CONTENIDO `rea

La integral definida

Propiedades de la integral definida

Teorema del valor medio para la integral definida

Teoremas fundamentales del clculo

Aplicaciones de la integral definida:

`rea de una regin en el plano

Longitud de arco de la grfica de una funcin

Tcnicas de integracin:

Integracin directa

Integracin por sustitucin

Integracin por partes

Potencias de las funciones trigonomtricas

Sustitucin trigonomtrica

Integracin de funciones racionales, por fracciones parciales, cuando el denominador slo tiene factores lineales

Integracin de funciones racionales, por fracciones parciales, cuando el denominador contiene factores cuadrticos

Integrales en las que aparecen expresiones cuadrticas

Integrales que producen funciones trigonomtricas inversas

Miscelneas de ejercicios

Tablas de integrales

Integracin numrica

Integrales impropias

Miscelnea1 de ejercicios de clculo integral

`rea Como se ver ms adelante, para definir el rea de una regin en el plano cartesiano, acotada por una curva, el ejex y las rectas x = a y x = b, se requiere hallar la suma de muchos trminos; para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria. Sumatoria:

`rea: Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del rea de un rectngulo (producto de la base por la altura), de aqu se deduce que el rea de un tringulo rectngulo es igual a "un medio del producto de

Propiedades de la sumatoria:

los catetos". La trigonometra facilita una frmula para hallar la medida de cualquier clase de tringulo: "el rea de un tringulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del ngulo que forman dichos lados". Debido a que un polgono se puede descomponer en tringulos, la obtencin de su rea se consigue mediante la suma de las reas de los tringulos en que se ha dividido. Este procedimiento de medir reas slo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas. Para medir el rea de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro mtodo, que es el que vamos a estudiar a continuacin.

(fig.1)

(fig.2)

(fig.3)

Definicin:

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 3 halle la suma por medio de la definicin de sumatoria. En los ejercicios 4 a 7 evale la suma que se indica utilizando las propiedades de la sumatoria. En los ejercicios 8 a 11 evale el rea de la regin dada; emplee rectngulos inscritos o circunscritos segn se indique. Para cada ejercicio trace una figura que muetsre la regin y el i-simo rectngulo.

S o l u c i o n e s

8. Solucin:

9. Solucin:

10. Solucin:

11. Solucin:

-

La integral definida

Particin de un intervalo cerrado:

Suma de Riemann:

La integral definida:

Teorema:

`rea:

Ejercicios resueltos

S o l u c i o n e s

Propiedades de la integral definida

Ejercicios resueltos

S o l u c i o n e s

Teorema del valor medio para la integral definida

La siguiente propiedad de la integral definida sirve de base para demostrar el Primer Teorema fundamental del clculo.

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 3 a 6, utilice le Teorema del valor medio para la integral definida, PID11, para demostrar la desigualdad dada.

S o l u c i o n e s

Teoremas fundamentales del clculo Primer teorema fundamental del clculo:

Segundo teorema fundamental del clculo:

Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14, evale la integral definida. En los ejercicios 15 a 21, calcule la derivada. Nota: para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas tcnicas de integracin, por el momento slo es indispensable aprender la integracin directa y la integracin por sustitucin.

S o l u c i o n e s

Aplicaciones de la integral definida

`rea de una regin en el plano Longitud de arco de la grfica de una funcin

Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7, encuentre el rea de la regin limitada por las curvas dadas. En cada problema haga lo siguiente: (a) trace una figura que muestre la regin, as como un elemento rectangular de rea; (b) exprese el rea de la regin como el lmite de una suma de Riemann; (c) determine el lmite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del clculo:

Longitud de arco de la grfica de una funcin Si la derivada de la funcin f, f , es continua en el intervalo [a, b], se dice que f es alisada en dicho intervalo

Ejercicios resueltos

S o l u c i o n e s

Tcnicas de integracin

Integracin directa

Integracin por sustitucin

Integracin por partes

Potencias de las funciones trigonomtricas

Sustitucin trigonomtrica

Integracin de funciones racionales, por fracciones parciales, cuando el denominador slo tiene factores lineales

Integracin de funciones racionales, por fracciones parciales, cuando el denominador contiene factores cuadrticos

Integrales en las que aparecen expresiones cuadrticas

Integrales que producen funciones trigonomtricas inversas

Miscelneas de ejercicios

Integracin directa De cada regla de derivacin se puede deducir una regla correspondiente de integracin. La integracin directa es aplicable cuando identificamos la funcin primitiva de forma inmediata; esto es, cuando conocemos la regla de derivacin que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcin primitiva. Ejemplo:

Propiedades fundamentales de la antidiferenciacin

Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral.

Ejercicios resueltos

Efecte las operaciones de antidiferenciacin que se indican, aplicando las propiedades correspondientes en cada caso:

S o l u c i o n e s 1. Solucin:

2. Solucin:

3. Solucin:

4. Solucin:

5. Solucin:

6. Solucin:

7. Solucin:

Integracin por sustitucin En muchas ocasiones, cuando la integracin directa no es tan obvia, es posible resolver la integral simplemente con hacer un cambio de variable adecuado; este procedimiento se conoce como integracin por sustitucin.

Ejercicios resueltos En los siguientes ejercicios realice la integral que se indica:

S o l u c i o n e s 1. Solucin:

2. Solucin:

3. Solucin:

4. Solucin:

5. Solucin:

6. Solucin:

7. Solucin:

8. Solucin:

9. Solucin:

10. Solucin:

11. Solucin:

12. Solucin:

13. Solucin:

14. Solucin:

15. Solucin:

16. Solucin:

17. Solucin:

18. Solucin:

19. Solucin:

Integracin por partes La frmula para la "integracin por partes", se deduce a partir de la regla de la derivada de un producto de funciones. Veamos:

Ejercicios resueltos En los ejercicios siguientes efecte la integral indefinida:

S o l u c i o n e s

1. Solucin:

2. Solucin:

3. Solucin:

4. Solucin:

5. Solucin:

6. Solucin:

7. Solucin:

8. Solucin:

Potencias de las funciones trigonomtricas En este apartado aprenderemos a integrar funciones que presentan potencias trigonomtricas, es decir, funciones con alguna de las siguientes formas:

Para tal efecto es conveniente tener frescas en la memoria las siguientes identidades trigonomtricas:

Identidades trigonomtricas

Por lo regular, una vez concluimos con las transformaciones trigonomtricas adecuadas, el integrando queda expedito para aplicar la integracin por sustitucin. En otros casos debemos recurrir a la integracin por partes.

Ejercicios resueltos En los siguientes ejercicios evale la integral indefinida:

S o l u c i o n e s 1. Solucin:

2. Solucin:

3. Solucin:

4. Solucin:

5. Solucin:

6. Solucin:

7. Solucin:

8. Solucin:

9. Solucin:

10. Solucin:

11. Solucin:

12. Solucin:

13. Solucin:

14. Solucin:

Sustitucin trigonomtrica A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcin cuando el integrando presenta expresiones de la forma:

Se elimina el radical haciendo la sustitucin trigonomtrica pertinente; el resultado es un integrando que contiene funciones trigonomtricas cuya integracin nos es familiar. En la siguiente tabla se muestra cul debe ser la sustitucin:

Expresin en el integrando Sustitucin trigonomtrica

Ejercicios resueltos En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida:

S o l u c i o n e s

Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:

(Fig.1)

Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:

Integracin de funciones racionales, por fracciones parciales, cuando el denominador slo tiene factores lineales

Ejercicios resueltos En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida:

S o l u c i o n e s

!

!

Integracin de funciones racionales, por fracciones parciales, cuando el denominador contiene factores cuadrticos

Ejercicios resueltos

S o l u c i o n e s

Integrales en las que aparecen expresiones cuadrticas De la descomposicin de fracciones parciales a veces resultan integrando con expresiones cuadrticas irreductibles. De la integracin de este tipo de funciones nos ocuparemos en el siguiente ejercicio resuelto.

Ejercicios resueltos En los siguientes ejercicios evale la integral indefinida

S o l u c i o n e s

Integrales que producen funciones trigonomtricas inversas Como ya se ha dicho antes, de cada frmula de derivacin se deduce una frmula correspondiente de integracin. De las frmulas para las derivadas de las funciones trigonomtricas inversas, obtenemos el siguiente teorema que da algunas frmulas de integrales indefinidas:

Ejercicios resueltos Evale la integral indefinida:

S o l u c i o n e s

Miscelnea 1

S o l u c i o n e s

1. Solucin:

2. Solucin:

3. Solucin:

4. Solucin:

5. Solucin:

6. Solucin:

7. Solucin:

8. Solucin:

Miscelnea 2

S o l u c i o n e s

Miscelnea 3

En los siguientes ejercicios deduzca las frmulas de reduccin dadas:

S o l u c i o n e s

Tablas de integrales

Integracin numrica Para calcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental del Clculo, es preciso obtener previamente una integral indefinida. Aunque se conocen diversos mtodos para hallar la integral indefinida de una cantidad considerable de funciones, existen funciones para las cuales estos mtodos no son aplicables. Este inconveniente se supera haciendo uso de la integracin numrica. La integracin numrica permite evaluar la integral definida de una funcin continua en un intervalo cerrado con la exactitud deseada. En este apartado vamos a estudiar dos mtodos de integracin numrica: la Regla del trapecio y la Regla de Simpson (debida a Thomas no a Homero).

Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 3, use (a) la Regla del Trapecio y (b) la Regla de Simpson, con el valor de n indicado para estimar las integrales definidas. Aplique valores aproximados de f (xk) que tengan una precisin de cuatro decimales y redondee las respuestas a dos decimales. Ninguna de las integrales definidas de los ejercicios 4 a 6 puede ser evaluada exactamente en trminos de funciones elementales. Utilice la Regla de Simpson, con el valor de n que se indica, para determinar un valor aproximado de la integral definida dada. Exprese el resultado con tres cifras decimales.

S o l u c i o n e s

Integrales impropias Las denominadas integrales impropias son una clase especial de integrales definidas (integrales de Riemann) en las que el intervalo de integracin o la funcin en el integrando o ambos presentan ciertas particularidades.

si los lmites existen.

Cuando los lmites, en las definiciones anteriores, existen, se dice que la integral es convergente, en caso contrario, se dice que la integral es divergente.

Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14, si la integral es convergente, evalela.

S o l u c i o n e s

Miscelnea de ejercicios de clculo integral

S o l u c i o n e s

1. Solucin:

2. Solucin:

+

3. Solucin:

4. Solucin: