TRABAJO DE INGENIERA ECONMICA

PRESENTADO POR: Xavier vila Valencia Jonathan Forero Merio Vanessa Manga Altamar Jessica Sanes Tous

PRESENTADO A: Manuel Sarmiento Muos

ADMINISTRACIN INDUSTRIAL Cuarto semestre

UNIVERSIDAD DE CARTAGENA Cartagena de indias 16 de mayo del 2012

INTRODUCCIN

Los crditos o prstamos de entidades financieras o personas naturales juegan un papel importante para mantener el flujo continuo en la economa, los cuales se ven afectados por la inflacin, que a la hora de tomar dichos crditos o prestamos favorecen a los deudores, puesto que permite que amortigen sus deudas con dinero ms barato, convirtindose en una desventaja para los acreedores. Por consiguiente, la inflacin es un factor determinante para la creacin de modelos matemticos que respondan a los aumentos de los precios en la economa, entre los que se encuentran los gradientes o series variables.

La intencin de este trabajo es analizar los distintos tipos de gradientes tales como: lineal o aritmtico y geomtrico, aplicados en distintos modos de pagos, los cuales se desarrollaran en diferentes situaciones del campo econmico.

OBJETIVOS

Conocer las gradientes o series variables y sus diferentes tipos dentro del sistema financiero colombiano.

Comprender la aplicabilidad y la diferencia de cada uno de los tipos de gradientes o series variables en situaciones que se presenten en los crditos ofrecidos por el sistema financiero.

Identificar cul es el mtodo de gradientes o series variables ms utilizado, y cul es el ms beneficioso en diferentes situaciones que se presenten en los crditos ofrecidos por el sistema financiero.

GRADIENTES O SERIES DE VARIABLES

Concepto: Se llama gradientes a una serie de pagos peridicos que tienen una ley de formacin. Esta ley de formacin hace referencia a que los pagos puedes aumentar o disminuir, con relacin al pago anterior, en una cantidad constante en pesos o en un porcentaje. Es as como analizaremos una serie de pagos que aumenta o disminuyen cada uno con respecto al anterior en una cantidad constante de dinero la que llamaremos gradientes lineal o aritmticas y la serie de pagos que aumenta o disminuye en porcentaje constante que llamaremos gradientes geomtrico.

Condiciones para que una serie de pagos se un gradiente Para que una serie de pagos peridicos se consideren un sistema de gradientes, debe cumplir con las siguientes condiciones. Los pagos deben tener una ley de formacin Los pagos deben ser peridicos La serie de pagos deben tener un valor presente (P) equivalente y un valor futuro (F) equivalente El numero de periodos debe ser igual al numero de pagos

Si comparamos estas 4 condiciones con las que caracterizan el sistema de anualidades, observamos que la nica diferencia entre los dos modelos matemticos esta en la primera condicin. Mientras que en el sistema de anualidades los pagos son iguales, en el sistema de gradientes los pagos tienen una ley de formacin. Una anualidad, entonces, es un caso especial de gradientes en el cual la variacin de la cuota con respecto a la otra es cero. Por esta razn, el tratamiento que se le da a los gradientes es igual al de las anualidades.

GRADIENTE LINEAL O ARITMETICO Series de pagos peridicos tales que cada pago es igual al anterior aumentado o disminuido en una cantidad constantes en pesos. Cuando la cantidad constante es positiva se genera el gradiente aritmtico creciente. Cuando la cantidad constante es negativa, se genera el gradiente aritmtico decreciente.

Ejemplo : Con cuntos pagos mensuales, que aumentan en $ 13.500 cada mes, se cancela el valor de una obligacin de $ 75000.000, si se cobra una tasa de inters del 3% mensual y la primera cuota es de $8042.291,95? Cul ser el valor de la ltima cuota? El flujo de la caja corresponde a una gradiente lineal creciente en el que la primera cuota (A) tiene un valor de $8042.291,95 y la cuota crece en $ 13.500 cada mes, con respecto a la cuota del mes anterior. La solucin del ejercicio consiste en calcular el numero de cuotas mensuales es necesaria la cancelacin de la deuda.

Notacin algebraica: P = A {(1+i)n -1/i(1+i)n } + G/i [{(1+i)n -1/i(1+i)n } n/(1+i)n] 75000.000 = 8042.291,95 {(1.03)n- 1/0.03(1.03)n} + 13.500/0.03 [{(1.03)n1/0.03(1.03)n } n/(1.03)n ] Por el mtodo de interpolacin lineal, se obtiene un valor de n igual a 11.

Cuando se calcula el nmero de pagos en un sistema de gradientes y este no corresponde a un nmero entero, la solucin mas sencilla se logra redondeando el nmero de cuotas y recalculando el valor de la primera cuota. Para el calcula de la ultima cuota, que corresponde a la cuota N 11, aplicamos la expresin Cn = A + (n-1) G C11 = 8.042.291, 95 + (65-1) 13.500 C11 =$8177.291.95

Gradiente lineal creciente diferido En esta serie, los pagos peridicos aumentan con respecto al anterior en una cantidad constante en pesos, pero el primer pago o ingreso se realiza periodos despus de formalizada la operacin financiera. Lo mismo que en las anualidades, el tiempo durante el cual no se hacen pagos se llama tiempo muerto o periodo de gracia. Si en el tiempo muerto se cancelan los intereses, el capital permanece constante. Pero si estos no se pagan, se capitalizan, formando un capital mayor sobre el cual se realizan los clculos.

Ejemplo: calcular el valor de un prstamo que se esta cancelando con 12 pagos mensuales que aumentan cada mes en $ 20.000, pero el primer pago por valor de $300.000 se realizo 6 meses despus de la fecha de la negociacin, y la tasa de inters es del 2% mensual. Durante los 6 meses de periodo de gracia se cobro una tasa de inters del 1.5% mensual.

Para el ejercicio se tiene que: P=? A = $300.000 n= 12 G= $20.000 i = 2% mensual

Periodo de gracia = 1.5% mensual

P1= 300.000{(1.02)12-1/0.02(1.02)12} + 20.000/0.02[{(1.02)12-1/0.02(1.02)12} 12/(1.02)12] P1 = $4286.025,48 Calculamos el valor de la obligacin en el momento cero. Basta con trasladar el valor de P1 ubicado en el mes 5, a un valor equivalente en el momento cero, para lo cual se aplica la formula bsica P=F/(1+i)n. Es necesario tener en cuenta que, para este ejercicio, la tasa de interes del periodo de gracia es diferente a la tasa cobrada en la operacin financiera. P = F/ (1+i)n = 4286.025,48/(1.015)5 P = $3978.547,41 Notacin estndar: P = [300.000(P/A,2.0%,12)+20.000(P/G,2.0%12)] (P/F, 1.5%,5)

Gradiente lineal decreciente Valor presente de un gradiente lineal decreciente Es un valor ubicado en el presente equivalente a una serie de pagos peridicos que tienen la caracterstica de disminuir, cada uno con respecto al anterior, en una cantidad constante de dinero (G). El flujo de caja de la gradiente lineal decreciente es el siguiente:

Si se compara una serie de gradiente lineal creciente con la serie de gradientes decrecientes, se llega a la conclusin que la nica diferencia que los caracteriza es el signo de G. para el gradiente lineal creciente es positiva y para el gradiente lineal decreciente es negativa.

Donde: P = valor presente de la serie de gradientes A = valor de la primera cuota i = tasa de inters efectiva peridica N = numero de pagos o ingresos G = constante en que disminuye cada cuota

Ejemplo: Una vivienda se esta cancelando con 18 cuotas mensuales que decrecen en $10.000 cada mes, siendo la primera cuota de $ 2500.000. Si la tasa de financiacin que se esta cobrando es del 3% mensual, calcular el valor de la vivienda.

P = 2500.000 / [(1.03)18 - 1/ 0.03(1.03)18 ] (10.000 / 0.03) [(1.03)18 - 1/ 0.03(1.03)18 - 18/ (1.03)18 ] P = 33323.645,98 Notacin estndar: P = 3015.896,71(P/A,3%,18) 10.000(P/G,3%18)

Valor futuro de un gradiente lineal decreciente Para calcular un valor futuro equivalente a una serie de pagos peridicos que disminuyen cada periodo en una cantidad constante en dinero (G). el valor futuro de esta serie de pago ser ubicado en la fecha en que se realiza el ultimo pago.

Ejemplo: Se realiza un primer depsito por $ 500.000 en el da de hoy en una entidad financiera que reconoce por el dinero una tasa de inters del 2% mensual. Cada mes se hacen depsitos que disminuyen en $ 10.000 Cul ser el valor acumulado despus de hacer 6 depsitos?

Notacin estndar

GRADIENTE GOMTRICO O EXPONENCIAL Se llama gradiente geomtrico a una serie de pagos peridicos tales que cada uno es igual al anterior disminuido o aumentado en un porcentaje fijo. En este tipo de gradientes tambin se presenta el gradiente geomtrico creciente y el geomtrico decreciente, dependiendo de que cuotas aumenten o disminuyan en ese porcentaje.

Gradiente geomtrico creciente Valor presente de un gradiente geomtrico creciente Es un valor ubicado en el presente, equivalente a una serie de pagos peridicos que aumentan cada uno con respecto al anterior en una porcentaje fijo.

Donde: P = Valor presente de la serie de gradiente geomtrico A = Valor de la primera cuota J = Variacin porcentual de cada cuota con respecto a la anterior i = Tasa de inters de la operacin financiera n = Numero de pagos o ingresos de la operacin financiera

Ejemplo: Una obligacin se esta cancelando mediante el pago de una cuota inicial de $ 5.000.000 y 24 cuotas mensuales que aumentan en un 5% cada mes. Si el valor de la primera cuota es de $ 1.500.000 y se cobra una tasa de inters del 4% mensual, calcular: El valor de la obligacin El valor de la cuota 22

La tasa de inters de la negociacin es diferente a la tasa de crecimiento de las cuotas, en consecuencia se aplica la primera formula del valor presente del gradiente. P = 5.000.000 + 1.500.000 [(1.05)24 (1.04)24 / (0.05 0.04)(1.04)24 ] P = $ 43.727.111.74 La cuota aumenta en un 5% (J) cada mes. Si la primera cuota es de $ 1.500.000 y la llamamos A, la segunda cuota ser A (1+J), la tercera ser igual a A (1+J)2, la Cuarta Cuota ser igual a A (1+J)3 y la ensima cuota ser igual a A (1+J) n-1. El valor de la cuota 22 es: Cuota 22 = 1.500.000 (1+0.05)22-1 Cuota 22 = $ 4.178.943.88 La expresin para calcular el valor de cualquier cuota es:

Cn = A (1+J) n-1 Valor futuro de un gradiente geomtrico creciente El valor futuro de un gradiente geomtrico es un valor ubicado en la fecha del ltimo pago o ingreso equivalente a una serie de pagos peridicos, que crecen en cada periodo en un porcentaje constante (J).

Gradiente geomtrico decreciente Lo constituyen una serie de pagos o ingresos que disminuyen peridicamente en un porcentaje constante Valor presente de un gradiente geomtrico decreciente El valor presente de un gradiente geomtrico decreciente es un valor, ubicado un periodo anterior a la fecha del primer pago, equivalente a una serie de pagos o ingresos que disminuyen peridicamente en un porcentaje fijo (J).

Donde: P = Valor presente J = Tasa de incremento de las cuotas A = Valor de la Premier Cuota N = Numero de Cuotas i = Tasa de inters de la operacin

La ecuacin anterior calcula el valor presente cuando la tasa de decrecimiento de las cuotas (J) es diferente a la tasa de inters de la operacin (i). para J = i, la ecuacin se convierte en:

Ejemplo Calcular el valor presente de 12 pagos trimestrales que disminuyen cada trimestre en 2%, siendo el primer pago de $500.000. la tasa de interes es del 32% capitalizable trimestralmente. El flujo de caja de la operacin financiera corresponde a un gradiente geomtrico decreciente, en el que $500.000 es el valor de primera cuota (A), el numero de pagos (n) es igual a 12, las cuotas disminuyen en un porcentaje de 2% (J) y la tasa de interes es del 8% trimestral. Calculamos la tasa efectiva de la operacin financiera.

Calculamos el valor presente equivalente a los 12 pagos trimestrales. Para este ejercicio, la tasa de inters (i) es diferente a la tasa de decrecimiento de las cuotas (J), por esta razn aplica la primera ecuacin

P = 500.000 P = $ 3.441.890.96

Valor futuro de un gradiente geomtrico decreciente Es un valor futuro equivalente a una serie peridica de pagos o ingresos que disminuyen en un porcentaje fijo. El valor de esta serie queda ubicado en la fecha del ltimo pago o ingreso, como se observa en el siguiente flujo de caja. Flujo de caja Para calcular el valor futuro de un gradiente geomtrico decreciente, nos apoyamos en la formula bsica F = P (1+i)n y reemplazamos een ella a P por su expresin equivalente.

Formulas

CONCLUSIN

En este trabajo se destac