Física BÆsica III - fisica.fcyt.umss.edu.bofisica.fcyt.umss.edu.bo/tl_files/Fisica/Biblioteca...

Física Básica IIIPrimera Edición

Prof. Nestor Avilés R.†Carrera de Física - Departamento de Física

Facultad de Ciencias y TecnologíaUniversidad Mayor de San Simón

Transcripción y revisiónFreddy Flores F.

Auxiliar de Investigación y LaboratoriosCarrera de Física - Departamento de Física

Facultad de Ciencias y TecnologíaUniversidad Mayor de San Simón

c© copyright Cochabamba Febrero 2006

Índice general

Prefacio 1

1. Electrostática 31.1. Propiedades eléctricas de la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. La carga fundamental, distribuciones continuas de carga, materiales conductores yno conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Interacción Electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2. El Campo Eléctrico E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3. Propiedades físico-matemáticas del campo eléctrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Resumen de las ecuaciones integro-diferenciales del campo electrostático . . . . . . . . . . 91.5. Campos y Potenciales electrostáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.1. Carga puntual qCampo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.2. Distribuciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6. Energía Electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6.1. Evaluación de la energía eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.7. Ecuación de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.8. Ecuación de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.9. Polarización Eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.9.1. Dipolo Eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.10. Efecto de un campo eléctrico sobre un dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.11. Teoria macroscópica de la polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.12. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.13. Densidad de energía eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.13.1. Método del potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.13.2. Método del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.14. Capacitores, Capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.14.1. Capacitor Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.14.2. Capacitor Cilíndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.14.3. Capacitor Esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.15. Energía eléctrica de un capacitor cargado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.15.1. Capacitor Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.15.2. Capacitor Cilíndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.15.3. Capacitor Esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.16. Red de capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

I

II ÍNDICE GENERAL

1.16.1. Capacitor equivalente para la conexión en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.16.2. Capacitor equivalente para la conexión en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.17. Fuerzas internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.18. Corriente eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1.18.1. Intensidad de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.18.2. Densidad de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.18.3. Ecuación de la continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.19. Circuitos de corriente directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641.19.1. Modelo clásico de los metales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641.19.2. Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.19.3. Enfoque energético de un circuito resistivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.19.4. Red de resistencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.19.5. Distribución del potencial en una resitencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.19.6. Equilibrio eléctrico de un conductor cargado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

1.20. Redes de corriente directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.20.1. Ley de nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.20.2. Ley de mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.20.3. Método de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

1.21. Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751.21.1. Proceso de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751.21.2. Proceso de descarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2. Magnetostática 972.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.2. La ley de Ampere-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.3. La ley de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.4. Torque Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.5. Ecuaciones Integro-Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

2.5.1. Potencial vectorial Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.5.2. Primera ecuación: Divergente Del Campo Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.5.3. Segunda Ecuación: Rotacional Del Campo Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.6. Campos Magnéticos Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.7. Magnetización De La Materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2.7.1. Ecuaciones Macroscópicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.7.2. Condiciones De Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3. Campos ElectromagnéticosVariables En El Tiempo 1293.1. Inducción Electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.1.1. Ley de Henry-Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303.1.2. Formulación Analítica De La Inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303.1.3. Inducción por deformación o movimiento del circuito inducido. . . . . . . . . . . . 1313.1.4. Coeficiente de inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333.1.5. Inducción Mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3.2. Energía asociada al campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.3. TEORIA DE MAXWELL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3.3.1. Corriente de desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393.3.2. Generalización de la ley de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

ÍNDICE GENERAL III

3.3.3. Ecuaciones del campo electromagnético: E(r, t), B(r, t) . . . . . . . . . . . . . . . 1413.3.4. Teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

3.4. TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA DE LA LUZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.4.1. Expresiones Cartesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493.4.2. Densidad de energía electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

3.5. Estados de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Bibliografía 157

A. Definiciones, Identidades y Teoremas Vectoriales 169A.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

A.1.1. Coordenadas Rectangulares (x, y, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169A.1.2. Coordenadas Cilíndricas (ρ, φ, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169A.1.3. Coordenadas Esféricas (r, θ, φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

A.2. Identidades Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170A.3. Teoremas de Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

B. Constantes Físicas 171

C. Tabla de derivadas e integrales 173C.1. Propiedades especiales de las derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173C.2. Derivada para diversas funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174C.3. Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

IV ÍNDICE GENERAL

Prefacio

Este libro – que hoy se publica1– es el resultado de la fructífera y larga experiencia que como docente dela materia de Física Básica III realizó el profesor Nestor Avilés Ríos cuando se desempeñaba como docentea dedicación exclusiva en los años 1993-1994. Se pretende lograr que este trabajo sea un texto de apoyo paralos estudiantes de Ingeniería y de las licenciaturas en Física, Matemáticas y Química que cursan la materiade Física Básica III. Los temas de electrostática y magnetostática están desarrollados con los ejemplos másclásicos, de una manera amplia, completa y detallada; tal el caso de los materiales dieléctricos, en el que sehace un estudio profundo de la teoría macroscópica de la polarización de dichos materiales. Se presentan lasecuaciones de La Place y Poisson, con sus respectivas condiciones de contorno, como una manera alternativade resolución de problemas. Además, se hace una introducción a la teoría ondulatoria de la luz presentandolas ecuaciones de Maxwell para diferentes condiciones y distintos medios; por último, se presentan lasdistintas formas de polarización de la luz. Se ha empleado la resaltación en negrillas para denotar un vector.

En el apéndice A se presentan las identidades más notables del cálculo vectorial, los tres teoremas deintegración y las expresiones de los operadores (Divergencia, Nabla, Rotor) en los tres sistemas de coor-denadas más usadas(Cartesianas, Cilíndricas y Esféricas). En el apéndice B se muestra una tabla de lasconstantes físicas más empleadas; por último, en el apéndice C, se presenta una tabla de las derivadas eintegrales más utilizadas.

Cabe resaltar que estos capítulos sólo son una parte de los textos normales de electromagnetismo, quese cursa adicionalmente en dos semestres normales en las carreras de Física de la FCyT.

El profesor Físico-Matemático Nestor Avilés ejerció la docencia durante varios años en la Facultadde Ciencias y Tecnología de la UMSS, en diversas carreras de Ingeniería y licenciaturas que ofrece estaFacultad, en particular, en las Carreras de Física. Agradecer a Dios por las oportunidades que nos brindamientras nos permita seguir viviendo y a todos los que contribuyeron en la elaboración, de manera directa oindirecta, para la edición de este texto; en especial al licenciado Remberto Portugal, Director de las Carrerasde Física, por su apoyo para la publicación de este trabajo.

Freddy Flores F.

1Transcrito por iniciativa del estudiante Freddy Flores Flores de la Carrera de Licenciatura en Física, utilizando el editor detextos científicos LATEXy los gráficos con software libre como el Gnuplot y Xfig en la plataforma Linux.

1

2 ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1

Electrostática

1.1. Propiedades eléctricas de la materia

1.1.1. La carga fundamental, distribuciones continuas de carga, materiales conductores yno conductores

El término genérico de electricidad es una traducción del vocablo elecktron, con el cual los griegos sereferian al ámbar(resina fósil de color amarillo, origen vegetal, dura, quebradiza y aromática) que al serfrotada adquiere la propiedad de atraer objetos ligeros. Este proceso sencillo, y sin el cual no hay mani-festación alguna, permitió descubrir la interacción eléctrica a comienzos del siglo XVIII. Hoy, gracias a laformulación y desarrollo de la teoria de la mecanica cuantica más las verificaciones experimentales, se sabeque:

a) Las propiedades eléctricas de la materia están ligadas a su naturaleza atómica.

b) La estabilidad dinámica del átomo es de carácter eléctrico.

c) Tres partículas son constituyentes fundamentales del átomo, tales partículas son:

Tabla 1.1: Partículas que constituyen el átomo

Nombre Simbolo Masa[Kgr] Carga[C]Electrón e 9,11× 10−31 −1,6× 10−19

Protón p 1,67× 10−27 +1,61× 10−19

Neutrón n 1,67× 10−27 0

d) En estado natural, el número de electrones de un átomo es igual al número de sus protones, lo que justificasu neutralidad eléctrica.

e) Todo átomo tiene un número finito de electrones(protones) al cual se hace referencia en su númeroatómico, que permite una clasificación sistemática de los elementos químicos(tabla periódica). Dichaclasificación empieza en el átomo más sencillo, el del hidrogeno con un solo electrón y aumenta progre-sivamente hasta el átomo de radio con 88 electrones, excluyendo los elementos lantánidos(tierras raras)y los actinidos(activamente radiactivos).

3

4 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA

f) Un átomo que perdie o gana electrones quedará con una carga residual positiva o negativa, en cualquiercaso su carga final Q será necesariamente un múltiplo entero de la carga fundamental e, esto es:

Q = ±ne, n = 1, 2, 3 . . . (1.1)

y que simboliza una de las primeras leyes cuánticas en la naturaleza.

g) La materia, a escala macroscópica, está costituida por un elevadísimo número de átomos(o moléculasen su caso); tan grande que no tendria sentido contar el numero contenido en un mol de materia. Quésentido tendría, por ejemplo contar el número de gránulos contenidos en una tonelada de azucar?

h) Al igual que un átomo, un sistema material se carga por déficit o exceso de electrones, sin embargola carga Q de un sistema material, he aqui la diferencia puede tomar cualquier valor en el intervalo[−∞,+∞]. Evidencias teorico-experimentales confirman la presencia de dos tipos de materiales, eléc-tricamente diferentes: Los conductores y los no conductores ó dieléctricos. Los primeros son utilizadospara transportar ó almacenar energía eléctrica gracias a que intimamente disponen de electrones libres,Los mismos que se desplazan caóticamente cuando la temperatura del conductor supera el cero absoluto.Estos electrones, denominados periféricos o de valencia, alcanzan una concentración del orden de 1028

por métro cúbico en los metales, los dieléctricos, al no poseer electrones libres, sirven como protectoreso aislantes para evitar la fuga de energía eléctrica en los procesos de conducción o en otras situacionespara aumentar la capacidad de su almacenamiento.La carga excedentaria de un conductor se distribuye superficialmente una vez logrado el equilibrio elec-trostático, mientras en un dieléctrico se distribuye de una manera no predeterminable. desde el puntode vista teórico se hace necesario definir una ley de distribucuión mediante funciones escalares del tipo

ρr =dQ

dV, donde r define la posición del volúmen dV con carga dQ. Explicitar una ley de distribución

es uno de los problemas fundamentales de la teoría electrostática.

1.2. Interacción Electrostática

La transferencia electrónica de la superficie de un conductor a la de otro define básicamente su proce-so de carga. Debido a sus portadores libres, un conductor es un excelente donador o aceptor de cargaeléctrica. Se han analizado y puesto en práctica dos métodos muy eficaces para extraer electrones de unaplaca conductora: La termoemisión, donde los electrones son liberados por absorción de energía térmica;la fotoemisión que usa la energía electromagnética de un fotón ultravioleta.Finalmente todos estos procesos de transferencia nos permiten intuir que la carga total de un sistema ais-lado debe conservarse. En realidad este es el contenido fáctico del denominado Principio de conservaciónde carga eléctrica, en el sentido que ella no se crea ni destruye.

Dos esferitas cargadas(cargas puntuales)se atraen o repelan. La interacción entre cargas de igual signo generauna fuerza repulsiva, la de signos contrarios una fuerza atractiva. Este comportamiento cualitativo es de fácilprueba experimental.

1.2.1. Ley de Coulomb

En 1785 el físico frances Carlos Agustin Coulomb sintetizo el trabajo de muchos investigadores con-temporaneos uniendo un modelo matemático para el cálculo de fuerza electrostática, dicho modelo estasintetizado en los siguentes postulados.

1.2. INTERACCIÓN ELECTROSTÁTICA 5

1. La fueza electrostática es central, es decir tiene dirección de la recta que une las cargas interactuantes.

2. La magnitud de dicha fuerza es proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcionalal cuadrado de la distancia que los separa.La transcripción vectorial de ambos postulados y en acuerdo a la configuración que se detalla en elfigura 1.1 debe ser:

rr

PSfrag replacements

r − r′

m′

r′r′

m q

q

q′q′

F ′

00

F

r′ − r

Figura 1.1: Postulado de acción y reacción

Fe = Keqq′

‖r− r′‖3(r− r′) (1.2)

F′e = Keqq′

‖r′ − r‖3 (r′ − r) (1.3)

como: r′ − r = -(r− r′) y ‖r− r′‖3 = ‖r′ − r‖3

resulta de las ecuaciones 1.2 y 1.3Fe + F′e = 0 (1.4)

Lo que implica el postulado de acción y reacción y consiguientemente la ecuación:

Fe = ma (1.5)

como fundamental en la electrodinámica.La constante de proporcionalidad Ke depende de las unidades de fuerza, carga y distancia. En el sistemainternacional dichas unidades son el Newton(N), el Coulomb(C) y el metro(m) respectivamente. En estesistema

Ke = 9× 109

[N ·m2

C2

]

Es pertinente recordar que en 1687, el físico ingles Newton propuso un modelo similar para el cálculo de lafuerza atractiva gravitacional, tomando en cuenta la misma configuración anterior:

FG = −G mm′

‖r− r′‖3(r− r′) (1.6)

En el sistema internacional la constante de proporcionalidad G tiene el valor de:

G = 6,67× 10−11

[N ·m2

Kgr2

]


Si eventualmente fuesen: m = m′ = 1Kgr; q = q′ = 1C y ‖r− r′‖ = ‖r′ − r‖ = 1m; concluiríamos quela fuerza eléctrica es 1020 veces mayor que la fuerza gravitacional. En general el efecto gravitacional esdespreciable en comparación al efecto eléctrico.Ambos modelos de cálculo son proporcionales y en virtud de su verificación exerimental se toman comoleyes de la naturaleza.Uno de los logros importantes del modelo gravitacional constituye en la desmostración analítica de las leyesde Kepler referidas a la dinámica del sistema solar planetario; Mientras el modelo de Coulomb ha sido sat-isfactorio a escala atómica en la primera justificación de la estabilidad dinámica del átomo de hidrogeno.

1.2.2. El Campo Eléctrico E

El espacio físico modifica sus propiedades en presencia de un sistema con carga eléctrica, y de hechola ecuación de Coulomb cuantifica dicha alteración al introducirse la noción de campo eléctrico E, definidopor:

E =Fe

q

[N

C

](1.7)

de modo que:

PSfrag replacements

q′

r′

r − r′

r

P

0

Figura 1.2: carga puntual q

1. Para una carga puntual q:

E(r) = Keq′

‖r− r′‖3(r− r′) (1.8)

2. Para un conjunto discreto q′i

E(r) = Ke

N∑

i=1

q′i‖r− r′i‖

3 (r− r′i) (1.9)

i

PSfrag replacements

r ′i

r − r′i

q′i

p

r

0

Figura 1.3: conjunto discreto q′i

3. Para una distribución continua

E(r) = Ke

∫

V

dq′

‖r− r′‖3(r− r′) (1.10)

1.2. INTERACCIÓN ELECTROSTÁTICA 7

O

r‘

PSfrag replacements

r′

r

P

0

VdQ

Figura 1.4: Distribución continua q

Es necesario recordar que para sitemas continuos las diferentes distribuciones de carga son:

ρ(r′) =dq

dVdistribución de carga volumétrica

σ(r′) =dq

dSdistribución de carga superficial

λ(r′) =dq

dldistribución de carga lineal

En general se advierte que E(r) es una función vectorial que debe cumplir con:

ı) Unicidad, esto es, r y E se corresponden biunivocamente.ıı) Continua en el intervalo 0<r<∞, por lo tanto derivable.

1.2.3. Propiedades físico-matemáticas del campo eléctrico.

Si en la funcion vectorial:

E(r) = Ke

∫

V

ρ(r′)dV

‖r− r′‖3(r− r′) (1.11)

introducimos la identidad:

∇‖r− r′‖−1 = − (r− r′)

‖r− r′‖3(1.12)

llegamos a:

E(r) = Ke

∫

V−∇‖r− r′‖−1ρ(r′)dV (1.13)

que también se puede escribir de la forma siguente:

E(r) = −∇[Ke

∫

V

ρ(r′)dV‖r− r′‖

](1.14)

La función escalar que esta encerrada por los corchetes se denomina potencial electrostático.

Φ(r) = Ke

∫

V

ρ(r′)dV‖r− r′‖ (1.15)

resultando:E(r) = −∇Φ(r) (1.16)

De manera que el campo eléctrico de una fuente cargada puede describirse por la función vectorial E(r) oalternativamente por la función escalar Φ(r).


Primera ecuación fundamental forma diferncial

De la ecuación 1.16 obtenemos:

∇×E(r) = −∇×∇Φ(r)

Como el rotor de cualquir gradiente es nulo, se cumple que:

∇×E(r) = 0 (1.17)

Esta ecuación diferencial demuestra que cualquier campo electrostático, cualquiera que sea su fuente; esirrotacional y por ello simboliza una propiedad matemática universal del E(r)

Segunda ecuación fundamental forma diferencial

∇ ·E(r) = −∇ · ∇Φ(r) = −∇2Φ(r)

Ahora bién:

∇2Φ(r) = ∇2

[Ke

∫

V

ρ(r)dV

‖r− r′‖

]= Ke

∫

Vρ(r′)∇2‖r− r′‖−1dV (1.18)

y como:∫∇2‖r− r′‖−1dV =

0 ; ∀ r 6= r‘−4π ; ∀ r = r′

Se cumple que:∇ · E(r) = 4πKeρ (1.19)

en el sistema internacional racionalizado.Ke =

1

4πε0

con lo que:∇ · E(r) =

ρ

ε0(1.20)

Ecuación diferencial, que a través de la divergente, proporciona el campo eléctrico en un punto con ladistribución de carga en el mismo punto.

Primera ecuación fundamental. Forma integral

Según el teorema de integración del rotor podemos obtener:

∇×E = 0 =⇒∇×E · undS = 0∫

S∇×E · undS = 0 =⇒

∮

CE · dr = 0 (1.21)

Aqui S representa una superficie arbitraria y C su contorno.En forma integral cualquier campo eléctrico de circulación cerrada es nula.

1.3. LEY DE GAUSS 9

Segunda ecuación fundamental. Forma integral

∇ · E =ρ(r)

εo=⇒∇ ·EdV =

ρ(r)dV

εoCon el teorema de la divergencia en integración tenemos:

∫

V∇ ·EdV =

∫ρ(r)dV

εo=⇒

∮

SE · undS =

Q

εo(1.22)

Aqui S representa la superficie frontera del volumen V de distribución.En forma integral el flujo del campo eléctrico, a través de la superficie limitante del volúmen de distribución,es igual a la carga neta encerrada por dicha superficie.

1.3. Ley de Gauss

Puesto que el flujo eléctrico depende linealmente de la carga contenida en el volúmen de distribución, esposible sustituir la superficie frontera S, por otra superficie geométrica SG, denominada superficie gausiana,de libre elección y cuyas dimenciones no altera el valor de la carga contenida, de la ecuación 1.22 tenemos:

S

V

Q

SG

SQ

V

Figura 1.5: Superficie gausiana SG

∮

sE · undS =

Q

εo⇐⇒

∮

SGE · undS =

Q

εo

1.4. Resumen de las ecuaciones integro-diferenciales del campo electrostáti-co

En un medio exterior vacío son las ecuaciones 1.17 1.20 1.21 1.22

∇×E = 0⇐⇒∮

cE · r = 0


∇ ·E =ρ

εo⇐⇒

∮

SE · undS =

Q

εoSi en la ecuacion de la divergente eq. 1.20 remplazamos

E = −∇Φ

pasamos a dos ecuaciones diferenciables escalares de marcado interes teórico, la primera:

∇2Φ = − ρεo

(1.23)

llamada ecuación de Poisson, se resulve para puntos interiores de la fuente. La segunda:

∇2Φ = 0 (1.24)

llamada ecuación de LaPlace nos proporciona la distribución de potenciales en puntos exteriores de la fuente.Ambas ecuaciones, admiten soluciones relativamente simples, cuando se las plantea en problemas de altasimetría, plana, cilíndrica o esférica, como se detallara oportunamente.

1.5. Campos y Potenciales electrostáticos

1.5.1. Carga puntual qCampo eléctrico

q

P

r

PSfrag replacements ur

Figura 1.6: carga puntual q situada en el origen

E(r) = Keq

r2ur (1.25)

Función radial de simetria esférica, todos los puntos situados sobre una esfera de radio r y centrada en laposición de la carga q, tiene el mismo valor de campo.Por la integral de gauss:

∮

sE · undS =

Q

εoE · un = E

Constante para una superficie gausiana esférica de radio r. Asi.∮EdS =

q

εo=⇒ E

∮dS =

q

εo

E(4πr2) =q

εo

E =q

4πεor2(1.26)

1.5. CAMPOS Y POTENCIALES ELECTROSTÁTICOS 11

PSfrag replacements

ur

q

E

Figura 1.7: función radial

Potencial eléctrico

Φ(r) = Keq

r

Φ(r) =q

4πεor(1.27)

Consiguientemente cualquier esfera centrada en la posición de q es una superficie equipotencial.Puede verificarse que: E = −∇Φ, en efecto:

E = −dΦ

drun = −

[d

dr

(Keq

r

)]ur

E(r) = Keq

r2ur

Esto prueba que el campo eléctrico, en cualquier punto es perpendicular a la equipotencial correspondientey que se orienta de mayor a menor potencial.

1.5.2. Distribuciones continuas

Distribución lineal uniforme λ

Campo eléctrico

Fuente lineal de extención infinita.según:

E = Ke

∫dq

‖r− r′‖3(r− r′) (1.28)

con:dq = λdl = λ|dr′| (1.29)

resulta:

E = Keλ

∫ ∞

−∞

|dr|‖r− r′‖3

(r− r′)

integral vectorial que puede resolverse escalarmente en una base cartesiana según:


0PSfrag replacements

∞

−∞

r′

P

x y

z

r

Figura 1.8: Distribución lineal uniforme λ

r = (0, y, 0) r′ = (0,0, z) r− r′ = (0, y,−z)‖r− r′‖3 = (y2 + z2)3/2 dr = (0, 0, dz) dl = |dr′| = dz

con lo que:

E = Keλ

∫ ∞

−∞

dz

(y2 + z2)3/2(0, y,−z) (1.30)

de este modo:

Ex = 0; Ey = Keλy

∫ ∞

−∞

dz

(y2 + z2)3/2; Ez = −Keλ

∫ ∞

−∞

zdz

(y2 + z2)3/2(1.31)

puede demostrarse, al resolver la integral inmediata, que Ez = 0, y que al sustituir

Z = y tan θ

Ey = Keλy

∫ π/2

−π/2

ysec2θdθ

y3sec3θ(1.32)

llegamos a:

Ey =2Keλ

y=⇒ ~E =

2Keλ

yun (1.33)

campo perpendicular a su frente y que al ser inversamente proporcional a la distancia presenta simetriacilíndrica. Tal condición nos permite simplificar su cálculo, usando la integral de gauss, una superficiecilindrica de radio y, y longitud H , como se detalla en la figura 1.9


E

PSfrag replacements

ur

λ

y

H

Figura 1.9: aplicación de la ley de Gauss

∮E · undS =

Q

εo∮Euy · undS =

λH

εo

E

∮dS =

λH

εo

E(2πyH) =λH

εp

E =λ

2πεoy(1.34)

Distribución lineal uniforme λ


Distribución lineal uniforme λ, sobre una fuente lineal de extención infinita:

Φ(r) = Ke

∫dq

‖r− r′‖ (1.35)

utilizando:r = (0, y, 0) r′ = (0, 0, z)

r− r′ = (0, y,−z) ‖r− r′‖ = (y2 + z2)1/2

dl = |dr| = dz

resultaΦ = Keλ

∫ ∞

−∞

dz

(y2 + z2)1/2(1.36)

y al sustituir:z = y tan θ (1.37)

se llega a:

Φ = Keλ

∫ π/2

−π/2

y sec2 θdθ

y sec θ(1.38)


Φ = Keλ

∫ π/2

−π/2sec θdθ = 2Keλ

∫ π/2

0sec θdθ

Φ = 2Keλ

∣∣∣∣∣ ln(z

y+

1

y

√y2 + z2

)∣∣∣∣∣

/∞

0

que equivale a calcular(por ser indeterminado)

Φ = 2Keλ ln

[lımz→∞

(z

y+

√y2 + z2

y

)](1.39)

Φ =λ

2πεoln

1

y=⇒ Φ = − λ

2πεoln y (1.40)

nuevamente puede verificarse que:E = −∇Φ

E = − d

dy

(− λ

2πεoln y

)uy

E =λ

2πεoyuy (1.41)

Distribución lineal uniforme λ sobre una espira circular de radio a

Campo eléctrico

r = (0, 0, z) r′ = (a cosφ, a senφ, 0)r− r′ = (−a cosφ,−a senφ, z) dl = |dr′| = adφ =⇒ dQ = λadφ

E = Keλa

∫ 2π

0

dφ

(a2 + z2)3/2(−a cos φ,−a senφ, z) (1.42)

resultando:Ex = Ey = 0 (1.43)

Ez = 2πKeλaz

(a2 + z2)3/2=⇒ Ez =

λa

2εo

z

(a2 + z2)3/2(1.44)

campo axial que presenta un máximo en z =√

22 a

Potencial electrostático correspondiente

Φ = Keλa

∫ 2π

0

dφ

(a2 + z2)1/2(1.45)

Φ = Keλa2π√a2 + z2

=⇒ Φ =λa

2ε0√a2 + z2

(1.46)

que presenta un máximo en z = 0


PSfrag replacements

φ

a

x y

z

dl

0

P

Figura 1.10: espira circular

Distribución superficial uniforme σ sobre una lámina circular de radio a

Campo eléctrico

E = Ke

∫dq

‖r− r′‖3(r− r′)

r = (0, 0, z) r′ = (r′ cosφ, r′ senφ, 0)

r− r′ = (−r′ cosφ,−r′ senφ, z) ‖r− r′‖3 = (r′2 + z2)3/2

PSfrag replacements

ds = r′dr′dφdq = σr′dr′dφ

x y

z

P

0 a

Figura 1.11: distibución σ uniforme

E = Keσ

∫ a

0

∫ 2π

0

r′dr′dφ(r′2 + z2)3/2

(−r′ cosφ,−r′ senφ, z) (1.47)

Ex = Keσ

∫ a

0

r′2dr′

(r′2 + z2)3/2

∫ 2π

0− cosφdφ =⇒ Ex = 0 (1.48)

Ey = Keσ

∫ a

0

r′2dr′

(r′2 + z2)3/2

∫ 2π

0− senφdφ =⇒ Ey = 0 (1.49)


Ez = Keσz

∫ a

0

r′dr′

(r′2 + z2)3/2

∫ 2π

0dφ =⇒ Ez = 2πKeσz

1√r′2 + z2

/0

a

Ez =σ

2ε0

[1− z√

a2 + z2

](1.50)

en particular ∀ z = 0 =⇒ Ez =σ

2ε0

y ∀ z =∞ =⇒ E = 0Puede darse un enfoque difernte a la solución del problema si consideramos la lamina circular como unayuxtaposición de anillos de radio r ′, en el rango:

0 ≤ r′ ≤ a

y establecemos la correspondencia(fig 1.12)luego el aporte diferencial de cada anillo de radio r’ resulta ser:

PSfrag replacements

dφ

dφ

dq = λr′dφ dq = σr′dφdr′

λ = σdr′

r′r′

r

Figura 1.12: anillos de radio r’

dEz =σz

2ε0

r′dr′

(r′2 + z2)3/2(1.51)

Ez =σz

2ε0

∫ a

0

r′dr′

(r′2 + z2)3/2

finalmente:

Ez =σ

2ε0

[1− z√

a2 + z2

](1.52)

Potencial electrostático

Φ(r) = Ke

∫dQ

‖r− r′‖ con dQ = σr′dr′dφ

y:‖r− r′‖ = (r′2 + z2)1/2


con lo que:

Φ = Ke

∫ a

0

∫ 2π

0

σr′dr′dφ(r′2 + z2)1/2

=⇒ Φ = Keσ2π

∫ a

0

r′dr′

(r′2 + z2)1/2(1.53)

Φ =σ

2ε0

∣∣∣∣∣√r′2 + z2

∣∣∣∣∣

a

0

Φ =σ

2ε0

∣∣∣∣∣√a2 + z2 − z

∣∣∣∣∣ (1.54)

Distribución superficial uniforme σ sobre una lámina de extención infinita

Campo eléctrico

E = Ke

∫dQ

‖r− r′‖3(r− r′)

dQ = σdS = σdydz

0

PSfrag replacements

x

y

z

P

dq

r′

r

Figura 1.13: Lámina de extensión∞

r = (x; 0; 0) r′ = (0; y; z)

r− r′ = (x;−y;−z) ‖r− r′‖3 = (x2 + y2 + z2)3/2

E = Ke

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

σdydz

(x2 + y2 + z2)3/2(x;−y;−z) (1.55)

Ex = Keσx

∫ ∞

−∞dy

∫ ∞

−∞

dz

(k2 + z2)3/2donde : k2 = x2 + y2 (1.56)

y con el cambio de variable: z = k tan θ la integral:

∫ ∞

−∞

dz

(k2 + z2)3/2=⇒

∫ π/2

−π/2

k sec2 θdθ

k3 sec3 θ=

2

k2(1.57)


Ex = 2Keσx

∫ ∞

−∞

dy

x2 + y2con y = x tanφ (1.58)

se transforma en:

Ex = 2Keσx

∫ π/2

−π/2

x sec2 φdφ

x2 sec2 φ(1.59)

Ex = 2πKeσ =⇒ Ex =σ

2ε0=⇒ Ex =

σ

2ε0ux (1.60)

puede verificarse que Ey = Ez = 0Es un campo perpendicular a la lámina, y de módulo constante que cumple condiciones de simetría parasimplificar su cálculo mediante la aplicación de la integral de gauss. En efecto:

PSfrag replacements

σ

1

2

S

Figura 1.14: aplicación de la ley de Gauss

∮

sE · undS =

Q

ε0equivalente en este caso a:

∮

1E · unds+

∮

2E · unds =

σS

ε0

para 1 y 2 de la figura 1.14 =⇒ E · undS = EdS, esto es:

2ES =σS

ε0

E =σ

2ε0

E =σ

2ε0un (1.61)


Distribución superficial uniforme σ, sobre lámina infinita


Φ = Ke

∫dQ

‖r− r′‖

resulta para: dQ = σ dydz

r = (x; 0; 0)

r′ = (0; y; z)

r− r′ = (x;−y;−z)‖r− r′‖ = (x2 + y2 + z2)1/2

de solución muy engorrosa. Sin embargo podemos intentar una solución alternativa según:

E = −∇Φ

que en el caso mencionado se reduce a:

E =σ

2ε0ux con ∇ =

(d

dx

)ux

luegoσ

2ε0ux = −dΦ

dxux

y ∫ Φ

0dΦ = − σ

2ε0

∫ x

0dx

con lo que:Φ(x) = − σ

2ε0x (1.62)

donde se ha tomado arbitrariamente Φ = 0 para x = 0

Apatallamiento electrostático

Proceso que, esencialmente, consiste en confinar el campo eléctrico de un sistema cargado a determina-da región del espacio.Puede verificarse la ocurrencia de tal proceso en el siguente sistema eléctrico: Se trata de dos láminas parale-las de extensión infinita con distribuciones uniformes de diferente polaridad pero de igual valor absoluto(fig1.15).Observe que en todas las regiones:

|E+| = |E−|Y que el campo total, en cualquir punto, debe cacularse según el principio de superposición.Tendremos oportunidad de hacer incapié en el apantallamiento eléctrico en la parte dedicado a los capaci-tores como condensadores de energía eléctrica.


E = 0

E = 0PSfrag replacementsE =

σ

ε0

+σ −σ

Figura 1.15: apatantallamiento electrostático

Distribución superficial uniforme σ sobre un cilindro conductor de radio a

Campo eléctrico

según la integral de Gauss∮

sGE · undS = Q

ε0

para r< a =⇒ E = 0y para r≥a

a

E

PSfrag replacements ur

a

H

r

Figura 1.16: Cilindro Conductor σ

E

∫dS =

σ2πaH

ε0

E2πrH =σ2πaH

ε0

después de simplificar:

E =σa

ε0r; o por ser un = ur

E =σa

ε0rur (1.63)


Puede ser interesante asociar la distribución σ, con una distribución λ sobre una línea coaxial con el cilindroconductor. Ello es posible si establecemos la igualdad:

λH = σ2πaH =⇒ σ =λ

2πa

Y sustituyendo en el campo eléctrico:

E =λ

2πε0rur (1.64)

que es naturalmente, equivalente a:E =

σa

ε0rur (1.65)

de modo que, en el dominio r≥a, el campo eléctrico de un cilindro conductor es idéntico al de una línea decarga coaxial con el.

Distribución superficial uniforme σ, sobre un cilindro conductor de radio a


Como el campo eléctrico correspondiente presenta simetría cilíndrica establecemos:

σa

ε0rur = −dΦ

drur

entonces: ∫ Φ

0dΦ = −σa

ε0

∫ r

1

dr

r

y:

Φ = −σaε0

ln r =σa

ε0ln

1

r(1.66)

con la elección arbitraria Φ = 0 para r = 1

Distribución uniforme ρ, en el volúmen de un cilindro de radio a

Campo eléctrico

En virtud de su simetría cilíndrica fig. 1.17 y por la integral de gauss; para el dominio r≤ a

Ei(2πrH) =ρπr2H

ε0

trás simplificar:Ei =

ρr

2ε0=⇒ Ei =

ρr

2ε0ur (1.67)

En el dominio; r≥ a fig. 1.17

Ee(2πrH) =ρπa2H

ε0

Ee =ρa2

2ε0r=⇒ E =

ρa2

2ε0rur (1.68)

Puede verificarse que Ee = Ei en r = a


PSfrag replacements

H

H

a

r

r

Figura 1.17: distribución uniforme ρ

Potencial eléctrico correspondiente

Por la ecuación: E = -∇Φ: establecemos para r ≤ a

ρr

2ε0ur = −dΦi

drur

∫dΦi = − ρ

2ε0

∫rdr

Φi = −ρr2

4ε0+ C (1.69)

Aqui la constante de integración depende del nivel cero de potencial, el cuál puede resolverse en la región r≥ a, en efecto:

ρa2

2ε0rur = −dΦe

drur

∫ Φe

0dΦe = −ρa

2

2ε0

∫ r

1

dr

r

Φe = −ρa2

2ε0ln r (1.70)

como:Φi = Φe; en r = a; resulta :

−ρa2

4ε0+ C = −ρa

2

2ε0ln a


con lo que:

C =ρa2

2ε0

(1

2− ln a

)(1.71)

Distribución superficial uniforme σ, sobre la superficie de una esfera de radio a

Campo eléctrico

Siendo el problema de simetría esférica(fig. 1.18), la integral de gauss conduce a:∀ r ≤ a

Ei(4πr2) = 0 =⇒ Ei = 0 =⇒ Ei = 0

∀ r ≥ aEe(4πr

2) =σ4πa2

ε0=⇒ E =

σa2

ε0r2ur (1.72)

como: σa2 =Q

4π; donde Q es la carga total de la esfera, resulta que:

E =Q

4πε0r2ur (1.73)

Es equivalente al campo eléctrico de una carga puntual ubicada en el centro de la esfera.

Q = 0

PSfrag replacementsQ

r

r

a

a

Figura 1.18: esferas de distribución σ

Este comportamiento es bastante general, y de hecho el campo eléctrico exterior de cualquier distribuciónde carga de una esfera, es identica al de una carga puntual ubicada en el centro de la esfera y de magnitudigual a la carga de la esfera.


Por integración de la función:

Φ(r) = Ke

∫dQ

‖r− r′‖dode:

dQ = σR sin θdφRdθ

‖r− r′‖ = (r2 +R2 − 2Rr cos θ)1/2


Φ(r) = Ke

∫ 2π

0

∫ π

0

σR2 sin θdθdφ

(r2 +R2 − 2Rr cos θ)1/2

Φ(r) =σR2

4πε02π

∣∣∣∣∣1

Rr

√r2 +R2 − 2Rr cos θ

∣∣∣∣∣

π

0

Φ(r) =2πσR

4πε0r

[r +R− (r −R)

]

Φ(r) =4πσR2

4πε0r=⇒ Q = 4πσR2 =⇒ Φ(r) =

Q

4πε0r

Este resultado confirma el comportamiento exterior de una esfera cargada por el de una carga puntual Qlocalizada al centro de la esfera(fig. 1.19).

PSfrag replacements 0R

P

Figura 1.19: esfera distribución uniforme σ

Por integración del campo eléctrico:

dΦ = −E · dr =⇒ dΦ = − Qdr

4πε0r2

∫ Φ

0dΦ = − Q

4πε0

∫ r

∞

dr

r2

Φ(r) =Q

4πε0r

Aunque aqui se tomó arbitrariamente Φ = 0 ∀ r =∞.Como en el dominio 0 ≤ r ≤ a tenemos E = 0, resulta que al interior del conductor es equipotencial y elvalor característico del potencial es, en este caso:

Φ =Q

4πε0a


Distribución uniforme ρ, sobre el volúmen de una esfera de radio a

Campo eléctrico

en la región 0 ≤ r ≤ a

Ei(4πr2) =

4πr3ρ

3ε0

trás simplificar

Ei =ρr

3ε0=⇒ E =

ρr

3ε0ur

En la región r≥ a

PSfrag replacements

a

a

r

r

ρ

ρ

Figura 1.20: E en la región r ≤ ay en r ≥ a

Ee(4πr2) =

4πa3ρ

3ε0

Ee =ρa3

3ε0r2=⇒ E =

ρa3

3ε0r2ur


En el dominio 0≤ r ≤ a ∫dΦ = − ρ

3ε0

∫rdr

Φi = −ρr2

6ε0+ C

En el dominio r ≥ a ∫ Φ

0dΦ = −ρa

3

3ε0

∫ r

∞

dr

r2

Φe =ρa3

3ε0r

Por la condición de frontera: Φi = Φe en r = a de modo que:

−ρa2

6ε0+ C =

ρa2

3ε0=⇒ C =

ρa2

2ε0

si naturalmente elegimos Φ = 0 en r =∞


1.6. Energía Electrostática

Se denomina energía electrostática, al equivalente eléctrico de la energía mecánica necesaria para trasladarestáticamente una carga de prueba q entre dos puntos de un campo eléctrico E, siguiendo una trayectoriaapropiada, aunque arbitraria(fig. 1.21). El trabajo realizado por la fuerza mecánica, entre p i y pf es:

Wm = −∫ rf

ri

Fm · dr

Tratandose de una traslación cuasiestática, en todo punto debe cumplirse la igualdad:

PSfrag replacements

Pi

PfFm

Fe

ri

rf

q

0

Figura 1.21: trabajo realizado por una carga q

Fm + Fe = 0 donde Fe = qE(r)

de modo que:

Wm = −∫ rf

ri

−Fe · dr = q

∫ rf

ri

E(r) · dr

como:E = −∇Φ(r)

y:∇Φ(r) · dr = dΦ(r)

resulta:Wm = −q

∫ rf

ri

dΦ(r) si :

Φ(rf ) = Φf ; Φ(ri) = Φi

llegamos a:

Wm = −q[Φf − Φi

]=⇒Wm = q

[Φi − Φf

]

Del análisis precedente concluimos que:

a) Un campo eléctrico traslada una carga positiva de mayor a menor potencial.

b) Un campo eléctrico traslada una carga negativa de manor a mayor potencial.

1.6. ENERGÍA ELECTROSTÁTICA 27

c) El movimiento de una carga libre en un campo eléctrico satisface un principio de conservación similaral de la energía macánica, si en él sustituimos la energía potencial gravitacional por la energía potencialeléctrica, esto es:

(1

2mv2 + qΦ)i = (

1

2mv2 + qΦ)f

d) Por tanto es posible establecer la conversión de energía mecánica en energía eléctrica.

e) La medición de energía eléctrica involucra procedimientos de medición de energía mecánica.

f) Lo esencialmente medible de un campo elétrico es la diferncia de potencial o potencial relativo.

g) Al carecer de significado físico el potencial absoluto, la elección de un referencial nulo de potencial pasaa constituirse en una solución de contorno. Por ejemplo, para problemas eléctricos de simetría esférica,la elección Φ(∞) = 0, resulta muy ventajosa.

1.6.1. Evaluación de la energía eléctrica

a) Sistema discreto de N cargas puntuales.designando conWj , el trabajo realizado para trasladar la carga qj ,desde un punto Φ = 0 hasta la posiciónrj fig. 1.22, anotamos:

Wj = qjΦi

donde:Φi =

∑

i

Keqi

‖rj − ri‖

es decir:Wj = qj

∑

i

Keqi

‖rj − ri‖como:

W =∑

j

Wj

y con el propósito de sumar ambos índices i y j de 1,2,·... N escribimos:

PSfrag replacements

qi

qj

ri rj

0

Figura 1.22: Sistema discreto de N cargas

W =1

2

i=N∑

i=1

j=N∑

j=1j 6=i

Keqiqj

‖rj − ri‖


que resulta equivalente a :

W =1

2

N∑

j

qjΦj =1

2

N∑

i

qiΦi

b) Sistemas con distribución continua de cargaEn estos casos resultará:

W =1

2

∫ΦdQ

donde:

dQ =

σdS (conductores)

ρdV (no conductores)

de modo que en general:

W =1

2

∮

SσΦdS +

1

2

∫

VρΦdV

donde S representa simbólicamente la superficie de un conductor y V el volúmen de un no conductor odieléctrico.Algo más, como la superficie de cualquier conductor es equipotencial, la energía eléctrica equivalente alproceso de carga de cualquiera de ellos es:

W =1

2Φs

∮

sσds =⇒W =

1

2ΦQ

de este modo, por ejemplo, para un conductor esférico de radio R y carga Q, obtendremos:

W =1

2Q

(Ke

Q

R

)=⇒W =

1

2Ke

Q2

R

1.7. Ecuación de Laplace

Las soluciones de la ecuación:∇2Φ = 0

Deben interpretarse como funciones de distribución del potencial en espacios vacios o libres de carga eléc-trica. Tales soluciones se obtienen facilmente en situaciones de alta simetria, como se detalla a continuación:ı) Simetría plana o cartesiana: Φ = Φ(x)en este caso:

d2Φ

dx2= 0 =⇒ dΦ

dx= A

con lo que Φ resulta:Φ(x) = Ax+B (1.74)

ıı) Simetría cilíndrica. Si r simboliza el radio del cilindro: Φ = Φ(r)

1

r

d

dr

[rdΦ

dr

]= 0 =⇒ r

dΦ

dr= A =⇒ dΦ

dr=A

r

entonces:Φ(r) = A ln r +B (1.75)

1.8. ECUACIÓN DE POISSON 29

ııı) Simetría esférica: Φ = Φ(r), aqui r representa el radio esférico.

1

r2

d

dr

[r2dΦ

dr

]= 0 =⇒ r2dΦ

dr= −A =⇒ dΦ

dr= −A

r2

entonces:Φ(r) =

A

r+B (1.76)

En todos los casos A y B, deben determinarse con las condiciones de contorno.

1.8. Ecuación de Poisson

Las soluciones de la ecuacíon:∇2Φ = − ρ

ε0

representan las funciones de distribución de potenciales en medios materiales con distribuciones continuasde carga eléctrica.Para leyes ρ constantes y fuentes con simetría planas, cilíndricas o esféricas, se desarrollan soluciones in-mediatas, como se detallan a continuación:ı) Simetría plana Φ = Φ(x), de modo que:

d2Φ

dx2= − ρ

ε0=⇒ dΦ

dx= − ρ

ε0x+A

entonces Φ(x) es:Φ(x) = − ρ

2ε0x2 +Ax+B (1.77)

ıı) Simetría cilíndrica: Φ = Φ(r)

1

r

d

dr

[rdΦ

dr

]= − ρ

ε0=⇒ r

dΦ

dr= − ρ

2ε0r2 +A

entonces:dΦ

dr= − ρ

2ε0r +

A

r

portanto:Φ(r) = − ρ

4ε0r2 +A ln r +B (1.78)

ıı) Simetría esférica: Φ = Φ(r)

1

r2

d

dr

[r2dΦ

dr

]− ρ

ε0=⇒ r2dΦ

dr= −dΦ

dr= − ρ

3ε0r3 −A

entonces:dΦ

dr= − ρ

3ε0r − A

r2

portanto obtenemos:

Φ(r) = − ρ

6ε0r2 +

A

r+B (1.79)

En todos los casos, las constantes A y B se determinarán por condiciones de contorno.Ejemplos


1. Dos placas conductores paralelas separadas una distancia d se mantienen a una diferencia de potencialV0, si el volúmen entre los conductores tiene una distribución uniforme ρ (fig. 1.23), encontrar:

a) La función Φ(x)

b) El campo eléctrico entre las placas.

PSfrag replacements

ρ

x0 d

V = 0 V = V0

Figura 1.23: Placas conductores con ρ en su interior

Solución: Se encontró la solución general de la ecuación de Poisson para simetría plana:

Φ(x) = − ρ

2ε0x2 +Ax+B

según la figura 1.23∀x = 0 =⇒ V = 0

∀x = d =⇒ V = V0

Tales condiciones de contorno, aplicadas a la solución general de Φ para simetrías planas, nos permi-tirán calculara A y B; según:

0 = B

V0 =ρ

2ε0d2 +Ad =⇒ A =

V0

d+ρd

2ε0

de modo que:

Φ(x) = − ρ

2ε0x2+

(V0

d+ρd

2ε0

)x

en el dominio 0≤ x ≤ dPara el campo eléctrico tenemos:

E(x) = −dΦ

dxux

resulta:

E =

[ρ

ε0x− V0

d− ρd

2ε0

]~ux ∀ 0 ≤ x ≤ d

En particular sí ρ = 0, es decir sí entre las placas conductoras se estableciera el vacio los resultados sereducirían a:

Φ(x) =V0

dx

E = −V0

dux

1.9. POLARIZACIÓN ELÉCTRICA 31

2. Dos conductores esféricos de radios a y b (a < b) se disponencon concentricamente y se mantienen apotenciales Va y Vb respectivamente. si Va > Vb; determinar:

a) La distribución radial de potenciales

b) El campo eléctrico en el dominio: a ≤ r ≤ b.

Solución: Dado que ρ, entre los conductores y tratandose de una simetria esférica, utilizamos laec. 1.76

Φ(r) =A

r+B

de acuerdo a las condiciones de contorno:

Va =A

a+B

Vb =A

b+B

cuyas soluciones son:

A =ab(Va − Vb)

b− aB = bVb − aVa

de modo que:

Φ(r) =ab(Va − Vb)

b− a1

r+ bVb − aVa

E(r) =

[ab(Va − Vb)

b− a

]1

r2ur

1.9. Polarización Eléctrica

Se denomina así al proceso por el cuál un material no conductor, adquiere propiedades eléctricas. Talefecto es detectable cuando un campo electrostático actúa sobre un dieléctrico.En lo que sigue enfocaremos, desde un punto de vista macroscópico la polarización de un dieléctrico.

1.9.1. Dipolo Eléctrico

EL dipolo eléctrico es, en general, una configuración estable formada por dos cargas de igual magnitud,launa positiva, y la otra negativa, separadas una distancia pequeña(fig. 1.24).A pesar del consiguente apantallamiento, originado por la polaridad opuesta de las cargas, el campo eléctricodipolar no se nulifica, aunque se debilita ostenciblemente.De hecho el potencial eléctrico dipolar, según la disposición gráfica(fig. 1.24) que se muestra a continuaciónes:

Φ(r) = Keq

[1

‖r− l‖ −1

r

]

como:

‖r− l‖−1 =

(r2 + l2 − 2r · l

)−1/2

= r−1

(1− 2r · l

r2+l2

r2

)−1/2

32 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICAPSfrag replacements

l

+q

−q r0

P

Figura 1.24: Configuración dipolar

llegamos a la conclución que la función Φ(r) depende, en particular, de la razónl

r. Ahora bién sí restringi-

mos el desarrollo a un cociente:l

r<<< 1

de modo que podamos aproximar: (l

r

)n≈ 0

a partir de n = 2; llegamos a:

‖r− l‖−1 ∼= r−1

(1− 2r · l

r2

)−1/2∼= r−1

(1 +

r · lr2

)

‖r− l‖−1 ∼= 1

r+

r · lr3

y reemplazando

Φ(r) ∼= Keq

[1

r+

r · lr3− 1

r

]

Φ(r) ∼= Keqr · lr3

Finalmente sí definimos la configuración dipolar por el vector constante:

p = lıml→0q→∞

ql

entonces:Φ(r) = Ke

p · rr3

al vector p se denomina momento dipolar, algo más, puesto que E = −∇Φ(r) resulta

E = −Ke∇(

p · rr3

)= −Ke(p · ∇)r−3r

por ser p un vector constante, continuando el desarrollo:

E(r) = −Ke

[r(p · ∇)r−3 + r−3(p · ∇)r

]

E(r) = −Ke

[r(−3r−4)(p · ∇)r + r−3(p · ∇)r

]

(p · ∇)r = r−1(p · r) y (p · ∇)r = p

1.9. POLARIZACIÓN ELÉCTRICA 33

entonces:

E(r) = Ke

[(3p · rr5

)r− p

r3

]

puesto que r = rur, también es:

PSfrag replacements PP

r

rpp

00

ur

Figura 1.25: Momento dipolar eléctrico p

E(r) = Ke

[(3p · urr3

)ur −

p

r3

]

y para un origen O arbitrario fig. 1.26

PSfrag replacements

p r − r′

r′r

0

Figura 1.26: Momento dipolar eléctrico

E(r) = Ke

[3p · (r− r′)

‖r− r′‖5

](r− r′)− p

‖r− r′‖3

Φ(r) = Ke

[p · (r− r′)

‖r− r′‖3

]

Es ilustrativo verificar la neutralidad eléctrica del dipolo usando la integral de gauss fig. 1.27∮

SGE(r) · undS =

Q

ε0

que para el campo dipolar debe ser: ∮

SGE(r) · undS = 0

Aunque el resultado no depende de la superficie gaussiana elegida ni de la posición relativa del dipolo alinterior de dicha superficie, facilitaremos la verificación usando una esfera de radio r, centrada en la posicióndel dipolo; esto es:


PSfrag replacements

p

θ

φr

Figura 1.27: Neutralidad del p

E(r) = Ke

[3p · unr3

un −p

r3

]

dS = r2 sen θdθdφ

un = ur; p · ur = p cos θ

entonces:

∮E(r) · undS = Ke

∮ [(3p · ur

r3

)ur −

p

r3

]· unr

2 sen θdθdφ

= Ke

∮ (3pcosθ

r3− p cos θ

r3

)r2 sen θdθdφ

=2Kep

r

∫ 2π

0dφ

∫ π

0sen θ cos θdθ =

2πKep

rsen2 θ

∣∣∣∣π

0

= 0

1.10. Efecto de un campo eléctrico sobre un dipolo

Consideremos un potencial descrito por la función Φ(r). El situar un dipolo en dicho campo, conduce ados problemas de bastante interes a saber:I) La energía mecánica necesaria para tal localizaciónII) Los efectos dinámicos subsecuentes.Para resolver ambas situaciones partiremos de la imagen primaria dipolar(fig. 1.28)Energía mecánica:

W = −qΦ(r) + qΦ(r + l)

y para l << r

Φ(r + l) ∼= Φ(r) + (l · ∇)Φ(r); luego

W ∼= −qΦ(r) + qΦ(r) + q(l · ∇)Φ(r)

W ∼= q(l · ∇)Φ(r)

en términos de ~p:

1.10. EFECTO DE UN CAMPO ELÉCTRICO SOBRE UN DIPOLO 35

PSfrag replacements

Φ(r)

Φ(r + l)

l

r

0

r + l

+q

−q

Figura 1.28: Energía eléctrica

W = (p · ∇)Φ(r) = p · ∇Φ(r)

E = −∇Φ

W = −p · E(r) (1.80)

que también simboliza la energía potencial eléctrica del dipolo p en el campo E(r)

Efecto dinámico:

a) Traslación:

F = −qE(r) + qE(r + l)

para l <<< r

E(r + l) ∼= E(r) + (l · ∇)E(r)

F ∼= −qE(r) + q(l · ∇)E(r) + qE(r)

F ∼= q(l · ∇)E(r)

y en terminos de P

F = (p · ∇)E(r)

siendo p, un vector constante:

F = ∇(p ·E(r))

F = −∇We (1.81)

b) Rotación: El momento resultante respecto a 0 es:

τ0 = −r× qE(r) + (r + l)× qE(r + l)

en función de los desarrollos acotados:

τ0∼= −r× qE(r) + (r + l)× q [E(r) + (l · ∇)E(r)]

trás simplificar:τ0∼= ql×E(r) + r× q(l · ∇)E(r)


y en terminos de pτ0 = p×E(r) + r×∇(p ·E(r))

tomando el centro de momentos en la posición del dipolo, reducimos el resultado al torque eléctrico:

τ0 = p×E(r)

éste efecto direccional nos permitirá formular teóricamente la polarización de un dieléctrico.

1.11. Teoria macroscópica de la polarización

Recuerde que los dieléctricos carecen de portadores libres. a esta clase pertenecen, entre otros materiales,el vidrio, el nilon, el azufre, el caucho, el petroleo, el agua destilada, el aire, el anhidrido carbónico . . . ..Revizando las fórmulas químicas estructurales de una molécula de H20 y otra de C02

Se evidencia que la primera presenta un momento dipolar neto, mientras la segunda es apolar. De modoPSfrag replacements

000

H

H

p

p1

p1

p2

p2

C

Figura 1.29: Moléculas de H2O y CO2

que los dieléctricos pueden ser clasificados como polares y no polores, a pesar de todo, ningun dieléctricogenera expontaneamente efectos eletrostáticos pero, una vez polarizados estos efectos son particularmentenotables. La inmerción de una bateria en una cubeta con agua, polariza el líquido, estableciendose en él ungradiente de potencial peligroso.La acción de un campo eléctrico es impresindible en la polarización de un dieléctrico. el por qué del proceso,solo lo podríamos responder a nivel proporcional en el universo de la fisíca clásica. Cualitativamente, lapolarización de un dieléctrico no polar puede deberse al efecto de la fuerza:

F = ∇(p · E) (1.82)

Que originaría una redistribución de la carga eléctrica molecular, mientras la polarización de un dieléctricopolar debería ser el resultado del momento eléctrico:

τ0 = p×E (1.83)

que tendería a orientar los dipolos moleculares en la dirección del campo polarizante.Ambas hipótesis proponen la neutralidad eléctrica del dielétrico polarizado.cualquiera sean los detalles específicos del proceso podemos calcular el potencial de un dielétrico polarizado,si a cada elemento de volúmen ∆V , de la muestra, asociamos un momento dipolar ∆p. Para eliminar ladependencia entre ∆p y ∆V , definimos la polarización P del dieléctrico, como la razón:

P = lım∆V→0

∆p

∆V=dp

dV(1.84)

Así P es un campo vectorial cuya extención esta definida por el volúmen del dieléctrico. Ahora bién el

1.11. TEORIA MACROSCÓPICA DE LA POLARIZACIÓN 37

PSfrag replacements

dp = P (r′)dV

0

r

r′

r − r′P

Figura 1.30: Vector Polarización

potencial de un dipolo elemental de p, será:

dΦ(r) = Kedp · (r− r′)

‖r− r′‖3

Φ(r) = Ke

∫P(r′) · (r− r′)

‖r− r′‖3dV

como quiera que:r− r′

‖r− r′‖3= ∇′‖r− r′‖−1

entonces:Φ(r) = Ke

∫

VP(r′) · ∇′‖r− r′‖−1

dV

integramos por partes:

∇′ · ‖r− r′‖−1P(r′) = ∇′‖r− r′‖−1 ·P(r′) + ‖r− r′‖−1∇′ ·P(r′)

∇′‖r− r′‖−1 ·P(r′) = ∇′ · P(r′)‖r− r′‖ −

∇′ ·P(r′)‖r− r′‖

de modo que:

Φ(r) = Ke

∫

V∇′ · P(r′)‖r− r′‖dV +Ke

∫

V

−∇′ ·P(r′)‖r− r′‖ dV

según el teorema de la divergencia:

Φ(r) = Ke

∮

S

P(r′) · un‖r− r′‖ dS +Ke

∫

V

−∇′ ·P(r′)‖r− r′‖ dV (1.85)

recordando que una distribución, σ(r ′) y ρ(r′), de carga libre originará una función potencial:

Φ(r) = Ke

∮

S

σ(r′)‖r− r′‖dS +Ke

∫

V

ρ(r′)

‖r− r′‖dV

podemos asociar el potencial de un dieléctrico polarizado al potencial de una distribución de carga no libredada por las funciones:


ı) sobre la superficie del dieléctrico

σp(r′) = P(r′) · un (1.86)

ıı) sobre el volúmen del dieléctrico

ρP (r′) = −∇′ ·P(r′) (1.87)

con esto tenemos:Φ(r) = Ke

∫

S

σp‖r− r′‖dS +Ke

∫

V

ρp‖r− r′‖dV (1.88)

Según este enfoque un dieléctrico polarizado es equivalente a un sistema material cargado. La consistenciamatemática del enfoque precedente está avalada porque mantiene la neutralidad eléctrica del dieléctricopolarizado, en efecto sumando las contribuciones, superficial y volumétrica de la denominada carga depolarización o latente, se demuestra que:

Qp =

∮

SP · undS −

∫

V∇ ·Pdv =

∮

SP · undS −

∮

SP · undS = 0

Resta indagar sí el modole propuesto es físicamente consistente, o para decirlo en términos más concisos;existen inicialmente las cargas de polarización ? La pregunta esta dirigida en principio a los trabajos ex-perimentales. En ellos se evidencia que muchos dieléctricos de composición homogénea manifiestan uncomportamiento lineal e isotrópico respecto a la acción polarizante de un campo eléctrico. Estas observa-ciones experimentales conducen a la ecuación:

P = ε0χeE (1.89)

Donde la constante universal ε0 aparece por razones de simetría y χe > 0, es la constante caracteristico deldielétrico. La suceptibilidad eléctrica del dieléctrico, como se denomina a esta constante, puede interpretarsecomo una medida de la inercia del dieléctrico a su polarización.Es evidente la analogía con la ley de Hook en el dominio elástico de los resortes más aún, si evidenciasexperimentales confirman que los dieléctricos, al igual que los resortes, recuperan su estado original aleliminar el campo polarizante siempre y cuando la magnitud del campo no exeda determinados valorescríticos. A estos valores máximos, uno para cada dieléctrico, se los denomina genéricamente tensiones deroptura. Concretamente la ecuación:

P = ε0χeE

Simboliza el comportamiento elasto-eléctrico de un dieléctrico y nos permite avanzar en la descripcióncuantitativa de la polarización, pués a través de:

ρp = −∇ ·P

podemos repostular la ecuación fundamental:

∇ · E =ρ

ε0

considerando ρp; es decir:

∇ ·E =ρ+ ρpε0

(1.90)

o∇ · ε0 ~E = ρ−∇ ·P

1.11. TEORIA MACROSCÓPICA DE LA POLARIZACIÓN 39

y∇ · (ε0E + P) = ρ

Introducimos el campo auxiliar:D = ε0E + P (1.91)

reducimos a:

∇ ·D = ρ =⇒∮

SGD · undS = Q (1.92)

Donde ρ representa la ley de distribución de cargas libres, y Q la carga total libre encerrada por la superficiegaussiana.en los dieléctricos LIH (lineales,isotrópicos,homogeneos)

P = ε0χeE

y reemplazando en D:D = ε0E + ε0χeE = ε0(1 + χe)E

definiendo la permitividad ε del dieléctrico por:

ε = ε0(1 + χe) (1.93)

y la permitividad relativa por:

K =ε

ε0= 1 + χe (1.94)

concluimos que:D = ε0KE (1.95)

Como D es el campo producido por las cargas libres y ~E el campo generado por cargas libres y de polar-ización , este último es más debil que el primero, esto es:

E =D

ε0Kcon K > 1

La inclusión del vector auxiliar D, llamado vector desplazamiento, resuelve satisfactoriamente la preguntaformulada en referencia a las cargas de polarización.El debilitamiento que experimenta el campo eléctrico de un conductor cargado inmerso en un fluido dieléc-trico, sólo puede deberse al apantallamiento electrostático que las cargas de polarización, inducidas en eldieléctrico, producen sobre las cargas libres del conductor. Este apantallamiento patentiza la existencia físi-ca de las cargas latentes o de polarización.Para concluir, analizaremos la respuesta eléctrica de un conductor esférico de radio R, y carga total Q, rodea-do por un dieléctrico gaseoso de constante K.para r ≥ R y según:

∮D · undS = Q

que por la simetría esférica del sistema se transforma en:

D(4πr2) = QD =Q

4πr2ur


PSfrag replacements

Q

Ke

R

Figura 1.31: Conductor esférico

por lo tanto:

E =Q

4πε0Kr2ur

P = ε0(K − 1)Q

4πε0Kr2ur

P =(K − 1)Q

4πKr2ur

podemos calcular las cargas de polarización según:

a) σp = P · unb) ρp = −∇ ·P

a) P en la superficie del dieléctrico es:

P =(K − 1)Q

4πKR2ur

y un = −ur el unitario normal a la superficie del dieléctrico es opuesto al unitario normal a la superficiedel conductor,de manera que:

σp = +(K − 1)Q

4πKR2ur · (−ur)

σp = −(K − 1)Q

4πKR2

y la carga total de polarización en la superficie interna del dieléctrico resulta ser:

Qp = −(K − 1

K

)Q

la carga neta, QN , que origina el campo eléctrico es:

QN = Q+Qp

QN = Q−(K − 1

K

)Q

QN =Q

K

como resultado del apantallamiento enunciado.La figura 1.32 puede ser útil para comprender lo explicado:

1.12. CONDICIONES DE CONTORNO 41

Ke > 1

PSfrag replacements

Ke > 1 Q

++++

+

++

+ +

++

++

++

+

+

+

++++

++

+

+

++ + +

+

+

+

+

+

++

++

+

+

+

+

++

+

−−− −

− − −−−−−−

−−−−

−−

−−

−−

− − − −−−

−−

−−

Q

Ke

Ke = 1

Figura 1.32: carga Neta que origina el E

b) como P(r) presenta simetría esférica:

ρp = − 1

r2

d

dr

[r2 (K − 1)Q

4πKr2

]

ρp = 0

Los procesos de polarización descritos, el íonico y el de orientación, son transcitorios y concluyen tanpronto se anule el campo polarizante, sin embargo hay materiales que presentan polarización permanenteaún después de eliminar el campo eléctrico: Es el caso de los denominados ferroeléctricos(compuestos detitanio y bario) y el de los llamados electretos que se fabrican usando ciertas ceras o plásticos. En estosmateriales se pierde la linealidad e isotropía y en general su suceptibilidad es alguna función del campo, esdecir, se rigen por una ecuación del tipo:

P = χ(E)E (1.96)

1.12. Condiciones de contorno

Las ecuaciones fundamentales de la electrostática, explicadas en los puntos que comparten dos dieléc-tricos LIH polarizados, permiten relacionar la magnitud de sus campos. Dichos puntos que pertencen a lasuperficie de separación o interfase de los dieléctricos, satisfacen las denominadas condiciones de contornoo frontera. La primera está relacionada con la ecuación:

∮

CE · dr = 0

aplicada a la curva cerrada ABCD de la figura 1.33 En este caso:∫ B

AE1 · dr1 +

∫ D

CE · dr2 + Λ1 + Λ2 = 0

donde Λ1 y Λ2 representan las circulaciones adicionales respectivas: Para llegar a la interfase, tantoBC como DAdeben tender a cero, y en estas condiciones:

∫E1 · dr1 +

∫E2 · dr2 = 0 (1.97)


PSfrag replacements E1

E2

un

K1

K2

A B

CD

Figura 1.33: Interfase entre dos dieléctricos

donde: dr1 = dlut, y dr2 = −dlut reemplazando y factorizando:∫

(E1 −E2) · utdl = 0 (1.98)

que se cumple si: E1 · ut = E2 · ut =⇒ E1t = E2t, o en función del versor normal un:(E1 −E2)× un = 0Dicho de forma literal: "En cualquier punto de la interfase, las componentes tangenciales(en referencia ala interfase) de los campos eléctricos tienen la misma magnitudAl analizar la segunda solución de continuidad, recordemos que:

S

PSfrag replacements

D1

D2

K1

K2

σ

S1

S2

un

u′n

s

Figura 1.34: Interfase para D1 y D2

D · un = σ =⇒∫

SD · undS =

∫

sσdS

y aplicado al caso que nos ocupa toma la forma: fig. 1.34∫

S1

D1 · undS +

∫

S2

D2 · u′ndS + Φ =

∫

sσdS (1.99)

1.13. DENSIDAD DE ENERGÍA ELÉCTRICA 43

Donde Φ, representa el flujo de los campos por la superficie lateral del cilindro S1S2. En la interfase S1 =S2 = S, y la altura tiende al valor cero; en estas condiciones:

∫

SD1 · undS +

∫

SD2 · u′ndS =

∫

SσdS

como: u′n = −un llegamos a:∫

S(D1 −D2) · undS =

∫

SσdS

∫

S[(D1 −D2) · un − σ] dS = 0

que se cumple, para cualquier punto de la interfase si:

(D1 −D2) · un = σ

donde σ representa la carga superficial libre en la interfase. Si dicha superficie es vacía(σ = 0), entonces:

(D1 −D2) · un = 0

D1 · un = D2 · unD1n = D2n

que traducida literalmente constituye la segunda condición de frontera.En cualquier punto de la interface, las componentes normales(en referencia a la superficie) de los desplaza-mientos eléctricos tienen la misma magnitud

1.13. Densidad de energía eléctrica

La energía eléctrica, para distribuciones σ y ρ, de carga libre se obtuvo por las integrales:

We =1

2

∮

SσΦdS +

1

2

∫

VρΦdV

en virtud da las relaciones:

σ = D · unρ = ∇ ·D

We =1

2

∮

SΦD · undS +

1

2

∫

VΦ∇ ·DdV

donde S es la superficie frontera entre un conductor y un dieléctrico y V el volúmen exterior a los conduc-tores.La integral de volúmen puede desarrollarse por partes según:

∇ · ΦD = ∇Φ ·D + Φ∇ ·D

por lo cuál:Φ∇ ·D = ∇ · ΦD−∇Φ ·D = ∇ · ΦD + E ·D

y: ∫Φ∇ ·DdV =

∫∇ · ΦDdV +

∫E ·DdV


reemplazando:

We =1

2

∮

SΦD · undS +

1

2

∫

V∇ · ΦDdV +

1

2

∫

VE ·DdV

ó por el teorema de la divergencia:

We =1

2

∮

SΦD · undS +

1

2

∮

SΦD · u′ndS +

1

2

∮

SGΦD · u′′ndS +

1

2

∫

VE ·DdV

las dos integrales de superficie se cancelan, pués una esta referida a la superficie conductora y la otra a ladieléctrica y para ellas:

u′n = −un

La tercera integral está referida a una superficie dilatable y sí la alejamos suficientemente de la fuente,formada por conductores y dieléctricos, se anulará, dado el comportamiento de los campos en el infinito. Demodo que:

We =1

2

∫

VE ·DdV (1.100)

donde V excluye al volúmen ocupado por los conductores, sin ánimo de generar falsas interpretaciones, sepuede afirmar que todo campo eléctrico es un campo energético caracterizado por su densidad.

Ee =dWe

dV=

1

2E ·D (1.101)

En conclución disponemos de dos integrales para calcular la energía de un sistema cargado, es decir, dosmétodos alternativos que, con el propósito de identificarlos, los designaremos como el método del potencialeléctrico y el método del campo eléctrico, respectivamente.Al terminar este capítulo, y a manera de ejemplo, validaremos ambos métodos, calculando la energía eléc-trica de una esfera de radio R y distribución uniforme ρ.

1.13.1. Método del potencial

We =1

2

∫ρΦdV

En el dominio r ≤ R, tomamos la solución esférica de la ecuación de poisson, esto es:

Φi = −ρr2

6ε0+A

r+B

donde A y B deben determinarse por condiciones de continuidad. Para la región r ≥ R, y por tratarse deuna esfera:

Φe =ρR3

3ε0r

Las condiciones de continuidad en r = R, son:

a© Φe(R) = Φi(R)

b© dΦe

dr=dΦi

dr

1.13. DENSIDAD DE ENERGÍA ELÉCTRICA 45

entonces con a© y b© hallamos los valores de A y B, esto es:

a© −ρR2

6ε0+A

R+B =

ρR2

3ε0

b© −ρR3ε0− A

R2= −ρR

3ε0

con esto tenemos:

A = 0

B =ρr2

2ε0

entonces:

Φi(r) = −ρr2

6ε0+ρR2

2ε0=

ρ

2ε0

(R2 − r2

3

)

de modo que:

We =1

2

∫ R

0

ρ2

2ε0

(R2 − r2

3

)4πr2dr

We =πρ2

ε0

∫ R

0

(R2 − r2

3

)r2dr

We =4πρ2R5

15ε0

1.13.2. Método del campo

We =1

2

∫E ·Ddv

Por la integral de gauss para r ≤ R

Ei(4πr2) =

4πr3ρ

3ε0

Ei =ρr

3ε0

Ei =ρr

3ε0ur

para r ≥ R

Ee(4πr2) =

4πR3ρ

3ε0

Ee =ρR3

3ε0r2

Ee =ρR3

3εr2ur


de esta manera:

We =1

2

∫ R

0ε0

(ρr

3ε0

)2

4πr2dr +1

2

∫ ∞

Rε0

(ρR3

3ε0r2

)2

4πr2dr

We =2πρ2

9ε0

∫ R

0r4dr +

2πρ2R6

9ε0

∫ ∞

R

dr

r2

We =2πρ2

9ε0

R5

5+

2πρR5

9ε0

We =4πρ2R5

15ε0

1.14. Capacitores, Capacitancia

El apantallamiento eléctrico nos sugiere la posibilidad de construir contenedores de energía eléctrica.Tales dispositivos denominados genericamente capacitores(condensadores) constan de dos placas conduc-toras finitas, separadas entre si una distancia constante.La finitud de las placas del capacitor introduce una ligera perturbación de los campos en el borde de lasplacas que es controlable via experimental.Trás el proceso de carga, que detallamos más adelante, una placa del capacitor adquiere carga positiva y laotra negativa y ambas de la misma magnitud. De Hecho el valor absoluto se toma como carga del capacitor.La geometría de las placas clasificará a los capacitores en: planos, cilíndricos, esféricos. Cualquiera de ellos,una vez cargado, confina el campo eléctrico al espacio entre sus placas, de este modo, la energía eléctricaasociada se almacena en el voúmen definido por sus placas y la constante de separación. Tales volúmenes,segun la figura 1.35 :

PSfrag replacements

a b

d

R

R

r

r

H

V = abd V = π(R2 − r2)H V =4

3π(R3 − r3)

Figura 1.35: formas de capacitores

El volúmen útil de un capacitor puede estar al vacío o contener materiales dieléctricos.Aunque la energía eléctrica no tiene consistencia material alguna(es en este sentido como la luz o el calor)el hecho real de constituirse en el contenido de un capacitor cargado, nos induce a pensar en la capacitan-cia(capacidad) de almacenamiento del capacitor.

1.14. CAPACITORES, CAPACITANCIA 47

Evidencias teórico-experimentales confirman que todo capacitor tiene una capacitancia definida en funciónde sus dimensiones geométricas y de las propiedades eléctricas de su núcleo o volúmen útil. El cálculo teóri-co de la capacitancia, no solo de un capacitor, sino de cualquier conductor, es variable porque el potencialΦ de un sistema cargado es proporcional a su carga Q. sólo así la razón:

Q

Φ

es una constante que numéricamente no depende de Q. Este valor define la capacitancia C del sistema; esdecir:

C =Q

Φ(1.102)

La unidad internacional de capacitancia es el Faradio(F). Un capacitor de un faradio de capacitancia, cargacon un coulomb si se establece entre sus placas una diferencia de potencial igual a un voltio.en el caso de un conductor esférico de radio R y carga total Q su potencial de superficie respecto al infinitoes:

Φ =Q

4πε0R(1.103)

de modo que su capacitancia es:

C =Q

Φ=⇒ C = 4πε0R (1.104)

Si el conductor estuviese inmerso en un fluido dieléctrico de extentensión infinita, su capacitancia habráaumentado a:

C = 4πε0KR (1.105)

donde K es la constante eléctrica del dieléctrico considerado. La presencia del dieléctrico aumenta la capac-itancia del conductor, dicho de otra manera aumenta el valor de carga de saturación, o la magnitud de sutensión de roptura. Este aumento que se verifica sin modificar el volúmen del conductor, justifica sobreman-era la sustitución del término capacidad, usado en el sentido geométrico, por el de capacitancia.El cálculo de capacitancia de un capacitor debe conducirse por:ı) Se carga hipotéticamente el capacitor.ıı) Con la información anterior se calcula la diferencia de potencial entre sus armaduras(placas).ııı) Finalmente se aplica:

C =Q

∆Φ

1.14.1. Capacitor Plano

Definido por el área A de las placas, la constante de placa d y en un núcleo vacio ε0.La distribución de potenciales esta dada por:

Φ(x) = A1x+B1

si

∀x = 0 =⇒ Φ(0) = V1

∀x = d =⇒ Φ(d) = V2

admitimos que: V1 > V2, calculamos:


PSfrag replacements A

d ε0

x

0

Figura 1.36: capacitor plano

V1 = B1

V2 = A1d+B1

V2 = A1d+ V1

despejando A1

A1 = −V1 − V2

d= −∆V

d

E = −dΦ(x)

dxux =⇒ E = −A1ux

esto es:

E =∆V

dux

E =∆V

d(a)

por la integral de gauss:

E =σ

ε0=⇒ E =

σA

ε0A

E =Q

ε0A(b)

igualando (a) y (b) llegamos a:∆V

d=

Q

ε0A

por lo que:

C =Q

∆V=⇒ C =

ε0A

d

Si se llenase el espacio entre las armaduras con un dieléctrico de constante K, la nueva capacitancia será:

C =ε0KA

d(1.106)

1.14. CAPACITORES, CAPACITANCIA 49

PSfrag replacementsA

K d

Figura 1.37: Capacitor plano llenado con un dieléctrico de constante K

PSfrag replacements

Ri

Re

Figura 1.38: Capacitor Cilíndrico

1.14.2. Capacitor Cilíndrico

Geométricamente definido por el radio interior Ri, el radio exterio Re, la longitud H y el vacio entresus armaduras ε0.La distribución de potenciales es, por la simetría cilíndrica:

Φ(r) = A ln r +B

si para:

r = Ri =⇒ Φ(Ri) = Vi

r = Re =⇒ Φ(Re) = V2

con Vi > Ve resolvemos:

Vi = A lnRi +B

Ve = A lnRe +B

Ve − Vi = A lnReRi

=⇒ A = −Vi − Veln Re

Ri

= − ∆V

ln ReRi

entonces:B = Vi +

∆V

ln ReRi

con lo que:

Φ(r) = − ∆V

ln ReRi

ln r +

(Vi +

∆V

ln ReRi

)

y

E =∆V

ln(ReRi

) urr

=⇒ E =∆V

ln(ReRi

) 1

r


Por la integral de gauss:

E(2πrH) =Q

ε0=⇒ E =

Q

2πε0Hr

de manera que:∆V

ln(ReRi

) =Q

2πε0H

finalmente:

C =2πε0H

ln

(ReRi

) (1.107)

con un dieléctrico K , entre las placas:

C =2πε0KH

ln

(ReRi

) (1.108)

1.14.3. Capacitor Esférico

Definido geométricamente por el radio interior Ri y el radio exterior Re y el vacio ε0 entre ambosconductores.Para la distribución radial de potenciales:

Φ(r) =A

r+B

y

E = −dΦ(r)

drur =⇒ E = −dΦ(r)

dr

E =A

r2

si imponemos las condiciones de contorno:

Φ(Ri) = Vi

Φ(Re) = Ve

con Vi > Ve de modo que:

Vi =A

Ri+B

Ve =A

Re+B

Vi − Ve = A

(1

Ri− 1

Re

)

∆V = A

(Re −RiRiRe

)

con lo que tenemos:

A =RiRe∆V

Re −Ri

1.15. ENERGÍA ELÉCTRICA DE UN CAPACITOR CARGADO 51

y sin calcular B determinamos:

E =RiRe∆V

(Re −Ri)r2

por la integral de gauss:

E(4πr2) =Q

ε0

E =Q

4πε0r2

al igualar:RiRe∆V

Re −Ri=

Q

4πε0

por lo cual:

C =4πε0RiReRe −Ri

(1.109)

Con dieléctrico K entre las placas esféricas:

C =4πε0KRiReRe −Ri

(1.110)

1.15. Energía eléctrica de un capacitor cargado

1.15.1. Capacitor Plano

Con los parámetros A,d,ε0 tenemos:

+

−PSfrag replacements

∆V

Figura 1.39: Energía eléctrica de un capacitor plano

We =1

2

∫E ·DdV

que al vacío es:

We =ε02

∫E2dV como : E =

∆V

d

WE =ε02

(∆V

d

)2

Ad =ε02

A

d(∆V )2

We =1

2C(∆V )2 (1.111)


1.15.2. Capacitor Cilíndrico

con los parámetro Ri, Re,H, ε0, en función del potencial ∆V de carga, tenemos:

E =∆V

ln(RERi

) 1

r

dV = 2πrHdr

We =ε02

∫ Re

Ri

∆V

ln(ReRi

)

2

2πHrdr

r2

We =2πε0H(∆V )2

2(

ln(ReRi

))2 lnReRi

We =1

2

2πε0H

ln(ReRi

)

(∆V )2

We =1

2C(∆V )2 (1.112)

1.15.3. Capacitor Esférico

con los parámetros Ri, Re, ε0, con un potencial de carga ∆V es:

E =RiRe∆V

(Re −Ri)r2

dV = 4πr2dr

We =ε02

∫ Re

Ri

[RiRe∆V

(Re −Ri)r2

]2

4πr2dr

WE =ε0Ri

2Re2(∆V )24π

2(Re −Ri)2

(1

Ri− 1

Re

)

We =1

2

[4πε0RiReRe −Ri

](∆V )2

We =1

2C(∆V )2

Concluimos que la iguladad:

We =1

2C(∆V )2

puede usarse como fórmula recurrente en el cálculo de la energía eléctrica almacenada, cualquiera sea elcapacitor cargado.

1.16. Red de capacitores

Se denomina así a un grupo de dos o más capacitores interconectados:Aunque por razones sistemáticas propondremos el análisis del proceso de carga de un capacitor, con vieneaclarar, a esta altura, que una vez cargado las placas de un capacitor se hacen perfectamente identificables

1.16. RED DE CAPACITORES 53PSfrag replacements

1 2C

Figura 1.40: Notación de un capacitor

por su polaridad a los bornes de un capacitor, como podemos observar en la figura 1.40.

de este modo al disponer de un conjunto finito de capacitores(figura 1.41)lograremos dos tipos básicos de interconexión(figura 1.42)

PSfrag replacements

1111 2222

C1 C2 C3 Cn

Figura 1.41: red de capacitores

PSfrag replacements 1

1111

1111

22222

2222

C1

C1

C2

C2

C3

C3

Cn

Cn

Figura 1.42: conexión en serie y en paralelo

La primera recibe el nombre de interconexión paralelo, la segunda llamada interconexión en serie.

1.16.1. Capacitor equivalente para la conexión en serie

Puesto que entre dos capacitores adyacentes, no hay fuentes ni sumideros de carga, el principio deconservación correspondiente, nos permíte afirmar que necesariamente:

Q1 = Q2 = Q3 = . . . ..... = Qn = Q

y por el equilibrio eléctrico debe cumplirse que:

V1 + V2 + V3 + . . . ..... + Vn = V

es decir:Q

C1+Q

C2+Q

C3+ . . . .....+

Q

Cn=Q

C

así:1

C=

N∑

i=1

1

Ci(1.113)


PSfrag replacements

C1 C2 C3 Cn

v1 v2 v3 vn

Q1 Q2 Q3 Qn

V

V

Q

C

Figura 1.43: Equivalenter para la conexión en serie

desde luego C es la capacitancia del capacitor equivalente.

1.16.2. Capacitor equivalente para la conexión en paralelo

PSfrag replacements

Q1 Q2 Q3 Qn

C1 C2 C3 Cn

VV

Q

C

Figura 1.44: Equivalente para la conexión en paralelo

Q1 +Q2 +Q3 + . . . .....+Qn = Q

V1 = V2 = V3 = . . . ..... = Vn = V

de modo que:N∑

i=1

Ci = C (1.114)

Aplicaciones:

1. Calcular la capacitancia C de un capacitor plano cuyo núcleo esta ocupada por dos dieléctricos LHI,de constantes eléctricas K1 y K2 respectivamente. de la figura 1.45 tenemos A1 +A2 = A, al aplicar

+ −

+

−

PSfrag replacementsA1 A2

K1 K2

d

V

Figura 1.45: Capacitor ocupado por dos dielectricos

una tensión de carga V en la interfase de los dieléctricos debe cumplirse:

E1 = E2 = E =V

d

1.16. RED DE CAPACITORES 55

además:

D1 = ε0K1E

D2 = ε0K2E

como en general D · un = σresulta:

σ1 = D1; σ2 = D2

Q1 = σ1A1; Q2 = σ2A2

y la carga total Q del capacitor será:

Q = Q1 +Q2

Q = σ1A1 + σ2A2

Q = ε0K1EA1 + ε0K2EA2

Q =

(ε0K1A1

d+ε0K2A2

d

)V

de modo que:

k2

A1

PSfrag replacements

A1A2

K1K2

d d V

Figura 1.46: equivalencia del figura 1.45

C =ε0K1A1

d+ε0K2A2

dC = C1 + C2

Así C , puede interpretarse como la capacitancia equivalente de dos capacitores en paralelo (figura1.46).

2. Calcular la capacitancia C , de un capacitor plano cuyo núcleo está ocupado por dieléctricos LIH, deconstantes eléctricas K1,K2 respectivamente.

de la figura 1.47 notamos: d1 + d2 = d, aplicada la tensión de carga V la ecuación de continuidad enla interfase es:

D1 = D2 = D

D · un = σ =⇒ D = σ


PSfrag replacementsA

K1

K2

d1

d2

V

Figura 1.47: capacitor ocupado por dos dieléctricos configuración 2

óD =

σA

A=⇒ D =

Q

A

Sí nominamos V1 al gradiente de potencial entre la placa conductora y la interfase; y con V2 al gradi-ente entre la interfase y la segunda placa conductora de modo que:

V1 + V2 = V

entonces:

E1 =V1

d1y E2 =

V2

d2

E1d1 = V1 y E2d2 = V2

entonces:

E1d1 +E2d2 = V1 + V2

E1d1 +E2d2 = V

como:E1 =

D

ε0K1=⇒ E1 =

Q

ε0K1A

analogamente:

E2 =Q

ε0K2A

de modo que:Qd1

ε0K1A+

Qd2

ε0K2A= V =⇒ Q

ε0K1Ad1

+Q

ε0K2Ad2

= V

que también se puede escribir:

1ε0K1Ad1

+1

ε0K2Ad2

=1

C

1

C1+

1

C2=

1

C

que puede interpretarse como la capacitancia C de dos capacitores en serie(fig. 1.48)

1.16. RED DE CAPACITORES 57

PSfrag replacements

A

A

d1

d2

C1

C2

V

Figura 1.48: Capacitores en serie

3. Calcular la capacitancia C , de un capacitor plano de área A constante de placa d, y en cuyo núcleose ha localizado tres dieléctricos LIH, de constantes K1,K2 y K3, respectivamente, se muestra en lafigura No 1.49Solución Consideremos los siguientes capacitores:

PSfrag replacements

A/2A/2d/2

d/2

Figura 1.49: Capacitor con dieléctricos K1,K2,K3

1© C1 =ε0K1A/2

d/2=⇒ C1 =

ε0K1A

d

2© C2 =ε0K2A/2

d/2=⇒ C2 =

ε0K2A

d

3© C3 =ε0K3A

d/2=⇒ C3 =

2ε0K3A

d

1© y 2© forman una conexión en paralelo, entonces tenemos:

C ′ = C1 + C2 =⇒ C ′ =ε0(K1 +K2)A

d

3© y C ′ forman una conexión en serie, tenemos:

C =C ′C3

C ′ + C3=⇒ C =

2ε0K3(K1 +K2)A

(K1 +K2 + 2K3)d


1.17. Fuerzas internas

El método de los desplazamientos virtuales facilita el cálculo de las fuerzas internas en un sistema car-gado formado por conductores y dieléctricos en estado de equilibrio. Tal método consiste en desplazar,mediante una acción mecánica, el elemento del sistema sobre el cuál se desea calcular dicha fuerza y luegopermitir el reestablecimiento de la configuración inicial.En general el desplazamiento virtual puede efectuarse a carga eléctrica constante, ó potencial eléctrico con-stante. En el primer caso se restablece al equilibrio original a expensas de la energía eléctrica del sistema, yen el segundo a expensas de la energía eléctrica suministrada por la fuente de carga. El balance energético,en el primer caso conduce a:

dWm + dWe = 0 (1.115)

y en el segundo caso a:dWm + dWe = dWF (1.116)

donde:dWe =

1

2Φ(dQ) y dWF = Φ(dQ)

de modo que:dWF = 2dWe

entonces: a carga constante se cumple que:

dWm = −dWe

y a potencial constante:dWm = dWe

se advierte solo un cambio de signo.Aqui en referencia a un sistema cartesiano:

dWm = Fxdx+ Fydy + Fzdz

dWe =∂We

∂xdx+

∂We

∂ydy +

∂We

∂zdz

entonces si el proceso involucra mantener la carga constante:

F = −∇We (1.117)

y si involucra mantener el potencial constante:

F = ∇We

Ejemplo 1Un capacitor plano de área A, constante de placa d y al vacío ε0, se carga aplicando una tensión V. Logradoel equilibrio se desconecta de la fuente. Calcular la fuerza eléctrica entre las placas del capacitor:

Solución La carga Q correspondiente a una tensión V es: Q = CV , donde C =ε0A

d.

Desplazamos virtualmente una de las placas y la energía eléctrica es ahora:

We =1

2

Q2

C

1.17. FUERZAS INTERNAS 59

0

PSfrag replacements AA QQ

V

x

Fux

Figura 1.50: Desplazamiento virtual de una de las placas

donde:

Q =

(ε0A

d

)V y C =

ε0A

x

advierta que el capacitor original se extiende entre x=0, y x=d, sustituyendo:

We =1

2

(ε0A

d

)2

V 2 x

ε0A

We =ε0AV

2x

2d2

y como F = −∇We

F = −(d

dx

)(ε0AV

2

2d2

)xux =⇒ F = −ε0AV

2

2d2ux

Ejemplo 2Repetir el cálculo anterior, sí el capacitor se mantiene ligado a su fuente de alimentación.Solución para este caso expresamos :

We =1

2CV 2

donde:C =

ε0A

x

We =1

2

ε0A

xV 2

F = ∇We =⇒ F =dWe

dxux

F = −1

2

ε0A

x2V 2ux

finalmente para x = d

F = −1

2

ε0A

d2V 2ux

resultando nuevamente una fuerza atractiva.Ejemplo 3


Un condensador plano de área (l × l); constante de placa d y con un dieléctrico K entre sus armadurasfig. ??, se conecta a una fuente V y una vez logrado el equilibrio se aisla de la fuente. Calcular la fuerza Fque actúa sobre el dieléctrico.

Solución La carga del capacitor es: Q = CV , donde C=ε0KA

d=ε0Kl

2

d.

PSfrag replacements KV

Figura 1.51: Condensador de área l × l

Desplazamos virtualmente el dieléctrico(fig. 1.52) con lo que:

0

PSfrag replacementsK

x

ε0

Figura 1.52: Condensador de área l × l, desplazado virtualmente

C =ε0lx

d+ε0Kl(l − x)

d=⇒ C =

ε0l

d[x+K(l − x)]

como:

We =1

2

Q2

C

We =Q2

2

d

ε0l[x+K(l − x)]

entonces:

F = ∇We =⇒ F =Q2d

2ε0l

d

dx[x+K(l − x)]−1 ux

F =Q2d

2ε0l

1−K[x+K(l − x)]

ux

x = 0, corresponde a la configuración original del capacitor luego:

F = −(K − 1)Q2d

2ε0lK2l2ux

F = −(K − 1)d

2ε0K2l3ε20K

2l4

d2V 2ux

F = −[ε0(K − 1)l

2d

]V 2ux

1.18. CORRIENTE ELÉCTRICA 61

ejemplo 4Cuál es la fuerza sobre el dieléctrico, si el capacitor se mantiene conectado a su fuente de carga ?En ese caso

We =1

2CV 2

F = ∇We

como:

C =ε0l

d[x+K(l − x)]

We =1

2

ε0l

d[x+K(l − x)] V 2

F = −ε0l2d

(K − 1)V 2ux

También es atractiva.

1.18. Corriente eléctrica

Conceptualmente el término corriente eléctrica denota un movimiento ordenado de cargas.Se puede establecer una corriente eléctrica, segun:

a) Poniendo en movimiento un sistema material cargado por déficit o exceso de eléctrones(método convec-tivo)

b) Generando gradientes de potenciales apropiados en el interior de un conductor neutro para orientar elmovimiento caótico de sus electrones libres. Es pertinente recordar que en los conductores matálicos(Li,Na,K,Rb,Cs,Cu,Ag,Au,Al,Pb,Bi. . . ...), las densidades de portadores libres son del órden de 1028 electrones por metro cúbico(método conduc-tivo).

1.18.1. Intensidad de corriente

Se define una corriente eléctrica por su intensidad i, esto es por la rapidez con la que fluye la carga através de una superficie control elegida en el medio portador. Simbólicamente será:

i =dQ

dt; para corrientes no estacionarias

i =∆Q

∆t; para corrientes estacionarias

Esta definición conlleva:

1. La unidad internacional de corriente es el Amperio, según:

1Amperio = 1Coulomb

segundo=⇒ 1A = 1

C

s

2. El sentido de circulación de la corriente por el movimiento de portadores positivos. La corrientepor el movimiento de portadores negativos contribuye al mismo valor de intensidad, pues para ellos:

−i = −dQdt

=⇒ i =dQ

dt


1.18.2. Densidad de corriente

Imaginemos una corriente de portadores libres q, velocidad de desplazamiento vd, y una superficie con-trol ∆S, según la figura 1.53.

q v

PSfrag replacements

∆Svn

vt

un

vd

v · un∆t

Figura 1.53: ordenamiento de las cargas

La cantidad de carga ∆Q que atraviesa la superficie ∆S en un tiempo ∆t, es igual al número de portadorescontenidos en el volúmen ∆V igual a:

∆V = (vd · un∆t)(∆S)

Si N es la densidad de portadores, entonces:

∆Q = (Nq)(vd · un∆t)(∆S)

luego:

∆i =∆Q

∆t=⇒ ∆i = Nqvd · un(∆S)

como:ρ = Nq =⇒ ∆i = ρvd · un(∆S)

En el proceso que nos ocupa, ρ representa la distribución espacial de la carga móvil en la corriente eléctrica,y el producto, ρvd, la distribución de la corriente por unidad de área ó densidad de corriente J. De modoque el campo vectorial:

J = ρvd (1.118)

caracteriza, en magnitud y dirección como cualquier corriente eléctrica. La intesidad i de la corriente queatraviesa una superficie control S, es decir igual al flujo del campo densidad J calculado para dicha superfi-cie, esto es:

i =

∫

SJ · undS (1.119)

1.18. CORRIENTE ELÉCTRICA 63

1.18.3. Ecuación de la continuidad

Conceptualmente una corriente eléctrica presupone la existencia de portadores libres en determinadomedio. El ordenar el movimiento de estos portadores cargados no implica alterar su número, de modo quecualquier corriente establecida debe ser compatible con la conservación de carga del medio portador. Estacompatibilidad se traduce en una ecuación diferncial, la que puede obtenerse interponiendo una superficiegaussiana en el flujo de cargas de cualquier corriente, para comparar la rapidez de cambio de la cargaobtenida al interior de la gaussiana con la rapidez de cambio en la carga que reciben.Evidentemente, si al interior de la gaussiana no hay fuentes ni sumideros de carga, la suma de ambos cambiosdebe ser nulo; esto es:

PSfrag replacements

ρ(r, t)

Figura 1.54: Lineas de corriente∮

SGJ · undS +

dQ

dt= 0 (1.120)

donde:

Q =

∫

V Gρ(r, t)dV

dQ

dt=

∫

V G

∂ρ(r, t)

∂tdV

reemplazando: ∮

SGJ · undS +

∫

V

∂ρ

∂tdV = 0

por el teorema de la divergencia:∫

V G∇ · jdV +

∫∂ρ

∂tdV = 0 =⇒

∫

V G

(∇ · J +

∂ρ

∂t

)dV = 0

igualdad que se cumple si en cada punto de la corriente se satisface la ecuación diferencial:

∇ · J +∂ρ

∂t= 0 (1.121)

denominada, ecuación de la continuidad referida al principio de conservación de carga.En régimen estacionario:

∂ρ

∂t= 0 (1.122)

y la ecuación residual:∇ · J = 0 (1.123)

es una ley fundamental en el análisis de circuitos eléctricos.


1.19. Circuitos de corriente directa

Se utilizan como redes de distribución de la energía eléctrica generada en los asientos de fuerza electro-motriz(pilas, baterias) por medio de cables metálicos (conductores), en los cuales se establecen corrientesconductivas que fluyen en un solo sentido: La red más elemental estará constituida por un generador de FEMy un cable conductor que cierra el circuito(fig. 1.55).

FEM− + +− −+

Pila BateriaPSfrag replacements

iii

Figura 1.55: circuitos simples cerrados

Los generadores proporcionan no sólo la energía que impulsa los portadores de un extremo al otro del con-ductor, sino también la necesaria para establecer el campo electrostático al interior del mismo conductor.Esto significa que el campo, actuante, o por razones de identificación campo efectivo(Eef ), será:

Eef =

Es → al interior del conductorF

q→ al interior del generador

y en general:

Eef = Es +F

q(1.124)

donde Es, simbliza el campo estacionario yF

q, la fuerza impulsora por unidad de carga eléctrica.

1.19.1. Modelo clásico de los metales

El modelo clásico de conducción en cables metálicos, propuesto por el físico aleman Drude el año 1900,supone que establecida la corriente sobre cada portador(electrón) actúa una fuerza eléctrica:

F = qEef (1.125)

La misma que origina en el portador una aceleración:

a =qEef

m(1.126)

en el recorrido libre que separa dos choques sucesivos del portador con la red cristalina fija del metal.En cada choque la partícula cargada cede la totalidad de su energía cinética a la red transformándosde enenergía calórica(efecto Joule). Reinicia su movimiento, a partir del reposo, y tras un tiempo τ de recorridolibre adquiere una velocidad:

v = aτ (1.127)

1.19. CIRCUITOS DE CORRIENTE DIRECTA 65

inmediatamente antes de chocar. Puesto que, en condiciones estacionarias, la aceleración es constante, sepuede describir el movimiento del portador por la velocidad media:

< V >=aτ

2(1.128)

equivalente a su velocidad de desplazamiento vd. De manera que la densidad de corriente asociada será:

J = Nqvd =⇒ J = Nqaτ

2

J =

[Nq2τ

2m

]Eef (1.129)

Aunque experimentalmente los recorridos libres y en consecuencia los valores de τ , se modifican drástica-mente con la temperatura, dichos cambios son importantes a partir de ciertas temperatuaras. Por debajo deellas el factor:

Nq2τ

2m

es una constante característica del material conductor, denominada conductividad( % ); es decir:

% =Nq2τ

2m(1.130)

de modo que la ecuación lineal:J = %Eef (1.131)

sintetiza el modelo clásico de la conducción eléctrica, sí la aplicásemos un tramo pasivo de sección A ylongitud l(fig. 1.56), obtendríamos:

J = %Es =⇒i

A= %

∆V

l

en consecuencia:

PSfrag replacementsl

i

A

∆V

Figura 1.56: Modelo clásico de la corriente

∆V =

(l

%A

)i (1.132)

que establece la proporcionalidad directa entre la diferencia de potencial ∆V del conductor, y la corriente ique circula por él conforme a éste punto de vista la constante de proporcionalidad:

l

%A

denota la geometría del conductor(l, A) y su naturaleza específica %.


1.19.2. Ley de Ohm

El físico alemán Simón Ohm, quién en 1827 realizó las primeras pruebas experimentales a la conduccióneléctrica en los metales, caracterizo dicha constante como la resistencia R del conductor, esto es:

R =l

%A=ηl

A(1.133)

donde η, representa la resistividad del medio, obviamente:

η =1

%(1.134)

la relación final:∆V = Ri (1.135)

Se conoce precisamente como la ley de Ohm y es fundamental en el análisis de circuitos eléctricos.La unidad internacional de resistencia es el omhio(Ω) y equivale a:

1(Ω) = 1

(V

A

)(1.136)

Resulta equivalente que la unidad de resistividad es el Ω ·m, y la de conductividad el (Ω ·m)−1.Algunos valores característicos de resistividad a temperatura 20o se detallan a continuación:

ηAl = 2,83× 10−8(Ω ·m)

ηCu = 1,69× 10−8(Ω ·m)

ηAu = 2,44× 10−8(Ω ·m)

ηNi = 7,24× 10−8(Ω ·m)

1.19.3. Enfoque energético de un circuito resistivo

La ecuación básica de un circuito puede establecerse a partir de la ecuación vectorial:

J = %Eef

ηJ = Eef

y reemplazando:

Eef = Es +F

q

ηJ = Es +F

q

Sí la aplicamos al tramo(a→ b)fig. 1.57 representado en la forma;

F

q= ηJ−Es

y desarrollamos las intergrales:∫ b

a

F · drq

=

∫ b

aηJ · dr−

∫ b

aEs · dr


+ −

PSfrag replacementsi

Vb Va < Vb

ab ε

Figura 1.57: Enfoque energético del circuito

concluimos que:ε = iRab + (Vb − Va) (1.137)

donde:

ε =

∫ b

a

F · drq

(1.138)

representa la energía eléctrica, que por unidad de carga transportada, suministra el generador(FEM).Rab simboliza la resistencia del circuito entre a y b, La integración entre b y a, ó parte complementaria delcircuito, define la ecuación para un tramo pasivo; esto es:

0 =

∫ a

bηJ · dr−

∫ a

bEs · dr (1.139)

∫ a

bEs · dr =

∫ a

bηJ · dr

Vb − Va = iRba (1.140)

La integración entre a y b, ó circuito cerrado:∮

F · drq

=

∮ηJ · dr−

∮Es · dr

Vε = iR

donde R representa la resistencia total de la malla.Multiplicando cada término de la ecuación:

Vε = iRab + (Vb − Va) (1.141)

por:∆Q = i∆t

permitará un análisis energético del tramo elegido; en efecto:

Vε(∆Q)︸︷︷︸1©

= i2Rab(∆t)︸︷︷︸2©

+ (Vb − Va)(∆Q)︸︷︷︸3©

1© El producto Vε(∆Q), es equivalente a la energía eléctrica que el generador debe producir para transportarla carga ∆Q entre sus bornes, En cuanto cierra un circuito, el generador transforma irreversiblemente su en-ergía interna en energía eléctrica.


En las pilas o baterías dicha energía es de naturaleza química.2© i2Rab, es el calor que por unidad de tiempo, discipa el conductor con corriente, en virtud de su resisten-

cia.3© (Vb − Va)(∆Q) = (∆V )(∆Q), la energía eléctrica necesaria para mantener el movimiento de la carga∆Q, por el interior del conductor.En resumen, parte de la energía interna transformada en el generador se radia al exterior en forma de calory la restante en el campo electrostático interior.Gráficamente un circuito simple se representa del siguente modo( 1.58).

++ − −

FEM ideal FEM con resistencia interna

PSfrag replacements

R R

VV

ii

r

Figura 1.58: Circuito eléctrico simple

1.19.4. Red de resistencias

Una red está formada por un grupo finito, de dos o más resistores, interconectados; dos tipos de inter-conexión son rescatables:

a) Conexión Serie de la forma(fig. 1.59).PSfrag replacements

V

V1

V2

V3 Vn

i

R1

R2

R3 Rn

Figura 1.59: Conexión en serie

en ella se advierte claramente que:

V1 + V2 + V3 + . . . ....+ Vn = V

i1 = i2 = i3 = . . . .... = in = i

por la ley de Ohm:i(R1 +R2 +R3 + . . . ....+Rn) = iR


de modo que:

R =N∑

i=1

Ri (1.142)

debe tomarse como la resistencia equivalente.

b) Conexión paralelo de la forma(fig. 1.60).

+

−

PSfrag replacements

R1 R2 R3 Rn

i

i

V

i1 i2 i3 in

Figura 1.60: Conexión en paralelo

en esta interconexión se advierte que:

i1 + i2 + i3 + . . . .... + in = i

V1 = V2 = V3 . . . .... = Vn = V

V

R1+

V

R2+

V

R3+ . . . ....+

V

Rn=V

R

y la relación que reduce el sistema a una resistencia equivlente es:

1

R=∑

i=1

1

Ri(1.143)

1.19.5. Distribución del potencial en una resitencia

La ecuación de continuidad:

∇ · J +∂ρ

∂t= 0

aplicada a un resitor con corriente estacionaria(fig. 1.61).

Ji = Jf

PSfrag replacements

Ji JfJi = Jf

∂ρ

∂t= 0

Figura 1.61: Corriente estacionaria

se reduce a:∇ · J = 0 donde J = %Es


yEs = −∇Φ

sustituyendo sucesivamente:∇2Φ = 0

de modo que la distribución referida está contenida en la solución de la ecuación de Laplace, al igual que enlos problemas electrostáticos, excepto que para determinar las constantes de integración deben considerse:

1. La continuidad del potencial eléctrico.

2. La continuidad de la densidad de corriente.

1.19.6. Equilibrio eléctrico de un conductor cargado

Desde un punto de vista experimental y también teórico se ha reiterado que un conductor cargado enequilibrio eléctrico adopta una distribución superficial de la carga exedentaria. Intentaremos un estudio másdetallado del problema en la transición ρ a ρ0; donde ρ0 representa la distribución espacial de la carga libredel conductor y ρ la distribución espacial de la carga que recibe. En el denominado régimen transitoriopodemos aplicar la ecuación:

∇ · J +∂ρ

∂t= 0

y a través de su solución calcular el tiempo que lleva al conductor anular el valor de ρ, y sustituirla por unadistribución superficial σ.Ahora bién:

J = %E

∇ · J = %∇ ·E

como:∇ ·E =

ρ

ε

donde ε es la permitividad eléctrica del conductor, reemplazando:

%

ερ+

dρ

dt= 0 (1.144)

y resolviendo llegamos a:

ρ = ρ0e−%

εt

(1.145)

solución según cual: ρ = 0; para t =∞:esto nos fuerza a buscar una segunda solución físicamente aceptable introduciendo, para cada conductor suconstante de tiempo tc, según:

tc =ε

%= ηε (1.146)

transcurrido el cual:ρ =

ρ0

e= 0,37ρ0

e interpretar que el conductor cargado alcanza el equilibrio electrostático con una concentración de cargaexcedentaria igual al 37 % de su concentración iónica.La duración del transciente en el proceso de carga de los conductores caracteristicos es del orden de losnanosegundos, por ejemplo para el Cu, de uso industrial muy extendido, es aproximadamente de 17 ns.

1.20. REDES DE CORRIENTE DIRECTA 71

1.20. Redes de corriente directa

En general estan conformados por fems y resistencias interconectadas.Resolver una red consiste en calcular todas las corrientes que circulan por los tramos pasivos y activos de lared.La solución sistemática de una red eléctrica propuesta inicialmente por el físico alemán Roberto Kirchoffen 1847. En años posteriores y hasta finales del siglo pasado, se desarrollaron muchos métodos alternativosde solución, como ser Thevenim, Norton, Delta, estrella, superposición, etc a pesar de su variedad todosellos se fundamentan en los principios universales de conservación: carga y energía: Kirchoff los propusodel siguente modo:

1.20.1. Ley de nodos

Por nodo se entiende todo punto de la red donde confluyen tres o más conductores. Esta ley estableceque:“La suma algebraica de las corrientes en un nodo es identicamente nula”.La aplicación de esta ley, que configura la conservación de carga en los circuitos, conduce al planteamientode N-1 ecuaciones independientes, puesto que N es el número de nodos identificados en la red.

1.20.2. Ley de mallas

Da forma matemática a la conservación de la energía en la red y establece que:“La suma algebraica de las caídas de tensión a lo largo de cualquier circuito elemental(mallas) de la redes identicamente nula”En ambas leyes, la suma algebraica, recuerda que la corriente eléctrica esta definida por su intensidad y porsu sentido de circulación .Antes de ilustrar el manejo de los signos, en un nodo o una malla, debemos advertir que un generador entre-ga energía eléctrica a la red si la corriente que lo atraviesa se dirige de su borne (−) a su borne (+); en casocontrario se lo identifica como generador contrafem y en estas circunstancias absorve energía de la red, esel caso típico de un motor eléctrico.Supongamos que, figura 1.62 representa un nodo cualquiera de una red, entonces por la ley correspondiente:i1 + i2 − i3 = 0.

PSfrag replacements

i1

i2

i3

Figura 1.62: Representación de un nodo

Y en una malla aislada cualquiera(fig. 1.63).


PSfrag replacements

i1

i2

i3

R1

R2

R3

ε1

ε2

ε3

Figura 1.63: Malla aislada

la ley correspondiente se aplicará segun:

−ε1 + ε2 + ε3 − i1R1 − i2R2 − i3R3 = 0 (1.147)

Recuerde que todos los sentidos han sido elegidos arbitrariamente:A manera de verificación resolvamos las corrientes en la red que se ilustra en la figura 1.64:

+

−

+

−PSfrag replacements

1Ω

2Ω3Ω

4Ω

6V 9V

Figura 1.64: Circuito eléctrico

Fijamos arbitrariamente el sentido de las seis(6) corrientes a calcular, y aplicamos las leyes correspondientesa 3 nodos y tres mallas(fig. 1.65).

1.20. REDES DE CORRIENTE DIRECTA 73

+

−

+

−

A

C B

PSfrag replacements1Ω

2Ω3Ω

4Ω

6V 9V

i1

i2 i3

i4

i5i6

a

b

c

Figura 1.65: Circuito eléctrico

Nodos:

a© i1 + i5 − i3 = 0

b© i2 + i3 − i4 = 0

c© i4 − i5 − i6 = 0

Mallas:

A© − i1 − 3i3 + 2i2 = 0

B© − 9 + 4i4 + 3i3 = 0

C© 6− 2i2 − 4i4 = 0

La solución del sistema(6 × 6) conduce sucesivamente a:

B© i3 = 3− 4

3i4

C© i2 = 3− 2i4

b© i2 + i3 = i4

con la que obtenemos los valores de:

i4 = 6− 10

3i4 =⇒ i4 =

18

13= 1,38(A)

i2 = 0,24(A)

i3 = 1,16(A)

también los valores de i1 = −3(A); i5 = 4,15(A); i6 = 2,77(A)

El generador de 6(V)actúa como "motor"


3 A

4.15 A

2.77 A

0.24 A1.16A

1.38 A

Figura 1.66: Corrientes del circuito

1.20.3. Método de Maxwell

El método consiste en resolver la red por las mallas complementarias, prefijando en ellas un sentidoarbitrario de recorrido(horario o antihorario), para la red propuesta(fig. 1.67):

+

−

+

−

PSfrag replacements

1Ω

2Ω3Ω

4Ω

6V 9V

I1

I2 I3

Figura 1.67: Aplicación del método de Maxwell

MallaI1 =⇒ 6I4 − 2I2 − 3I3 = 0MallaI2 =⇒−2I1 + 6I2 − 4I3 = −6MallaI3 =⇒−3I1 − 4I2 + 7I3 = 9

1.21. CIRCUITO RC 75

Cuyas soluciones son: I1 = 3(A); I3 = 4,15(A); I2 = 2,77(A) ; las corrientes divisiorias son:

i2 = I1 − I2 =⇒ i2 = 0,23(A)

i3 = I3 − I1 =⇒ i3 = 1,15(A)

i4 = I3 − I2 =⇒ i4 = 1,38(A)

1.21. Circuito RC

Permíte el análisis de la carga y descarga de un capacitor según la figura 1.68

+ −

PSfrag replacements

ε

a

b

S

CR

Figura 1.68: Carga y descarga de un capacitor

1.21.1. Proceso de carga

Ligando la llave S al terminal a, la ecuación del circuito es:

ε = Vc + VR (1.148)

donde:VC =

Q

Cy VR = iR = R

dQ

dtde modo que:

ε =Q

C+R

dQ

dt(1.149)

ecuación diferencial que puede resolverse por el método de separación de variables, según:

εC −QRC

=dQ

dt∫ Q

0

dQ

εC −Q =1

RC

∫ t

0dt

ln

(εC −QεC

)= − t

RC

Q(t) = εC

(1− e−

tRC

)(1.150)

La carga de saturación en el capacitor debe ser Qf = εC y así:

Q(t) = Qf

(1− e−

tRC

)(1.151)


de este modo la aproximación al valor Qf es asintótica, es decir, debería transcurrir un tiempo infinitopara saturar el capacitor. Resulta entonces físicamente más adecuado introducir la constante de tiempo delcapacitor a saber: tc = RC y advertir que al término del indicado tiempo:

Q = Qf(1− e−1

)

Q = 0,63Qf

la carga en el capacitor es igual al 63 % de la carga final, y en estas condiciones, despreciando las fluctua-ciones subsiguientes, suponer el circuito equilibrado. Por otro lado la corriente en el circuito es:

i =dQ

dt

i(t) =ε

Re−

tRC (1.152)

de modo que, a diferencia de los circuitos resistivos se trata de una corriente no estacionaria.

1.21.2. Proceso de descarga

Al desligar la llave S del contacto en a, y conectarla al borde b, el capacitor previamente cargadoempezará a descargarse a traves de la resistencia R, según la ecuación:

0 = Vc + VR

0 =Q

C+R

dQ

dt(1.153)

separando variablesdQ

Q= − dt

RC, integrando:

∫ Q

Qf

dQ

Q= − 1

RC

∫ t

0dt

finalmente:Q(t) = Qfe

− tRC (1.154)

proceso que tampoco concluye sino en un tiempo infinito. Concretamente se supone finalizado el procesode descarga transcurrido el tiempo crítico tc = RC ; con una carga residual equivalente sólo al 37 % de lacarga inicial.La corriente eléctrica correspondiente es:

i(t) = − QfRC

e−tRC

i(t) = − CεRC

e−tRC

i(t) = − εCe−

tRC (1.155)

dondeε

R, representa la corriente inicial en la descarga del capacitor y que naturalmente fluye en sentido

contrario al establecido en el proceso de carga.

1.21. CIRCUITO RC 77

Ambos procesos son fácilmente advertibles usando un osciloscopio de rayos catódicos para analizar gráfi-camente las tensiones en el capacitor y en la resistencia, segun:

VC = ε

(1− e−

tRC

)(1.156)

VR = εe−tRC (1.157)

respectivamente.

Ejercicios Propuestos

Ley de Coulomb

1. A que distancia deben estar dos protones para que la fuerza entre sí sea igual al peso de un protón enla superficie terrestre ?

2. Se supone que un protón está formado por dos quarks ”arriba” de carga +(

23

)e y uno ”abajo” de carga

−(

13

)e. Suponga que los tres quarks están equidistantes entre sí, a una separación de 1,5×10−15(m).

Calcular las fuezas electrostáticas entre cada par de los tres quarks.

3. Dos iones de sodio, a una distancia de 2,3 × 10−9(m) entre sí, se repelan con una fuerza de 2,3 ×10−10(N). Cuántos electrones o protones representan la carga de cada ión.

4. En el modelo clásico del átomo de hidrógeno, el electrón describe una órbita circular alrededor delprotón, con un radio de aproximadamente de 5× 10−11(m). Comparar las fuerzas eléctrica y gravita-cional. para el par protón-electrón en el átomo de hidrógeno.

5. Con referencia al átomo de hidrógeno; (a) Cuál es el periodo de circunvolucióndel electrón ?. (b) Cuál es su momento cinético ? (c) Si sustituimos el par electrón-protón, por un parresorte-electrón; determinar su constante elástica si el electrón debe oscilar con la misma frecuencia.

6. Dos masas puntuales se colocan a una distancia de 8,75(cm) entre sí y se les transfiere iguales can-tidades de carga a cada una. La primera, de 31,3(gr), tiene una aceleración inicial de 1,93(m/s2)dirigida hacia la segunda partícula que a su vez presenta una aceleración inicial de 5,36(m/s2), ensentido contrario. (a) Calcular la masa de la segunda partícula. (b) Cuál es la carga de carga de cadapartícula ?

7. Tres cargas: q1, q2, q3, se ejercen fuerzas entre sí de la siguente magnitud y sentido: entre q1 y q2, a12(cm) de distancia, la fuerza es atractiva de 0,91 × 10−2(N); entre q2 y q3, a 25(cm) de distancia,la fuerza es atractiva de 7,2 × 10−3(N), y entre q1 y q3 a 12(cm) de distancia la fuerza es repulsivade 5,6× 10−3(N). Determinar la magnitud y signo de cada carga.

8. Dos esferitas de corcho, de 0,2(gr) cada una una, se cuelgan con hilos aislantes de 20(cm) de longitud,de un punto común. Trás cargarlas con la misma cantidad de carga eléctrica, el sistema se equilibracuando el ángulo entre ambos hilos es de 20o. Determinar la carga de cada esferita.

9. Una carga puntual q1 = −2(nC), se localiza en el orígen de un sistema cartesiano. Una segundacarga q2 = −1(nC) se fija en el punto (−0,02, 0,02). donde deberá colocarse una tercera cargaq3 = −3(nC), para que ella permanesca en equilibrio?

10. Se colocan tres cargas positivas iguales, de magnitud igual a 1,2(µC) en los vértices de un triánguloequilatero de 6(cm) de lado. Calcular la fuerza total que actúa sobre una carga de −2(µC)colocadaen el punto medio de uno de los lados.

79

11. Una carga q se sitúa en el punto (L,L), una carga −2q en la posición (−L,L); una carga −4q en(−L,−L) y finalmente una carga 2q en (L,−L). Calcular el trabajo mecánico que se requiere paratrasladar la carga q del punto (L,L) al punto (0, 0).

12. Una carga Q se distribuye uniformemente a lo largo de una varilla de longitud de 2L, que va desde:y = −L, hasta y = L. Calcular la fuerza eléctrica que actúa sobre una carga q, colocada en el punto(0, d).

13. Una varilla delgada de longitud L, se extiende entre los puntos (0, 0) y (0, L). En la varilla se dis-tribuye uniformemente una carga Q a lo largo de su longitud. Calcular la fuerza que actúa sobre unacarga q colocada en el punto (a) (0,L+d), (b) (d,0)

14. Una carga de 10(µC) se distribuye uniformemente en un anillo delgado de 6(cm) de radio. El centrodel anillo que se encuentra en el plano xy, coincide con el orígen del sistema cartesiano. Una carga de2,4(µC) se coloca en el punto (0, 0, 4). Calcular la fuerza eléctrica que actúa sobre la carga puntual.

15. Repetir el problema anterior si los 10(µC) se distribuyen uniformemente sobre un disco de 6(cm) deradio.

16. Calcular la fuerza eléctrica entre una carga puntual q y una lámina de extensión infinita con densidadsuperficial de carga σ uniforme.

17. Mediante un hilo de 60(cm) de longitud se cuelga una esfera de corcho a un punto fijo situado a20(cm) de una lámina vertical infinita con distribución superficial de carga igual a 10−4(C/m2).el corcho tiene una masa de 5(gr). Determinar la orientación del hilo si la esfera se carga con: (a)5× 10−9(C), (b) −2,4× 10−9(C)

18. Una carga total de 3,1(µC) se distribuye uniformemente en un alambre delgado y semicircular de10(cm) de radio. Calcular la fuerza eléctrica que actúa sobre una carga puntual de 2(µC) colocadoen el centro del semicírculo.

19. Una sucesión de (N+1) cargas : +q,−q,+q,−q, . . . se colocan a lo largo del eje x, en las posiciones:x = 0, x = d, x = 2d, x = 3d, y así sucesivamente. Una carga aislada Q, se sitúa en x = D. (a)Encontrar una expresión general para la fuerza coulombiana que actúa sobre Q. (b) Aproximar elresultado anterior sí D >>> Nd.

20. Una carga Q, inicialmente desconocida, se distribuye uniformemente sobre una placa cuadrada de1(m2) de superficie colocada horizontalmente. Determinar el valor de Q, si una esferita de 1(gr) y1(µC) de carga debe quedar suspendida en el aire por encima de la placa.

21. Una carga q1 = 10−7(C) se fija en la base de un plano inclinado φo sobre la horizontal. Sobre unaranura lisa longitudinal, practicada en el plano se coloca una pelotita de 2(gr) de masa y 10−7(C) decarga. Si el sistema se equilibra cuando la distancia entre ambas cargas es igual a 10(cm), a lo largodel plano inclinado, determinar el valor de φ.

22. Cuatro cargas puntuales se distribuyen el la siguente manera: q en el punto (0, 3a), −q en (0, a) −q en(0,−a) y q en (0,−3a). Calcular la fuerza que actúa sobre una carga Q situada en el punto genérico(x, 0). estimar una aproximación apropiada so x >>> a.

23. La distancia que separa dos cargas fijas e identicas q es D. Una tercera carga Q , de masa m, se situaentre las dos primeras. (a) Determinar la posición de equilibrio de Q. (b) Si Q se desplaza ligera-mente, respecto a su posición de equilibrio, se comporta como accionada por un resorte. Determinarsu frecuencia de oscilación.

24. Dos varillas cada una de longitud 2L, se colocan paralelas entre si a una distancia R. Cada una tieneuna carga total Q distribuida uniformemente en la longitud de la varilla. Determinar la fuerza deinteracción eléctrica entre ambas varillas.

25. En tres vértices de un tetraedro regular de arista a, se fijan tres cargas identicas q, mientras en elvértice restante se fija una carga −q. Calcular la fuerza total que actúa sobre: (a) La carga −q. (b)Cualquiera de las cargas q.

26. En cada vértice de un cubo de 10(cm) de arista, se fijan cargas idénticas de 3(pC). Calcular la mag-nitud de la fuerza total que actúa en cualquier vértice.

27. Cuatro cargas, cada una de 1,6 × 10−19(C), se fijan en los vértices de un cuadrado de 10(cm) delado. Una quinta carga de 1,6 × 10−19(C) y 1,7 × 10−27(Kg), colocada inicialmente a 5(cm) porencima del centro de masa del cuadrado, recibe un impulso que le permite llegar justamente al centrogeométrico de las cargas fijas. Calcular la magnitud de dicho impulso.

28. Una carga total Q, se distribuye uniformemente sobre un alambre circular de radio R. Una cargapuntual q, fija en el centro de la espira, genera un estado de tensión en el alambre. Despreciando losefectos eléctricos internos de la espira. Calcular la magnitud de dicha tensión.

29. Una esfera conductora de 0,5(cm) de radio y 2(nC) de carga se coloca a 4(cm) de una segunda esferaconductora de 0,2(cm) de radio y 0,5(nC)de carga. (a) Calcular la fuerza entre ambas esferas. (b) Siambas esferas se ponen en contacto y luego se los separa hasta una distancia de 4(cm); Calcular lafuerza de interacción eléctrica entre las esferas.

30. Tres esferitas identicas de 2(gr) cada una, estan suspendidas mediante tres cuerdas aislante de unmismo punto. Cada cuerda de masa desprecible, tiene una longitud de 50(cm). Al cargar simultánea-mente las tres esferitas se repelan una a otra hasta lograr el equilibrio en los vértices de un triánguloequilátero de 30(cm). Si cada esferita tiene la misma carga eléctrica, determinar su magnitud.

Campo, Potencial y Energía electrostáticos en el vacío

1. Una carga de 3(µC) está localizada en el punto (0, 0, 3). Determinar el campo eléctrico en el punto(0, 4, 9)

2. Calcular el campo eléctrico en el punto (0, 0), debido a la siguente distribución discreta de cargas: qen el punto (a, a), (q) en (−a, a), −q en (−a,−a) y −q en (a,−a).

3. Una carga de −12(µC) está localizada en el punto (0, 0). Una segunda carga de 0,5(nC) se ubica enel punto (0, 2, 0). En que puntos del plano z = 0 se anula el campo eléctrico ?

4. se disponen cuatro cargas del siguente modo: −6(µC) en el punto (2, 2); −4(µC) en (2,−2); 2(µC)en (−2,−2) y 8(µC) en (−2, 2). Calcular el campo eléctrico generado por la distribucion en el punto(0, 0, 3)

5. Un sistema dipolar formado por −q en el punto (−L,C) y +q en (L, 0), genera un campo eléctricodébil en puntos distantes. Calcular el campo eléctrico en el punto en el punto (a) (0, y), si y >>> L.(b) (x, 0) si x >>> L.

6. Una varilla delgada infinitamente larga, se carga uniformemente de mode que su densidad lineal esigual a 4(µC/m). Calcular el campo eléctrico a 50(cm) de la varilla.

7. Una varilla delgada se carga con 5(µC) distribuidas uniformemente en sus 10(cm) de longitud. Cal-cular el campo eléctrico a 5(cm) del punto medio de la varilla.

8. Dos placas infinitas cargadas con densidades uniformes de 3(µc/m2), se localizan en x = 2 y x = −2,respectivamente. Determinar el campo eléctrico en los puntos: (a) (5, 0, 0), (b) (−5, 0, 0), (c) (5, 2, 3).

9. Una lámina infinita con densidad uniforme de carga igual a 15(nC/m2) se localiza en z = 0,5(m).Una segunda lámina con distribución −15(nC/m2), se localiza en z = −0,5(m). El plano z = 0es horizontal, mediante un hilo no conductor de 0,5(m) de longitud se suspende de la placa superior,una esferita de 5(gr) y 8(µC) de carga. si la esferita oscila armónicamente, determinar su frecuenciade oscilación.

10. Calcular la frecuencia de oscilación en el poblema anterior si la lámina superior es negativa y lainferior positiva.

11. Dos placas paralelas se cargan uniformemente con distribuciones +σ y−σ respectivamente. Un elec-trón inicialmente en contacto con la placa negativa se pone en movimiento y recorre 2(cm) en 15(ns),antes de chocar con la placa opuesta. Calcular: (a) La velocidad máxima que alcanza el electrón. (b)La magnitud de σ.

12. Un tubo hueco de radio R y longitud L tiene una carga Q distribuida uniformemente en su superficie.Calcular el campo eléctrico en cualquier punto del eje del tubo referido al centro de su base circularinferior.

13. Una carga total Q se distribuye uniformemente en una varilla de longitud L. La varilla se extiendeentre x = 0 y x = L. Calcular el campo eléctrico en los puntos: (a) (0, D), (b) (L/2, D).

14. Una varilla de 80(cm) de longitud se carga uniformemente con una densidad lineal de 40(µC/m).Una carga puntual de 20(µC) se localiza sobre la mediatriz de la varilla y a 80(cm) de ella. Calcularel campo eléctrico en cualquier punto de la mediatriz.

15. Una carga puntual −q está obligada a moverse circularmente en torno a un alambre infinito de densi-dad lineal λ. Calcular la velocidad de la partícula tomando en cuenta solo las fuerzas eléctricas.

16. Una carga puntual q puede moverse en órbita circular con respecto a un alambre cargado con densidadlineal −λ. Demostrar que el periodo de la órbita es proporcional al radio de la misma.

17. Las placas de deflexión de un tubo de rayos catódicos, tiene una longitud de 3(cm) y generan uncampo eléctrico de 103(N/C) dirigido verticalmente hacia abajo. Por el punto medio entre las placasse inyecta un electrón con una velocidad horizontal de 3 × 106(m/s). Si la pantalla fluorescente dedetección está ubicada a 12(cm) del extremo posterior de las placas. Calcular la deflexión total delelectrón al golpear la pantalla.

18. Cierto campo eléctrico E se orienta en la dirección del eje x con las siguentes caracteristicas: enx = 0; E = 500(V/m) y en x = 3(m); E = 0. el decrecimiento es de tipo lineal. Un electrón seinyecta en x = 0 con una velocidad inicial de 2× 107(m/s) en la dirección del campo. Calcular: (a)La velocidad final del electrón. (b) El trabajo realizado por el campo eléctrico.

19. Un electrón se desplaza paralelamente a un campo eléctrico uniforme. Si la velocidad inicial delelectrón es de 5×106(m/s) y el campo eléctrico tiene una intensidad de 103(N/C): (a) Que distanciay que tiempo caracterizan el movimiento retardado del electrón ? (b) Si tras recorrer inicialmente unadistancia de 0,8(cm) el campo eléctrico se anulará bruscamente, que fracción de energía cinéticapierde el electrón ?

20. Se establece un campo eléctrico uniforme con intensidad igual a 2×103(N/C) entre los planos y = 0y y = 2(m). Si en este campo eléctrico se dispara un electrón en el punto (0, 0) con una velocidadinicial vi = (4,26× 106, 4,26× 106); determinar donde y cuando impactará el electrón.

21. Dos varillas infinitamente largas se situan paralelas al eje z. La primera con densidad lineal uniformeλ, pasa por el punto (0, b); la segunda con densidad uniforme lineal −λ, pasa por el punto (0,−b).Calcular el campo eléctrico generado por las dos varillas en el punto: (a) (b, 0), (b) (0, b), (c) (b, b),(d) genérico (x, y) si ambas coordenadas son mucho mayores que b.

22. Dos varillas infinitamente largas uniformemente cargadas con densidades de carga +λ y −λ respec-tivamente, son paralelas y estan separadas por una distancia 2R. Calcular la fuerza por unidad delongitud que una varilla ejerce sobre la otra.

23. Dos placas infinitas uniformemente cargadas se colocan en ángulo recto. La primera con una densidadde 2(µC/m2) coincide con el plano y = 0, y la segunda que coincide con el plano x = 0 tiene unadensidad igual a −3(µC/m2). Una carga de prueba de 1(gr) de masa y 2 × 10−7(C) de carga secoloca en el punto (1, 1, 0). Calcular el tiempo que demora en chocar con una de las láminas y suvelocidad de impacto.

24. Un protón con 106(eV ) de energía cinética se dispara en dirección perpendicular a la superficie deuna gran placa metálica con distribución superficial uniforme de carga igual a 5 × 10−6(C/m2).(a) Calcular el trabajo realizado por el campo hasta detener el protón. (b) Desde que distancia debedispararse el protón para que se detenga justamente en la superficie de la placa ?

25. La carga eléctrica mínima que se puede aislar es la del electrón o la del protón. en 1909 Robert Mil-likan desarrolló un método para medir esa carga. Tal método clásico se conoce como el experimentode la gota de aceite. Millikan pudo implantar cargas en diminutas gotitas de aceite que caían a determi-nada velocidad terminal bajo la influencia de la gravedad y de la resistencia del aire. Colocando esasgotitas entre placas paralelas, horizontales y cargadas lograba anular en parte la fuerza gravitacional.Si la masa y el tamaño de la gotita se logran determinar, entonces calculando la velocidad terminalde la gotita con y sin campo eléctrico, se puede medir la magnitud de su carga eléctrica. Detallar elproceso analítico a seguir.

26. Una varilla semi-infinita se localiza entre los puntos x = 0 y x =∞. La varilla está cargada de maneraque su distribución lineal es la función: λ(x) = kx, donde k es una constante positiva. Calcular elcampo eléctrico generado por la varilla en cualquier punto (0, y).

27. Una espira cuadrada de lado 2a tiene una distribución lineal uniforme λ. Si el centro de la espiracoincide con el origen de un sistema cartesiano y está apoyada en el plano z = 0. Calcular su campoeléctrico en cualquier punto del eje z.

28. Un anillo circular de radio a tiene una distribución de carga lineal dada por la función angular:

λ(φ) = λ0(1 + cosφ)

donde λ0 es una constante y 0 ≤ φ ≤ 2π. Si el centro de la espira coincide con el origen y estaapoyada en el plano z = 0. Determinar su campo eléctrico en cualquier punto del eje z.

29. Una varilla recta coincide con el eje x y se extiende entre los puntos: x = −L y x = L. La varillatiene una distribución de cargas no uniforme dada por la función:

λ(x) =

(λ0

L

)x

donde λ0 es una constante.(a) Demostrar que la carga total de la varilla es nula. (b) Calcular el campo eléctrico de la varilla en elpunto (R, 0)(c) Simplificar el resultado anterior si R >>> L.Para el inciso (b) considere que R > L

30. Un sistema discreto de cargas punto está configurado de la siguente manera:

−q, en el punto (0, d)−q, en el punto (0,−d)+q, en el punto (0, 3d)

+q, en el punto (0,−3d)

Calcular su campo eléctrico en cualquier punto (x, 0) admitiendo la condición de x >>> d.

31. Dos cargas punto −q y q/2, se sitúan en x = 0 y x = d, respectivamente. Determinar el centro yradio de la equipotencial φ = 0.

32. En cada vértice de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio R, se fijan cargas eléc-tricas q. Calcular: (a) El campo y potencial eléctricos en un punto situado sobre el eje perpendicularpor el centro del hexágono a una distancia R del plano respectivo.

33. En cada vértice de un triángulo equilátero de 20(cm) de lado, se fijan cargas iguales de 0,1(C). Sia una de las cargas se suministra energía a razón de 1(Kw); cuánto tiempo le llevará transportarsedesde su posición inicial hasta el punto medio del segmento que une las dos cargas restantes ?

34. Una partícula de carga Q se fija en el punto 0. Una segunda partícula de masa m y carga q, se muevecon rapidez constante en una circunferencia de radio R centrado en 0. Calcular la energía necesariapara transferir la carga movil a otra órbita de radio 2R.

35. La densidad lineal de carga eléctrica en un alambre de longitud L,esta dado por la función:

λ = kx

donde k es una constante, y 0 ≤ x ≤ LCalcular el potencial y campo eléctricos en los puntos: (a) (0, y), (b) (x, 0) con x > L (c)(x, y)

36. El potencial de una esfera de radio R, y cierta distribución de carga eléctrica está dado por la funciónradial:

Φ(r) =k

ε0

(R− r

2

)

donde k es una constante y 0 ≤ r ≤ R.encontrar la energía potencial eléctrica de la esfera.

37. El espacio comprendido entre dos esferas concéntricas, de radios R1 y R2, respectivamente presentanuna distribución volumétrica constante ρ0. Si R1 < R2, calcular la energía potencial eléctrica delsistema indicado.

38. En 1935 el físico japonés Yukawa propuso, para el átomo de hidrógeno la siguente distribución depotencial eléctrico:

Φ(r) = Keqe−αr

(1

r+α

2

)

donde q es la carga fundamental, y α una constante. Encontrar las leyes de distribución continua ydiscreta de carga que originan dicha función de potencial.

39. Un alambre finito que se extiende entre: x = 0, y x = L, tienen una distribución no uniforme dadapor la función:

λ = kx2

donde k es una constante y: 0 ≤ x ≤ L.Si una carga q se localiza en el punto (0, L), calcular: (a) La fuerza elécrica que actúa sobre q. (b) Laenergía potencial eléctrica de la carga q.

40. Un disco de radio R tiene una distribución superficial dada por la función radial:

σ = Ar2

donde A es una constante y: 0 ≤ r ≤ R.Calcular la energía necesaria para localizar una carga q sobre el eje del disco a una distancia R de sucentro.

41. Se dispone de un disco de radio R, cargado con una distribución uniforme σ, calcular la energíanecesaria para localizar un alambre cargado de longitud R y distribución uniforme λ sobre el ejeperpendicular al disco y con un extremo en el centro del mismo.

42. Una carga puntual q se localiza en el centro de un cascarón esférico de radio R. Calcular la energíapotencial de la carga q, si una mitad del cascarón tiene una distribución σ, y la otra una distribución2σ.

43. Un cilindro circular recto de radio R y longitud L, tiene una distribución espacial no uniforme dadapor la función:

ρ = ρ0 +Az

donde ρ0 y A son constantes y z una variable que toma el valor cero en el centro geométrico del

cilindro, es decir: −L2≤ z ≤ L

2 .Calcular el campo y potencial eléctricos en z = 0.

44. El espacio entre dos láminas cilindricas coaxiales de radio R y 3R, respectivamente, se carga con unadistribución volumétrica dada por la función:

ρ(r) =

(A

2R

)r

donde A es una constante y la variable radial r ≥ 0.Encontrar la diferncia de potencial entre ambas láminas.

45. Cuatro cascarones esféricos de radios: a < b < c < d respectivamente, se disponen concentricamente.Los cascarones de radio a y d se mantienen a potencial tierra, y entre los cascarones intermedios sedistribuye una carga total Q. Encontrar: (a) La ley de distribución de potenciales electrostáticos. (b)La cantidad de carga que se distribuye en cada uno de los cascarones intermedios.

46. Las funciones de potencial electrostáticos de una esfera cargada de radio R es como sigue:

Φ(r) =A

ε0

(r4

20R2− r2

6+R2

4

)

para: 0 ≤ r ≤ Rφ(r) =

2AR3

15ε0rpara: r ≥ R

en ambas funciones de alta simetría esférica A es una constante. Encontrar la energía eléctrica de laesfera cargada.

47. Dos conductores esféricos se disponen concentricamente. El primero de radio R1 se mantiene a po-tencial U0, y el segundo que es un cascaron de radios R2 y R3 (R2 < R3), tienen una carga neta Q.Calcular el potencial electrostático en todas las regiones.

48. Una gota esférica de agua tiene una carga de 3×10−11(C) y un potencial de 500(V ) en su superficie,si dos de estas con la misma carga y el mismo radio se combinan para formar una sola. Encontrar elpotencial superficial de la nueva gota.

49. Un diodo se compone de un cátodo cilíndrico de 0,5(mm) de radio montado coaxialmente con unánodo cilíndrico de 4,5(mm) de radio. El potencial anódico es 300(V ), más alto que el catódico,si un electrón abandona la superficie del cátodo sin velocidad inicial, calcular su velocidad. (a) Trasrecorrer 2(mm). (b) Al chocar con el ánodo.

50. Dos tubos conductores de paredes delgadas se disponen coaxialment. El primero tiene un radio de1(cm), y el segundo un radio de 10(cm). Ambos cilindros se aislan eléctricamente, y el exterior seconecta a tierra. (a) Calcular el potencial del tubo interior compatible con un campo eléctrico máximode 500(V/m). (b) Cuál es entonces el campo y potencial eléctricos a 5(cm) del eje ?. (c) Cuál es ladistribución de carga en cada cilindro ?

51. Los electrodos en una válvula de radio son dos cilindros coaxilaes. El interior tiene un radio de 1(mm)y el exterior un radio de 3(mm). Una diferencia de potencial de 150(V ) entre los electrodos aceleralos electrones emitidos por la placa interior. (a) Expresar la aceleración de cada electrón en función dela distancia al eje de la válvula. (b) Expresar en unidades (eV) la máxima energía cinética adquiridapor un electrón.

52. Un triodo puede puede esquematizarse del siguente modo:

a) Una superficie plana (cátodo) emite electrones con velocidad inicial despreciable.

b) A 3(mm) del cátodo, una regilla de alambre fino que se mantiene a 18(V ) sobre el potencialcatódico, y

c) a 12(mm) de la regilla una segunda placa (ánodo) que se mantiene a 15(V ) sobre el potencialdel cátodo.

(a) En cuánto tiempo llegará los electrones al ánodo ?(b) Y cuál es su velocidad final ?

53. El valor absoluto de las cargas de un dipolo es de 3 × 10−6(C), estando separadas una distancia de2(mm). Calcular el campo eléctrico en un punto situado sobre la mediatriz del dipolo y a 10(dm) deél.

54. para una configuración tetrapolar característica. Calcular su campo eléctrico en el punto P , si x >> a.

55. Calcular la fuerza de interacción eléctrica entre una carga puntual q = −3 × 10−6(C), y un dipolopuntual p = 5× 10−12(Cm), si la carga está localizada sobre la mediatriz del dipolo a 30(cm) de él.

Dipolos Eléctricos

1. Derivar el campo eléctrcio de un dipolo p, a partir de su potencial electrostático.

2. Desarrollar el campo eléctrico de un dipolo p, en coordenadas (a) rectangulares, (b) esféricas.

prob. 2

PSfrag replacements

x

y

p

p p

p

r r

00

(a) (b)θθ

φ

3. El valor absoluto de las cargas de un dipolo es de 3(µC) y ellas están separadas 2(cm). Calcular (a)el campo eléctrico a 1(m) y 10(m) del dipolo (estas distancias se miden a partir del punto mediodel dipolo y a lo largo de su eje) (b) el campo eléctrico a las mismas distancias, de la carga positivasolamente, (b) la razón entre los campos monopolar y bipolar calculados.

4. En la figura adjunta, se muestra una configuración tetrapolar característica. Los efectos eléctricos deesta distribución no se anulan completamente. Calcular el campo eléctrico tetrapolar, en el punto P ,considerando que z >>> a.

prob. 4

PSfrag replacements

q q−2q

aa 0z

p

5. Cierto tipo de tetrapolo está formado por cuatro cargas puntuales localizadas en los vértices de uncuadrado de lado 2a, como se muestra en la figura 5. Calcular su campo eléctrico en el punto P , parael cual x >>> a.

Prob. 5

PSfrag replacements

q

q

−q

−q

xp

6. Una carga puntual q = −3 × 10−6(C), se coloca a 30(cm) de un dipolo p = 5 × 10−12(Cm). Ladistancia se mide del punto medio del dipolo sobre una dirección perpendicular a él. Calcular, enmagnitud y dirección la fuerza que actúa sobre (a) la carga, (b) el dipolo.

7. Demostrar explícitamente que el campo eléctrico de un dipolo p, es de flujo nulo a través de cualquiersuperficie cerrada que contenga al dipolo. Tome como superficie cerrada una esfera de radio r, cen-trada en la posición del dipolo.

8. Calcular el trabajo realizado al trasladar una carga puntual q, entre los puntos A y B del campoeléctrico de un dipolo p, por el arco de circunferencia que se muestra en la figura adjunta.

Prob. 8

PSfrag replacements

A

Bp

Polarización, Capacitancia, Capacitores

1. Una varilla delgada de dieléctrico de sección A, se extiende sobre el eje x, desde x = 0 hasta x = L.La polarización de la varilla es longitudinal y esta dado por la función: P(x) = (ax2 + b)ux, donde ay b son ciertas constantes experimentales. Demostrar explícitamente que la carga total de polarizaciónes nula.

2. Un cubo dieléctrico de lado L, tiene una polarización radial dada por la función P = P0r, donde P0

es una constante y r es el vector posición con origen en el centro geométrico del cubo. (a) Encontrarlas densidades de carga latente. (b) Demostrar explícitamente que la carga total latente es nula.

3. una varilla de dieléctrico, que tiene forma de cilindro circular recto de longitud L y radioR, se polarizaen la dirección de su longitud. Si dicha polarización es uniforme y de magnitud P0, calcular el campoeléctrico de la varilla polarizada en cualquier punto de su eje.

4. Dos bloques semi-infinitos de dieléctrico se colocan uno frente al otro permitiendo una separaciónconstante entre ellos. La polarización P es uniforme en ambos bloques y su dirección forma un anguloφ con la normal a los planos que limitan la abertura. Determinar el campo eléctrico en dicha abertura.

5. Dos medios dieléctricos LIH de constantes K1 y K2 separados por una interfase plana y vacía pre-sentan polarizaciones uniformes P1 en el medio K1 y P2 en el medio K2. Si las direcciones estándefinidas por los ángulos θ1 y θ2 que ambas polarizaciones forman con la dirección normal a suinterfase, estimar una relación cualitativa entre ambos ángulos.

6. Una placa FERROELECTRICA de espesor a y polarización uniforme P se introduce entre dos placasconductoras paralelas e interconectadas mediante un alambre conductor Ver fig.1Encuentrese los campos E, D entre ambas placas conductoras.

Fig. 1

PSfrag replacements

a

b

P

7. Una esfera de material dieléctrico de constante K y radio R, tiene una densidad uniforme de cargalibre ρ0. (a) Determínese para puntos interiores y exteriores de la esfera las funciones E, D y Φ. (b)Cacúlese el valor del potencial Φ en el centro de la esfera. (c) Determinese las leyes de distribuciónde carga latente.

8. Un dieléctrico polarizado equivale a una distribución de carga libre y carga de polarización. Una esfera

dieléctrica de radio R y constante K está polarizada radialmente según la función P(r) =

(A

r

)ur,

donde A es una constante positiva y: 0 ≤ r ≤ R. (a) Determinar las leyes de distribución de las cargaslibres y de polarización en la esfera. (b) Determinar la función potencial Φ(r), dentro y fuera de laesfera.

9. Un cilindro conductor largo de radio a y distribución uniforme de Carga libre, tiene una cubiertadieléctrica de constante K y espesor uniforme. Si el radio de la cubierta es b, obtengase las leyes dedistribución de carga latente.

10. Un cilindro conductor de radio a y densidad lineal uniforme λ0 se recubre con una capa uniformeformada por dos dieléctricos de constantes K1 y K2 como se muestra en la Fig. 2

Fig. 2

PSfrag replacementsK1

K2

Advierta que cada dieléctrico tiene radio b y semicubre la superficie exterior del conductor. Determinarlas funciones: E(r) y D(r) en los siguentes dominios: (a) r ≤ a. (b) a ≤ r ≤ b. (c) b ≥ b.

11. El espacio entre dos planos conductores paralelos separados una distancia d, se llena con dos dieléc-tricos de constantes K1 y K2. Si cada dieléctrico tiene un espesor uniforme igual a d/2 y entre lasplacas conductoras se establece una diferencia de potencial U0. (a) Hallar el campo eléctrico en cadadieléctrico. (b) Verificar las unidades de carga latente. (c) Encontrar la densidad de carga libre en losconductores.

12. Una capa esférica de dieléctico sólido de constante K1, radio interior a y radio exterior b, contiene unadistribución volumétrica uniforme de carga libre ρ0. Rodea a esta distribución un segundo dieléctricogaseoso de constante K2 y extensión ilimititada. Calcular el campo eléctrico en todas las regiones. (b)Las densidades de carga latente o de polarización.

13. Una esfera conductora de radio R y carga total Q,esta sumergida en un medio dieléctrico de permi-tividad variable seún la función radial: ε = ε0(1 + a/r), donde a es una constante positiva y r ladistancia radial que se mide desde el centro de las esfera. (a) Obtenga la función potencial Φ(r). (b)Determine las cargas de polarización.

14. Una esfera conductora de carga total Q y radio R, flota sumergida a la mitad de un medio dieléctricolíquido de permitividad ε1. La región por encima del líquido es un gas de permitividad ε2. Calcular elcampo eléctrico de las esfera.

15. Calcular la energía electrostática de las siguentes distribuciones de carga libre: (a) Una esfera condu-tora de radio a y carga total Q. (b) Una esfera de radio a y carga total Q, distribuida uniformementeen todo su volúmen.

16. Una esfera no conductora de radio R = 1(cm) y constante K1, está sumergída en un medio dieléctricogaseoso de constante K2. La distribución de carga libre en la esfera es tal que origina la siguentedistribución de potenciales: Φ(r) = 10,5 − 7,5 × 104r2, para r ≤ R, y φ(r) = 0,03/r, para r ≥ R.Deteminar los valores de K1 y K2, si la energía electrostática del sistema es de 10−10(J).

17. Encontrar la energía electrostática de una esfera de radio R, con la siguente distribución volumétricade carga libre: ρ(r) = ρ0(1− r/R), Para 0 ≤ r ≤ R, y ρ = 0 para r ≥ R.

18. Determinar la capacitancia de los siguentes capacitores: (a) Capacitor plano de área A con dos capasdieléctricas K1 y K2 com se muestra en la figura 3 (b) Capacitor esférico con dos capas dieléctricasK1 y K2, como se muestra en la figura 4 (c) Capacitor cilíndrico de longitud L cuyo corte transversalpuede representarse por la figura 4

Fig. 3

Fig. 4

PSfrag replacements

K1

K1

K2

K2

aa

b

b

c

19. Encontrar la capacitancia de: (a) Un capacitor plano de área A y constante d lleno de dos dieléctricosK1 y K2 como se muestra en la figura 5 (b) Un capacitor esférico de radios R1 < R2 que contienedos dieléctricos K1 y K2 como se muestra en la figura 6 (c) Un capacitor cilíndrico de radios R1 yR2, longitud L con dos dieléctricos K1 y K2 como se muestra en la figura 6 en corte transversal.

20. Cuando el interruptor S de la figura 7 se mueve hacia la izquierda las placas del capacitor C1 adquierenuna diferencia de potencial U0 . Los capacitores C2 y C3 están inicialmente descargados. Sí a contin-uación se mueve el interruptor hacia la derecha, determinar las cargas finales en los tres capacitores.

21. Dos capacitores C1 = 1(µF ) y C2 = 3(µF ), se cargan al mismo potencial U0 = 100(V ) aunque conpolaridad opuesta, de este modo los puntos a y c se encuentran del lado positivo y los puntos b y d

Fig. 5 Fig. 6

PSfrag replacements

K1

K1

K2

K2 d

A/2 A/2

del lado negativo de los capacitores como se ilustra en la figura 8 En estas condiciones se cierran lasllaves S1 y S2. Determinar (a) La diferencia de potencial entre los puntos e y f , (b) La carga final decada capacitor.

++

−

S

−

e

f

−

+

Fig. 7 Fig. 8

PSfrag replacements

U0C1

C1

C2C2

C3

S1

S2

a

b c

d

22. Determinar la capacitancia equivalente entre los puntos a y b de la red de capacitores que se muestraen la figura 9, si C2 = 10(µF ) y C1 = C3 +C4 = C5 = 4(µF ).

23. En el circuito de capacitores de la figura 10, la batería F suministra 12(V ). Si C1 = 1(µF ), C2 =2(µF ), C3 = 3(µF ) y C4 = 4(µF ); determinar la carga final de cada capacitor si se cierra la llaveS1 y (a) se mantiene abierta la llave S2, (b) se cierra la llave S2.

24. Las placas cuadradas de un capacitor, cada una de lado a forman un ángulo θ entre sí como semuestra en la figura 11. Calcular su capacitancia sí el ángulo θ es tal que justifica la aproximaciónsen θ = tan θ = θ.

25. Dos capacitores idénticos con aire entre sus armaduras, se conectan en serie y la combinación semantiene a una diferencia de potencial de 20(V ). En estas condiciones se inserta en uno de los capac-itores una lámina dieléctrica de constante K = 5, y espesor uniforme igual a un quinto de la brechadel aire. se pide calcular (a) el potencial y la carga de cada capacitor antes y despúes de la inserción,(b) el trabajo realizado en el proceso de inserción del dieléctrico.

26. Dos conductores cilíndricos coaxiales muy largos se introducen perpendicularmente en un dieléctricolíquido de suceptibilidad χ y densidad másica δ. si luego se aplica una diferencia de potencial U0

entre los conductores. Determinar la altura h del dieléctrico entre los conductores, cuando se alcanzael estado de equilibrio.

+ −

Fig. 9 Fig. 10

Fig. 11

PSfrag replacementsC1

C1

C2

C2

C3

C3

C4

C4

θ

FC5

a b

S1

S2

27. Dos placas conductoras idénticas están separadas a una distancia uniforme d. La primera placa seencuentra a un potencial U1 y la segunda a un potencial U2, siendo U2 > U1. Una tercera placaidénctica a las anteriores y con potencial U (siendo U1 < U < U2) se inserta entre las dos primeras.Determinar la posición relativa de la placa intermedia si ella debe estar en equilibrio electrostático.

28. Un capacitor plano de área A y constante de placa d, se mantiene a una diferncia de potencial U0.Calcular la fuerza entre sus placas si: (a) se utiliza un dieléctrico sólido de constante K , de este modoque al no ser perfecto el contacto se deja una delgada capa de aire entre dieléctrico-conductor, (b) semejora dicho contacto utilizando un dieléctrico líquido de constante K .

Corriente Eléctrica, Conductores Ohmicos, Circuitos

1. La densidad instantánea de cierta corriente está dada por el campo vectorial J = 2(x3, y3, z3). De-terminar: (a) la rapidez instantánea de cambio en la densidad volumétrica de carga para el punto(2,−1, 4), (b) la rapidez instantánea de cambio en la carga total Q contenida en una esfera gaussianacentrada en el origen y de radio 5(m).

2. Una carga total Q se distribuye uniformemente en el volúmen de una esfera de radio a. Si la esferacargada gira respecto a uno de sus diámetros, con una frecuencia angular constante ω, (a) encontrar ladensidad de corriente en cualquier punto de la esfera. (b) Calcular la corriente total que pasa a travésde un semicírculo de radio a, fijo en el espacio apoyado en el eje de rotación de las esfera.

3. (a) Una muestra de Cu tiene una densidad de corriente de 103(A/m2). Suponiendo que cada átomode Cu contribuye con un electrón de conducción, calcular la velocidad de arrastre de los portadores,(b) si la resistividad del Cu es 1,69×10−8(Ωm), calcular el tiempo medio de colisión para un electróndel Cu.Nota: el número de Avogadro N0 = 6,023 × 1023at/mol, el peso atómico del Cu es igual 63,5 y sudensidad es de 8,92(gr/cm3).

4. Dos placas metálicas paralelas planas e infinitas estan separadas a una distancia d. El espacio entrelas placas se llena con dos materiales conductores, el primero de permitividad ε1 y conductividad %1,el segundo de permitividad ε2 y conductividad %2. Las placas se mantienen a potencial U1 y U2, comose muestra en la figura 12. Dado que se establece una corriente estacionaria entre los conductores, (a)

Calcular el potencial de la superficie que separ los dos medios, (b) encontrar la densidad superficialde carga libre en la misma superficie.

Fig12

PSfrag replacements

ε1 ε2%1 %2

U1 U2

x0 a d

5. Dos láminas cilíndricas de metal se disponen coaxialmente, el cilindro interior tiene radio a, y elexterior radio b, entre ellas se establece una diferencia de potencial U0. (a) Si el espacio entre lasláminas se llena con un material de conductividad %, encontrar la resistencia por unidad de longitud delmaterial. (b) Si dicho espacio se llenara con un dieléctrico de permitividad ε, encontrar la capacitanciapor unidad de longitud del sistema. (c) Qué relación cualitativa puede establecerse entre la resistenciay la capacitancia ?

6. Entre dos cáscaras esféricas concéntricas, de radios a y b (a < b), se colocan dos medios de con-ductividad %1 y %2 respectivamente. Cada conductor ocupa la mitad del volúmen entre las esferas.Calcular la resitencia a la corriente establecida por una diferencia de potencial U0 entre ambas cás-caras.

7. La figura 13 representa una combinación en serie-paralelo de varias resistencias. Determinar las re-sistencias equivalentes entre los puntos: (a) A y C (b) C y B (c) A y D (d) A y B.

8. En la figura 14 se muestra una red de resistencias. Determinar la resistencia equivalente entre lospuntos: (a) A Y B (b) C y D si los terminales A y B se desconectan.

Fig. 13Fig. 14

PSfrag replacements

600Ω

1000Ω

800Ω

300Ω

1200Ω

900Ω

400Ω

3000Ω

2500Ω

2000Ω

8000

Ω

6000

Ω

4000

Ω

A

A

B

B

CC

D D

9. Tres resistencias de 50(Ω), 40(Ω) y 73,4(Ω), se conectan en paralelo. Si la corriente por la resistenciade 73,4(Ω) es de 3,27(A), determinar (a) la tensión entre los terminales del conjunto, (b) la corrienteque circula por cada resistencia.

10. Tres resistencias A, B y C , están conectadas en paralelo. La resistancia A es de 12(Ω) la B es de10(Ω) y la C es un reóstato. La intensidad de corriente que alimenta el conjunto es de 8(A). En quévalor debe ajustarse el reóstato si por el la corriente es de 2,5(A) ?

11. La figura 15 representa un circito serie-paralelo. Si la tensión entre los puntos c y d, es 100(V ), deter-minar (a) la tensión entre los puntos b y c, (b) la potencia absorvida por cada una de las resistencias,(c) la potencia total absorvida por el circuito.

12. Si la potencia absorvida por la resistencia de 250(Ω) en el circuito de la figura 16 es de 100 vatios, de-terminar: (a) La corriente que circula por las resistencias de 200(Ω),250(Ω) y 300(Ω), (b) la difernciade potencial entre los puntos a y b, (c) la tensiñon eléctrica entre los terminales 0 y 0 ′, (d) la potenciatotal absorvida por el sistema.

a

Fig. 15 Fig. 16

PSfrag replacements

15Ω

4Ω

10Ω

30Ω 60Ω 50Ω

100Ω 120Ω

200Ω 250Ω 300Ω

0

0′ b

b

cd

13. En el circuito de la figura 17 R representa una resistencia variable. Entre los terminales del circuitose establece una diferncia de potencial de 120(V ). Determinar el valor de (a) la resistencia R paraque el circuito consuma 988,3 vatios, (b) la potencia abasorvida por las dos resistencias constantes,(c) de R para que absorva la misma potencia que la resistencia de 6(Ω), (d) de R para que la potenciaabsorvida en las resistencias de 6(Ω) y R se máxima.

14. Una corriente de 20(A) alimenta el circuito de la figura 18. Determinar el valor de la resistenciavariable R, si la potencia absorvida por la resistencia de 12(Ω) es de 441 vatios.

20 A

Fig.18Fig.17

PSfrag replacements6Ω

30Ω

8Ω

12Ω

R

R

20A

15. Una resistencia variable R, se dispone en serie con una fija de 22(Ω) y el conjunto se conecta a unared de 110(V ). determinar (a) el valor de R, para que la potencia absorvida sea máxima, (b) el valorR para que la potencia que absorva sea el doble de la absorvida por la resistencia de 22(Ω).

16. En el circuito de la figura 19, determinar (a) la corriente en la resistencia de carga, (b) la corriente encada una de las baterias, (c) la tensión entre los puntos a y b.

17. En el circuito de la figura 20, determinar (a) las corrientes en las baterias, (b) la tensión entre a y b,(c) la tensión entre los bornes de la batería de 2(V ).

Fig.19Fig.20

PSfrag replacements 6V

6V 5V

5V

2V

a

a b

b0,8Ω

0,8Ω 0,6Ω

0,6Ω

0,4Ω

2,5Ω2,5Ω

18. En el circuito de la figura 21, determinar las corrientes en las baterias, (b) las tensiones entre los bornesde las tres baterias, (c) las tensiones entre los puntos a y b.

19. En el circuito de la figura 22, la resistencia abc es de 40(Ω) y la bc es de 10(Ω). Determinar (a) Lascorrientes en las baterias, (b) el punto hacia el cuál debe moverse el contacto b (en función de laresistencia bc) para que la corriente en la bateria de 10(V ) se anule.

Fig. 21 Fig. 22

2V

PSfrag replacements

0,3Ω

0,2Ω4Ω

0,5Ω

0,5Ω

3Ω 2Ω

2Ω0,4Ω

10V

10V

6V

32Va

b

c

20. En el circuito de la figura 23, determinar el valor y sentido de todas las corrientes.

21. en la red eléctrica de la figura 24, determinar el valor y sentido de las seis corrientes.

Fig. 23 Fig. 24

PSfrag replacements

0,3Ω

0,2Ω0,2Ω

0,2Ω

0,5Ω

8Ω

4Ω

6Ω

0,4Ω

2Ω

12Ω

14Ω

16Ω

15V15V

8V

6V

10V10V

22. Las tres baterias del circuito 25, tienen resistencias internas despreciables. Calcular en magnitud ysentido todas las corrientes.

23. En la figura 26, se presenta un puente de Wheatstone alimentado por una bateria. La resistencia delgalvanómetro Rg = 200(Ω). Si el puente no está equilibrado, calcular la corriente que pasa por elgalvanómetro.

Fig. 25Fig. 26

PSfrag replacements

15Ω 12Ω

25Ω

100Ω

10Ω

5Ω

40Ω

Rg12V20V

30V

5V0,2Ω

24. En el circuito de la figura 27, determinar (a) el valor y sentido de las seis corrientes, (b) la tensiónentre los terminales de las tres baterias.

Fig. 27

PSfrag replacements

0,2Ω0,2Ω

2Ω

3Ω

0,3Ω

5Ω

4Ω

0,4Ω

6Ω15V

8V

6V

Capítulo 2

Magnetostática

2.1. Introducción

En este capítulo se estudian las propiedades físico-matemáticas del espacio afin, a una corriente eléctricaestacionaria, compatible con la ecuación de continuidad:

∇ · J = 0

En 1820, el físico danés OERSTED confirmó experimentalmente el efecto cinético que una corriente directaejerce sobre una brújula magnética(imán natural) e intuitivamente reveló la existencia del campo magnético.A partir de este descubrimiento, evidentemente casual, la teoría magnética se desarrolla extraordinariamentee incluso se formulan las primeras hipótesis concernientes al campo magnético terrestre.Sintetizan ésta labor dos leyes básicas que son las que sustentan el estudio de la magnetostática. Ellaspropuestas casi simultáneamente, son:

2.2. La ley de Ampere-Laplace

Referida a la interacción magnética entre dos corrientes circuitales(C y C’ en la figura 2.1 ) y condensadaen la ecuación vectorial:

F = Kmii′∮

C

∮

C′

dr× [dr′ × (r− r′)]

‖r− r′‖3(2.1)

donde F simboliza la fuerza magnética sobre el circuito C , debido a la presencia del circuito C ′. Alternati-vamente:

F′ = Kmii′∮

C

∮

C′

dr′ × [dr× (r′ − r)]

‖r− r′‖3(2.2)

Simboliza la fuerza magnética sobre el circuito C ′ en interacción con el circuito C.

2.3. La ley de Biot-Savart

Referida al campo magnético de una corriente circuital(C ′ en figura 2.2) y cuya ecuación vectorial es:

B(r) = Kmi′∮dr′ × (r− r′)

‖r− r′‖3(2.3)

En ambas leyes la constante de integración Km, ajusta los resultados teóricos a los experimentales mediante

97

98 CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICAPSfrag replacements

i′ i

rr′

r − r′C ′

C

0

Figura 2.1: interacción entre los circuitos C y C’

PSfrag replacements i′

r′ r

r − r′C ′

0

P

Figura 2.2: Campo magnético generado por un circuito C ′

el uso de unidades apropiadas.En el sistema internacional, la unidad de intensidad magnética(módulo de B) es el Tesla(T), y el valor de laconstante:

Km = 10−7

(T

A/m

)

Ambos modelos matemáticos son empíricos y de origen proporcional, sin embargo de ello, su universalidadha sido verificada en un amplio espectro experimental, de modo que ambas leyes son teórica y experimen-talmente verificables.Un buen punto de partida, en el plano teórico, es el advertir que ambas leyes son complementarias, pues laley referida a la fuerza magnética puede reformularse como:

F = i

∮

Cdr×B(r) (2.4)

ó alternativamente:

F′ = i′∮

C′dr′ ×B(r′) (2.5)

en ambos casos el campo magnético tendría que evaluarse utilizando la ley de Biot-Savart.Si en el modelo original de Ampere-Laplace:

F = Kmii′∮ ∮

dr× [dr′ × (r− r′)]

‖r− r′‖3

desarrollamos el triple producto vectorial, según:

dr×[dr′ × (r− r′)

]=[(r− r′) · dr

]dr′ −

[dr · dr′

](r− r′)

2.3. LA LEY DE BIOT-SAVART 99

por lo cual:

F = Kmii′∮

C

∮

C

[(r− r′) · dr‖r− r′‖3

]dr′ −Kmii

′∮

C

∮

C′

[dr · dr′‖r− r′‖3

](r− r′)

como son corrientes circuitales, cualquier integral de la forma∮

C′ξ(r,r′)dr

′ = 0 (2.6)

que es igual al vector nulo, de modo que:

F = −Kmii′∮

C

∮

C′

[dr · dr′‖r− r′‖3

](r− r′) (2.7)

y en consecuencia:

F′ = Kmii′∮

C

∮

C′

dr′ · dr‖r− r′‖3

(r′ − r) (2.8)

Y sumando F con F′, demostramos una propiedad fundamental de la interacción magnética, a saber:

F + F′ = 0 =⇒ F′ = −F

que equivale a satisfacer el principio de acción y reacción en la teoría de Newton, que también se cumpleen la electricidad ecuación 1.4 del capítulo anterior. Esto nos permite afirmar que las fuerzas magnéticas,aceptan el mismo tratamiento teórico experimental, que las fuerzas mecánicas. Confirmación realmenteimportante. !Los modelos clásicos, de fuerza e inducción magnéticas, corresponden a la teoría de los medios continuos.Es bastante común y razonable referirse con el nombre de fluído eléctrico a la corriente conductiva en losalambres metálicos. sin embargo al introducir la densidad de corriente:

J = Nqv

podremos establecer los comportamientos discretos para una corriente convectiva formada por una solacarga eléctrica. En efecto si la sustitución referida la establecemos en la ecuación:

B(r) = Kmi′∮dr′ × (r− r′)

‖r− r′‖3

llegamos sucecivamente a:

B(r) = Km

∮J(r′)× (r− r′)

‖r− r′‖3dV (2.9)

ó

B(r) = Km

N∑

i

Nqv × (r− r′)

‖r− r′‖3dV (2.10)

y con una densidad unidad, de modo que:∫NdV = 1 ó N∆V = 1 , establecemos el campo magnético

movil; esto es:

B(r) = Kmqv × (r− r′)

‖r− r′‖3(2.11)

100 CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICA

PSfrag replacements

r − r′

r

r′

q

P

v

0

Figura 2.3: Campo magnético por una carga q movil

PSfrag replacements

r

q

P

v0

Figura 2.4: Campo magnético por una carga q en r ′ = 0

si reducimos r′ = 0 tenemos:

B(r) = Kmqv × r

r3(2.12)

Aún más, si v es una velocidad no relativista, es decir si: v ≤ 0,1c donde c representa la velocidad de la luz:Recordemos que el campo eléctrico para una carga puntual con r′ = 0 ecuación 1.25 es: E = Ke

q

r3r y con

la ecuación 2.12 obetenemos:B(r) =

Km

Kev ×E(r) (2.13)

conocidos los valores de: Km = 10−7 y Ke = 9× 109, resulta.

Km

Ke=

10−7

9× 109=

1

9× 1016

con lo que:Km

Ke=

1

c2(2.14)

entonces:

B(r)v ×E(r)

c2(2.15)

Por las condiciones físicas, ambos campos, el eléctrico y el magnético, generados por una carga movil, dejande ser estacionarios.

Si para la sustitución usamos la ecuación 2.4 que es Fm = i

∮dr×B(r), establecemos que:

Fm =

∫J(r) ×B(r) (2.16)


PSfrag replacementsr

q

B(r)

E(r)

v

Figura 2.5: Campo magnético y eléctrico generados por una carga q movil

ó

Fm =

∫Nqv ×B(r)dV (2.17)

finalmente con∫NdV = 1

Fm = qV×B(r) (2.18)

Aqui B(r) representa el valor del campo magnético en la posición instantánea de la carga puntual q. Ob-viamente se trata de la fuerza que un campo magnético ejerce sobre una carga inyectada en él. Su efectoesencialmente deflector modifica la dirección en el movimiento de la carga, sin producir variaciones en suenergía cinética.Dado el interés teórico-experimental nos proponemos desarrollar detalladamente la solución a los siguentesproblemas importantes.

1. Movimiento de una partícula de masa m, carga q y velocidad v inyectada en un campo magnéticouniforme B.Solución: En referencia a un sistema cartesiano impondremos las siguentes condiciones iniciales:ri = (0, 0, 0); vi = (v, 0, 0), y ∀ t : B = (0, 0, B).En todo tiempo t:

F = qv ×B = q

∣∣∣∣∣∣

ux uy uz

vx vy vz0 0 B

∣∣∣∣∣∣= q(Bvy,−Bvx, 0)

de modo que:

Fx = qBvy Fy = −qBvx Fz = 0

ax =qB

mvy ay = −qB

mvx az = 0

vx =qB

mvy vy = −qB

mvx vz = 0

si sustituimos: ω =qB

m; resulta.

vx = ωvy vy = −ωvx vz = 0 =⇒ z = 0


Como era de esperar el movimiento evoluciona en el plano z = 0. Las ecuaciones diferencialesrestantes no son directamente integrables, sin embargo si derivamos cada una respecto al tiempo, lastomamos solubles; en efecto:

vx = ωvy =⇒ vx = −ω2vx =⇒ vx + ω2vx = 0

análogamente:vy = −ωvx =⇒ vy = −ω2vy =⇒ vy + ω2vy = 0

cuyas soluciones generales son respectivamente:

vx = A1 senωt+B1 cosωt (2.19)

vy = A2 senωt+B2 cosωt (2.20)

Ahora bién, segun las ecuaciones vx = ωvy ó vy = −ωvx, por lo cual:

A1ω cosωt−B1ω senωt = A2ω senωt+B2ω cosωt

igualdad que se cumple si:

B2 = A1

A2 = −B1

de este modo:

vx = A1 senωt+B1 cosωt

vy = −B1 senωt+A1 cosωt

y ∀t = 0 v = (v, 0, 0) obtenemos:

v = B1

0 = A1

a falta de una integración final:

vx = v cosωt (2.21)

vy = −v senωt (2.22)

ecuaciones que nos confirman la conservación de la energía mecánica de la partícula, al ser:

v2x + v2

y = v2 (2.23)

finalmente:∫ x

0dx = v

∫ t

0cosωtdt

∫ y

0dy = −v

∫ t

0senωtdt

por lo que:

x =v

ωsenωt (2.24)

y =v

ωcosωt− v

ω(2.25)


PSfrag replacements

B

q

vc

F

x

y

z

R =mv

qB

ω = − q

mB

Figura 2.6: carga q inyectada en B

ecuaciones que establecen una trayectoria circular:

x2 +(y +

v

ω

)2=( vω

)2(2.26)

de radio R =v

ω=mv

qB

y centro en el punto(

0,− vω

)

El cálculo explícito de la frecuencia angular ω, es posible dado que la fuerza magnética es una fuerzacentrípeta en el movimiento de la carga q; pues:

qv ×B = mac como ac = ω × v

qv ×B = mω × v

−qB× v = mω × v

esta igualdad implica:ω = − q

mB (2.27)

Podemos intentar una ilustración gráfica(fig. 2.6).Antes de concluir hacemos incapié en algunas conclusiones históricamente importantes:

a) Partículas eléctricas con la misma carga q y masas diferentes, inyectadas perpendicularmenteal interior de un campo magnético uniforme B con la misma velocidad v, describirán órbitascirculares de radios proporcionales a sus masas fig. 2.7. Este principio fundamentó el diseño delprimer espectrómetro de masas, equipo con el cual se identificaron los isótopos de un elementoquímico.


c’

PSfrag replacements

B

q

vc

m

m′ > m

C ′

x

y

z

Figura 2.7: cargas q con masas m y m′

b) el sentido de la deflexción depende del signo de la carga inyectada fig. 2.8 . Aplicando esteprincipio en una cámara de niebla que permite fotografiar la traza dejada por una partícula enmovimiento, el físico Anderson descubrió en 1932 el positron o electrón positivo.

PSfrag replacements B

v

v

q > 0

q < 0

x

y

z

Figura 2.8: cargas con distintos signos

c) La velocidad de inyección de una partícula cargada, en un campo magnético, no define la mag-nitud de su frecuencia angular, aunque si determina el valor del radio en la trayectoria circular

correspondiente fig. 2.9. De este modo el período de circunvolución(P =

2π

ω

)resulta in-

dependiente de la velocidad lineal. En 1932 funcionó el primer acelerador ciclíco de partícu-las(ciclotron) cuyo diseño, por el físico Lawrence, se fundamenta en éste esocronismo circular.

d) Cuando una partícula, de carga q, se somete a la acción simultánea de dos campos estacionarios,uno eléctrico (E) y otro magnético (B), la fuerza que modifica su impulsión es:

F = qE + qv ×B (2.28)

que es conocido por la fuerza de Lorentz.La superposición dinámica que se advierte en esta ecuación refleja el efecto exclusivamente


qv1

v2

c’ c

PSfrag replacements

Bv

2v

R

2R

CC ′

x

y

z

Figura 2.9: cargas con distintas velocidades

deflector del componente magnético.La fuerza de Lorentz ha sida confirmada en el laboratorio en los notables experimentos de J.J.Thomson(1897), que condujeron al primer cáculo de la carga, específicamente del electrón. Paratal propósito se utilizaron campos constantes mutuamente perpendiculares(campos cruzados).

2. Movimiento de una partícula de carga q, masa m, sometida a la acción conjunta de un campo elec-trostático uniforme y un campo magnetostático también uniforme.solución Supongamos que la partícula esta inicialmente en reposo y en el origen de un sistema carte-siano y que la acción conjunta se debe a los campos: E = (0, E, 0) y B = (0, 0, B) que son mutua-mente perpendiculares.En estas condiciones la fuerza de Lorentz será:

F = q(0, E, 0) + q

∣∣∣∣∣∣

ux uy uzvx vy vz0 0 B

∣∣∣∣∣∣= q(0, E, 0) + q(Bvy,−Bvx, 0)

con lo que:Fx = qBvy Fy = qE − qBvx Fz = 0

vx =qB

mvy vy =

qE

m− qB

mvx vz = 0

introduciendo la constante: ω =qB

m=⇒ q

m=ω

B, anotamos:

vx = ωvy vy = ωEB − ωvx vz = 0

la integración de la componente vz = 0 −→ vz = 0 −→ z = 0Esto nos confirma que el movimiento se confina en el plano xy. Las ecuaciones diferenciales restanteslas derivamos independientemente respecto al tiempo para plantear: vx = ωvy y vy = −ωvx , y conlas sustituciones de vx y vy , respectivamente.

vx = ω(ωEB − ωvx

)vy = −ω(ωvy)

vx + ω2vx = ω2EB vy + ω2vy = 0

cuyas soluciones generales son:

vx = A1 senωt+B1 cosωt+E

B(2.29)

vy = A2 senωt+B2 cosωt (2.30)


Soluciones que deben satisfacer la condición: vx = ωvy o alternativamente vy = ωE

B− ωvx de la

primera tenemos:A1ω cosωt−B1ω senωt = A2ω senωt+B2ω cosωt

igualdad que se cumple si:

A2 = −B1

B2 = A1

de modo que en las soluciones generales:

vx = A1 senωt+B1 cosωt+E

Bvy = −B1 senωt+A1 cosωt

como para t = 0 =⇒ vx = vy = 0 , esto es v = (0, 0, 0) encontramos

B1 = −EB

A1 = 0

con lo que las soluciones particulares se reducen a:

vx = −EB

cosωt+E

B(2.31)

vy =E

Bsenωt (2.32)

Las últimas integrales conducirán a las ecuaciones paramétricas de la trayectoria descrita por lapartícula cargada, y que como puede verificar el lector, serán:

x =E

Bt− E

Bωsenωt (2.33)

y =E

Bω− E

Bωcosωt (2.34)

respectivamente.Dimensionalmente podemos establecer las siguentes igualdades:

qB

m= ω Fracuencia angular

E

B= V Velocidad lineal

E

ωB= R Radio

las cuales estan relacionadas por:V = Rω (2.35)

Con lo cual:x = V t−R senωt vx = V − V cosωt

y = R−R cosωt vy = V senωt

Y de las cuales podemos obtener los siguentes resultados importantes:


a) La trayectoria de la partícula por:

(x− V t)2 + (y −R)2 = R2 (2.36)

De modo que el par (x, y) , representa la posición de un punto en una circunferncia de radioR, que rueda(sin resbalar) sobre la recta y = 0. Tal tipo de curva se conoce con el nombre decicloide normal(fig. 2.10).

PSfrag replacements

x

y

0

r(t)

2πR

(2πR, 0)

(πR, 2R)

t =2π

ωt = 0

P (x, y)

Figura 2.10: cicloide normal

b) La odógrafa del movimeinto por:

(vx − V )2 + v2y = V 2 (2.37)

PSfrag replacements

vx

vy

v(t)

2V

t =2π

ω t =π

ω

t = 0

Figura 2.11: circunferencia de radio V

una circunferncia de radio V y centro en el punto (V, 0) en el plano (vx, vy)(fig. 2.11). Además:


v2x + v2

y = v2 entonces:

v2 = V 2(1− cosωt)2 + V 2 sen2 ωt

v2 = 2V 2(1− cosωt)

v2 = 4V 2 sen2 ωt

2

v = 2V senωt

2(2.38)

En función de los parámetros originales:

V =E

B

ω =qB

m

R =mE

qB2

v =2E

Bsen

(qB

2m

)t (2.39)

PSfrag replacements

x

y

z

0

q

EB

Figura 2.12: Campos perpendiculares E,B

2.4. Torque Magnético

Nos proponemos analizar el efecto cinético que un campo magnético uniforme genera al actuar sobreuna espira conductora con corriente eléctrica estacionaria(fig. 2.13).Segun la ley de Laplace-Ampere ec. 2.4

dF = idr×B(r)

como en el caso que nos preocupa: B(r) = B.Resulta:

F = i

(∮dr

)×B (2.40)

2.4. TORQUE MAGNÉTICO 109

PSfrag replacements

r

B

dFdr

0

i

Figura 2.13: Espira conductora

La integral, por tratarse de un circuito cerrado, es nula y por lo tanto:

F = 0

Seguidamente calculamos el torque de la fuerza dF, respecto al punto 0:

dτ = r× (idr ×B) (2.41)

desarrollando el triple producto vectorial1 :

dτ = i(r ·B)dr− i(r·dr)B (2.42)

Con el propósito de formular una solución general, la conduciremos en referencia a un sistema cartesianotriortonormal dextrogiro, entomces:

B = (Bx, By, Bz)

r = (x, y, z) −→ dr = (dx, dy, dz)

de este modo la componente x del torque será:

τx = i(xBx + yBy + zBz)dx− iBx(xdx+ ydy + zdz)

óτx = iBX

∮xdx+ iBy

∮ydx+ iBZ

∮zdx− iBX

∮xdx− iBX

∮ydy − iBX

∮zdz

que se reduce por razones obvias a:

τx = iBy

∮ydx+ iBz

∮zdx (2.43)

Ahora bién, tomando encuenta el área orientada por el circuito de circulación de la corriente, y delimitadapor el conductor: S = (Sx, Sy, Sz)Que en una base dextrogiro será:

S =

(∮ydz,

∮zdx,

∮xdy

)(2.44)

1τ es una magnitud vectorial


con un verctor opuesto:

−S =

(∮zdy,

∮xdz,

∮ydx

)(2.45)

resulta:τx = −iBySz + iBzSy = iSyBz − iSzBy (2.46)

y por desarrollos análogos:

τy = iSzBx − iSXBz (2.47)

τz = iSxBy − iSyBx (2.48)

componentes que representan el producto vectorial:

~τ = iS×B (2.49)

Si definimos el momento magnético de la espira rotante por el pseudovector:

M = iS (2.50)

PSfrag replacements

i

B M

τ

Figura 2.14: Vectores B,M, τ

entonces:~τ = M×B (2.51)

Este efecto rotatorio fundamenta teóricamente el funcionamiento de los motores eléctricos.

2.5. Ecuaciones Integro-Diferenciales

La ley de Biot-Savart en función de la densidad de corriente, resulta ser:

B(r) = Km

∫J(r′)× (r− r′)

‖r− r′‖3dV

y en el sistema racionalizado:

B(r) =µ0

4π

∫J(r′)× (r− r′)

‖r− r′‖3dV

µ0 simboliza la permeabilidad magnética del vacio

2.5. ECUACIONES INTEGRO-DIFERENCIALES 111

2.5.1. Potencial vectorial Magnético

Puesto que:r− r′

‖r− r′‖3= −∇‖r− r′‖−1

resulta:

B(r) =µ0

4π

∫−J(r′)×∇‖r− r′‖−1

dV

B(r) =µ0

4π

∫∇‖r− r′‖−1 × J(r′)dV

Como:∇× ‖r− r′‖−1

J(r′) = ∇‖r− r′‖−1 × J(r′)

resulta:

B(r) =µ0

4π

∫∇× J(r′)

‖r− r′‖dV

ó finalmente

B(r) = ∇×[µ0

4π

∫J(r′)‖r− r′

dV

]

Se define el Potencial Vectorial Magnético, como la integral:

A(r) =µ0

4π

∫J(r′)‖r− r′‖dV (2.52)

y en términos de la corriente estacionaria:

A(r) =µ

4πi

∮dr′

‖r− r′‖ (2.53)

En conclusión:B(r) = ∇×A(r) (2.54)

2.5.2. Primera ecuación: Divergente Del Campo Magnético

De la ecuación 2.54 obtenemos: ∇ ·B = ∇ · ∇×A, como sabemos que la divergencia del rotacionales siempre nula(Apendice A), tenemos:

∇ ·B = 0 (2.55)

Cualquier campo magnetostático es de divergente nulo.

Forma Integral

Resulta evidente la nulidad de la integral:∫

V∇ ·B(r)dV = 0 (2.56)

donde V simboliza el volúmen finito de la distribución de corriente eléctrica. Por el teorema de la divergen-cia:(Apendice A) ∫

V∇ ·B(r)dV =

∮

SB(r) · undS = 0


aqui S, es la frontera natural de V y sustituyéndola por una superficie gaussiana SG, concluimos que:∮

SGB(r) · undS = 0 (2.57)

Solución propia de los campos solenoidales, cuya dirección se define por la tangente geométrica a las líneasde campo que se cierran a si mismas(fig. 2.15); de este modo elegida cualquier superficie cerrada hay unacompensación entre el flujo saliente y el entrante dando un valor neto igual a cero.Es por ejemplo, el caso del campo magnético generado por una carga eléctrica en movimiento.

PSfrag replacements

E

E

E

E

B

BB

B

v

q

Figura 2.15: Líneas de campo cerradas

2.5.3. Segunda Ecuación: Rotacional Del Campo Magnético

Por la relación:B(r) = ∇×A(r), se sigue que:

∇×B(r) = ∇× (∇×A(r))

cuyo desarrolo formal conduce a:

∇×B(r) = ∇(∇ · A(r))−∇2A(r)

y como: A(r) =µ0

4π

∫J(r′)‖r− r′‖dV , entonces:

∇ ·A(r) =µ0

4π

∫

V∇ · ‖r− r′‖−1

J(r′)dV =µ0

4π

∫

V∇‖r− r′‖−1 · J(r′)dV

Por la interpretación de la figura 2.16 no tiene sentido según explorando con el operador ∇; debiendohacerlo con el operador ∇′; ambos operadores estan relacionados según:∇′ = −∇ ó ∇ = −∇′, así:

∇ ·A(r) = −µ0

4π

∫

V∇′‖r− r′‖−1 · J(r)dV

2.5. ECUACIONES INTEGRO-DIFERENCIALES 113

S

PSfrag replacements

r′

r

V

dV

S0

Figura 2.16: ∇′ sobre V

prosegimos usando el método de integración vectorial por partes, según la identidad:

∇′ · ‖r− r′‖−1J(r′) = ∇′‖r− r′‖−1 · J(r′)− ‖r− r′‖−1∇′ · J(r′)

como se trata de una corriente estacionaria: ∇′ · J(r′) = 0, la integral se reduce a:

∇ ·A(r) = −µ0

4π

∫

V∇′ ·

(J(r′)‖r− r′‖

)dV

aplicando el teorema integral de la divergencia llegamos finalmente a:

∇ ·A(r) = −µ0

4π

∮

S

J(r′) · un‖r− r′‖ dS

∇ ·A(r) = −µ0

4π

∮

SG

J(r′) · un‖r− r′‖ dS (2.58)

r − r

SG

PSfrag replacementsV

S

r − r′

dV

Figura 2.17: superficie gausiana

Es facil advertir que magnitud subintegral es inversamente proporcional al valor de ‖r− r ′‖, y dado que unasuperficie gaussiana(fig. 2.17) es perfectamente dilatable el flujo que la atraviesa será nulo para un ‖r− r ′‖,suficientemente grande. asi llegamos a la conclusión que el divergente del potencial vectorial magnético esnulo; es decir:

∇ ·A(r) = 0 (2.59)

con lo que el rotor del campo magnético se reduce a:

∇×B(r) = −∇2A(r) = −(∇ · ∇)A(r)


finalmente:∇×B(r) = −µ0

4π

∫

VJ(r′)(∇ · ∇)‖r− r′‖−1

dV (2.60)

Aqui se presentan dos casos notables:

a© si r 6= r′ =⇒∇ · ∇‖r− r′‖−1= −∇ · (r− r′)

‖r− r′‖3= 0

b© si r = r′ =⇒∇ · ∇‖r− r′‖−1 se indetermina.

En consecuencia solo resta indagar el valor preciso de la integral:

∇×B(r) =µ0

4πJ lımr→r′

∫

V∇ · (r− r′)

‖r− r′‖3dV

∇×B(r) =µ0

4πJ lımr→r′

∮

S

(r− r′) · un‖r− r′‖3

dS

Si para simplificar introducimos: R = r− r′; yr− r′

‖r − r′‖ = uR (fig. 2.18)

PSfrag replacements

J R

r′

r

B

S

0

un

Figura 2.18: Relación entre B y J

∇×B(r) =µ0

4πJ lımR→0

∮

S

uR · unR2

dS

∇×B(r) =µ0

4πJ lımR→0

∮

S

dS

R2=µ0

4πJ lımR→0

[4πR2

R2

]

por lo cual:∇×B = µ0J (2.61)

ecuación diferencial que establece la correspondencia entre B y J, para una misma posición.

Forma Intergral

Interponiendo, en el flujo de corriente, una superficie abierta orientada por el sentido del flujo(fig. 2.19),se establece que: ∫

S∇×B · undS = µ0

∫

SJ · undS

2.6. CAMPOS MAGNÉTICOS NOTABLES 115

Y por el teorema intergral del rotor se reduce a:∮

CB(r) · dr = µ0i (2.62)

cPSfrag replacements

i

S J

un

Figura 2.19: Flufo de corriente eléctrica

Conocida como la ley circuital de Ampere( 2.62). Esta ley, al igual que la de Gauss en el caso electrostático,puede utilizarse para simplificar el cáculo de |B|, en condiciones de alta simetría.

2.6. Campos Magnéticos Notables

a) Conductor rectilíneo de longitud infinita y corriente i.Problema de importancia teórica y cuya solución confirmará la propiedad solenoidal del campo magnéti-co correspondiente. aplicando la ley de Biot-Savart, a la siguiente disposición cartesiana(fig. 2.20).

P

PSfrag replacements

x

y

z

r

r′

i

Figura 2.20: Conductor rectilineo∞

B(r) = Kmi

∮dr′ × (r− r′)

‖r− r′‖3con:

r = (0, y, 0) r′ = (0, 0, z) dr′ = (0, 0, dz)


r− r′ = (0, y,−z) dr′ × (r− r′) = (−ydz, 0, 0) ‖r− r′‖3 = (y2

+ z2)3/2

de modo que:

B(r) = Kmi

∫ ∞

−∞

(−ydz, 0, 0)

(y2 + z2)3/2

y:By = Bz = 0

Bx = −Kmi

∫ ∞

−∞

ydz

(y2 + z2)3/2si sustituimos z = y tan θ

Bx = −Kmi

y

∫ π/2

−π/2cos θdθ

Bx = −Kmi

ysen

∣∣∣∣∣

π/2

−π/2=⇒ Bx = −2Kmi

y

En general, podemos notar en la figura 2.22 para corrientes salientes y entrantes al papel.

PSfrag replacements

x y

z

0B =

2Kmi

yux

B =2Kmi

yuy

B = −2Kmi

yux

B = −2Kmi

yuy

Figura 2.21: Líneas de campo solenoidal

En cualquier caso el campo magnético es tangente a las líneas de campo fig. 2.21 y 2.22 (circunferenciasconcéntricas), y su sentido está definido por la regla de la mano dercha.Dada la alta simetría que presenta el campo considerado puede simplificarse su cálculo recurriendo a laley circuital de ampere ecuación 2.62, pués:

∮

CB · dr = µ0i Circunferencia de radio r∮BdS = µ0i =⇒ B

∮dS = µ0i

B(2πr) = µ0i =⇒ B =µ0i

2πr

B =2Kmi

r


Corriente entrante Corriente saliente

PSfrag replacements

BB

iiCorriente salienteCorriente entrante

Figura 2.22: Corriente entrante y saliente

b) Campo magnético axial de una espira circular de radio a, y corriente i.

p

PSfrag replacements

x

y

z

i

r

r′

a

P

Figura 2.23: Espira circular

Según la figura 2.23 se tiene:

r = (0, 0, z) r′ = (a cos φ, a senφ, 0) dr′ = (−a senφdφ, a cos φdφ, 0)

r− r′ = (−a cosφ,−a senφ, z) dr′ × (r− r′) = (az cosφdφ, az senφdφ, a2dφ)

Bx =µ0

4πiaz

1

(a2 + z2)3/2

∫ 2π

0cosφdφ =⇒ Bx = 0

By =µ0iaz

4π(a2 + z2)3/2

∫ 2π

0senφdφ =⇒ By = 0

BZ =µ0ia

2

4π(a2 + z2)3/2

∫ 2π

0dφ =⇒ BZ =

µ0ia2

2(a2 + z2)3/2


El campo magnético deducido presenta un máximo en z=0 de valor:

BM =µ0i

2a

y se anula en z = ±∞ graficamente es fig. 2.24.

PSfrag replacements

B

0 z

µ0i

2a

Figura 2.24: Máximo del campo magnético

c) Campo Magnético axial de un solenoide de redio a, n espiras por unidad de longitud, y corriente i.

N espirasPSfrag replacements

ii

a

L

0

z′

z

z

P

z − z′

dz′ dN = ndz′

n =N

L

Figura 2.25: Solenoide de radio a

en el punto P de la figura 2.25:

dB =µ0ia

2ndz′

2 [a2 + (z − z′)2]3/2uz

obviamente: (z − z′)2 = (z′ − z)2.Integrando entre z′ = 0 y z′ = L; obtenemos:

B =µ0ia

2n

2

∫ L

0

dz′

[a2 + (z − z′)2]3/2uz


el cambio de variable: z ′ − z = a tan θ, reduce la integral propuesta a:

B =µ0ia

2n

2

∫ θ2

θ1

a sec2 θdθ

a3 sec3 θuz

donde:tan θ1 = −z

atan θ2 =

L− za

de modo que:

B =µoin

2(sen θ2 − sen θ1)uz

en función de las variables originales:

B(z) =µ0ni

2

[L− z√

a2 + (L+ z)2+

z√a2 + z2

]

Función simétrica respecto a z =L

2, en efecto:

B(0) =µ0nLi

2√a2 + L2

B(L) =µ0nLi

2√a2 + L2

B(0) = B(L)

De manera que B(z), presenta un máximo en z =L

2, y cuaya magnitud es:

BM =µ0nLi√4a2 + L2

Sí por construcción:a

L<<< 1, de modo que:

( aL

)2≈ 0

El valor aumenta aBM = µ0ni

que caracteriza el campo magnético de un solenoide largo en una región extendida en torno a su puntomedio.

d) Campo magnético axial en las bobinas de Helmholtz producido por corrientes paralelas.El sistema esta formado por dos bobinas circulares de radio a,N espiras apretadas y cuyos planos mediosparalelos están separados por una distancia 2b(fig. 2.26).

Por suposición el campo magnético en P es:

Bz =µ0Nia

2

2

[1

(a2 + z2)3/2+

1

[a2 + (2b− z)2]3/2

]

Campo que presenta un máximo en z = b, pues en eldB

dz= 0.

El valor de dicho máximo es:

BM =µ0Nia

2

(a2 + b2)3/2


PSfrag replacements

z

i

i

P

0

a

2b

Figura 2.26: Bobinas de Helmholtz

Es posible optimizar este máximo y extenderlo a una región en torno al punto: z = bSi en la expansión de la función B(z), por la serie de Taylor:

B(z) = B(b) +

(dB

dz

)

z=b

z +

(d2B

dz2

)

z=b

z2

2!+ . . . (2.63)

forzamos la anulación de la segunda derivada en z = b, lo que es posible si: 2b = a, entonces b =a

2.

Y tras reemplazar en la expresión de BM , obtenemos el valor característico del campo magnético axialpara las bobinas de Helmholtz por:

B =

(8√

5

25

)µ0Ni

a

B = (0,72)µ0Ni

a

e) Dipolo Magnético puntual. Momento Magnético Dipolar.El potencial vectorial magnético de una corriente cerrada i fig. 2.27 es:

PSfrag replacements

i

P

0

rr′

Figura 2.27: Corriente cerrada i

A(r) =µ0

4πi

∮dr′

‖r− r′‖

como: ‖r− r′‖−1= (r2 + r′2 − 2r · r′)−1/2 factorizando:

‖r− r′‖−1= r−1

[1 +

(r′

r

)2

− 2r · r′r2

]−1/2


Si reducimos el valor de r′, a tal punto que el cocienter′

r<<< 1 y

(r′

r

)N≈ 0 con N = 2, 3, 4 . . .

logramos la aproximación lineal:

‖r− r′‖−1 ∼= 1

r+

r · r′r3

y reemplazando en el potencial vectorial:

A(r) ∼= µ0i

4π

∮dr′

r+µ0i

4π

∮(r · r′)dr′

r3

que, por tratarse de una corriente cerrado, se reduce a:

A(r) ∼= µ0i

4πr3

∮(r · r′)dr′

Asumiendo un sistema cartesiano positivo, de manera que: r = (x, y, z) y r′ = (x′, y′, z′)y el vector área del circuito:

S =

(∮y′dz′,

∮z′dx′,

∮x′dy′

)

expresamos la componente x del potencial A como:

Ax ∼=µ0i

4πr3(zSy′ − ySz′)

ó introduciendo el producto vectorial correspondiente:

A(r) ∼= µ0

4π

iS× r

r3

expresión aproximada que puede tomarse en una igualdad introduciendo el momento dipolar magnéticodel circuito elemental según:

m =

(lımS→0i→∞

iS

)un (2.64)

entoncesA(r) =

µ0

4π

m× r

r3(2.65)

y calcular el campo magnético dipolar por la relación:

B(r) = ∇×A(r)

que en el caso presente equivale a desarrollar:

B(r) =µ0

4π∇× (m× r−3r)

B(r) =µ0

4π

[(∇ · r−3r)m− (∇ ·m)r−3r + (r−3r · ∇)m− (m · ∇)r−3r

]

como, por definición m es un vector constante, todas sus derivadas se anulan, ademas:

∇ · r−3r = ∇r−3 · r + r−3∇ · r = 0


con lo que:

B(r) = −µ0

4π(m · ∇)r−3r

B(r) = −µ0

4π

[(m · ∇)r−3

]r + r−3(m · ∇)r

y continuando el desarrollo:

B(r) = −µ0

4π

[−3r−5(m · r)

]r + r−3m

finalmente:

B(r) =µ0

4π

[(3m · rr5

)r− m

r3

](2.66)

Gráficamente tenemos(fig. 2.28):PSfrag replacements

0

m

rP

BrBm

Figura 2.28: Relación entre los vectores B y m

alternativamente para un origen arbitrario(fig. 2.29):

PSfrag replacements

0

m

r

P

r′

r − r′

Figura 2.29:

B(r) =µ0

4π

[3m · (r− r′)

‖r− r′‖5]

(r− r′)− m

‖r− r′‖3

(2.67)

A esta altura se puede adevertir la analogía con el campo generado por un dipolo eléctrico:

E(r) =1

4πε0

[3p · (r− r′)

‖r− r′‖5]

(r− r′)− p

‖r− r′‖3

Esta analogía se extiende también al efecto direccional que un campo magnético produce sobre un dipolode momento m, expresado por la relación:

~τm = m×B (2.68)

y por cuya acción el dipolo tenderá a orientarse en la dirección del campo magnético actuante.

2.7. MAGNETIZACIÓN DE LA MATERIA 123

2.7. Magnetización De La Materia

Con excepción de los materiales ferromagnéticos(Fe,Co,Ni), que son fuentes magnéticas naturales,los demás se clasifican como diamagnéticos o paramagnéticos, y presentan diferentes grados de magneti-zación cuando se los somete a la acción de un campo magnético apropiado.Cualquier hipótesis clásica concerniente al por qué de la magnetización considera:

1. El efecto direccional de un campo magnético sobre un dipolo magnético. A nivel atómico cada elec-trón orbital configura un dipolo fundamental.

2. Cierto tipo de corriente se induce en el material magnetizado, de este modo el efecto de una muestramagnetizada podrá evaluarse según la ley de Biot-Savart.

A nivel macroscópico cualquier elemento de volúmen ∆V , de un material magnetizado debe estar carac-terizado por un momento dipolar ∆m. Esto nos permite definir su nivel de magnetización por el campovectorial:

M = lım∆V→0

∆m

∆V=dm

dV(2.69)

PSfrag replacements

0

rr′

V

S

M(r′)

Figura 2.30: Material magnetizado

y el potencial vectorial asociado será:

A(r) =µ0

4π

∫

V

M(r′)× (r− r′)

‖r− r′‖3dV (2.70)

sustituyendo:(r− r′)

‖r− r′‖3= ∇′‖r− r′‖−1

A(r) =µ0

4π

∫

VM(r′)×∇′‖r− r′‖−1

dV = −µ0

4π

∫

V∇′‖r− r′‖−1 ×M(r′)dV

e integrando por partes:

A(r) =µ0

4π

∫

V

∇′ ×M(r′)‖r− r′‖ dV −

∫

V∇′ × M(r′)

‖r− r′‖dV

ahora bién:∫

V∇′ × M(r′)

‖r− r′‖dV =

∮

Sun ×

M(r′)‖r− r′‖dS∮

S

un ×M(r′)‖r− r′‖ dS =

∮

SG

un ×M(r′)‖r− r′‖ dS


que tendrá el valor cero, si ‖r− r′‖ tiende al infinito. De este modo:

A(r) =µ0

4π

∫ ∇′ ×M(r′)‖r− r′‖ dV (2.71)

que permite introducir un nuevo tipo de corriente, llamada por su orígen corriente de magnetización, según:

JM (r′) = ∇′ ×M(r′) (2.72)

con lo cuál:

A(r) =µ0

4π

∫JMdV

‖r− r′‖ (2.73)

representa formalmente el potencial vectorial del material magnetizado y por su rotor el campo correspon-diente:

BM (r) =µ0

4π

∫

V

JM (r′)× (r− r′)

‖r− r′‖3dV (2.74)

2.7.1. Ecuaciones Macroscópicas

Una corriente de portadores libres J, genera en un medio magnetizable una corriente de magnetizaciónJM , que en un caso favorece la acción del campo magnético asociado a J (paramagnetismo), y otro se oponea dicha acción(diamagnetismo); en cualquiera de los casos la ecuación de Ampere, establece que:

∇×B = µ0(J + JM) (2.75)

como: JM = ∇×M, resulta:

∇×B = µ0(J +∇×M)

∇×(

B

µ0−M

)= J

introduciendo el campo auxiliar:

H =B

µ0−M (2.76)

llegamos a:∇×H = J (2.77)

y en forma integral: ∮H · dr = i (2.78)

Con el propósito de distinguir entre los campos H y B, al primero suele denominarse intensidad de cam-po magnético y al segundo densidad de flujo magnético. Sin embargo queda suficientemente claro que lacorriente libre J, es la fuente de A, por:

∇×H = J ⇐⇒∮

H · dr = i

que la corriente de magnetización JM, es la fuente de M, por:

∇×M = JM ⇐⇒∮

M · dr = iM


y que la suma de ambas corrientes J + JM, es la fuente de B.Se verifica experimentalmente que en los medios magnéticos LIH, que:

M ∝ H

M = χmH

donde la constante de proporcionalidad χm, es la suceptibilidad magnética. Precísamente:

χm > 0 en los materiales paramagnéticos

χm < 0 en los materiales diamagnéticos

como: H =B

µ0−M

sustituyendo:

H =B

µ0− χmH

B = µ0(1 + χm)H

definiendo la permeabilidad magnética del material según:

µ = µ0(1 + χm) (2.79)

llegamos a:B = µH (2.80)

o en términos de la permeabilidad relativa:

Km =µ

µ0(2.81)

B = µ0KmH (2.82)

En síntesis estas ecuaciones nos permiten el cálculo de:

a© H por medio de:∮

H · dr = i

b© B según la ecuación: B = µ0KmH

c© H por la ecuación: M =B

µ0−H

2.7.2. Condiciones De Contorno

En la superficie que separa dos medios magnéticamente permeables(interfase) deben cumplirse ciertascondiciones de continuidad referidas a la magnitud de los campos H y B. Dichas ecuaciones de frontera se

relacionan con las propiedades básicas de los campos referidos, a saber:∮

CH · dr = i, con interfase vacio:

∮C H · dr = 0, y∮S B · undS = 0

126 CAPÍTULO 2. MAGNETOSTÁTICAPSfrag replacements

c

S

B1

B2

H1

H2

µ1

µ2

un

un

u′n

ut

Figura 2.31: Interfase vacía

Primera Ecuación

La circulación de H en el contorno orientado C(fig. 2.31), proporciona:∫

H1 · dr1 +

∫H2 · dr2 + ΛC′ (2.83)

Donde ΛC′ , representa la circulación complementaria por la curva C. Pasando al límite: ΛC′ = 0, además:dr1 = dlut; y dr2 = −dlut; de modo que:

∫(H1 −H2) · utdl = 0

H1t = H2t

igualdad que establece, en cualquier punto de la interfase, la continuidad de las componentes tangencialesde H .

Segunda Ecuación

El flujo de B a través de la superficie cerrada S(fig- 2.31), está representado por:∫

B1 · undS +

∫B2 · undS + ΦS = 0 (2.84)

Donde ΦS , representa el flujo lateral complementaria, que para puntos de la interfase tomará el valor cero,en tales condiciones se cumple:

∫

S1

B1 · undS +

∫

S1

B2 · u′nds = 0

y puesto que: u′n = −un, se llega a: ∫

s1

(B1 −B2) · un = 0

e independientemente de S1; establece la continuidad de las componentes normales de B, es decir:

B1n = B2n (2.85)


Ambas ecuaciones de continuidad pueden expresarse en función del unitario normal a la interfase un, según:

(H1 −H2)× un = 0 (2.86)

(B1 −B2) · un = 0 (2.87)

Concretamente si la dirección de los campos (H,B) en el primer medio está definida por el ángulo φ1,respecto a la normal de la interfase, la dirección φ2 en el segundo medio debe satisfacer la condición que sedetalla a continuación:

interfase vaciaPSfrag replacements

µ1

µ2

φ1

φ2

H1 senφ1 = H2 senφ2

B1 cosφ1 = B2 cosφ2

Figura 2.32: Relación direccionales entre dos medios

Como en los medios LIH: H1 =B1

µ1y H2 =

B2

µ2, reemplazando:

B1

µ1senφ1 =

B2

µ2senφ2

B1 cosφ1 = B2 cosφ2

que también podemos escribirtanφ1

µ1=

tanφ2

µ2, finalmente:

tanφ2 =µ2

µ1tanφ1 (2.88)

Al completar la descripción general de los campos estacionarios, presentamos un cuadro sintético coparativoentre ambos.


Electrostática Magnetostática

1© Ley de fuerzas: Coulomb 1© Ley de campos: Biot-Savart2© Ley de campos 2© Ley de fuerzas: Laplace-Ampere.3© Fuerza sobre carga puntual 3© fuerza sobre carga puntual móvil.

F = qE F = qv ×B4© potencial escalar Φ 4© potencial vectorial A.

E = −∇φ B = ∇×A5© Ecuaciones fundamentales: 5© Ecuaciones fundamentales:

∇×E = 0↔∮

CE · dr = 0 ∇×B = µ0J↔

∮

SGB · dr = µ0i

∇ · E =ρ

ε0↔∮

SGE · undS =

Q

ε0∇ ·B = 0↔

∮

SGB · undS = 0

6© Campo dipolar p: 6© Campo dipolar m

E =1

4πε0

[(3p · rr5

)r− p

r3

]B =

µ0

4π

[(3m · rr5

)r− m

r3

]

7© Polarización LIH: 7©Magnetización LHI

ε0E = D−PB

µ0= H±M

8© Ecuaciones de frontera: 8© Ecuaciones de frontera(D1 −D2) · un = 0 (B1 −B2) · un = 0(E1 −E2)× un = 0 (H1 −H2)× un = 0

9© Leyes de distribución: 9© Leyes de distribuciónσ = D · un ρ = ∇ ·D ∇×H = Jσp = P · un ρp = −∇ ·P ∇×M = JM

10© Energía eléctrica: 10© Energía magnética(por demostrar)

W =1

2

∑

i

qiΦi W =1

2

∑

i

iiΦi

W =1

2

∫E ·DdV W =

1

2

∫H ·BdV

Capítulo 3

Campos ElectromagnéticosVariables En El Tiempo

3.1. Inducción Electromagnética

En 1831, un año después del descubrimiento de Oersted, el físico ingles Miguel Faraday puso en evi-dencia el efecto recíproco, esto es la generación de corriente eléctrica por campo magnético, en una serieimpresionante de experimentos, que gráficamente sintetizamos a continuación:

Pila voltaica Galvanometro

Circuito inducidoCircuito inductor

Nucleo de madera

−+

Figura 3.1: Inducción electromagnética

El galvanómetro marca durante el transciente del circuito primario. Naturalmente las corrientes inducidasson de muy corta duración, aunque el núcleo de hierro dulce magnifica su intensidad.El desplazamiento de una barra magnética por el núcleo de una espira conductora solenoidal(fig. 3.2) generauna corriente inducida de mayor intensidad y de duración más prolongada.

Faraday consiguio, haciendo girar un disco de cobre entre los polos de un potente imán en forma de her-radura, corrientes permanentes por inducción. Dichas corrientes se recogen por medio de dos alambres querozan el eje y la circunferencia del disco.En 1832 el físico norteamericano José Henry evindenció el fenómeno de autoinducción que refleja el efectoinductivo del transciente de un circuito sobre si mismo.Finalmente, en 1834 el sabio ruso Lenz estableció la ley que permite preveer el sentido de la corriente entodos los casos de inducción; el sentido de la corriente inducida es tal que, por si misma o por sus efectos,

129

130 CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS VARIABLES EN EL TIEMPO

PSfrag replacements

S N

v

Figura 3.2: Desplazamiento de una barra

se opone a las acciones que la generan.

3.1.1. Ley de Henry-Faraday

Concordante con las observaciones experimentales y la proposición de Lenz, es la ley de inducción o laley de Henry-Faraday, que literalmente establece:"La fem inducida es el negativo de la derivada temporal del flujo magnético que atraviesa el área del circuitoinducido”.Simbólicamente:

εL = −dΦm

dt(3.1)

3.1.2. Formulación Analítica De La Inducción

El campo magnético originante del flujo puede deberse a la corriente no estacionaria en el circuitoinductor o a los polos de un electroimán: en términos del campo eléctrico inducido.

εL =

∮

CE(r, t) · dr

de modo que: ∮

CEL(r, t) · dr = − d

dt

∫

SB(r, t) · undS

o sucesivamente:∮

CEL(r, t) · dr = −

∫

S

∂Bb

∂t· undS

∫

S∇×EL · undS =

∫

S−∂B

∂t· undS

∫

s

(∇×EL +

∂B

∂t

)· undS = 0

que al ser independiente del área S, implica:

∇×EL(r, t) = −∂B(r, t)

∂t(3.2)

ecuación básica para un campo electromagnético al definir que si en cierta región del espacio se estableceun campo magnético no estacionario, en esa misma región se inducirá un campo eléctrico(fig. 3.3).

3.1. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA 131

PSfrag replacementsB(r, t)

EL(r, t)

C S∮

CEL · dr = −

∫

S

∂B

∂t· undS

Figura 3.3: Campos E(r, t), B(r, t) no estacionarios

3.1.3. Inducción por deformación o movimiento del circuito inducido.

En estos procesos el flujo que atraviesa el área del circuito inducido está generado por el campo mag-nético uniforme que se establece entre los polos de un electroimán en forma de herradura.

a) Circuito formado por un conductor en forma de U, con un segundo conductor transversal móvil que mod-ifica constantemente su área, sometido a la acción de un campo magnético uniforme B perpendicular alplano del circuito(fig. 3.4).

PSfrag replacements

iL

B

un v

l

x

1

2

Figura 3.4: Conductor en forma de U

Sobre los portadores libres del conductor móvil actúa una fuerza magnética: F = qv ×B, que tiende adesplazarlos en la dirección (1 − 2). Para un observador que se mueve junto con el conductor móvil, lafuerza sobre sus portadores libres es de orígen eléctrico, esto es: F = qEL, y como por las transforma-ciones de Galileo, F = F′, resulta ser:

qEL = qv×B

EL = v ×B

aún más: ∫ 2

1EL · dr = v×B ·

∫ 2

1dl

con lo que la fem inducida es:εL = v ×B · l =⇒ εL = vlB


que implícitamente concuerda con la ley de Lenz.

Por la ley de inducción ec. 3.1 εL = −dΦm

dt, donde:

Φm =

∫B · undS =⇒ Φm = B

∫dS

Φm = Blx

de modo que:

εl = −Bldxdt

εL = − Blv

en este resultado el signo negativo nos adviere que el punto 2 está a mayor potencial que el punto 1

b) Circuito rotando en un campo magnético uniforme perpendicular a su eje de rotación(fig. 3.5).

r

PSfrag replacements

und

c

b

a

B

θ

θ

εL

v × t

v × t

v = ω × r

ω

ab = l bc = k θ = ωt

Figura 3.5: Circuito rotante

εL = v ×B · l =⇒ v = w × r =⇒ εL = (w × r)×B · ly por el triple producto vectorial:

εl = [(w ·B)r− (r ·B)w] ·l como w⊥B

εL = −(r ·B)w · l o resaltando que |r| = h

2

εL = −h2B cos(90o + θ)wl

εL =hlwB sen θ

2=⇒ εL =

hlwB senwt

2

considerando ambos conductores:εL = (hlwB) senwt


según la ley de Faraday, para un flujo magnético:

Φm = Blh coswt

resulta la fem inducida:εL = Blhw senwt

que corresponde a un generador de corriente alterna.

3.1.4. Coeficiente de inducción

El proceso inductivo desarrollado en el último ejemplo certifica la existencia de corrientes alternas noestacionarias importantes en el desarrollo de la tecnología eléctrica.Pero corrientes del tipo i = i(t), generan campos magnéticos no estacionarios, y estos a su vez induciráncampos eléctricos según la ecuación 3.2:

∇×EL(r, t) = −∂B(r, t)

∂t

ó equivalentemente: ∮

CEL(r, t) · dr = −dΦm

dt

Dos aplicaciones importantes resaltan el efecto del campo eléctrico inducido en las condiciones precedentes,a conocer: El Betatron, y el Transformador.El primero acelera electrones en una órbita circular, estable y a diferencia del ciclotrón, no introduce mod-ificaciones en su diseño cuando se alcanzan velocidades relativistas. El segundo, de amplio uso en la trans-mición de corrientes alternas, permien modificar su tensión o su intensidad de manera predeterminada, sinalterar su frecuencia.Fijemos ahora nuestra atención en la ley general de inducción: εL = −dΦm

dt, y en un circuito rígido, esta-

cionario en el que establece una corriente no estacionaria: i = i(t), de manera que:

εL = −dΦm

dt

di

di

εL = −(dΦm

di

)di

dt

Y dado que el campo magnético es una función lineal de la corriente, el coeficiente:

dΦm

di=

Φm

i= L (3.3)

es una constante que depende exclusivamente de la forma geométrica del circuito y del medio que lo rodea. Aeste coeficiente se denomina autoinductancia del circuito y es calculable como la capacitancia o la resistenciade un conductor, entonces:

εL = −Ldidt

(3.4)

la unidad internacional de L, es el Henrrio, que corresponde a:

1 Henrio = 1Weber

Amperio

donde:


1 Weber = 1Tesla ·m2

para calcular la autoinductancia de un imán de un circuito:

Se pasa una corriente hipotética por el.

Se calcúla el campo magnético correspondiente.

Se evalua el flujo magnético que atraviesa el circuito.

Se divide dicho flujo magnético por la corriente.

A manera de ejemplo calculamos la autoinductancia de un circuito solenoidal de largo l y N espiras circu-lares de radio R.Al pasar una corriente i, por el solenoide el campo magnético axial es:

B =µ0Ni

l

el autoflujo consiguiente es: Φm = BNS, donde S = πR2 esto es:

Φm =µ0N

2πR2i

l

L =µ0N

2πR2

l

3.1.5. Inducción Mutua

Aplicable en el caso de una interacción magnética entre N circuitos rígidos, estacionarios con corrientesfluctuantes en el tiempo. En este caso el flujo magnético, sobre el circuito i ésimo, será:

Φi =

N∑

j

Φij

y la fem inducida en el mismo circuito será:

εi = −N∑

j

dΦij

dij

dijdt

(3.5)

manteniendo la linealidad de los campos magnéticos respecto a las corrientes, los coeficientes:

Φij

dij= Mij

son constantes que definen las inductancias mutuas.Como ejemplo, calculamos la inductancia mutua entre dos circuitos solenoidales de la misma longitud l, lamisma sección S, el primero con N1 vueltas y el segundo con N2 vueltas de alambre sobre el mismo núcleode aire.

Al pasar una corriente i(t) por el primero se induce un campo magnético: B1 =µ0N1i(t)

l.

El mismo que al atravezar el segundo genera un flujo magnético: Φ21 =µ0N1N2Si(t)

l, entonces:

M21 =µ0N1N2S

l


Podemos ahora invertir el proceso y pasar la corriente i(t) por el segundo solenoide y de este modo, sucesi-vamente:

B2 =µ0N2i(t)

l

Φ21 =µ0N2N1Si(t)

l

M12 =µ0N2N1S

l

de manera tal que resulta la igualdad: M21 = M12.La conmutatividad que se advierte en la igualdad precedente, tiene caracter general. En efecto, refiriéndonosa los circuitos que se muestran en la figura 3.6 al pasar una corriente i, por el circuito C ′, Calculamos el

flujo que atraviesa el área del circuito C , según: Φ =

∫

SB(r) · undS, como:

B(r) = ∇×A(r), donde el potencial vectorial magnético:

A(r) =µ0

4πi

∮

C′

dr′

‖r− r′‖

PSfrag replacementsC ′

S′i

C

S

rr′

r − r′

0′

Figura 3.6: Circuitos C y C ′

de este modo:Φ =

∫

S∇×A(r) · undS

y por el teorema del rotor:

Φ =

∮

CA(r) · dr

por sustitución:

Φ =µ0

4πi

∮

C′

∮

C

dr′ · dr‖r− r′‖

y como: M =Φ

i, resulta

M =µ0

4π

∮

C′

∮

C

dr′ · dr‖r− r′‖


por analogía:

M ′ =µ0

4π

∮

C

∮

C′

dr · dr′‖r′ − r‖

y por la conmutatividad del producto escalar concluimos que M = M ′.

3.2. Energía asociada al campo magnético

a) Circuito CD:

PSfrag replacements

L R

ε

Figura 3.7: Circuito LR

Parte de la energía entregada por la bateria que alimenta un circuito rígido fig. 3.7 y estacionario debeasociarse con el campo magnético inducido por la corriente establecida. Dicha asociación es verificableen el llamado régimen transitorio, pués en él la corriente es cierta función temporal: 0 < i ′(t) ≤ i, dondei, es la corriente de saturación. La ecuación circuital en el transciente debe ser:

ε+ εL = i′(t)R (3.6)

como: εL = −Ldi′

dt, resulta:

ε = Ldi′

dt+ iR

para un transporte adicional de carga: dq = idt, el balance energético nos conduce a:

εdq = Li′di′ + i′2Rdt

el término: dW = Li′di′ ó W = L

∫ i

0i′di′ que esto conduce a:

W =1

2Li2

está asociado con la energía magnética de la corriente i, esto es:

Wm =1

2Li2 (3.7)

b) En el transciente de un circuito rígido y estacionario, la fem inducida está relacionada con su autoinduc-

tancia, por la ecuación: εL = −Ldidt

, y por la ley general de inducción:

εL = −dΦ

dt, por lo cuál: dΦ = Ldi.

3.2. ENERGÍA ASOCIADA AL CAMPO MAGNÉTICO 137

y en las fluctuaciones de la energía magnética asociada: dW = Lidi ó dW = idΦ.Al considerar un sistema de N circuitos rígidos y estacionarios, dichas variaciones referidas a uno deellos, por ejemplo al i ésimo circuito, debemos anotar:

dWi = ii

N1∑

j

dΦij

o sucesivamente:

dWi = ii

N1∑

j

dΦij

dijdij

dWi = ii

N1∑

j

Mijdij

dW =

N2∑ N1∑

i6=jiiMijdij N1 +N2 = N

W =1

2

N∑ N∑

i=j

Mijiiij

donde el factor(

1

2

)se debe a la conmutatividad de los coeficientes M. Recuerde que: Mij = Mji.

Es interesante analizar la expresión resultante cuando N = 2, en cuyo caso el desarrollo conduce a:

W =1

2

2∑

i

(Mi1iii1 +Mi2iii2)

W =1

2(M11i

21 +M12i1i2 +M21i2i1 +M22i

22)

y puesto que en general:Mii = Li

llegamos a:

W =1

2L1i

11 +

1

2L2i

22 +Mi1i2 (3.8)

donde:M = M12 = M21

Cualquiera sea la magnitud de la energía magnética, resulta obvio que debe ser positiva, esto es: W ≥ 0,de modo que la expresión:

W =1

2i22(L2 + L1x

2 + 2Mx)

donde se ha introducido la variable: x =i1i2

.

Debe tomarse un valor mínimo(condición de estabilidad dinámica), sujeto a la condición establecida.

Dicho valor resultado de resolver la ecuación:dW

dx= 0, ó 2L1x+ 2M = 0 cuya solución es: x = −M

L1,

por lo cual:

Wm =1

2i22

(L2 −

M2

L1

)≥ 0 (3.9)


lo que permite establecer una relación entre los coeficientes de inductancia, según:

L1L2 −M2 ≥ 0

M2 ≤ L1L2

podemos finalmente postular la igualdad:

M = k√L1L2 (3.10)

donde la constante k, debe ser en valor absoluto:

|k| ≤ 1

Este factor k, tiene su origen en la forma de acoplamiento entre ambos circuitos.

c) Por la equivalencia mostrada en el inciso b, a recordar: W =1

2

∑i iiΦi.

Resolvemos la energía magnética asociada a una distribución continua de corriente. En efecto:

Φi =

∫

SiB · undSi

como: B = ∇×A, resulta:

Φi =

∫

Si∇×A · undSi

y por el teorema del rotor:

Φi =

∮

Ci

A · dri

de modo que:

W =1

2

∑

i

∮

Ci

iiA · dri

y por tratarse de una distribución continua:

W =1

2

∫

VJ ·AdV

según la ecuación de Ampere: ∇×H = J, entonces:

W =1

2

∫

VA · ∇ ×HdV

como:

∇ · (A×H) = H · ∇ ×A−A · ∇ ×H

A · ∇ ×H = H · ∇ ×A−∇ · (A×H)

la integral resulta ser:

W =1

2

∫

VH · ∇ ×AdV − 1

2

∫

V∇ · (A×H)dV

W =1

2

∫

VH ·BdV − 1

2

∮

S(A×H) · undS

3.3. TEORIA DE MAXWELL 139

PSfrag replacementsV

S

SG

Figura 3.8: Superficie gausiana

Recuerde el teorema de la divergencia:

pero: ∮

S(A×H) · undS =

∮

SG(A×H) · undS

pues ambas superficies contienen en su interior el volúmen finito V, de la distribución de corriente.Debido al comportamiento espacial de los campos A,H:

lım

∮

SG→∞(A×H) · undS = 0

entonces:W =

1

2

∫

VH ·BdV

que conduce a postular una densidad de energía magnética:

Em =1

2B ·H =

B2

2µ(3.11)

y concluir, como en el caso eléctrico, que la energía magnética se "localiza” en el campo magnéticoinducido por una corriente eléctrica.

3.3. TEORIA DE MAXWELL

En 1873 el físico ingles JC Maxwell formula la teoría más completa de la fenomenología electromagnéti-ca. Dicho aporte teórico, en función de muchos propósitos puede sintetizarse en cuatro tópicos relevantes, asaber:

3.3.1. Corriente de desplazamiento

Define la corriente de desplazamiento mediante su densidad:

JD =∂D

∂t(3.12)

que presupone un campo: D = D(r, t).Este particular tipo de corriente tiene lugar a través del dieléctrico en el proceso de carga de un capacitor, y


por lo tanto diferente a la corriente de conducción , al no estar asociado con el transporte de carga alguna.Por lo demás, el introducir la corriente de desplazamiento en los circuitos capacitivos, nos permite sustituirel antiguo postulado de las corrientes abiertas, por el ahora más conveniente postulado de las corrientescerradas.

3.3.2. Generalización de la ley de Ampere

Recordemos la ecuación de Ampere:∇×H = J

Es compatible con la ecuación de la continuidad:

∇ · J = 0

que se cumple en condiciones estacionarias.Una ecuación más general deberá ser más compatible con laecuación de la continuidad:

∇ · J +∂ρ

∂t= 0

que involucran procesos no estacionarios. Ahora bién como: ∇ ·D = ρ, se sigue que:

∂ρ

∂t=

∂

∂t(∇ ·D) = ∇ · ∂D

∂t

y de este modo:

∇ · J +∇ · ∂D

∂t= 0 =⇒∇ ·

(J +

∂D

∂t

)= 0

y así la ecuación modificada, resulta ser:

∇×H = J +∂D

∂t(3.13)

conocida como la ecuación de Maxwell-Ampere.La verdadera importancia de esta ecuación es la transformación que experimenta si se la refiere al espaciovacío y sin corrientes, pues bajo estas condiciones resulta ser:

∇×B = µ0ε0∂E

∂t(3.14)

Recuerde que: H =B

µ0, y D = ε0E.

La interpretación física de la última ecuación es sorprendente porque establece que si en cierta región delespacio existe un campo eléctrico con variación temporal, en esa misma región se inducirá un campo mag-nético. Aún más, expresada en forma integral:

∮

CB(r, t) · dr = µ0ε0

d

dt

∫

SE(r, t) · undS

nos muestra una total analogía con la ley de Faraday:∮

CE(r, t) · dr = − d

dt

∫

SB(r, t) · undS

que referida a los circuitos eléctricos toma la forma standard: εL = −dΦm

dt.

relacionando la fuerza electromotriz inducida(FEM) con las variaciones temporales del flujo magnéticio que


atraviesa el circuito considerado.Especulando analógicamente podriamos definir la fuerza magnetomotriz(FMM) como la circulación delcampo magnético:

F =

∮

CB(r, t) · dr (3.15)

e igualarla a las variaciones temporales del flujo eléctrico según:

F = µ0ε0∂Φe

∂t

pero ciertamente éste no es el caso, porque al igual que la FEM, la FMM deberá estar asociada a un circuitomagnético, el mismo que definirá trayectorias de alta circulación de flujo magnético originados en corrientesde tipo alterno, es el caso concreto de los electroimanes en general, y el de los transformadores, en particularconcluiremos esta disquisición presentando la ley de OHM magnética:

F = RΦ (3.16)

donde Φ, es el flujo magnético y R la (reluctancia), similar a la ya conocida: ε = Ri.Propia de los circuitos eléctricos, y no abordaremos más en el tema.Finalmente el que todas estas analogías no sean meras especulaciones matemáticas, se debe en gran parteal trabajo experimental de Röntgen, que en 1888 logró medir el campo magnético que se induce al rotar undisco de vidrio en el campo eléctrico de un capacitor alimentado con una corriente alterna.

3.3.3. Ecuaciones del campo electromagnético: E(r, t), B(r, t)

El enfoque mecanista que Maxwell propone en la teoría electromagnética, resume su gran capacidadsintética; todo lo condensa en cuatro ecuaciones memorables, conocidas precisamente como las ecuacionesde Maxwell. Ellas son en su doble formulación, diferencial e intergral, las siguentes:

∇ ·D = ρ

∮

SGD · undS = Q

∇ ·B = 0

∮

SGB · undS = 0

∇×E = −∂B

∂t

∮

CE·dr = − d

dt

∫

SB · undS

∇×H = J + JD

∮

CH·dr = i+ iD

JD =∂D

∂tiD =

∫

S

∂D

∂t· undS

A este sistema compacto deben agregarse por razones experimentales las relaciones en los medios materialesLIH:

D = εE H =B

µ

En condiciones estacionarias: E(r); B(r)

∇ ·D = ρ

∮

SGD · undS = Q

∇ ·B = 0

∮

SGB · undS = 0

∇×E = 0

∮

CE·dr = 0

∇×H = J

∮

CH·dr = i


y tomando en cuenta las constantes universales del vacio: µ0, ε0; las ecuaciones de Maxwell son:

∇ · E =ρ

ε0

∮

SGE · undS =

Q

ε0

∇ ·B = 0

∮

SGB · undS = 0

∇×E = −∂B

∂t

∮

CE·dr = − d

dt

∫

SB · undS

∇×B = µ0J + µ0ε0∂E

∂t

∮

CB·dr = µ0i+ µ0ε0

d

dt

∫

SE · undS

3.3.4. Teorema de Poynting

Antes de analizar la teoría ondulatoria de la luz, es preciso referirnos al comportamiento energético deun campo electromagnético(CEM). Tal referencia esta contenida en el teorema de Poynting, que desarrol-laremos a continuación.Un volúmen finito V, con distribución continua de carga ρ, sometido a la acción de un CEM, experimenta laacción de la fuerza de Lorentz:

dF = dQE + dQv ×B

donde: dQ = ρdV , de modo que:dF = ρEdV + ρv ×BdV

La potencia transferida al sistema, a expensas de la energía interna del CEM, es:

dP = dF · vdP = ρv ·EdVP =

∫

Vρv · EdV (3.17)

en función de la densidad de corriente: J = ρv, resulta:

P =

∫

vJ · EdV (3.18)

Antes de evaluar la integral potencia, proponemos la hipótesis razonable de que la densidad energética de unCEM es la superposición de la densidad eléctrica y la densidad magnética, esto es, establecemos la igualdad:

EEM = EE +EB = E (3.19)

ó en función de sus equivalentes:

EEM =1

2E ·D +

1

2H ·B (3.20)

aún más:∂EEM∂t

=D

∂t·E +

∂B

∂t·H

por las igualdades:

E

∂t·D =

D

∂t· E

B

∂t·H =

H

∂t·B


y ahora proseguimos: por la ecuación de Maxwell-Ampere:

∇×H = J +∂D

∂t

entonces:J · E = E · ∇ ×H−E · ∂D

∂t

así: ∫

VJ · EdV =

∫

VE · ∇ ×HdV −

∫

VE · ∂D

∂tdV

Según la identidad:∇ · (E×H) = H · ∇ ×E−E · ∇ ×H

∫

VJ · EdV = −

∫

V∇ · (E×H)dV +

∫

VH · ∇ ×EdV −

∫

VE · ∂D

∂tdV

como: ∇×E = −∂B

∂t∫

VJ ·EdV = −

∫

V∇ · (E×H)dV −

∫

VH·∂B

∂tdV −

∫

VE · ∂D

∂tdV

se define el vector de poynting según la igualdad:

S = E×H (3.21)

y en función de él, escribimos:∫

VJ · EdV = −

∫

V∇ · SdV −

∫

V

(H·∂B

∂t+ E·∂D

∂t

)dV

utilizando el teorema de la divergencia, y la densidad de energía electromagnética:∫

VJ · EdV = −

∮

SS · undS −

∫

V

∂EEM∂t

dV

ó por razones de simetría:

−∮

SS · undS =

∫

V

∂EEM∂t

dV +

∫

VJ ·EdV

−∮

SS · undS =

d

dt

∫

VEEMdV +

∫

VJ ·EdV

de este modo el flujo de potencia que ingresa al volúmen V a través de la superficie S, es igual a la rapidezcon que se incrementa la energía electromagnética en V , más la potencia en el mismo volúmen.Si en V existen generadores de potencia, habrá que considerar su integral de volúmen representativa:

∫Jg ·EdV

y así formular:

−∮

SS · undS =

d

dt

∫

VEEMdV +

∫

VJ ·EdV +

∫

VJg · EdV


ó por razones interpretativas:

−∫

VJg ·EdV =

d

dt

∫

VEEMdV +

∫

VJ · EdV +

∮

SS · undS

literalmente: "La potencia total generada en V es igual a la suma de la rapidez con que incrementa laenergía electromagnética en V , con las pérdidas óhmicas en V y el flujo saliente de potencia que atraviesala superficie frontera de V ” Una visión objetiva del teorema de poynting, nos proporciona su aplicación a laconducción de corriente directa en un conductor circular recto de radio a, y longitud l(fig. 3.9). Por tratarsede condiciones estacionarias, el referido teorema se reduce a la igualdad:

−∮

SS · undS =

∫

VJ ·EdV

PSfrag replacements

S

EH

un = ur

Figura 3.9: Conductor circular recto

Con S = E×H; expresado en coordenadas cilíndricas tenemos: E = Euz y H = Huφ:

S = −EHur E =nI

πa2=nI

AH =

I

2πa

S = − nI2

2πaAur =⇒ S · un = S · ur

−∮

S · undS = −∮− nI2

2πaAdS =

nI2

2πaA

∫dS

y por el flujo total:∫dS = 2πal; asi:

−∮

S · undS =nI2

2πaA(2πal) =

(nl

A

)I2 = RI2

Naturalmente, al desarrollar la intengral de volúmen:∫V J · EdV .

llegamos al mismo resultaso como es facil de verificarse.

3.4. TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA DE LA LUZ 145

3.4. TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA DE LA LUZ

En 1690, Cristián Huygens publica su "tratado sobre la luz”, y el propone que semejante al sonido, laluz es también un movimiento vibratorio. En tanto que las ondas sonoras se propagan en el aire, el lugarde las ondas luminosas es el ETER, materia extremadamente sútil y de perfecta elasticidad que impregna atodos los objetos y llena también el vacío.En 1704, Isaac Newton postula en su tratado ”Optics”, que la luz está formada por partículas de diferentestamaños en interacción periódica con las partículas materiales del medio de propagación.En el transcurso del siglo XIX , se formularon una diversidad de hipótesis, unas corpusculistas, otras ondu-latorias, con el propósito de sustentar teóricamente fenómenos ópticos tan varidos como la doble refracciónque sufre un rayo luminoso al penetrar ciertos cristales, la interferencia de Young, la difracción de Fresnel,la polarización circular producida por triple reflexión en un cristal, la polarización elíptica de rayos refleja-dos por superficies metálicas. Por su trascendencia histórica resalta sin embargo, el trabajo presentado porAugusto Fresnel en 1819, con él no solo se hizo acreedor al premio de la académia de ciencias de Paris,sino que al postular que la luz es una onda transversal con el plano de vibración perpendicular al plano depolarización, permitió que investigadores notables, como Foncault Fizean, pudiesen medir con bastante ex-actitud la velocidad lumínica tanto en el aire como en el agua. ambos experimentos hacia 1860, confirmarondefinitivamente la tesis fresneliana.No se piense, por lo expuesto que el problema central estaba resuelto. Faltaba la sustentación teórica quepermitiese definir la naturaleza específica de las ondas luminosas.Esta fundamentación se dió a conocer por primera vez en 1873 en el tratado sobre electricidad y magnetismode J.C. Maxwell. En lo que resta del programa desarrollaremos la teoría maxweliana sobre la radiación elec-tromagnética, que naturalmente incluye el espectro visible o luz.Las ecuaciones de Maxwell, referidas al espacio vacío y sin fuentes(cargas y/o corrientes eléctricas) sereducen a:

1© ∇ ·E = 0 (3.22)2© ∇ ·B = 0 (3.23)

3© ∇×E = −∂B

∂t(3.24)

4© ∇×B = µ0ε0∂E

∂t(3.25)

Estas ecuaciones son compatibles con la ecuación general de una onda, por similitud con el caso elastico-mecánico. De las ecuaciones 3.22 y 3.24 obtenemos :

∇× (∇×E) = ∇×(−∂B

∂t

)= −∇× ∂B

∂B

desarrollando:

∇(∇ · E)−∇2E = − ∂

∂t(∇×B)

−∇2E = − ∂

∂t

(µ0ε0

∂E

∂t

)

finalmente:

∇2E = µ0ε0∂2E

∂t2(3.26)


De forma análoga con las ecuaciones 3.23 y 3.25; para el comportamiento magnético:

∇× (∇×B) = ∇× µ0ε0∂E

∂t

∇(∇ ·B)−∇2B = µ0ε0∂

∂t(∇×E)

−∇2B = µ0ε0∂

∂t

(−∂B

∂t

)

así:

∇2B = µ0ε0∂2B

∂t2(3.27)

Ambas ecuaciones diferenciales, con soluciones vectoriales progresivas, coinciden en la magnitud de suvelocidad fásica:

vf =1√ε0µ0

(3.28)

constantes típicas del vacío con valores:

ε0 =1

4πKeµ0 = 4πKm

respectivamente, de modo que:

vf =1√KmKe

=

√Ke

Km

o, numéricamente:vf = 3× 108(m/s)

que coincide con la velocidad de la luz en el vacío. Nos resta encontrar e interpretar las funciones E(r, t) yB(r, t), como soluciones de las ecuaciones de onda antes deducidas.Circunstancialmente nos interesa las soluciones progresivas planas. Tales soluciones pueden interpretarse, sipostulamos que los campos E,B, son de magnitud compleja y en tal sentido asociar su significación físicacon las componentes reales respectivos.Concretamente la ecuación vectorial:

∇2E(r, t) =1

v2

∂2E(r, t)

∂t2

equivale a tres ecuaciones escalares del tipo:

∇2Ei(r, t) =1

v2i

∂2Ei(r, t)

∂t2

con i = x, y, z. De modo que una ecuación escalar prototipo será:(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)Ex(r, t) =

1

v2x

∂2Ex(r, t)

∂t2

para reducir las complejidades matemáticas, consideremos una solución del tipo: E = E(x, t), que reducela ecuación escalar pertinente a:

∂2E(x, t)

∂x2=

1

v2x

∂2E(x, t)

∂t2


Como una función de onda tiene, en general las variables espacio-temporales separadas, postulamos que:

E(x, t) = E1(x)E2(t) (3.29)

y de este modo:

∂2E(x, t)

∂x2= E2(t)

d2E1(x)

dx2

∂2E(x, t)

∂t2= E1(x)

d2E2(t)

dt2

así la ecuación propuesta se reduce a:

E2(t)d2E1(x)

dx2=

1

v2x

E1(x)d2E2(t)

dt2

y al dividir ambos miembros por el producto E1(x)E2(t)

1

E1(x)

d2E1(x)

dx2=

1

v2x

1

E2(t)

d2E2(t)

dt2

igualdad que tiene sentido si y solo si, se cumple:

v2x

E1(x)

d2E1(x)

dx2= −ω2

1

E2(t)

d2E2(t)

dt2= −ω2

en función de parámetros ondulatorios:

ω = 2πν,ω

vx= kx =

2π

λ.

ν, es la frecuencia y λ, es la longitud de onda. Aún más: λν = vx =ω

kx.

Entonces, las ecuaciones diferenciales ordinarias a resolver serán:

d2E1(x)

dx2+ k2

xE1(x) = 0 para la función espacial

d2E2(t)

dt2+ ω2E2(t) = 0 para la función temporal

en términos del operador D =d

dx

(D2 + k2x)E1(x) = 0 =⇒ D = ±ikx

(D ∓ ikx)E1(x) = 0

así:dE1(x)

dx= ±ikxE1(x) =⇒ dE1(x)

E1(x)= ±ikxdx

e integrando:∫ E∗1 (x)

E∗0x

dE1(x)

E1(x)= ±ikx

∫ x

0dx

ln

(E∗1(x)

E∗0x

)= ±ikxx


de la cual tenemos:E∗1(x) = E∗0xe

±ikxx (3.30)

El asterisco hace referencia a una magnitud compleja.Para la función temporal E2(t), un tratamiento similar nos conduce a:

(D2 + ω2)E2(t) = 0 con D =d

dt

Resolviendo encontramos que: D = ±iω ó

(D − iω)(D + iω)E2(t) = 0

por un lado:dE2(t)

dt= iωE2(t)

por otro:dE2(t)

dt= −iωE2(t)

e integrando:E∗2(t) = e±iωt (3.31)

finalmente colocando las ecuaciones 3.30 y 3.31 en la ecuación 3.29 tenemos:

E∗(x, t) = E∗0xe±ikxxe±iωt (3.32)

E∗(x, t) = E∗0xei(kxx±ωt) (3.33)

si elegimos kxx > 0, para una onda progresiva en el sentido positivo del eje x.

E∗(x, t) = E∗0xei(kxx−ωt)

ya es posible proponer una solución vectorial compleja para la onda eléctrica como:

E∗(r, t) = E∗0ei(k·r−ωt) (3.34)

donde E∗0, es un vector constante en el plano complejo, es decir del tipo:

E∗0 = E0e±iφ (3.35)

de modo que:E∗(r, t) = E0e

i(k·r−ωt±φ) (3.36)

No amenita reiterar el proceso para la ecuación de onda magnética, solo denotar que su solución está en fasecon la solución eléctrica; entonces:

B∗(r, t) = B0ei(k·r−ωt±φ) (3.37)

En ambos casos el vector constante k, define la dirección de propagación de la onda correspondiente.Por último las propias ecuaciones de Maxwell, nos permiten evidenciar por vía teórica, la existencia de laonda electromagnética(OEM), pues según:

1© ∇ ·E∗(r, t) = 0

2© ∇ ·B∗(r, t) = 0

3© ∇×E∗(r, t) = −∂B∗(r, t)∂t

4© ∇×B∗(r, t) = µ0ε0∂E∗(r, t)

∂t


se verifica que:k · E0 = 0 =⇒ k⊥E0

k ·B0 = 0 =⇒ k⊥B0

k×E0 = ωB0 =⇒ kE0 = ωB0 =⇒ B0 =Eov

=E0

c

De modo que en una OEM plana monocromática, la componente eléctrica oscila en fase con la componentemagnética en planos mutuamente perpendiculares, siendo cada uno por separado perpendicular a la direc-ción de propagación de la onda(fig. 3.10).

0PSfrag replacements

x

y

z

E0

B0 k

Figura 3.10: Vectores E B k, mutuamente perpendiculares

3.4.1. Expresiones Cartesiana

La parte real de la ecuación 3.36, es :

E(r, t) = E0 cos(k · r− ωt± φ) (3.38)

en particular si definimos: k = (0, k, 0), y E0 = (0, 0, E0), entonces:

E = E0 cos(ky − ωt± φ)uz (3.39)

B =E0

ccos(ky − ωt± φ)ux (3.40)

3.4.2. Densidad de energía electromagnética

Definida, como se recordará, según:

EEM =1

2E ·D +

1

2H ·B

y en el vacío:

EEM =1

2ε0E

2 +1

2

B2

µ0(3.41)


en una onda electromagnética: B =E

c=√ε0µ0E.

De modo que:1

2

B2

µ0=

1

2ε0E

2

lo que significa que en una OEM, la densidad de energía tiene contribuciones igualitarias de los camposeléctrico y magnético. Aún más la densidad combinada de energía, tiene asociada una onda progresiva dadapor:

EEM = ε0E2 =⇒ EEM = ε0E

20 cos2(ky − ωt± φ)

Esta onda de energía tiene la misma velocidad fásica que la OEM asociada.Un valor más representativo de la EEM es su valor medio por ciclo de oscilación, esto es:

< EEM >=1

Tε0E

20

∫ t+T

tcos2(ky − ωt± φ)dt (3.42)

como T =2π

ω; resulta:

< EEM >=1

2ε0E

20 (3.43)

Recordemos que en el teorema de Poynting, se relacionó la energía radiante, o flujo de energía, con el vector:S = E×H, y en función de de B:

S =1

µ0E×B (3.44)

en una OEM: k×E = ωB, de modo que:E× (k×E) = ωE×B, desarrollando el triple producto vectorial:

E2k− (k ·E)E = ωE×B

E2k = ωE×B

aún más: kE2uk = ωE×B, así:

E×B =k

ωE2uk (3.45)

reemplazando:

S =k

µ0ωE2uk (3.46)

el versor uk, define la dirección de propagación de la OEM, y como:ω

k= c =

1√ε0µ0

, resulta:

S =E2

µ0cuk

y como: EEM = ε0E2, tenemos:

S =EEMε0µ0c

uk

S = cEEMuk (3.47)

en una OEM:E = E0 cos(k · r− ωt± φ)

3.5. ESTADOS DE POLARIZACIÓN 151

yEEM = ε0E

2 cos2(k · r− ωt± φ)

luego:S = cε0E

20 cos2(k · r− ωt± φ)uk

cuyo valor medio es:

< S >=1

2cε0E2

ouk

< S >=1

2cε0E

2o

De manera que el vector de poynting, expresado en función de los campos de una OEM, representa el flujode energía transportada por la onda,es decir, la cantidad de energía electromegnética que fluye a través deun punto fijo, por unidad de tiempo y unidad de área, perpendicular a la dirección de propagación.

3.5. Estados de polarización

El estado de polarización de una OEM, está definida por una ecuación que permita el cálculo de lamagnitud, dirección y sentido de su componente eléctrico.Cuando en una OEM progresiva, el vector campo eléctrico permanece paralelo a si mismo, dicha onda estálinealmente polarizada.Concretamente, si el componente eléctrico de una OEM, es del tipo:

E∗(r, t) = E∗0ei(k·r−ωt) = E0u1e

i(k·r−ωt−φ)

dicha onda presenta Polarización Lineal, en la dirección del versor u1.De hecho dos ondas linealmente polarizadas:

E∗1 = E01ei(k·r−ωt−φ1)u1 = E01Ψ∗1

E∗2 = E02ei(k·r−ωt−φ2)u2 = E02Ψ∗2

constituyen una base ortonormal compleja si las funciones de onda Ψ∗1 y Ψ∗2, cumplen con los requisitos:

Ψ∗1 ·Ψ∗∗1 = Ψ∗2 ·Ψ∗∗2 = u1 · u1 = u2 · u2 = 1

Ψ∗1 ·Ψ∗∗2 = Ψ∗2 ·Ψ∗∗1 = u1 · u2 = u2 · u1 = 0

(El doble asterisco hace referencia al complejo conjugado) de modo que cualquier OEM progresiva puedeexpresarse como una superposición de E∗1 y E∗2, y por medio de esta superposición caracterizan cualquierotro estado de polarización.Para mejorar la comprensión de lo expuesto, detengamos espacialmente las ondas E∗1 y E∗2, en el origenesto es en r=0, con lo cuál:

E∗1(0, t) = E01e−i(ωt+φ1)u1

E∗2(0, t) = E02e−i(ωt+φ2)u2

en términos reales:

E1(0, t) = E01 cos(ωt+ φ1)u1

E2(0, t) = E02 cos(ωt+ φ2)u2


por razones didácticas proponemos las siguentes identidades:

u1 ≡ ux u2 ≡ uy E1 ≡ Ex E2 ≡ Eyde modo que:

Ex = E01 cos(ωt+ φ1)

Ey = E02 cos(ωt+ φ2)

si:φ1 − φ2 = φ =⇒ φ2 = φ1 − φ

Ex = E01 cos(ωt+ φ1)

Ey = E02 cos(ωt+ φ1 − φ)

eliminado el parámetro t, entre las dos ecuaciones obtendremos sucecivamente:

cos(ωt+ φ1) =ExE01

Ey = E02 [cos(ωt+ φ1) cosφ+ sen(ωt+ φ1) senφ]

Ey = E02

[ExE01

cosφ+ senφ

√1− E2

x

E201

]

EyE02− ExE01

cosφ = senφ

√1− E2

x

E201

(EyE02− ExE01

cosφ

)2

= sen2 φ

(1− E2

x

E201

)

E2y

E202

+E2x

E201

cos2 φ− 2ExEyE02E01

cosφ = sen2 φ− E2x

E201

sen2 φ

E2y

E202

+E2x

E201

− 2 cosφ

E02E01ExEy − sen2φ = 0

una función cuadrática en las variables Ex, Ey , y cuyo discriminante:

∆ =4 cos2 φ

E201E

202

− 4

E201E

202

∆ = −(

4

E201E

202

)sen2 φ

De manera que si:

1. φ = 0, ó φ = π; la cuadrática se reduce a:

EyE02± ExE01

= 0

Ey = ±(E02

E01

)Ex

en estas condiciones el vector eléctrico resultante presenta polarización lineal con una pendiente:

m = ±E02

E01


2. si φ =π

2, la cuadrática toma la forma:

E2y

E202

+E2x

E201

= 1

el extremo del vector eléctrico resultante describe una elipse central y la OEM correspondiente pre-senta polarización elíptica.Si además: E02 = E01 = E0 =, la OEM correspondiente presentará polarización circular del tipo:

E2y +E2

x = E20

3. Cualquier otro valor de φ, determina un discriminante: ∆ < 0y el resultado es una polarización elíptica, salvo que ahora los semiejes estarán girados un ángulo α,determinado por:

tan 2α =2E01E02 cosφ

E201 −E2

02

Gráficamente(fig. 3.11), advirtiendo que la OEM se dirige hacia el lector, debería ser:

Ejemplos:

1. En una OEM, la onda eléctrica esta dada por:

E = 0,5 cos[2π × 108

(xc− t)]

uy

determinar:

a) La longitud, frecuencia y velocidad fásica de la OEM.

b) La dirección de propagación y el estado de polarización.

c) La onda magnética correspondiente.

d) La intensidad media o flujo de potencia por unidad de área.

Solución:

a) La fase puede escribirse como:

2π × 108

(x

3× 108− t)

=2π

3x− 2π × 108t

de modo que:

k =2π

3=⇒ 2π

λ=

2π

3=⇒ λ = 3(m)

ω = 2πν = 2π × 108 =⇒ ν = 108(Hz)

vf = λν =⇒ vf = 3× 108(m/s) = c


Polarizacion Lineal Polarizacion circular

Polarizacion Eliptica Polarizacion Eliptica

PSfrag replacements

E02E02

E02

E01E01

E01

Ex

ExEx

Ex

Ey

EyEy

Ey

E0

E0

α

α

tanα =E02

E01

Figura 3.11: Formas de polarización


b) Como el frente de onda es una superficie plana, ello significa que:x

c− t = K , donde K es una

constante. Derivando respecto al tiempo:

x

c− 1 = 0 =⇒ x = c

y la onda se propaga en la dirección +x.La onda propuesta está linealmente polarizada en la dirección del eje y.

c) como:k ×E = ωB, en el problema propuesto:

kux ×Euy = ωB

B =E

cuz

asi:

B =0,5

ccos[2π × 108

(xc− t)]

uz

d) Según:

< S >=1

2ε0cE

20

< S >=1

2(8,85× 10−12)(3 × 108)(0,5)2

< S >= 3,32× 10−4(W/m2)

2. Una onda que vieja perpendicularmente hacia afuera de la página(hacia el lector), es la resultante dedos componentes linealmente polarizadas:

Ex = 3 cosωt

Ey = 2 cos

(ωt+

3π

4

)

Para la onda resultante determínese:

a) La razón axial.

b) El ángulo de inclinación α.

c) El sentido de rotación.

Solución


tenemos: cosωt =Ex3

, entonces:

Ey = 2 cosωt cos3π

4− 2 senωt sen

3π

4

Ey = −2 cosπ

4

Ex3− 2 sen

π

4

√1− E2

x

9

Ey +

√2

3Ex = −

√2

√1− E2

x

9(Ey +

√2

3Ex

)2

= 2

(1− E2

x

9

)

E2y +

2

9E2x +

2√

2

3ExEy = 2− 2E2

x

9

9E2y + 4E2

x + 6√

2ExEy − 18 = 0

∆ = 72− 144 = −72 (elipse)

tan 2α =−6√

2

9− 4= −1,7

α = −29,77o

con lo que:

Ex = Ex′ cos(−29,77o)−Ey′ sen(−29,77o)

Ey = Ex′ sen(−29,77o) +Ey′ cos(−29,77o)

Ex = 0,87Ex′ + 0,5Ey′

Ey = −0,5Ex′ + 0,87Ey′

que reduce la cuadrática a:

11,5E2y′ + 1,56Ex′ = 18

E2y′

1,252+Ex′

3,42= 1

la razon axial:R.A. =

3,4

1,25= 2,72

finalmente para t = 0Ex = 3 Ey = −

√2

Ex = 0 Ey = −√

2ω

y la onda presenta polarización elíptica izquierda o abreviadamente: PEI.

Bibliografía

[1] Nestor Avilés R. "Electrostática-Magnetostática”,

[2] David J. Griffiths, "Introduction to electrodynamics”, Prentice Hall

[3] Reitz-Milford-Christy, "Fundamentos de la teoría Electromagnética” Addison Wesley

[4] Raymond A. Serway, "Física Tomo II” Mc Graw Hill 4ta edición

[5] Marcelo Alonso-Edward J.Finn, ”Campos y ondas” Addison Weslwy Iberoamericana

157

Ejercicios Propuestos

MagnetostáticaInducción electromagnética

1. Deducir un medelo matemático que permita calcular el campo magnético de una carga puntual q, quees desplazada con una velocidad uniforme v.

2. Una partícula de carga q1, se mueve con la velocidad v1 = (v1, 0, 0), una segunda partícula de cargaq2 se mueve con la velocidad v2 = (0, v2, 0). Cuando la primera pasa por el origen, la segunda ocupala posición (0,−a, 0), para estas posiciones instantáneas, calcular (a) el campo magnético inducido enla posición de q2, (b) el campo magnético inducido en la posición de q1, (c) la fuerza de Lorentz queactúa sobre q1, (d) la correspondiente fuerza que actúa sobre q2, se cumple la tercera ley de Newton ?

3. Un conductor rectilineo muy largo que transporta una corriente de 200(A), atraviesa un cubo demadera por los puntos medios de dos de sus caras opuestas. Si el volúmen del cubo es de 8×103(cm3),calcular el campo magnético inducido en (a) los puntos medios de sus seis caras,(b) los puntos mediosde sus aristas, (c) sus ocho vértices.

4. Dos conductores rectilineos muy largos transportan corrientes antiparalelas de 20(A) cada una. Losconductores están separados una distancia a = 40cm. (a) Calcular el campo megnético en cualquierpunto perteneciente al plano de las corrientes. (b) Encontrar el flujo magnético que atraviesa la super-ficie del rectángulo mostrado en la figura 1, si en un caso b1 = b2 = 10(cm), y en otro b1 = 10(cm),b2 = 20(cm). En ambos casos c = 25(cm).

5. Un anillo de madera cuya representación en corte se muestra en la figura 2, está atravezado a lo largode su eje por un conductor rectilineo infinito que transporta una corriente i = 200(A). Si a = 10(cm)y b = 5(cm), evaluar el flujo magnético dentro del anillo.

Fig. 2Fig. 1

PSfrag replacements ii

i

a

a

b1

b2

cb

b

6. Un agrimesor utiliza una brújula a 6(m) por debajo de una línea de potencial que transporta una cor-riente de 100(A), en una región donde el campo megnético terrestre tiene una componente horizontal

159

de 0,2 gauss (1 gauss= 10−4 tesla). Analizar si es o no influyente el campo magnético de la corrienteen la lectura de la brújula.

7. Un electrón que viaja a razon de 107(m/s), se encuentra inicialmente a 5(cm) de una línea infintaque transporta 50(A) de corriente. Determinar la fuerza que actúa sobre el electrón si su velocidad(a) es perpendicular a la línea (aproximandose, alejandose), (b) tiene la dirección de la línea (paralela,antiparalela).

8. Un alambre muy largo de Cu es un cilindro sólido de radio a. Si el alambre transporta una corriente i,distribuida uniformemente a través de su sección transversal, calcular su campo magnético en funciónde la distancia (r) al eje del alambre, si (a) r ≤ a, (b) r ≥ a.

9. Cuatro alambres de Cu largos y paralelos están colocados de tal forma que sus secciones transversalesforman un cuadrado de 20(cm) de lado, como se muestra en la figura 3. Por cada alambre circula unacorriente de 20(A), en los sentidos indicados, calcular la fuerza por unidad de longitud (magnitud ydirección) que actúa sobre el alambre marcado con 1 en las representaciones A y B.

Fig. 3

PSfrag replacementsA B

(1) (1)

10. Tres conductores largos y paralelos estan colocados de modo que sus secciones transversales formanun triángulo, como se muestra en la figura 4. Calcular en cada caso la fuerza por unidad de longitudsobre el conductor que transporta 1(A) de corriente.

45º 30º 125º 25º

Fig. 4

PSfrag replacements

5(A)5(A)

1(A)1(A)

2(A)

2(A)

0,9(m) 0,5(m)

11. Un cable coaxial consta de dos conductores cilíndricos largos que tienen el mismo eje, y por tantoson concéntricos. el conductor central tiene un radio a y el conductor externo un radio interior b yun exterior c. Si por ambos conductores circulan corrientes antiparalelas de valor i, calcular el campomagnético para un radio r, de modo que: (a) r < a, (b) a ≤ r ≤ b, (c) b ≤ r ≤ c, (d) r > c.

12. Un conductor hueco de paredes cilíndricas y radio a y b respectivamente. (a < b), transporta una cor-riente i distribuida uniformemente en toda su sección transversal. Si el conductor es suficientementelargo, calcular el campo magnético para un radio r, talque: (a) a ≤ r ≤ b, (b) r ≥ b.

13. Un sistema conductor está formado por un número infinito de alambres largos adyacentes, cada unade las cuales transporta una corriente i, como se muestra en la figura 5, Dibujar las líneas de campomagnético y calcular su valor en cada uno de los casos: de la figuras 5.

14. En la figura 6, el conductor rectilíneo transporta una corriente de 30(A), y la espira rectangular unacorriente de 20(A). Si a = 1(cm), b = 8(cm) y h = 30(cm), calcular la fuerza magnética que actúasobre el conductor rectilíneo.

Fig. 5 Fig. 6

PSfrag replacements (a)

(b)

(c)

a

b

h

15. Un conductor largo rectilíneo tiene una sección transversal de radio R y transporta una corriente i.Dentro del conductor hay un orificio cilíndrico de radio a, con su eje paralelo al eje del conductor yauna distancia b de él. Utilizando las ideas de superposición, encontrar una espresión para el campomagnético en el interior del orificio.

16. Una franja metálica delgada muy larga y de ancho a, transporta una corriente i, a lo largo de sulongitud distribuida uniformemente. Calcular (a) el campo magnético en el plano de la franja a unadistancia b, del borde más próximo, (b) la fuerza por unidad de longitud que actúa sobre un alambrecoplanar infinito que transporta una corriente i′, paralelo a la longitud de la franja y a una distancia bdel borde más próximo.

17. Calcular el campo magnético producido por un segmente rectilíneo que transporta una corriente esta-cionaria i, en un punto P situado a una distancia b del alambre, ver figura 7. Expresar el resultado enfunción de los ángulos (a) φ1 y φ2 (b) θ1 y θ2.

Fig. 7

PSfrag replacements

θ1θ2

φ1 φ2

iib 0

18. Encontrar el campo magnético en puntos del eje central perpendicular al plano de las siguentes dis-tribuciones estacionarias de corriente i. (a) una espira cuadrada de lado a (b) una espira rectangularde lados a y b, (c) un polígono no regular de N lados cada uno de longitud L.

19. Sobre una esfera de material no magnética, de radio a, se enrollan N vueltas de un alambre muy finode tal manera que las espiras está muy próximas entre si. Si la corriente en el alambre es i, calcular elcampo magnético inducido en el centro de la esfera.

20. En 1878, el físico Rowland demostró experimentalemente que un disco cargado en rotación producíaefectos magnéticos particularmente notables a lo largo del eje de rotación. Considerando un discono conductor de 10(cm) de radio, con una carga de 0,1(µC) distribuída uniformente y que gira conuna frecuencia angular de 120π(s−1), determinar analíticamente el campo magnético inducido en elcentro del disco.

21. La superficie lateral de un cilindro circular recto de radio R y longitud L se carga uniformente con unadistribución σ0. Si el cilindro gira en torno a su eje con una frecuencia angular constante ω, determinarel campo magnético inducido en puntos de su eje.

22. El primer cálculo de la carga específica del electrón (la razón e/m), fue realizado por J.J. Thomsonen 1897, utilizando un tubo de rayos catódicos (similar al del los televisores) cuya representaciónesquemática se muestra en la figura 8. Los electrones térmicamente emitidos y sometidos a un previoproceso de aceleración, diafragmados en un haz estrecho penetran en el campo eléctrico de un capac-itor plano que ocasiona su desviación. (a) Calcular el valor de dicha desviación H en la pantalla dedetección. (b) Thomson aplicó un campo magnético perpendicualr al campo eléctrico del capacitor,ajustando su valor hasta anular la desviación eléctrica (H = 0 en la pantalla), cuál es la relación(e/m) en función de los campos E y B ?

DeflexionfluorescentePantallaEmision y

aceleracion Electricamagnetica

Fig. 8

+

−

− +

PSfrag replacements

v

D

HL

23. Una tira delgada de Cu de 1.5(cm) de ancho y 1,25(mm) de espesor, se coloca perpendicularmente aun campo magnético de 1,75(T ). A lo largo de la tira circula una estacionaria de 100(A). Encontrar (a)el campo Hall inducido, (b) la velocidad media de arrastre de los electrones. Considere una densidadde portadores Nq = 8,47× 1028(C/m3)

24. El coeficiente Hall para elCu esRH = −6,10×10−11(m3/C). Calcular (a) la densidad de portadores(electrones) libres del Cu. (b) Si la debsidad másica del Cu es de 8,9 × 103(Kg/m3) y la masa deun átomo de Cu es de 1,06× 10−25(Kg); con cuantos electrones libres en promedio contribuye cadaátome de Cu ?

25. Para medir la magnitud de un campo magnético por efecto Hall, se usa una tira deAg perpendicular alcampo. Una corriente longitudinal de 20(A), genera una tensión transversal Hall VH = 15(µV ). Laconstante de Hall para la Ag es RH = −0,84 × 10−10(m3/C). Si el espesor de la tira es 0,2(mm),calcular (a) la densidad de portadores libres en la Ag, (b) La magnitud del campo magnético.

26. Una carga puntual q y masa m, cruza el origen de un sistema cartesiano con una velocidad v =(v0 cos θ0, v0 sen θ0, 0). Determinar donde y cuando la partícula cruzará nuevamente el plano y = 0,si se aplica un campo magnético uniforme dado por: (a) B = (B0, 0, 0), (b) B = (0, B0, 0), (c)B = (0, 0, B0).

27. Una partícula de carga q y masa m inicialmente en reposo y en el orígen de un sistema cartesiano, essometida a la acción simultánea de un campo eléctrico E = (0, 2 × 105, 0), y un campo magnéticoB = (0, 0, 5). Obtener las ecuaciones cartesianas del movimiento subsecuente de la partícula.

28. Una partícula de carga q y masa m, por la acción conjunta del campo eléctrico de un condensadorplano cargado E y un campo magnético perpendicular B perpendicular a E, como se muestra en lafigura 9, si la partícula inicialmente en reposo se encuntra en el origen 0, (a) encontrar las ecuaciónesde movimiento de la partícula, (b) expresar las velocidades: vx, vy y v como funciones de la coorde-nada y, (c) Calcular el campo magnético que anulará vy en y = d.

Fig. 9

PSfrag replacements

d

x

y

EB

0

29. En una cierta región del espacio, se han inducido un campo eléctrico E = (0, 0, E0) y un campomagnético B = 0, 0, B0, una partícula de carga q y masam, se inyecta por el origen con una velocidadinicial v = (0, v0, 0), obtener las ecuaciones de movimiento de q una vez ingresado en la regiónelectromágnetica.

30. Una línea de corriente I , de longitud infinita está dentro de un material cilíndrico de radio a y per-meabilidad magnética µ, como se muestra en la figura 10. Si el cilindro está rodeado por el espaciolibre, calcular (a) los campos B, H, M, dentro y fuera del material magnetizado, (b) la corriente demagnetización.

31. Calcular los campos B,H,M, y las corrientes de magnetización para los siguentes casos: (a) Unacorriente volumétrica distribuida uniformemente J0uz a través de un cilindro de radio a y permeabil-idad µ limitado por el espacio vacío ver figura12. (b) Una lámina de corriente K0uz con centro enuna placa permeable de espesor d rodeado por el espacio libre. Ver figura 13

32. En la figura 11 se muestra un cilindro de radio a y longitud L con magnetización permanente M.Calcular los campos B,H en cualquier punto de su eje, si (a) M = M0uz , (b) M = M0(1− r/a)uz ,donde 0 ≤ r ≤ a.

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

""""""""""""""""""""""""""""""""""

##################################

0

Fig. 10 Fig. 11

PSfrag replacements

µ

µ

µ0

µ0

I

Juz x

y

z

M

k0

(a) d(b)

Fig. 12 Fig. 13

PSfrag replacements

µ

µ

µ0µ0

I

J0uz

x

y

z

M

K0

Inducción electromagnética

1. Una espira rectangular simple de dimensiones: a = 0,10(m), b = 0,15(m), está localizada en elplano z = 0. Dentro de la espira se establece un campo magnético no estacionario dado por:

B = (0, 12x sen 103t, 12y cos 103t)

Determinar la FEM inducida.

2. Un toroide de 500 vueltas de alambre y sección rectangular, tiene las siguentes dimensiones: radiointerior ri = 6(cm), radio exterior re = 9(cm) y altura h = 2(cm). Por el toroide circula unacorriente variable según: i = 50 sen 120πt. Una bobina de 20 vueltas de alambre enlaza una porcióndel toroide. Determinar la FEM inducida en la bobina.

3. Un solenoide ideal de 400(vueltas/m), transporta una corriente variable según: i = 30(1 − e−1,6t).Dentro del solenoide y coaxial con él, se localiza una bobina de 6(cm) de radio y 250 vueltas dealambre fino. Cuál es la FEM inducida en la bobina ?

4. Sobre un conductor doblado en forma de U , con un ancho de 80(cm) desliza una varilla conductoratransversalcon una velocidad de 15(m/s), aumentando la magnitud la magnitud del área encerrada.Un campo magnético uniforme de 0,08(T ) atraviesa la superficie del circuito formado. Determinar laFEM inducida en la varilla conductora por dos métodos diferentes.

5. Una barra conductora de 50(cm) de largo, gira en torno a uno de sus extremos con una velocidad de360(rad/s), en presencia de un campo magnético constante de 0,02(T ) perpendicular a la barra. De-terminar la diferencia de potencial entre los extremos de la barra y sus polaridades correspondientes.

6. Un disco de 20(cm) de radio y conductividad igual a 6×10−8(Ωm), se localiza en un campo magnéti-co perpendicular a su plano. Si el campo magnético varía en función del tiempo según: B(t) = 0,122t;calcular la densidad de corriente inducida. Puede aplicar la ley de Ohm.

7. Un campo eléctrico, en cierta región del espacio esta definido por:

Ez = (E0/a)(a − r)Ez = 0, para r ≥ a

Determinar el campo magnético inducido en ambas regiones.

8. Las componentes de cierto campo eléctrico son:

Ex = (E0/a2)x2;EY = (E0/a

2)y2;Ez = −(2E0/a2)(x+ y)z

(a) Que campo magnético inducido B(t) es compatible con el rotor del campo eléctrico especificado? (b) Determinar la densidad J asociada al campo B(t). (c) Verificar que la divergencia de B(t) escero.

9. El dipolo magnético, no estacionario, m = m0sen(ωt)uz , esta localizado sobre el eje de una espiracircular de radio a. La distancia entre el dipolo y el centro de espira es b, como se muestra en lafigura 14. Determinar la FEM inducida en la espira. (El flujo que atravieza la espira es igual al queatavieza el segmento de la esfera que tiene su centro en la posición del dipolo y cuya radio es tal que:R2 = a2 + b2)

Fig. 14

PSfrag replacements

z

b

s

R

m

10. Un solenoide largo, cuyo eje coincide con el eje x, tiene 200 vueltas de alambre por metro de longitudy transporta una corriente estacionaria de 15(A). Una espiral de alambre de 30 vueltas apretadas y8(cm) de radio, se localiza dentro del solenoide monatada sobre un eje que coincide con el eje y. Sila espira gira a razón de 4π radianes por segundo, determinar la FEM inducida.

11. Una barra conductora de 1(m) de longitud; se mueve paralelamente al eje x con una velocidad v =(0, 100, 0) a través de una campo magnético uniforme dado por: B = 0,0045(3, 4, 5). Determinar laFEM inducida entre los extremos de la barra.

12. Una espira rectanguar de lados a y b de N vueltas de alambre, se mueve en el plano z = 0, conuna velocidad v = (0, v0, 0) como se muestra en la figura 15. Si dicho desplazamiento se efectúa enpresencia del campo magético: B = (0, 0, B0 sen(πy/a) sen(ωt)). Determinar la FEM inducida enla espira.

Fig. 15

PSfrag replacementsz

x

yB a

b

v0

B

µ0

13. En cierta región del espacio el campo eléctrico es enteramente azimutal en torno al z de un sistemacilíndrico de referencia, y está definido por: E = Eφuφ = −E0(r/a)uφ. (a) Verificar que siendoun campo estacionario es no conservativo. (b) Obtener la expresión del campo magnético, no esta-cionario, capaz de inducirlo.

14. Dos hilos conductores, de resistencias despreciables se disponen paralelamente como se muestra en lafigura 16. La resistencia R es fija mientras la resistencia r se mueve apoyada sobre los hilos con unavelocidad v. El área formada por los hilos y las dos resistencias se encuentran en un campo magnéticouniforme B0. Calcular la diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia móvil.

15. Apoyado sobre dos guías verticales unidos por una resistencia R, puede deslizar libremente, un con-ductor de masa m, y longitud l. El sistema se encuentra en un campo magnético uniforme perpendic-ular al plano de la figura 17. Describir el movimiento del conductor por acción de la gravedad, si sedesprecian las resistencias de las guías y del propio conductor.

Fig. 16 Fig. 17

PSfrag replacements z

x

yR

R

r

v

B0

B0l

mg

Juz

16. El circuito que se muestra en la figura 18, está formado por dos guías paralelas cerradas por uncapacitor de capacitancia C y un conductor móvil, inicialmente en reposo,accionado por una fuerzaconstante F. Despreciando todo rozamiento y la resistencia total del circuito, calcular la aceleracióndel conductor móvil. En qué se transforma el trabajo realizado por la fuerza F ?

17. Un anillo de alambre de radio r se encuentra en un campo magnético, cuya dirección es perpendicularal plano del anillo y varía con el tiempo según la ley:B = kt. si k es una constante positiva, determinarel campo eléctrico inducido en el anillo.

18. Un anillo conductor de resistividad η, tiene radio interior a, radio exterior b y altura h. el anillo seencuentra en un campo magnético paralelo a su eje y que crece en función del tiempo según: B = kt.Calcular la intensidad de la corriente eléctrica inducida en el anillo.

19. Determinar el sentido y magnitud de las corrienes inducidas en el circuito que se muestra en la fiura19, por acción del campo magnético perpendicular a su plano y que varía en función del tiempo según:B = kt, donde k es una constante positiva.

Fig. 18 Fig. 19

PSfrag replacements

z

x

y

B0

F

C

3R

2R

b/2

b/2B

B

b

R

20. La inductancia mútua entre dos circuitos rígidos y estacionarios es 100(µH). Calcular el voltaje máx-imo inducido en uno de los circuitos, si por el otro fluye una corriente i = 10 sen 103t.

21. dos solenoides de la misma longitud se disponen coaxialmente. El primero tiene N1 vueltas y radioR1; el segundo N2 vueltas y radio R2 (R2 < R1). Determinar la inductancia mutua del par de

solenoides, asumiendo que una corriente i fluye por el primero y luego asumiendo que la mismacorriente fluye por el segundo. Puede verificar entonces que M12 = M21.

22. Una bobina rectangular formada por N vueltas de alambre fino y que encierra una superficie b × c,se coloca paralelamente a un conductor rectilíneo muy largo y a una distancia a de él. Determinar lainductancia mutua del sistema propuesto.

23. Dos espiras circulares simples, una de 2(cm) de radio y la otra de 20(cm), se disponen concéntrica ycoplanarmente. encontra el valor de su inductancia mutua.

24. Un conductor rectilineo suficientemente largo coincide con el eje central de un toroide formado porN vueltas, radio interior R, radio exterior (R + a) y altura h. Encontrar una expresión que permitacalcular la inductancia mutua del sistema.

25. Calcular el auto flujo de un espira inductora de 10(µH), si una corriente de 2(A) circula a través deella.

26. Una corriente: i = 5 sen(120πt), fluye a través de un inductor de 10(mH). Expresar en función deltiempo la FEM auto inducida.

27. Un anillo de Rowland con núcleo de aire, está formado por 500 vueltas de alambre, con un radiointerior de 10(cm) y sección cuadrada de 4(cm) de lado. Calcular el valor de su auto-inductancia.

28. Un conductor cilíndrico muy largo y de radio R, transporta una corriente estacionaria y uniforme i.Calcular la energía magnética por unidad de longitud del conductor.

29. Una aguja larga y delgada de hierro cuya constante magnética es Km = 150, se coloca paralelamenteen un campo magnético uniforme B0 = 0,012(T ). Despreciando los efectos de borde, determinar lostres vectores magnéticos: B,H,M dentro de la aguja.

30. Una lámina circular de hierro (Km = 150) se localiza perpendicular a un campo magnético uniformeB0 = 0,012(T ). Sin considerar los efectos de borde, calcular B,H,M dentro del disco.

31. El espacio de un capacitor circular de placas paralelas, se llena con un material no conductor que tieneuna constante dieléctrica K = 4, y una permeabilidad relativa Km = 30. La densidad de carga libreen el capacitor varía en función del tiempo según: σ = ∓10t. Determinar el valor de los campos:D,E,P,H,B,M, para t = 20(ms) en un punto situado en la parte media del capacitora 5(cm) desu eje.

32. Dos pequeñas corrientes circulares de radios a y b respectivamente, se colocan sobre un mismo planoy a una distancia r, una de la otra. Considerando cada espira como un dipolo magnético, calcular elcoeficiente de inducción mutua.

33. Una concha esférica de radio R, con una carga total Q distribuída uniformemente en su superficie,gira en torno a uno de sus diámetros con una frecuencia angular constante ω. En contrar el momentomagnético de la esfera.

Apéndice A

Definiciones, Identidades y TeoremasVectoriales

Operador Vectorial Nabla

Deriva direccionalmente funciones escalares o vectoriales dependientes de la posición, segun:

a) Gradiente de φ = gradφ = ∇φ

b) Divergentete de ~F = Div~F = ∇ · ~F

c) Rotacional de ~F = Rot~F = ∇× ~F

A.1. Definiciones

A.1.1. Coordenadas Rectangulares (x, y, z)

∇ =∂

∂xex +

∂

∂yey +

∂

∂zez

∇Φ =∂Φ

∂xex +

∂Φ

∂yey +

∂Φ

∂zez

∇ · ~F =∂Fx∂x

+∂Fy∂y

+∂Fz∂z

∇× ~F =

(∂Fz∂y− ∂Fy

∂z

)ex +

(∂Fx∂z− ∂Fz

∂x

)ey +

(∂Fy∂x− ∂Fx

∂y

)ez

∇2Φ =∂2Φ

∂x2+∂2Φ

∂y2+∂2Φ

∂z2

A.1.2. Coordenadas Cilíndricas (ρ, φ, z)

∇ =∂

∂ρeρ +

1

ρ

∂

∂φeφ +

∂

∂zez

∇ψ =∂ψ

∂ρeρ +

1

ρ

∂ψ

∂φeφ +

∂ψ

∂zez

∇ · ~F =1

ρ

∂(ρFρ)

∂ρ+

1

ρ

∂Fφ∂φ

+∂Fz∂z

169

170 APÉNDICE A. DEFINICIONES, IDENTIDADES Y TEOREMAS VECTORIALES

∇× ~F =

(1

ρ

∂Fz∂φ− ∂Fφ

∂z

)eρ +

(∂Fρ∂z− ∂z

∂ρ

)eφ +

(1

ρ

∂(ρFφ)

∂ρ− ∂Fρ

∂φ

)ez

∇2ψ =1

ρ

∂

ρ

(ρ∂ψ

∂ρ

)+

1

ρ2

∂2ψ

∂φ2+∂2ψ

∂z2

A.1.3. Coordenadas Esféricas (r, θ, φ)

∇ =∂

∂rer +

1

r

∂

∂θeθ +

1

rsinθ

∂

∂φeφ

∇ψ =∂ψ

∂rer +

1

r

∂ψ

∂θeθ +

1

rsinθ

∂ψ

∂φeφ

∇ · ~F =1

r2

∂

∂r

(r2Fr

)+

1

rsinθ

∂

∂θ(sinθFθ) +

1

rsinθ

∂Fφ∂φ

∇× ~F =1

r sen θ

(∂

∂θ(Fφ sen θ)− ∂Fθ

∂φ

)er +

1

r sen θ

(∂Fr∂φ− sen θ

∂

∂r(rFφ)

)eθ

+1

r

(∂

∂r(rFθ)−

∂Fr∂θ

)eφ

∇2ψ =1

r2

∂

∂r(r2∂ψ

∂r) +

1

r2sinθ

∂

∂θ(sinθ

∂ψ

∂θ) +

1

r2sin2θ

∂2ψ

∂φ2

A.2. Identidades Notables

Identidades Vectoriales

1. ∇(~F · ~G) = (~F · ∇) ~G+ ( ~G · ∇)~F + ~F × (∇× ~G) + ~G× (∇× ~F )2. ∇ · Φ~F = ∇Φ · ~F + Φ∇ · ~F3. ∇ · ∇Φ = ∇2Φ4. ∇ · (~F × ~G) = ~G · (∇× ~F )− ~F · (∇× ~G)5. ∇ · (∇× ~F ) = 06. ∇× Φ~F = ∇Φ× ~F + Φ∇× ~F7. ∇× (~F × ~G) = (∇ · ~G)~F − (∇ · ~F ) ~G+ ( ~G · ∇)~F − (~F · ∇) ~G8. ∇×∇Φ = 09. ∇× (∇× ~F ) = ∇(∇ · ~F )−∇2 ~F

A.3. Teoremas de Integración

Integración Vectorial

1.

∫

V∇ · ~FdV =

∮

S

~F · ~undS Teorema de la divergencia

2.

∫

S∇× ~F · ~undS =

∮

C

~F · d~r Teorema del Rotor

3.

∫

V∇× ~FdV =

∮

S~un × ~FdS

Apéndice B

Constantes Físicas

Constante Símbolo Valor UnidadVelocidad de la luz c 2,99792458 × 108 m/sCarga elemental e 1,620189 × 10−19 CConstante de Avogadro NA 6,02204 × 1023 partículas/molConstante de Faraday F 96484,6 C/molConstante de Plank h 6,62618 × 10−34 J-s

4,13570 × 10−15 eV-S~ = h/2π 1,054589 × 10−34 J-s

Constante de los gases R 8.3144 J/mol-KConstante de Boltzmann k 1,38066 × 10−23 J/KConstante gravitacional G 6,672 × 10−11 N-m2/Kg2

permitividad del vacío ε0 8,85418782 × 10−12 C2/J-mPermeabilidad del Vacío µ0 4π × 10−7 N/A2

Radio de Bohr a0 5,291771 × 10−11 mMasa en reposo del electrón me 9,10953−31 Kg

0511003 MeV/c2

Masa en reposo del protón mp 1,572648−27 Kg938,280 MeV/c2

Masa en reposo del neutrón mn 1,674954 × 10−27 KgUnidad de masa unificada u 1,6601566 × 10−27 Kg

931,502 MeV/c2

Estos Valores (Tomados del Physics Today, septiembre 1974) están recomendados por el committee onData for Science and Technology of the International Council of Scientific Unions. Se han redondeado demodo que sólo es incierto el último dígito.Nota: Electrón volt(eV) = energía adquerida por un electrón cuando se acelera por la diferencia de potencialde un volt.

171

172 APÉNDICE B. CONSTANTES FÍSICAS

Apéndice C

Tabla de derivadas e integrales

C.1. Propiedades especiales de las derivadas

Derivada del producto de dos funciones

d

dx(g(x)h(x)) = g

dh

dx+ h

dg

dx

Derivada del cociente de dos funciones

d

dx

(g(x)

h(x)

)=hdg

dx− gdh

dxh2

Derivada de la suma de dos funciones

d

dx(g(x) + h(x)) =

dg

dx+dh

dx

Regla de la cadena del cálculo diferencial

Sí y = f(x) y x = f(z), entoncesdy

dxpuede escribirse como el producto de dos derivadas

dy

dx=dy

dz

dz

dx

La segunda derivada

d2y

dx2− d

dx

(dy

dx

)

173

174 APÉNDICE C. TABLA DE DERIVADAS E INTEGRALES

C.2. Derivada para diversas funciones

d

dx(c) = 0

d

dx(cxn) = ncxn−1

d

dx(ecx) = cecx

d

dx(sen cx) = c cos cx

d

dx(cos cx) = −c sen cx

d

dx(tan cx) = c sec2 cx

d

dx(cotcx) = −c csc2 cx

d

dx(secx) = tanx sec x

d

dx(csc x) = − cot x csc x

d

dx(ln cx) =

1

x

Nota: Las letras c,n son constantes

C.3. Integración

Integral definida

I(x) =

∫ B

Af(x)dx = F (x)

∣∣∣∣B

A

= F (B)− F (A)

Integral indefinida

I(x) =

∫f(x)dx = F (x) + C

Donde F (x) es la primitiva de la función f(x), y C es una constante

Integración por partes

∫udv = uv −

∫vdu

C.3. INTEGRACIÓN 175

Algunas integrales indefinidas

∫xndx =

xn+1

n+ 1+C (siempre que n 6= −1)

∫xeaxdx =

eax

a2(ax− 1) + C

∫dx

x=

∫x−1dx = ln(x) + C

∫dx

a+ becx=x

a− 1

acln(a+ becx) + C

∫dx

a+ bx=

1

bln(a+ bx) + C

∫sen(ax)dx = −1

acos(ax) + C

∫dx

(a+ bx)2= − 1

b(a+ bx)+ C

∫cos(ax)dx =

1

asen(ax) + C

∫dx

a2 + x2=

1

atan−1 x

a+ C

∫dx

a2 − x2=

1

2alna+ x

a− x + C (a2 − x2 > 0)

∫cot(ax)dx =

1

aln(sen ax) + C

∫xdx

a2 ± x2= ±1

2ln(a2 ± x2) + C

∫sec(ax)dx =

1

aln(sec ax+ tan ax) + C

∫dx√a2 − x2

= sen−1 x

a= − cos−1 x

a+ C

∫sen2(ax)dx =

x

2− sen(2ax)

4a+ C

∫dx√x2 ± a2

= ln(x+

√x2 ± a2

)+ C

∫csc(ax)dx =

1

aln(csc ax− cot ax) +C

∫xdx√a2 − x2

= −√a2 − x2 +C

∫cos2(ax)dx =

x

2+

sen 2ax

4a+ C

∫xdx√x2 ± a2

=√x2 ± a2 + C

∫dx

sen2 ax= −1

acot ax

∫eaxdx =

1

aeax + C

∫dx

cos2 ax=

1

atan ax+ C

∫x√a2 − x2dx = −1

3(a2 − x2)3/2 + C

∫tan2(ax)dx =

1

a(tan ax)− x+ C

∫ln(ax)dx = (x ln ax)− x+ C

∫cot2(ax)dx = −1

a(cot ax)− x+ C

∫x√x2 ± a2dx =

1

3(x2 ± a2)3/2 +C

∫cos−1(ax)dx = x(cos−1 ax)−

√1− a2x2

a+ C

∫dx

(x2 + a2)3/2=

x

a2√x2 + a2

+ C∫

sen−1(ax)dx = x(sen−1 ax) +

√1− a2x2

a+C

∫xdx

(x2 + a2)3/2= − 1√

x2 + a2+ C

∫ √a2 − x2dx =

1

2

(x√a2 − x2 + a2 sen−1 x

2

)+ C

∫ √x2 ± a2dx =

1

2

[x√x2 ± a2 ± a2 ln

(x+

√x2 ± a2

)]+ C

∫tan(ax)dx = −1

aln(cos ax) =

1

aln(sec ax)

176 APÉNDICE C. TABLA DE DERIVADAS E INTEGRALES

Valores de In =

∫ ∞

0

xne−ax2

dx

n In n In

01

2

√π

a1

1

2a

21

4

√π

a33

1

2a2

43

8

√π

a55

1

a3

615

16

√π

a77

3

a4

Si n es par, entonces: ∫ ∞

−∞xne−ax

2dx = 2In

Si n es impar: ∫ ∞

−∞xne−ax

2dx = 0

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