Exposicion de Diferenciacion Numerica
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La derivación numérica consiste en la evaluación de la derivada de la función en un punto, cuando únicamente conocemos los valores de la función en una colección de puntos x0, x1,... xn.
Se trata de un problema similar al de la integración numérica; de hecho la derivación es más complicada ya que, en la integración los errores tienden a cancelarse, y, como vimos, no necesitamos que la aproximación describa con fidelidad la función localmente.
Sin embargo, la derivada es una propiedad esencialmente local, por lo cuál deberemos aproximar la función lo más fielmente posible en el entorno inmediato del punto en el que la queramos calcular.
DIFERENCIA NUMÉRICA
Aproxim. De 1er orden
Error de truncamiento
Se le conoce con un nombre especial en el análisis numérico
«diferencia finita dividida» y generalmente se representa como:
DIFERENCIA NUMÉRICA HACIA ADELANTE
EJEMPLO 1. Aproximación de derivadas por diferencia finitas divididas
Planteamiento del problema. Use aproximaciones con diferencias finitas hacia adelante, para estimar la primera derivada de:
Estos valores sirven para calcular las diferencias divididas hacia adelante, mediante la siguiente ecuación
Se sustituye con los valores de la tabla anterior
Se sustituye con los valores de la tabla
FORMULAS DE DIFERENCIA NUMÉRICA CON EXACTITUD
Formulas de diferencias divididas finitas hacia adelante: se presenta dos versiones para cada derivada. La ultima versión emplea mas términos de la expansión de la serie de Taylor y, en consecuencia es mas exacta
EJEMPLO 2. Diferenciación con alta exactitud
Planteamiento del problema. Recuerde que en el ejemplo 1 estimamos la derivada de.
Donde los errores fueron calculados basándose en el valor verdadero: -0.9125. Repetir este cálculo, pero ahora emplee las formulas con alta exactitud.
SOLUCION.
Sustituimos
