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8/12/2019 fisica 1 asimov.pdf

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ASIMOV FISICA PARA EL CBC, Parte 1


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FISICAPara el CBC- Parte 1 -ESTATICA y CINEMATICA

FISICA CEROMATEMTICA NECESARIA PARA ENTENDER FSICA

ESTATICAFUERZAS COPUNTUALES SUMA DE FUERZAS REGLA DEL PA-RALELOGRAMO - METODO ANALITICO PARA SUMAR FUERZAS -FXY Fy - RESULTANTE - EQUILIBRIO - EQUILIBRANTE -FUERZAS NO COPUNTUALES - MOMENTO DE UNA FUERZA -ECUACION DE MOMENTOS - EQUILIBRIO - CENTRO DE GRAVEDAD

CINEMATICAPOSICION VELOCIDAD ESPACIO RECORRIDO - MRU ACELE-RACION - MRUV ECUACIONES HORARIAS - ENCUENTRO - ACELE-RACION DE LA GRAVEDAD - CAIDA LIBRE - TIRO VERTICAL - TIROOBLICUO - CINEMATICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR - MOVIMIEN-TO RELATIVO CINEMATICA VECTORIAL


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Fsica para el CBC, Parte 1

- 2. edicin. Buenos Aires: Editorial Asimov, 2013

223 p.; 21x 27 cm.

ISBN: 978-987-23462-2-5

Fsica para el CBC, Parte 1- 2a ed. - Buenos Aires : Asimov, 2013

v. 1, 223 p. ; 21 x 27 cm.

ISBN 978-987-23462-2-5

1. Fisica. TtuloCDD 530

Fecha de catalogacin: Marzo de 2007

2007 Editorial Asimov

Derechos exclusivosEditorial asociada a Cmara del Libro

2 edicin. Tirada: 50 ejemplares.

Se termin de imprimir en Febrero de 2013

HECHO EL DEPSITO QUE ESTABLECE LA LEY 11.723

Prohibida su reproduccin total o parcialIMPRESO EN ARGENTINA


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FISICA PARA EL CBC

Permitida su reproduccin total o parcial -

Hola. Lo que pongo ac es lo que yo doy en las clases de fsica paralos chicos del CBC. As como lo doy, as lo puse. No escrib esto paraun alumno terico que en realidad no existe. Escrib este libro parael alumno verdadero que realmente cursa fsica. ( O sea, vos ).

Hay una primera cosa que tens que saber si vas a cursar fsica: Esa

cosa es que la fsica es difcil. Te aclaro esto porque vas a ver quetu profesor te va a decir cosas del estilo: "fjense que fcil esto"." fjense que fcil lo otro ". Falso. Tu profesor miente. Rara vez en

fsica algo es fcil.

Por qu es difcil la fsica ? Rta: es difcil por 3 motivos bsicos:

1ermotivo - La fsica es difcil porque es difcil. O sea, en la vida

hay cosas fciles y cosas difciles. Te metiste con una difcil. Es as.

En fsica todo el tiempo hay que pensar, todo el tiempo hay que ra-zonar. No se puede estudiar de memoria... Todo el tiempo hay queandar haciendo dibujitos. Hay trampas... los problemas tienen tru-cos... La fsica es un lo. La fsica es difcil. Y es difcil porque es di-fcil. No les creas a los que dicen que la fsica es fcil. Mienten.( Que raro alguien mintiendo hoy en da, no ? ).

2do motivo - La fsica es difcil porque para saber fsica primero

tens que saber matemtica. Esto es todo un problema. La inmensamayora de la gente viene del secundario sin saber matemtica. Elalumno empieza a cursar fsica y ve que no entiende nada. Cree queel problema es la fsica. Error. El problema no es la fsica. El pro-blema es la matemtica. Eso es exactamente lo que te est pasando

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a vos. Es hora de que lo sepas. No hay manera de saber fsica sinsaber antes matemtica.

3ermotivo - El 3ermotivo no lo puedo poner ac. En todo caso man-dame un mail y te lo digo. ( www.asimov.com.ar )

Conclusin: Es normal que al principio a uno le vaya mal en fsica. Unose rompe el alma tratando de entender la materia, pero no hay mane-ra. La cosa no va. Lo peor es que uno cree ser un tonto. Pero no es as. Es esta tu situacin ? ( somos dos )

Si efectivamente este es tu caso, pon una cruz ac

Pero como? Y entonces que hago? No hay salida ? No la voy

a aprobar nunca?!Rta: Tranquilo. El asunto tiene arreglo. La solucin es simple: Hayque estudiar. Y hay que estudiar mucho, por no decir que hay queestudiar como un salvaje. Sobre todo, hay que hacer muchos pro-blemas. Saber fsica es saber hacer problemas. Eso es lo que tensque entender. Problemas es lo que ellos te van a tomar. ( Conste que

te lo dije ).

Resumiendo, master, ests metido en un lo. Ests cursando una ma-teria difcil y sabs poca matemtica. No hay manera de zafar. Hayque estudiar. Sentate y estudi. Atencin, no hablo de pasarse ho-ras estudiando. Tampoco hablo de semanas. Hablo de meses.Concretamente, para el alumno normal, entender fsica de CBC llevaalrededor de 1 ( un ) ao. Esto significa cursarla un cuatrimestre y

tener que volver a cursarla otra vez.

No me digas ahora "mi primo curs fsica y la aprob de primera con8 ( Ocho )" . Ya s que hay gente que la aprueba de entrada. Perotambin hay gente que la cursa 3 veces. Para el alumno normal, apro-bar fsica de CBC lleva un ao.


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No escrib este librito con grandes fines comerciales que digamos.Si quers pods comprarlo. Si quers pods fotocopiarlo. Si querspods bajarlo de Internet. ( www.asimov.com.ar ). Yo te doy permiso.En el mundo moderno todo se compra y se vende. Me opongo. Permitoque fotocopies este libro siempre que lo hagas para estudiar. No tepermito que lo fotocopies para venderlo a tres por cinco.

IMPORTANTE: Hay 2 cosas que este libro NO es :

1) Este NO es el libro oficial de la ctedra de fsica del CBC.Este libro lo escrib yo como a mi me parece.

2) Este NO es un libro para profesores. Este es un libro paraalumnos. No busques ac rigurosidad rigurosa, ni demostra-ciones rarfilas, ni lenguaje rebuscado.

Por ltimo, si el libro es malo o tiene errores... Disculpas. Entr a la

pgina. Mandame un mail y lo corrijo. ( www.asimov.com.ar )

Saludos.

Anbal


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OTROS APUNTESASIMOV* EJERCICIOS RESUELTOS DE LA GUIA

Son los ejercicios de la gua de fsica del CBC resueltos y explicados.

* PARCIALES RESUELTOSSon parciales del ao pasado con los ejercicios resueltos y explicados.Tambin hay parciales de aos anteriores.

OTROS LIBROS ASIMOV:

* QUMICA PARA EL CBC

* ANALISIS PARA EL CBC* ALGEBRA PARA EL CBC

* BIOFISICA PARA EL CBC

Estos libros tienen lo que se da en clase en cada materia pero hablado en

castellano bien criollo.

LF-1


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Ves algo en este libro que no est bien ? Encontraste algn error ? Hay algo mal explicado ?

Hay algo que te parece que habra que cambiar ?

Mandame un mail y lo corrijo.

www.asimov.com.ar

LF-1

Pods bajar tericos y parcialesviejos de www.asimov.com.ar


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INDICEPgina

1 FISICA CEROMATEMTICA NECESARIA PARA ENTENDER FSICA

20 ESTATICA

22............ FUERZAS COPUNTUALES23 SUMA DE FUERZAS RESULTANTE25.............TRIGONOMETRIA. SENO, COSENO Y TANGENTE28 PROYECCIONES DE UNA FUERZA31............. SUMA DE FUERZAS ANALITICAMENTE33 EQUILIBRIO35..............EJEMPLOS

39............. FUERZAS NO COPUNTUALES39 MOMENTO DE UNA FUERZA39.............. SIGNO DEL MOMENTO40 EQUILIBRIO PARA FUERZAS NO CONCURRENTES

42.............. EJEMPLOS44 TEOREMA DE VARIGNON45.............. CENTRO DE GRAVEDAD46 PROBLEMAS TOMADOS EN PARCIALES

CINEMATICA

MRU( Movimiento Rectilneo y Uniforme )52 Posicin, velocidad y aceleracin.53...........Sistema de referencia. Trayectoria.

55 Movimiento Rectilneo y Uniforme57........... Velocidad en el MRU58 Ecuaciones horarias en el MRU59 ........... Tg de un ngulo y pendiente de una recta.61 Grficos en el MRU62............. Pendientes y las reas de los grficos63 Un ejemplo de MRU67.............Velocidad media


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73 ...........ENCUENTRO75 Problemas de encuentro.81 ........... Encuentro cuando un mvil que sale antes que el otro

83 MRUV ( Movimiento Rectilneo con aceleracin )84 ...........Aceleracin.86 Signo de la aceleracin87............ Ecuacin de una parbola88 Solucin de una ecuacin cuadrtica89 ...........Ecuaciones y grficos en el MRUV93 Ecuacin complementaria.95...........Velocidad instantnea.96 Anlisis de los grficos del MRUV98.............La velocidad y la aceleracin son vectores

100 Como resolver problemas de MRUV101..............MRUV, Ejercicios de parciales105 Encuentro en MRUV107.............Encuentro, Ejercicios de parciales

113............CADA LIBRE Y TIRO VERTICAL116 Como resolver problemas de Cada libre y Tiro vertical123............Cada libre, ejercicios de parciales

127 ...........TIRO OBLICUO129 Trigonometra131.............Proyeccin de un vector133 Principio de independencia de los movimientos de Galileo136.............Ecuaciones en el Tiro Oblicuo.137 Como resolver problemas de Tiro Oblicuo138.............Ejemplos y problemas sacados de parciales

153 MOVIMIENTO CIRCULAR154............. Movimiento circular uniforme154 El Radin156..............La velocidad angular omega ()157 La velocidad tangencial (VT )157..............Perodo T y frecuencia f158 Aceleracin centrpeta159..............Relacin entre y f160 Algunos problemas de Movimiento circular


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164 MOVIMIENTO RELATIVO165..............Velocidades relativa, absoluta y velocidad de arrastre167 Algunos problemas de Movimiento relativo

173 CINEMATICA VECTORIAL174..............Vectores175 Componentes de un vector177............. Mdulo de un vector179 Vector Posicin y vector desplazamiento180..............Vector Velocidad Media182 Velocidad instantnea184............. Aceleracin Media e instantnea184 Ejemplos y problemas de cinemtica Vectorial192............. Cinemtica Vectorial, problemas sacados de parciales

Pag 195 : Resumen de frmulas de Esttica y cinemtica


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FISICA 0MATEMATICA QUE HAY QUE SABER

PARA ENTENDER FISICA

TEMAS:

FACTOREO - SACAR FACTOR COMUN - PASAR DE TERMINO -DESPEJAR - SUMAR FRACCIONES - ECUACION DE LA RECTA -UNA ECUACION CON UNA INCOGNITA - DOS ECUACIONES CONDOS INCOGNITAS - ECUACION DE UNA PARABOLA - ECUACION

CUADRATICA - SOLUCION DE UNA ECUACIN CUADRTICA.


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ASIMOV FISICA CERO- 2 -

FISICA 0Frmulas y cosas de matemtica que hay que saber para entender fsica

Hola. A mucha gente le va mal en fsica por no saber matemtica. No es que el tipo noentienda fsica. Lo que no entiende es matemtica. Entonces cuando le tiran un problemano sabe para dnde agarrar. Si vos sabs bien matemtica dej este apunte de lado.Ponete ya mismo a resolver problemas de fsica, te va a ser ms til. Si vos sabs que lamatemtica no te resulta fcil, lee con mucha atencin lo que yo pongo ac. Hacete todoslos ejercicios. Hacele preguntas a todos los ayudantes o incluso a m s me encontrs por

ah en algn pasillo. Yo s perfectamente que nunca nadie te ense nada y ahora teexigen que sepas todo de golpe. Qu le vas a hacer. As es la cosa. Bienvenido a la UBA.

Ahora, ojo, Todos los temas que pongo ac son cosas QUE VAN A APARECER MIEN-TRAS CURSES LA MATERIA.No es que estoy poniendo cosas descolgadas que nuncavas a usar. Todo, absolutamente todo lo que figura va a aparecer y vas a tener que usarlo.Pero:

Alegra!

Vas a ver que no es tan difcil !

PASAR DE TRMINO - DESPEJAR

En fsica todo el tiempo hay que andar despejando y pasando de trmino. Tens quesaberlo a la perfeccin. No es difcil. Slo tens que recordar las siguientes reglas:

1 - Lo que est sumando pasa restando

2 - Lo que est restando pasa sumando3 Lo que est multiplicando pasa dividiendo4 - Lo que est dividiendo pasa multiplicando5 - Lo que est como2pasa como raz6 - Lo que est como raz pasa como2

Estas reglas se usan para despejar una incgnita de una ecuacin. Despejar x significahacer que esta letra incgnita x quede sola a un lado del signo igual. ( Es decir que a lalarga me va a tener que quedar x = tanto ).

VER

Reglas para pasarde trmino


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Veamos: Usando las reglas de pasaje de trminos despejar X de las siguientes ecuaciones:

1) 2 = 5 XX est restando, la paso al otro lado sumando: 2 + X = 5El 2 est sumando, lo paso al otro lado restando: X = 5 2

Por lo tanto

2)X

84 =

X est dividiendo, la paso al otro lado multiplicando: 4 . X = 8El cuatro est multiplicando, lo paso al otro miembro dividiendo:

Es decir:

3) x2= 25La x est al cuadrado. Este cuadrado pasa al otro lado como raz:

Por lo tanto

Resolvete ahora estos ejercicios. En todos hay que despejar X :

1) x + 5 = 8 Rta: x = 3

2) x + 5 = 4 Rta: x = -1

3) x 4 = - 7 Rta: x = 3

4) 42 =x

Rta: x =2

1

5) 105

2=

x

Rta: x =25

1

6)5

1

5

2=

x Rta: x = - 5

7) 7 = 4 - x2 Rta: x = 11

8)( )

42

12 =

x Rta: x = 2,5

9)

( )

ax

=

2

2

1 Rta: x = 21 +a

8X

4=

x=2 Solucin.

x=3 Solucin.

x=5 Solucin.

X= 25


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10) V = 00

X - X

t - t Rta: X = X0 + V (t-t0)

11) Vf = 2 g x Rta: x =2

fV2 g

SUMA DE FRACCIONES

Para sumar por ejemplo4

5

2

3+ lo que hago es lo siguiente:

Abajo de la raya de fraccin va a ir el mnimo comn mltiplo. Esto quiere decir el nmeroms chico que puede ser dividido por 2 y por 4 ( Ese nmero sera 4 ). El mnimo comnmltiplo a veces es difcil de calcular, por eso directamente multiplico los dos n de abajo

y chau. En este caso 2x4 da 8, de manera que en principio el asunto quedara as: 8............

Para saber lo que va arriba de la raya de fraccin uso el siguiente procedimiento:

Haciendo el mismo procedimiento con el 4 de la segunda fraccin me queda:

8

1012

4

5

2

3 +=+

Es decir:

8

22

4

5

2

3=+

Simplificando por dos:

=+4

11

4

5

2

3

Comprob este asunto con algunas fracciones a ver si aprendiste el mtodo:

1)2

1

2

1+ Rta : 1

2)4

1

2

1+ Rta :

4

3

Resultado


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3) 1 +2

1 Rta :2

3

4)3

2

2

1+ Rta :

6

7

5)5

4

3

2+ Rta :

15

22

6)7

5

3

7+ Rta :

21

64

7)ba11 + Rta : b + aa.b

8)d

c

b

a+ Rta : a.d + b.c

b.d

DISTRIBUTIVASupon que tengo que resolver esta cuenta: 2 ( 3 + 5 ) = X. Se puede sumar primero loque est entre parntesis , y en ese caso me quedara:

2 ( 8 ) = X 16 = X

Pero tambin se puede resolver haciendo distributiva. Eso sera hacer lo siguiente:

Practicalo un poco con estos ejemplos:1) 3 ( 4 + 5 ) Rta : 27

2) 3 ( 4 5 ) Rta : -3

Solucin.


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3) a ( b + c ) Rta : ab + ac

4) a ( b + c + d ) Rta : ab + ac + ad

5) a ( m1 + m2 ) Rta : a m1 + a m2

6) ( m1 g + N2 ) Rta : m1 g + N2

SACAR FACTOR COMNSacar factor comn es hacer lo contrario de hacer distributiva. Por ejemplo si tengo laexpresin: X = 7242 + Me va a quedar:

X = 2 ( 4 + 7 )

A veces en algunos problemas conviene sacar factor comn y en otros hacer distributiva.Eso depende del problema.

Ejemplo: Sacar factor comn en las expresiones:

1) F = m1 a + m2 a Rta : F = a ( m 1+ m2 )

2) X = x0+ v t v t0 Rta : X = x0+ v (t-t0)

3) Froz = m1 g + N2 Rta : ( m1 g + N2)

4) L = F1 d - F2 d Rta : d ( F1 - F2 )

ECUACIN DE UNA RECTAEn matemtica la ecuacin de una recta tiene la forma y = m x + b. Se representa en unpar de ejes x - y asi:

En esta ecuacin hay varias que tens que conocer que son:

Saqu el 2 como factor comn

x

y

Y = m x + b


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Fijate lo que significa cada una de estas cosas. Veamos primero qu son x e y. Si quierorepresentar en el plano el punto ( 3,2 ) eso significa que:

Veamos ahora qu es m. La mrepresenta la pendiente de la recta. La pendiente da unaidea de la inclinacin que tiene la recta. Por ejemplo, la pendiente vale 2/3 eso significaque la inclinacin de la recta tendr que ser tal que:

2m=

3

Si la pendiente es 4 puedo poner al Nro 4 como 14

y me queda:

Tengo muchos otros casos. Si la pendiente fuera m = 1 tendra esto( Es decir, sera una recta a 45 ).

Si m fuera 1,73, el asunto quedara as:

Entonces, la pendiente de una recta es una funcin en donde:

11

7=m

Ac hay que avanzar 3

Ac hay queavanzar 2

1

1

1,73

1

La parte de arribaindica lo que hay que avanzarenY

La parte de abajoindica lo que hay que avanzar

en X

7

11

1

4

m=4


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Otra cosa: si la pendiente es negativa ( como11

7=m ) pongo

11

7=m y la cosa queda:

El valor bse llama ordenada al origeny representa el lugar donde la recta corta al eje Y.

Por ejemplo, una recta as: tiene b=-1

Otra recta as tambin tiene b = -1

Y las rectas que son as tienen b = 0. Es decir, salen del origen de coordenadas.

CMO SE REPRESENTA UNA RECTA ?Si tengo una ecuacin y = m x + b y quiero representarla, lo que hago es darle valores a X

y obtener los deY. Con estos valores formo una tablita y los represento en un par deejes x-y. Fijate: Si tengo por ejemplo y = 2 x + 1

Le doy a xel valor 0 y obtengo y = 2 . 0 + 1 = 1Le doy a xel valor 1 y obtengo y = 2 . 1 + 1 = 3Le doy a xel valor 1 y obtengo y = 2. ( -1 ) + 1 = -1

Puedo tomar todos los valores que quiera pero con tomar 2 alcanza. Poniendo todo esto enuna tabla me queda:

x y0 11 3

- 1 -1

Ahora represento los puntos ( 0 ; 1 ) ( 1 ; 3 ) y ( - 1 ; - 1 ) en el plano x-y. Uniendo lospuntos tengo la recta

-7

11Avanzar 11

Bajar 7

-1

-1

Y=2x+1


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Si quisiera ver si la recta est bien trazada puedo fijarme en los valores de m y de b:

La recta corta al eje Y en 1, as que est bien. Veamos la pendiente:

La pendiente de y = 2 x + 1 es m = 2, as que el asunto verifica. Para entender esto mejortendras que hacerte algunos ejercicios. Vamos:

DADA LA ECUACIN DE LA RECTA:a) Ver cunto valen m y bb) Graficar la recta dndole valores de xy sacando los de yc) Verificar en el grfico que los valores de m y b coinciden con los de a)

1) y = x Rta: m = 1 , b = 0

2) y = x - 1 Rta : m = 1 , b = -1

3) y = 2 - x Rta: m = - 1 , b = 2

4) y = -2

x + 1 Rta: m =2

1 , b = 1

5) y = 2 Rta: m = 0 , b = 2

-1

1

2

2

2

2


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6) y = 1.000 x + 1 Rta: m = 1.000 , b = 1

Ac van otro tipo de ejercicios que tambin son importantes:

* DADO EL GRFICO, CALCULAR m Y b Y DAR LA ECUACIN DE LA RECTA.

a) Rta: m =2

1 ; b = 0 y =2

1 x + 0

b) Rta: m =6

5 ; b = 5 y = 5

6

5+ x

c) Rta: m = - 1 ; b = 1 y = - 1 x + 1

d) Rta: m=2

1 ; b = -1 y = - 1

2

1x

PARBOLAUna parbola es una curva as . Desde el punto de vista matemtico esta curvaest dada por la funcin:

Y= a x2+ b x + c

Fijate que si tuviera slo el trmino y = bx + c tendra una recta. Al agregarle el trminocon x2la recta se transforma en una parbola. Es el trmino cuadrtico el que me dice

que es una parbola. Ellos dicen que y = a x2+ b x + c es una funcin cuadrtica porquetiene un trmino con x2. Una parbola tpica podra ser por ejemplo:

Y = 2 x2 + 5 x + 8

En este caso a sera igual a 2, ba 5 y csera 8. Los trminos de la ecuacin tambinpueden ser negativos como en:

Y = - x2 + 2 x -1

Ac sera a = - 1, b = 2 y c = -1. A veces el segundo o tercer trmino pueden faltar.

( El primero NO por que es el cuadrtico ). Un ejemplo en donde faltan trminos sera:

2

1

6

5

-1

21

-2

-1

2

Ecuacin de la parbola

Prcticamenteson 90

1


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Y= 0,5 x2 3 ( a = 0,5 , b = 0, C = -3 )o tambin:

Y = x2

- 3 x ( a = 1, b = - 3, c = 0 )

La ecuacin tambin puede estar desordenada, entonces para saber quin es a, quin b, yquin c, tengo que ordenarla primero. Ejemplo:

Y = - 3 x - 1 + 5 x2

( Y = 5 x2 3 x -1 a = 5, b = - 3, c = - 1)

REPRESENTACIN DE UNA PARBOLALo que hago es darle valores a x y sacar los valores de y. Con todos estos valores voyarmando una tabla. Una vez que tengo la tabla, voy representando cada punto en un parde ejes x,y. Uniendo todos los puntos, obtengo la parbola.

De acuerdo a los valores de a, b y c la parbola podr dar ms abierta, ms cerrada, msarriba o ms abajo, pero S hay una cosa que tens que acordarte y es que si el trminocuadrtico es negativo la parbola va a dar para abajo.Es decir, por ejemplo, si en el ejemplo anterior hubiese sido Y= - x2en vez de Y = x2, lacosa habra dado as:

Por qu pasa esto ? Rta : Porque aes negativo. ( En este caso a = -1 )


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ASIMOV FISICA CERO12

Entonces conviene que te acuerdes siempre que:

Dicho de otra manera:

Y si a la ecuacin cuadrtica no le falta ningn trmino ? Rta: No pasa nada, el asunto esel mismo, lo nico es que va a ser ms lo construir la tabla por que hay que hacer mscuentas. Fijate:

Ejercicios: Representar las siguientes parbolas y decir cunto valen los trminos a, b y c:

Si en la ecuacin Y = a x2

+ b x + c el valor de a esnegativo, entonces la parbola va a dar para abajo


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x

Solucin de una ecuacin cuadrtica

Una ecuacin cuadrtica es la ecuacin de una parbola igualada a cero. Es decir, si en vez

de tener y= a x2+ b x + c tengo a x2+ b x + c = 0, eso ser una ecuacin cuadrtica.Por ejemplo, son ecuaciones cuadrticas:

X2+ 4 = 0 , 5 X2 3 X + 7 = 0 , 7 X 3 X2 = 0

Lo que se busca son los valores de xque satisfaganla ecuacin. Qu significa eso ?Significa reemplazar x por un valor que haga que la ecuacin d cero. Supongamos quetengo:

x2 4 = 0

Qu valores tiene que tomar xpara que x2 4 de cero ? Bueno, a ojo me doy cuenta quesi reemplazo x por 2 la cosa anda. Fijate:

22 4 = 0 ( Se cumple )

Habr algn otro valor? S.Hay otro valor es x = - 2. Probemos:

(-2)2 4 = 4 4 = 0 ( anda )

Este mtodo de ir probando est muy lindo pero no sirve. Por qu ? Rta: Porque en estecaso funcion por la ecuacin era fcil. Pero si te doy la ecuacin 3020

10

10 2 += xx ...

Cmo hacs? Ac no puede irse probando porque el asunto puede llevarte un ao entero.( Por ejemplo para esa ecuacin las soluciones son: x = 1,51142 y x = 198,4885 ).

A los valores de xque hacen que toda la ecuacin de cero se los llama races de laecuacino soluciones de la ecuacin. Entonces, la idea es encontrar un mtodo que sirvapara hallar las racesde la ecuacin. Este mtodo ya fue encontrado en el mil seiscientosy pico y se basa en usar la siguiente frmula ( la demostracin est en los libros ):

X1,2 =a

acbb

2

42

Cmo se usa esta frmula ? Mir este ejemplo: Encontrar las races de la ecuacinY = x2 4 x + 3. En este caso a = 1; b =-4 y c = 3. Entonces el choclazo queda:

x1,2 = ( ) ( )

12

31444 2

Solucin de unaecuacin cuadrtica


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x1,2=2

12164 x1,2 =2

44

x1,2 =2

24

Ahora, para una de las soluciones uso el signo +y para la otra el signo menos. La cosaqueda as:

Entonces x = 3 y x = 1 son las soluciones de la ecuacin.

Quiero decirte una cosita ms con respecto a este tema: una ecuacin cuadrtica podrtener una solucin, 2 soluciones o ninguna solucin. Cmo es eso ? Fijate: Qusignifica igualar la ecuacin de una parbola a cero ? Rta: Bueno, una parbola

es esto

Preguntar para qu valores de xla yda cero, significa preguntar dnde corta la Parbola

al eje de las x. Es decir, que las races de una ecuacin cuadrtica representan esto:

El caso de una solucin nica va a estar dado cuando la parbola NO corta al eje de las xen dos puntos sino que lo corta en un solo punto. Es decir, voy a tener esta situacin :

La ecuacin cuadrtica puede no tener solucin cuando la parbola No corta en ningnmomento al eje de las x. Por ejemplo:

Una solucin. Otra solucin

Soluciones de una ecuacincuadrtica

Caso de raz nica.


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Cuando te toque una ecuacin de este tipo, te vas a dar cuenta porque al hacer acb 42 te va a quedar la raz cuadrada de un nmero negativo (como por ejemplo 4 ). No hay

ningn nmero que al elevarlo al cuadrado, de negativo, de manera que este asunto notiene solucin. Ac te pongo algunos ejemplos:

Encontrar las soluciones de la ecuacin usando la frmula x =a

acbb

2

42

( Pods verificar los resultados graficando la parbola )

1) x2 2x 3 = 0 Rta: x1= 3 ; x2= -1

2) x2 7x + 12 = 0 Rta: x1 = 4 x2 = 3

3) x2 2x + 1 = 0 Rta: x = 1 ( Raz doble )

4) x2 18x + 81 Rta: x = 9 ( Raz doble )

5) x2+ x + 1 = 0 No tiene solucin.

6) x2 x + 3 = 0 No tiene solucin.

SISTEMAS DE 2 ECUACIONES CON 2 INCGNITAS

Una ecuacin con una incgnita es una cosa as x - 3 = 5. Esta ecuacin podra ser laecuacin de un problema del tipo: Encontrar un nmero x tal que si le resto 3 me da 5 . Cmo se resolvera una ecuacin de este tipo ?Rta: Muy fcil. Se despeja x y chau. Fijate :

x 3 = 5 x = 5 + 3 x=8

Qu pasa ahora si me dan una ecuacin as ? : x + y = 6 .Esto es lo que se llama una ecuacin con 2 incgnitas. As como est, no se puede resolver.O sea, se puede, pero voy a tener infinitas soluciones. Por ejemplo, algunas podran ser:

x = 6 ; y = 0 x = 7 ; y = - 1 x = 8 ; y = - 2

Creo que ves a dnde apunto. Si trato de buscar 2 nmeros x e y tal que la suma sea 6,voy a tener millones de soluciones. ( Bueno... millones no... infinitas !!! )


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Bueno, ahora distinta es la cosa si yo te digo: dame dos nmeros cuya suma sea 6 y cuyaresta sea 4 Ah el asunto cambia. Este problema SItiene solucin. Matemticamente se

pone as: x + y = 6x - y = 4

Esto es lo que ellos llaman sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas.Cmo se resuelve esto? Veamos.

SOLUCIN DE UN SISTEMA DE 2 ECUACIONES CON 2 INCGNITAS

Hay varios mtodos para resolver 2 ecuaciones con 2 incgnitas. Te recuerdo los 2

mtodos ms fciles. Supongamos que tengo el sistema:x + y = 6x - y = 4

MTODO 1: DESPEJAR Y REEMPLAZAR ( SUBSTITUCIN )Se despeja una de las incgnitas de la primera ecuacin y se reemplaza en la segunda.Por ejemplo, despejo x de la 1. Me queda: x = 6 y.Reemplazando esta x en la segunda ecuacin. Me queda: ( 6 y ) y = 4Ahora:

6 y - y = 4

6 4 = 2 y2 = 2 y y=1

Ya calcul el valor de y. Reemplazando esta Y en cualquiera de las 2 ecuaciones originalessaco el valor de x. Por ejemplo, si pongo y = 1 en la 1ra de las ecuaciones:

x + 1 = 6

x = 6 1

x

=

5MTODO 2: SUMA Y RESTASe suman o se restan las 2 ecuaciones para que desaparezca alguna de las incgnitas.Por ejemplo:

x + y = 6x - y = 4

Sumo las ecuaciones miembro a miembro y me queda:

x + y + x y = 6 + 4


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Ahora la y se va. Me queda: 2 x = 10 x=5

Al igual que antes, reemplazando este valor de x en cualquiera de las 2 ecuacionesoriginales, obtengo el valor de y. Una cosa: Ac yo sum las ecuaciones, pero tambin sepueden restar.Si las hubiera restado, el asunto hubiera sido el mismo ( se iba a ir la x )Este segundo mtodo viene perfecto para los problemas de dinmica. El 1er mtodotambin se puede usar, claro. A ellos no les importa qu mtodo uses.

Otra cosita: en realidad cada una de las ecuaciones del sistema, es la ecuacin de unarecta. Por ejemplo el sistema anterior se podra haber puesto as:

Entonces cul sera el significado geomtrico de encontrar la solucin de un sistema de2 ecuaciones con 2 incgnitas ? Rta: significa encontrar el punto de encuentro de las 2rectas. Por ejemplo, en el caso de recin tendra esto:

EJERCICIOSResolver los siguientes sistemas de 2 ecuaciones con 2 incgnitas. ( Pods representarlas 2 rectas para verificar)

Solucin de un sistema de 2

ecuaciones con 2 incgnitas


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MATEMTICA CERO PALABRAS FINALES

Ac termina mi resumen de matemtica. Pero atencin, esta no es toda lamatemtica que existe. La matemtica es gigantesca. Lo que puse ac es lo hiper-necesario y lo que seguro vas a usar. Hay otros temas que tambin vas a necesitarcomo vectores o trigonometra. Estos temas te los voy a ir explicando a lo largo dellibro.Ahora, pregunta... Detests la matemtica ?Rta: Bueno, no sos el nico. El 95 % de la gente la detesta. Es que la matemtica es muyfea. Y encima es difcil. Hay alguna solucin para esto ?Rta: Mir,... no hay salida. Vas a tener que saber matemtica s o s para entender fsica.Y te aclaro, ms adelante ES PEOR. A medida que te internes en ingeniera o en exactas,vas a tener que saber ms matemtica, ms matemtica y ms matemtica. ( Me refiero aAnlisis I, Anlisis II, lgebra y dems ). Lo nico que se puede hacer para solucionaresto es estudiar. ( Y estudiar mucho ). Es as. El asunto depende de vos.

A veces los chicos dicen: che. Que mala onda tens ?!Rta: No es mala onda. Esto es as. En todos lados del mundo estudiar exactas o ingenieraest en el lmite con la locura. Encima vos elegiste la UBA, que es la Universidad de mayornivel en Argentina... entonces qu quers ?!

Resumiendo, el que quiere celeste, que le cueste. Nadie te obliga. Ah afuera te estnesperando los de Mc Donalds para trabajar por do peso la hora.

Creo que fui claro, no ?

FIN MATEMTICA CERO


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ASIMOV ESTATICA- 19 -

ESTATICA

ECUACIONESQUE SE

PLANTEAN

PESO DEL CARTEL

FUERZAS QUEACTAN SOBREEL CARTEL


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ASIMOV ESTTICA- 20 -

ESTATICALa esttica se invent para resolver problemas de Ingeniera. Principalmente problemasde Ingeniera civil y problemas de Ingeniera mecnica. El primero que empez con estofue Galileo dolo. ( Ao 1500, ms o menos ). La idea de Galileo era tratar de calcularcunto vala la fuerza que actuaba sobre un cuerpo. Ahora... Para que quiere uno saber qu fuerza acta sobre un cuerpo ?Rta: Bueno, a grandes rasgos digamos que si la fuerza que acta sobre un cuerpo es muygrande, el cuerpo se puede romper. Muchas veces uno necesita poder calcular la fuerzaque acta para saber si el cuerpo va a poder soportarla o no.

Mir estos ejemplos: Los carteles que cuelgan en las calles suelen tener un cable o unalambre que los sostiene. El grosor de ese alambre se calcula en funcin de la fuerzaque tiene que soportar. Esa fuerza depende del peso del cartel y se calcula por esttica.

En los edificios, el peso de toda la construccin est soportado por las columnas. El gro-sor de las columnas va a depender de la fuerza que tengan que soportar. En las repre-sas, el agua empuja tratando de volcar la pared. La fuerza que tiene que soportar la pa-red se calcula por esttica. El grosor de la pared y la forma de la pared se disean deacuerdo a esa fuerza que uno calcul.

El clculo de las fuerzas que actan sobre un puente es un problema de esttica.

A grandes rasgos, cuando uno quiere saber como tienen que ser las columnas y los

EL ALAMBRE SE PUEDEROMPER SI EL PESO DELCARTEL ES MUY GRANDE

FUERZAS QUEACTAN SOBREUN EDIFICIO Y SO-BRE UNA REPRESA


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cables que van a sostener a un puente, tiene que resolver un problema de esttica.

En las mquinas, el clculo de fuerzas por esttica es muy importante. Por ejemplo,en los trenes hay un gancho que conecta un vagn con otro. El grosor de ese ganchose saca resolviendo un problema de esttica.

Hoy en dia todos estos clculos los hacen las computadoras. Pero lo que hace la mquinano es nada del otro mundo. Hace las mismas cuentas que vos vas a hacer al resolver losproblemas de la gua. Solamente que ella las hace millones y millones de veces.

QU SIGNIFICA RESOLVER UN PROBLEMA DE ESTTICA ?En esttica a uno le dan un cuerpo que tiene un montn de fuerzas aplicadas. Resolverun problema de esttica quiere decir calcular cunto vale alguna de esas fuerzas. En es-ttica todo el tiempo hablamos de fuerzas. Entonces primero veamos qu es una fuerza.

FUERZAEs la accin que uno ejerce con la mano cuando empuja algo o tira de algo. Por ejemplo:

A esta accin uno la representa poniendo una flechita para el mismo lado para donde vala fuerza. Si un seor empuja una heladera, al empujarla ejerce una fuerza. Esta fuerza

ellos la representan as:

LOS CABLES YLAS COLUMNASSOPORTAN TODALA FUERZA ENUN PUENTE


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Hay otro tipo de fuerza que siempre aparece en los problemas de esttica que es lafuerza PESO. La Tierra atrae a las cosas y quiere hacer que caigan. A esta fuerza sela llama peso. Por ejemplo, si yo suelto un ladrillo, cae. En ese caso la fuerza peso estactuando de la siguiente manera:

Vamos a este otro caso. Supongamos que cuelgo un ladrillo del techo con una soga. Elladrillo no se cae porque la soga lo sostiene. Ellos dicen entonces que la soga est ejer-ciendo una fuerza hacia arriba que compensa al peso. A esa fuerza se la llama tensin.

( Tensin, tensin de la soga, fuerza que hace la cuerda, es lo mismo ). La tensin deuna soga se suele representar as:

FUERZAS CONCURRENTES ( Atento )

Cuando TODAS las fuerzas que actan sobre un mismo cuerpo PASAN POR UN MIS-MO PUNTO, se dice que estas fuerzas son concurrentes. ( = Que concurren a un mismopunto ). A veces tambin se las llama fuerzas copuntuales. Lo que tens que entenderes que si las fuerzas son copuntuales vos las pods dibujar a todas saliendo desde elmismo lugar. Por ejemplo, las siguientes fuerzas son concurrentes:


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Tambin las fuerzas pueden no pasar por el mismo lugar. En ese caso se dice que lasfuerzas son no-concurrentes. Ac tens un ejemplo:

Los problemas de fuerzas copuntuales son los que se ven primero porque son ms fci-les. Despus vienen los problemas de fuerzas no-copuntuales que son ms difciles.Ah hay que usar momento de una fuerza y todo eso.

SUMA DE FUERZAS - RESULTANTE.

Supongamos que tengo un cuerpo que tiene un montn de fuerzas aplicadas. Lo que es-toy buscando es reemplazar a todas las fuerzas por una sola. Esa fuerza actuando solatiene que provocar el mismo efecto que todas las otras actuando juntas. Por ejemplo,supon que un auto se par. Se ponen a empujarlo 3 personas. Yo podra reemplazar aesas 3 personas por una sola que empujara de la misma manera. Hacer esto es hallar laresultante del sistema de fuerzas. Concretamente, hallar la resultante quiere decircalcular cuanto vale la suma de todas las fuerzas que actan.

Atencin, las fuerzas no se suman como los nmeros. Se suman como vectores.A la fuerza resultante de la llama as justamente porque se obtiene como resultadode sumar todas las dems. Hay 2 maneras de calcular la resultante de un sistema defuerzas: Uno es el mtodo grfico y el otro es el mtodo analtico. En el mtodo grficouno calcula la resultante haciendo un dibujito y midiendo con una regla sobre el dibujito.En el mtodo analtico uno calcula la resultante en forma terica haciendo cuentas.

SUMA DE FUERZAS GRAFICAMENTE METODO DEL PARALELOGRAMO.

Este mtodo se usa solo cuando tengo 2 fuerzas. Lo que se hace es calcular la diagonaldel paralelogramo formado por las 2 fuerzas. Por ejemplo, fijate como lo uso para cal-cular grficamente la resultante de estas dos fuerzas F1 y F2de 2 kgf y 3 kgf queforman un ngulo de 30 grados:


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Ojo, las fuerzas son vectores. Entonces para calcular la resultante va a haber que decircul es su mdulo y cul es el ngulo que forma con el eje x. Si estoy trabajando grfica-

mente, mido el ngulo y el mdulo directamente en el grfico. El mdulo lo mido con unaregla y el ngulo con un transportador.

METODO DEL POLIGONO DE FUERZAS

Si me dan ms de 2 fuerzas, puedo calcular la resultante usando el mtodo del polgonode fuerzas. Este mtodo se usa poco porque es medio pesado. Igual conviene saberloporque en algn caso se puede llegar a usar. Lo que se hace es lo siguiente:

1 - Se va poniendo una fuerza a continuacin de la otra formando un polgono.2 Se une el origen de la primera fuerza con la punta de la ltima.

3 Este ltimo vector es la resultante del sistema.

NOTA: Si el polgono da cerrado es porque el sistema est en equilibrio. ( Es decir, laresultante vale cero, o lo que es lo mismo, no hay resultante ). Fijate ahora. Voy a calcu-lar la resultante de algunas fuerzas usando el mtodo del polgono.

EJEMPLO: Hallar la resultante del sistema de fuerzas F1, F2y F3

Entonces voy poniendo una fuerza a continuacin de la otra y formo el polgono. Hagouna flecha que va desde la cola de la primera fuerza hasta la punta de la ltima. Esaflecha que me queda marcada es la resultante:

Ac el valor de R es aproximadamente de 3,4 Ny alfaRaproximadamente 58 .

Los med directamente del grfico con regla y transportador.


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Vamos a otro caso que muestra cmo se usa el mtodo del polgono de fuerzas :

EJEMPLO: Hallar la resultante de las fuerzas F1, F2, F3y F4.

En este caso el polgono dio CERRADO. La resultante es CERO. Todas las fuerzas secompensan entre s y es como si no hubiera ninguna fuerza aplicada.

NOTA: la deduccin del mtodo del polgono de fuerzas sale de aplicar sucesivamentela regla del paralelogramo.

Para que entiendas el tema que sigue necesito que sepas trigonometra. Entonces va unpequeo repaso. Ttulo:

TRIGONOMETRAFUNCIONES SENO, COSENO y TANGENTE de un NGULO

La palabra trigonometra significa medicin de tringulos. A grandes rasgos la ideaes poder calcular cunto vale el lado de un tringulo sin tener que ir a medirlo conuna regla. Todo lo que pongo ac sirve slo para tringulos que tiene un ngulo de90 ( Tringulo Rectngulo).El asunto es as: Los tipos inventaron unas cosas que se llaman funciones trigonomtri-cas que se usan todo el tiempo en matemtica y en fsica.

Para cualquier tringulo que tenga un ngulo de 90 ( rectngulo ) ellos definen lassiguientes funciones :


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Estas funciones trigonomtricas lo que hacen es decir cuntas veces entra un lado deltringulo en otro de los lados para un determinado ngulo alfa.

Por ejemplo, si uno dice que el seno 30 = 0,5 , lo que est diciendo es que lo que mideen cm el cateto opuesto dividido lo que mide en cm la hipotenusa da 0,5. Esto significaque la hipotenusa entra media vez en el cateto opuesto.

Lo interesante de este asunto es que el valor que tomen las funciones trigonomtricasseno de alfa, coseno de alfa y tg de alfa NO dependen de qu tan grande uno dibuje eltringulo en su hoja. Si el tringulo es rectngulo y el ngulo alfa es 30, el seno de alfavaldr 0,5 siempre. ( Siempre ).

Cada vez que uno necesita saber el valor de sen alfa o cos se lo pregunta a la calcula-dora y listo. Ojo, la mquina tiene que estar siempre en grados ( DEG ).Tambin si bien uno tiene la calculadora, conviene saber los principales valores de me-moria. Va ac una tablita que te puede ayudar :

Ejemplo: Calcular el valor de las funciones trigonomtricas paraun tringulo rectngulo de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm.

Escribo la expresin de sen , cosy tg

Dibujo el triangulo de lados 3, 4 y 5.

3 cm

5 cm

4 cm

ady

op tg;

hip

adycos;

hip

opsen ===

FUNCIONES

TRIGONOMETRICAS


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Para calcular los valores de seno, coseno y tangente de alfa, hago las cuentas :

Es un poco largo de explicar las millones de cosas que se pueden hacer usando las fun-ciones trigonomtricas. Puedo darte un ejemplo:Supon que vos quers saber la altura de un rbol pero no tens ganas de subirte hastala punta para averiguarlo. Lo que se podra hacer entonces es esto: Primero te pars enun lugar cualquiera y meds la distancia al rbol. Supon que te da 8 m. Despus con untransportador meds al ngulo que hayhasta la punta del rbol. (Alfa ). Supon que teda 30. Esquemticamente sera algo as:

De esta manera se pueden calcular distancias en forma terica. Cuando digo " en for-ma terica " quiero decir, sin tener que subirse al rbol para medirlo. Si uno quiere,puede dibujar el tringulo en escala en una hoja y medir todo con una regla. Se puede

hacer eso pero es mucho lo y no da exacto.

8m

rboldelAltura30tg

:Entonces.ady

optg:nguloundetangentedefrmulalausandoAhora,

=

=

rbol.delAlturam4,61Altura

30tg80,577

=

= mAltura

0,6cm5 cm3hipotenusaopuestosen ===

0,75cm4

cm3

adyacente

opuestotg

0,8cm5

cm4

hipotenusa

adyacentecos

===

===


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hip 6

8

Para saber cunto mide la proyeccin de una fuerza sobre un eje, en vez deandar midiendo sombras se usa la trigonometra. Fijate :

Es decir, si tengo una fuerza F, las proyecciones Fx y Fy van a ser:

PITGORAS

El teorema de Pitgoras sirve para saber cunto vale la hipotenusa de un tringulorectngulo sabiendo cunto valen los 2 catetos. Si tengo un tringulo rectngulo secumple que:

Ejemplo:Tengo un tringulo de lados 6 cm y 8 cm. Cunto mide su hipotenusa ?

Rta.: hip2= (6 cm)2+ (8 cm)2

h 2= 100 cm2

h = 10 cm VALOR DE LA HIPOTENUSA

FX

FY

F

Fx= Fxcos

FY= Fx sen

senhipophip

opsen ==

coshipadyhip

adycos ==

hip op

ady

hip2= ady2+ op2TEOREMA DEPITAGORAS


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Ejemplo: HALLAR LAS PROYECCIONES EN EQUIS Y EN Y PARA UNA FUERZADE 10 NEWTON QUE FORMA UN NGULO DE 30 CON EL EJE X.

Tomando las cosas en escala, tengo un vector de 10 cm con alfa = 30 .Es decir, algo as :

Entonces la proyeccin sobre el eje X mide 8,66 cm y la proyeccin sobre el eje Y mi-

de 5 cm . Conclusin: FX= 8,66 Newton y FY= 5 Newton. Prob componer estas 2 pro-yecciones por Pitgoras y verific que se obtiene de nuevo la fuerza original de 10 N.

Aprendete este procedimiento para hallar las proyecciones de una fuerza. Se usa mu-cho. Y no se usa slo ac en esttica. Tambin se usa en cinemtica, en dinmica ydespus en trabajo y energa. Es ms, te dira que conviene memorizar las formulitasFx= F. cos y Fy= F. sen .

Es fcil : La Fyes F por seno y la Fxes F por coseno. Atencin, esto vale siempre que

el ngulo que ests tomando sea el que forma la fuerza con el eje X.Van unos ltimos comentarios sobre trigonometra:

* Las funciones trigonomtricas sen , cos y tg pueden tener signo (+) o (-).Eso depende de en qu cuadrante est el ngulo alfa . Fijate:

y

seno x

tangente coseno

* Te paso unas relaciones trigonomtricas que pueden serte tiles en algn problema.Para cualquier ngulo alfa se cumple que :

Adems : sen2 + cos

2

= 1

SIGNO POSITIVO DE LASFUNCIONES SENO COSENOY TANGENTE SEGN ELCUADRANTE. (RECORDAR)

cos

sen=tg

F= 10 cmcm530sencm10F

0,5

y ==

cmcmFx 66,830cos10866,0

==

Todaspositivas


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Y tambin: cos = sen ( 90 - )

( Ej: cos 30 = sen 60 )

Hasta ahora todo lo que puse fueron cosas de matemtica. Tuve que hacerlo para quepudieras entender lo que viene ahora. Ttulo :

SUMA DE FUERZAS ANALITICAMENTE

Lo que se hace para hallar la resultante en forma analtica es lo siguiente :

1 Tomo un par de ejes x y con el origen puesto en el punto por el que pasantodas las fuerzas.

2 Descompongo cada fuerza en 2 componentes. Una sobre el eje x ( Fx ) y otra sobreel eje y ( Fy ).

3 Hallo la suma de todas las proyecciones en el eje x y en el eje y

Es decir, lo que estoy haciendo es calcular el valor de la resultante en x ( Rx ) y elvalor de la resultante en y ( Ry ). Este asunto es bastante importante y ellos suelenponerlo de esta manera :

Esto se lee as : La resultante en la direccin x ( horizontal ) es la sumatoria de todaslas fuerzas en la direccin x. La resultante en la direccin y ( vertical ) es la sumato-

ria de todas las fuerzas en la direccin y.

4 Componiendo Rx con Ry por Pitgoras hallo el valor de la resultante.

Haciendo la cuenta tg R= Ry/Rx puedo calcular el ngulo alfa que forma la resul-tante con el eje X. Vamos a un ejemplo:

R2 = Rx2+ Ry

2

PITAGORAS

FIN RESUMEN DE TRIGONOMETRIA

Rx= Fx SUMATORIA EN xRy= Fy SUMATORIA EN y


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EJEMPLOHALLAR ANALTICAMENTE LA RESULTANTE DEL SIGUIENTE

SISTEMA DEFUERZAS CONCURRENTES CALCULANDO R y R.

Para resolver el problema lo que hago es plantear la sumatoria de las fuerzas en la

direccin x y la sumatoria de las fuerzas en la direccin y . O sea:

Rx.= Fx y Ry= Fy

Calculo ahora el valor de Rx y Ry proyectando cada fuerza sobre el eje x y sobre eleje y. Si mirs las frmulas de trigonometra te vas a dar cuenta de que la componentede la fuerza en la direccin x ser siempre Fx= F.cos y la componente en direcciny es Fy = F.sen . (es el ngulo que la fuerza forma con el eje x).

Entonces:

Rx= Fx= F1. cos 1+ F2.cos 2+ F3.cos 3

Rx= 2 N.cos 0 + 2 N.cos 45 - 2 N.cos 45 Fijate que la proyeccin de F3sobre el eje xva as y es negativa. Haciendo la suma:

Haciendo lo mismo para el eje y:

Ry= Fy= F1. sen 1+ F2. sen 2+ F3. sen 3

F1= 2 N

Rx= 2 N Resultante en x


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Ry= 2 N.sen 0 + 2 N.sen 45 + 2 N.sen 45

O sea que lo que tengo es esto:

Aplicando Pitgoras:

Otra vez por trigonometra: tg R = Ry / Rx

tg R = 1,414

Para poder calcular R conociendo tg R us la funcin arco tg de la calculadora .

Atencin, se pone :

Nota: a veces en algunos problemas piden calcular la equilibrante. La equilibrante vale lomismo que la resultante pero apunta para el otro lado. Para el problema anterior lafuerza equilibrante valdra 3,46 Ny formara un ngulo :

E= 54,73 + 180 = 234,73

EQUILIBRIO ( Importante)Supongamos que tengo un cuerpo que tiene un montn de fuerzas aplicadas que pasanpor un mismo punto (concurrentes).

R = 3,46 N Resultante

Ry= 2,828 N Resultante en y

N)(2,828N)(2R +=

1 4 1 SHIFT TAN

Angulo que forma R con el eje xR = 54,73

2N

2,82Ntg R =


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Ellos dicen que el cuerpo estar en equilibrio si la accin de estas fuerzas se compensade manera tal que es como si no actuara ninguna fuerza sobre el cuerpo. Por ejemplo:

Este otro cuerpo tambin est en equilibrio:

Vamos al caso de un cuerpo que NO est en equilibrio:

Es decir, F1y F2se compensan entre s, pero a F3no la compensa nadie y el cuerpo seva a empezar a mover para all .

Todos los cuerpos que veas en los problemas de esttica van a estar quietos. Eso pasaporque las fuerzas que actan sobre el tipo se compensan mutuamente y el coso no semueve. Sin hilar fino, digamos un cuerpo esta en equilibrio si est quieto. En estticasiempre vamos a trabajar con cuerpos que estn quietos. De ah justamente viene elnombre de todo este tema. ( Esttico: que est quieto, que no se mueve ).

Pero ahora viene lo importante. Desde el punto de vista fsico, ellos dicen que :

UN CUERPO EST EN EQUILIBRIO SI LA SUMA DE TODAS LASFUERZAS QUE ACTAN SOBRE L VALE CERO.

Otra manera de decir lo mismo es decir que si un sistema de fuerzas copuntualesest en equilibrio, su resultante tiene que ser cero. Es decir, no hay fuerza netaaplicada. La manera matemtica de escribir esto es:

F = 0condicin de equilibriopara un sistema defuerzas concurrentes

OTRO CUERPOEN EQUILIBRIO


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Esta frmula se lee: la suma de todas las fuerzas que actan tiene que ser cero . Estaes una ecuacin vectorial. Cuando uno la usa para resolver los problemas tiene que

ponerla en forma de 2 ecuaciones de proyeccin sobre cada uno de los ejes. Estasecuaciones son ( atento ):

No te preocupes por estas frmulas. Ya lo vas a entender mejor una vez que resuel-vas algunos problemas. Ahora van unos comentarios importantes.

ACLARACIONES:

Para hallar analticamente la resultante de dos fuerzas se puede usar tambin elteorema del coseno. No conviene usarlo, es fcil confundirse al tratar de buscarel ngulo lfa que figura en la frmula.

Por favor, fijate que las condiciones de equilibrio Fx= 0 y Fy= 0

garantizan que el sistema est en equilibrio solo en el caso en de queTODAS LAS FUERZAS PASEN POR UN MISMO PUNTO.( Esto no es fcil de ver. Lo vas a entender mejor ms adelante cuandoveas el concepto de momento de una fuerza ).

UN EJEMPLO

Dos fuerzas concurrentes, F1de 60 N y F2de 100 N forman entre s un ngulode 70. Para obtener un sistema de fuerzas en equilibrio se aplica una fuerza F 3

Cunto deben valer, aproximadamente, el mdulo de F3y el ngulo que formadicha fuerza con F1 ?

El problema no tiene dibujito. Lo hago :

Fx= 0Condicin de equilibriopara el eje horizontal.

Condicin de equilibriopara un sistema defuerzas concurrentes(ec. de proyeccin)

Fy= 0Condicin de equilibriopara el eje vertical.

ESQUEMA DE LOQUE PLANTEA ELENUNCIADO


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Tom la fuerza de 60 N en el eje equis para hacer ms fcil el asunto. Planteo la sumade fuerzas en x y en y para sacar la resultante

R2= Fx2+ Fy2 R2= ( 94,02 N )2+ ( 93,969 N )2

R = 133 N VALOR DE LA RESULTANTE

Calculo el ngulo que forma la resultante con el eje x:

Ahora, la fuerza equilibrante tendr el mismo mdulo que la resultante pero ir para elotro lado. Quiere decir que el asunto queda as:

Entonces:E = 133 N VALOR DE LA EQUILIBRANTE= 135 ANGULO DE LA EQUILIBRANTE

OTRO EJEMPLO

Hallar la tensin en cada una de las cuerdas dela figura. El peso que soportan es de 200 kgf.

P = 200 kgf

Y

x

R


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Empiezo por la parte de abajo. Hago un dibujito :

Planteo las sumatorias en x y en Y. El cuerpo no se mueve. Est en equilibrio. Entoncesla Fxy la Fytienen que ser CERO. Me queda:

Fy= 0

Tc. Sen 53 + Tc. Sen 53 - 200 kgf = 0

2.Tc. Sen 53 = 200 kgf

La sumatoria en equis queda Tc. Cos 53 - Tc. Cos 53 = 0. No tiene sentido que laplantee porque no puedo despejar nada de ah. Vamos a las otras cuerdas. El dibujitosera algo as:

Otra vez planteo las sumatorias en x y en Y. Otra vez el cuerpo est en equilibrio, asique Fxy Fytienen que ser CERO. Me queda:

Fy= 0

TA. Sen 37 - Tc. Sen 53 = 0

Tcya la haba calculado antes y me haba dado 125,2 kgf. Entonces reemplazo:

VALOR DE LA TENSIONEN LAS DOS CUERDAS CTc = 125,21 N

P = 200 kgf


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TA. Sen 37 - 125,2 kgf . Sen 53 = 0

TA. 0,6 = 125,2 kgf . 0,8

Ahora planteo la sumatoria de las fuerzas en equis. Me queda : Fx= 0

TA. cos 37 - TB- Tc. cos 53 = 0

Los valores de TAy TCya los conozco. Entonces reemplazo:

166,2 kgf . cos 37 - TB- 125,2 kgf . cos 53 = 0

TB= 166,2 kgf . cos 37 - 125,2 kgf . cos 53

FIN FUERZAS COPUNTALES

TA= 166,2 kgfVALOR DE LA TENSIONEN LA CUERDA A

TB= 57,3 k fVALOR DE LA TEN-SION EN LA CUERDA


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FUERZAS NO COPUNTUALES

Hasta ahora tenamos problemas donde todas las fuerzas pasaban todas por un mismopunto. Para resolver este tipo de problemas haba que plantear 2 ecuaciones. Estasecuaciones eran la sumatoria de las fuerzas en direccin x y la sumatoria de fuerzasen direccin y.

Ahora vamos a tener problemas donde las fuerzas no pasan por el mismo punto.( Se dice que las fuerzas son NO CONCURRENTES o NO COPUNTUALES ). Entoncespara resolver los ejercicios va a haber que plantear otra ecuacin que es la ecuacin delmomento de las fuerzas. Entonces, ttulo:

MOMENTO DE UNA FUERZA

Para resolver el asunto de fuerzas que no pasan por un mismo punto se inventa una cosaque se llama momento de una fuerza. Ellos definen el momento de una fuerza con res-pecto a un punto como:

La distancia que va del punto a la fuerza se llama d y F es la componente de la fuerza en

forma perpendicular a d (ojo con esto). La fuerza puede llegar a estarInclinada

En ese caso, el momento de la fuerza con respecto a O vale Mo = Fy.d . ( Fyvendra a ser

la componente de la fuerza perpendicular a d ).

M= F . dMomento de una fuerzacon respecto al punto .


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SIGNO DEL MOMENTO DE UNA FUERZA

Una fuerza aplicada a un cuerpo puede hacerlo girar en sentido de las agujas del reloj

o al revs. Entonces hay 2 sentidos de giro posibles, uno de los dos tendr que ser posi-tivo y el otro negativo.

Para decidir cul sentido es positivo y cul es negativo hay varias convenciones. Una delas convenciones dice as: " el momento de la fuerza ser positivo cuando haga girar alcuerpo en sentido contrario al de las agujas del reloj ".

La otra convencin, dice: " el momento ser positivo cuando la fuerza en cuestin hagagirar al cuerpo en el mismo sentido que las agujas del reloj ".

Yo te aconsejo que uses la siguiente convencin: Antes de empezar el problema unomarca en la hoja el sentido de giro que elige como positivo poniendo esto: (+) ( giro

antihorario positivo ) o esto: (+) ( giro horario positivo ).Esta ltima convencin es la que suelo usar yo para resolver los problemas. Creo que esla mejor porque uno puede elegir qu sentido de giro es positivo para cada problema enparticular. Cul es la ventaja ?Rta: La ventaja es que si en un ejercicio la mayora de las fuerzas tienen un determina-do sentido de giro, elijo como positivo ese sentido de giro para ese problema y listo.Si elijo el sentido al revs, no pasa nada, pero me van a empezar a aparecer un montnde signos menos. ( = Molestan y me puedo equivocar )

Puede el momento de una fuerza ser cero ?

Puede. Para que M ( = F.d ) sea cero, tendr que ser cero la fuerza o tendr que sercero la distancia. Si F = 0 no hay momento porque no hay fuerza aplicada. Si d es iguala cero, quiere decir que la fuerza pasa por el centro de momentos.


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Quiero que veas ahora una cuestin importante que es la siguiente: qu tiene que pa-sar para que un sistema de fuerzas que no pasan por el mismo punto est en equilibrio?

CONDICIN DE EQUILIBRIO PARA FUERZAS NO CONCURRENTESSupongamos el caso de un cuerpo que tiene aplicadas fuerzas que pasan todas por unpunto. Por ejemplo, un cuadro colgado de una pared.

Para estos casos, la condicin para que el tipo estuviera en equilibrio era que la sumade todas las fuerzas que actuaban fuera cero. O sea, que el sistema tuviera resultantenula. Esto se escriba en forma matemtica poniendo que Fx = 0 y Fy= 0 .

Muy bien, pero si lo penss un poco, el asunto de que Rsea cero, slo garantiza que elcuerpo no se traslade. Si las fuerzas NO PASAN POR UN MISMO PUNTO , puede ser

que la resultante sea cero y que el cuerpo no se traslade... pero el objeto podra estargirando. Mir el dibujito:

En este dibujito, la resultante es cero, sin embargo la barra est girando. Esto es loque se llama CUPLA ( o par ). Una cupla son 2 fuerzas iguales y de sentido contrarioseparadas una distancia d. La resultante de estas fuerzas es cero, pero su momentoNO. Al actuar una cupla sobre un cuerpo, el objeto gira pero no se traslada.

El momento de las fuerzas que actan es el que hace que la barra gire. Por eso es quecuando las fuerzas no pasan por un mismo punto hay que agregar una nueva condicinde equilibrio. Esta condicin es que el momento total que acta sobre el cuerpo tieneque ser CERO. La ecuacin es M= 0. Se la llama ecuacin de momentos.

CUPLA( O PAR )


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Este asunto de " M= 0 " Se lee: " La sumatoria de los momentos respecto a un puntoo es igual a cero ". Al igualar la suma de los momentos a cero, uno garantiza el equilibrio

de rotacin. Es decir, impide que la barra gire.

ENTONCES:

CONCLUSIN ( LEER )

Para resolver los problemas de esttica en donde las fuerzas NO pasan por un mismopunto hay que plantear tres ecuaciones.

Estas ecuaciones van a ser una de momentos ( M= 0 ) y dos de proyeccin ( Fx = 0y Fy= 0 ) . Resolviendo las 3 ecuaciones que me quedan, calculo lo que me piden.

ACLARACIONES:

Recordar que el sentido positivo para los momentos lo elige uno.

Siempre conviene tomar momentos respecto de un punto que anule algunaincgnita. Generalmente ese punto es un apoyo.

No siempre va a haber que usar las tres ecuaciones para resolver el problema.Depende de lo que pidan. Muchas veces se puede resolver el problema usandoslo la ecuacin de momentos.

* Para resolver un problema no necesariamente uno est obligado a plantearFx , Fy. A veces se pueden tomar dos ecuaciones de momento referidasa puntos distintos. ( Por ejemplo, los 2 apoyos de una barra ).

PARA QUE EST EN EQUILIBRIO UN CUERPO QUE TIENEUN MONTN DE FUERZAS APLICADAS QUE NO PASANPOR UN MISMO PUNTO, DEBE CUMPLIRSE QUE :

Fx = 0 Garantiza que no haya traslacin en x.

Fy= 0 Garantiza que no haya traslacin en y.M= 0 Garantiza que no haya rotacin.


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EJEMPLO

Una barra de longitud 2 m y 100 Kg de peso est sostenida por una

soga que forma un ngulo alfa de 30como indica la figura. Calcularla tensin de la cuerda y el valor de las reacciones en el apoyo A.Suponer que el peso de la barra est aplicado en el centro de la misma.

Bueno, primero hago un esquema de la barra poniendo todas las fuerzas que actan:

Puse el par de ejes xy . El sentido de giro lo tom positivo en sentido de las

agujas del reloj .Planteo las tres condiciones de equilibrio : Fx = 0 , Fy= 0 , M= 0 . El centrode momentos ( punto O ) puede ser cualquier punto. En general conviene elegirlo demanera que anule alguna incgnita. En este caso me conviene tomar el punto A.

Fx = 0 Rh Tc.cos = 0

Fy= 0 Rv+ Tc.sen - P = 0

MA= 0 P. L/2 - Tc. sen . L = 0

Reemplazando por los datos:

Rh Tc.cos 30 = 0

Rv+ Tc.sen 30 100 kgf = 0

100 kgfx2m / 2 - Tcx sen 30x 2 m = 0

= 30P = 100 kgfL = 2 m

T

T


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De la ltima ecuacin despejo TC:

Reemplazando TCen las otras ecuaciones calculo las reacciones horizontal y verticalen el punto A :

OTRO EJEMPLO

Una tabla AB que mide 4 m de longitud y quepesa 60 kgf est sostenida en equilibrio pormedio de dos cuerdas verticales unidas a losextremos A y B. Apoyada sobre la tabla a 1 mde distancia del extremo A hay una caja quepesa 60 kgf.

a) - Calcular la tensin en ambas cuerdasb) - Si la cuerda A resiste como mximo una tensin de 85 kgf, Cul es la

distancia mnima x entre la caja y el extremo A ?

Hagamos un dibujito del asunto. Pongo las fuerzas que actan y marco el sentido positi-vo para el momento de las fuerzas.

a) Planteo la sumatoria de las fuerzas en la direccin vertical y la sumatoria de momen-tos respecto al punto A. Me queda:

Haciendo las cuentas:

TC= 100 kgf

RHA= 86,6 kgf

RVA= 50 kgf


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b) Para calcular la distancia tomo momentos respecto del punto B. Me dicen que lamxima tensin en la cuerda A puede ser de 85 kgf. Quiere decir que TA = 85 kgf.Me queda:

TEOREMA DE VARIGNON

El teorema de Varignon dice que el momento de la resultante es igual a la suma de losmomentos de las fuerzas. Vamos a ver qu significa esto. Fijate. Suponete que tengoun sistema de varias fuerzas que actan. Calculo la resultante de ese sistema y obtengo

una fuerza R.

Lo que dice el teorema es esto: supongamos que yo sumo el momento de todas las fuer-zas respecto al punto A y me da 10 kgf.m ( por ejemplo ). Si yo calculo el momento de la

resultante respecto de A, tambin me va a dar 10 kgf.m. Eso es todo.

CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO

El centro de gravedad de un cuerpo es el lugar donde est aplicada la fuerza peso.


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Si el cuerpo es simtrico, el C.G. va a coincidir con el centro geomtrico del cuerpo.Por ejemplo para un cuadrado o para un crculo, el C.G. va a estar justo en el centro

de la figura.

Como se halla el centro de gravedad de un cuerpo ?

Rta: Bueno, se hace as: Si el cuerpo est compuesto por varias figuras simtricas, sedivide al cuerpo en varias figuras mas chicas. Ahora se calcula " el peso " de cada unade esas figuras. " El peso " es una manera de decir. Lo que uno hace es suponer que elpeso de cada figura va a ser proporcional a la superficie. Esta fuerza peso se pone enel centro geomtrico. Sera algo as:

Despus uno saca la resultante de todos esos pesos parciales. El centro de gravedades el lugar por donde pasa la resultante de todos esos parciales.

FIN TEORIA DE ESTATICA

PROBLEMAS TOMADOS EN PARCIALESVan ac unos problemas que saqu da parciales

PROBLEMA 1

La barra homognea de la figura, de 50 kgf de peso seencuentra en equilibrio. Si el apoyo mvil contrarrestael movimiento perpendicular a la barra y no hay fuerzasde roce ni en C ni en D, siendo = 37

a) cul es el valor de la fuerza que ejerce el apoyo fijo en C ?b) Si el apoyo mvil sigue restringiendo la traslacin perpendicular a la barra,y ese esfuerzo es de 10 kgf, cul es el valor del ngulo para que la barra esten equilibrio ?

SOLUCINEn los ejercicios de esttica donde hay fuerzas aplicadas a distintos puntos siemprese tiene que cumplir que las sumatoria de fuerzas y de momentos sean cero. Primerohagamos el dibujo de las fuerzas. El peso de la barra va en el centro geomtrico. Lasfuerzas paralelas a la barra estn contrarrestadas por el apoyo mvil (D).


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Planteemos la sumatoria de momentos desde C: 0=+=DFPC

MMM , recordando que:M = F . d . sen . Haciendo la descomposicin de la fuerza peso, y reemplazando losdatos tenemos: FD= 15 kgf. Planteemos las sumatorias de fuerzas: Fvx Px= 0 y

FD Py+ Fvy= 0. Esto da: Fvy= 40 kgf y Fvx= 15 kgf.

Para calcular el mdulo de Fvusamos: ( ) ( )22 vyvxv FFF += . Resulta: |Fv| = 42,72 kgf.En la segunda parte tenemos que FD= 10 kgf, por lo que deja de ser 37. Llamemos al nuevo ngulo. Planteamos de nuevo la sumatoria de momentos: L2yC DM =- P . + F .L = 0 ,

resulta: DP. sen = F

2, despejando , tenemos: = 23,57.

PROBLEMA 2

Una barra de peso 150 kgf y longitud L puede girar alrededordel punto A. Est sostenida en la posicin horizontal mediantela cuerda AC como se indica la figura.a) hallar la fuerza que realiza la cuerda en estas condiciones.b) calcular la reaccin del vnculo A sobre la barra, en mdulo,direccin y sentido.

SOLUCIN

La sumatoria de momentos desde A es: M|A= 150 kgf. /2 T . cos 37 . = 0.De ac: T = 93,75 kgf.

La sumatoria de fuerzas en x es: HA+ T . sen 37 = 0, entonces: HA=-56,25 kgf(la fuerza tiene sentido contrario al marcado en el dibujo).


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Finalmente, en la sumatoria de fuerzas en y: T. cos 37 + VA 150 kgf = 0.

Resulta: VA= 75 kgf (hacia arriba).

PROBLEMA 3

Una barra homognea y de seccin constante, cuyo peso es de300 kgf, est sujeta en su extremo por un cable de acuerdo ala figura adjunta, colgando del extremo de la barra un peso de4.500 kgf. Se pide hallar: a) La tensin que soporta el cable ylas reacciones del vnculo en la articulacin A

b) El valor mximo que puede adquirir P, si el cable soporta unatensin mxima de 5.000 kgf.

SOLUCIN

Supongamos que el ngulo entre la barra y el cable es de 90. ( No lo aclaran ).Hacemos la sumatoria de momentos desde A: 0=+= TPPA MMMM B .

Usando M = F . d . sen , y teniendo en cuenta que como la barra es homognea elpeso se aplica en la mitad podemos calcular T.

Resulta: T=2.325 kgf

Ahora, las sumatorias de fuerzas:

FAx Tx= 0 y FAy+ Ty P- PB= 0, donde FAes la fuerza de vnculo en A. Calculamoslas componentes de FA, y tenemos:

FAX= 2.013,51 kgf y FAY= 3.637,5 kgf.

Para la segunda parte volvemos a usar la sumatoria de momentos desde A y la defi-


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nicin de momento. Sabemos ahora que T = 5.000 kgf, y conocemos PBy el ngulo.Reemplazando y haciendo la cuenta tenemos:

P = 9.850 kgf

PROBLEMA 4

Sobre una tabla horizontal de longitud L y de peso despreciable, se coloca unacaja peso P. Para que la reaccin de vnculo en A sea la quinta parte de la reaccinde vnculo en B, la caja deber ubicarse a:

a) 1/6 de L a la derecha de A b) 1/5 de L a la izquierda de Bc) 4/5 de L a la derecha de A d) 4/5 de L a la izquierda de Be) 1/5 de L a la derecha de A f) 1/6 de L a la izquierda de B

SOLUCIN

Record que xA+ xB= L. Tomamos momentos desde A: 0=+=vBFPA

MMM , usando ladefinicin de momento llegamos a: xA. P = L. FvB. Ahora hacemos lo mismo desde B:

0=+=vAFPB

MMM , tenemos: xB. P = L. FvA.

Adems buscamos que se cumpla: FvA= 1/5FvB. Usando esta relacin en las ecuaciones

que obtuvimos de las sumatorias de momentos llegamos a: xA= 1/5xB.Entonces, la respuesta correcta es la b).

PROBLEMA 5

En la figura, el cuerpo Q cuelga de una la barra AC.La misma se encuentra sostenida en A por un vnculoque le permite rotar y se mantiene en equilibrio debidoa una cuerda que la sostiene perpendicularmente a la

barra en B. Calcular :


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a) La tensin que soporta la cuerda en B ?b) El mdulo de la fuerza de vnculo en A.

DATOS: AC = 3 m, AB = 1 m, Q = 100 kgf, Pb= 10 kgf, = 60

SOLUCIN

Para calcular la tensin en B, tomamos la sumatoria de momentos desde A:

0== QPTA MMMM bB

Tenemos todos los datos, reemplazamos y llegamos a:

TB= 157,5 kgf

Para la segunda parte planteamos la sumatoria de momentos desde el extremo de donde

cuelga el peso Q:0=+=

bBA PTFQ MMMM

Para reemplazar fijate que el ngulo que forman las fuerzas con la barra es de 30,que es la diferencia entre 90 y 60. Haciendo las cuentas llegamos a:

|FA| = 205 kgf

FIN ESTATICA


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MOVIMIENTO RECTILINEO Y UNIFORME

ECUACIONES HORARIAS

ASI SE CALCULA

LA VELOCIDAD

EN EL MRU

GRFICOS PARA EL MRU


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ASIMOV MRU- 52 -

CINEMTICACONCEPTOS DE POSICIN, VELOCIDAD Y ACELERACIN

En cinemtica hay tres cosas que tens que conocer porque se usan todo el tiempo.Fijate :

El lugar en donde est la cosa que se est moviendo se llama Posicin.La rapidez que tiene lo que se est moviendo se llama velocidad.Si la velocidad del objeto aumenta o disminuye, se dice que tieneaceleracin.

Ejemplo:

Para la posicin se usa la letra x porque las posiciones se marcan sobre el eje x.Si el objeto est a una determinada altura del piso se usa un eje vertical y ( y laaltura se indica con la letra y ).

EJEMPLO: Supongamos que tengo algo a 5 metros de altura. Para dar su posicintomo un eje verticalY. Con respecto a este eje digo:

XeY se llaman coordenadasdel cuerpo. Dar las coordenadas de una cosa es unamanera de decir dnde est el objeto en ese momento. ( Por ejemplo, un avin ).

SISTEMA DE REFERENCIA

Cuando digo que la posicin de algo es x = 10 m, tengo que decir 10 m medidos desdednde. Vos pods estar a 10 m de tu casa pero a 100 m de la casa de tu primo.

LA POSICIONDEL PATO ESY = 5 metros .

X

POSICION Y

VELOCIDADXauto=10m


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ASIMOV MRU- 53 -

De manera que la frase: estoy a 10 m no indica nada. Hay que aclarar desde dndeuno mide esos 10 m. Entonces en fsica, lo que ellos hacen es decir:

En el lugar que elijo como cero pongo el par de ejes x-y. Estos dos ejes forman elsistema de referencia. Todas las distancias que se miden estn referidasa l. Pararesolver los problemas siempre hay que tomar un par de ejes x-y. Poner el par de ejesx-y nunca est de ms. Si no lo pons, no sabs desde dnde se miden las distancias.Las ecuaciones que uno plantea despus para resolver el problema, van a estar

referidas al par de ejes x-y que uno eligi.

TRAYECTORIA( Fcil )La trayectoriaes el caminito que recorre el cuerpo mientras se mueve. Puede habermuchos tipos de trayectorias. Ac en MRU es siempre rectilnea. La trayectoria notiene por qu ser algn tipo de curva especial. Puede tener cualquier forma. Ejemplo:

POSICINES NEGATIVAS( Ojo )Una cosa puede tener una posicin negativa como x = - 3 m, x = -200 Km. Eso pasacuando la cosa est del lado negativo del eje de las equis. Esto es importante, porque a


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ASIMOV MRU- 54 -

veces al resolver un problema el resultado da negativo. Y ah uno suele decir: Huy, medi X=-20 m. No puede ser. Pero puede ser. La posicin puede dar negativa. Inclusola velocidad y la aceleracin tambin pueden dar negativas. Mir en este dibujito comose representa una posicin negativa :

VELOCIDAD NEGATIVA( leer )Si una cosa se mueve en el mismo sentido que el eje de las x, su velocidad es (+).Si va al revs, es (-).Atento con esto que no es del todo fcil de entender. A ver:

Es decir, en la vida diaria uno no usa posiciones ni velocidades negativas. Nadie dice:estoy a 3 m de la puerta. Dice: estoy 3 m detrsde la puerta. Tampoco se usadecir: ese coche va a 20 km/h . Uno dice: ese coche va a 20 Km por hora al revsde cmo voy yo. Pero atento porque ac en cinemtica la cuestin de posicionesnegativas y velocidades negativas se usa todo el tiempo y hay que saberlo bien.

LA LETRA GRIEGA DELTA ( Vas a ver que todo el tiempo ellos usan la letra Delta. Es un triangulito as: . Enfsica se usa la delta para indicar que a lo final hay que restarle lo inicial. Por ejemplo,x querr decir equis final menos equis inicial . t querr decir t final menos tinicial , y as siguiendo. En matemtica a este asunto de hacer la resta de 2 cosas selo llama hallar la variacino diferencia.

ESPACIO RECORRIDO ( X )El lugar donde el tipo est se llama posicin. La distancia que el tipo recorre al ir de


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ASIMOV MRU- 56 -

En el MRU la velocidad no cambia, se mantiene constante. Al ser la velocidad todoel tiempo la misma, digo que lo que se viene moviendo no acelera.Es decir, en elmovimiento rectilneo y uniforme la aceleracin es cero( a = 0 ).

EJEMPLO DE CMO SE CONSTRUYEN GRFICOS EN EL MRU ( Leer esto )Muchas veces piden hacer grficos. Cmo es eso? Fijate. Supon que una cosase viene moviendo a 100 por hora. Una hormiga, por ejemplo.

Despus de una hora habr recorrido 100 Km. Despus de 2 hs habr recorrido 200Km y as siguiendo... Esto se puede escribir en una tablita:

POSICIN TIEMPO0 Km 0 hs

100 Km 1 h200 Km 2 hs

Ahora puedo hacer un grfico poniendo para cada tiempo la posicin correspondiente

( A 0 le corresponde 0, a 1 le corresponde 100, etc ).


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ASIMOV MRU- 57 -

Uniendo todos los puntos tengo el grfico de la posicin en funcin del tiempo:

A este grfico se lo suele llamar abreviadamente X(t) , X=f(t) , o X=X(t).Todas estos nombres quieren decir lo mismo:

Representacin de la posicin X en funcin del tiempo.

Puedo dibujar tambin los grficos de velocidad y aceleracin en funcin del tiempo.( Importantes ). Si lo penss un poco vas a ver que quedan as:

En estos 3 grficos se ven perfectamente las caractersticas del MRU. O sea : Elgrfico de x en funcin del tiempo muestra que la posicin es lineal con el tiempo.( Lineal con el tiempo significa directamente proporcional ). El grfico de Venfuncin de t muestra que la velocidad se mantiene constante. El grfico de aen funcin de tmuestra que la aceleracin es todo el tiempo cero.

CLCULO DE LA VELOCIDAD EN EL MRU

Para calcular la velocidad se hace la cuenta espacio recorridosobre tiempo empleado.

Esta misma cuenta es la que vos uss en la vida diaria. Supongamos que un tipo sali dela posicin x0 y lleg a la posicin xf .


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ASIMOV MRU- 58 -

La velocidad va a ser:

Por ejemplo, si una persona viaja de Buenos Aires a Mar del Plata ( 400 km) en 5

horas, su velocidad ser:

Si el tipo sali inicialmente del kilmetro 340 (X0) y llega al km 380 (Xf) despusde 30 minutos, su velocidad ser :

ECUACIONES HORARIAS EN EL MRU ( Importante ).

La definicin de velocidad era:0

0

tt

xxv

= . Si ahora despejo x xome queda :

v.(t to ) = x xo

x = xo + v.(t to ) 1raECUACION HORARIA

Se la llama " horaria " porque en ella interviene el tiempo ( = la hora ). Como ( t - t0)

es t, a veces se la suele escribir como x = x0 + vxt. Y tambin si t0cero valecero, se la pone como x = x0 + vxt. ( Importante ).Pregunta: Para qu sirve la ecuacin horaria de la posicin ?Rta: Esta ecuacin me va dando la posicin del tipo en funcin del tiempo.

O sea, yo le doy los valores de t y ella me da los valores de x. (Atento). Fijate :Suponete que lo que se est moviendo sali en t0= 0 de la posicin x0= 200 Km.Si el objeto al salir tena una velocidad de 100 Km/h, su ecuacin horaria ser:

X = 200 Km + 100h

Km .(t 0)

X = 200 Km + 100h

Km t

x v =

t

f 0

f 0

x -xv =

t -t

ASI SE CALCULALA VELOCIDADEN EL MRU


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ASIMOV MRU- 59 -

Si en la ecuacin voy dndole valores a t( 1 h, 2 hs, 3 hs, etc) voy a tener la posicindonde se encontraba el tipo en ese momento. En realidad siempre hay 3 ecuacioneshorarias. La velocidad y la aceleracin tambin tienen sus ecuaciones horarias. Parael caso del MRU, las ecuaciones de v y de a son :

En definitiva, las tres ecuaciones horarias para el MRU son:

x = xo + v.(t to )v = Ctea = 0

De las tres ecuaciones slo se usa la primera para resolver los problemas. Las otrasdos no se usan. Son slo conceptuales. ( Pero hay que saberlas ). Record que casisiempre tcero vale cero, entonces la 1ra ecuacin horaria queda como:

TANGENTE DE UN NGULOCalcular la tangente (tg) de un ngulo significa hacer la divisin entre lo que mideel cateto opuesto y lo que mide el cateto adyacente. Dibujo un ngulo cualquiera.

En este tringulo la tangente de alfa va a ser:

tg =adyacente

opuesto Tangente de un ngulo.

Midiendo con una regla directamente sobre la hoja obtengo: Opuesto: 2,1 cm.Adyacente: 4,8 cm

Entonces:

Fijate que el resultado no di en cm ni en metros. La tangente de un ngulo essiempre un nmero sinunidades.

ECUACIONES HORARIASPARA EL MOVIMIENTORECTILINEO Y UNIFORME

x = x0 + vt

Un tringuloDe ngulo alfa

0,437cm4,8

cm2,1tg ==

0ayctev==


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ASIMOV MRU- 60 -

PENDIENTE DE UNA RECTA

La pendiente de una recta es una cosa parecida a la tg de un ngulo. Pero la pendienteno es un nmero. Tiene unidades. Hallar el valor de la pendiente de una recta significahacer la divisin entre la cantidad que est representandoel cateto opuesto y la

cantidad que est representandoel cateto adyacente.Veamos: supongamos que tengo la siguiente recta que proviene de la representacinde la posicin en funcin del tiempo para una cosa que se viene moviendo con MRU:

Para el ngulo alfa que yo dibuj, el cateto opuesto MIDEunos 1,8 cm si lo mido conuna regla en la hoja. Pero REPRESENTA160 m. De la misma manera, el cateto adyacenteMIDEunos 3,8 cm; pero REPRESENTA8 seg. De manera que el valor de la pendiente dela recta va a ser:

En este caso:

Repito. Fijate que la pendiente no es slo un nmero, sino que tiene unidades. En estecaso esas unidades me dieron en metros por segundo. La pendiente puede darte enotras unidades tambin. Eso depende de qu ests graficando en funcin de qu.

LA PENDIENTE DE LA RECTA EN EL GRFICO X=f(t) ES LA VELOCIDADNo es casualidad que la pendiente del grfico anterior haya dado justo en unidadesde velocidad. La pendiente de la recta en el grfico posicin en funcin del tiempoSIEMPREte va a dar la velocidad del movimiento. Por qu ?.Rta: Porque al hacer la cuenta opuesto sobre adyacente lo que ests haciendo esx/t, y esto es justamente la velocidad (Atenti).

Cat.Ady.elrepresentaqueValorOp.Cat.elrepresentaqueValor

Pendiente =Pendiente de

una recta

s

m20pendiente

s8

m160pendiente ==


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ASIMOV MRU- 61 -

REPRESENTACIN GRFICA DE LAS ECUACIONES HORARIAS ( Ver)En cinemtica se usan todo el tiempo 3 grficos muy importantes que son los de posi-cin, velocidad y aceleracin en funcin del tiempo. Cada grfico es la representacinde una de las ecuaciones horarias. Quiero que te acuerdes primero cmo se represen-

taba una recta en matemtica. La ecuacin de la recta tena la forma y = m.x + b. Emeera la pendiente yBeera la ordenada al origen ( = el lugar donde la recta corta al ejevertical ). Por ejemplo la ecuacin de una recta podra ser y = 3 x + 4.

Si tomo la 1raecuacin horaria con t0= 0 ( Que es lo que en general suele hacerse ),me queda x = x0+ v.t . Ahora fijate esta comparacin:

Veo que la ecuacin de X en funcin del tiempo en el MRU tambin es una recta endonde la velocidad es la pendientey X0es el lugar donde la recta corta el eje

vertical. Para cada ecuacin horaria puedo hacer lo mismo y entonces voy a tener3 lindos grficos, uno para cada ecuacin. Los tres tristes grficos del MRU quedanas:

POSICINen funcin deltiempo ( Muestra que x

aumenta linealmente con t )

VELOCIDADen funcindel tiempo ( Muestra que v

se mantiene constante).

ACELERACINen funcin del tiempo.

Muestra que la aescerotodoel tiempo.

LOS 3 GRFICOS

DEL MRU(IMPORTANTES)


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ASIMOV MRU- 62 -

ANALISIS DE LAS PENDIENTES Y LAS AREAS DE LOS GRAFICOS DEL MRU

Los 3 grficos del MRU son la representacin de las ecuaciones horarias. Fijate queen algunos de estos grficos, el rea y la pendiente tienen un significado especial.

LA PENDIENDIENTE DEL GRAFICO DE POSICIN ES LA VELOCIDAD

El grafico de posicin en funcin del tiempo ya lo analic antes. La pendiente de esegrfico me da la velocidad. Quiero que lo veas de nuevo con ms detalle porque esimportante. Fijate. Agarro un grfico cualquiera de un auto que se mueve con MRU.Por ejemplo, supongamos que es este:

Este grfico me dice que el auto sali de la posicin inicial x = 4 m y lleg a la posicinfinal x = 8 m despus de 2 segundos. Quiere decir que el tipo recorri 4 m en 2 seg.Entonces su velocidad es de 2 m/s. Esto mismo se puede ver analizando la pendientedel grfico. Fijate que el cateto adyacente es el tiempo transcurrido t. El catetoopuesto es el espacio recorrido x. Entonces, si calculo la pendiente tengo :

EL AREA DEL GRAFICO DE VELOCIDAD ES EL ESPACIO RECORRIDO

Supongamos que un auto se mueve con velocidad 10 m/s. Su grfico de velocidad seraas:

Fijate que al ir a 10 m/s, en 2 segundos el tipo recorre 20 m .


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ASIMOV MRU- 63 -

Esto mismo lo puedo calcular si miro la superficie del grfico. Fijate qu pasa si hagola cuenta para el rea que marqu:

A veces es ms fcil sacar las velocidades y los espacios recorridos calculando pen-dientes y reas que haciendo las cuentas con las ecuaciones. Por ejemplo, fijate el ca-so de una persona que va primero con una velocidad v1y despus con otra velocidad v2:

Para calcular la distancia total que recorri directamente saco las reas A1y A2delgrfico de velocidad.

PREGUNTA: Yo analic solamente la pendiente del grfico de posicin y el rea delgrfico de velocidad. Pero tambin se pueden analizar pendientes y reas para losotros grficos. Por ejemplo. Qu significa la pendiente del grfico de velocidad ? Qu significa el rea del grfico de aceleracin ? ( Pensalo )Estos conceptos de pendientes y reas son importantes. Necesito que los entiendasbien porque despus los voy a volver a usar en MRUV.

UN EJEMPLO DE MOVIMIENTO RECTILNEO Y UNIFORMEUn seor sale de la posicin X0=400 Km a las 8 hs y llega a Xf=700Km a las 11 hs. Viaja en lnea recta y con v = cte. Se pide:

a)- Calcular con qu velocidad se movi.(En Km/h y en m/s)b)- Escribir las 3 ecuaciones horarias y verificarlas.c)- Calcular la posicin a las 9 hs y a las 10 hs.d)- Dibujar los grficos de x=f(t), v=v(t) y a=a(t).

Lo que tengo es esto :


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ASIMOV MRU- 64 -

a) - Calculo con qu velocidad se movi. V era x/t , entonces:

Para pasar 100 Km/h a m/s uso el siguiente truco: (recordalo por favor). A la palabraKm la reemplazo por 1.000 m y a la palabra hora la reemplazo por 3600seg.Entonces :

Fijate en este tres coma seis. De ac saco una regla que voy a usar :

Si no te acords de esta regla, no es terrible. Lo deducs usando el mismo trucoque us yo y listo. (O sea,1 Km son mil metros, 1 hora son 3.600 segundos, etc).

b ) - Escribir las 3 ec. horarias y verificarlas.Bueno, en el movimiento rectilneo y uniforme las ecuaciones horarias eran:

x = xo + v.(t to )

v = Cte

a = 0

En este caso reemplazo por los datos y me queda:

0a

constantehKm100v

hs)8(th

Km100Km400x

=

==

+=

Para pasar de Km/h a m /s hay que

dividir por 3,6.Para pasar de m/s a

Km/h hay que multiplicar por 3,6.

Regla para pasarde Km/h a m/sy viceveversa

seg

m

h

Km

seg

m

h

Km

6,3100

100

36001000

.100100

=

=

hs8hs11

Km400Km700v

=

hs3Km300v =

0

0

x xv

t t

=

Velocidaddel tipoV=100 Km/h


79/230

ASIMOV MRU- 65 -

Verificar las ecuaciones horarias significa comprobar que estn bien planteadas.Bueno, con la 2day la 3ra ( V = 100 Km/h, y a = 0 ) no tengo problema. S que elmovimiento es rectilneo y uniforme de manera que la velocidad me tiene que darconstante y la aceleracin cero. (Estn bien ).

Vamos a la verificacin de la 1raecuacin.Si esta ecuacin estuviera bien planteada, reemplazando t por 8 hs (= t0 ), la posicinme tendra que dar 400 Km (= x0). Veamos si da:

Vamos ahora a la posicin final. Para t = 11 hs la posicin me tiene que dar x = 700Km. Otra vez reemplazo tceropor 11 hs. Hago la cuenta a ver que da.

X = 400 Km + 100 Km/h ( t - 8 hs )

X = 400 Km + 100 Km/h ( 11 hs - 8 hs )

X = 700 Km ( Di bien ).

c)-Calcular la posicin a las 9 hs y a las 10 hs.Hago lo mismo que lo que hice recin, pero reemplazando t por 9 hsy por 10 hs:

Para t = 10 hs :

d)-Dibujar los grficos x = x(t), v = v(t) y a = a(t)

El grfico ms complicado de hacer es el de posicin en funcin del tiempo. Con lo quecalcul antes puedo armar una tabla y represento estos puntos en el grfico x-t:

hs)8(th

Km100400Kmx +=

hs.9lasaPosicinKm500(9hs)

x

)

1h

hs8hs9(h

Km100Km400x

=

+=43421

hs10lasaPosicinKm600(10hs)

x

)

2hs

hs8hs10(

h

Km100Km400

(10hs)

x

=

+=43421

43421

0

8hs)(8hsh

Km100400Kmx +=

X = 400 Km ( Di bien ).


80/230

ASIMOV MRU- 66 -

X ( Km ) t (hs )400 Km 8 hs500 Km 9 hs600 Km 10 hs

700 Km 11 hs

En realidad no hacia falta tomar tantos puntos. Con 2 hubiera sido suficiente( Porque es una recta ). Finalmente el grfico posicin en funcin del tiempo X(t)queda as :

Los otros 2 grficos quedaran as

Por ltimo me gustara verificar que la pendiente del grfico de posicin en funcindel tiempo es la velocidad del movimiento. Veamos si verifica :

Fijate bien cmo consider los catetos opuesto y adyacente. Siempre el catetoopuesto tiene que ser el espacio recorrido ( x ) y siempre el cateto adyacente tieneque ser el tiempo empleado ( t ). Por ejemplo, si la recta estuviera yendo para abajoen vez de para arriba :


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ASIMOV MRU- 67 -

Este sera el caso de una cosa que tiene velocidad negativa. ( = est yendo para atrs).Para la verificacin de la pendiente hago esto:

VELOCIDAD MEDIACuando uno viaja, no va todo el tiempo a la misma velocidad. Va ms rpido, ms despa-cio, frena, para a tomar mate y dems. Entonces no se puede hablar de " velocidad"porque V no es constante. Para tener una idea de la rapidez del movimiento, lo que sehace es trabajar con la VELOCIDAD MEDIA. Si un tipo va de un lugar a otro pero noviaja con velocidad constante, su velocidad media se calcula as:

Para qu se calcula la velocidad media ? Qu significa calcular la velocidad media ?Rta: La velocidad media es la velocidad CONSTANTEque tendra que tener el mvilpara recorrer la misma distancia en el mismo tiempo. Vamos a un ejemplo:

UN SEOR VA DE BUENOS AIRES A MAR DEL PLATA ( D = 400 KM ). LOS 1ros300 KmLOS RECORRE EN 3 hs Y MEDIA. DESPUS SE DETIENE A DESCANSAR MEDIA HORAY POR LTIMO RECORRE LOS LTIMOS 100 Km EN 1 HORA. CALCULAR SU VELOCIDADMEDIA. HACER LOS GRFICOS DE POSICIN Y VELOCIDAD EN FUNCIN DEL TIEMPO

Hagamos un dibujito

adyacenteopuesto

pendiente =

8hs-11hs

400Km-700Kmpend.=

bien.DiohKm1

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