciones de simetria simplifica la solucion de muchos pro-blemas de fisica.

13.7) El campo gravitational debido a un cuerpo esfirico 439

Nos encontramos ahora en condiciones de verificar que la ec. (13.1) de la atrac-

ci6n gravitatoria entre dos masas puntuales se aplica tambien para dos cuerpos

esfericos homog^neos. Supongamos que colocamos una masa puntual m' a una

distancia r del centro de una masa esf&ica m (Fig. 13.28). El campo que expe-

riments es 3? = Ym/r2, y la fuerza sobre m' es m f<$ = ymm'li*. Por la ley de

acci6n y reaccidn, m fejerce una fuerza igual y opuesta sobre m, Esta fuerza se

considera que se debe al campo creado por rri en la regi6n ocupada por m. Ahora,

si reemplazamos m! por un cuerpo homegeneo esferico de la misma masa, el campo

alrededor de m no cambia, debido al teorema que hemos demostrado y, por con-

siguiente, la fuerza sobre m es la misma. Nuevamente invocamos el principio de

acci6n y reaccidn y llegamos a la conclusi6n de que la fuerza sobre la masa esferica

m' es aun la misma. En consecuencia, dos masas esfericas homogeneas se atraen

entre si de acuerdo a la ley (13*1), donde r es la distancia entre sus centres. Si

las masas no son ni esfericas ni homogeneas aparecer£ en la expresidn de su

interaction algun factor geometrico, incluyendo los angulos que definen su orien-

taci6n relativa.

Fig. 18-28. La interaccidn gravita- / \ /'^

cional entre dos cuerpos esfericos . — —

•

homog£neos depende solamente de la

distancia entre sus centros

ni'

EJEMPLO 13.9. Discutir la variaci6n de la aceleracidn de la gravedad que tiene

lugar cuando uno se desplaza una pequeiia distancia hacia arriba o hacia abajo

de la superflcie de la tierra.

Soluci6n: Llamemos h la altura del cuerpo sobre la superflcie terrestre. Su distancia

al centro es r = R + ft. La intensidad del campo gravitational, de acuerdo a la

ec. (13,25) es

yM9 =

(R + ft)1

donde la masa m ha sido reemplazada por la masa M de la tierra. Considerando

que ft es pequefta comparada con R y usando la aproximaci6n binomial (M.28)

y el resultado del ejemplo 13.1, tenemos

+ h/R)*y \RJ *\ RtR\l + h/RY

Introduciendo los valores de g y R fobtenemos

ST = 9,81 — 3,06 x 10-«ft m s-».

Esta expresidn da, aproximadamente, la variaci6n en la aceleracidn de la gravedad

y en el peso de un cuerpo, cuando uno se desplaza hacia arriba una pequeiia dis-

tancia ft sobre la superflcie de la tierra.

Si por el contrario nos desplazamos hacia el interior de la tierra una distancia ft,

tenemos r = R— ft. Usando la ec. (13.28), con m reemplazada por M y a por R,

obtenemos

«r =R* "IP I

1-R)- g Y r)'

440 Interaction gravitacional (13.8

ot introduciendo los valores apropiados

9T = 9,81 — 1,53 x 10-Vi m S" a.

En ambos casos la gravedad disminuye, pero lo hace mas rapidamente para puntossituados sobre la superflcie que para puntos por debajo (Recordar la Fig. 13-27),

13.8 Principio de equwalencia

El hecho de que las masas inercial y gravitacional sean las mismas para todoslos cuerpos da lugar a un resultado importante:

Todos los cuerpos situados en el mismo lugar en un campo gravitacionalexperimentan la misma aceleracion.

Un ejemplo de este hecho es el descubrimiento de Galileo de que todos los cuerposcaen a la tierra con la misma aceleracidn. Este descubrimiento, como ya hemosmencionado, es a su vez una prueba indirecta de la identidad de las masas inercial

y gravitacional.

Para demostrar la proposition anterior notamos que en un lugar donde el

campo gravitacional es ®, la fuerza sobre un cuerpo de masa mesF = m®, ysu aceleracidn es

Fm

la cual es independiente de la masa m del cuerpo sometido a la action del campogravitacional. Nfttese que la aceleracion es igual a la intensidad del campo, lo cuales consistente con nuestro resultado previo de que el campo gravitacional semide en m s~2.

Si el laboratorio de un experimentador se coloca en un campo gravitacional,el observara que todos los cuerpos con los cuales experimenta, y que no estansometidos a otras fuerzas, experimentan una aceleracion comiin. El experimen-tador, al observar esta aceleracion comun, puede llegar a la conclusion de quesu laboratorio se encuentra en un campo gravitacional.

Sin embargo, esta conclusion no es la linica explication posible de la obser-vation de una aceleracion comun. En la section 6.2, cuando discutimos el movi-miento relativo, indicamos que cuando un observador en movimiento tiene unaaceleracion a con respecto a un observador inercial y a es la aceleracion deun cuerpo medida por el observador inercial, la aceleracion medida por el obser-vador en movimiento se expresa por:

a' = a — a .

Si el cuerpo esta libre, la aceleracion a medida por el observador inercial es cero.Por consiguiente, la aceleraci6n medida por el observador acelerado es a' = — a .

Asi todos los objetos libres parecen tener para el observador acelerado una acele-

13.8) Principio de equivalencia 441

ration comun — o , una situation identica a aquella encontrada en un campo

gravitational de intensidad <& = — o . Podemos, de este modo, llegar a la conclu-

si6n de que

un observador no tiene medios como distinguir si su laboratorio se

encuentra en un campo gravitational uniforme o en un sistema de

referenda acelerado.

Esta proposici6n es conocida como el principio de equivalencia, ya que muestra

una equivalencia, en lo que se refiere a la description del movimiento, entre un

campo gravitational y un sistema de referenda acelerado. La gravitation y la

inertia parecen no ser dos propied ades diferentes de la materia, sino s61o dos

aspectos diferentes de una caracteristica fundamental y universal de toda la

materia.

Supongamos, por ejemplo, que un observador tiene un laboratorio en un tren

que se mueve sobre rieles horizontals con velocidad constante, y que las ven-

tanas estan cubiertas de modo que el observador no tiene acceso al mundo ex-

terior. El observador experimenta con algunas bolas de billar dejdndolas caer,

y nota que todas caen con la misma aceleraci6n. Puede llegar entonces a la con-

clusi6n que esta rodeado por un campo gravitational vertical en direcci6n hacia

abajo, lo cual es la interpretaci6n normal. Pero igualmente podria suponer que

lo que sucede es que su tren esta siendo elevado con una aceleracion vertical,

igual y opuesta a la de las bolas, y que las bolas est&n libres y no estin sometidas

a ningun campo gravitacional.

Supongamos ahora que el observador coloca bolas sobre una tabla de billar

situada en el tren. Cuando el observador nota que las bolas ruedan sobre la mesa

hacia la parte posterior del tren con una aceleraci6n comun, el puede llegar a la

conclusion que sobre su laboratorio actiia un nuevo campo gravitacional hori-

zontal dirigido hacia la parte posterior del tren o que su laboratorio es acelerado

hacia adelante horizontalmente. La segunda suposici6n es la usual, asociada con

una decisidn del maquinista de acelerar el tren. Sin embargo el tren podria en

su lugar ir subiendo una cuesta, lo cual es equivalente a producir un campo gra-

vitacional paralelo al piso del tren, con el mismo resultado en el movimiento de

las bolas de billar.

Debido al principio de equivalencia,

las leges de la naturaleza deben ser expresadas de modo que sea im-

posible distinguir entre un campo gravitational uniforme g un sistema

de referenda acelerado,

una proposition que constituye la base del principio general de la relatividad

enunciado por Einstein en 1915. Este principio requiere que las leyes de la fisica

se escriban en una forma independiente del estado de movimiento del sistema de

referenda. Como podemos ver la idea fundamental del principio general de la

relatividad es muy simple. Sin embargo, su formulation matem£tica es algo

compleja, y no la discutiremos.

Examinemos ahora el caso de un observador acelerado en un campo gravita-

cional 3?. La aceleracion de cuerpos sometidos solamente al campo gravitacional

442 Interaction gravitational /J3 tg

medido por nuestro observador se expresa por a' = *8 — a . Como una ilustra-

cion concreta, consideremos el caso de un cohete acelerado hacia arriba desde la

tierra. Tenemos entonces que % = g. Escribamos o = — ng para la aceleracion

del cohete con respecto a tierra, donde n da el valor de aQ con respecto a o. (Elsigno menos es debido al hecho de que el cohete esta acelerado en la direction

hacia arriba.) Entonces a' = (n + \)g es la aceleracion, respecto al cohete, deun cuerpo libre dentro del cohete. Por ejemplo, en un cohete acelerado haciaarriba con una aceleraci6n cuatro veces la de la gravedad (n — 4), el peso detodos los cuerpos es cinco veces su peso normal. Este aumento aparente en el

peso es particularmente importante en la etapa del lanzamiento cuando la ace-

leraci6n del cohete adquiere el mayor valor.

Consideremos ahora, como otro ejemplo, un satelite en 6rbita. Aqui a = »,debido a que el satelite se esta moviendo bajo la action del campo gravitationalde la tierra. En este caso a' = 0, y todos los cuerpos dentro del satelite parecenno tener peso, ya que su aceleraci6n con respecto al satelite es cero. Esto es

solamente una ingravidez relativa ya que tanto el satelite como su contenidose estan moviendo en el mismo campo gravitacionaly tienen la misma aceleraci6n.

Respecto al satelite, los cuerpos en su interior aparecen como cuerpos libres a

menos que otras fuerzas actuen sobre ellos; pero, respecto a un observador te-

rrestre ellos esten acelerados y sometidos al campo gravitational

.

Un hombre en el interior de un ascensor que cae con la aceleracion de la gra-vedad (debido quizes a un cable roto) experimentaria la misma ingravidez conrespecto al ascensor. En tal caso (como en el del satelite), a .= g t y nuevamentea' = 0. La ingravidez, insistimos, no significa que la fuerza gravitational hayadejado de actuar. Significa que sobre todos los cuerpos, incluyendo el que nossirve como sistema de referencia, actua un mismo campo, que produce una ace-leracion comun, y por lo tanto no hay aceleraciones relativas a menos que otrasfuerzas actuen sobre los cuerpos. En otras palabras, un campo gravitational puede"desaparecer" si el observador se desplaza a traves de el con una aceleracion

a =& respecto a un sistema inercial.

13.9 La gramtacidn y las fuerzas intermoleculares

En las secciones previas de este capitulo hemos visto c6mo las fuerzas gravita-

cionales describen adecuadamente el movimiento planetario y el movimientode los cuerpos cerca de la superficie de la tierra. Es interesante saber ahora si

podemos demostrar que la misma clase de interacci6n es responsable de que las

moteculas se conserven juntas en un pedazo de materia o de que los atomos estenjuntos en una molecula.

Consideremos una molecula simple tal como la molecula de hidrogeno, compuestade dos dtomos de hidr6geno separados la distancia r = 0,745 x KH m. La masa decada atomo de hidr6geno es m = 1,673 x 10"27 kg. Por consiguiente, la interac-ci6n gravitational, de los dos atomos corresponde a una energia potencial

Ep = —^- = 2,22 x 10-M J = 1,39 x 10"36 eV.

Bibliografta 443

Sin embargo, el valor experimental de la energia de disociaci6n de una molecula

de hidrogeno es de 7,18 x 10~19 J (= 4,48 eV), 6 1035 veces mayor que la energia

gravitational . Por consiguiente, llegamos a la conclusi6n de que la interacci6n

gravitational no puede ser responsable de la formation de una molecula de hidr6-

geno. Resultados similares se obtienen para moleculas mds complejas.

En el caso de un liquido, la energia necesaria para vaporizar un mo! de agua

(18 g 6 6,23 x 1023 moleculas) es 4,06 x 103 J, correspondiente a una energia

de separaci6n por molecula del orden de 6 x 10-21 J. La separation promedio de

las moleculas de agua es del orden de 3 x 10~10 m, y la masa de una molecula

es 3 x 10-26 kg correspondiente a una energia potencial gravitacional de 2 x 10 -62J,

nuevamente demasiado pequeno para explicar la existencia del liquido.

Por lo tanto, llegamos a la conclusi6n de que las fuerzas que dan lugar a la

asociacion de atomos para formar moleculas, o de moleculas para formar materia

no pueden ser gravitacionales.En los siguientes cuatro capitulos, que aparecen en

el volumen II, discutiremos otras fuerzas que parecen ser responsables de estas

asociaciones: las interacciones electromagneticas.

Sin embargo, la interacci6n gravitacional, siendo un efecto de masa, es muyimportante en la presencia de cuerpos masivos que son electricamente neutros,

tales como los planetas, y por dicha raz6n la gravitation es la fuerza mas intensa

que sentimos en la superficie de la tierra, a pesar del hecho que es la m£s debit

de todas las fuerzas conocidas en la naturaleza. Es responsable de un gran nii-

mero de fenomenos comunes que afectan nuestras vidas diarias. Las mareas,

por ejemplo, se deben enteramente a la interacci6n gravitacional de la luna y el

sol con la tierra.

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444 Interaction gravitational

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Problemas

13.1 Calcular la fuerza de atracciongravitational entre la tierra y (a) la luna,

(b) el sol. Obtener la relacidn entre estas

dos fuerzas.

13.2 Calcular la atracci6n gravitacionalentre los dos protones de una mol£culade hidr6geno. Su separaci6n es de0,74 x 10-» m.

13.3 Determinar la fuerza de atracci6ngravitacionalentre el prot6n y el electr6n

en un dtomo de hidr6geno, suponiendoque el electron describe una orbita circu-lar de 0,53 x 10-10 m de radio.

13.4 Estimar la distancia promedio en-tre dos atomos de helio en un mol a pre-si6n y temperatura normales. A partir deesta distancia, obtener la atracci6n gra-vitacional entre dos atomos de helio ve-cinos. La masa de un atomo de helio

puede considerarse como de 4,0 uma.

13.5 Estimar la distancia promedio en-tre dos moteculas de agua en la faseliquida, A partir de esta distancia, ob-tener la atracci6n gravitacional entre dosmol£culas vecinas de agua. Una mo-16cula de agua esta compuesta de unatomo de oxigeno y dos atomos de hi-

dr6geno.

13.6 Dos bolas de hierro, cada una conuna masa de 10 kg estan en contacto.Encontrar su atracci6n gravitatoria.Compararla con la atracci6n gravita-cionalde la tierra sobre cada bola. Si unotrata de separar las dos bolas, se "sen-tir£" la atracci6n que ejercen entre si?[Sugerencia: Ud. puede necesitar la den-sidad del hierro. Consultar la tabla 2-2.]

13.7 Compararla atraccion gravitacionalproducida (a) por la luna, y (b) por elsol sobre un cuerpo de masa m situadoen la superflcie de la tierra, con la atrac-cidn de la tierra sobre el mismo cuerpo.iQu6 conclusion obtiene Ud. acerca de

la posibilidad de observar un cambio enel peso del cuerpo durante la rotaci6ndiaria de la tierra?

13.8 Una esfera de 5,0 kg de masa est&situada en uno de los lados de una ba-lanza de brazos iguales en equilibrio.

Una masa esferica mayor (5,8 x 10s kg)se rueda hasta que se encuentre directa-mente debajo de la primera masa, siendola distancia entre sus centros de 0,50 m.iQud masa debe colocarse en el otro pla-tillo para restaurar el equilibrio en el

sistema? Suponer que g = 9,80 m s-a.

Este mgtodo fue utilizado por G. vonJolly, el siglo pasado, para determinarel valor de y.

13.9 Un hombre pesa 70 kgf. Supo-niendo que el radio de la tierra se du-plicara, cuanto pesarfa (a) si la masa dela tierra permaneciera constante, (b) si

la densidad promedio de la tierra per-maneciera constante.

13.10 Calcular la aceleraci6n de la gra-vedad en la superflcie del sol. Su radioes 110 veces el radio de la tierra y sumasa es 330.000 veces la masa de la

tierra. Repetir el calculo para Venus,Jupiter y la luna.

13.11 Un hombre pesa 110 kgf. Calcu-lar cuanto pesaria en la superflcie delsol y en la superflcie de la luna. ^Cualseria su masa en ambos lugares?

13.12 Un hombre pesa 80 kgf en el

nivel del mar. Calcular su masa y pesoa 8000 m sobre el nivel del mar.

13.13 De los datos de la tabla 13-1sobre los radios y perfodos del movi-miento orbital de los planetas, calcularla masa del sol. Usar solamente tresplanetas (Venus, la Tierra y Jupiter).

13.14 En un experimento de Caven-dish (Fig, 13-3), las dos masas pequenasson iguales a 10,0 gm y la varilla (de

Problemas 445

Figura 18-29 Figura 18-80

masa despreciable) tiene 0,50 m de largo.

El periodo de oscilacidn torsional de este

sistema es de 770 s. Las dos masas gran-

des tienen 10,0 kg cada una y estan

colocadas de manera que la distancia

entre los centros de las esferas grande ypequena sea de 0,10 m. Encontrar la

deflexidn angular de la varilla.

13.15 ^A qu6 altura debe uno elevarse

sobre la superflcie de la tierra para quela aceleracidn de la gravedad cambieen 1 %? iA qu6 profundidad de la tierra

debe penetrarse para que se observe el

mismo cambio?

13.16 Encontrar la altura y la veloci-

dad de un sat61ite (en drbita circular enel piano ecuatorial) que permanece sobre

el mismo punto de la tierra todo el

tiempo.

13.17 Un sat£lite artificial se desplaza

en una drbita circular a una altura de

300 km sobre la superflcie de la tierra.

Encontrar (a) su velocidad, (b) su pe-

riodo de revoluci6n, y (c) su aceleracidn

centripeta.

13.18 Comparar el resultado de parte

(c) del problema anterior con el valor

de g a dicha altura, calculada directa-

mente por el metodo del ejemplo 13.9*

13.19 ^Cual seria el perfodo de un sa-

t^lite que gira alrededor de la tierra enuna drbita cuyo radio es un cuarto del

radio de la 6rbita lunar? El periodo dela luna es de cerca de 28 dias. ^Cualseria la relacidn de la velocidad del

sat61ite y la de la luna?

13.20 Una particula de masa m puedemoverse en una tuberia horizontal sin

friccidn (Fig. 13-29) bajo la accidn de la

atraccidn gravitational de la tierra. Su-poniendo que x es muy pequeiia compa-rada con Rf demostrar que la particula

tiene movimiento armdnico simple y que

su periodo es de P = 2tt Y Rjg] Encon-trar el valor de P. Este es el periodomas largo de un p6ndulo situado en la

superflcie de la tierra. ^Puede demos-trarlo ?

13.21 Suponer que se hiciera un ttinel

a trav£s de la tierra a lo largo de undiametro (Fig. 13-30). (a) Demostrar quela fuerza sobre una masa m situada a

una distancia r del centro de la tierra

es F = — mgr/Rf si suponemos que la

densidad es uniforme. (b) Demostrar queel movimiento de m seria arm6nicosimple, con un periodo alrededor de

90 min, (c) Escribir las ecuaciones de la

posicidn, velocidad, y aceleracidn enfuncidn del tiempo, con valores num6-ricos para las constantes.

Fi&ura 18-81

13.22 Demostrar que el movimientosin friccidn de una masa situada en untunel perforado a trav£s de la tierra

como se ve en la Fig. 13-31 seria armd-nico simple. Calcular el periodo.

13.23 Se deja caer una masa m desde

una altura h sobre el oriflcio en la su-

perflcie de la tierra en la Fig. 13-32.

(a) iCon qu6 velocidad pasara m por el

centro de la tierra? (b) ^Sera el movi-miento armdnico simple? (c) ^Sera unmovimiento periddico? Dar razones para

sus respuestas.

13.24 De los datos del movimiento del

sol en la galaxia (Fig. 7-1), y suponiendo

que la galaxia es un agregado esfdrico de

estrellas, calcular su masa total. Supo-

446 Interaction gravitational

Figura 18-32

niendo que las estrellas tienen, en pro-medio, la misma masa que el sol

(1,98 x 1030 kg), estimar su numero ysu separation promedio.

13.25 Escribir una ecuaci6n que ex-prese algebraicamente la energla total

del sistema (a) tierra-luna, (b) sol-tierra-

luna.

13.26 Estimar la energia cin6tica, la

energla potential, y la energia total dela tierra en su movimiento alrededor del

sol. (Considerar solamente la energia po-tential gravitacional con el sol).

13.27 Obtener la expresidn para la

energia total de una drbita circular bajofuerzas gravitacionales (ec. 13.6) usandoel teorema virial (section 8.13).

13.28 Uno de los cohetes "Pioneer" ala luna alcanz6 una altura aproximadade 125.000 km. Despreciando el efecto dela luna, estimar la velocidad con la queeste cohete llegaria a la atm6sfera de la

tierra en su regreso. Suponer que el

cohete fue disparado en linea recta haciaarriba y que la atmosfera llega hasta130 km sobre la superflcie de la tierra.

13.29 Suponiendo que h es la distanciade un cuerpo sobre la superflcie de latierra, tenemos que r = R + A. Veriflcarutilizando la expansi6n binomial (M.21),que cuando h es muy pequena compa-rada con R, la ec. (13.10) se reduce av1 = 2gh.

13.30 Calcular la velocidad de escapeen Mercurio, Venus, Marte y Jupiter.[Sugerencia : Para simpliflcar el c&lculo,

evaluar primero el factor f2y. Luego, mul-tiplicar por / M/R para cada planeta.J

13.31 (a) Computar la velocidad de es-cape para una particula, desde el sistemasolar, que se encuentra a una misma

distancia del sol y de la tierra. (b) Usareste resultado para obtener la velocidadminima de escape de un cuerpo lanzadodesde la tierra, teniendo en cuenta lavelocidad de la tierra pero no su campogravitacional.

13.32 Una particula se encuentra enreposo en la superflcie terrestre, (a)

Calcular su energia cindtica y su energiapotential con respecto al sol, incluyendola atracci6n gravitacional de la tierra y el

sol. (b) Obtener la velocidad de escapedel sistema solar. Compararla con la del

problema 13.31.

m

Ffgura 18-38

13.33 Usando los resultados de la sec-

ci6n 13.7 demostrar que la interaccidn gra-vitacional entre una masaM (Fig. 13-33)de forma arbitraria y una masa puntualo entre My un cuerpo esfdrico homo-g6neo de la misma masa m es la misma,siempre que el centro del cuerpo esterico

coincida con la position de la masapuntual.

13.34 Determinar la energia potentialentre el planeta Saturno y sus anillos.

Suponer que los anillos tienen una masade 3,5 x 10ie kg y estan concentrados auna distancia promedio de 1,1 x 10* mdel centro de Saturno.

13.35 Determinar la energia potencialgravitational interna de 8 cuerpos, cadauno de masa m, situados en los verticesde un cubo de lado a. Aplicar el resul-

tado al caso en el cual las masas son delmismo orden de nuestro sol y el lado del

cubo es de 1 parsec. (Ver el proble-ma 2.16).

13.36 Demostrar que la energia nece-saria para construir un cuerpo esferico

Problemas 447

de radio R anadiendo capas sucesivas demateria como una cebolla, hasta quese obtenga el radio final deseado es,

EP = — 3yM*l5R.

13.37 Estimar el valor de la energia

potencial gravitational de nuestra gala-

xia. Suponer que todos los cuerpos queconstituyen la galaxia tienen aproxima-damente la misma masa que el sol yestan separados por una distancia del

orden de 1031 m. [Sugerencia: Considerar

que la galaxia es esferica, y usar el re-

sultado del problema 13.36],

13.38 Usando el teorema virial y los

resultados del problema precedente, es-

timar la energia cinetica total de la

galaxia (excluyendo la energia interna

de las estrellas).

13.39 Un meteorito se encuentra ini-

cialmente en reposo a una distancia del

centro de la tierra igual a seis veces el

radio de la tierra. Calcular la velocidadque tendrfa al llegar a la superficie dela tierra.

rm 0,06 m

U—-0,16 m-

Q

Figura 13-34

13.40 Dos masas iguales de 6,40 kgest&n separadas por untf distancia de

0,16 m (Fig. 13-34). Una tercera masa se

suelta en un punto P equidistante de las

dos masas y a una distancia 0,06 m dela linea que las une. Determinar la ve-locidad de esta tercera masa cuando pasapor Q. Suponiendo que la masa es de

04 kg calcular su aceleraci6n en P y en Q.

13.41 Se dispara un cohete vertical-

mente desde la tierra hacia la luna, con-

sumiendose el combustible en un tiemporelativamente corto despues del disparo,

(a) ^En que punto de su trayectoria ha-cia la luna su aceleracidn vale cero?

(b) &Cual seria la velocidad inicial mi-nima del cohete necesaria para llegar a

este punto y caer en la luna por la actionde la atraccion lunar? (c) En este caso,

^cual seria la velocidad del cohete al

llegar a la luna?

13.42 Demostrar que el tiempo nece-

sario para que un cuerpo caiga desdeuna distancia r del centro de la tierra

hasta la superficie de la tierra es

t = (i**IR)[2g) l-Y(Rlr) (1 — */r)

+ sen-1 V R/r}.

Verificar que si r es muy grande com-parada con R 9 el resultado es f=i V R(2g.

[Sugerencia: Usar la ec. (13.10); suponerque v = drjdt, despejar dt e integrar].

13.43 Un satelite de 5000 kg de masadescribe una trayectoria circular de

8000 km de radio alrededor de la tierra.

Encontrar su momentum angular y sus

energias, cingtica, potencial y total.

13.44 Un satelite de 5000 kg describe

una 6rbita circular a una altura de

8000 km sobre la superficie terrestre.

Despues de varios dias, como resultado

de la friccidn atmosferica, la 6rbita se

reduce a una altura de 650 km. Calcular

los cambios en (a) velocidad, (b) veloci-

dad angular, (c) energia cinetica, (d)

energia potencial, y (e) energia total.

Suponer que las drbitas son esencial-

mente circulares en cada instante debido

a que la reduccidn radial es muy lenta.

13.45 Reflriendonos al problema pre-

vio, suponer que la resistencia del aire

puede representarse por medio de unafuerza promedio de 17,5N, (a) Calcular el

torque de la fuerza y, usando este resul-

tado, estimar el tiempo necesario para

la mencionada reducci6n de altura.

(b) Determinar la disipacidn de energia

por unidad de tiempo, y, a partir de

ella, estimar tambien el tiempo calculado

en (a), (c) Usando el periodo de revolu-

ci6n promedio, obtener el numero total

de revoluciones en dicho tiempo.

13.46 Adaptar los resultados de la sec-

ci6n 13.5 para tener en cuenta la masareducida.

13.47 En una estrella doble, una de las

estrellas tiene una masa de 3 X 1083 kg

y la otra una masa de 4 x 103* kg. En-contrar su velocidad angular con res-

pecto a su centro de masa suponiendo

448 Interaction gravitational

que su separation es de 10" m. Encon-trar, tambien, su momentum angulartotal interno y su energia.

13.48 Usando papel polar, representargraflcamente la ec. (13.12) cuando d = 1

y (a) e = 0,5, (b) e = 1, (c) € = 2.

Debido a la simetria de la curva Ud.tiene que calcular r solamente para 9

entre 0° y 180°, y repetir la curva bajoel eje X. Identificar los puntos mas im-portantes de la curva. [Sugerencia: Usarvalores de 6 en multiplos de 20°].

13.49 Demostrar que la relation entrela velocidad de un cuerpo en Orbita enel perigeo (posiciOn mas cercana al centrede fuerza) y en el apogeo (position maslejana) es (1 + e)/(l — €). [Sugerencia:N6tese que en ambas posiciones la velo-cidad es perpendicular al radio]. "

13.50 Un cometa se mueve en unaelipse que tiene una excentricidad dee = .0,8. Encontrar la relation entre (a)

las distancias al sol, (b) las velocidadeslineales, y (c) las velocidades angularesen el afelio y en el perihelio.

13.51 En la siguiente tabla se dan laexcentricidad 6 y el semieje mayor a delas 6rbitas de ciertos planetas. (Re-cuerde que 1 UA^ 1,495 = 10" m).

Mercurio la Tierra Marte

€ 0,206 0,017 0,093

a (UA) 0,387 1,000 1,524

Calcular para cada uno de estos planetas:(a) la distancia mas cercana al sol,

(b) la distancia de mayor alejamientodel sol, (c) la energia total del movi-miento de traslaciOn, (d) el momentumangular, (e) el periodo de revolution,(f) la velocidad en el afelio y en el

perihelio.

13.52 Un sattiite es puesto en unaOrbita eliptica a una distancia sobre lasuperficie terrestre igual al radio de latierra dandole una velocidad horizontalinitial igual a 1,2 veces la velocidadrequerida para que tenga una Orbitacircular a dicha distancia. Encontrar(a) el momentum angular del satelite,

(b) su energia total, (c) la excentricidadde su Orbita, (d) su distancia maximay minima de la superficie terrestre,(e) el semieje de su Orbita y (f) su periodode revoluci6n. (Suponer m = 50 kg).

13.53 Repetir el problema 13.52, su-poniendo que la velocidad initial delsatelite es 0,9 de aquella de un sattiite

similar en una Orbita circular.

13.54 En el vuelo del Geminis V(agosto 21 a agosto 29 de 1965), las

alturas de apogeo y perigeo sobre la

superficie de la tierra fueron de 352 kmy 107 km respectivamente. Determinarla excentricidad de la 6rbita, las veloci-dades maxima y minima de la capsula,

y la variacidn en el campo gravitationalentre el apogeo y el perigeo.

13.55 Un satelite artificial se mueve enuna Orbita cuyo perigeo es de 640 km ysu apogeo de 4000 km sobre la superficieterrestre. Calcular (a) su semieje mayor,(b) su excentricidad, (c) la ecuaciOn desu Orbita, (d) su velocidad en el perigeo

y en el apogeo, (e) su periodo de revo-lution, (f) su energia total si su masa esde 100 kg, (g) usando papel polar, haceruna grafiea de la trayectoria del satelite.

13.56 El satelite Explorer III de los

Estados Unidos, tuvo una Orbita eliptica

con un perigeo a 109 millas sobre la su-perficie dela tierra y una velocidad de27.000 pies/seg en su perigeo. Determi-nar (a) la excentricidad de su Orbita,

(b) su semieje mayor, (c) su periodo derevolution, y (d) su velocidad y alturaen el apogeo.

13.57 Un cometa de masa m se ob-serva a una distancia de 10n m del sol

Figura 13-35

Problemas 449

viajando hacia 61 a una velocidad de

5,16 x 10* m s _l haciendo un angulode 45° con el radio vector del sol. Ob-tener (a) su energia total y su momentumangular, (b) la ecuaci6n de su 6rbita,

(c) la distancia de mayor cercanfa al sol.

Observe que resultado depende de la

masa del cometa, y cual no. Usandopapel polar represente graficamente la

trayectoria del cometa.

13.58 Un cohete ballstico (Fig. 13-35)

de masa m es disparado desde unpunto A con una velocidad inicial i> ,

haciendo un angulo 4 con la direcci6n

radial o vertical. Encontrar (a) su mo-mentum angular, (b) su energia cinGtica,

(c) demostrar que la excentricidad de su

orbita esta dada por

€» - 1

-1- (R*i?J sen2 */y*M*) (rf— 2yMjR)

[Sugerencia: Para (c) usar el ultimo re-

sultado del ejemplo 13.5].

13.59 Refirtendonos al problema pre-

cedente, demostrar que la ecuaci6n de la

trayectoria, es

r = R*vi sen84 fyM(l + « cos 0).

[Sugerencia: Recordar del ejemplo 13.5

que L* = ynPm'ed.}

13.60 RefiriSndose a los problemas 13.58

y 13.59, suponer que vQ= YyM/R y

que <j> = 30°. (a) Determinar la excen-

tricidad del cohete. (b) Escribir la ecua-

cidn de su drbita. (c) Demostrar que el

proyectil caera de regreso a la tierra enun punto sttuado a una distancia A igual

a ttH/3 medida a lo largo de la superficie

terrestre. Usando papel polar, hacer unagrafica de la trayectoria del proyectil.

[Sugerencia: Despu£s de calcular «, de-

terminar los valores de 6 para los cuales

r = R t Un valor corresponde al puntode despegue y el otro al punto de retorno.

La diferencia entre los dos angulos dael desplazamiento angular de los dospuntos].

13.61 Refiriendose al problema 13.60

demostrar que la maxima altura del

proyectil sobre la superflcie de la tierra

es alrededor de 0,92 R. [Se sugiere queel estudiante compare los resultados delos problemas 13.60 y 13.61 con aqu611os

obtenidos usando los metodos de la sec-

cion 5.7],

13.62 Reflriendonos al problema 13.58,demostrar que si la velocidad de lanza-miento del cohete es igual a su velocidadde escape, la trayectoria sera una para-bola y, de acuerdo al problema 13.59,

no importa como sea dirigido el cohete,

su trayectoria sera abierta y nuncaretornara.

13.63 Un cohete ballstico es disparadocon una velocidad igual a su velocidadde escape, de modo que su trayectoria

es una parabola. Encontrar la ecuaci6nde su trayectoria cuando ^ = 45° y<f>= 90°. Usando papel polar, hacer un

esquema de la trayectoria en cada caso.

13.64 Un cometa a gran distancia del

sol tiene una velocidad V 2gR y un pa-

rametro de impacto de V 2 R (recordar

el ejemplo 7*16), donde R es el radio del

sol. £A que distancia del sot pasara el

cometa?

1 3.65 Una particula de masa m se

mueve bajo una fuerza central de atrac-

ci6n de magnitud k/r*. Su velocidad enuna de las posiciones extremas es

V kl2mr19 donde ri es la distancia del

centro de fuerza. Calcular la distancia

r4 correspondiente a la otra posici6n

extrema, el semieje mayor de la 6rbita,

y la excentricidad.

13.66 Una particula se mueve bajo

una fuerza central de repulsion de mag-nitud F = /f/r3 . Si se dispara desde unpunto situado a una distancia muygrande del centro de la fuerza con unavelocidad vQ y un parametro de im-

pacto b (recordar el ejemplo 7.16). De-terminar (a) la ecuacidn de su trayec-

toria, (b) la distancia de su mayor aproxi-

macion al centro de fuerzas, (c) el angulo

que forma la direcci6n en que se aleja

con la direcci6n inicial. Comparar sus

respuestas con los resultados del ejemplo

7.16. [Sugerencia: Notar que las f6rmulas

en este capitulo puede aplicarse si—ymm'se reemplaza por A:].

13.67 Calcular la intensidad del campogravitacional y el potencial en la super-

flcie de la tierra debido a la tierra misma.

13.68 Estimar el valor del campo gra-

vitacional de la tierra y la aceleracidn

450 Interaction gravitational

hacia el centro de un cuerpo en un puntosituado a una distancia (a) }/?, (b) |i?

del centro de la tierra. Suponer que la

tierra es homogenea.

13.69 Calcutar la magnitud del campogravitational y el potencial producido porel sol a lo largo de la 6rbita de la tierra,

Comparar estos valores con el campogravitacional y el potencial producidopor la luna sobre la tierra.

13.70 Dos cuerpos de masas m y 3/nestan separados por una distancia a.

Encontrar los puntos donde (a) el campogravitacional resultante es cero, (b) las

dos masas producen campos gravita-

cional iguales en magnitud y direccitfn,

(c) las dos masas producen potenciales

gravitacionales id£nticos.

13.71 Dos cuerpos de masas m y 3mestan separados por una distancia 13a.

Encontrar el campo gravitacional resul-

tante y el potencial en un punto Psituado a una distancia 5a de la primeramasa, sabiendo que las lineas que unena P con las dos masas hacen un angulorecto.

13.72 Dos cuerpos de masas m y 2m se

encuentran en los vertices de un trian-

gulo equilatero de lado a. Encontrar el

campo gravitacional y el potencial en(a) el punto medio entre los vertices,

(b) el tercer vertice del triangulo.

13.73 Tres masas iguales estan situadasen los vertices de un triangulo equilatero.

Hacer un esquema de las superficies

equipotenciales (realmente su intersec-ci6n con el piano del triangulo) y de las

lineas de fuerzas del campo gravitacional.

£Hay algun punto en el cual la fuerzagravitacional es cero?

13.74 Obtener el campo gravitacional yel potencial producido por un anillo demasa m y radio R en puntos situados alo largo del eje perpendicular al anillo

que pasa por su centro.

13.75 En referenda al problema pre-cedente, se suelta una particula desdeun punto situado sobre el eje a una dis-

tancia h del centro, (a) ^Gual sera suvelocidad cuando pasa por el centro?(b) £Que distancia recorrera en el otrolado? (c) ^Es el movimiento periddico?<,Bajo qu6 condiciones es el movimiento

practicamente arm6nico simple? Deter-minar la frecuencia correspondiente eneste ultimo caso.

13.76 Dos placas delgadas de materialidentico estan separadas por una dis-

tancia a t Calcular el campo gravitacional

que producen en la regidn situada entrelas placas y a cada lado de ellas.

13.77 Demostrar que el campo gravita-cional y el potencial de un filamento del-

gado que tiene una masa X por unidadde longitud son

<8 (2yyR)u R

y V = 2yX In R } respectivamente, dondeR es la distancia desde el punto al fila-

mento. [Sugerencia : Determinar primero,en vista de la simetria, cual debia ser la

direcci6n del campo, y las variables quelo determinan. Luego dividir el filamentoen pequenas porciones, cada una de lon-

gitud ax, y calcular la componente de sucampo en la direccidn final. Una vezobtenido el campo resultante por inte-

gracidn, puede obtenerse el potencialgravitacional a partir del campo usandola ec. (13.21)].

13.78 Determinar la velocidad y la

energia total de una particula que des-cribe una 6rbita circular alrededor del

filamento del problema 13.77, y que esta

sometida a su atracci6n gravitacional

.

3 o o oo o

Figura 13-36 Figura 13-37

Problemas 451

13.79 Reconsiderar el problema 13.8para el caso en el que la capa delgada demateria se reemplaza por una placa ho-mog6nea de espesor D.

13.80 Suponer que una masa m se en-cuentra a una distancia p de un ciertopunto 0, usando como referenda (Fig.13-36). Demostrar que el potencial gra-vitatorio en A, a una distancia R de m(R mayor que p), puede expresarse, enfunc!6n de la distancia OA = r y el

angulo 6 por la serie

V *= — (ym/r) [1 + p cos e/r

+ p2(3 cos2 e — l)/2r* + ...].

[Sugerencia: Expresar R en funcidn deP> r, y por la ley de los cosenos, y eva-luar 1/R por el mStodo de la expansitfnbinomial].

13.81 Considerar un conjunto de masasmu ma , m 39 t , . (Fig. 13-37). Demostrarque el potencial gravitacional en unpunto A, a una distancia grande com-parada con las dimensiones del conjunto,puede expresarse corno

V - — Y[M/r + Pit* + 0/^+,.,],

donde M = Xtnn es la masa total,P = Etpt cos 6 se denomina el momentodipolar de la distribucidn de masa conrespecto a OA y Q = E«irf(3 cos2

9, — 1)se denomina el momento cuadmpolar dela distribucidn de masa, y asi sucesiva-mente. [Sugerencia: Usar los resuitadosdel problema 13.80 para cada masa, ysumar]. Los tSrminos "dipolo" y "cua-drupolo" se explicaran en el capitulo 14(volumen II).

APENDICE

RELACIONES MATEMATICAS

Este apendice, en el que presentamos ciertas formulas matematicas de uso fre-

cuente en el texto, tiene por flnalidad presentar al estudiante una referenda rapi-

damente accesible. En algunos casos hemos incluido en el texto mismo algunas

notas matematicas. Se puede encontrar la demostracion y una discusion de la

mayoria de las formulas en cualquier texto de analisis matematico, tal como Cdlculo

infinitesimal y geometrta analitica, tercera edicion, por G. B. Thomas (Aguilar,

Madrid, 1964), En Quick Calculus: A Short Manual of Self Instruction, por D, Kelp-ner y N. Ramsey (John Wiley & Sons, New York, 1963) se puede encontrar, en

forma programada, una corta introduction a los conceptos basicos del analisis

matematico. El estudiante debera tambien consultar diversas tablas en forma delibro. Entre estas estan las C.R.C. Standard Mathematical Tables (Chemical Rub-ber Company, Cleveland, Ohio, 1963), y Tables of Integrals and Other Mathemati-cal Data, cuarta edicion, por H. B. Dwight (Macmillan Company, New York, 1961).

Recomendamos que el estudiante tenga a su disposition el Handbook of Chemistry

and Physics, del cual la Chemical Rubber Company, Cleveland, Ohio, publica

ediciones anuales. Este manual contiene tambien una gran cantidad de datos

sobre matematica, quimica y fisica.

1. Relaciones trigonom&tricas

Haciendo referenda a la Fig. M-l, podemos definir las siguientes relaciones:

sen a — yjr, cos a = xjr, tg a = yjx; (M.l)

cosec a — rjy, sec a = r/xf cotg a —x/y; (M.2)

tg a — sen a/cos a; (M.3)

sen2 a + cos2 a — l t sec2 a— 1 = tg2 a; (M.4)

sen (a± p) = sen a cos p ± cos a sen P; (M.5)

cos (a ± p) = cos a cos p T sen a sen P; (M.6)

sen a ± sen p = 2 sen £(a ± p) cos £(a =F p); (M.7)

COS (X + COS P = 2 COS ^(a + p) COS -J(a— p); (M.8)

A-2 Apendice: Relaciones matemdticas

cos a — cos p = — 2 sen £(a + p) sen £(a— p)

;

sen a sen p = ^[cos (a— p)— cos (a + p)]

;

cos a cos p = £[cos (a — p) + COS (a + p)];

sen a cos p = ^[sen (a— p) + sen (a + p)]

;

sen 2a = 2 sen a cos a, cos 2a = cos2 a— sen2 a;

sen2 \v. = i(l — cos a), cos2 \<x = £(1 + COS a).

(M.9)

(M.10)

(M.ll)

(M.12)

(M.13)

(M.14)

Haciendo referenda a la Fig. M-2, podemos formular para cualquier triangulo arbi-

trario

:

Ley de los senossen A sen B sen C

(M.15)

Ley del coseno: a2 = b2 + c2 — 26c cos A. (M.16)

Figura M-l

2. Logaritmos

Definition de e

Figura M-2

,lim(l + l)n

2,7182818 (M.17)

Apendice: Relaciones matemdticas A-3

Las funciones exponenciales y = e*, g — e~x estan representadas en la Fig. M-3.

(ii) Logaritmos naturales, base e (ver Fig. M-4):

y = In x si x = ey . (M.18)

Logaritmos comunes, base 10:

ylogx six = 10*. (M.19)

Los logaritmos naturales y comunes estan relacionados por

In x = 2,303 log x, log x = 0,434 In x, (M.20)

1 2

+ _1 Figura M-3

Flgura M-4

A-4 Apendice: Relaciones matemdticas

3. Desarrollos en serie de potencias

(i) Desarrollo binomial:

(a + b)n = an + nan-*b +n ^n ~ ^

an'21

o!

,n(n — I) (n — 2). . .(n — p + 1)

H — —

-

- H ;an-Pb? + ,

(M.21)

Cuando n es un entero positivo, el desarrollo tiene n + 1 terminos. En todos los

otros casos el desarrollo tiene un niimero infinito de terminos. El caso en que a es

1 y b es una cantidad x se usa muchas veces en el texto. El desarrollo binomial de

(1 + x)n es

(ii) Otros desarrollos en serie utiles: (M.22)

e* = l+x + -^-x2 + — a? + . .

.

(M.23)

ln(l + x) = a; — -^- + —-—... (M.24)

senx=x——x^—

x

5 — ... (M.25)3! 51

'

cosx = 1 —— x2 + —-X4— ... (M.26)

1 2tg x = x + — z3 + — a* + . .

.

(M.27)O ID

Para x <^ 1 son satisfactorias las siguientes aproximaciones:

(1 + x)n x 1 + nx,'

(M.28)

c* » 1 + xf In (1 + x) * x, (M.29)

sen x « x, cosx « 1, tgx « x. (M.30)

Observese que en las ecs. (M.25), (M.26), (M.27) y (M.30), x se debe expresar enradianes.

Apendice: Relaciones matemdticas AS

(iii) Desarrollos en serie de Taylor:

+- + ^«—**(£).+•• (m-3, »

Si x— xQ < 1, una aproximacion util es

f(x) « f(x ) + (x-x ) (-£) . (M.32)

4. N&meros complejos

Con la definition i2 = — 1 6 i = y— 1,

pie cos + i sen 6,

cos 6 = i(eifl + <ri&),

sen e =— (eie— e~ iff

) t

2i

5. Funciones hiperbolicas

Para visualizar las relaciones siguientes, referirse a la Fig, M-5.

cosh 6 = \{eB + e~*) t

senh = \{eQ— e~%

cosh2 6— senh2 = 1,

(M.33)

(M.34)

(M.35)

Figura M-5

(M.36)

(M.37)

(M.38)

A-6 Apendice: Relaciones matemdticas

senh 6 = — i sen (16), cosh 9 = cos (i'6),

sen 8 = — i senh (i6), cos 6 = cosh (i0).

(M.39)

(M.40)

6. Derivadas e integrates bdsicas

m dfjdx //•(a) du

un nu11"1 dujdx un+l/(n + 1) + C (fi^-i)u-1 — (l/u2)du/dx lnu + CIn a (l/u)du/dx a In a — u -\- Cea e

u du/dx e" + Csen u cos u dujdx — cos u + Ccos u — sen u dujdx sen u + Ctgu sec2 u dujdx — In cos u + Ccotg a — cosec2 u dujdx

(dujdx)j]/ 1 — u 2

In sen u + C

arcsen u u arcsen u + j/l --u2 + C

senh u cosh u du/dx cosh u + Ccosh u senh a dw/dx senh u + C

Una regla util para integrar, llamda integration por partes, es

ludu = uv — \v du. (M.41)

La mayoria de las veces, este metodo se usa para calcular la integral del segundo

miembro usando la integral del primero.

7. Valor medio de una funcidn

El valor medio o promedio de una funcion y — f(x) en el intervalo (a, b) se define por

y y dx.b — a J a

Analogamente, el valor medio de y2 se define por

— i r b

G/2) = ~r y

2 dx.b — a J a

(MA2)

(M.43)

La cantidad ]/i/2 se denomina valor medio cuadrdtico de y = f(x) en el intervalo

(a, b) y en general es diferente de y. Se designa con ymc .

Apendice: Relaciones matemdticas A-7

FUKCIONES TRIGONOMETRICAS NATURALES

AngSen Cos Tg

AngSen Cos Tg

Grad Rad Grad Rad

0° ,000 0,000 1,000 0,0001° ,017 ,018 1,000 ,018 46° 0,803 0,719 0,695 1,0362° ,035 ,035 0,999 ,035 47° ,820 ,731 ,682 1,0723° ,052 ,052 ,999 ,052 48° ,838 ,743 ,669 1,1114° ,070 ,070 ,998 ,070 49° ,855 ,755 ,656 1,1505° ,087 ,087 ,996 ,088 50° ,873 ,766 ,643 1,192

6° ,105 ,105 ,995 ,105 51° ,890 ,777 ,629 1,2357° ,122 ,122 ,993 ,123 52° ,908 ,788 ,616 1,2808° ,140 ,139 ,990 ,141 53° ,925 ,799 ,602 1,3279° ,157 ,156 ,988 ,158 54° ,942 ,809 ,588 1,376

10° ,175 ,174 ,985 ,176 55° ,960 ,819 ,574 1,428

11° ,192 ,191 ,982 ,192 56° ,977 ,829 ,559 1,48312° ,209 ,208 ,978 ,213 57° ,995 ,839 ,545 1,54013° ,227 ,225 ,974 ,231 58° 1,012 ,848 ,530 1,60014° ,244 ,242 ,970 ,249 59° 1,030 ,857 ,515 1,66415° ,262 ,259 ,966 ,268 60° 1,047 ,866 ,500 1,732

16° ,279 ,276 ,961 ,287 61° 1,065 ,875 ,485 1,80417° ,297 ,292 ,956 ,306 62° 1,082 ,883 ,470 1,88118° ,314 ,309 ,951 ,325 63° 1,100 ,891 ,454 1,96319° ,332 ,326 ,946 ,344 64° 1,117 ,899 ,438 2,05020° ,349 ,342 ,940 ,364 65° 1,134 ,906 ,423 2,145

21° ,367 ,358 ,934 ,384 66° 1,152 ,914 ,407 2,24622° ,384 ,375 ,927 ,404 67° 1,169 ,921 ,391 2,35623° ,401 ,391 ,921 ,425 68° 1,187 ,927 ,375 2,47524° ,419 ,407 ,914 ,445 69° 1,204 ,934 ,358 2,60525° ,436 ,423 ,906 ,466 70° 1,222 ,940 ,342 2,747

26° ,454 ,438 ,899 ,488 71° 1,239 ,946 ,326 2,90427° ,471 ,454 ,891 ,510 72° 1,257 ,951 ,309 3,07828° ,489 ,470 ,883 ,532 73° 1,274 ,956 ,292 3,27129° ,506 ,485 ,875 ,554 74 Q 1,292 ,961 ,276 3,48730° ,524 ,500 ,866 ,577 75° 1,309 ,966 ,259 3,732

31° ,541 ,515 ,857 ,601 76° 1,326 ,970 ,242 4,01132° ,559 ,530 ,848 ,625 77° 1,344 ,974 ,225 4,33133° ,576 ,545 ,839 ,649 78° l

f361 ,978 ,208 4,70534° ,593 ,559 ,829 ,675 79° 1,379 ,982 ,191 5,14535° ,611 ,574 ,819 ,700 80° 1,396 ,985 474 5,671

36° ,628 ,588 ,809 ,727 81° 1,414 ,988 ,156 6,31437° ,646 ,602 ,799 ,754 82° 1,431 ,990 ,139 7,11538° ,663 ,616 ,788 ,781 83° 1,449 ,993 ,122 8,14439° ,681 ,629 ,777 ,810 84° 1,466 ,995 ,105 9,51440° ,698 ,643 ,766 ,839 85° 1,484 ,996 ,087 11,43

41° ,716 ,658 ,755 ,869 86° 1,501 ,998 ,070 14,3042° ,733 ,669 ,743 ,900 87° 1,518 ,999 ,052 19,0843° ,751 ,682 ,731 ,933 88° 1,536 ,999 ,035 28,6444° ,768 ,695 ,719 ,966 89° 1,553 1,000 ,018 57,2945° ,785 ,707 ,707 1,000 90° 1,571 1,000 ,000 oo

A-8 Apendice: Relaciones matemdticas

LOGARITMOS COMUtfES

N 1 2 3 41

5 6 7 8 9

0000 3010 4771 6021 6990 7782 8451 9031 95421

23

45

6

7

8

9

000030104771602169907782845190319542

041432224914612870767853851390859590

079234245051623271607924857391389638

113936175185633572437993863391919685

146138025315643573248062869292439731

176139795441653274048129875192949777

204141505563662874828195880893459823

230443145682672175598261886593959868

255344725798681276348325892194459912

278846245911690277098388897694949956

10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 037411

1213

1415161718

19

04140792113914611761

2041230425532788

045308281173149217902068233025772810

049208641206152318182095235526012833

053108991239155318472122238026252856

056909341271158418752148240526482878

060709691303161419032175243026722900

064510041335164419312201245526952923

068210381367167319592227248027182945

071910721399170319872253250427422967

075511061430173220142279252927652989

20 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 320121

2223

242526

272829

322234243617380239794150431444724624

324334443636382039974166433044874639

326334643655383840144183434645024654

328434833674385640314200436245184669

330435023692387440484216437845334683

332435223711389240654232439345484698

334535413729390940824249440945644713

336535603747392740994265442545794728

338535793766394541164281444045944742

340435983784396241334298445646094757

30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 490031

3233343536

373839

491450515185531554415563568257985911

492850655198532854535575569458095922

494250795211534054655587570558215933

495550925224535354785599571758325944

496951055237536654905611572958435955

6064

498351195250537855025623574058555966

499751325263539155145635575258665977

501151455276540355275647576358775988

502451595289541655395658577558885999

503851725302542855515670578658996010

40 6021 6031 6042 6053 6075 6085 6096 6107 611741

4243444546474849

612862326335643565326628672168126902

613862436345644465426637673068216911

61496253635564546551

6646673968306920

616062636365646465616656674968396928

617062746375647465716665675868486937

618062846385648465806675676768576946

619162946395649365906684677668666955

620163046405650365996693678568756964

621263146415651366096702679468846972

622263256425652266186712680368936981

50 6990 6998 7007 7016 7024 7033 7042 7050 7059 7067•vr s\. ^ „ „

Apendice: Relaciones matemdticas A-9

LOGARITMOS COMUNES (conlinuaeidn)

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

50 6990 6998 7007 7016 7024 7033 7042 7050 7059 7067

51

525354555657

5859

707671607243732474047482755976347709

7782

708471687251733274127490756676427716

709371777259734074197497757476497723

710171857267734874277505758276577731

711071937275735674357513758976647738

711872027284736474437520759776727745

712672107292737274517528760476797752

713572187300738074597536761276867760

714372267308738874667543761976947767

715272357316739674747551762777017774

60 7789 7796 7803 7810 7818 7825 7832 7839 7846

61

6263646566676869

785379247993806281298195826183258388

786079318000806981368202826783318395

786879388007807581428209827483388401

787579458014808281498215828083448407

788279528021808981568222828783518414

788979598028809681628228829383578420

789679668035810281698235829983638426

790379738041810981768241830683708432

791079808048811681828248831283768439

791779878055812281898254831983828445

70

71

727374

7576777879

8451 8457 8463 8470

853185918651871087688825888289388993

8476 8482 8488 8494 8500 8506

851385738633869287518808886589218976

8519 .

85798639869887568814887189278982

852585858645870487628820887689328987

853785978657871687748831888789438998

854386038663872287798837889389499004

854986098669872787858842889989549009

855586158675873387918848890489609015

856186218681873987978854891089659020

856786278686874588028859891589719025

80 9031 9036 9042 9047 9053 9058 9063 9069 9074 9079

81

8283848586

8788

89

908591389191924392949345939594459494

909091439196924892999350940094509499

909691499201925393049355940594559504

910191549206925893099360941094609509

9106- 91599212926393159365941594659513

911291659217926993209370942094699518

911791709222927493259375942594749523

912291759227927993309380943094799528

912891809232928493359385943594849533

913391869238928993409390944094899538

90 9542 9547 9552 9557 9562 9566 9571 9576 9581 9586

91

9293949596979899

959096389685973197779823986899129956

959596438689973697829827987299179961

960096479694974197869832987799219965

960596529699974597919836988199269969

960996579703975097959841988699309974

961496619708975498009845989099349978

961996669713975998059850989499399983

962496719717976398099854989999439987

962896759722976898149859990399489991

963396809727977398189863990899529996

100 0000 0004 0009 0013 0017 0022 0026 0030 0035 0039

A-10 Apendice: Relaciones matemdticas

FUNCIONES EXPONENCIALES

X ex

e~* X er

e~x

0,00 1,0000 1,0000 2,5 12,182 0,08210,05 1,0513 0,9512 2,6 13,464 0,07430,10 1,1052 0,9048 2,7 14,880 0,06720,15 1,1618 0,8607 2,8 16,445 0,06080,20 1,2214 0,8187 2,9 18,174 0,0550

0,25 1,2840 0,7788 3,0 20,086 0,04980,30 1,3499 0,7408 3,1 22,198 0,04500,35 1,4191 0,7047 3,2 24,533 0,04080,40 1,4918 0,6703 3,3 27,113 0,03690,45 1,5683 0,6376 3,4 29,964 0,0334

0,50 1,6487 0,6065 3,5 33,115 0,03020,55 1,7333 0,5769 3,6 36,598 0,02730,60 1,8221 0,5488 3,7 40,447 0,02470,65 1,9155 0,5220 3,8 44,701 0,02240,70 2,0138 0,4966 3,9 49,402 0,0202

0,75 2,1170 0,4724 4,0 54,598 0,01830,80 2,2255 0,4493 4,1 60,340 0,01660,85 2,3396 0,4274 4,2 66,686 0,01500,90 2,4596 0,4066 4,3 73,700 0,01360,95 2,5857 0,3867 4,4 81,451 0,0123

1,0 2,7183 0,3679 4,5 90,017 0,01111,1 3,0042 0,3329 4,6 99,484 0,01011,2 3,3201 0,3012 4,7 109,95 0,00911,3 3,6693 0,2725 4,8 121,51 0,00821,4 4,0552 0,2466 4,9 134,29 0,0074

1,5 4,4817 0,2231 5 148,41 0,00671,6 4,9530 0,2019 6 403,43 0,00251,7 5,4739 0,1827 7 1.096,6 0,00091,8 6,0496 0,1653 8 2.981,0 0,00031,9 6,6859 0,1496 9 8.103,1 0,0001

2,0 7,3891 0,1353 10 22.026 0,000052,1 8,1662 0,12252,2 9,0250 0,11082,3 9,9742 0,10032,4 11,023 0,0907

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS IMPARES

CAPITVLO 2

2,1 (a) 1,6736 x 10-*' kg; (b) 26,565 x 10"87 kg

2.5 28,8 uma = 4,788 x 10-" kg; 2,70 x 10" moleculas cm-3 ;

5,4 x 101* moleculas cm-3; 2,16 x 10" moleculas cm"3

2.7 0,6280 hr-1; 4,64 x 10" moleculas cm-* s-1

2.9 Para un modelo cubico: 3,34 x 10-» m; 3,10 x 10~10 m; 2,28 x 10"10 m.

Para un modelo esferico: 2,07 x 10"* m; 1,92 X 10-10 m; 1,41 x 10"10 m.

2.11 5,5 x 103 kg m-3; 1,4 x 103 kg m~*

2.13 6,71 x 108 mi hr- 1; 7,5 viajes por segundo; 9,46 x 101B m 6 5,88 x 1011 mi

2.15 4,05 x 10" m, 4,3 anos luz, 2,72 x 10s AU2.17 37,2°

2.19 (a) -26°, -45°, -30°; (b) -10°, 15% 9,8°; (c) -4°, 5,4°, 3,2°

CAPITVLO 3

3.1 (a) 15 unidades, 0°; (b) 13,1 unidades, 35°27'; (c) 10,8 unidades, 56°6';

(d) 4,9 unidades, 114°6'; (e) 3 unidades, 180°

3.3 13,7 unidades; 20 unidades

3.5 124<>48'; 8,67 unidades

3.7 (a) 9,2 unidades, — 49°; (b) 12,8 unidades,— 38°40'; (c)15,6 unidades, 20° 20'

3.9 3,2 unidades, 58°30'

3.17 H = u*(6) + u,(6) + m.(0); R - 8,48, a = 45°, § = 45°, y = 90°

3.21 20,3 unidades

3.25 (x— 4)/— 5 = (y — 5)/5 = (z + 7)/5; (x— 6)/— 5 = y/5 = (z + 8/5)/5

3.37 (a) Usando los puntos dados en forma clclica para definir los pianos: S, =- uz(— 2), S

2= ux(l) + 14,(1), Sa

= ux{— 1) + ur(l), S4 = i*„(— 1) + ur(l);

(b) S =_ 0; (c) 6,24

3.39 60°; (V5/3)a m

CAPITVLO 4

4.1 410 lbf, 385 lbf

4.3 (a) 9,16 kgf; (b) 4 kgf

4.5 84,6 N, 75°45'

4.7 z, = w*(0) + wtf(7500) + uz(1500) pie-lbf;

t2= u*(2700) + «ff(— 400) + «r(— 800) pie-lbf;

T3= Mx(450) + u„(100) + M— 100) pie-lbf

A-12 Respuestas a los problemas impares

4.9 24^5 N m; y = \x + 5

4,11 Con el origen en A, R = u*(2,33) + w,(3,17) N; xA = u*(— 1,4) N m; tB =«*(— 0,47) N m; TC - w*<— 1,9) N in

4.13 2 m4.15 A lo largo de la diagonal mayor, 1,77 pies de la esquina mas cercana; 2 lbi

4.17 25,7 lbf, la linea de accidn forma un angulo de 61°40' con el eje horizontal4.19 Cero; pero debido a que el torque resultante con respecto al origen es t = 30 kgf

cm, el sistema se reemplaza por un par de torques 30 kgf cm4.21 6600 dinas (6,7 gmf), 77,3 cm4.23 Ra = 1143 N, Rb - 1797 N4.25 30 kgf, 50 kgf

4,27 (a) 60 lbf; (b) 69 lbf

4,29 73,3 kgf; 156,3 kgf

4.31 25,9 kgf; 36,7 kgf

4.33 W sec a; Wtga4.35 (a) 70,7 kgf, 50 kgf, 10 kgf; (b) 86,1 kgf, 43 kgf, 15 kgf; (c) 38,9 kgf, 29,8 kgf,

15 kgf

4.39 4170 N a 196 cm a la derecha de A4.41 6690 kgf, 7010 kgf

4.43 Fa = 110 — 12,5x kgf (x medida desde A); FB = 10 + 12,5x kgf4.45 58,6 kgf; 81,5 kgf

4.47 W cos a, Wsena; tg<f>= cotg 2a

4.49 Ft = F3 = 9,84 lbf, Fz= 37,05 lbf

4.51 (a) Desde el centro del cuadrado xc = 2,07 pulg, yc = 0; (b) Xc = 0,565 pulg,yc = —0,251 pulg; (c) 5,89 pulg a lo largo del eje de simetria, desde la base

4.53 xc = 1,77 cm, yc = 4,23 cm4.55 (V5/12)a desde la base y sobre la altura

CAPITVLO 5

5.1 1,125 x 1014 m s~*

5.3 288 km hr- 1; 5,33 m s-2

5.5 9,25 m5.9 18 s; 180 m5,13 (a) 10 m; (b) 0, 2,7 s; (c) 4 m s-1

;(d) 16 — 12/ — 6 At; (e) 16 — 12/; (f) 16 m

s-1 ; (g) 1,33 s, 10,7 m; (h) — 12 m s-*; (i) — 12 m s-2; (j) nunca; (1) el movi-

miento es retardado hasta t = 1,33 s, el movimiento es acelerado a partir deentonces

5.15 ik=, 4t— iP— 1 ; x =2t2 ^ t*J12 — / -f J

5.17 v = vj(l + Kv t); x = x + (l/i^)ln(l + Kvt ); v - v e- K (x~V

5.19 (a) El movimiento es en la direcci6n po&itiva, excepto para 2,2 s < t < 2,8 s;(b) el cuerpo es retardado instantaneamente a los 0,8 s y los 2,2 s; es instanta-neamente acelerado a los 1,8 s y los 2,8 s; (c) 0,28 s, 2,65 s y 3,0; (d) entrc0,8 s y 1,8 s. Segun el granco, las velocidades promedio son: (a) — 2,25 m s"1 ;

(b) 1,25 m s-1 ; (c)

5.21 1,43 s; 2,65 s; 18,6 m5.23 25 pies; 119 pies; 96 pies s-1

5.27 12,2 s

ttespuestas a los problemas impares A-13

5.29 574 pies

5.31 (a) 6,2 s; (b) 34,3 s.

5.33 2,6 x 10-6 rad s-1; 991 m s~l

; 2,6 x KM m s-*

5.35 2,4 x 10e m S"1 ; 2,4 x 10"10 m s~a

5.37 2 rad s~a ; 125 rad

5.39 5,33 x 1010 m s-a

5.41 20 pies

5.43 15,6 min

5.45 20* rad s-1; 20 rad s^a

5.47 10 s

5.49 20 m5.51 38,4 pies s_1 , 48 pies

5.53 v — Ao cos cot; a = — Ato* sen (ot = — to2x; v = cqYA* — xa

5.55 (a) x1 ^ — y1 * = 1; (b) la trayectoria es parab61ica; (c) / = 0,5 s; (d) (16, 9),

(9, 16); (e) aT = {At— 2)/K2fa— It + 1 pies s~2 qn = 2/^2**— 2f + 1 pie s^a ;

(f) qt = 2 pies s-2

, qn = 2 pies s_a

5.57 (a) x2 + ya = 4; (b) 2a> cm s- 1

;(c) aT = 0, a* = 2 cm S"a

5.59 y* = Ax

5.61 (a) 31,8 km; (b) 27,5 km; (c) 375 m s-1, 11,2 km; (d) 405 m s-1 , 25 s, 79 s

5.63 (a) 204 m s-1 ; (b) 23,9 s; (c) 700 m; (d) 171 m s-1

5.65 (2v$jg) cos a see8 a sec8 ^ sen (a— ^)

5.67 3°10' y 89°

CAPITULO 6

6.1 20 km hr-1; 160 km hi-1

6.3 3:11 p.m, 318 km; 8:40 p.m., 867 km6.5 100 km hr-1

, N 53°8' W; 100 km hr-1, N 53°8' E

6.7 (a) S 41°19' E; (b) 1 hr 34 min6.9 El hombre en el bote, 40 min; el hombre cammando, 30 min6.11 El hombre de ida y vuelta, 34,64 min; el hombre de arriba a abajo, 40 min

6.13 (a) Velocidad horizontal constante de 100 pies s^ 1, aceleracitin vertical cons-

tante g; (b) como en (a), pero la velocidad horizontal es 800 pies s^ 1; (c)

29° por encima o por debajo de la horizontal

6.15 (a) 15 m s"1 ; (b) 45 m s-1;(c) 36,6 m s-1

6.17 3,27 cm6.19 6.56 x 10-3 m s-*

6.23 Para origenes no coincidentes V = v 00' -f w x r' + V\

<* = Ooo' + G> x (fi> x r') + a x r' + 2<0 x V + <*'

6.25 0,866c

6.27 (a) 1,6 s; (b) 2,3 x 108 m; (c) 0,96 s

6.29 (a) 4,588 x 10" fl s; (b) 4305 m6.31 7,5 anos; 6,25 anos; 1,25 anos

6.33 3 x 1010 m; 0,84c

6.35 8,04 hr

6.43 0,82 m, 59°5', en la direcci6n del movimiento

Hespuestas a los problemas impares A-13

5.29 574 pies

5.31 (a) 6,2 s; (b) 34,3 s.

5.33 2,6 x 10-« rad s^1; 991 m s~l

; 2,6 x KM m s->

5.35 2,4 x 106 m S"1 ; 2,4 x 10"10 m s~a

5.37 2 rad s-fl

; 125 rad

5.39 5,33 x 1010 m s~a

5.41 20 pies

5.43 15,6 min

5.45 20/ rad s-1; 20 rad s^2

5.47 10 s

5.49 20 m5.51 38,4 pies s_1 , 48 pies

5.53 v — Aw cos tat; a = — Ato* sen <oi = — w*x; v = wVA* — xa

5.55 (a) x1 '2 — y1 * = 1; (b) la trayectoria es parab61ica; (c) t = 0,5 s; (d) (16, 9),

(9, 16); (e) aT = (4t— 2)/f2f3— It + 1 pies s~2 a* = 2/K2F— 2f + 1 pie s^2 ;

(f) qt = 2 pies s_a , qn = 2 pies s_a

5.57 (a) x8 + ya = 4; (b) 2m cm s-1

;(c) aT = 0, a* = 2 cm S"a

5.59 i/s = 4x

5.61 (a) 31,8 km; (b) 27,5 km; (c) 375 m s~S 11,2 km; (d) 405 m s-1 , 25 s, 79 s

5.63 (a) 204 m s-1 ; (b) 23,9 s; (c) 700 m; (d) 171 m s-1

5.65 (2vljg) cos a seca a sec2 ^ sen (a — f)

5.67 3°10' y 89°

CAPITULO 6

6.1 20 km hr-1; 160 km hi-1

6.3 3:11 p.m, 318 km; 8:40 p.m., 867 km6.5 100 km hr-1

, N 53°8' W; 100 km hr-1, N 53°8' E

6.7 (a) S 41°19 / E; (b) 1 hr 34 min6.9 El hombre en el bote, 40 min; el hombre caminando, 30 min6.11 El hombre de ida y vuelta, 34,64 min; el hombre de arriba a abajo, 40 min

6.13 (a) Velocidad horizontal constante de 100 pies s^ 1, aceleracidn vertical cons-

tante g; (b) como en (a), pero la velocidad horizontal es 800 pies s^ 1; (c)

29° por encima o por debajo de la horizontal

6.15 (a) 15 m s"1 ; (b) 45 m s-1;(c) 36,6 m s-1

6.17 3,27 cm6.19 6.56 x 10-3 m s~*

6.23 Para origenes no coincidentes V = r 00' + to x r' -f V\

<* = « o' + O x (fi> x O + « * r' + 2tf) x F' + «'

6.25 0,866c

6.27 (a) 1,6 s; (b) 2,3 x 10s m; (c) 0,96 s

6.29 (a) 4,588 x 10" 8 s; (b) 4305 m6.31 7,5 anos; 6,25 anos; 1,25 afios

6.33 3 x 1010 m; 0,84c

6.35 8,04 hr

6.43 0,82 m, 59°5', en la direcci6n del movimiento

A-14 Respuestas a los problemas impares

CAPITVLO 7

7.1 (a) 14,4 m s-1, W 0°47' S; (b) p = w<*ste(19,2) + tinorte(8) kg m s~l

; (c) APl =t4oete(— 24) + Wnorte(8,4) kg m S"\ Ap2 = «oeste(24) + Unorte(— 8,4) kg m s-1

;

(d) Avx= t#oeste( 7,5) + Mnorte(2,6) m S" 1

, Av2= Uoeste(15) + Un0rte(— 5,2) m S"1

;

(e) Avx= 7,9 m s

_1, Av% ~ 15,9 m s-1

7.3 3,33 x 10* m s_1

,82°30' con respecto a la direction original del atomo H

7.5 (a) 0,186 m &-\ 27°30' debajo del eje + X; (b) Ap1= Ap2 = ux(— 0,049) +

w»(0,026) kg m s-1, Avx - ux{— 0,0247) + u„(0,0128) m s 1

, Avt= u*(0,164) +M— 0,0857) m s"1

7,7 mA = 1 kg, /hb - 2 kg

7,9 (a) W;(b) —

p

+ W7,11 9 km s-1

7.13 (a) — 0,3 kg m s~l, — 3 N; (b) — 0,45 kg m s~\ — 4,5 N; el momentum del

carro no se conserva ya que actua una fuerza externa.

7,15 347 N7,17 lO3^ dinas

7,19 (a) 14° hacia adelante; (b) 20° hacia atras

7.21 116,3 kgf (1139 N)

7,23 75 kgf (735 N)

7,25 (a) 882 N; (b) 882 N; (c) 1152 N; (d) 612 N; (e) N7,27 F = — mw2x; (a) en la direccion-X negativa; (b) en la direccion-X positiva

7,31 (a) Una fuerza de friction de 3350 N; (b) una fuerza de fricci6n de 3150 N7,33 (a) Ap = uN(— 9,87 x 10s

) + «E (14,1 x 103) kg m s"1

;

(b) 8,6 x 10a N, S 55° E7.35 (a) a = (F— mdD&m^ + m2), T = m2(a + g); 166 cm S"a

, 917 X 10* dinas;

(b) a = [F + {ml— m2)gy{m1 + m2), T = m 2(a + g); 543 cm s-», 1,22 x

10 5 dinas

7.37 (a) a = g(mx sen a — m2)/(™i + m^, T = m2(a + g); — 206 m s~a, 1,39 x10B dinas; (b) a = g(m

1sen a —- m2 sen P)i(Tnt + m2), T = m2(a + g sen fi);— 144 cm S"a

, 1,50 x 10 B dinas

7.39 (b) [m^mz -f /n3) + 4m2m^]g/(m2 + m3)

7.43 15 kg, g/5 _7,45 0,27 m, 1^3

7.47 48,9 lbf T"1

7.49 (a) 1,6 kgf (15,7 N); (b) 0,2</; (c) con relaci6n al bloque inferior, el superior

tendra una aceleracion de 0,1 g hacia atras en el primer caso y hacia adelante

en el segundo

7-51 (vjg) (1-ix 10-3) ^ 6,1 s, (vtjlg) (1 — 2,7 x 10-*) ^ 183,6 m

7.53 rln 2 = 8,66 s; r = 1,25 s; 138 m7.55 8,81 x 10-8 N7.57 (a) 13,9 N; (b) 33,5 N; (c) 23,7 N; (d) 2,42 m s~l

7.59 2 pies

7.61 (a) 13,6 pies s-1;(b) 247 lbf; (c) 340 lbf; (d) 2,06 rad s-1 (777 rev/min)

7.63 125,2 N, 20°10'

7.67 (a) uv15 kg m s- 1; (b) u*(105) kg m2 s-1

7.69 La tangente del angulo de la direction del movimiento con el eje X es Ftjmv^

en cualquier momento /; FL2j2mvl

Respuestas a los problemas impares A-15

7.71 (a) u*(36) + u»(— 1440 N; (b) h*(432F + 2880 + «»(108t + 72) +wz(— 288fa + 864F) N m; (c) u*(36*— 36) + ***(— 72/a

) + ««(18) kg m s~S

u,(144P + 144ff) + *,,(54P + 72*— 72) + uz(— 12P + 288*3) kg ma S"1;

7.75 3,03 x 10* m s-1 ; 1,93 X 10"7 rad s-1 en el afelio y 2,06 x 10~ 7 rad s-1 en e]

perihelio

7,77 3,37 x 103 m s^1 , 14,8 km

CAPITULO 8

8,1 (a) 250 m kg s- 1;(b) 25 N

8.3 2927,75 J, 24,4 W8.5 3300 J, 2000 J, 1500 J, — 200 J

8.7 98 N8.9 23,54 W8.11 10.258,6 W, 1,03 x 10* J

8.13 No hay velocidad maxima si la resistencia del viento permanece constante

8.15 (a) 2,592 x 104 erg; (b) 4,392 x 10* erg; <c) 2.160 erg s- 1; (d) 2,592 x 10* erg

8,17 7200 J; 19,6 J; 0,8 rad S"1

8.19 2,84 eV, 5,22 kev

8.21 7,61 x 10 6 m S"1

8.23 (a) u*(56) m kg s~x;(b) 10 s. Los resultados son los mismos en ambos casos.

8.25 (a) M4200) N s; (b) ux(4260) m kg s-1; (d) 590.360 J; (e) 591.260 J

8.27 (a) 50,6 J; <b) 29,4 J; (c) 64 J; (4) 42 J

8.29 (a) —45 J; (b) 75 W, 0,1 hp; (c) —45 J

8.35 (a) 7,2 J; (b) 470,40 J; (c) 477,60 J; (d) 48,8 m s-1

8.37 81,2 m s- 1; 13,9 m

8.39 h = 0,61*

8.41 7,2 x 10-a m8.43 2,45 x 10—2 m; (a) 9,8 m s-s

;(b) 5,8, 0, —2,2 m s-«, respectivamente; 0,395,

0,490, 0,477 m s- 1, respectivamente; (c) 4,90 x 10~2 m

8.47 1360 J

8.49 F = W/200, W = peso del tren

8.55 x — 2, estable; x =

CAPITULO 9

9.1 3,417 m s-1,215°55'

9.3 (a) x = 1,50 + 0,25/* m, y - 1,87 + 0,19? m; (b) P = ux{St) + «,(60 N s

9.5 p = pi>a cosa

9.7 (a) vr= ux10 m s-\ v

2= ux(— 4,00) + w»(6,96) m S" 1

;

(b) «cm = ux(l,6) + u„(4,17) m s-1;

(c) v\ = u*(8,4) + u^— 4,17) m S"1, «J = ux(— 5,60) + uy (2,79) m S"1

;

(d) pi = — v% = w*(16,8) + M— 8,34) m kg s-1;

(e) v12= ux(U) + «„(— 6,96) m s-1

; (f) 1,2 kg

9.9 (a) (—0,6, 0,4, 1,6) m; (b) ux{— 8,35) + uy{— 16,8) + «*(25,15) ma kg S"1;

(d) u*(— 13,92) + uy(28) + «*(— 26,96) ma kg s-1

9.11 (a) 4,11 MeV, 0,07 MeV; (b) 9,35 x 10-*3 m kg s-1 ;

(c) 1,41 x 10* m s-1, 2,41 x 103 m s'1

A-16 Respuestas a los problemas impares

9.15 x - \2[v^v\ + 2gh — vl]jg en cada lado

9.17 (a) 0,54 m s-\ 1,13 m s- 1; (b) —2,64 kg m s- 1

, + 2,65 kg m s-1

9.19 (a) 0,866 m s"1, 0,2 m s-1

; (b) ± 1,333 kg m s-1, ± 4,0 kg m s-1

9.23 (a) 0,46 m s-1, 1,54 m s-1 ; (b) 1,57 m s-1 y 0,979 m s-1 a — 50°33'

9.25 (c) e = 1

9.27 Cuando se levanta mt : (a) 0,022 m, 0,089 m;(b) 0,0142 m, 0,0802 m

;(c) 0,022 m,

Cuando se levanta m2 : (a) 0,022 m, 0,355 m; (b) 0,025 m, 0,321 m; (c) 0,022 m9.29 v[ - — evu K = 0, Q = — i(l — e^mtf, h f = e*h

9.33 (a) 8; (b) 52; carbono

9.35 jt/2

9.37 Alrededor de 4

9.39 (a) 48 m2 kg s-1, 14,4 ma kg s- 1

;(b) 35 J, 15,6 J

9.41 u*(0,167) +«,(— 0,083) m S"1

9.49 6,17 x 10-21 J 6 3,8 x 10~2 eV; (a) 2,73 x 103 m s-1 ; <b) 0,482 x 103 m s-*;

(c) 0,515 x 103 m s-1; He: 1,37 xl(Fm s-1

; C02 : 0,413 x 103 m s-1

9.51 12,95 x 103 J

9.53 8,31 x 102 J; 21,26 x 10a J

9.59 45 J o 188,3 cal

9.61 (a) 10 m s-\ 2,37 x 10 B N m-a; (b) 0,3 m3 min-1

;(c) 2,5 x 10s J kg-*

CAPITULO 10

10.1 (a) 1,875 ma kg, 0,61 m; (b) 0,9375 m2 kg, 0,434 m; (c) 0,625 ma kg, 0,354 m10.3 (a) 0,040 m2 kg, 0,028 m; (b) 0,025 ma kg, 0,0204 m;

<c) 0,020 m* kg s-1, 0,0183 m

10.5 6,80 x 10-" m2 kg

10,7 Los torques sobre X y Y son semejantes e igualan 1,005 x 10~w m* kg;

sobre Z el torque es 4,434 x 10"47 m2 kg.

10.9 1,34 rad s~a

10.11 325 s; 452 rev

10,13 (a) 0,436 rad s~3 ; (b) 21,80 rad; (c) 176,58 m2 kg s-»; (d) 192,49 J

10.15 3,34 X 10* N m; 6,31 x 10 7 J

10.17 63,6 ma kg s-1 , 5997 J; 12,72 N m, 1199,4 W10.19 h = 2,7i?

10.21 226.551 J

10.23 (a) 3g sen a/2L; (b) VZg cos a/L ; <c) \Mg cos a paralelo al radio y— \Mg cos a

perpendicular al radio

10.25 (a) aa = — £L sen a x <ac. ang.), ay = \L cos a X (ac. ang.);

(b) ac. ang. = — 15# cos a/L(4 + 6 cos2 a)

10.27 (a) mva; (b) mv, antes; mv(l + MLj2md)j{\ + MHjSmcF) despuSs;

(d) — (i/n^)AfLa/(ML2 + 3mas)

10.29 (a: 8,702 rad s~2 ; (b) 4,351 m s~a ; (c) 54,49 N10.31 2F(1 — r/R)/3m

10.33 a - [m— m'(r/R)]gl[iM + m + m'(rlR)*\R, a = Ra, a' = ra

10.35 (a) 120,05 J; (b) 35,32 N en la izquierda y 32,37 en la derecha

10.37 7,84 rad s-1

10.43 (a) 1,40 x 10~a x (4*)" N m; (b) jt/2

Respuestas a los problemas impares A-17

CAPITULO 11

11.3 c/K2; V2mQc*; (\2 — l)m ca

11.5 (a) mft/0,916; (b) m /0,60; pdaae/prei = 0,36

11.7 1,65 X 10-17 m kg s 1;0,99945c

11.9 c/1386; c/37,2

11.13 AEjm^ = 0,153, 1,141, 0,891, 3,807

11.15 0,115c; 3,40 keV, 6,28 MeV11.19 5,34 x 10-23 m kg s-1

; 4,97 MeV/c; 2 x10s MeV/c

11.21 1014 m s"2, 0,512 x 1014 m s~a

11.23 (a) 10" m s-2, 0,512 x 10u m s-a

; (b) 1,25 x 1014 m s^2 , 0,8 x 10u m sra

11,25 (a) 0,918c; (b) 11,876 x 10* eV, 10,898 x 10* eV/c; (d) 1,31 x 109 eV

11.27 (a) 56 GeV; (b) 1780 GeV11.33 (a) c^p1l(El + m2<?); (b) Q =11.35 (a) EA = (E'* — mlc*)/2E% donde E l

esta expresada por la ec. (11.47). <b) Enel sistema-L la energia depende de la direcci6n del movimiento de las particulas

resultantes.

CAPITULO 12

12.1 (a) 2 s; (b) 0,5 Hz; (c) 0,30 m; (d) x = 0,3 sen (jrf) m12.3 (a) 4 m, 20* s, 0,05/w Hz, 0,5 rad;

(b) v = 0,4 cos (0,1* + 0,5) m s^1, a = — 0,04 sen (0,1* + 0,5) m s-2 ;

(c) 1,85 m, 0,18 m s-1, —0,02 m s-a ; (d) 3,36 m, 0,34 m s-1

, —0,03 m s-*

12.5 103 /jt Hz, 4 m s- 1, 3,2 m s-1

; F = — 4 x IWx N, F = 8 sen (2 x 103* + a) N

12.7 2 x 10*te Hz; (a) 2,6 x 102tt m s-1

;(b) 3 x 10*rca m s~z

; (c) 30°

12.9 2,8ti x 10-a m S"1 y 1,4ji2 x 10~2 m s~2, ambas hacia el centro

12.11 207i* m <ra, 10ji» N, J** J, J** J

12.13 0,24_12.15 2jiValg

12.17 0, £A*, donde A es la amplitud de desplazamiento

12.19 3,80 s; 1,90 s

12.21 3,6 min; 0,988 m12.23 32°10' _____ __^_—_„12.25 5,88yK— 1 + 2/y N, 9,8y]A— 1 + 2/y m s"2 , 4,43f4 x 10"2— y m S"1

,

arcos (1 — y), donde y es la altura vertical del pendulo en m; 1,68 N, 2,8 m s-*,

m s-\ 16°15'; N, m s-2 , 0,886 m s^2 , 0,886 m s-1, 0°; 16°15'

12.27 (a) 1,9 x 10"*, 8,12 x 10- fl

; (b) 1,68 x 10~a, 6,31 x 10-*

12.29 1,71 s, i m; 1,71 s

12.31 (a) 4n[h* + iL*)fg(2h + L)]1 /2; (b) no

12.33 3,565 x 10~» N m (por rad)

12.37 14 sen 2t; 10 cos 2t; — 2 sen 2t

12.39 y « JX ; _»/16 + y2/9 = 1 ; y = — Jx

12.45 A = x /sena; a = arctg [o>xo/(i>o + x y)]; si v = 0, A = x^m^jm ya — arctg (co/y)

12.47 w = 0; A = Xo, B = yxo

12.49 1,44 s-1

A-18 Respuestas a los problemas impares

12,53 (b) aproximadamente 0,6 de la amplitud original; (c) 1,386t; (d) (i)nA

,

donde n es un entero y A es la amplitud original

12.57 d"x/d? + wlx = (FJm) cos m/t

12.59 (a) (4/sen_a)K2A/ff; (b) si, no

12.61 co ^tu (V3x /2/ ); d*x/dP + (Ar/^x3 — (/c/2m/ *)x5 =12.63 (a) cttr/tfP = Ffm = (4F /jrm) (sen wf + i sen 3™/ + . . .);

(b) A = — 4F /nnm\ B = A/27, C = A/125

12.67 (a) No; lejos del punto de equilibrio; no; (b) F = — kx -f ax*

12.69 (a) Si; no se mueve; si; (b) F = — kx + ax3

12.71 xu ±(A 2 + J52); 0, ±(A* + B2)

CAPITVLO 13

13.1 (a) 3,557 x 1022 N; (b) 1,985 x 10ao N; 1,79 x 10*

13.3 3,62 x 10~ 4fi N13.5 Aprox. 2 x 10"10 m (cf. problema 2.9); 1,49 x 10"4a N13,7 (a) 2,96 x 10 5

: 1; (b) 1,65 x 103: 1

13.9 (a) 17,5 kgf; (b) 140 kgf

13.11 3,06 x 10* N; 18,8 kgf; 110 kg

13.13 (1,976 ± 0,012) x 103* kg

13,15 32,1 km13.17 (a) 7,73 x 103 m s-1

;(b) 3,42 x 105 s; (c) 8,965 m s-»

13.19 3,5 dias; 2 : 1

13.21 (c) r = 6,37 x 10 6 cos (1,24 x 10^t) m;v = 7,90 x 103 sen (1,24 x 10-3 m S" 1

;

a = —9,80 cos (1,24 x KHf) m s~2

12.23 (a) V2yme/h + Re ;(b) no; (c) si

13.31 (a) 4,31 x 10* m s-1;(b) 1,23 x 10* m s^1

13.35 — (4ym2/a)[3(l + 1/^2) + l/f3]; —4,74 x 1036 J

13,37 — 1,09 x 30*8 J, suponiendo una densidad de 1,6 x 10"33 kg m~a

13.39 1,02 x 10* m s-1

13.41 (a) 3,45 x 108 m desde la tierra; (b) casi la velocidad de escape; (c) 2,37 x103 m s-1

13.43 2,82 x 10" m2 kg s-1; 1,25 x 10" J; —2,50 X 1011 J; —1,25 x 1011 J

13.45 (a) 1,78 x 10* N m, 4,16 dias; (b) 0,112 MW, 7,5 dias; (c) 30 revoluciones

13.47 2,16 x 10-" rad s-1 ; 3,70 x 10 53 m2 kg s-1; —4,0 x 1039 J

13.51 Mercurio: (a) 4,59 x 1010 m; (b) 6,98 x 1010 m; (c) —3,74 X 1031 J;

(d) 9,955 x 103* m 2 kg s-1; (e) 7,60 x 10* s; (f) 4,35 x 10* m s-1 ;

6,61 x 10* m s-1.

Tierra: (a) 1,47 x 1011 m; (b) 1,52 x 1011 m; (c) —2,64 x 1032 J;

(d) 2,718 x 1040 m2 kg S"1; (e) 3,16 x 107 s; (f) 2,92 x 10 4 m s- 1

;

3,02 x 10* m s'1.

Marte: (a) 2,07 x 1012 m; (b) 2,49 x 1012 m; (c) —1,85 x 1031 J;

(d) 3,445 x 103* m2 kg s-1; (e) 5,94 x 107 s; (I) 2,19 x 103 m s-1 ;

2,64 x 10s m s-1

13.53 (a) 3,21 x 101S m2 kg s-1; (b) —9,31 x 108 J; (c) 0,191;

(d) 6,37 X 10 8 m, 2,29 X 10* m; (e) 1,071 X 107 m; (f) 1,10 x 10* s

Respuestas a los problemas impares A-19

13.55 (a) 8,69 x 10« m; (b) 0,193; (c) 8,36 x 10 e/r - 1 + 0,193 cos0;

(d) 1,62 x 103 m s-i, 1,10 x 103 m s-i; (e) 8,06 x 10* s; (f) — 2,295 x 10* J

13.57 (a) m(l,06 x 107) J, m(3,65 x 1016

) m* kg s- 1;

(b) 1,009 x 10»/r = 1 + 24,5 cosfl; (c) 5,0 x 10 l» m13.63 r = R/(l + cos0); r - 2i?/(l + cos 8)

13.65 r2- $rl9 6 rx ; *rlF 6 ^; i 6

13.67 9,8 m s-2, 6,26 x 107 m2 s~2

13.69 Para el sol: 5,9 x 10~3 m s-2, 8,79 x 108 m2 S"2 ;

para la luna: 3,32 x 10" 5 m $~\ 1,28 x 10* m 2 s~2

13.71 —3,01 x 10-12m/«2; 3,0 x lQ-llm/a

13.75 (a) t>3 = (2ymtR) (1 — 1/Kl + VI&XiAP) ~ *>; (c) si i

cuando el valor de h es

pequeno comparado con R; 2nYymlR*.

INDICE ALFABETICO

Aceleraci6n angular, 109

centrtfuga, 129, 130

centripeta, 111, 129

de Coriolis, 129

de la gravedad, 101

efectiva, 130tabla de la, 132

instantanea, 90

normal, 103promedio, 89

tangential, 103

Acoplados, osciladores, 380

Adhesi6n, 110

ADN, 7

Afelio, 199

Agua pesada, 268

Alcance, 102

Amortiguado, movimiento oscilatorio.

403Ampere, 19

Amplitud, 359resonancia en la, 391

Ancho de banda, 403

Andr6meda, 9

Angstrom, 4

Angular, frecuencia, 359

velocidad, 106Angulo de peralte, 180

Angulo s61ido, 22

Antiprot6n, 350

Alio luz, 29

tropical, 18

Apogeo, alturas de, 448

Area, representation vectorial del, 51

Aristarchus, 411

Aristoteles, 8

Arm6nicas, 397

Arquimedes, principio de, 283, 294

Atm6sfera, 272

At6mica, unidad de masa, 28

At6mico, reloj, 18

Atomo de hidr6geno, masa reducida, 249

Atomos, 5

Atwood, maquina de, 169

Avance del perihelio, 425

Axial, fuerza, 187

Barometrica, ecuaci6n, 294

Barrera de potential, 226

Bernoulli, teorema de, 283

Boltzmann, constante de, 278

Boyle, ley de, 294

Brahe, Tycho (1546-1601), 397

Brazo de palanca, 60

Galor, 273Caloria, 273Campo, 408Campo gravitatorio, 428

Carga, 16

Cavendish, balanza de torsi6n, 413

Celsius, temperatura, 270

Centigrada, temperatura, 261

Central, fuerza, 185

Centrifugo, potencial, 223

Centro de curvatura, 105

Centro de masa, 68, 241

sistema de referenda del, 242

tabla del, 69

velocidad del, 242

Cicloidal, pendulo, 368

Cicloide, 368Cifras significativas, 25

Circulation, 215

Indice alfabetico A-23

Energia, umbral de, 349

Epiciclo, 411

Epicicloide, 411

Equilibrio, 71

de un cuerpo rigido, 72

de una particula, 71

estable, 225termico, 270, 273

y reposo, 190Equivalencia, principio de, 440

Erg, 207

Error experimental, 15

metodo, 11

Escalar, 33

Especial, principio de relatividad, 330

Espin, 254

Estacionario, movimiento, 282

Estadistica, mecanica, 269

Estados de la materia, 5

Esteradianes, 22

Eter, 121

Evento, 144

Excentricidad, 426

Exoergica, 263Experimentaci6n, 11

Experimento de Michelson-Morley, 148

Fase, 359Figuras de Lissajous, 378Ffsica, 2

Fisico, pendulo, 369Fisi6n, 267Fluido, 281

en movimiento, 281

Foco, 426

Foucault, J. B, (1819-1868), 135

Foucault, pendulo de, 135

Fourier, coeficientes de, 397

series de, 396teorema de, 396transformada de, 397

Frecuencia, 108

angular, 359

Fricci6n, coeficiente de, 170

en un fluido, 173

por deslizamiento, 170

Fuerza, 163, 334axial, 187

central, 185

centripeta, 179

componente radical de, 216

transversal de, 216

concurrente, 62

conservativa, 213

coplanar, 65

Fuerza, critica del concepto de, 166

de fricci6n, 170externa, 242inercial, 337interna, 242no conservativa, 228normal, 179propia, 332, 344relativlstica, 334tangencial, 179transformaciones de Lorentz, 355unidades de, 167

Galaxia, 8

Gas, ecuaci6n del estado de un, 276

ideal, 278termometro de, 279

Gay-Lussac, ley de, 283Gir6scopo, 314Gradiente, 217Grados Kelvin, 270Gramo, 19

Gravedad, aceleracion de, 101

efectiva de, 130centro de, 68

tabla, 132

Gravitaci6n universal, ley de la, 412

Gravitatoria, masa, 17

H2 , longitud de enlace, 426energia de disociacidn, 427

H20, angulo de enlace, 320

energia de vaporizaci6n, 427

OH longitud de enlace, 320vibraciones normales, 385

HCL, longitud de enlace, 319, 320

Hertz, 108Hertz, H. R. (1857-1894), 108

Hiparco, 317Hip6tesis de Lorentz-Fitzgerald, 148

Histograma, 26

Impedancia, 393

Impulso, 202Inercial, fuerza, 330masa, 17

observador, 157, 319

Inestable, equilibrio, 225

Instantanea, aceleracion, 90

velocidad, 87

Integral de linea, 204

Intensidad del campo gravitatorio,

429Interacci6n, 8, 84, 158

Interferencia, 371

A-22 Indice alfabeiico

Co, longitud del enlace, 287Coa , osciladores normales, 381

Coeficientes de fricci6n, 170, 171cinetico, 171

de restituci6n, 289de viscosidad, 173estatico, 171

Coeficientes de fricci6n (tabla), 171de viscosidad (tabla), 174

Cohesi6n, 170Colisidn, 262

de altas energias, 348de particulas alfa, 162, 262elastica, 263inelastica, 263plastica, 289

Q de una, 264Compas girosc6pico, 318Componentes contravariantes, 56

covariantes, 56de un vector, 37rectangulares, 37

Conservation del momentum angular,

252de la energia, 262de una particula, 219del momentum, 162en un fluido, 281

Conservativa, fuerza, 213Constante de gas, 292Constante elastica, 263Constante de Planck, 188Continuidad, ecuacitfn de, 285Contracci6n de la longitud, 144Contravariantes, componentes, 56Copernico, Nicolas, 411Coriolis, aceleracidn de, 129Coulomb, 19Cuadrivectores, 342Cualidad del sonido, 397Cuerpo rigido, 296Cupla, 64

De rosea derecha, tornillo, 61Deferente, 411Defmici6n operacional, 16Densidad, 20

relativa, 21Densidades, relativas al agua (tabla),

21

Derivada direccional, 216Desplazamiento, 33Desviaci6n, 26, 188Desviaci6n media, 25Desviaci6n rms, 26Determinantes, 50

Deuterio, masa reducida, 249Dia solar medio, 18

sideral, 109Diagrama de Dalitz, 284, 294Dilatacidn del tiempo, 144Dina, 167Dinamica, 168Dinam6metro, 208Direcci6n, 32

de referenda, 33Direccional, derivada, 276Directores, cosenos, 39Directriz, 426Disociaci6n, 267Dispersi6n, 188Distancia, 33Distribuci6n gausiana, 26Distribution normal, 27

Ecliptica, 317Ecuaci6n barometrica, 294

de continuidad, 285de estado de un gas, 276de un cohete balistico, 449diferencial del MAS, 365

Einstein, Alberto, 330Eje, 32

de simetria, 69Ejes principaks de inercia, 299Electron volt, 270Elipse, area de la, 426Endoergica, 263Energia, 84

cinetica, 273, 311componentes de la, 217critica del concepto de, 232de acoplamiento, 384de rotacion, 311de translacion, 260de una particula, 219en el movimiento arm6nico simple,

363en un fluido, 281en reposo, 337interacci6n de la, 384interna, 261ley de conservaci6n de la, 275mecanica, 273no-mecanica, 273potencial, 213, 232, 263, 418

curvas de, 224gravitacional, 418

propia, 257quimica, 273relativista, 337total, 219

A*24 Indice alfabetico

Intefer6metro, 147Interna, energia, 261

fuerza, 243Internacional (de unidades), sistema,

19Intervalo de tiempo, 87Invariante, 125IsOtopos, 5

Joule, 207Joule, James P. (1818-1889), 207

Kelvin, grados, 270Kepler, Johannes (1571-1630), 397Kilogramo, 17Kilogramo-fuerza, 59Kilowatt-hora, 207

L-Sistema de laboratorio, 242, 243Laboratorio, sistema de referenda del,

243Lee, T. D., 8

Ley de Charles, 294de inercia, 156de la gravitaci6n universal, 397, 413de la termodinamica, primera, 275de Stokes, 173del movimiento de Newton, primera,

157

segunda, 163tercera, 163

Leyes de areas, 412de Kepler, 397

Libra-fuerza, 59Lfnea de equinoccios, 317Linea, integral de, 204Lineal, momentum, 158Lfneas de flujo, 282

de fuerza, 429Longitud, 16Lorentz, H. (1853-1928), 139

Macrosc6pico, 16Masa, 16, 17

centro de, 68, 241en reposo, 158gravitacional, 17inercial, 17redefinition de, 163reducida, 248

Materia, estados de la, 7

Mecanica, 84cuantica, 16energia, 273estadistica, 269

Mediciones, 15Metrico, sistema, 19Metro, 17

Michelson, A. A. (1852-1931), 137Michelson-Morley, experimento de, 147MKSA, sistema, 19MKSG, sistema, 20Modelo, 13

Moderation, 267Moderador, 267Modos normales, 381Modulada, amplitud, 374Mol, 28, 29Moleculas, 5

Momento angular, 182cuadrupolar, 451de inercia, 298dipolar, 448

Momentos principales de inercia, 299Momentum, angular, 251

de un cuerpo rfgido, 297lineal, 158principio de conservation del, 159, 333relativistico, 333transformation de Lorentz del, 355

Movimiento, 86circular, 106, 109curvilineo, 178, 334curvilineo general, 112de un fluido, 280estacionario, 282oscilatorio amortiguado, 403

anarmOnico, 385armOnico, 359forzado, 389

rectilineo acelerado, uniformemente, 89relativo de translation uniforme, 125uniforme, 89

Newton, 59Newton, Sir Isaac (1642-1727), 157, 397NH3 , angulo de enlace, 320NH longitud de enlace, 321

No inercial, observador, 330Normal, aceleraciOn, 104

fluctuation, 26fuerza, 181

Nucleo, 5

Nulo, vector, 52Numero de Avogadro, 292Niimero de Loschmidt, 292NutaciOn, 317

Observation, 11

Observador, inercial, 329no inercial, 330

Indice atfabetico A-25

Operational, definici6n, 16Orbitas cerradas, 419

elipticas o ligadas, 418, 427Oscilaciones, modos normales de, 381Osciladores acoplados, 380

Par prot6n-antiprot6n, umbral de ener-

gia, 350Paralaje, 29

estelar, 29

Paralelas, fuerzas, 66Parsec, 29Particula libre, 156

Pendulo balistico, 288cicloidal, 368, 369compuesto, 369c6nico, 181de amortiguamiento viscoso, 389de Foucault, 135de torsi6n, 370fisico, 369relaciones energeticas en el, 215simple, 366

Perigeo, alturas de, 448Perihelio, 199avance del, 426

Periodo, 25, 108Peso, 68Plasma, 7

Plastica, colisitfn, 289Poise, 173Polarizaci6n circular, 377

eliptica, 377rectilinea, 376

Polhode, 310Posici6n, vector, 39Potencia instantanea, 206

promedio, 206rotational, 325

Potencial centrifugo, 223de Morse, 402de Yukawa, 238energia, 213gravitatorio, 430Lennard-Jones, 228

Precesi6n, 315de los equinoccios, 317

Precisidn, 23Presi6n, 247

unidades de, 272Principio de equivalencia, 440

de relatividad, clasico, 328especial, 330general, 441

Producto escalar, 45vectorial, 48, 49

Productos de inertia, 326Ptolomeo de Alejandria, 411Pulso, 398

Q de una colisi6n, 263Q-ecuaci6n, para colision, 265Quimica, energia, 273

Radial, velocidad, 112Radian, 21

Radio de curvatura, 105de giro, 304

(tabla), 303Reacci6n de captura, 264Reactancia, 393Reducida, masa, 248Referencia, sistema absoluto de, 121

sistema de, 86Relativa, velocidad, 121Relatividad, principio de, 330

clasica, 328especial, 330general, 441

Relativo uniforme, movimiento de tras-

laci6n, 125Reloj at6mico, 18Renormalizaci<3n, 433Reposo, 86

y equilibrio, 190Reposo, masa en, 158Resistencia, 393Resonancia, amplitud de, 391

energia de, 391

Retardada, aceleraci6n, 90Rotaci6n, 63

Section c6nica, 426Segundo, 18

Semieje mayor, 427menor, 427

Simple, pendulo, 366Simultaneidad, 153Sistema de referencia, 86

del centro de masa (G-), 242de referencia de momentum cero, 242inercial, 157international (de unidades), 19laboratorio (1 —), 242metrico, 19

MKSA, 19MKSC, 20velocidad del, 242

Sistema solar, datos basicos del, 412Slug, 168Sobretonos, 397

A-26 Indice alfabetico

STP, 21Superficies equipotenciales, 431Superposici6n de dos Mas, 371

Tablas, aceleracion de la gravedad, 132centro de masa, 69coeficientes de fricci6n, 171

de viscosidad, 174datos basicos del sistema solar, 412densidades, relativas al agua, 21prefijos de potencia de diez, 20radio de giro, 304relaciones de sistemas de particulas,

261Tangencial, aceleraci6n, 103

fuerza, 179Temperatura, 269

absoluta, 270celsius, 270centigrado, 270Medici6n de la, 279

Tensores, 342Teorema de Steiner, 302Teorema virial, 276Termico de acoplamiento, 381Termino transitorio, 390Termodinamica, 269

primera ley de la, 275Termico, equilibrio, 270Termdmetro, 279

de Gas, 280Tiempo, 16

de vuelo, 102Tiempo de relajaci6n, 176Tornillo de rosea derecha, 61Torque, 60Torsi6n, pendulo de, 370Trabajo, 203

total externo, 272unidades del, 207

Transformaci6n de Lorentz, 136, 139,143galileana, 141

Transitorio, termino, 390

Transversal, velocidad, 112Traslacitfn, 63

energia cinetica de, 260Tropical, afio, 18

Umbral de energia, 349Unidad, 15

astron6mica, 29

Valor medio, 25promedio, 25

Vector, 32nulo, 53posici6n de, 39producto de, 47reciproco, 56rotante, 372unidad de, 34

Vectores, componentes de, 37diferencias entre, 36suma de, 34reciprocos, 56

Velocidad, 88angular, 106de aproximaci6n, 419de escape, 421de la luz, 331del centro de masa, 242instantanea, 87media cuadratica, 269promedio, 87radial, 112relativa, 121terminal, 174transformaci6n de Lorentz, 141transversal, 112

Venturi, medidor de, 285Vertical, 130Via Lactea, 8Virial de una particula, 232, 276

del sistema, 276

Watt, 207Watt, James, 207

H74

Tabla A~3 Unidades y Slmbolos

Magnitud Sfmbolo Xombre dela unldad*

Relacirin con las unidadesfundamentals

MKSC MKSA

Longitud l>s metro mMasa m kilogramo kgTiempo t segundo s

Velocidad V m s_1

Aceleraci6n a m s~2

Velocidad angular <o S"1

Frecuencia angular tt S"1

Frecuencia V hertz (Hz) s-1

Momentum p m kg s_1

Fuerza F newton (N) m kg s-2

Momentum angular L m1 kg s~l

Torque T m2 kg s~2

Trabajo w joule (J) m2 kg s~2

Potencia p watt (W) m2 kg s-8

Energia Ejc t EP9 U, E joule (J) m2 kg s-2

Temperatura T K m2 kg s~*/partlcula

Coeflciente de difusi6n D m2s_1

Coeficiente de conductividad

termica K m kg s-8 K-1

Coeflciente de viscosidad * m_1 kg s-1

Modulo de Young Y , m_1 kg s-2

M6dulo volumetrico it m_1 kg s-2

m_1 kg s-2M6dulo de corte G

Momento de inercia I m2 kgCampo gravitacional § m s-1

Potencial gravitacional v? m2 s~2

€arga q,Q coulomb C AsCorriente electrica i ampere s^C ACampo electrico t m kg s-2 C"1 m kg s

-8 A-1

Potencial electrico V volt (V) m2 kg s-* C"1 m2 kg s-s A-1

Densidad de corriente i m-2 s-1 C m-2 AResistencia electrica R ohm (0) m2 kg s-1 C-2 m2 kg s-8 A"s

Inductancia L henry (H) m2 kg C-2 m2 kg s-2 A-j

Permitividad electrica «o m-2 kg-1s2 C2 m-> kg~1

s4A1

Polarizaci6n 9 m-2 C m~2s A

Desplazamiento electrico q> m~2 C m-2s A

Campo magnetico 93 tesla (T) kg s-1 C-1 kg s-2 A-1

Permeabilidad magneticay-o m kg C-2 m kg s-2 A-2

Magnetizaci6n 9ff m-1 s-1 C m-l ACampo magnetizante 9c m-1 s-1 C m-1 AFlujo magnetico 0# weber (Wb) m2 kg s-1 C-1 m2 kg &-2 A-1

Momento electrico dipolar P mC m s AMomento electrico cuadripolar Q m2 C m2 s AMomento magnetico dipolar M m2 s-1 C m2 AMomento magnetico cuadripolar Q m3 s-

1 C m8 ACapacitancia c farad (F) m-2 kg-1

s2 C2 m-2 kg-i s* A

Nomenclatura internacional,

Tabla AA Factores de conver&idn

»mpo:

; = 1,667 X IO-2 min = 2,778 x IO"4 h= 3,169 x 10-8 ano

nin = 60 s = 1,667 x 10~2 h= 1,901 x 10-e ano

l = 3600 s = 60 min = 1,141 x 10~4 afio

Liio = 3,156 x 107 s = 5,259 x 10* min= 8,766 x 108 h

ngitud:

n = 10* cm = 39,37 pulg = 6,214 x 10-* mini = 5280 pie = 1,609 km>ulg = 2,540 cmK (angstrom) = 10-8 cm = 10-10 m

= 10-4 |i (micr6n)

i (micr6n) = 10-6 mJA (unidad astron6mica) = 1,496 x 10" mifio luz = 9,46 x IO16 m>arsec = 3,0$4 x IO16 m

igulo:

adian = 57,3°

= 1,74 x 10-2 rad= 2,91 x 10-4 rad

* = 4,85 x 10-6 rad

ea:

n2 = 104 cm2 = 1,55 x 10-* pulg2

I = 10,76 pie2

)ulg2 = 6,452 cm2

)ie2 = 144 pulg2 = 9,29 x IO"2 m2

tlumen:

Li3 = 10 6 cm3 = 103 litros

= 35,3 pie3 = 6,1 x 104 pulg3

pie3 = 2,83 x 10-2 ms = 28,32 litros

pulg3 = 16,39 cm3

ilocidad:

\n s- 1 ^ 102 cm s- 1 = 3,281 pie S"1

ie s^1 = 30,48 cm s-1

m min- 1 = 60 km Ir1 = 16,67 m s-1

102 cm s-2 = 3,281 pie s~2

peleraci6n:

tns-2 =pie s-2 = 30,48 cm s-2

Asa:

kg = 103 g = 2,205 lb

lb = 453,6 g = 0,4536 kguma = 1,6604 x 10-" kg

lerza:

N = 105 dina = 0,2248 lbf = 0,102 kgfdina = 10"6 N - 2,248 x 10"6 Ybt

lbf = 4,448 N = 4,448 x IO5 dinakgf = 9,81 N

esio'n:

N m- 2 = 9,265 x 10~« atm= 1,450 x 10-4 lbf pulg-2

= 10 dina cm-2

atm = 14,7 lbf pulg-2 = 1,013 x 106 N m~2

bar = IO6 dina cm-2

Energfa:

1 J = 107 ergs = 0,239 cal= 6,242 x 10w eV

1 eV = 10-« MeV = 1,60 x IO-12 erg= 1,07 x 10-» uma

1 cal = 4,186 J = 2,613 x 10" eV= 2,807 x IO10 uma

1 uma = 1,492 x 10-10 J= 3,564 x 10-11 cal = 931,0 MeV

Temperatura;

K = 273,1 + °C°C = i (°F— 32)op = | °C + 32

Potencia:

1 W = 1,341 x 10-3 hp1 hp = 745,7 WCarga el§ctrica:*

1 G = 3 x 10» stC1 stC = J x 10-» C

Corriente:*

1 A = 3 x 109 stA1 stA = i x 10-» A1 |xA = 10-* A, 1 mA = 10-3 A

Campo elSctrico:*

1 N C-1 = 1 V m-1 = 10-2 V cm-1

= i x 10"4 stV cm-1

Potencial el6ctrico:*

lV = ix 10-2 stV1 stV - 3 x 102 V

Resistencia:

i n = io6i^n

1 mq = io6 n

Capacitancia:*

1 F - 9 x 1011 stF1 stF = i x IO-11 F1 fxF = IO- 6 F, 1 pF = IO-12 F

Campo magn^tico:

1 T = IO4 gauss, 1 gauss 10-4 T

Flujo magn6tico:

lWb = IO8 maxwell, 1 maxwell = IO"8 WL

Campo magnetizante:

1 A m*1 = 4n x IO-3 oersted1 oersted = 1/4tt x IO3 A m- 1

* En todos los casos, 3 significa realmente2,998 y 9 significa 8,987.