EcuacionesdiferencialesenderivadasparcialesMétododeseparacióndevariables

3.‐ ResolucióndelaecuacióndeLaplaceencoordenadascartesianas:separacióndevariables

4.‐ ResolucióndelaecuacióndeLaplaceencoordenadasesféricaspolares:separacióndevariables.

Losarmónicosesféricos.AplicaciónenlaMecánicaCuán@ca.

2.‐ LaecuacióndeLaplace

1.‐ Ecuacionesdiferencialesenderivadasparciales.Elproblemadelascondicionesdecontorno.

1

CondicionesdecontornoenEc.DiferencialesenDerivadasParciales.

Vemosqueparadeterminarunasoluciónpar@culardeestaEDnoessuficienteconocerelvalordelafunciónenunpunto:

EjemploIISitomamosunaEDDPde2ºorden: !2"(x, y, z)

!x!y= 0 podemosbuscarlasolucióngeneral

!2"(x, y, z)

!x!y=

!

!x[!"(x, y, z)

!y] = 0 ! !"(x, y, z)

!y= µ(y, z) µ(y, z) arbitraria

!(x, y, z) =

!µ(y, z)dy + g(x, z)integrando dondeesarbitrariag(x, z)

y zLaintegraldeesunafunciónarbitrariadeyµ(y, z)!

µ(y, z)dy = f(y, z)

Porlotantolasolucióngenerales:!(x, y, z) = f(y, z) + g(x, z)

Paracalcularunasoluciónpar@cularnecesitamosconocerelvalordeambasfunciones,y.Necesitamosconocerlasoluciónsobredossuperficies.

f(y, z)g(x, z) 2

EjemploIConsideremosunaEDDPsencilladeprimerorden:

cuyasoluciónmásgenerales

!f(x, y, z)

!z

f(x, y, z) = g(x, y)

Conocerlasoluciónrequieresaberelvalordelafunción,esdecirconocerlosvaloresdelasoluciónenunasuperficie(vgr.)

!y, zz = 0

LaecuacióndeLaplaceLaecuacióndeLaplaceuotrasecuacionesderivadasdeellaesunaecuacióncentralenmuchosproblemasRsico‐químicos.

LaecuacióndeLaplacepuederesolverse–enlossistemasdecoordenadasllamadosdecoordenadasseparables‐reduciéndolaaunaseriedeecuacionesdiferencialesordinariasacopladas,dondepodemosu@lizarlosresultadosvistos.EselllamadoMétododeseparacióndevariables. 3

MecánicaCuán@caLaecuacióndeSchrödinger

esunaecuacióndeautofunciones.Estaecuaciónpuedeinterpretarsecomounaecuacióndiferencial,enlacuallacondicióndecontornoesquelasoluciónseaautofuncióndeloperadorHamiltoniano.

[!!22m

"2 + V (!r)]!(!r, t) = i! "

"t!(!r, t)

Electrodinámica:DelasecuacionesdeMaxwellseob@enelasecuacionesdeondasparaloscamposeléctricoymagné@co:yEnelvacío

dondeceslavelocidaddelaluz

!E(!r, t) !B(!r, t)

Eloperadorlaplacianoesunoperadorlineal.LaecuacióndeLaplaceesunaecuacióndiferenciallineal;esoimplicaquesiysonsoluciones.

!1("r) !2("r)

!2!1("r) = 0

!2!2("r) = 0! "2[!"1(#r) + $"1(#r)] = 0, #!,$ $ C

!2

Esdecir:unacombinaciónlinealdesolucionesestambiénsolución.ElprocedimientopararesolverlaEDconsisteenencontrarunconjuntodesolucionesdelaecuaciónqueseacompleto,esdecirquepermitaescribircualquiersolucióncomounacombinaciónlinealdeesoselementos.Loscoeficientesdeestacombinaciónlinealsedeterminaránmediantelascondicionesdecontorno.Existeunconjuntoinfinitodeesassolucionespar@culares,deformaqueahoralascondicionesdecontornohandesercapacesdedeterminarlosinfinitoscoeficientesdelacombinaciónlinealbuscada.Lacondicionesdecontornoahorasedeterminanporlosvaloresdelasoluciónenunasuperficie,noenunpuntocomoenelcasodelasecuacionesdiferencialesordinarias.Sitomamosunaecuaciónmásgeneral,,lallamadaecuacióncompleta,lasolucióngeneraldelacompletasepuedeescribir

!GC("r) = !GH("r) + !PC("r)

dondeeslasolucióngeneraldelaec.deLaplace(homogénea)yesunasoluciónpar@culardelacompleta

!GC("r)

!PC("r)!GH("r)

4

5

Lasoluciónparaquehasumaseanuleesquelastresfuncionesseanconstantes.

ResolucióndelaecuacióndeLaplaceencoordenadascartesianasMétododeseparacióndevariables

Mul@plicandoestaecuaciónpor

dondeysonlascoordenadasdelvectorx, y, z !r

Encoordenadascartesianasellaplacianoseescribe

ElMétododeseparacióndevariablesconsisteenbuscarsolucionesdelaforma

dondeysonfuncionesdeunaúnicavariable.X(x), Y (y) Z(z)

= 0

5

d2X

dx2= !k2xX(x)

d2Y

dy2= !k2yY (y)

d2z

dz2= (k2x + k2x)Z(z)

= !k2x = !k2y = (k2x + k2y)= q2Z(z)

q2 = !(k2x + k2y)donde

6

Sonecuacionesdiferencialeslinealesconcoeficientesconstantes.Lasolucióndeestasecuacionesestrivial:

X(x) = !(kx)eikxx + "(kx)e

!ikxx

Y (y) = !(ky)eikyy + "(ky)e

!ikyy

Lasolucióndebeverificarunconjuntodetresecuacionesdiferencialesordinariasde2ºorden,queestánrelacionadasporlosdosconstantesdeseparacióny.kx ky

d2X

dx2= !k2xX(x)

d2Y

dy2= !k2yY (y)

d2Z

dz2= q2Z(z) q2 = !(k2x + k2y)donde

Z(z) = !(kx, ky)eqz + "(kx, ky)e

!qz

dondeusamoslanotación

paraloscoeficientesdelassolucionesparaindicarlosparámetrosdeseparacióndecadavariable.

!(kx),"(kx), #(ky), $(ky), %(kx, ky), &(kx, ky)

ylasolucióncorrespondientealasconstantesdeseparaciónyson:kx ky

!(kx, ky,!r) = ["(kx)eikxx + #(kx)e

!ikxx][$(ky)eikyy + %(ky)e

!ikyy]

![&(kx, ky)eqz + '(kx, ky)e

!qz]

LasolucióndelaecuacióndeLaplacecorrespondientealosparámetrosdeseparacióny

!(kx, ky,!r) = ["(kx)eikxx + #(kx)e

!ikxx][$(ky)eikyy + %(ky)e

!ikyy]

![&(kx, ky)eqz + '(kx, ky)e

!qz]

kx ky

DeestaformalasolucióndelaecuacióndeLaplaceseescribecomounacombinaciónlinealdefuncionesconocidas,,quesonsolucionesdelamismaecuación.!(kx, ky,!r)

Enestaexpresión,lasintegralesrepresentanladoblesumarespectolosdosparámetrosdeseparación.

permiteescribirlasolucióngeneraldelproblemacomounacombinaciónlinealdeestassoluciones

!("r) =!

kx,ky

!(kx, ky,"r)

losíndicesytomantodoslosvaloresrealesposibles;porlotantolasumaesrealmenteunaintegral

kx ky

!("r) =!

kx,ky

!(kx, ky,"r) ! !("r) =

"dkx

"dky!(kx, ky,"r)

7

Solucióndelaec.deLaplaceencoordenadaspolaresesféricasIntentamosresolverlaecuacióndeLaplaceencoordenadaspolaresesféricas.ElvectorestádadoahoraporlascoordenadasyEllaplaciano:

Llevando[2]alaec.deLaplace(ymul@plicandoporr)

Eltérminodelaizquierdaesunafunciónderandθ,mientrasqueeldeladerechaloesdeφ.

Mul@plicandoambostérminospor

Elhechoquelaparteradial–elfactorconteniendoladependenciaenr‐seescribacomonocambiaelsen@dodelafactorialización,yeslaformahabitualmenteusadaenlostextos.r!1U(r)

8

!2!(!r) = 0!r

Lasoluciónesqueambostérminosseasunaconstantek2

= k2

Buscamossolucionesdel@po[2]

r, !, "

DeestaformadesdoblamoslaecuacióndeLaplaceendosecuacionesdiferencialesordinarias

queestánacopladasatravesdelaconstantedeseparaciónk

9

Solucióndelafunciónazimutal

! = !ei2!kn

! = !e!i2!kn ! k " Z

Habitualmenteaesteenteroselellamam;deformaquelasolucióndelaecuaciónazimutalesunacombinacióndedosfuncionesquequedandeterminadasporunentero

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Lafunciónverificaunaecuacióndiferencialordinariade2ºgrado,linealconcoeficientesconstantes:

Q(!)

cuyasolucióngeneralesQ(!) = "eik! + #e!ik!

obienunaexpresiónequivalente.Q(!) = A cos(k!) +B sin(k!)

A = !+ "

B = i(!! ")equivalencia

Q(!+ 2"n) = #eik(!+2"n) + $e!ik(!+2"n)= !ei2!kneik" + "e!i2!kne!ik"

Q(!) = "eik! + #e!ik!

Losángulosy representanRsicamenteelmismopuntodelespacio,porlotanto

! !+ 2"n, m ! ZQ(!+ 2"n) = Q(!)

Laindependencialinealdelasfuncionesimplicaquesuscoeficienteshandeseriguales.e±ik!

dondeysonlasconstantesarbitrariasasociadasaunaEDde2ºorden.!,", A B

Q±m(!) = e±im! [3]

11

Hemosvistoquelasfuncionessoluciónsondelaforma

11

Ortogonalidaddelasfuncionessolucionesdelaec.azimutal

Q±m(!) = e±im! [3]

yporlotantoverifican

odeformacompacta:

Sedicequelasfuncionessonortogonales.

Separacióndelaspartesradialypolar

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dondelaconstantedeseparaciónkeraunnúmeroenterom;esdecir

HabíamosescritolaparteconladependenciaradialypolardelaecuacióndeLaplace

dejamoseneltérminodeladerechalostérminoscondependenciaenr

Eltérminodelaizquierdaesunafunciónder,mientrasqueeldeladerechaloesde!Ambastérminoshandeserconstantes.Escribimosestaconstantedeseparacióncomo.l(l + 1)

queestánacopladaspormediodelosparámetrosdeseparacióny.m l

Laconstantedeseparaciónpuedeserunnúmero(real)cualquiera.Aquísehafactorializadocomoporrazonesqueseveránalresolverlaecuaciónrela@vaalacoordenadapolar.

l(l + 1)

Deestaformaobtenemosunsistemadedosecuacionesdiferenciales

[4a]

[4b]

LaparteradialU(r)delasoluciónquebuscamossa@sfacelaEDordinariade2ºgrado:Solucióndelaecuaciónradial

Buscamossolucionesdel@po:U(r) = r! ! dU

dr= !r!!1 ! d2U

dr2= !(!" 1)r!!2

Llevandoestasexpresionesa[4a]

[4a]

!(!! 1)r!!2 ! l(l + 1)

r2r! = 0 ! !(!" 1)" l(l + 1) = 0

Lassolucionesdelaecuaciónestándadaspor !2 ! !! l(l + 1) = 0

! ! =1±

!1 + 4l(l + 1)

2=

1±!(2l + 1)2

2=

1± (2l + 1)

2

Lasolucióngeneraldelaecuación[4a]correspondientealaconstantedeseparaciónesl

estasoluciónsólodependedelaconstantedeseparación(node)l m

Ul(r) = Arl+1 +Br!l [5]

Unadelassolucionesesregularenelorigen,perodivergesi.(rl+1) r ! "Laotraesdivergenteenelorigen,peroregularalargasdistancias.(r!l) (r ! ")

Regularidaddelassoluciones

13

=l

!(l + 1)

14

Solucióndelaecuaciónpolar.FuncionesdeLagrange

queeslallamadaEcuacióngeneralizadadeLegendre.

[4b]

LafunciónverificalaEDordinariade2ºordenP (!)

Hacemoselcambiodevariable,ymarcamoslasoluciónconlosíndicesdelasconstantesdeseparación

cos(!) = x, (sin2(!) = 1! x2)l,m

(1! x2)d2!lm(x)

dx2! 2x

d!lm(x)

dx+ [l(l + 1)! m2

1! x2]!lm(x) = 0 [4b! 1]

a.‐ Laconstantedeseparaciónesunnúmeroenteroposi@voonulo.l

Estascondicionessonnecesarias,peronoaseguranquetodaslassolucionesseancorrectas,enelintervalodado.

Laec.[4b‐1]esunaEDde2ºorden,deformaquesusolucióngeneral(paravaloresdadosdelasconstantes)sepuedeescribircomounacombinaciónlinealdedossolucioneslinealmenteindependientes.

l,m

LacondicióndequeadmitasolucionesqueseanRsicamenteaceptablesenelintervalo: implica:0 ! ! ! " " 1 # x # $1

LasFuncionesdeLegendrede1ª()y2º()especieformandosfamiliasdesolucioneslinealmenteindependientesdelaec.[4b]

Qml (x)Pm

l (x)

b..‐ Elvalorabsolutodeesmenoroiguala:lm !l " m " l

LasfuncionesdeLegendre:solucionesparam=0

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FuncionesdeLegendrede1ªespeciePolinomiosdeLegendre

DossolucionesindependientesdelaED[4b‐1]sonlasfunciones

FuncionesdeLegendrede2ªespecie

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PropiedadesdelasfuncionesdeLegendre

1.‐esunpolinomiodeorden,quesólocon@enepotenciasparesoimpares,segúnlaparidadde.Lasraícessonrealesyestánenelintervalo

2.‐Paridad.Laparidaddelafunciónestádadapor;esdecir:3.‐Regularidad.esregular(acotado)entodoelespacio(esunpolinomio).Seeligelanormalizaciónparaqueverifiquelacondición

3.‐Regularidad.esregularenelintervaloPerodivergelogarítmicamenteenellímitecorrespondientesalosángulospolaresy

1.‐seescribecomounpolinomiodeordenmul@plicandoelfactorlogarítmico,másotropolinomiodeorden.Lafunción@enecerosenelintervalo

2.‐Paridad.Laparidaddelafunciónestádadapor;esdecir: Ql(!x) = (!1)l+1Ql(x)

(!1)l+1

Soluciones no físicas

quepermitencalculartodasellasdeformasencilla(ycomputacionalmenterápida)apar@rdelosvaloresdelasprimerasfunciones.

RelacionesderecurrenciadelasfuncionesasociadasdeLegendreEstasfuncionesverificanlasllamadasrelacionesderecurrencia

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Lasfuncionesde2ªespeciesa@sfacenlasmismasrelacionesderecurrencia.

Existentambiénlassoluciones‐funcionesde2ªespecie‐quetampocosonregularesen.No@enensen@doRsico.

Sinembargo,todasoluciónRsicadebeseracotadaenelintervalodevariacióndelánguloθ.Estoimplicaqueelcoeficientedelafunción‐quedivergeenlospolos‐debeanularse.

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SoluciónregulardelaecuacióndeLegendreLasolucióngeneraldelaecuacióndeLegendrelasconstantesdeseparaciónyes

PorlotantolasoluciónRsicageneraldelaecuacióndeLegendresereducea

19

SoluciónesregularesdelaecuacióndeLegendreElprocedimientopuedegeneralizarseparacalcularlassolucionesregulares:sonlasllamadasfuncionesdeLegendrede1ªespecie,osimplementefuncionesasociadasdeLegendrequegeneralmenteserepresentancomo

Comofuncionesde Comofuncionesde

sim<0sepuedenobtenerdelosvaloresanteriores:

Escribiendoestarelacionentérminosdelángulopolarθ (x=cosθ)

Lasfuncionesquecorresponenaunmismovalordelaconstantedeseparaciónsonortogonales,esdecirverifican

20

OrtogonalidaddelasfuncionesasociadasdeLegendre

ArmónicosesféricosLaparteangulardelasolucióndelaecuacióndeLaplace,correspondientealasconstantesdeseparacióneselproducto

Z

21

representaeláreadelasuperficieformadaenunaesferaderadiounidadenelpuntodecoordenadaspory.

Esasuperficie–medidasobreunaesferaderadiounidad‐sellamaángulosólido.

ylarelacióndeortogonalidadseescribe

Cualquierfunciónsobrelaesferaunitariasepuedeescribircomounacombinaciónlinealdelosarmónicosesféricos(Teoremadecomple@tud).

quesonortogonalesenlaesferaunidad:

Construimoselconjuntodefunciones:

porejemplo:21

LaexpresiónsepuedeobtenerdirectamentedelasrelacionesdeortogonalidaddelasfuncionesdeLegendreydelassolucionesazimutales:

22

23

Tabladearmónicosesféricos

puedeescribirsecomounacombinaciónlinealdelassolucionesparcialesquehemoscalculado:

dondeAlyBlsonconstantesquesedeterminanaplicandolascondicionesdecontorno.

Porelcontrariolaspotenciasnega@vessonregularesalargasdistancias,perodivergenenelorigen.

Estodalugaraquelasoluciónrestrinjael@podesolución,dependiendodelazonadelespacio.:

SolucióngeneraldelaecuacióndeLaplace

ResolverlaecuacióndeLaplacesereducealcálculodeunconjunto–infinitoperonumerable‐deconstantes(AlyBl)quedependendelascondicionesdecontornodelproblema.

mientrasqueenlazonaIIloscoeficientesAl=0(l>0)

Regularidaddelasolución

I

II

EnlazonaI(quecon@eneelorigen)todosloscoeficienteslBl=0

24

Laspotenciasposi@vasde[6],consonregularesenelorigen,perodivergen

Eltérminoeslasolucióntrivial,.

25

Ejemplo:elpotencialdeCoulombElpotencialdeCoulomb,creadoenunpuntoarbitrariaporunacargaunidadenreposoenelpunto

sa@sfacelaecuacióndePoisson

dondeesladensidaddecargaqueennuestrocasoes

que,salvoenelpunto,sereducealaecuacióndeLaplaceLasoluciónseescribedeformadiferenteenlasdoszonasdelespacio

quesonregularesentodoelespacio(salvopara)Estasexpresionessepuedenescribirdeformacompactacomo

dondeysonrespec@vamentelamenorylamayordeambasdistanciasy.

r > r!