ESTRUCTURASINVISIBLES

Editado en Junio 2011

AutorBeatriz Álvarez Oliván

AgradecimientosMarc Salinas Claret

El texto está disponible bajo licencia de Creative Commons.

2

3

ÍNDICE

EL NÚMERO ÁUREO 5 6 · Historia 9 · La secuencia de Fibonacci10 · El ángulo áureo11 · El número áureo en la naturaleza12 · El número áureo en la geometría14 · Fi y el hombre16 · Arquitectura18 · Pintura20 · Música21 · Más

FRACTALES 2227 · Los fractales y el caos28 · ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?30 · Arquitectura34 · Patrones tradicionales35 · Música38 · Artes visuales41 · Literatura43 · Tecnología

SIMETRÍAS 4450 · Física51 · Biología53 · Símbolos religiosos54 · Arquitecura54 · Palíndromos54 · Interacción social55 · Estética56 · Grupos de papel tapiz60 · Diseño gráfico

BIBLIOgRAFÍA 62

ÍNdICE ANALÍTICO 64

4

5

EL NÚMERO ÁUREO

6

El número áureo o de oro, también llamado número pla-teado, razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción, repre-sentado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un núme-ro irracional. También se lo representa con la letra griega Tau (Τ τ),por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa -acortar, aunque encontrarlo representado con la letra fi (Φ,φ) es más común.

Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) que posee muchas propiedades inte-resantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como «unidad» sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas fi-guras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como cohetes, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, el caparazón de un caracol, etc.

Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importan-cia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las mate-máticas y la arqueología.

Existen varios textos que sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en ciertas estelas Babilonicas y Asirias de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo, no existe documentación histórica que indique que el número áureo fue usado conscientemente por los arquitectos o artistas en la construcción de las estelas. También es importante notar que cuando se mide una estructura complicada es fácil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas

disponibles. Además para que se pueda considerar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos relativamente obvios del objeto y este no es el caso de los elaborados teoremas que defienden la presen-cia del número áureo. Por todas estas razones Mario Livio y Álvaro Valarezo concluyen que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número áureo.El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides (c. 300-265 a. C.), quien lo definió de la siguiente manera:

«Se dice que una línea recta está dividida entre el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor.»

Euclides en Los Elementos.

Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros, es decir es irracional.Platón (c. 428-347 a. C.) vivió antes de que Euclides estu-diara el número áureo, sin embargo, a veces se le atribuye el desarrollo de teoremas relacionados con el número áureo debido que el historiador griego Proclo escribió:

«Eudoxo... multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dio origen.»

Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro de los Ele-

mentos de Euclides.

Aquí a menudo se interpretó la palabra sección (τομή) como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretación ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra sección no tuvo nada que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideró que los números irracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran de particular impor-tancia y la llave a la física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posterio-

PHI

HISTORIA

7

res, en particular los neoplatónicos. A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el número áureo, Platón se dio a la tarea de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa que intentó usando los cinco sólidos platónicos, construidos y estudiados por Teeteto. En particular, combinó la idea de Empédocles sobre la existencia de cuatro elementos básicos de la materia, con la teoría atómica de demócrito. Para Platón cada uno de los sólidos correspondía a una de las partículas que conformaban cada uno de los elementos: la tierra estaba asociada al cubo, el fuego al tetraedro, el aire al octaedro, el agua al icosaedro, y finalmente el Universo como un todo, estaba asociado con el dodecaedro.

En 1509 el matemático y teólogo Luca Pacioli publica su libro De Divina Proportione (La Proporción divina), en el que plantea cinco razones por las que considera apropiado considerar divino al Número áureo:

· La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de dios. El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad.· La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmensurabi-lidad del número áureo, y la inconmensurabilidad de dios son equivalentes.· La autosimilitud asociada al número áureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de dios.

Según Pacioli, de la misma manera en que dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro; el número áureo dio ser al dodecaedro. En 1525, Alberto durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral basada en la sección áurea, que se conoce como «espiral de durero».El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), desarrolló un modelo Platónico del Siste-ma Solar utilizando los sólidos platónicos, y se refirió al número áureo en términos grandiosos:

2000 a.CUsado en construcciones de Babilonia y Asiria

400 a. C.Platón desarrolla teoremas básicos para fi

325 - 265 a. C.Euclides de Alejandríahace el primer estudio

1509Luca Pacioli escribe De Divina Proportione

1525Alberto durero describe su espiral áurea.

1571-1630Johannes Kepler desarrolla un modelo del sistema solar basado en los sólidos de Platón.

1835Martin Ohm usa por vez primera el adjetivo áureo para este número.

8

«La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extre-mo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa»

Johannes Kepler en su libro Mysterium Cosmographicum (El

Misterio Cósmico).

El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de oro, para referirse a este número lo hace el matemático alemán Martin Ohm, hermano del célebre físico george Simon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro Die Reine

Elementar Matematik (Las Matemáticas Puras Elementales).

Ohm escribe en una nota al pie:«Uno también acostumbra llamar a esta división de una lí-nea arbitraria en dos partes como éstas la sección dorada.»

A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término ya era de uso común para la fecha, el hecho de que no lo incluyera en su primera edición sugiere que el término pudo ganar popularidad alrededor de 1830.En los textos de matemáticas que trataban el tema, el símbo-lo habitual para representar el número áureo fue τ del griego τομή que significa corte o sección. Sin embargo, la moderna denominación Φ ó φ, la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en honor a Fidias ya que ésta era la primera letra de su nombre escrito en griego (Φειδίας). Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valor estético atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribuía tam-bién al número áureo. Mark Barr y Schooling fueron respon-sables de los apéndices matemáticos del libro The Curves of

Live, de Sir Theodore Cook.

a

Sección áurea

b

a+b

9

En matemática, la sucesión de Fibonacci es la siguiente suce-sión infinita de números naturales:

La sucesión inicia con 0 y 1, y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores.

A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También apa-rece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en la construcción de un cono.

Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión de los números de Fibonacci había sido descubierta por matemá-ticos indios tales como Pingala (200 a.c.), gopala (antes de 1135) y Hemachandra (c. 1150), quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o notas de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos) era fn + 1, que produce explícita-mente los números 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc.

Los valores de esta sucesión aparecen en numerosas aplicaciones, pero una de la más reconocida es la Espiral de Fibonacci, que siempre se ha utilizado como una aproximación a la Espiral Áurea porque es más fácil de representar simple-mente con la ayuda de un compás.

Primero se van creando cuadraditos que corresponden a cada valor de la sucesión: 1x1 - 1x1 - 2x2 - 3x3 - 5x5 - 8x8, etc y se disponen de la manera que vemos en el gráfico de la derecha. A continuación podemos trazar un cuarto de arco de circunferencia (90º) dentro de cada cuadradito y fácilmente vemos cómo surge la Espiral de Fibonacci.

Existe una profunda relación entre la Sucesión de Fibonacci y la Proporción Áurea. A la derecha tenemos un ejemplo: si vamos dividiendo cada valor de la Serie de Fibonacci por el anterior, el resultado tiende a Phi. Cuanto más altos son los valores, mayor es la aproximación (considerad que Phi, como todo número irracional, tiene infinitos decimales).

LA SECUENCIA dE FIBONACCI

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181

21

13

85

3 211

1/1 = 12/1 = 23/2 = 1.55/3 = 1.666666666668/5 = 1.613/8 = 1.62521/13 = 1.6153846153834/21 = 1.6190476190555/34 = 1.6176470588289/55 = 1.61818181818

Phi = 1.6180339887…

10

Es la relación angular de proporción entre dos segmentos circulares. Con estos dos segmentos circulares se sigue cumpliendo la misma proporcionalidad áurea, pero en este

caso el valor del ángulo formado por el menor de ellos es otro número irracional, que podemos simplificar y redondear como 137,5º.

Y resulta que ese valor está muy presente en la naturale-za, como por ejemplo cómo se configura la estructura que forman las pipas de un girasol:· Aportamos una primera pipa .· giramos 137,5º· Añadimos una segunda pipa y hacemos que la anterior se

ivaya hacia el centro.· giramos otros 137,5º· Añadimos una tercera pipa de y hacemos que la anterior se ivaya hacia el centro, hasta tocar con la primera.· giramos otros 137,5º…

EL ÁNgULO ÁUREO

a b

a+b

a

b

α

= 137.507764º… ~137.5ºαa

= = = 1.61803399…φ (Phi) ab

a + b

137,5º

137,5º 137,5º

137,5º

… y así sucesivamente, pipa tras pipa, iríamos obteniendo paulatinamente unas distribuciones como las que tenéis en las siguientes figuras.

de este modo llegamos a la estructura característica en la que están dispuestas todas las pipas en su girasol, que es la más compacta posible.

11

En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea y los números de Fibonacci:Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de los ábacos

(Liber abacci, 1202-1228), usa la sucesión que lleva su nombre para calcular el número de pares de conejos meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse.

dicho de otra forma, sirve para conocer el número de parejas de conejos que habrá en 12 meses, si estos se reproducen continuamente y cada pareja de conejos produce una nueva pareja de conejos, un macho y una hembra. Cada conejo se puede cruzar a la edad de un mes, siendo su periodo de gestación un mes.

EL NÚMERO ÁUREO EN LA NATURALEzA

8+5=136

Meses Parejas en total

5+3=85

3+2=54

2+1=33

1+1=22

1+0=11

Otros elementos relacionados:· La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.· La disposición de los pétalos de las flores.· La distribución de las hojas en un tallo. · La relación entre los nervios de las hojas de los árboles· La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias.· La distancia entre las espirales de una piña.· La relación entre la distancia entre las espiras del interior espi-ralado de cualquier caracol o de cefalópodos como el nautilus.

Hay por lo menos tres espirales logarítmicas más o menos asimilables a proporciones áureas. La primera de ellas se caracteriza por la relación constante igual al número áureo entre los radiovectores de puntos situados en dos volutas consecutivas en una misma dirección y sentido. Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, de Scalaria pretiosa, de Facelaria y de Solarium trochleare, entre otras, siguen este tipo de espiral de crecimiento. Se debe entender que en toda consideración natural, aunque involucre a las ciencias consideradas más matemáticamente desarrolladas, como la Física, ninguna relación o constante que tenga un número

infinito de decimales puede llegar hasta el límite matemático, porque en esa escala no existiría ningún objeto físico. La partícula elemental más diminuta que se pueda imaginar es infinitamente más grande que un punto en una recta. Las leyes observadas y descriptas matemáticamente en los orga-nismos las cumplen transgrediéndolas orgánicamente.Para que las hojas esparcidas de una planta o las ramas alrededor del tronco tengan el máximo de insolación con la mínima interferencia entre ellas, éstas deben crecer sepa-radas en hélice ascendente según un ángulo constante y teóricamente igual a 360º (2 - φ) ≈ 137º 30’. Para el cálculo se considera iluminación vertical y el criterio matemático es que las proyecciones horizontales de unas sobre otras no se recubran exactamente. Aunque la iluminación del Sol no es, en general, vertical y varía con la latitud y las estaciones, esto garantiza el máximo aprovechamiento de la luz solar. En la práctica no puede medirse con tanta precisión el ángulo y las plantas lo reproducen «orgánicamente»; o sea, con una pequeña desviación respecto al valor teórico.

12

El número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetos geométricos regulares o semiregulares en los que haya simetría pentagonal, que sean pentágonos o que aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco.

· Relaciones entre las partes del pentágono.· Relaciones entre las partes del pentagrama.· Relaciones entre las partes del decágono.· Relaciones entre las partes del dodecaedro y del icosaedro.

El rectángulo áureo de EuclidesEuclides obtiene el rectángulo áureo a partir del cuadrado. El rectángulo a añadir3 al cuadrado para formar el rectángulo áureo es asimismo áureo.El rectángulo resultante es áureo porque sus lado ancho y su lado largo están en la proporción del número áureo. Euclides obtiene su construcción:A partir de un cuadrado1 trazar una diagonal desde su mitad superior a una esquina inferior, esta diagonal2 será el radio de un circulo que nos dará la longitud del rectángulo final áureo.

El pentagramaEl número áureo tiene un papel muy importante en los pen-tágonos regulares y en los pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento interseca a otro segmento en una razón áurea.

El pentagrama incluye diez triángulos isósceles: cinco acu-tángulos y cinco obtusángulos. En ambos, la razón de lado mayor y el menor es φ. Estos triángulos se conocen como los triángulos áureos.

Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo, se observa que dentro del pentágono interior es posible dibujar una nueva estrella, con una recursividad hasta el infinito. del mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a su vez el pentágono interior de una estrella más grande. Al medir la longitud total de una de las cinco líneas del pentáculo interior, resulta igual a la longitud de cualquie-ra de los brazos de la estrella mayor, o sea Φ. Por lo tanto, el número de veces en que aparece el número áureo en el pentagrama es infinito al anidar infinitos pentagramas.

El teorema de Ptolomeo y el pentágonoSe puede calcular el número áureo usando el teorema de Ptolomeo en un pentágono regular.Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido como el teorema de Ptolomeo, el cual permite trazar un pentágono regular mediante regla y compás. Aplicando este teorema,

EL NÚMERO ÁUREO EN LA gEOMETRÍA

1 2 3

13

se forma un cuadrilátero al quitar uno de los vértices del pentágono, Si las diagonales y la base mayor miden b, y los lados y la base menor miden a, resulta que b2 = a2 + ablo que implica:b / a=(1+√5)/2

Relación con los sólidos platónicosEl número áureo está relacionado con los sólidos platónicos, en particular con el icosaedro y el dodecaedro, cuyas dimen-siones están dadas en términos del número áureo.Los 12 vértices de un icosaedro con aristas de longitud 2 pueden darse en coordenadas cartesianas por los siguientes puntos:(0, ±1, ±φ), (±1, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1)

Las 12 esquinas de los rectángulos coinciden con los cen-tros de las caras de un dodecaedro.Para un dodecaedro con aristas de longitud a, su volumen y su área total se pueden expresar también en términos del número áureo.Si tres rectángulos áureos se solapan paralelamente en sus centros, las 12 esquinas de los rectángulos áureos coinci-den exactamente con los vértices de un icosaedro, y con los centros de las caras de un dodecaedro:El punto que los rectángulos tienen en común es el centro tanto del dodecaedro como del icosaedro.

Triángulo de KeplerEl triángulo de Kepler es un triángulo rectángulo formado por tres cuadrados con áreas en progresión geométrica de acuerdo al número áureo.El triángulo de Kepler es un triángulo rectángulo con lados en progresión geométrica. La relación entre lados de un triángulo de Kepler, está vinculada al número áureo y puede ser escrita: 1 : √φ : φ o aproximadamente 1 : 1.272 : 1.618.3Los triángulos con dicha relación son llamados triángulos de Kepler, dado que el matemático y astrónomo alemán Johan-nes Kepler (1571–1630) fue el primero en demostrar que este triángulo se caracteriza por tener una relación entre los catetos y la hipotenusa igual a la proporción áurea. El triángulo de Kepler combina dos conceptos clave de la matemática, el teorema de Pitágoras y número áureo, lo cual fascinó profundamente a Kepler, como quedó expresado en su propia cita:

«La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras, el otro la división de un segmento entre el extremo y su proporcional. Al primero lo podemos comparar a un montón de oro, al segundo lo podemos llamar una piedra preciosa.»

ab

14

La anatomía de los humanos se basa en una relación Φ estadística y aproximada:

· La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.· La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.· La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.· La relación entre el primer hueso de los dedos (metacar-piano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es Φ.· La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz.· Es Φ la relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea interpupilar· Cuando la tráquea se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de los bronquios por el de la tráquea se obtie-ne Φ, o el de la aorta con sus dos ramas terminales.

En 1948, el arquitecto Le Corbusier publica el libro llamado Le Modulor seguido por Le Modulor 2 en 1953 se une a una larga «tradición» vista en personajes como Vitruvio, da Vinci y Leon Battista Alberti en la búsqueda de una relación matemática entre las medidas del hombre y la naturaleza. de cierta manera es una búsqueda antropométrica de un siste-ma de medidas del cuerpo humano en que cada magnitud se relaciona con la anterior por el número áureo, todo con la finalidad de que sirviese como medida base en las partes de la arquitectura.Las medidas parten desde la medida del hombre con la

mano levantada (226 cm) y de su mitad, la altura del ombligo (113 cm). desde la primera medida multiplicando sucesi-vamente y dividiendo de igual manera por el número de oro se obtiene la llamada serie azul, y de la segunda del mismo modo la roja. Siendo cada una sucesión de Fibonacci y per-mitiendo miles de combinaciones armónicas.

Serie azul, en metros:..., 9,57; 5,92; 3,66; 2,26; 1,40; 0,86; 0,53; 0,33; 0,20; ...Serie roja, en metros,:..., 4,79; 2,96; 1,83; 1,13; 0,70; 0,43; 0,26; 0,16; 0,10; ...

Ideal de bellezaEn varios campos, el número áureo juega un papel importan-te a la hora de dar armonía a un conjunto. Lo mismo ocurre con la fisionomía humana, cuanto más próximas al número áureo son nuestras proporciones más atractiva resulta la persona. Stephen R. Marquardt, un cirujano plástico de California, ha desarrollado una máscara en la que todos los elementos están en relación con la medida áurea.

La explicación que Madquart nos da de esta atracción es que al ser seres que nos reconocemos principalmente de un modo visual, tenemos los rasgos más desarrollados, así que esta máscara sería un ideal de humanidad, cuanto más nos parezcamos a ella más fácilmente seremos reconocidos como humanos y por tanto más atractivos.

La máscara resultante de estos estudios ha sido aplicada a iconos de la belleza de todas las épocas y a diferentes razas encajando y demostrando que es un parámetro

FI Y EL HOMBRE

15

16

ARqUITECTURA

El número áureo se ha usado en la arquitectura desde la antigüedad, se ha encontrado en construcciones Babilónicas y Asirias una proporción similar, aunque se cree que no estaban científicamente desarrollados como para conocer esta proporción. En la antigua grecia se usaba con un fin estético a sabiendas de la armonía que proporcionaba y en muchos casos las construcciones se hacen a medida y proporción humana, y esta es, la proporción áurea.

gran Pirámide de guizaHemiunu, El Cairo, 2570 a. C

Primer uso conocido de fi en la arquitectura.Esta pirámide tiene cada una de sus caras formadas por dos medios triángulos áureos: la más aparente, aunque no la única, relación armónica identificable en el análisis de las pro-porciones de este monumento funerario en apariencia simple.

El PartenónIctino y Calícrates,Atenas, siglo V a.C.

La fachada del Partenón está construida sobre rectángulos áureos. En la figura se pueden comprobar estas relaciones (contando con el edificio completo), toda la fachada estaría en uno y encontramos proporciones áureas en relaciones entre los elementos de la misma.

Santa María NovellaLeon Battista Alberti, Florencia, siglo XV

Los elementos de esta fachada se relacionan unos con otros en proporción áurea. dividamos, por ejemplo, el frontón superior en dos triángulos rectángulos; cada uno de ellos es la mitad de un rectángulo de oro. Fijémonos ahora en el gran rectángulo que se encuentra justo debajo del frontón; nuevamente su proporción es áurea. En el interior de este rectángulo se pueden ver otros muchos; todos son áureos.

Colegio de San IdelfonsoRodrigo gil de Hontañón, Alcalá de Henares, siglo XVI

Rodrigo gil, aun sin viajar a Italia, sabe percibir un cambio importante en la concepción de la arquitectura. Su obra, en general, está algo apegada al gótico castellano de finales del s. XV y, en cierta medida, al plateresco.A pesar de su escasa filiación a los movimientos italianizan-tes la fachada del Colegio de San Ildefonso demuestra un conocimiento evidente de la sección áurea y de la simetría dinámica, de lo que hace un empleo absolutamente genial.

Torre Eiffelgustave Eiffel, París ,1889

Los ejes de sus cuatro pilares forman un cuadrado de 100 metros, que seria el lado pequeño de un rectángulo áureo. Pues poniendo dos rectángulos conseguimos la altura de esta torre.100 x Φ x 2 ≈ 323,61 metros que es la altura de la torre. También se encuentra en las diferentes partes de la torre, vea el dibujo donde el espacio azul seria igual a uno y Phi seria el espacio azul más el dorado.

Pentágonogeorge Bergstrom, Arlington County, Virginia, 1943

Al ser un edificio de planta pentagonal perfecta, incorpora de por si gran cantidad de relaciones áureas, tanto en el radio exterior como en las relaciones de las áreas interiores.Los edificios perimetrales están construidos con la medida de una de las secciones interiores del pentágono, de por sí áureo con respecto al lado del pentágono.

17

Phi√Phi

1

18

PINTURAIgual que en la arquitectura hay muchos retratos que han conservado las proporciones áureas de la persona retratada.durante el Renacimiento se muestra una gran complacen-cia por la especulación matemática rigurosa, demostrativa del ideal científico que influenciaba a los artistas del último Trecento e inicios del quattrocento. Sus formulaciones son

diversas y pueden organizarse las composiciones a partir de las diferentes figuras aunque de las más queridas es el pentágono, símbolo de la quintaesencia platónica, que en volumen se convierte en decaedro, formado por doce pen-tágonos. Su utilización como base de la proporción áurea se remonta al medievo.

Salvador dalí

Esta obra está organizada en base a una rígida disposición matemática siguiendo la divina proporción. Leda y el cisne están inscritos en un pentágono en el que dalí insertó un pentagrama del que hizo varios bocetos. Las cinco puntas de esta estrella simbolizan las semillas de la perfección: amor, orden, verdad, voluntad y palabra.La armonía de la composición fue calculada por el artista si-guiendo las recomendaciones del matemático rumano Matila ghyka. Aunque sus contemporáneos mantenían la opinión de que las matemáticas distraen o interrumpen de la inspiración artística, dalí consideraba que cualquier obra de arte, para ser tal, debía basarse en composición y calculo.

Piet Mondrian

Tras su etapa realista, Mondrian entró en una etapa abstracta fundando junto a Theo von doesburg el neoplasticismo. Los cuadros de esta etapa, totalmente lineales, basan en muchos casos su composición racional en la sección áurea, no son composiciones que se dejan al azar, otorgando a sus obras con un equilibrio y una familiaridad casi subliminales.

george Pierre Seurat

Seurat toma de los teóricos del color la noción de un acerca-miento científico a la pintura. Seurat creía que un pintor podía usar el color para crear armonía y emoción en el arte de la misma forma que los músicos usan variaciones del sonido y el tiempo para crear armonía en la música. Seurat teorizó que la aplicación científica del color era como cualquier otra ley natural, y se condujo a probar esta conjetura.No es de extrañar que habiéndose aproximado de esta manera científica a la pintura usara en sus composiciones las proporciones áureas, una manera de racionalizar la estructu-ra de sus obras tanto como su técnica.

19

20

MÚSICA

Numerosos autores han utilizado la secuencia de Fibonacci como elemento de sus composiciones: Bela Bartók desarro-lló una escala músical, basándose en la sucesión y la llamó «escala Fibonacci». En el caso de Beethoven, estudios reali-zados sobre la 5ª sinfonía muestran como el tema principal incluido a lo largo de la obra, está separado por un número de compases que pertenece a esta sucesión. No se sabe con certeza, si este hecho fue intencionado, intuitivo o fortuito. También lo encontramos en varias sonatas para piano de Mozart, donde la proporción entre el desarrollo del tema y su introducción es lo mas cercana posible a la razón aúrea, aunque puede que sea por la propia estructura de sonata más que por una búsqueda intencionada de esta relación. destacan otros autores como Olivier Messiaen, o el grupo de música Tool.

La relación o proporción áurea, considerada como el secreto que se oculta detrás de un balance atractivo, bello, y armónico a la vista, se incorpora así, también al oído.

La cadena áurea es una cadena fractal de ceros y unos que crece de una forma parecida a la secuencia de Fibonacci de esta manera

1

10

101

10110

10110101

1011010110110

101101011011010110101…

En las primeras dos líneas, todas las demás están hechas desde las dos líneas anteriores en un modo similar a los nú-meros de Fibonacci, una suma de los dos números anterio-res. Cada cadena es una copia de la de arriba seguida por la de encima de la de encima. La cadena infinita resultante es la llamada Cadena áurea, Palabra Fibonacci o La secuencia del conejo. Es interesante oírla en forma de música, por ejemplo convirtiendo cada uno en re y cada 0 en un re una octava mayor y haciéndolo sonar a 5 notas por segundo, aunque hay muchas maneras de traducirlo a lenguaje musi-cal y hay bastantes experimentos al respecto.

21

MÁS

El físico y matemático británico R. Penrose ha desarrollado una red de rombos no periódica que incorpora la idea de la sección dorada y una simetría basada en reflejar los rombos en diferentes direcciones. La red se compone de dos tipos de rombos, unos con ángulos de 36º y 144º, y otros con ángulos de 72º y 108º. La teselación de Penrose, la secuencia de Fibonacci y la razón dorada están intrínsecamente relacionadas y tal vez deberían ser considerados como aspectos diferentes del mismo fenómeno:

·La relación de los rombos gruesos T con los delgados t en un teselado infinito es la razón dorada T/t = φ = 1.618…·Alrededor de cada estrella 5T se forma una espiral de Fibonnacci segmentada por los lados de los rombos.·La distancia entre los montículos finitos repetidos en la teselación crece con los números de Fibonacci cuando el tamaño del montículo se incrementa.·La distribución de frecuencias de oscilación en una teselación de Penrose muestra las bandas y huecos cuyos anchos están en proporción expresada por φ9·El esquema de sustitución T a 2T+t; t a T+t introduce φ como un factor de escala, su matriz es la raíz de la matriz de substitución de Fibonacci, implementada como una secuencia de símbolos (ejemplo, 1->101, 0 ->10) esta substitución produce una serie de palabras cuyas longi-tudes son los números de Fibonacci con índice inusual, el límite se vuelve la secuencia binaria infinita de Fibonacci.

FRACTALES

24

Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que signi-fica quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. Un fractal natural es un elemento de la

naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural. A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:Es demasiado irregular para ser descrito en términos geomé-tricos tradicionales.Posee detalle a cualquier escala de observación.Es autosimilar:Según B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autoseme-jante si sus partes tienen la misma forma o estructura que

el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud:

· Autosimilitud exactaEste es el tipo más restrictivo de autosimilitud: exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo

la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS).· CuasiautosimilitudExige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. Mate-máticamente d.Sullivan definió el concepto de conjunto cuasiautosimilar a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo.·Autosimilitud estadísticaEs el tipo más débil de autosimilitud: se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala.

FRACTALES

25

dimensionesEntre los fractales podemos encontrar ejemplos como curvas que llenan todo el plano. En ese caso, la dimensión topológica de la curva, que es uno, no nos informa sobre la forma en que esta ocupa el espacio ambiente. de modo general, podríamos preguntarnos cómo densamente un conjunto ocupa el espa-

cio métrico que lo contiene. Los números que nos informan objetivamente de este tipo de cuestiones son:

· La dimensión fractalLas fórmulas que la definen tienen que ver con el recuento de las bolas necesarias para recubrir el conjunto o con el de cajas de una cuadrícula que contienen parte del conjunto, cuando las dimensiones de unas y otras tienden a cero. Podemos medir la dimensión fractal de objetos reales: líneas de la costa, nubes, árboles, etc, Con estas medidas podemos comparar objetos del mundo real con fractales generados por algoritmos matemáticos.Supongamos el caso más sencillo, una recta fractal re-presentada por un hilo arrugado, e imaginemos que tiene dimensión fractal 1,25. Si otro hilo tiene dimensión fractal

1872Función de WeiestrassNo se definió como fractal en el momento.

1904Koch desarrolla su copo de nieve

1915Serpinski continua el trabajo de Koch creando su triángulo y su alfombra

1920Conjuntos de Julia, fruto de los trabajos de Pierre Fatou y gaston Julia

1975Benoit Mandelbrot acuña el término de fractal

1980Conjunto de Mandelbrot

26

1,35, la simple comparación de sus dimensiones fractales supone que este segundo hilo está más arrugado que el primero, presenta más irregularidades. La parte entera de la dimensión fractal (en este caso 1) nos está informando que el objeto con el que tratamos es una recta, la parte fraccionaria nos mide su grado de irregularidad· La dimensión de Hausdorff-BesicovitchTiene una definición más compleja que la de dimensión fractal. Su definición no suele usarse para comparar con-juntos del mundo real.

definición por algoritmos recursivosPodemos destacar tres técnicas comunes para generar fractales:

· Sistemas de funciones iteradas (IFS)Unos conjuntos se reemplazan recursivamente por su imagen bajo un sistema de aplicaciones: el conjunto de Cantor, la alfombra de Sierpinski, el triángulo de Sierpinski, la curva de Peano, la curva del dragón, el copo de nieve de Koch o la Esponja de Menger, son algunos ejemplos.· Fractales de algoritmos de Escapedefinidos por una relación de recurrencia en cada punto del espacio (por ejemplo, el plano complejo): el conjunto de Mandelbrot, conjunto de Julia, y el fractal de Lyapunov.· Fractales aleatoriosgenerados por procesos estocásticos no deterministas El movimiento browniano, el vuelo de Lévy, los paisajes fractales o los árboles brownianos.

No basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas.

Para encontrar los primeros ejemplos de fractales debe-mos remontarnos a finales del siglo XIX: en 1872 se desa-rrolló la función de Weierstrass, cuyo grafo hoy en día consi-deraríamos fractal. Posteriormente aparecieron ejemplos con propiedades similares pero una definición más geométrica. dichos ejemplos podían construirse partiendo de una figura inicial (semilla), a la que se aplicaban una serie de construc-

ciones geométricas sencillas. La serie de figuras obtenidas se aproximaba a una figura límite que correspondía al que hoy llamamos conjunto fractal. Así, en 1904, Helge von Koch definió una curva con propiedades similares a la de Weiers-trass: el copo de nieve de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinski construyó su triángulo y, un año después, su alfombra.

Los conjuntos de JuliaEstos conjuntos, fruto de los trabajos de Pierre Fatou y gaston Julia en los años 1920, surgen como resultado de la aplicación reiterada de funciones holomorfas.

Estos conjuntos se representan mediante un algoritmo de tiempo de escape, en que cada pixel se colorea según el número de iteraciones necesarias para escapar. Suele usarse un color especial, a menudo el negro, para represen-tar los puntos que no han escapado tras un número grande y prefijado de iteraciones.

Inicio de los sucesivos pasos de la construcción del copo de Koch

27

El conjunto de MandelbrotLa familia de conjuntos de Julia asociadas a la reiteración de funciones presenta conjuntos de una variedad sorprendente.dicha familia tendrá especial relevancia al quedar parame-trizada en un mapa de fractales, popularizado en los años 1980, llamado conjunto de Mandelbrot. Este conjunto repre-senta un mapa en que cada pixel, se colorea de modo que refleje una propiedad básica del conjunto de Julia.

El conjunto de CantorLlamado así por ser introducido por george Cantor en 1883, es un destacado subconjunto fractal del intervalo real [0, 1],

que admite dos definiciones equivalentes:·La definición numérica: es el conjunto de todos los puntos del intervalo real [0,1] que admiten una expresión en base 3 que no utilice el dígito 1.·La definición geométrica:de carácter recursivo, que elimina en cada paso el seg-mento abierto correspondiente al tercio central de cada intervalo.

Además de una curiosidad matemática, contradice una intuición relativa al tamaño de objetos geométricos: es un conjunto de medida nula, pero no es vacío ni numerable.Lo que Cantor no sabía era que este conjunto ya había sido descubierto en 1875 por un matemático dublinés, Henry John Stephen Smith (1826-1883). En cualquier dimensión se define el producto cartesiano del conjunto de Cantor por sí mismo, que recibe el nombre de polvo de Cantor. Además, en dimensión 2 se define la alfombra de Sierpinski, y en dimensión 3 la esponja de Menger.

Por varias razones, los fractales han sido asociados a la teo-ría del caos. Mientras que algunas de estas figuras sí están estrechamente relacionadas, hay otros tipos de fractales que en nada tienen que ver con el caos. Como hemos visto, los primeros ejemplos de construcciones fractales (matemáti-cas) datan de finales del siglo XIX, mucho antes de que la teoría del caos fuese propuesta en la década de 1960. Aún así, gracias a los avances tecnológicos, esta teoría ha

generado varios tipos adicionales de fractales. El dr. Edward Lorentz, del Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT, por sus siglas en inglés) es uno de los pioneros en este campo, a pesar de que Jules Henri Poincaré ya había formulado el «Efecto Mariposa» tan temprano como los 1830’s.Estrictamente hablando, la teoría del caos es el estudio de los sistemas no lineales, para los cuales el índice de cambio no es constante. Se caracterizan por su carácter impredecible. La climatología y el crecimiento poblacional son buenos ejemplos de sistemas no lineales; ambos, también, son fractales.En sistemas no lineales, cada estado del sistema está deter-minado por sus estados anteriores (iteración). Un minúsculo cambio en los valores iniciales puede tener dramáticos efectos en el resultado del sistema.

LOS FRACTALES Y EL CAOS

Atractor de Lorentz.

28

¿CUÁNTO MIdE LA COSTA dE gRAN BRETAñA?

Mandelbrot examinó en un artículo de la revista Science, en 1967, la paradoja de que la longitud de una línea costera de-pende de la escala de medida. La evidencia empírica sugiere que cuanto menor es el incremento de medida, la longitud medida se incrementa. Si se va a medir una costa con tramos de diez kilómetros el perímetro obtenido será menor que con tramos de un kilómetro. Esto se debe al hecho de que se estará aproximando un tramo más corto con el tramo largo que con el corto. La evidencia empírica sugiere una re-gla que, si se extrapola, muestra que la longitud se incremen-ta sin límite a medida que la longitud del tramo disminuye.

Mandelbrot interpreta este resultado como que las costas y otros contornos geográficos tienen una propiedad de autosi-militud estadística, donde el exponente d mide la dimensión Hausdorff del borde. Con esta interpretación, los ejemplos de Richardson tienen dimensiones que van desde 1.02 para la costa de Sudáfrica a 1.25 para la costa occidental de gran Bretaña.

El artículo no asegura que ninguna línea costera o borde geográfico sea realmente fractal—lo que sería físicamente imposible. Simplemente declara que la distancia medida de una costa o frontera puede comportarse empíricamente como

29

un fractal a lo largo de un conjunto de escalas de medida.En la segunda parte del artículo Mandelbrot describe varias curvas relacionadas con el copo de Koch, definidas de tal forma que son estrictamente autosimilares. Mandelbrot muestra cómo calcular la dimensión Hausdorff de cada una de estas curvas, que tienen una dimensionalidad entre 1 y 2.

El artículo es importante porque muestra el pensamiento temprano de Mandelbrot sobre los fractales y es un ejemplo de la vinculación de las matemáticas con las formas natura-les, tema de gran parte de su trabajo posterior.

30

Recientemente, expertos han postulado que los fractales han estado asociados al arte mucho antes de que se esta-bleciera su evidencia matemática. Por siglos, el ser humano ha utilizado patrones geométricos repetitivos, o recursivos,

como elementos decorativos en vasijas, arquitectura, la ilus-tración de libros y muchas otras manifestaciones artísticas que, de algunas manera, pueden relacionarse con estructu-ras fractales.

El estudio de Ron Eglash contiene valiosos ejemplos de frac-tales en la arquitectura, arte y diseño africanas. Todos estos aspectos reflejan la estructura de la sociedad y la religión de cada asentamiento. desde un punto de vista político, sugiere que los colonizadores consideraron los asentamientos africa-nos como grandes pueblos más que como ciudades por usar en vez de estructuras euclidianas para sus calles, complica-dos patrones fractales. La arquitectura fractal fue tomada como prueba de cultura primitiva.

Ba-IliUno de los ejemplos más llamativos de la arquitectura fractal está en los asentamientos de Ba-Ili en el sur de zambia.Cada hogar familiar es un corral en forma de anillo con una puerta en uno de los extremos (frente del corral).Al lado de la puerta hay pequeños silos. En torno al anillo, las casa se van construyendo, haciéndose cada vez mayores hasta llegar a la casa del padre, justo enfrente de la puerta. de esta manera se establece un estatus progresivo para

cada casa. En el interior del anillo cerca de la parte trasera está la casa del jefe.En el interior de cada casa, en la parte trasera hay un altar familiar. La relación del jefe con el poblado se describe con la palabra kulela: cuidar, apreciar. La estructura de todo el asentamiento refleja esta interpretación. El jefe es el padre, la tribu sus hijos.

KotokoLa ciudad de Logone-Birni fue construida por los Kotoko de Camerún. Los edificios, hechos de arcilla, son ejemplos de arquitectura por acrección. Se construyeron nuevos recintos al rededor de los antiguos, compartiendo a menudo paredes con estos.

Al menos en parte, esto refleja los aspectos patriarcales de esta cultura: un padre que quiere que sus hijos vivan cerca, por lo que sus casas se construyen compartiendo paredes con la casa del padre. Aunque no es totalmente fractal, el diseño del palacio del jefe muestra una escala social interesante.

ARqUITECTURA AFRICANA

31

Los templos y monumentos de la India y el sureste asiático exhiben una estructura fractal: una torre rodeada de peque-ñas torres rodeadas de torres aún más pequeñas y sigue así durante ocho o más niveles. Citando a William Jackson,

«La forma ideal, realizada graciosamente, sugiere el aumen-to infinito de niveles crecientes de existencia y conciencia, expendiéndose hasta una transcendencia superior y al mismo tiempo alojando a la profundidad sagrada con el.»

En estos casos la proliferación de torres representa varios aspectos del panteón hindú.Jackson va más allá y afirma que la visión religiosa del hin-duismo tiene un carácter fractal:

«Este universo es como una fruta madura que aparece desde la actividad del cit, la conciencia. Hay una rama de

un árbol sosteniendo innumerables frutas como esta. Hay un árbol que tiene cientos de ramas como esta. Hay un bosque que tiene cientos de estos arboles en él. Hay un terreno montañoso que contiene cientos de bosques como este. Hay un planeta con cientos de terrenos como ese. Hay un sistema solar con cientos de planetas como ese. Hay un universo que contiene cientos de sistemas solares, y hay tantos universos contenidos en este que es como un átomo dentro de un átomo. Esto es lo que se conoce como cit o el sutil sol que lo ilumina todo en el mundo, todas las cosas de este mundo toman forma desde él.»

Así que quizás los aspectos fractales de la arquitectura hindú reflejan la naturaleza fractal de la cosmología hindú.

ARqUITECTURA INdIA

32

Los ejemplos fractales en la arquitectura europea abarcan des-de los dibujos de da Vinci hasta la modernidad. La fractalidad puede ser utilitaria, reflejo social, religioso o de jerarquía política.

Estilo góticoLa intrincada decoración del estilo gótico, del renacimiento y del barroco, especialmente expresada en catedrales expone frecuentemente escalas a diferentes niveles.¿Porqué la repetición a través de la escala es tan común en la arquitectura de esta época?¿Conocían los arquitectos los aspectos fractales de la naturaleza? Puede que la disposi-ción jerárquica de los elementos arquitectónicos simbolizara también una jerarquía teológica, o quizás el hecho de que el arco apuntado desarrollado en las catedrales góticas permi-tiera que el techo se adaptara a cualquier área pusiera en las mentes de los arquitectos la variancia de escala

Los diseños fractales de Leonardoda Vinci diseñó una catedral con cúpula con tres niveles de jerarquía para las cúpulas circundantes.Otro de esto diseños es una catedral con cúpula de planta octogonal, rodeada de seis cúpulas menores, cada una de las cuales rodeada de ocho cúpulas aun menores. Puede que Leonardo se percatara de la repetición a través de escalas en la naturaleza a través de su cuidadosa observación.

La cúpula de San PedroEl historiador george Hersey de la universidad de Yale nos señala las características fractales del plan de Bramante de 1506 para San Pedro.La mayoría de libros describen el diseño como una cruz griega con la cúpula en el cruce y más cúpulas subsidiarias, Hersey la describe como: Simétricamente agrupadas dentro de las esquinas interiores formadas por los brazos de la cruz de cuatro cruces griegas en miniatura que juntas forman el

ARqUITECTURA EUROPEA

33

bloque de la nave de la iglesia. Los brazos de estos cruces consisten en más miniaturas y sus esquinas se rellenan a su vez con capillas y nichos.En otras palabras, el plan de Bramante podría denominarse fractal: repite unidades a diferentes escalas.giorgio hizo planos similares para San Pedro, con cuatro niveles de cúpulas iteradas.

La torre EiffelEn las páginas 131-132 de La geometría fractal de la natura-

leza, encontramos: «Mi exposición es que (mucho antes de Koch, Peano y Sierpinski), la torre que gustave Eiffel construye en París incorpora deliberadamente la idea de una curva fractal llena de puntos de ramificación. »«Sin embargo, la A y la torre no están formadas por vigas sólidas, sino de armazones colosales. Una armadura es un conjunto rígido de submiembros interconectados, lo que no se puede deformar sin deformar al menos un submiem-bro. Los armazones pueden ser mucho más ligeros que vigas cilíndricas con la misma fuerza y Eiffel sabía que los armazones cuyos miembros son subarmazones idénticos son incluso más ligeros.»

MalevichKazimir Malevich investigó profundamente en la relación entre hombre y el universo. durante los años 20 empezó a expresar proyectos arquitectónicos en esculturas tridimen-sionales, algunas de las cuales son ejemplos maravillosos de fractales en la arquitectura.Malevich crea edificios con escalas ambiguas, eliminando la diferencia entre edificios y personas. Esto se consigue rodeando el componente mayor del edificio con una cascada de copias menores, satisfaciendo en numero y escala la relación 1/f (cuanto más pequeños con los componentes, más de ellos habrá).

34

KolamsUn kolam es un diseño que decora los patios de las casa en los pueblos del sur de la India. Se estima que tienen cinco milenios de antigüedad y se describen en muchos textos sánscritos antiguos. Los diseños pueden llegar a cubrir áreas de 3x3 metros. Ocasionalmente consisten en pequeños pa-trones repetidos muchas veces, pero más a menudo son pe-queños dibujos conectados de varias sofisticadas maneras.Prusinkiewicz y Hanan nos enseñan que muchos de los ko-lams más intrincados pueden ser generados por L-systems y muchos son fractales. El ejemplo se llama Las tobilleras de Krishna.Sustrayendo el cuadrado central, lo que queda consiste en cuatro copias escaladas a 1/2, 16 copias escaladas a 1/4 y 64 copias a un 1/8.

MándalasUn mándala es un símbolo gráfico budista o hindú que representa al universo. Algunos son simples, un circulo con un cuadro inscrito y representaciones de algún aspecto del universo en cada lado. Otros son más complicados, como ejemplo, un circulo que contiene un patrón de cinco circulos en su interior. Claro está que el patrón de los circulos se repite en pocos niveles, por lo que su nivel de fractalidad no debe ser tomado muy seriamente, pero como ya hemos observado antes, representa la fractalidad de su cosmología.

PATRONES TRAdICIONALES

35

La música y las matemáticas han tenido una relación larga y complicada, desde la música de las esferas de los platonis-tas, pasando por las simetrías geométricas de Bach, a las composiciones estocásticas de Cage. Fractales y música es otro aspecto de esta relación. Algunos compositores con-temporáneos usan de manera explicita fractales como guía para sus composiciónes, otros encuentran aspectos fractales en el trabajo de grandes compositores clásicos y barrocos.

Composición musical algorítmica El principio fundamental de la música fractal reside en la proyección del comportamiento dinámico o la estructura de un fractal sobre un espacio musical. Aunque esta forma de composición suele presentarse como opuesta a la de la música tradicional, en determinadas épocas de la historia, ciencia y arte han estado más ligados que en otras.

· PitágorasLos pitagóricos de la antigüedad consideraban que los nú-meros eran parte esencial de la música e intentaron explicar la armonía en función de una serie de razones numéricas universales, que todavía hoy forman parte de la teoría musical.En los últimos siglos, sin embargo, música y matemáticas han seguido caminos separados y conceptos imprecisos como creatividad o inspiración han sido respuesta habitual para eludir cualquier explicación racional sobre el proceso de composición. Aun así, algunos autores defienden que los compositores clásicos dejaron, sin saberlo, un cierto espíritu matemático en sus obras.

El idealismo geométrico de los pitagóricos sobrevive hoy día en el uso de las técnicas de composición basadas en la teoría del caos y la geometría fractal.

· Joseph Schillingerdesde la segunda mitad del siglo XX, ambas disciplinas, música y matemáticas, arte y ciencia, comienzan a reencon-trarse gracias al uso extendido de sintetizadores, secuencia-dores y programas de tratamiento digital de señales.Un poco antes, en la década de los años veinte y treinta, el músico teórico ruso, emigrado a Estados Unidos, Joseph Schillinger desarrolló un detallado sistema de composición musical basado en principios científicos. El sistema está

compuesto por siete libros, cada uno de ellos centrado en un aspecto diferente de la composición musical. La obra ha influido enormemente en la música del siglo XX, especial-mente en compositores como george gershwin, glenn Miller o Benny goodman, entre otros.

La base del sistema de Schillinger es geométrica y se fun-damenta en el concepto de relaciones de fase de movimien-tos periódicos simples. Schillinger encontró distintas formas de proyectar estas relaciones en el ritmo, pero también en áreas mucho menos obvias como el tono, la escala, los acordes, la progresión armónica e, incluso, en los aspectos semánticos y emocionales de la composición musical.

Hay quienes consideran que el sistema de Schillinger anticipó la música por ordenador antes de que existieran los ordenadores y que introdujo muchas técnicas algorítmicas de composición, incluso la utilización de series numéricas autosemejantes.

Fractalidad de composiciones clásicasNormalmente se entiende por música fractal aquella que ha sido generada a partir de la proyección en un espacio musi-cal del comportamiento de un determinado fractal. Aunque el fractal sea autosemejante e invariable a la escala, es difícil que la composición musical lo sea; es complicado incluso definir exactamente estos conceptos para una melodía.Aun así, algunos estudios han encontrado rasgos de autose-mejanza en algunas piezas clásicas.

· Bach y BeethovenLa coral situada al final de Kunst der Fuge (1749) de Johann Sebastian Bach es un ejemplo de pieza autosemejante. En ella los mismos motivos son repetidos una y otra vez con distintas variaciones dentro de una región mayor de la pieza. Así, por ejemplo, varias voces repiten al doble de velocidad la melodía de la voz principal (un motivo se repite por disminu-ción a escalas menores).

Hay varios trabajos que analizan la manifestación de estructu-ras fractaliformes en composiciones clásicas: estudia la analogía entre la estructura del conjunto de Cantor y la primera Ecossaisen de Beethoven, así como entre el triángulo de Sierpinski y el tercer movimiento de la sonata para piano número 15, opus 28, también de Beethoven; en se analiza la autosemejanza de las fugas de Bach.

MÚSICA

36

Compositores de música fractalCada vez son más los compositores que utilizan el caos o la geometría fractal como apoyo en sus composiciones. Las siguientes secciones introducen a un par de ellos, pero son muchos más. En el artículo de Tac Leung se presentan algu-nas historias personales relacionadas con estos compositores.

·Phil Thompson y Organised Chaos

Phil Thompson es un programador y músico amateur afinca-do en Londres. Comenzó a componer música fractal como un hobby, hasta que una pieza suya emitida por la radio de Bristol atrajo la atención de un gran número de británicos.

Scherzo de Beethoven, construido sobre un compás de 3 tiempos, tiene un motivo claramente identificable: 2 corcheas y una negra, como acorde desplegado en forma descendente. El principal motivo consiste en 2/8 (dos corcheas) agregadas en conjunto en 1/4 (una negra) como acorde. Este motivo ternario (porque está compuesto por 2 cor-cheas y una negra(2+1=3)), es repetido en todas las partes del Scherzo. El Scherzo tiene formas ternarias y binarias en varias escalas. Estas combinaciones son abundantes en toda la literatura musical.

37

En octubre de 1998 se publicó su primer álbum, Organized

chaos. Las composiciones de Thompson tienen como base el conjunto de Mandelbrot. Él no considera su trabajo como composición, sino como descubrimiento y afirma que «es algo mágico cuando encuentras una bella imagen fractal y descubres que su fórmula esconde una bonita pieza musical en un determinado punto o puntos». Thompson es el desa-rrollador del programa gingerbread.

El sonido de las series numéricasUna forma sencilla de crear una melodía es partir de una se-cuencia de números enteros positivos e ir asignando a cada uno una determinada nota musical, por ejemplo, do para el 1, re para el 2, etc. Para obtener un buen resultado es necesario que los valores de la secuencia estén acotados de manera que las notas generadas no pertenezcan a octavas muy alejadas.

La secuencia de Morse-Thue es una secuencia binaria con propiedades sorprendentes. La secuencia puede generarse recursivamente comenzando con un 0 y duplicando en cada paso la longitud de la secuencia al añadirle la secuencia complementaria a la actual: 0, 01, 0110, 01101001…Otra forma de generar la secuencia de Morse-Thue se basa en calcular la paridad (la suma de los dígitos módulo 2) de cada número de la secuencia0, 1, 2, 3, 4, 5 …representada en binario, 0, 1, 10, 11, 100, 101…

La secuencia resultante es la secuencia de Morse-Thue, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1…

La primera forma explicada para construir la secuencia la hace claramente aperiódica (nunca se repite). Con todo, la secuencia tiene una propiedad todavía más importante: la secuencia infinita es autosemejante. Si tomamos solo la segunda componente de cada dos (o la cuarta de cada cuatro, o la octava de cada ocho,. . . ) obtenemos la misma secuencia. Pese a ser aperiódica, el espectro de la secuen-cia Morse-Thue no se parece al de una secuencia aleatoria. La autosemejanza introduce correlaciones a largo plazo en la secuencia y se obtiene un espectro con estructura y forma bien definidos. A pesar de las sorprendentes propiedades de la secuencia, el hecho de que cada componente tome solo dos posibles valores, la hace poco interesante si lo que se pretende es generar música a partir de ella, como se comentó al comienzo de esta sección. Sin embargo, con un peque˜no cambio, podemos obtener una secuencia con la que poder generar fácilmente una melodía.

El cambio consiste en calcular la suma de todos los dígitos de la representación binaria del número, en lugar de su pari-dad. Ahora, por tanto, a partir de la secuencia 1, 10, 11, 100, 101… obtendremos 1, 1, 2, 1, 2, 2…

La figura superior muestra esta misma melodía con nota-ción musical.

38

dalíEn la cara de la guerra (1940) de dalí, cada ojo y cada boca contienen una cara, cuyos ojos y bocas también contienen una cara, y muchos de los ojos y bocas de estas contienen una cara, un ejemplo obvio y terrible de los fractales en el arte. Para dalí la guerra civil dejó una fuente de imágenes escalofriantes. descharnes describe la pintura diciendo

que tiene ojos inyectados en infinita muerte, refiriéndose al efecto recursivo puesto en marcha por la autosimilitud. Un estudio preliminar de la pintura muestra que solo hay tres niveles de recursividad, ya que dalí no profundizó en el con-cepto matemático sino que usó el recurso de la autosimilitud como una metáfora del horror infinito de la guerra.

Teselación fractalEscher murió antes de que los fractales fueran populares, se podría fantasear con qué hubiera hecho si le hubieran sido familiares. No hay que analizar con detenimiento su obra para percatarse de que tras sus grabados, técnica-mente buenos, se esconden universos más complejos de lo habitual. Su obra está plagada de conceptos geométricos muy interesantes, como la partición regular de la superficie, los cuerpos geométricos complejos, la perspectiva... No es el único artista gráfico que ha explorado estos mundos, pero Escher tenía la virtud de impactar con cada imagen,

utilizando para ello su mejor arma, la paciencia, que le llevaba a ensayar una y otra vez diversas posibilidades, hasta dar con la magia.

Parte de su obra incluye elementos relacionados con el infinito. Según comentó, su aproximación al infinito surgió del modelo de Poincaré, en el cual se puede representar la totalidad de una superficie infinita encerrada en un círculo fi-nito. A partir de aquí desarrolló sus propios modelos, aunque mucho tiempo antes ya había coqueteado con esta idea.

ARTES VISUALES

39

Encerrar la complejidad infinita en un pequeño espacio es ciertamente algo que se puede hacer con fractales y que Peter Raedschelders realizó este experimento, que mostra-mos aquí. Peter es un ingeniero interesado en el arte y las matemáticas. Muchas de sus láminas están inspiradas en temas desarrollados por Escher.

Hay muchos métodos para hacer teselaciones regulares, pero lo que Peter hizo fue observar las láminas de Escher y hacer prueba-error, prueba-error. Empezó por teselaciones

que cubrieran todo el plano, pero llevaba mucho trabajo, por lo que, una vez más observar a Escher, se dio cuenta de que hacía teselaciones con límites, en la que no es necesario cubrir todo el plano. Usó geometría hiperbólica para sus Circle-Limits, que hemos visto en la página anterior. Escher realizó muchas ilustraciones con límites y Peter continuó ese camino. En las imágenes inferiores podemos observar cómo pasa de un plano a un plano con un límite.

después usó una construcción sencilla para hacer una tese-lación con bordes. Tomó un cuadrado y lo dividió en diagonal

una y otra vez. Lo mismo se puede hacer con un hexágono regular, como en el ejemplo inferior, ya acabado.

40

PollockLos cuadros de dripping de Pollock fueron un paso impor-tante en el desarrollo del arte moderno y han sido objeto de muchos análisis y criticas. Recientemente Taylor, Micolich, y Jonas buscaron diferencias cuantitativas entre estas pintu-ras digitalizándolas y superpusieron una rejilla de tamaño r,

y contaron el número N ( r ) de cuadrados que contenían parte del patrón goteado. descubrieron que los puntos no caían solo sobre una línea recta sino más bien sobre una línea rota. El incremento en la longitud de estas líneas au-menta a lo largo de su obra.

decalcomaníaEn la década de los 30, george Sand uso una técnica que unos años más tarde se llamaría decalcomanía para pintar paisajes (las ramificaciones de la decalcomanía se parecían a las de los árboles) y otras composiciones abstractas. dominguez y Boris Margo usaron papel; Hans Bellmer, Max Ernst, Marcel Jean, Enrico donati y Andre Masson usaron lienzo; Max Bucaille usó cristal.

Puede que los ejemplos más conocidos sean los de Max Ernst, usó la decalcomanía para obtener ricas texturas frac-tales que evocaran un ambiente onírico.

El método de domiguez tiene un precedente interesante: el método de Alexander Cozzen para pintar paisajes, parecido al de Sand, en vez de observar paisajes directamente, lo que suele llevar a pinturas que son variaciones del paisaje real, sin dejar lugar a la imaginación, Cozzen arruga una hoja de papel, la alisa otra vez y vierte tinta en ella.

Janson lleva la inspiración de Cozzen hasta da Vinci, quien sugería que los artistas podían encontrar inspiración mirando manchas en paredes antiguas.

Blue mountain and yellow sky Max Ernst, 1959

41

Wallace StevensonLa coincidencia no es perfecta pero en los casos de fracta-les naturales tampoco encajan de forma matemáticamente perfecta. En el poema de Wallace Stevens The Sail of Ulys-

ses (Canto I) Pollard-gott tomó know como raíz.

The Sail of Ulysses (Canto I)

If knowledge and thing known are oneSo that to know a man is to beThat man, to know a place is to beThat place, and it seems to come to that;And if to know one man is to know allAnd if one’s sense of a single spotIs what one knows of the universe,Then knowledge is the only life,The only sun of the only day,The only access to true ease,The deep comfort of the world and fate

Y aquí está el gráfico de concurrencia de la raíz, seguida de la tercera iteración del conjunto matemático de Cantor, con el mismo patrón general.

La semilla se divide en dos componentes y cada uno de ellos se vuelve a dividir en dos y así sucesivamente. Se ve más claramente en la derecha.

Las grupos de know se ordenan de manera jerárquica, lo que quiere decir, grupos dentro de grupos.Lo más seguro es que Stevens no incluyera esos patrones en su poesía deliberadamente.

Algunas explicaciones posibles son que la jerarquía es un aspecto importante para el lenguaje y para la música. La

poesía de Stevens ha sido considerada como una con estilo musical, por lo que no es sorprendente que contenga repeti-ciones jerárquicas. Puede que esta repetición a través de las escalas refuerce el sentido de que un poema es la ventana a otro mundo en solo unas pocas líneas.

Jorge Luis BorgesEl cuento de Jorge Luis Borges El jardín de senderos que

se bifurcan, describe una novela china antigua en la que se producen todas las bifurcaciones de la historia.El tema de la historia es el tiempo mismo, una realización de la interpretación de los muchos mundos de la mecánica cuántica.He aquí dos ejemplos de El jardín de senderos que se bifurcan.

«En todas las ficciones, cada vez que aun hombre se enfrenta con diversas alternativas, opta por una y elimina las otras; en la ficción de Ts’ui Pen, opta - simultáneamen-te -por todas ellas. Se crea, de esta manera, los futuros diversos, diversos tiempos, que también proliferan.»«En la obra de Ts’ui Pen, todos los desenlaces ocurren; cada uno es el punto de partida de otras bifurcaciones. A veces, los caminos de ese laberinto convergen: por ejemplo, se llega a esta casa, pero en uno de los pasados posibles usted es mi enemigo, en otro, mi amigo.»

El título de la historia de Borges El Aleph se refiere a «el único lugar en la tierra donde todos los lugares se ven desde todos los ángulos, cada uno de ellos claro, sin confusión ni mezcla.»En un párrafo notable, Borges describe el panorama vertigi-noso que proporciona ver el Aleph.

«En la parte posterior del escalón, hacia la derecha, vi una pequeña esfera tornasolada de casi intolerable fulgor. Al principio pensé que era giratoria, y luego me di cuenta de que este movimiento era una ilusión creada por el vertiginoso mundo que la rodea. El diámetro del Aleph era probablemente un poco más de una pulgada, pero todo el espacio estaba allí, real y no había disminuido. Cada cosa era infinitas cosas, ya que claramente se veía desde todos los ángulos del universo. Vi el mar lleno, vi amanecer y anochecer, vi las muchedumbres de América, vi una pla-teada telaraña en el centro de una pirámide negra» y así sucesivamente, hasta« vi el Aleph desde todos los puntos y ángulos, y en el Aleph, vi la Tierra y en la tierra el Aleph y en el Aleph la tierra.»

LITERATURA

Poema

Conjunto de cantor

42

El Aleph de Borges sugiere a las mónadas de Leibnitz: cada parte del universo contiene todo el universo, por lo tanto, un número infinito de copias del universo, cada uno de los cuales contiene infinitamente muchas copias del universo, y así sucesivamente.

Aunque no lo dice de esta manera, Leibniz ideó un modelo fractal del universo, y El Aleph de Borges es una realización de una mónada Leibnitziana.

Vladimir NabokovEn El Ojo, Vladimir Nabokov especula con elocuencia en el cambio de un solo evento en un pasado y un seguimiento del efecto acumulativo de las variaciones resultantes. (Este tema fue revisado en el episodio “Tiempo y Castigo” de Los Simpson.)

Nabokov hace hincapié en la estructura de ramificación de los cambios en nuestras vidas.

Además, mientras que algunos pequeños cambios pueden llegar a tener grandes efectos, otros parecen ser verdadera-mente insignificantes. Los principales estados de nuestra vida pueden ser pensados como atractores, y todos los aconteci-mientos que condujeron a un estado determinado puede ser visto como la cuenca de atracción del evento. Los cambios que tienen efectos de gran tamaño puede estar cerca de los límites de las cuencas de atracción, por lo que nos lleva a la noción de límites de las cuencas fractales de la historia.

Esta es la descripción de Nabokov, de pgs 27-8 de El Ojo.«Es absurdo buscar una ley fundamental, aún más tonto encontrarla. Un hombrecillo mezquino decide que todo el curso de la humanidad puede ser explicado en términos de insidiosos signos del zodiaco rotatorios o como la lucha en-tre un vientre vacío y otro lleno, que contrata a un puntilloso filisteo, para actuar como secretario de Clio, y comienza un comercio al por mayor en las épocas y las masas, y enton-ces ¡ay de la individuum privado, de sus pobres dos ues, gri-tando desesperadamente en medio de la densa vegetación de causas económicas. Por suerte no existen estas leyes: un dolor de muelas le costará una batalla, una llovizna cancelara una insurrección. Todo es líquido, todo depende del azar, y en vano fueron los esfuerzos de ese avinagrada burguesía en la época victoriana de pantalones a cuadros, autor de Das Kapital, el fruto del insomnio y la migraña. Hay un placer excitante al mirar atrás en el pasado y pregun-tarse, «¿qué hubiera pasado si ...» y sustituyéndola por una casualidad para otro, observando cómo, desde un gris, árido, monótono momento en la vida, un acontecimiento maravilloso color de rosa que en realidad había fallado al florecer. Una cosa misteriosa, esta estructura de ramifi-cación de la vida: uno siente en cada instante más allá de una separación de caminos, un «así» y una «otra cosa», con innumerables zigzags, deslumbrantes bifurcaciones y trifurcaciones contra el fondo oscuro del pasado.»

43

Compresión de imagenEl método de los sistemas de función iterada ha generado gran entusiasmo en la comunidad de gráficos por ordenador, y también en la comunidad de compresión de imágenes.

Michael Barnsley, uno de los divulgadores primer IFS, desarrolló un método para abordar la transformación fractal. Se basa en la idea de que todo el cuadro no está hecha de pequeñas copias de sí mismo, pero que algunas partes están hechas de pequeñas copias de otras partes.

Nota a la derecha, el cuadrado menor es similar al mayor. La transformación fractal tiene dos pasos.

Partición de la imagen en (no se solapan) pequeños cuadrados,llamados bloques rango.

Cada bloque rango, se encuentra en el bloque dominante(por lo general de dos veces la dimensión lineal de los bloques de la gama) que mejor se ajuste al bloque de rango que después se ha redimensionado y reorientado por una de las ocho simetrías del cuadrado.En muchos ejemplos de prueba figuran muchas escenas sin

componentes naturales, por lo que no es de sorprender un algoritmo diseñado en torno a los fractales no tendría éxito. La principal ventaja de la FIF es que es fácil de automatizar. No es particularmente sensible a los fractales, sino más bien se inspira en el mecanismo matemático de IFS.

En tercer lugar, las wavelets se han utilizado con mucho éxito en la compresión de la imagen (si el FBI tiene sus hue-llas digitales en los archivos, se almacenan como una tabla de coeficientes wavelet). Las wavelets muestran las propiedades de escala igual que los fractales, pero la relación entre estas y los fractales aún no ha sido desarrollada.

La compresión fractal es independiente de la escala. La ampliación de una imagen revela detalles adicionales. Abajo una ampliación de la imagen de unos ojos . A la derecha la misma parte de la imagen fractal a la misma escala. En la me-dida en que las imágenes naturales presentan cierto grado de auto-similitud, es una ventaja.

TECNOLOgÍA

44

SIMETRÍA

45

46

Simetría (del griego: «συμμετρείν» que quiere decir para

medir juntos), por lo general conlleva dos significados prin-cipales. El primero es una sensación imprecisa de propor-cionalidad agradable armonía o estética y el equilibrio, tal que refleja la belleza o perfección. El segundo significado es un concepto preciso y bien definido de equilibrio o «patrón de auto-similitud» que puede ser demostrado o probado conforme a las reglas de un sistema formal: por la geometría, a través de la física o de otra forma.Aunque los significados se distinguen en algunos contex-tos, los dos significados de «simetría» están relacionados y discutidos en paralelo.

Las nociones «precisas» de simetría tienen diferentes medidas y definiciones operativas. Por ejemplo, la simetría se puede observar:

· en relación con el paso del tiempo;· como una relación espacial;· a través de transformaciones geométricas, tales como

la ampliación, la reflexión, y la rotación;· a través de otros tipos de transformaciones funcionales;· como un aspecto de objetos abstractos, modelos teóricos, la música del lenguaje, e incluso el conocimiento mismo.

Aquí se describen estas nociones de simetría desde cuatro perspectivas. La primera es que la simetría en la geome-tría, que es el tipo más familiar de la simetría para muchas personas. La segunda perspectiva es el significado más general de simetría en las matemáticas como un todo. La tercera describe la simetría en lo que respecta a la ciencia y la tecnología. En este contexto, las simetrías son la base de algunos de los resultados más profundos que se encuentran en la física moderna, incluidos los aspectos de espacio y tiempo. Por último, una cuarta perspectiva analiza la simetría en las humanidades, que cubre su uso rico y variado en la historia, la arquitectura, el arte y la religión.

El tipo más familiar de la simetría para muchas personas es la simetría geométrica. Formalmente, esto ubica a la sime-tría en un subgrupo del grupo de isometría euclidiana. Estas isometrías consisten en reflexiones, rotaciones, traslaciones y combinaciones de estas operaciones básicas.

Simetría de reflexiónTambién llamada simetría especular, la simetría en espejo, o simetría bilateral es la simetría con respecto a la reflexión.

En 1d, hay un punto de simetría. En 2d es un eje de simetría, en 3d un plano de simetría. Un objeto o una figura que es indistinguible de su imagen transformada se llama espejo simétrico.

El eje de simetría de una figura de dos dimensiones es una línea tal que, si se construye una perpendicular, cualquier par de puntos que están en la perpendicular a la misma distancia del eje de simetría son idénticas. Otra forma de verlo es pen-sar que si la forma va a ser doblado por la mitad sobre el eje, las dos mitades serían idénticas: las dos mitades son entre sí la imagen del espejo. Así, un cuadrado tiene cuatro ejes de

SIMETRÍA

gEOMETRÍA

47

simetría, ya que hay cuatro formas diferentes de doblarlo de manera que los bordes coincidan. Un círculo tiene infinitos ejes de simetría, por la misma razón.

Si la letra T se refleja a lo largo de un eje vertical, parece lo mismo. Tenga en cuenta que esto es a veces llamada sime-tría horizontal, y, a veces la simetría vertical. Es mejor utilizar una formulación menos ambigua, por ejemplo, «T tiene un eje de simetría vertical» o «T simetría izquierda-derecha».Los triángulos con esta simetría son isósceles, los cuadri-láteros con esta simetría son los cometas y los trapecios isósceles.

El grupo taxonómico Bilateria (animales bilaterales, incluidos los humanos) son más o menos simétricos con respecto al plano sagital.

En ciertos contextos, hay simetría de rotación en todos los lados. En ese caso, la simetría de espejo-imagen es equivalente a la simetría inversa, en estos contextos de la física moderna la llama simetría-P (P corresponde a paridad).Para obtener más tipos generales de reflexión hay que co-rresponde tipos más generales de la simetría de reflexión. Ejemplos:· Con respecto a una involución afín no isométrica (una reflexión en una línea oblicua, plano, etc.)· Con respecto a la inversión circular

Simetría rotacionalEs la simetría con respecto a algunas o todas las rotaciones en el espacio euclídeo. Las rotaciones son isometrías direc-tas, es decir, isometrías que preservan la orientación.

En otro sentido de la palabra, el grupo de rotación de un ob-jeto es el grupo de isometrías directas, es decir, la intersección del grupo de simetría total y el grupo de isometrías directas.

Los utensilios del Paleolítico Inferior son los primeros en bus-car simetría y armonía además de funcionalidad, por ejemplo, el bifaz

Arquitectura precolombina, ya presentaba simetrías en sus templos.

En la antigua grecia se estudia a fondo, Pitágoras es uno de esos estudiosos

Los árabes hacen un uso ma-gistral de ella es sus teselados, como por ejemplo en la Alham-bra de granada.

La arquitectura modernista apuesta por la asimetría.

48

Simetría traslacionalLa simetría traslacional deja un objeto invariante bajo un grupo discreto y el siguiente grupo se desplaza con respec-to al anterior a lo largo de un eje.

Simetría antitraslacionalUn deslizamiento simétrico de reflexión (en 3d: un desli-zamiento plano de simetría) significa que hay un reflejo en una línea o plano combinado con una traslación a lo largo de esta línea o plano, resultando el mismo objeto.

Simetría de rotación impropiaEsta es en realidad el resultado de realizar dos operaciones, una a continuación de la otra, de estas dos operaciones, ninguna debe ser necesariamente una operación de simetría por sí sola. Las rotaciones impropias, de manera similar a las rotaciones propias, deben poder realizarse hasta llegar a una posi-ción del objeto idéntica a la inicial.

Simetría helicoidalEs el tipo de simetría se ve en objetos tan cotidianos como resortes, brocas y taladros. Se puede pensar en la simetría como de rotación junto con la de traslación a lo largo del eje de rotación, el eje del tornillo). El concepto de simetría helicoidal puede ser visualizado como la localización en el espacio tridimensional que resulta de girar un objeto a una velocidad constante angular al mismo tiempo que se mueve a otro, manteniendo la velocidad a lo largo de su eje de rotación (traslación). En cualquier punto en el tiempo, estos dos movimientos se combinan para dar un ángulo espiral que ayuda a definir las características del trazado. Cuan-do el objeto gira rápidamente y se mueve poco a poco, el ángulo de bobinado estará cerca de 0 °. Por el contrario, si la rotación es lenta y la traslación es rápida, el ángulo de bobinado se acercará a 90 °.Tres clases principales de simetría helicoidal se pueden distinguir sobre la base de la interacción del ángulo de las simetrías enrolladas y traslación a lo largo del eje:· Simetría helicoidal infinita, si no hay características distintivas a lo largo de la longitud de una hélice o un objeto similar a la hélice, el objeto tiene simetría infinita parecida a la de un círculo, pero con el requisito adicional de la traslación a lo largo del eje longitudinal del objeto para volver a su aspecto original. Un objeto helicoidal es el que tiene en cada punto el ángulo normal enrollado de una hélice, pero que también puede tener una sección transversal de forma indefinida de alta complejidad, con tal de que esa misma sección exista (por lo general des-pués de una rotación) en cada punto a lo largo del objeto. Ejemplos sencillos son resortes, brocas y taladros. dicho con mayor precisión, un objeto tiene simetría helicoidal in-finita si por alguna pequeña rotación del objeto alrededor de su eje central existe un punto cercano (la distancia de traducción) en el que el eje en el que el objeto aparezca exactamente como lo hacía antes. Es esta simetría infinita espiral la que da lugar a la curiosa ilusión de movimiento a un taladro o tornillo que se está rotando. También pro-porciona la capacidad mecánica útil de estos dispositivos para mover los materiales a lo largo de su longitud, siem-pre y cuando se combinan con una fuerza como la grave-dad o la fricción que permite que los materiales resistan a una simple rotación, junto con el taladro o barrena.

49

· Simetría helicoidal n-veces. Si el requisito de que cada sección transversal del objeto helicoidal sea idéntico se relaja, se hacen posibles más simetrías helicoidales

menos simétricas. Por ejemplo, la sección transversal del objeto helicoidal puede cambiar, pero todavía se repite de manera regular a lo largo del eje del objeto helicoidal.

En consecuencia, los objetos de este tipo presentan una simetría tras una rotación por algunos θ ángulo fijo y una traslación de algunos distancia fija, pero no será igual para cualquier ángulo de rotación. Si el ángulo (rotación) en el que la simetría se divide en partes iguales en un círculo completo (360 °), el resultado es el equivalente helicoidal de un polígono regular. Este caso se llama si-metría helicoidal n veces, donde n = 360 ° / θ, véase, por ejemplo doble hélice. Este concepto puede ser más gene-ral al incluir los casos en que θ es un múltiplo de 360 °, es decir, el ciclo se repita con el tiempo, pero sólo después de más de una rotación completa del objeto helicoidal.

· Simetría helicoidal sin repetir. En este caso θ el ángulo de rotación de la simetría es irracional. El ángulo de giro nunca se repite exactamente, no importa cuántas veces se hace girar la hélice. Estas simetrías se crean mediante un grupo de puntos que no se repite en dos dimensiones. El AdN es un ejemplo de este tipo de simetría helicoidal que no se repite.

Simetría no isométricaUna definición más amplia de la simetría geométrica permite operaciones de un grupo más grande que el grupo de iso-metrías euclidiana. Ejemplos de grandes grupos de simetría geométrica son:

· El grupo de transformaciones de semejanza, es decir, transformaciones afines representadas por una matriz A suele ser una matriz ortogonal. Si se añaden dilataciones, la auto-similitud se considera una simetría.

· El grupo de transformaciones afines representado por una matriz con determinante 1 o -1, es decir, las trans-formaciones que preservan su área, lo que añade, por ejemplo simetría de reflexión oblicua.

· El grupo de todas las transformaciones afines biyectiva.· El grupo de transformaciones de Möebius que conservan proporciones asimétricas.

En el programa de Erlangen de Felix Klein, cada posible grupo de simetrías define una geometría en la que los objetos que están relacionados por un miembro del grupo de simetría se consideran equivalentes. Por ejemplo, el grupo de Euclides define la geometría euclidiana, mientras que el grupo de trans-formaciones de Möebius define la geometría proyectiva.

Escala de simetría y fractalesEscala de simetría se refiere a la idea de que si un objeto es ampliado o reducido en tamaño, el nuevo objeto tiene las mismas propiedades que el original. La simetría de escala es notable por el hecho de que no existe para la mayoría de los sistemas físicos. Fue percibido por primera vez por galileo. Ejemplos simples de la falta de simetría de escala en el mundo físico son la diferencia en la fuerza y el tamaño de las patas de los elefantes contra las de los ratones, y la observación de que si una vela de cera blanda se ampliara a el tamaño de un árbol alto, inmediatamente se derrumbaría bajo su propio peso.Una forma más sutil de la simetría de escala se demuestra por los fractales. Tal como fue concebido por Benoît Man-delbrot, los fractales son un concepto matemático en el que la estructura es autosimilar a distintas escalas.

50

La simetría en el campo de la física se ha generalizado en el sentido de invariancia es decir, la falta de cambio en cual-quier tipo de transformación, por ejemplo transformaciones arbitrarias de coordenadas. Este concepto se ha convertido en una de las herramientas más poderosas de la física teórica, como lo ha puesto de manifiesto que prácticamente todas las leyes de la naturaleza vienen de simetrías. de hecho, este papel inspiró al el premio Nobel PW Anderson a escribir en su muy leído el artículo 1972 Más es diferente que «es sólo un poco exagerado el asunto al decir que la física es el estudio de la simetría».

Los objetos clásicosAunque un objeto cotidianos pueden parecer exactamente iguales después de una operación de simetría tales como una rotación o el intercambio de dos piezas idénticas, es evidente que esa simetría es cierto sólo como una aproxi-mación a cualquier objeto físico ordinario.

Por ejemplo, si se hace girar un triángulo equilátero de aluminio mecanizado con precisión de 120 grados alre-dedor de su centro, un observador casual será incapaz de decidir si esa rotación se llevó a cabo. Sin embargo, la rea-lidad es que cada esquina de un triángulo siempre apare-cerá única cuando se examina con suficiente precisión. Un observador armado con equipo de medición lo suficiente-mente detallado como microscopios ópticos o electrónicos no se deja engañar, que reconocerá inmediatamente que el objeto se ha rotado al buscar detalles tales como cristales o deformidades menores.

Tales experimentos mentales simples muestran que las afirmaciones de la simetría en los objetos físicos de la vida cotidiana son siempre una cuestión de similitud aproximados y no de igualdad matemática precisa. La consecuencia más importante de esta naturaleza aproximada de simetrías en la vida cotidiana es que los objetos físicos, tales simetrías tienen un impacto mínimo o nulo en la física de tales objetos. En consecuencia, sólo las simetrías más profundas del espacio y el tiempo juegan un papel importante en la física clásica, es decir, la física de los objetos de gran tamaño.

Los objetos cuánticosCabe destacar que existe un reino de la física para los que las afirmaciones de simetrías matemáticas simples en obje-tos reales dejan de ser aproximaciones. Ese es el dominio de la física cuántica, que en su mayor parte es la física pequeña, de objetos muy simples, tales como electrones, protones, la luz y los átomos.

A diferencia de los objetos cotidianos, objetos tales tienen muy limitado el número de configuraciones, los llamados estados, en los que puede existir. Esto significa que cuando las operaciones de simetría, como el intercambio de las posi-ciones de los componentes se aplican a ellos, las configura-ciones resultantes a menudo no se pueden distinguir de los originales no importa cuán diligente es un observador.

Si bien es lógico que podría convertirse en simetrías exacta cuando se aplica a objetos muy simples, la intuición inmediata es que esta mención no debe afectar a la física de los objetos de manera significativa. Esto es en parte porque es muy difícil de ver el concepto de similitud exacta en senti-do físico. Nuestra imagen mental de este tipo de situaciones es invariablemente la misma que usamos para objetos gran-des: Nos imaginamos los objetos o configuraciones que son muy similares, pero que si pudiéramos “mirada más de cerca” todavía sería capaz de notar la diferencia.

En resumen, cuando un objeto se vuelve tan simple que una afirmación de simetría hace una exposición precisa de igualdad experimentalmente comprobable, deja de seguir las reglas de la física clásica y en su lugar debe ser modelado utilizando las más complejas y, a menudo mucho menos intuitivas reglas de la física cuántica.

FÍSICA

51

La simetría en biología se traduce en la distribución equi-librada de duplicar las partes del cuerpo o las formas. El organismo de los planes de la mayoría de los organismos multicelulares presentan algún tipo de simetría, ya sea simetría radial ,simetría bilateral o “simetría esférica”. Una pequeña minoría no tiene ninguna simetría (son asimétricas).En la naturaleza la simetría es aproximada. Por ejemplo, las hojas de las plantas, mientras que considera simétrica, rara vez coinciden exactamente cuando se doblan por la mitad.

Simetría bilateralEn este caso, solo al dividir el plano sagital, se obtendrán dos mitades del organismo más o menos similares. Así pues, hay simetría de reflexión aproximada. A menudo, las dos mitades se pueden denominar como las mitades derecha e izquierda, por ejemplo, en el caso de un animal con dirección principal del movimiento en el plano de simetría.

La mayoría de los animales son simétricos bilateralmen-te, incluidos los seres humanos, y pertenecen al grupo de los Bilateria. El animal bilateral más antiguo conocido es el Vernanimalcula. La mayoría de los animales bilaterales tienen una forma idéntica en ambos lados, como si estuviera dividi-do en dos por un espejo.

La simetría bilateral permite la simplificación, favorece la formación de un centro nervioso central, contribuye a la cefa-lización, y promueve activamente organismos en movimiento. Es un aspecto de cordados y vertebrados.

Las flores como los miembros de las familias de orquídeas y guisante son bilateralmente simétricas (también conocidas como zigomorfas). Las las hojas de la mayoría de las plantas también son bilateralmente simétricas. Un examen cuidado-so de los patrones de la vena de la hoja a menudo se

muestra que esta es imperfecta pero aproximada. Hay casos en los que los órganos de la plantas normalmente bilaterales se transforman en formas aparentemente helicoidales, son conocidos como crecimiento helicoidal.

Simetría radialEstos organismos parecen un pastel donde todos loas pla-nos de corte producirían piezas casi idénticas, como se pue-de observar en el ejemplo superior de una estrella de mar. Un organismo con simetría radial no presenta ningún lado izquierdo o derecho. Tienen solamente una parte superior y una inferior (superficie dorsal y ventral) .

La mayoría de animales de simetría radial son simétricas respecto a un eje que se extiende desde el centro de la su-perficie oral, que contiene la boca, para el centro de la frente, o al final aboral. Este tipo de simetría es especialmente ade-cuada para los animales sésiles, tales como la anémona de mar, animales que flotan como las medusas y los organismos de movimiento lento, como estrellas de mar. Animales en el filos cnidarios presentan simetría radial (aunque muchas anémonas de mar y algunos corales presentan simetría bila-teral definida por una estructura única, el siphonoglyph). Los equinodermos, sin embargo, presentan simetría bilateral en sus larvas, por lo que son clasificados como los bilaterales.

Muchas flores y plantas son radialmente simétricos (también conocido como actinomorfas). Alrededor de pétalos iguales, sépalos y estambres producen a intervalos regulares alrededor del centro de la flor.

BIOLOgÍA

52

Formas particulares de simetría radial

·TetramerismoMuchas medusas tienen cuatro canales y por lo tanto presentan simetría radial tetrámera. Esta forma de simetría radial significa que puede ser dividido en 4 partes iguales.

· PentamerismoEsta variante de la simetría radial (también llamada simetría pentarradial y pentagonales) organiza más o menos a partes iguales en torno a un eje central en las orientaciones de 72 °.

Los miembros del filo Echinodermata (tales como estrellas de mar, erizos de mar, y lirios de mar) tienen partes dispues-tas alrededor del eje de la boca en cinco sectores iguales. Se trata de animales bilaterales como larvas,pero obtienen la simetría pentarradial más adelante. Los radiolarios demostrar una notable variedad de formas pentaméricas. Los ejemplos incluyen la Pentaspheridae, el grupo de Pentinastrum gene-ral en el Euchitoniidae y Cicorrhegma (Circoporidae).

Las plantas con flores muestran la simetría del cinco con mayor frecuencia que cualquier otra forma.Varias frutas también muestran pentamerismo, un buen

ejemplo de lo que se ve en la disposición de los carpelos de semillas en una manzana.

· Hexamerismo y octamerismoLos corales y las anémonas de mar (clase Anthozoa) se dividen en dos grupos en función de su simetría. Los corales más comunes en la subclase Hexacorallia tienen un cuerpo hexamérica; sus pólipos tienen simetría por seis internos y el número de sus tentáculos es un múltiplo de seis.

Los corales pertenecen a la subclase Octocorallia tienen pólipos con ocho tentáculos y simetría radial octamérica.

Otros tipos de simetría y asimetríaSímetría esférica es aquella en la que el organismo se puede dividir en dor partes identicas cortes por donde cortes.La simetría birradial es una combinación entre la radial y la bilateral. El filo de los ctenóforos, una clase de plancton, muestran esta clase de simetría, y también los asquelmintos, un tipo de gusanos.

La excepción asimétrica en el mundo animal es el filo de las Poríferas, las esponjas, y en animales normalmente simétricos suele ser causa de exclusión social por indicar una anomalía que podría ser generada por una enfermedad, disminuyendo considerablemente su probabilidad de reproducción.

53

En todas las actividades humanas para la que un resultado visual impresionante es parte del objetivo deseado, las sime-trías juegan un papel fundamental. El atractivo innato de la si-metría se puede encontrar en nuestras reacciones a suceder a través de los objetos naturales altamente simétricos, como los cristales de precisión formado o conchas de mar muy bien espiraladas. Nuestra primera reacción en la búsqueda de ese objeto a menudo es preguntarse si hemos encontrado un objeto creado por un ser humano, seguido rápidamente por sorpresa que las simetrías que nos llaman la atención se derivan de la propia naturaleza. En ambas reacciones que damos nuestra inclinación a ver simetrías tant tan bello y, de alguna manera, informativo del mundo que nos rodea.

SÍMBOLOS RELIgIOSOS

La tendencia de la gente a ver un propósito de la simetría su-giere al menos una razón ya que la simetría es a menudo parte integral de los símbolos de las religiones del mundo. Sólo unos pocos de los muchos ejemplos incluyen la simetría séxtuple de rotación como la estrella del judaísmo de david, la simetría de doble punto de Taijitu el taoísmo o el Yin Yang, la simetría bilateral de la cruz del cristianismo y Khanda del sijismo, o la simetría de cuatro pliegues de la antigua versión hindú la de la esvástica. Con sus fuertes prohibiciones contra el uso de imágenes figurativas, el Islam, y en particular la rama sunnita del Islam, ha desarrollado un uso complejo de simetrías.

En orden descendente: cruz cristiana, estrella islámica, sikh khanda, estrella de david, rueda del dharma, estrella de Bahá’í, Aumkar taoista, torii shinto, Jain Swastika.

54

gRUPOS dE PAPEL dE TAPIz

Un grupo de papel tapiz (o grupo plano de simetría o grupo cristalográfico plano) es una clasificación matemática de un patrón repetitivo de dos dimensiones, basadas en la simetría del patrón. Estos patrones se producen con frecuencia en la arquitectura y artes decorativas. Hay 17 grupos distintos posibles.

Los grupos del papel tapiz son de dos dimensiones grupos de simetría, intermedios en complejidad entre los grupos friso más simple y los grupos de cristalografía en tres dimen-siones (también llamados grupos de espacio).

Los grupos del papel tapiz categorizan los patrones por sus simetrías. diferencias sutiles pueden colocar patrones similares en diferentes grupos, mientras que los patrones que son muy diferentes en estilo, color, escala o la orienta-ción pueden pertenecer al mismo grupo.

NotaciónPara los grupos de papel tapiz la notación completa comien-za con P o C, célula primitiva o célula centrada en la celda, las cuales se explican a continuación. Esto es seguido por un dígito n, lo que indica la orden más alta de simetría de rotación: 1 veces (ninguna), 2 veces, 3 veces, 4 veces, o 6 veces. Los siguientes dos símbolos indican simetrías con relación al eje de la de traslación del patrón, el «principal», si hay un reflejo perpendicular al eje de traslación que

elegimos como eje principal (o si hay dos, uno de ellos). Los símbolos son m, g, o 1, para reflejo, la reflexión antitrasla-cional (glide reflexión), o ninguno. El eje del reflejo o de la reflexión antitraslacional es perpendicular al eje principal de la primera, y en forma paralela o inclinada 180 ° / n (cuando n> 2) para la segunda letra. La notación corta dígitos bajos o una m que se puede deducir, siempre y cuando que no deja lugar a confusión con otro grupo.

Una celda primitiva es una región repetida por un mínimo de traslaciones en red. Todos menos dos grupos de simetría papel tapiz se han descrito con respecto a los ejes de célula primitiva, una base de coordenadas utilizando los vectores de traslación de la red. En los otros dos casos es la descripción de simetría con respecto a las células que se centran más que la célula primitiva, y por lo tanto tienen repetición interna, las direcciones de sus lados es diferente de las de los vecto-res de traslación que abarca una célula primitiva.

Ejemplos:· p2 (P211): células primitivas, simetría de rotación 2 veces, no hay reflejo, ni reflexión antitraslacional.· p4g (p4gm): células primitivas, rotación 4 veces, perpendicu-lar al eje de la reflexión antitraslacional, eje del espejo a 45 °.· cmm (c2mm): Centrado en celda, la rotado dos veces, ejes reflejados perpendicularmente y paralelos al eje principal.· p31m (p31m): células primitivas, de 3 veces la rotación, eje de reflexión a 60 °.

Rotación minima ¿Tiene reflejo?

360º/6 Si

Si

Reflejo de 45º

Reflexión rotacional fuera del centro

Reflexión rotacional fuera del centro

Reflexión perpendicular Reflexión antitraslacional

Reflexión antitraslacionalEje de traslación fuera del reflejo

No

No360º/4

no hay

360º/2

360º/3

p6m p6

p4p4m p4g

Si

Si

Si

Si

No

NoNo

No

p31m

cmm pmm

p3m1

Si Nocm pm

pmg pgg p2

Si Nopg p1

p3

Cómo reconocer grupos de papel tapiz

grupo p1Este grupo contiene solo traslaciones, no tiene rotación ni reflejo de ningún tipo.

grupo p2El grupo p2 contiene cuatro centros de rotación de orden dos (180º), pero no reflejos de ningún tipo.

grupo pmNo tiene rotaciones, tiene ejes de reflexión y son siempre paralelos.

grupo pgContiene solo reflejos antitraslacio-nales, y sus ejes son paralelos. No hay ni reflejos ni rotaciones.

grupo cm Este grupo no contiene rotaciones. Tiene ejes de reflexión paralelos. Hay al menos una reflexión antitraslacional cuyo eje no es un eje de reflexión, está a medio camino entre los dos ejes de reflexión paralelos que tiene a los lados.

grupo pmmHay reflexión en dos direcciones perpendiculares entre si y hay cuatro centros de rotación de orden dos (180º) localizadas en las interseccio-nes de los ejes de reflexión.

grupo pmgEl grupo pmg tiene dos centros de rotación de orden dos y reflejos en solo una dirección. Tiene reflexión antitras-lacional cuyos ejes son perpendicula-res a los ejes de reflexión. Los centros de rotación reposan en los ejes de las reflexiones antitraslacionales.

Borde de las celdas Eje de reflexión Eje de reflexión antitraslacional

Eje de rotación de orden 2, 3, 4 y 6

56

grupo pggContiene dos centros de rotación de orden dos y reflejos antitraslacionales en dos direcciones perpendiculares. Los centros de rotación no están localizados en los ejes de los reflejos antitraslacionales. No hay reflejos.

grupo cmmTiene reflejos en dos direcciones perpendiculares y rotación de orden dos, cuyos centros no están en un eje de reflexión. También tiene dos rotaciones cuyos centros están en un eje de reflexión. Se puede observar en construcciones cotidianas como paredes de ladrillo.

grupo p4Tiene dos centros de rotación de orden cuatro (90º) y uno de orden dos (180º). No hay reflejos ni reflejos antitraslacionales.

grupo p4mTiene dos centros de rotación de orden cuatro (90º) y reflejos en cuatro direcciones distintas. Tiene además reflejos antitraslacionales cuyos ejes no son los ejes de reflexión.

grupo p4gTiene dos centros de rotación de orden cuatro (90º) que son sus respectivas imagen espejo, pero solo tiene reflejo en dos direcciones que son perpen-diculares. Hay rotaciones de orden dos (180º) cuyos centros están en las intersecciones de los ejes de reflexión. Tiene reflejos antitraslacionales con ejes paralelos a los de reflexión.

grupo p3Tiene tres centros de rotación de orden tres (120º), pero no tiene reflejos ni reflejos antitraslacionales.Se puede crear una teselación del pla-no con triángulos equiláteros del mismo tamaño, la mitad de ellos mirando en una dirección y la otra en la contraria.

57

grupo p3m1Tiene tres centros de rotación de orden tres (120º). También tiene re-flejos en los tres lados de un triángulo equilátero. El centro de cada rotación reposa en un eje de reflexión. Hay además reflexiones antitraslacionales en tres direcciones diferentes, cuyos ejes están entre los ejes de reflexión paralelos adyacentes.

grupo p31mEste grupo también tiene tres centros rotacionales de orden tres (120º), de los cuales dos son la imagen espejo del otro. Tiene reflejo en tres direc-ciones diferentes y hay al menos un eje de rotación que no reposa en uno de los ejes de reflexión. Hay reflejos antitraslacionales en tres direcciones diferentes, cuyos ejes están entre los ejes de reflexión paralelos adyacentes.

grupo p6Tiene un centro de rotación de orden seis (60º) , dos de orden tres (120º) y tres de orden dos (180º). No tiene reflejos de ningún tipo

grupo p6m Tiene un eje de rotación de orden seis (60º), dos de orden tres y tres de orden dos. Tiene reflejos y reflejos antitraslacionales en seis direcciones, cuyos ejes están entre los ejes de reflexión paralelos.

58

INTERACCIóN SOCIAL

La gente observa la naturaleza simétrica, a menudo incluyen-do el equilibrio asimétrico, de las interacciones sociales en una variedad de contextos. Estos incluyen la evaluación de la reciprocidad, la empatía, la disculpa, el diálogo, el respeto, la justicia y la venganza. Interacción simétrica es enviar el men-saje «todos somos iguales», mientras que las interacciones asimétricas son enviar el mensaje «soy especial;. Mejor que tú». Las relaciones entre compañeros se basan en la simetría, las relaciones de poder se basan en la asimetría.

PALÍdROMOS

Un palíndromo (del griego palin dromein, volver a ir hacia atrás) es una palabra, número o frase que se lee igual hacia adelante que hacia atrás. Si se trata de un número, se llama capicúa. Habitualmente, las frases palindrómicas se resien-ten en su significado cuanto más largas son.

Normalmente se entiende por palíndromo aquel que toma por unidad la letra, es decir, cuya última letra es la misma que la primera, la penúltima es la misma que la segunda, etc. Es el caso de palabras tales como reconocer o anilina. Sin embargo, también se puede tomar como unidad la sílaba (por ejemplo, gato con toga, aunque en este caso podría ser calificado como anagrama), la palabra o incluso el renglón.

ARqUITECTURA

Otra actividad humana en la que el resultado visual juega un papel vital en el resultado global es la arquitectura. En la antigüedad, la capacidad de una gran estructura para impre-sionar o intimidar a sus espectadores ha sido a menudo una parte importante de su propósito, y el uso de la simetría es un aspecto ineludible de la forma de alcanzar esa meta.

Algunos ejemplos de ejemplos antiguos de arquitecturas que hizo uso de gran alcance de la simetría para impresio-nar a los que les rodean incluye las pirámides de Egipto, el Partenón griego, el Primer y Segundo Templo de Jerusalén, la ciudad Prohibida, Angkor de Camboya, el complejo Wat, y los muchos templos y pirámides de las antiguas civilizaciones precolombinas. Ejemplos históricos más recientes serían las catedrales góticas y románicas, el Taj Mahal …

Un ejemplo interesante de una ruptura de la simetría en la arquitectura es la Torre Inclinada de Pisa, cuya notoriedad se debe en gran parte no pequeña para la simetría inten-ción de su diseño, sino por la violación de la simetría que se desarrolló cuando todavía estaba en construcción . Ejemplos modernos de arquitectura que hacen un uso impresionante y complejo de varias las simetrías, como el Sydney Opera House en Australia y Houston.

Simetría encuentra su forma en la arquitectura en todas las escalas, desde el punto de vista externo en general, a través del diseño de los planos, y hasta el diseño de elementos de construcción individuales, tales como puertas, vidrieras, mosaicos, frisos, escaleras , pasamanos de esca-leras, y balaustradas.

· ¿Acaso hubo búhos acá? (de Juan Filloy)· Adivina ya te opina, ya ni miles origina, ya ni cetro me domina, ya ni monarcas, a repaso ni mulato carreta, acaso nicotina, ya ni cita vecino, anima cocina, pedazo gallina, ceda-zo terso nos retoza de canilla goza, de pánico camina, ónice vaticina, ya ni tocino saca, a terracota luminosa pera, sacra nómina y ánimo de mortecina, ya ni giros elimina, ya ni poeta, ya ni vida. (de Ricardo Ochoa)· Allí por la tropa portado, traído a ese paraje de maniobras, una tipa como capitán usar boina me dejara, pese a odiar toda tropa por tal ropilla. (de Luis Torrent)· Átale, demoníaco Caín, o me delata. (de Julio Cortázar)· dábale arroz a la zorra el abad.· La ruta nos aportó otro paso natural.· Nada, yo soy Adán. (de guillermo Cabrera Infante)· No di mi decoro, cedí mi don. (de Juan Filloy)

59

ESTÉTICA

La relación de la simetría con la estética es compleja. Ciertas simetrías simples, y la simetría bilateral en particular, parecen estar profundamente arraigadas en la percepción inherente de los seres humanos de la salud o aptitud de los demás seres vivos, como se puede ver con el simple experimento de distorsionar un lado de la imagen de un atractivo los espectadores la cara y pedir que evaluaran el atractivo de la imagen resultante. En consecuencia, las simetrías que imitan la biología tienden a tener una atracción natural que a su vez impulsa una fuerte tendencia a crear los artefactos con simetría similar. No hay más que imaginar la dificultad de tratar al mercado un coche muy asimétrico.

Otro de los atractivos más sutiles de la sime-tría es el de la sencillez, que a su vez tiene una implicación de la segu-ridad y la familiaridad. En una habitación muy simétrica, por ejemplo, es inevita-blemente una sala en la que cualquier cosa fuera de lugar o que potencialmente amenaza se puede identificar fácil y rápidamente. Por ejemplo, las personas que han crecido en casas llenas de ángulos rectos exactos y artefactos exacta-mente idénticos pueden encontrar su primera experiencia en permanecer en una habitación sin ángulos exactos y objetos no idénticos muy inquietante, por lo tanto la simetría puede ser una fuente de consuelo, no sólo como un indicador de la salud biológica, sino también de un medio ambiente seguro y bien entendido.

En oposición a esto es la tendencia a la simetría excesiva que se percibe como aburrida o poco interesante. Los seres humanos, en particular, tienen un fuerte deseo de aprovechar

las nuevas oportunidades o explorar nuevas posibilidades, y un excesivo grado de simetría puede transmitir falta de oportunidades. La mayoría de la gente muestra una preferen-cia por las figuras que tienen un cierto grado de sencillez y simetría , pero la complejidad suficiente como para hacerlos interesantes.

Sin embargo, otra posibilidad es que cuando las simetrías son demasiado complejos o demasiado difíciles, la mente hu-mana tiene una tendencia a desconectar y perciben de otra forma; Como el ruido que no transmite información útil.

Por último, la percepción y la apreciación de las simetrías dependen de los antecedentes culturales. El mayor uso de las complejas simetrías geométricas en muchas culturas islámicas, por ejemplo, hace más probable que personas de otras culturas podrán apre-ciar estas formas de arte (o,

por el contrario, a rebelarse en contra de ellos). Como en muchas actividades humanas, el resultado de la

confluencia de muchos factores, es que el uso efectivo de la simetría en el arte y la arquitectura es compleja, intuitiva y muy dependiente de las habilidades de los individuos que deben tejer y se combinan estos factores dentro de su propia creatividad el trabajo. Junto con la textura, color, proporción y otros factores, la simetría es un poderoso ingrediente en una síntesis.

Unos pocos ejemplos de un uso más explícito de las sime-trías en el arte se puede encontrar en el arte de MC Escher, el diseño creativo del concepto matemático de un grupo de papel de pared, y las muchas aplicaciones (el mundo mate-mático y real) de teselados.

derechas normal izquierdas

60

dISEñO gRÁFICO

En el diseño, el uso estratégico de la simetría y la asimetría es una herramienta muy potente y poco evidente en muchos casos. Los diseño que necesitan una potente fuerza estruc-tural y un mensaje clásico que transmita confianza tiende a usar más la simetría. Para diseños más arriesgados se suele usar más la asimetría.La simetría traslacional es útil para organizar el contenido en páginas web en columnas del mismo ancho, creando un sistema reticular, como el sistema de retículas 960, en la imagen de la siguiente página. Muestra simetría traslacional en la forma en la que rompe las columnas para mantener el equilibrio y la proporción.Seguir instintivamente la simetría es natural. Según los principios de la gestalt, sabemos que nuestro cerebro tiende a crear simetría y equilibrio.Algunos ejemplos del uso de la simetría en páginas web:

Regeneratorhttp://regenerator.hr/r/

Este es un buen ejemplo de reflejo simétrico en webs. Todo, desde el logo a la pieza central es un reflejo con eje vertical. Es una solución simple que da buenos resultados.

Pointless Corp.http://www.pointlesscorp.com/

Esta página tiene un diseño bastante asimétrico, lo que la hace creativa y visualmente atractiva, aunque hay algo de simetría para dar cohesión al diseño. Véase cómo se repiten formas y flujo direccional, como una manifestación de sime-tría traslacional.

qTRLYhttp://fe.rocious.com/

El fondo y el menú principal del qTRLY son abstractos. Aunque las piezas que lo componen son bloques repetiti-vos, trasladados vertical y horizontalmente para equilibrar la integridad estructural.

61

Elegant Seagullshttp://www.elegantseagulls.com/

Esta página tiene un diseño simétrico, el logo , el menú está todo centrado. La lista de la sección de servicios hacia el final muestra una simetria traslacional.

darkSky http://dsmpress.bigcartel.com/

Esta web es limpia y simple, pero incorpora una reticula que mantiene simetría reflectiva y traslacional. Incluso se mantiene en el contenido, una imagen de un libro a un lado, otra a otro.

62

BIBLIOGRAFÍA

63

Wikipedia inglesa y españolahttp://es.wikipedia.orghttp://en.wikipedia.org

El número áureo en generalhttp://www.enigmasdelmundo.com/http://journal3.net/spip.php?article120http://zenayyy.blogspot.com/2011/02/26-2822011-el-numero-fi.htmlhttp://www.friki.net/informes/57781-la-divina-proporcion-1-618-a.html

diseño gráfico y número áureohttp://blog.iso50.com/6612/golden-ratio/http://numbdrum.com/new-twitter-design-based-on-the-golden-ratio-image/

El número de oro en la arquitectura y el artehttp://www.suite101.net/content/el-numero-de-oro-en-la-arqui-tectura-y-el-arte-a2985

La proporción áurea en la estéticahttp://creativesagest.blogspot.com/2009/03/golden-ratio-secret-to-aesthetics.html

La proporción áurea y la gran pirámide por Abelardo Fallettihttp://webs.adam.es/rllorens/pipiramid.htm

Página de Stephen R. Madquarthttp://www.beautyanalysis.com/

Música, videojuegos y número áureohttp://www.revogamers.net/articulos/musica-videojuegos-y-numero-aureo-653/3.html

Estudio de Cristian Vilahttp://www.etereaestudios.com

Apuntes de la Universidad de Yale, por Michael Frame, Benoit Mandelbrot (1924-2010), and Nial Neger

http://classes.yale.edu/fractals/panorama

Web especializada en fractaleshttp://www.fractovia.org/

galería de fractales generados por ordenadorhttp://www.willamette.edu/%7Esekino/fractal/fractal.htm

Fractales y computación gráficahttp://paulbourke.net/fractals/interface/

Foro sobre fractales y arquitecturahttp://www.arquinauta.com/foros/discusiones-f8/fractales-y-la-arquitectura-t1559.htmlhttp://www.todoarquitectura.com/v2/foros

Investigadores sobre música fractal http://www.brotherstechnology.comhttp://www.dlsi.ua.es/~japerez/

Apuntes sobre simetría de la universidad nacional de Colombia

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000189_2/html/simetria-elementos-y-operaciones.html

El diseño y el instinto de jugar por Paul Randhttp://www.paul-rand.com/site/thoughts_designAndthePlayIns-tinct/

64

ÍNDICE ANALÍTICO

65

EL NÚMERO ÁUREOAsiria 6

Babilonia 6Barr, Mark 8Beethoven, Ludwig van 20

dalí, Salvador 18De Divina Proportione 7demócrito 7durero, Alberto 7

Euclides 6, 12Elementos, Los 6Empédocles 7

Fibonacci (Leonardo de Pisa) 9, 11

ghyka, Matila 20 gopala 9grecia antigua 16

Hemachandra 9

Kepler, Johannes

Le Corbusier 12Leonardo da Vinci 12Leon Battista Alberti 12, 16Liber abacci 11Livio, Mario 6Luca Paccioli 7

Madquart, Stephen R. 16Mondrian, Piet 18

Ohm, Martin 8

Pingala 9Pitágoras 12Platón 6Proclo 6Ptolomeo, Claudio 12

Schooling 8sólido platónico 12

Teeteto 7

Valarezzo, Álvaro 6

FRACTALESAutosimilitud 24, 28, 38

Bach, Johann Sebastian 35Beethoven, Ludwig van 35

Cage, John 35Cantor, george 27conjunto

de Cantor 27, 35, 41de Julia 26de Mandelbrot 26, 27, 37

Copo de Koch 26, 29

dalí, Salvador 38dimensión fractal 25, 26dimensión de Hausdorff-Besicovitch 26, 28, 29

efecto mariposa 27Escher, M. C. 38

Fatou, Pierre 33

Julia, gaston 33

Koch, Helge von 26,33

Leonardo da Vinci 32L-system 34

Malevich, Kazimir 33Mandelbrot, Benoît 24, 28, 29movimiento browniano 26

patrón 30, 34Pitágoras 35Poncairé, Henry 27, 38

Sierpinski, Waclaw 26, 33

SIMETRÍA

Cortazar, Julio 58

Filloy, Juan 58física 50fractal 49

galileo galilei 49geometría 46

Mandelbrot, Benoît 49

reflexión 50, 57rotación 46, 47, 49

simetríaeje 46, 47, 48, 57plano 51