Funciones de dos variables: Gradiente. Derivadas ... · Introduccio´n Gradiente Derivadas...

IntroduccionGradiente

Derivadas direccionalesPlano tangente

Linealizacion

Funciones de dos variables: Gradiente. Derivadas

direccionales. Plano tangente. Linealizacion.

Juan Ruiz Alvarez1

1Departamento de Matematicas. Universidad de Alcala de Henares.

Matematicas (Grado en Biologıa)

Juan Ruiz Alvarez Matematicas (Grado en Biologıa)



Linealizacion

Contenidos

1 Introduccion

2 Gradiente

3 Derivadas direccionales

4 Plano tangente

5 Linealizacion




Linealizacion

Indice

1 Introduccion

2 Gradiente


4 Plano tangente

5 Linealizacion




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Introduccion

Hasta el momento, hemos representado habitualmente lasuperficies en el espacio mediante ecuaciones de la formaz = f (x , y), que representa la ecuacion de una superficie S . Apartir de ahora, conviene recurrir a una representacion mas generalde la forma

F (x , y , z) = 0.

Una superficie dada por z = f (x , y), podeos convertirla a la formageneral, sin mas que definir F como

F (x , y , z) = f (x , y)− z .




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Introduccion

Puesto que F (x , y)− z = 0, podemos considerar S como lasuperficie de nivel de F dada por

F (x , y , z) = 0,

que es una ecuacion alternativa de la superficie S .Ejemplo: Describir la superficie de nivel F (x , y , z) = 0 para lafuncion F (x , y , z) = x2 + y2 + z2 − 4




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2 Gradiente


4 Plano tangente

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Definicion del gradiente de una funcion de 2 variables

Sea Z = f (x , y) una funcion de x , y tal que existen fx y fy . Elgradiente de f , denotado por ∇f (x , y) es el vector

∇f (x , y) = (fx(x , y), fy (x , y)).

Otra notacion usual para el gradiente es gradf (x , y). Para cadapunto (x , y), el gradiente ∇f (x , y) es un vector en el plano, (no enel espacio).

El gradiente ∇F es normal a las superficies de nivel

Si F es diferenciable en (x0, y0, z0) y ∇F (x0, y0, z0) = 0, entonces∇F (x0, y0, z0) es normal a la superficie de nivel que pasa por(x0, y0, z0).




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Es necesario darse cuenta de que ∇f (x , y) es un vector en el planoy ∇F (x , y , z) es un vector en el espacio. El vector gradientemarcara la direccion de maxima variacion de la funcion encualquier punto.




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La derivada direccional es el producto escalar del gradiente por elvector unitario que determina la direccion.

Definicion formal de derivada direccional

Si f es una funcion diferenciables de x e y , su derivada direccionalen la direccion del vector unitario u es

Duf (x , y) = ∇f (x , y) · u

Ejemplo: Hallar la derivada direccional de

f (x , y) = 3x2 − 2y2

en el punto (−34 , 0), en la direccion del segmento recto que va de

P = (−34 , 0) a Q = (0, 1).




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Definicion de plano tangente

Sea F diferenciable en un punto P(x0, y0, z0) de la superficie S

dada por F (x , y , z) = 0, con ∇F (x0, y0, z0) = 0:

El plano que pasa por P es normal a ∇F (x0, y0, z0) se llamaplano tangente a S en P .

La recta que pasa por P con la direccion ∇F (x0, y0, z0) sellama recta normal a S en P .




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Ecuacion del plano tangente

Si F es diferenciable en (x0, y0, z0), una ecuacion del planotangente a la superficie dada por F (x , y , z) = 0 en (x0, y0, z0) es

Fx(x0, y0, z0)(x−x0)+Fy(x0, y0, z0)(y−y0)+Fz(x0, y0, z0)(z−z0) = 0

Puesto queF (x , y , z) = f (x , y)− z ,

entonces

Fx(x0, y0, z0)(x − x0) + Fy (x0, y0, z0)(y − y0)− (z − z0) = 0




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1 Introduccion

2 Gradiente


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Sea F diferenciable en un punto P(x0, y0, z0) de la superficie S

dada por F (x , y , z) = 0, con ∇F (x0, y0, z0) = 0. Podemos haceruna aproximacion lineal de la superficie S cerca del punto(x0, y0, z0) mediante la expresion

F (x , y , z) = F (x0, y0, z0) +∇F (x0, y0, z0)(x − x0, y − y0, z − z0).

Considerando de nuevo que F (x , y , z) = f (x , y)− z , esta expresionse transforma en:

F (x , y , z) = f (x0, y0)− z0 + (fx(x0, y0), fy (x0, y0),−1)

· (x − x0, y − y0, z − z0)




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Roland E. Larson. Calculo volumen II. Ed. Mc Graw Hill.


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