Exámenes Resueltos de Cálculo I

7/24/2019 Exmenes Resueltos de Clculo I

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C ALCULO IPrimer curso. Primer examen parcial. 29 de Octubre de 2012.

APELLIDOS...................................................................................................N UMERO...........NOMBRE...........................................

Primera pregunta. Un error considerado muy graveen alguno de los apartados puede hacer quela calicacion glo!al de la pregunta sea " puntos. #$ puntos por apartado.%

Responda breve y razonadamente Los errores que se citan han aparecido& al 'enos& en un $" (")de los e*a'enes.

+. Deter'inar el con,untofx2 R - jx2 j< jxjg. /Es un inter0alo1

Metodo geometrico:

Zona buscada

Dada la si'etria pode'os tra!a,ar en el pri'er cuadrante. Asi

de!e'os hallar las a!scisas de la interseccion de y 2 x cony2 x2 3 con y2 x2. Estas son $; ( 3 asi la solucion

es #(; $% [ #$; (%. No es un inter0alo.

Metodo analtico:

#a% 4aso x "5 jx2 j< jxj , jx2 j< x , x < x2 < x

x2 < x ) x2 x < ". 4o'o x2 x 2 " ) x 2 $; (& la desigualdad secu'ple para x2 #$; (%

x < x2 ) x2 6x > ". 4o'o x2 6x 2 " ) x2 (; $& la desigualdad se

cu'ple para x2 #1; (% [ #$; 61%4o'o de!en cu'plirse las dos si'ultanea'ente& de!e'os considerar la interseccion& que es#$; (%.

#!% 4aso x < "5 jx2 j < jxj , jx2 j < x , x < x2 < x. Repitiendo el procesoanterior tene'os el inter0alo #(; $%

Por tanto& el con,unto pedido es #(; $% [ #$; (%. No es un inter0alo.

Principales errores: Desconoci'iento de la denicion de 'odulo #o 0alor a!soluto% de unnu'ero real 3 de sus propiedades.

$. Deter'inar los nu'eros co'ple,os z 62 " que 0erican que z& (z

3 $ z tienen el 'is'o 'odulo.

jzj2 (

jzj2j$ zj. Si z 2 x 6iy tene'os

#a% jzj2 (

jzj ) jzj2 2 ( ) x2 6y2 2 (.

#!% j$ zj 2 jzj ) j$ zj2 2jzj2 2 ( ) #$ x%2 6y2 2 ( ) 7 7x6x2 6y2 2 ( 3 co'ox2 6y2 2 (& tene'os 7 7x2 " ) x2 +.


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Asi& + 6y2 2 ( ) y2 2 $ ) y2 p$ 3 los nu'eros pedidos son + ip$.

Principales errores : No sa!er la denicion de 'odulo de un nu'ero co'ple,o.

Decir que (

a6ib2

(

a6

(

ib3 por tanto

(

a6ib

2

r(2

a2 (

2

b2 #Notese& ade'as& el signo%.

Ol0idar que se pide que los nu'eros co'ple,os i'plicados tengan el mismo modulo& no que seaniguales.

Decir quej$ zj 2 j$j jzj 2 $ jzj #A 0eces se prescinde de la ulti'a igualdad%.

(. 4alcular ra8onada'ente el l9'ite li'x!+1

sen#:x2%

(x6 + . /4a'!ia el 0alor del l9'ite si x ! 11

4o'o li'x!+1

+

(x6 +2 " 3j sen#:x2%j +& el l9'ite 0ale ". Sucede lo 'is'o si x ! 1.

Principales errores : Mala utili8acion de la regla de L;que no se puede usar?& 3a que

no e*iste el l9'ite del cociente de deri0adas%Utili8ar equi0alencias para el sen#:x2% cuando x ! 61.Decir que e*iste el li'

x!+1sen#:x2% 3 que 0ale ....#aqui ponga lo que le pare8ca& ha3 para todos los

gustos.%

7. Sea f 5 @+; +! R; f#x% 2

ex ln jx2 +j si +< x


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Segunda pregunta. Un error considerado muy grave en alguno de los apartados puede hacer quela calicacion glo!al de la pregunta sea " puntos. #+" puntos.%

Deter'inar el 0alor de para que el l9'ite

li'x!1

ln

+ 6 3q

x22x+1

x23x+2

sen#x +%tg#x +%

sea un nu'ero real no nulo.

4o'o li'x!13rx2 $x 6 +

x2 (x 6 $ 2 li'x!13rx +

x $ 2 "& pode'os aplicar la equi0alencia del logarit'o. Aplica'os ade'as las correspondientes al seno 3 la tangente 3 asi

li'x!1

ln

+ 6 3q

x22x+1

x23x+2

sen#x +%tg#x +%

2 li'x!1

3

qx22x+1

x23x+2

#x +%#x +%2 li'

x!1

(x1)1

3

(x2)1

3

#x +%#x +%2 li'

x!1

#x +%1

31

#x $%1

3

Este l9'ite 0ale sie'pre " sal0o que +

( + 2 " ) 2

$

(.


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Tercera pregunta. Un error considerado muy grave en alguno de los apartados puede hacer quela calicacion glo!al de la pregunta sea " puntos.

Sea f 5R ! R; f#x% 2p

+ 6 jxj3.+. Estudiar su deri0a!ilidad 3& en su caso& hallarf0#x%. #" 5 f00#x% 2 +$x 6 (x4

7#+ 6 x3%32

x


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Cuarta pregunta. Un error considerado muy graveen alguno de los apartados puede hacer que lacalicacion glo!al de la pregunta sea " puntos.

Seaaun nu'ero real positi0o. $& tene'os dos puntos cr9ticos& x 2 " 3 x 2 $p

a $. En

"; $p

a $

& f0#x% < " 3a que

f0#"% 2 $ a3 f es decreciente. En

$p

a $; 61

& f0#x%> " 3a que f0

7p

a $

2 (#a $%> "3 f es creciente. Asi& el '9ni'o esta en x 2 $

pa $.

Segundo planteamiento:

Pode'os e*presar la distancia en Cuncion de y& con lo que g#y% 2 7y6 #y a%2; y2 @"; 61%. Ahorag0#y% 2 7 6 $#y a% 2 " 3 asi y2 a $. Si a $; a $ " 3 el punto pertenece al inter0alo. Si a


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C ALCULO IPrimer curso. Seundo examen parcial. ! de "nero de 2013.



Responda breve y razonadamente

+. La graca de una Cuncion tiene pendiente #x+%2 en cada punto 3 pasa por #"; +%.


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7. Sean f; g 5 R2 ! R2 tales que rf#x; y% 2 #x2; y3 6 $% 3 g#x; y% 2 #x2 6 y2; sen#xy%%.


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Segunda pregunta. Un error considerado muy grave en alguno de los apartados puede hacer quela calicacion glo!al de la pregunta sea " puntos. #+" puntos.%


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Tercera pregunta. Un error considerado muy grave en alguno de los apartados puede hacer quela calicacion glo!al de la pregunta sea " puntos.

Sea f#x; y% 2

8"; z >"g3 ( 5" ! R; (#x ;y ;z% 2 ln x 6 ln y6 ( ln z.+. Deter'inar los e*tre'os relati0os de( en " . #"& z 2p

: x2 y2. Sustitu3endo en la Cuncion&

f#x; y% 2 (#x;y;p

: x2 y2% 2 ln x6 ln y6 ($

ln#: x2 y2%

@f

@x 2

+

x (x

: x2 y2 2 " ) +

x2

(x

: x2 y2 ) : x2 y2 2 (x2

@f

@y 2

+

y (y

: x2 y2 2 " ) +

y 2

(y

: x2 y2 ) : x2 y2 2 (y2

Asi (x2 2 (y2 3 co'o x >"; y >"& x 2 y . Sustitu3endo en la pri'era ecuacion& : $x2 2 (x2 3&por tanto& x 2 +; y2 +; z 2

p(. Solo ha3 un punto cr9tico.

@2f

@x2 2 +

x2 (#: x

2 y2% 6 x2#: x2 y2%2 )

@2f

@x2#+; +% 2 H

(3& por si'etr9a

@2f

@y2#+; +% 2 H

(

@2f

@x@y 2 xy

#: x2 y2%2 ) ) @2f

@x@y #+; +% 2 $

(

El


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C ALCULO I

Primer curso. "xamen de %ulio. 3 de %ulio de 2013.



Sea A 5 f#x;y;z%2 R3 j z +g 3 f 5A ! R

f#x;y;z% 2 x2 6y

Z z2

1

+ ln t

t2 dt

+. Estudiar la continuidad 3 diCerencia!ilidad def en A. #


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Examenes del curso 2013 2014


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:. El polino(io de a8lor de orden 0 de la x2 0x3. Estudiar sien a+ & alcan?a un e6tre(o relati*o. Si lo hace1 4de que tipo es5

Sa!e(os que los *alores de las deri*adas de f8 del polino(io en a+ & coinciden. Asi

p0#x% + : - &9x @x2 ) f0#&% +p0#&% + ".

p00#x% + &9 &x ) f00#&% +p00#&% + 9.

Se trata de un (a6i(o relati*o.


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Segunda pregunta. Un error considerado muy grave en alguno de los apartados puede hacer quela calicacion glo!al de la pregunta sea " puntos.

&. ;alcule el l7(ite li(x!0

x

tg x

1sen2 x

. #'asta : puntos.%

$. Dada la :

$e1x e 1jxj

$e1x e 1jxj

si x 6+ "k si x+ "

deter(ine #si e6iste% el *alor de k para que f sea continua. #'asta : puntos.%

&. Se trata de &1. Si L+ li(x!0

x

tg x

1sen2 x

1 tene(os

ln L+ li(x!0

&

sen2 xln

x

tg x+ li(

x!0

&

sen2 x

x

tg x &

+ li(

x!0

x tg xtg x sen2 x

+ li(x!0

x tg xx3

Aplicando la regla de L'Copital

ln L+ li(x!0

+ li(x!0

x tg xx3

+ li(x!0

& #& - tg2 x%0x2

+ li(x!0

tg2 x0x2

+ li(x!0

x20x2

+ &0 ) L+ &

3p

e

$. La


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Tercera pregunta. Un error considerado muy grave en alguno de los apartados puede hacer quela calicacion glo!al de la pregunta sea " puntos. #'asta &" puntos.%

;onsidere(os las


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Se desea construir un cilindro de *olu(en V + &"" (31 con la (enor supercie total posi!le1 quepueda ser colocado so!re su !ase en una (esa circular de radio a sin so!resalir de ella #el c7rculo que


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C ALCULO IPrimer curso. e!undo examen parcial. " de #nero de 2014.




&. Sea F / 2&; -1% ! R1 F#x% +Z

ex2

1

t ln t dt. ;alcular1 si es posi!le1 F0 #$%.

;o(o tanto la


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9. Sea f / R ! R una


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;onsidere(os la


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;onsidere(os la >>:

#& - $x- y%sen#x2y%p

x2 - y2#x; y% 6+ #"; "%

a #x; y% + #"; "%

&. 'allar el *alor de a1 si e6iste1 para que f#x; y% sea continua en R2. #'asta : puntos.%

$. Para el *alor de acalculado antes1 estudiar la di


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Dada la " "

" &

>". M7ni(o local.

Punto&;

$

. "

&;

$

+

$< " "

" &

>". Ma6i(o local.

Punto #"; "%. "#"; "% + " $

$ "


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9. Sea F#x; y% +

Z 2yxx24

et2

dt.

#a% De(ostrar que Fes di


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C ALCULO I

Primer curso. #xamen $nal. 24 de #nero de 2014.



Sean 8 dos nu(eros reales (a8ores que " 8 considere(os la

&

$ el l7(ite e6iste 8 *ale "1 por lo que es deri*a!le para esos *alores de 8 todo .


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C ALCULO I




En la se(ies


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C ALCULO I




Sea f#x; y% + $x2 -y2 - 9x- 0.

&. ;alcular los e6tre(os relati*os de f.

$. 'allar los (a6i(os 8 (7ni(os a!solutos de fen la corona circular x2 -y2 &; x2 -y2 9.

&. ;o(o @f

@x

+ 9x- 9 + " ) x+ & @f

@y

+ $y + " ) y + "1 el unico punto cr7tico es #&; "%.

Ade(as @2f

@x2 + 9

@2f

@x@y + "

@2f

@y2 + $ )

9> " "" $

+ > " por lo que se trata de un

(7ni(o.

$. Circunferencia interior: y2 + & x2; x 22&; &3. Sustitu8endo en ftene(os g#x% + x2 - 9x- 9.Asi g0#x% + $x- 9 + " 8 se tiene x + $ que no pertenece al inter*alo. Solo ha8 que incluir lose6tre(os del (is(o/ #&; "%.

Circunferencia exterior: y2 + 9 x2; x 2 2$; $3. Sustitu8endo en f tene(os g #x% + x2 - 9x- >.Asi g0#x% + $x- 9 + " 8 se tiene x + $ que es un e6tre(o del inter*alo. Inclu8endo el otroe6tre(o/ #$; "%.

E*aluando f#&; "% + @; f#&; "% + &; f#$; "% + &@; f#$; "% + 0. Ma6i(o a!soluto en #$; "% 8(7ni(o en #&; "%.


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C ALCULO I

Primer curso. #xamen extraordinario de %ulio. 2 de %ulio de 2014.




&. ;alcular #& -i%9

& -i9 1 siendo i la unidad i(aginaria de los nu(eros co(ple)os.

i9 + #i4%2i+ & i+ i ) & -i9 + & -i ) #& -i%9

& -i9 +

#& -i%9

& -i + #& -i%8

;o(o j&-ij + p$ ) j#&-i%8j + #p$%8 + &. Ade(as1 arg #&-i% + 9

) arg #&-i%8 + 9

+ $.

La solucion es &.

$. 'allar el nu(ero de ra7ces reales de f#x% + ln#& - x% xx- &

en 2";-1%. #Se pide solo el numero,no hallarlas.%

f#"% + " 8 por tanto tiene al (enos una ra7? real. ;o(of0#x% + &

& -x &

#x- &%2 +

x

#x- &%2 que

es positi*o en #";-1%1 f es creciente 8 tiene1 a lo su(o 1 una ra7?. ;onclusion/ iene una unicara7? #que1 ade(as1 es x+ "%.

0. Sea f2 C(+1#R%. Sa!e(os que ftiene un (a6i(o local en x0 8 que f00#x0% + ". 'alle f000#x0%.Si f000#x0%6+ "1 f tendr7a un punto de inGe6ion en x0. Nos han dicho que tiene un (a6i(o localpor lo que f

000

#x0% + ".

9. 'allar el (a8or *alor que puede to(ar la


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C ALCULO I



Segunda pregunta. Un error considerado muy grave puede hacer que la calicacion glo!al de lapregunta sea " puntos.

Sea f / 2&; -1% ! R1 f#x% + ln x

x . 'allar el *olu(en del cuerpo de re*olucion que se


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C ALCULO I



Tercera pregunta. Un error considerado muy grave puede hacer que la calicacion glo!al de lapregunta sea " puntos. #'asta &" puntos.%

'allar los e6tre(os a!solutos de la ". El unico punto cr7tico es #"; "%.

$. Estudio en la frontera:

Primera forma: ;o(o x2 -y2 + @1 la


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C ALCULO I




Dadas las


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Examenes del curso 2014 2015


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&. De'uestre 'ediante el principio de induccionnX

k=1

&

k#k( &%)

n

n( &

Paran ) & es de co'pro!acion in'ediata. Supone'os cierto quenX

k=1

&

k#k( &%)

n

n( &* de!e'os

co'pro!ar

n+1

Xk=1

&

k#k( &% )

n( &

n( $ .

n+1X

k=1

&

k#k( &%)

nX

k=1

&

k#k( &%(

&

#n( &%#n( $%)

n

n( &(

&

#n( &%#n( $%)

n2 ( $n( &

#n( &%#n( $%)

) #n( &%2

#n( &%#n( $%)

n( &

n( $

$. Deter'inar el con+untof z2 C j z,z ) i g- siendo C el con+unto de los nu'eros co'ple+os e i launidad i'aginaria.

z ) x (iy; ,z ) x iy ) z,z) $iy ) i ) y ) &$

Son los nu'eros co'ple+os con parte i'aginaria &

$.

. /allar- si e0iste- el 1alor de li'x!0

px2

sen x

2o'o li'x!0

px2

sen x) li'

x!0

jxjsen x

tene'os

li'x!0+

jxjsenx

) li'x!0+

x

x) & li'

x!0

jxjsen x

) li'x!0

xx

)&

No e0iste el l3'ite.


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4. Sea f 5 6&; (1% ! R f#x% )ex x3 12

px( &. Deter'inar cuantas ra3ces reales tiene. #no

se pide su calculo, solo su numero%

2o'o f#&% ) e & > " * li'x!+1

f#x% )1- tiene al 'enos una ra37 real. La deri1ada en#&; (1% es

f0

#x% ) ex x2 &

4px( & a he'os 1isto que $ es un punto cr3tico #o estacionario%. 2o'o f00#$% ) p00#$% ) " es unposi!le punto de in?e0ion. Ade'asf000#$% )p000#$% ) : 6) "- se trata de un punto de in?e0ion.


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2onsidere'os la 8uncion f#x% ) x3 ln jxj si x 6) "- f#"% )a. #ln es el logarit'o neperiano.%

&. /allar el 1alor de a#si e0iste% para el que f es continua. #/asta puntos.%

$. Estudiar la e0istencia de las deri1adas pri'era- segunda * tercera def enx ) ". #/asta 9 puntos.%

. Escri!ir el polino'io de ;a*lor de f en a ) " de 'a*or orden posi!le. #/asta $ puntos.%

La 8uncion es f#x% )8"a si x) "x3 ln#x% si x


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Tercera pregunta. Un error considerado muy gravepuede hacer que la calicacion glo!al de lapregunta sea " puntos. #/asta &" puntos.%

Sea f 5 #"; (1% ! R; f#x% ) &

x.

&. /allar el punto de la cur1a por el que de!e'os tra7ar la recta tangente de 8or'a que el seg'entode recta tangente deter'inado por los e+es coordenados tenga longitud '3ni'a. #/asta 9 puntos.%

$. &; f0#a%> & luego f crece.

&. El punto cr3tico & pertenece al do'inio * las consideraciones so!re los signos de la deri1ada nosdicen que ha* un '3ni'o a!soluto. ;a'!ien se pueda hacer por consideraciones geo'etricas. Elpunto !uscado es #&; &%.

$. En este caso el unico punto cr3tico & no pertenece al inter1alo- la deri1ada no se anula en el * es


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&. 2alcule

Z x( :

x2 ( $x( 9dx

I)

Z x( :

x2 ( $x( 9dx )

$

Z $x( 4

x2 ( $x( 9dx )

$

Z $x( $

x2 ( $x( 9dx ( 4

Z &

x2 ( $x( 9dx

2o'o x2 ( $x( 9 ) #x( &%2 ( 4 ) 4"

& (x( &

$

2#

-

I)

$

"Z $x( $

x2 ( $x( 9dx( $

Z 12

& (x+12

2 dx#

)

$ln jx2 ( $x( 9j ( arctg

x( &

$ (c:

Nota5 2o'o x2 ( $x( 9 "- puede eli'inarse el 'odulo en el logarit'o.

$. Estudiar la di8erencia!ilidad en #"; "% de la 8uncionf#x; y% ) jy x2j.

2o'o li'y!0

f#"; y% f#"; "%y " ) li'y!0 j

yjy

no e0iste- no e0iste la deri1ada parcial respecto a y * no es

di8erencia!le.

. SeaF#x; y% )

Z 2yxx24

et2

dt. De'ostrar queFes di8erencia!le en el punto #$; &% * hallar la ecuacion

del plano tangente a la graca de F en dicho punto.

@F

@x ) e(2yx)

2

$xe(x24)2

@F

@y ) $e(2yx)

2

las deri1adas parciales e0isten * son continuas por ser co'posicion de la 8uncion e0ponencial conpolino'ios.Por tanto F es di8erencia!le.

@F

@x#$; &% ) 9

@F

@y#$; &% ) $ ) rF#$; &% ) #9; $%. Asi- co'o F#$; &% )

Z 00

et2

dt ) "- la

ecuacion del plano tangente es

z) " ( #9; $% #x $; y &% ) 9x( $y(


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2onsidere'os el sector circular denido por

f #x; y% jx2 ( y2 r2; yp

x; x "g

2alcular el 1olu'en del cuerpo engendrado por este sector cuado gira alrededor del e+e O.

sector

Las secciones ortogonales al e+e Oson coronas circulares. El radio e0terior es y ) (pr2 x2 * el

interior es y)p

x. Por tanto el area de la corona es A#x% ) !#r2 x2% !x2 ) !#r2 4x2%. 2o'o elpunto de interseccion entre la circun8erencia * la recta tiene por a!scisa

r

$

" ) !

Z r2

0

#r2 4x2% dx) !r3


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Tercera pregunta. Un error considerado muy gravepuede hacer que la calicacion glo!al de lapregunta sea " puntos. #/asta &" puntos.%

Deter'inar el 'a0i'o * '3ni'o a!solutos de la 8uncion f#x; y% )x2 (y2 ( & en la region

A)f#x; y%2R2 j x2

4 (y2 $; y& g

La region es la que aparece en la gura

A

1

Puntos crticos relativos5 @f

@x ) $x) "

@f

@y ) $y) ". Solo el #"; "%.

Estudio en la frontera5

Segmento con y ) &5 Sustitu*endo en la elipse se tiene x2

4 ) &- por lo que x2 6$; $F. De!e'os

estudias ##x% ) f#x; &% ) x2 ( $; x26$; $F. 2o'o #0#x% ) $x ) "- solo tene'os x) ". 2o'oesta'os en el seg'entoy ) &- el punto cr3tico es #"; &%. Ade'as de!e'os aGnadir los correspondientesa los e0tre'os del inter1alo- #$; &% * #$; &%.

Elipse5 En la elipse tene'os y2 ) x2

4 x2 6$

p$; $

p$F. En el estudio de!e'os prescindir de

los posi!les resultados con y >&

#1#x% )x2

4 ( ) #01#x% )

:x

4 ) " ) x) "

Si x ) "- y )p$ * co'o y ) (p$ > &- prescindi'os de el. ;ene'os asi #";p$% co'o puntocr3tico. Ade'as de!e'os aGnadir #$p$; "% correspondientes a los e0tre'os del inter1alo. E1aluandofes todos esos puntos- se tiene '3ni'o a!soluto en #"; "% * 'a0i'os a!solutos en #

$p

$; "%.


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C ALCULO I

Primer curso. #xamen $nal ordinario. 2% de #nero de 2015.




&. 2alcule las ra3ces de x4 & ) " * e0preselas en 8or'a a (i$.

Resolucion elemental: #x4&% ) #x2H%#x2(H% ) #x%#x(%#xi%#x(i% ) " ) x) ;iCalculando

4p

&:

2o'o & ) 4- el 'odulo de las soluciones es 4p

& ) . El argu'ento de & es " * co'o es unara37 cuarta necesita'os 4 argu'entos consecuti1os5 "; $!; 4!; :!. Los argu'entos de las soluciones

seran5 "; !

$ ; !; !

$ * las soluciones

x1) #cos " (i sen "% ) ; x2)

cos!

$(i sen

!

$

) i-

x3) #cos !(i sen !% ) ; x4)

cos!

$ (i sen

!

$

) i.

$. Estudie la deri1a!ilidad de f#x% ) e2jxj &

e2x ( & en x ) ".

li'x!0+

f#x% f#"%x

" ) li'

x!0+

e2x &x#e2x ( &%

) li'x!0+

&

e2x ( & li'x!0+

e2x &x

)&

$ li'x!0+

$e2x ) &

li'x!0

f#x% f#"%x " ) li'x!0+

e2x &x#e2x ( &%

) li'x!0+

&

e2x ( & li'x!0+

e2x &x

)&

$ li'x!0+

6$e2xF ) &

Donde he'os aplicado que el l3'ite del producto es el producto de l3'ites si la operacion estadenida * la regla de L@/opital. No es deri1a!le.

. Sea f#x; y% ) $x2 y2. Deter'ine si en el punto #&; "% ca'!ia 'as rapida'ente en la direccion dele+e Oo en la del e+e O%.

Necesita'os las deri1adas direccionales- pero al ser en la direccion de los e+es- son las deri1adasparciales5

@f@x

) 4x ) @f@x

#&; "% ) 4 @f@y

) $y ) @f@y

#&; "% ) ".

2a'!ia 'as rapida'ente en la direccion de O.


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4. El polino'io de ;a*lor de orden $ de f#x; y% en el punto #$; % es

( $#x $% ( #x $%2 ( #y %2 ( $#x $%#y %

De'uestre que la 8unciong#x; y% ) f#x; y% $#x $% tiene un e0tre'o relati1o en el punto #$ ; % *clasi83quelo.

El polino'io deg#x; y% es (#x$%2 ( #y%2 ( $#x$%#y%. 2o'o no aparecen x $; y-@g

@x#$; % )

@g

@x#$; % ) " por lo que es punto cr3tico. Ade'as

@2g

@x2#$; % ) $;

@2g

@y2#$; % ) :;

@2g

@x@y#$; % ) $; )

$> " $

$ :

) > "

Se trata de un '3ni'o.

9. Dadas las 8uncionesg#x; y% ) #x2 ( &; y2%-f#u; v% ) #u ( v ;u;v2%- deter'ine la 'atri7 +aco!iana deh) f g en el punto #&; &%.

La 8uncion co'puesta es h#x; y% ) #x2 (y2 ( &; x2 ( &; y4% * asi las deri1adas parciales de las tres8unciones co'ponentes son

@h1

@x ) $x;

@h1

@y ) $y;

@h2

@x ) $x;

@h2

@y ) ";

@h3

@x ) ";

@h3

@y ) 4y3

* e1aluando en el punto #&; &% tene'os 0@

$ $$ "" 4

1A


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C ALCULO I




&. 2alcule el 1olu'en del cuerpo que se o!tiene al girar alrededor del e+eOel c3rculo x2(#y%2 &.#/asta puntos.%

$. 2alcule el l3'ite li'x!1

Rx

1

ln t

t dt

cos#x &% &. #/asta puntos.%

&. El 1olu'en !uscado es la di8erencia entre el 1olu'en generado por el area de la segunda gura #"1%* el generado por la tercera #"2%.

"1) $!

Z 10

#(p

& x2%2 dx) $!

Z 10

#H(&x2(:p

& x2% dx

"2) $!

Z 10

#p

& x2%2 dx) $!

Z 10

#H(&x2:p

& x2% dx

" )"1 "2 ) $!

Z 10

&$p

& x2 dx

2on el ca'!io de 1aria!le x ) sen t la integral es

" ) $4!

Z 2

0

cos2 t dt)

t( sen t cos t

$

2

0

) :!2

$. Al tender x ! &- el nu'erador * el deno'inador tienden a " por lo que pode'os aplicar L@/opital5

li'x!1

Rx

1

ln t

t dt

cos#x &% &) li'

x!1

lnx

x

sen#x &%) li'

x!1

&

x li'x!1

lnx

sen#x &%

2o'o

li'x!1

lnx

sen#x &%) li'

x!1

1

x

cos#x &%) &

el l3'ite co'pleto 1ale & #&% ) &.


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C ALCULO I



Tercera pregunta. Un error considerado muy grave puede hacer que la calicacion glo!al de lapregunta sea " puntos. #/asta $09 puntos por apartado.%

Sea f#x; y% )

8sen x ) F0 >" * F crece

Si x > !

4 ) cos x


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4. Sea f 5&2 !&3; f#x; y% ) #x2 y2; x ( y2; x2 y3% * g 5 &3 !& otra 8uncion de la que sa!e'os

que rg#x ;y ;z% )

$;:; &

; 8 #x ;y ;z%. /allar la 'atri7 +aco!iana de h ) g f en todo punto

#x; y% 2 &2. #r signica gradiente.% #/asta puntos.%

Primer procedimiento: Al ser rg#x ;y ;z% ) $

;:; & ; 8 #x ;y ;z%- la 8uncion g es

g#x ;y ;z% )

$x:y(z(c ) h#x; y% ) gf#x; y% ) g#x2y2; x(y2; x2y3% )

9

$x2:x

&9

$y2y3(c

* as3- J h) #9x : &9y y2%.

Segundo procedimiento:

J f)

0@ $x $y& $y

$x y2

1A ) J h) J g Jf)

$ : &

0@ $x $y& $y

$x y2

1A ) #9x : &9y y2%


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C ALCULO I

Primer curso. #xamen extraordinario de &ulio. 1 de &ulio de 2015.



2alcule el 1olu'en del cuerpo que se o!tiene al girar alrededor de 6" ; (1% la graca de la 8uncion

f 5 6"; (1% ! &; f#x% )sen x

ex. #/asta &" puntos.%

" )!

Z +10

e2x sen2 x dx) ! li'm!+1

Z m

0

e2x sen2 x dx

Calculo de la primitiva: 2o'o sen2 x)& cos$x

$ -

I)

Z e2x sen2 x dx)

Z e2x

& cos$x

$ dx)

&

$

Z e2x dx

&

$

Z e2x cos$x dx)

&

4e2x

&

$I1

Reali7ando una integracion por partes con la eleccionu) cos$x; dv) e2x dx-

I1 )

Z e2x cos$x dx)

&

$e2x cos$x

Z e2x sen$x dx

Reali7ando una nue1a integracion por partes con la eleccionu) sen $x; dv) e2x dx-

I1 ) &

$e2x cos$x

Z e2x sen$x dx)

&

$e2x cos$x(

&

$e2x sen$x

Z e2x cos$x dx ) $I1 )

&

$e2x#sen$xcos$x%

I1 ) &4

e2x#sen$x cos$x% ) I) &4

e2x &

e2x#sen$x cos$x%

Calculo del volumen:

" )! li'm!+1

&

4e2x

&

e2x#sen$x cos$x%

m

0

)! li'm!+1

&

4

&

&

4e2m

&

e2m#sen$* cos$*%

)

!

*a que li'm!+1

e2m ) " * el segundo l3'ite es J8uncion que tiende a "J por J8uncion acotadaJ.

Variaciones en el calculo de la primitiva: Se puede aplicar directa'ente la integracion por partes enZ e2x sen2 x dx to'ando u ) sen2 x; dv) e2x dx- con lo que se o!tiene

Z e2x sen2 x dx) &

$

e2x sen2 x( Z e2x sen x cos x dx

Ahora se tiene en cuenta que sen x cos x ) &

$sen $x * se continua co'o antes o se reali7a una nue1a

integracion por partes con la eleccion

u) sen x cos x ) du) #cos2 x sen2 x% dx) ##& sen2% sen2 x% dx) #& $sen2 x% dx


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C ALCULO I



Tercera pregunta. Un error considerado muy grave puede hacer que la calicacion glo!al de lapregunta sea " puntos.

Sea f#x; y% )

8". Se pide

&. /allar la relacion entre a * $ para que fsea continua en #"; "%. #/asta puntos.%

$. /allar las deri1adas parciales de fen #"; "%. #/asta 4 puntos.%

. /allar la relacion entre a * $ para que f sea di8erencia!le en #"; "%. #/asta puntos.%

&. Para que f sea continua en #"; "%-

li'(x;y)!(0;0)

f#x; y% )f#"; "% ) * co'o li'(x;y)!(0;0)

f#x; y% ) li'(x;y)!(0;0)

( $x y(

xayb

x2 (y2

)

) ( li'(x;y)!(0;0)

xayb

x2 (y2 ) li'

(x;y)!(0;0)

xayb

x2 (y2 ) "

Por tanto a ($ >$.

$. @f

@x#"; "% ) li'

x!0

f#x; "% f#"; "%

x " ) li'

x!0

( $x

x ) $

@f

@y#"; "% ) li'

y!0

f#"; y% f#"; "%

y " ) li'

y!0

y

y ) &

. 2o'o las deri1adas parciales e0isten- para estudiar la di8erencia!ilidad en #"; "% de!e'os estudiarel l3'ite

li'(x;y)!(0;0)

f#x; y% f#"; "% @f@x

#"; "%#x "% @f@y

#"; "%#y "%px2 (y2

) li'(x;y)!(0;0)

( $x y( xayb

x2+y2 $x(ypx2 (y2

)

) li'(x;y)!(0;0)

xayb

x2+y2px2 (y2

) li'(x;y)!(0;0)

xayb

#x2 (y2%3

2

que de!e ser ". Para ello- a ($ >.


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C ALCULO I



Cuarta pregunta. Un error considerado muy grave puede hacer que la calicacion glo!al de lapregunta sea " puntos.

Dada la 8uncion f#x; y% ) xy $x y( :

&. Deter'ine * clasique los e0tre'os relati1os de f. #/asta puntos.%

$. Deter'ine los e0tre'os a!solutos de f en la region triangular con 1ertices #"; "%; #"; % * #4; "%.#/asta puntos.%

&. @f

@x )y $ ) " ) y) $.

@f

@y )x & ) " ) x) &.

Unico punto cr3tico #&; $%. 2o'o

@2f

@x2 ) "

@2f

@x@y ) &

@2f

@y2 ) " ) H)

" && "

) &< "

se trata de un punto de silla o puerto.

$. El unico punto cr3tico #&; $% pertenece al interior del do'inio. Estudie'os la 8rontera

Lado situado sobre el ee O%: 2orresponde a x ) "- y 2 6"; F. ##y% ) f#"; y% ) y( : *

co'o#0

#y% )

& no tiene puntos cr3ticos. Se consideran los e0tre'os #"; "%; #"; % Lado situado sobre el ee O: 2orresponde a y ) "- x 2 6"; 4F. ##x% ) f#x; "% ) $x( : *

co'o#0#y% ) $ no tiene puntos cr3ticos. Se consideran los e0tre'os #"; "%; #4; "%

Segmento oblicuo: La recta que une #"; % * #4; "% esy ) $x ( . En el seg'ento considerado-x 26"; 4F. ##x% ) f#x;$x( % ) $x2 ( x $ ) #0#x% ) 4x( ) " ) x) $ * portanto- y ) 4. Punto #$; 4%. Se consideran los e0tre'os #"; %; #4; "%.

E1aluando- f#"; "% ) :; f#"; % ) $; f#4; "% ) $; f#$; 4% ) :. Asi- 'a0i'os a!solutos en #"; "%* #$; 4% * '3ni'os en #"; %; #4; "%.

!ota: No es preciso e1aluar en el punto #&; $% o!tenido en el pri'er apartado *a que se trata de unpunto de silla interiora la region. De todas 8or'as- f#&; $% ) 4.

Exámenes Resueltos de Cálculo I

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