Eventos aleatorios, espacio maestral y

técnicas de conteo.

PROCESOS INDUSTRIALES EN AREA

MANOFACTURA

Universidad Tecnológica de Torreón

EVENTOS ALEATORIOS

Un evento se entiende como el acontecimiento de un hecho en proceso o por venir. Se dice que es aleatorio, si no es posible determinarlo con exactitud. En todo caso, será posible predecirlo con un nivel dado de confianza. Al evento también se le denomina un suceso o un fenómeno.

Generalmente, se simula el evento por un conjunto de variables relacionadas entre si. Por lo tanto, un evento está representado con una o más variables vinculadas entre ellas.

Si las variables (una o varias de éstas) no son predecibles con exactitud se dice que el evento es aleatorio. Generalmente las variables representan atributos y propiedades de los entes que intervienen en el evento, y que pueden ser medidos. De esta manera se dice que las variables tienen una magnitud.

≻ Evento aleatorio es aquel que bajo el mismo conjunto de Condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes – es decir, no se puede predecir el resultado de cada experiencia particular.

• Ej.: Lanzamiento de un dado

≻ Un experimento se dice aleatorio si verifica las siguientes condiciones:

– Es posible conocer previamente todos los posibles resultados asociados al experimento.

– Es imposible predecir el resultado del mismo antes de realizarlo.

– Es posible repetirlo bajo las mismas condiciones iniciales un número ilimitado de veces.

≻ A cada realización de un experimento se le llama experiencia o prueba.

ESPACIO MUESTRAL

Un espacio muestral o espacio de

muestreo es el conjunto de todos los

resultados posibles de un experimento

aleatorio. A cada uno de sus elementos

se los denomina como punto muestral

o, simplemente, muestra.

Por ejemplo:

si el experimento consiste en arrojar un dado, el espacio muestral será el conjunto formado por los puntos muéstrales 1, 2, 3, 4, 5 y 6, ya que esos son los resultados posibles de la acción de arrojar el dado. Por lo tanto, el espacio muestral del experimento es U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

En algunos casos, los experimentos pueden tener dos o más espacios muestrales posibles. El experimento de tomar un naipe de una baraja española, por ejemplo, tiene un espacio de muestreo compuesto por los números y otro espacio muestral formado por los palos. La descripción más completa, pues, debería incluir ambos valores (número y palo) en un eje cartesiano.

Los espacios muestrales pueden ser discretos (cuando el número de sucesos elementales es finito o numerable) o continuos (en los casos en que el número de sucesos elementales es infinito incontable).

TECNICAS DE CONTEO

Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.

Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades.

Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc. Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas: La técnica de la multiplicación, la técnica de la permutación, y la técnica de la combinación.

La Técnica de la Multiplicación

La técnica de la multiplicación: Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas

En términos de fórmula

Número total de arreglos = m x n

Esto puede ser extendido a más de dos eventos. Para tres eventos, m, n, y o:

Número total de arreglos = m x n x o

Ejemplo: Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las

diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor?

Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin).

Número total de arreglos = 3 x 2

No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos de modelos de autos y rines en este ejemplo. Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para ofrecer ocho modelos de auto y seis tipos de rines. Sería tedioso hacer un dibujo con todas las posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación fácilmente realizamos el cálculo:

Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48