EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO

APUNTE: EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE CÁLCULO

CÁTEDRAS: CÁLCULO, CÁLCULO I, MATEMÁTICAS II

PROFESOR: CLAUDIO GAETE PERALTA

APUNTE: EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE CÁLCULO

CÁTEDRAS: CÁLCULO, CÁLCULO I, MATEMÁTICAS II

PROFESOR: CLAUDIO GAETE PERALTA

Licenciado en Matemáticas, Magíster en Matemáticas,

Postítulo en Didáctica de la Matemática. Pontificia

Universidad Católica de Valparaíso, Chile.

Actualmente atiende las cátedras de "Cálculo", "Cálculo I",

"Cálculo II", "Cálculo III", "Matemáticas II", "Matemáticas III"

de la Universidad Bernardo O´Higgins. Además, se

desempeña como Coordinador de Cálculo dentro del

Departamento de Matemáticas y Física.

claudio

Texto escrito a máquina

2014

claudio


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EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE CÁLCULO 3

ÍNDICE

PRESENTACIÓN ................................................................................................................................................... 5

I. ECUACIONES ............................................................................................................................................. 6

EJERCICIOS PROPUESTOS ................................................................................................................................. 11

II. FUNCIONES ............................................................................................................................................. 12

A. EVALUAR FUNCIONES ............................................................................................................................. 12

B. MODELAR FUNCIONES ............................................................................................................................ 16

C. DOMINIO Y RECORRIDO DE FUNCIONES ................................................................................................ 18

D. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES ............................................................................................................... 21

III. FUNCIÓN LINEAL ................................................................................................................................ 24

A. ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE ............................................................................................................... 24

B. FÓRMULA DE PENDIENTE ....................................................................................................................... 24

C. FUNCIÓN CUADRÁTICA ........................................................................................................................... 33

IV. LOGARITMOS ..................................................................................................................................... 43

A. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS ...................................................................................................... 43


V. LÍMITES ................................................................................................................................................... 53


VI. CONTINUIDAD .................................................................................................................................... 60



VII. DERIVADAS ......................................................................................................................................... 66

A. RAZÓN DE CAMBIO ................................................................................................................................. 70

B. MÁXIMOS Y MÍNIMOS ............................................................................................................................ 71

C. OPTIMIZACIÓN ........................................................................................................................................ 73


VIII. CONCLUSIONES .................................................................................................................................. 84

IX. BIBLIOGRAFÍA DE APOYO ................................................................................................................... 85


PRESENTACIÓN

En mi experiencia docente, he escuchado decir muchísimas veces a diferentes estudiantes que "son malos para Matemáticas". Si usted se siente identificado con eso, yo le comento que no existe la persona que sea mala para las matemáticas, y que sólo hay una manera de aprender en este terreno: practicando permanentemente y a diario. Alguna vez leí por ahí, una entrevista a Ricardo Baeza, Premio Nacional de Ciencias Exactas 2009, quien mencionó que hay que ver a las Matemáticas (¿o la Matemática?) como un desafío y que esta disciplina es útil para cualquier ámbito de la vida. Por lo mismo, para él la clave está en “hacer ejercicios, más ejercicios y más ejercicios”. Este material es inédito, ya que recopila diversos problemas de Matemáticas que han surgido dentro de mi labor docente. Dentro de estos problemas, algunos aparecen como propuestos (pero no resueltos), en diferentes libros de Matemáticas que usted podrá encontrar dentro de la Bibliografía ubicada al final de estos apuntes. El propósito de este apunte es reforzar las diferentes temáticas que se estudian en los cursos de Cálculo, Cálculo I y Matemáticas II, dentro de la Facultad de Ingeniería y Administración de la Universidad Bernardo O´Higgins (UBO), presentando no sólo ejercicios resueltos, sino también propuestos. Cabe señalar que estos apuntes tiene un carácter de apoyo al estudiante y que por sí solo podría resultar insuficiente si no es complementado con otros textos de estudio y/o con lo enseñado en clases. Estos apuntes constan de siete capítulos. El capítulo I, cuya temática es Ecuaciones, es un capítulo que si bien no forma parte de los programas antes mencionados, es un tema que resulta fundamental para el desarrollo de estos. Desde el capítulo II hasta el capítulo VII, los contenidos son presentados en el orden en los que aparecen en los programas de estudio de las diferentes carreras de Ingeniería de la UBO.

Claudio Gaete Peralta


I. ECUACIONES

Resuelva la ecuación �� 1.

Solución: Como el discriminante de � � 1 es negativo y el coeficiente que acompaña a es positivo,

tenemos que � � 1 � 0 para todo número real. De esta forma, no hay restricciones previas para

resolver la ecuación. Resolviendo, tenemos

� 5 � 6 � � 1 � 1/∙ � � � 1�

� 5 � 6 � � � 1 5 � 6 � � 1

4 � �5

� �54

Lo que resuelve el ejercicio

Resuelva la ecuación 2 � 12 � 1 � � 3 � 2

Solución: En primer lugar, debemos notar que tenemos las siguientes restricciones

2 � 1 � 0 → � �12 � 2 � 0 → � 2

Con esto, tenemos que de existir una solución, ésta no puede ser � � ni . Procedamos a resolver la

ecuación. Multiplicando cruzado, tenemos que:

�2 � 1�� 2� � �2 � 1�� 3�


2 � 4 � � 2 � 2 � 6 � � 3

�5 � 2 � 7 � 3

�1 � 12

� ��

∎

Resuelva la ecuación � 34 � � 56 � � 29

Solución

Tenemos que �. .��4,6,9� � 36. Por lo tanto,

� 34 � � 56 � � 29 /∙ 36

9� � 3� � 6� � 5� � 4� � 2�

9 � 27 � 6 � 30 � 4 � 8

�27 � 30 � 4 � 6 � 9

3 � 10

310 �

∎


Resuelva la ecuación � � #� � � � #� � �# � $�, donde #, $ son números reales y # � 0

Solución: � � #� � � � #� � �# � $�

� 2# � # � � � 2# � #� � �# � $�

� 2# � # � � 2# � # � �# � $�

4# � �# � $�

� �# � $�4# ∎

Resuelva la ecuación 23 � 5 � 710 � 32

Solución: En primer lugar, como restricción, tenemos que � 0. La idea principal es poder quitar los

denominadores de esta ecuación. Fijándonos en los coeficientes de cada denominador, tenemos que �. .��3,2,10� � 30

De esta forma, si multiplicamos a ambos lados por 30, seremos capaces de eliminar los denominadores y

trabajar con una ecuación que será más sencilla

23 � 5 � 710 � 32/∙ 30

20 � 150 � 21 � 45

�130 � 21 � 45

�85 � 21

�8521 �


∎

Este ejemplo explica el por qué es necesario hacer restricciones antes de empezar a resolver una ecuación.

Resuelva la ecuación 6# � 7# � 12 � 2# � 4# � 3 � 3# � 5# � 4 � 0

Solución: Tenemos que

6# � 7# � 12 � 2# � 4# � 3 � 3# � 5# � 4 � 0

6�# � 3��# � 4� � 2�# � 1��# � 3� � 3�# � 1��# � 4� � 0/∙ �# � 3��# � 4��# � 1�

6�# � 1� � 2�# � 4� � 3�# � 3� � 0

6# � 6 � 2# � 8 � 3# � 9 � 0

5# � 5 � 0

5# � 5

# � 1

Con lo que habremos resuelto la ecuación. Sin embargo, esta no puede ser solución, pues, tenemos que # � 1anula la expresión %& � '% � (,que forma parte de un denominador en la ecuación que acabamos

de resolver. De esta forma, la ecuación no tiene solución


La edad de Fernando es la mitad de la de Pedro. Hace tres años Fernando tenía un tercio de la edad que

tendrá Pedro en nueve años más. ¿Cuánto será la suma de las edades en dos años más?

Solución: Denotemos por ), * las edades actuales de Fernando y Pedro, respectivamente. Tenemos que ) � +

) � 3 � 13 �* � 9�

Reemplazando la primera ecuación en la segunda, tenemos que

*2 � 3 � 13 �* � 9�

*2 � 3 � *3 � 3

*2 � *3 � 6/∙ 6

3* � 2* � 36

* � 36

Reemplazando este valor en la primera ecuación, tenemos que ) � 18. De esta forma, las edades actuales

de Fernando y Pedro son 18 y 36 años respectivamente. Por lo tanto, en dos años más, sus edades serán de

20 y 38 años y así, sumarán 58 años.

Resuelva la ecuación 12� � 1� � 2� � 1� � 14� � 3�

Solución: En primer lugar, como restricciones, tenemos que � 1, � �3.


La idea es poder sacar los denominadores, para poder trabajar con una ecuación más sencilla. Si

multiplicamos a ambos lados por � � 1�� 3� habremos quedado libres de incógnitas en los

denominadores y de esta forma podríamos empezar a resolver la ecuación. Si el lector(a) no queda

conforme y desea además sacar los coeficientes de los denominadores, será necesario multiplicar a ambos

lados por el mínimo común múltiplo entre 2 y 4

�. .��2,4� � 4

De esta forma, si multiplicamos a ambos lados de la ecuación por 4� � 1�� 3� podremos trabajar

solamente con numeradores y no con denominadores:

12� � 1� � 2� � 1� � 14� � 3�/∙ 4� � 1�� 3� 2� � 1�� 3� � 8� � 3� � � � 1�

2� � 2 � 3� � 8 � 24 � � � 2 � 1�

2 � 4 � 6 � 8 � 24 � � 2 � 1

� 14 � 17 � 0

Las raíces de esta ecuación son � � ,�-�√�/ y � ,�-,√�/ , lo que resuelve el problema ∎

EJERCICIOS PROPUESTOS

Resuelva las siguientes ecuaciones

1. � � 1�0 � � � 1�0 � 6� � 3�

2. 7�18 � � � 6�3 � 5� � �7 � 21� � 3�2 � 5�

3. 3 � � � 1 � �0 � 7 � � �

4. �1�2� 23 � � � 2�3 � 44 � 4 � 5


5. �� 3

6. En un curso de 40 alumnos, la mitad escribe, un quinto calcula y el resto lee. ¿Cuántos alumnos leen?

7. El triple de la edad que yo tenía hace 2 años es el doble de la que tendré dentro de 6 años. ¿Qué edad

tendré en dos años más?

8. La suma de la edad de una madre con las edades de sus dos hijas es 55 años. La edad de la madre es el

doble de la edad de la hija mayor y la suma de las edades de las dos hermanas es 25 años. Calcular las

edades.

II. FUNCIONES

A. EVALUAR FUNCIONES

Trazar la gráfica de una función 5 definida para 6 0, con todas las siguientes propiedades

• 5�0� � 2

• 5 es creciente para ∈ 20,12 • 5 es decreciente para 1 8 9 3

• 5 es creciente para � 3 (Existen muchas respuestas)

Solución: Los siguientes gráficos cumplen las condiciones del ejercicio:


∎

Considere la función :�� 0��;�,0. Determine <=�:, :�1�, :�0�, : >�? , : >� �?

Solución:

:�1� � 3 ∙ 1 � 72 ∙ 1 � 3 � 10�1 � �10

:�0� � 3 ∙ 0 � 72 ∙ 0 � 3 � 7�3 � �7

: @12A � 3 ∙ 12 � 72 ∙ 12 � 3 � 32 � 71 � 3 � 172�2 � �174

: @�12A � 3 ∙ �12 � 72 ∙ �12 � 3 � �32 � 7�1 � 3 � 112�4 � �114

∎

Considere la función :�� 2 � � 1. Determine :�1 � �, :�1 � �


:�1 � � � 2�1 � � � �1 � � � 1


� 2�1 � 2 � � � 1 � � 1 � 2 � 4 � 2 � 1 � � 1 � 2 � 2 � 2

Mientras que :�1 � � � 2�1 � � � �1 � � � 1 � 2�1 � 2 � � � 1 � � 1 � 2 � 4 � 2 � 1 � � 1 � 2 � 3 � 2 ∎

Considere las funciones 5�� 3 � 1 y :�� 2 � 35��. Encuentre el valor de :�1�

Solución: Tenemos que :�1� � 2 ∙ 1 � 35�1� � 2 � 3�3 ∙ 1 � 1� � 2 � 3 ∙ 2 � 2 � 6 � 8 ∎

(Función de costo) Una compañía ha determinado que el costo (en miles de dólares) de producir unidades

de su producto por semana está dado por:

B�� 5000 � 6 � 0.002

Evalúe el costo de producir:

a. 1000 unidades por semana.

b. 2500 unidades por semana.

c. Ninguna unidad.

Solución:

a. B�2500� � 5000 � 6 ∙ 2500 � 0.002�2500� �32500 (32 millones 500 mil dólares)

b. B�1000� � 5000 � 6 ∙ 1000 � 0.002�1000� �13000 (13 millones de dólares)


c. B�0� � 5000 � 6 ∙ 0 � 0.002�0� � 5000 (5 millones de dólares)

Si 5�� :�� C��, :�� 3 y 5�� 0, calcule C�2�

Solución: C�� 5�� :�� 0 � � � 3� � 0 � � 3

Por lo tanto, C�2� � 8 � 4 � 3 � 1 ∎

Un estudio de productividad en el turno matinal de cierta fábrica indica que si un obrero llega al trabajo a las

8:00 a.m. habrá ensamblado

5�� 0 � 6 � 15

Radio transistores horas después.

a. ¿Cuántos radios habrá ensamblado el trabajador a las 10 a.m.?

b. ¿Cuántos radios ensamblará tal trabajador entre las 9 a.m. y las 10 a.m.?

Solución:

a. A las 10 a.m., o sea � 2, habrá ensamblado

5�2� � �20 � 6�2� � 15 ∙ 2 � �8 � 24 � 30 � 46

Radio transistores.

b. Realizar la resta 5�2� � 5�1� � 46 � 20 � 26 Radio transistores. ∎


B. MODELAR FUNCIONES

Una línea telefónica debe tenderse entre dos pueblos situados en orillas opuestas de un río en puntos A y B.

El ancho del río es de 1 kilómetro y B está situado 2 kilómetros río abajo de A. Tiene un costo de 5 dólares

por kilómetro tender la línea por tierra y 10 dólares por kilómetro bajo el agua. La línea telefónica deberá

seguir la orilla del río empezando en A una distancia (en kilómetros), y luego cruzar el río diagonalmente

en línea recta hacia B. Determine el costo total de la línea como función de .

Solución: La figura ilustra este problema. La línea telefónica se extiende de A a C, una distancia a lo largo

de la orilla y luego diagonalmente de C a B. El costo del segmento AC es c mientras que el costo de BDEEEE es

10(BDEEEE). El costo total (llamémosleF) está dado por F � 5 � 10BDEEEE

Por medio del teorema de Pitágoras, llegamos a que BDEEEE � √ � 4 � 5

Por lo que el costo será de

F � 5 � 10G � 4 � 5

Pregunta: ¿Cuál es el dominio de esta función en el contexto del problema? ∎


Un rectángulo tiene un lado de pulgadas. El perímetro del rectángulo es de 20 pulgadas. Exprese el área A

como una función de y establezca el dominio de esta función.

Solución: Sean , F los lados del rectángulo. Como el perímetro del rectángulo es de 20 pulgadas, tenemos

que 2 � 2F � 20 2� � F� � 20 � F � 10 (*)

Ahora bien, el área de un rectángulo, corresponde a

H � F

Pero de (*), tenemos que

H � F � �10 � � � � � 10

Esto expresa el área H como una función de. El lector(a) se dará cuenta que “matemáticamente”, el

dominio de esta función es , pero para el contexto del problema, este no puede ser el dominio, debido a

que si, por ejemplo, � 11, entonces H � �11, lo cual no puede ser, ya que el área no es negativa. Para

determinar el dominio de esta función (en el contexto del problema), necesitamos que H � 0, es decir,

�10 � � � 0

�∞ 0 10 - + + 10 � + + -

- + -

Por lo que <=�H � 30,102 ∎


De un cuadrado de cartón de 18 pulgadas por lado se recortan cuadrados de lado en cada esquina y luego

se doblan hacia arriba para formar una caja abierta. Exprese el volumen V de la caja como función de y

determine el dominio de esta función.

Solución: La altura de esta caja medirá J, mientras que el largo y ancho medirán 18 � 2. El volumen de

esta caja será

K � �18 � 2�

Si observa bien, notará que ∈ 30,182. ∎

C. DOMINIO Y RECORRIDO DE FUNCIONES

Determine el dominio de las siguientes funciones

a. 5�� 0√��0

b. :�� √�,-

c. C�� 0��;��

Solución:


a. � 3 � 0, por lo que <=�5 � 3�3,∞2

b. 2 � 4 � 0, por lo que <=�: � 32,∞2

c. Notemos que

� 7 � 12 � 0

� � 3�� 4� � 0

Por lo que � �3 y � �4. De esta forma, <=�C � L � 1�3,�44 ∎

Considere la función 5�� M��NO��P , donde #, $, y Q son números reales y � 0. Determine el Dominio y

Recorrido de esta función.

Solución: En primer lugar, debemos notar que 5 es una función racional, luego su denominador debe ser

distinto de cero. Así, tenemos que

� Q � 0

� �Q

Con esto, tenemos que <=�5 � L � R� POS. Para determinar el recorrido, hagamos F � 5�� y despejemos en función de F

F � # � $ � Q /� � Q�

F� � Q� � # � $

F � FQ � # � $


F � # � $ � FQ

�F � #� � $ � FQ

� $ � FQF � #

Donde la división puede ser realizada siempre que F � # � 0, es decir F � MO, � 0

Así, TU 5 � L � RMOS ∎

Dada la función 5�� # � $ � , con #, $ y números reales, con # � 0. Determine dominio y

recorrido de dicha función.

Solución: En primer lugar, debemos notar que el dominio de esta función es siempre . Para determinar el

dominio de esta función, debemos analizar dos casos:

Caso 1: # � 0. En este caso, el recorrido de la función será 1

TU 5 � V5 @� $2#A ,∞ �V � W � $4# ,∞ �W

Caso 2: # 8 0. En este caso, el recorrido de la función será

TU 5 � X�∞, 5�� $2#�X � Y�∞, � $4#Y ∎

1 Realice la gráfica de la función para entender geométricamente lo que se está haciendo.


D. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

(Física) La velocidad de un cuerpo que cae varía con la distancia recorrida de acuerdo con la fórmula Z � 8GF (Z � velocidad en metros por segundo, F � distancia en metros). La distancia que cae varía con el

tiempo [ (en segundos) de acuerdo con la fórmula F � 16[. Exprese Z como una función de [.

Solución: Z � 8GF � 8G16[ � 8 ∙ 4[ � 32[ ∎

Si 5�� # � 4 y :�� $ � 3, determine la condición sobre # y $ tal que �5=:�� :=5��,

para toda . (La respuesta no es única)

Solución: �5=:�� 5\:��] � 5�$ � 3� � #�$ � 3� � 4

� #$ � 3# � 4

Por otro lado, �:=5�� :\5��] � :�# � 4� � $�# � 4� � 3 � #$ � 4$ � 3

Como necesitamos que �5=:�� :=5��, para toda , entonces

#$ � 3# � 4 � #$ � 4$ � 3 3# � 4 � �4$ � 3 3# � 4$ � 7

Por lo tanto, cualquier par de número #, $ que cumplan esta condición, resuelve el problema Por ejemplo, # � $ � 1 (Hay más posibilidades) ∎


En un lago, un pez grande se alimenta de un pez mediano y la población del pez grande es una función 5 de , el número de peces de tamaño mediano en el lago. A su vez, el pez mediano se alimenta de un pez

pequeño, y la población de peces medianos es una función : de ^, el número de peces pequeños en el lago.

Si

5�� √20 � 150 y :�^� � √^ � 5.000

a. Encuentre un modelo matemático que exprese la población de peces grandes como una función del

número de peces pequeños en el lago.

b. Determine el número de peces grandes cuando el lago contiene 9 millones de peces pequeños.

Solución:

a. Para expresar la población de peces grandes como una función del número de peces pequeños en

el lago, realizamos la composición

�5 ∘ :��^� � 5\:�^�] � 5\√^ � 5.000]

� `20\√^ � 5.000] � 150

b. Reemplazar ^ � 9.000.000 en la función anterior, y tenemos

`20\√9.000.000 � 5.000] � 150 � G20�3.000 � 5.000� � 150

� G20�8.000� � 150 � 400 � 150 � 550

Por lo tanto, el número de peces grandes cuando el lago contiene 9 millones de peces pequeños es de 550. ∎

El área de la superficie de una esfera es función de su radio. Si el radio mide a centímetros y H�a�

centímetros cuadrados es el área de la superficie, entonces H�a� � 4ba. Suponga que un globo mantiene

la forma de una esfera conforme se infla de modo que el radio cambia a una tasa constante de 3 �c cU:d .

Si 5�[� centímetros es el radio del globo después de[ segundos, haga lo siguiente


a. Calcule �H ∘ 5��[� e interprete su resultado.

b. Determine el área de la superficie del globo después de 4 segundos.

a. Tenemos que a � 5�[�, por lo que

�H ∘ 5��[� � H\5�[�] � 4b\5�[�]

Lo cual expresa el área de la superficie de la esfera, en función del tiempo [ (en segundos)

b. Como el radio cambia a una tasa constante de 3 �c cU:d , tenemos, para [ ∈ e, que 5�1� � 3, 5�2� � 6, 5�3� � 9,… , 5�[� � 3[.

c. Por lo tanto, para determinar el área de la superficie del globo después de 4 segundos, haciendo [ � 4 en la fórmula anterior, tenemos

H � 4b\5�4�] � 4b�12� � 576b centímetros cuadrados.

∎

Considere la función :�� √3 � 5. Determine si esta función es biyectiva o no. En caso afirmativo,

encuentre la función inversa :,�.

Solución: En primer lugar, debemos tener en cuenta que <=�5 � g� �0 , ∞ �g. Recordemos que una función es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva. Veamos primero la inyectividad.

Sean h, Z ∈ <=�5 tales que :�h� � :�Z�. Es decir,

√3h � 5 � √3Z � 5 /��

3h � 5 � 3Z � 5/�5

3h � 3Z /: 3


h � Z

Por lo que la función es inyectiva. La sobreyectividad es clara, en vista de que no hay un codominio

especificado2.

Para determinar la función inversa, hagamos F � :��. Con esto, tenemos que

F � √3 � 5 /��

F � 3 � 5 F � 5 � 3 F � 53 �

Por lo que

:,�� 53 ∎

III. FUNCIÓN LINEAL

A. ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE

Ecuación de la recta que tiene pendiente � y pasa por el punto ��, F�� F � F� � ��

B. FÓRMULA DE PENDIENTE

Si conocemos 2 puntos cualesquiera ��, F��, �, F�, que pertenecen a una recta, entonces la pendiente se

determina mediante la fórmula

� � F � F� � �

Siempre y cuando � � � 0

2 Queda como ejercicio para el lector, determinar el recorrido de la función.

25

Figura 1: Diferentes gráficas de una función lineal

EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE CÁLCULO

: Diferentes gráficas de una función lineal F � � � j

Figura 2


j


Determine la ecuación de la recta que tiene pendiente y pasa por el punto �1,0�.

Solución: Primero, debemos recordar que la ecuación de la recta que pasa por el punto �#, $� y tiene

pendiente � viene dada por la fórmula

F � $ � �� #�

Haciendo los reemplazos respectivos, tenemos que la ecuación buscada es

F � 0 � 3� � 1�

Es decir, F � 3 � 3 (Ecuación principal de la recta) o bien 3 � F � 3 � 0 (Ecuación general de la recta) ∎

Dé un ejemplo de una recta que sea perpendicular a la recta del ejercicio anterior.

Solución: Dos rectas con pendientes �� y �, respectivamente, son perpendiculares, si el producto de sus

pendientes es �1. De esta forma, la pendiente � de la recta buscada debe cumplir con 3� � �1

es decir, � � � �0.

Con esto, tenemos que una recta perpendicular a la recta del ejercicio anterior sería de la forma F � � �0 � j, j ∈ L ∎

Encuentre el punto de intersección de las rectas F � 2 � 3 e F � �- � �.

Solución: En vista de que estas rectas no son paralelas (pues sus pendientes son distintas), ambas rectas se

intersectan (en un único punto).

Resolvamos la ecuación


2 � 3 � 14 � 12

2 � 14 � 12 � 3

74 � 72

� 72 ∙ 47

� 2

Reemplazando este valor en cualquiera de las dos ecuaciones de las rectas, tenemos que y � 1. Así, el

punto de intersección es �2,1�

Determine el valor de l para que la recta l � �l � 1�F � 3 � 0 sea perpendicular a la recta 3– 2F– 11 � 0

Solución: Sean n�, n rectas dadas por n�: l ��l � 1�F � 3 � 0 y n: 3– 2F– 11 � 0

Para determinar la pendiente de la recta n�, despejamos F: l � �l � 1�F � 3 � 0

�l � 1�F � �l � 3

F � � ll � 1 � 3l � 1

Siempre que l � �1. Así, la pendiente de n� es � oo��. Análogamente, la pendiente de n es 0.

Para que las rectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser �1, es decir,


� ll � 1 ∙ 32 � �1

ll � 1 � 23

3l � 2�l � 1�

3l � 2l � 2

l � 2

Con esto, tenemos que si l � 2, las rectas serán perpendiculares ∎

Figura 3

La natalidad de una región ha ido disminuyendo linealmente en los últimos años. En 1995 fue de 35

nacimientos por cada 1.000 habitantes. En el año 2000 fue de 33 por cada 1.000 personas. Supongamos que p denota la natalidad por cada 1.000 personas y q representa el tiempo medido en años desde 1995.

a. Determine la función lineal de natalidad3.

b. Si el modelo lineal se mantiene igual. ¿Cuál será la natalidad esperada para el año 2015?

3 Note que como la natalidad disminuye linealmente en función del tiempo, la pendiente debe ser negativa.


Solución:

Como p depende linealmente de q, tenemos que

p � p�q� � �q � j

Para determinar los valores de � y j, debemos tener en cuenta que si en 1995 (es decir, q � 0) hubo 35

nacimientos por cada 1.000 habitantes, entonces reemplazando en la ecuación, tenemos que 35 � � ∙ 0 � j 35 � j

Además, en el año 2000 (es decir, q � 5) hubo 33 nacimientos por cada 1.000 habitantes, entonces

reemplazando en la ecuación, tenemos que

33 � � ∙ 5 � 35 �2 � � ∙ 5

�25 � �

Con esto, tenemos que

p � p�q� � �25q � 35

Dado que p � p�q� � � �q � 35 reemplazando q � 20, tenemos que

p � �25 ∙ 20 � 35 � �8 � 35 � 27

Así, la natalidad para el año 2015 será de 27 personas por cada 1.000 habitantes


Se llevó a cabo un experimento para estudiar el efecto de cierto medicamento para disminuir la frecuencia

cardíaca en adultos y se obtuvo los siguientes resultados

Dosis administrada en mg

0,5 0,75 1 1,25

Frecuencia cardíaca (latidos por minuto)

9,05 10,075 11,1 12,125

Suponiendo que los datos siguen un modelo lineal, determine

a. La función que representa el problema

b. Interprete la pendiente de la recta en términos de la tasa de cambio

c. Si se administran 2 mg, ¿Cuál es la disminución en la frecuencia cardíaca?

d. ¿Para qué dosis la frecuencia cardíaca disminuye en 10 latidos por minuto?

Solución:

Denotemos por ) a la frecuencia cardíaca, la cual depende linealmente de la cantidad de medicamento en

milígramos, que denotaremos por B. De este modo, tenemos la siguiente relación ) � )�B� � �B � j

Además la pendiente de esta recta será � � �r,r;�,s,r�r,;�,r,� � �,r�r,� � 4,1. Para calcular el valor de j, usando la

tabla vemos que, por ejemplo

9,05 � 4,1 ∙ 0,5 � j 7 � j

De este modo, )�B� � 4,1B � 7

El valor de la pendiente se interpreta del siguiente modo: por 1 mg de medicamento, hay un aumento en la

frecuencia cardíaca de 4,1 latidos por minuto.


)�2� � 4,1 ∗ 2 � 7 � 15,2

10 � 4,1 ∙ B � 7. Luego, B � 0, 73170EEEEEEEEE

Un contenedor contiene inicialmente 100 �c0 de un cierto líquido y se empieza a vaciar más líquido dentro

de este contenedor. Cinco segundos después, contiene 300 �c0 de este líquido. Si B representa la cantidad

de líquido en el contenedor, en �c0 y [ representa el tiempo, en segundos, y además se sabe que la

cantidad de líquido varía linealmente con respecto al tiempo.

a. Escriba la ecuación que relaciona B y [.

b. Suponga que el contenedor tiene una capacidad de 10 litros. ¿En cuánto tiempo se llenará?

c. ¿Qué representan la pendiente y el coeficiente de posición en el contexto del problema?

Solución:

a. Como la cantidad de líquido varía linealmente con respecto al tiempo, tenemos que B�[� � �[ � j

Como el contenedor contiene inicialmente 100 �c0 de un cierto líquido, tenemos que

100 � � ∙ 0 � j → 100 � j

Por lo que B�[� � �[ � 100

Para determinar el valor de �, notemos que cinco segundos después, contiene 300 �c0 de este líquido, es

decir 300 � � ∙ 5 � 100 → 40 � �

Por lo que B�[� � 40[ � 100

a. Teniendo en cuanta que 10 litros corresponden a 10.000 �c0, debemos resolver la ecuación 10.000 � 40[ � 100 247,5 � [


Por lo tanto, en 247,5 segundos el contenedor se llenará, a saber, con 10 litros.

b. La pendiente nos dice que el contenedor se llena a razón de 40 gOuvwvxy z.Mientras que el coeficiente

de posición, a saber, j � 100, nos dice que inicialmente, el contenedor tiene 100 �c0 de este líquido.

(Ecuación de la oferta) A un precio de US$2,5 por unidad, una empresa ofrecerá 8000 camisetas al mes; a

US$4 cada unidad, la misma empresa producirá 14.000 camisetas al mes. Determine la ecuación de la oferta,

suponiendo que es lineal.

Solución: Como la ecuación de oferta es lineal, debe ser de la forma

{�� j

Donde representa el precio por unidad, en dólares. Ahora bien, a un precio de US$2.5 por unidad, una

empresa ofrecerá 8000 camisetas al mes. Luego,

8.000 � � ∙ 2,5 � j

Y a US$4 cada unidad, la misma empresa producirá 14.000 camisetas al mes. Por lo tanto

14.000 � � ∙ 4 � j

De esta forma, tenemos el siguiente sistema

2,5� � j � 8.000 4� � j � 14.000

Restando ambas ecuaciones, tenemos

�1,5� � �6.000 � � 4.000

Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones, tenemos que j � �2.000. Por lo que la ecuación de

oferta es


{�� 4.000 � 2.000

∎

Un médico posee libros de medicina que valen US$1500. Para efectos tributarios, se supone que se

deprecian de modo lineal hasta llegar a cero en un período de 10 años. Es decir, el valor de los libros

disminuye a una tasa constante, de manera que es igual a cero al cabo de 10 años. Expresar el valor de los

libros como una función del tiempo y elaborar la gráfica.

Solución: Denotemos por K�[�, el valor de los libros, donde [ es el tiempo en años. Sabemos que K�[� � �[ � j

Inicialmente, es decir [ � 0, los libros cuestan US$1500. Reemplazando en la ecuación anterior, tenemos 1500 � � ∙ 0 � j 1500 � j

Ahora bien, al cabo de 10 años, es decir [ � 10, el valor de los libros es cero. Nuevamente reemplazando, se

obtiene

0 � 10� � 1500 �150 � �

De esta forma, la función lineal que expresar el valor de los libros como una función del tiempo, es K�[� � �150[ � 1500 ∎

La gráfica queda como ejercicio.

C. FUNCIÓN CUADRÁTICA

Sean#, $, ∈ L, # � 0. Se define la función cuadrática como sigue: F � # � $ �

La gráfica de esta función, recibe el nombre de parábola.

El valor

34

recibe el nombre de discriminante. Tenemos los siguientes casos:

i. Si ∆� 0, la parábola corta en dos puntos al eje

ii. Si ∆� 0, la parábola corta en un solo punto al eje

iii. Si ∆� 0, la parábola no corta al eje


∆� $ � 4#

recibe el nombre de discriminante. Tenemos los siguientes casos:

, la parábola corta en dos puntos al eje }. Estos puntos se determinan por la fórmula

� �$ ~ √$ � 4# 2# � �$ ~ √∆2#

, la parábola corta en un solo punto al eje }. Este puntos se determina por la fórmula

� � $2#

a parábola no corta al eje }.


. Estos puntos se determinan por la fórmula

. Este puntos se determina por la fórmula

35



36



37




Vértice: Si # � 0, corresponde al punto más bajo de la parábola y si# 8 0, corresponde al punto más alto

de la parábola. La fórmula para determinar el vértice, es:

K � �� $2# , � $4#�

La concentración de cierto calmante suministrado mediante suero, varía en su efectividad en el tiempo

según

B�[� � �[ � 6[

donde B es la concentración del calmante en el suero medida en milígramos por litro

para que haga efecto durante horas. ¿En qué instante la concentración es de 8

milígramos por litro? Grafique la función e interprete resultados en el contexto del

problema.

Solución: Notemos que la gráfica de la función es una parábola con # � �1 8 0, por lo que esta parábola

va hacia abajo. Además, tenemos que el vértice es

K � �� $2# , � $4#� � �3, B�3�� 3,9�

Con esto, tenemos que la porción de gráfica de la función es

39

Según la gráfica, tenemos que la máxima concentración de calmante es

cabo de 3 horas. Notemos también que

medicamente es 0 9 [ 9 6.

Para determinar el instante en que la concentración es de 8 milígramos por litro, debemos r

ecuación

es decir,

Debemos tener en cuenta que las raíces de una ecuación cuadrática se determinan por la fórmula

En este caso, # � 1, $ � �6 y B�[� son [� �4 y [ �2

Un fabricante puede vender 3� � 0.1 � 10. Como una función de la cantidad,

dado por � � 3 � 0.02. Determine la forma funcional de la dependencia de

Grafique la situación e indique que representa el vértice de esta función.


Según la gráfica, tenemos que la máxima concentración de calmante es de 9 milígramos por litro y se da al

cabo de 3 horas. Notemos también que el intervalo de tiempo para el análisis de la concentración del

Para determinar el instante en que la concentración es de 8 milígramos por litro, debemos r

8 � �[ � 6[

[ � 6[ � 8 � 0


[ � �$ ~ √$ � 4# 2#

� 8, por lo que, reemplazando dichos valores, tenemos que las raíces de

unidades de su producto a un precio de � dólares

. Como una función de la cantidad, , demanda en el mercado, el ing

. Determine la forma funcional de la dependencia de � con respecto del precio

Grafique la situación e indique que representa el vértice de esta función.


de 9 milígramos por litro y se da al

análisis de la concentración del

Para determinar el instante en que la concentración es de 8 milígramos por litro, debemos resolver la


lores, tenemos que las raíces de

∎

dólares por unidad, en donde

, demanda en el mercado, el ingreso � (en dólares) está

con respecto del precio �.


Solución: De la relación 3� � 0.1 � 10

Tenemos � 100 � 30�

Ahora bien, como � � 3 � 0.02, reemplazando lo anterior, nos queda

� � 3�100 � 30�� 0.02�100 � 30��

� 300 � 90� � 0.02�10000 � 6000� � 900��

� 300 � 90� � 200 � 120� � 18�

� �18� � 30� � 100

La gráfica (por el contexto del problema) representa una parte de una parábola


El vértice de esta función es

K � �� $2# , � $4#� � �� 30�36 , 100 � 30�72�

� @56 , 100 � 90072 A � �0,83E; 112,5�

El vértice nos dice que cuando � � 0,83E dólares, se obtiene el máximo ingreso, el cual es de 112,5 dólares. ∎


El ingreso � obtenido por vender unidades de un cierto artículo tecnológico, está dado por �� 0,01 � 60

Determine el número de unidades que deben venderse al mes de modo que maximicen el ingreso. ¿Cuál es

este ingreso máximo? Realice la gráfica de esta función, según el contexto del problema.

Solución: Para determinar el ingreso máximo, es necesario encontrar el vértice de esta función cuadrática.

Tenemos que

K � �� 60�0,02 , 0 � 60�0,04� � �3000,90000�

Esto nos dice que el número de unidades que deben venderse al mes de modo que maximicen el ingreso es

3000 y que el ingreso máximo es de 90000.

Los cortes con el eje X vienen dados al resolver la ecuación

0 � �0,01 � 60

Es decir, � 0 y � 6000.

La gráfica, en el contexto del problema es

∎


IV. LOGARITMOS

Sean # ∈ L� � 114, ∈ L�. Se define el logaritmo en base # de , como sigue

logM � F ⇔ #� �

A. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Sean # ∈ L� � 114; , F ∈ L�, j ∈ L . Tenemos que

• logM�F� � logM � logM F

• logM >��? � logM � logM F

• logM�� j logM

Fórmula de cambio de base

Sean #, $ ∈ L� � 114; ∈ L�. Tenemos que

logM�� logN logN #

Resuelva la siguiente ecuación 2�� ∙ 3�,� � 6

Solución: Aplicando logaritmo, tenemos que

log�2�� ∙ 3�,�� log 6

log�2�� log�3�,�� log 6


� � 1� log 2 � � � 5� log 3 � log 6

log 2 � log 2 � log 3 � 5 log 3 � log 6

log 2 � log 3 � log6 � 5 log 3 � log 2

�log 2 � log 3� � log 6 � 5 log 3 � log 2

� log 2 � log 3log 6 � 5 log 3 � log 2 � log 6log 14582 � log 6log 729

Lo que resuelve el ejercicio. ∎

Resuelva la siguiente ecuación

log-� � 1� � log-�� 12

Solución: En primer lugar debemos notar que tenemos dos restricciones, debido al dominio de la función

logaritmo:

� 1 � 0 � 0

Intersectando ambas condiciones, llegamos a que � 0. De encontrar una solución, debe entonces, ser

positiva.

log-� � 1� � log-�� 12

log-2� � 1��3 � 12


� � 1�� 4� � √4

� � 2

� � 2 � 0

Lo que nos da una ecuación cuadrática, cuyas raíces son � � 1 y � �2. En vista de que � 0, tenemos

que la solución a nuestra ecuación es � 1.

∎

Resuelva la siguiente ecuación: log √ � 1 � log� � 1� � log √ � 4

Solución: Antes de resolver el problema, tenemos las siguientes restricciones: � 1 � 0, � 1 � 0, � 4 � 0

De donde obtenemos, que de haber una solución, esta debe cumplir con � 1. Resolviendo, tenemos

log √ � 1 � log� � 1� � log √ � 4

log √ � 1 � log @ � 1√ � 4A

√ � 1 � � 1√ � 4

Elevando al cuadrado a ambos lados, tenemos que

� 1 � � � 1� � 4

� � 1�� 4� � � � 1�

� 3 � 4 � � 2 � 1

� 5


∎

Resuelva la siguiente ecuación logarítmica log� � 11� � 1 � 2 log��

Solución:

log� � 11� � 1 � 2 log�� log� � 11� � 2 log�� 1 log� � 11� � log�� 1

log @ � 11 A � 1

Por lo tanto, tenemos que � 11 � 10 � 11 � 10 0 � 10 � � 11

De donde obtenemos dos soluciones, a saber, � �1 y � ��r

En vista de que � 0, tenemos que la solución a esta ecuación solamente es � ��r ∎

Sean A , a � 0. Si � H�1 � a��, demuestre que j � �� ,�� .

Solución: Aplicando logaritmo, tenemos que

log � log A�1 � a��

log � log H � log�1 � a��

log � log H � j log�1 � a�/:log�1 � a�

log c � logAlog�1 � a� � j


Con lo que se tiene la igualdad. ∎

Una Isapre calcula que el número de sus afiliados H�[� , después de taños, está dada por: H�[� � 100.000�0,04�r,��

¿Cuántos afiliados tiene inicialmente la Isapre?

¿Cuántos afiliados tendrá después de 3 años?

¿Al cabo de cuántos años habrán 30.000 afiliados?

Solución: Inicialmente, la isapre tendrá H�0� � 100.000 afiliados

Después de 3 años, tendrá

H�3� � 100.000�0,04�r,�∙0=100.000�0,04��,� � 25.298

afiliados

Para determinar al cabo de cuántos años habrán 30.000 afiliados, resolvemos la ecuación

30.000 � 100.000�0,04�r,��/: 100.000

0,3 � �0,04�r,��

Aplicando logaritmo, tenemos

log 0,3 � 0,5[ log�0,04�

log 0,3log 0,04 � 0,5[/:0,5

0,324 � [


Una población de bacterias duplica su tamaño cada 19 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en incrementarse

el número de organismos, de 10� a 10;?

Solución: Sea Br la cantidad inicial de organismos. El lector(a) debe notar que transcurridos 19j minutos

(j ∈ e) hay un total de 2�Br organismos.

Ahora bien, para determinar la cantidad de minutos que tardarán en haber 10� organismos, resolvemos la

ecuación

2�Br � 10�

j � 5 � log Brlog2

Por lo que al cabo de 19j � 19 ∙ >�,�� ? minutos habrá 10� organismos.

Análogamente, la cantidad de minutos que tardarán en haber 10; organismos, será de 19j � 19 ∙>;,�� ?.

De esta forma, el tiempo que tardará en incrementarse el número de organismos, de 10� a 10;, será de 19 ∙ >;,�� ? � 19 ∙ >�,�� ? � 0/�� minutos ∎


1. Establezca si las gráficas siguientes representan o no funciones.


2. Dada las siguientes funciones, calcule los valores indicados

a. 5�2�, 5�1�, 5�0�, si 5�� 0

b. C >�? , C��1�, C��0�, si C�� 50 � � �;�

c. : >�-? , :�7�, :��7�, si :�� - � 5, c� 9 0

√�� , c�0 8 8 7��r ,c� � 7

�

3. (Contaminación atmosférica) El índice de contaminación atmosférica (en una cierta unidad de

medida) en cierta ciudad, varía durante el día, de la siguiente manera

��[� �� 2 � 4[, c�0 9 [ 8 2

6 � 2[, c�2 9 [ 8 414, c�4 9 [ 8 12

50 � 3[, c�12 9 [ 8 16�

Aquí,[ es el tiempo en horas, con [ � 0, correspondiente a 6 a.m. y[ � 16 a 10 p.m. Haga la gráfica de esta

función ¿Cuáles son los niveles de contaminación a las 8 a.m, 12 del día, 6 p.m. y 8 p.m.?


4. Para enviar un paquete desde Vancouver a París, Francia, un servicio de correo cobra $50 por

paquetes que pesen hasta 2 kilogramos y $10 por cada kilogramo o fracción adicional. Grafique la función

que expresa el costo de enviar un paquete de peso kilogramos para 9 8

5. (Función de costo de la electricidad) La electricidad se cobra a los consumidores a una tarifa de $10

por unidad para las primeras 50 unidades y a $3 por unidad para cantidades que excedan las 50 unidades.

Determine la función �� que da el costo de usar unidades de electricidad.

6. La temperatura (medida en grados Celsius), que experimenta cierto cultivo de bacterias, varía de

acuerdo a

q�� 2� � 1

donde , representa el tiempo de exposición a fuentes de energía calórica.

a. Señale el intervalo de tiempo en que la temperatura del cultivo se mantiene positiva.

b. ¿Después de cuánto tiempo la temperatura es máxima?

c. Realice la gráfica de la función e interprete en el contexto del problema.

7. Graficar la función 5�� 5 � 6 � 3, indicando su vértice, zona de crecimiento y

decrecimiento, cortes con el eje X e Y, si es posible.


8. Encuentre la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta de ecuación 3 � 2F � 1 � 0 y

pasa por el punto ��1, 0�. Grafique esta recta.

9. Desde 1980 ha habido un incremento, aparentemente lineal, en el porcentaje de la población de

alcohólicos en una ciudad de Chile. En 1980 el porcentaje fue de 9,5%. En 1990 el porcentaje se elevó a

14,5%. Si * denota el porcentaje de alcohólicos en la población y q denota el tiempo, en años, desde 1980.

a. Determine la función lineal *�q�.

b. Si el modelo de crecimiento sigue mostrando la misma tendencia, pronostique el porcentaje de

alcohólicos que se espera tener para el año 2013.

10. Determine cuál de las siguientes parábolas corta al eje X. Fundamente su respuesta

a. F � � 9 � 18

b. F � � � 8 � 20

c. F � � 15 � 54

d. F � 2 � 8 � 7

e. Todas cortan al eje }

12. El costo promedio por unidad (en dólares) al producir unidades de cierto artículo es B�� 20 �0.06 � 0.0002. ¿Qué número de unidades producidas minimizarían el costo promedio? ¿Cuál es el

correspondiente costo mínimo por unidad? Realice la gráfica de esta función, según el contexto del

problema.

13. El ingreso I obtenido por vender unidades de un cierto artículo tecnológico, está dado por �� 60 � 0.01. Determine el número de unidades que deben venderse al mes de modo que

maximicen el ingreso. ¿Cuál es este ingreso máximo? Realice la gráfica de esta función, según el contexto del

problema.

14. Demuestre que el vértice de la parábola cuya ecuación es F � #� � C� � l está en el punto �C, l�

15. Los costos totales y los ingresos totales de una compañía están dados por las siguientes funciones:

B�� 3000 � 50 �


�� 190

a. ¿Cuál es el costo de producir 10 unidades?

b. Encuentre la función de utilidad.

c. ¿En qué nivel de producción y venta se maximiza la utilidad? ¿Cuál es la máxima utilidad?

16. Determine �5=:�� y �:=5�� en los siguientes casos

a. 5�� , :�� 1 �

b. 5�� 2 � √, :�� 2�

c. 5�� 3 � 1, :�� 0

d. 5�� 3, :�� 4

e. 5�� , :�� √ � 1

16. Resuelva la ecuación log�7 � 1� � log�3 � 5� � 1.

17. El valor de reventa V de un equipo radiográfico se comporta de acuerdo a la ecuación V �750.000U,r,r��, en que son los transcurridos desde el momento de la compra.

a. ¿Cuál es el valor original del equipo radiográfico?

b. ¿Cuál es el valor esperado de reventa, después de 5 años?

c. ¿Después de cuántos años el valor de reventa será de $250.000?

18. Encuentre el valor numérico de

U�� log0 127 � log� √125 � log; 1343w

19. Después de que un estudiante con un virus gripal regresa a un campo universitario aislado de 3000

estudiantes, el número de estudiantes infectados después de días, se pronostica por


p�[� � 30001 � 2999U,r,/s��

¿En qué período de tiempo se estima que los infectados lleguen aproximadamente a 1000 estudiantes?

20. Escriba cada una de las siguientes expresiones como el logaritmo de una sola expresión.

a. log� � 1� � log��

b. 2 log�� 3 log�F� � 4log�[�

c. ln�2� � 5 ln� � 1� � 2 ln� � 3�

V. LÍMITES

1. Determine el valor de los siguientes límites:

lim�→�√ � 1 � 1

Solución:

lim�→�√ � 1 � 1 � lim�→�√ � 1 � 1 ∙ √ � 1√ � 1 � lim�→� � 1� � 1�\√ � 1] � lim�→� 1√ � 1 � 12

∎

lim�→/ √w � 2 � 8

Solución:

lim�→/ √w � 2 � 8 � lim�→/�√w � 2 � 8 ∙ √w � 2√w � 4√w � 2√w � 4�

� lim�→/ � 8� � 8��√w � 2√w � 4� � lim�→/ 1√w � 2√w � 4 � 112


∎

lim�→,0 � � 12 � 4 � 3

Solución:

lim�→,0 � � 12 � 4 � 3 � lim�→,0 � � 4�� 3�� 1�� 3� � lim�→,0 � 4 � 1 � �12

∎

lim�→,�√ � 5 � 2 � 1

Solución:

lim�→,�√ � 5 � 2 � 1 � lim�→,��√ � 5 � 2 � 1 ∙ √ � 5 � 2√ � 5 � 2� �

lim�→,� � 5 � 4� � 1�� 1�\√ � 5 � 2] �

� lim�→,� � 1� � 1�� 1�\√ � 5 � 2] � lim�→,� 1� � 1�\√ � 5 � 2] � �18 ∎

Ejercicio con doble racionalización.

lim�→,0 √ � 4 � 1√2 � 7 � 1

Solución:

lim�→,0 √ � 4 � 1√2 � 7 � 1 � lim�→,0 √ � 4 � 1√2 � 7 � 1 ∙ √ � 4 � 1√ � 4 � 1 ∙ √2 � 7 � 1√2 � 7 � 1


� lim�→,0 � � 4 � 1�\√2 � 7 � 1]�2 � 7 � 1�\√ � 4 � 1] � lim�→,0 � � 3�\√2 � 7 � 1]�2 � 6�\√ � 4 � 1]

� lim�→,0 � � 3�\√2 � 7 � 1]2� � 3�\√ � 4 � 1] � lim�→,0 \√2 � 7 � 1]2\√ � 4 � 1] � 24 � 12

∎

lim�→0 20 � 5 � 2 � 340 � 13 � 4 � 3

Solución: Al reemplazar � 3 tanto en el numerador como en el denominador, los polinomios se anulan,

por lo tanto, ambas expresiones se pueden factorizar por � 3. Para saber cómo es la factorización en cada

caso, utilizamos división sintética. Tenemos así,

lim�→0 20 � 5 � 2 � 340 � 13 � 4 � 3 � lim�→0 � � 3��2 � � 1�� 3��4 � � 1�

� lim�→02 � � 14 � � 1 � 1117

∎

lim�→, 0 � 8- � 16

Solución: Al reemplazar � �2 tanto en el numerador como en el denominador, los polinomios se anulan,

por lo tanto, ambas expresiones se pueden factorizar por —�2 � � 2. Para saber cómo es la

factorización en cada caso, utilizamos división sintética. Tenemos así,

lim�→, 0 � 8- � 16 � lim�→, � � 2�� 2 � 4�� 2�� 2�� 4� � lim�→, � 2 � 4� � 2�� 4� � �38


∎

Note que el denominador se puede factorizar usando suma por diferencia.

Suponga que el tamaño de una población en el instante [ es

p�[� � #[l � [ , [ 6 0

Siendo # y l constantes positivas. Suponga que el tamaño límite de la población es lim�→¥p�[� � 1,24 ¦ 10�

y que en el instante [ � 5, el tamaño de la población es la mitad del tamaño límite.

Utilice la información anterior para determinar el valor de las constantes # y l.

Solución:

1,24 ¦ 10� � lim�→¥p�[� � lim�→¥ #[l � [ � lim�→¥ #l[ � 1 � #

Por lo que 1,24 ¦ 10� � #. Además, sabemos que p�5� � �,-¦�r§ � 0,62 ¦ 10�. Es decir, 25l � 5 � 0,62 ¦ 10�

250,62 ¦ 10� � l � 5

4,032258065 ¦ 10,� � l � 5

5 � l ∎

Determine la existencia de lim�→� 5��, donde

5�� G| � 1| � 4 � 2 � 1



5�� √1 � � 4 � 2 � 1 , c� 8 1√ � 1 � 4 � 2 � 1 , c� � 1

�

Analizando los límites laterales, tenemos

lim�→�© 5�� lim�→�© √1 � � 4 � 2 � 1 � lim�→�© �√1 � � 4 � 2 � 1 ∙ √1 � � 4 � 2√1 � � 4 � 2�

� lim�→�© �1 � � 4 � 4�� 1�� 1��√1 � � 4 � 2

� lim�→�© 1 � � � 1�� 1��√1 � � 4 � 2 � lim�→�© �� 1�� 1�� 1��√1 � � 4 � 2

� lim�→�© �1� � 1��√1 � � 4 � 2 � �18

Mientras que

lim�→�ª 5�� lim�→�ª √ � 1 � 4 � 2 � 1 � lim�→��√ � 1 � 4 � 2 � 1 ∙ √ � 1 � 4 � 2√ � 1 � 4 � 2�

� lim�→�© � � 1 � 4 � 4�� 1�� 1��√ � 1 � 4 � 2

lim�→�ª � 1� � 1�� 1��√ � 1 � 4 � 2 � lim�→�ª 1� � 1��√ � 1 � 4 � 2� � 18

En vista de que los límites laterales son distintos, lim�→� 5�� no existe


∎


1. Calcula los siguientes límites, eliminando las indeterminaciones que se presenten

a) 1

12

3

1 −−

→ x

xLimx

b) 1

33 2

1 −−

→ m

mLimm

c) 4

643

4 ++

−→ t

tLimt

d) 8

163

4

2 −−

→ x

xLimx

e) 65

92

2

3 +−−

→ tt

tLimt

f) 8

6464 −

−→ x

xLimx

g) 24

23

0 163

85

uu

uuLimu −

+→

h) 1→x

Lim 1

13

−−

x

x i)

1

122

1 +++

−→ x

xxLimx

j) 3

213 −

−+→ v

vLimv

k) n

nLimn 2

550

−+→

l) 6

222 −+

−→ xx

xLimx

m) 3

323 −

−+→ h

hhLimh

n) 4

)2(2

2

2 −−

→ x

xLimx

o) 22 4

2

x

xLimx −

+−→

p) 8

23

8 −−

→ r

rLimr

q) 1

)1(3

3

1 ++

−→ x

xLimx

r) 27

33

27 −−

→ x

xLimx

2. Dada la función xxxf 3)( 2 −= , hallar h

xfhxfLimh

)()(0

−+→

3. Dada 15)( += xxf hallar h

xfhxfLimh

)()(0

−+→

4. Resuelve los siguientes límites:

a. 3

2

1 )1(

)13(

+−

→ x

xLimx

b. 4

222 −−

→ v

vLimv

c. x

xLimx −

−→ 1

11


d. 32

)1)(32(21 −+

−+→ xx

xxLimx

e. h

xhxLimh

33

0

)( −+→

f. 34

)23(2

2

1 ++++

−→ xx

xxLimx

g. h

hLimh

22

0

2)2( −−

→

−+

5. Resuelve los siguientes límites:

a. Si dcxbxxf ++= 2)( , demuestre que cbxh

xfhxfLimh

+=−+→

2)()(

0

b. Si 2)( xxf = , demuestre que x

h

xfhxfLimh

2)()(

0=−+

→

c. Si x

xf1

)( = , demuestre que 20

1)()(

xh

xfhxfLimh

−=−+→

LA DIVISIÓN SINTÉTICA EN EL CÁLCULO DE LÍMITES

Utilice la división sintética para factorizar, y así poder eliminar las indeterminaciones en los siguientes

límites:

a. 1→x

Lim 298

4934634

245

−+−+−+−

xxx

xxxx b.

2−→xLim

182

762523

34

++−−−+

xxx

xxx

c. 3→x

Lim 3

62

−−−

x

xx d.

2−→xLim

2

104 23

+−−+

x

xxx

e. 2/1→x

Lim 12

41184 23

−−+−

x

xxx f.

2−→aLim

2

16422 23

++−−

a

aaa

g. 1−→a

Lim 1

2224

+++−

a

aaa h.

1→xLim

1

654

−−+

x

xx


6. Calcule el valor de los siguientes límites (si es que existen)

a. lim�→r |�|�

b. lim�→; √�w ,0�,;

c. lim�→¥ √ � 1 � √

d. lim�→¥ �«��¬��0��

e. lim�→� 5��, donde 5�� ® ��,��,� , c� 8 1√w � � 2, c� � 1�

f. lim�→r ��,√�,�

VI. CONTINUIDAD

Considere la función

5�� ® 1 � 2 , � 32 � 1, 9 3�

Estudie la continuidad en � 3 de 5.

Solución: Para que la función 5 sea continua en � 3, debe ocurrir que

lim�→0 5�� 5�3� � 7

Como la función se define de diferente manera a la derecha y a la izquierda de � 3, debemos usa límites

laterales


Límite por la derecha: lim�→0ª 5�� lim�→0ª ��, � 1 � 7.

Por lo tanto, lim�→0 5�� no existe, y de esta forma, no hay continuidad en � 3. ∎

Considere la función

5�� 1, 9 5√ � 1 � √9 � � 5 , 5 8 9 9

� 11 � 18 � 9 , � 9�

Estudie la continuidad en de 5.

Solución: Debemos analizar la continuidad en los puntos � 5 y � 9, en vista de que en el resto de los

puntos, la función es continua.

Continuidad en J � ¯: Haciendo uso de límites laterales, tenemos que

lim�→�© 5�� lim�→�© � � 1 � 25 � 5 � 1 � 21

Mientras que

lim�→�ª 5�� lim�→�ª √ � 1 � √9 � � 5 � lim�→�ª �√ � 1 � √9 � � 5 ∙ √ � 1 � √9 � √ � 1 � √9 � �


� lim�→�ª � � 1� � �9 � �� 5�\√ � 1 � √9 � ] � lim�→�ª 2 � 10� � 5�\√ � 1 � √9 � ] �

� lim�→�ª 2� � 5�� 5�\√ � 1 � √9 � ] �

� lim�→�ª 2\√ � 1 � √9 � ] � 22 � 2 � 12

En vista que los límites laterales son distintos, lim�→� 5�� no existe y por lo tanto, 5 no es continua en � 5.

Continuidad en J � °: Nuevamente, haciendo uso de los límites laterales, tenemos que

lim�→s© 5�� lim�→s© √ � 1 � √9 � � 5 � √84 � √22

Por otro lado,

lim�→sª 5�� lim�→sª � 11 � 18 � 9 � lim�→sª � � 9�� 2� � 9 � lim�→sª � 2 � 7

En vista que los límites laterales son distintos, lim�→s 5�� no existe y por lo tanto, 5 no es continua en � 9

Dada la siguiente función

:�� 0 � #0 � # , c� � 1√w � √#w � # , c� 8 1

�

Defina : de modo que sea continua en � 1.


Solución: Debemos definir el valor de :�1� para que la función sea continua en x � 1. Para esto, se debe

cumplir que

:�1� � lim�→�© :�� lim�→�ª :��

Ahora bien,

lim�→�© :�� lim�→�© √w � √#w � # � lim�→�© �√w � √#w � # ∙ √w � √w √#w � √#w√w � √w √#w � √#w �

� lim�→�© � #� � #�\√w � √w √#w � √#w ] �

� lim�→�© 1√w � √w √#w � √#w � 11 � √#w � √#w

lim�→�ª :�� lim�→�ª 0 � #0 � # � 1 � # � #

Luego, necesitamos que4

11 � √#w � √#w � 1 � # � #

�1 � # � #� >1 � √#w � G#w ? � 1

1 � √#w � G#w � # � #√#w � #G#w � # � #√#w � #G#w � 1

G#w � # � #√#w � #G#w � # � #√#w � #G#w � 0

4 El lector observador se dará cuenta que # � 0 es una solución inmediata de la ecuación, sin la necesidad

de hacer mayores cálculos.


√#w >√#w � G#w � # � #√#w � G#-w � # � #√#w ? � 0

Entonces, uno puede ver que una solución a esta ecuación debe cumplir que √#w � 0, es decir, # � 0. Con

esto, la función

:�� 0 � 1 � 1 , si � 1

1, c� � 1√w � 1 � 1 , si 8 1

�

Es continua en � 1 ∎

Calcule el valor de

lim�→¥ # � � #

Solución: Por continuidad de la función raíz, tenemos que

lim³→¥ # � � # � lim�→¥# � � # � ´lim�→¥# � 11 � # � lim�→¥ 11 � 1

∎


Dada la función

C�� ® � 4 � 3 � 3 , c� � 35, c� � 3 �

Determine si la función es continua en � 3.

Solución: Para que la función sea continua en � 3, debe de ocurrir que

lim�→0 C�� C�3� � 5

Ahora bien, tenemos que

lim�→0 C��=lim�→0 ��,-��0�,0 � lim�→0 ��,��,0��,0 � lim�→0� � 1� � 2 � 5

Por lo tanto, Cno es continua en � 5 ∎


1. Considere la función 5��

��√ � 1 � 1 ,c�0 8 8 1

#,c� � 112 0 � � 1,c� � 1

�

Determine el valor de # para que la función sea continua en � 1

2. Dada la función


:�� || , c� � 0

0, c� � 0�

Determine si : es o no continua en � 0.

VII. DERIVADAS

Dada la función 5�� √ , encuentre el valor de 5 ´�2� mediante su definición.


5´�2�� lim�→ 5�� 5�2� � 2 � lim�→ √ � √2 � 2 � lim�→ � lim�→ � 2� � 2�\√ � √2] � lim�→ 1√ � √2 � 12√2 ∎

Considere la función 5�� √4 � 5 . Hallar 5 ´�0�, por medio de límite

Solución:

5 ´�0� � lim�→r 5�� 5�0� � 0 �

lim�→r√4 � 5 � √4 �

lim�→r√4 � 5 � 2

Usando racionalización, tenemos que

lim�→r√4 � 5 � 2 � lim�→r√4 � 5 � 2 ∙ √4 � 5 � 2√4 � 5 � 2 �


� lim�→r 4 � 5 � 4\√4 � 5 � 2]

� lim�→r �5\√4 � 5 � 2] � lim�→r �5\√4 � 5 � 2] � �54

De esta forma, 5 ´�0� � � �-.

Encuentre la ecuación de la recta tangente y normal a la función 5�� √, en el punto �2,1�

Solución: Recordemos lo siguiente

Ecuación de la recta tangente a una función 5�� en el punto � , 5� �� Tq:F � 5� � � 5 ´� ��

Ecuación de la recta normal a una función 5�� en el punto � , 5� ��

Tp:F � 5� � � � 15 ´� � � � �

Con esto, por el ejercicio anterior, tenemos que 5 ´�2� � �√. Luego,


Tq:F � 5�2� � 5 ´�2�� 2�

F � √2 � 12√2 � � 2�

F � 12√2 � 1√2 � √2

Mientras que

Tp:F � 5�2� � � 15´�2� � � 2�

F � √2 � �2√2� � 2�

F � �2√2 � 5√2 ∎

Encuentre la derivada de la función C�� U�� ∙ ln�3 � 2�

Solución: Haciendo uso de la fórmula del producto y de la regla de la cadena, tenemos que

C´�� e�� ∙ ln�3 � 2� � V 63 � 2X U��

Derive la función 5�� 4 � 7�0 ln�7 � 5 � /�

Solución:

Usando la regla de la cadena, tenemos que

��4 � 7�0�´ � 3�4 � 7� ∙ 8 � 24�4 � 7�


\ln�7 � 5 � /� ]´ � 17 � 5 � / ∙ �5 � 8;�

Ahora, usando la fórmula del producto, tenemos que

5´�� 24�4 � 7� ln�7 � 5 � /� � �4 � 7�0 ∙ 17 � 5 � / ∙ �5 � 8;�

∎

Encuentre un polinomio de segundo grado �� # � $ � , que cumpla con ��1� � 6, �´�1� � 8, �´´�0� � 4 .


�´�� 2# � $ 8 � �´�1� � 2# � $

�´´�� 2# → 4 � �´´�0� � 2# → 2 � #. 6 � ��1� � # � $ � . (*)

Con toda esta información, tenemos que $ � 4 y así, en (*) tenemos que � 8. De esta forma, el polinomio

buscado es �� 2 � 4 � 8

Un biólogo realizó un experimento sobre la cantidad de individuos en una población de paramecium en un

medio nutritivo y obtuvo el modelo

:�[� � ln�[ � 2[ � 5�

donde [ se mide en días y :�[� es el número de individuos en el cultivo. Hallar la derivada de la función :.

Solución: Haciendo uso de la regla de la cadena, tenemos que

:´�[� � 2[ � 2t � 2[ � 5


∎

A. RAZÓN DE CAMBIO

Un equipo de investigación médica determina que [ días después del inicio

de una epidemia p�[� � 10[0 � 5[ � √[

personas estarán infectadas. ¿A qué razón se incrementa la población infectada en el noveno día?


p ´�[� � QpQ[ � 30[ � 5 � 12√[

En [ � 9 se tiene que P·P� � 2435, 16. Esto significa que pasados 9 días la población de

bacterias está aumentando a una razón aproximada de 2435, 16 por día.

Si un asteroide se desplaza en línea recta de acuerdo a la ecuación

c � 5[0 � 15[ � 45[ � 31990

Dondec es la posición en kilómetros y [ es el tiempo en hora. Hallar la velocidad instantánea y los intervalos

de tiempo donde se mueve a la derecha, a la izquierda, los instantes en los que el asteroide está en reposo,

los instantes en que acelera y desacelera.

SOLUCIÓN:

Derivando, tenemos

c´ � 15[ � 30[ � 45 � 15�[ � 2[ � 3� VELOCIDAD INSTANTÁNEA

� 15�[ � 3��[ � 1�


�∞ �1 3∞ �[ � 3�- - +

�[ � 1�- + +

- - +

Por lo que el asteroide avanza si [ � 3 está en reposo en [ � 3 y retrocede si 0 8 [ 8 3 (recuerde que el

tiempo es positivo)

Ahora bien, c´´ � 30[ � 30 � 30�[ � 1�

Por lo que el asteroide acelera si 1 8 [ y desacelera si 0 8 [ 8 1.

Sea 5�� # � $. Hallar los valores de # y $ tales que la recta F � 2 sea tangente a la gráfica de 5 en el punto de coordenadas �2, 4�.

Solución: Como la recta F � 2 tiene pendiente igual a , entonces necesitamos que 5 ´�2� � 2, es decir

4 � # � 2 → # � �2

Además, como el punto �2,4� pertenece a la gráfica de la función, tenemos que

4 � 5�2� � 4 � 4 � $ → $ � 4

B. MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Considere la función 5�� 2- � 160 � 32 � 5 . Hallar los extremos relativos.

Solución: Derivando, tenemos

5 ´�� 80 � 48 � 64

� 8� � 6 � 8� � 8� � 4�� 2�


Por lo que sus puntos críticos son � 0,2,4

Derivando nuevamente, tenemos que

5 ´´�� 24 � 96 � 64

Reemplazando cada punto crítico, tenemos

5 ´´�0� � 64 � 0

5´´�2� � �32 8 0

5 ´´�4� � 64 � 0

De este modo, � 0,4 son máximos y � 2 es mínimo. ∎

Hallar los extremos relativos, zonas de crecimiento, decrecimiento, convexidad y concavidad de la función 5�� ln� � � 1)

Solución: En primer lugar, <=�5 � L puesto que � � 1 � 0 para todo número real, ya que su

discriminante es negativo y el coeficiente que acompaña a es positivo. Ahora, buscamos los puntos

críticos:

5 ´�� 2 � 1 � � 1 � 0 ⟺ 2 � 1 � 0 ⟺ � �12

Además, tenemos que 5 ´�� 0 si y solamente si � � � por lo que la función es creciente en el intervalo

z� � , ∞g. Análogamente, la función es decreciente en el intervalo z�∞,� �g. Derivando nuevamente,

tenemos que

5´´�� 2� � � 1� � �2 � 1�� 1� � 2 � 2 � 2 � 4 � 4 � 1� � � 1�


� �2 � 2 � 1� � � 1�

Luego, 5 ´´�� 0 �2 � 2 � 1 � 0 ⟺ 2 � 2 � 1 8 0

⇔ 2� � �2 � √124 �� 2 � √124 � 8 0

⇔ � � �1 � √32 �� 1 � √32 � 8 0 ⇔ ∈ Y�1 � √32 ,�1 � √32 W

Por lo que la función es convexa en el intervalo z,�,√0 , ,��√0 g y así, cóncava en L� z,�,√0 , ,��√0 g Notemos que los puntos de inflexión son � � ,�,√0 y � ,��√0 , pues en estos puntos, 5´´�� 0 ∎

C. OPTIMIZACIÓN

Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos de euro la unidad, vende una media de 200

helados diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende dos helados menos al día. Si el coste por

unidad es de 40 céntimos, ¿a qué precio de venta es máximo el beneficio diario que obtiene el heladero?

¿Cuál será ese beneficio?

Solución:

Llamamos al número de céntimos en los que aumenta el precio. Así, cada helado costará 50 �

céntimos; y venderá 200 � 2 helados diarios.

Por tanto, por la venta de los helados obtendrá unos ingresos:

�� 50 � ��200 � 2�

Pero tiene unos gastos de: ¹�� 200 � 2� º 40


Luego, el beneficio será de:

D�� ¹�� 50 � ��200 � 2� � �200 � 2� º 40 � �200 � 2��50 � � 40� �

� �200 � 2�� 10� � �22 � 180 � 2000

Hallamos x para que el beneficio sea máximo:

D´�� 4 � 180

D´�� 0 ⇔ �4 � 180 � 0 ⇔ � 45

D′′�� 4; D′′�45� 8 0.

Por lo tanto, en x = 45 hay un máximo

De esta manera, obtendrá el máximo beneficio vendiendo cada helado a 50 � 45céntimos de euro. En este

caso, el beneficio sería de D�45� � 6050 céntimos.

Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus

dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?

Solución:

El área de un cilindro de altura y radioa es

75

Mientras que su volumen, viene dado

Reemplazando esto último en la fórmula del área, tenemos

Derivando, tenemos


H � 2baC � 2ba

Mientras que su volumen, viene dado por

K � baC � 1 → C � 1ba

Reemplazando esto último en la fórmula del área, tenemos

H � 2ba 1ba � 2ba � 2a � 2ba

H´ � � 2a � 4ba � 0

4ba � 2a

a0 � 24b � 12b



a � ` �¼w (Punto crítico)

Derivando nuevamente, tenemos

H´´ � 4a0 � 4b

Reemplazando el punto crítico, da positivo, por lo que a � ` �¼w es el radio del cilindro

que minimiza la cantidad de metal. ∎

Un proyectil es disparado siguiendo una trayectoria parabólica, dada por la ecuación C � � �- [ � 60[, donde es la altura en metros y el tiempo en segundos. Halle el tiempo en que alcanza su altura máxima

y el valor de esta altura.

SOLUCIÓN:

Derivando, tenemos que

C´ � �12 [ � 60 � 0

[ � 120

Derivando nuevamente, tenemos que

C´´ � �12

Por lo que al reemplazar nuestro punto crítico, nos da negativo. De esta forma, [ � 120 segundos es el

instante el que alcanza su mayor altura.


Un depósito abierto de latón con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros, ¿qué dimensiones debe tener

para que su fabricación sea lo más económica posible?

Solución:

Llamamos al lado de la base e F a la altura del depósito. Así, el volumen es:

K � F � 4000 → F � 4000

La superficie total del depósito (recordemos que está abierto) será:

H � 4F � � 4 ∙ 4000 � � 16000 �

Buscamos para que H sea mínima. Derivando, tenemos

H´ � �16000 � 2 � �16000 � 20

Luego, H´ � 0 ⟺ 20 � 16000 ⟺ � √8000w � 20

Veamos que es un mínimo:


H´´ � 320000 � 2

Reemplazando el punto crítico, da positivo. Por tanto, el lado de la base debe medir � 20 y la altura, F � 10 ∎

De entre todos los rectángulos de perímetro 24, encuentre el de mayor área.

Solución: Sean , F el largo y ancho de un rectángulo cualquiera, con perímetro 24. Luego, 2 � 2F � 24 � F � 12 → F � 12 �

La función a maximizar es el área del rectángulo, a saber,

H � F � �12 � � � � � 12

Buscamos los puntos críticos H´ � 0 ⟺ �2 � 12 � 0

⟺ � 6

Como H´´ � �2, al reemplazar nuestro punto crítico, siempre dará negativo. De esta forma, � F � 6, por

lo que el rectángulo (de perímetro 24) de mayor área es el cuadrado de lado 6. ∎


(DESAFÍO) Uno de los ángulos agudos de un triángulo mide 30 grados y el lado opuesto a este ángulo tiene

una longitud de 10 pulgadas. Demuestre que todos los triángulos que satisfacen estas condiciones, aquel

que tiene el área máxima es isósceles.

Solución:

El área de un triángulo puede obtenerse mediante la fórmula

H � 12F sin½

Donde ½ es el ángulo que forman los lados que miden e F unidades.

De esta forma, el área del triángulo que cumple con las condiciones del problema, es

H � 12 F sin30 � F4

Además, HBEEEE mide 10 pulgadas. Por el teorema del coseno, tenemos que

� F � 2F cos 30 � 10

� F � √3F � 100 → F � � F � 100√3

Por lo tanto, reemplazando en el área del triángulo, tenemos que


H � � F � 1004√3

Por el teorema del seno, tenemos que

sin30 � sin¾F → F � 20 sin¾

Análogamente, � 20 sin�150 � ¾�

Por lo tanto, el área del triángulo queda

H � �20 sin�150 � ¾�� 20 sin¾� � 1004√3

� 400�sin�150 � ¾��4√3 � 400�sin�¾��4√3 � 1004√3

� 100�sin�150 � ¾��√3 � 100�sin�¾��√3 � 254√3

Derivando, con respecto a ¾y usando propiedades de trigonometría, tenemos

H´ � �100√3 sin�300 � 2¾� � 100√3 sin�2¾�

Ahora, buscamos los puntos críticos

H´ � 0 ⟺ 100√3 sin�2¾� � 100√3 sin�300 � 2¾�

⟺ sin�2¾� � sin�300 � 2¾�

⟺ 2¾ � 300 � 2¾


⟺ ¾ � 75

el cual es nuestro punto crítico. Derivando nuevamente, tenemos que

H´ � �100√3 sin�300 � 2¾� � 100√3 sin�2¾�

H´´ � 200√3 cos�300 � 2¾� � 200√3 cos�2¾�

Reemplazando ¾ � 75, tenemos que

H´´�75� � 200√3 cos�150� � 200√3 cos�150�

� �200√3 ∙ √32 � 200√3 ∙ √32 � �100 � 100 � �200 8 0

Por lo tanto, ¾ � 75 es máximo. De esta forma, los ángulos de este triángulo de área máxima, son 75, 75,30, es decir, es isósceles. ∎


1. Encuentre la derivada de las siguientes funciones

a. 5�� w��,;√��,0

b. 5��

c. 5�� > � ��? >5 � ��?


2. Considere la función 5�� √3 � 6 . Hallar 5 ´�1� usando límites.

3. Utilizando la regla de la cadena, encuentre la derivada de las siguientes funciones:

a. 5�� 3 � 2�/

b. 5�� 0 � 5 � 4��7 � 12�-

c. 5�� G�0 � 5 � 4�

d. 5�� /��G��w��,-�

4. Derive la función 5�� 4 � 3�0+√U� �

(Ayuda: Use la fórmula de la suma de funciones, junto con la regla de la cadena)

5. Derive la función 5�� 4 � 7�� ln�7 � � /�.

(Ayuda: Use la fórmula del producto de funciones, junto con la regla de la cadena)

6. Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la curva de la función :�� √U� � en el

punto �0,1�.

7. Encuentre la ecuación de la recta tangente y normal a la curva de la función

5�� 0�� ln en el punto �1, 0/�

8. Se introduce una población de 500 bacterias en un cultivo, creciendo en número de acuerdo con la

función

*�[� � 500 @1 � 4[50 � [A

donde [ se mide en horas. Hallar a qué ritmo está creciendo la población cuando han pasado 120 minutos.


OPTIMIZACIÓN

9. Un diseñador gráfico tiene que realizar un trabajo, en una pancarta rectangular que tenga 180 cm2

de material impreso, dejando 3 cm de margen superior e inferior y 2 cm de margen izquierdo y derecho.

Determine las dimensiones que debe tener el trabajo para que se utilice la menor cantidad de papel posible.

10. Se desea cercar un terreno utilizando 200 m de rollo de tela de alambre, el terreno cercado debe

quedar en forma cuadrada o rectangular. Determine las dimensiones del terreno de tal manera que el área

cercada sea máxima.

11. Se requiere construir un recipiente cilíndrico sin tapa empleando 480 cm2 de lámina. ¿Qué

dimensiones debe tener el cilindro para que el volumen contenido en el sea máximo?

12. Para cada una de las funciones siguientes determinar: los intervalos en donde es creciente y

decreciente, los intervalos en donde es cóncava y convexa, los puntos en donde alcanza sus máximos y

mínimos locales y un bosquejo de la gráfica.

a. 5�� 0 � 3 � 3

b. 5�� - � 32 � 48

c. 5�� w

d. 5��


VIII. CONCLUSIONES

El objetivo de este apunte es ayudar a los estudiantes de la UBO a complementar su estudio. Se recomienda, que además de este trabajo, utilice otros textos de Matemática para su estudio. La proyección de estos apuntes está dirigida a extender la cantidad de ejercicios que posee, tanto resueltos como propuestos. Todo esto, a medida que siga trabajando como profesor universitario (que espero sean muchísimos años más), con el fin de otorgar al estudiante un material que le sea cada vez más completo.


IX. BIBLIOGRAFÍA DE APOYO

Hoffmann, L. (1998). Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Bogotá: McGraw-Hill.

Jagdish, A., & Lardner, R. (2002). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. México:

Pearson.

Leithold, L. (1998). El Cálculo. México: Oxford University Press.

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO

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