Exámenes EBAU La Rioja - MatemaTICzando la realidad

Exámenes EBAU La Rioja

Antonio Omatos Soria1

30 de junio de 2020

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Índice general

1. Recopilación de Ejercicios 1

1.1. Junio 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Propuesta A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2. Propuesta B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Septiembre 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1. Propuesta A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2. Propuesta B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Junio 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1. Propuesta A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.2. Propuesta B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Julio 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.1. Propuesta A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.2. Propuesta B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5. Junio 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5.1. Propuesta A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5.2. Propuesta B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6. Julio 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6.1. Propuesta A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6.2. Propuesta B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.7. Junio 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.7.1. Propuesta A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.7.2. Propuesta B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

iii

iv ÍNDICE GENERAL

1.8. Julio 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.8.1. Propuesta A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.8.2. Propuesta B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.9. Junio 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.9.1. Propuesta A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.9.2. Propuesta B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.10. Julio 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.10.1. Propuesta A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.10.2. Propuesta B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.11. Junio 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.11.1. Propuesta A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.11.2. Propuesta B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.12. Julio 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.12.1. Propuesta A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.12.2. Propuesta B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.13. Junio 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.13.1. Propuesta A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.13.2. Propuesta B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.14. Julio 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.14.1. Propuesta A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.14.2. Propuesta B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.15. Junio 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.15.1. Propuesta A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.15.2. Propuesta B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.16. Julio 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.16.1. Propuesta A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.16.2. Propuesta B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.17. Junio 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.17.1. Propuesta A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.17.2. Propuesta B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.18. Julio 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

ÍNDICE GENERAL v

1.18.1. Propuesta A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.18.2. Propuesta B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.19. Junio 2019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.19.1. Propuesta A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.19.2. Propuesta B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.20. Julio 2019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.20.1. Propuesta A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.20.2. Propuesta B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2. Recopilación de ejercicios por temas 25

2.1. Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.2. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.3. Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2. Geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.2. Puntos, rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2.3. Problemas métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3. Análisis Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.3.1. Límites y continuidad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.3.2. Derivada y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.3.3. Cálculo Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

2.4. Estadística y Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

vi ÍNDICE GENERAL

1

Recopilación de Ejercicios

1.1. Junio 2010

1.1.1. Propuesta A

1. (1,5 puntos) Si r es la recta que pasa por el punto P=(1,-1,1) y tiene como vector director (1,2,-2),¾existe algún valor de a para el cual la recta r está contenida en el plano 2x+3y+4z=a? En casoa�rmativo, encuentra el valor de a. En caso negativo, razona tu respuesta.

Solución

2. (1,5 puntos) Halla el valor de a para que f(x) =x2 + x+ a

3x+ 1veri�que f ′(1) = 0.

Solución

3. (1 punto) Calcula∫

2x

x2 + 5dx

Solución

4. (3 puntos) Calcula los siguientes límites: lımx→0

x− sen(x)

x sen(x); lımx→+∞

2x + x

ex

Solución

5. (3 puntos) Discute y resuelve según los valores de a, el siguiente sistema de ecuaciones:

x− y + z = ax+ y + z = 1

3x− 3y + az = a

Solución

1

2 1. RECOPILACIÓN DE EJERCICIOS

1.1.2. Propuesta B

1. (1,5 puntos) Si r es la recta que pasa por el punto P=(1,-1,1) y tiene como vector director (1,2,-2),¾existe algún valor de a para el cual la recta r está contenida en el plano 2x+3y+4z=a? En casoa�rmativo, encuentra el valor de a. En caso negativo, razona tu respuesta.

2. (1,5 puntos) Halla el valor de a para que f(x) =x2 + x+ a

3x+ 1veri�que f ′(1) = 0.

3. (1 puntos) Calcula∫

2x

x2 + 5dx

4. (3 puntos) Determina los valores de a y de b para que los puntos P=(1,0,1) y Q=(1/3,a,b) seansimétricos respecto al plano x-y+z=1. (Recuerda que dos puntos se dicen simétricos respecto de unplano si están en una recta perpendicular al plano y a la misma distancia de éste).

5. (3 puntos) Para la función ln(x2 − 9), calcula su dominio, sus asíntotas, intervalos de crecimientoy decrecimiento, máximos, mínimos y puntos de in�exión. Haz su representación grá�ca

1.2. Septiembre 2010

1.2.1. Propuesta A

1. (1,5 puntos) Determina para qué valores de a la recta

{2x+ y + z = 7x− y + 3z = a

y el plano de ecuación

3x+ az = 4 son paralelos.

2. (1,5 puntos)Dibuja las curvas y = x3 − 1, y = −x2 + x. Halla el área comprendida entre ambas.

3. (1 puntos) Halla todas las matrices 2x2, que denotamos A, que cumplen:A2 = 0, (1, 1) ·A = 0(0 denota una matriz nula, A2 = A ·A)

4. (3 puntos)Encuentra a y b para que la función de�nida como :

f(x) =

x2 si x < 1ax+ b si 1 ≤ x ≤ 2

2x2 si 2 < xsea continua en los puntos x = 1, x = 2. Determina para los valores de a,b hallados, si la función esderivable en los puntos x = 1, x = 2.

5. (3 puntos) Calcula la distancia del punto P=(3,-1,3) a la recta

{2x+ y + z = 4x− y + z = 1

1.2.2. Propuesta B

1. (1,5 puntos) Determina para qué valores de a la recta

{2x+ y + z = 7x− y + 3z = a

y el plano de ecuación

3x+ az = 4 son paralelos.

2. (1,5 puntos) Dibuja las curvas y = x3 − 1, y = −x2 + x. Halla el área comprendida entre ambas.

3. (1 puntos) Halla todas las matrices 2x2, que denotamos A, que cumplen:A2 = 0, (1, 1) ·A = 0(0 denota una matriz nula, A2 = A ·A)

1.3. JUNIO 2011 3

4. (3 puntos) Encuentra los valores a, b, c para que la función f(x) = alnx + bx + cx2 tenga en el

punto (1,0) un mínimo relativo y cumpla que lımx→+∞

f(x)

x2= 1

5. (3 puntos) Sean r, s las rectas del espacio dadas, respectivamente, por:

r ≡{

2x+ y + z = 4x− y + z = 1

, s ≡{

x+ z = 2x+ 2y − 3z = a

Calcula para que valores de a las rectas se cortan en un punto. Halla dicho punto. Estudia la posiciónrelativa que tienen las rectas para el resto de valores de a.

1.3. Junio 2011

1.3.1. Propuesta A

1. (1 punto)C ontesta razonadamente si, para la función f(x) = ln(x2 + 3x) existe algún punto en elque la recta tangente a f(x) es perpendicular a la recta 2x− y + 2 = 0.

2. (1,5 puntos) Encuentra un vector de módulo 1 que sea ortogonal a los vectores de coordenadas(1,0,1) y (1,2,0).

3. (1,5 puntos) Halla una función f(x) que pase por el punto (0,1) y tal que f ′(x) = (x2 − 4)ex

4. (3 puntos) Calcula el dominio, las asíntotas, los intervalos de crecimiento, máximos y mínimos ylos puntos de in�exión de la f(x) = x − ln(x2 − 1). Representa la grá�ca de f(x) a partir de losdatos obtenidos.

5. (3 puntos) Calcula la ecuación de la recta r paralela al plano que pasa por los puntos A(1,1,0),B(0,1,1) y C(1,0,1) y al plano de ecuación x+2y+3z=1 y que no esté contenida por ninguno deellos.

1.3.2. Propuesta B

1. (1 punto) Contesta razonadamente si, para la función f(x) = ln(x2 + 3x) existe algún punto en elque la recta tangente a f(x) es perpendicular a la recta 2x− y + 2 = 0.

2. (1,5 puntos)Encuentra un vector de módulo 1 que sea ortogonal a los vectores de coordenadas(1,0,1) y (1,2,0).

3. (1,5 puntos) Halla una función f(x) que pase por el punto (0,1) y tal que f ′(x) = (x2 − 4)ex

4. (3 puntos) Con una cuerda de 2 metros queremos construir un cuadrado de lado l y un círculo deradio r de modo que la suma de sus áreas sea mínima. ¾Cuánto deben medir l y r?

5. (3 puntos) La recta r de ecuaciónx+ 3

2=

y4

2=

z − 3

3y la recta s que pasa por los puntos

P(1,0,2) y Q(a,1,0) se cortan en un punto. Calcula el valor de a y el punto de corte.


1.4. Julio 2011

1.4.1. Propuesta A

1. (1,5 puntos) Encuentra un vector perpendicular al plano de ecuaciones paramétricas: x = 2− 3λ+ µy = 4 + 5λ− µ

x = −2 + 4λ+ 2µ

2. (1,5 puntos) Halla el punto de la grá�ca de la función f(x) = x+ lnx en el que la recta tangentea f(x) es perpendicular a la recta x+3y=1

3. (1 punto) Dibuja la �gura delimitada por la curva y = −x2 + 4x + 5, y la recta y = 5. Halla elárea de dicha �gura.

4. (3 puntos) Si a, b son dos parámetros no nulos, encuentra la relación que se debe dar entre ambospara que los puntos A(1,0,0), B(a,b,0), C(a,0,b) y D(0,a,b) estén en el mismo plano. Determina laecuación del plano que contiene a los cuatro puntos.

5. (3 puntos) Calcula el dominio, los puntos de intersección con los ejes, las asíntotas y los extremosrelativos de la función f(x) = x

ex .

1.4.2. Propuesta B

1. (1,5 puntos) Encuentra un vector perpendicular al plano de ecuaciones paramétricas: x = 2− 3λ+ µy = 4 + 5λ− µz = −2 + 4λ+ 2µ

2. (1,5 puntos) Halla el punto de la grá�ca de la función f(x) = x+ lnx en el que la recta tangentea f(x) es perpendicular a la recta x+3y=1

3. (1 punto) Dibuja la �gura delimitada por la curva y = −x2 + 4x + 5, y la recta y = 5. Halla elárea de dicha �gura.

4. (3 puntos) Para la función f(x) =x2

x2 − 4, calcula el dominio, los intervalos de crecimiento y

decrecimiento y una primitiva.

5. (3 puntos) Determina una ecuación del plano que contiene a la rectax− 1

3=y + 4

1=z − 2

5y es

paralelo a a rectax

2=

y

−2=z

3. Encuentra tres puntos no alineados dentro del plano que has dado.

1.5. Junio 2012

1.5.1. Propuesta A

1. (1 punto) Sea f(x) una función positiva en el intervalo [1, 5], así f(x) ≥ 0 para 1 ≤ x ≤ 5. Si elárea limitada por f(x), el eje de abcisas (eje x) y las rectas x=1 y x=5 es igual a 6, calcula el áreadel recinto limitado por la función G(x) = f(x) + 2 y las mismas rectas.

1.6. JULIO 2012 5

2. (1,5 puntos) Calcula el siguiente límite: lımx→0

1 + x− ex

sen2x

3. (1,5 puntos) Si A =

(2 13 2

)y B =

(1 −10 2

), determina la matriz X despejándola previamente

de la ecuación matricial: 2A − AX = BX. (Observa las dimensiones que ha de tener la matriz Xpara que la ecuación matricial tenga sentido).

4. (3 puntos) Prueba que para cualquier valor de a 6= 0, los planos x+ay−az = 0 y x+2ay−2az = 0se cortan en una recta r. Calcula la posición relativa de r respecto del plano que pasa por el origende coordenadas y los puntos A(1,0,-6) y B(0,2,a+3) (se supone que a 6= 0 para que r esté de�nida)

5. (3 puntos) Calcula el dominio y representa grá�camente la función: f(x) = lnx

x+ 1

1.5.2. Propuesta B

1. (1 punto) Sea f(x) una función positiva en el intervalo [1, 5], así f(x) ≥ 0 para 1 ≤ x ≤ 5. Si elárea limitada por f(x), el eje de abcisas (eje x) y las rectas x=1 y x=5 es igual a 6, calcula el áreadel recinto limitado por la función G(x) = f(x) + 2 y las mismas rectas.


1 + x− ex

sen2x

3. (1,5 puntos) Si A =

(2 13 2

)y B =

(1 −10 2

), determina la matriz X despejándola previamente

de la ecuación matricial: 2A − AX = BX. (Observa las dimensiones que ha de tener la matriz Xpara que la ecuación matricial tenga sentido).

4. (3 puntos) Enuncia el teorema de Rolle. Encuentra los ceros de la primera derivada de la funciónf(x) = x3 − 12x+ a. Usa �nalmente la información previa para probar que, con independencia delvalor de a, la ecuación x3 − 12x+ a = ono tiene dos soluciones distintas en el intervalo [-2,2].

5. (3 puntos) Discute el sistema dependiendo de los valores del parámetro a y resuelve completamente

los casos en que sea posible:

x− 2y + z = −2−x+ y + az = 1

2x+ ay + 4z = −2

1.6. Julio 2012

1.6.1. Propuesta A

1. (1 punto) Encuentra un vector de módulo 1 que sea ortogonal a los vectores −→u = (1, 0, 1) y−→v = (2, 1, 0)


ex − xcosx− 1

senx− x+ 1− cosx3. (1,5 puntos) Calcula el área de la región delimitada por la función f(x) = lnx, la recta tangente

a f(x) en x = e y el eje de abcisas.

4. (3 puntos) Para a ∈ (0,+∞) determina el dominio y estudia la continuidad y derivabilidad de lafunción:

f(x) =

{1 + ax si x ≤ 0

ln(x2 + a) si x > 0

Describe la derivada de f ′(x).


5. (3 puntos) Discute y resuelve, según los valores de a, el siguiente sistema de ecuaciones:x+ (1 + a)y − az = 2ax+ 2y − z = 2

x+ ay + (1 + a)z = 1

1.6.2. Propuesta B

1. (1 punto) Encuentra un vector de módulo 1 que sea ortogonal a los vectores −→u = (1, 0, 1) y−→v = (2, 1, 0)


ex − xcosx− 1

senx− x+ 1− cosx

3. (1,5 puntos) Calcula el área de la región delimitada por la función f(x) = lnx, la recta tangentea f(x) en x = e y el eje de abcisas.

4. (3 puntos) Enuncia el Teorema de Bolzano y úsalo para probar que la ecuación x = cosx tieneuna única solución. Debes justi�car adecuadamente por qué es única. (Puede serte útil dibujar lasgrá�cas de las funciones f(x) = x y g(x) = cosx).

5. (3 puntos) Para los puntos A(1,0,2) y B(-1,2,4) y la recta de ecuaciónx+ 2

2= y − 1 =

z − 1

3:

a) Calcula la ecuación del plano π formado por los puntos que equidistan (están a la mismadistancia) de A y de B.

b) Calcula la ecuación del plano π′ para lelo a r que pase por A y por B.

c) Encuentra otro plano π′′ de modo que la intersección de π, π′ y π′′ sea exactamente un punto.

1.7. Junio 2013

1.7.1. Propuesta A

1. (1 punto) Dibuja dos vectores y el vector diferencia de ambos. Calcula el ángulo que forman dosvectores distintos u y v que tienen el mismo módulo que el vector diferencia de ambos u-v. (puedeserte útil el dibujo previo).

2. (1 punto) Sea A una matriz cuadrada de orden 3 y con determinante |A|=2. Calcula los determi-nantes de la matriz 2A ,la inversa A−1 y la traspuesta At.

3. (2 puntos)Dependiendo de los valores de a, estudiar la continuidad de la función:

f(x) =

(ex − 1)2

ex2 − 1si x 6= 0

a si x = 0

4. (3 puntos) Enuncia el teorema del valor medio de Lagrange. Para la función:

f(x) =

{xsenx si x ≤ π

acosx+ b si x > π

a) Estudia la derivabilidad de f(x) en función de a y b; expresa la función derivada f'(x) dóndeexista.

b) Calcula el área que determina la función f(x) en el intervalo [0, π].

1.8. JULIO 2013 7

5. (3 puntos) Encuentra un valor de 0 6= a para que las rectas:{x+ y − 5z = −3−2x+ z = 1

y x+ 1 =y − 3

a=z

2

sean paralelas. Para el valor de a que has encontrado, calcula la ecuación del plano que contiene aambas rectas.

1.7.2. Propuesta B

1. (1 punto) Dibuja dos vectores y el vector diferencia de ambos. Calcula el ángulo que forman dosvectores distintos u y v que tienen el mismo módulo que el vector diferencia de ambos u-v. (puedeserte útil el dibujo previo).

2. (1 punto) Sea A una matriz cuadrada de orden 3 y con determinante |A|=2. Calcula los determi-nantes de la matriz 2A ,la inversa A−1 y la traspuesta At.

3. (2 puntos)Dependiendo de los valores de a, estudiar la continuidad de la función:

f(x) =

(ex − 1)2

ex2 − 1si x 6= 0

a si x = 0

4. (3 puntos) Calcula el dominio, las asíntotas, los intervalos de crecimiento, máximos y mínimos ylos puntos de in�exión de la función f(x) = xex. Con los datos obtenidos haz una representacióngrá�ca aproximada de f(x).

5. (3 puntos) Discute el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro a y resuelvecuando sea compatible determinado: (a− 3)y + 4z = 2

y − 2z = −1ax− y + 2z = a

1.8. Julio 2013

1.8.1. Propuesta A

1. (1 punto) Calcula el valor de m para que la recta de ecuación (x

2= y = z)y el plano de ecuación

(x− y −mz = 4)formen un ángulo de 30 grados.

2. (1 punto) Encuentra los valores de a y b para los que A ·At = I3 dónde

A =

cosb senb 0−senb cosb 0

0 0 a

I3 es la matriz identidad de orden 3 y At la matriz traspuesta de A.

3. (2 puntos) Calcula una primitiva de la función f ′(x) =1

1− x2de modo que f(2) = lım

x→0

ln(x2 + 1)

x

4. (3 puntos) Un segmento de longitud l se apoya en los ejes coordenados del primer cuadrante determinando con ellos un triángulo rectángulo. Hallar el valor mínimo de la abcisa en que se apoyapara que el área del triángulo mencionado, de hipotenusa l, sea máximo.


5. (3 puntos) Enuncia el teorema de Rouché-Frobenius. En función del parámetro a, discute y resuelvecuando sea posible el sistema de ecuaciones lineales: x+ y + z = a

x+ y + az = 1x+ ay + z = 1

1.8.2. Propuesta B

1. (1 punto) Calcula el valor de m para que la recta de ecuación (x

2= y = z)y el plano de ecuación

(x− y −mz = 4)formen un ángulo de 30 grados.


A =

cosb senb 0−senb cosb 0

0 0 a


3. (2 puntos) Calcula una primitiva de la función f ′(x) =1


x→0

ln(x2 + 1)

x

4. (3 puntos)

a) Si h(x) es una función real tal qué h(0)=0 y h'(0)=1 y g(x) = esen(h(x)), aplica la regla de lacadena para calcular la derivada g'(0).

b) Calcula los posibles valores de a, b, c para los que f(x) = alnx + bx + cx2 tiene en (1,0) un

mínimo relativo y cumple que tiene el 10 un mínimo relativo y cumple que lımx→+∞

f(x)

x2= 1.

5. (3 puntos) Sean A(2, -1,0), B(-2,1,0) y C(0,1,2) tres vértices consecutivos de un paralelogramoABCD.

a) Determina el vértice de D

b) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro (punto de corte de sus diagonales) delparalelogramo ABCD y qué es perpendicular al plano que lo contiene.

1.9. Junio 2014

1.9.1. Propuesta A

1. (2 puntos) Sea f(x) =1− x

1−√x.

a) Calcula, si existe, lımx→1

f(x).

b) Halla∫f(x)dx

2. (2 puntos)

a) Determina los valores de a que cumplen la ecuación:

1.9. JUNIO 2014 9∣∣∣∣∣∣a 1 11 a 14 2 a

∣∣∣∣∣∣ = 0

b) Halla un punto P en la recta

{y = 0z = 0

que no sea coplanario con los puntos A(2,1,4), B(1,2,2)

y C(1,1,2)

3. (3 puntos) Sea g(x) =1− lnx

x.

a) Determina el dominio de g.

b) Halla sus asíntotas.

c) Determina los extremos relativos y estudia la monotonía de g.

d) Dibuja la gra�ca de g destacando los elementos hallados anteriormente.

4. (3 puntos) Consideremos los puntos A(2,6,-3) y B(3,3,-2).

a) Halla la ecuación para la recta r que contiene a los puntos A y B.

b) Determina una ecuación para el plano de los puntos que están a la misma distancia de A y deB.

c) Halla el punto de intersección de la recta r con el plano x=0.

1.9.2. Propuesta B


1−√x.


f(x).

b) Halla∫f(x)dx

2. (2 puntos)

a) Determina los valores de a que cumplen la ecuación:∣∣∣∣∣∣a 1 11 a 14 2 a

∣∣∣∣∣∣ = 0


{y = 0z = 0

que no sea coplanario con los puntos A(2,1,4), B(1,2,2)

y C(1,1,2)

3. (3 puntos) Sea h(x) = x4 − 2x3 − 1.

a) Enuncia el teorema de Bolzano

b) Determina los extremos relativos y estudia la monotonía de h.

c) Utiliza el teorema de Bolzano para probar que la ecuación h(x) = 0 tiene exactamente dossoluciones reales.

4. (3 puntos) Discute el sistema de ecuaciones siguiente, según los valores del parámetro b, y resuelvecuando sea compatible: bx+ y + z = 3

x+ y + z = 32x+ y + bz = 3


1.10. Julio 2014

1.10.1. Propuesta A

1. (2 puntos) Sean −→u = (1, a, a),−→v = (0, 0, 1),−→w = (1, 1, a)

a) Halla los valores de a para los cuales los vectores−−→u,−→v son ortogonales.

b) Determina los valores de a para los cuales el vector −→w está en el plano que contiene a O(0,0,0)

y tiene por vectores directores a−−→u,−→v .

2. (2 puntos) Sean g y h las funciones que g(0)=1, y g′(x) = cos(x2), h(x) = (g(x))2,−∞ < x <∞

a) Halla el valor de h'(0).

b) Calcula∫xcos(x2)dx

3. (3 puntos) Sean f(x) =(x− 2)2

x− 1

a) Determina el dominio de f


c) Determina los extremos relativos y estudia la monotonía de f.

d) Dibuja la gra�ca de f destacando los elementos hallados anteriormente.

4. (3 puntos) Consideremos el plano: πα : x− u+ αz = 0 y la recta:

r :

x = 3 + 2ty = 1− tz = 1 + 3t

t ∈ <

a) Estudia, según los valores de α, la posición relativa del plano πα y la recta r.

b) Cuando πα y r se corten en un punto, halla las coordenadas de dicho punto.

1.10.2. Propuesta B


a) Halla los valores de a para los cuales los vectores −→u ,−→v son ortogonales.

b) Determina los valores de a para los cuales el vector −→w está en el plano que contiene a O(0,0,0)y tiene por vectores directores a −→u ,−→v .



b) Calcula∫xcos(x2)dx

3. (3 puntos) Sean A una constante positiva y p(x) un polinomio de tercer grado tal que su derivadaes p′(x) = Ax(x− 1),− ınf < x <∞.

a) Determina la abcisa de los extremos relativos y estudia la monotonía de p.

b) Enuncia el teorema de Rolle.

c) Justi�ca que existe b > 1 tal que p(b) = p(0).

1.11. JUNIO 2015 11

4. (3 puntos) Discute el siguiente sistema de ecuaciones, según el valor de a y resuélvelo cuando tengasolución única: ax+ y = a

(a+ 1)x+ y + z = a+ 3y + z = 2

1.11. Junio 2015

1.11.1. Propuesta A

1. (1,5 puntos) Para cada número real a, la matriz

A =

a 1 1 11 a 1 11 1 a 11 1 1 a

tiene de determinante |A|=(a− 1)3. A partir de este hecho, halla el determinante de las siguientesmatrices:

B =

0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0

, A =

a+ 1 1 1 1

2 a 1 12 1 a 12 1 1 a

, A =

2a 2 2 21 a 1 11 1 a 11 1 1 a

2. (2,5 puntos) Sea g la función tal que g(π2 ) = 0 y su derivada es igual a g′(x) =

senx

x, x > 0

a) Halla la ecuación de la recta tangente a la grá�ca de g en el punto (π2 , 0).

b) Sea h(x) =g(x)

x. Calcula h′(π2 ).

c) Determina∫x2 g′(x) dx

3. (3 puntos) Sean f(x) =√x2 − x+ 1





4. (3 puntos) Consideremos el punto P(6,-1,5) y la recta

r :

x = 5 + ty = −t

z = 1− 2tt ∈ <

a) Halla la ecuación del plano, π, perpendicular a r que contiene a P.

b) Determina el punto Q donde la recta r corta al plano π.

c) determina el punto S simétrico de P respecto a la recta r.


1.11.2. Propuesta B


A =

a 1 1 11 a 1 11 1 a 11 1 1 a

tiene de determinante |A|=(a− 1)3. A partir de este hecho, halla el determinante de las siguientesmatrices:

B =

0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0

, C =

a+ 1 1 1 1

2 a 1 12 1 a 12 1 1 a

, D =

2a 2 2 21 a 1 11 1 a 11 1 1 a

2. (2,5 puntos) Sea g la función tal que g(π2 ) = 0 y su derivada es igual a g′(x) =

senx

x, x > 0


b) Sea h(x)g(x)


c) Determina∫x2g′(x)dx

3. (3 puntos) Si a y b son números reales arbitrarios consideramos la función:

f(x) :

{asenx+ bcosx, six < π

2sen2x− acosx, six ≥ π

2

a) Estudia según los valores de a y b, la derivabilidad de la funcion f.

b) Calcula la función derivada f ′(x) en los casos en que f(x) sea derivable en todo su dominio.

4. (3 puntos) Discute el siguiente sistema de ecuaciones, según el valor de a y resuélvelo cuando seacompatible determinado: x+ y + z = 2a− 1

(2x+ y + az = ax+ ay + z = 1

1.12. Julio 2015

1.12.1. Propuesta A

1. (2 punto) Dadas las rectas r y s de ecuaciones

r :

{x = 3 + 5ty = 1 + 2t

t ∈ < , s : 10x+ ay + 10 = 0

Calcula el valor de a para que ellas sean: i) paralelas; ii) perpendiculares.

2. a) (2 puntos) Determina todas las soluciones del sistema de ecuaciones{senx− cosy = 1senx+ cosy = 0

1.12. JULIO 2015 13

b) Halla∫

x

exdx

3. (3 puntos) Sea g(x) = x− 2ln(1 + x)

a) Determina el dominio de g




4. (3 puntos) Para el triángulo ABC de vértices A(0,0,0), B(1,7,1), C(5,3,1):

a) Halla la longitud de la mediana que parte del vértice A.

b) Calcula el área del triángulo ABC.

c) Determina la longitud de la altura que parte del vértice A.

1.12.2. Propuesta B


r :

{x = 3 + 5ty = 1 + 2t

t ∈ < , s : 10x+ ay + 10 = 0


2. a) (2 puntos) Determina todas las soluciones del sistema de ecuaciones{senx− cosy = 1senx+ cosy = 0

b) Halla∫

x

exdx

3. (3 puntos) Sea g(x) =

{x si −π2 ≤ x ≤ 0

a−cosxsenx si 0xx ≤ π

2

a) Halla el valor de a para el cual g es continua en x=0.

b) Enuncia el teorema del valor medio de Lagrange.

c) Consideremos a igual al valor hallado en el inciso (a) y g la correspondiente función para esevalor de a. Utiliza el teorema del valor medio de Lagrange para justi�car que existe c quecumple 0 < c < π

2 y g′(c) = 2π

4. (3 puntos) Sean A =

1 b 02 1 23 3 b

y B =

−23−b/2

a) Determina los valores de b para los cuales la matriz A tiene inversa.

b) Discute, según los valores de b, el sistema de ecuaciones lineales A

xyz

= B

c) Resuelve el sistema anterior para b=-2.


1.13. Junio 2016

1.13.1. Propuesta A

1. (2 puntos) Sean las matrices A =

(1 11 2

)y B =

(0 21 4

)a) Halla la matriz inversa de A.

b) Encuentre la matriz X tal que AX = B

2. (2 puntos)

a) Calcula si existe lımx→0

(1 + 4x2)1

sen2x

b) Halla el área de la región limitada por las grá�cas de las parábolas y = x2, x = y2.

3. (3 puntos) Sea g(x) =x3 + 2x2

x2 − 4

a) Determina el dominio y la continuidad de g.




4. (3 puntos) Dadas las rectas

r1 : x =y

2=z

3, r2 :

x = 1y = −1 + tz = 1− t

a) Determine la posición de relativa de las rectas r1, r2.

b) Halla el punto de la recta r1 más próximo al punto P(1,0,1).

1.13.2. Propuesta B


(1 11 2

)y B =

(0 21 4

)a) Halla la matriz inversa de A.


2. (2 puntos)


(1 + 4x2)1

sen2x


3. (3 puntos) Sean a, b, números reales y la función

f(x) =

x3 si x < −1ax+ 1 si −1 ≤ x ≤ 1

x2 + bx+ 2 si x > 1

a) Calcule los valores de a y b tales que la función f es continua en todos los puntos reales.

b) Determine, en función, de a y b la derivabilidad de f y calculé f' cuando sea posible.

1.14. JULIO 2016 15

c) Utilice el teorema de Bolzano para justi�car que sí p es un polinomio de grado 5, con co-e�ciente principal positivo, tal que p(−1) > −1, entonces la ecuación f(x) = p(x)tiene almenos una solución c con c < −1.

4. (3 puntos) Sea c un número real y el sistema de ecuaciones lineales:

cx+ y + cz = 1x+ cy + z = c2

x+ y + cz = c3

a) Calcule el determinante de la matriz de los coe�cientes y determine para qué valores de c elsistema anterior es compatible: compatible determinado y compatible indeterminado.

b) Resolver sistema anterior cuando c = 2.

1.14. Julio 2016

1.14.1. Propuesta A

1. (2 puntos)

a) Halle la función f tal que f(0)=1 y para x>-1 cumple f ′(x) =x

1 + x

b) Calcula el área de la región que delimita la grá�ca de f' y el eje de las abscisas para 0 ≤ x ≤ 1.

c) Determine, si existe lımx→0

f ′(x)√x+ 1− 1

2. (2 puntos)

a) ¾Cuál es el ángulo que forman los vectores no nulos −→u y −→v que satisfacen:

|−→u x−→v | = |−→u x−→v |?

b) Los vectores −→a y−→b cumplen |−→a | = 1, |

−→b | = 2 su producto escalar es −→a ·

−→b = 2 . Calcule el

producto vectorial −→a x−→b

3. (3 puntos) Sea g(x) =x3 − 5x

x2 + 1.






r1 :x

2= 2− y =

z − 1

3, r2 :

x = 2 + aty = 2t

z = 5− 6t t ∈ R

a) Halle una ecuación para el plano qué pasa por O(0,0,0) y es perpendicular a la recta r.

b) Estudie la posición de relativa de las rectas r1, r2 en función de a.


1.14.2. Propuesta B

1. (2 puntos)


1 + x



f ′(x)√x+ 1− 1

2. (2 puntos)

a) ¾Cuál es el ángulo que forman los vectores no nulos −→u y −→v que satisfacen:

|−→u x−→v | = |−→u x−→v |?




producto vectorial −→a x−→b


{ln(x+ 1)

x+ 1 si x > 0

ax+ b si x ≤ 0

a) Halle los valores de a y b para que la función g sea continua en R.b) Determine los valores de a y b para que la función g sea derivable en R.c) Para los valores de a y b del inciso anterior, calcule la derivada de g.

4. (3 puntos) Discuta, en función del parámetro b, el sistema de ecuaciones siguiente y resuélvalocuando sea compatible.

bx+ y + z = b2

x− y + z = 13x− y − z = 16x− y + z = 3b

1.15. Junio 2017

1.15.1. Propuesta A

1. (2 puntos) Sean los puntos A(1,-1,9), B(2,2,1), C(1,-2,-1) D(0,-1,2).

a) Halla una ecuación de la recta que pasa por A y por B.

b) ¾Son coplanarios lospuntos A,B, C y D?

2. (3 puntos) Sea el sistema de ecuaciones:cx+ 3y − z = −3(x+ cy + z = ccx+ y + z = 1

a) Discute el sistema anterior para los distintos valores del parámetro c.

b) Halla la solución o soluciones cuando el sistema sea compatible.

3. (2 puntos)El 50% de los habitantes de una localidad tienen más de 65 años y el 10% tienen menosde 18 años. El 60% de los mayores de 65 años, así como el 80% de los menores de 18 y el 40% delresto de los habitantes, utilizan el complejo de piscinas local.

a) Elegido al azar un habitante de la localidad, la probabilidad de que utilice el complejo depiscinas local.

1.16. JULIO 2017 17

b) Elegido al azar un habitante de la localidad que no utiliza el complejo de piscinas local, hayque la probabilidad que tenga más de 65 años.

4. (3 puntos) Sea la función f(x) = (8− x2)13 . Para ella estudie:

a) el dominio, la continuidady las asíntotas.

b) La derivabilidad, extremos relativos y la monotonía.

c) La curvatura y los puntos in�exión. Dibuja la grá�ca de f destacando los elementos anteriores.

1.15.2. Propuesta B


(3 51 2

)y B =

(1 12 2

)a) Halla, si existe, A−1.

b) Determina, si existe, la solución X de la ecuación matricial: A = AXA−1 +B

2. (3 puntos) Dados los vectores −→u = (2,−3, 5), −→v = (1, 2,−2), −→w = (2k,−1, k).

a) Calcula el valor de k para que los vectores sean linealmente dependientes.

b) Compruebe que para k=2 los vectores forman una base del espacio euclídeo tridimensional.

c) Halla las coordenadas del vector −→a = (15,−11, 18) respecto de la base del apartado anterior

3. (2 puntos)El 50% de los habitantes de una localidad tienen más de 65 años y el 10% tienen menosde 18 años. El 60% de los mayores de 65 años, así como el 80% de los menores de 18 y el 40% delresto de los habitantes, utilizan el complejo de piscinas local.

a) Elegido al azar un habitante de la localidad, la probabilidad de que utilice el complejo depiscinas local.

b) Elegido al azar un habitante de la localidad que no utiliza el complejo de piscinas local, hallela probabilidad de que tenga más de 65 años.


a) el dominio, la continuidad y las asíntotas.



1.16. Julio 2017

1.16.1. Propuesta A

1. (2 puntos) Sea m un número real y los vectores−→u = (1, 0, 1) y −→v = (2,−1,m).

a) Halla todos los vectores de módulo 3 que son perpendiculares a los vectores −→u y −→v .b) Determine, si existe, un valor de m tal que el correspondiente vector −→v forma un ángulo de

45o grados con el vector −→u .

2. (3 puntos)

a) Halle, según el valor del parámetro a, el rango de la matriz.


A =

1 −1 13 1 01 3 −22 −3 a+ 4

b) Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 4 tales que det(AB)=1. ¾Qué se puede decir del

rango de A?

3. (2 puntos)En una universidad el 30% de los alumnos va a la cafetería A, el 60% va la cafetería By el 20% va a ambas cafeterías.

a) Si se elige al azar un estudiante que va a la cafetería A, halle la probabilidad de que tambiénvaya a la cafetería B.

b) Si se elige al azar un estudiante de la universidad, calcule la probabilidad de que el estudianteno vaya a la cafetería A ni la cafetería B.

4. (3 puntos) Sea f(x) =ex + x

ex − x. Sabiendo que ex > x para todo número real x, para la función f

estudie;

a) El dominio las asíntotas.

b) La monotonía y los extremos relativos.

c) Dibuja la grá�ca de f destacando los elementos anteriores.

1.16.2. Propuesta B

1. (2 puntos) Sea m un número real y consideremos la matriz A.

A =

1 0 mm 0 62 −1 1

a) Halla los valores de m para los que la matriz A tiene inversa.

b) Determine el rango de a cuando m es igual a 2.

2. (3 puntos)

a) Pruebe que cualquiera sea el valor de a, los planos π1 : ax+ ay− z = 0, π2 : x− y+ az = 0 secortan en una recta r.

b) Estudie, en función de a, la posición relativa de la recta r y el plano que contiene a los puntosA(1,1,1), B(1,0,2) y C(0,1,2a).

3. (2 puntos)En una universidad el 30% de los alumnos va a la cafetería A, el 60% va la cafetería By el 20% va a ambas cafeterías.

a) Si se elige al azar un estudiante que va a la cafetería A, halle la probabilidad de que tambiénvaya a la cafetería B.

b) Si se elige al azar un estudiante de la universidad, calcule la probabilidad de que el estudianteno vaya a la cafetería A ni la cafetería B.



estudie;

a) El dominio las asíntotas.



1.17. JUNIO 2018 19

1.17. Junio 2018

1.17.1. Propuesta A

1. (2 puntos) Sean los vectores −→u = (−1, 4, 8) y −→v = (1, 2,−2)

a) Demuestre que el ángulo de los vectores −→u y −→v es mayor que 90o.

b) Calcule un vector perpendicular a −→u y −→v que tenga módulo 1.

2. (3 puntos)En una empresa fruticola, la producción por árbol sigue una distribución normal 54,3kg y desviación típica de 6,5 kg.

a) ¾Qué porcentaje de árboles producen entre 50 kg y 57 kg? Cuál es el porcentaje de árbolesque producen más de 57 kg?

b) Si se escoge al azar un árbol que está dentro del 70% de los árboles que menos producen, ¾alo sumo cuántos kilogramos debería producir?

c) Halle el valor de a para que F tenga en X igual a 1 un extremo relativo. Es un máximo o unmínimo relativo.

3. (2 puntos) Sea f(x) = xe−ax

a) Calcule, según los valores de a, las asíntotas de f(x).

b) Halle el valor de a para que f tenga en x=1 un extremo relativo. ¾Es un máximo o un mínimorelativo?

4. (3 puntos) Sea el sistema de ecuaciones: cx+ y − 2z = 6cx− 2y + z = 0−2x+ y + cz = −6


b) Halla la solución o soluciones, si existen, cuando el parámetro c es 1.

1.17.2. Propuesta B

1. (2 puntos) Una mujer, que sospecha estar embarazada, acude a la consulta del médico. Al examinarla cuidadosamente, el médico cree que está embarazada con una probabilidad de 0,6. Para con�rmarel diagnóstico, el médico encarga un test que da negativo en el 4% de los casos que la mujer estárealmente embarazada. Mientras que el test da positivo en el 5% de los casos en los que la mujerno está embarazada. Calcula la probabilidad de que:

a) El test dé positivo.

b) La mujer está embarazada sabiendo que el test da positivo.

2. (3 puntos) Sea el punto P=(1,2,-2) y la recta r :

x = 2− ty = 1 + tz = 2t

a) Determine la ecuación del plano que contiene a P y es perpendicular a la recta r.

b) Determine el punto de r más próximo a P.

c) Halla la recta r' simétrica de R respecto a P.




b) Halle el valor de a para que f tenga en x=1 un extremo relativo. ¾Es un máximo o un mínimorelativo?

4. (3 puntos) Sea el sistema de ecuaciones:

cx+ y − 2z = 6cx− 2y + z = 0−2x+ y + cz = −6



1.18. Julio 2018

1.18.1. Propuesta A

1. (2 puntos) Sean I la matriz identidad de orden 2 y las matrices

A =

(1 60 1

)y B =

(1 11 0

)a) Calcule, si existe, la inversa de A.

b) Halla las matrices X e Y que son soluciones del sistema:

AX+BY=3IAX-BY=I

2. (3 puntos) Sea la función f(x) = 2− cosx− 3x

a) Determine, si existen, las asíntotas oblicuas de f.

b) Calcule∫f(x) cosx dx

c) Demuestre que la función f(x) solo corta una vez al eje horizontal. Nota. Puede ser útil elteorema de Rolle.

3. (2 puntos) El número de vuelos que llegan a un aeropuerto por la mañana es de 140, por la tarde,200, y por la noche, 40. El porcentaje de vuelos que se retrasan por la mañana es del 2%, por latarde del 4% y por la noche de un 6%.

a) Calcule la probabilidad de que no se retrase un vuelo con destino a ese aeropuerto.

b) Si un vuelo llego con retraso aeropuerto, ¾cuál es la probabilidad de que fuera un vuelo de latarde?

4. (3 puntos) Considere las rectas r :

{x− y + 2z = 7x− y − 5z = −7

y s :

x = 3 + 2ty = 1 + tz = 1

, t ∈ <

a) Determine la posición relativa de las rectas r y s.

b) Halle, utilizando parámetros, todos los vectores perpendiculares a r.

1.19. JUNIO 2019 21

1.18.2. Propuesta B

1. (2 puntos)

a) Determine el rango de la matriz: A =

2 3 4−1 0 12 2 2

b) Sabiendo que

∣∣∣∣∣∣a b c−1 0 12 2 2

∣∣∣∣∣∣ = 2 calcule

∣∣∣∣∣∣−2 0 2a b c

a− 4 b− 4 c− 4

∣∣∣∣∣∣ .2. (3 puntos)

a) Halle, si existe, el valor de a para el cual:

lımx→+∞

(√9x2 + ax+ 1− (3x− 1)

)= 2

b) Determine, si existe, lımx→+∞

(√9x2 + ax+ 1

)′, donde

(√9x2 + ax+ 1

)′representa la derivada

de√

9x2 + ax+ 1.

3. (2 puntos) El número de vuelos que llegan a un aeropuerto por la mañana es de 140, por la tarde,200, y por la noche, 40. El porcentaje de vuelos que se retrasan por la mañana es del 2%, por latarde del 4% y por la noche de un 6%.


b) Si un vuelo llego con retraso aeropuerto, ¾cuál es la probabilidad de que fuera un vuelo de latarde?


{x− y + 2z = 7x− y − 5z = −7

y s :

x = 3 + 2ty = 1 + tz = 1

, t ∈ <



1.19. Junio 2019

1.19.1. Propuesta A

1. (2 puntos) Dados la recta r y el plano pi de ecuaciones.

a) Determina A y B para que el plano Pi que contenga la recta r.

b) Determina A y B para que sea paralela al plano pi.

2. (3 puntos) La distribución del número de rapes capturados por los barcos pesqueros que salen afaenar en una cierta zona se ajusta a una normal de media 220. Se sabe que, tomando un barco alazar la probabilidad de captura más de 250 es 0,1587.

a) Calcula la desviación típica de la distribución.

b) Calcula el número de rap es que un barco debe capturar para estar en el percentil 95.

(véase la tabla simpli�cada de la Normal tipi�cada que aparece al �nal del examen).

3. (2 puntos) Sea f : R→ R la función de�nida como:


f(x) =

{cosx x ≤ 0

−x2 + ax+ b x > 0

con a y b números reales.

a) Halla a y b para que f(x) sea continua y derivable en x=0.

b) Para los valores anteriores de a y b analiza si f tiene un extremo relativo en x=0.

c) Halla el área encerrada por la función y el eje OX en el intervalo [−π2 , 1].

4. (3 puntos) Sea a un parámetro real cualquiera. Considera la matriz:

A =

1 1 a1 a 1a 1 1

a) Determina para qué valores del parámetro a existe la inversa de la matriz A.

Sea el sistema de ecuaciones:

A

xyz

=

111

a) Discute el sistema de ecuaciones para los distintos valores del parámetro a.

b) Resuelve el sistema de ecuaciones cuando sea compatible.

1.19.2. Propuesta B

1. (2 puntos) Sea el plano π ≡ 2x+ y − z − 3 = 0 y la recta r :

x = 3− ty = 2 + tz = 1− 3t

.

a) Determina la ecuación de la recta s que contiene al punto P(1,2,-1), es perpendicular a la rectar y paralela al plano π.

b) Halla la distancia de la recta s al plano π.

2. (3 puntos) Se tienen tres urnas: A, B y C. La urna A contiene 2 bolas blancas y 3 negras, la Btiene 3 bolas blancas y 2 negras, la C 4 bolas blancas y una negra. Se lanza un dado y se tomandos bolas de una urna: De la urna A si sale 1, dos o tres, de la urna B si sale un cuatro o un cincoy de la urna C si sale un 6.

a) Calcula la probabilidad de obtener dos bolas blancas.

b) Suponiendo que las dos bolas extraídas son blancas, la probabilidad de que se hayan extraídode la primera urna.


f(x) =

{cosx x ≤ 0

−x2 + ax+ b x > 0






1.20. JULIO 2019 23

A =

1 1 a1 a 1a 1 1



A

xyz

=

111



1.20. Julio 2019

1.20.1. Propuesta A

1. (2 puntos) Sea {e1, e2, e3} una base de R3, de modo que los vectores son unitarios y forman entresi ángulos de 45o. Dados los vectores u = e1 + e2 y v = e1 − e2 + e3.

a) Calcula el módulo de los vectores u y v.

b) Calcula el coseno del ángulo formado por los vectores u y v.

2. (3 puntos) El peso medio según la OMS de un niño de 5 años y una distribución normal de media18,5 kg y desviación típica 2,25 kg. Si se elige un niño al azar. Halla el porcentaje de niños

a) Cuyo peso superior a 23 kg.

b) Cuyo peso está entre 15 y 23 kg.


3. (2 puntos) Sea la función f(x) =|x|

x2 − 1.

a) Analiza la continuidad y derivabilidad de la función f.

b) Razona si se puede aplicar, o no, el teorema de Rolle en el intervalo [−π2 ,π2 ] . En caso a�rmativo,

calcula el valor c ∈ (−π2 ,π2 ) a que se re�ere el teorema de Rolle.

c) Halla el área encerrada por f y el eje de abscisas en el intervalo [ 32 , 4].

4. (3 puntos) Sea un parámetro real cualquiera. Considera la matriz.

A =

1 0 00 a 00 −a 2a− 1

a) Determina para que valores del parámetro a existe la inversa de la matriz A.

b) Halla la inversa de la matriz A, cuando exista.

c) Para a=1 y las matrices

B =

(3 15 2

), C =

(1 2 3−1 2 −3

), D =

(3 1 20 0 0

)resuelve el sistema. {

BXA = Y1

3Y + C = D


1.20.2. Propuesta B

1. (2 puntos) En un colegio se han acertado para los niños de infantil tres actividades extraescolaresinglés (ING), Multideporte (MUL), robótica (ROB), con dos rangos de edad de 3 a 4 años (MP)y de 5 a 6 años (MG). Sabe que se han apuntado actividad total de 300 niños. De ellos, hay 100que tienen entre 3 y 4 años, de los cuales 82 hacen inglés y 10 han elegido multideporte. Se sabeque al grupo de robótica se han apuntado 83 niños, y hay 105 niños de entre 5 y 6 años que se hanapuntado a inglés.

a) Toma un niño al azar, siguientes probabilidades:

P (MG), P (MUL), P (MP ∩ROB), P (ROB|MP ) y P (MG|ING)

b) Comprueba que el suceso MUL es independiente de la edad del niño.

2. (3 puntos) Dos vértices consecutivos de un rectángulo son P(2,2,1) y Q(0,0,-1) y los otros dospertenecen a una recta r qué pasa por el punto A(5,4.3).

a) Determina la ecuación de la recta r

b) Determina la ecuación del plano que contiene al rectángulo.

3. (2 puntos)


x2 − 1.


x2 − 1.


b) Razona si se puede aplicar, o no, el teorema de Rolle en el intervalo [−12 ,12 ] . En caso a�rmativo,

calcula el valor c ∈ (−12 ,12 ) a que se re�ere el teorema de Rolle.



A =

1 0 00 a 00 −a 2a− 1




B =

(3 15 2

), C =

(1 2 3−1 2 −3

), D =

(3 1 20 0 0

)resuelve el sistema. {

BXA = Y1

3Y + C = D

2

Recopilación de ejercicios por temas

2.1. Álgebra

2.1.1. Matrices

1. Halla todas las matrices 2x2, que denotamos A, que cumplen:

A2 = 0, (1, 1) ·A = 0

(0 denota una matriz nula, A2 = A ·A)

Julio 2010-Opción A

Solución:

La matriz A =

(a b

c d

). Aplicamos la segunda condición (1, 1) · A = 0 ⇒ (1, 1) ·

(a b

c d

)=(

a+ c

b+ d

)=

(0

0

)⇒ c = −a; d = −b⇒ A =

(a b

−a −b

)Aplicamos la segunda condición, A2 = A ·A = 0:

⇒

(a b

−a −b

)·

(a b

−a −b

)=

(a2 − ab ab− b2

−a2 + ab −ab+ b2

)=

(0 0

0 0

)⇒

{a2 − ab = 0

b2 − ab = 0⇒

{a(a− b) = 0

b(a− b) = 0=⇒

a = b = 0 o a = b. Por lo tanto, la solución son las matrices de la forma:

A =

(a a

−a −a

); a ∈ R.

2. Si A =

(2 1

3 2

)y B =

(1 −1

0 2

), determina la matriz X despejándola previamente de la ecuación

matricial: 2A − AX = BX. (Observa las dimensiones que ha de tener la matriz X para que la

ecuación matricial tenga sentido).

Junio 2012-Opción A

25

26 2. RECOPILACIÓN DE EJERCICIOS POR TEMAS

Solución:

2A−AX = BX ⇒ 2A = AX +BX ⇒ 2A = (A+B)X ⇒ 2(A+B)−1A = X. Se podrá resolver si

det(A+B) 6= 0.

A+B =

(2 1

3 2

)+

(1 −1

0 2

)=

(3 0

3 4

). Det(A+B) = 12 6= 0

Calculamos la inversa mediante la fórmula. A−1 =Adj(A)t

det(A).

(A+B)t =

3 3

0 4

⇒ Adj(A)t =

4 0

−3 3

X = 2(A+B)−1A = 2 · 1

12

4 0

−3 3

2 1

3 2

=

4

3

2

3

1

2

1

2


A =

cosb senb 0

−senb cosb 0

0 0 a


Julio 2013-Opción B

Solución:

A · At =

cosb senb 0

−senb cosb 0

0 0 a

·cosb −senb 0

senb cosb 0

0 0 a

=

cos2b+ sen2b 0 0

0 cos2b+ sen2b 0

0 0 a

=

1 0 0

0 1 0

0 0 a

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⇒ a = 1, b ∈ R


(1 1

1 2

)y B =

(0 2

1 4

)

a) Halla la matriz inversa de A.



Solución:

a) A−1 =

(2 −1

−1 1

)

2.1. ÁLGEBRA 27

b) X t.q. AX = B ⇒ X = A−1 ·B =

(2 −1

−1 1

)·

(0 2

1 4

)=

(−1 0

1 2

)


(3 5

1 2

)y B =

(1 1

2 2

)

a) Halla, si existe, A−1.

b) Determina, si existe, la solución X de la ecuación matricial: A = AXA−1 +B

Junio 2017-Opción B

Solución:

a) det(A)=1 ⇒ existe A−1. A−1 =

(2 −5

−1 3

)b) A = AXA−1 +B ⇒ AXA−1 = A−B ⇒ XA−1 = I − A−1B ⇒ X = A− A−1BA. Realizamos

las operaciones obteniendo: X =

(35 61

−19 −33

)

6. (3 puntos)

a) Halle, según el valor del parámetro a, el rango de la matriz.

A =

1 −1 1

3 1 0

1 3 −2

2 −3 a+ 4

b) Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 4 tales que det(AB)=1. ¾Qué se puede decir del

rango de A?


Solución:

a) A =

1 −1 1

3 1 0

1 3 −2

2 −3 a+ 4

. Se puede observar que F3=F2-2F1. Luego podemos prescindir de F3 y

estudiar el rango de la matriz: A′ =

1 −1 1

3 1 0

2 −3 a+ 4

Calculamos el determinante de A':

|A′| =

∣∣∣∣∣∣∣1 −1 1

3 1 0

2 −3 a+ 4

∣∣∣∣∣∣∣ = a+ 4− 9− 2 + 3(a+ 4) = 4a+ 5

Por lo tanto, existe A−1 si a 6= −5

4b) det(AB) = det(A) · det(B) = 1⇒ det(A) 6= 1, det(B) 6= 1⇒ rg(A) = rg(b) = 4


7. (2 puntos) Sea m un número real y consideremos la matriz A.

A =

1 0 m

m 0 6

2 −1 1

a) Halla los valores de m para los que la matriz A tiene inversa.

b) Determine el rango de a cuando m es igual a 2.


Solución:

a) Calculamos el determinante de A desarrollando por el elemento a32:

|A| = −(−1) ·

∣∣∣∣∣ 1 m

m 6

∣∣∣∣∣ = 6−m2

Por lo tanto, existe A−1 si a 6= ±√

6

b) Para m=2 sabemos por a que det(A) es 2 , luego rg(A)=3.

8. (2 puntos) Sean I la matriz identidad de orden 2 y las matrices

A =

(1 6

0 1

)y B =

(1 1

1 0

)a) Calcule, si existe, la inversa de A.

b) Halla las matrices X e Y que son soluciones del sistema:

AX+BY=3I

AX-BY=I


Solución:

a) det(A) = 1 6= 0⇒ ∃A−1 y A−1 = A =

(1 −6

0 1

)

b)

{AX +BY = 3I

AX −BY = I⇒ 2AX = 4I ⇒ AX = 2I ⇒ X = 2A−1 =

(2 −12

0 2

){AX +BY = 3I

AX −BY = I⇒ 2BY = 2I ⇒ BY = I ⇒ Y = B−1 =

(0 1

1 −1

)


A =

1 0 0

0 a 0

0 −a 2a− 1

2.1. ÁLGEBRA 29




B =

(3 1

5 2

), C =

(1 2 3

−1 2 −3

), D =

(3 1 2

0 0 0

)resuelve el sistema. BXA = Y

1

3Y + C = D


Solución:

a) det(A)=a(2a-1). ∃A−1 ⇔ a 6= {0, 1/2}

b) Podemos calcular la inversa por el método de Gaus- Jordan o por la fórmula. En este caso es

sencillo por el primer método:

1 0 0 | 1 0 0

0 a 0 | 0 1 0

0 −a 2a− 1 | 0 0 1

∼

0 0 0 | 1 0 0

0 a 0 | 0 1 0

0 0 2a− 1 | 0 1 1

∼

1 0 0 | 1 0 0

0 1 0 | 01

a0

0 0 1 | 01

2a− 1

1

2a− 1

⇒ A−1 =

1 0 0

01

a0

01

2a− 1

1

2a− 1

c)

BXA = Y1

3Y + C = D

⇒

{X = B−1Y A−1

Y = 3(D − C)

Y =

(6 −3 −3

3 −6 9

)

X = B−1Y A−1 =

(2 −1

−5 3

)(6 −3 −3

3 −6 9

)1 0 0

0 1 0

0 1 1

=

(9 −15 −15

−21 39 42

)


2.1.2. Determinantes

1. Sea A una matriz cuadrada de orden 3 y con determinante |A|=2. Calcula los determinantes de la

matriz 2A ,la inversa A−1 y la traspuesta At.


Solución:

A es una matriz 3x3. |2A| = 23 · |A| = 16

|A| · |A−1| = 1⇒ |A−1| = 1

|A|=

1

2|At| = |A| = 2

2. (2 puntos)

a) Determina los valores de a que cumplen la ecuación:∣∣∣∣∣∣∣a 1 1

1 a 1

4 2 a

∣∣∣∣∣∣∣ = 0


Solución:

Resolvemos el determinante aplicando la regla de Sarrus:∣∣∣∣∣∣∣a 1 1

1 a 1

4 2 a

∣∣∣∣∣∣∣ = a3 + 4 + 2− 4a− 2a− a = a3 − 7a+ 6 = 0

Resolviendo la ecuación obtenemos las soluciones:

a = 1, a = 2, a = −3


A =

a 1 1 1

1 a 1 1

1 1 a 1

1 1 1 1

tiene de determinante |A|=(a− 1)3. A partir de este hecho, halla el determinante de las siguientes

matrices:

B =

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

, C =

a+ 1 1 1 1

2 a 1 1

2 1 a 1

2 1 1 1

, D =

2a 2 2 2

1 a 1 1

1 1 a 1

1 1 1 1


2.1. ÁLGEBRA 31

Solución:

B es la matriz que se obtiene al sustituir a por cero en A. Luego det(B)=-1

C, la columna C1 de C se obtiene como suma de C1+C4 de A, luego el det(C)=det(A)=

(a− 1)3

D =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2a 2 2 2

1 a 1 1

1 1 a 1

1 1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 2 ·

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a 1 1 1

1 a 1 1

1 1 a 1

1 1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 2 · det(A) = 2(a− 1)3

4. a) Determine el rango de la matriz: A =

2 3 4

−1 0 1

2 2 2

b) Sabiendo que

∣∣∣∣∣∣∣a b c

−1 0 1

2 2 2

∣∣∣∣∣∣∣ = 2 calcule

∣∣∣∣∣∣∣−2 0 2

a b c

a− 4 b− 4 c− 4

∣∣∣∣∣∣∣ .Julio 2018-Opción B

Solución:

a) |A| =

∣∣∣∣∣∣∣2 3 4

−1 0 1

2 2 2

∣∣∣∣∣∣∣ = 6− 8− 4 + 6 = 0⇒ rg(A) < 3

∣∣∣∣∣ 2 3

−1 0

∣∣∣∣∣ = 3 6= 0⇒ rg(A) = 2

b)

∣∣∣∣∣∣∣−2 0 2

a b c

a− 4 b− 4 c− 4

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣−2 0 2

a b c

a− 4 b− 4 c− 4

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣−2 0 2

a b c

a b c

∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣−2 0 2

a b c

−4 −4 −4

∣∣∣∣∣∣∣ = 0−4·

∣∣∣∣∣∣∣−1 0 1

a b c

2 2 2

∣∣∣∣∣∣∣ =

4

∣∣∣∣∣∣∣a b c

−1 0 1

2 2 2

∣∣∣∣∣∣∣ = 8


2.1.3. Sistemas de Ecuaciones

1. Discute y resuelve según los valores de a, el siguiente sistema de ecuaciones:x− y + z = a

x+ y + z = 1

3x− 3y + az = a


Solución:

Podemos hacerlo calculando el determinante de A o mediante la comprobación de los rangos de A

y la matriz ampliada (A∗) por el método de Gauss. En este caso, sale sencillo usando el método de

Gauss ya que es fáicl hacer ceros y llegar a un sistema escalonado.1 −1 1 | a

1 1 1 | 1

3 −3 a | a

(F2 − F1); (F3 − 3 ∗ F1)⇒

1 −1 1 | a

0 2 0 | 1− a0 0 a− 3 | −2a

Estudiamos los rangos analizando la diagonal principal

Si a− 3 = 0⇔ a = 3⇒ rg(A) = 2 6= rg(A∗) = 3⇒ Sistema incompatible (SI).

Si a 6= 3 ⇒ rg(A) = rg(A∗) = 3 = No de incógnitas. ⇒ Sistema Compatible Determinado

(SCD). Calculamos las soluciones a partir de las matrices diagonalizadas:

x− y + z = a

2y = 1− a

(a− 3)z = −2a

⇒

x = a+ y − z

y =1− a

2

z =−2a

a− 3

⇒

x = a+1− a

2+

2a

a− 3=a2 + 2a− 3

2(a− 3)

y =1− a

2

z =−2a

a− 3

Otro método de resolución (más largo) sería mediante el calculo del determinante de A y aplicar la

regla de Cramer.

2. Discute el sistema dependiendo de los valores del parámetro a y resuelve completamente los casos

en que sea posible:

x− 2y + z = −2

−x+ y + az = 1

2x+ ay + 4z = −2


Solución:

Este tipo de ejercicios se pueden hacer por Gauss y por el estudio de los menores de A. En este

caso lo haré por Gauss: 1 −2 1 | −2

−1 1 a | 1

2 a 4 | −2

(F2+F1);(F3−2∗F1)−−−−−−−−−−−−−→

1 −1 1 | a

0 −1 a+ 1 | −1

0 a+ 4 2 | 2

F2(a+4)+F3)−−−−−−−−→

1 −1 1 | a

0 −1 a+ 1 | −1

0 0 a2 + 5a+ 6 | −a− 2

Resolvemos a2 + 5a+ 6 = 0⇒ a = −2, a = −3

2.1. ÁLGEBRA 33

Si a 6= −3 y a 6= −2 ⇒ rg(A) = rg(A∗) = 3 = No incógnitas⇒ Sistema compatible determi-

nado (SCD)cuyas soluciones son:

z =−1

a+ 3

y =2

a+ 3

x = −2a+ 1

a+ 3

Si a = −3⇒ rg(A) = 2 6= rg(A∗) = 3 Sistema incompatible.

Si a = −2⇒ rg(A) = 2 = rg(A∗) = 2 < No incógnitas=3⇒ Sistema compatible indeterminado

(SCI) cuyas soluciones son:x = −3t

y = 1− tz = t

con t ∈ R ⇔ (x, y, z) = (−3t, 1− t, t) con t ∈ R

3. Discute y resuelve, según los valores de a, el siguiente sistema de ecuaciones:x+ (1 + a)y − az = 2a

x+ 2y − z = 2

x+ ay + (1 + a)z = 1


Solución:

Resolvemos el determinate de A.∣∣∣∣∣∣∣1 1 + a −a1 2 −1

1 a 1 + a

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣1 1 + a −a0 1− a −1 + a

0 −1 1 + 2a

∣∣∣∣∣∣∣ = (1− a)

∣∣∣∣∣ 1 −1

−1 1 + 2a

∣∣∣∣∣ = 2a(1− a)

Si a 6= {0, 1} ⇒ rg(A) = 3 = rg(A∗) = n incógnitas ⇒ SCD

Aplicamos la regla de Cramer:

x =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2a 1 + a −a2 2 −1

1 a 1 + a

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣|A| =

(2a+ 3)(a− 1)

2a(1− a)=−2a− 3

2a

y =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2a −a1 2 −1

1 1 1 + a

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣|A| =

−(2a+ 3)(a− 1)

2a(1− a)=

2a+ 3

2a

z =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 + a 2a

1 2 2

1 a 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣|A| =

3− 2a

2a

Si a = 0⇒ (A|A∗) =

1 1 0 | 0

1 2 −1 | 2

1 0 1 | 1

34 2. RECOPILACIÓN DE EJERCICIOS POR TEMAS∣∣∣∣∣1 1

1 2

∣∣∣∣∣ = 1⇒ rg(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣1 1 0

1 2 2

1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 2 + 2− 1 = 3 6= 0⇒ rg(A∗) = 3. Luego es un SI.

a = 1 ⇒ (A|A∗) =

1 2 −1 | 2

1 2 −1 | 2

1 1 2 | 1

. Se ve que F1=F2 y

∣∣∣∣∣1 1

1 2

∣∣∣∣∣ = 1, rg(A) = rg(A∗) =

2⇒ SCI

(A|A∗) =

(1 2 −1 | 2

1 1 2 | 1

)=

(1 2 −1 | 2

0 1 −3 | 1

)⇒

{x = 2− 2y + z

y = 1 + 3z⇒

{x = −5z

y = 1 + 3z

Solución: (x, y, z) = (−5λ, 1 + 3λ, λ), λ ∈ R

4. Discute el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro a y resuelve cuando sea

compatible determinado: (a− 3)y + 4z = 2

y − 2z = −1

ax− y + 2z = a


Solución:

Resolvemos el determinante de A.∣∣∣∣∣∣∣0 a− 3 4a

0 1 −2

a −1 2

∣∣∣∣∣∣∣ = a

∣∣∣∣∣a− 3 4

1 −2

∣∣∣∣∣ = a(−2a+ 6− 4) = −2a(a− 1) = 0⇔ a = 0 o a = 1

Si a 6= {0, 1} ⇒ rg(A) = 3 = rg(A∗) = n incógnitas ⇒ SCD

Podemos resolverlo por Cramer o por Gauss. En este caso, lo haré por el método de Gauss:

(A|A∗) =

0 a− 3 4 | 2

0 1 −2 | −1

a −1 2 | a

∼0 a− 3 4 | 2

0 1 −2 | −1

a 0 0 | a− 1

∼0 a− 3 4 | 2

0 a− 1 0 | 0

a 0 0 | a− 1

⇒

(a− 3)y + 4z = 2

(a− 1)y = 0

ax = a− 1

⇒

z =

1

2y = 0

x =a− 1

a

⇒ (x, y, z) =

(a− 1

a, 0,

1

2

)

Si a = 0⇒ (A|A∗) =

0 −3 4 | 2

0 1 −2 | −1

0 −1 2 | 0

Cogemos un menor de orden 2 de A:

∣∣∣∣∣−3 4

1 −2

∣∣∣∣∣ = 4 6= 0⇒ rg(A) = 2

Miramos el menor de orden 3 de A*:

∣∣∣∣∣∣∣−3 4 2

1 −2 −1

−1 2 0

∣∣∣∣∣∣∣ = 4 + 4− 4− 6 = −2 6= 0 =⇒ rg(A∗) = 3

Como rg(A) 6= rg(A*), el sistema es Incompatible (SI).

2.1. ÁLGEBRA 35

Si a = 1⇒ (A|A∗) =

0 −2 4 | 2

0 1 −2 | −1

1 −1 2 | 1

∼0 0 0 | 0

0 1 −2 | −1

1 −1 2 | 1

⇒ rg(A) = rg(A∗) =

2⇒ SCI

5. Enuncia el teorema de Rouché-Frobenius. En función del parámetro a, discute y resuelve cuando

sea posible el sistema de ecuaciones lineales:x+ y + z = a

x+ y + az = 1

x+ ay + z = 1


Solución:

Teorema de Rouché-Frobenius: un sistema de ecuaciones lineales, S, es compatible sí, y solo sí, el

rango de la matriz de los coe�cientes,A, es igual al rango de la matriz ampliada A∗. Es decir, S es

compatible ⇐⇒ rango (A) = rango (A∗).Calculamos el rango de A y A∗ mediante el método de Gauss:1 1 1 | a

1 1 a | 1

1 a 1 | 1

(F2−F1);(F3−∗F1)−−−−−−−−−−−−→

1 1 1 | a

0 0 a− 1 | 1− a0 a− 1 0 | 1− a

F2←→F3−−−−−−→

1 1 1 | a

0 a− 1 0 | 1− a0 0 a− 1 | 1− a

Si a = 1⇒ rg(A) = 1 = rg(A∗) < 3⇒ S. C. Indeterminado

{x = λ, y = µ, z = a− λ− µ}, λ, µ ∈ R

Si a 6= 1⇒ rg(A) = 3 = rg(A∗)⇒ S. C. Determinadox+ y + z = a

(a− 1)y = 1− a(a− 1)z = 1− a

⇒

x = a+ 2

y = −1

z = −1

6. (3 puntos) Discute el sistema de ecuaciones siguiente, según los valores del parámetro b, y resuelve

cuando sea compatible: bx+ y + z = 3

x+ y + z = 3

2x+ y + bz = 3


Solución:

Podemos hacerlo mediante determinantes o haciendo ceros por el método de Gauss. Observando la

matriz parece sencillo por el método de Gauss.


Método de Gaussb 1 1 | 3

1 1 1 | 3

2 1 b | 3

∼ b 1 1 | 3

1− b 0 0 | 0

2− b 0 b− 1 | 0

.

Aunque no esté escalonada es sencillo calcular su rango.

• Si b=1 ⇒ rg(A) = 2 = rg(A∗) < 3 = no incógnitas ⇒ S.C.I

• Si b 6= 1 ⇒ rg(A) = 3 = rg(A∗) =no incógnitas⇒ S.C.Dbx+ y + z = 3

(1− b)x = 0

(2− b)x+ (b− 1)z = 0

⇒

y = 3

x = 0

z = 0

⇒ (x,y,z)=(0,3,0)

Mediante determinantes

det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣b 1 1

1 1 1

2 1 b

∣∣∣∣∣∣∣ = b2 + 2 + 1− 2− b− b = b2 − 2b+ 1 = (b− 1)2

det(A) = 0⇔ b = 1. Luego:

• Si b 6= 1 ⇒ rg(A) = 3 = rg(A∗) =no incógnitas⇒ S.C.D

Podemos resolverlo por la regla de Cramer o haciendo ceros, obteniendo:bx+ y + z = 3

(1− b)x = 0

(2− b)x+ (b− 1)z = 0

⇒

y = 3

x = 0

z = 0

⇒ (x,y,z)=(0,3,0)

• Si b=1 ⇒

1 1 1 | 3

1 1 1 | 3

2 1 1 | 3

∼0 0 0 | 0

1 1 1 | 3

2 1 1 | 3

. ⇒ rg(A) = 2 = rg(A∗) < 3 = no

incógnitas ⇒ S.C.I

7. (3 puntos) Discute el siguiente sistema de ecuaciones, según el valor de a y resuélvelo cuando tenga

solución única: ax+ y = a

(a+ 1)x+ y + z = a+ 3

y + z = 2


Solución:

Resolvemos el determinante de A.∣∣∣∣∣∣∣a 1 0

a+ 1 1 1

0 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣a 1 0

a+ 1 0 0

0 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = −(a+ 1) = 0⇔ a = −1

Si a = −1⇒ (A|A∗) =

−1 1 0 | −1

0 1 1 | 2

0 1 1 | 2

. Se observa que F2=F3 tanto en A como en A*,

luego rg(A)=rg(A*)=2 y, por lo tanto, es un SCI.

2.1. ÁLGEBRA 37

Si a 6= −1⇒ (A|A∗) =

a 1 0 | a

a+ 1 1 1 | a+ 3

0 1 1 | 2

∼ a 1 0 | a

a+ 1 0 0 | a+ 1

0 1 1 | 2

⇒

ax+ y = a

(a+ 1)x = a+ 1

y + z = 2

⇒

y = 0

x = 1

z = 2

⇒ (x, y, z) = (1, 0, 2)

8. (3 puntos) Discute el siguiente sistema de ecuaciones, según el valor de a y resuélvelo cuando sea

compatible determinado: x+ y + z = 2a− 1

2x+ y + az = a

x+ ay + z = 1


Solución:

Calculamos el det(A)=

∣∣∣∣∣∣∣1 1 1

2 1 a

1 a 1

∣∣∣∣∣∣∣ = −a2+3a−2 = −(a−2)(a−1). Si det(a) 6= 0 rg(A)=rg(A∗)=3=no

de incógnitas. Por los tanto:

Si a 6= {2, 1} ⇒ Sistema Compatible Determinado (SCD).

Si a = 1,

1 1 1 |12 1 1 |11 1 1 |1

, tenemos que F1=F3 y

∣∣∣∣∣1 1

1 2

∣∣∣∣∣ = −1 6= 0 ⇒ rg(A) = rg(A∗) = 2 <

no incógnitas ⇒ SCI.

Si a = 2,

∣∣∣∣∣1 1

1 2

∣∣∣∣∣ = −1 y

∣∣∣∣∣∣∣1 1 3

2 2 2

1 2 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 4⇒ rg(A) = 2 < rg(A∗) = 3⇒ SI

Solución del sistema para a 6= {2, 1}, SCD:Lo podemos resolver aplicando la reglas de Cramer o mediante el método de Gauss. Aplicaré este

segundo método:1 1 1 | 2a− 1

2 1 a | a

1 a 1 | 1

→1 1 1 | 2a− 1

0 −1 a− 2 | 2− 3a

0 a− 1 0 | 2− 2a

⇒

x = 2a− 1− y − z → x = 2a2−2a−2

(a− 2)z = 2− 3a+ y → z = −3aa−2

(a− 1)y = 2− 2a→ y = 2−2aa−1 = −2

La solución es: {x, y, z} =

{2a2 − 2

a− 2,−2,

−3a

a− 2

}


9. (3 puntos) Sean A =

1 b 0

2 1 2

3 3 b

y B =

−2

3

−b/2

a) Determina los valores de b para los cuales la matriz A tiene inversa.

b) Discute, según los valores de b, el sistema de ecuaciones lineales A

xyz

= B

c) Resuelve el sistema anterior para b=-2.


Solución:

a) Existe A−1 si solo si det(A) 6= 0. det(A) = −2b2 + 7b− 6 = 0⇔ b = 2 y b =3

2b) Discute el sistema.

Si b 6= {2, 3

2} ⇒ Sistema Compatible Determinado (SCD).

Si b = 2,

∣∣∣∣∣1 2

2 1

∣∣∣∣∣ = −3 y

∣∣∣∣∣∣∣1 2 3

−2 3 −1

0 2 2

∣∣∣∣∣∣∣ = 4⇒ rg(A) = 2 < rg(A∗) = 3⇒ SI

Si b =3

2. Si observamos A∗ =

1 32 0 | −2

2 1 2 | 3

3 3 32 | −3

4

∼2 3 0 | −4

2 1 2 | 3

4 4 2 | −1

se ve que

F3=F1+F2, luego rg(A) = rg(A∗) = 2 < 3 = no incógnitas ⇒ SCI. (También podría-

mos comprobar que los tres menores de orden 3 valen cero).

Si b = −2 el sistema es SCD. Tenemos A∗ =

1 −2 0 | −2

2 1 2 | 3

3 3 −2 | 1

, podemos resolverlo

por Cramer o por Gauss, obteniendo: (x, y, z) = (0, 1, 1)

10. (3 puntos) Sea c un número real y el sistema de ecuaciones lineales:

cx+ y + cz = 1

x+ cy + z = c2

x+ y + cz = c3

a) Calcule el determinante de la matriz de los coe�cientes y determine para qué valores de c el

sistema anterior es compatible: compatible determinado y compatible indeterminado.

b) Resolver sistema anterior cuando c = 2.


Solución:

a) Calculamos |A| =

∣∣∣∣∣∣∣c 1 c

1 c 1

1 1 c

∣∣∣∣∣∣∣ = c3 + c+ 1− c2 − c− c = c3 − c2 − c+ 1 = (c− 1)2(c+ 1).

det(A) 6= 0⇔ c 6= ±1.

2.1. ÁLGEBRA 39

Si c 6= ±1⇒ rg(A) = rg(A∗) = 3 = no incógnitas ⇒ SCD

Si c=1, A|A∗ =

1 1 1 | 1

1 1 1 | 1

1 1 1 | 1

⇒ rg(A) = rg(A∗) = 1 < 3 no incógnitas ⇒ SCI

Si c=-1, (A|A∗) =

−1 1 −1 | 1

1 −1 1 | 1

1 1 −1 | −1

∼−1 1 −1 | 1

0 0 0 | 2

0 2 −2 | 0

⇒ rg(A) = 2 < rg(A∗) = 3⇒ SI

b) c= 2, A|A∗ =

2 1 2 | 1

1 2 1 | 4

1 1 2 | 8

∼2 1 2 | 1

0 3 01 | 7

0 1 2 | 15

⇒

2x+ y + 2z = 1→ 2x = 1− y − 2z = −14→ x = −7

3y = 7→ y = 7/3

y + 2z = 15→ z = 19/3

⇒

2x = 1− y − 2z = −14→ x = −7

y = 7/3

z = 19/3

⇒ Solución: (x, y, z)=(−7, 7/3, 19/3)

11. (3 puntos) Discuta, en función del parámetro b, el sistema de ecuaciones siguiente y resuélvalo

cuando sea compatible.

bx+ y + z = b2

x− y + z = 1

3x− y − z = 1

6x− y + z = 3b


Solución:

Tenemos ordenando las ecuaciones: A|A∗ =

1 −1 1 | 1

3 −1 −1 | 1

6 1 1 | 3b

b 1 1 | b2

.

Como

∣∣∣∣∣∣∣1 −1 1

3 −1 −1

6 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = −10⇒ rg(A) = 3. Calculamos el determinante de A∗:

|A∗| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 1 | 1

3 −1 −1 1

6 −1 1 3b

b 1 1 b2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 1 1

4 −2 0 2

5 0 0 3b− 1

b− 1 2 0 b2 − 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . =

∣∣∣∣∣∣∣4 −2 2

5 0 3b− 1

b− 1 2 b2 − 1

∣∣∣∣∣∣∣ .

=

∣∣∣∣∣∣∣4 −2 2

5 0 3b− 1

b+ 3 0 b2 + 1

∣∣∣∣∣∣∣ . = 2

∣∣∣∣∣ 5 3b− 1

b+ 3 b2 + 1

∣∣∣∣∣ . = 2[5b2+5−(3b−1)(b+3)] = 2(2b2−8b+8) = 4(b−2)2.

Si b 6= 2⇒ Rg(A) = 3 < Rg(A∗) = 4⇒ SI


Si b = 2 ⇒ Rg(A) = 3 = Rg(A∗) = no incógnitas ⇒ SCD. Lo resolvemos por el método de

Gauss:1 −1 1 | 1

3 −1 −1 | 1

6 −1 1 | 6

=

5 0 0 | 5

9 −2 0 | 7

6 −1 1 | 6

⇒ x=1, y=1, z=1

12. (3 puntos) Sea el sistema de ecuaciones:cx+ 3y − z = −3

(x+ cy + z = c

cx+ y + z = 1


b) Halla la solución o soluciones cuando el sistema sea compatible.


Solución:

a) Calculamos el determinante de A.∣∣∣∣∣∣∣c 3 −1

1 c 1

c 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = c2 + 3c− 1 + c2 − c− 3 = 2(c2 + c− 2) = 2(c− 1)(c+ 2)

Si c 6= 1,−2⇒ rg(A) = rg(A∗) = 3 =No incógnitas ⇒ SDC

Si c = 1⇒ (A|A∗) =

1 3 −1 | −3

1 1 1 | 1

1 1 1 | 1

. Se observa que F2= F3 y

∣∣∣∣∣1 2

1 1

∣∣∣∣∣ = −1. Por lo

tanto, rg(A) = rg(A∗) = 2 < 3⇒ SCI

Si c = −2⇒ (A|A∗) =

−2 3 −1 | −3

1 −2 1 | −2

−2 1 1 | 1

. Tenemos:

∣∣∣∣∣−2 3

1 −2

∣∣∣∣∣ = 1⇒ rg(A) = 2

∣∣∣∣∣∣∣−2 3 −3

1 −2 −2

2 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 4− 12− 3− 12− 4− 3 = −30⇒ rg(A∗) = 3

Como no coinciden los rangos el sistema es incompatible SI.

b) Resolvamos ambos casos:

Si c 6= 1,−2 era SCD. Lo resolvemos por la regla de Cramer:

• x =

∣∣∣∣∣∣∣−3 3 −1

c c 1

1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣det(A)

=−6c+ 6

2(c+ 2)(c− 1)=

−6(c− 1)

2(c+ 2)(c− 1=−3

c+ 2

• y =

∣∣∣∣∣∣∣c −3 −1

1 c 1

c 1 1

∣∣∣∣∣∣∣det(A)

=2c2 − 4c+ 2

2(c+ 2)(c− 1)==

c− 1

c+ 2

2.1. ÁLGEBRA 41

• z =

∣∣∣∣∣∣∣c 3 −3

1 c c

c 1 1

∣∣∣∣∣∣∣det(A)

=6c2 − 6

2(c+ 2)(c− 1)=

3(c+ 1)

c+ 2

Si c=1, el sistema era compatible determinado. Sea z=t:

(A|A∗) =

(1 3 | −3 + t

1 1 | 1− t

)∼

(1 3 | −3 + t

0 2 | −4 + 2t

)⇒ y = t−2;x = t−3−3y = −2t+3

Solución: (x, y, z) = (−2t+ 3, t− 2, t), t ∈ R

Sea el sistema de ecuaciones: cx+ y − 2z = 6

cx− 2y + z = 0

−2x+ y + cz = −6




Solución:

a) Calculamos el determinante de A: |A| =

∣∣∣∣∣∣∣c 1 −2

c −2 1

−2 1 c

∣∣∣∣∣∣∣ = −2c2 − 2 − 2c + 8 − c − c2 =

−3(c+ 2)(c− 1). Por lo tanto:

Si c 6= {−2, 1} ⇒ rg(A) = rg(A∗) = 3 =n incógnitas ⇒ SCD.

Si c = −2, podemos hacerlo por Gauss o mediante determinantes.∣∣∣∣∣∣∣−2 1 6

−2 −2 0

−2 1 −6

∣∣∣∣∣∣∣ = −24− 12− 24− 12 = −72 6= 0⇒ rg(A∗) = 3 > rg(A) = 2⇒ SI

Si c = 1, tenemos (A|A∗) =

1 1 −2 | 6

1 −2 1 | 0

−2 −1 1 | −6

. Es sencillo observar que F3=-F1-F2

y que cualquier menor de ordeb 2 es distinto de cero, luego rg(A) = rg(A∗) = 2⇒ SCI

b) El caso c=1, concide con el SCI:

(A|A∗) =

1 1 −2 | 6

0 3 −3 | 6

0 3 −3 | 6

=

(1 1 −2 | 6

0 1 −1 | 2

)⇒

z = t

y = 2 + t

x = 4 + t

, t ∈ R


A =

1 1 a

1 a 1

a 1 1




A

xyz

=

1

1

1




Solución:

a) A =

1 1 a

1 a 1

a 1 1

⇒ det(A) = a+ a+ a− a3 − 1− 1 = −a3 + 3a− 2 = −(a− 1)2(a+ 2)

Existe A−1 ⇔ a 6= {−2, 1}


Si a 6= {−2, 1} ⇒ rg(A) = rg(A∗) = 3 =n. incógnitas ⇒ SCD

Si a = 1⇒

1 1 1 | 1

1 1 1 | 1

1 1 1 | 1

⇒ rg(A) = rg(A∗) = 1⇒ SCI

Si a = −2⇒

1 1 −2 | 1

1 −2 1 | 1

−2 1 1 | 1

∣∣∣∣∣1 1

1 −2

∣∣∣∣∣ = −3⇒ rg(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣1 1 1

1 −2 1

−2 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = −9⇒ rg(A∗) = 3

⇒ SI

2.2. GEOMETRÍA 43

2.2. Geometría

2.2.1. Vectores

1. Encuentra un vector de módulo 1 que sea ortogonal a los vectores de coordenadas (1,0,1) y (1,2,0).


Solución:

Un vector ortogonal a los vectores −→u = (1, 0, 1) y −→v = (1, 2, 0) es su producto vectorial −→w = −→u x−→v :

−→w = −→u x−→v =

∣∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

1 0 1

1 2 0

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣0 1

2 0

∣∣∣∣∣−→i −∣∣∣∣∣1 1

1 0

∣∣∣∣∣−→j +

∣∣∣∣∣1 0

1 2

∣∣∣∣∣−→k = −2−→i +−→j + 2

−→k = (−2, 1, 2)

Para hacerlo unitario, dividimos el vector por su módulo: −→w =√

(−2)2 + 12 + 22 = 3 Luego el

vector buscado es:

−→w1 =

(−2

3,

1

3,

2

3

)

2. Si a, b son dos parámetros no nulos, encuentra la relación que se debe dar entre ambos para que los

puntos A(1,0,0), B(a,b,0), C(a,0,b) y D(0,a,b) estén en el mismo plano. Determina la ecuación del

plano que contiene a los cuatro puntos.


Solución:

Para que los puntos A, B, C y D en el mismo plano, los vectores AB, AC y AD han de ser coplanarios

y por lo tanto el determinante que forman ha de ser cero.AB = (a− 1, b, 0)

AC = (a− 1, 0, b)

AD = (−1, a, b)

⇒

∣∣∣∣∣∣∣a− 1 b 0

a− 1 0 b

−1 a b

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇒ (a − 1)(−ab) − (a − 1)b2 − b2 = (1 − a)ab − ab2 =

ab(1− a− b) = 0⇒ a+ b = 1. Por lo tanto, la relación buscada es a+ b = 1

Calculamos el plano con los vectores AB, AC y AG (g un punto genérico del plano) teniendo en

cuenta la relación a+b=1:AB = (−b, b, 0)

AC = (−b, 0, b)AG = (x− 1, y, x)

⇒

∣∣∣∣∣∣∣x− 1 y z

−b b 0

−b 0 b

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇒ (x − 1)b2 + yb2 + zb2 = b2(x + y + z − 1) = 0 ⇒

x+ y + z − 1 = 0.

Por lo tanto, el plano buscado es: x+y+z-1=0

3. Encuentra un vector de módulo 1 que sea ortogonal a los vectores −→u = (1, 0, 1) y −→v = (2, 1, 0)



Solución:

Un vector ortogonal a los vectores−→u = (1, 0, 1) y−→v = (2, 12, 0) es su producto vectorial−→w = −→u×−→v :

−→w = −→u ×−→v =

∣∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

1 0 1

2 1 0

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣0 1

1 0

∣∣∣∣∣−→i −∣∣∣∣∣1 1

2 0

∣∣∣∣∣−→j +

∣∣∣∣∣1 0

2 1

∣∣∣∣∣−→k = −−→i + 2−→j +−→k = (−1, 2, 1)

Para hacerlo unitario, dividimos el vector por su módulo: −→w =√

(−1)2 + 22 + 12 = 3 Luego el

vector buscado es:

−→w1 =

(−1

3,

2

3,

1

3

)

4. Dibuja dos vectores y el vector diferencia de ambos. Calcula el ángulo que forman dos vectores

distintos u y v que tienen el mismo módulo que el vector diferencia de ambos u-v. (puede serte útil

el dibujo previo).


Solución:

Sabemos que |−→u | = |−→v | = |−−−→u− v|, entonces u, v y u-v forman un triángulo equilátero, luego el

ángulo que forman u y v es de 60o.

Otra forma más precisa es deducirlo a través de las fórmulas del producto escalar:

|u− v|2 = (u− v) · (u− v) = |u|2 + |v|2− 2u · v = |u|2 + |v|2− 2|u||v|cosα, Como |u| = |v| = |u− v|:|u|2 = 2|u|2 − 2|u|2cosα⇒ 1 = 2− 2cosα⇒ cosα = 1/2⇒ α = 60o


a) Halla los valores de a para los cuales los vectores −→u ,−→v son ortogonales.

b) Determina los valores de a para los cuales el vector −→w está en el plano que contiene a O(0,0,0)

y tiene por vectores directores a −→u ,−→v .


Solución:

a) −→u y −→v son ortogonales (perpendiculares) si −→u · −→v = 0.−→u · −→v = a = 0. Luego a debe ser 0.

2.2. GEOMETRÍA 45

b) Para que w esté en el mismo plano que u y v, los vectores tienen que ser linealmente indepen-

dientes o, visto de otro modo, el volumen del paralepípedo que forman ha de ser cero. Luego

[−→u ,−→v ,−→w ] = 0

[−→u ,−→v ,−→w ] =

∣∣∣∣∣∣∣1 a a

0 0 1

1 1 a

∣∣∣∣∣∣∣ = −

∣∣∣∣∣1 a

1 1

∣∣∣∣∣ = a− 1 = 0⇔ a = 1

6. (3 puntos) Dados los vectores −→u = (2,−3, 5), −→v = (1, 2,−2), −→w = (2k,−1, k).

a) Calcula el valor de k para que los vectores sean linealmente dependientes.

b) Compruebe que para k=2 los vectores forman una base del espacio euclídeo tridimensional.

c) Halla las coordenadas del vector −→a = (15,−11, 18) respecto de la base del apartado anterior


Solución:

a) u, v y w son linealmente dependientes ⇔ [−→u ,−→v ,−→w ] = 0

[−→u ,−→v ,−→w ] =

∣∣∣∣∣∣∣2 −3 5

1 2 −2

2k −1 k

∣∣∣∣∣∣∣ = −9− k = 0⇔ k = −9

b) Para k=2 sabemos por el apartado anterior que los tres vectores son linealmente independientes

y por lo tanto forman base de V 3.

c) Tenemos que hallar (x, y, z) que veri�quen −→a = (15,−11, 18) = x−→u + y−→v + z−→w2x+ y + 4z = 15

−3x+ 2y − z = −11

5x− 2y + 2z = 18Resolvemos el sistema por Gauss haciendo ceros en la segunda columna: 2 1 4 | 15

−2 2 −1 | −11

5 −2 2 | 18

∼ 2 1 4 | 15

−7 0 −9 | −41

9 0 10 | 48

∼ 2 1 4 | 15

−7 0 −9 | −41

63 0 70 | 336

∼

2 1 4 | 15

−7 0 −9 | −41

0 0 −11 | −33

⇒ z = 3;−7x− 27 = −41⇒ x = 2; y = −1

Solución: −→a = (2,−1, 3) en {−→u ,−→v ,−→w }

7. (2 puntos) Sea m un número real y los vectores−→u = (1, 0, 1) y −→v = (2,−1,m).

a) Halla todos los vectores de módulo 3 que son perpendiculares a los vectores −→u y −→v .

b) Determine, si existe, un valor de m tal que el correspondiente vector −→v forma un ángulo de

45o grados con el vector −→u .



Solución:

a) Calculamos −→w , el vector unitario perpendicular a −→u y −→v . El vector buscado es 3−→w . Sabemos

que −→u ×−→v es perpendicular a −→u y −→u :

−→u ×−→v =

∣∣∣∣∣∣∣i j k

1 0 1

2 −1 m

∣∣∣∣∣∣∣ = (1, 2−m,−1)

|−→u ×−→v | =√

1 + (2−m)2 + 1 =√m2 − 4m+ 6

Por lo tanto el vector genérico buscado serrá:

3−→w =

(3√

m2 − 4m+ 6,

6− 3m√m2 − 4m+ 6

,−3√

m2 − 4m+ 6

)

b)

cosα =−→u · −→v|−→u ||−→v |

= cos45o =

√2

2

|−→u | =√

2, |−→u | =√

5 +m2,−→u · −→v = 2 +m

⇒ 2 +m√2√

5 +m2=

√2

2⇒√

5 +m2 = 2 +m⇒

5 +m2 = (2−m)2 ⇒ m =1

4

8. (2 puntos) Sean los vectores −→u = (−1, 4, 8) y −→v = (1, 2,−2)

a) Demuestre que el ángulo de los vectores −→u y −→v es mayor que 90o.

b) Calcule un vector perpendicular a −→u y −→v que tenga módulo 1.


Solución:

a) El signo del coseno del ángulo que forman dos vectores es igual al signo del producto escalar

de los dos vectores. En este caso tenemos que −→u · −→v = −1 + 8− 16 = −9 < 0⇒ el ángulo es

mayor que 90o.

b) Calculamos el producto vectorial y dividiremos por su modulo:

−→u ×−→v =

∣∣∣∣∣∣∣i j k

−1 4 8

1 2 −2

∣∣∣∣∣∣∣ = (−24, 6,−6)

|−→u ×−→v | =√

648 = 18√

2

El vector buscado es: −→w =

(−24

18√

2,

6

18√

2,−6

18√

2

)=

(−2√

2

3,

√2

6,−√

2

6

)

9. (2 puntos) Sea {e1, e2, e3} una base de R3, de modo que los vectores son unitarios y forman entre

si ángulos de 45o. Dados los vectores u = e1 + e2 y v = e1 − e2 + e3.

a) Calcula el módulo de los vectores u y v.

b) Calcula el coseno del ángulo formado por los vectores u y v.

2.2. GEOMETRÍA 47


Solución:

a) Aplicaremos la propiedad del producto escalar: |−→u |2 = −→u · −→u :

|−→u |2 = (e1 + e2) · (e1 + e2) = |e1|2 + |e2|2 + 2e1 · e2 = 1 + 1 + 2|e1|e2|cos45o = 2 + 2

√2

2=

2 +√

2⇒ |−→u | =√

2 +√

2

|−→v |2 = (e1 − e2 + e3) · (e1 − e2 + e3) = |e1|2 + |e2|2 + |e3|2 − 2e1 · e2 + 2e1 · e3 − 2e2 · e3 =

= 3− 2

√2

2− 2

√2

2+ 2

√2

2= 3−

√2⇒ |−→v | =

√3−√

2

b) Necesitamos calcular: u·v = (e1+e2)(e1−e2+e3) = e1e1−e1e2+e1e3+e1e2−e2e2+e2e3 =√

2

cosα =u · v|u| · |v|

=

√2√

2 +√

2√

3−√

2.


2.2.2. Puntos, rectas y planos

1. Si r es la recta que pasa por el punto P=(1,-1,1) y tiene como vector director (1,2,-2), ¾existe algún

valor de a para el cual la recta r está contenida en el plano 2x+3y+4z=a? En caso a�rmativo,

encuentra el valor de a. En caso negativo, razona tu respuesta.


Solución:

Para que una recta pertenezca a un plano se han de cumplir las siguientes condiciones: primero, que

el vector normal del plano y el vector director de la recta sean perpendiculares (producto escalar

sea 0) y, segundo, que un punto de la recta pertenezca al plano.

a) ¾−→Vd ⊥

−→Vπ?⇔

−→Vd ·−→Vπ = 0. Tenemos que

−→Vd = (1, 2,−2) y

−→Vπ = (2, 3, 4)⇒

−→Vd ·−→Vπ = 2+6−8 = 0

b) P (1,−1, 1) ∈ π ⇒ 2− 3 + 4 = a⇒ a = 3

Se podría hacer de otra forma, también sencilla, que es calcular a para que el plano contenga a dos

puntos de la recta: P(1,-1,1) y Q = P +−→Vd = (2, 1,−1) obteniendo el mismo resultado, a=3.

2. Determina para qué valores de a la recta

{2x+ y + z = 7

x− y + 3z = ay el plano de ecuación 3x+ az = 4 son

paralelos.


Solución:

Al ser paralelos la recta r y el plano, sus vectores directores son perpendiculares y, por tanto, su

producto escalar es nulo.2x+ y + z = 7

x− y + 3z = a

⇒ 3x+ 4z = 7 + a⇒ x = −43 z +

7 + a

3⇒ y = x+ 3z − a⇒ y =

5

3z +

7− 2a

3

r ≡

x =−4

3t+

7 + a

3

y =5

3t+

7− 2a

3

z = t

⇒−→Vr = (

−4

3,

5

3, 1) ≡ (−4, 5, 3) y VNπ = (3, 0, a)

Ha de ser−→Vr · VNπ = 0⇒ −12 + 3a = 0⇒ a = 4

3. Sean r, s las rectas del espacio dadas, respectivamente, por:

r ≡

{2x+ y + z = 4

x− y + z = 1, s ≡

{x+ z = 2

x+ 2y − 3z = a

2.2. GEOMETRÍA 49

Calcula para que valores de a las rectas se cortan en un punto. Halla dicho punto. Estudia la posición

relativa que tienen las rectas para el resto de valores de a.


Solución:

Calculamos el punto de intersección de ambas rectas por el método que deseemos. Con las dos

ecuaciones de r y la primera de s, resolvemos el sistema:

2x+ y + z = 4

x− y + z = 1

x+ z = 22 1 1 | 4

1 −1 1 | 1

1 0 1 | 2

F2 + F1;

2 1 1 | 4

3 0 2 | 5

1 0 1 | 2

F2− 3F3;

2 1 1 | 4

0 0 −1 | −1

1 0 1 | 2

⇒x = 1

y = 1

z = 1

Luego el punto de corte será P(1,1,1). Hagamos que veri�que la segunda ecuación de s:

1 + 2− 3 = a⇒ a = 0

Sabemos que si a = 0, las rectas se cortan el punto P(1,1,1).

Si a 6= 0 las rectas no se cortan, pueden cruzarse o ser paralelas. Para saber cuál de los casos

es debemos mirar a ver si los vectores directores son paralelos.

Si a 6= 0 las rectas no se cortan, pueden cruzarse o ser paralelas. Para saber cuál de los casos es

debemos mirar a ver si los vectores directores son paralelos.

Operamos en ambas rectas y obtenemos: −→vr = (−2, 1, 3) y −→vs = (−1, 2, 1). Es evidente que no son

paralelas ya que−2

16= 1

26= 3

1.

4. Calcula la ecuación de la recta r paralela al plano que pasa por los puntos A(1,1,0), B(0,1,1) y

C(1,0,1) y al plano de ecuación x+2y+3z=1 y que no esté contenida por ninguno de ellos.


Solución: El vector director de la recta r es perpendicular a los dos vectores directores de los

planos, por lo tanto lo hallaremos como el producto vectorial de ambos.

Calculamos primero el plano que pasa por A, B y C.

−−→AB = (−1, 0, 1)−→AC = (0,−1, 1)

−→AG = (x− 1, y − 1, z)

⇒ π2 :

∣∣∣∣∣∣∣x− 1 y − 1 z

−1 0 1

0 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣ =

0⇒ x+ y + z − 2 = 0{−→Vπ1 = (1, 2, 3)−→Vπ2 = (1, 1, 1)

⇒−→Vr =

−→Vπ1x

−→Vπ2 =

∣∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

1 2 3

1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = −i+ 2j − k = (−1, 2,−1) ≡ (1,−2, 1)

Ya tenemos el vector director de r, escogemos un punto que no pertenezca a ninguno de los dos

planos: P(0,0,0). La recta buscada es:

r : x =y

−2= z


5. La recta r de ecuaciónx+ 3

2=

y + 4

2=

z − 3

3y la recta s que pasa por los puntos P(1,0,2) y

Q(a,1,0) se cortan en un punto. Calcula el valor de a y el punto de corte.


Solución:

Para hallar la ecuación de la recta s, hallaremos el vector director que es el vector PQ, y con uno

de los puntos (tomaremos P) formalizaremos su ecuación paramétrica.{−−→PQ = (a− 1, 1,−2)

P (1, 0, 2)⇒ s :

x = 1 + (a− 1)t

y = t

z = 2− 2t

, r :

x = −3 + 2µ

y = −4 + 2µ

z = 3 + 3µ

Igualamos las coordenadas:

1 + (a− 1)t = −3 + 2µ

t = −4 + 2µ

2− 2t = 3 + 3µ

⇒

{2µ− t = 4

3µ+ 2t = −1⇒ µ = 1; t = −2

Con la primera ecuación y los valores de µ y t, calculamos a:

1− 2(a− 1) = −3 + 2⇒ 2a = −4⇒ a=-2

Ahora calculamos el punto de corte:x = −3 + 2 = −1

y = −4 + 2 = −2

z = 3 + 3 = 6

⇒ P1 = (−1,−2, 6)

6. Encuentra un vector perpendicular al plano de ecuaciones paramétricas:x = 2− 3λ+ µ

y = 4 + 5λ− µx = −2 + 4λ+ 2µ


Solución:

Tenemos diferentes formas de hacerlo. Podemos calcular la ecuación general del plano y sacar el

vector normal. También podemos calcular el producto vectorial de los vectores directores del plano.

Lo haré por el segundo método por ser más rápido:{ −→V1 = (−3, 5, 4)−→V2 = (1,−1, 21)

⇒−→VN =

−→V1x−→V2 =

∣∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

−3 5 4

1 −1 2

∣∣∣∣∣∣∣ = 14i+ 10j − 2k = (14, 10,−2) ≡ (7, 5,−1)

7. Determina una ecuación del plano que contiene a la rectax− 1

3=y + 4

1=z − 2

5y es paralelo a a

rectax

2=

y

−2=z

3. Encuentra tres puntos no alineados dentro del plano que has dado.


Solución:

El plano es generado por los dos vectores directores de la rectas y por el vector generador del plano

2.2. GEOMETRÍA 51

formado por un punto cualquiera de la primera recta (tomaremos el punto P indicado en esa ecua-

ción) y el punto G, generador del plano.P (1,−4, 2)−→vr = (3, 1, 5)−→vp = (−2,−2, 3)

−−→PG = (x− 1, y + 4, z − 2)

⇒

∣∣∣∣∣∣∣x− 1 y + 4 z − 2

3 1 5

−2 −2 3

∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇒ 13(x− 1) + (y + 4)− 8(z − 2) = 0⇒

El plano buscado es 13x+ y − 8z + 7 = 0.

Para encontrar tres puntos del plano no alineados lo podemos hacer de muchas formas, La más

sencilla es coger P y sumarle cada uno de los vectores generadores del plano:

P (1,−4, 2)

P1 =−−→OP +−→vr = (1,−4, 2) + (3, 1, 5) = (4,−3, 7)

P2 =−−→OP +−→vp = (1,−4, 2) + (−2,−2, 3) = (−1,−6, 5)

8. Prueba que para cualquier valor de a 6= 0, los planos x + ay − az = 0 y x + 2ay − 2az = 0 se

cortan en una recta r. Calcula la posición relativa de r respecto del plano que pasa por el origen de

coordenadas y los puntos A(1,0,-6) y B(0,2,a+3) (se supone que a 6= 0 para que r esté de�nida)


Solución:

Los vectores normales de los planos son: N1 = (1, a,−a) y N2 = (1, 2a,−2a). Dichos vectores no

son proporcionales ya que1

16= a

2a=

1

2. Por lo tanto, los planos no son paralelos y se han de cortar

en la recta: r :

{x+ ay − az = 0

x+ 2ay − 2az = 0

Hallamos el vector director de r: −→vr =

∣∣∣∣∣∣∣−→i−→j

−→k

1 a −a1 2a −2a

∣∣∣∣∣∣∣ = (0, a, a) ∼ (0, 1, 1)

Hallamos el plano π que pasa por O(0, 0, 0), A(1, 0,−6) y B(0, 2, a + 3). Los vectores generadores

del plano son−→OA = (1, 0,−6) y

−−→OB = B(0, 2, a+ 3). Por lo tanto:

π ≡

∣∣∣∣∣∣∣x y z

1 0 −6

0 2 a+ 3

∣∣∣∣∣∣∣ = 12x− (a+ 3)y + 2z = 0⇒ N3 = (12,−a− 3, 2)

El plano y la recta serán paralelos o coincidentes si vr ·N2 = 0 ⇔ −a − 3 + 2 = 0 ⇔ a = −1. Por

lo tanto:

Si a = −1 tenemos que P (0, 1, 1) ∈ r y P ∈ π. Luego r pertenece a π.

Si a 6= −1 entonces r y π son secantes.

9. Encuentra un valor de 0 6= a para que las rectas:{x+ y − 5z = −3

−2x+ z = 1y x+ 1 =

y − 3

a=z

2


sean paralelas. Para el valor de a que has encontrado, calcula la ecuación del plano que contiene a

ambas rectas.


Solución:

Calculamos el vector director de r (la primera recta):

−→vr =

∣∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

1 1 −5

−2 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ =−→i + 9

−→j + 2

−→j = (1, 9, 2)

Hallamos un punto P de la otra recta s y su vector director: P (−1, 3, 0) y −→vs = (1, a, 2)

Para que las rectas sean paralelas, −→vr y −→vs han de ser proporcionales:

1

1=

9

a=

2

2⇔ a = 1

Hallamos la ecuación del plano pedido. Para ello necesitamos un punto de la recta r: Q=(0,2,1).

El plano buscado pasa por P o Q y tiene de vectores directores −→vr = (1, 9, 2) y−−→PQ = (1,−1, 1):

π ≡

∣∣∣∣∣∣∣x y − 2 z − 1

1 9 2

1 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 11x+ (y − 2)− 10(z − 1) = 0⇔ π ≡ 11x+ y − 10z + 8 = 0

10. Sean A(2, -1,0), B(-2,1,0) y C(0,1,2) tres vértices consecutivos de un paralelogramo ABCD.

a) Determina el vértice de D

b) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro (punto de corte de sus diagonales) del

paralelogramo ABCD y qué es perpendicular al plano que lo contiene.


Solución:

a) Al ser un paralelogramo tenemos que D = C +−−→BA = (0, 1, 2) + (4,−2, 0) = (4,−1, 0).

b) El punto donde se cortan las diagonales E, es el punto medio de A y C: E =A+ C

2= (1, 0, 1)

El vector director de la recta será perpendicular a−−→AB = (−4, 2, 0) ∼ (−2, 1, 0) y

−−→BC =

(2, 0, 2) ∼ (1, 0, 1):

−→vr =

∣∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

−2 1 0

1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ =−→i + 2

−→j −−→j = (1, 2,−1)

Luego la recta buscada es: r :

x = 1 + λ

y = 2λ

z = 1− λcon λ ∈ R

11. (2 puntos)

a) Determina los valores de �a� que cumplen la ecuación:

2.2. GEOMETRÍA 53

∣∣∣∣∣∣∣a 1 1

1 a 1

4 2 a

∣∣∣∣∣∣∣ = 0


{y = 0

z = 0que no sea coplanario con los puntos A(2,1,4), B(1,2,2)

y C(1,1,2)


Solución:

a)

∣∣∣∣∣∣∣a 1 1

1 a 1

4 2 a

∣∣∣∣∣∣∣ = a3 + 4 + 2− 4a− 2a− a = 0⇔ a3 − 7a+ 6 = 0⇔ (a− 1)(a− 2)(a+ 3) = 0⇔

Solución: a = 1, a = 2, a = −3

b) P tendrá la forma: P = (λ, 0, 0).

P, A, B y C son coplanarios si el producto mixto de−−→AB = (−1, 1,−2),

−−→BC = (0,−1, 0) y

−→AP = (λ− 2,−1,−4) es distinto de cero.[−−→AB,

−→AC,−→AP]

=

∣∣∣∣∣∣∣−1 1 −2

0 −1 0

λ− 2 −1 −4

∣∣∣∣∣∣∣ = −(4 + 2(λ− 2)) = −λ = 0⇔ λ = 0

Por lo tanto si λ 6= 0 los puntos no son coplanarios.

Una solución válida sería, por ejemplo con λ = 1, o sea P=(1,0,0).

12. (3 puntos) Consideremos el plano: πα : x− y + αz = 0 y la recta:

r :

x = 3 + 2t

y = 1− tz = 1 + 3t

t ∈ <

a) Estudia, según los valores de α, la posición relativa del plano πα y la recta r.

b) Cuando πα y r se corten en un punto, halla las coordenadas de dicho punto.


Solución:

a) El vector normal del plano es−→N = (1,−1, α)

El vector director de la recta es −→v = (2,−1, 3) y un punto de r es: P = (3, 1, 1)

Sabemos que si ambos vectores son perpendiculares, plano y recta son paralelos o coincidentes,

en caso contrario son secantes. Calculamos el producto escalar:−→N · −→v = 2 + 1 + 3α

−→N · −→v = 0⇔ 2 + 1 + 3α = 0⇔ α = −1. Por lo tanto:

Si α 6= −1⇒ πα y r son secantes.

Si α = −1⇒ πα : x− y − z = 0 y P /∈ πα ⇒ r y πα son paralelos.


b) Se cortan en un punto si α 6= −1, hallamos el punto de corte que es S = πα ∩ r. Cogemos un

punto genérico de r: Q = (3 + 2t, 1− t, 1 + 3t)

Q ∈ πα ⇒ 3 + 2t− 1 + t+ α(1 + 3t) = 0⇔ 2 + α+ (3 + α)t = 0⇔ t =−2− α3 + 3α

⇒

Q =

(3 +−4− 2α

3 + 3α, 1− −2− α

3 + 3α, 1 +

−6− 3α

3 + 3α

)=

(5 + 7α

3 + 3α,

5 + 4α

3 + 3α,−1

1 + α

)


r :

{x = 3 + 5t

y = 1 + 2tt ∈ < , s : 10x+ ay + 10 = 0



Solución:

a) Hay que tener cuidado ya que son rectas en el plano.−→vr = (5, 2) y −→vs = (−a, 10). Son paralelas si:

5

2=−a10⇔ a = −25

b) Son perpendiculares sii −→vr · −→vs = 0⇔ −5a+ 10 = 0⇔ a = 2


r1 :x

2= 2− y =

z − 1

3, r2 :

x = 2 + at

y = 2t

z = 5− 6t

t ∈ R

a) Halle una ecuación para el plano qué pasa por O(0,0,0) y es perpendicular a la recta r1.

b) Estudie la posición de relativa de las rectas r1, r2 en función de a.


Solución:

a) Tenemos que el vector director de r1: −→vr = (2,−1, 3) será el normal del plano. Luego el plano

es π : 2x − y + 3z + D = 0 como pasa por el origen tenemos que D=0. El plano buscado es:

π : 2x− y + 3z = 0

b) Tenemos de r1: −→v1 = (2,−1, 3), P1 = (0, 2, 1) y de r2: −→v2 = (a, 2,−6), P2 = (2, 0, 5)

Estudiamos el producto mixto de [−−−→P1P2,

−→v1,−→v2 ]. Sabemos que si [−−−→P1P2,

−→v1,−→v2 ] = 0 ⇒ r y son

coplanarias y en caso contrario se cruzan o son paralelas.

−−−→P1P2 = (2,−2, 4) ⇒ [

−−−→P1P2,

−→v1,−→v2 ] =

∣∣∣∣∣∣∣2 −2 4

2 −1 3

a 2 −6

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ 12− 16− 6a + 4a− 24− 12 = 0 ⇔

a = −4

2.2. GEOMETRÍA 55

Si a = −4⇒ r1 y r2 son secantes o la misma recta. Comprobamos que P1 /∈ r2 luego son

secantes.

Si a 6= −4⇒ se cruzan o son paralelas. Vemos que si a 6= −4 los vectores no son propor-

cionales:a

26= 2

−1por lo tanto r1 y r2 se cruzan.

15. (3 puntos)

a) Pruebe que cualquiera sea el valor de a, los planos π1 : ax+ ay− z = 0, π2 : x− y+ az = 0 se

cortan en una recta r.

b) Estudie, en función de a, la posición relativa de la recta r y el plano que contiene a los puntos

A(1,1,1), B(1,0,2) y C(0,1,2a).


Solución:

a) La única forma de que los planos no se corten en una recta es que sean paralelos. Los vectores

normales de los planos son: N1 = (a, a,−1) y N2 = (1,−1, a). Dichos vectores no son paralelos

para ningún valor de a ya que:a

1=

a

−1⇔ a = 0 y entonces se tiene que los vectores son (0,0,

-1) y (1,-1,0) que no son paralelos. Por lo tanto los dos planos forman una recta para cualquier

valor de a.

b) Calculamos el vector director de r: vr =

∣∣∣∣∣∣∣−→i−→j

−→k

a a −1

1 −1 a

∣∣∣∣∣∣∣ = (a2 − 1)−→i − (a2 + 1)

−→j − 2a

−→k =

(a2 − 1,−a2 − 1,−2a) y Pr(0, 0, 0).

Hallamos el plano formado por A, B y C:

π3 ≡

∣∣∣∣∣∣∣x− 1 y − 1 z − 1

0 −1 1

−1 0 2a− 1

∣∣∣∣∣∣∣ = (x−1)(1−2a)−(y−1)−(z−1) = 0⇔ (1−2a)x−y−z+1+2a = 0

El vector normal es:−→N3 = (1− 2a,−1,−1)

Estudiamos −→vr ·−→N3 = 0⇔ (a2 − 1)(1− 2a)− a2 − 1− 2a = 0⇔ a3 = −1⇔ a = −1

Si a 6= −1⇒ r y π3 son secantes.

Si a = −1 tenemos que Pr(0, 0, 0) /∈ π3 luego r y π3 son paralelos.


{x− y + 2z = 7

x− y − 5z = −7y s :

x = 3 + 2t

y = 1 + t

z = 1

, t ∈ <





Solución:

a) Calculamos un punto y un vector director de r y s.

Para calcular el vector de r podemos hacerlo sabiendo que es perpendicular a los normales de

los planos. Ene esta caso, lo voy a hacer mediante dos puntos de s: P(3,0,2) y Q(0,-3,2)⇒ −→vr =−−→QP = (3, 3, 0) ∼ (1, 1, 0)

De la recta s, los hallamos observado la ecuación paramétrica: −→vs = (2, 1, 0) y Ps = (3, 1, 1).

Es evidente que −→vr y −→vs no son paralelas luego las rectas se cruzan o se cortan. Estudiamos el

producto mixto de−−→PPs = (0, 1,−1), −→vr y −→vs :

[−−→PPs,

−→vr ,−→vs ] =

∣∣∣∣∣∣∣0 1 −1

1 1 0

2 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣2 1 0

1 1 0

2 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣2 1

1 1

∣∣∣∣∣ = 1

Como el producto mixto es distinto de cero, las rectas se cruzan.

b) Los vectores −→u = (a, b, c) son perpendiculares a r si y solo si −→u ·−→vr = 0⇔ a+b = 0⇔ b = −a.Luego los vectores perpendiculares a r tienen la forma: −→u = (a,−a, c) con a, c ∈ R

17. (2 puntos) Sea el plano π ≡ 2x+ y − z − 3 = 0 y la recta r :

x = 3− ty = 2 + t

z = 1− 3t

.

a) Determina la ecuación de la recta s que contiene al punto P(1,2,-1), es perpendicular a la recta

r y paralela al plano π.

b) Halla la distancia de la recta s al plano π.


Solución:

a) La recta que buscamos s pasa por el punto P=(1,2,�1) y es perpendicular a la recta r y paralela

al plano. Su vector director debe ser perpendicular al director de la recta r: vr = (−1, 1,−3) y

al normal del plano N = (2, 1,−1). Cogemos como vector director de s el producto vectorial

de ambos:

vs =

∣∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

−1 1 −3

2 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣ = (2,−7,−3)

Luego la recta es: s :

x = 1 + 2t

y = 2− 7t

z = −1− 3t

con t ∈ R

b) La distancia de la recta s al plano es, por ser paralela al plano, la distancia de cualquier punto

de la recta al plano:

d(s, π) = d(P, π) =2 + 2 + 1− 3√

4 + 1 + 1=

2√6

=

√6

3u

18. (3 puntos) Dos vértices consecutivos de un rectángulo son P(2,2,1) y Q(0,0,-1) y los otros dos

pertenecen a una recta r qué pasa por el punto A(5,4,3).

2.2. GEOMETRÍA 57

a) Determina la ecuación de la recta r

b) Determina la ecuación del plano que contiene al rectángulo.


Solución:

a) La recta r tiene qcomo vector director a−−→QP = (2, 2, 2) ∼ (1, 1, 1) y pasa por A(5,4,3):

r :

x = 5 + t

y = 4 + t

z = 3 + t

con t ∈ R

b) El plano estará formado por los tres puntos P, Q y A:

Cogemos de vectores directores: −→v = (1, 1, 1) y−→QA = (5, 4, 4) y de punto Q(0, 0,−1):

π ≡

∣∣∣∣∣∣∣x y z + 1

1 1 1

5 4 4

∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ π ≡ y − z − 1 = 0

2.2.3. Problemas métricos

1. Determina los valores de a y de b para que los puntos P=(1,0,1) y Q=(1/3,a,b) sean simétricos

respecto al plano x-y+z=1. (Recuerda que dos puntos se dicen simétricos respecto de un plano si

están en una recta perpendicular al plano y a la misma distancia de éste).


Solución:

Para que P y Q sean simétricos con respecto al plano se ha de cumplir que el vector−−→PQ =

(−2

3, a, b − 1) sea perpendicular al plano y, por lo tanto, paralelo al vector normal del plano,

−→VN = (1,−1, 1)⇒

−2

31

=a

1=b− 1

1⇒ a =

2

3; b =

1

3

Comprobemos que el punto medio, M, de P y Q pertenece al plano: M = (2/3, 1/3, 2/3) ⇒ 2

3−

1

3+

2

3= 1⇒M ∈ π

Otro método de resolución consistiría en hallar la recta r que contiene a P y a Q. Calcular el punto

S de intersección de la recta r y el plano. Aplicarle a S la condición de que ha de ser el punto medio

de P y Q.

2. Calcula la distancia del punto P=(3,-1,3) a la recta

{2x+ y + z = 4

x− y + z = 1


Solución:

El método para calcular la distancia de un punto a una recta es:


a) Calcular el plano π perpendicular a la recta r por P. Para ello usamos que el vector director

de r es el normal de π.

Calculamos el vector director de r, −→vr ⇒ x =−2

3z +

5

3⇒ y = x + z − 1 =

1

3z +

2

3⇒ −→vr =

(−2

3,

1

3, 1) ≡ (−2, 1, 3)

Para calcular π tenemos diferentes formas. Tomamos−−→PG = (x−3, y+1, z−3) un vector genérico

del plano que pasa por P. Tenemos que−→vr ⊥−−→PG⇒ −→vr ·

−−→PG = 0⇒ (−2, 1, 3)·(x−3, y+1, z−3) =

0⇒ π ≡ 2x− y − 3z + 2 = 0

b) Calculamos el punto Q intersección de r y π.

En el apartado anterior hemos sacado la ecuación paramétrica de r:

x =5

3− 2t

y =2

3+ t

z = 3t

. Calculamos

t, mediante la ecuación de π ⇒ 2(5

3− 2t) − (

2

3+ t) − 3(3t) + 2 = 0 ⇒ t =

1

3. El punto Q

buscado es Q = (1, 1, 1)

c) La distancia de r a P es d(P,r)=d(P,Q).

d(P, r) = d(P,Q) =√

(3− 1)2 + (−1− 1)2 + (3− 1)2 =√

12 = 2√

3u

3. Para los puntos A(1,0,2) y B(-1,2,4) y la recta de ecuaciónx+ 2

2= y − 1 =

z − 1

3:

a) Calcula la ecuación del plano π formado por los puntos que equidistan (están a la misma

distancia) de A y de B.

b) Calcula la ecuación del plano π′ para lelo a r que pase por A y por B.

c) Encuentra otro plano π′′ de modo que la intersección de π, π′ y π′′ sea exactamente un punto.


Solución:

a) El plano se puede hacer de dos formas diferentes:

1) El plano mediador los forman los puntos del espacio que están a la misma distancia de A

y de B.

2) El plano mediador es el plano perpendicular al segmento por su punto medio.

En este caso lo voy a hacer por el primer método:

Los puntos P (x, y, z) ∈ π cumplen que:

d(P,A) = d(P,B)⇒√

(x− 1)2 + y2 + (z − 2)2 =√

(x+ 1)2 + (y − 2)2 + (z − 4)2

x2 − 2x+ 1 + y2 + z2 − 4z + 4 = x2 + 2x+ 1 + y2 − 4y + 4 + z2 − 8z + 16

−2x− 4z + 5 = 2x− 4y − 8z + 21⇔ 4x− 4y − 4z + 16 = 0⇔ x− y − z + 4 = 0

b) π′ está formado por A, el vector director de la recta−→vr = (2, 1, 3) y−−→AB = (−2, 2, 2) ∼ (−1, 1, 1):

π′ ≡

∣∣∣∣∣∣∣x− 1 y z − 2

2 1 3

−1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ −2x+ 2− 5y + 3z − 6 = 0⇔ 2x− 5y − 3z + 4 = 0

2.2. GEOMETRÍA 59

c) π′′ tendrá de vector normal uno que sea linealmente independiente con los normales de π(1,−1,−1)

y π′(2,−5, 3). Por ejemplo cogemos como vector normal (0,0,1) y comprobamos que el deter-

minante es -3. Luego un plano puede ser: π′′ ≡ z = 0

4. Calcula el valor de m para que la recta de ecuación r :(x

2= y = z

)y el plano de ecuación π :

x− y −mz = 4 formen un ángulo de 30 grados.


Tenemos −→vr = (2, 1, 1) y−→Nπ = (1,−1,−m). Aplicamos la fórmula del seno del ángulo:

sen(30o) =|−→vr ·−→Nπ|

|−→vr | · |−−→Nπ|

⇔ 1

2=|2− 1−m|√6 ·√

2 +m2⇔ 12 + 6m2 = 4(1 +m)2 ⇔ 2m2 − 8m+ 8 = 0⇔

⇔ 2(m− 2)2 = 0⇔ m = 2

5. (3 puntos) Consideremos los puntos A(2,6,-3) y B(3,3,-2).

a) Halla la ecuación para la recta r que contiene a los puntos A y B.

b) Determina una ecuación para el plano de los puntos que están a la misma distancia de A y de

B.

c) Halla el punto de intersección de la recta r con el plano x=0.


Solución:

a) −→vr =−−→AB = (1,−3, 1)⇒ r :

x = 2 + t

y = 6− 3t

z = −3 + t

t ∈ R

b) El plano buscado es el perpendicular al segmento por el punto medio:

M =A+B

2=

(5

2,

9

2,−5

2

){π ≡ x− 3y + z +D = 0

M ∈ π

}⇒ 5

2− 27

2− 5

2+D = 0⇒ D =

27

2

Luego el plano buscado es π ≡ 2x− 6y + 2z + 27 = 0

c) Como x = 0 = 2 + t tenemos que el valor del parámetro t es -2.

Luego el punto buscado es R = (0, 6− 3 · (−2),−3− 2) = (0, 12,−5)

6. (3 puntos) Consideremos el punto P(6,-1,5) y la recta r :

x = 5 + t

y = −tz = 1− 2t

t ∈ R

a) Halla la ecuación del plano, π, perpendicular a r que contiene a P.

b) Determina el punto Q donde la recta r corta al plano π.


c) determina el punto S simétrico de P respecto a la recta r.


Solución:

a) El vector normal de π es el vector director de r, luego π ≡ x− y − 2z +D = 0

Como P ∈ π ⇒ 6 + 1− 10 +D = 0⇒ D = 3⇒ π ≡ x− y − 2z + 3 = 0

b) Q tendrá la forma: Q = (5 + t,−t, 1− 2t)

Q ∈ π ⇒ 5 + t− (−t)− 2(1− 2t) + 3 = 0⇔ 6t+ 6 = 0⇔ t = −1

Luego Q = (4, 1, 3)

c) P' simétrico de P se obtiene: P ′ = Q+−−→PQ = (4, 1, 3) + (−2, 2− 2) = (2, 3, 1)

7. (2 puntos)

a) ¾Cuál es el ángulo que forman los vectores no nulos −→u y −→v que satisfacen: |−→u ×−→v | = |−→u |·|−→v |?




producto vectorial −→a ×−→b


Solución:

a) |−→u ×−→v | = |−→u | · |−→v ||−→u ×−→v | = |−→u | · |−→v | · sen(α)⇒ sen(α) = 1⇒ α =

π

2rad

b) cos(α) =−→a ·−→b

|−→a | · |−→b |

= 1⇒ α = 0o

|−→a ×−→b | = |−→a | · |

−→b | · sen(α) = 0⇒ −→a ×

−→b =

−→0


r1 : x =y

2=z

3, r2 :

x = 1

y = −1 + t

z = 1− t

a) Determine la posición de relativa de las rectas r1, r2.

b) Halla el punto de la recta r1 más próximo al punto P(1,0,1).


Solución:

2.2. GEOMETRÍA 61

a) r1 :

{Pr1(0, 0, 0)−→vr1 = (1, 2, 3)

}y r2 :

{Pr2(1,−1, 1)−→vr1 = (0, 1,−1)

}Es evidente que los dos vectores no son proporcionales luego las rectas o se cortan o se cruzan.

Hallamos el producto mixto: [−−−−→Pr1Pr2,

−→vr1,−→vr2] =

∣∣∣∣∣∣∣1 −1 1

1 2 3

0 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣1 −1 1

0 3 2

0 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣ = −5 6= 0

Por lo tanto los tres vectores son linealmente independientes y las rectas se cruzan.

b) Lo podemos resolver de diferentes maneras:

1) Calculamos el plano perpendicular a r que pase por P y el punto buscado es la intersección

del plano y r.

2) Si R es el punto buscado sabemos que−→PR · −→vr1 = 0

Lo haremos por el método 2: R = (t, 2t, 3t)⇒−→PR = (t− 1, 2t, 3t− 1)

−→PR · −→vr1 = 0⇔ t− 1 + 4t+ 9t− 3 = 0⇔ t =

4

14=

2

7

Luego R =

(2

7,

4

7,

6

7

)

9. (3 puntos) Sea el punto P=(1,2,-2) y la recta r :

x = 2− ty = 1 + t

z = 2t

a) Determine la ecuación del plano que contiene a P y es perpendicular a la recta r.

b) Determine el punto de r más próximo a P.

c) Halla la recta r' simétrica de R respecto a P.


Solución:

a) El vector director de la recta será el normal del plano:−→Nπ = −→vr = (−1, 1, 2)⇒ π ≡ −x+ y +

2z +D = 0

P ∈ π ⇒ −1 + 2− 4 +D = 0⇒ D = 3⇒ π ≡ −x+ y + 2z + 3 = 0

b) R es el pie de la recta perpendicular a r por P. Por lo tanto,−→PR y −→vr son perpendiculares:

⇒−→PR · −→vr = 0

R tendrá la forma: R = (2− t, 1 + t, 2t) y ⇒−→PR = (1− t,−1 + t, 2t+ 2)

−→PR · −→vr = (1− t,−1 + t, 2t+ 2) · (−1, 1, 2) = −1 + t− 1 + t+ 4t+ 4 = 0

6t+ 2 = 0⇒ t = −1

3⇒ R =

(7

3,

2

3,−2

3

)Otra forma de hacerlo es sabiendo que R es la intersección de π y r.

c) La recta simétrica r'de R respecto a P es la recta paralela a r que pasa por el simétrico R' de

R respecto a P:

R′ = P +−→RP = (1, 2,−2) + (−4/3, 4/3,−4/3) = (−1/3, 10/3,−10/3)

La recta buscada es r′ :

x = −1

3− t

y =10

3+ t

z = −10

3+ 2t

t ∈ R


10. (2 puntos) Dados la recta r y el plano π de ecuaciones:

r ≡

{2x+ 2y + 2z = 2

−x− y + z = 0y π ≡ Ax+ y + z +B = 0

a) Determina A y B para que el plano π que contenga la recta r.

b) Determina A y B para que sea paralela al plano π.


Solución:

a) Que la recta esté contenida en el plano equivale q que el sistema formado por las tres ecuaciones

sea compatible indeterminado, o sea el rg(A)=rg(A*)=2.

Miramos primero que |A| = 0

⇔

∣∣∣∣∣∣∣2 2 2

−1 −1 1

A 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ |A| =

∣∣∣∣∣∣∣2 2 2

0 0 4

A 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = −4

∣∣∣∣∣2 2

A 1

∣∣∣∣∣ = −8(1−A) = 0⇔ A = 1

Si A=1, rg(A)=2, veamos el rango de A*: 2 2 2 | 2

−1 −1 1 | 0

1 1 1 | −B

∼ 2 2 2 | 2

−1 −1 1 | 0

0 0 0 | 2 + 2B

Y por lo tanto rg(A*)=2 ⇔ 2 + 2B = 0⇔ B = −1

Por lo tanto el plano contiene a la recta si A = 1 y B = −1.

b) La recta será paralela al plano si el sistema de ecuaciones es incompatible. De acuerdo al

apartado anterior será rg(A)=2 y rg(A*)=3 ⇔ A = 1 y B 6= −1.

2.3. ANÁLISIS MATEMÁTICO 63

2.3. Análisis Matemático

2.3.1. Límites y continuidad de funciones

1. Calcula los siguientes límites: lımx→0

x− sen(x)

x sen(x); lımx→+∞

2x + x

ex


Solución:

lımx→0

x− sen(x)

x sen(x)=

0− sen0

0 · sen0=

0

0Como las funciones f(x) = x− sen(x) y g(x) = xsen(x) son continuas y derivables en R podemos

aplicar la regla de L' Hopital:

lımx→0

x− sen(x)

x sen(x)= lımx→0

1− cosxsenx+ x cos(x)

=

[0

0

]L′Hopital−−−−−−→= lım

x→0

sen(x)

cosx+ cosx− x sen(x)=

0

2= 0

lımx→+∞

2x + x

ex. Como e > 2 tenemos que lım

x→+∞

(2

e

)x= 0 y, evidentemente, lım

x→+∞

x

ex= 0 . Por lo

tanto, dividimos numerador y denominador por ex:

lımx→+∞

2x + x

ex= lımx→+∞

(2

e

)x+

x

ex

1=

0

1= 0


1 + x− ex

sen2x


Solución:

lımx→0

1 + x− ex

sen2x=

[0

0

]L′Hopital−−−−−−→ lım

x→0

1− ex

sen(2x)=

[0

0


x→0

−ex

2cos(2x)=−1

2

3. Calcula el siguiente límite: lımx→0

ex − xcosx− 1

senx− x+ 1− cosx


Solución:

lımx→0

ex − xcosx− 1

senx− x+ 1− cosx=

[0

0

]L′H−−−→ lım

x→0

ex − cosx+ xsenx

cosx− 1 + senx=

[0

0

]L′H−−−→

lımx→0

ex + 2senx+ xcosx

−senx+ cosx= 1

4. Enuncia el Teorema de Bolzano y úsalo para probar que la ecuación x = cosx tiene una única

solución. Debes justi�car adecuadamente por qué es única. (Puede serte útil dibujar las grá�cas de

las funciones f(x) = x y g(x) = cosx).



Solución:

Si f(x) es continua en el intervalo [a, b] , y toma valores de distinto signo en los extremos del

intervalo [signf(a) 6= signf(b)], entonces existe, al menos, un punto c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Tomamos f(x) = x− cosx en el intervalo [0,π

3], f(0) = −1 < 0 y f(

π

3) =

π

3− cos(π

3) =

π

3− 1

1>

0 ⇒ tenemos signos distintos y aplicando el teorema de Bolzano sabemos que ∃c ∈ (0,π

3) tal que

f(c) = c− cosc = 0⇒ c = cos(c)

Veamos que es único.f ′(x) = 1 − senx ≥ 0 en R, por lo tanto f es creciente para todo x ∈ R y,

evidentemente, solo puede haber un valor c tal que f(c)=0.

5. Dependiendo de los valores de a, estudiar la continuidad de la función:

f(x) =

(ex − 1)2

ex2 − 1si x 6= 0

a si x = 0


Solución:

Primero hallamos el dominio de f; f va a estar de�nida en todos los x excepto aquellos que anulen

el denominador ⇒ ex2 − 1 = 0⇔ ex

2

= 1⇔ x = 0. Y como f esta rede�nida para x=0 tenemos que

Dom f=R.Tenemos que estudiar la continuidad en x = 0:

lımx→0−

f(x) = lımx→0+

f(x) = lımx→0

(ex − 1)2

ex2 − 1=

[0

0

]= (L′H) = lım

x→0

2ex(ex − 1)

2xex2 = lımx→0

(ex − 1)

xex2−x =[0

0

]= (L′H) = lım

x→0

ex

ex2−x + x(2x− 1)ex2−x = 1

Si a 6= 1, f es discontinua en x = 1 con una discontinuidad de tipo evitable.

Si a = 1, f es continua en R

6. (2 puntos)


(1 + 4x2)1

sen2x



Solución:

a) L = lımx→0

(1 + 4x2)1

sen2x = [1∞]

Calculamos el límite lımx→0

(1+4x2−1) · 1sen2x = lım

x→0

4x2

sen2x=

[0

0

]= [L′H] = lım

x→0

8x

2senxcosx=

lımx→0

8x

sen2x=

[0

0

]= [L′H] = lım

x→0

8

2cos2x= 4

Luego L = lımx→0

(1 + 4x2)1

sen2x = e4


b) Si hacemos un esbozo de las grá�cas de las funciones:

Calculamos los puntos de corte de las dos curvas ⇒ x = x4 ⇒ x = 0 y x = 1. Luego el área

buscada es:

A =

∫ 1

0

(√x− x2)dx =

[2

3

√x3 − x3

3

]10

=2

3− 1

3=

1

3u2


f(x) =

x3 si x < −1

ax+ 1 si −1 ≤ x ≤ 1

x2 + bx+ 2 si x > 1



c) Utilice el teorema de Bolzano para justi�car que sí p es un polinomio de grado 5, con coe�-

ciente principal positivo, tal que p(−1) > −1, entonces la ecuación f(x) = p(x) tiene al

menos una solución c con c < −1.


Solución:

a) Las funciones de las que está compuesta f son todas polinómicas y por lo tanto son continuas

en todo R. Tenemos que hallar a y b para que f sea continua en x= -1 y x=1.

f es continua en x=-1 ⇔ (−1)3 = −a+ 1⇔ a = 2

f es continua en x=1 ⇔ a+ 1 = 1 + b+ 2⇔ 3 = 3 + b⇔ b = 0

Luego f es continua en todos los reales si a= 2 y b=0.

b) f solo puede ser derivable en todos los reales si es continua o seas si a= 2 y b=0:

f(x) =

x3 si x < −1

2x+ 1 si −1 ≤ x ≤ 1

x2 + 2 si x > 1

⇒ f ′(x) =

3x2 si x < −1

2 si −1 < x < 1

2x si x > 1


f es derivable en x=-1 ⇔ f ′(−1−) = f ′(−1+) pero f ′(−1−) = 3 6= f ′(−1+) = 2. Luego no

es derivable en x=-1

f es derivable en x=1 ⇔ f ′(1−) = f ′(1+) y f ′(1−) = 2 = f ′(1+). Luego f es derivable en

x=1

Y tendremos que: f ′(x) =

3x2 si x < −1

2 si −1 < x ≤ 1

2x si x > 1

c) Tenemos que p(x) tendrá la forma: p(x) = ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f con a > 0 Consideramos

la función h(x)=p(x)-f(x) que x < −1 tendrá la forma: p(x) = ax5+bx4+(c−1)x3+dx2+ex+f .

Tenemos que h(-1)=p(-1)-f(-1)=p(-1)+1>0 ya que p(-1)>-1.

Como a > 0 podemos encontrar un valor x1 < −1 tal que h(x1) < 0. Por lo tanto si tomamos

el intervalo (x1,−1) se cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano:

h es continua en (x1,−1); h(x1) < 0 y h(−1) > 0 luego ∃ c ∈ (x1,−1) tal que h(c) = 0 ⇒p(c) = f(c)

Y, por lo tanto, la ecuación f(x) = p(x) tiene al menos una solución c con c < −1.

8. a) Halle, si existe, el valor de a para el cual:

lımx→+∞

(√9x2 + ax+ 1− (3x− 1)

)= 2

b) Determine, si existe, lımx→+∞

(√9x2 + ax+ 1

)′, donde

(√9x2 + ax+ 1

)′representa la derivada

de√

9x2 + ax+ 1.


Solución:

a) lımx→+∞

(√9x2 + ax+ 1− (3x− 1)

)= lımx→+∞

((√

9x2 + ax+ 1− (3x− 1)) · (√

9x2 + ax+ 1 + (3x− 1))

(√

9x2 + ax+ 1 + (3x− 1)

)=

lımx→+∞

9x2 + ax+ 1− 9x2 + 6x− 1√9x2 + ax+ 1 + (3x− 1)

= lımx→+∞

(a+ 6)x

6x=a+ 6

6= 2⇔ a = 6

b)(√

9x2 + ax+ 1)′

=18x+ a

2√

9x2 + ax+ 1

lımx→+∞

(√9x2 + ax+ 1

)′= lımx→+∞

18x+ a

2√

9x2 + ax+ 1= lımx→+∞

18x

6x= 3

2.3.2. Derivada y aplicaciones

1. Halla el valor de a para que f(x) =x2 + x+ a

3x+ 1veri�que f ′(1) = 0.


Solución:

Calculamos la derivada de f(x) aplicando la regla del cociente:

f ′(x) =(2x+ 1)(3x+ 1)− s(x2 + x+ a)

(3x+ 1)2=

3x2 + 2x+ 1− 3a

(3x+ 1)2

Aplicamos que f ′(1) = 0⇒ f ′(1) =6− 3a

16= 0⇒ 6− 3a = 0⇒ a = 2


2. Para la función ln(x2 − 9), calcula su dominio, sus asíntotas, intervalos de crecimiento y decreci-

miento, máximos, mínimos y puntos de in�exión. Haz su representación grá�ca.


Solución:

a) Dominio de f

El logaritmo neperiano está de�nido para valores mayores que cero. Luego calcular del dominio

de f equivale a resolver la inecuación x2 − 9 > 0.Podemos usar diferente métodos de resolución.

Resolvemos x2 − 9 = 0 ⇒ x = −3 y x = 3. Podemos dar valores en los diferentes intervalos

((−∞,−3), (−3, 3), (3,∞)) para calcular el signo o, darnos cuenta que es una parábola con las

ramas hacia arriba, por lo que es positiva en (−∞,−3) y (3,∞). Por lo tanto, tenemos que:

Domf = (−∞,−3) ∪ (3,∞)

b) Asíntotas

Asíntotas verticales

De existir alguna asíntota sería en x = −3 y x = 3. Calculamos los límites laterales:

lımx→−3−

(ln(x2 − 9) = ln((−3−)2 − 9

)= ln(0+) = −∞⇒ x = −3 es asíntota vertical.

lımx→3+

(ln(x2 − 9) = ln((3+)2 − 9

)= ln(0+) = −∞⇒ x = 3 es asíntota vertical.

Asíntotas horizontales

Calculamos los límites en −∞ y +∞:

lımx→−∞

(ln(x2 − 9) = ln(∞) =∞ ⇒ No tiene AH cuando x→ −∞.

lımx→∞

(ln(x2 − 9) = ln(∞) =∞ ⇒ No tiene AH cuando x→∞.

Asíntotas Oblicuas

Tenemos que calcular los límites def(x)

x:

m = lımx→−∞

ln(x2 − 9)

x=

[∞−∞

]L′H−−−→= lım

x→−∞

2x

x2 − 9= 0 ⇒ No tiene A Oblicua cuando

x→ −∞.

m = lımx→∞

ln(x2 − 9)

x=[∞∞

]L′H−−−→= lım

x→∞

2x

x2 − 9= 0 ⇒ No tiene A Oblicua cuando

x→∞.

c) Crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos y puntos de in�exión. Para estudiar la monoto-

mía hay que analizar f ′(x)⇒ f ′(x) =2x

x2 − 9.

f ′(x) = 0 ⇔ x = 0. Por lo tanto si tiene máximos o mínimos será en x = 0 pero en dicho valor

la función no está de�nida luego "no tiene ni máximos ni mínimos".

El crecimiento o decrecimiento lo estudiaremos en los intervalos (−∞,−3) y (3,∞).

Si x ∈ (−∞,−3)⇒ f ′(x) < 0⇒ f(x) es decreciente en (−∞,−3)

Si x ∈ (3,∞)⇒ f ′(x) > 0⇒ f(x) es creciente en (3,∞)

Para estudiar los puntos de in�exión y la curvatura, hemos de calcular la segunda derivada:

f ′′(x) =−2(x2 + 9)

(x2− 9)2. f ′′(x) = 0 ⇔ −2(x2 + 9) = 0 ⇒ Sin solucin. No hay puntos de

in�exión.

Si nos pidieran estudiar la curvatura habría que ver el signo de f�. En este caso es siempre

negativa por lo que f es de la forma ∩.


d) Representación grá�ca

Calculamos los puntos de corte con el eje OX ⇒ y = 0⇒ ln(x2 − 9) = 0⇒ ln(x2 − 9) = ln 0⇒x2 − 9 = 1⇒ x = ±

√10. Tenemos los puntos de corte (−

√10, 0) y (

√10, 0).

Con todos los datos anteriores, la grá�ca es:

3. Encuentra a y b para que la función de�nida como :

f(x) =

x2 si x < 1

ax+ b si 1 ≤ x ≤ 2

2x2 si 2 < x

sea continua en los puntos x = 1, x = 2. Determina para los valores de a,b hallados, si la función es

derivable en los puntos x = 1, x = 2.

Solución:

Para que sea continua en cualquiera de los puntos, han de coincidir los límites laterales con el valor

de la función:

Julio 2010-Opción A lımx→1−

f(x) = lımx→1−

x2 = 1

f(1) = lımx→1+

f(x) = a+ b⇒ a+ b = 1f(2) = lım

x→2−f(x) = lım

x→2−(ax+ b) = 2a+ b

lımx→2+

f(x) = 8⇒ 2a+ b = 8

Resolvemos el sistema resultante:

{a+ b = 1

2a+ b = 8⇒ a = 7; b = −6. Por lo tanto la función es:

f(x) =

x2 si x < 1

7x− b si 1 ≤ x ≤ 2

2x2 si 2 < x

⇒ f ′(x) =

2x si x < 1

7 si 1 ≤ x ≤ 2

4x si 2 < x

.

Comprobamos que f' sea continua:

2.3. ANÁLISIS MATEMÁTICO 69 lımx→1−

f ′(x) = 2

f ′(1) = lımx→1+

f(x) = 7⇒ lım

x→1−f ′(x) 6= f ′(1) = lım

x→1+f(x)⇒ No es derivable en x=1f

′(2) = lımx→2−

f ′(x) = 7

lımx→2+

f(x) = 8⇒ lım

x→2−f ′(x) = f ′(2) 6= lım

x→1+f(x)⇒ No es derivable en x=2

4. Encuentra los valores a, b, c para que la función f(x) = alnx+ bx+ cx2 tenga en el punto (1,0) un

mínimo relativo y cumpla que lımx→+∞

f(x)

x2= 1


Solución:

Podemos observar que tenemos tres condiciones: f(1) = 0, f ′(1) = 0 yf(x)

x2= 1 y tres incógnitas

(a,b,c).

lımx→∞

f(x)

x2= lımx→∞

a lnx

x2+bx

x2+cx2

x2

x2

x2

= lımx→∞

(a lnx

x2+b

x+ c) = (∗)c = 1

f(1) = a ln1 + b+ c = b+ c = 0⇒ b = −1

f ′(x) =a

x+ b+ 2cx⇒ f ′(1) = a+ b+ 2c = 0⇒ a = −1

(*) lımx→∞

a lnx

x2= [∞∞


x→∞

a

x2x

= lımx→∞

a

2x2= 0

5. Contesta razonadamente si, para la función f(x) = ln(x2 +3x) existe algún punto en el que la recta

tangente a f(x) es perpendicular a la recta 2x− y + 2 = 0.


Solución:

En la resolución del ejercicio hemos de tener en cuenta el dominio de f que se obtiene resolviendo

la inecuación x2 + 3x > 0 obteniendo Domf = (−∞,−3) ∪ (0,∞). Para que la recta tangente sea

perpendicular a la recta, el producto de sus pendientes tiene que ser -1. La pendiente de la recta

dada, m=2. Luego la pendiente de la tangente ha de ser m′ =−1

2. Sabemos que la pendiente de la

recta tangente en un punto x es f'(x). Por lo tanto;

f ′(x) =−1

2⇒ f ′(x) =

2x+ 3

x2 + 3x=−1

2⇒ 4x+6 = −x2−3x⇒ x2 +7x+6 = 0⇒ x = −1 y x = −6.

En x = −1 la función no está de�nida por lo que no es derivable y no sirve de solución.

En x = −6, la función es derivable y el punto buscado es (-6, ln18).

6. Calcula el dominio, las asíntotas, los intervalos de crecimiento, máximos y mínimos y los puntos de

in�exión de la f(x) = x− ln(x2 − 1). Representa la grá�ca de f(x) a partir de los datos obtenidos.


Solución:


a) Dominio de f

El dominio de f lo forman los valores de x tal que x2 − 1 > 0. Resolvemos la inecuación

calculando las soluciones de x2− 1 = 0 y estudiando el signo en los intervalos que determinan,

obteniendo: Domf = (−∞,−1) ∪ (1,∞).

b) Asíntotas verticales

Puede tenerlas en x=-1 y x=1, veamos los limites correspondientes:

lımx→−1−

(x− ln(x2 − 1)) = +∞⇒ x=-1 es asíntota en −1−.

lımx→−1+

(x− ln(x2 − 1)) = +∞⇒ x=1 es asíntota en 1+.

c) Asíntotas Horizontales

Calculamos los límites en ±∞:

lımx→−∞

(x− ln(x2 − 1)) = lımx→+∞

(−x− ln(x2 − 1)) = −∞ =⇒ no tiene asíntota horizontal

en −∞

lımx→+∞

(x − ln(x2 − 1)) = +∞ =⇒ no tiene asíntota horizontal en +∞. Luego hemos de

mirar las asíntotas oblicuas.

d) Asíntotas oblicuas

Miramos el límite en −∞:

lımx→−∞

x− ln(x2 − 1)

x= lımx→+∞

−x− ln(x2 − 1)

−x= [L′H] = lım

x→+∞

−1− 2x

x2 − 1−1

=

= lımx→−∞

−x2 − 2x+ 1

−x2 + 1= 1. Luego m=1.

lımx→−∞

(x− ln(x2 − 1)− x) = −∞ =⇒ no tiene asíntota oblicua en −∞

De forma análoga, obtenemos que no existe asíntota oblicua en +∞.

e) Monotonía y extremos relativos

Calculamos f ′(x) = 1− 2x

x2 − 1. f ′(x) = 0⇔ x2− 2x− 1 = 0⇔ x = 1±

√2. Como x = 1−

√2

no pertenece al dominio de f, no podemos considerar dicho punto. Estudiamos el signo de f'

en los intervalos que generan los valores x = −1, x = 1, x = 1 +√

2:

(−∞,−1) (1, 1 +√

2) (1 +√

2,∞)+ - +

Creciente Decreciente creciente

Analizando la tabla obtenemos:

f es creciente en (−∞,−1) ∪ (1 +√

2,∞)

f es decreciente en (1, 1 +√

2)

f alcanza un mínimo relativo en x = 1 +√

2

f ) Puntos de in�exión

Calculamos f�(x) =⇒ f ′′(x) = −2(x2 − 1)− 2x · 2x(x2 − 1)2

=2 + 2x2

(x2 − 1)2> 0 =⇒ No hay puntos de

in�exión.

g) Grá�ca:


7. Con una cuerda de 2 metros queremos construir un cuadrado de lado l y un círculo de radio r de

modo que la suma de sus áreas sea mínima. ¾Cuánto deben medir l y r?


Solución:

Sabemos que el perímetro de la �gura es la longitud de la cuerda: P = 4l + 2πR = 2.

La función a minimizar es el área: A(l, R) = l2 + πR2.

Despejamos l en la ecuación del perímetro: l =1− πR

2que sustituyendo en A(l,R) obtenemos:

A(R) =

(1− πR

2

)2

+ πR2. Derivamos A para calcular el valor de R que la hacen máxima:

A′(R) = −π(

1− πR2

)+ 2πR = −−π + π2R+ 4πR

2Igualamos a cero y resolvemos la ecuación:

−π + π2R+ 4πR = 0⇒ −1 + πR+ 4R = 0⇒ R =1

π + 4Sabemos que es mínimo ya que A(r) es una parábola con las ramas hacia arriba. También pode-

mos calcular la segunda derivada y comprobarlo, o dar valores a A' (A′(0) =−π2

< 0 y A′(1) =

3π + π2

2> 0).

Las medidas son: R =1

π + 4u y l =

2

π + 4u

8. Halla el punto de la grá�ca de la función f(x) = x + lnx en el que la recta tangente a f(x) es

perpendicular a la recta x+ 3y = 1.



Solución:

La pendiente de la recta es m′ =−1

3, por lo tanto la pendiente de la tangente, si ambas rectas son

perpendiculares, será m = 3. Nos falta encontrar el valor de x en el que f ′(x) = 3.

f ′(x) = 1+1

x= 3⇒ x =

1

2. Por lo tanto, el punto buscado es P

(1

2,

1

2+ ln

(1

2

))=

(1

2,

1

2− ln2

).

9. Calcula el dominio, los puntos de intersección con los ejes, las asíntotas y los extremos relativos de

la función f(x) =x

ex.


Solución:

Dominio

Tanto ex como x están de�nidas en todo R y ex > 0 en R, por lo tanto Domf = R

Puntos de intersección con los ejes

- Eje OX ⇒ y = 0⇒ x

ex= 0⇔ x = 0. P(0,0).

- Eje OY ⇒ x = 0⇒ y =0

e0= 0. P(0,0).

Asíntotas

- Asíntotas Verticales, no tiene al ser todo su dominio R.- Asíntotas horizontales:

lımx→−∞

x

ex= lımx→∞

−xe−x

= lımx→∞

−xex

= −∞⇒ no tiene asíntota vertical en −∞.

lımx→+∞

x

ex=[∞∞


x→+∞

1

ex=

1

∞= 0⇒ tiene asíntota horizontal en y = 0.

- Asíntotas oblicuas:

Solo podría tener en −∞ ya que en ∞ tiene una horizontal:

lımx→−∞

f(x)

x= lımx→−∞

x

xex= lımx→−∞

1

ex=∞⇒ no tiene asístotas oblícuas.

Extremos relativos

Calculemos f ′(x):

f ′(x) =ex − xex

e2x=

1− xex

=⇒ f ′(x) =1− xex

= 0⇔ x = 1{x < 1⇒ (f ′(0) > 0)⇒ fx) > 0creciente

x > 1⇒ (f ′(2) < 0)⇒ fx) > 0decreciente⇒ Tiene máximo relativo en x=1 ⇒M

(1,

1

e

).

10. Para la función f(x) =x2

x2 − 4, calcula el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y

una primitiva.


Solución:

a) Dominio

El dominio de f son todos los reales menos los que anulan el denominador.

Resolvemos x2 − 4 = 0⇒ x = ±2⇒ Domf = R− {±2}


b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento Calculamos la derivada de f y observamos su signo:

f ′(x) =2x(x2 − 4)− 2x3

(x2 − 4)2=

−8x

(x2 − 4)2. f ′(x) = 0 ⇔ x = 0. Como (x2 − 4)2 > 0 solo hay que

mirar el signo de −8x. Evidentemente, obtenemos:{Creciente⇔ x ∈ (−∞,−2) ∪ (−2, 0)

Decreciente⇔ x ∈ (0, 2) ∪ (0,∞)

c) Primitiva

I =

∫x2

x2 − 4dx =

∫x2 − 4 + 4

x2 − 4dx =

∫dx+

∫4

x2 − 4dx = x+ I1

Calculamos I1 =

∫4

x2 − 4dx como una integral racional de soluciones enteras ±2:

4

x2 − 4=

A

x− 2+

B

x+ 2⇒ 4 = A(x+ 2) +B(x− 2){

x = 2⇒ 4A = 4⇒ A = 1

x = −2⇒ −4B = 4⇒ B = −1

I1 =

∫4

x2 − 4dx =

∫1

x− 2dx −

∫1

x+ 2= ln(x − 2) − ln(x + 2) + C = ln

(x− 2

x+ 2

)+ C

Luego: I =

∫x2

x2 − 4dx = x+ ln

(x− 2

x+ 2

)+ C

11. Calcula el dominio y representa grá�camente la función: f(x) = ln

(x

x+ 1

)Junio 2012-Opción A

Solución:

El dominio de f son los x tales quex

x+ 1> 0. Resolvamos dicha inecuación. Para ello tenemos

que tener en cuenta los valores que anulan el numerador, x=0 y el denominador, x=-1. Crea-

mos una tabla de signos:

(−∞,−1) (−1, 0) (0,∞)x - - +

x+1 - + +x

x+ 1+ - +

Luego Domf = (−∞,−1) ∪ (0,∞)

Representación de la función:

• Cortes con los ejes.{EjeX ⇒ y = 0⇒ ln

x

x+ 1= 0⇒ n

x

x+ 1= 1⇒ Sin solucin

Eje Y ⇒ x = 0⇒ No definida

• Monotonía

Calculamos la derivada: f ′(x) =x+ 1

x· x+ 1− x

(x+ 1)2=

1

x(x+ 1). Si observamos la tabla de

signos, coincide con la que necesitamos ahora.Luego f' es positiva en todo el dominio y,

por lo tanto, f es creciente en todo su dominio. Luego no tiene ni máximos ni mínimos

relativos.


• Asíntotas

lımx→−1−

ln

(x

x+ 1

)= ln

(−1

0−

)= +∞⇒ A. Vertical: x=-1 por la izquierda hacia ∞

lımx→0+

ln

(x

x+ 1

)= ln

(0+

1

)= −∞⇒ A. Vertical: x=0 por la derecha hacia −∞

lımx→−∞

ln

(x

x+ 1

)= ln1 = 0. A. Horizontal y=0 en −∞.

lımx→∞

ln

(x

x+ 1

)= ln1 = 0. A. Horizontal y=0 en +∞.

• Grá�ca

12. Enuncia el teorema de Rolle. Encuentra los ceros de la primera derivada de la función f(x) =

x3 − 12x + a. Usa �nalmente la información previa para probar que, con independencia del valor

de a, la ecuación x3 − 12x+ a = 0 no tiene dos soluciones distintas en el intervalo [-2,2].


Solución:

Teorema de Rolle

Si f es una función continua de�nida en un intervalo cerrado [a,b] , derivable sobre el intervalo

abierto (a,b) y f(a)=f(b), entonces: Existe al menos un punto c perteneciente al intervalo (a,b)

tal que f'(c)=0.

Ceros de la primera derivada

f ′(x) = 3x2 − 12 = 0⇒ x = ±2

Solución única

Lo podemos hacer de diferentes formas.

Por reducción al absurdo. Supongamos que existen dos valores c y d pertenecientes a (-2,2)

tales que f(c) = f(d) = 0. Como f es un polinomio es continua y derivable en R. Aplicandoel teorema de Rolle al intervalo [c, d] ⊂ (−2, 2), tenemos que f(c) = f(d) por lo que existe un

punto c1 ∈ (c, d) tal que f ′(c1) = 0 que sabemos que es imposible pues los únicos ceros de la


derivadas son -2 y 2. Llegamos a una contradicción, luego no pueden existir dos ceros en [-2,2].

El otro método consiste en analizar la función en [-2,2]. Tenemos que f ′(x) < 0 en (-2,2)⇒ f(x)

es decreciente en (-2,2) y por lo tanto es imposible que tenga dos ceros en dicho intervalo.

13. Para a ∈ (0,+∞) determina el dominio y estudia la continuidad y derivabilidad de la función:

f(x) =

{1 + ax si x ≤ 0

ln(x2 + a) si x > 0

Describe la derivada de f ′(x).


Solución:

a) Dominio

1 + ax está de�nida en todo R al ser una exponencial.

ln(x2 + a) está de�nida dónde x2 + a > 0 que lo es en todo R.Por lo tanto, Domf = R

b) Continuidad

Las dos funciones a que forman a f, son continuas, luego solo puede haber una discontinuidad

en x = 0. Estudiamos dicho caso:

f(0) = lımx→0−

f(x) = 1 + a0 = 2

lımx→0+

f(x) = ln(a)

⇒ ln(a) = 2 =⇒ a = e2

Si a = e2 =⇒ f es continua en RSi a 6= e2 =⇒ f es continua en R− {0}

c) Derivabilidad

Las dos funciones a que forman a f, son derivables en R. Igual que en la continuidad, solo habrá

problemas en x = 0. Como solo puede ser derivable si a = e2 estudiamos dicho caso. Luego f

tiene la forma:

f(x) =

{1 + e2x si x ≤ 0

ln(x2 + e2) si x > 0

La derivada tendrá la forma:

f ′(x) =

2e2x si x < 02x

x2 + e2si x > 0

Estudiamos las derivadas laterales: f ′(0−) = 2 ·e0 = 2 y f ′(0+) = 0. Tenemos que son distintas

y por lo tanto f no es derivable en x=0 para cualquier valor de a y f' tiene la forma:

f ′(x) =

2e2x si x < 02x

x2 + e2si x > 0


14. Calcula el dominio, las asíntotas, los intervalos de crecimiento, máximos y mínimos y los puntos

de in�exión de la función f(x) = xex. Con los datos obtenidos haz una representación grá�ca

aproximada de f(x).


Solución:

a) Dominio

Es el producto de un polinomio por una exponencial por lo que Domf = R

b) Asíntotas

1) Asíntotas Verticales, no tiene al ser todo su dominio R.

2) Asíntotas horizontales:

Calculamos los límites en ±∞:

- lımx→−∞

xex = lımx→+∞

−xe−x = lımx→+∞

−xex

= 0⇒ y=0 es asíntota en −∞.

- lımx→+∞

xex = +∞⇒ no tiene asíntotas horizontales en +∞

3) Asíntotas oblicuas

Solo puede tener en +∞, calculamos lımx→+∞

xex

x= lım

x→+∞ex = +∞ ⇒ no tiene asíntotas

oblicuas.

c) Monotonía puntos singulares

Hallamos f ′(x) = ex + xex. Entonces f ′(x) = ex + xex = 0⇔ ex(1 + x) = 0⇔ x = −1

Estudiamos el signo de f' en (−∞,−1) y (−1,∞) y obtenemos:

f es decreciente en (−∞,−1)

f es creciente en (−1,∞)

f tiene un mínimo relativo en x = −1 que es (−1,−1

e)

d) Puntos de in�exión

Hallamos la segunda derivada: f ′′(x) = 2ex +xex. Igualamos a cero: f ′′(x) = 2ex +xex = 0⇔x = −2. Y por lo tanto:

f tiene punto de in�exión en x = −2 que es (−2,−2

e2).

Si estudiamos el signo de la segunda derivada obtenemos también:

f es convexa (∩) en (−∞,−2)

f es concava (∪) en (−2,∞).

e) Grá�ca:


15. Un segmento de longitud l se apoya en los ejes coordenados del primer cuadrante determinando

con ellos un triángulo rectángulo. Hallar el valor mínimo de la abscisa en que se apoya para que el

área del triángulo mencionado, de hipotenusa l, sea máximo.


Solución:

El segmento de longitud l corta a los ejes en los puntos (x,0) y (0,y). Llamamos x a la base del

triángulo e y a la altura.

Tenemos que x2 + y2 = l2 =⇒ y = ±√l2 − x2.

La función a maximizar es A(x, y) =x · y

2. Sustituyendo el valor de y anterior, tenemos:

A(x) =x ·√l2 − x22

=⇒ A′(x) =

√l2 − x2

2− x2

2√l2 − x2

=l2 − 2x2

2√l2 − x2

A′(x) = 0⇔ l2 − 2x2 = 0⇔ x = ±√

2

2l.

Despreciamos el valor negativo y analizamos la solución x =

√2

2l. tenemos que ver que A tiene un

máximo en x =

√2

2l. Podemos calcular la segunda derivada o analizar los intervalos. En este caso

es más sencillo ver los intervalos.

A la izquierda, por ejemplo x=0, tenemos que A′(0) = l/2 > 0, luego es creciente a la izquierda de

x =

√2

2l.

A la derecha, por ejemplo

√3

2l, tenemos que A′(

√3

2l) =

l2 − 2 · l2

4

2

√l2 − 3

4l2

=−2 · l2

2

√1

4l2

= −2l < 0, luego

es decreciente a la izquierda de x =

√2

2l.

Por lo tanto, en x =

√2

2l hay un máximo y es el valor de abscisa buscado.


16. a) Si h(x) es una función real tal qué h(0)=0 y h'(0)=1 y g(x) = esen(h(x)), aplica la regla de la

cadena para calcular la derivada g'(0).

b) Calcula los posibles valores de a, b, c para los que f(x) = alnx + bx + cx2 tiene en (1,0) un

mínimo relativo y cumple que lımx→+∞

f(x)

x2= 1.


Solución:

a) Derivamos g(x) =⇒ g′(x) = esen(h(x)) · cos(h(x)) · h′(x), luego en x=0:

g′(0) = esen(h(0)) · cos(h(0)) · h′(0) = esen(0) · cos(0) · 1 = 1

b) Como f(1)=0 tenemos f(1) = b+ c = 0

f ′(1) = 0⇔ f ′(x) =a

x+ b+ 2cx⇒ f ′(1) = a+ b+ 2c = 0

lımx→+∞

alnx+ bx+ cx2

x2=

[0

0


x→+∞

a/x+ b+ 2cx

2x=

= lımx→+∞

a+ bx+ 2cx2

2x2= c = 1.

c = 1 =⇒ b+ c = 1 =⇒ b = −1

a+ b+ 2c = 0 =⇒ a = −1.

Por lo tanto la solución es: a = −1, b = −1, c = 1

17. (3 puntos) Sea g(x) =1− lnx

x.






Solución:

a) Dominio de g

Sabemos que el ln(x) solo está de�nida para los mayores que cero y la fracción para los distintos

de cero. Por lo tanto, Domg = (0,+∞).

b) Asíntotas.

1) Asíntotas Verticales

Solo puede tener una asíntota vertical en x= 0 por la derecha, lo comprobamos calculando

el limite:

lımx→0+

1− lnxx

=

[+∞0+

]=∞ =⇒ x=0 asíntota vertical en 0+.

2) Asíntota horizontal

Calculamos el límite de f en +∞: lımx→+∞

1− lnxx

= [L′H] = lımx→+∞

−1

x= 0− =⇒ y=0 es

asíntota horizontal en +∞. Y, al ser 0−, la curva se acerca a la asíntota por debajo.

Por lo tanto, al tener la horizontal no tiene asíntotas oblicuas.


3) Monotonía y extremos relativos

Calculamos la derivada e igualamos a cero:

f ′(x) =

−1

x· x− (1− lnx) · 1

x2=−2 + lnx

x2.

f ′(x) = 0⇔ −2 + lnx

x2= 0⇔ −2 + lnx = 0⇔ lnx = 2⇔ x = e2 =' 7, 34

Estudiamos el signo de f':

(0, e2) (e2,∞)f' - -f' Decreciente ↗ Creciente ↘

Por lo tanto tenemos:

f es Decreciente en (0, e2)

f es Creciente en (e2,∞)

f alcanza un mínimo en x = e2 que es M = (e2,−1

e2) ' (7, 4,−0, 14)

4) Grá�ca:

18. (3 puntos) Sea h(x) = x4 − 2x3 − 1.

a) Enuncia el teorema de Bolzano

b) Determina los extremos relativos y estudia la monotonía de h.

c) Utiliza el teorema de Bolzano para probar que la ecuación h(x) = 0 tiene exactamente dos

soluciones reales.


Solución:


a) Teorema de Bolzano

Si f(x) es continua en el intervalo [a, b] , y toma valores de distinto signo en los extremos del

intervalo [signf(a) 6= signf(b)], entonces existe, al menos, un punto c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

b) Monotonía de h

Hallamos la derivada de h → h′(x) = 4x3 − 6x2 = 2x2(2x− 3). Para estudiar al monotonía de

h, hemos de estudiar el signo de h′. Para ello resolvemos:

h′(x) = 0⇔ 2x2(2x− 3) = 0⇔ x = 0 o x =3

2.

Estudiemos el signo de h′ en los intervalos (−∞, 0), (0, 3/2) y (3/2,∞).

(−∞, 0) (0, 3/2) (3/2,∞)- - +

Decreciente Decreciente Creciente

Por lo tanto tenemos que:

h es decreciente en (−∞, 3/2)

h es creciente en (3/2,∞)

En x=0 tiene un punto de in�exión. Lo comprobamos calculando la segunda derivada,

f ′′(x) = 12x2 − 12x que se anula en x=0.

En x=3/2, tiene un mínimo relativo, o sea, el punto A(3/2,-33/16) es mínimo. Basta ver

que la función pasa de decrecer a crecer. También podemos estudiar el signo de f ′′(3/2) =

12 · 9

4− 12 · 3

2= 9 > 0 =⇒ x = 3/2 es mínimo.

c) Que la ecuación h(x) = 0 tenga solución es equivalente a que h(x) tenga una raíz.

Como la función es decreciente en (−∞, 3/2) solo podrá cortar al eje X en un punto como

máximo, o sea solo tendrá una raíz, y, razonando de igual manera en el intervalo (3/2,∞) solo

podrá tener otra raíz. Por lo tanto, h podrá tener a lo máximo dos raíces.

Veamos que existen esas dos raíces aplicando el teorema de Bolzano.

h(x) es continua en todo R por ser un polinomio.

Escogemos un intervalo en el que los extremos tengan diferente signo, por ejemplo [−1, 3/2]:h(−1) = 2 > 0

h(3/2) < 0

continua en (−1, 3/2)

⇒ Por Bolzano, sabemos que ∃c ∈ (−1, 3/2) tal que h(c) = 0.

Ahora cogemos el intervalo [3/2, 3]:h(3) = 26 > 0

h(3/2) < 0

continua en (3/2, 3)

⇒ Por Bolzano, sabemos que ∃c ∈ (3/2, 3) tal que h(c) = 0.

Por lo tanto queda demostrado que existen dos soluciones y son únicas.

19. (3 puntos) Sean f(x) =(x− 2)2

x− 1







Solución:

a) f es una función racional, sus dominio son todos los reales menos los que anulan el denominador,

luego Dom(f) = R− 1

b) Veamos los diferentes tipos de asíntotas que puede tener f.

1) ASÍNTOTAS VERTICALES

El único valor en el que puede existir una asíntota vertical es en x=1. Calculamos los

límites cuando x tiende a a:

lımx→1−

(x− 2)2

x− 1= −∞

lımx→1+

(x− 2)2

x− 1= +∞

Luego x=1 es una asíntota vertical

2) ASÍNTOTAS Horizontales

Calculamos los límites en el in�nito:

lımx→−∞

(x− 2)2

x− 1= −∞

lımx→+∞

(x− 2)2

x− 1= +∞

Por lo tanto,no tiene asíntotas horizontales. Miramos a ver si tiene oblicuas.

3) ASÍNTOTAS OBLICUAS

Hemos de calcular el límite en in�nito def(x)

x:

lımx→±∞

(x− 2)2

x− 1x

= lımx→±∞

x2 − 4x+ 4

x2 − x= 1. Luego la pendiente de la asíntota es m = 1.

lımx→±∞

(x2 − 4x+ 4

x− 1−x = lım

x→±∞

x2 − 4x+ 4− x2 + x

x− 1= lımx→±∞

−3x+ 4

x− 1= −3. Luego

n=3.

Luego y=x-3 es asíntota oblicua.

c) Calculemos la derivada de f: f ′(x) =2(x− 2)(x− 1)− (x− 2)

(x− 1)2=

2x(x− 2)

(x− 1)2

f ′(x) = 0⇔ 2x(x− 2)

(x− 1)2= 0⇔ x = 0, x = 2

Miramos que tipo de punto singular es cada uno de ellos estudiando el crecimiento y decreci-

miento en los intervalos que forma los puntos x=0, x=1 y x=2. Para ello estudiamos el signo

de f'.

(−∞, 0) (0, 1) (1, 2) (2,∞)f' + - - +

Creciente ↗ Decreciente ↘ Decreciente ↘ Creciente ↗

Observando la tabla obtenemos:

f es creciente en (−∞, 0) ∪ (2,∞)

f es decreciente en (0, 1) ∪ (1, 2)

f tiene un máximo en x= 0 ⇒ (0,−4)

f tiene un mínimo en x= 2 ⇒ (2, 0)


d)

20. (3 puntos) Sean A una constante positiva y p(x) un polinomio de tercer grado tal que su derivada

es p′(x) = Ax(x− 1),−∞ < x <∞.

a) Determina la abscisa de los extremos relativos y estudia la monotonía de p.

b) Enuncia el teorema de Rolle.

c) Justi�ca que existe b > 1 tal que p(b) = p(0).


Solución:

a) Para calcular los extremos relativos, resolvemos f ′(x) = 0 y estudiamos su signo. f ′(x) = 0⇔x = 0, x = 1. Estudiamos el signo de f':

(−∞, 0) (0, 1) (1,∞)f' + - +

Creciente ↗ Decreciente ↘ Creciente ↗

Observando la grá�ca obtenemos que:

f es creciente en (−∞, 0) ∪ (1,∞)

f es decreciente en (0, 1

f tiene máximo relativo en x=0

f tiene mínimo relativo en x=1

b) Ver teoría

c) 1) Método 1

Cómo f es decreciente en (0,1) tenemos que f(0)>f(1).

p es creciente de (1,+∞) y el límite en +∞ es +∞. Por lo que siempre podemos encontrar

un c>1 tal que p(c)>p(0).

Aplicando la propiedad de Darboux al intervalo (1,c) tenemos que p(0) ∈ (p(1), p(c)) luego

existe un b ∈ (1, c) tal que p(b) = p(0)


2) Método 2

Mediante integración tenemos que p(x) =

∫p(x) dx =

A

3x3 − A

2x2 +K.

Tenemos que p(0)=K y P(3/2)=K, con lo que queda demostrado ya que 3/2>1.

21. (3 puntos) Sean f(x) =√x2 − x+ 1






Solución:

a) Para calcular del dominio de f, resolvemos la inecuación x2−x+ 1 >= 0 que tiene de solución

R, luego Dom(f) = R.

b) Veamos los diferentes tipos de asíntotas que puede tener f.

1) ASÍNTOTAS VERTICALES: No existen ya que su dominio son todos los reales.

2) ASÍNTOTAS HORIZONTALES:

Calculamos lımx→±∞

√x2 − x+ 1 = +∞ =⇒ no tiene.

3) ASÍNTOTAS OBLICUAS:

lımx→+∞

√x2 − x+ 1

x= 1 =⇒ m = 1

lımx→+∞

(√x2 − x+ 1− x) = lım

x→+∞(√x2 − x+ 1− x)

√x2 − x+ 1 + x√x2 − x+ 1 + x

=

lımx→+∞

−x+ 1√x2 − x+ 1 + x

= −1/2 =⇒ n = −1

2

Luego y = x− 1

2es asíntota oblicua en +∞.

Veamos en −∞:

lımx→−∞

√x2 − x+ 1

x= −1 =⇒ m = 1

lımx→−∞

(√x2 − x+ 1 + x) = lım

x→+∞(√x2 − x+ 1 + x)

√x2 − x+ 1− x√x2 − x+ 1− x

=

lımx→−∞

−x+ 1√x2 − x+ 1− x

= lımx→+∞

x+ 1√x2 + x+ 1 + x

= 1/2 =⇒ n =1

2

Luego y = −x+1

2es asíntota oblicua en −∞.

c) Calculamos f' ⇒ f ′(x) =2x− 1

2√x2 − x+ 1

.

f ′(x) = 0⇔ 2x− 1

2√x2 − x+ 1

= 0⇔ x = 1/2


Si x<1/2 ⇒ f ′ < 0 =⇒ f es decreciente en (∞, 1/2)

Si x>1/2 ⇒ f ′ > 0 =⇒ f es creciente en (1/2,∞, )

f tiene un mínimo relativo en x=1/2 =⇒ (1/2,

√2

2)


d) Grá�co:

22. (3 puntos) Si a y b son números reales arbitrarios consideramos la función:

f(x) :

{asenx+ bcosx si x < π

2

sen2x− acosx si x ≥ π2

a) Estudia según los valores de a y b, la derivabilidad de la funcion f.

b) Calcula la función derivada f ′(x) en los casos en que f(x) sea derivable en todo su dominio.


Solución:

a) Las dos funciones que componen f son continuas y derivables en R. Por lo tanto solo podrá no

ser derivable en x =π

2. Como sabemos que para ser derivable en un punto ha de ser continua

en él, estudiamos la continuidad en x =π

2:

lımx→π

2−f(x) = a

f(π

2) = lım

x→π2

+f(x) = 1

⇒ a = 1

Por lo tanto, si a= 1 la función es continua en x =π

2.

Veamos la derivabilidad en x =π

2para a=1 (ya que en caso contrario no es derivable):

f ′(x) =

{cosx− b senx si x < π

2

2 senx cosx+ senx si x > π2

Para que sea derivable en x =π

2, las derivadas laterales deben coincidir:

f ′(π2−) = −b

f ′(π2+) = 1

}⇒ b = −1


Si a 6= 1⇒ f no es derivable en x =π

2


Si a = 1 y b 6= −1⇒ f no es derivable en x =π

2Si a = 1 y b = −1 f es derivable en R

b) f es derivable en R si a = 1 y b = −1. Luego tenemos que f'(x) es:

f ′(x) =

{cosx+ senx si x < π

2

sen2x+ senx si x ≥ π2

23. (3 puntos) Sea g(x) = x− 2ln(1 + x)

a) Determina el dominio de g





Solución:

a) Dominio de g

El dominio de g son los x tales que 1 + x > 0⇒ x > −1⇒ Domg = (−1,∞)

b) Asíntotas

1) Asíntotas verticales

Solo puede tener asíntota vertical en x = −1+ Veamos el límite correspondiente:

lımx→−1+

(x− 2ln(1 + x)) = +∞⇒ tiene asíntota vertical en x = −1+

2) Asíntotas horizontales

Hemos de calcular el límite solo en +∞ ya que en −∞ no está de�nida:

lımx→+∞

(x− 2ln(1 + x)) = lımx→+∞

x = +∞⇒ no tiene asíntota horizontal.


lımx→+∞

x− 2ln(1 + x)

x=[∞∞

]= lımx→+∞

1− 2

1 + x= 1 = m

lımx→+∞

(x− 2ln(1 + x)− x) = lımx→+∞

(−2ln(1 + x)) = −∞⇒ No tiene asíntotas oblicuas

c) Monotonía y extremos relativos

Calculamos la primera derivada e igualamos a cero:

f ′(x) = 1− 2

1 + x= 0⇔ x = 1

Estudiamos el signo de f' en los siguientes intervalos:

(−1, 1) (1,∞)f' - +

Decreciente ↘ Creciente ↗


f es decreciente en (-1,1)


f es creciente en (1,+∞)

f tiene un mínimo relativo en x=1 que es (1, 1− 2ln2)

d) Grá�ca:


x si −π2 ≤ x ≤ 0a− cosxsenx

si 0 < x ≤ π2

a) Halla el valor de a para el cual g es continua en x=0.

b) Enuncia el teorema del valor medio de Lagrange.

c) Consideremos a igual al valor hallado en el inciso (a) y g la correspondiente función para ese

valor de a. Utiliza el teorema del valor medio de Lagrange para justi�car que existe c que

cumple 0 < c < π2 y g′(c) = 2

π


Solución:

a) g es continua en x=0 ⇔ g(0) = lımx→0−

g(x) = lımx→+

g(x). Por lo tanto:

g(0) = lımx→0−

g(x) = 0

lımx→0+

a− cosxsenx

=a− 1

0solo puede ser cero si a=1. Veamos que en dicho caso se cumple:

lımx→0+

1− cosxsenx

= [0

0] = lım

x→0+

senx

cosx=

0

1= 0

Por lo tanto, g es continua en x=0 si a=1.

b) Ver teoría

c) Para a=1, tenemos que g es continua en[0,π

2

]y es derivable en

(0,π

2

)luego aplicando el

teorema de Lagrange sabemos que existe c ∈(

0,π

2

)tal que g′(c) =

g(π

2)− g(0)

π

2− 0

=1− 0π

2

=2

π

como queríamos demostrar.


25. (3 puntos) Sea g(x) =x3 + 2x2

x2 − 4

a) Determina el dominio y la continuidad de g.





Solución:

a) Dominio de g

El dominio lo forman todos los reales menos aquellos que anulan el denominador. Por lo tanto,

Dom g=R− {±2}

b) Asíntotas

1) Asíntotas Verticales

Las presentará en los puntos críticos {pm2}. Veamos los límites:

lımx→−2−

x3 + 2x2

x2 − 4=

[0

0

]= lımx→−2−

x2��(x+ 2)

(x− 2)(��(x+ 2)= lımx→−2+

x3 + 2x2

x2 − 4=

1

0−= 1

=⇒ Si miramos el límite por la derecha será igual, luego en x= -2 tiene una discontinuidad

evitable, por lo que no hay asíntota vertical

lımx→2−

x3 + 2x2

x2 − 4=

16

0−= −∞

lımx→2+

x3 + 2x2

x2 − 4=

16

0+= +∞

=⇒ x= 2 es asíntota vertical

2) Asíntotas Horizontales

Como el grado del numerador es 3 y el del denominador es 2, tenemos que los límites en

in�nito valen in�nito luego no tiene asíntotas horizontales.


lımx→±∞

x3 + 2x2

x3 − 4x= 1 = m

lımx→±∞

(x3 + 2x2

x2 − 4− x)

= lımx→±∞

2x2 + 4x

x2 − 4= 2 = n

Luego tiene en y = x+ 2 asíntota oblicua em ±∞.


Calculamos la primera derivada e igualamos a cero:

f ′(x) =(3x2 + 4x)(x2 − 4)− (x3 + 2x2)2x

x2 − 4=

3x4 − 12x2 + 4x3 − 16x− 2x4 − 4x3

(x2 − 4)2=

=x4 − 12x2 − 16x

(x2 − 4)2=x(x3 − 12x− 16)

(x2 − 4)2=x(x− 4)(x+ 2)2

(x− 2)2(x+ 2)2=x(x− 4)

(x− 2)2

f'(x)=0 ⇔ x = 0, x = 4

Estudiamos los signos en los diferentes intervalos que se forman (no olvidar los puntos críticos):

(−∞,−2) (−2, 0) (0, 2) (2, 4) (4,∞)f' + + - - +

Creciente ↗ Creciente ↗ Decreciente ↘ Decreciente ↘ Creciente ↗


Luego tenemos:

g es decreciente en (−4,−2) ∪ (−2, 0)

g es creciente en (−∞,−4) ∪ (0, 2) ∪ (2 +∞)

Tiene un mínimo relativo en x = 4 que es (4,8).

Tiene un máximo relativo en x = 0 que es (0,0).

d) Grá�ca:


f(x) =

x3 si x < −1

ax+ 1 si −1 ≤ x ≤ 1

x2 + bx+ 2 si x > 1



c) Utilice el teorema de Bolzano para justi�car que sí p es un polinomio de grado 5, con co-

e�ciente principal positivo, tal que p(−1) > −1, entonces la ecuación f(x) = p(x)tiene al

menos una solución c con c < −1.


Solución:

a) Tenemos que estudiar la continuidad en x=-1 y x=1:

f es continua en x= -1 ⇔ f(−1) = lımx→−1−

f(x) = lımx→−1+

f(x):

lımx→−1−

x3 = −1

f(−1) = lımx→−1+

(ax+ 1) = −a+ 1

⇒ −a+ 1 = −1⇔ a = 2


f es continua en x= 1 ⇔ f(1) = lımx→1−

f(x) = lımx→1+

f(x):

f(1) = lımx→1−

(ax+ 1) = a+ 1

lımx→1+

(x2 + bx+ 2) = 1 + b+ 2

⇒ a+ 1 = b+ 3⇔ b = 0

Luego f es continua si a=2 y b=0.

b) f solo puede ser derivable si es continua,luego ha de ser a=2 y b=0. Veamos si en es caso es

derivable estudiando las derivadas laterales:

f ′(x) =

3x2 si x < −1

2 si −1 < x < 1

2x si x > 1

f es derivable en x=-1 si coinciden las derivadas laterales ⇔ f ′(−1−) = 3 y f ′(−1+) = 2.

Luego f no es derivable en x= -1 para cualquier valor de a y b.

f es derivable en x=1 si coinciden las derivadas laterales ⇔ f ′(1−) = 2 y f ′(−1+) = 2. Luego

f es derivable en x= 1 si a= 2 y b=0.

Por lo tanto f' es:

f ′(x) =

3x2 si x < −1

2 si −1 < x ≤ 1

2x si x > 1

c) Cogemos la función g(x)=p(x)-f(x)que es continua en x<-1.

Tenemos que h(-1)=p(-1)-f(-1)=p(-1)+1>0 ya que p(-1)>-1.

Como p(x) es de grado 5 con coe�ciente principal positivo sabemos que el límite de h(x) en

−∞ es −∞. Luego existe un d<-1 tal que h(d)<0.

Si cogemos el intervalo [d, -1] estamos en las condiciones del teorema de Bolzano y sabemos

que existe un c ∈ (d,−1) tal que h(c)=0.

Luego tenemos un c<-1 tal que h(c)=0=p(c)-f(c), o sea f(c)=p(c)tal y como queríamos demos-

trar.

27. (3 puntos) Sea g(x) =x3 − 5x

x2 + 1.






Solución:

a) Dominio de g

Como x2 + 1 > 0 para todo x ⇒ Domg = R

b) Asíntotas

1) Asíntotas verticales: no tiene ya que está de�nida en todo R.2) Asíntotas horizontales: al ser el grado del numerador mayor que el del denominador, el

límite en ±∞ es ±∞



lımx→±∞

x3 − 5x

x3 + x= 1 = m

lımx→±∞

(x3 − 5x

x2 + 1− x)

= 0 = n

=⇒ y=x es asíntota oblicua en ±∞.


Calculamos la derivada e igualamos a cero:

f ′(x) =x4 + 8x2 − 5

(x2 + 1)0= 0⇔ x = ±

√−4 +

√21 ' ±0, 76.

Estudiamos el signo de f' en los correspondientes intervalos:

(−∞,−0, 76) (−0, 76, 0, 76) (0, 76,+∞)f' + - +

Creciente ↗ Decreciente ↘ Creciente ↗

Por lo tanto:

g es creciente en (−∞,−0, 76) ∪ (0, 76,+∞).

g es decreciente en (−0, 76, 0, 76)

tiene un máximo relativo en x = −0, 76 que es P (−0, 76, 2, 13)

tiene un mínimo relativo enx = 0, 76que es P ′(0, 76,−2, 13)

d) Grá�ca:


ln(x+ 1)

x+ 1 si x > 0

ax+ b si x ≤ 0

a) Halle los valores de a y b para que la función g sea continua en R.

b) Determine los valores de a y b para que la función g sea derivable en R.

c) Para los valores de a y b del inciso anterior, calcule la derivada de g.



Solución:

a) Continuidad

La función g1(x) =ln(x+ 1)

x+ 1 no sería continua en x=0 pero hay no está de�nida en

g. g2(x) = ax + b es continua en R. Luego g solo tiene problemas en x=0. Estudiamos la

continuidad en x=0.

lımx→0−

ln(x+ 1) + x

x= [0/0] = [L′H] = lım

x→0−

(1

x+ 1+ 1

)= 2

f(0) lımx→0+

(ax+ b) = b

=⇒ b = 2

Por lo tanto, si a es cualquier valor y b=2, g es continua en R.

b) Derivabilidad

Para que sea derivable ha de ser continua luego solo puede ser b=2. Hallamos g'(x):

g′(x) =

x

x+ 1− ln(x+ 1)

x2=x− (x+ 1)ln(x+ 1)

x3 + x2si x > 0

a si x < 0Para que sea derivable han de coincidir las derivadas laterales.

g′(0−) = lımx→=0−

x− (x+ 1)ln(x+ 1)

x3 + x2= [0/0] = [L′H] = lım

x→=0−

1− (ln(x+ 1) + 1)

3x2 + 2x= [0/0] =

[L′H]

= lımx→=0−

1

x+ 16x+ 2

=1

2

g′(0+) = a

Por lo tanto g es derivable en R si a =1

2y b=2.

c) La derivada será: g′(x) =

x− (x+ 1)ln(x+ 1)

x3 + x2si x > 0

1

2si x ≤ 0


a) El dominio, la continuidad y las asíntotas.




Solución:

a) El dominio, la continuidad y las asíntotas.

f(x) = (8− x2)13 = 3√

8− x2.Como es una raíz cúbica su dominio es R.Por el mismo motivo, f es continua en R.

1) Asíntota vertical no tiene al estar de�nida en todo R.


2) Asíntota horizontal

lımx→−∞

3√

8− x2 = −∞

lımx→+∞

3√

8− x2 = −∞Luego no tiene asíntotas horizontales.


lımx→−∞

3√

8− x2x

= lımx→−∞

3

√8

x3− x2

x3x

x

= 0⇒ No hay asíntota oblicua en −∞

lımx→∞

3√

8− x2x

= lımx→∞

3

√8

x3− x2

x3x

x

= 0⇒ No hay asíntota oblicua en +∞.

b) La derivabilidad, extremos relativos y la monotonía

1) Derivabilidad

f ′(x) =−2x

3 3√

(8− x2)2. Vemos que f' no está de�nida si 8− x2 = 0, luego en esos valores f

no será derivable. Por lo tanto f no es derivable en ±√

8.

2) Monotonía y extremos relativos

f ′(x) = 0⇔ x = 0 Estudiamos el signo de f' en los intervalos:

(−∞, 0) (0,∞)f' + -

Creciente ↗ Decreciente ↘

Luego tenemos:

f es creciente en (−∞, 0)

f es decreciente en (0,∞)

f tiene un máximo relativo en x= 0 que es el punto (0,2).

c) Curvatura

Para calcular la segunda derivada ponemos f' en forma de producto: f ′(x) =−2

3x(8− x2

)− 23

f ′′(x) =−2

3

[(8− x2

)− 23 + x

−2

3

(8− x2

)−53 · (−2x)

]=−2

3

[(8− x2

)− 23 + x

4x2

3

(8− x2

)−53

]=

=−2

3

(8− x2

)− 23

[1 +

4x2

3

(8− x2

)−1]La segunda derivada será cero si alguno de los factores es cero:

f ′′(x) = 0⇔(8− x2

)− 23 = 0⇔ x = ±

√8

f ′′(x) = 0 ⇔ 1 +4x2

3

(8− x2

)−1= 0 ⇔ 1 +

4x2

3 (8− x2)= 0 ⇔ 24− 3x2 + 4x2

3 (8− x2)= 0 ⇔

24 + x2

24− 3x2= 0⇔ 24 + x2 = 0⇒ sin solución.

Por lo tanto los únicos valores que anulan la segunda derivada son ±√

8 aunque en dichos

valores la función no es derivable tenemos que tenerlos en cuenta para estudiar la curvatura.

Analizamos el signo de f�: f ′′(x) =−2

3

(8− x2

)− 23

24 + x2

3(8− x2)=−2

9

(8− x2

)− 53 (24 + x2).

Observando f�(x) vemos los signos:


(−∞,−√

8) (−√

8,√

8) (√

8,∞)f� + - +

Concava ∪ Convexa ∩ Concava ∪

Luego tenemos:

f es concava ∪ en (−∞,−√

8) ∪ (√

8,∞).

f es convexa ∩ en (−√

8,√

8).

f tiene puntos de in�exión en ±√

8 que son los puntos (−√

8, 0) y (√

8, 0).

d) Grá�ca:



estudie;

a) El dominio y las asíntotas.




Solución:

a) Dominio y asíntotas

Como ex > x para todo número real no existe ningún valor que anule el denominador y por lo

tanto, Domf = R

1) Asíntotas verticales no tiene al ser su dominio los reales.

2) Asíntotas horizontales

Calculamos el límite en −∞:


lımx→−∞

ex + x

ex − x= lımx→+∞

e−x − xe−x + x

= [−∞∞

] = [L′H] =

= lımx→+∞

−e−x − 1

−e−x + 1= −1 =⇒ y=-1 es asíntota horizontal cuando x→ −∞ Calculamos el

límite en ∞:

lımx→+∞

ex + x

ex − x= lımx→+∞

ex

ex= 1 =⇒ y=1 es asíntota vertical cuando x→∞

3) Asíntotas oblicuas, no tiene al tener horizontales.

b) Monotonía y extremos

Calculamos la derivada de f:

f ′(x) =(ex + 1)(ex − x)− (ex + x)(ex − 1)

(ex − x)2=

2ex − xex

(ex − x)2=

2ex(1− x)

(ex − x)2

f ′(x) = 0⇔ x = 1


(−∞, 1) (1,∞)f' + -



f es creciente en (−∞, 1)

f es decreciente en (1,∞)

f tiene un máximo relativo en x=1 que es el punto (1,e+ 1

e− 1)

c) Grá�ca:



b) Halle el valor de a para que f tenga en x=1 un extremo relativo. ¾Es un máximo o un mínimo

relativo?



Solución:

a) Asíntotas de f

El dominio de f es R luego no va a tener asíntotas verticales sea cual sea El resto de asíntotas

de f van a cambiar si a es positivo, negativo o cero.

Estudiemos los diferentes casos:

Si a= 0 =⇒ f(x) = x que evidentemente no tiene ningún tipo de asíntotas ya que es la

función identidad.

Si a < 0 =⇒ sea b = −a > 0 =⇒ f(x) = xebx.

• Asíntotas horizontales, veamos los límites lımx→−∞

xebx = lımx→+∞

(−xe−bx) = 0 =⇒asíntota horizontal y=0 cuando x→ −∞.

lımx→+∞

xebx =∞ =⇒ No tiene asíntota horizontal cuando x→ +∞.

• Asíntota oblicua

Solo puede tener cuando x→ +∞. Veamos el límte:

lımx→+∞

f(x)

x) = lım

x→+∞ebx = +∞ =⇒ no tiene asíntotas oblicuas.

Si a > 0 =⇒ f(x) = xe−ax:

• Asíntotas horizontales, veamos los límites:

lımx→−∞

xe−ax = lımx→+∞

(−xeax) = −∞ =⇒ No tiene asíntota horizontal cuando x →−∞.

lımx→+∞

xe−ax = lımx→+∞

x

eax= [L′H] = lım

x→+∞

1

aeax= 0 =⇒ asíntota horizontal y=0

cuando x→∞.

• Asíntota oblicua

Solo puede tener cuando x→ −∞. Veamos el límte:

lımx→−∞

f(x)

x) = lım

x→−∞e−ax = lım

x→+∞eax = +∞ =⇒ no tiene asíntotas oblicuas.

b) f tiene un extremos relativo en x=1 ⇔ f ′(1) = 0

32. (3 puntos) Sea la función f(x) = 2− cosx− 3x

a) Determine, si existen, las asíntotas oblicuas de f.

b) Calcule∫f(x) cosx dx

c) Demuestre que la función f(x) solo corta una vez al eje horizontal. Nota. Puede ser útil el

teorema de Rolle.


Solución:


a) ¾Asíntotas oblicuas de f(x) = 2− cosx− 3x?

lımx→±∞

(2− cosx− 3x) = ∓∞ =⇒ no hay asíntotas horizontales.

lımx→±∞

2− cosx− 3x

x= −3

lımx→−∞

(2 − cosx − 3x + 3x) = lımx→−∞

(2 − cosx). Como cosx es una función periódica que va

variando de -1 a 1, 2− cosx será también periódica que varía de 1 a 3 y por lo tanto no existe

el límite. Y, por consiguiente, f(x) no tiene asíntotas oblicuas.

b) I =

∫(2− cosx− 3x) cosx dx = 2

∫cosxdx−

∫cos2x dx− 3

∫xcosx dx = 2senx− I1− 3I2 = ∗

Calculemos I1 =

∫cos2x dx =

∫1 + cos2x

2dx =

x

2+sen2x

4

Calculamos I2 =

∫xcosx.

Es una integral que resolveremos por partes:[u = x =⇒ du = dx

dv = cosx dx =⇒ v = senx

]I2 =

∫xcosx dx = xsenx−

∫senx dx = xsenx+ cosx

∗ =⇒ I = 2senx− I1 − 3I2 = 2senx− x

2− sen2x

4− 3xsenx− 3cosx+ C con C ∈ R

c) Veamos primero la existencia del punto de corte:

f(x) = 2−cosx−3x es continua en R. Si tomamos el intervalo [0, π] tenemos que f(0) = 1 > 0

y f(π) = 1− 3π < 0. Aplicando el Teorema de Rolle sabemos que ∃c ∈ (0, π) tal que f(c) = 0.

O sea, f corta al eje OX.

Veamos la unicidad:

Calculamos f ′(x) = senx − 3 tenemos que f' no se anula en ningún valor de x y f' es siem-

pre negativa⇒ f es decreciente en todo R, por lo que no puede cortar más de una vez el eje OX.

Otra forma de razonar, consistía en lugar de aplicar el teorema de Rolle, estudiar los límites

en −∞ que es +∞ y en +∞ que es −∞. Al tener signos distintos y ser f decreciente, se deduce

que f ha de cortar el eje OX una única vez.


f(x) =

{cosx x ≤ 0

−x2 + ax+ b x > 0






Solución:


a) Estudiemos primero la continuidad de f. Tanto f1(x) = cosx como f2(x) = −x2 + ax + b son

continuas en R luego f solo puede no ser continua en x = 0. Veamos la continuidad en x = 0:f(0) = lım

x→0−f(x) = f1(0) = 1

lımx→0+

f(x) = f2(0) = b

⇒ b = 0

Estudiamos la derivabilidad de f. Razonando igual que antes solo podrá no ser derivable en

x = 0: f ′(x) =

senx

x < 0

−2x+ a+ b x > 0

⇒ f ′(0−) = sen(0) = f ′(0+) = a⇒ a = 0

Luego f es continua y derivable en R si a=0 y b=1. Por lo tanto:

f(x) =

{cosx x ≤ 0

−x2 + 1 x > 0

b) Sabemos por el apartado anterior que f ′(0) = 0 y por lo tanto en x = 0 f tiene un punto

singular. Estudiamos el signo de f':

(−∞, 0) (0,∞)f' + -


Por lo tanto f tiene un máximo relativo en x = 0 que es M(0, 1)

c) Como f es positiva en el intervalo [−π2 , 1] tenemos que el área buscada es:

A =

∫ 1

−π/2f(x) dx =

∫ 0

−π/2cosx dx+

∫ 1

0

(−x2 + 1) dx = [−senx]0−π/2 +

[−x3/3 + x

]10

= 5/3u2


x2 − 1.






Solución:

a) Domf = R − {±1}, luego f no es continua en x = ±1 en donde presenta discontinuidades de

salto in�nito.

Estudiamos la continuidad en x=0 para ello escribimos f como una función a trozos:

f(x) =

x

x2 − 1si x > 0

−xx2 − 1

si x ≤ 0⇒ Se tiene que f(0) = lım

x→0−f(x) = lım

x→0+f(x) = 0

Por lo tanto f es continua en R− {±1}Estudiamos la derivabilidad en x = 0:

f ′(x) =

−x2 − 1

(x2 − 1)2si x > 0

x2 + 1

(x2 − 1)2si x < 0

⇒ f ′(0−) = −1 6= f ′(0+) = 1⇒ f no es derivable en x = 0

Por lo tanto f es derivable en R− {±1 , 0}


b) f no es derivable en x = 0 y por lo tanto no es derivable en [−12 ,12 ]. No podremos aplicar el

teorema de Rolle en dicho intervalo al no cumplirse una de las hipótesis.

c) f es positiva en [ 32 , 4] luego:

A =

∫ 4

3/2

f(x) dx =

∫ 4

3/2

x

x2 − 1dx =

1

2

∫ 4

3/2

2x

x2 − 1dx =

1

2

[ln|x2 − 1|

]43/2

=

=1

2

(ln15− ln5

4

)=

1

2ln12u2

2.3.3. Cálculo Integral

1. Calcula∫

2x

x2 + 5dx


Solución:

Podemos resolverla aplicando un cambio de variable u observando que es una integral inmediata ya

que la derivada de x2 + 5 es 2x.

Aplicamos el cambio de variable: u = x2 + 5⇒ du = 2xdx∫2x

x2 + 5dx =

∫1

udu = ln u+ C y deshaciendo el cambio de variable obtenemos la solución:∫

2x

x2 + 5dx = ln (x2 + 5) + C

2. Dibuja las curvas y = x3 − 1, y = −x2 + x. Halla el área comprendida entre ambas.


Solución:

Llamemos f(x) = x3 − 1 y g(x) = −x2 + x. La primera podría dibujarse como una traslación de la

función y = x3 una unidad hacia abajo en el eje Y. La segunda es una parábola. Para representar

f nos bastará con calcular los puntos de corte con los ejes.

Corte con el eje OX ⇒ y = 0⇒ x3 − 1 = 0⇒ x = 1⇒ P (1, 0)

Corte con el eje OY ⇒ x = 0⇒ y = −1⇒ x = 1⇒ Q(0,−1)

Viendo la derivada de f, f ′(x) = 3x2, observamos que siempre es positiva, así que la función

es creciente y tiene un pto de in�exión en x=0.

Para representar a g, que sabemos que es una parábola con las ramas hacia abajo, calculamos los

puntos de corte con los ejes y su vértice:

Corte con el eje OX ⇒ y = 0⇒ −x2 + x = 0⇒ x = 1, x = 0⇒ P (1, 0), Q(0, 0)

Corte con el eje OY ⇒ x = 0⇒ x = 0⇒ y = 0⇒ Q(0, 0)

Viendo la derivada de f, f ′(x) = −2x + 1. Tiene un máximo en x=1/2, luego el vértice es

V = (1/2, 1/2).


Calculemos también los puntos de intersección de f y g ⇒ x3 − 1 = −x2 + x ⇒ x3 + x2 − x− 1 =

0 ⇒ (x− 1)(x+ 1)2 = 0 ⇒ x = 1;x = −1. Los puntos de intersección son S1(1, 0), S2(−1,−2). La

grá�ca de f y g es:

Observando la grá�ca, se nos pide el área comprendida entre ambas curvas que está representada

en sombreado azul. Se ve que g(x) es mayor que f(x) en el intervalo (-1, 1). Luego el área será la

integral de�nida entre -1 y 1 de g(x)-f(x):

A =

∣∣∣∣∫ 1

−1(−x3 − x2 + x+ 1)dx

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣(−x44 − x3

3+x2

2+ x)dx

∣∣∣∣1−1

=∣∣∣∣(−1

4− 1

3+

1

2+ 1)− (−1

4+

1

3+

1

2− 1)

∣∣∣∣ = 2− 2

3=

4

3u2

3. Halla una función f(x) que pase por el punto (0,1) y tal que f ′(x) = (x2 − 4)ex


Solución:

Como f ′(x) = (x2 − 4)ex ⇒ f(x) =

∫(x2 − 4)ex dx =

∫x2ex dx−

∫4ex dx

Resolvamos I1 =

∫x2ex dx mediante integración por partes:{

u = x2 ⇒ du = 2xdx

dv = exdx⇒ v = ex⇒ I1 =

∫x2ex dx = x2ex − 2

∫xex dx

Tenemos que resolver I2 =

∫xex dx aplicando partes otra vez:{

u = x⇒ du = dx

dv = exdx⇒ v = ex⇒ I2 =

∫xex dx = xex −

∫ex dx = xex − ex.

Por lo tanto:

I1 = x2ex − 2(xex − ex) = ex(x2 − 2x+ 2) y juntando todo tenemos:

I = ex(x2 − 2x+ 2)− 4ex + C = ex(x2 − 2x− 2) + C.


Para calcular el valor de C aplicamos que f(0)=1: ⇒ f(0) = −2 + C = 0⇒ C = 2

Luego la función buscada es: f(x) = ex(x2 − 2x− 2) + 2

4. Dibuja la �gura delimitada por la curva y = −x2 + 4x+ 5, y la recta y = 5. Halla el área de dicha

�gura.


Solución:

La curva es una parabola con los puntas hacia abajo, de vértice V(2,9) y que corta a los ejes en

(-1,0), (0,5) y (5,0). Por lo tanto, la �gura delimitada es:

El área vendrá dada por la integral de�nida de f(x)-g(x) entre los puntos de corte de ambas funciones:

−x2 + 4x+ 5 = 5⇒ −x2 + 4x = 0⇒ x = 4 y x = 4. Luego el área buscada es:∫ 4

0

(−x2 + 4x) dx =−x3

3+ 2x2

∣∣∣∣40

=−64

3+ 32 =

32

3u2

5. Sea f(x) una función positiva en el intervalo [1, 5], así f(x) ≥ 0 para 1 ≤ x ≤ 5. Si el área limitada

por f(x), el eje de abscisas (eje x) y las rectas x=1 y x=5 es igual a 6, calcula el área del recinto

limitado por la función G(x) = f(x) + 2 y las mismas rectas.


Solución:

Sabemos que∫ 5

1

f(x)dx = 6, por lo tanto al ser f(x) positiva también los será G(x) y el área buscada

es:

A =

∫ 5

1

(f(x) + 2)dx =

∫ 5

1

f(x)dx+

∫ 5

1

2dx = 6 + 2x|51 = 6 + 8 = 14u2


6. Calcula el área de la región delimitada por la función f(x) = lnx, la recta tangente a f(x) en x = e

y el eje de abscisas.


Solución:

La pendiente de la recta tangente en x=e es f ′(e) =1

e. El punto de tangencia es (e, f(e)) = (e, 1).

Luego la recta buscada es y − 1 =1

e(x− e)→ y =

x

e. La recta es positiva para x>0 y f(x) = lnx

es positiva en el intervalo (1, e).

Luego el áreas buscada es:

A =

∫ 1

0

x

edx +

∫ e

1

(x

e− lnx) dx =

∫ e

0

x

edx −

∫ e

1

lnx dx =x2

2e

∣∣∣∣e0

− I =e

2− I. Calculemos I:

I =

∫ e

1

lnx dx por partes.

u = lnx⇒ du =dx

xdv = dx⇒ v = x

⇒ I = xlnx|e1 −∫ e

1

dx = e− e+ 1 = 1 .

Por lo tanto: A =(e

2− 1)u2

7. Enuncia el teorema del valor medio de Lagrange para la función:

f(x) =

{xsenx si x ≤ π

acosx+ b si x > π

a) Estudia la derivabilidad de f(x) en función de a y b; expresa la función derivada f'(x) dónde

exista.

b) Calcula el área que determina la función f(x) en el intervalo [0, π].


Solución:


a) Llamamos f1 = xsenx y f2 = acosx + b. Para que sea derivable ha de ser continua así que

estudiamos primero la continuidad de f. Tanto f1 como f2 son continuas y derivables en todo

R. Por lo tanto, solo falta ver para qué valores es continua en x = π. f es continua en π si

coinciden los limites laterales con f(π):

f(π) = lımx→π−

(xsenx) = π · sen(π) = 0

lımx→π+

(acosx+ b) = −a+ b

Luego f es continua en x = π si a=b.

Veamos la derivabilidad de f en x = π: f ′(x) =

{senx+ xcosx si x < π

−asenx si x > π

f ′ ha de ser continua en π:

f(π−) = f(π+)⇔ sen(π)−π ·cos(π) = −asen(π)⇔ −π = 0 que evidentemente no se cumple.

Luego f no es derivable en x = π para ningún valor de a y b.

b) A =

∫ π

0

f(x)dx =

∫ π

0

(xsenx)dx = (∗)Derivamos por partes:[

x = u⇒ dx = du

dv = senxdx⇒ v = −cosx

]⇒ I = −xcosx+

∫cosxdx = −xcosx+ senx

(∗)⇒ A = [−xcosx+ senx]π0 = π u2

8. Calcula una primitiva de la función f ′(x) =1


x→0

ln(x2 + 1)

x


Calculamos f(2) = lımx→0

ln(x2 + 1)

x=

[0

0

](L′H) = lım

x→0

2x

x2 + 11

= 0

Hallamos las primitivas de f': F (x) =

∫1

1− x2dx = (∗)

1

1− x2=

A

1− x+

B

1 + x⇔ 1 = A · (1 + x) +B · (1− x){

x = 1⇒ 1 = 2A⇒ A = 1/2

x = −1⇒ 1 = 2B ⇒ B = 1/2

(∗)F (x) =

∫1/2

1− xdx+

∫1/2

1 + xdx =

1

2[−ln|1− x|+ ln(1 + x)] + C =

1

2ln

∣∣∣∣1 + x

1− x

∣∣∣∣+ C

Hallamos C sabiendo que f(2)=0 ⇒ 1

2ln3 + C = 0⇒ C = −1

2ln3

Luego f(x) =1

2ln

∣∣∣∣1 + x

1− x

∣∣∣∣− 1

2ln3


1−√x.


f(x).

b) Halla∫f(x)dx



Solución:

a) lımx→1

1− x1−√x

=

[0

0

]= lımx→1

(1− x)(1 +√x)

(1−√x)(1 +

√x)

= lımx→1

��(1− x)(1 +√x)

��(1− x)= lımx→1

(1 +√x) = 2

b)∫

1− x1−√xdx =

[x = t2 ⇒ t =

√x

dx = 2tdt

]=

∫1− t2

1− t2tdt =

∫(1 + t)2tdt =

∫2tdt+

∫2t2dt =

= t2 +2t3

3+ C = [t =

√x] = x+

2

3

√x3 + C con C ∈ R



b) Calcula∫x · cos(x2)dx


Solución:

a) h′(x) = 2 · g(x) · g′(x) = 2 · g(x) · cos(x2)⇒ h′(0) = 2 · g(0) · cos(0) = 2

b)∫x · cos(x2)dx =

1

2

∫2x · cos(x2)dx =

1

2sen(x2) + C con C ∈ R

11. (2,5 puntos) Sea g la función tal que g(π2 ) = 0 y su derivada es igual a g′(x) =senx

x, x > 0


b) Sea h(x) =g(x)


c) Determina∫x2 g′(x) dx


Solución:

a) Calculamos la pendiente de la recta tangente en π2 ⇒ m = g′(π2 ) =

sen(π2 )π2

= 2π

Luego la recta tangente es: y = 2π (x− π

2 )⇒ y =2

πx− 1

b) h(x) =g(x)

x⇒ h′(x) =

g′(x) · x− g(x)

x2⇒

h′(π2

)=g′(π2

)· π2 − g

(π2

)(π2

)2 =4

π2

c) I =

∫x2 g′(x) dx =

∫x2

senx

xdx =

∫x · senx dx

Derivamos por partes:[x = u⇒ dx = du

dv = senxdx⇒ v = −cosx

]⇒ I = −xcosx+

∫cosxdx = −xcosx+ senx+ C con C ∈ R


12. Halla∫

x

exdx


Solución:∫x

exdx =

[x = u⇒ dx = du

dv = e−xdx⇒ v = −e−x

]= −xe−x +

∫e−xdx = −xe−x − e−x + C con C ∈ R

13. (2 puntos)


(1 + 4x2)1

sen2x



Solución:

a) L = lımx→0

(1 + 4x2)1

sen2x = [1∞]

Calculamos el límite lımx→0

(1+4x2−1) · 1sen2x = lım

x→0

4x2

sen2x=

[0

0

]= [L′H] = lım

x→0

8x

2senxcosx=

lımx→0

8x

sen2x=

[0

0

]= [L′H] = lım

x→0

8

2cos2x= 4

Luego L = lımx→0

(1 + 4x2)1

sen2x = e4

b) Si hacemos un esbozo de las grá�cas de las funciones:

Calculamos los puntos de corte de las dos curvas ⇒ x = x4 ⇒ x = 0 y x = 1. Luego el área

buscada es:

A =

∫ 1

0

(√x− x2)dx =

[2

3

√x3 − x3

3

]10

=2

3− 1

3=

1

3u2

14. (2 puntos)



1 + x



f ′(x)√x+ 1− 1


Solución:

a) Calculamos las primitivas de f': F (x) =

∫x

1 + xdx =

∫1 + x− 1

1 + xdx =

∫dx −

∫1

1 + xdx =

x− ln|x+ 1|+ C.

Como f es una primitiva de f', hallamos C sabiendo que f(0)= 1 ⇒ C = 1.

Por lo tanto para x>-1 tenemos que f(x) = x− ln|x+ 1|+ 1

b) A =

∫ 1

0

x

1 + xdx = [x− ln|x+ 1|]10 = (1− ln2)u2

c) lımx→0

f ′(x)√x+ 1− 1

= lımx→0

x

(1 + x)(√x+ 1− 1)

= lımx→0

x

(1 + x)(√x+ 1− 1)

·√x+ 1 + 1√x+ 1 + 1

=

lımx→0

�x(√x+ 1 + 1)

�x(1 + x)= lımx→0

(√x+ 1 + 1)

(1 + x)= 2


f(x) =

{cosx x ≤ 0

−x2 + ax+ b x > 0




c) Halla el área encerrada por la función y el eje OX en el intervalo [−−12 , 1].


Solución:

a) Estudiemos primero la continuidad de f. Tanto f1(x) = cosx como f2(x) = −x2 + ax + b son

continuas en R luego f solo puede no ser continua en x = 0. Veamos la continuidad en x = 0:f(0) = lım

x→0−f(x) = f1(0) = 1

lımx→0+

f(x) = f2(0) = b

⇒ b = 0

Estudiamos la derivabilidad de f. Razonando igual que antes solo podrá no ser derivable en

x = 0: f ′(x) =

senx

x < 0

−2x+ a+ b x > 0

⇒ f ′(0−) = sen(0) = f ′(0+) = a⇒ a = 0

Luego f es continua y derivable en R si a=0 y b=1. Por lo tanto:

f(x) =

{cosx x ≤ 0

−x2 + 1 x > 0


b) Sabemos por el apartado anterior que f ′(0) = 0 y por lo tanto en x = 0 f tiene un punto

singular. Estudiamos el signo de f':

(−∞, 0) (0,∞)f' + -


Por lo tanto f tiene un máximo relativo en x = 0 que es M(0, 1)

c) Como f es positiva en el intervalo [−π2 , 1] tenemos que el área buscada es:

A =

∫ 1

−π/2f(x) dx =

∫ 0

−π/2cosx dx+

∫ 1

0

(−x2 + 1) dx = [−senx]0−π/2 +

[−x3/3 + x

]10

= 5/3u2


x2 − 1.






Solución:

a) Domf = R − {±1}, luego f no es continua en x = ±1 en donde presenta discontinuidades de

salto in�nito.

Estudiamos la continuidad en x=0 para ello escribimos f como una función a trozos:

f(x) =

x

x2 − 1si x > 0

−xx2 − 1

si x ≤ 0⇒ Se tiene que f(0) = lım

x→0−f(x) = lım

x→0+f(x) = 0

Por lo tanto f es continua en R− {±1}Estudiamos la derivabilidad en x = 0:

f ′(x) =

−x2 − 1

(x2 − 1)2si x > 0

x2 + 1

(x2 − 1)2si x < 0

⇒ f ′(0−) = −1 6= f ′(0+) = 1⇒ f no es derivable en x = 0

Por lo tanto f es derivable en R− {±1 , 0}

b) f no es derivable en x = 0 y por lo tanto no es derivable en [−12 ,12 ]. No podremos aplicar el

teorema de Rolle en dicho intervalo al no cumplirse una de las hipótesis.

c) f es positiva en [ 32 , 4] luego:

A =

∫ 4

3/2

f(x) dx =

∫ 4

3/2

x

x2 − 1dx =

1

2

∫ 4

3/2

2x

x2 − 1dx =

1

2

[ln|x2 − 1|

]43/2

=

=1

2

(ln15− ln5

4

)=

1

2ln12u2

2.4. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 107

2.4. Estadística y Probabilidad

1. (2 puntos)El 50% de los habitantes de una localidad tienen más de 65 años y el 10% tienen menos

de 18 años. El 60% de los mayores de 65 años, así como el 80% de los menores de 18 y el 40% del

resto de los habitantes, utilizan el complejo de piscinas local.

a) Elegido al azar un habitante de la localidad, la probabilidad de que utilice el complejo de

piscinas local.

b) Elegido al azar un habitante de la localidad que no utiliza el complejo de piscinas local, halle

la probabilidad de que tenga más de 65 años.


Solución:

De�nimos los siguientes sucesos:

A= Menor de 18 años ⇒ P(A)=0,1

B= Edad entre 18 y 65 años ⇒ P(B)=0,4

C= Mayor de 65 años ⇒ P(C)=0,5

D= Usar el complejo de las piscinas

a) P(D)=P(A)·P(D/A)+P(B)·P(D/B)+P(C)·P(D/C)=0,1·0,8+0,4·0,4+0,5·0,6=0,54= 54%

b) P(C/D)=P (C ∩D)

P (D)=P (C) · P (D/C)

1− P (D)=

0, 5 · 0, 40, 46

' 0, 4348 = 43, 48 %

2. (2 puntos)En una universidad el 30% de los alumnos va a la cafetería A, el 60% va la cafetería B

y el 20% va a ambas cafeterías.

a) Si se elige al azar un estudiante que va a la cafetería A, halle la probabilidad de que también

vaya a la cafetería B.

b) Si se elige al azar un estudiante de la universidad, calcule la probabilidad de que el estudiante

no vaya a la cafetería A ni la cafetería B.


Solución:

Podemos solucionarlo de diferentes formas, mediante una representación grá�ca con diagramas de

Venn o aplicando las propiedades de la probabilidad.

En el siguiente diagrama de Venn queda muy bien re�ejado el problema:


Veamos la solución mediante el diagrama.

a) P (B/A) =P (A ∩B)

P (B)=

0, 2

0, 3=

2

3

b) P(Ni A ni B)=0,3

Mediante las fórmulas:

a) P (B/A) =P (A ∩B)

P (B)=

0, 2

0, 3=

2

3

b) 'Ni A ni B' =A ∪BP (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 0, 3 + 0, 6− 0, 2 = 0, 7

P (A ∪B) = 1− P (A ∪B) = 1− 0, 7 = 0, 3

3. (3 puntos)En una empresa fruticola, la producción por árbol sigue una distribución normal 54,3

kg y desviación típica de 6,5 kg.

a) ¾Qué porcentaje de árboles producen entre 50 kg y 57 kg? Cuál es el porcentaje de árboles

que producen más de 57 kg?

b) Si se escoge al azar un árbol que está dentro del 70% de los árboles que menos producen, ¾a

lo sumo cuántos kilogramos debería producir?


Solución:

Sea X= Producción en kg de cada árbol. X ∈ N(54, 3; 6, 5)

a) Tenemos que calcular P (50 ≤ X ≤ 57). Tipi�camos la variable: Z =X − 54, 3

6, 5obtenemos:

P (50 ≤ X ≤ 57) = P

(50− 54, 3

6, 5≤ Z ≤ 57− 54, 3

6, 5

)= P (−0, 66 ≤ Z ≤ 0, 415) = P (0, 66 ≤

Z) + P (0, 415 ≤ Z)− 1 = 0, 7454 + 0, 66095− 1 = 0, 4064 = 40, 6 %

b) Tenemos que calcular el valor x tal que P (X ≤ x) = 0, 7. Tipi�cando z =x− 54, 3

6, 5tenemos

que:

P (Z ≤ z) = 0, 7⇒ z = 0, 5244⇒ x = 57, 71

Por lo tanto, el máximo de kilogramos que puede producir es de 57,71 kg.

4. (2 puntos) Una mujer, que sospecha estar embarazada, acude a la consulta del médico. Al examinar

la cuidadosamente, el médico cree que está embarazada con una probabilidad de 0,6. Para con�rmar

el diagnóstico, el médico encarga un test que da negativo en el 4% de los casos que la mujer está

realmente embarazada. Mientras que el test da positivo en el 5% de los casos en los que la mujer

no está embarazada. Calcula la probabilidad de que:

a) El test dé positivo.

b) La mujer está embarazada sabiendo que el test da positivo.



Solución: Sean los sucesos: E=Estar embarazada y P=Dar positivo en el test.

Creamos un árbol de probabilidades:

a) Podemos hacerlo de diferentes formas:

1) Mirando el árbol: P(P)=0,6·0,96+0,4·0,05=0,56=59,6%2) Aplicando el teorema de la probabilidad total:

P(P)=P(E)·P(P/E)+P(E')·P(P/E')= ,6·0,96+0,4·0,05=0,56=59,6%

b) Aplicamos el teorema de Bayes:

P (E/P ) =P (E ∩ P )

P (P )=P (E) · P (P/E)

P (P )=

0, 6 · 0, 96

0, 596= 0, 97 = 97 %

5. (2 puntos) El número de vuelos que llegan a un aeropuerto por la mañana es de 140, por la tarde,

200, y por la noche, 40. El porcentaje de vuelos que se retrasan por la mañana es del 2%, por la

tarde del 4% y por la noche de un 6%.


b) Si un vuelo llego con retraso aeropuerto, ¾cuál es la probabilidad de que fuera un vuelo de la

tarde?


Solución: Este tipo de problemas se pueden resolver de diferentes formas: por tablas de contin-

gencia o por la probabilidad total.

TABLAS DE CONTINGENCIAMañana Tarde Noche Total

Retraso 2,8 8 2,4 13,2

No Retraso 137,2 192 37,6 366,8

Total 140 200 40 380

a) P(NO Retraso)=366, 8

380= 0, 965

b) P(Tarde/Retraso)=8

13, 2= 0, 606

PROBABILIDAD TOTAL

a) P (R) = P (M)·P (R/M)+P (T )·P (R/T )+P (N)·P (R/N) =140

380·0, 98+

200

380·0, 96+

40

380·0, 94 =

0, 965


b) P (T/R) =P (T ∩R)

P (R)=P (T ) · P (R/T )

P (R)=

200

380· 0, 04

0, 035= 0, 606

6. (3 puntos) La distribución del número de rapes capturados por los barcos pesqueros que salen a

faenar en una cierta zona se ajusta a una normal de media 220. Se sabe que, tomando un barco al

azar la probabilidad de captura más de 250 es 0,1587.

a) Calcula la desviación típica de la distribución.

b) Calcula el número de rapes que un barco debe capturar para estar en el percentil 95.



Solución:

a) X=Número de rapes capturados, X ∼ N(220, σ)

Sabemos que P (X ≥ 250) = 0, 1587⇒ P (X ≤ 250) = 0, 8413.

Tipi�camos la variable: Z =X − 220

σ⇒ z1 =

250− 220

σ.

Luego P (Z ≤ z1) = 0, 8413. Si miramos en la tabla obtenemos que z1 = 1

⇒ 1 =250− 220

σ⇔ σ = 30

b) Hallar x1 tal que P (X ≤ x1) = 0, 95⇔ P

(Z ≤ x1 − 220

30

)= 0, 95⇒ x1 − 220

30= 1, 645

x1 = 269, 35

El número de rapes para el percentil 95 es aproximadamente 269.

7. (3 puntos) Se tienen tres urnas: A, B y C. La urna A contiene 2 bolas blancas y 3 negras, la B

tiene 3 bolas blancas y 2 negras, la C 4 bolas blancas y una negra. Se lanza un dado y se toman

dos bolas de una urna: De la urna A si sale 1, dos o tres, de la urna B si sale un cuatro o un cinco

y de la urna C si sale un 6.

a) Calcula la probabilidad de obtener dos bolas blancas.

b) Suponiendo que las dos bolas extraídas son blancas, la probabilidad de que se hayan extraído

de la primera urna.


Solución:

Hacemos un árbol de probabilidades:


a) Observando el árbol �>P(2 bolas blancas)=1

20+

2

20+

1

10=

5

20=

1

4Aplicando la probabilidad total:

P(2blancas)=P(urnaA)·P(1aB/urnaA)·P(2oB/urnaA y 1oB)+P(urnaB)·P(1aB/urnaB)·P(2oB/urnaBy 1oB)+P(urnaC)·P(1aB/urnaC)·P(2oB/urnaC y 1oB)=

1

2

2

5

1

4+

1

3

3

5

2

4+

1

6

4

5

3

4=

1

4

b) P(UrnaA/1oB y 2aB)=P (UrnaA ∩ 1B ∩ 2B)

P (1B ∩ 2B)=P (UrnaA) · P (1A/urnaA) · P (2B/UrnaA ∩ 1B)

P (1B ∩ 2B)=//

=

1

2

2

5

1

41

4

=4

20=

1

5

8. (3 puntos) El peso medio según la OMS de un niño de 5 años y una distribución normal de media

18,5 kg y desviación típica 2,25 kg. Si se elige un niño al azar. Halla el porcentaje de niños

a) Cuyo peso superior a 23 kg.

b) Cuyo peso está entre 15 y 23 kg.



Solución: X= Peso medio de los niños de 5 años, X ∼ N(18, 5; 2, 25)

a) P (X ≥ 23) = 1− P (X ≤ 23). Hacemos la tipi�cación Z =X − 18, 5

2, 25:

P (X ≥ 23) = 1−P (X ≤ 23) = 1−P(Z ≤ 23− 18, 5

2, 25

)= 1−P (Z ≤ 2) = 1−0, 9772 = 0, 0228

b) P (15 ≤ X ≤ 23) = P (−1, 56 ≤ Z ≤ 2) = P (Z ≤ 2) − P (Z ≤ −1, 56) = P (Z ≤ 2) −[1− P (Z ≤ 1, 56)] = P (Z ≤ 2) + P (Z ≤ 1, 56)− 1 = 0, 9772 + 0, 9401− 1 = 0, 9173


9. (2 puntos) En un colegio se han acertado para los niños de infantil tres actividades extraescolares

inglés (ING), Multideporte (MUL), robótica (ROB), con dos rangos de edad de 3 a 4 años (MP)

y de 5 a 6 años (MG). Sabe que se han apuntado actividad total de 300 niños. De ellos, hay 100

que tienen entre 3 y 4 años, de los cuales 82 hacen inglés y 10 han elegido multideporte. Se sabe

que al grupo de robótica se han apuntado 83 niños, y hay 105 niños de entre 5 y 6 años que se han

apuntado a inglés.

a) Toma un niño al azar, siguientes probabilidades:

P (MG), P (MUL), P (MP ∩ROB), P (ROB|MP ) y P (MG|ING)

b) Comprueba que el suceso MUL es independiente de la edad del niño.


Solución:

Realizamos una tabla de contingencia:ING MUL ROB Total

MP 82 10 8 100

MG 105 20 75 200

Total 187 30 83 300

a) P (MG) =200

300=

2

3

P (MUL) =30

300= 0, 1

P (MP ∩ROB) =8

300=

4

75

P (ROB|MP ) =8

100=

2

25

P (MG|ING) =105

187b) Para comprobar que son independientes basta comprobar que: P (MUL ∩MP ) = P (MUL) ·

P (MP ) y P (MUL ∩MG) = P (MUL) · P (MG)P (MUL) · P (MP ) =

30

300· 100

300=

1

30

P (MUL ∩MP ) =10

300=

1

30

⇒ MP y MUL son independientes

P (MUL) · P (MG) =

30

300· 200

300=

2

30

P (MUL ∩MG) =20

300=

2

30

⇒ MG y MUL son independientes

Por lo tanto el suceso MUL es independiente de la edad.

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