Factores P/G y A/G

Factores de gradiente aritmético

• En las aplicaciones, el patrón de flujo de efectivo anual no

es el único tipo de patrón encontrado.

• Otros dos tipos de patrón de fin de periodo son comunes:

• El gradiente lineal o aritmético.

• El gradiente geométrico (% por periodo).

• Esta sección presenta el gradiente aritmético.

Factores del gradiente aritmético

• Un gradiente aritmético (lineal) es una serie de flujo de

efectivo que aumenta o disminuye en un monto constante

durante n periodos.

• Un gradiente lineal siempre está formado por DOS

componentes:

• El componente gradiente.

• El componente anualidad base.

• El objetivo es hallar una expresión en forma cerrada para el

valor presente de un gradiente aritmético.

Suponga lo siguiente:

0 1 2 3 n-1 N

A1+G

A1+2G

A1+(n-2)G

A1+(n-1)G

Esto representa un gradiente aritmético positivo, creciente.

Gradiente Aritmético (Creciente)

factor P/G

2

(1 ) 1( / , %, )

(1 )

N

N

i iNP G i N

i iRecuerde, el punto de valor presente de cualquier gradiente lineal está 2

periodos a la izquierda del flujo de efectivo del gradiente.

P=G(P/G,i%,n)

Si tengo un pago inicial de 100 en el primer año y quiero ir

aumentando en 10 cada año, voy a tener el segundo año 110,

tercero 120, y así sucesivamente. Y deseo saber a cuanto equivale

eso en el presente, se hace de la siguiente manera:

Gradiente decreciente. El mayor valor del

gradiente es la base, y G siempre se manifiesta

desde el segundo período. En el flujo de efectivo,

la G le va restando su valor.

(n-1)G

P

G

1 2 3 N-1 N

i %

2G A

3G

A > (n-1)G

Ptotal = PAnualidad - Pgradiente

Gradiente Aritmético (Decreciente)

Si tengo un pago inicial de 100 en el primer año y quiero ir

disminuyendo en 10 cada año, voy a tener el segundo año 90,

tercero 80, y así sucesivamente. Y deseo saber a cuanto

equivale eso en el presente, se hace de la siguiente manera:

Otros casos…

P

G

1 2 3 N-1 N

i %

(n-1)G

A

P

G

1 2 3 N-1 N

i %

(n-1)G

A

A = (n-1)G

El último valor del gradiente

es mayor que A.

A < (n-1)G

Este es un caso que podría analizarse de dos formas: serie uniforme

más gradiente (izquierda) o solo como gradiente, como que no hubiera

anualidad (derecha):

Entonces P0 = PG

P

20

1 2 3 4

i %

40

60

P

A=20

0 1 2 3 4

i %

40

60

P’

Ejercicio :Usted va a depositar dentro de 6 meses $50,000; dentro de

9 $100,000; dentro de 1 año $150,000 y así sucesivamente hasta su

último depósito en 4 años. ¿Cuánto tendrá acumulado si los depósitos

ganan un 8% trimestral?

Gradiente

geométrico

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Gradientes geométricos

• Un gradiente aritmético (lineal) cambia en una cantidad

fijada en dólares cada periodo.

•Un gradiente GEOMÉTRICO cambia en un porcentaje fijo

cada periodo.

•Definimos una TASA DE CAMBIO UNIFORME (%) para cada

periodo.

•Definimos “g ” como la tasa de cambio constante en forma

decimal en la cual las cantidades aumentan o disminuyen de

un periodo al siguiente.

Gradientes geométricos: Crecientes

• Perfil típico de un gradiente geométrico.

• Sea A1 = el primer flujo de efectivo de la serie.

0 1 2 3 4 …….. n-1 n

A1 A1(1+g) A1(1+g)2

A1(1+g)3

A1(1+g)n-1

Gradientes geométricos: Decrecientes

• Perfil típico de un gradiente geométrico.

• Sea A1 = el primer flujo de efectivo de la serie.

A1

A1(1-g)

A1(1-g)2

A1(1-g)3

A1(1-g)n-1

0 1 2 3 4 …….. n-1 n

Gradiente geométrico

1

11

1 g i

n

g

g

iP A

i g

• Este es el factor (P/A,g,i,n) y es válido si g no es igual a i. Cuando A1 se multiplica con la siguiente ecuación: