Fsica,conceptos y aplicacionesSptima edicin revisada

SEPTIMA EDICION REVISADA

Fsica, conceptos y aplicacionesSptima edicin revisada

Paul E. TippensProfesor EmritoSouthern Polytechnic State University

TraduccinAngel Carlos Gonzlez Ruiz Universidad Nacional Autnoma de Mxico

Revisin tcnica

Ana Elizabeth Garca Hernndez Cinvestav-Instituto Politcnico Nacional

M eG r a wH i l l

MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO AUCKLAND LONDRES MILN

MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR ST. LOUIS SIDNEY TORONTO

Publisher: Javier Neyra BravoDirector editorial: Ricardo Martn del Campo MoraEditor sponsor: Luis Amador Valdez Vzquez

Fsica, Conceptos y aplicacionesSptima edicin revisada

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.

EducacinDERECHOS RESERVADOS 2011 respecto a la sptima edicin revisada en espaol por: McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.A Subsidiary o fThe McGraw-Hill Companies, Inc.

Corporativo Punta Santa FeProlongacin Paseo de la Reforma 1015 Torre APiso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe,Delegacin Alvaro Obregn C.P 01376, Mxico, D. F.Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736

ISBN : 978-607-15-0471-5(ISBN: 970-10-6260-4 edicin anterior)

Translated from the 7th edition ofPHYSICS. Copyright MMVII by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Previous editions 2001, 1991. 1985, 1978, and 1973.ISBN-13: 978-0-07-301267-X

2345678901 209876543201

Impreso en Per. Printed in PerImpreso en Empresa Editora El Comercio S.A. Printed by Empresa Editora El Comercio S.A.

The McGrQW-Hill Companies

Acerca del autor

Paul E. Tippens ha escrito dos libros de texto de gran xito para McGraw-Hill Companies, as como el material complementario correspondiente. Su libro ms reconocido, Fsica, conceptos y aplicaciones, gan el Premio McGuffey, prestigioso y antiguo galardn otorgado a los libros de texto cuya excelencia se ha demostrado a lo largo de los aos. Por aadidura, es autor de Fsica tcnica bsica, segunda edicin. Esos libros se han traducido al espaol, francs, chino y japons. Entre otros trabajos del autor se cuentan cuatro volmenes de tutoriales com- putarizados y numerosos documentos publicados en ediciones destacadas. El doctor Tippens es miembro activo de la Text and Academic Authors Association (t a a ) y un firme defensor de la tarea de brindar informacin, asesora y trabajo en red para los creadores de propiedad intelectual. Fungi durante un par de aos como VP/presidente electo de la t a a , asociacin que se considera como una institucin muy importante para dar voz a los autores con objeto de asegurar sus derechos de propiedad intelectual. Tiene un doctorado en administracin educativa por la Universidad de Aubum y una maestra en fsica por la Universidad de Georgia. Adems, ha terminado varios cursos breves en al menos otras cuatro universidades reconocidas. En la actualidad, es profesor emrito de la Universidad Politcnica Estatal del Sur en Marieta, Georgia, donde ha dado clases de fsica para bachillerato durante 30 aos.

AgradecimientosUn texto clsico como el que ahora tiene el lector en sus manos es una obra en mejora permanente. La lectura crtica y la revisin del autor, de los editores y de profesores y estudiantes contribuyen a mejorarlo, a enriquecerlo. As, el libro se convierte en una suerte de medio por el que los lectores mantienen un dilogo constante con el autor, lo que irremediablemente desemboca en nuevas ediciones o en ediciones revisadas, como la presente.

En este sentido, el profesor Vctor Manuel Jimnez Romero, del Colegio Rossland, merece un reconocimiento especial por la meticulosa y paciente revisin que hizo de esta obra. Sus ideas, observaciones y sugerencias resultaron muy valiosas en el momento de editar esta sptima edicin revisada.

Asimismo, se extiende un agradecimiento a los profesores siguientes, quienes con sus ideas y comentarios han contribuido a enriquecer el libro.

Alfonso Alfaro Pea CECyT 7 1PN Alfonso Espinosa Navarro Colegio Michelet ngel Pea Chaparro CECyT 7 IPN Avelardo Cruz Colegio Westminster Fernando Varela CECyT 3 IPN Francisco J. Surez Alvarado CECyT 15 IPN Gabriel de Anda Lpez CECyT 7 IPN Gabriel Ramrez Guzmn Colegio de

Bachilleres de Quintana Roo, plantel 2 Gamaliel Teja Gutirrez CECyT 7 IPN Homero Garca Martnez ITESM campus

Santa FeHugo Ramos ngeles CECyT 3 IPN Isaac Hernndez Ardieta UVM Coacalco Ismael Muoz ITESM campus Hidalgo Israel vila Garca UVM Coacalco Javier Rangel Pez Universidad de

Guadalajara Jess Homero Cruz Reyes CECyT 7 IPN Jess Manuel Heras Martnez CECyT 7 IPN

Jos Luis Noriega Corella CECyT 7 IPN Leonel Infante Colegio Hebreo Monte Sina

y Hebreo Tarbut Leonel Ramrez Ramrez La Salle Benjamn

FranklinLyzzette Tiburcio Colegio Washington Manuel Cruz Nava CECyT 7 IPN Marco Antonio Crdenas Ayala UVM Tlalpan Marcos Angulo Tamayo CECyT 7 IPN Marcos F. Amaro Merino CECyT 7 IPN Mariana Crdenas Ramos Universidad de

Guadalajara Miguel ngel Marcial ENP 7 UNAM Miguel ngel Vzquez Ibarra UVM Lomas

VerdesMoiss Gustavo Martnez CECyT 7 IPN Rafael Morales Contreras CECyT 7 IPN Raquel Nez Mora CECyT 7 IPN Rodolfo Vega Garca CECyT 7 IPN Silvia Maffey Garca CECyT 2 IPN

v

Para Jared Andrew Tippens y Elizabeth Marie Tippens

Y para todo el elenco de apoyo: Sarah, Travis y Ryan Tippens

Ser bisnieto es estupendo: plenitud de alegra y sin responsabilidades

Resumen de contenido

J J j j j j l MecnicaCaptulo 1 Introduccin 1

Captulo 2 Matemticas tcnicas 6

Captulo 3 Mediciones tcnicasy vectores 34

C aptulo 4 Equilibrio traslacionaly friccin 68

Captulo 5 M om ento de torsin y equilibrio rotacional 93

Captulo 6 Aceleracin uniforme 111

Captulo 7 Segunda ley de Newton 137

Captulo 8 Trabajo, energa y potencia 157

Captulo 9 Impulso y cantidad dem ovim iento 179

Captulo 10 M ovim iento circular uniforme196

Captulo 11 Rotacin de cuerpos rgidos220

Captulo 12 Mquinas simples 245

Captulo 13 Elasticidad 265

Captulo 14 M ovim iento armnico simple279

Captulo 15 Fluidos 301

Termodinmica, ondas mecnicas y sonido

Captulo 16 Temperatura y dilatacin 329

Captulo 17 Cantidad de calor 350

Captulo 18 Transferencia de calor 369

Captulo 19 Propiedades trmicas dela materia 383

Captulo 20 Termodinmica 403

Captulo 21 M ovim iento ondulatorio 426

Captulo 22 Sonido 441

Electricidad, magnetismo y ptica

Captulo 23 La fuerza elctrica 463

Captulo 24 El campo elctrico 478

Captulo 25 Potencial elctrico 496

Captulo 26 Capacitancia 512

Captulo 27 Corriente y resistencia 532

Captulo 28 Circuitos de corrientecontinua 548

Captulo 29 Magnetismo y campo magntico 567

Captulo 30 Fuerzas y momentos de torsin en un campo magntico 589

Captulo 31 Induccin electromagntica 601

Captulo 32 Circuitos de corriente alterna 622

Captulo 33 Luz e iluminacin 642

Captulo 34 Reflexin y espejos 661

Captulo 35 Refraccin 678

Captulo 36 Lentes e instrumentos pticos 696

Captulo 37 Interferencia, difraccin y polarizacin 714

Captulo 38

Captulo 39

Fsica moderna

La fsica moderna y el tom o 731

La fsica nuclear y el ncleo 757

vii

Prefacio xiii

Captulo 1 Introduccin 11.1 Qu es la fsica? 21.2 Qu importancia tienen las matemticas? 31.3 Cmo estudiar fsica? 3

Captulo 2 Matemticas tcnicas 62.1 Nmeros con signo 72.2 Repaso de lgebra 102.3 Exponentes y radicales (optativo) 122.4 Solucin a ecuaciones cuadrticas 152.5 Notacin cientfica 162.6 Grficas 182.7 Geometra 192.8 Trigonometra del tringulo

rectngulo 22

Captulo 3 Mediciones tcnicas y vectores 34

3.1 Cantidades fsicas 353.2 El Sistema Internacional 363.3 Medicin de longitud y tiempo 123.4 Cifras significativas 393.5 Instrumentos de medicin 413.6 Conversin de unidades 423.7 Cantidades vectoriales y escalares 453.8 Suma o adicin de vectores por mtodos

grficos 473.9 Fuerza y vectores 493.10 La fuerza resultante 513.11 Trigonometra y vectores 523.12 El mtodo de las componentes para la

suma o adicin de vectores 553.13 Notacin de vectores unitarios

(opcional) 163.14 Resta o sustraccin de vectores 61

Captulo 4 Equilibrio traslacional y friccin 68

4.1 Primera ley de Newton 694.2 Segunda ley de Newton 694.3 Tercera ley de Newton 704.4 Equilibrio 714.5 Diagramas de cuerpo libre 724.6 Solucin de problemas de equilibrio 754.7 Friccin 79

Captulo 5 M om ento de torsin y equilibrio rotacional 93

5.1 Condiciones de equilibrio 945.2 El brazo de palanca 955.3 Momento de torsin 965.4 Momento de torsin resultante 995.5 Equilibrio 1005.6 Centro de gravedad 72

Captulo 6 Aceleracin uniforme 1116.1 Rapidez y velocidad 1126.2 Aceleracin 1136.3 Movimiento uniformemente

acelerado 1146.4 Otras relaciones tiles 1166.5 Resolucin de problemas de

aceleracin 1176.6 Convencin de signos en problemas de

aceleracin 1196.7 Gravedad y cuerpos en cada libre 1216.8 Movimiento de proyectiles 1266.9 Proyeccin horizontal 1266.10 El problema general de las

trayectorias 129

Captulo 7 Segunda ley de Newton 1377.1 Segunda ley de Newton sobre el

movimiento 1387.2 Relacin entre peso y masa 1407.3 Aplicacin de la segunda ley de Newton

a problemas de un solo cuerpo 1437.4 Tcnicas para resolver problemas 1457.5 Resolucin de problemas de

aceleracin 1177.6 Convencin de signos en problemas de

aceleracin 1197.7 Gravedad y cuerpos en cada libre 1217.8 Movimiento de proyectiles 1267.9 Proyeccin horizontal 1267.10 El problema general de las

trayectorias 129

Captulo 8 Trabajo, energa y potencia 157

8.1 Trabajo 1588.2 Trabajo resultante 1598.3 Energa 1618.4 Trabajo y energa cintica 162

viii

Contenido ix

8.5 Energa potencial 1658.6 Conservacin de energa 1668.7 Energa y fuerzas de friccin 1688.8 Potencia 171

Captulo 9 Impulso y cantidad de m ovim iento 179

9.1 Impulso y cantidad de movimiento 1809.2 Ley de la conservacin de la cantidad de

movimiento 1829.3 Choques elsticos e inelsticos 185

Captulo 10 M ovim iento circular uniforme 196

10.1 Movimiento en una trayectoria circular 19710.2 Aceleracin centrpeta 19710.3 Fuerza centrpeta 20010.4 Peralte de curvas 20110.5 El pndulo cnico 20410.6 Movimiento en un crculo vertical 20510.7 Gravitacin 20710.8 El campo gravitacional y el peso 20910.9 Satlites en rbitas circulares 21010.10 Leyes de Kepler 213

Captulo 11 Rotacin de cuerpos rgidos 220

11.1 Desplazamiento angular 22111.2 Velocidad angular 22311.3 Aceleracin angular 22411.4 Relacin entre los movimientos rotacional

y rectilneo 22611.5 Energa cintica rotacional: momento de

inercia 22711.6 La segunda ley del movimiento en la

rotacin 22911.7 Trabajo y potencia rotacionales 23211.8 Rotacin y traslacin combinadas 23311.9 Cantidad de movimiento angular 23511.10 Conservacin de la cantidad de

movimiento angular 236

Captulo 12 Mquinas simples 24512.1 Mquinas simples y eficiencia 24612.2 Ventaja mecnica 24712.3 La palanca 24912.4 Aplicaciones del principio de la palanca

25012.5 La transmisin del momento de torsin 25312.6 El plano inclinado 25512.7 Aplicaciones del plano inclinado 258

Captulo 13 Elasticidad 26513.1 Propiedades elsticas de la materia

26613.2 Mdulo de Young 26813.3 Mdulo de corte 27113.4 Elasticidad de volumen; mdulo

volumtrico 27213.5 Otras propiedades fsicas de los

metales 273

Captulo 14 M ovim iento armnico simple 279

14.1 Movimiento peridico 28014.2 La segunda ley de Newton y la

ley de Hooke 28314.3 Trabajo y energa en el movimiento

armnico simple 28414.4 El crculo de referencia y el movimiento

armnico simple 28614.5 Velocidad en el movimiento armnico

simple 28714.6 Aceleracin en el movimiento armnico

simple 28914.7 El periodo y la frecuencia 29114.8 El pndulo simple 29314.9 El pndulo de torsin 294

Captulo 15 Fluidos 30115.1 Densidad 30215.2 Presin 30415.3 Presin del fluido 30515.4 Medicin de la presin 30815.5 La prensa hidrulica 31015.6 Principio de Arqumedes 31115.7 Flujo de fluidos 31515.8 Presin y velocidad 31715.9 Ecuacin de Bemoulli 31815.10 Aplicaciones de la ecuacin de

Bernoulli 320

E S S B " Termodinmica,ondas mecnicas y sonido

Captulo 16 Temperatura y dilatacin 329

16.1 Temperatura y energa trmica 33016.2 La medicin de la temperatura 33116.3 El termmetro de gas 33516.4 La escala de temperatura absoluta 33616.5 Dilatacin lineal 338

Contenido

16.6 Dilatacin superficial 34116.7 Dilatacin volumtrica 34216.8 La dilatacin anmala del agua 344

Captulo 17 Cantidad de calor 35017.1 El significado del calor 35117.2 La cantidad de calor 35117.3 Capacidad de calor especfico 35317.4 La medicin del calor 35517.5 Cambio de fase 35817.6 Calor de combustin 364

Captulo 18 Transferencia de calor 369

18.1 Mtodos de transferencia de calor 370

18.2 Conduccin 37118.3 Aislamiento: el valor R 31418.4 Conveccin 37518.5 Radiacin 376

Captulo 19 Propiedades trmicas de la materia 383

19.1 Gases ideales, ley de Boyle y ley de Charles 384

19.2 Ley de Gay-Lussac 38619.3 Leyes generales de los gases 38719.4 Masa molecular y mol 38919.5 La ley del gas ideal 39119.6 Licuefaccin de un gas 39219.7 Vaporizacin 39319.8 Presin de vapor 39419.9 Punto triple 39619.10 Humedad 397

Captulo 20 Termodinmica 40320.1 Calor y trabajo 40420.2 Funcin de la energa interna 40520.3 Primera ley de la termodinmica 40620.4 Procesos isobricos

y el diagrama P-V 40720.5 Caso general para la

primera ley 40920.6 Procesos adiabticos 41020.7 Procesos isocricos 41120.8 Proceso isotrmico 41220.9 Segunda ley de la

termodinmica 412

20.10 Ciclo de Carnot 41420.11 La eficiencia de una mquina ideal 41520.12 Mquinas de combustin interna 41620.13 Refrigeracin 418

Captulo 21 M ovim ientoondulatorio 426

21.1 Ondas mecnicas 42721.2 Tipos de ondas 42721.3 Clculo de la rapidez de onda 42821.4 Movimiento ondulatorio

peridico 42921.5 Energa de una onda partcula 43121.6 Principio de superposicin 43321.7 Ondas estacionarias 43421.8 Frecuencias caractersticas 435

Captulo 22 Sonido 44122.1 Produccin de una onda sonora 44222.2 La velocidad del sonido 44322.3 Vibracin de columnas de aire 44522.4 Vibracin forzada y resonancia 44822.5 Ondas sonoras audibles 44822.6 Tono y timbre 45222.7 Interferencia y pulsaciones 45322.8 El efecto Doppler 454

Electricidad,magnetismoy ptica

Captulo 23 La fuerza elctrica 46323.1 La carga elctrica 46423.2 El electrn 46623.3 Aislantes y conductores 46723.4 El electroscopio de hoja de oro 46723.5 Redistribucin de la carga 46923.6 Carga por induccin 46923.7 Ley de Coulomb 470

Captulo 24 El campoelctrico 478

24.1 El concepto de campo 47924.2 Clculo de la intensidad de campo

elctrico 48224.3 Lneas de campo elctrico 48524.4 La ley de Gauss 38624.5 Aplicaciones de la ley de Gauss 38

Contenido

Captulo 25 Potencial elctrico 496 29.7 Fuerza sobre un conductor por el que25.1 Energa potencial elctrica 497 circula una corriente 57725.2 Clculo de la energa potencial 499 29.8 Campo magntico de un conductor largo25.3 Potencial 501 y recto 578

25.4 Diferencia de potencial 504 29.9 Otros campos magnticos 580

25.5 Experimento de Millikan de la gota de aceite 506

29.10 Histresis 581

25.6 El electrn volt 507 Captulo 30 Fuerzas y momentos de torsin en un campo

Captulo 26 Capacitancia 512 m agntico 58926.1 Limitaciones al cargar un conductor 513 30.1 Fuerza y momento de torsin en una26.2 El capacitor 515 espira 59026.3 Clculo de la capacitancia 517 30.2 Momento de torsin magntico sobre26.4 Constante dielctrica; permitividad 519 un solenoide 59226.5 Capacitores en paralelo y en serie 523 30.3 El galvanmetro 59226.6 Energa de un capacitor cargado 526 30.4

30.5El voltmetro de cc 593 El ampermetro de cc 594

Captulo 27 Corriente y resistencia 532 30.6 El motor de cc 595

27.1 El movimiento de la carga elctrica 53327.2 La direccin de la corriente elctrica 535 Captulo 31 Induccin

27.3 Fuerza electromotriz 535 electromagntica 60127.4 Ley de Ohm; resistencia 537 31.1 Ley de Faraday 60227.5 Potencia elctrica y

prdida de calor 53931.2 Fem inducida por un conductor en

movimiento 60527.6 Resistividad 540 31.3 Ley de Lenz 60627.7 Coeficiente de temperatura de 31.4 El generador de ca 607

la resistencia 541 31.5 El generador de cc 61127.8 Superconductividad 542 31.6

31.7Fuerza electromotriz en un motor 611 Tipos de motores 612

Captulo 28 Circuitos de corriente continua 548

31.8 El transformador 614

28.1 Circuitos simples; resistores en serie 549

Captulo 32 Circuitos de corriente alterna 622

28.2 Resistores en paralelo 551 32.1 El capacitor 62328.3 Fem inducida y diferencia de potencial 32.2 El inductor 626

terminal 554 32.3 Corrientes alternas 62828.4 Medicin de la resistencia interna 555 32.4 Relacin de fase en circuitos de ca 62928.5 Inversin de la corriente a travs de una 32.5 Reactancia 631

fuente Fem 556 32.6 Circuitos en serie de ca 63228.6 Leyes de Kirchhoff 557 32.7

32.8Resonancia 634 El factor de potencia 635

Captulo 29 M agnetism o y campom agntico 567 Captulo 33 Luz e iluminacin 642

29.1 Magnetismo 568 33.1 Qu es la luz? 64329.2 Campos magnticos 570 33.2 Propagacin de la luz 64529.3 La teora moderna del magnetismo 570 33.3 Espectro electromagntico 64729.4 Densidad de flujo y permeabilidad 571 33.4 La teora cuntica 64829.5 Campo magntico y 33.5 Rayos de luz y sombras 649

corriente elctrica 574 33.6 Flujo luminoso 65129.6 Fuerza sobre una carga en 33.7 Intensidad luminosa 653

movimiento 574 33.8 Iluminacin 654

xii Contenido

Captulo 34 Reflexin y espejos 66134.1 Las leyes de la reflexin 66234.2 Espejos planos 66434.3 Espejos esfricos 66534.4 Imgenes formadas por espejos

esfricos 66734.5 La ecuacin del espejo 66934.6 Amplificacin 67134.7 Aberracin esfrica 673

Captulo 35 Refraccin 67835.1 ndice de refraccin 67935.2 Leyes de refraccin 68035.3 Longitud de onda y refraccin 68335.4 Dispersin 68535.5 Refraccin interna total 68535.6 Fibras pticas y aplicaciones 68735.7 Es lo mismo ver que creer? 68935.8 Profundidad aparente 690

Captulo 36 Lentes e instrumentos pticos 696

36.1 Lentes simples 69736.2 Longitud focal y la ecuacin del

fabricante de lentes 69836.3 Formacin de imgenes mediante

lentes delgadas 70136.4 La ecuacin de las lentes y

el aumento 70336.5 Combinaciones de lentes 70536.6 El microscopio compuesto 70636.7 Telescopio 70836.8 Aberraciones de las lentes 708

Captulo 37 Interferencia, difraccin y polarizacin 714

37.1 Difraccin 71537.2 Experimento de Young:

interferencia 71537.3 La red de difraccin 71937.4 Poder de resolucin de instrumentos 72137.5 Polarizacin 724

l/a a H K Fsica moderna

Captulo 38 La fsica moderna y el tom o 731

38.1 Relatividad 73238.2 Eventos simultneos: la relatividad del

tiempo 73338.3 Longitud, masa y tiempo

relativistas 73438.4 Masa y energa 73738.5 Teora cuntica y el efecto fotoelctri

co 73938.6 Ondas y partculas 74038.7 El tomo de Rutherford 74238.8 Orbitas electrnicas 74238.9 Espectro atmico 74338.10 El tomo de Bohr 74538.11 Niveles de energa 74738.12 Lser y luz lser 75038.13 Teora atmica moderna 751

Captulo 39 La fsica nuclear y el ncleo 757

39.1 El ncleo atmico 75839.2 Los elementos 75939.3 La Unidad de Masa Atmica 76139.4 Istopos 76439.5 Defecto de masa y energa

de enlace 76639.6 Radiactividad 76939.7 Decaimiento radiactivo 77039.8 Vida media 77139.9 Reacciones nucleares 77339.10 Fisin nuclear 77439.11 Reactores nucleares 77539.12 Fusin nuclear 777

ndice 1-1

Manual de uso de HP 50G M-1

Prefacio

La sptima edicin de Fsica, conceptos y aplicaciones est escrita para un curso propedutico de un ao de introduccin a la fsica. El nfasis en las aplicaciones y la amplia gama de temas cubiertos lo hace adecuado para estudiantes que se especializan en ciencia y tecnologa, lo mismo que en biologa, las disciplinas de la salud y las ciencias del ambiente. Tambin puede emplearse en cursos introductorios en una variedad de instituciones comerciales e industriales, donde las necesidades de un curso de aplicaciones no limiten las futuras opciones educativas de sus estudiantes. En cuanto a las matemticas, que se han revisado ampliamente, se suponen ciertos conocimientos de lgebra, geometra y trigonometra, pero no de clculo.

Esta obra comenz en ediciones anteriores como un proyecto amplio para encarar la necesidad de un libro de texto que presente los conceptos fundamentales de la fsica de forma comprensible y aplicable por estudiantes con antecedentes y preparacin diversos. El objetivo fue escribir un libro de texto legible y fcil de seguir, pero tambin que ofreciera una preparacin slida y rigurosa. Los generosos comentarios de muchos atentos lectores en tomo a las primeras seis ediciones han contiibuido a conservar el objetivo, y el trabajo ha recibido reconocimiento nacional que ha cobrado forma en el prestigioso Premio McGuffey presentado por la Text and Academic Authors Association (t a a ) por su excelencia y larga duracin.

En la fsica que se ensea en el bachillerato hay tres tendencias que influyen hoy da en la instruccin; las bases para el estudio avanzado en casi cualquier rea:

1. La ciencia y la tecnologa crecen exponencialmente.2. Los empleos disponibles y las opciones de carreras pre

cisan mayores conocimientos de las bases de la fsica.3. En el nivel medio bsico, la preparacin en matemti

cas y ciencias (por diversas razones) no est mejorando con la rapidez suficiente.

La meta de esta sptima edicin de Fsica, conceptos y aplicaciones radica en atacar los dos frentes de los problemas ocasionados por tales tendencias. Si bien brindamos los conocimientos necesarios de matemticas, no nos comprometemos con los resultados educativos.

OrganizacinEl texto consta de 39 captulos que abarcan todo el espectro de la fsica: mecnica, fsica trmica, movimiento ondulatorio, sonido, electricidad, luz y ptica y fsica atmica y nuclear. Esta sucesin normal se adeca a las necesidades de un plan de estudios de bimestral, aunque puede usarse en uno de tres semestres con un ligero cambio de orden en la exposicin de los temas. Tambin es posible utilizarlo en cursos ms breves con una seleccin sensata de los temas. Donde es posible, la exposicin fue diseada de forma que sea posible cambiar el orden de stos.

Hay ciertas reas donde las explicaciones difieren de las que se ofrecen en la mayor paite de los libros de texto. Una diferencia relevante es el reconocimiento de que muchos estudiantes ingresan en su primer curso de fsica sin poder aplicar las habilidades bsicas del lgebra y la trigonometra. Han cursado los cursos anteriores, pero por diversas razones parecen incapaces de aplicar los conceptos para resolver problemas. El dilema radica en cmo lograr el xito sin sacrificar la calidad. En esta obra dedicamos todo un captulo a repasar las matemticas y el lgebra necesarias para resolver problemas de fsica. Cuando otros libros de texto realizan un repaso semejante, lo hacen en un apndice o en material complementario. Nuestro mtodo permite a los estudiantes reconocer la importancia de las matemticas y ponderar muy pronto sus necesidades y sus deficiencias. Puede obviarse sin problema, segn la preparacin de los estudiantes o a discrecin de cada maestro; sin embargo, no puede ignorarse como un requisito fundamental en la resolucin de problemas.

En seguida, abordamos la necesidad de satisfacer los estndares de calidad mediante la exposicin de la esttica antes que la dinmica. La primera, segunda y tercera leyes de Newton se explican al principio para ofrecer conocimientos cualitativos de la fuerza, mas la exposicin integral de la segunda ley se difiere hasta que se han comprendido los conceptos de diagrama de cuerpo libre y equilibrio esttico. Lo anterior permite a los estudiantes forjar sus conocimientos sobre una base lgica y continua; de manera simultnea, las habilidades matemticas se refuerzan de manera paulatina. En otros libros el tratamiento de la esttica en captulos ulteriores suele precisar un repaso de fuerzas y vectores. Con el mtodo de esta obra, es posible ofrecer ejemplos ms detallados de aplicaciones significativas de la segunda ley de Newton.

Tambin incluimos un captulo sobre mquinas simples a fin de ofrecer a los maestros la posibilidad de hacer nfasis en muchos ejemplos del mundo real que implican conceptos de fuerza, fuerza de torsin, trabajo, energa y eficiencia. Este captulo puede omitirse sin dificultad si el tiempo es escaso, pero ha gozado de gran aceptacin en algunos colegios donde las aplicaciones son primordiales.

La fsica moderna se aborda como un curso general sobre los principios de la relatividad, fsica atmica y nuclear. En este caso, la exposicin es tradicional y los temas han sido elegidos de forma que los estudiantes puedan comprender y aplicar las teoras subyacentes a muchas aplicaciones modernas de la fsica atmica y la nuclear.

Novedades en la sptima edicinCambios en el contenido

Exposicin sobre vectores. Se hace nfasis en el mtodo tradicional de las componentes en la suma de vecto-

xiii

xiv Prefacio

res, pero se ha aadido una opcin que permite usar vectores unitarios.

Segunda ley de Newton. Desde el principio se presenta la relacin entre la aceleracin y la fuerza a fin de ofrecer conocimientos cualitativos de fuerza, aunque despus que se ha tenido prctica considerable con los diagramas de cuerpo libre se hace una exposicin ms detallada.

Energa cintica de rotacin. Una adicin significativa ampla la explicacin de la rotacin en los problemas de conservacin de la energa, ya que se abarca el problema de los objetos que tienen a la vez movimientos de traslacin y de rotacin.

Ondas electromagnticas. Antes de la exposicin de la luz y la ptica se presenta ms ampliamente el tema de las ondas electromagnticas.

Ejemplos. Se han agregado ejemplos nuevos y todos los presentados se han vuelto a trabajar para simplificar la explicacin y esclarecer el proceso de resolucin de los problemas.

Se han eliminado las secciones sobre electroqumica y el captulo sobre electrnica con base en comentarios vertidos por lectores y revisores.

Programa de imgenes mejoradas Fotografas de entrada de captulo. Se ha hecho

un esfuerzo por lograr que la fsica luzca ms visual mediante la inclusin de fotografas introductorias en cada captulo acompaadas por un breve comentario. Esas imgenes se eligieron con sumo cuidado para que demostraran los conceptos y las aplicaciones expuestas en los captulos.

Figuras. Todas las figuras fueron revisadas o redibuja- das. En muchos casos, se insertaron fragmentos de fotografas en los dibujos para mejorarlos, adems de que se usaron ms recuadros de color para destacar conceptos.

Determine la masa de un cuerpo cuyo peso en la Tierra es de 100 N. Si esta masa se llevara a un planeta distante donde g = 2.0 m /s 2, cul sera su peso en ese planeta?

Plan: Primero hallamos la masa en la Tierra, donde g = 9.8 m /s 2. Como la masa es constante, podemos usar el mismo valor para determinar el peso en el planeta distante donde g = 2.0 m /s 2.

Solucin:

El peso del planeta es

W _ 1 00N8 9.8 m /s2

= 10.2 kg

Figura 3.3 Se usan calibradores para medir un dimetro interno.

W = m g (10.2 kg)(2 m /s2); W = 20.4 N

Prrafos de pianeacinLos estudiantes de primer curso suelen decir: es que no s por dnde empezar. Para encarar esta queja hemos incluido un paso adicional para muchos de los ejemplos del libro. Los prrafos del plan tienden un puente entre la lectura de un problema y la aplicacin de una estrategia de aprendizaje.

Temas de fsica cotidianaSe han incluido apostillas a lo largo del texto para fomentar el inters y motivar el estudio ulterior.

w w w .mhhe.com/ bachillerato/tippensfis7eMcGraw-Hill ofrece abundantes artculos en lnea y apoyos para estudiar que mejoran de forma considerable la experiencia de ensear y aprender fsica (en ingls).

Digital Conten Manager/Administrador de contenido digitalEs un disco compacto de slo lectura (CD-ROM) que contiene todas las ilustraciones del libro. Los profesores pueden usarlas para elaborar presentaciones a la medida de su clase u otras herramientas similares (en ingls).

Programas interactivosHay un total de 16 programas interactivos disponibles en el CD-ROM y en lnea en el Online Learning Center. Estos programas ofrecen un mtodo fresco y dinmico para ensear y aprender los fundamentos de la fsica mediante applets completamente precisos que funcionan con datos reales (en ingls).

Caractersticas que se conservanSe han conservado varias caractersticas de las ediciones anteriores, las cuales captan y mantienen la atencin de los estudiantes. Entre ellas se cuentan las siguientes:

Preparacin en matemticasEl captulo 2 se dedica ntegramente a repasar las matemticas y la trigonometra indispensables para resolver problemas de fsica.

Sabe cunto tiempo pasan los satlites expuestos a la luz solar para recargar sus bateras? Para la rbita terrestre baja, toman 60 min de luz solar y 35 min de oscuridad. Los satlites en la rbita geosncrona (GEO) de la Tierra, que se hallan mucho ms distantes, pasan menos tiempo en la sombra de nuestro planeta. Se exponen 22.8 h a la luz del Sol y 1.2 a la oscuridad. Durante el periodo oscuro, la potencia para hacer caminar a los satlites debe proceder completamente de las bateras.

http://www.mhhe.com/

Prefacio xv

Objetivos del captuloA fin de encarar los problemas de los resultados educativos, cada captulo empieza con una definicin clara de los objetivos. El estudiante sabe desde el principio qu temas son relevantes y qu resultados cabe esperar.

Estrategias de resolucin de problemasA lo largo del texto se han incluido secciones destacadas en color con procedimientos detallados, paso por paso, para resolver problemas difciles de fsica. Los estudiantes pueden emplear estas secciones como gua hasta familiarizarse con el proceso de razonamiento necesario para aplicar los conceptos fundamentales expuestos en el libro. Gracias a los numerosos ejemplos incluidos se refuerzan estas estrategias.

Redaccin informativaUn sello de las ediciones previas que continua destacando en esta edicin es la presentacin de la fsica con un estilo amigable e informativo.

Uso de colorSe ha utilizado el color para destacar en el texto las caractersticas pedaggicas. Los ejemplos, las estrategias de aprendizaje y las ecuaciones ms importantes se han destacado con color, adems de que se han usado tonos diversos para hacer nfasis en algunas partes de las figuras.

Ejemplos textualesA lo largo de todos los captulos hay una profusin de ejemplos resueltos, que sirven como modelos para que el estudiante mire cmo aplicar los conceptos expuestos en

el libro. El alumno aprende a formarse un cuadro general de la situacin y luego pone en prctica lo aprendido para resolver el problema.

Material al final de cada captuloAl terminar cada captulo se incluye un juego de auxiliares para el aprendizaje que ayudan al estudiante a repasar el contenido recin expuesto, a evaluar lo captado de los conceptos ms relevantes y a utilizar lo aprendido.

9 Resmenes. Se ofrece un resumen detallado de todos los conceptos esenciales. Asimismo, en el texto se destacan las ecuaciones importantes, adems de que se resumen al terminar cada captulo.

e Palabras clave. Al final de cada captulo se enumeran las palabras clave, las cuales se destacan tambin en negritas la primera vez que aparecen en el texto. Entre estas palabras se cuentan los trminos centrales explicados en el captulo, de forma que el estudiante pueda comprobar cunto comprende de los conceptos que les subyacen.

9 Preguntas de repaso. Se han incluido ms de 500 preguntas cuyo propsito es fomentar la reflexin y estimular las ideas, as como mejorar el pensamiento conceptual.

Problemas y problemas adicionales. Se ofrecen ms de 1750 problemas elaborados especialmente y que van de lo simple a lo complejo, pasando por lo moderado. En la presente edicin se ha hecho un gran

esumen y repasoResm enes

C onceptos clave

Preguntas de pensam iento crtico

Problem as

Preguntas de repaso

Problem asadicionales

Problemas adicionales ^

xvi Prefacio

esfuerzo por comprobar la exactitud de los problemas y de las respuestas dadas a los de nmero impar. Nota: No se ha puesto asterisco al lado de los problemas sencillos; los moderados tienen uno y los complejos, dos.

Preguntas de pensamiento crtico. Para la resolucin de 250 problemas, aproximadamente, se precisa una reflexin moderada o mayor que los dems. Con ellos se brindan ejemplos de aprendizaje que guan al estudiante y construyen habilidades de resolucin de problemas. Nota: Segn la naturaleza de la pregunta, se dan algunas respuestas a ciertas preguntas pares y a ciertas impares.

Complementos en InglsOnline Learning Center/Centro de aprendizaje en lneaw w w .mhhe.com/bachillerato/tippensfis7eEntre los recursos en lnea para el estudiante se cuentan:

Preguntas para estudiar. Hay preguntas de verdade- ro-faso, seleccin mltiple y de completar partes.

Tutoriales. El autor ha preparado un completo juego de mdulos de enseanza en PowerPoint, basados en la Web, para cada captulo del libro. Estos tutoriales son estupendos para hacer un repaso antes y despus de clase, antes de los exmenes parciales y tambin de los finales. Asimismo, son de suma utilidad para los estudiantes que faltan a clase o que quieren mayor prctica y explicacin acerca de los conceptos fsicos.

Programas interactivos. McGraw-Hill se enorgullece de brindarle una coleccin de applets interactivos excepcionales, sin par. Estos programas interactivos ofrecen un mtodo fresco y dinmico para ensear los fundamentos de la fsica al dar a los estudiantes programas muy precisos y que funcionan con datos reales. Los pro

gramas interactivos permiten a los estudiantes manipular parmetros y mejorar as su comprensin de 16 de los temas ms difciles de la fsica, ya que observan los efectos producidos por tal manipulacin. En cada programa interactivo se incluye una herramienta de anlisis (modelo interactivo), un tutorial que describe su funcionamiento y un texto que describe sus temas centrales. Los usuarios pueden ir de un ejercicio a otro y de una herramienta a otra con slo hacer clic con el ratn.

Por aadidura, los recursos en lnea tambin incluyen:

Manual del profesor, con las soluciones a todos los problemas del final de cada captulo, as como notas acerca de los experimentos de laboratorio.

El Online Learning Center puede cargarse sin problema en sistemas de administracin del curso como Blackboard, WebCT, eCollege y PageOut.

Digital Content Manager/Administrador de contenido digitalEn este disco compacto (CD-ROM) se incluyen todas las ilustraciones, fotografas y tablas presentadas en el texto, junto con los 16 programas interactivos. Con el software puede elaborar fcilmente una presentacin multimedia a la medida. Puede organizar las figuras como desee; aadir etiquetas, lneas y sus propias ilustraciones; integrar material de otras fuentes; editar y escribir notas de la clase; y le ofrece la posibilidad de colocar su clase multimedia en una presentacin hecha con otro programa, como PowerPoint.

CD-ROM de pruebas y recursos del maestroEl programa de pruebas electrnicas complementario es flexible y fcil de utilizar. Permite a los maestros crear pruebas con base en temas especficos del libro. Permite emplear diversos tipos de preguntas, adems de que el profesor puede aadir las propias. Puede crear varias ver

siones de una prueba, y sta puede exportarse para usarla con algn sistema de administracin de cursos, como WebCT, BlackBoard o PageOut. El programa est disponible para Windows y Macintosh.

Manual del maestroEl manual del maestro est incluido en el Ti- ppens Online Learning Center y en el disco compacto de pruebas y recursos del maestro. Slo pueden acceder a l los maestros.

Publicacin a la medidaSaba que puede disear su propio texto o manual de laboratorio usando cualquier texto de McGraw-Hill y su propia material a fin de crear un producto a la medida que se ajuste especficamente a su programa de estudios y objetivos del curso? Comuniqese con su representante de ventas de McGraw-Hill para conocer ms acerca de esta posibilidad.

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http://www.mhhe.com/bachillerato/tippensfis7e

Prefacio xvii

ReconocimientosRevisores de la presente edicin

Deseamos reconocer y dar las gracias a los revisores de esta edicin. Su contribucin, aunada a sus sugerencias constructivas, ideas novedosas e invaluables consejos fueron significativos en el desarrollo tanto de esta edicin como del material complementario. Entre los revisores se hallan:

Abraham C. Falsafi National Institute o f Technology Baher Hanna Owens Community College Kevin Hulke Chippewa Valley Technical College Benjamin C. Markham Ivy Tech State College James L. Meeks West Kentucky Community & Technical

CollegeJohn S. Nedel Columbus State Community College Rusell Patrick Southern Polytechnic State University Sulakshana Plumley Community College o f Allegheny

CountyAugust Ruggiero Essex County CollegeErwin Selleck SUNY College o f Technology en CantnRich Vento Columbus State Community CollegeCarey Witkov Broward Community CollegeTodd Zimmerman Madison Area Technical College

Agradecim ientos especialesEl autor y McGraw-Hill agradecen a Rich Vento, profesor de la Columbus State Community College, por revisar por completo la exactitud del manuscrito de esta edicin. Los comentarios de Rich fueron invaluables para esta edicin.

Tambin damos un agradecimiento especial a Rusell Patrick, profesor en la Southern Polytechnic State University, por actualizar el banco de pruebas que complementa esta obra.

Revisores de ediciones previas

Las personas siguientes revisaron ediciones previas del libro. Sus comentarios y sus consejos mejoraron mucho la legibilidad, precisin y actualidad del texto.

Shaikh Ali City College o f Fort Lauderdale Fred Einstein County College o f Morris Miles Kirkhuff Lincoln Technical Institute Henry Merril Fox Valley Technical College Sam Nalley Chcittanooga State Technical Community

CollegeAjay Raychaudhuri Seneca College ofArts and Techno

logyCharles A. Schuler California State University o f Pen-

nsylvaniaScott J. Tippens Southern Polytechnic State University Bob Tyndall Forsyth Technical Community College Ron Uhey ITT Tech Institute Cliff Wurst Motlow State Community College

El equipo de! libro de McGraw-Hill

El autor desea expresar su enorme respeto y gratitud por el esfuerzo del gran equipo de profesionales de McGraw-Hill que ha dado incontables horas de su tiempo y conocimiento para desarrollar y producir esta edicin de Fsica. Agradezco de manera particular a mi editor de desarrollo, Liz Recker, por mucho el mejor editor con que he trabajado en muchos aos. Gloria Schiesl, la gerente snior de proyecto, trabaj larga y arduamente a fin de que la produccin no tuviera ningn obstculo. Daryl Brufiodt (Sponsoring Editor), Todd Turner (Marketing Manager), Jeffry Schmitt (Media Producer), Judi David (Media Project Manager), Carrie Burger (Lead Photo Research Coordinator), Laura Fuller (Production Supervisin) y Shirley Oberbroeckling (Managing Developmental Editor) tambin realizaron tareas de suma importancia en esta revisin.

PARTE I Meca nica

Introduccin

Centro espacial Kennedy, en Florida. En las instalaciones de servicio de cargas peligrosas los trabajadores observan el Mars Exploration Rover-2 (MER-2) subir por la rampa para probar su movilidad y facilidad de maniobra. Los cientficos y los ingenieros aplican el mtodo cientfico para verificar que el vehculo puede realizar tareas semejantes a las requeridas en la exploracin de Marte. (Foto de la NASA.)

El conocimiento de la fsica es esencial para comprender el mundo. Ninguna otra ciencia ha intervenido de forma tan activa para revelarnos las causas y efectos de los hechos naturales. Basta mirar al pasado para advertir que la experimentacin y el descubrimiento forman un continuum que corre desde las primeras mediciones de la gravedad hasta los ms recientes logros en la conquista del espacio. Al estudiar los objetos en reposo y en movimiento, los cientficos han podido deducir las leyes fundamentales que tienen amplias aplicaciones en ingeniera mecnica. La investigacin de los principios que rigen la produccin de calor, luz y sonido ha dado paso a incontables aplicaciones que han hecho nuestra vida ms cmoda y nos han permitido convivir mejor con nuestro entorno. La investigacin y el desarrollo en las reas de la electricidad, el magnetismo y la fsica atmica y nuclear han desembocado en un mundo moderno que habra sido inconcebible hace tan slo 50 aos (vase figura 1.1).

Es difcil imaginar siquiera un producto de los que disponemos hoy da que no suponga la aplicacin de un principio fsico. Ello significa que, independientemente de la carrera que se haya elegido, es indispensable entender la fsica, al menos hasta cierto punto. Es verdad que algunas ocupaciones y profesiones no requieren una comprensin tan profunda de ella como la que exigen las ingenieras, pero la realidad es que en todos los campos de trabajo se usan y aplican sus conceptos. Dotado de slidos conocimientos de mecnica, calor, sonido y electricidad, el lector contar con los elementos necesarios para cimentar casi cualquier profesin. Adems, si antes o despus de graduarse le fuera necesario cambiar de carrera, sabr que cuenta con un conocimiento bsico de ciencias y matemticas en general. Si toma con seriedad este curso y dedica a su estudio una dosis especial de tiempo y energa, tendr menos problemas en el futuro. As, en los cursos posteriores y en el trabajo podr viajar sobre la cresta de la ola en lugar de mantenerse simplemente a flote en un mar tormentoso.

1

2 Captulo 1 Introduccin

Figura 1.1 En muchas ocupaciones se hallan aplicaciones de los principios de la fsica. {Fotos cortesa de Hemera, Inc.)

Qu es la fsica?Aun cuando haya estudiado la materia en secundaria, es probable que slo tenga una vaga idea de lo que realmente significa la fsica y en qu se diferencia, por ejemplo, de la ciencia. Para nuestros propsitos, las ciencias pueden dividirse en biolgicas y fsicas. Las ciencias biolgicas se ocupan de los seres vivos, en tanto que las fsicas tienen como objeto de estudio la parte no viva de la naturaleza.

La fsica puede definirse como la ciencia que investiga los conceptos fundamentales de la materia, la energa y el espacio, as como las relaciones entre ellos.

De acuerdo con esta amplia definicin, no hay fronteras claras entre las ciencias fsicas,lo cual resulta evidente en reas de estudio como la biofsica, la fisicoqumica, la astrofsica, la geofsica, la electroqumica y muchas otras especialidades.

El objetivo de esta obra es brindar una introduccin al mundo de la fsica, con un nfasis en las aplicaciones. Con ello, el vasto campo de esta disciplina se simplifica a los conceptos esenciales subyacentes en todo conocimiento tcnico. Estudiar usted mecnica, calor, luz, sonido, electricidad y estructura atmica. El tema fundamental de todos ellos, y probablemente el ms importante para el alumno principiante es la mecnica.

La mecnica se refiere a la posicin (esttica) y al movimiento (dinmica) de la materia en el espacio. La esttica es el estudio de la fsica aplicado a los cuerpos en reposo. La dinmica se ocupa de la descripcin del movimiento y sus causas. En ambos casos, el ingeniero o tcnico se encarga de medir y describir las cantidades fsicas en trminos de causa y efecto.

Un ingeniero, por ejemplo, aplica los principios de la fsica para determinar qu tipo de estructura ser ms eficaz en la construccin de un puente. Su inters se centra en el efecto de las fuerzas. Si un puente terminado llegara a fallar, la causa de la falla requerira ser analizada para aplicar ese conocimiento a las construcciones futuras de ese tipo. Es importante sealar que el cientfico define como causa la sucesin de hechos fsicos que desembocan en un efecto.

Cmo estudiar fsica? 3

Q u Importancia tienen las matemticas?Las matemticas sirven para muchos fines. Son a la vez filosofa, arte, metafsica y lgica. Sin embargo, todos estos aspectos se subordinan a su funcin principal: son una herramienta para el cientfico, el ingeniero o el tcnico. Una de las mayores satisfacciones que brinda un primer curso de fsica es que se cobra mayor conciencia de la importancia de las matemticas. Un estudio de fsica revela aplicaciones concretas de las matemticas bsicas.

Supongamos que se desea predecir cunto tarda en detenerse un automvil que se desplaza con cierta rapidez. Primero es necesario controlar cuantas variables sea posible. En las pruebas, buscar que cada frenado sea uniforme, de modo que la rapidez media se aproxime a la mitad de la rapidez inicial. Expresado en smbolos esto puede escribirse:

^ media ^

Tambin se controlarn las condiciones y la pendiente de la carretera, el clima y otros parmetros. En cada prueba se registrar la rapidez inicial (v.), la distancia a la que se detiene el vehculo (.v) y el tiempo en que lo hace ( t ) . Tambin puede tomar nota de la rapidez inicial, del cambio de rapidez, as como de la distancia y el tiempo necesarios para detener el automvil. Cuando todos estos factores se han registrado, los datos sirven para establecer una relacin tentativa. No es posible hacer esto sin usar las herramientas que ofrecen las matemticas.

Con base en la definicin de rapidez como la distancia recorrida por unidad de tiempo se observa que la distancia de frenado, x en nuestro ejemplo, puede ser producto de la velocidad media v /2 multiplicada por el tiempo, t. La relacin tentativa podra ser

^ tX = t O X =

2 2

Obsrvese que hemos usado smbolos para representar los parmetros importantes y las matemticas para expresar su relacin.

Esta proposicin es una h i p t e s i s v ia b le . A partir de esta ecuacin es posible predecir la distancia a la que se detendr cualquier vehculo con base en su rapidez inicial y el tiempo de frenado. Cuando una hiptesis se ha aplicado el suficiente nmero de veces para tener un grado de seguridad razonable de que es verdadera, se le llama t e o r a c ie n t f i c a . En otras palabras, cualquier teora cientfica no es ms que una hiptesis viable que ha resistido la prueba del tiempo.

Por tanto, podemos damos cuenta de que las matemticas son tiles para obtener frmulas que nos permiten describir los hechos fsicos con precisin. Las matemticas adquieren mayor relevancia aun en la resolucin de esas frmulas con cantidades especficas.

Por ejemplo, en la frmula anterior sera relativamente fcil hallar los valores de x, v y t cuando se conocen las otras cantidades. Sin embargo, muchas relaciones fsicas implican mayores conocimientos de lgebra, trigonometra e incluso clculo. La facilidad con que pueda deducir o resolver una relacin terica depende de sus conocimientos de matemticas.

En el captulo 2 se presenta un repaso de los conceptos matemticos necesarios para entender este texto. Si desconoce alguno de los temas expuestos debe estudiar atentamente ese captulo. Preste especial atencin a las secciones sobre potencias de 10, ecuaciones literales y trigonometra. De su habilidad para aplicar las herramientas matemticas depender en gran medida su xito en cualquier curso de fsica.

Cmo estudiar fsica?La lectura de un texto tcnico es diferente de la de otros temas. Es indispensable prestar atencin al significado especfico de las palabras para comprender el tema. En los textos tcnicos se utilizan a menudo grficas, dibujos, tablas y fotografas, elementos siempre tiles y a veces incluso esenciales para describir los hechos fsicos. Debe estudiarlos con detenimiento para entender bien los principios.

Gran parte del aprendizaje se obtiene a partir de las exposiciones en el aula y de los experimentos. El alumno principiante suele preguntarse: "Cmo puedo concentrarme por

4 Captulo 1 Introduccin

completo en la clase y al mismo tiempo tomar notas precisas? Por supuesto, quiz no sea posible comprender cabalmente todos los conceptos expuestos y, adems, tomar apuntes completos. Por ello, debe aprender a anotar slo las partes importantes de cada leccin. Cercirese de escuchar bien la explicacin de los temas. Aprenda a reconocer las palabras clave, como trabajo, fuerza, energa y cantidad de movimiento '.

La preparacin adecuada antes de la clase le dar una buena idea de qu partes de la exposicin se explican en el texto y cules no. Si se presenta un problema o una definicin en el texto generalmente es mejor que anote una palabra clave durante la clase y centre toda la atencin en lo que explica el profesor; despus puede complementar la nota.

Cada estudiante que entra en un curso de fsica para principiantes cuenta ya con los requisitos y las habilidades necesarias para aprobarlo; por ende, si no lo hace se deber a otras razones: acaso falta de motivacin, una excesiva carga de trabajo, un empleo externo, enfermedades o problemas personales. Los consejos siguientes provienen de profesores con experiencia que han tenido xito en los cursos para estudiantes de los primeros niveles de fsica.

La responsabilidad final del aprendizaje corresponde al estudiante. El maestro es un mero facilitador, la escuela es un simple campus y el texto es slo un libro. Asista puntualmente a las clases, preparado para los temas que se expondrn. Estudie antes el material y anote las preguntas que desee plantear al profesor.

El aprendizaje oportuno es aprendizaje eficaz. Es mejor estudiar una hora cada da de la semana que 20 el sbado y el domingo. Despus de cada clase o exposicin emplee su hora libre ms prxima para reforzar lo que ha aprendido de los temas presentados. Repase algunos ejemplos. Cuanto ms tiempo deje pasar ms olvidar de la clase y perder ms tiempo. Si espera hasta el fin de semana necesitar al menos una hora simplemente para revisar y reconstruir la clase a partir de sus notas. Estudiar todo poco antes del examen no funciona', mejor repase los problemas que ya haya resuelto y trabaje en el libro otros semejantes.

E l aprendizaje cabal va ms all del saln de clases. A fin de retener y aplicar lo aprendido en el saln, es indispensable que resuelva problemas por su cuenta. Solicite la ayuda de otras personas, incluida la del profesor, despus de haberse esforzado en contestar los problemas asignados. No hay sustituto para la participacin activa en el pensamiento y en los procedimientos necesarios para resolver problemas.

Repase las habilidades bsicas. En el captulo 2, que versa sobre matemticas tcnicas, destaca las habilidades que tal vez estn un tanto dbiles o haya que pulir. Asegrese de que entiende bien esos temas.

Estudie el plan de actividades. Procure estar enterado de los temas que se incluirn en los exmenes, cundo se llevarn a cabo stos y cmo influirn en la calificacin final.

Busque un compaero y pdale su nmero telefnico. Establezca un sistema de compaerismo donde cada uno informe al otro sobre las actividades de clase o de laboratorio a las que no haya asistido. Pida a esa persona que recoja los materiales impresos y las instrucciones que se den cuando usted no est presente.

La organizacin es la clave del verdadero aprendizaje. Mantenga al da una carpeta de argollas, dividida por secciones con sus respectivos ttulos: Material impreso recibido, Notas, Problemas, Exmenes calificados, Prcticas de laboratorio calificadas.

Si tiene dificultades, pida ayuda cuanto antes. Hoy da los estudiantes tienen a su alcance una gran cantidad de material de estudio que otrora slo exista en sueos. Hay tutoriales asistidos por computadora, internet, guas de soluciones, manuales de resolucin de problemas e incluso otros libros de textos que explican los mismos temas. Su profesor o bibliotecario le indicarn qu y cmo puede conseguirlos, pero usted es responsable de obtenerlos.

Tras muchos aos de ensear fsica en el bachillerato he notado que la razn ms comn por la que a muchos estudiantes de los primeros niveles se les dificulta la materia es la mala

1 Como sinnimos de cantidad de movimiento, tambin se emplean momento lineal e mpetu. (N. del E.)

Cmo estudiar fsica? 5

planificacin y organizacin. Hoy da un estudiante puede tomar dos o tres materias, incluso ms, mientras cursa fsica. Por aadidura, puede trabajar en un empleo de medio tiempo; o estar casado y tener hijos; o contar con varias actividades extraclase; o asistir al curso de fsica aun antes de terminar los cursos de matemticas necesarios para entender la materia. Pronto se torna evidente que no alcanza el tiempo para ahondar en una sola rea de estudio. Por consiguiente, debe establecer un calendario riguroso, con objetivos y prioridades firmes. Para ayudarle en su elaboracin, le recomiendo que considere tambin los aspectos siguientes:

En cuanto a la preparacin para el bachillerato y para su futuro en el mundo tcnico de la actualidad, la fsica es el curso ms importante de los primeros niveles. (Debatir con gusto sobre esta afirmacin con cualquier persona, y a menudo lo hago.)

No espere entender a cabalidad los principios de la fsica del mismo modo que aprende los de otras materias no tcnicas. La verdadera comprensin de la disciplina se logra con la aplicacin y la resolucin de problemas. Debe aplicar un concepto poco despus de que se le haya explicado; de otro modo, slo perder el tiempo intentando reconstruir sus ideas. Trate de programar una hora libre inmediatamente despus de su clase de fsica e intente trabajar con los ejemplos mientras la leccin an est fresca en su mente.

Organice sus hbitos de estudio en tomo a la naturaleza de las materias que cursa. Muchas disciplinas obligatorias precisan numerosas lecturas y elaboracin de informes, y pueden encararse diferente de las matemticas y la fsica. Todas son importantes, pero estas ltimas no pueden aprenderse bien si estudia todo al final. Cuando los temas sucesivos requieren entender los temas anteriores crece la posibilidad de rezagarse pronto.

Nunca he dado un curso de fsica sin que falte alguien que se queje porque la ansiedad por los exmenes es la principal razn de sus malas calificaciones. Cierto, se trata de un problema real, ms grave en unos que en otros. Me parece que la mejor forma de lidiar con l es procurndose una preparacin completa y apropiada. Debe trabajar con cuantos ejemplos sea posible antes del examen. En el basquetbol la victoria puede depender de un tiro libre al final. El triunfador es el jugador que ha encestado tantos tiros libres que sus reflejos se hallan condicionados para responder incluso bajo presin.

Matemticas tcnicas

Las matemticas son una herramienta fundamental para todas las ciencias. En la grfica que aparece en la pantalla de la computadora se muestra una aplicacin de la trigonometra.(Foto de Paul E. Tippens.)

ObjetivosCuando termine de estudiar este captulo el alumno:

1. Demostrar su habilidad para sumar, restar, multiplicar y dividir unidades tcnicas de medida.

2. Resolver frmulas sencillas para cualquier cantidad que aparezca en la frmula y realizar evaluaciones por sustitucin.

6

2.1 Nmeros con signo 7

3. Resolver problemas sencillos que im pliquen operaciones con exponentes y radicales.

4. Realizar operaciones matemticas comunes en notacin cientfica.5. Trazar una grfica a partir de datos tcnicos especficos e interpretar nueva

informacin con base en aqulla.6. Aplicar las reglas elementales de la geometra para calcular ngulos descono

cidos en situaciones concretas.

Suele ser decepcionante abrir un libro de fsica y ver que empieza con matemticas. Naturalmente, usted desea aprender slo las cosas que considera necesarias. Quiere tomar medidas, operar mquinas o motores, trabajar con algo o al menos saber que no ha perdido el tiempo. Segn su experiencia, podr omitir gran parte o todo este captulo, a juicio de su profesor. Tenga presente que los fundamentos son importantes y que ciertas habilidades matemticas son indispensables. Tal vez comprenda perfectamente los conceptos de fuerza, masa, energa y electricidad, pero quiz no sea capaz de aplicarlos en su trabajo por falta de conocimientos matemticos fundamentales. Las matemticas son el lenguaje de la fsica. A lo largo de la obra nos hemos esforzado por lograr que ese lenguaje sea tan sencillo y relevante como sea necesario.

En cualquier ocupacin industrial o tcnica tenemos que efectuar mediciones de algn tipo. Puede tratarse de la longitud de una tabla, el rea de una hoja de metal, el nmero de tornillos que hay que pedir, el esfuerzo al que est sometida el ala de un avin o la presin en un tanque de aceite. La nica forma en que podemos dar sentido a esos datos es mediante nmeros y smbolos. Las matemticas brindan las herramientas necesarias para organizar los datos y predecir resultados. Por ejemplo, la frmula F = ma expresa la relacin entre una fuerza aplicada (F) y la aceleracin (a) que sta produce. La cantidad m es un smbolo que representa la masa de un objeto (una medida de la cantidad de materia que contiene). A travs de los pasos matemticos apropiados podemos usar frmulas como sa para predecir acontecimientos futuros. Sin embargo, en muchos casos se precisan conocimientos generales de lgebra y geometra. Este captulo le ofrece un repaso de algunos de los conceptos esenciales en matemticas. El estudio de las diferentes secciones del captulo podr ser asignado u omitido a criterio de su profesor.

Nmeros con signo

-----24C +

0C

------ 10Cy -

Figura 2.1

A menudo es necesario trabajar con nmeros negativos y positivos. Por ejemplo, una temperatura de - 10C significa 10 grados "abajo del punto de referencia cero, y 24C una temperatura que est 24 grados arriba del cero (vase la figura 2.1). Los nmeros se refieren a la magnitud de la temperatura, mientras que el signo ms o menos indica el sentido respecto al cero. El signo menos en 10C no indica falta de temperatura; significa que la temperatura es menor que cero. El nmero 10 en 10C describe cuan lejos de cero se halla la temperatura; el signo menos es necesario para indicar el sentido respecto del cero.

El valor de un nmero sin signo se conoce como su valor absoluto. En otras palabras, si omitimos los signos de +7 y 7, el valor de ambos nmeros es el mismo. Cada nmero est a siete unidades del cero. El valor absoluto de un nmero se indica por medio de un smboloformado por barras verticales. El nmero + 7 no es igual que el nmero 7; pero 1+71 s esigual que I 71. Cuando se realizan operaciones aritmticas que incluyen nmeros con signo se usan sus valores absolutos.

Los signos ms y menos tambin se emplean para indicar operaciones aritmticas; por ejemplo:

7 + 5 significa sumar el nmero +5 al nmero +7"7 5 significa restar el nmero +5 del nmero + 7

Si queremos indicar la suma o la resta de nmeros negativos, resulta til emplear parntesis:

(+7) + ( - 5 ) significa sumar el nmero 5 al nmero + 7 (+7) ( 5) significa restar el nmero 5 del nmero + 7

8 Captulo 2 Matemticas tcnicas

Cuando se suman nmeros con signo es til recordar la regla siguiente:

R egla d e la sum a: para sumar dos nmeros del mismo signo, sumamos sus valores absolutos y ponemos el signo en comn al resultado (suma). Para sumar dos nmeros de diferente signo, encontramos la diferencia entre sus valores absolutos y asignamos al resultado el signo del nmero de mayor valor.

Considere los ejemplos que siguen:

(+6) + (+2) = + (6 + 2) = +8( - 6 ) + ( - 2 ) = - ( 6 + 2) = - 8(+6) + ( - 2 ) = + (6 - 2) = +4( - 6 ) + (+2) = - ( 6 - 2) = - 4

Examinemos ahora el procedimiento de la resta. Siempre que a un nmero le restamos otro, cambiamos el signo del segundo nmero y despus lo sumamos al primero, aplicando la regla de la suma. En la expresin 7 5, el nmero +5 va a ser restado del nmero +7. La resta se realiza cambiando primero +5 por 5 y luego sumando los dos nmeros que ahora tienen diferente signo: (+ 7) + (5) = +(7 5) = +2.

Regla d e la re s ta : para restar un nmero, b, con signo de otro nmero, a, con signo, cambiamos el signo de b y luego sumamos este nmero a a aplicando la regla de la suma.

Analice los ejemplos siguientes:

(+8) -- (+5) = 8 - 5 = 3(+8) -- ( - 5 ) = 8 + 5 = 13( - 8 ) -- (+5) = - 8 - 5 = -1 3( - 8 ) -- ( - 5 ) = - 8 + 5 = - 3

r/s viLa velocidad de un objeto se considera positiva cuando ste se mueve hacia arriba y negativa cuando se mueve hacia abajo. Cul es el cambio de velocidad de una pelota que golpea el piso a 12 metros por segundo (m /s) y rebota a 7 m /s? Consulte la figura 2.2.

Plan: Primero establecemos como positiva la direccin ascendente o hacia arriba, as que podemos usar los mismos signos para la velocidad. La velocidad inicial es 12 m /s porque la pelota se est moviendo hacia abajo. Despus su velocidad es + 7 m /s, pues se mueve hacia arriba. El cambio de velocidad ser la velocidad final menos la inicial.

+7 m/s

-12 m/s

Figura 2.2

2.1 Nmeros con signo 9

Solucin:Cambio en la velocidad = velocidad final velocidad inicial

= ( + 7 m /s) (12 m /s)= 7 m /s + 12 m /s = 19 m /s

Sin entender los nmeros con signo podramos haber supuesto que el cambio registrado en la rapidez era de slo 5 m /s (12 7). Sin embargo, tras pensarlo un momento, nos damos cuenta de que la rapidez debe disminuir primero a cero (un cambio de 12 m /s) y que luego se alcanza una rapidez de 7 m /s en direccin opuesta (un cambio adicional de 7 m /s).

En una multiplicacin cada nmero se llama factor y el resultado es el producto. Ahora podemos establecer la regla de la multiplicacin para nmeros con signo:

Regla de la multiplicacin: si dos factores tienen signos iguales, su producto es positivo; si tienen signos diferentes, su producto es negativo.

Veamos estos ejemplos:

(+ 2)(+ 3) = + 6 (3)(4) = +12(2)( + 3) = 6 ( 3)(+4) = 12

Suele resultar til una ampliacin de la regla de la multiplicacin para los productos que resultan de multiplicar varios factores. En vez de multiplicar una serie de factores, de dos en dos, podemos recordar que

El producto ser positivo si todos los factores son positivos o si existe un nmero par de factores negativos. El producto ser negativo si hay un nmero impar de factores negativos.

Considere los ejemplos que siguen:

(2)(+ 2)(3) = +12 (dos factores negativos,par)

(2)(+ 4)(3)(2) = - 4 8 (tres factores negativos,impar)

(3)3 = (3)(3)(3) = - 2 7 (tres factores negativos, impar)

Observe que en el ltimo ejemplo se us un superndice 3 para indicar el nmero de veces que el nmero 3 deba usarse como factor. El superndice 3 escrito en esta forma se llama exponente.

Cuando se desea dividir dos nmeros, el que va a ser dividido se llama dividendo y entre el que se divide ste se llama divisor. El resultado de la divisin se denomina cociente. La regla para dividir nmeros con signo es la siguiente:

Regla de la divisin: el cociente de dos nmeros con signos iguales es positivo y el cociente de dos nmeros con signos diferentes es negativo.

Por ejemplo

( + 2) -v- ( + 2) = +1 ( - 4 ) -h ( - 2 ) = +2

En caso de que el numerador o el denominador de una fraccin contenga dos o ms factores, la regla siguiente tambin es til:

El cociente es negativo si el nmero tota l de factores negativos es impar; en caso contrario, el cociente es positivo.

1 0 Captulo 2 Matemticas tcnicas

Por ejemplo,(~4)(3)

2

(~ 2 )(~ 2 )(3) (2 )(-3 )

= 6 par

+2 impar

Es conveniente que practique la aplicacin de todas las reglas expuestas en esta seccin. Es un grave error suponer que ha entendido estos conceptos sin comprobarlo adecuadamente. Una fuente importante de errores en la resolucin de problemas de fsica es el uso de los nmeros con signo.

Repaso de lgebraEl lgebra es en realidad una generalizacin de la aritmtica, en la que se usan letras para reemplazar nmeros. Por ejemplo, aprenderemos que el espacio ocupado por algunos objetos (su volumen, V) puede calcularse multiplicando el largo (/) por el ancho (>) y por la altura (h). Si se asignan letras a cada uno de esos elementos, establecemos una frmula general, como

Volumen = largo X ancho X altura

V = l b h (2.1)

La ventaja de las frmulas es que funcionan en cualquier situacin. Dado el largo, el ancho y la altura de cualquier slido rectangular podemos usar la ecuacin (2.1) para calcular su volumen. Si deseamos averiguar el volumen de un bloque rectangular de metal, slo debemos sustituir los nmeros apropiados en la frmula.

3EX23& Calcule el volumen de un slido que tiene las medidas siguientes: largo, 6 centmetros (cm); ancho, 4 cm, y alto, 2 cm.

Plan: Recuerde o localice la frmula para calcular el volumen y luego sustituya las letras (literales) con las cantidades proporcionadas.

Solucin: La sustitucin da por resultado

V = Ibh = (6 cm)(4 cm)(2 cm)= 48 (cm X cm X cm) = 48 cm3

El tratamiento de las unidades que dan por resultado un volumen expresado en centmetros cbicos se comentar ms adelante. Por ahora, cntrese en la sustitucin de nmeros.

Cuando las letras se sustituyen por nmeros en una frmula es muy importante insertar el signo apropiado de cada nmero. Considere la frmula siguiente:

P = c2 ab

Suponga que c = +2, a = - 3 y b = +4. Recuerde que los signos ms y menos incluidos en las frmulas no se aplican a ninguno de los nmeros que pueden ser sustituidos. En este ejemplo, tenemos:

P = (c)2 - (a)(b)= (+ 2 )2 - ( -3 X + 4 )= 4 + 12 = 16

Resulta sencillo advertir que si se confunde un signo de la frmula con el signo de alguno de los nmeros sustituidos podra cometerse un error.

2.2 Repaso de lgebra 11

Con frecuencia es necesario resolver (despejar) una frmula o una ecuacin para una letra que es slo parte de la frmula. Suponga que deseamos encontrar una frmula para calcular el largo de un slido rectangular a partir de su volumen, su altura y su ancho. Las letras que aparecen en la frmula V = ah tendrn que reorganizarse para que la / aparezca sola en el lado izquierdo. El reordenamiento de la frmula no es difcil si recordamos algunas reglas para trabajar con ecuaciones.

Bsicamente, una ecuacin es un enunciado matemtico que dice que dos expresiones son iguales. Por ejemplo,

2b + 4 = 3b - 1

es una ecuacin. En este caso, es evidente que la letra b representa la cantidad desconocida o, mejor dicho, la incgnita. Si sustituimos b = 5 en ambos lados o miembros de esta ecuacin, obtenemos 14 = 14. Por tanto, b = 5 es la solucin de la ecuacin.

Podemos obtener soluciones para igualdades realizando las mismas operaciones en los dos lados de la ecuacin. Considere la igualdad 4 = 4. Si sumamos, restamos, multiplicamoso dividimos el nmero 2 en ambos lados, no se altera la igualdad. Lo que hacemos es, en efecto, aumentar o disminuir la magnitud de cada lado, pero la igualdad se conserva. (Ser conveniente que usted verifique el enunciado anterior para la igualdad 4 = 4.) Observe tambin que si se eleva al cuadrado o se obtiene la raz cuadrada en los dos lados no se altera la igualdad. Si se realiza la misma serie de operaciones en cada miembro de una ecuacin es posible obtener finalmente una igualdad con una sola letra en el miembro izquierdo. En este caso, se dice que hemos resuelto (o despejado) la ecuacin para esa letra.

Resuelva para m la ecuacin que sigue:

3 m 5 = m + 3

Pa n: La clave es dejar sola la m en un lado del signo igual y del otro un nmero solo. Mientras sumemos o restemos la misma cantidad en cada lado, la ecuacin seguir siendo verdadera.

Solucin: Primero sumamos +5 a ambos lados y luego restamos m de los dos lados:

3/72 5 + 5 = m + 3 + 53 m = m + 8

3 m m = m + 8 m2 m = 8

Por ltimo, dividimos ambos lados entre 2:

2 m 8~2~ ~~ 2

m = 4

Para comprobar esta respuesta, sustituimos m = 4 en la ecuacin original y obtenemos 7 = 7, lo cual demuestra que m = 4 es la solucin.

En las frmulas, la solucin de una ecuacin tambin puede expresarse por medio de letras. Por ejemplo, la ecuacin literal

ax 5b = c

puede resolverse para x en trminos de a, b y c. En casos como ste, decidimos de antemano cul de las letras ser la incgnita. En nuestro ejemplo, elegiremos x. Las dems letras se tratan como si fueran nmeros conocidos. Sumando 5b a ambos lados se obtiene

ax 5b + 5b = c + 5b ax = c + 5b

12 Captulo 2 Matemticas tcnicas

Ahora dividimos ambos lados entre a para obtener

ax c + 5b a a

c + 5bx =

a

que es la solucin para x. Los valores para a, b y c en una situacin concreta se sustituyen para hallar un valor especfico de x.

w /y / V!

El volumen de un cono circular recto se expresa con la frmula

tj r 2hV = (2.2)

Cul es la altura del cono si su radio es r = 3 cm y V = 81 centmetros cbicos (cm3)? (Suponga que tt = 3.14.)

Plan: Primero resolvemos la frmula para h en trminos de r y V; luego debemos sustituir los valores que tenemos para V, tt y r.

Solucin: Al multiplicar ambos lados por 3 se obtiene

3V = ir rh

Si dividimos ambos miembros entre rrr2 resulta

3y _ irr2h 3V htt}-2 7rr2 7rr2 1

Por tanto, la altura h est dada por:

3Vh = 2

7r r

Sustituyendo los valores que tenemos de V, tt y r nos queda

3(81 cm3) 243 cm3n = ------------------r = ------------ t = 8.60 cm

(3.14)(3cm) 28.26 cm-

La altura del cono es 8.60 cm.

Exponentes y radicales (optativo)Con frecuencia resulta necesario multiplicar una misma cantidad cierto nmero de veces. Un mtodo abreviado para indicar el nmero de veces que una cantidad se toma como factor de s misma consiste en usar un superndice numrico conocido como exponente. Esta notacin sigue el esquema presentado a continuacin:

Para cualquier nmero a: Para el nmero 2:

a = a 1 2 = 21a X a = a2 2 X 2 = 22

a X a X a = a3 2 X 2 X 2 = 23a X i X a X f l = a4 2 X 2 X 2 X 2 = 24

2.3 Exponentes y radicales (optativo) 13

Las potencias del nmero a se leen como sigue: a2 se lee a cuadrada : a3, a cbica"; y a4, a a la cuarta potencia. En general, se dice que a" representa a elevado a la 77-sima potencia. En tales ejemplos, la letra a es la base y los superndices numricos 1, 2, 3, 4 y n son los exponentes.

Repasaremos varias reglas que es necesario seguir al trabajar con exponentes.

Regla 1 : Cuando se multiplican dos cantidades de la misma base su producto se obtiene sumando algebraicamente los exponentes:

(a'")(a") = a'n+" Regla de la multiplicacin (2.3)

Ejemplos:(24)(23) = 24 + 3 = 27

2 5 3 3 2 + 5 + 3 3 10 3x x y x = x y = x y

Regla 2 : Cuando a no es cero, un exponente negativo se define con cualquiera de las expresiones siguientes:

a~n = y a" = Exponente negativo (2.4)

Ejemplos:a - 4

1

' a" ya"

1

a~n

1 i102

1

34 8 l _ 10-2

Ejemplos:

14 Captulo 2 Matemticas tcnicas

(22)3 = 22'3 = 26 (2^3)2 = 26 = ^

(a2)4 = a 8 (a2) -4 = a -8 =a

R egla 6: La potencia de un producto y la de un cociente se obtienen aplicando el exponente a cada uno de los factores.

Ejemplos:

(a b y = anbn (2.8)

(2 3)2 = 22 32 = 4 9 = 36 oa b ) 3 = a 3 3

(a2)3 = z3(&2)3 = a3b6 ax3 Y a4x12/ y y-

Si a" = b, entonces no slo b es igual a la n-sima potencia de a, sino tambin se dice que, por definicin, a es la raz -sima de b. En general, este hecho se expresa usando un radical (V ~~):

V b raz n-sima de b

Considere los enunciados siguientes:

22 = 4 significa que 2 es la raz cuadrada de 4, o sea, V i = 2

2? = 8 significa que 2 es la raz cbica de 8, o sea, = 2

25 = 32 significa que 2 es la raz quinta de 32, o sea, \ / 3 2 = 2

Un radical tambin puede expresarse mediante un exponente fraccionario. En general, podemos escribir

r fb = bl/"Por ejemplo,

V 8 = 81/3 o V lO = 10I/2

Hay otras dos reglas que es indispensable conocer para trabajar con radicales.

R egla 7: La raz n-sima de un producto es igual al producto de las races n- simas de cada factor:

^ /a b = ~ /~a 'sfb Races de un producto (2.9)

Ejemplos:V 4 16 = V 4 VT = 2 - 4 = 8

V 'ab = V a /b

R egla 8: Las races de una potencia se calculan aplicando la defin icin de exponentes fraccionarios.

= am/n Raz de potencias (2.10)

2.4 Solucin a ecuaciones cuadrticas 15

Ejemplos:^ = 29/3 = 2 3 = 8

Vr4 = icr4/2 = io~2 =io 2

V 4 X 108 = V 4 V f = 2(10)8/2 = 2 X 104

\ / 8 X 106 = ^ ( O ) -673 = 2 X 10"2

Para resolver la mayor parte de los problemas de esta obra slo se requiere un conocimiento limitado de las reglas anteriores. Lo que ms se calcula son cuadrados, cubos, races cuadradas y cbicas. No obstante, es til contar con un buen conocimiento de las reglas de losexponentes y radicales.

Solucin a ecuaciones cuadrticasAl resolver problemas de fsica, con frecuencia se necesita obtener una solucin para una ecuacin de segundo grado cuya incgnita est elevada a la segunda potencia. Por ejemplo, en cinemtica la posicin de una partcula en un campo gravitacional vara con el tiempo segn la relacin

x = v0t + \a t2

donde x es el desplazamiento, vQ la velocidad inicial, a la aceleracin y t el tiempo. Observe que la apariencia de t2 significa que hay dos instantes en que el desplazamiento podra ser el mismo. Tales ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones cuadrticas. Hay varios mtodos para resolver este tipo de ecuaciones, pero quiz para los problemas de fsica el ms til sea aplicar el de la frmula cuadrtica.

Dada una ecuacin cuadrtica de la forma

ax2 + bx + c = 0

con a diferente de cero, las soluciones se hallan con la frmula cuadrtica

b \ / b 1 4ac 2a

m Resuelva la ecuacin siguiente para ,: 3x 2 = 12 + 5x.

Plan: La mayor potencia de la incgnita x es 2 y se puede aplicar la frmula cuadrtica. Debemos escribir la ecuacin en la forma cuadrtica, determinar las constantes a, b y c, y despus resolver x usando la frmula.

Solucin: La forma cuadrtica es ax2 + bx + c = 0, as que podemos escribir

3x2 - 5x - 12 = 0Al analizar' esa ecuacin se observa que a = 3, b = ~ 5 y c = 12. Ahora, resolvemos para x por sustitucin en la frmula cuadrtica

b V Z r - 4ac X ~ 2 a

_ - ( - 5 ) V ( - 5 ) 2 - 4(3)( 12)2(3)

_ +5 V(25) + (144) __ +5 V l6 9 5 13 2(3) ~ 6 6

16 Captulo 2 Matemticas tcnicas

Para hallar las dos soluciones para x usamos primero el signo ms y luego el menos:

5 + 13 18Primera solucin: +3

Segunda solucin:5 - 1 3 - i

x = X = -1 .3 3

Las dos respuestas son x = +3 y x = 1.33. Con base en las condiciones del problema, una de las soluciones puede ser matemticamente verdadera pero imposible desde el ngulo de la fsica, lo cual indica que siempre debe interpretar los resultados a la luz de las condiciones establecidas.

g;

m*,

T jj Se lanza una pelota hacia arriba con una rapidez inicial de vQ = 20 m /s. La aceleracin debida a la gravedad es g = 9.80 m /s2. Si se tiene un desplazamiento de y = v0t + gf2, determine los dos instantes en que el desplazamiento es y 12 m arriba del punto donde se suelta la pelota.

Plan: Debemos sustituir los valores dados para g, y y vQ a fin de obtener la ecuacin cuadrtica, con el tiempo t como nuestra incgnita. Despus escribiremos la ecuacin en su forma cuadrtica y la resolveremos para t mediante la frmula cuadrtica.

Solucin: La sustitucin da como resultado

y = v0t + \g t2 o (12) = 20/ + ! ( 9.8 )2

Hemos dejado fuera las unidades para que la incgnita t quede indicada con claridad. Al escribir esta expresin en forma cuadrtica queda

4.9/2 - 20 + 12 = 0

Ahora aplicamos la frmula cuadrtica para hallar las dos soluciones para t.

t =-b \ / b 2 4ac

2 a

- ( -2 0 ) V ( - 2 0 ) 2 - 4(4.9)(12) 2(4.9)

+20 V 400 - 235 - 2 0 12.9.8 9.8

De nuevo, encontramos las dos soluciones usando primero el signo ms y luego el menos:

20 + 12.8 32.8Primera solucin:

Segunda solucin:

t =9.8

20 - 12.9.8

9.8 7.179.8

+3.35 s

t +0.732 s

La pelota alcanza la altura de 12 m en el instante t = 0.732 s despus de que se le suelta. Luego alcanza el mismo desplazamiento en el instante t = 3.35 s.

| U ^ 0 Notacin cientficaEn el trabajo cientfico es muy frecuente encontrarse con nmeros muy grandes o muy pequeos. Por ejemplo, cuando el operador de una mquina mide el grosor de una delgada hoja de metal puede obtener una lectura de 0.00021 in. De forma similar, un ingeniero puede hallar que el rea de una pista de aeropuerto es de 130 000 m2. Es conveniente que podamos expresar estos nmeros como 2.1 X 104 in y 1.3 X 105 m2, respectivamente. Se usan potencias de 10 para sealar la posicin del punto decimal sin tener que manejar un gran nmero de ceros al

2.5 Notacin cientfica 17

realizar cada uno de los clculos. El sistema para expresar cualquier cantidad como un nmero entre 1 y 10 multiplicado por una potencia entera de base 10 se llama notacin cientfica.

Las calculadoras electrnicas tienen una teclas que permiten incluso a los estudiantes principiantes usar' la notacin cientfica en muchos clculos. Puede tener la seguridad de que se encontrar con la notacin cientfica aunque su trabajo no requiera el uso frecuente de nmeros expresados con ella. Revise el manual de su calculadora a fin de que aprenda a trabajar en ella con potencias de base 10.

Considere los mltiplos de 10 siguientes y algunos ejemplos de su utilizacin en la notacin cientfica:

0.0001 = 104 2.34 X 104 = 0.0002340.001 = 10-3 2.34 X 10~3 = 0.00234

0.01 = 10-2 2.34 X 10~2 = 0.02340.1 = 10"1 2.34 X 1 0 '1 = 0.234

1 = 10 2.34 X 10 = 2.3410 = 101 2.34 X 101 = 23.4

100 = 102 2.34 X 102 = 234.01 000 = 103 2.34 X 103 = 2340.0

10 000 = 104 2.34 X 104 = 23 400.0

Para escribir en notacin cientfica un nmero mayor que 1 debe determinar el nmero de veces que es preciso mover el punto decimal a la izquierda para obtener la notacin abreviada. Veamos algunos ejemplos:

467 = = 4-67 x 10230 = 3 0. - 3.0 X 101

35 700 = 3 ,5 7 0 0 . = 3.57 X 104

Cualquier nmero decimal menor que 1 puede escribirse como un nmero entre 1 y 10 multiplicado por una potencia negativa de base 10. En este caso, el exponente negativo representa el nmero de veces que se mueve el punto decimal a la derecha. Este exponente siempre es igual al nmero de ceros que se encuentran entre el punto decimal y el primer dgito, ms uno. Los siguientes son algunos ejemplos:

0.24 = 0.2 4 = 2.4 X 1 0 '1 0.00327 = 0^00^3 2 7 = 3.27 X 103

0.0000469 = 0 .0 ^0 0 ^4 6 9 = 4.69 X 10^5

Para convertir la notacin cientfica en notacin decimal simplemente se invierte el proceso.Con ayuda de las leyes de los exponentes, la notacin cientfica sirve en la multiplicacin

y la divisin de nmeros muy pequeos o muy grandes. Cuando se multiplican dos nmeros,sus respectivos exponentes de base 10 se suman. Por ejemplo, 200 X 4000 puede escribirsecomo (2 X 102)(4 X 103) = (2)(4) X (102)(103) = 8 X 105. Otros ejemplos son

2200 X 40 = (2.2 X 103)(4 X 101) = 8.8 X 1040.0002 X 900 = (2.0 X 10~4)(9.0 X 102) = 1.8 X 10~2

1002 X 3 = (1.002 X 103)(3 X 10) = 3.006 X 103

De forma similar, cuando un nmero se divide entre otro, el exponente de base 10 que aparece en el denominador se resta del exponente de base 10 del numerador. stos son algu- nos ejemplos: , 7 0

-------= --------------7 = X 103_1 = 2.0 X 10235 3.5 X 101 3.5

1200 1.2 X 103 1.2 ,= X 103~(-3) = 4.0 X 105

0.003 3.0 X 103 3.00.008 8 X 103

= - X 10-3- 2 = 2.0 X 10~5400 4 X 102 4

Cuando se suman dos nmeros expresados en notacin cientfica es necesario tener cuidado de ajustar todos los que se van a sumar, de modo que tengan potencias idnticas de base 10. Veamos algunos ejemplos:

2 000 + 400 = 2 X 103 + 0.4 X 103 = 2.4 X 103 0.006 - 0.0008 = 6 X 10~3 - 0.8 X 10~3 = 5.2 X 10~3

4 X 1021 - 6 X 10~20 = 0.4 X 1020 - 6 X 10~20 = -5 .6 X 10~20

Las calculadoras cientficas hacen automticamente los ajustes necesarios al sumar y restar ese tipo de nmeros.

La notacin cientfica y las potencias de base 10 son muy importantes y significativas cuando se trabaja con unidades mtricas. En el captulo 3 veremos que los mltiplos de 10 se usan para definir muchas unidades en el sistema mtrico. Por ejemplo, un kilmetro se define como mil (1 X 103) metros y un milmetro como una milsima (1 X 103) de metro.

18 Captulo 2 Matemticas tcnicas

GrficasCon frecuencia se desea mostrar en forma grfica la relacin entre dos cantidades. Por ejemplo, sabemos que cuando un automvil viaja con rapidez constante avanza la misma distancia cada minuto (min). Podramos registrar la distancia recorrida, en pies (ft), para determinados tiempos, de la forma siguiente:

Distancia, ft 200 400 600 800 1000

Tiempo, min 1 2 3 4 5

En la parte inferior de una hoja de papel cuadriculado podemos establecer una escala de tiempo, quiz con cada divisin igual a 1 min. En el lado izquierdo del papel podemos establecer una escala de distancias. Es necesario seleccionar una escala que llene el papel cuadriculado (as se facilita la ubicacin de los puntos en la grfica). Las divisiones de la escala sencillas son: 1 divisin = 1, 2 o 5 multiplicado por alguna potencia de base 10. Algunos ejemplos adecuados son: 1 divisin = 1 X 103 = 1000, o 1 divisin = 2 X 10 = 2, o bien, 1 divisin = 5 X 10~2 = 0.05. Es preciso evitar divisiones de escala incmodas, como 3 divisiones = 100 ft, porque dificultan la ubicacin de puntos. En nuestro ejemplo, podemos hacer que cada divisin represente 200 ft. As, los datos se representan en la grfica como muestra la figura 2.3. Cada punto ubicado en el eje (lnea) horizontal tiene un punto correspondiente en el eje (lnea) vertical. Por ejemplo, la distancia recorrida al cabo de 3 min es 600 ft. Observe que cuando se unen esos puntos, el resultado es una lnea recta.

Tiempo, min

Figura 2.3 Grfica de la distancia en funcin del tiempo (una relacin directa).

2.7 Geometra 19

Figura 2.4 Grfica del tiempo necesario para recorrer una distancia de 1 km como funcin de la rapidez (una relacin inversa).

Cuando la grfica de una cantidad frente a otra produce una lnea recta que pasa por el origen hay entre ellas una relacin directa. En este ejemplo, la distancia recorrida es directamente proporcional al tiempo. Cuando una de esas cantidades cambia, la otra tambin, y en la misma proporcin. Si se duplica el tiempo transcurrido, se duplica la distancia recorrida.

Tambin existen las relaciones inversas o indirectas, en las que el aumento de una cantidad produce como resultado la disminucin proporcional de la otra cantidad. Si disminuyramos la rapidez de un automvil, veramos que se requeriran intervalos de tiempo cada vez mayores para recorrer la misma distancia. Suponga que hemos medido, en segundos (s), el tiempo requerido para recorrer una distancia de 1 kilmetro (km) [0.621 millas (mi)] con rapidez de 20, 40, 60, 80 y 100 kilmetros por hora (km/h). De esta manera registramos los datos siguientes:

Rapidez, km/h 20 40 60 80 100

Tiempo, s 180 90 60 45 36

En la figura 2.4 se muestra una grfica de estos datos. Ntese que la grfica de una relacin inversa no es una lnea recta sino una curva.

Una grfica sirve para obtener informacin con la que no se contaba antes de elaborarla. Por citar un caso, en la figura 2.4 advertimos que se requerira un tiempo de 120 s para recorrer la distancia si nuestra rapidez fuera de 30 km /h.

GeometraEn este breve repaso presuponemos que usted conoce el concepto de punto y de recta. Veremos otros conceptos importantes slo en la medida en que sean necesarios para resolver problemas de fsica. No es indispensable hacer un amplio repaso de los muchos teoremas posibles de esta disciplina. Comenzaremos con ngulos y rectas.

El ngulo comprendido entre dos lneas rectas se define trazando un crculo cuyo centro se ubica en el punto de interseccin (vase la figura 2.5a). La magnitud del ngulo A es proporcional a la fraccin de un crculo completo que se encuentra entre las dos rectas. Los ngulos se miden en grados, como se define en la figura 2.5b. Un grado ( 0) es una parte de un crculo igual a 1 /360 de una revolucin completa (rev). Por tanto, en 1 rev hay 360:

20 Captulo 2 Matemticas tcnicas

de un crculo = 1360 1 rev = 360'

Figura 2.5 Un ngulo es una fraccin de un crculo completo. Un grado es una parte del crculo que equivale a 1/360 de una revolucin completa.

90

D(b)

Figura 2.6 (a) Un ngulo recto es la cuarta parte de un crculo, (b) Las rectas que se cortan formando ngulos rectos reciben el nombre de perpendiculares.

Figura 2.7 Las rectas paralelas que se extienden indefinidamente nunca se intersecan (AB II CD).

Figura 2.8 Cuando dos lneas rectas se intersecan, los ngulos opuestos son iguales.

Figura 2.9 Cuando una lnea recta se interseca con dos lneas paralelas, los dos ngulos internos resultan iguales.

El ngulo que corresponde a un cuarto de 1 rev, es decir, a 90, recibe un nombre especial: se llama ngulo recto (vase la figura 2.6a). Cuando dos rectas se intersecan de manera que el ngulo formado entre ellas es recto, se dice que son perpendiculares. La recta CA de la figura 2-6b es perpendicular a la recta BD. Esto puede escribirse como

CA X BD

donde -L significa es perpendicular a.Se dice que dos rectas son paralelas si nunca se intersecan, por ms que se prolonguen

sus extremos. En la figura 2.7 la recta AB es paralela a la lnea CD, lo cual se escribe as:

AB |! CD

donde || significa es paralela a.La aplicacin de la geometra requiere conocer slo algunas reglas generales, de las cua

les describiremos tres de las ms importantes.

Regla 1: Cuando dos rectas se intersecan, los ngulos opuestos que forman son guales (vase la figura 2.8).

R egla 2: Cuando una recta interseca (se corta con) dos rectas paralelas, los ngulos alternos internos son guales (figura 2.9).

Observe en la figura 2.9 que los ngulos A se hallan a ambos lados de la recta que corta a las dos paralelas y se ubican dentro del espacio comprendido entre stas. De acuerdo con la regla 2, estos ngulos alternos internos son iguales. (Los otros dos ngulos internos tambin son iguales.)

2.7 Geometra 21

* a * g e s a c s B a B M H i \ m i i i i i i 'n i F o ^ g ^ & s a a . - a / / > . h

En un edificio en construccin, dos postes de tabique se han reforzado con un miembro cruzado, como se muestra en la figura 2.10. Calcule el ngulo C por medio de la geometra.

Plan: Supngase que los dos postes son paralelos y que, por tanto, el miembro cruz