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Ejercicios del curso

Ecuaciones en derivadas parciales

Tommaso Leonori

Dep. de Analisis Matematico

Universidad de Granada.

e-mail: leonori@ugr.es

T.Leonori Ejercicios de EDP

cEjercicios del curso Ecuaciones en derivadas parcialescTommaso LeonoriISBN papel 978-84-686-2795-3

Impreso en Espana

Editado por Bubok Publishing S.L.

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Indice general

Ecuaciones del Primer Orden 7

Ecuacion de Ondas 27

Ecuacion del Calor 75

Ecuaciones Elpticas 101

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T.Leonori Ejercicios de EDP

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Introducion

En estos apuntes he reunido las soluciones de los ejercicios propuesto

durante el curso, dado juntos con el Prof. David Arcoya, y en los examenes

de Ecuaciones en Derivadas Parciales del ano academico 2009/2010.

En las referencias podeis encontrar unos libros o apuntes donde la teora

relativa a los ejercicios propuestos esta explicada de forma clara. Algunos de

los ejercicios propuestos han sido cogido desde [CF], [DF], [Per] y [St].

Si alguien encontrara erratas, misprints o tiene dudas sobre los ejercicios,

que no dudes en enviarme un correo (leonori@ugr.es).

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T.Leonori Ejercicios de EDP

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Ecuaciones del Primer Orden

Ejercicio 1.1 Estudiad la linealidad y estableced el orden para cada una de

las e.d.p. siguientes:

1. ut uxx + 1 = 0,

2. ut uxx + xu = 0,

3. ut uxxt + uux = 0,

4. utt ux + x2 = 0,

5. iut uxx + ux = 0,

6. ux(1 + u2x)

+uy

(1 + u2y)= 0,

7. ux + eyuy = 0,

8. ut + uxxxx +1 + u = 0.

Solucion.1 No es complicado verificar que:

1Con ecuacion diferencial de orden m se entiende una ecuacion de la forma

F (Dmu,Dm1u, ...., Du, u, x) = 0 x RN N 2 ,

donde

F : RNm RNm1 ..... RN R R

es una funcion asignada y

u : R

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T.Leonori Ejercicios de EDP

1. es lineal del segundo orden;

2. es lineal del segundo orden;

3. es nolineal del tercer orden;

4. es lineal del segundo orden;

5. es lineal del segundo orden;

6. es nolineal del primer orden;

7. es lineal del primer orden;

8. es nolineal del cuarto orden.

es una funcion regular. Ademas decimos que la ecuacion es lineal si se escribe de la forma

m

||ka(x)D

u(x) = f(x)

donde f y a son funciones regulares.

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Ejercicio 1.2 Dado c R, estudiad la linealidad y orden de la siguienteecuacion:

ux + cuy = 0, (x, y) R2. (1.1)

Interpretad geometricamente la e.d.p. y calculad sus soluciones.

Solucion.

No es complicado verificar que la ecuacion es lineal del primer orden.

Notese que dicha ecuacion se puede escribir de la siguiente forma:

u(x, y) (1, c) = 0 ,

donde = (x, y). Entonces el ejercicio consiste en encontrar funciones utales que su gradiente es ortogonal al vector (1, c).

Vamos a explicar dos manera de resolver este ejercicio.

Metodo 1. Geometrico. Aprovechando la idea del sentido geometrico de la

ecuacion, deducimos que la derivada direccional de u(x) en la direccion (1, c)

tiene que ser 0, es decir que u(x) es constante a lo largo de dicha direccion.

Entonces que las soluciones de la ecuacion (1.1) tienen que depender solo de

una direccion ortogonal a (1, c). Siendo el vector (c, 1) ortogonal a (1, c),deducimos que

u(x, y) = f(y cx) ,

donde f es una funcion de clase C1(R). Las rectas y cx =constante sellaman rectas caractersticas.

Metodo 2. Caractersticas. Aplicando el metodo de las caractersticas

(vease, por ejemplo [Ev], Cap. 2 para la teora de esto metodo) deducimos

que

x(t) = 1

y(t) = c t Rz(t) = 0 ,

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T.Leonori Ejercicios de EDP

as que resulta, siendo 1, 2, 3 constantes arbitrarias,

x(t) = t+ 1

y(t) = ct+ 2 t Rz(t) = 3 .

Por lo tanto

3 = z(x(t), y(t)) = z(t+ 1, ct+ 2)

y como

y(t) cx(t) = 2 c1deducimos que las soluciones de (1.1) son de la forma

u(x, y) = f(y cx) ,

donde f es una cualquier funcion f C1(R).

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T.Leonori Ejercicios de EDP

Ejercicio 1.3 Resolved las ecuaciones:

1. ut + xux = 0, (x, t) R2,

2. ut + 2tx2ux = 0, (x, t) R2.

Solucion.

En los dos casos aplicamos el metodo de las caractersticas.

1. Escribimos el sistema caracterstico asociado a la primera de la ecua-

ciones resulta ser

t(s) = 1

x(s) = x(s) s Rz(s) = 0 .

Entonces, siendo ci i = 1, 2, 3 constantes, la solucion del sistema esta

dada por

t(s) = s+ c1

x(s) = c2es s R

z(s) = c3 .

(1.2)

Por lo tanto la solucion de la ecuacion ut + xux = 0, (x, t) R2 resultaser constante si calculada a lo largo de la familia de las curvas carac-

terstica definida mediante las primeras dos ecuaciones en (1.2). Por lo

tanto, teniendo en cuenta que s = tc1, resulta que xet = c2ec1 = C1.Ademas aprovechando que la ecuacion es lineal no homogenea y que no

hay ningun termino de orden cero, las constantes cumplen tambien la

ecuacion as que las soluciones son de la forma:

u(x, t) = C1xet + C2

con C1 y C2 constantes.

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T.Leonori Ejercicios de EDP

2. En este caso el sistema caracterstico resulta ser dado por

t(s) = 1

x(s) = 2t(s)x2(s) s Rz(s) = 0 .

Entonces, siendo ci i = 1, 2, 3 constantes, las soluciones de la primera

y tercera ecuaciones del sistema son

t(s) = s+ c1 s Rz(s) = c2 ,

mientras que para resolver la segunda aplicamos el metodo de separa-

cion de las variables. Para x(s) 6= 0 tenemos que

x(s)

x2(s)= 2t(s) = 2(s+ c1)

as que

c3 1

x(s)= 2

t(s)ds = 2

(s+ c1)ds = (s+ c1)2 + c3 = t

2(s) + c3 ,

por una constante c3 oportuna. Por lo tanto

1

x+ t2 = c3 , con c

3 R ,

y como la solucion es constante a lo largo de cada curva caracterstica,

deducimos, razonando como antes, que las soluciones tienen la forma

u(x, t) = C1

(1

x+ t2

)

+ C2 ,

con C1 y C2 constantes.

Se puede facilmente verificar que dichas soluciones cumplen las ecuaciones

diferenciales propuestas en el ejercicio.

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T.Leonori Ejercicios de EDP

Ejercicio 1.4 Calculad la solucion del problema

{

ut ux = u2, x R, t > 0u(x, 0) = 1

2ex, x R.

Solucion.

Aplicamos el metodo de las caractersticas y por lo tanto queremos resolver

el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:

t(s) = 1

x(s) = 1z(s) = z2(s)

t0() = 0

x0() =

z0() =12e .

Entonces

t(s, ) = s

x(s, ) = s+ 1

z0() 1

z(s,)= 2e 1

z(s,)= s ,

y consecuentemente

s = t(s, )

= x(s, ) + t(s, )

u(x(s, ), t(s, )) = z(s, ) =1

2e s =1

2ex(s,)+t(s,) t(s, )

y finalmente deducimos que

u(x, t) =1

2ex+t t .

Es facil comprobar que esta es efectivamente una solucion del problema.

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T.Leonori Ejercicios de EDP

Ejercicio 1.5 Calculad la solucion del problema

{

ux + uuy = 2, (x, y) R2u(0, y) = y, y R.

Solucion.

Observemos que es un problema de Cauchy de la forma

{

a(x, y, u)ux + b(x, y, u)uy = c(x, y, u),

u(x0(s), y0(s)) = z0(s), s R,

con coeficientes a(x, y, u) = 1, b(x, y, u) = u, c(x, y, u) = 2 y con la curva

inicial (s) = (x0(s), y0(s), z0(s)) dada por x0(s) = 0, y0(s) = s y z0(s) = s.

Observemos tambien que este problema es no caracterstico ya que

det

(

a(x0(s), y0(s)) x0(s)

b(x0(s), y0(s)) y0(s)

)

6= 0.

Ademas la curva s 7 (x0(s), y0(s)) = (0, s) = (s) es inyectiva. Por tantoexiste una superficie integral (o solucion local) que contiene a la curva inicial

(s).

Para calcular dicha solucion, consideramos el sistema caracterstico:

x(s) = 1

y(s) = z(s)

z(s) = 2

x0() = 0

y0() =

z0() = .

Esta claro que las primeras y las terceras ecuaciones nos dan

{

x(s, ) = s

z(s, ) = 2s+ ,

as que tenemos

y(s, ) = s

0

(2 + )d = s2 + s.

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T.Leonori Ejercicios de EDP

Podemos obtener una expreson para s y t en funcion de x e y:

{

x = s

= yx2

1+xpara x 6= 1 .

Consecuentemente,

u(x, y) =y x21 + x

+ 2x para x 6= 1 .

Es facil comprobar que esta es efectivamente una solucion del problema.

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T.Leonori Ejercicios de EDP

Ejercicio 1.6 Calculad la solucion del problema

{

ut + uux = 0, (x, t) R (0,+)u(x, 0) = g(x), x R , (1.3)

with g tal que

g(x) =

1 if x 01 x if 0 x 10 if x 1.

(1.4)

Solucion.

Primero, notamos que en principio el metodo de las caractersticas no se

puede aplicar a este problema siendo el dato inicial de clase C1 a trozos pero

no C1(R). A pesar de esto facto, podemos pensar en aplicar dicho metodo en

las regiones del semiplano correspondientes a las zonas donde el dato inicial

es regular e intentar, luego, de pegar las soluciones encontradas.

La ecuacion diferencial que aparece en (1.3) es muy bien conocida